MODELOS DISCRETOS

1.7. MODELO POISSON 51

b) Determine la probabilidad de ocurran por lo menos tres accidentes
enesta carretera hoy, si se sabe que ya ocurrio´ un accidente hoy.

c) Cua´l es el nu´mero esperado de accidentes para una semana com-
pleta?

9. Suponga que existen 5 carreteras que salen y llegan a una ciudad. El
nu´mero de accidentes diario que ocurren en estas carreteras se distri-
buyen Poisson con par´ametros 0.02, 0.05, 0.07, 0.08 y 0.10, respecti-
vamente. Encontrar el nu´mero esperado de accidentes en cualquiera
de estas carreteras.

10. Compare la aproximaci´on Poisson con la correcta probabilidad bino-
mial para los siguientes casos:

a) P (X = 2); cuando n = 8 y p = 0.10
b) P (X = 0); cuando n = 10 y p = 0.10
c) P (X = 4); cuando n = 9 y p = 0.2
d) P (X = 9); cuando n = 10 y p = 0.95

11. Se sabe que una fuente radiactiva emite part´ıculas alfa a un ritmo de
1.5 por minuto. Si medimos el nu´mero de part´ıculas alfa emitidas en
dos minutos

a) Cua´l es el resultado promedio esperado?
b) Cua´l es la probabilidad de observar 0, 1, 2, 3, 4 particulas alfa?
c) Cua´l es la probabilidad de observar por lo menos cinco particulas

alfa ?

12. En promedio, cuatro accidentes de tr´afico por d´ıa, ocurren en la v´ıa
NQS. Cu´al es la probabilidad que en cualquier d´ıa dado

a) ocurran exactamente cuatro accidentes en esa v´ıa?
b) no m´as de diez accidentes ocurran en esa v´ıa?
c) al menos ocho accidentes ocurran en esa v´ıa?

13. El nu´mero promedio de roedores por dec´ametro cuadrado es estimado
en diez. Halle la probabilidad de que:

52 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

a) menos de ciento veinte roedores sean encontrados en una hecta´rea.

2

b) ma´s de cincuenta roedores sean hallados en media hect´area.

14. Considere un experimento que consiste en contar el nu´mero de part´ı-
culas α emitido en un intervalo de 1 segundo por 1 gramo de material
radiactivo. Si se sabe, por experiencia pasada, que 3.2 de tales particu-
las α son emitidas, cu´al es una buena aproximaci´on a la probabilidad
que no m´as de dos particulas α sean emitidas?

15. Suponga que el nu´mero promedio de reclamaciones que llegan diaria-
mente a la oficina de siniestros y reclamaciones de una compan˜´ıa de
seguros, es 5.

a) Determine la probabilidad de que ocurran 4 relamaciones en exac-
tamente tres de los siguientes cinco dias (asumiendo que el nu´mero
de reclamaciones en diferentes dias es independiente).

b) Qu´e proporci´on de dias tendr´a menos de cinco reclamaciones?

16. Se sabe que el nu´mero de smartphones defectuosos producidos diaria-
mente en cierta fabrica se distribuye Poisson con media 4 smartphones
por d´ıa. En un periodo de dos dias, ¿cu´al es la probabilidad que el
nu´mero de smartphones defectuosos exceda las cinco unidades?

17. Suponga que el nu´mero de errores en una pieza de software tiene una
distribucio´n Poisson con una tasa de 3 errores por pieza. Determine
la probabilidad de que en una pieza de sofware hayan por lo menos
cuatro errores.

18. Sea X ∼ Pois(λ) con funcio´n masa de probabilidad f (x), es decir
f (x) = P(X = x). Se sabe que

2f (0) + f (2) = 2f (1)

Halle la varianza de X.

19. Los cambios en los procedimientos de planificacio´n de aeropuertos re-
quieren considerables planificaciones. Las tasas de llegada de las aero-
naves son factores importantes que deben tenerse en cuenta. Suponga-
mos que las aeronaves pequen˜as llegan a un aeropuerto determinado,

2Una hect´area = 10000 m2

1.7. MODELO POISSON 53

de acuerdo con un proceso de Poisson, a razo´n de seis aviones por
hora.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente cuatro aviones pe-
quen˜os lleguen durante un per´ıodo de una hora?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que a lo ma´s lleguen cuatro aviones
pequen˜os durante un per´ıodo de una hora?

c) Si definimos una jornada de trabajo de doce horas, ¿cu´al es la
probabilidad de que al menos 75 aviones pequen˜os llegan en un
d´ıa?

20. El nu´mero de clientes que llegan por hora en una unidad de urgencias
m´edica se supone que siguen una distribuci´on de Poisson con una
media de doce clientes por hora.

a) Calcular la probabilidad de que ma´s de veinte pacientes lleguen en
un periodo de dos horas.

b) ¿Cu´al es el nu´mero promedio de llegadas durante un periodo de
diez minutos?

Cap´ıtulo 2

MODELOS ALEATORIOS
CONTINUOS

2.1. MODELO UNIFORME

X se distribuye uniformemente en el intervalo [a, b], con a < b, si y
solamente si su funcio´n de densidad de probabilidad, fdp, es:

 1 , si a ≤ x ≤ b


fX(x) := b − a

0, otro caso

54

2.1. MODELO UNIFORME 55

La Funci´on de Distribuci´on, FD, de X es:



0, si x < a
si a ≤ x < b
 x − a si x ≥ b


fX(x) :=  b − a ,

1,

Esperanza matem´atica
a+b

E[X] = 2

Varianza (b − a)2
V ar(X) =

12

Funci´on generadora de Momentos

 erb − era
MX(r) := E(erX) =  r(b − a) , para r = 0

1, para r = 0

56 CAP´ITULO 2. MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS

Ejercicios

1. Sea X una variable uniforme en el intervalo [0, 10]. Calcular
P X+ 1 ≥7
X

2. Sea X una variable uniforme en el intervalo [−1, 7]. Calcular
P X+ 3 ≥4
X

3. Se construye una caja de alto 10 pulgadas y de base cuadrada de lado
X, siendo X ∼ U (2, 8). Determinar el volumen esperado de la caja.

4. Se seleccionan dos nu´meros, en forma aleatoria, del intervalo (0, 1). De-

terminar la probabilidad que los dos numeros seleccionados difieran en

ma´s de 1 .
2

5. Un emisor de electrones produce haces de electrones con variacio´n alea-
toria de energ´ıa cin´etica que se distribuye de manera uniforme entre tres
y siete julios. Suponga que es posible ajustar el l´ımite superior de la
energ´ıa cin´etica (fijado actualmente a siete julios).

a) Cua´l es la energ´ıa cin´etica media?

b) Cua´l es la variaci´on de la energ´ıa cin´etica?

c) Cua´l es la probabilidad de que un haz de electrones tenga energ´ıa
cin´etica de exactamente 3.2 julios?

d) Cua´l deber´ıa ser el l´ımite superior de modo que la energ´ıa cin´etica
media se aumente a ocho julios?

e) Cua´l deber´ıa ser el l´ımite superior de manera que la varianza de la
energ´ıa cin´etica disminuya a 0.75 julios?

6. Si X ∼ U [0, 3], entonces cu´al es la probabilidad que la ecuaci´on cuadra´-
tica:
4t2 + 4tX + X + 2 = 0

tenga soluciones complejas?

2.1. MODELO UNIFORME 57

7. Si X ∼ U [−5, 5], entonces cu´al es la probabilidad que la ecuacio´n cua-
dr´atica:
100t2 + 20tX + 2X + 3 = 0

tenga soluciones reales?

8. Suponga que un cuerpo de masa constante 150 kilogramos se mueve con
velocidad aleatoria V ∼ U [16, 24], m/s. Determine la energia cin´etica
esperada del cuerpo.

9. La variable aleatoria X tiene funci´on de densidad de probabilidad

e−x −∞ < x < ∞
fX (x) = (1 + e−x)2 ,

1
Determine la fdp de la variable aleatoria Y := 1 + e−X

10. Dos nu´meros se seleccionan aleatoria e independientemente del intervalo
(0, 1). Cua´l es la probabilidad que los dos nu´meros difieran en ma´s de
0.5?

11. Dos nu´meros se seleccionan aleatoria e independientemente del intervalo
(0, 2). Cu´al es la probabilidad que la suma de los dos nu´meros no exceda
3?

12. Dos nu´meros se seleccionan aleatoria e independientemente del interva-
lo (0, 2). Cu´al es la probabilidad que la suma de los cuadrados de los
nu´meros sea mayor que 1?

13. Suponga que X ∼ U (0, 1). Determine la fdp de la variable aleatoria
Y := − ln(X)

14. Suponga que X ∼ U [0, a]. Cua´l es la probabilidad que la variable alea-
toria sea mayor que su cuadrado?

15. Suponga que X ∼ U [1, a], con a > 1. Si E(X) = 6Var(X), entonces
determine el valor de x tal que P(X < x) = 0.95

16. Se selecciona aleatoriamente un punto de un segmento rectil´ıneo de lon-
gitud L, dividiendo en dos segmentos de diferente longitud. Cua´l es la
probabilidad que el segmento m´as largo es al menos dos veces tan largo
como el segmento ma´s corto?

58 CAP´ITULO 2. MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS

17. Una sen˜al senoidal con a´ngulo de fase Θ, uniformemente distribuido en
en el intervalo (0, 2π], es enviada a trav´es de un canal de comunicacio´n.
Determinar la probabilidad de que el ´angulo de fase se encuentre entre
π 3π
y.
44

18. La manecilla minutero de un reloj se ha detenido repentinamente, deter-
mine la probabilidad de que se encuentre entre el numeral 5 y el numeral
30 del reloj.

19. El volumen de precipitaciones para el archipielago de San Andr´es, para
el mes de Noviembre, se estima que ser´a entre 400 y 600 litros por metro
cuadrado. Determine la precipitaci´on media esperada.

20. Un ingeniero estima inicialmente que el tiempo (en minutos), de im-
presio´n 3D de una pieza se distribuye uniforme entre 10 y 20 minutos.
Calcular la probabilidad de que una pieza, del mismo tipo, sea impresa
en menos de 14.5 minutos.

2.2. MODELO EXPONENCIAL

La distribucio´n exponencial se usa principalmente para modelar la con-
fiabilidad de un producto. Este modelo tiene una estrecha relacio´n con el
modelo discreto de Poisson, en cuanto que representa el tiempo de ocurren-
cia entre dos eventos consecutivos de Poisson. Tambi´en es una distribucio´n
importante para construir cadenas de Markov en tiempo continuo.

Definici´on 2.2.1. La variable aleatoria X se distribuye en forma exponen-
cial, X ∼ exp(λ), si y solamente su fdp es

λe−λ, x ≥ 0
fX(x) := 0,
x<0

Ejercicios

1. Comu´nmente, los sistemas de enfriamiento de automo´viles son controla-
dos por ventiladores accionados el´ectricamente. Asumiendo que la vida
u´til T , en horas, de una marca particular de ventilador se puede modelar
mediante una distribucio´n exponencial con β = 0.0003.

2.2. MODELO EXPONENCIAL 59

a) Encuentre la proporcio´n de ventiladores que proporcionara´n al menos
10000 horas de servicio.

b) Si el ventilador se redisen˜a para que su vida u´til se pueda modelar me-
diante una distribuci´on exponencial con β = 0.00035, ¿esperar´ıa que
ma´s ventiladores o menos brinden al menos 10000 horas de servicio?

2. El tiempo, en d´ıas, para reparar el motor de un veh´ıculo de inyeccio´n,
es una variable aleatoria exponencialmente distribuida con una media de
10 d´ıas.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el tiempo que le toma reparar un
motor exceda los quince dias?

b) Si en la reparacio´n de un motor ya se llevan ocho d´ıas, ¿cua´l es la
probabilidad de que le reparaci´on completa se logre en no m´as de
quince d´ıas?

c) ¿Cu´al es la probabilidad de que una reparacio´n de motor tome m´as
del 20 % del tiempo medio de reparaci´on?

3. Suponga que la vida u´til de un determinado componente electro´nico, en
horas, se distribuye exponencialmente con par´ametro β = 0.001.

a) Encuentre la probabilidad de que el componente dure al menos 2000
horas.

b) Encuentre la mediana, el primer y tercer cuartil, y el rango intercuar-
t´ılico de la vida u´til del componente.

4. La vida u´til de una bater´ıa de automo´vil se describe mediante una v.a.
1

X con distribuci´on exponencial de para´metro β = .
3

a) Determine la vida u´til esperada de la bater´ıa y la variaci´on en torno
a esta media (es decir su desviacio´n esta´ndar).

b) Calcule la probabilidad de que la vida u´til sea entre 2 y 4 unidades
de tiempo.

c) Si la bater´ıa ha durado tres unidades de tiempo, ¿cu´al es la probabi-
lidad de que dure al menos una unidad de tiempo adicional?

5. Suponga que el tiempo entre solicitudes a un servidor web, en segundos,
se distribuye exponencialmente con para´metro 2.

60 CAP´ITULO 2. MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS

a) Hallar la media y la desviaci´on esta´ndar del tiempo entre solicitudes.
b) Halar la probabilidad de que el tiempo entre solicitudes sea inferior

a medio segundo.
c) Halle la mediana, el primer y tercer cuartil, y el rango intercuarto´lico

del tiempo entre solicitudes.

6. Los intervalos de tiempo entre barcazas sucesivas que pasan un cierto
punto en una v´ıa fluvial ocupada tienen una distribucio´n exponencial
con una media de 8 minutos.

a) Encuentre la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre dos
barcazas sucesivas sea inferior a 5 minutos.

b) Encuentre un intervalo de tiempo t tal que podamos estar 95 % se-
guros de que el intervalo de tiempo entre dos las barcazas sucesivas
sera´n mayores que t.

7. El tiempo de vida u´til de cierto tipo de fusible tiene una distribuci´on
exponencial con media de dos an˜os.

a) Cua´l es el valor del para´metro del modelo?
b) Cua´l es el tiempo mediano de vida u´til de dicho tipo de fusible?
c) Cu´al es la desviacio´n esta´ndar de esta variable aleatoria?
d) Cua´l es el valor del percentil 60 % de esta variable aleatoria?, es decir

cua´l es el valor de t0.60?
e) Determine la probabilidad de que un fusible de este tipo dure ma´s de

cinco an˜os.
f) Si un fusible tiene un an˜o de funcionamiento y au´n sigue funcionando,

cua´l es la probabilidad de que dure dos an˜os ma´s?

8. Una investigadora de catalizadores afirma que los di´ametros, en micro-
nes, de los poros de un nuevo producto que ella ha fabricado sigue una
distribucio´n exponencial con para´metro β = 0.25

a) Cua´l es la media de los dia´metros de los poros?
b) Cua´l es la desviaci´on esta´ndar de los di´ametros de los poros?
c) Qu´e proporcio´n de los poros tiene un di´ametro inferior a tres micro-

nes?

2.2. MODELO EXPONENCIAL 61

d) Qu´e proporci´on de los poros tiene un di´ametro superior a once mi-
crones?

e) Cu´al es el di´ametro mediano de los poros?

f) Cu´al es el valor del tercer cuart´ıl de los di´ametros de los poros?

g) Cua´l es el valor del 99 % percentil de los di´ametros de los poros?

9. Una masa radiactiva emite part´ıculas de acuerdo con un proceso de Pois-
son a una raz´on media de dos part´ıculas por segundo. Sea T la variable
aleatoria tiempo de espera, en segundos, entre emisiones.

a) Desde el insta´nte en que la masa emite una part´ıcula, cu´anto tiempo
en promedio hay que esperar para que sea emitida otra part´ıcula?

b) Cua´nto es el tiempo mediano de espera para la emisio´n de una part´ı-
cula?

c) Determine la probabilidad de que haya que esperar por lo menos dos
segundos a la emisio´n de una part´ıcula.

d) Determine la probabilidad de que haya que esperar por mucho un
segundo a la emisio´n de una part´ıcula.

e) Determine la probabilidad de que haya que esperar por lo menos
0.3 segundos, pero no ma´s de 1.5 segundos para la emisio´n de una
part´ıcula.

f) Si han transcurrido tres segundos sin que haya ninguna emisi´on, cua´l
es la probabilidad de que haya una emisi´on dentro del siguiente se-
gundo?

10. En la oficina central de PQR (Peticiones, Quejas y Reclamos) de una
EPS, se reciben en promedio seis P QR por hora. Si se supone que el
flujo de P QR que ingresan es una variable aleatoria que se distribuye
Poisson, obtenga la distribucio´n de probabilidad de la variable aleatoria
T que denota el tiempo transcurrido entre dos P QR consecutivas que
entran (T > 0).

11. En la oficina central de PQR (Peticiones, Quejas y Reclamos) de una
EPS, se reciben en promedio seis P QR por hora; se supone que el flujo
de P QR que ingresan es una variable aleatoria que se distribuye Poisson.
Determine la probabilidad de que transcurran ma´s de diez minutos pero
menos de media hora entre dos P QR consecutivas que llegan.

62 CAP´ITULO 2. MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS

12. Sean X1, X2, . . . , Xn, n variables aleatorias estad´ısticamente indepen-
dientes tales que Xk ∼ exp(βk), para k = 1 . . . n. Sea X la variable
aleatoria X := min{X1, X2, . . . , Xn}. Hallar la funcio´n de sobrevivencia
o confiabilidad de la variable aleatoria X.

13. Suponga que en un puesto de revistas y peri´odicos, los clientes indepen-
dientes que compran un perio´dico o una revista lo hacen con un promedio
de 1.6 clientes por minuto. Calcule la probabilidad de que se registre un
tiempo de menos de 2 minutos antes de que llegue el pro´ximo cliente.

14. En cierta gran superficie, los camiones de los proveedores independientes
llegan a descargar su mercancia con un r´ıtmo promedio de 4.4 camiones
por hora. Si consideramos las llegadas de camiones como sucesos Poisson,
determine la probabilidad de que el pro´ximo camio´n llegue antes de 10
minutos, dado que:

a) acaba de llegar un camio´n.
b) el u´ltimo camio´n llego´ hace siete minutos.

15. Si X es una variable aleatoria tipo exponencial con par´ametro β. Sea
0 < p < 1 un nu´mero real fijo, calcule el valor de la probabilidad

−ln(1 − p)
P X<

β

16. El tiempo de vida, en an˜os, de un reci´en nacido es una variable aleatoria
tipo exponencial con un promedio de 72 an˜os. Calcular:

a) la probabilidad de que un reci´en nacido sobreviva a los 21 an˜os pero
fallezca antes de alcanzar los 25 an˜os.

b) la probabilidad de que un reci´en nacido que alcanzo´ a beneficiarse
de la pensi´on de vejez, a partir de los 62 an˜os reciba sus mesadas
pensionales hasta la edad promedio del modelo.

c) la probabilidad de que un reci´en nacido sobreviva a la edad mediana
del modelo.

d) la probabilidad de que un reci´en nacido no sobreviva al tercer cuartil
del modelo

2.2. MODELO EXPONENCIAL 63

17. En ciertos estudios de medicamentos contra el c´ancer se encontr´o que si
los ratones son inyectados con c´elulas cancer´ıgenas, el tiempo de sobre-
vivencia se puede modelar mediante una distribuci´on exponencial. Sin
tratamiento contra el ca´ncer, se encontro´ que el tiempo de sobreviven-
cia esperado fue de 10 horas. Hallar la probabilidad de que un rato´n,
seleccionado al azar:

a) sobreviva al menos 8 horas

b) sobreviva a lo ma´s 12 horas

c) sobreviva entre 8 y 12 horas

d) su tiempo de sobrevivencia exceda el tiempo promedio de sobreviven-
cia por ma´s de dos desviaciones esta´ndar.

18. El tiempo de vida u´til de un ventilador de dos velocidades es una variable
aleatoria exponencial con un promedio de vida u´til de 1000 horas. El
costo de hacer uno de estos ventiladores es de $35000 y el precio de
venta por unidad, por parte del productor, es de $80000. El productor
de este tipo de ventiladores da una garantia de devolucio´n completa del
precio de compra si ´este deja de funcionar antes de las 1200 horas.
En un lote de 100 ventiladores vendidos, hallar:

a) La probabilidad de que hayan 5 o m´as ventiladores que demanden
garant´ıa.

b) La ganancia esperada del productor.

c) La ganancia esperada del productor, si modifica la garant´ıa para cu-
brir a los ventiladores que dejen de funcionar antes de las 1100 horas.

19. La posicio´n X del primer defecto en una cadena diferencial, en cm, tiene
una distribuci´on exponencial con media de 100.

a) Determine el valor del para´metro velocidad del modelo.

b) Determine la probabilidad de que el primer defecto se encuentre antes
de dos metros, si se sabe que el primer defecto de la cadena diferencial
se encuentra despu´es de un metro y medio.

c) Determine la mediana de la posici´on del primer defecto en la cadena
diferencial.

64 CAP´ITULO 2. MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS

20. Suponga que la vida u´til X de un fusible (en unidades de cien horas) se
distribuye exponencialmente con P (X > 10) = 0.80.

a) Determine el valor del para´metro velocidad del modelo.
b) Determine la mediana del tiempo de vida u´til de un fusible de este

tipo.
c) Determine la probabilidad de que un fusible siga funcionando des-

puues de dos mil horas, si se sabe que a los ochocientas horas estaba
funcionando.

2.3. MODELO GAMMA

Definici´on 2.3.1 (Funci´on Gamma). La funci´on Γ(α) es definida por

∞

Γ(α) := tα−1e−tdt; para α > 0

0

La funci´on gamma satisface una gran cantidad de propiedades intere-
santes, para nuestros fines bastara´ las dos siguientes:

a) Γ(α + 1) = αΓ(α)

b) Γ(1) = 1

c) Γ( 1 ) = √
2 π

√
π
d) Γ( 3 ) = 2
2

e) Γ(n + 1) = n!, para n = 0, 1, 2, . . .

Definici´on 2.3.2. X se distribuye gamma, con para´metros positivos α y β
si y solamente si su funcio´n de densidad de probabilidad, fdp, es:

 xα−1βαe−βx si x > 0
, otro caso
fX(x) := Γ(α)

0,

Algunas gr´aficas de la distribucio´n gamma se muestran a continuacio´n:

2.3. MODELO GAMMA 65

Esperanza matem´atica α
E[X] = β

Varianza α
V ar(X) =

β2

Funci´on generadora de Momentos

MX (r) := E(erX ) = βα
β − r , para 0 ≤ r < β

n1
Definici´on 2.3.3. En el modelo Gamma, cuando α = y β = , con

22
n ∈ N entonces la fdp de la variable aleatoria X esta´ definida por

xn −1 1 n
2 2
2 e− x
2
f (x) = n , para x > 0
Γ( 2 )

En este caso el modelo se llama Ji-cuadrado y el nu´mero entero n corres-
ponde a los grados de libertad del modelo. Escribiremos

X ∼ χ2(n)

Proposici´on 2.3.1. dfdf

66 CAP´ITULO 2. MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS

Ejercicios

1. Suponga que