การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

gเลม่

โรงเรียนสาหร่ายวิทยาคม
อาเภอชุมพวง จังหวัดนครราชสีมา
สงั กัดองคก์ ารบรหิ ารสว่ นจงั หวดั นครราชสีมา
กรมส่งเสรมิ การปกครองท้องถ่ิน กระทรวงมหาดไทย

โรงเรียนสาหรา่ ยวทิ ยาคม
อาเภอชมุ พวง จังหวดั นครราชสีมา
สงั กดั องค์การบริหารสว่ นจงั หวัดนครราชสมี า
กรมส่งเสรมิ การปกครองทอ้ งถ่ิน กระทรวงมหาดไทย

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

คานา

การจัดการศกึ ษาให้คานึงถึงความแตกต่างระหว่างบคุ คล การฝกึ ทกั ษะกระบวน
การคิด จัดกิจกรรมให้ผเู้ รียนได้คิดเปน็ ทาเป็นแก้ปัญหาเป็น การจัดทาแบบฝกึ ทักษะ
คณิตศาสตรเ์ พื่อใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เปน็ การมงุ่ เน้นใหผ้ เู้ รียนมีความรู้
มีทักษกระบวนการทางคณิตศาสตร์ สามารถแก้โจทย์ปญั หาได้อย่างถกู ต้อง และยังสามารถ
นามาใช้แก้ปัญหาผลสัมฤทธิท์ างการเรยี นของนกั เรียน ซึ่งส่งผลดตี ่อการจัดการเรียนการสอน
สาหรับแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้การจัดกิจกรรม
การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิค STAD ประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เติม รหสั
วิชา ค22102 สาหรบั นกั เรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 นี้ มที ั้งหมด 4 เล่ม ได้แก่

เล่มที่ 1 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง
เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
เล่มที่ 3 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองทีเ่ ป็น
กาลังสองสมบูรณ์
เล่มที่ 4 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองทีเ่ ป็นผลต่างกาลงั สอง
สาหรับแบบฝกึ ทักษะ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
ประกอบด้วย คาชีแ้ จงเกี่ยวกับแบบฝกึ ทกั ษะ คาแนะนาการใช้แบบฝกึ ทักษะสาหรบั นักเรียน
แผนผังการจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือโดยใช้เทคนิค STAD ข้ันตอนการเรียนโดยใช้แบบฝกึ ทักษะ
สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ / ตวั ชวี้ ดั / จดุ ประสงค์การเรียนรู้แบบทดสอบย่อยก่อนเรยี น
เนือ้ หา แบบฝกึ ทักษะ และแบบทดสอบย่อยหลงั เรียน ใช้เวลา 4 ช่ัวโมง
ผจู้ ัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝกึ ทกั ษะเล่มน้ี จะเปน็ ประโยชน์กบั ครูผสู้ อนวิชา
คณิตศาสตรแ์ ละช่วยใหน้ ักเรียนเกิดการเรยี นรู้ เปน็ การส่งเสริมทักษะกระบวนการแก้ปัญหา
รู้จักวิธีการแก้ปัญหาร่วมกัน เพือ่ พัฒนาผลสัมฤทธิท์ างการเรยี น และการทางานร่วมกันที่
เสริมสรา้ งคณุ ธรรม และจริยธรรมช่วยเหลือเอือ้ เฟื้อในการทางานเปน็ ผู้นา ผตู้ ามที่ดี เพื่อให้
นักเรียนสามารถนาความรู้และทกั ษะทีไ่ ด้รบั ไปประยุกต์ใชใ้ นชีวติ ประจาวนั เพือ่ ยกระดับ
คุณภาพการศกึ ษาให้มปี ระสิทธิภาพ รวมท้ังเปน็ พืน้ ฐานในการศกึ ษาต่อไป

กฤตพร พงษ์เสดา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว ข

สารบัญ

เรือ่ ง หน้า

คานา ................................................................................................................... ก
สารบัญ................................................................................................................ ข
คาชีแ้ จงเกี่ยวกบั แบบฝกึ ทกั ษะ.............................................................................. 1
คาแนะนาการใช้แบบฝกึ ทักษะสาหรับนักเรียน ...................................................... 2
ขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝกึ ทักษะ.................................................................... 3
ขั้นตอนการจัดการเรยี นรแู้ บบร่วมมือโดยใช้เทคนิค STAD..................................... 4
สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ / ตวั ชวี้ ดั / จุดประสงค์การเรียนรู้........................... 5
แบบทดสอบย่อยก่อนเรยี น ................................................................................... 7
ใบความรทู้ ี่ 2.1 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว ................. 10
แบบฝกึ ทกั ษะแนวทางชดุ ที่ 2.1 ........................................................................... 17
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.1 ชดุ ที่ 1 .................................................................................. 18
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.1 ชุดที่ 2 ................................................................................. 19
แบบฝกึ ทกั ษะแนวทางที่ 2.2 ............................................................................... 20
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.2 ชดุ ที่ 1 .................................................................................. 24
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.2 ชุดที่ 2 ................................................................................. 26
แบบฝกึ ทกั ษะแนวทางที่ 2.3 ................................................................................ 28
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.3 ชดุ ที่ 1 .................................................................................. 29
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.3 ชดุ ที่ 2 ................................................................................. 31
ใบความรทู้ ี่ 2.2 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว กรณีที่ 2 .. 33
แบบฝกึ ทกั ษะแนวทางที่ 2.4 ................................................................................ 38
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.4 ชุดที่ 1 .................................................................................. 42
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.4 ชุดที่ 2 ................................................................................ 45

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว ค

สารบญั (ตอ่ )

เรือ่ ง หน้า

แบบทดสอบย่อยหลงั เรียน .................................................................................. 48
บรรณานุกรม ....................................................................................................... 51
ภาคผนวก ............................................................................................................ 52
เกณฑก์ ารให้คะแนน............................................................................................. 53
แบบบันทึกคะแนน ................................................................................................ 54
เฉลยแบบทดสอบย่อยก่อนเรียนและหลงั เรียน ...................................................... 56
เฉลยแบบฝกึ ทักษะแนวทางชุดที่ 2.1 ................................................................... 58
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.1 ชดุ ที่ 1 .......................................................................... 59
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.1 ชดุ ที่ 2 ........................................................................ 60
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะแนวทางที่ 2.2 ....................................................................... 61
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.2 ชุดที่ 1 .......................................................................... 65
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 2.2 ชุดที่ 2 ......................................................................... 67
เฉลยแบบฝกึ ทักษะแนวทางที่ 2.3 ........................................................................ 69
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 2.3 ชุดที่ 1 .......................................................................... 70
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.3 ชุดที่ 2 ......................................................................... 72
เฉลยแบบฝกึ ทักษะแนวทางที่ 2.4 ........................................................................ 74
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.4 ชุดที่ 1 .......................................................................... 78
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 2.4 ชุดที่ 2 ........................................................................ 81

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 1

คาชีแ้ จงเกีย่ วกับแบบฝึกทกั ษะ

1. เอกสารเลม่ นีเ้ ป็นแบบฝึกทกั ษะ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ดกี รีสองตวั แปรเดยี ว ประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิค STAD เพือ่ ใช้
เปน็ สือ่ ในการจดั กิจกรรมการเรียนการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รหัสวิชา ค22102
ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2

2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แต่ละเลม่ ประกอบดว้ ย
2.1 คาชีแ้ จงเกี่ยวกบั แบบฝึกทกั ษะ
2.2 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะสาหรบั นักเรียน
2.3 ข้ันตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
2.4 ขั้นตอนการจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือโดยใช้เทคนคิ STAD
2.5 สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ / ตัวช้ีวดั / จุดประสงค์การเรียนรู้
2.6 แบบทดสอบยอ่ ยก่อนเรียน
2.7 เนื้อหา
2.8 แบบฝึกทักษะ
2.9 แบบทดสอบยอ่ ยหลงั เรียน
2.10 บรรณานกุ รม
2.11 ภาคผนวก
2.11.1 เฉลยแบบทดสอบยอ่ ยก่อนเรียนและหลงั เรียน
2.11.2 เฉลยแบบฝึกทกั ษะ
2.11.3 แบบบันทึกคะแนนสาหรับนักเรียน

3. แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ นใี้ ช้เวลา 4 ชวั่ โมง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 2

คาแนะนาการใช้แบบฝึกทกั ษะสาหรบั นักเรียน

ในการศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รหัสวิชา ค22102
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง สาหรบั นักเรียนชั้นมัธยม
ศึกษาปีที่ 2 นักเรยี นควรปฏิบตั ติ ามคาแนะนาดังนี้

1. นักเรยี นอ่านคาชีแ้ จงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะ และนาคาแนะนาในการใช้แบบฝึก
ทกั ษะสาหรบั นกั เรียนให้เข้าใจและปฏิบัติกิจกรรมตามลาดบั ขนั้ ตอน

2. นักเรยี นศึกษาสาระมาตรฐานการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้
และประเมินผลตามที่ครชู ีแ้ จง

3. นักเรยี นทาแบบทดสอบก่อนเรียนดว้ ยตนเอง มีความซอื่ สตั ย์ เพื่อประเมินความรู้
พนื้ ฐานของนักเรยี น แล้วเปล่ียนกันตรวจ โดยครเู ป็นผู้เฉลยคาตอบ บันทึกคะแนนในแบบ
บนั ทึกคะแนนประจาเลม่ ของแบบฝึกทกั ษะ

4. นกั เรยี นจัดกลมุ่ ตามรายชื่อทีค่ รแู จ้ง โดยแต่ละกลมุ่ คละความสามารถ 4 – 5 คน
คละความสามารถ หมายถึง ภายในกลุ่มเดียวกนั ประกอบดว้ ย นกั เรยี นทีม่ ีระดับผลการเรียน
ดี ปานกลาง และอ่อน โดยใช้ระดบั ผลการเรียนภาคเรียนที่ 1 ภาคเรียนที่ผ่านมา วิชา
คณิตศาสตร์ตามเกณฑ์ที่กาหนด

5. นกั เรยี นร่วมกนั ศึกษาเนือ้ หาในใบความรแู้ ละทาแบบฝึกทกั ษะ ดังนี้
5.1 สมาชิกของกลุ่มสามารถเรยี นรู้บทเรียนร่วมกัน และขอความชว่ ยเหลอื จาก

เพื่อนในกลุ่มกอ่ นทีจ่ ะถามครู
5.2 นักเรยี นทุกคนต้องรว่ มกันรับผิดชอบในการทางานและช่วยเหลอื กนั หากมี

คนที่ไม่เข้าใจสมาชกิ ในกลมุ่ ต้องชว่ ยกนั อธิบายเพือ่ ให้สมาชกิ ทุกคนเข้าใจเนือ้ หา และทาแบบ
ฝึกทักษะแล้วตรวจสอบคาตอบภายในกลุ่มโดดยดูเฉลยจากที่ครเู ตรียมไว้ บนั ทึกคะแนนใน
แบบบันทึกคะแนนทกุ ครั้ง

5.3 นักเรยี นอภิปราย สรปุ ผลการเรียนรู้ร่วมกันในกลุ่ม หากมีขอ้ สงสยั หรือ
ข้อสรปุ ไม่ตรงกันสามารถขอคาปรึกษาจากครเู พือ่ ให้คาช้แี นะ

6. นักเรยี นทาแบบทดสอบหลังเรียน เพือ่ ประเมินความก้าวหน้าของนักเรียน แล้ว
เปล่ยี นกันตรวจ ครูเป็นผู้เฉลยคาตอบ บันทึกคะแนนในแบบบนั ทึกคะแนน

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 3

ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

1. อา่ นคาชีแ้ จงสาหรับนักเรยี น

2. ศึกษามาตรฐาน/ผลการเรยี นร/ู้ จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

3. ทาแบบทดสอบยอ่ ยกอ่ นเรยี น

4. ศึกษาสาระสาคัญและเนอ้ื หา ไม่ผา่ น

5. ทาแบบฝึกทกั ษะ ทาแบบฝึก
ทกั ษะไมผ่ า่ น
6. ทาแบบทดสอบยอ่ ยหลังเรียน
เกณฑ์
7. ทาแบบทดสอบผา่ นเกณฑ์ ให้ศึกษาเนอ้ื หา ทาแบบฝึก
และทาแบบฝึกทักษะเลม่ ตอ่ ไป ทกั ษะผา่ น

เกณฑ์
ประเมินผล

ผ่านเกณฑ์

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 4

ขนั้ ตอนการจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือโดยใช้เทคนคิ STAD

1. ข้ันเตรยี ม
• การจดั เตรียมเนอื้ หาสาระ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบ
• การจัดทีมคละความสามารถ ทีมละ 4 - 5 คน

2. การนาเสนอขอ้ มลู
• ผู้สอนแนะนาวิธกี ารเรียนรู้
• ผู้สอนทบทวนบทเรียนทีเ่ รียนมาแลว้
• นาเสนอเนือ้ หาสาระหรือความคิดรวบยอดใหม่

3. ขัน้ การเรยี นรแู้ ละฝกึ ทกั ษะ
• ผู้เรยี นร่วมมือกันเรียนรู้เน้อื หาและทางานช่วยเหลอื เพื่อนในทีม
• ผู้เรยี นฝึกปฏิบตั ใิ นเนอื้ หาและแบบฝึกทกั ษะได้จากทีเ่ รยี นรู้

4. ข้ันทดสอบ
• ทดสอบยอ่ ยรายบคุ คล
• จัดทาคะแนนการพฒั นาของสมาชิกแตล่ ะคน

5. ข้นั สรุปการรับรองผลงานและเผยแพร่ชอ่ื เสียงของทีม
• นาคะแนนการพัฒนาของทีมไปเทียบเกณฑ์ เพื่อหาระดบั คุณภาพ
• ให้รางวลั ยกย่อง ชมเชย

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 5

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วดั จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้
สาระที่ 1 จานวนและพีชคณิต
มาตรฐานการเรยี นรู้ ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพนั ธ์

ฟงั ก์ชนั ลาดบั และอนกุ รม และนาไปใช้
ตัวชี้วัด ม.2/2 เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในการ

แก้ปญั หาคณิตศาสตร์

จุดประสงค์การเรยี นรู้
ดา้ นความรู้ นักเรยี นสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
ทีม่ ีสัมประสิทธิ์ของแตล่ ะพจน์เป็นจานวนเตม็ และมีสมั ประสิทธิ์ของแตล่ ะ
พจน์ ในพหุนามตวั ประกอบเปน็ จานวนเต็ม ดังนี้
1. สามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามในรูป x2 + bx + c
ได้อยา่ งถกู ต้อง
2. สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรปู ax2 + bx + c
เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวและ a ≠ 0 ได้
ดา้ นทักษะกระบวนการ : นกั เรยี นมีความสามารถ
1. การแก้ปัญหา
2. วางแผนในการแก้ปญั หา
3. ดาเนนิ การตามแผนที่วางไว้
4. ตรวจสอบและสรปุ ผล
5. บนั ทึกข้อมลู
ดา้ นคุณลักษณะ : นกั เรยี นมีคณุ ลักษณะดังนี้
1. มีความสนใจ ใฝร่ ู้ ใฝเ่ รียน
2. มีความซื่อสตั ย์ในการบันทึกข้อมลู
3. มีเหตมุ ีผลในการตอบคาถาม
4. มีความรบั ผิดชอบทางานตามทีไ่ ดร้ บั มอบหมาย
5. มีความสามารถทางานร่วมกับผู้อื่นอย่างสร้างสรรค์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 6

สาระการเรียนรู้

พหนุ ามทีม่ รี ปู ทวั่ เป็น ax2 + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงตัว และ a ≠ 0
กรณีที่ a = 1 เราสามารถแยกตัวประกอบของ x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
กรณีที่ a ≠ 1 เราสามารถแยกตวั ประกอบของ ax2 + bx + c = (px + m)(qx + n)
โดยการหาค่า pq = a, m + n = b และ mn = c

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 7

แบบทดสอบยอ่ ยก่อนเรียน
เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดียว

จดุ ประสงค์ เพื่อประเมินความรพู้ นื้ ฐานของนกั เรียนในเรือ่ งการแยกตัวประกอบ
คาชีแ้ จง โดยใช้สมบตั ิการแจกแจง
1. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนยั ชนิด 4 ตัวเลอื ก จานวน 10 ข้อ
ให้นักเรยี นเลอื กคาตอบทีถ่ ูกต้องที่สดุ เพียงข้อเดยี ว แล้วทา
เคร่อื งหมายกากบาท ( × ) ในกระดาษคาตอบทีค่ รูแจกให้
2. กาหนดเวลาในการทาแบบทดสอบ 15 นาที

1. ข้อใดเปน็ การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 + 8x + 7
ก. (x + 1)(x + 7)
ข. (x + 1)(x - 7)
ค. (x - 1)(x - 7)
ง. (x - 1)(x + 7)

2. ข้อใดเปน็ การแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 - 8x + 15
ก. (x + 3)(x + 5)
ข. (x - 3)(x + 5)
ค. (x - 3)(x - 5)
ง. (x + 3)(x - 5)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 8

3. ข้อใดเปน็ การแยกตัวประกอบของพหนุ าม x2 – 3xy - 18y2
ก. (x - 6y)(x - 3y)
ข. (x - 6y)(x + 3y)
ค. (x + 6y)(x - 3y)
ง. (x + 6y)(x + 3y)

4. ข้อใดเปน็ การแยกตวั ประกอบของ x2 + (a + b)x + ab
ก. (x + a)(x + b)
ข. (x - a)(x - b)
ค. (x - ab)(x - ab)
ง. (x + ab)(x + ab)

5. ข้อใดเปน็ การแยกตัวประกอบของ x2 - 4x - 5
ก. (x + 5)(x + 1)
ข. (x - 5)(x + 1)
ค. (x - 5)(x - 1)
ง. (x + 5)(x - 1)

6. ข้อใดเปน็ การแยกตวั ประกอบของ 24y2 + 22y - 21
ก. (6y + 7)(6y + 3)
ข. (6y - 7)(4y - 3)
ค. (12y + 7)(2y - 3)
ง. (12y - 7)(2y + 3)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 9

7. เมื่อแยกตัวประกอบของ x2 + 7x + 10 ในรูป (x + m)(x + n) แล้ว (m)(n)
และ (n)(x) + (m)(x) มีค่าเท่าไรตามลาดับ

ก. 10 และ 7x
ข. 7x และ 10
ค. -10 และ -3x

ง. -10 และ 3x

8. ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ 15 + 16x - 15x2
ก. (5 + 3x)(3 + 5x)
ข. (5 + 3x)(3 - 5x)
ค. (5 - 3x)(3 + 5x)
ง. (5 - 3x)(3 - 5x)

9. (2x – 6)(x + 5) เปน็ ตวั ประกอบของพหุนามใด
ก. 2x2 + 4x + 30
ข. 2x2 + 4x - 30
ค. 2x2 - 4x - 30
ง. 2x2 - 4x + 30

10. ข้อใดเปน็ การแยกตวั ประกอบของพหุนามไมถ่ ูกต้อง
ก. 25x2 + 40x + 16 = (5x + 4)(5x + 4)
ข. 5x2 - 23x + 12 = (5x - 3)(x - 4)
ค. 4x2 - 8x - 5 = (2x - 5)(2x + 1)
ง. 16x2 - 2x - 3 = (8x - 3)(2x + 1)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 10

ใบความรู้ที่ 2.1

รายวิชาคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง

รหสั วิชา ค22102 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง

ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 2 ตวั แปรเดียว

1. พหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียว

พหุนามดีกรสี องตวั แปรเดียว คือ พหนุ ามทีเ่ ขียนในรปู ax2 + bx + c
โดยที่ a, b และ c เปน็ ค่าคงตวั และ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองในรปู ax2 + bx + c โดยที่ a, b เป็น
จานวนเต็ม และ c = 0 พหุนามดกี รีสองตัวแปรเดยี วจะอยู่ในรูป ax2 + bx สามารถใช้
สมบตั ิการแจกแจงแยกตวั ประกอบ ดงั ที่ได้เรยี นรู้ผ่านมาแลว้ ได้ดังนี้

ax2 + bx = x(ax + b)

ตวั อย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี้
1. x2 + 5x
2. x2 – 7x
3. 3x2 + 12x
4. -15x2 + 18x
5. –x2 – 2x

วิธีทา 1. x2 + 5x = x(x + 5)

2. x2 – 7x = x(x – 7)

3. 3x2 + 12x = 3x(x + 4)

4. -15x2 + 18x = 3x(-5x + 6) หรือ -3x(5x – 6)

5. –x2 – 2x = x(-x – 2) หรือ -x(x + 2)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 11

การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองในรปู ax2 + bx + c โดยที่ a, b และ c
เป็นค่าคงตวั a ≠ 0 และ x เป็นตวั แปร แยกเป็นสองกรณี กรณีที่ a = 1 และ a ≠ 1

กรณที ี่ 1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองในรปู ax2 + bx + c
เมื่อ a = 1, b และ c เปน็ จานวนเตม็ ที่ c ≠ 0

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในกรณีที่ 1 นี้ โดยอาศยั แนวคิดจากการหา
ผลคณู ของพหุนาม การแยกตัวประกอบให้ยึดหลักต่อไปนี้

ขั้นที่ 1 แยกเปน็ 2 วงเล็บคณู กนั เครอ่ื งหมายในวงเลบ็ ให้พิจารณาดงั นี้
➢ ถ้าเครื่องหมายหนา้ b เป็น + และเครอ่ื งหมายหน้า c เป็น +
แยกไดเ้ ป็น 2 วงเลบ็ ( + )( + )
➢ ถ้าเครื่องหมายหนา้ b เป็น - และเครอ่ื งหมายหน้า c เปน็ +
แยกไดเ้ ป็น 2 วงเล็บ ( - )( - )
➢ ถ้าเครื่องหมายหนา้ b เป็น - และเครอ่ื งหมายหน้า c เปน็ -
แยกไดเ้ ป็น 2 วงเล็บ ( + )( - )
➢ ถ้าเครือ่ งหมายหนา้ b เป็น + และเครอ่ื งหมายหน้า c เป็น -
แยกไดเ้ ปน็ 2 วงเล็บ ( - )( + )

ข้ันที่ 2 ตัวแปร x2 แยกใสว่ งเลบ็ อยา่ งละตัวได้ดงั นี้
➢ (x + )(x + )
➢ (x - )(x - )
➢ (x + )(x - )
➢ (x - )(x + )

ข้ันที่ 3 นาค่า c มาแยกตวั ประกอบ โดยเขยี นอยู่ในรูปผลคูณของเลขสอง
จานวน คือ c = m × n โดยที่ m + n ต้องเท่ากบั b แล้วใส่ m และ n ไว้ในวงเลบ็
จะได้ว่า ax2 + bx + c = (x + m)(x + n)

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ โดยการนาตวั หน้าคูณตวั หน้าจะไดต้ วั หน้า ตัวหลงั
คูณตัวหลงั จะได้ตวั หลงั ตัวใกล้คณู ใกล้ และตวั ไกลคณู ไกล รวมกนั ไดต้ วั กลาง เช่น

(x + m)(x + n) = x2 + mx + nx + mn
= x2 + (m + n)x + mn

เมื่อเทียบรปู ax2 + bx + c จะพบว่า b = m + n และ c = mn

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 12

นนั่ คือ พหุนาม ax2 + bx + c สามารถแยกตวั ประกอบได้เป็น (x + m)(x + n)
เมื่อ b = m + n และ c = mn

ตัวอย่างที่ 2 จงหาจานวนเตม็ สองจานวนทคี่ ูณกันได้ c และบวกกันได้ b
1. b = 12, c = 11
2. b = 10, c = 9
3. b = 8, c = -9
4. b = -29, c = 100
5. b = -33, c = -70

วิธีทา 1. b = 12, c = 11
ตอบ จานวนสองจานวนที่คูณกนั ได้ 11 บวกกันได้ 12 คือ 1 และ 11 1

2. b = 10, c = 9
ตอบ จานวนสองจานวนทีค่ ูณกันได้ 9 บวกกันได้ 10 คอื 9 และ 1 1

3. b = 10, c = 9
ตอบ จานวนสองจานวนที่คูณกันได้ -9 บวกกนั ได้ 8 คอื -1 และ 9 11

4. b = -29, c = 100
ตอบ จานวนสองจานวนทีค่ ณู กันได้ 100 บวกกันได้ -29 คือ -25 และ -4 2

5. b = -33, c = -70
ตอบ จานวนสองจานวนทีค่ ณู กนั ได้ -70 บวกกันได้ -33 คือ 2 และ -35 ะ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 13

ตวั อย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหนุ าม x2 + 15x + 56
วิธีทา จากพหุนาม x2 + 15x + 56 จะได้ค่า a = 1, b = 15, c = 56

ข้ันที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เปน็ + และเครอ่ื งหมายหนา้ c เปน็ +
แยกไดเ้ ป็น 2 วงเล็บ ( + )( + )

ข้ันที่ 2 ตัวแปร x2 แยกใสว่ งเลบ็ อยา่ งละตวั ได้เป็น (x + )(x + )
ขั้นที่ 3 ค่า b = 15, c = 56 นา 56 มาแยกตัวประกอบ ได้เป็น 7 × 8 = 56

และนา 15 เขียนในรปู การบวกได้เป็น 7 + 8 = 15 นา 7 และ 8
ใส่ไว้ดา้ นหลงั วงเลบ็ ไดเ้ ป็น (x + 7 )(x + 8)
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ

ตัวหน้า ตวั หลงั ตัวหน้า ตัวหลัง

(x + 7) (x + 8)

ใกลค้ ณู ใกล้ +7x+
ไกลคูณไกล +8x
รวมกันได้ +15x ตรงกับตวั กลาง

หน้าคูณหน้าได้ x · x = x2

หลงั คณู หลังได้ 7 · 8 = 56

ใกลค้ ูณใกล้ได้ 7 · x = 7x

ไกลคูณไกลได้ 8 · x = 8x

ใกลค้ ณู ใกลร้ วมกับไกลคูณไกล = 7x + 8x = 15x = ตวั กลาง

ดังนั้น x2 + 15x + 56 = (x + 7 )(x + 8)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 14

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 - 10x + 21
วิธีทา จากพหนุ าม x2 - 10x + 21 จะได้ค่า a = 1, b = -10, c = 21

ขั้นที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เป็น - และเคร่อื งหมายหนา้ c เป็น +
แยกไดเ้ ปน็ 2 วงเลบ็ ( - )( - )

ขั้นที่ 2 ตัวแปร x2 แยกใสว่ งเล็บอยา่ งละตวั ได้เป็น (x - )(x - )
ขั้นที่ 3 ค่า b = -10, c = 21 นา -10 มาแยกตัวประกอบได้ (-3) × (-7) = 21

นา -10 เขียนในรปู การบวกได้เปน็ (-3) + (-7 ) = -10 นา -3 และ -7
ใส่ไว้ดา้ นหลงั วงเลบ็ ไดเ้ ปน็ (x - 3 )(x - 7)
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ

ตวั หน้า ตวั หลัง ตวั หน้า ตวั หลงั

(x - 3) (x - 7)

ใกลค้ ณู ใกล้ -3x+
ไกลคูณไกล -7x
รวมกันได้ -10x ตรงกับตัวกลาง

หน้าคูณหน้าได้ x · x = x2

หลงั คูณหลงั ได้ (-3) · (-7) = 21

ใกลค้ ณู ใกลไ้ ด้ (-3) · x = -3x

ไกลคณู ไกลได้ (-7) · x = -7x

ใกลค้ ณู ใกลร้ วมกบั ไกลคูณไกล = (-3x) + (-7x) = -10x = ตวั กลาง

ดงั น้ัน x2 - 10x + 21 = (x - 3 )(x - 7)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 15

ตวั อยา่ งที่ 5 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ าม y2 - 3y - 18
วิธีทา จากพหุนาม y2 - 3y - 18 จะได้ค่า a = 1, b = -3, c = -18

ข้ันที่ 1 เครอ่ื งหมายหนา้ b เปน็ - และเครอ่ื งหมายหนา้ c เปน็ -
แยกไดเ้ ปน็ 2 วงเลบ็ ( + )( - )

ขั้นที่ 2 ตวั แปร x2 แยกใสว่ งเล็บอยา่ งละตัวได้เป็น (y + )(y - )
ข้ันที่ 3 ค่า b = -3, c = -18 นา -18 มาแยกตัวประกอบ ได้ 3 × (-6) = -18

นา -3 เขียนในรปู การบวกได้เป็น 3 + (-6 ) = -3 นา 3 และ -6
ใส่ไว้ดา้ นหลงั วงเลบ็ ไดเ้ ป็น (y + 3 )(y - 6)
ข้ันที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ

ตัวหน้า ตัวหลัง ตวั หน้า ตวั หลัง

(y + 3) (y - 6)

ใกลค้ ูณใกล้ 3y+
ไกลคูณไกล -6y
รวมกนั ได้ -3y ตรงกับตวั กลาง

หน้าคณู หน้าได้ y · y = y2

หลังคณู หลงั ได้ 3 · (-6) = -18

ใกลค้ ูณใกลไ้ ด้ 3 · y = 3y

ไกลคณู ไกลได้ (-6) · y = -6y

ใกลค้ ูณใกลร้ วมกับไกลคูณไกล = 3y + (-6y) = -3y = ตวั กลาง

ดงั นั้น y2 - 3y - 18 = (y + 3 )(y - 6)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 16

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของพหนุ าม x2 + 6x - 72
วิธีทา จากพหุนาม x2 + 6x - 72 จะได้ค่า a = 1, b = 6, c = -72

ขั้นที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เปน็ + และเครอ่ื งหมายหนา้ c เป็น -
แยกไดเ้ ป็น 2 วงเลบ็ ( - )( + )

ข้ันที่ 2 ตวั แปร x2 แยกใสว่ งเลบ็ อยา่ งละตวั ได้เปน็ (x - )(x + )
ข้ันที่ 3 ค่า b = 6, c = -72 นา -72 มาแยกตวั ประกอบ ได้ (-6) × 12 = -72

นา 6 เขียนในรปู การบวกได้เปน็ (-6) + 12 = 6 นา -6 และ 12
ใส่ไว้ดา้ นหลงั วงเลบ็ ไดเ้ ป็น (x - 6 )(x + 12)
ข้ันที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ

ตัวหน้า ตัวหลัง ตัวหน้า ตวั หลัง

(x - 6) (x + 12)

ใกลค้ ูณใกล้ -6x+
ไกลคณู ไกล 12x
รวมกนั ได้ 6x ตรงกับตวั กลาง

หน้าคูณหน้าได้ x · x = x2

หลงั คูณหลงั ได้ (-6) · 12 = 72

ใกลค้ ณู ใกลไ้ ด้ (-3) · x = -6x

ไกลคูณไกลได้ (12) · x = 12x

ใกลค้ ณู ใกลร้ วมกบั ไกลคูณไกล = (-6x) + 12x = 6x = ตวั กลาง

ดังนัน้ x2 + 6x - 72 = (x - 6 )(x + 12)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 17

แบบฝึกทักษะแนวทางที่ 2.1
การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ : สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ าม

ในรปู x2 + bx + c ได้อยา่ งถกู ต้อง

คาชีแ้ จง : จงหาจานวนเต็มสองจานวนที่คณู กันได้ c และบวกกันได้ b

• b = -6, c = 8
1. • ตอบ จานวนสองจานวนทีค่ ณู กนั ได้ 8 บวกกนั ได้ -6 คือ -2 และ -4 ะ

• b = 8, c = 12
2. • ตอบ จานวนสองจานวนทค่ี ูณกันได้ 12 บวกกันได้ 8 คือ 6 และ 2 ะ

• b = 3, c = -10
3. • ตอบ จานวนสองจานวนที่คณู กนั ได้ บวกกนั ได้ คือ และ 2

• b = 5, c = -14
4. • ตอบ จานวนสองจานวนทีค่ ูณกันได้ บวกกนั ได้ คือ และ 2

• b = 17, c = 60
5. • ตอบ จานวนสองจานวนที่คูณกันได้ บวกกนั ได้ คือ และ 2

• b = -8, c = -128
6. • ตอบ จานวนสองจานวนทีค่ ูณกนั ได้ บวกกนั ได้ คือ และ 2

• b = 24, c = 80
7. • ตอบ จานวนสองจานวนทีค่ ูณกนั ได้ บวกกนั ได้ คือ และ 2

• b = 50, c = 400
8. • ตอบ จานวนสองจานวนที่คูณกันได้ บวกกนั ได้ คือ และ 2

• b = -29, c = 100
9. • ตอบ จานวนสองจานวนที่คูณกนั ได้ บวกกันได้ คือ และ 2

• b = 17 c = 60
10. • ตอบ จานวนสองจานวนที่คูณกนั ได้ บวกกันได้ คือ และ 2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 18

แบบฝึกทกั ษะที่ 2.1 ชุดที่ 1
การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ : สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ าม

ในรปู x2 + bx + c ได้อยา่ งถกู ต้อง

คาชีแ้ จง : จงหาจานวนเต็มสองจานวนที่คูณกันได้ c และบวกกนั ได้ b

• b = 0, c = -36
1. • ตอบ ........................................................................................................................ะ

• b = -6, c = 9
2. • ตอบ ........................................................................................................................

• b = 21, c = 54
3. • ตอบ ........................................................................................................................2

• b = -2, c = -195
4. • ตอบ ........................................................................................................................2

• b = -33 c = 112
5. • ตอบ ........................................................................................................................2

• b = 22, c = 121
6. • ตอบ ........................................................................................................................

• b = 16, c = -80
7. • ตอบ ........................................................................................................................2

• b = -11, c = -60
8. • ตอบ ........................................................................................................................2

• b = 2, c = -323
9. • ตอบ ........................................................................................................................2

• b = -33, c = -70
10. • ตอบ ........................................................................................................................2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 19

แบบฝึกทักษะที่ 2.1 ชุดที่ 2
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ : สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ าม

ในรูป x2 + bx + c ได้อยา่ งถูกต้อง

คาชแี้ จง : จงหาจานวนเต็มสองจานวนที่คูณกนั ได้ c และบวกกันได้ b

• b = 2, c = 1
1. • ตอบ ........................................................................................................................

• b = -12, c = 20
2. • ตอบ ........................................................................................................................

• b = 8, c = -9
3. • ตอบ ........................................................................................................................

• b = 26, c = -155
4. • ตอบ .........................................................................................................................

• b = -21 c = 54
5. • ตอบ .........................................................................................................................

• b = 25, c = 156
6. • ตอบ ........................................................................................................................

• b = -7, c = -18
7. • ตอบ .........................................................................................................................

• b = 27, c = 152
8. • ตอบ ..........................................................................................................................

• b = 2, c = -99
9. • ตอบ .........................................................................................................................

• b = -10, c = -171
10. • ตอบ ..........................................................................................................................

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 20

แบบฝึกทกั ษะแนวทางที่ 2.2
การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ : สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม

ในรูป x2 + bx + c ได้อยา่ งถูกต้อง

คาชแี้ จง : จงแยกตัวประกอบของพหุนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้ และเติมช่องว่างให้สมบูรณ์

1. จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 + 6x + 9

วิธีทา จากพหนุ าม x2 + 6x + 9 จะได้ค่า a =…………., b =…………., c =…………...

ข้ันที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เปน็ + และเครอ่ื งหมายหนา้ c เปน็ +

แยกไดเ้ ปน็ 2 วงเลบ็ (…………………)(…………………)

ข้ันที่ 2 ตวั แปร x2 แยกใสว่ งเล็บอยา่ งละตัวได้เป็น (x + )(x + )

ขั้นที่ 3 ค่า b =……..., c =……… นา……มาแยกตัวประกอบ ได้เปน็ ……. ×……. =.…....

และนา ……… เขียนในรูปการบวกไดเ้ ปน็ …………………….= ………นา …… และ.….

ใส่ไว้ดา้ นหลังวงเล็บไดเ้ ปน็ (x +…………… )(x +…………..)

ข้ันที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ

ตัวหน้า ตวั หลัง ตัวหน้า ตัวหลงั

(x +…………) (x +………....)

ใกลค้ ูณใกล้ ……….+
ไกลคูณไกล ……..…
รวมกนั ได้ ….…….. ตรงกับตัวกลาง

หน้าคูณหน้าได้ x · x = ……………..

หลงั คูณหลงั ได้ …………….. = ……………..

ใกลค้ ณู ใกลไ้ ด้ …………….. = ……………..

ไกลคณู ไกลได้ …………….. = ……………..

ใกลค้ ณู ใกลร้ วมกบั ไกลคณู ไกล = …………………………………… = ตัวกลาง

ดงั น้นั x2 + 6x + 9 = (x + ……… )(x + ……….)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 21

2. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 - 5x - 24

วิธีทา จากพหนุ าม x2 - 5x -24 จะได้ค่า a =…………., b =…………., c =…………...

ขั้นที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เป็น - และเคร่อื งหมายหนา้ c เปน็ -

แยกไดเ้ ปน็ 2 วงเลบ็ (…………………)(…………………)

ข้ันที่ 2 ตัวแปร x2 แยกใสว่ งเล็บอยา่ งละตวั ได้เป็น (x ….. )(x …… )

ขั้นที่ 3 ค่า b =……..., c =……… นา……มาแยกตวั ประกอบ ได้เป็น……. ×……. =.…....

และนา ……… เขียนในรูปการบวกไดเ้ ป็น …………………….= ………นา …… และ.….

ใส่ไว้ดา้ นหลงั วงเลบ็ ไดเ้ ปน็ (x +…………… )(x -…………..)

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ

ตวั หน้า ตวั หลัง ตวั หน้า ตวั หลงั

(x ……..…………) (x …….………....)

ใกลค้ ณู ใกล้ ……….+
ไกลคณู ไกล ……..…
รวมกันได้ ….…….. ตรงกบั ตัวกลาง

หน้าคณู หน้าได้ x · x = ……………..

หลงั คูณหลังได้ …………….. = ……………..

ใกลค้ ูณใกลไ้ ด้ …………….. = ……………..

ไกลคูณไกลได้ …………….. = ……………..

ใกลค้ ณู ใกลร้ วมกบั ไกลคณู ไกล = …………………………………………. = ตวั กลาง

ดังนนั้ x2 - 5x - 24 = (x …….……… )(x …….……….)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 22

3. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 - 7x + 12

วิธีทา จากพหนุ าม x2 - 7x - 12 จะได้ค่า a =…………., b =…………., c =…………...

ขั้นที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เป็น - และเครอ่ื งหมายหนา้ c เปน็ +

แยกไดเ้ ป็น 2 วงเล็บ (…………………)(…………………)

ข้ันที่ 2 ตวั แปร x2 แยกใสว่ งเลบ็ อยา่ งละตัวได้เปน็ (x …….)(x …… )

ขั้นที่ 3 ค่า b =……..., c =……… นา……มาแยกตัวประกอบ ได้เปน็ ……. ×……. =.…....

และนา ……… เขียนในรูปการบวกไดเ้ ปน็ ………………….= ………นา …… และ.…...

ใส่ไว้ดา้ นหลังวงเล็บไดเ้ ปน็ (x …..…………… )(x ………………..)

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ

ตวั หน้า ตัวหลัง ตัวหน้า ตวั หลัง

(x ………………) (x …….………....)

ใกลค้ ณู ใกล้ ……….+
ไกลคูณไกล ……..…
รวมกนั ได้ ….…….. ตรงกับตวั กลาง

หน้าคณู หน้าได้ x · x = ……………..

หลังคณู หลงั ได้ …………….. = ……………..

ใกลค้ ณู ใกลไ้ ด้ …………….. = ……………..

ไกลคณู ไกลได้ …………….. = ……………..

ใกลค้ ณู ใกลร้ วมกับไกลคณู ไกล = …………………………………………. = ตัวกลาง

ดงั นน้ั x2 - 7x - 12 = (x ……………… )(x …….……….)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 23

4. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 2x - 48

วิธีทา จากพหนุ าม x2 + 2x - 48 จะได้ค่า a =…………., b =…………., c =…………...

ข้ันที่ 1 เครอ่ื งหมายหนา้ b เป็น + และเคร่อื งหมายหนา้ c เปน็ -

แยกไดเ้ ป็น 2 วงเลบ็ (…………………)(…………………)

ข้ันที่ 2 ตวั แปร x2 แยกใสว่ งเล็บอยา่ งละตัวได้เป็น (x …… )(x …….. )

ข้ันที่ 3 ค่า b =……..., c =……… นา……มาแยกตวั ประกอบ ได้เป็น……. ×……. =.…....

และนา ……… เขียนในรูปการบวกไดเ้ ปน็ ………………….= ………นา …… และ..….

ใส่ไว้ดา้ นหลังวงเลบ็ ไดเ้ ป็น (x ……..…………… )(x ……..…………..)

ข้ันที่ 4 ตรวจสอบค่าต่าง ๆ

ตัวหน้า ตวั หลงั ตวั หน้า ตวั หลงั

(x …….…………) (x ………..……....)

ใกลค้ ูณใกล้ ……….+
ไกลคูณไกล ……..…
รวมกนั ได้ ….…….. ตรงกบั ตวั กลาง

หน้าคูณหน้าได้ x · x = ……………..

หลงั คูณหลงั ได้ …………….. = ……………..

ใกลค้ ณู ใกลไ้ ด้ …………….. = ……………..

ไกลคณู ไกลได้ …………….. = ……………..

ใกลค้ ูณใกลร้ วมกบั ไกลคูณไกล = …………………………………………. = ตัวกลาง

ดังน้ัน x2 + 2x - 48 = (x ……….……… )(x ……………….)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 24

แบบฝึกทักษะที่ 2.2 ชดุ ที่ 1
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ : สามารถแยกตวั ประกอบของพหุนาม

ในรูป x2 + bx + c ได้อยา่ งถกู ต้อง

คาชีแ้ จง : จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1.
x2 + 7x - 60

……………จ…าน…ว…น…ส…อ…ง…จา…น…ว…น…ท…ี่บ…ว…ก…ก…นั ไ…ด…้ ………7……ค…ือ……1…2……แ…ล…ะ…-…5……………
……………จ…าน…ว…น…ส…อ…ง…จา…น…ว…น…ท…ี่ค…ูณ…ก…ัน…ไ…ด…้ …-…6…0……ค…ือ……1…2……แ…ล…ะ…-…5……………
……………ด…งั น…้ัน………x…2…+……7…x……-……60……=……(…x…+……1…2…)(x……-……5…) ………………………

2.
x2 + 16x + 55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

3.
x2 - 11x - 60

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

4. x2 + 20x - 44
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 25

5.
x2 + 12x + 11

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

6.
x2 - 7x - 120

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

7.
x2 - 121

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

8. x2 + 4x - 77
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

9.
x2 - 18x + 80

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

10. x2 - 29x - 30
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 26

แบบฝึกทักษะที่ 2.2 ชดุ ที่ 2
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ : สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ าม

ในรูป x2 + bx + c ได้อยา่ งถกู ต้อง

คาชแี้ จง : จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1.
x2 + 11x + 30

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

2.
x2 - 5x + 6

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

3. x2 - 7x + 12
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

4.
x2 - x - 42

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 27

5. x2 + 8x + 15
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

6.
x2 + 16x + 55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

7.
x2 - 15x + 54

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

8. x2 + 6x - 16
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

9.
x2 - 9x - 90

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

10. x2 + 4x - 77
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 28

แบบฝึกทักษะแนวทางที่ 2.3
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ : สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ าม

ในรปู x2 + bx + c ได้อยา่ งถกู ต้อง
คาชีแ้ จง : จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1. x2 + 9x - 10 = (......................)(......................)

2. 12 - 7x + x2 = (......................)(......................)

3. x2 + 6x - 16 = (......................)(......................)

4. x2 + 14x + 45 = (......................)(......................)

5. x2 + 6x - 72 = (......................)(......................)

6. x2 - 10x + 16 = (......................)(......................)

7. x2 - 3x - 10 = (......................)(......................)

8. x2 + 3x - 28 = (......................)(......................)

9. x2 + 9x + 18 = (......................)(......................)

10. -12x + 32 + x2 = (......................)(......................)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 29

แบบฝึกทักษที่ 2.3 ชุดที่ 1
การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ : สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ าม

ในรปู x2 + bx + c ได้อยา่ งถกู ต้อง

คาชีแ้ จง 1. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองทีก่ าหนดให้ต่อไปนี้

1. x2 + 4x - 140 = (......................)(......................)

2. 32 + 12x + x2 = (......................)(......................)

3. x2 - 3x - 18 = (......................)(......................)

4. x2 + x - 12 = (......................)(......................)

5. x2 + 10x + 16 = (......................)(......................)

6. x2 - 19x + 84 = (......................)(......................)

7. x2 - 5x - 204 = (......................)(......................)

8. x2 - 9x - 52 = (......................)(......................)

9. x2 - 49 = (......................)(......................)

10. 6 - 5x + x2 = (......................)(......................)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 30

คาชแี้ จง 2. ให้นักเรยี นจบั คู่การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองให้ถกู ต้อง โดยดูโจทย์
ดา้ นซ้ายมือแลว้ เลอื กคาตอบดา้ นขวามือ ข้อทถี่ ูกต้องให้นาตัวอักษรที่อยู่หน้าคาตอบดา้ น
ขวามือมาใส่หน้าขอ้ ดา้ นซ้ายมือ

…………… 1. x2 + 4x - 221 A. (x - 14)(x - 9)
…………… 2. x2 - 23x + 126 B. (x + 4)(x + 5)
…………… 3. x2 - 9x + 20 C. (x - 13)(x + 17)
…………… 4. x2y2 + 5xy - 66 D. (x2 - 7)(x2 - 6)
E. (xy - 6)(xy + 11)
…………… 5. x2 - 2xy + y2 F. (x + 8)(x + 2)
G. (x - 6)(x + 13)
…………… 6. x4 - 13x2 + 42 H. (x - 4)(x - 5)
I. (x - y)(x - y)
…………… 7. x2 + 10x + 16 J. (x - 7)(x - 4)

…………… 8. x2 + 5x + 4x + 20

…………… 9. x2 - 11x + 28

…………… 10. x2 + 7xy - 78y2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 31

แบบฝึกทกั ษะที่ 2.3 ชุดที่ 2
การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ : สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ าม

ในรูป x2 + bx + c ได้อยา่ งถกู ต้อง
คาชีแ้ จง 1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1. x2 - 7x - 120 = (......................)(......................)

2. x2 + 13x + 36 = (......................)(......................)

3. x2 - 25x + 144 = (......................)(......................)

4. x2 + 7x - 330 = (......................)(......................)

5. -x2 + 4x + 5 = (......................)(......................)

6. 60 - 19x + x2 = (......................)(......................)

7. x2 - 7x + 10 = (......................)(......................)

8. x2 + 11x + 30 = (......................)(......................)

9. x2 - 9x - 52 = (......................)(......................)

10. x2 + 2x - 143 = (......................)(......................)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 32

คาชีแ้ จง 2. ให้นักเรยี นจบั คู่การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองให้ถูกต้อง โดยดโู จทย์
ดา้ นซ้ายมือแลว้ เลอื กคาตอบดา้ นขวามือ ขอ้ ใดถกู ต้อให้นาตวั อกั ษรทีอ่ ยู่หน้าคาตอบดา้ น
ขวามือมาใส่หน้าขอ้ ดา้ นซ้ายมือ

…………… 1. x2 - 5x - 24 A. (x + 7)(x + 4)
…………… 2. 96 + 4x - x2 B. (x - 15)(x 15)
C. (x - 5)(x + 12)
…………… 3. x2y2 - 30xy + 225 D. (x2 - 9)(x2 + 11)
E. (x + 3)(x - 8)
…………… 4. x4 + 2x2 - 99 F. (x - 3)(x + 12)
G. (x - 8(x + 8)
…………… 5. x2 + 7x - 60 H. (12 - x)(8 + x)
I. (18 + x2)(5 - x2)
…………… 6. x2 - 64 J. (x - b)(x + a)

…………… 7. 90 - 13x2 - x4

…………… 8. x2 + (a - b)x - ab

…………… 9. x2 + 9x - 36

…………… 10. x2 + 11x + 28

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 33

ใบความร้ทู ี่ 2.2

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง

รหสั วิชา ค22202 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง

ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 2 ตวั แปรเดยี ว

2. พหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดียวในรปู ax2 + bx + c
เมือ่ a, b, c เปน็ ค่าคงตัว a ≠ 1 และ c ≠ 0

การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองในรปู ax2 + bx + c โดยที่ a, b และ c
เป็นค่าคงตัว a ≠ 0 และ x เป็นตวั แปร แยกเปน็ สองกรณี กรณีที่ a = 1 และ a ≠ 1

กรณที ี่ 2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในรปู ax2 + bx + c
เมือ่ a, b, c เป็นค่าคงตัว a ≠ 1 และ c ≠ 0

เพือ่ ความสะดวกจะเรียก ax2 ว่า พจน์หนา้ เรียก bx ว่า พจน์กลาง และ

เรียก c ว่า พจนห์ ลงั การแยกตวั ประกอบยังคงใช้หลักการแยกเป็นสองวงเลบ็ และ
เคร่อื งหมายในวงเลบ็ ให้ใช้หลกั การเดยี วกันกับกรณีที่ 1 แตก่ ารวางตวั เลขจะซับซ้อนมากกว่า
กรณีที่ 1 เพราะมีค่า a เข้ามามีบทบาทดว้ ย การวางตัวเลขในวงเล็บจะต้องสอดคล้องกับ
ค่า a และค่า c ทีแ่ ยกออกมาเปน็ ผลคูณของตวั เลขสองจานวน และจะตอ้ งวางตาแหน่ง
ตวั เลขที่ได้จากการแยกตวั ประกอบของ a และ c ให้ได้ค่าเท่ากบั พจนก์ ลาง โดยมีหลักใน
การแยกตวั ประกอบและการวางตาแหน่งตัวเลข ตามขั้นตอนดังนี้

ขั้นที่ 1 พิจารณาเคร่อื งหมายหน้า b และ c แล้วแยกออกเป็นสองวงเลบ็
พร้อมกบั เคร่อื งหมายในวงเลบ็ กากบั ไว้ การพิจารณาเคร่อื งหมายให้ใช้หลักการเดยี วกันกบั ใน
กรณีที่ 1

ข้ันที่ 2 ตัวแปร x2 หรือตัวแปรอื่น ๆ ที่ยกกาลงั สอง ให้แยกใสไ่ ว้หนา้ วงเล็บ
อย่างละตัวไดด้ งั นี้ (x + )(x + ), (x - )(x - ), (x + )(x - ), (x - )(x + )

ข้ันที่ 3 นาค่า a และ c มาแยกตัวประกอบโดยเขียนอยู่ในรูปการคณู ของ
สองจานวน

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 34

ขั้นที่ 4 การจัดวางตาแหน่งของตวั เลขที่ได้จากการแยกตัวประกอบของ a
ให้ใส่จานวนไว้หน้าตัวแปร x หรือตวั แปรอื่น ๆ และจานวนตัวเลขทีไ่ ด้จากการแยกตวั
ประกอบของ c ให้ใส่ไว้ดา้ นหลังของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่าต่าง ๆ ในแตล่ ะตาแหน่งไดต้ รง
กับส่งิ ทีโ่ จทย์กาหนดให้หรือไม่ โดยรปู แบบของการแยกตัวประกอบที่ถกู ต้องคือ ผลคณู
ระหว่างพจน์ใกล้กบั ใกล้ และพจน์ไกลกบั ไกลรวมกันต้องได้เท่ากับพจน์กลาง หรือเท่ากบั bx

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 2x2 + 7x + 6

วิธีทา จากพหุนาม 2x2 + 7x + 6 จะได้ค่า a = 2, b = 7, c = 6

ขั้นที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เป็น +, เคร่อื งหมายหนา้ c เปน็ + แยกเป็นสอง

วงเลบ็ ไดด้ ังนี้ ( + )( + )

ข้ันที่ 2 ตวั แปร x2 แยกใสไ่ ว้หนา้ วงเล็บอยา่ งละตัวได้ดงั นี้

(x + )(x + )

ข้ันที่ 3 นา a = 2 และ c = 6 แยกเปน็ ผลคณู ของเลขสองจานวนได้ดงั นี้

2 = 1 × 2 และ 6 = 2 × 3

= 2× 1 = 3× 2

ขั้นที่ 4 วางตาแหน่งของตัวเลขทีไ่ ด้จากการแยกตัวประกอบของ 2 ให้ใส่จานวนไว้

หน้าตัวแปร x และของ 6 ให้ใส่ไว้ดา้ นหลงั ของวงเลบ็ แล้วตรวจสอบค่าต่าง ๆ ผลคูณ

ระหว่างพจน์ใกล้กับใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกนั ต้องได้เท่ากบั พจน์กลาง คือ 7x ดังนี้

พจน์หน้าเปน็ 2x2 = (2x)(x)

พจน์หลงั 6 = (3)(2)

ใกลค้ ณู ใกล้ = 3x

พจน์กลาง (2x + 3) (x + 2) 3x + 4x = 7x
ไกลคณู ไกล = 4x

ดงั นน้ั การแยกตัวประกอบของ 2x2 + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 35

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 15x2 - 11x + 2

วิธีทา จากพหนุ าม 15x2 - 11x + 2 จะได้ค่า a = 15, b = -11, c = 2

ข้ันที่ 1 เครอ่ื งหมายหนา้ b เป็น -, เคร่อื งหมายหนา้ c เปน็ + แยกเปน็ สอง

วงเล็บไดด้ งั นี้ ( - )( - )

ข้ันที่ 2 ตวั แปร x2 แยกใสไ่ ว้หนา้ วงเล็บอยา่ งละตวั ได้ดังนี้

(x - )(x - )

ขั้นที่ 3 นา 15 และ 2 แยกเปน็ ผลคณู ของเลขสองจานวนได้ดังนี้

15 = 3 × 5 และ 2 = 2 × 1

= 5×3 =1×2

= 15 × 1 = (-2) × (-1)

= 1 × 15 = (-1) × (-2)

ข้ันที่ 4 วางตาแหน่งของตัวเลขทีไ่ ด้จากการแยกตวั ประกอบของ 15 ให้ใสจ่ านวน

ไว้หนา้ ตวั แปร x และของ 2 ให้ใส่ไว้ดา้ นหลังของวงเลบ็ แล้วตรวจสอบค่าต่าง ๆ ผลคณู

ระหว่างพจน์ใกล้กับใกล้ และพจน์ไกลกบั ไกลรวมกันต้องได้เท่ากบั พจน์กลาง คือ -11x ดังนี้

พจน์หน้าเป็น 15x2 = (5x)(3x)

พจน์หลงั 2 = (-2)(-1)

ใกลค้ ณู ใกล้ = -6x

พจน์กลาง (5x - 2) (3x - 1) (-6x) + (-5x) = -11x

ไกลคณู ไกล = -5x

ดงั นน้ั การแยกตวั ประกอบของ 15x2 - 11x + 2 = (5x - 2)(3x - 1)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 36

ตัวอยา่ งที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ 12x2 - 11x - 15

วิธีทา จากพหนุ าม 12x2 - 11x - 15 จะได้ค่า a = 12, b = -11, c = -15

ขั้นที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เปน็ -, เคร่อื งหมายหนา้ c เป็น - แยกเป็นสอง

วงเล็บไดด้ งั นี้ ( + )( - )

ขั้นที่ 2 ตัวแปร x2 แยกใสไ่ ว้หนา้ วงเล็บอยา่ งละตวั ได้ดังนี้

(x + )(x - )

ขั้นที่ 3 นา 12 และ -15 แยกเป็นผลคูณของเลขสองจานวนได้ดงั นี้

12 = 3 × 4 และ -15 = 3 × (-5)

= 4×3 = (-3) × 5

=2×6 = 5 × (-3)

= 6× 2 = (-5) × 3

ขั้นที่ 4 วางตาแหน่งของตวั เลขทีไ่ ด้จากการแยกตัวประกอบของ 12 ให้ใส่จานวน

ไว้หนา้ ตวั แปร x และของ -15 ให้ใส่ไว้ดา้ นหลงั ของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่าต่าง ๆ ผลคณู

ระหว่างพจน์ใกล้กบั ใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกนั ต้องได้เท่ากบั พจน์กลาง คือ -11x ดังนี้

พจน์หน้าเปน็ 12x2 = (4x)(3x)

พจน์หลงั 2 = (3)(-5)

ใกลค้ ูณใกล้ = 9x

พจน์กลาง (4x + 3) (3x - 5) 9x + (-20x) = -11x

ไกลคณู ไกล = -20x

ดังนัน้ การแยกตัวประกอบของ 12x2 - 11x - 15 = (4x + 3)(3x - 5)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 37

ตัวอยา่ งที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ 18x2 + 9x - 2

วิธีทา จากพหุนาม 18x2 + 9x - 2 จะได้ค่า a = 18, b = 9, c = -2

ขั้นที่ 1 เคร่อื งหมายหนา้ b เป็น +, เคร่อื งหมายหนา้ c เป็น - แยกเปน็ สอง

วงเลบ็ ไดด้ ังนี้ ( - )( + )

ข้ันที่ 2 ตัวแปร x2 แยกใสไ่ ว้หนา้ วงเล็บอยา่ งละตวั ได้ดงั นี้

(x - )(x + )

ขั้นที่ 3 นา 18 และ -2 แยกเปน็ ผลคณู ของเลขสองจานวนได้ดังนี้

18 = 3 × 6 และ -2 = 2 × (-1)

= 6×3 = (-2) × 1

= 2×9

= 9× 2

ข้ันที่ 4 วางตาแหน่งของตวั เลขที่ได้จากการแยกตวั ประกอบของ 18 ให้ใส่จานวน

ไว้หนา้ ตวั แปร x และของ -2 ให้ใส่ไว้ดา้ นหลังของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่าต่าง ๆ ผลคณู

ระหว่างพจน์ใกล้กบั ใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกนั ต้องได้เท่ากบั พจน์กลาง คือ 9x ดังนี้

พจน์หน้าเป็น 18x2 = (6x)(3x)

พจน์หลัง 2 = (-1)(2)

ใกลค้ ณู ใกล้ = -3x

พจน์กลาง (6x - 1) (3x + 2) (-3)x + 12x = 9x

ไกลคูณไกล = 12x

ดงั นนั้ การแยกตวั ประกอบของ 18x2 + 9x - 2 = (6x - 1)(3x + 2)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 38

แบบฝึกทกั ษะแนวทางที่ 2.4
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ : สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ในรูป x2 + bx + c ได้ โดยที่ a ≠ 0 และ a, b, c เป็นจานวนเตม็

คาชแี้ จง : จงหาเติมคาตอบลงในช่องว่างที่กาหนดให้

1. จงแยกตัวประกอบของ 12x2 + 15x + 3

วิธีทา จากพหุนาม 12x2 + 15x + 3 จะได้ค่า a = 12, b = 15, c = 3

ข้ันที่ 1 เครอ่ื งหมายหนา้ b เปน็ +, เคร่อื งหมายหนา้ c เปน็ + แยกเปน็ สอง

วงเล็บไดด้ ังนี้ ( + )( + )

ข้ันที่ 2 ตัวแปร x2 แยกใสไ่ ว้หนา้ วงเลบ็ อยา่ งละตัวได้ดังนี้

(x + )(x + )

ข้ันที่ 3 นา a =………. และ c = ………... แยกเปน็ ผลคูณของเลขสองจานวนได้ดังนี้

………… = …………×………… และ ………… = …………×…………

= …………×………… = …………×……….

= …………×………… = …………×…………

= …………×………… = …………×…………

ขั้นที่ 4 วางตาแหน่งของตัวเลขทีไ่ ด้จากการแยกตวั ประกอบของ ……….. ให้ใส่จานวน

ไว้หนา้ ตวั แปร x และของ ………….ให้ใส่ไว้ด้านหลงั ของวงเลบ็ แล้วตรวจสอบค่าต่าง ๆ ผลคณู

ระหว่างพจน์ใกล้กบั ใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกนั ต้องได้เท่ากับพจน์กลาง คือ ………… ดงั นี้

พจน์หน้าเป็น 12x2 = ………………………………….

พจน์หลัง 3 = ………………………………….

ใกลค้ ูณใกล้ = …………

พจน์กลาง (…………..+…………..) (…………..+…………..) …………………………………

ไกลคูณไกล =…………

ดังนั้น การแยกตวั ประกอบของ 12x2 + 15x + 3 = …………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 39

2. จงแยกตวั ประกอบของ 9x2 - 6x + 1

วิธีทา จากพหนุ าม 9x2 - 6x + 1 จะได้ค่า a =…………, b =…………, c =…………

ข้ันที่ 1 เครอ่ื งหมายหนา้ b เปน็ …………, เคร่ืองหมายหนา้ c เป็น………… แยกเปน็

สองวงเล็บไดด้ งั นี้ (…………)(…………)

ขั้นที่ 2 ตวั แปร x2 แยกใสไ่ ว้หนา้ วงเล็บอยา่ งละตวั ได้ดังนี้

(x …………)(x …………)

ขั้นที่ 3 นา a =………. และ c = ………... แยกเป็นผลคณู ของเลขสองจานวนได้ดังนี้

………… = …………×………… และ ………… = …………×…………

= …………×………… = …………×……….

= …………×………… = …………×…………

= …………×………… = …………×…………

ข้ันที่ 4 วางตาแหน่งของตวั เลขทีไ่ ด้จากการแยกตวั ประกอบของ ……….. ให้ใส่จานวน

ไว้หนา้ ตัวแปร x และของ ………….ให้ใส่ไว้ด้านหลงั ของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่าต่าง ๆ ผลคณู

ระหว่างพจน์ใกล้กับใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกันต้องได้เท่ากบั พจน์กลาง คือ ………… ดงั นี้

พจน์หน้าเป็น …………… = ………………………………….

พจน์หลัง …………… = ………………………………….

ใกลค้ ูณใกล้ = …………

พจน์กลาง (………….. - ………..) (………….. - ………..) …………………………………

ไกลคณู ไกล =…………

ดังนัน้ การแยกตวั ประกอบของ ……………………………………. = …………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว 40

3. จงแยกตวั ประกอบของ 9x2 + 35xy - 4y2

วิธีทา จากพหนุ าม 9x2 + 35xy - 4y2 จะได้ค่า a =…………, b =…………, c =…………

ข้ันที่ 1 ………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ข้ันที่ 2 ………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ขั้นที่ 3 นา a =………. และ c = ………... แยกเปน็ ผลคูณของเลขสองจานวนได้ดังนี้

………… = …………×………… และ ………… = …………×…………

= …………×………… = …………×……….

= …………×………… = …………×…………

= …………×………… = …………×…………

ข้ันที่ 4 ………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดังนน้ั การแยกตัวประกอบของ ……………………………………. = …………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 41

4. จงแยกตัวประกอบของ 9 - 42y + 49y2

วิธีทา จากพหนุ าม 9 - 42y + 49y2 จะได้ค่า a =…………, b =…………, c =…………

ขั้นที่ 1 ………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ข้ันที่ 2 ………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ข้ันที่ 3 นา a =………. และ c = ………... แยกเป็นผลคูณของเลขสองจานวนได้ดงั นี้

………… = …………×………… และ ………… = …………×…………

= …………×………… = …………×……….

= …………×………… = …………×…………

= …………×………… = …………×…………

ขั้นที่ 4 ………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นั้น การแยกตัวประกอบของ ……………………………………. = …………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 42

แบบฝึกทกั ษะที่ 2.4 ชดุ ที่ 1
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
จุดประสงค์การเรยี นรู้ : สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ในรปู x2 + bx + c ได้ โดยที่ a ≠ 0 และ a, b, c เป็นจานวนเต็ม
1. จงหาเติมจานวนลงในช่องว่างให้สมบรู ณ์

1. 3x2 + 8x + 5 = (3x ................)(x ..................)

2. 2x2 - x - 3 = (2x ...................)(x .................)
3. 3x2 + 7x - 6 = (3x ..................)(x .................)
4. 12x2 - x - 35 = (3x ..................)(4x ................)
5. 5x2 - 16x + 3 = (5x ...................)(x .................)

6. 5 + 2x - 3x2 = (................ 3x)( ……………….. x)
7. 2x2 - 9x - 18 = (2x ……............)(x ………..........)

8. 16x2 - 16xy - 5y2 = (4x ……...........)(5x ……............)

9. 20x2 + 11xy - 4y2 = (................ y)( …………….… 4y)

10. 2 - 21y + 27y2 = (.................. 9y)( ………………. 3y)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 43

2. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองต่อไปนี้

1.
6x2 + x - 2
……พ…ิจ…า…รณ……าพ……จน…์ห…น…้า……; 6…x…2……=……(3…x…)(2…x…)…,…พ…จ…น…ห์ …ล…งั ……; …-…2……=……(…1)…(-…2…)
……จ…ะ…ได…้พ…จ…น…์ก…ล…า…ง …;……(3…x……+…2…)…(2…x……-……1)……=…4…x……+……(-…3…x…) …=……x…………
……ด…งั …น…ั้น……6…x…2…+……x……-……2……=……(…3x……+……2…)(…2x……-……1…) ……………………………

2.
7x2 + 49x + 84

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

3.
-6x2 + 10x + 4

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

4.
12x2 - x - 35

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

5. 5x2 - 16x + 3
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 44

6.
7x2 + 72x - 55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

7.
5 + 2x - 3x2

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

8.
6x2 + 7x - 20

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

9.
16x2 - 8x + 1

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

10. 3x2 - 13x - 10
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว 45

แบบฝึกทักษะที่ 2.4 ชดุ ที่ 2
การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ : สามารถแยกตวั ประกอบของพหุนาม
ในรปู x2 + bx + c ได้ โดยที่ a ≠ 0 และ a, b, c เปน็ จานวนเต็ม

1. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองต่อไปน้ี

1.
30x2 + 31xy + 5y2
……พ…ิจ…า…รณ……าพ……จน…์ห…น…้า……; 3…0…x…2…=……(…6…x)…(5…x…)…,…พ…จ…น…์ห…ล…ัง……; …5…y…2…=……(…5y…)…(y)
……จ…ะ…ได…้พ…จ…น…์ก…ล…า…ง …;……(6…x……+…5…y…)…(5…x……+…y…)……=…2…5…x…y……+…6…x…y……=……3…1x…y
……ด…งั …น…ั้น……3…0…x…2 …+……3…1…xy……+……5…y2……=……(…6…x…+……5…y…)(…5…x …+……y…) ………………

2.
4x2 - 39xy - 55y2

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

3.
2x2 - 43x + 195

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

4.
30x2 - 7x - 49

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………