Teoria de Numeros

Notas de Teor´ıa de Nu´meros

Gerardo A. Chaco´n
Universidad Antonio Narin˜o
Proyecto de Investigacio´n 2017108

[email protected]

Diciembre 2017

ii

Tabla de Contenidos

1 Introduccio´n 1

2 Tour inicial 5

2.1 Ternas pitago´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Geometr´ıa, ternas pitago´ricas y el c´ırculo unitario . . . . . . . 9

2.3 Algo sobre nu´meros figurados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Descendiendo con Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Principio de Induccio´n Matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Conceptos b´asicos 25

3.1 Divisi´on entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Sistemas de numeraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2 Fracciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Nu´meros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Ma´ximo Comu´n Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Teorema fundamental de la Aritm´etica . . . . . . . . . 47

3.4.2 Ecuaciones lineales diof´anticas . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Algunas ecuaciones diof´anticas no lineales . . . . . . . . . . . 53

4 Congruencias 57

4.1 Propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Pequen˜o Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Aplicaciones de las congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5.1 Calendario Perpetuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5.2 Criptolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

iii

iv TABLA DE CONTENIDOS

Cap´ıtulo 1

Introduccio´n

“La matem´atica es la reina de
las ciencias y la aritm´etica es la
reina de las matem´aticas. Ella a
menudo se digna a prestar un
servicio a la astronom´ıa y a
otras ciencias naturales, pero en
todas las relaciones, tiene
derecho a la primera fila”

Atribuida a Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)

La cita anterior, pondera por boca de uno de los ma´s insignes matem´aticos
de todos los tiempos, la importancia indudable del a´rea que abordamos en
estas notas. Todo joven estudiante de matem´atica se ha maravillado, en su
primer encuentro con la Teor´ıa de Nu´meros, de la riqueza y belleza del estu-
dio de esos entes, que nos parecen tan familiares y claros, pero que encierran
maravillosos misterios: los nu´meros naturales.

En atenci´on, a ese inter´es que en general despierta la Teor´ıa de Nu´meros,
a la importancia manifiesta del tema en la formacio´n de docentes de matem´a-
ticas y a la necesidad de recursos did´acticos para el trabajo en el aula; se ha
abordado el disen˜o de un curso de Teor´ıa de Nu´meros dirigido, justamente,
a profesores de matem´aticas.

Ese disen˜o parte de una concepcio´n del aprendizaje de la matema´tica
como una pr´actica de la matem´atica misma, esto es:

“Aprender matema´tica=Hacer matem´atica”,

y en consecuencia cualquier curso de matem´atica, y en particular un curso

1

2 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N

inicial de Teor´ıa de Nu´meros, debe ofrecer oportunidades de participar en
el proceso de creaci´on matema´tico.

Y, ¿qu´e es ese proceso? Partimos de la concepcio´n de la matema´tica
como una actividad humana que en la bu´squeda de patrones parte de la
experimentaci´on con los objetos que le son propios, en este caso los nu´meros
naturales.

En esa bu´squeda de patrones, y a partir de los datos de la experi-
mentacio´n, el matem´atico, y de hecho el estudiante de matem´aticas, con-
jetura la naturaleza de las regularidades, para hacer lo que es espec´ıfico
de la matem´atica: demostrar o refutar, siguiendo el modelo establecido de
razonamiento matem´atico.

A partir de esta concepci´on, entendemos que un curso de Teor´ıa de
Nu´meros debe ofrecer al estudiante la oportunidad de “vivir” esa experien-
cia: experimentar, conjeturar, demostrar o refutar. Y, ¿c´omo organizar esa
experiencia?.

Dos ejes fundamentales parecen dar la respuesta que hemos querido in-
corporar a estas notas. En primer lugar, ese proceso de hacer matema´ticas
tiene lugar en la Resoluci´on de Problemas, que consideramos el centro del
curso. En numerosas ocasiones propondremos a los estudiantes acercarse a
problemas que representen un reto para ellos, y les permitan apropiarse en
el proceso de su soluci´on de los conceptos ba´sicos del ´area. Muchas veces se
acude a problemas de distinto nivel tomados de Competiciones Matema´ticas,
los cuales son un recurso cuyo uso proponemos llevar al aula de clase.

El segundo eje de estructuraci´on did´actica del contenido, sera´ la incor-
poracio´n de la historia de la matem´atica al desarrollo de la tema´tica. Espe-
ramos ver a nuestros alumnos, compartir con los matema´ticos babilonios y
los griegos, con Fermat, Gauss y los grandes matem´aticos de la historia, en
alguna medida, los esfuerzos y los placeres del descubrimiento y del trabajo
duro. Por eso, basamos el recorrido que se propone en la revisio´n de ciertos
problemas histo´ricamente relevantes, para a partir de ellos, fundamentar la
necesidad de comprender y manejar conceptos, ideas, notaciones y m´etodos.

Estas notas de clase fueron elaboradas, durante el Semestre II 2017, en
el marco del Proyecto de Investigaci´on “Aporte de los programas de for-
maci´on a la construccio´n de creencias epistemolo´gicas sobre la matem´atica,
su ensen˜anza y aprendizaje de futuros docentes de matema´ticas” (Co´digo
2017108) financiado por la Universidad Antonio Narin˜o, en el cual el autor
actu´a como Docente-Investigador.

Durante el Semestre II 2017 el autor tuvo la oportunidad de usar es-
tas notas como material de apoyo en los cursos de Teor´ıa de Nu´meros de
la Licenciatura en Educaci´on Mencio´n Matema´tica y de los Postgrados en

3

Educaci´on Matem´atica en la Universidad Antonio Narin˜o. La opinio´n de
los estudiantes de esos cursos fue favorable y propone al autor el reto de
ampliarlas y mejorarlas.

No hay ninguna pretensio´n de originalidad, ni en el desarrollo de los con-
tenidos ni en los problemas propuestos. Seguramente, si en la organizacio´n
y presentaci´on del material y en la eleccio´n de los ´enfasis y direcciones prop-
uestas. Las notas estara´n en continua construccio´n. Hemos incluido una
breve lista con las referencias bibliogra´ficas esta´ndares que hemos utilizado.

Esperamos en el futuro pro´ximo ampliar los temas tratados, incluir m´as
problemas, lecturas, aplicaciones de la Teor´ıa de Nu´meros y oportunidades
de trabajo asociadas a las matem´aticas escolares.

En el contexto del proyecto de investigaci´on mencionado, el uso de estas
notas esperamos que permita, con el apoyo de diversos instrumentos de
recolecci´on de informaci´on, continuar estudiando la formacio´n y evolucio´n
de creencias de los docentes en formacio´n y ejercicio respecto a la naturaleza
de las matema´ticas y su incidencia en su trabajo en el aula.

El autor agradece a las Docentes Investigadoras del referido proyecto
Grace Judith Vesga Bravo y Zaida Mabel A´ ngel Cuervo, por su acompan˜a-
miento durante la redacci´on y uso de estas notas, y por sus valiosos comen-
tarios y sugerencias.

Bogota´, 6 de Diciembre de 2017.

4 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N

Cap´ıtulo 2

Un “tour” inicial por algunas
cuestiones de Teor´ıa de
Nu´meros

En este Cap´ıtulo queremos, en compan˜´ıa del lector, hacer un recorrido bas-
tante informal y ra´pido por diversos problemas de la Teor´ıa de Nu´meros.
En principio, podemos decir que la Teor´ıa de Nu´meros es el estudio de las
propiedades de los nu´meros enteros positivos

N = {1, 2, 3, 4, . . . },

pero como Ud. ver´a pronto es frecuente que incursionemos en otros sistemas
num´ericos.

En varias ocasiones volveremos a tratar los conceptos e ideas involucrados
en cap´ıtulos posteriores. La idea en este “tour” es que el lector tome l´apiz
y papel y se disponga a disfrutar del recorrido.

2.1 Ternas pitag´oricas

Fechada aproximadamente en 1800 AC, se conserva codificada como Plimp-
ton 322 en la coleccio´n de la Universidad de Columbia una tabla, obra de
los matem´aticos de Babilonia (ver Figura 2.1). Inicialmente se supuso que
se trataba de una cuenta de inter´es comercial, pero la “traduccio´n” de la es-
critura cuneiforme muestra un listado de nu´meros que en notaci´on moderna
ser´ıa algo como la lista de la Figura. Examine la tabla ¿Qu´e observa?

5

6 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

Figura 2.1: Plimton 322
Seguramente Ud. esta´ familiarizado con la terna (3, 4, 5), el m´as conocido
ejemplo de tres nu´meros enteros (a, b, c) que satisfacen la ecuaci´on

a2 + b2 = c2,
y por tanto corresponder´ıan a las longitudes de un tria´ngulo recta´ngulo como
se ilustra en la Figura 2.2. ¿Conoce Ud. otras ternas de nu´meros enteros

Figura 2.2: Ternas pit´agoricas
(a, b, c) que cumplan la ecuacio´n anterior? Estas ternas reciben el nombre
de ternas pitag´oricas. Reexamine la tabla anterior. ¿Eran unos ociosos los

2.1. TERNAS PITAGO´RICAS 7

matem´aticos babilonios? ¿Puede Ud. encontrar otras ternas pitago´ricas?
¿Cu´antas hay?

Los babilonios, luego los griegos y muchos de nosotros, hemos estado in-
teresados en las ternas pitag´oricas. Consideraremos el problema de caracteri-
zar las ternas pitago´ricas. Iniciemos con una primera simplificaci´on. Verifi-
que que si (a, b, c) es una terna pitag´orica y d un nu´mero entero, (da, db, dc)
tambi´en lo es.

Podemos, pues limitarnos a considerar ternas sin factores comunes. Pre-
cisando tenemos la siguiente definicio´n.

Definici´on 2.1. Una terna pitag´orica primitiva es una terna de nu´meros
naturales (a, b, c) sin factores comunes (distintos de 1) tales que

a2 + b2 = c2.

Nuestro objetivo en lo que sigue es caracterizar todas las ternas pitago´ricas
primitivas, un hecho conocido ya por Euclides en el siglo IV AC.

Sea (a, b, c) una terna pitago´rica primitiva. Una primera observacio´n es
que no puede ocurrir que a y b sean ambos pares o ambos impares. En efecto,
si ambos son pares c tambi´en lo es y esto contradice nuestra suposici´on de
que (a, b, c) es una terna pitag´orica primitiva. Por otra parte, si a y b son
impares a = 2k + 1, b = 2q + 1 y c = 2m para ciertos enteros k, q y m y
entonces

c2 = 4m2 = (2k + 1)2 + (2q + 1)2 = 4(k2 + q2 + k + q) + 2,

y
2m2 = 2(k2 + q2 + k + q) + 1.

¡Tenemos un nu´mero par igual a un nu´mero impar! Esta contradiccio´n
demuestra nuestra afirmaci´on (Chequee en detalle la demostracio´n anterior).

Podemos, pues asumir, digamos que a es par y b impar. Note que c + b
y c − b son ambos pares y podemos escribirlos como c + b = 2u y c − b = 2v
para ciertos enteros u y v. Se tiene adem´as que c = u + v y b = u − v.

Luego tenemos

a2 = c2 − b2 = (c + b)(c − b) = 4uv,

y
a2
= uv.
2

8 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

As´ı uv es un cuadrado y como u y v no tienen factores comunes (distintos
de 1) tenemos que u y v son ambos cuadrados (¿por qu´e?) digamos u = s2
y b = t2.

Tenemos pues: a2 = 4uv = 4s2t2 o´ a = 2st, b = u − v = s2 − t2 y
c = u + v = s2 + t2 con s y t enteros positivos, sin factores comunes, con
s > t, uno de ellos par y el otro impar.

Ud. podr´a ahora completar los detalles finales que le permitan demostrar
el siguiente Teorema.

Teorema 2.2. Para cada terna pit´agorica primitiva (a, b, c) con a2 +b2 = c2
uno de los nu´meros a, b debe ser par y el otro impar, si a es par existen
nu´meros enteros positivos s y t, sin factores comunes, con s > t, uno de
ellos par y el otro impar tales que

a = 2st, b = s2 − t2 y c = s2 + t2.

Finalmente, si s y t cumplen estas condiciones, estas f´ormulas producen
ternas pitag´oricas primitivas.

Cuesti´on 2.3. Use el Teorema anterior para encontrar al menos cinco
“nuevas” ternas pitago´ricas.

Cuesti´on 2.4. 1. Hemos visto que en cada terna pitago´rica primitiva
(a, b, c), justamente uno de los dos nu´meros a o b es par. Use el mismo
tipo de argumento para probar que uno de los dos debe ser mu´ltiplo
de 3.

2. Examine la lista de ternas pitago´ricas primitivas que tenemos hasta
ahora. Formule una conjetura acerca de si a, b o c es mu´ltiplo de 5.
Trate de demostrar si su conjetura es correcta.

Cuestio´n 2.5. Encuentre todos los tria´ngulos pitag´oricos (aquellos cuyos la-
dos tienen longitudes que son ternas pitag´oricas), cuyas a´reas son num´ericamente
iguales a sus per´ımetros.

Cuesti´on 2.6. La terna pitag´orica primitiva (3, 4, 5) es muy particular: esta
formada por enteros consecutivos. Encuentre las ternas pit´agoricas primi-
tivas formadas por enteros consecutivos. (Este es un problema bastante
conocido, pero fue propuesto al autor por Juan Jos´e D´ıaz (13 an˜os) estudi-
ante del Colegio Philadelphia (Cali) durante una sesi´on del entrenamiento
de Olimpiadas en la Universidad Antonio Narin˜o, Junio 2007.) ¿Hay ternas
pitag´oricas primitivas cuyos elementos est´en en progresio´n aritm´etica?

2.2. GEOMETR´IA, TERNAS PITAGO´RICAS Y EL C´IRCULO UNITARIO9

Cuestio´n 2.7. ¿Existen ternas pitago´ricas primitivas que representen tria´n-
gulos con diferente hipotenusa, pero que tengan la misma ´area?

Cuestio´n 2.8. 1. Elija algunas ternas pitag´oricas. Usando los recursos
que Ud. prefiera dibuje los tri´angulos que estas representan. Dibuje la
circunferencia inscrita en esos tri´angulos. Determine su radio. ¿Qu´e
observa? Formule y pruebe una conjetura en relacio´n a la longitud de
ese radio.

2. ¿Cua´l es el mayor valor de la hipotenusa de un tria´ngulo rect´angulo con
lados enteros si el radio de la circunferencia inscrita es 12? (Cuesti´on
propuesta en American Mathematics League Competition 2009).

Cuestio´n 2.9. Considere la ecuacio´n

x2 + y2 = 1003.

¿Puede Ud. encontrar soluciones (x, y) de esta ecuaci´on que sean ambos
enteros positivos?

Cuesti´on 2.10. 1. La tableta Plimpton 322 a la que nos referimos en
el texto esta escrita usando caracteres cuneiformes y el sistema de
numeracio´n de los babilonios. Consulte informaci´on sobre ese sistema
y escriba una breve descripcio´n del mismo.

2. Consulte informacio´n sobre la tableta Plimpton 322 y escriba un breve
informe sobre los resultados de su consulta.

2.2 Geometr´ıa, ternas pitago´ricas y el c´ırculo uni-
tario

Diofanto, un matema´tico que vivi´o en Alejandr´ıa alrededor del 250 DC,
discutio´ el problema de las ternas pitago´ricas usando el denominado m´etodo
de la cuerda. Este m´etodo se basa en la simple observacio´n que si (a, b, c)
es una terna pitago´rica entonces

a2 b2
+ = 1,
cc

y as´ı (a/c, c/d) es un punto de la circunferencia unitaria. La idea de Diofanto
fue describir (parametrizar) las soluciones racionales de la ecuacio´n x2+y2 =

1.

10 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

Para ello escogio´ un punto “simple” de la circunferencia unitaria con
coordenadas racionales (−1, 0) y considero´ la recta que pasa por (−1, 0) e
intersecta la circunferencia en otro punto P = (x, y) (ver Figura 2.3). El
punto P tiene coordenadas racionales si y s´olo si la pendiente m de la recta
es racional (Verifique).

Figura 2.3: El m´etodo de la cuerda
Un poco de ´algebra b´asica le permitir´an demostrar el siguiente teorema.
Teorema 2.11. Cada punto de la circunferencia x2 + y2 = 1 con coorde-
nadas racionales es de la forma

1 − m2 2m
(x, y) = 1 + m2 , 1 + m2 ,
com m racional.
Si escribimos m = v/u, con un poco de ´algebra Ud. obtendr´a una
expresio´n para todas las ternas pitago´ricas. H´agalo y compare su resultado
con el de la secci´on anterior.
Cuesti´on 2.12. 1. Use las rectas a trav´es del punto (1, 1) para describir
los puntos de la circunferencia x2 + y2 = 2 cuyas coordenadas son
racionales.
2. ¿Qu´e no funciona si Ud. aplica el mismo procedimiento para encontrar
los puntos de la circunferencia x2 +y2 = 3 con coordenadas racionales?
3. Demuestre que si a, b y c enteros impares entonces la ecuaci´on

ax2 + bx + c = 0

2.2. GEOMETR´IA, TERNAS PITAGO´RICAS Y EL C´IRCULO UNITARIO11
no tiene ra´ıces racionales.

4. Encuentre una fo´rmula para todos los puntos en la hip´erbola x2 − y2 =
1 cuyas coordenadas sean nu´meros racionales. Indicaci´on: Considere
la recta que pasa por el punto (−1, 0) y pendiente m racional. En-
cuentre una fo´rmula en t´erminos de m para el segundo punto donde
la recta intersecta a la hip´erbola.

Figura 2.4: Pierre de Fermat (1607-1665)
Alrededor de 1635, Pierre de Fermat, leyendo la Aritm´etica de Diofanto
se pregunt´o si la ecuaci´on

xn + yn = zn,
tiene soluciones enteros con n ≥ 3. De hecho, ´el demostr´o que no existen
soluciones enteras para n = 4 (Carl Friedrich Gauss y Leonard Euler de-
mostraron que no hay solucio´n para el exponente 3 y Lejeune Dirichlet and
Adrien Legendre lo hicieron con 5).

Fermat escribio´ al margen de su copia del libro de Diofanto:
Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta po-
tencia en dos cuartas potencias, o en general cualquier potencia

12 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

superior que la segunda en potencias del mismo grado. He des-
cubierto una verdaderamente notable demostraci´on la cual este
margen es demasiado pequen˜o para contener.

El “resultado” de Fermat, conocido como U´ltimo Teorema de Fermat
resistio´ la bu´squeda de una demostracio´n por siglos, hasta que el 23 de
junio de 1993, Andrew Wiles anuncio´ en Cambridge una demostracio´n que
finalmente fue publicada (luego de corregido un error) en Mayo de 1995.
La demostracio´n usa la teor´ıa de curvas el´ıpticas (una curva el´ıptica es un
cierto tipo de curva, que no es una elipse, dada por una ecuacio´n de la forma
y2 = x3 + ax2 + bx + c, donde a, b y c son enteros). Ud. se acercara´ a un
desarrollo precursor de estas ideas en la Cuestio´n 2.16.

Cuestio´n 2.13. En el texto se mencion matema´ticos que han contribuido
al ´area. Consulte los datos biogr´aficos de ellos y elabore s´ıntesis de su
investigacio´n. Un buen lugar para consultar es:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

2.3 Algo sobre nu´meros figurados

Los pitag´oricos estaban fascinados por propiedades especiales de ciertos
nu´meros. En particular ellos estudiaron los llamados nu´meros triangulares,
Los primeros de dichos nu´meros puede Ud. verlos en la Figura 2.5.

Figura 2.5: Nu´meros triangulares

Ud. vera´ sin dificultad que el n-esimo nu´mero triangular es

Tn = 1 + 2 + ··· + n = n(n + 1)
2 .

Una bonita demostracio´n “sin palabras” de la u´ltima igualdad se puede ver
en la Figura 2.6.

2.3. ALGO SOBRE NU´MEROS FIGURADOS 13

5·6
Figura 2.6: T5 = 2

Figura 2.7: Nu´meros cuadrados

Por supuesto que podemos hablar de nu´meros cuadrados, pentagonales,
etc (Ver Figura 2.7).

Ud. trabajara´ f´acilmente las siguientes cuestiones.

Cuestio´n 2.14. 1. (a) Calcule T1 + T2, T2 + T3 y T4 + T5.
(b) Calcule m´as expresiones de la forma Tn + Tn+1 y formule una
conjetura sobre la suma de dos nu´meros triangulares consecutivos
Tn y Tn+1. Demuestre que su conjetura es verdad para todos los
enteros n ≥ 1. Este resultado se atribuye al matema´tico y fil´osofo
griego, Nic´omaco de Gerasa (Siglo I DC).

2. (a) Calcule 8T1 + 1, 8T2 + 1, 8T3 + 1, 8T4 + 1 y 8T5 + 1.
(b) Calcule ma´s expresiones de la forma 8Tn + 1 y formule una con-
jetura sobre la expresi´on 8Tn + 1. Demuestre que su conjetura
es correcta para todos los enteros n ≥ 1. (Atribuido a Plutarco,
siglo I DC).
(c) Construya una “demostraci´on visual” de este hecho. Sugerencia:
Trabaje inicialmente con T3, para ello divida un arreglo de 7 × 7

14 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

puntos en 8 partes de 6 puntos cada una y un punto sobrante.
Luego, con un arreglo mas grande asegu´rese de que el resultado
es correcto.

3. ¿Es 2701 un nu´mero triangular? Elabore un test para decidir si un
nu´mero dado N es triangular.

Cuestio´n 2.15. G. Leibnitz (1646-1716) y P. Mengoli (1626-1686) demostraron

que
∞1
= 2.
k=1 Tk

Demuestre Ud. esta igualdad. Ayuda: 1 = 1 − 1 .
k(k+1) k k+1

Una cuesti´on interesante es: ¿hay nu´meros triangulares que tambi´en

son nu´meros cuadrados? Ud. encontrara´ f´acilmente el mas pequen˜o de

estos nu´meros. Con un poco m´as de trabajo podr´a encontrar ma´s de estos

nu´meros. Quiza le resulte u´til usar algu´n programa de co´mputo para hallar

unos cuantos ma´s.

Note que la cuestio´n anterior se reduce a buscar soluciones enteras de la

ecuaci´on n(n + 1) = m2,
2

que es equivalente a

8m2 = (2n + 1)2 − 1.

Si escribimos x = 2n + 1 y y = 2m, se tiene:

x2 − 2y2 = 1.

Esta es una ecuaci´on famosa. La bu´squeda de soluciones enteras de ecua-
ciones es un ´area importante de la Teor´ıa de Nu´meros llamada Teor´ıa de
Ecuaciones Diof´anticas. Una ecuacio´n diof´antica de la forma x2 − ny2 = 1
(con n ∈ N) es denominada ecuaci´on de Pell (aunque la teor´ıa de estas ecua-
ciones fue desarrollada por Lagrange y no por el matema´tico del siglo XVII
John Pell).

Usando una variaci´on del m´etodo de la cuerda, Ud. encontrara´ soluciones
de la ecuacio´n anterior.

Cuestio´n 2.16. 1. La curva x2 − 2y2 = 1 incluye el punto (1, 0). Sea L
la recta que pasa por (1, 0) y tiene pendiente m. Encuentre los otros
puntos donde L intersecta la curva.

2.4. DESCENDIENDO CON FERMAT 15

2. Suponga que m = v/u donde (u, v) satisface u2 − 2v2 = 1. Pruebe
que el otro punto que Ud. encontr´o en la parte anterior tiene coorde-
nadas enteras y adem´as, cambiando los signos de las coordenadas si es
necesario demuestre que se obtiene otra soluci´on de x2 − 2y2 = 1.

3. Comenzando con la soluci´on (3, 2) a x2−2y2 = 1, aplique las partes (b)
y (c) repetidamente para encontrar ma´s soluciones de x2 − 2y2 = 1.
Use esas soluciones para encontrar ejemplos adicionales de nu´meros
triangulares-cuadrados.

4. Demuestre que este procedimiento conduce a una sucesio´n infinita de
nu´meros triangulares-cuadrados diferentes.

2.4 Descendiendo con Fermat

Hemos visto como la cuestio´n de encontrar nu´meros cuadrado-triangulares
reduce a encontrar soluciones de la ecuaci´on

x2 − 2y2 = 1.

Tambi´en hemos visto que esta ecuacio´n tiene infinitas soluciones y Ud. ha
encontrado algunas. De hecho (3, 2) es una soluci´on cas´ı obvia. En esta
secci´on nos acercaremos nuevamente al problema de encontrar sus solu-
ciones.

Una aproximaci´on casi obvia para resolver la ecuaci´on anterior es ¡fac-
torizar! De hecho, la ecuaci´on anterior es equivalente a:

√√
(x − 2y)(x + 2y) = 1.

Pero, ¡estamos “saliendo” del sistema num´erico de los nu´meros enteros! Sin

embargo, prosigamos. Veamos que pasa con la solucio´n (3, 2). Sustituyendo

tenemos: √√
1 = 32 − 2 · 22 = (3 − 2 2)(3 + 2 2).

Todo bien. Veamos qu´e pasa ahora, si elevamos ambos lados de la ecuacio´n

anterior al cuadrado:
√√

1 = 12 = (3 − 2 2√)2(3 + 2 2)√2
= (17 − 12 2)(17 + 12 2)
= 172 − 2 · 122.

Hemos costruido una nueva solucio´n “elevando al cuadrado” la soluci´on an-
terior. Ud. puede ahora construir nuevas soluciones elevando a otras poten-
cias. De hecho se tiene el siguiente resultado.

16 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

Teorema 2.17. 1. Cada soluci´on en enteros positivos√de la ecuaci´on
x2 − 2y2 = 1 se obtiene tomando potencias de 3 + 2 2, esto es: las

soluciones (xk, yk) pueden, todas, ser encontradas obteniendo:
√√

xk + yk 2 = (3 + 2 2)k para k = 1, 2, 3, . . . .

2. Cada nu´mero cuadrado-triangular n2 = 1 viene dado por
m(m + 1)
2

m = xk − 1 n = yk para k = 1, 2, 3, . . .
22

Esencialmente hemos demostrado la primera parte del Teorema: cada

par (xk, yk) de la forma
√√

xk + yk 2 = (3 + 2 2)k para k = 1, 2, 3, . . . .

es una solucio´n con enteros positivos de la ecuaci´on x2 − 2y2 = 1. Resta

ver que todas las soluciones con enteros positivos de dicha ecuacio´n son de

la forma indicada. Es decir, mostraremos que si (u, v) es tal solucio´n de
x2 − 2y2 = 1 entonces existe un k ∈ N tal que

√√
u + v 2 = (3 + 2 2)k.

Para ello, usaremos un m´etodo denominado descenso infinito de Fermat.
Este es el plan:

Si u = 3, no hay nada que demostrar, sea pues u > 3. Veremos que
√ √√

u + v 2 = (3 + 2 2)(s1 + t1 2),

con (s1, t1) soluci´on en enteros positivos de x2 − 2y2 = 1 y s1 < u.
¿Para qu´e sirve esto? Si s1 = 3 hemos terminado. Si no, podemos repetir

la construccio´n para obtener una nueva soluci´on (s2, t2) de nuestra ecuaci´on
con √ √ √

s1 + t1 2 = (3 + 2 2)(s2 + t2 2)

y s2 < s1. As´ı √√ √

u + v 2 = (3 + 2 2)2(s2 + t2 2).

Nuevamente: si s2 = 3 tenemos el resultado deseado, en otro caso s2 > 3

y repetimos la construccio´n. Este proceso se detiene en algu´n momento,

pues en otro caso, obtendr´ıamos una sucesi´on {(sn, tn)}n≥1 de soluciones en
enteros positivos de x2 − 2y2 = 1 con

s1 > s2 > s3 > · · · ,

2.4. DESCENDIENDO CON FERMAT 17

y cada sn > 3, lo cual es claramente imposible.
Ejecutemos el plan. Comenzamos con la soluci´on (u, v) y buscamos una

soluci´on (s1, t1) con
√ √√

u + v 2 = (3 + 2 2)(s1 + t1 2), y s1 < u.

Un poco de a´lgebra le mostrar´a que esto es equivalente a

u = 3s1 + 4t1 y v = 2s1 + 3t1.

Ud. puede resolver este sistema de ecuaciones para s1 y t1 obteniendo
s1 = 3u1 − 4v1 y t1 = −2u + 3v.

Ud. verificara´ que (s1, t1) es efectivamente soluci´on de nuestra ecuaci´on.

Ahora solo resta ver que s1 y t1 son efectivamente enteros positivos y que

s1 < u. √

Veamos: como u2 = 1 + 2v2 tenemos que u2 > 2v2 y as´ı u > 2v, luego

√
s1 = 3u − 4v > 3 2v − 4v > 0.

Para ver que t > 0, observe que como u > 3, se tiene u2 > 9 y as´ı 9u2 >
9 + 8u2, ´o 9u2 − 9 > 8u2. Entonces u2 − 1 > 8 u2 y as´ı 2v2 > 8 u2 para

99
2
obtener finalmente que v > u.
3
Tenemos ahora

t1 = −2u + 3v > −2u + 3 · 2 > 0.
u

3

Y finalmente de u = 3s1 + 4t1 con s1 y t1 enteros positivos, es claro que
u > s y termina nuestra demostraci´on.

Cuesti´on 2.18. En 1659 Fermat escribe a su amigo Christian Huygens
informandole que ha descubierto un “muy singular m´etodo” para demostrar
proposiciones matem´aticas (el hoy llamado m´etodo del descenso infinito de
Fermat) y como ejemplo menciona el siguiente resultado:

No existe ningu´n tri´angulo rect´angulo la medida de cuyos lados
sean nu´meros enteros y cuya ´area sea un cuadrado.

En su carta, Fermat delinea su m´etodo: “si el a´rea de tal tri´angulo fuese
un cuadrado, habr´ıa tambi´en uno ma´s pequen˜o con la misma propiedad, y
as´ı sucesivamente, lo cual es imposible.”

Ejecutemos el “plan de Fermat”.

18 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

1. ¿Por qu´e es suficiente considerar ternas pitago´ricas primitivas?

2. Sea (x, y, z) una terna pitag´orica primitiva con

x = 2st, y = s2 − t2 y z = s2 + t2,

donde s y t enteros positivos que satisfacen las condiciones del Teorema
2.2. El ´area del tria´ngulo con lados x, y, z es A = st(s−t)(s+t). Si A es
un cuadrado, los cuatro factores del producto anterior son cuadrados
y no tienen divisores comunes distintos de 1. Si escribimos

s = a2, t = b2, s + t = u2 y s − t = v2,

u y v son ambos impares sin factores comunes (diferentes de 1). Ex-
plique las razones de las afirmaciones anteriores.

3. Considere los cuadrados v2, a2 y u2. Verifique que

(a) a2 − v2 = b2,
(b) u2 − a2 = b2,
(c) v2 < a2 < u2,
(d) u2 − v2 = 2b2 = (u + v)(u − v) con u + v y u − v ambos pares

pero uno de ellos divisible por 4 y el otro no.

4. Uno de los nu´meros u + v y u − v puede escribirse como 4n2 y el otro
como 2m2 (¿Por qu´e?) Muestre que en tal caso

u = 2n2 + m2, v = ±(m2 − 2n2) y b = 2mn.

(El signo ± depende de cua´l de los nu´meros u + v o u − v sea divisible
por 4 y cu´al no).

5. Muestre que la terna (m2, 2n2, a) tiene las propiedades requeridas para,
usando el m´etodo del descenso infinito, obtener la conclusi´on de Fer-
mat.

Cuesti´on 2.19. Demostraremos que la u´nica solucio´n con enteros de la
ecuaci´on x3 + 2y3 = 4z3 es (0, 0, 0). Sea (a, b, c) soluci´on de x3 + 2y3 = 4z3.

1. Muestre que a debe ser par.

2. Sea pues a = 2d con d un nu´mero entero. Demuestre que (−b, c, a/2)
es tambi´en solucio´n de x3 + 2y3 = 4z3.

2.4. DESCENDIENDO CON FERMAT 19

3. Repita el razonamiento anterior para demostrar que (−c, a/2, −b/2) y
(−a/2, −b/2, −c/2) tambi´en son soluciones de x3 + 2y3 = 4z3 y que
a, b y c son todos pares.

4. Use el m´etodo del descenso infinito para completar la demostraci´on.

Finalizamos la seccio´n siguiendo la demostracio´n de Fermat de que no
existen soluciones con enteros positivos de xn + yn = zn para n = 4. El
caso n = 3 es ma´s dif´ıcil. La demostracio´n fue dada por Euler en 1770, pero
ten´ıa algunas lagunas. La demostraci´on completa es debida a Legrende.

Cuestio´n 2.20. 1. Demostraremos que la ecuaci´on x4+y4 = z2 no posee
soluciones con enteros positivos. Si (a, b, c) fuese una de tales solu-
ciones con demuestre que podemos cancelar los divisores comunes de
a y b para obtener una soluci´on (α, β, γ) tal que α y β no tengan
divisores comunes distintos de 1.

2. Podemos, por la observacio´n anterior, asumir en adelante que (a, b, c)
es una soluci´on con enteros positivos de x4 + y4 = z2 y que a y b
no tienen divisores comunes distintos de 1. Observe que (a2, b2, c) es
una terna pitago´rica primitiva. Asuma que b es par. Use nuestra car-
acterizaci´on de ternas pitag´oricas primitivas para encontrar nu´meros
enteros x, y sin factores comunes distintos de 1 tales que

a2 = x2 − y2, b2 = 2xy y c = x2 + y2.

3. Observe que a2+y2 = x2. Encuentre nu´meros enteros f y g sin factores
comunes con

a = f 2 − g2, y = 2f g y x = f 2 + g2.

4. Demuestre que b2 = 4f g(f 2 + g2) donde cada uno de estos factores es
un cuadrado perfecto.

5. Sea f = j2, g = k2 y f 2 + g2 = l2. Demuestre que (j, k, l) satisface la
ecuacio´n x4 + y4 = z2 con l < c. Use ahora el m´etodo del descenso
infinito para demostrar que la ecuaci´on x4 +y4 = z2 no tiene soluciones
enteras distintas a la trivial.

6. Use el resultado anterior para obtener como Corolario que la ecuaci´on
x4 + y4 = z4 no tiene soluciones con enteros positivos.

20 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

2.5 Principio de Inducci´on Matem´atica

En esta secci´on revisaremos un m´etodo de demostracio´n, con el que segu-

ramente Ud. esta´ familiarizado y que podr´ıa, apropiadamente, llamarse

m´etodo de ascenso infinito, pues funciona en la“direcci´on contraria” que el

m´etodo de Fermat. El m´etodo se ha llamado demostraci´on por inducci´on. El

nombre le fue dado por Augustus De Morgan en 1838 y hab´ıa sido empleado

por primera vez por Blaise Pascal en 1654.

Consideremos un ejemplo. En la figura 2.8 Ud. podr´a “ver” una instan-

cia de la fo´rmula

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2. (2.1)

Figura 2.8: 1 + 3 + 5 + 7 = 16

La figura, y algunas similares que Ud. puede construir, son una “de-
mostraci´on” geom´etrica de esta f´ormula. La demostraremos rigurosamente
por induccio´n. El m´etodo es fundamentalmente simple: se demuestra la
f´ormula, o una afirmaci´on en general referida a nu´meros naturales, para un
valor dado, digamos n = 1 y se demuestra luego que, si la fo´rmula se cumple
para el nu´mero natural n, tambi´en es cierta para n + 1. Se concluye que la
afirmaci´on se cumple para todos los nu´meros enteros mayores que 1.

Cuesti´on 2.21. Complete el plan descrito anteriormente para demostrar la
f´ormula 2.1.

Cuesti´on 2.22. 1. Demuestre por inducci´on que

12 + 22 + 32 + ··· + n2 = n(n + 1)(2n + 1) (2.2)
.
6

2. Como Ud. habra´ observado, el m´etodo de inducci´on es adecuado para
demostrar afirmaciones sobre los nu´meros naturales, sin embargo el
origen de la afirmaci´on parece quedar en el “misterio”. La f´ormula
anterior puede ser obtenida de varios modos:

2.5. PRINCIPIO DE INDUCCIO´N MATEMA´TICA 21

(a) En la Figura 2.9 encontrar´a una demostraci´on sin palabras de la
f´ormula 2.2. (Tomado de R. B. Nelsen, Proofs Without Words I,
Mathematical Association of America, Washington DC, 1997.)

Figura 2.9: 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = 1 1
n(n + 1)(n + ).
32

(b) Ahora una justificaci´on algebraica. Considere las siguientes igual-

dades:

23 − 13 = 3 · 12 + 3 · 1 + 1
33 − 23 = 3 · 22 + 3 · 2 + 1

... ... ...

(n + 1)3 − n3 = 3 · n2 + 3 · n + 1

Sume los dos miembros de estas igualdades y despeje 12 + 22 +
· · · + n2 para obtener nuevamente la f´ormula 2.2.

22 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

(c) En Counting Squares to Sum Squares Duane W. DeTemple, The
College Mathematics Journal 41(2) (May 2010), 214–19. encon-
trar´a una demostracio´n combinatoria de la misma f´ormula.

Podemos ver el m´etodo de induccio´n, m´as que como un m´etodo de de-
mostracio´n, como una de las propiedades b´asicas que define el conjunto de
los nu´meros naturales. De hecho, en una aproximaci´on axiom´atica a los
nu´meros naturales –que no haremos ac´a– uno de los axiomas que definen el
conjunto N es precisamente:

Principio de inducci´on:
Si A ⊂ N cumple las siguientes propiedades:

1. 1 ∈ A.

2. Si n ∈ A entonces n + 1 ∈ A.

entonces A = N.
Cuestio´n 2.23. Una aproximacio´n axioma´tica a los nu´meros naturales fue
ideada por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Consulte acerca de los Axiomas
de Peano y elabore un informe de los resultados de su investigaci´on.

Con frecuencia es necesario usar una forma aparentemente mas fuerte
del Principio de inducci´on.

Principio de induccio´n fuerte:
Si A ⊂ N cumple las siguientes propiedades:

1. 1 ∈ A y

2. Si 1, . . . , n ∈ A entonces n + 1 ∈ A

entonces A = N.
Cuestio´n 2.24. Sea {xn}∞n=1 una sucesi´on definida de la siguiente manera:

x1 = 5, x2 = 13 y xn+1 = 5xn − 6xn−1 si n ≥ 2.

Encuentre una fo´rmula para xn. Demuestre su fo´rmula usando induccio´n
completa. Explique por qu´e necesita Ud. usar inducci´on completa en lugar
del Principio de induccio´n.

Cuesti´on 2.25. Requerimos colocar estampillas a una carta por un valor
total de n centavos. Disponemos de estampillas de 4 y de 5 centavos. ¿Para
qu´e valores de n esto puede hacerse?

2.5. PRINCIPIO DE INDUCCIO´N MATEMA´TICA 23

Una forma equivalente del Principio de induccio´n es:

Principio del Buen Orden: Todo subconjunto no vac´ıo
de N posee un elemento m´ınimo.

Cuestio´n 2.26. La fo´rmula para sumar los n primeros enteros puede ser
obtenida de diversas maneras. Escriba “dos” demostraciones de ella, una
usando el Principio de induccio´n y otra usando el Principio del Buen Orden.

Cuesti´on 2.27. Demuestre, usando el Principio del Buen Orden, la Propiedad
Arquimediana (llamada tambi´en Principio de la Regla), la cual afirma que
dados dos nu´meros naturales a y b, existe un nu´mero natural n tal que
na ≥ b. ¿Por qu´e se llama Principio de la Regla?

Cuestio´n 2.28. El principio de Inducci´on Completa parece mas “fuerte”
que el Principio de Induccio´n. En realidad son equivalentes. Demuestre que
el Principio de Inducci´on (PI), el Principio de Inducci´on Completa (PIC) y
el Principio del Buen Orden son equivalentes. Indicaci´on: Una organizacio´n
de la demostraci´on que funciona bien es este orden PBO ⇒ PI ⇒ PIC ⇒
PBO.

24 CAP´ITULO 2. TOUR INICIAL

Cap´ıtulo 3

Conceptos b´asicos

En este cap´ıtulo precisaremos nociones, que son seguramente bien conocidas
por Ud. y que hemos venido usando.

3.1 Divisio´n entera

Considere la siguiente cuestio´n:

Cuesti´on 3.1. Escriba 5 nu´meros enteros positivos. Yo “apuesto” que al
menos la diferencia de dos de ellos es mu´ltiplo de 4. ¿Se decide Ud. a
apostar en mi contra?

Al menos dos ideas bien importantes esta´n implicada en la “explicacio´n”
de por qu´e esto siempre ocurre. Una de ellas es el conocido, elemental y
tremendamente u´til Principio del Palomar. Lo usaremos repetidamente a
lo largo del curso. La otra idea la estudi´o Ud. en los primeros cursos de
matema´tica: la divisio´n entera.
Teorema 3.2. (Algoritmo de la divisi´on.) Si a, b ∈ Z con b > 0, existen
nu´meros enteros u´nicos q y r tales que

a = bq + r, y 0 ≤ r < b.

Este resultado, aparte de bien conocido, es del tipo de afirmaciones que
muchas veces se consideran obvias, ¡mucho ma´s despu´es de “hacer” unas
cuantas divisiones en la escuela! Sin embargo es un resultado tan impor-
tante que haremos un esfuerzo por clarificar por qu´e es obvio. Demostremos
detalladamente este Teorema. Como siempre Ud. debe completar los de-
talles.

25

26 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

Demostraci´on. Supongamos que a > 0. Considere el conjunto S de los
mu´ltiplos de b mayores que a, esto es:

S = {n : nb > a; n = 0, 1, 2, . . . }.
Asegurese que S = ∅. Se tiene entonces que S tiene un elemento m´ınimo
(¿por qu´e?) digamos n0. Ahora verifique que q = n0 − 1 y r = a − qb satis-
facen las condiciones requeridas. (Haga un dibujo que ilustre la situacio´n.)

Esto prueba la “existencia” afirmada en el Teorema. La “unicidad” se
prueba del modo habitual: asuma que existen “otros” q y r que satisfacen
las condiciones del Teorema y obtenga una contradicci´on.
Cuestio´n 3.3. Demuestre que la sucesi´on 11, 111, 1111, . . . no contiene
cuadrados. Indicaci´on: Divida por 4.

En lo que sigue revisaremos dos “modos” de representar nu´meros. En
ambos casos, el fundamento teo´rico de tal representaci´on es la divisi´on en-
tera.

3.1.1 Sistemas de numeracio´n

Una aplicacio´n cotidiana de la divisio´n entera son los sistemas de numeracio´n
posicionales. En el caso del sistema de numeraci´on decimal se trata de
dividir en grupos de 10, 100, 1000, ... Y por supuesto, si prescindimos de
usar nuestro “querido” 10 hay diversas opciones. Representemos 97 en base
5 (Ver Figura 3.1).

Figura 3.1: 97 = 3 · 52 + 4 · 5 + 2
Una primera aplicaci´on de la divisi´on entera nos da

97 = 19 · 5 + 2.

3.1. DIVISIO´N ENTERA 27

Tenemos pues 2 unidades “sueltas” y 19 “quintetos”. Como

19 = 3 · 5 + 4,

tenemos 97 = 3 · 52 + 4 · 5 + 2.
En general se tiene el siguiente Teorema:

Teorema 3.4. Sea b un entero positivo ≥ 2. Cada entero positivo N puede
expresarse univocamente en la forma

N = akbk + ak−1bk−1 + · · · + a1b + a0,

donde a0, a1, . . . , ak son enteros no negativos menores que b, ak = 0 y k ≥ 0.

Demostraci´on. Para demostrar que N tiene la expresio´n indicada aplique la
divisi´on entera a N y b, obteniendo

N = q0b + a0 con 0 ≤ a0 < b. (3.1)

Si q0 = 0, divida q0 entre b. Obtendr´a
q0 = q1b + a1 con 0 ≤ a1 < b.

Continuando de este modo obtenemos:

q1 = q2b + a2 con 0 ≤ a2 < b
q3b + a3 con 0 ≤ a3 < b
q2 =
... con 0 ≤ ak−1 < b

qk−2 = qk−1b + ak−1

con N > q0 > q1 > q2 · · · y por tanto el proceso termina finalmente con

qk−1 = 0 · b + ak con 0 ≤ ak < b.

Para obtener la expresio´n deseada para N comenzamos sustituyendo en (3.1)
la expresi´on para q0:

N = b(bq1 + a1) + a0 = q1b2 + a1b + a0.

Si Ud. continua sustituyendo sucesivamente las expresiones para los qi,
obtiene la expresi´on requerida para N .

Para ver la unicidad, suponga que hay dos expresiones para N :

nn

N = aibi = cibi,

i=0 i=0

28 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

con las exigencias requeridas. Si escribimos di = ai − ci para i = 0, 1, . . . , n

tenemos n

dibi = 0 (3.2)

i=0

n

y, por tanto, dibi = −d0. Se tiene entonces que b es un divisor de ai, lo

i=1

cual es imposible a menos que d0 = 0 (¿Por qu´e?).

Divida ahora ambos miembros de la ecuaci´on (3.2) por b y muestre que

d1 = 0 y del mismo modo cada di = 0 (i = 0, 1, . . . , n) y as´ı ai = bi, lo que
termina la demostracio´n.

Quiza´ mas divertido que el Teorema anterior encuentre Ud. considerar
las siguientes cuestiones que tienen que ver con el car´acter posicional de los
sistemas de numeracio´n usados.

Cuesti´on 3.5. Considere las siguientes igualdades:

11 − 2 = 32
1111 − 22 = 332
111111 − 222 = 3332

Verifiquelas. ¿C´omo continu´a el patr´on? ¿Seguir´a as´ı para siempre?

Cuesti´on 3.6. Escriba un nu´mero cualquiera de 3 d´ıgitos, multipl´ıquelo
sucesivamente por 7, el resultado por 11 y este resultado por 13. ¿Qu´e
obtiene? Repita con otros nu´meros de tres d´ıgitos. Explique.

Cuestio´n 3.7. 1. Escriba un nu´mero de tres d´ıgitos abc con a > b > c.
Escriba el nu´mero que se obtiene invirtiendo el orden de esos d´ıgitos.
Reste al mayor de estos dos nu´meros el otro nu´mero que escribi´o.
Invierta los d´ıgitos de esta diferencia y sume el nu´mero obtenido a la
diferencia. Su profesor “adivinara´” el resultado. ¿Co´mo lo hizo?

2. Antes trabajamos en base 10 como es usual. Veamos qu´e pasa en
base 12. Necesitaremos s´ımbolos para 12 d´ıgitos en lugar de los 10
requeridos para trabajar con base 10. Sugerimos que use:

0, 1, 2, 3, 4.5, 6, 7, 8, 9, Ψ y Ω.

Al realizar las operaciones descritas en el item anterior, ¿qu´e resultado
obtiene?

3.1. DIVISIO´N ENTERA 29

3. Repita con base 16, ¿qu´e resultado obtiene?

Cuestio´n 3.8. El algoritmo “egipcio” para la multiplicaci´on: Encabece dos

columnas con los nu´meros que se desea multiplicar. En la primera columna

coloque sucesivamente la mitad, la mitad de la mitad y as´ı sucesivamente,

(ignorando los residuos) del nu´mero que encabeza la columna. En la segunda

columna coloque el doble, el doble del doble y as´ı sucesivamente, del nu´mero

que encabeza la columna. Continu´e esta operaci´on hasta que en la columna

izquierda se llegue a 1. Suprima las l´ıneas con un nu´mero par en la columna

de la izquierda y sume todos los nu´meros que sobreviven de la columna de

la derecha. Esta suma es el producto deseado.

Por ejemplo:

73 × 23

&3&6 &4&6
&1&8 &9&2

9 184

4 ¨36¨8
¡

2 ¨73¨6
¡

1 1472

1679

As´ı
73 × 23 = 1679.

Experimente con otros nu´meros. ¿Por qu´e esto funciona?

Cuestio´n 3.9. En una exploracio´n en el planeta Venus se encontro´ una
pintura rupestre con la siguiente adicio´n. Si suponemos que los venusinos
usan un sistema de numeraci´on posicional con una base igual al nu´mero de
sus dedos en una mano. ¿Cua´ntos dedos tiene una mano de un venusino?

Figura 3.2: Una suma“venusina”.

30 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

Tomado de M. Gardner, Mathematical Games, Scientific American, 219
(Sept. 1968), 218–230.

3.1.2 Fracciones continuas

Introducimos a continuacio´n, un to´pico con una larga y muy rica tradicio´n:
las fracciones continuas. Comencemos con un ejemplo. Al aplicar el algo-
ritmo de la divisio´n entera a los nu´meros enteros positivos 119 y 31 obten-
emos

119 = 3 · 31 + 26,

que podemos reescribir como

119 26
=3+ .

31 31

Escribiendo esto como

119 1
=3+ .

31 31

26
Aplicando, otra vez, la divisio´n entera obtenemos:

119 1
=3+ .
31 5
1+
26

Finalmente tenemos

119 1 ,
=3+
31 1
1+
26

5
y

119 1
=3+ .
31 1
1+
1
5+
5

119
Esta expresi´on para se denomina fracci´on continua. En general una

31
fracci´on continua es una expresi´on de la forma

q1 + 1 .
1
q2 +
1
q3 + q4 + · · ·

3.1. DIVISIO´N ENTERA 31

Los enteros q1, q2, q3, . . . se denominan cocientes parciales. Es f´acil que Ud.
se convenza de que cada racional positivo se puede escribir como una fracci´on
continua finita, usando el proceso descrito en el ejemplo.

Una interpretacio´n ligeramente diferente nos permitir´a cierta genera-
lizaci´on. Recordemos que [x] denota la parte entera del nu´mero real x.
Considere la fracci´on 470/193. Note que la expresio´n 470 = 2 · 193 + 84 nos
dice que [470/193] es justamente 3 y as´ı

470 470 84 84
= + =2+ .
193 193 193 193

Del mismo modo vemos que

193 193 25 25
= + =2+ .
84 84 84 84

Luego tenemos

470 1 .
=2+
193 25
2+
84

Continuando de este modo obtenemos:

470 1
=2+ .
193 1
2+
1
3+
1
2+
1
1+
1
3+
2

Este modo de ver las cosas nos permitir´a encontrar una fracci´on continua
para, por ejemplo, π. Tenemos

π = 3, 1415926535897932384626433 . . .

32 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

luego

π = 3 + 0, 1415926535897932384626433 . . .

=3+ 1
1

0, 1415926535897932384626433 . . .

1
=3+

7, 0625133059310457697930051 . . .

1
=3+

7 + 0, 0625133059310457697930051 . . .

1
=3+

7 + “un poquito m´as”

1
Observe que 3 + es una “buena” aproximacio´n de π.

7
Miremos ese “poquito ma´s”

0, 0625133059310457697930051 . . . = 1
1

0, 0625133059310457697930051 . . .

1
=

15, 996594406685719888923060 . . .

Sustituyendo tenemos

π = 3+ 1 .

7+ 1

15 + 0, 996594406685719888923060 . . .

Observe que

1 355
3 + = = 3, 1415929203539823008849557 . . .

1 113
7+

16
es una “buena” aproximaci´on de π.

Continuando

1
0, 996594406685719888923060 · · · =

1, 0034172310133726034641468 . . .

3.1. DIVISIO´N ENTERA 33

y entonces

1
π = 3+

1
7+

1
15 +

1, 0034172310133726034641468 . . .

La expresio´n

1
3+

1
7+

1
15 +

1

es una muy buena aproximaci´on de π, conocida ya en el siglo V por el
astr´onomo y matem´atico chino Zu Ch√ongzhi. √

Intentemos “hacer lo mismo” con 2. Como [ 2] = 1 tenemos

√√ 1
2 = 1 + ( 2 − 1) = 1 + √ .
1/( 2 − 1)

Como

1√
√ = 2 + 1,

2−1

sustituyendo obtenemos
√1
2=1+ √ .
2+1

√
Continuemos, [ 2 + 1] = 2 y entonces

√√ 11
2 + 1 = 2 + ( 2 − 1) = 2 + √ =2+ √ .
1/( 2 − 1) 2+1

y

√1
2=1+ .
1
2+ √
2+1

34 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

√
Es ahora fa´cil ver que la fraccio´n continua de 2 es:

√1
2=1+
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
...

Cuesti´on 3.10. 1. Encuentre la fracci´on continua de 213/78.
√

2. Ca√lcule los diez primeros t´erminos en las fracciones continuas de 3
y 5.
√

3. ¿Los t´erminos en la fracci´on continua de 3 siguen algu´n patr´on de
repeticio´n? Si Ud. piensa que esto es as´ı demuestre que esto ocurre.
√

4. ¿Los t´erminos en la fraccio´n continua de 5 siguen algu´n patr´on de
repetici´on? Si Ud. piensa que esto es as´ı demuestre que esto ocurre.

Cuesti´on 3.11. Considere la siguiente fraccio´n continua:

1
2+ .

1
2+

1
2+

1
2+ 2+···

Encuentre el nu´mero α al cual corresponde esta fracci´on continua. Indi-
caci´on: La fraccio´n continua anterior contiene una “copia” de s´ı misma.

Cuestio´n 3.12. La fraccio´n continua

1
1+

1
1+

1
1+

1
1+ 1+···

representa un famoso nu´mero irracional denominado raz´on de oro. Encuen-
tre ese nu´mero.

3.2. DIVISIBILIDAD 35

3.2 Divisibilidad

Si al aplicar el algoritmo de la divisi´on a los nu´meros enteros a y d obtene-
mos residuo 0, estamos en una situaci´on importante, con la que Ud. esta´
seguramente familiarizado y que se precisa en la siguiente definicio´n.

Definicio´n 3.13. Si a y d son enteros, diremos que d divide a a, y escribimos
d|a, si existe un entero k tal que

a = kd.

Otras terminolog´ıas equivalentes son: a es divisible por d, a es mu´ltiplo
de d, d es divisor de a o d es un factor de d.

Usando la definicio´n anterior Ud. demostrara´ sin dificultad el siguiente
Teorema.

Teorema 3.14. 1. a|a y a|(−a) para todo entero a = 0.

2. 1|a y −1|a para todo entero a.

3. a|0 para todo a = 0.

4. Si a|b entonces a|bx para cualquier x.

5. Si a|b y a|c entonces a|(bx + cy) paro cualesquiera x y y.

6. Si a|b y b|c entonces a|c.

7. Si a|b y b|a entonces a = ±b.

8. Si a > 0, b > 0 y a|b entonces b ≥ a.

Ud. podr´a formular y demostrar correspondientes versiones de los items
1 y 3 del Teorema anterior v´alidas para m´as de dos enteros.

Cuestio´n 3.15. A fin de revisar el concepto de divisibilidad le sugerimos
que trabaje las siguientes cuestiones:

1. ¿Existen enteros a, b, c tales que a|bc pero a |b y a |c?

2. Demuestre que el producto de tres enteros consecutivos es divisible
por 6.

3. Demuestre que para cada entero a se tiene que a|a3 − a.
4. Demuestre que si a entero impar 12|a2 + (a + 2)2 + (a + 4)2 + 1.

36 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

5. Demuestre que si a y b son enteros impares entonces 8|a2 − b2.

6. Hallar a, b y c enteros positivos distintos tales que la suma de dos de
ellos divida al tercero.

Cuesti´on 3.16. 1. Cua´ntos enteros positivos menores o iguales a 1000
son divisibles por 5? ¿por 25?, ¿por 125?, ¿por 625?.

2. ¿Cu´antos enteros entre 100 y 625 son divibles por 7? ¿por 49?

3. Encuentre el nu´mero de enteros positivos que no exceden a 1000 y no
son divibles por 3 ni por 5.

4. Encuentre el nu´mero de enteros positivos que no exceden a 1000 y no
son divibles por 3, 5 ni 7.

5. Encuentre el nu´mero de enteros positivos que no exceden a 1000 que
son divibles por 3 pero no por 4.

Cuestio´n 3.17. Observe que

2666 266 26 2 16 1
= = =y =

6665 663 65 5 64 4

Encuentre todos los pares de nu´meros de dos d´ıgitos ab y bc con la propiedad
ab a

que = .
bc c

3.3 Nu´meros primos

Una noci´on ba´sica que Ud. tambi´en conoce bien es la de nu´mero primo. Un
entero positivo > 1 es un nu´mero primo si solo tiene dos divisores positivos 1
y ´el mismo. Si un entero positivo > 1 no es primo decimos que es compuesto.
Note que 1 no es ni primo ni compuesto (¿Por qu´e esto es as´ı?), 1 es la
identidad multiplicativa o simplemente la unidad.

Ud. escribir´a fa´cilmente un listado de los “primeros” nu´meros primos.
¿Cua´ntos nu´meros primos hay? La famosa demostraci´on de Euclides de que
hay infinitos nu´meros primos es frecuentemente mencionada como una de
las mas hermosas demostraciones en Matema´tica. Se trata de la Proposicio´n
20 del Libro IX de los Elementos de Euclides.

La demostracio´n de Euclides es la siguiente

(El conjunto de todos) los nu´meros primos es m´as numeroso que
cualquier cantidad dada de nu´meros primos.

3.3. NU´MEROS PRIMOS 37

Sean A, B y C nu´meros primos dados. Digo que hay ma´s nu´meros
primos que A, B y C. To´mese el menor nu´mero medido por A, B
y C y sea este DE (Cuando Euclides dice “medido” nosotros de-
cimos “divisible”). An˜´adase la unidad DF a DE.

Entonces EF es primo o no. Si es primo, entonces hemos encon-
trado los nu´meros primos A, B, C y EF . (Este conjunto) es m´as
numeroso que A, B y C.
Si EF no es primo es medido por algu´n primo G. Digo que G
no es lo mismo que ninguno de los nu´meros A, B o C. Si lo
fuese, como A, B y C miden a DE entonces G mide tambi´en a
DE, pero este tambi´en mide a EF . Luego G, siendo un nu´mero,
medira´ el resto, la unidad DF lo cual es absurdo. Luego G no es
lo mismo que ninguno de los nu´meros A, B o C y por hipo´tesis
es primo. Hemos encontrado nu´meros primos A, B, C y G que
son ma´s que los nu´meros A, B y C. Q.E.D.

En notacio´n moderna podemos escribir una demostracio´n como sigue.

Teorema 3.18. Hay infinitos nu´meros primos.

Demostraci´on. Suponga que esto no es as´ı, y sean p1, p2, . . . , pn el conjunto
de todos los nu´meros primos. Sea

N = p1p2 · · · pn + 1.

El nu´mero N no es primo pues es mayor que cualquier primo, luego N es
divisible por un primo p. Pero ningu´n primo p1, p2, . . . , pn divide a N (¿Por
qu´e?) ¡Tenemos una contradiccio´n!

Cuesti´on 3.19. 1. Compare las “dos” demostraciones ¿Qu´e tan diferen-
tes son?

38 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

2. Un detalle: se ha usado en la demostracio´n que todo entero ≥ tiene un
factor primo. Ubique exactamente donde se uso´ este hecho. D´e una
demostraci´on del mismo. Indicaci´on: Use inducci´on fuerte.

Un problema importante es decidir si un nu´mero dado es primo o no.
Seguramente Ud. lo ha hecho con muchos nu´meros. Veamos un ejemplo:
¿1009 es primo?

Ud. vera´ de inmediato que no es divisible por 2, ni por 3, ni por 5.
Veamos que pasa con los siguientes primos. Note que 7 · 11 · 13 = 1001 y
1009 = 1001 + 8, se sigue que 1009 no es divisible ni por 7, ni por 11, ni por
13 ¿Por qu´e? ¿Qu´e pasa con 17? 17 divide a 51 luego, si 17 divide a 1009
debe dividir a 1060 y tambi´en a 106, pero esto no ocurre pues 17 divide
a 102. Por supuesto, se puede usar tambi´en la divisi´on entera y mirar el
residuo.

Ud. vera´ fa´cilmente que tampoco es 1009 divisible por 19, 23, 29 o 31.
De esto podemos concluir que 1009 es primo ¿Por qu´e?

Cuestio´n 3.20. 1. ¿Es 2017 primo?

2. Escriba un algoritmo para determinar si un nu´mero dado es primo. Es
importante que precise cu´ando parar la ejecuci´on del algoritmo.

3. IBM Roadrunner una supercomputadora del Laboratorio Nacional
Los A´ lamos en Nuevo M´exico realiza unas 1015 operaciones por se-
gundo. ¿Cu´anto tiempo toma a esta computadora, usando su algo-
ritmo, chequear si 10128 + 1 es primo?

4. Varios programas de c´omputo simb´olico poseen la “capacidad” de de-
terminar si un nu´mero dado es primo. En particular esto es muy fa´cil
usando Wolfram Alpha. Ensaye el uso de este recurso.

5. El t´ermino gu´gol designa al nu´mero 10100. Consulte informacio´n sobre
ese t´ermino. ¿Gu´gol + 1 es primo? Ud. puede responder a esta
cuestio´n obervando simplemente que −1 es solucio´n de la ecuacio´n
xm + 1 = 0 cuando M es impar.

6. ¿Qu´e es un gu´golplex? ¿gu´gol + 1 es primo? Pregu´ntele a Wolfram
Alpha.

7. En general considere la cuesti´on de si AB + 1 es primo.

Cuesti´on 3.21. Si n es un entero, 22n + 1,denotado Fn, es llamado nu´mero
de Fermat. Los primeros 5 nu´meros de Fermat, correspondientes a n =

3.3. NU´MEROS PRIMOS 39

0, 1, 2, 3, 4, son, respectivamente 3, 5, 17, 257 y 65537 y son primos. Fermat
conjetur´o que Fn era primo para cada entero no negativo n. Sin embargo
uno de los primeros descubrimientos de Euler en teor´ıa de nu´meros, fue que
F5 es compuesto. Espec´ıficamente, ´el demostr´o que F5 = 4294967297 =
641 · 6700417. Actualmente, los u´nicos nu´meros de Fermat primos conocidos
son precisamente F0, F1, F2, F3 y F4.

n−1

1. Demuestre que Fi = Fn − 2.

i=0

2. Demuestre que el u´ltimo d´ıgito de un nu´mero de Fermat Fn, para
n ≥ 3 es 7.

3. Demuestre que Fn para n > 0 es de la forma 12k + 5.

4. Demuestre que ningu´n nu´mero de Fermat es un cuadrado.

5. Demuestre que ningu´n nu´mero de Fermat es un cubo.

6. Demuestre que ningu´n nu´mero de Fermat, mayor que 3, es un nu´mero
triangular.

Cuesti´on 3.22. Mostraremos en este ejercicio que existen sucesiones de
nu´meros naturales consecutivos, tan largas como se quiera sin nu´meros pri-
mos.

1. Explique por que 1001!+2, 1001!+3, 1001!+4, . . . , 1001!+1000, 1001!+
1001 son todos nu´meros compuestos.

2. Encuentre n un nu´mero natural cualquiera. Encuentre n nu´meros
compuestos consecutivos.

El inter´es por los nu´meros primos proviene sin duda del siguiente hecho.

Teorema 3.23. Cada entero ≥ 1 es primo o puede ser escrito como producto
de primos.

Demostraci´on. La demostracio´n procede por inducci´on fuerte. El resultado
es cierto para n = 2. Supongamos que la afirmaci´on se cumple para los
nu´meros enteros 2, . . . , n y veamos que esto implica que tambi´en es cierta
para n + 1. Veamos, si n + 1 es primo no hay nada que demostrar, en otro
caso n + 1 es compuesto y es por tanto n + 1 = rs con 1 < r, s < n + 1, pero
por nuestra hipo´tesis inductiva r y s son producto de primos y tenemos el
resultado.

40 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

Hemos usado muchas veces este resultado. De hecho sabemos ma´s: la
factorizacio´n de un nu´mero natural solo puede hacerse (excepto orden de
los factores) de una manera. Esta propiedad se denomina propiedad de
factorizaci´on u´nica. Se trata de uno de esos resultados que a fuerza de
usarse nos dan la impresi´on de ser obvios. Quiza´ un modo de apreciar su
importancia es “ver” que hay “lugares” donde no se cumple.

Veamos. Hagamos una excursio´n a la Zona E, donde

E = {. . . , −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . . }.

Podemos sumar, restar o multiplicar nu´meros en la zona E exactamente
del modo usual, y esto nos permite introducir la siguiente definici´on: Sea
m, n ∈ E con n = 0, decimos que m E-divide a n si existe k ∈ E tal que
mk = n. Considere ejemplos que ilustren la definicio´n.

¿Qu´e ser´ıa un E-primo? Observe que una definicio´n razonable ser´ıa p ∈ E
es un E-primo si no posee E-divisores. Asumiendo esta definici´on considere
las siguientes factorizaciones:

180 = 6 · 30 = 10 · 18.

Note que 6, 30, 10 y 18 son E-primos.

Cuestio´n 3.24. En esta cuestio´n consideraremos otro sistema algebraico
donde no se cumple la factorizacio´n u´nica en primos. Sea

√√
Z[ −6] = {a + b −6 : a, b ∈ Z}.

√
En Z[ −6] consideraremos las operaciones de adici´on y multiplicacio´n tal
como se definen en C.

√ √√ √√
1. C√alcule (3+2 −6)+(−1+4 −6), (3+2 −6)(−1+4 −6) y − −6(1−
2 −6).

√
2. Verifique que la adici´on y la multiplicaci´on son “cerra√das” en Z[ −6],

es decir que al sumar o multip√licar elementos de Z[ −6] se obtiene
nuevamente un elemento de Z[ −6].

√
3. Definiremos las nociones de divisibilidad y nu´mero primo en Z[ −6]

de la misma manera en que lo hicim√os para Z. Escrib√e definiciones
precisas de estos conceptos. ¿10 + 3 −6 es primo en Z[ −6]?

3.3. NU´MEROS PRIMOS 41

√
4. Para abordar el problema de decidir si un elemento de Z[ −6] es primo

o no, usar√emos la no√ci´on de norma. La norma N (α) de un elemento
α = a + b −6 en Z[ −6] se define como

N (α) = a2 + 6b2.
√

Note que la norma de cada elemento de√Z[ −6] es un nu´mero entero
no negativo. Demuestre que si α, β ∈ Z[ −6] se tiene que

N (αβ) = N (α)N (β).
√√
5. Suponga que α, β ∈ Z[ −6] y 2 + −6 = αβ. Obse√rve que N (αβ) =
10. ¿Qu´e puede concluir Ud. sobre α y β? ¿Es 2 + −6 primo?

6. Usando el p√rocedimiento descrit√o antes considere nuevame√nte la cuesti´on
de si 10 + 3 −6 es primo en Z[ −6]. ¿Es 2 primo en Z[ −6]? ¿y 5?.

7. Ud sabe bien que 10 = 2 · 5, verifique que
√√

10 = (2 + −6)(2 − −6).
√
¿En Z[ −6] se cumple la propiedad de la factorizaci´on u´nica?

Cuesti´on 3.25. Este ejercicio le pide a Ud. que continue investigando sobre
la zona E. Recuerde que para los prop´ositos de este ejercicio, ¡los nu´meros
impares no existen!

1. Describa todos los E-primos.

2. Pruebe que cada nu´mero par puede ser factorizado como producto de
E-primos. Indicaci´on: Mimetice nuestra prueba para enteros ordinar-
ios.

3. Vimos que 180 tiene tres factorizaciones diferentes como producto de
E-primos. Encuentre el menor nu´mero con dos factorizaciones difer-
entes como producto de E-primos. ¿Es 180 el menor nu´mero con
tres E-factorizaciones? Encuentre el menor nu´mero con cuatro E-
factorizaciones.

4. El nu´mero 12 tiene una u´nica factorizaci´on como producto de primos:
12 = 2 · 6. (Como es usual consideramos 2 · 6 y 6 · 2 como la misma
factorizacio´n.) Describa todos los nu´meros pares que tengan s´olo una
factorizacio´n como producto de E-primos.

42 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

Cuesti´on 3.26. Bienvenido al M-mundo, donde los u´nicos nu´meros que
existen son los enteros positivos que dejan resto 1 cuando son divididos
entre 4. En otras palabras, los u´nicos M-nu´meros que existen son

{1, 5, 9, 13, 17, 21, . . . }.

En el M-mundo, no podemos sumar nu´meros. Pero podemos multipli-
carlos pues si a y b dejan resto 1 cuando son divididos entre 4 tambi´en eso
hace su producto.

Decimos que m M-divide a n si n = mk para algu´n M-nu´mero k y
decimos que n es M-primo si sus u´nicos M-divisores son 1 y el mismo. (No
consideraremos a 1 un M-primo.)

1. Encuentre los primeros M-primos.

2. Encuentre un M-nu´mero n que tenga dos factorizaciones diferentes
como un producto de M-primos.

En la pr´oxima secci´on demostraremos que en Z si se cumple la propiedad
de factorizacio´n u´nica.

Cuesti´on 3.27. Sea τ (n) el nu´mero de divisores de un nu´mero natural n.

1. Complete la siguiente tabla

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
τ (n)

2. Encuentre τ (1000), τ (45), τ (144) y τ (700).

3. Conjeture y demuestre una formula para τ (n).

4. Demuestre que si m y n no tienen factores comunes diferentes de 1 se
cumple que τ (mn) = τ (m)τ (n). Las funciones con esta propiedad se
denominan multiplicativas.

5. Seguramente Ud. habra´ observado que “muchas veces” τ (n) es par.
Caracterice aquellos nu´meros n para los cuales τ (n) es impar.

3.4. MA´XIMO COMU´N DIVISOR 43

3.4 M´aximo Comu´n Divisor

El siguiente es un problema tomado de A´lgebra por Leonhard Euler (1770).

Cuesti´on 3.28. Una persona compro´ caballos y bueyes por un total de
1770 escudos. Pago´ 31 escudos por caballo y 21 escudos por buey. ¿Cua´ntos
caballos y bueyes fueron comprados?

Observe que se trata de encontrar soluciones que sean nu´merosa enteros
para la ecuacio´n

31x + 21y = 1770.

Tales ecuaciones se denominan Ecuaciones Diof´anticas lineales. En este
caso requerimos dadas las condiciones del problema que las soluciones sean
enteros positivos. En esta secci´on abordaremos sistem´aticamente este tipo
de problemas.

Comencemos revisando la bien conocida noci´on de Ma´ximo Co´mun Divi-
sor. El m´aximo comu´n divisor de dos nu´meros enteros a y b, no ambos cero,
que denotaremos mcd(a, b), es el mayor nu´mero positivo que divide tanto
a a como a b. Esta noci´on y un algoritmo para calcular el ma´ximo comu´n
divisor usando descomposici´on en factores primos son bien conocidos.

Si mcd(a, b) = 1 decimos que a y b son primos relativos.

Cuestio´n 3.29. Sean a y b nu´meros enteros, no ambos cero, si mcd(a, b) =
d. Demuestre que

ab
mcd , = 1.

dd

Un algoritmo para obtener el m´aximo comu´n divisor de dos enteros a y b
aparece descrito en los Elementos de Euclides. Se basa en la divisio´n entera
y recibe el nombre de Algoritmo de Euclides. Podemos siempre asumir que
a y b son enteros positivos (pues mcd(−a, b) = mcd(a, −b) = mcd(−a, −b))
y a > b. Veamos c´omo funciona usando un ejemplo.

Sea a = 2076 y b = 1776. La divisio´n entera permite escribir

2076 = 1 · 1776 + 300.

De esta igualdad vemos que los divisores comunes de 2076 y 1776 son los
mismos que los divisores comunes de 1776 y 300. Luego

mcd(2076, 1776) = mcd(1776, 300).

44 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

¡Hemos reducido el problema a uno ma´s fa´cil! (Los nu´meros son ahora ma´s
pequen˜os). Dividiendo ahora 1176 por 300 tenemos

1776 = 5 · 300 + 276,

y tenemos que

mcd(1776, 300) = mcd(300, 276).

Una tercera divisi´on da:

300 = 1 · 276 + 24,

y as´ı

mcd(300, 276) = mcd(276, 24).

Continuando tenemos

276 = 11 · 24 + 12,

y
mcd(276, 24) = mcd(24, 12).

Como

24 = 2 · 12 + 0,

el m´aximo comu´n divisor de 2076 y 1776 es igual a mcd(24, 12) = 12 (el
u´ltimo residuo en esta sucesi´on de divisiones que sea diferente de 0).

El algoritmo funciona con total generalidad: dados a y b positivos con
a > b, aplicamos sucesivamente la divisio´n entera obteniendo las ecuaciones:

a = bq0 + r1, 0 ≤ r1 < r0
b = r1q1 + r2, 0 ≤ r2 < r1
r1 = r2q2 + r3, 0 ≤ r3 < r2
... ... ...

y la sucesi´on de residuos

b = r0 > r1 > r2 > r3 > · · · ≥ 0.

Claramente el proceso termina cuando un residuo rn+1 = 0. Las dos u´ltimas
ecuaciones de ese proceso son

rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn < rn−1

y
rn−1 = rnqn+1.

3.4. MA´XIMO COMU´N DIVISOR 45

As´ı tenemos

mcd(a, b) = mcd(a, r0) = mcd(r0, r1) = mcd(r1, r2) = · · · = mcd(rn−1, rn) = rn,

el u´ltimo residuo no nulo.

Cuestio´n 3.30. 1. Use el algoritmo de Euclides para calcular mcd(12345, 67890)
y mcd(54321, 9876).

2. Escriba un programa que calcule el Ma´ximo Comu´n Divisor mcd(a, b)
de dos enteros positivos a y b.

3. Sean b = r0, r1, r2, ... los restos sucesivos obtenidos al aplicar el algo-
ritmo de Euclides a a y a b.

(a) Demuestre que despu´es de cada dos pasos, el resto se reduce al
menos a la mitad. En otras palabras, verifique que

1
ri+2 < 2 ri, para cada i = 0, 1, 2, 3, ...

(b) Concluya que el algoritmo de Euclides termina en a lo m´as en
2 log2(b) pasos.

(c) En particular, demuestre que el nu´mero de pasos es a lo m´as 7
veces el nu´mero de d´ıgitos en b. Indicaci´on: ¿Cu´al es el valor de
log2(10)?

(d) Sea b = 10128 + 1. ¿Cua´ntos pasos necesita Ud. para encontrar
mcd(a, b) con a > b?

Cuestio´n 3.31. Un nu´mero L es un mu´ltiplo comu´n de m y n si tanto
m como n dividen a L. El menor de tales L es llamado el m´ınimo comu´n
mu´ltiplo de m y n y es denotado por mcm(m, n) . Por ejemplo mcm(3, 7) =
21 y mcm(12, 66) = 132.

1. Encuentre mcm(8, 12), mcm(20, 30), mcm(51, 68) y mcm(23, 18).

2. Para cada uno de los m´ınimo comu´n mu´ltiplos que Ud. calculo´ com-
pare el valor de mcm(m, n) y mcd(m, n). Trate de encontrar una
relaci´on.

3. D´e un argumento para demostrar que la relacio´n que Ud. encontr´o es
correcta para todos los enteros m y n.

4. Use su resultado en (b) para calcular mcm(301337, 307829).

46 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

5. Suponga que mcd(m, n) = 18 y mcm(m, n) = 720. Encuentre m y n.
¿Hay m´as de una respuesta? Si es as´ı, encu´entrelas todas.

6. Si a y b son enteros positivos tales que a + b = 5432 y mcm(a, b) =
223020, halle a y b.

Cuesti´on 3.32. Encuentre siete nu´meros positivos compuestos menores que
360 que sean primos relativos dos a dos. Demuestre que es imposible encon-
trar ocho de tales nu´meros.

Adema´s de la eficiencia del Algoritmo de Euclides para encontrar el
Ma´ximo Comu´n Divisor de dos nu´meros enteros a y b, el inter´es por este
proceso es que nos permite algo ma´s. Es f´acil ver que cada residuo obtenido
se puede escribir como “combinacio´n lineal” de a y b. Veamos primero un
ejemplo. Sea a = 60 y b = 22. Aplicando sucesivamente la divisio´n entera
encontramos, como se vio anteriormente, que mcd(60, 22) = 2 y adicional-
mente como se ve a continuacio´n podemos escribir 2 como un mu´ltiplo de 60
ma´s un mu´ltiplo de 22 simplemente despejando cada residuo y sustituyendo.
Examine detalladamente los ca´lculos que siguen.

60 = 2 · 22 + 16 entonces 16 = 60 − 2 · 22
22 = 1 · 16 + 6 entonces 6 = 22 − 1 · 16

16 = 2 · 6 + 4 entonces = 22 − 1 · (60 − 2 · 22)
= − 60 + 3 · 22
6 = 1 · 4 + 2 entonces 4 = 16 − 2 · 6
= ( 60 − 2 · 22 ) − 2 · (− 60 + 3 · 22 )
= 3 · 60 − 8 · 22

2 = 6−1·4
= (− 60 + 3 · 22 ) − 1 · (3 · 60 − 8 · 22 )
= −4 · 60 + 11 · 22

4 = 2· 2 +0

En el caso general, tenemos:

a = q1b + r1 entonces r1 = a − q1b
b = q2r1 + r2 entonces r2 = b − q2r1

r1 = q3r2 + r3 entonces = b − q2(a − q1b)
= −q2a + (1 + q1q2)b
... r3 = r1 − q3r2
= (a − q1b) − q3(−q2a + (1 + q1q2))b
= (1 + q2q3)a − (q1 + q3 + q1q2q3)b

...