Teoria de Numeros

3.4. MA´XIMO COMU´N DIVISOR 47

El algoritmo muestra que siempre es posible escribir

mcd(a, b) = u´ltimo residuo no nulo = un mu´ltiplo de a + un mu´ltiplo de b.

Diremos que hemos expresado el m´aximo comu´n divisor de a y b como
una combinaci´on lineal de a y de b. Tenemos pues un algoritmo para encon-
trar una soluci´on con nu´meros enteros de la ecuaci´on

ax + by = mcd(a, b).

Cuesti´on 3.33. 1. Usando el algoritmo de Euclides encuentre el ma´ximo
comu´n divisor de cada uno de los siguientes pares:

(a) 1024, 1000
(b) 2076, 1076
(c) 2017, 1500

2. Exprese el m´aximo comu´n divisor de cada uno de los pares anteriores
como una combinaci´on lineal de los nu´meros dados.

Cuesti´on 3.34. Sean a y b nu´meros enteros, no ambos cero, y sea

S = {xa + yb : x, y ∈ Z}.

Demuestre que mcd(a, b) es el menor elemento positivo del conjunto S.

Cuesti´on 3.35. 1. Demuestre que si m > n entonces mcd(Fm, Fn) = 1.
2. Use el resultado anterior para demostrar que hay infinitos primos (esta
demostraci´on de la infinitud de los primos se atribuye a Goldbach).

Veremos dos aplicaciones importantes de este modo de escribir el ma´ximo
comu´n divisor de dos nu´meros.

3.4.1 Teorema fundamental de la Aritm´etica

La proposicio´n 30 del libro VII de los Elementos de Euclides, hoy llamada
Lema de Euclides, sera´ la base de la demostracio´n de la propiedad de facror-
izaci´on u´nica, conocida como Teorema Fundamental de la Aritm´etica.

Lema 3.36. (Lema de Euclides) Si p es un nu´mero primo y p|ab, entonces
o bien p|a o p|b.

48 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

Demostraci´on. Supongamos que p |a, entonces mcd(p, a) = 1 (¿Por qu´e?)
y por el algoritmo de Euclides existen enteros x, y tales que

xp + ya = 1.

Multiplicando ambos lados de la ecuacio´n anterior por b tenemos que

xpb + yab = b.

Ambos sumandos del lado izquierdo de la ecuacio´n anterior son divisibles
por p, luego b es divisible por b.

Cuesti´on 3.37. Demuestre la siguiente versi´on generalizada del resultado
anterior, llamada a veces tambi´en Lema de Euclides: Si c|ab y c y a son
primos relativos entonces c|b.

Cuesti´on 3.38. Use inducci´on para demostrar la siguiente generalizacio´n
del Lema de Euclides: Si p es un nu´mero primo y p|a1a2 · · · pn entonces p|ai
para alg´ın i = 1, 2 . . . , n.

Estamos listos ahora para demostrar el Teorema Fundamental de la Ar-
itm´etica. Note que la idea ba´sica de la demostraci´on es el Lema de Eu-
clides, conocida pues por los antiguos griegos. Sin embargo el enunciado
y demostracio´n del teorema es de C. F. Gauss en 1801. ¿Desconoc´ıa Eu-
clides este resultado? Seguramente que no, sin embargo recu´erdese que no
ten´ıa notaciones como las actuales para escribir digamos 600 = 23 · 3 · 52 o
n = pe11 p2e2 · · · pnen .

Los sistemas algebraicos que satisfacen la propiedad de factorizaci´on
u´nica se denominan dominios de factorizaci´on u´nica o dominios gaussianos.

Teorema 3.39. (Teorema fundamental de la Aritm´etica.) Cada en-
tero mayor que 1 puede ser escrito como el producto de uno o m´as primos
y, excepto el orden de los primos, esta representaci´on es u´nica.

Demostraci´on. Sea n un entero mayor que 1. Ya demostramos que n se
puede escribir como producto de primos, resta ver que esta representacio´n
es u´nica.

Supongamos que dos de tales productos de primos son iguales a n, dig-
amos

n = p1p2 · · · pn y n = q1q2 · · · qm.
Como p1|n se tiene que p1|qi donde 1 ≤ i ≤ m. Podemos suponer que i = 1.
Como p1 y q1 son primos p1 = q1 y

p2 · · · pn = q2 · · · qm.

3.4. MA´XIMO COMU´N DIVISOR 49

Vemos, ahora, que p2|q2 · · · qm y por tanto p2|qi para un qi con 2 ≤ i ≤ m.
Como p2 y q2 son primos p2 = q2 y

p3 · · · pn = q3 · · · qm.

Note que, si continuamos de este modo, no pueden agotarse los primos de
un lado de la igualdad, si aun hay primos en el otro miembro, pues si esto
ocurriese tendr´ıamos un producto de primos igual a 1 lo cual es imposible.

As´ı pues continuando de este modo vemos que pi = qi para cada i con
1 ≤ i ≤ n = m y tenemos demostrado el resultado.

Cuesti´on 3.40. 1. Encuentre el nu´mero de ceros al final de 234!.

2. Sea p un nu´mero primo. Encuentre una f´ormula para el exponente e
de p en la descomposici´on en factores primos de n!.

Cuesti´on 3.41. Encuentre el menor entero positivo n tal que n/2 sea un
cuadrado de un entero, n/3 sea un cubo de un entero y n/5 una quinta
potencia tambi´en de un entero.

3.4.2 Ecuaciones lineales diof´anticas

Volvamos ahora al problema de resolver ecuaciones diofa´nticas lineales. Use
el algoritmo de Euclides para encontrar una solucio´n con enteros positivos
de la ecuacio´n.

178x + 312y = mcd(178, 312).

Ud. vera´ f´acilmente que (−7, 4) es una solucio´n de esta ecuaci´on. ¿Hay m´as
soluciones? Claramente si Ud. suma un mu´ltiplo de 312, digamos 312t, con
t ∈ Z, a −7 y resta 178t a 4 obtiene una nueva solucio´n. De hecho, los
elementos del conjunto

{(−7 + 312t, 4 − 178t) : t ∈ Z},

son todos soluciones de la ecuacio´n diof´antica 178x + 312y = 2.
Hemos mostrado co´mo encontrar infinitas soluciones de la ecuaci´on ax +

by = mcd(a, b). Abordemos ahora el problema general de resolver la ecuaci´on
diofa´ntica ax + by = c. Nuevamente consideremos un ejemplo.

Encontrar enteros x, y tales que 8x + 10y = 6.

Dos preguntas naturales surgen en relaci´on a este tipo de problemas:

1. ¿Existen soluciones?

50 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

2. Para un conjunto de condiciones dadas ¿hay ma´s de una soluci´on?
¿podemos encontrarlas todas?

En nuestro ejemplo, 20x + 12y = 8, aplicando el algoritmo de Euclides
encontramos que mcd(20, 12) = 4 y

20 · (−1) + 12 · 2 = 4.

Como 8 = 4 · 2, al multiplicar la ecuacio´n anterior por 2 obtenemos:

20 · (−2) + 12 · 4 = 8.

Lo cual nos da la soluci´on (−2, 4) de la ecuaci´on 20x + 12y = 8.
Consideremos ahora la ecuaci´on 20x+12y = 7. Note que mcd(20, 12) = 4

no divide a 7, luego la nueva ecuaci´on no tiene soluciones enteras, en efecto
si las tuviese 4 ser´ıa un divisor de 2x + 12y y por tanto de 7, lo cual no es
cierto.

El lector no tendr´a dificultad para completar los detalles de la demostraci´on
del siguiente Teorema

Teorema 3.42. (Condicio´n de solubilidad.) Considere la ecuaci´on gen-
eral lineal diof´antica con dos inc´ognitas x, y ∈ Z:

ax + by = c, a, b, c ∈ Z.

Sea d = mcd(a, b). Entonces x + by = c tiene una soluci´on si y s´olo si c es
divisible por d.

Consideremos la ecuacio´n ax+by = c en el caso en el cual d = mcd(a, b)|c.
Sea c = rd, aplicando el algoritmo de Euclides encontramos x0, y0 tales que

ax0 + by0 = d.

Multiplicando por r tenemos

a(x0r) + b(y0r) = c,

y as´ı la ecuaci´on ax + by = c tiene la solucio´n (x0r, y0r).
De hecho si tenemos una solucio´n, como vimos antes hay infinitas solu-

ciones y se tiene el siguiente Teorema.

Teorema 3.43. Sea d el m´aximo comu´n divisor de los enteros a y b. La
ecuaci´on lineal diof´antica ax+by = c tiene solucio´n si y solo si d|c y adem´as

3.4. MA´XIMO COMU´N DIVISOR 51

si x = x1 y y = y1 es una soluci´on de la ecuaci´on, entonces todas las
soluciones vienen dadas por

ba
u = x1 + t d y v = y1 − t,
d

donde el par´ametro t recorre todos los nu´meros enteros.

Demostraci´on. Solo resta verificar que efectivamente las expresiones dadas
para x y y satisfacen la ecuacio´n ax + by = c, lo cual Ud. har´a sin dificultad,
y comprobar que si (x1, y1) es una solucio´n cualquier solucio´n (u, v) sera´ de
la forma indicada.

Como ax1 + by1 = c y au + bv = c tenemos ax1 + by1 = au + bv y as´ı

a(u − x1) = b(y1 − v). (3.3)

Dividiendo ambos miembros por d tenemos

ab
d (u − x1) = d (y1 − v).

Como mcd a , b = 1 se tiene que b divide a u− x1 y as´ı
d d d

− x1 b
u = t para algu´n entero t,
d

´o b

u = x1 +t para algu´n entero t.
d

Finalmente, sustituyendo esta expresio´n para u en la ecuacio´n (3.3) obten-

emos a

v = y1 − t.
d

Cuestio´n 3.44. 1. Encuentre todos los pares x, y ∈ Z tales que
3x + 4y = 9.

2. Encuentre todas las soluciones enteras posititivas de 19x+99y = 1999.
3. Resuelva la Cuestion 3.28.

52 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

Cuestio´n 3.45. Veintitr´es viajeros cansados llegan a las afueras de un
exuberante y hermoso bosque. Ellos encontraron 63 montones iguales de
pl´atanos y siete frutos solos, y los dividieron en montones iguales. Encuen-
tre el nu´mero de frutos en cada mont´on. (Mahavira)
Nota: Mahavira (814-877) fue un astro´nomo y matema´tico hindu´.

Cuestio´n 3.46. Tres marineros y un mono han sido abandonados en una
isla desierta. Durante el d´ıa ellos recogen cocos para comer. Cansados
deciden irse a dormir y dividir los cocos por la man˜ana. Uno de ellos de-
spierta, divide los cocos en tres montones iguales, sobra un coco el cual da
al mono, esconde un tercio para ´el, junta los montones restantes y regresa a
dormir. Un segundo marinero se despierta y hace otro tanto: divide en tres
montones, da al mono un coco sobrante, esconde un mont´on para ´el, junta
las cocos restantes y vuelve a dormir. El tercer marinero despierta casi al
amanecer, da un coco al mono y divide el resto en tres pilas iguales. ¿Cu´al
es la menor cantidad de cocos en la pila inicial para que lo ocurrido en la
noche sea posible?
Nota: Esta una versio´n simplificada de un problema propuesto por Ben
Ames Williams en la edici´on del 9 de octubre de 1926, en The Saturday
Evening Post bajo el t´ıtulo “Cocos”. Williams era un contratista de obras
que deseaba evitar que un competidor suyo consiguiera un contrato muy
lucrativo. Conociendo el amor de su competidor por las matem´aticas recre-
ativas, Williams propuso el intrigante problema y logr´o su objetivo: su com-
petidor se obsesion´o con resolverlo y olvid´o introducir su oferta antes de la
fecha l´ımite.

Cuesti´on 3.47. Encuentre las soluciones enteras del sistema x+y +z = 240
y 97x + 56y + 3z = 10047.

Propuesto por Johann Mu¨ller (1436-1476), apodado Regiomontano por
la traducci´on latina del nombre de la ciudad alemana donde nacio´: Ko¨nigsberg.
Fue un astro´nomo y matem´atico alem´an.

Cuesti´on 3.48. En el mencionado libro A´lgebra, Euler popularizo´ un m´etodo
de soluci´on que consiste esencialmente en reducir la tarea de resolver una
ecuacio´n lineal diofa´ntica a otra de coeficientes m´as pequen˜os. Veamos el
m´etodo con un ejemplo.

Un granjero compra vacas por $80 cada una y cerdos por $50 cada
uno. Dispone de $810 ¿Cua´ntas vacas y cu´antos cerdos puede comprar?
La ecuacio´n diofa´ntica correspondiente a este problema es 8x + 5y = 81,
como y tiene el coeficiente mas pequen˜o resolvemos para y:

81 − 8y
y= .

5

3.5. ALGUNAS ECUACIONES DIOFA´NTICAS NO LINEALES 53

“Extrayendo” los mu´ltiplos de 5 de 81 y 8 tenemos

y = (16 − x) + 1 − 3x
5.

Si escribimos t = 1 − 3x tenemos la ecuacio´n con coeficientes mas pequen˜os

5
5t + 3x = 1. Observe que t debe ser un entero si x y y lo son. Aplicando la

misma idea a la nueva ecuaci´on tenemos:

x = 1 − 5t = 1 − (2 · 3 − 1)t = −2t + t + 1
,
33 3

y si ahora escribimos u = t+1 y sustituimos en las expresiones para x y y

tenemos 3

x = 2 − 5u,

y
y = 8u + 13.

donde u ∈ Z.

1. De acuerdo a lo requerido en el problema nos interesan solo soluciones
positivas. Halle dichas soluciones.

2. Use el m´etodo de Euler para resolver las ecuaciones diof´anticas

(a) 15x + 47y = 2,
(b) 31x + 7y = 1.

3. Diana entra en el supermercado para comprar una vela. Una vela
cuesta 29 centavos. Ella tiene un billete de $ 2, y el comerciante solo
tiene monedas de 5 centavos y 6 centavos. Al darle el cambio en estas
denominaciones, ¿cua´l es el producto m´as grande que puede obtener
al multiplicar el nu´mero de monedas de 5 centavos por el nu´mero de
monedas de 6 centavos en el cambio? Use los dos m´etodos que hemos
estudiado para resolver este problema.

Cuesti´on 3.49. Resuelva la ecuacio´n diof´antica 6x + 8y + 12z = 10.

3.5 Algunas ecuaciones diof´anticas no lineales

Consideraremos algunas ecuaciones diof´anticas no lineales. No hay un m´etodo
de solucio´n general.

54 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

Ejemplo 3.50. ¿Cu´antos pares (x, y) de nu´meros naturales hay para los
cuales x2 − y2 = 64?

Las observaciones elementales que x2 − y2 factoriza como (x + y)(x − y),
que x > y, que los nu´meros naturales x + y y x − y cumplen x + y > x − y
y que las descomposiciones de 64 en dos factores son:

64 = 1 × 64 = 2 × 32 = 4 × 16 = 8 × 8,

permiten por simple inspecci´on determinar que (17, 15) satisface las condi-
ciones requeridas. ¿Hay ma´s?

Ejemplo 3.51. ¿Cua´ntos pares (x, y) de nu´meros naturales hay tales que
x + y = xy?

Si x y y son reales distintos de cero, siempre existe un nu´mero real k = 0
tal que x = ky. Sustituyendo esta expresi´on en la condicio´n dada tenemos

ky + y = ky2,

luego

k + 1 = ky

y
1

y=1+ .
k

1
El u´nico valor de k tal que x = ky y y = 1 + sean nu´meros naturales es

k
k = 1, luego la u´nica solucio´n de la ecuacio´n dada es (2, 2).

Ejemplo 3.52. Si x y y son nu´meros naturales tales que x + y + xy = 9,
¿cu´al es el mayor valor posible de xy?

Reescribiendo la condici´on como (x + 1)(y + 1) = 10 y listando las fac-
torizaciones de 10 se obtiene la respuesta.

Cuesti´on 3.53. 1. Encuentre las soluciones enteras positivas de
11 1
+= .
x y 12

2. ¿Cua´ntos pares ordenados de nu´meros enteros (x, y) satisfacen la sigu-
iente condicio´n?
√ √√
0 < x < y y 2017 = x + y.

3.5. ALGUNAS ECUACIONES DIOFA´NTICAS NO LINEALES 55

3. ¿Cua´ntas ternas ordenadas (a, b, c) hay tales que a + 2b = c y a2 + b2 =
c2 con a, b, c ∈ N ?

4. ¿Cua´ntos pares ordenados (a, n), con a, n ∈ N, existen que satisfagan
la ecuaci´on
n! + 10 = a2?

5. El diagrama muestra un rect´angulo bordeado por una regio´n embal-
dosada con un nu´mero entero de cuadrados iguales cuyo lado es igual al
ancho del borde. Requerimos que el a´rea del borde (la regi´on rayada)
al ´area del recta´ngulo interior. ¿Cu´al es el m´ınimo nu´mero de cuadra-
dos necesarios para embaldosar el borde del rect´angulo?

56 CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BA´SICOS

Cap´ıtulo 4

Congruencias

En este Cap´ıtulo estudiaremos un concepto fundamental que “revoluciona”
el modo de tratar problemas de divisibilidad: la idea de congruencia y ar-
itm´etica modular. Aunque las ideas implicadas aparecen previamente, fue
Gauss en 1801 quien la define en su famoso libro Disquisitiones arithmeticae.

A continuacio´n proponemos algunas cuestiones que resolveremos en este
Cap´ıtulo usando estas ideas.

Cuestio´n 4.1. Demuestre que en cada an˜o (incluyendo los bisiestos) hay al
menos un Viernes 13. ¿Cu´al es el nu´mero ma´ximo de Viernes 13 en un an˜o?

Cuestio´n 4.2. Dado un nu´mero positivo n, trunque n borrando las cifras

de las unidades y las decenas, entonces duplique el nu´mero que resta y

an˜a´dale el nu´mero de dos d´ıgitos que quito´. El resultado es divisible por 7

si y solo si n es divisible por 7. Repita el proceso hasta que la divisibilidad

o no divisibilidad por 7 sea obvia. Considere por ejemplo n = 13295476.

Tenemos

2(132954) + 76 = 265984

2(2659) + 84 = 5402

2(54) + 02 = 110.

Como 110 no es divisible por 7, 13295476 no es divisible por 7.
Repita el procedimiento con otros nu´meros para verificar la efectividad

del criterio. ¿Por qu´e funciona?

4.1 Propiedades b´asicas

Dados tres nu´meros enteros a, b y m con m ≥ 2 decimos que a es congru-
ente con b m´odulo m, lo cual denotaremos a ≡ b mod m, si m|(a − b), o
equivalentemente a y b dejan el mismo residuo al ser divididos por m.

57

58 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Por ejemplo 3 ≡ 15 mod 12 (las 3 pm equivalen a las 15 horas de la
“hora militar”), 5x ≡ 6 mod 11 significa que existe un entero k tal que
5x = 11k + 6. Del mismo modo, si 3x + 5y = 7 entonces 3x ≡ 7 mod 5
y 5y ≡ 7 mod 3. Ud. encontrar´a fa´cilmente m´as ejemplos que ilustren la
idea.

Recordemos algunas nociones ba´sicas del lenguaje de los conjuntos. Una
partici´on de un conjunto no vac´ıo S es una colecci´on de subconjuntos no
vac´ıos, disjuntos de S cuya uni´on es S. Por otra parte una relaci´on R es S
es cualquier subconjunto del producto cartesiano S × S = {(a, b) : a, b ∈ S};
decimos que aRb si y solo si (a, b) ∈ R. Por ejemplo R = {(a, b) : a|b} es
una relacio´n en Z × Z.

Una relaci´on R en S es reflexiva si aRa para todo a ∈ S, sim´etrica si
aRb implica bRa y transitiva si siempre que aRb y bRc se tiene que aRc.
Si R es reflexiva, sim´etrica y transitiva, decimos que R es una relaci´on de
equivalencia.

Si en un conjunto no vac´ıo S tenemos una relacio´n de equivalencia R,
para cada a ∈ S sea Ra = {x ∈ S : xRa}, los subconjuntos Ra forman una
partici´on de S. Cada uno de estos subconjuntos de S se denomina clase de
equivalencia. Note que dos elementos a y b de S esta´n en la misma clase de
equivalencia si y solo si aRb.

Por otra parte, si en S tenemos una particio´n P = {Ai : i ∈ I}, podemos
definir una relacio´n de equivalencia R en S estableciendo aRb si y solo si
a y b pertenecen ambos al mismo conjunto de la partici´on. El lector debe
verificar las afirmaciones anteriores y demostrara´ el siguiente Teorema.

Teorema 4.3. La relaci´on de congruencia, a ≡ b mod m (m entero ≥ 2,
es una relaci´on de equivalencia en el conjunto de los enteros.

Las clases de equivalencia de la relaci´on de congruencia m´odulo m en Z
se llaman clases residuales m´odulo m. Ud. ver´a f´acilmente que las clases
residuales mo´dulo m est´an formadas por los enteros que dejan el mismo
residuo cuando son divididos por m. Hay pues m clases residuales mo´dulo
m. De hecho, la clase residual m´odulo m que contiene a a es:

(a)m = {a + km : k ∈ Z}.

Por ejemplo (3)5 = {. . . , −12, −7, −2, 3, 8, 13, . . . }. Escriba Ud. todas
las clases residuales m´odulo 5.

Si tenemos m enteros que no son congruentes entre s´ı mo´dulo m, las
clases residuales que los contienen agotan los elementos de la particio´n in-
ducida por la relacio´n de congruencia m´odulo m. Nos referimos a cualquier

4.1. PROPIEDADES BA´SICAS 59

de tales conjuntos de m enteros que no sean congruentes entre s´ı m´odulo
m, como sistema completo de residuos mo´dulo m. Por ejemplo, {0, 1, 2} es
un sistema completo de residuos m´odulo m. Tambi´en lo es {−12, 2, 8} y
{7, 15, 23}.

Usualmente elegimos el sistema completo de residuos {0, 1, 2, . . . , m − 1}
mo´dulo m, pero ocasionalmente resultara´ conveniente elegir otro.

Los siguientes hechos permite “hacer aritm´etica” m´odulo m. Observe
que si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces existen enteros j y k tales
que a = b + jm y c = d + km y entonces a + c = b + d + (j + k)m. As´ı pues
a + c ≡ c + d mod m. Adem´as ac = (b + jm)(d + km) = bd + (bk + jd +
jmk)m y entonces ac ≡ bd mod m. Estos resultados se pueden generalizar
f´acilmente. Las demostraciones se dejan al lector.

Teorema 4.4. Si ai ≡ bi mod m para cada i = 1, 2, . . . n entonces

nn

1. ai ≡ bi mod m y

i=1 i=1

nn

2. ai ≡ bi mod m.

i=1 i=1

Tambi´en demostrar´a el lector f´acilmente el siguiente Teorema.

Teorema 4.5. Si a ≡ b mod m, c un entero cualquiera y n un entero no
negativo se tiene:

1. a + c ≡ b + c mod m,

2. ac ≡ bc mod m y

3. an ≡ bn mod m.

El lector no encontrar´a dificultad en verificar ca´lculos como

(27)(98) + (13)(15)77 ≡ 6 · 0 + (−1)(1)77 ≡ 6 mod 7.

Resultados menos triviales son los siguientes:

Ejemplo 4.6. Si p es un nu´mero primo, mayor que 3, p2 + 2 es siempre un
nu´mero compuesto.

En efecto, para cada primo p > 3 se tiene que p ≡ 1 mod 3 ´o p ≡ −1
mod 3, luego p2 ≡ 1 mod 3 y p2 + 2 ≡ 0 mod 3 y se tiene lo afirmado.

60 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Ejemplo 4.7. 22n + 5 es compuesto para cada entero positivo n.

Como 2 ≡ −1 mod 3, 22n ≡ 1 mod 3 y as´ı 22n + 5 ≡ 0 mod 3 y
tenemos lo afirmado.

El siguiente resultado sera´ u´til en ocasiones y su demostraci´on es un
ejercicio f´acil.

Teorema 4.8. Si a ≡ b mod mi (i = 1, . . . , k) con m1, . . . , mk primos
relativos dos a dos entonces

k

a ≡ b mod m para m = mi.

i=1

Cuando m y n son primos relativos las congruencias x ≡ a mod m
y x ≡ b mod n pueden ser sustituidas por una congruencia de la forma
x ≡ c mod mn. Veamos un ejemplo: si x ≡ 1 mod 5 y x ≡ 3 mod 4
entonces existe un entero k tal que x = 1 + 5k y entonces 1 + 5k ≡ 3 mod 4
o equivalentemente k ≡ 2 mod 4, es decir k = 2 + 4t para un entero t.
Sustituyendo en la expresio´n para x, tenemos

x = 1 + 5(2 + 4t) = 11 + 20t

o x ≡ 11 mod 20.
En aritm´etica modular la propiedad an´aloga a la ley de cancelaci´on en

Z, si ac = bc con c = 0 entonces a = b, no se cumple en general. Por ejemplo

4 · 5 ≡ 4 · 8 mod 6 pero 5 ≡ 8 mod 6.

Sin embargo se tiene el siguiente resultado:
Teorema 4.9. Si ac ≡ bc mod m entonces a ≡ b mod m donde d =

d
mcd(c, m).

Demostraci´on. Si ac ≡ bc mod m, existe un entero k tal que ac − bc = km
y dividiendo por m tenemos

(a − b) c =k m
.
dd

Como mcd cm = 1, se tiene que m divide a a − b, es decir
, d

dd

a≡b m
mod .
d

4.1. PROPIEDADES BA´SICAS 61

Corolario 4.10. Si ac ≡ bc mod m, y c y m son primos relativos entonces
a ≡ b mod m.

Veamos para finalizar la secci´on ejemplos de ca´lculos u´tiles.

Ejemplo 4.11. Veamos el siguiente resultado, demostrado primeramente
por Euler, el quinto nu´mero de Fermat F5 = 225 + 1 = 232 + 1 es compuesto.

Partamos de la congruencia f´acilmente verificable 5 · 27 ≡ −1 mod 641.
Elevando a la cuarta potencia tenemos 54 · 228 ≡ 1 mod 641. Como 641 =
625 + 16 se tiene 54 ≡ −24 mod 641 y entonces

54 · 228 ≡ −24 · 228 mod 641,

´o
−1 ≡ 232 mod 641.

Esto es, existe un entero k tal que 232 + 1 = 641k.

Ejemplo 4.12. Encontraremos necesario calcular ak mod m, para ello es
u´til un m´etodo llamado de los cuadrados sucesivos. Ve´amoslo con un ejem-
plo. Calculemos 7327 mod 835.

Comencemos por escribir 327 en el sistema binario

327 = 1010001112 = 1 + 2 + 4 + 64 + 256.

As´ı pues

7327 = 71+2+4+64+256 = 71 · 72 · 74 · 764 · 7256.

Calculemos ahora las sucesivas 2k-potencias de 7 mo´dulo 835.

71 ≡ 7 ≡ 7 mod 835

72 ≡ (71)2 ≡ 72 ≡ 49 ≡ 49 mod 835

74 ≡ (72)2 ≡ 492 ≡ 2401 ≡ 731 mod 835

78 ≡ (74)2 ≡ 7312 ≡ 534361 ≡ 796 mod 835

716 ≡ (78)2 ≡ 7962 ≡ 633616 ≡ 686 mod 835

732 ≡ (716)2 ≡ 6862 ≡ 470596 ≡ 491 mod 835

764 ≡ (732)2 ≡ 4912 ≡ 241081 ≡ 601 mod 835

7128 ≡ (764)2 ≡ 6012 ≡ 361201 ≡ 481 mod 835

7256 ≡ (7128)2 ≡ 4812 ≡ 231361 ≡ 66 mod 835.

Tenemos as´ı

7327 = 71 · 72 · 74 · 764 · 7256
≡ 7 · 49 · 731 · 601 · 66 mod 835
≡ 398 mod 835.

62 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Usando Mathematica R (o WolframAlpha R ) y el comando Mod[(7327), 835],
se obtiene de inmediato el resultado anterior. Revisar la aplicacio´n del al-
goritmo anterior mostrar´a al lector como procede el ca´lculo.

Cuesti´on 4.13. Es importante que nos familiaricemos con la noci´on de
congruencia. Para ello resulva las siguientes cuestiones.

1. Demuestre que si a ≡ b mod m y d divide a m, donde d > 0, entonces
a ≡ b mod d.

2. Demuestre que si a ≡ b mod m, entonces mcd(a, m) = mcd(b, m).

3. Demuestre que si a2 ≡ b2 mod p donde p es primo entonces p divide
a a + b o p divide a a − b.

4. Encuentre todos los enteros x con −100 ≤ x ≤ 100 tales que x ≡ 7
mod 19.

5. Encuentre un sistema completo de residuos mo´dulo 11 formado por
mu´ltiplos de 7.

6. Demuestre que {2, 4, 6 . . . , 2m} es un sistema completo de residuos
mo´dulo m si y so´lo si m es impar.

7. Demuestre que {12, 22, 32, . . . , m2} no es nunca un sistema de residuos
m´odulo m si m > 2.

8. Demuestre que 7 divide a 19411963 + 19631991.
9. Determine los dos u´ltimos d´ıgitos de 999.

10. Demuestre que 39 divide a 53103 + 10353.

11. Demuestre que 7 divide a 111333 + 333111.

12. ¿Cua´l es el residuo obtenido al dividir 19385 por 31?

13. Encuentre el d´ıgito de las unidades de 397.

14. ¿Cu´ales son los dos u´ltimos d´ıgitos de 31000?

15. Encuentre el residuo obtenido cuando 1! + 2! + · · · + 100! es dividido
por 15.

16. Encuentre el residuo obtenido cuando 15 + 25 + · + 1005 es dividido
por 4.

4.1. PROPIEDADES BA´SICAS 63

17. Demuestre que 61! + 1 ≡ 63! + 1 mod 71.
18. Demuestre que 7 divide a 52n + 3 · 25n−2 para cada entero positivo n.

19. Demuestre que 13 divide a 3n+2 + 42n+1 para todo entero positivo n.

20. Si n es impar, demuestre que n2 ≡ 1 mod 8.

21. Demuestre que el cubo de cualquier entero positivo deja residuo 0, 1 u´
8 al ser dividido por 9.

22. Demuestre que la suma de tres cubos consecutivos es mu´ltiplo de 9.

Cuestio´n 4.14. Los conocidos criterios de divisibilidad se pueden obtener
f´acilmente usando la noci´on de congruencia.

n

Si n = ci · 10i con 0 < cn < 10 y 0 ≤ ci < 10 para cada i = 1, 2, . . . , n − 1

i=1

demuestre que

1. n ≡ 0 mod 2 si y s´olo si a0 ≡ 0 mod 2. (Criterio de divisibilidad por
2)

2. n ≡ 0 mod 2 si y s´olo si a1 · 10 + a0 ≡ 0 mod 4. (Criterio de divisi-
bilidad por 4)

3. Formule y demuestre un criterio de divisibilidad por 8.

4. Demuestre el conocido criterio de divisibilidad por 5.

5. Sea s = n ci demuestre que n es divisible por 3 si y so´lo si s es
i=1

divisible por 3.

6. Sea s = n ci demuestre que n es divisible por 9 si y s´olo si s es
i=1

divisible por 9.

7. Sea t = in=1(−1)ici demuestre que n es divisible por 11 si y so´lo si t
es divisible por 11.

8. Si 0 ≤ x, y, x ≤ 9, determinar x, y y z si el nu´mero 2x1642y032z
(escrito en el sistema de numeraci´on decimal) es divisible por 5, 9 y
11.

9. Demuestre que cada termino de la sucesio´n

49, 4489, 444889, 44448889, 4444488889, . . .

es un cuadrado.

64 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Cuesti´on 4.15. 1. La ra´ız digital de un nu´mero n, denotada ρ(n), es el
residuo obtenido al dividir n por 9. Verifique que para obtener la ra´ız
digital de n es suficiente sumar los d´ıgitos de n, si el resultado de esta
suma es menor que 9 esta es la ra´ız digital de n, en otro caso repita
el procedimiento con la suma obtenida. Por ejemplo, sea n = 57698,
la suma de los d´ıgitos de n es 35 y la suma de los d´ıgitos de 35 es
8, as´ı ρ(57698) = 8. Otro modo equivalente de obtener la ra´ız digital
es sumar los d´ıgitos, extrayendo 9 cada vez que la suma sea mayor o
igual a 9. En nuestro ejemplo

ρ(57698) = 5 + 7 − 9 + 6 − 9 + 9 − 9 + 8 = 8.

2. Un procedimiento para chequear multiplicaciones que se us´o mucho en
la escuela primaria en el siglo pasado, cuyo origen parece que puede
rastrearse hasta Avicena, un filosofo a´rabe del siglo X, es la prueba del
9. Est´a basado en la ra´ız digital. Por ejemplo, si multiplicamos 3253
cuya ra´ız digital es 4, por 4912, cuya ra´ız digital es 7 y al calcular el
producto obtenemos 15978836 y queremos chequear nuestro resultado,
hacemos una equis como se muestra en la figura y colocamos las ra´ıces
digitales de los factores a la izquierda y derecha de la equis. Como
4 · 7 = 28 tiene ra´ız digital 1 colocamos 1 en la posicio´n superior
de la equis. Finalmente calculamos la ra´ız digital del producto que

obtuvimos. El resultado, en nuestro caso 2, se coloca abajo. Como
1 = 2, algo esta mal en la multiplicaci´on. Verifique que esto funciona.
¿Qu´e tan buena es la prueba del nueve?

Cuesti´on 4.16. Dado un nu´mero positivo n. Sume 4 veces el d´ıgito de
las unidades al nu´mero resultante al truncar n eliminando el d´ıgito de las
unidades; n es divisible por 13 si y solo si el nu´mero resultante es divisible
por 13. Repita el procedimiento hasta que la divisibilidad o no divisibilidad

4.2. CONGRUENCIAS LINEALES 65

por 13 sea obvia. Considere por ejemplo n = 53699139. Tenemos

5369913 + 4(9) = 5369949
536994 + 4(9) = 537030

53703 + 4(3) = 5382
538 + 4(2) = 546
54 + 4(6) = 78
7 + 4(8) = 39.

Como 39 es divisible por 13, 53699139 es divisible por 13.
Chequee el procedimiento anterior con varios nu´meros. ¿Por qu´e esto

funciona?

Cuesti´on 4.17. Encuentre el u´ltimo d´ıgito diferente de cero (de la izquierda)
en la expresi´on decimal de 234!, 100! y 609!.

4.2 Congruencias lineales

Un problema (de hecho el problema) fundamental en A´ lgebra es resolver
ecuaciones polino´micas, es decir, dado un polinomio p(x) = anxn + · · · +
a1x + a0, encontrar los “nu´meros” que satisfacen

p(x) = 0.

Si en lugar de considerar la igualdad, buscamos nu´meros enteros que satis-
fagan

p(x) ≡ 0 mod m,

para un m ≥ 2 dado, estamos en presencia de una congruencia m´odulo m.
Como estamos trabajando con enteros, podemos asumir que los coeficientes
del polinomio son, justamente, nu´meros enteros. Un ejemplo:

x3 + 5x − 4 ≡ 0 mod 7.

El lector ver´a fa´cilmente que x = 2 es solucio´n de la congruencia anterior.
¿Hay ma´s soluciones? Claramente x = 9 tambi´en es solucio´n, pero de hecho
2 ≡ 9 mod 7. Estamos interesados en soluciones que no sean congruentes
m´odulo m (en nuestro ejemplo mod 7). ¿Hay ma´s soluciones incongruen-
tes? El problema general consiste en, dado el polinomio p(x), encontrar
todas las soluciones incongruentes, esto es, todos los enteros x en un sistema
completo de residuos m´odulo m que satisfacen la congruencia p(x) ≡ 0
mod m. Habitualmente buscamos todas las soluciones en 0, 1, 2, . . . , m − 1.

66 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Cuesti´on 4.18. Encuentre “todas” las soluciones de:

1. x2 ≡ 5 mod 11
2. x3 − 2x + 6 ≡ 0 mod 5

3. x3 ≡ 0 mod 27.

En este curso nos limitaremos a considerar congruencias lineales y cua-
dr´aticas. Veremos, en esta secci´on, el caso lineal.

Es fa´cil ver que siempre podemos reducir una congruencia de la forma
ax + b ≡ 0 mod m a una congruencia de la forma ax ≡ c mod m (sumando
el numero apropiado a ambos lados). Consideramos pues la congruencia
ax ≡ c mod m.

Realmente ya tenemos todas las herramientas para resolver este tipo de
congruencias. Observe que ax ≡ c mod m significa que m divide a ax − c,
es decir que existe un nu´mero entero y tal que ax − c = my. Tenemos pues
la ecuacio´n diof´antica

ax − my = c.

Sabemos que esta ecuacio´n tiene soluciones enteras si y solo si d =

mcd(a, m) divide a c, y en este caso tenemos un algoritmo que nos per-

mite encontrar una solucio´n x0. De hecho cada soluci´on de la congruencia

dada ser´ıa de la forma m

x = x0 + t,
d

con t ∈ Z.
¿Cua´les de estas soluciones son “realmente distintas”? Veamos cua´ndo

dos soluciones son congruentes, esto es ¿cua´ndo

x0 + m ≡ x0 + m
d t1 d t2,

para dos nu´meros enteros t1 y t2?

Esto es equivalente a mm
d t1 ≡ d t2,

y como m divide a m, se tiene que t1 ≡ t2 mod d.
d
Hay pues d soluciones incongruentes m´odulo d: aquellas de la forma
m
x0 + t con t en un sistema completo de residuos m´odulo d, digamos t =
d
0, 1, . . . , d − 1.

En resumen tenemos el siguiente teorema.

4.2. CONGRUENCIAS LINEALES 67

Teorema 4.19. La congruencia lineal ax ≡ c mod m tiene soluci´on si
y solo si d = mcd(a, m) divide a c. Si x0 es soluci´on de la congruencia
entonces hay exactamente d soluciones incongruentes m´odulo d:

m 2m (d − 1)m
x0, x0 + d , x0 + d , . . . , x0 + .
d

Cuesti´on 4.20. 1. Determine si las congruencias 8x ≡ 10 mod 6, 2x ≡
3 mod 4 y 4x ≡ 7 mod 15 tienen soluci´on. En cada caso, si la con-
gruencia es soluble, ¿cua´ntas soluciones tiene?

2. Resuelva la congruencia 12x ≡ 49 mod 18.

3. Un astro´nomo sabe que un sat´elite orbita la Tierra en un per´ıodo
que es un mu´ltiplo exacto de 1 hora, que es menos de 1 d´ıa. Si el
astro´nomo observa que el sat´elite completa 11 o´rbitas en un intervalo
que comienza cuando un reloj de 24 horas lee 0 horas y termina cuando
el reloj lee 17 horas, ¿cua´nto tiempo dura el per´ıodo orbital del sat´elite?

4. ¿Para cua´les enteros c, 0 ≤ c < 1001, la congruencia 154x ≡ c
mod 1001 tiene soluciones? Cuando existan soluciones ¿cu´antas solu-
ciones incongruentes habra´?

Consideremos la congruencia ax ≡ 1 mod n. Un caso importante ocurre
cuando mcd(a, m) = 1. En tal caso la congruencia ax ≡ 1 mod m tiene una

u´nica solucio´n. Decimos en tal caso que a es invertible y la u´nica soluci´on
se denomina inverso de a mo´dulo m y se denota a−1.

Ejemplo 4.21. Como 7 · 8 ≡ 1 mod 11 decimos que 7 es el inverso de 8
m´odulo 11. Note que 10 es su propio inverso mo´dulo 11.

Si mcd(m, a) = 1 podemos usar la noci´on de inverso para resolver la
congruencia ax ≡ c mod m. De hecho, si x es la u´nica solucio´n de tal
congruencia se tiene

a−1(ax) ≡ a−1c mod m
(a−1a)x ≡ a−1c mod m

x ≡ a−1c mod m.

Cuesti´on 4.22. 1. Encuentre el inverso mo´dulo 13 de 2, 3, 5 y 11.

2. Determine los enteros a con 1 ≤ a ≤ 30 que tengan inverso m´odulo
30. En cada caso en el que a posea inverso mo´dulo 30, encu´entrelo.

68 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

3. Use los resultados anteriores para resolver las congruencias 7x ≡ 6
mod 30 y 13x ≡ 19 mod 30.

4. Sea p primo. Caracterice los enteros a, con 1 ≤ a < p, que sean su
propio inverso.

Cuesti´on 4.23. “Tenemos cosas de las cuales no sabemos el nu´mero: si las
contamos de tres en tres, el resto es 2; si los contamos de cinco en cinco, el
resto es 3; si los contamos de siete en siete, el resto es 2. ¿Cu´antas cosas
hay?” (Sun Tzu Suan Ching: Master Sun’s Mathematical Manual. (300
DC), Volume 3, Problem 26.)

Una regla de mucha tradici´on para resolver este tipo de problemas se
conoce como Teorema Chino del Resto.

Teorema 4.24. Si m1, m2 . . . , mk son enteros dados, ≥ 2, primos relativos
dos a dos; entonces el sistema de congruencias lineales x ≡ ai mod mi,

k

para i = 1, 2, . . . k, tiene una u´nica soluci´on m´odulo m = mi.

i=1

Demostraci´on. La demostracio´n es constructiva. La daremos con algu´n de-
talle en el caso k = 3. El lector no encontrara´ dificultad en generalizarla
para cualquier k.

Consideremos el sistema de congruencias



x ≡ a1 mod m1


x ≡ a2 mod m2

 x ≡ a3 mod m3,


con m1, m2 y m3 enteros mayores que 1 y primos relativos dos a dos. Sean
M

M = m1m2m3 y Mi = m1 (i = 1, 2, 3). Encontremos bi tales que Mibi ≡ 1
mod mi (i = 1, 2, 3). El lector ver´a que tales bi existen y son u´nicos (m´odulo
mi).

Sea
x0 = M1b1a1 + M2b2a2 + M3a3b3.

Es f´acil ver que x0 es soluci´on del sistema de congruencias. Finalmente el
lector verificara´ que si x1 es tambi´en soluci´on del sistema, x0 ≡ x1 mod M .

Resuelva ahora el problema de Sun Tzu Suan Ching y considere las
siguientes cuestiones.

4.2. CONGRUENCIAS LINEALES 69

Cuestio´n 4.25. 1. Un nin˜o tiene algunas canicas en una caja. Si las
canicas son agrupados en montones de siete, habra´ cinco de sobra; si
se agrupan en montones de once, habr´a seis de sobra; si se agrupan
en montones de trece, sobrar´an ocho. Determine el menor nu´mero de
canicas en la caja.

2. Un general chino contaba las tropas sobrevivientes despu´es de una
batalla, forma´ndolos en filas de diferentes longitudes. Si al comienzo
de la batalla el general ten´ıa 1200 soldados y al final de la batalla
al formarlos de 5 en 5 sobraron 3 soldados, al formarlos de 6 en 6
nuevamente sobraron 3, sobro´ 1 al ordenarlos en filas de 7 soldados
cada una y ninguno al formarlos en filas de 11 soldados, ¿cu´antos
soldados sobrevivieron a la batalla?

3. Una banda de 17 piratas al dividir sus monedas de oro encuentra que
sobran tres monedas despu´es de que las monedas se han repartido uni-
formemente. Los piratas se pelean por las monedas sobrantes y uno
de los piratas es asesinado. La riqueza fue otra vez distribuida igual-
mente, y esta vez sobran diez monedas. Nuevamente estalla una pelea
y otro pirata es asesinado. Esta vez la fortuna se reparti´o uniforme-
mente entre los supervivientes y no sobran monedas. ¿Cu´al es el menor
nu´mero de monedas de oro que los piratas tuvieron que distribuir?

4. Una mujer fue al mercado y un caballo piso´ en su cesta y aplast´o sus
huevos. El jinete se ofrecio´ a pagar por el dan˜o. E´l le pregunt´o cua´ntos
huevos hab´ıa tra´ıdo. Ella no lo sab´ıa, pero cuando los colocaba de dos
en dos sobraba uno. Lo mismo ocurr´ıa cuando ella los colocaba en
grupos de 3, 4, 5, y 6, pero cuando los colocaba en grupos de 7 no
sobraba ninguno. ¿Cu´al es el nu´mero ma´s pequen˜o de huevos que
pudo haber tenido?

Este problema tiene una larga historia. Aparece en el trabajo de
Bhaskara, un matema´tico indio del siglo VI y en el del matema´tico
egipcio del siglo XI Al-Hasan. En 1202, Fibonacci lo incluyo´ en su
obra Liber abaci.

5. Encuentre las soluciones enteras de 49x + 59y + 75z = 0. Euler (1785).

6. Encuentre los nu´meros n de cinco d´ıgitos con la propiedad de que los
u´ltimos cinco d´ıgitos de n2 sean exactamente los mismos y en el mismo
orden que los d´ıgitos de n.

70 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Usando Mathematica R (o WolframAlpha R ) y el comando
ChineseRemainder[{a1, a2, ..., as}, {m1, m2, ..., ms}],

se resuelve el sistema de congruencias xi ≡ ai mod mi (i = 1, 2, . . . , s).

4.3 Pequen˜o Teorema de Fermat

Si queremos abordar ahora congruencias no lineales, ser´a necesario describir
el comportamiento de las potencias m´odulo m. Exploremos un poco esto.
Complete las siguientes tablas con los valores de a, a2, a3, . . . para algunos
valores de m. Comencemos por considerar primos. Primero sea m = 3.

a a2 a3 a4
0
1
2

ak mod 3

Ahora sea m = 5:

a a2 a3 a4 a5 a6
0
1
2
3
4

ak mod 5

Y finalmente sea m = 7:

a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
0
1
2
3
4
5
6

ak mod 7

4.3. PEQUEN˜O TEOREMA DE FERMAT 71

¿Qu´e observa? Hay una columna “casi” llena de unos. La u´nica ex-
cepci´on es la fila correspondiente a a = 0. Veamos si el patr´on se sigue
repitiendo. Calculemos potencias mo´dulo 11. Tomemos por ejemplo a = 5.
Lo haremos de un modo bastante particular siguiendo una idea de James
Ivory (1806). Comencemos por calcular 5·x m´odulo x para todos los posibles
x distintos de cero:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 · x 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6

Observe que los productos 5·x mo´dulo 11 recorren todos los restos 1, 2, . . . , 10.
Luego, vale la siguiente congruencia

(5 · 1)(5 · 2)(5 · 3) · · · (5 · 10) ≡ 1 · 2 · 3 · · · 10 mod 11,

o lo que es lo mismo

51010! ≡ 10! mod 11.

Cancelando 10! (¿por qu´e esto puede hacerse?) obtenemos

510 ≡ 1 mod 11.

Repita esta experiencia con 8 m´odulo 11. Ahora h´agalo con algu´n nu´mero
trabajando mo´dulo 13.

Hemos encontrado el siguiente resultado conocido como Pequen˜o Teo-
rema de Fermat.

Teorema 4.26. Para cada primo p y a ≡ 0 mod p se cumple que

ap−1 ≡ 1 mod p.

Demostraci´on. La demostraci´on del teorema se reduce a verificar que nue-
stros c´alculos anteriores son validos en general. Consideremos pues los p − 1
nu´meros

a · 1, a · 2, a · 3, · · · , a · (p − 1).

Si ellos, mo´dulo p, son congruentes a 1, 2, 3, · · · , p − 1 entonces

(a · 1)(a · 2)(a · 3) · · · (a · (p − 1)) ≡ 1 · 2 · 3 · · · (p − 1) mod p,

o lo que es lo mismo
ap−1(p − 1)! ≡ (p − 1)! mod p,

72 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

y cancelando (p − 1)! (¿por qu´e esto puede hacerse?) obtenemos

ap−1 ≡ 1 mod p.

Lo u´nico que resta verificar es la afirmaci´on de que los nu´meros a · 1, a ·
2, a · 3, · · · , a · (p − 1) son congruentes a 1, 2, 3, . . . (p − 1) en algu´n orden.
Para ello ¡basta ver que todos estos productos son distintos (m´odulo m)!
(¿Por qu´e?).

Si a·i ≡ a·j mod p, con 1 ≤ i, j ≤ (p−1), cancelando a (¿por qu´e puede
hacerse esto?) tenemos que i ≡ j mod p. Esto es, i − j es un mu´ltiplo de
p, pero |i − j| < p − 1 y esto ocurre solo si i = j.

Podemos usar el Pequen˜o Teorema de Fermat para simplificar algunos
ca´lculos. Por ejemplo, si deseamos calcular 235 mod 7, podemos usar el
hecho que 26 ≡ 1 mod 7. Escribiendo 35 = 6 · 5 + 5 y usando las leyes de
los exponentes calculamos

235 = 26·5+5 = 26 5 · 25 ≡ 15 · 25 ≡ 32 ≡ 4 mod 7.

Similarmente, si queremos resolver la congruencia x103 ≡ 4 mod 11,
como si x es soluci´on de esa congruencia x ≡ 0 mod 11, el Pequen˜o Teorema
de Fermat nos dice que x10 ≡ 1 mod 11. Elevando ambos lados de la
congruencia a la d´ecima potencia obtenemos x100 ≡ 1 mod 11, y si ahora
multiplicamos por x3 ambos lados nos da que x103 ≡ x3 mod 11. As´ı pues,
para resolver la congruencia original basta resolver x3 ≡ 4 mod 11.

Esta congruencia puede ser resuelta tratando sucesivamente con x =
1, x = 2, . . . , 10. As´ı,

x mod 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x3 mod 11 1 8 5 9 4 7 2 6 3 10

Por tanto la congruencia x103 ≡ 4 mod 11 tiene la solucio´n x ≡ 5
mod 11.

Cuesti´on 4.27. 1. Encuentre un nu´mero a con 0 ≤ a < 73 y a ≡ 9794
mod 73.

2. Resuelva x86 ≡ 6 mod 29.

3. Resuelva x39 ≡ 3 mod 13.

4. La afirmacio´n 71734250 ≡ 1660565 mod 1734251 es correcta como Ud.
puede verificar. ¿Qu´e puede Ud. concluir a partir de este hecho sobre
el nu´mero 1734251?

4.3. PEQUEN˜O TEOREMA DE FERMAT 73

5. Verifique que

12964026 ≡ 15179 mod 64027.

¿Qu´e puede Ud. concluir sobre el nu´mero 64027?

6. Verifique que

252632 ≡ 1 mod 52633.

¿Puede Ud. concluir que 52633 es primo?

Cuesti´on 4.28. 1. Sea p primo, demuestre que;

1p−1 + 2p−1 + · · · + (p − 1)p−1 ≡ −1 mod p.

2. Sea p primo, demuestre que;

1p + 2p + · · · + (p − 1)p ≡ 0 mod p.

Cuesti´on 4.29. La cantidad (p − 1)! mod p aparecio´ en la demostracio´n
del Pequen˜o Teorema de Fermat, aunque no necesitamos su valor.

1. Calcule (p − 1)! mod p para algunos valores de p primo. Encuentre
un patro´n y haga una conjetura.

2. Demuestre que su conjetura es correcta. Indicaci´on: Cada uno de los
nu´meros 1, 2, . . . , (p − 1) tiene un inverso m´odulo p. ¿Cua´les de ellos
son su propio inverso?, eso es ¿para cu´ales se tiene que a2 ≡ 1 mod p?
Agrupe convenientemente y obtendra´ el resultado.

Este hecho, se conoce como Teorema de Wilson. De hecho John Wilson,
un estudiante de Cambridge, observ´o el resultado pero no lo demostr´o. La-
grange lo hizo en 1771. La demostracio´n cuya idea se sugiere es debida a
Gauss.

Cuestio´n 4.30. En la Cuestio´n anterior, Ud. encontr´o (m − 1)! mo´dulo m,
cuando m es primo. Ahora estamos interesados en lo que ocurre si m no es
primo.

1. Ensaye calculando (m − 1)! mod m para pequen˜os valores de m no
primos. ¿Qu´e observa?

2. Demuestre el rec´ıproco del Teorema de Wilson.

3. Los resultados anteriores caracterizan los nu´meros primos. El teorema
de Wilson y su rec´ıproco nos suministran un test de primalidad. ¿Es
este “eficiente”?

74 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Cuestio´n 4.31. El Pequen˜o Teorema de Fermat dice que si m es primo,
am ≡ a mod m, para cada entero m. En consecuencia, si existe un entero
b tal que bm ≡ b mod m podemos afirmar que m es compuesto.

1. Use el hecho destacado anteriormente para verificar que 33 es com-
puesto. Indicaci´on: Es fa´cil ver que 25 ≡ −1 mod 33.

2. Los antiguos matema´ticos chinos afirmaron que si 2m ≡ 2 mod m,
entonces m es primo. De hecho, esto es cierto para cada m ≤ 340.
Sin embargo falla para 341, el cual es compuesto 341 = 11 · 31, sin
embargo 2341 ≡ 2 mod 341. Verifique este hecho. Indicaci´on: Calcule
2341 mod 11 y 2341 mod 31.

Cuestio´n 4.32. Un nu´mero compuesto n es llamado pseudoprimo si 2n ≡ 2
mod n. Los cuatro primeros pseudoprimos son 341, 561, 645 y 1105. Al
estudiar esta cuesti´on Ud. demostrara´ que hay infinitos pseudoprimos.

1. Demuestre que si m|n entonces 2m − 1 divide a 2n − 1.

2. Demuestre que si n es un pseudoprimo impar entonces N = 2n − 1 es
tambi´en un pseudoprimo.

3. Concluya que existen infinitos pseudoprimos.

Cuestio´n 4.33. La base 2 de la cuesti´on anterior puede ser sustituida por
otras bases.

1. Demuestre que 390 ≡ 1 mod 91 y 414 ≡ 1 mod 15, aunque 91 y 15
son compuestos.

2. Un nu´mero compuesto m es un nu´mero de Carmichael si am−1 ≡ 1
mod m para todos los nu´meros a primos relativos con m. Demuestre
que 561 = 3 · 11 · 17 y 1105 = 5 · 13 · 17 son nu´meros de Carmichael.

4.4 Teorema de Euler

La pregunta natural que surge una vez estudiamos el Pequen˜o Teorema de
Fermat es:

¿Qu´e pasa si el m´odulo no es primo?

La primera observaci´on es que si queremos que ak ≡ 1 mod m necesita-
mos que a y m sean primos relativos. En efecto, si d = mcd(a, m) y ak ≡ 1

4.4. TEOREMA DE EULER 75

mod m para un entero positivo k, se tiene que ak = 1 + mj para un j ∈ Z
y entonces d|1.

Tenemos pues que limitarnos a los a primos relativos con m con la es-
peranza de encontrar “algo” tal que a “algo” ≡ 1 mod m.

Exploremos un poco. Considere m = 14.

a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
1
3
5
7
9
11
13

ak mod 14

¡Una columna tiene solo unos! Un poco de experimentaci´on le llevar´a a
descubrir que se trata justamente de la columna correspondiente al nu´mero
de primos relativos con m, al cual denotaremos ϕ(m).

En nuestro ejemplo ϕ(14) = 7 pues 1, 3, 5, 7, 11 y 13 son los u´nicos enteros
positivos, menores que 14, primos relativos con 14. Ud. vera´ f´acilmente que
ϕ(12) = 4. Volveremos sobre las propiedades de la funcio´n ϕ de Euler.

El resultado ba´sico que enunciamos formalmente a continuaci´on es el
siguiente.

Teorema 4.34. (Teorema de Euler) Si m entero positivo y a un entero
con mcd(a, m) = 1, entonces

aϕ(m) ≡ 1 mod m.

Note que el Teorema de Euler es una generalizacio´n del Pequen˜o Teorema
de Fermat. En efecto es claro que ϕ(p) = p − 1 si p es primo.

La demostracio´n del Teorema de Euler corre paralela a la del Teorema de
Fermat, excepto que en lugar de considerar los productos 1 · a, 2 · a, . . . , (p −
1) · a, debemos ver los productos

a · r1, a · r2, . . . , a · rϕ(m);

donde r1, r2, . . . , rϕ(m) son los ϕ(m) enteros positivos, menores que m, que
son primos relativos con m.

Ud. no encontrara´ dificultad en mostrar que estos productos son todos
primos relativos con m y congruentes, m´odulo m, con r1, r2, . . . , rϕ(m).

76 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Verificado esto se sigue de inmediato que

(a · r1)(a · r2) · · · (a · rϕ(m)) ≡ r1 · r2 · · · rϕ(m) mod m,

y as´ı

aϕ(m)r1 · r2 · · · rϕ(m) ≡ r1 · r2 · · · rϕ(m) mod m,

de donde se concluye

aϕ(m) ≡ 1 mod m.

Aplicar el Teorema de Euler, por supuesto, depende de conocer el valor
de ϕ(m). Es f´acil encontrarlo para m pequen˜o. Complete Ud. la tabla que
sigue:

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ϕ(m)

Ya hemos dicho que si p es primo ϕ(p) = p − 1. Veamos ahora que
como encontrar ϕ(pn) para p primo. Para ello, note que de los pn nu´meros
positivos menores o iguales a pn, los u´nicos que no son primos relativos con
pn son los mu´ltiplos de p:

p, 2p, 3p, . . . , pp−1 · p,

y hay, justamente, pp−1 mu´ltiplos de p menores o iguales a pn. Luego se

tiene

ϕ(pn) = pn − pn−1.

El caso general se obtiene de inmediato a partir de la propiedad multi-
plicativa de la funci´on ϕ: si n y m primos relativos entonces

ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).

Generalizando a un nu´mero cualquiera de factores, primos relativos dos a
dos, y usando el resultado anterior tenemos que si m = pe11p2e2 · · · pess es la
descomposici´on en factores primos de m entonces

ϕ(m) = pe11 − pe11−1 pe22 − p2e2−1 · · · pses − pess−1 .

Cuestio´n 4.35. 1. Demuestre que si m = p1e1pe22 · · · pess es la descom-
posici´on en factores primos de m entonces

1 11
ϕ(m) = m 1 − 1− ··· 1− .

p1 p2 ps

4.4. TEOREMA DE EULER 77

2. Calcule ϕ(100), ϕ(48)y ϕ(540).

Resta demostrar que, en efecto, ϕ es multiplicativa en el sentido pre-
cisado antes: si n y m primos relativos entonces

ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).

Para ello usaremos un argumento de conteo. Construiremos dos conjun-
tos uno con ϕ(nm) elementos y otro con ϕ(n)ϕ(m) elementos. Luego estable-
ceremos una biyecci´on entre ellos para concluir que ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).

Para ello, sea

S1 = {a : 1 ≤ a ≤ ab y mcd(a, mn) = 1}.

Esta´ claro que S1 tiene ϕ(nm) elementos.
Sea ahora

S2 = {(a, b) : 1 ≤ a ≤ m, mcd(a, m) = 1, 1 ≤ b ≤ n y mcd(b, n) = 1}.

Vemos que S2 es el producto cartesiano del conjunto de enteros positivos
menores o iguales que a, primos relativos con a con el conjunto de los enteros
positivos menores o iguales que b, primos relativos con b. Por la definici´on
de ϕ la cardinalidad de S2 es ϕ(m)ϕ(n).

Establezcamos ahora una funcio´n de S1 a S2 de la siguiente manera: a
cada a mod nm en S1 haga´mosle corresponder el par (a mod m, a mod n)
en S2.

Por ejemplo, si m = 4 y n = 5 entonces

S1 = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19},

y
S2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}.

Tenemos las siguientes correspondencias:

1 → (1, 1)
3 → (3, 3)
7 → (3, 2)
9 → (1, 4)
11 → (3, 1)
13 → (1, 3)
17 → (1, 2)
19 → (3, 4).

Para demostrar, en general, que esta correspondencia es una biyecci´on
necesitamos demostrar las siguientes afirmaciones:

78 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

1. Nu´meros diferentes en S1 corresponden a pares diferentes en S2.

2. Cada par en S2 corresponde a un elemento de S1.

Para demostrar la primera afirmaci´on, argumentamos indirectamente.
Sup´ongase que a1 y a2 son elementos distintos en S1 que son enviados al
mismo par en S2. Si este es el caso a1 ≡ a2 mod m y a1 ≡ a2 mod n pero
entonces m|a1 −a2 y n|a1 −a2. Como m y n son primos relativos se tiene que
nm|a1 − a2 lo cual contradice el hecho que a1 y a2 son elementos distintos
de S1.

Para demostrar la segunda afirmaci´on, necesitamos verificar que para
cada (b, c) en S2 existe un a ∈ S1 tal que

a ≡ b mod m y a ≡ c mod n,

pero esto es, justamente, afirmado por el Teorema Chino del Resto.
Con esto completamos la demostracio´n de la propiedad multiplicativa de

la funcio´n ϕ de Euler.
Veamos, con algunos ejemplos, como podemos usar el Teorema de Euler,

de modo ana´logo a como lo hicimos con el Pequen˜o Teorema de Fermat.

Ejemplo 4.36. Calculemos el residuo que se obtiene al dividir 2451040 entre
18. Para ello, observe que 245 ≡ 11 mod 18, luego es suficiente encontrar
111040 mod 18. Como mcd(11, 18) = 1 y ϕ(18) = 6, el Teorema de Euler
nos dice que 116 ≡ 1 mod 18 y entonces

111040 = 116 173 · 112 ≡ (1)173 · 112 ≡ 13 mod 18.

El residuo buscado es, pues, 13.

Obs´ervese que si m un entero positivo y a un entero con mcd(a, m) = 1,

el Teorema de Euler permite ver que el inverso multiplicativo de a m´odulo
m es aϕ(m)−1. Esto permite resolver algunas congruencias lineales.

Ejemplo 4.37. Resolvamos la congruencia 35x ≡ 47 mod 24. Es fa´cil ver

que esta congruencia es equivalente a 11x ≡ −1 mod 24. Multiplicando
ambos lados de la congruencia por 11ϕ(24)−1 = 117, el inverso multiplicativo

de 11 obtenemos x ≡ 117 · (−1) mod 24

≡ 13 mod 24.

Ejemplo 4.38. El problema de calcular ra´ıces k-esimas m´odulo m, esto es
resolver la congruencia xk ≡ mod m, es de inter´es en algunas aplicaciones.

4.4. TEOREMA DE EULER 79

Siempre es posible calcular xk mod m para los valores enteros positivos de
x menores que b. Esto puede ser muy largo y tedioso para valores grandes de
m (los cuales son los importantes en las aplicaciones). Veremos un m´etodo
para extraer tales ra´ıces que trabaja bajo asunciones que pueden hacerse
en casos que nos interesara´n. En efecto, queremos resolver la congruencia
xk ≡ b mod m. Asumiremos que (b, m) = 1 y (k, ϕ(m)) = 1. Siempre
podemos encontrar u > 0 tal que ku ≡ 1 mod ϕ(m). Tenemos que x ≡ bu
mod m.

¿Por qu´e esto funciona? Veamos:

xk ≡ b mod m
(xk)u ≡ bu mod m
mod m
xku ≡ bu mod m
xvϕ(m)+1 ≡ bu
mod m
v
mod m
xϕ(m) · x ≡ bu

x ≡ bu

Veamos un caso particular: x341 ≡ 127 mod 893. Observemos primero
que ϕ(893) = ϕ(19 · 47) = 18 · 46 = 828. Por el Teorema de Euler se tiene
que, como cualquier soluci´on x es un primo relativo con 893,

x828 ≡ 1 mod 893.

Adema´s, por el Algoritmo de Euclides, mcd(828, 341) = 1 y (−7) · 828 + 17 ·

341 = 1. Luego

x341 17 = x1+828·7
= x x828 7
≡ x(1)7 mod 893

≡ x mod 893.

As´ı pues, para “extraer la ra´ız” 341 de 127 mo´dulo 893, basta con calcular
12717 mod 893. Para ello usemos el acostumbrado m´etodo de escribir el

exponente en “binario”, 17 = 16 + 1, y obtener los sucesivos cuadrados de

127:
1272 ≡ 55 mod 893
1274 ≡ 349 mod 893
1278 ≡ 54 mod 893
12716 ≡ 237 mod 893.

Tenemos as´ı

x ≡ 12717 ≡ 12716 · 1271 ≡ 237 · 127 ≡ 630 mod 893.

80 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Usando Mathematica R (o WolframAlpha R ) y el comando

PowerMod[127, 1/341, 893],

se obtiene el resultado anterior. Revisar la aplicaci´on del algoritmo anterior
mostrar´a al lector co´mo procede el c´alculo.

Cuestio´n 4.39. 1. Encuentre un nu´mero a que satisfaga las siguientes
propiedades:
(a) a ≡ 73003 mod 3750,
(b) 1 ≤ a ≤ 5000 y
(c) a no es divisible por 7.

2. Use el Teorema de Euler para resolver la congruencia 41x ≡ 53 mod 62.
3. Pruebe que 22225555 + 55552222 es divisible entre 7.
4. ¿Qu´e residuo se obtiene al dividir 232017 entre 17?

5. Determine los posibles residuos que se obtienen cuando la potencia
100 de un entero de divide por 125.

6. ¿Cua´l es la cifra de las unidades de 77...7 ?

2017 veces

7. Demuestre que 6601 es un nu´mero de Carmichael.

8. Use el m´etodo descrito anteriormente para resolver la congruencia
x329 ≡ 452 mod 1147.

9. Demuestre que ϕ(n2) = nϕ(n).

10. Demuestre que hay infinitos enteros positivos n para los cuales 10
divide a ϕ(n). Indicaci´on: Considere los n de la forma n = 11k · p con
k ≥ 1 y p primo distinto de 11.

11. Demuestre que hay infinitos enteros positivos n para los cuales ϕ(n)
es un cuadrado. Indicaci´on: Considere los n de la forma n = 22k+1
con k ≥ 1.

12. D´e una caracterizaci´on de los nu´meros naturales n tales que:

(a) ϕ(n) es impar.

4.5. APLICACIONES DE LAS CONGRUENCIAS 81

(b) ϕ(n) = n − 1.
(c) ϕ(n) divide a n.
(d) 4 divide a ϕ(n).
(e) ϕ(n) = 2k.
(f) ϕ(n) = n/2.
(g) ϕ(n) = n/4.

13. Demuestre que si mcd(m, n) = 1 entonces mϕ(n)+nϕ(m) ≡ 1 mod mn.

4.5 Aplicaciones de las congruencias

4.5.1 Calendario Perpetuo

En octubre de 1582, los astro´nomos Fr. Christopher Clavius y Aloysius
Giglio introdujeron el calendario gregoriano, que es el usado actualmente,
a peticio´n del Papa Gregorio XIII, para rectificar el errores del calendario
juliano. Ud. encontrar´a, seguramente, interesante, investigar sobre la natu-
raleza de estos errores y, en general, la historia del calendario.

En esta seccio´n nos planteamos la siguiente cuestio´n: Determine el d´ıa
d de la semana para el d´ıa r en un mes dado m de cualquier an˜o dado en el
calendario gregoriano.

Una observacio´n importante para nuestro fin. En el calendario grego-
riano los an˜os correspondientes a cambio de siglo divisibles por 400 son
bisiestos y todos los an˜os que no corresponden a cambio de siglo divisibles
por 4 son tambi´en an˜os bisiestos. Por ejemplo, 1776 y 2000 fueron an˜os
bisiestos, pero 1900 y 1974 no lo fueron.

El primer an˜o bisiesto, despu´es de la introducci´on del calendario grego-
riano fue 1600. Desarrollaremos una formula para determinar el d´ıa de la
semana de una fecha dada posterior al an˜o 1600.

Como en un an˜o bisiesto se an˜ade un d´ıa a febrero, para efectos de
nuestros c´alculos comenzaremos el an˜o el 1 de marzo. Por ejemplo, enero
del an˜o 3000 ser´a considerado el mes 11 del an˜o 2999 y abril del an˜o 3000
ser´a el mes 2 del an˜o 3000. El 29 de febrero de 1976 ser´a el u´ltimo d´ıa del
mes 12 del an˜o 1975.

Asignaremos los nu´meros 1 a 12 a los meses comenzando por marzo
hasta febrero, y los nu´meros de 0 a 6 para los d´ıas de domingo a s´abado, as´ı
1 ≤ m ≤ 12, 1 ≤ r ≤ 31 y 0 ≤ d ≤ 6. Por ejemplo m = 3 denota mayo y
d = 5 es viernes.

En lo que sigue Ud. encontrara´ una fo´rmula para encontrar d.

82 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Cuesti´on 4.40. 1. Escribimos dy para designar el d´ıa de la semana del
primero de marzo del an˜o y con y ≥ 1600. Como 365 ≡ 1 mod 7 se

tiene:

dy = dy−1 + 1 si y no es bisiesto,
dy−1 + 2 si y es bisiesto.

Explique.

2. ¿Cu´antos an˜os bisiestos han ocurrido desde 1600 hasta el an˜o y? Muestre
que esta cantidad l viene dada por la expresio´n

l = y − y + y − 388.
4 100 400

3. Aplicando la divisi´on entera podemos escribir cada an˜o y como

y = 100C + D con 0 ≤ D < 100.

Por ejemplo, si y = 2017 entonces C = 20 y D = 17. Usando esta
notacio´n, a partir de la expresi´on anterior para l deduzca que

l = 24C + C + D − 388,
44

y por tanto

l ≡ 3C + C + D − 3 mod 7.
44

4. Observe dy mo´dulo 7 es d1600 ma´s 1 d´ıa por cada an˜o a partir de 1600
y 1 d´ıa ma´s por cada an˜o bisiesto a partir de 1600. Es decir

dy ≡ d1600 + (y − 1600) + l mod 7.

A partir de esta expresio´n, demuestre que

dy ≡ d1600 − 2C + D + C + D mod 7.
4 4

5. El primero de marzo de 2017 fue un mi´ercoles. Usando este dato,
demuestre que el primero de marzo del an˜o 1600 fue tambi´en un
mi´ercoles. Por tanto, tenemos la siguiente fo´rmula:

CD
dy ≡ 3 − 2C + D + 4 + 4 mod 7.

4.5. APLICACIONES DE LAS CONGRUENCIAS 83

6. Una vez conocido el d´ıa de la semana en que comenz´o el an˜o, para
encontrar el d´ıa de la semana que corresponde a una fecha dada, bus-
camos el d´ıa de la semana en el cual comenz´o el mes de esa fecha. Como
31 ≡ 3 mod 7 y 30 ≡ 2 mod 7, por cada mes de 31 d´ıas el d´ıa de
semana se “corre” tres d´ıas de semana y por cada mes de 30 d´ıas dos.
Por ejemplo, el “primer” d´ıa de este an˜o, es decir el 1 de marzo de 2017
fue como dijimos mi´ercoles, d´ıa al que asignamos el nu´mero 3, luego
el 1 de abril de 2017 ser´a 3 + 3 ≡ 6 mod 7, que corresponde a sa´bado,
pues marzo tiene 31 d´ıas y el 1 de mayo de 2017 sera´ 3 + 3 + 2 ≡ 1
mod 7, esto es d´ıa lunes. Christian Zeller (1824–1899) encontro´ una
f´ormula que da todas esos incrementos f (m) para m = 2, 3, . . . , 12.
Esta fo´rmula es
f (m) = [2, 6m − 0, 2] − 2.

Verifique Ud. que esta fo´rmula funciona. Nadie sabe como Zeller la
encontro´.

7. En consecuencia, el d´ıa inicial del mes m del an˜o y es

d ≡ dy + [2, 6m − 0, 2] − 2 mod 7.

Verifique que se tiene que

d ≡ 1 + [2, 6m − 0, 2] − 2C + D + C + D mod 7.
44

8. Ud. no tendr´a dificultad alguna en ver que el d´ıa de la semana para
la fecha: r d´ıas del mes m del an˜o y es

d ≡ r + [2, 6m − 0, 2] − 2C + D + C + D mod 7.
44

Use la f´ormula anterior para encontrar el d´ıa de la semana que corresponde
a:

1. La fecha de hoy.

2. El 20 de julio de 1810 (Independencia de Colombia).

3. El 20 de julio de 1969 (Primer alunizaje).

4. El 30 de abril de 1777 (Nacimiento de C. F. Gauss).

5. El 1 de Enero de 2018.

6. La fecha de su nacimiento.

84 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

4.5.2 Criptolog´ıa

Alrededor del an˜o 50 A.C., Julio C´esar envi´o a Marco Cicero´n, durante la
guerra de las Galias, un mensaje cifrado usando aritm´etica modular. Veamos
c´omo funciona el sistema de encriptacio´n de C´esar. La primera idea es
asignar a cada letra un nu´mero. Lo haremos de la siguiente manera

ABCDE FGH I J KLM
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

N O P Q R S T U VWX Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

As´ı, a cada letra corresponde un nu´mero P con 0 ≤ P ≤ 25. Para encriptar,
usaremos la sustitucio´n de C´esar

C ≡ P + 3 mod 26.

Por ejemplo el mensaje HOLA se encripta como 10 17 14 03 o KROC.

Si el receptor del mensaje conoce el proceso usado para encriptar, desencripta
el mensaje usando.

P ≡ C + 3 mod 26.

• Obviamente “correr” el alfabeto 3 letras a la derecha no es la u´nica opcio´n.
Decida con uno de sus compan˜eros un modo de encriptar tipo C´esar:

C ≡ P + k mod 26,

con un k entero positivo ≤ 25 elegido por Uds. escriban pequen˜os mensajes,
encr´ıptenlos y env´ıenlos a sus compan˜eros. Aqu´ı y a lo largo de nuestro
trabajo con Criptolog´ıa ignore los espacios.
• Si Ud. no conoce la “clave” que se uso´, ¿es posible “desencriptar” el mensaje?
Sin duda, los enemigos de C´esar encontrar´ıan u´til encontrar co´mo hacerlo.
Un modo de hacerlo es observando que algunas letras se usan ma´s que otras.
De hecho, en espan˜ol la letra mas usada es la E, la cual se ha observado que
aparece en promedio un 13, 68% en un texto suficientemente largo. Datos de
Wikipedia nos dan las letras m´as usadas y los porcentajes de aparici´on, en
espan˜ol, como se indica:

E A OS
13,68 12,53 8,68 7,98

Con esta informaci´on, disen˜e un procedimiento para “romper” el sistema
de encriptacio´n de C´esar. Pruebe su sistema usando ejemplos. Elabore un
pequen˜o informe sobre su trabajo ilustrando con ejemplos.

4.5. APLICACIONES DE LAS CONGRUENCIAS 85

• Un cifrado af´ın se basa en la siguiente transformacio´n

C ≡ aP + k mod 26

con a y k enteros positivos ≤ 25 y mcd(a, 26) = 1. Encripte y desencripte
pequen˜os mensajes. ¿Por qu´e es importante la condicio´n mcd(a, 26) = 1?
¿C´omo se puede “romper” una encriptaci´on af´ın? Elabore un pequen˜o in-
forme sobre su trabajo ilustrando con ejemplos.

• El cript´ografo frances B. de Vigenere en 1586 disen˜o´ un sistema de cifrado
ma´s sofisticado. Este sistema emplea una palabra clave, por ejemplo GRACE,
una palabra de longitud 5, que corresponde a los nu´meros k1 = 06, k2 =
17, k3 = 00, k4 = 02 y k5 = 04 de nuestra tabla.
Encriptemos el mensaje BIENVENIDO. Este corresponde a

01080413210413080314.

Dividimos nuestro mensaje en grupos de 5 letras (10 d´ıgitos) pues la palabra
clave tiene 5 letras. Si es necesario agregamos al final la letra menos usada
del espan˜ol: la X. Encriptamos usando Ci = Pi + ki con = 1, . . . , 5. Por
ejemplo en el primer grupo la letra B que corresponde al d´ıgito 01 pasa a
ser 01 + 06 ≡ 07 mod 26, la segunda I corresponde a 08 que encriptamos
08 + 17 ≡ 25 mod 26 y as´ı sucesivamente obtenemos el mensaje encriptado

07250415251004080518,

o en letras: HZEPZKEIFS. Verifique los ca´lculos. Usando la misma palabra
clave encripte el mensaje: S´e que usted viene a matarme, y como es tan
joven no quiero que le ocurra ningu´n dan˜o. Por eso le entrego estas llaves
para que despu´es de que ejecute su prop´osito, tenga tiempo de huir por la
ventana.
Se trata de palabras pronunciadas por Antonio Narin˜o, a un joven que hab´ıa
sido convencido para asesinarlo en su despacho el 15 de Septiembre de 1821.
Ante esta frase el joven contest´o: Me hab´ıan dicho que deb´ıa matar a un
tirano, no a un gran hombre.
Si Ud. conoce la palabra clave puede desencriptar un mensaje. Elija su propia
palabra clave y ensaye con varios mensajes. El cifrado de Vigenere es mas
dif´ıcil de romper que los cifrados considerados antes. ¿Por qu´e? Consulte
m´as sobre el cifrado de Vigenere y escriba un pequen˜o informe de su trabajo
y su investigaci´on.

• En 1978, Ronald L. Rivest, Adi Shamir y Leonard Adelman en el MIT desar-
rollaron una implementaci´on pra´ctica de una idea de Hellman conocido como
el cripto-sistema RSA. Es un sistema de clave pu´blica, denominado RSA,
con un sistema de encriptaci´on exponencial basado en el Teorema de Euler
(doscientos an˜os despu´es de Euler).
¿Co´mo funciona este sistema?

86 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

Figura 4.1: Ronald L. Rivest, Adi Shamir y Leonard Adelman

– Lea atentamente la siguiente descripcio´n del sistema y el ejemplo que
se propone a continuacio´n. Sugerimos una lectura en paralelo de la
explicaci´on y el ejemplo, y que Ud. haga los c´alculos correspondientes,
usando por ejemplo WolframAlpha.
En general, en un sistema de encriptacio´n de clave pu´blica varios in-
dividuos desean comunicarse entre s´ı. Cada persona escoge una clave
para encriptar E, la cual es publicada en un “libro” de claves y puesta
a disposici´on de todos los usuarios del sistema. Adem´as cada usuario
determina una clave de descifrado D, que de alguna manera es la “in-
versa” de E, la cual mantiene en secreto.
Para lograr que el sistema sea seguro, cada clave de descifrado, debe ser
esencialmente imposible de descubrir o calcular, aun cuando la clave de
encriptaci´on sea pu´blicamente conocida.
Supo´ngase que Alice y Bob son dos usuarios del sistema. Sus respectivas
claves pu´blicas, EA y EB, son pu´blicamente conocidas. Si Alice desea
enviar el mensaje M a Bob, aplica EB a M y trasmite EB(M ). La
clave de descifrado debe cumplir DB(EB(M )) = M . Como solo Bob
conoce DB, solo ´el puede aplicarla a EB(M ) y leer M .
Veamos co´mo funciona, en particular, el sistema RSA. Cada individuo
en el sistema escoge dos nu´meros primos “grandes” p y q (de aproxi-
madamente unos 100 d´ıgitos cada uno) y calcula n = pq. Luego de-
termina un entero positivo e tal que mcd(e, ϕ(n)) = 1, y un entero
positivo d para el cual de ≡ 1 mod ϕ(n). El par (n, e), que define la
clave de encriptamiento, es publicada en el registro pu´blico de claves
y d, que determina la clave de descifrado, es mantenida en secreto por
cada individuo.
En el sistema RSA un mensaje M es transformado en su equivalente
num´erico usando una tabla similar a la que hemos venido usando. Agru-
pamos los d´ıgitos del mensaje as´ı “traducido” en bloques de 2m d´ıgitos,

4.5. APLICACIONES DE LAS CONGRUENCIAS 87

con un m escogido de modo tal que el entero m´as grande formado ad-
juntando los d´ıgitos correspondientes a m letras sea menor que n.
Los bloques P as´ı obtenidos, son encriptados usando

C = E(P ) ≡ P e mod n,

donde 0 ≤ C < n. El mensaje C as´ı obtenido es enviado.
Si la clave de descifrado d es conocida, P puede ser recuperado de C
fa´cilmente. Veamos c´omo: d ha sido calculado de modo que se satisfaga
ed ≡ 1 mod ϕ(n), donde ϕ es la funcio´n de Euler. Luego ed − 1 es un
mu´ltiplo de ϕ(r) y as´ı ed = ϕ(r)·k +1 para un cierto entero k. Tenemos
entonces, aplicando el Teorema de Euler, que

Cd = (P e)d = P ed = P ϕ(n)·k+1 = (P ϕ(n))k · P ≡ P mod n.

– Alice y Bob se han convertido en los nombres, casi obligados, de los
personajes que se env´ıan mensajes cuando ejemplificamos el uso de
sistemas criptogra´ficos. Siguiendo esta tradicio´n, revise el siguiente
ejemplo. Hemos elegido nu´meros “pequen˜os” que faciliten los ca´lculos.
Recuerde que en las aplicaciones pr´acticas del sistema RSA los nu´meros
primos elegidos suelen tener cientos de d´ıgitos.
∗ Bob elige dos primos p = 61 y q = 47. Sea n = pq = 2867.
∗ Bob calcula ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) = 60 · 46 = 2760.
∗ Bob elige un nu´mero e = 17 que cumple (ϕ(n), e) = 1.
∗ Bob publica su clave: n y e. La clave pu´blica de Juan ser´a

n = 2867, e = 17.

∗ Alice desea enviarle a Bob el mensaje:
La clase de teorı´a de nu´meros es aburrida

∗ Lo codifica obteniendo una cadena de d´ıgitos, que dividimos en
grupos de 4 d´ıgitos como sigue:
1100 0211 0018 0403 0419 0414 1708 0003 0413 2012
0417 1418 0418 0001 2017 1708 0300

∗ Ayudemos a Alice a encriptar el mensaje que ella dirigir´a a Bob.
Llamemos Pi con i = 1, 2, . . . , 17 a cada uno de estos bloques, en
el orden indicado. Para cada i encuentre

Ci ≡ Pie mod n, 0 ≤ Ci < n.

El mensaje conformado por los Ci es enviado por Alice a Bob.
∗ Ahora procedamos, con Bob, a descifrar el mensaje que Alicia le

envio´. Para ello use la clave privada de Bob d. Bob la calculo´
resolviendo la congruencia de ≡ 1 mod ϕ(n). Calcule Ud. la
clave privada de Bob. Confirme que se obtiene cada Pi calculando
el residuo de Cid mod n etre 0 y n.

88 CAP´ITULO 4. CONGRUENCIAS

– Construya su propia clave privada como la de Bob.
– Compa´rtala con sus compan˜eros de curso.
– Escriba un mensaje de al menos 20 letras. Env´ıe ese mensaje debida-

mente encriptado, al compan˜ero de curso que se le indicara´.

Bibliograf´ıa

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