Irisan Kerucut

CHAPTER XII
Irisan Kerucut

Irisan Kerucut adalah irisan bidang datar dengan kerucut lingkaran tegak, dapat berupa :
1. Sebuah titik
2. 2 buah garis yang saling berpotongan
3. Sebuah garis lurus
4. Lingkaran
5. Elips
6. Parabola
7. Hiperbola

Secara aljabar irisan kerucut dapat ditulis sebagai : Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

I. LINGKARAN
adalah tempat kedudukan titik – titik pada bidang datar yang berjarak konstan dari sebuah titik
yang diketahui / tertentu. Jarak tetap tersebut disebut jari – jari lingkaran dan titik yang

diketahui disebut pusat lingkaran.

A. Lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari – jari R
y

T(x,y)
R

(0,0) x x

Misal : Sembarang titik (x,y) pada lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari – jari R, maka
selalu berlaku :
Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari – jari R
x2 + y2 = R2
atau
Lingkaran (0,R) = { (x,y) / x2 + y2 = R2 }

206

Catatan :

1. Untuk tiap titik (x1,y1) pada lingkaran (0,R) berlaku x12 + y12 = R2

2. Untuk tiap titik (x1,y1) di luar lingkaran (0,R) berlaku x12 + y12 > R2

3. Untuk tiap titik (x1,y1) di dalam lingkaran (0,R) berlaku x12 + y12 < R2

Contoh- contoh Soal :

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari – jari 4 satuan.

Solusi : Pers. Lingkaran (0,R) : x2 + y2 = R2

R=4  x2 + y2 = 16

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan melalui titik (3, -4)

Solusi : Pers. Lingkaran (0,R) : x2 + y2 = R2

melalui (3, -4) : 32 + (-4)2 = R2 R2 = 25

 x2 + y2 = 25

3. Diberikan titik – titik : A (0,1) dan B (0,9). Carilah TK (tempat kedudukan) titik T (x,y)

sehingga berlaku TB = 3 TA

y
(0,9)

(0,1)

x

A (0,1) ; B (0,9)

TB = 3 TA

(xT  xB )2  ( yT  yB )2 = 3 (xT  xA )2  ( yT  yA )2

(x  0)2  ( y  9)2 = 3 (x  0)2  ( y 1)2

. ( )2

x2 + (y - 9)2 = 9[x2 + (y – 1)2]

x2 + y2 – 18y + 81 = 9(x2 + y2 - 2y + 1)

x2 + y2 – 18y + 81 = 9x2 + 9y2 - 18y + 9

8x2 + 8y2= 72

x2 + y2 = 9

TK yang dimaksud merupakan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari – jari 3 satuan.

207

B. Lingkaran yang berpusat di (a,b) dan jari – jari R

y

T(x,y)

P(a,b) (y-b) y
(x-a) b

ax
x

Setiap titik T (x,y) lingkaran (P,R) dengan P(a,b) akan memenuhi relasi :
L = { (x,y) I (x – a)2 + (y – b)2= R2 }  merupakan persamaan lingkaran dengan pusat
P(a,b) dan jari – jari R.

Catatan :
1. Untuk tiap titik (x1,y1) pada lingkaran berlaku (x12 – a) + (y12 –b) = R2
2. Untuk tiap titik (x1,y1) di luar lingkaran berlaku (x12 – a) + (y12 –b) > R2
3. Untuk tiap titik (x1,y1) di dalam lingkaran berlaku (x12 – a) + (y12 –b) < R2

Contoh – contoh soal :

1. Tentukan pers. lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jari – jari 4 satuan.

Solusi :

Pers. lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari –jari R :

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

Pusat : P(3, -2) R=4

 ( x – 3)2 + (y + 2)2 = 16

208

2. Tentukan pers. lingkaran dengan pusat (3, -2) dan menyinggung sumbu y.

Solusi : :
Pers. lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari –jari R
(x – a)2 + (y – b)2 = R2

R=3

(3, -2)

 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 9

3. Tentukan pers. lingkaran dengan pusat (3, -2) dan melalui titik asal.

Solusi : :
Pers. lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari –jari R
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Pusat : P(3, -2) : (x – 3)2 + (y + 2)2 = R2
melalui (0,0) : (0 – 3)2 + (0 + 2)2 = R2

R2 = 13
 Pers. lingkaran : (x – 3)2 + (y + 2)2 = 13

4. Tentukan pers. lingkaran dengan pusat (3, -2) dan melalui titik (6,5)

Solusi : :
Pers. lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari –jari R
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Pusat : P(3, -2) : (x – 3)2 + (y + 2)2 = R2
melalui (6,5) : (6 – 3)2 + (5 + 2)2 = R2

R2 = 58
 Pers. lingkaran : (x – 3)2 + (y + 2)2 = 58

209

5. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3, -2) dan menyinggung garis
3x + 4y + 10 = 0
Note :

Ax + By + C = 0 d  Ax1  By1  C
A2  B2
d
(x1 , y1)

Solusi :

Solusi : :
Pers. lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari –jari R
(x – a)2 + (y – b)2 = R2

3x + 4y + 10 = 0 R= Ax1  By1  C
A2  B2

(3, -2) = 3.3  4(2)  10
32  42

R= 11 R2 = 121
5 25

 Pers. lingkaran : (x – 3)2 + (y + 2)2 = 121
25

210

C. PERSAMAAN UMUM LINGKARAN :
Pers. lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari – jari R
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – R2 = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2= 0

misal : A= -2a  a =  1 A
2

B= -2b  b =  1 B
2

C= a2 + b2 - R2  R2 = a2 + b2 - C

= (  1 A)2 + (  1 B)2 - C
22

= 1 A2 + 1 B2 - C
44

R= 1 A2  1 B2  C
44

Pers. lingkaran menjadi : x2 + y2 + Ax + By + C = 0  merupakan pers. lingkaran

dengan pusat P(  1 A ;  1 B) dan jari – jari R = 1 A2  1 B2  C
22 44

Beberapa kemungkinan :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Pusat : P(  1 A ;  1 B) R = 1 A2  1 B2  C
22 44

1. A = 0
Pers. lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Pusat : P(0 ;  1 B)
2

Pusat lingkaran terletak pada sumbu y :

y

(0 ,  1 B )

2

x

211

2. B = 0
Pers. lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Pusat : P(  1 A ; 0)
2

Pusat lingkaran terletak pada sumbu x :

y

( 1 A, 0)

2

x

3. C = 0
Pers. lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0
R = 1 A2  1 B2  C = a2  b2
44
Lingkaran melalui titik asal (0,0) :

(a,b)
R

Contoh Soal :
1. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika 3x2 – 3y2 – 18x + 24y + 27 = 0

3x2 + 3y2 – 18x + 24y + 27 = 0

:3

x2 + y2 – 6x + 8y + 9 = 0

R = 1 A2  1 B2  C P(  1 A ;  1 B)  P( 3 ; - 4 )
44 22

= 1 (62 )  1 (82 )  9
44

= 9 16  9
=4

212

2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik – titik : A(6 , 2) , B(- 1 , - 5)

C(7 , 1)
Misal :
Pers. lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0
melalui : A(6 , 2) : 62 + 22 + 6A + 2B + C = 0

6A + 2B + C = – 40 ……………….(1)
B(- 1 , – 5) : (–1)2 + (–5)2 – A – 5B + C = 0

A + 5B – C = 26………………..(2)
C(7 , 1) : 72 + 12 + 7A + B + C = 0

7A + B + C = – 50 ………………(3)

6A + 2B + C = – 40 ……………….(1) +
A + 5B – C = 26 ………………..(2)
7A + 7B = – 14
A + B = – 2 ……………….(4)

6A + 2B + C = – 40………….…(1)
7A + B + C = – 50 …….. …..…(3) –
– A + B = 10 …………….. (5)

A + B = – 2 ……………...(4) +
2B = 8

B=4
A + B = – 2 ……………….(4)
A+4=–2
A=–6
6A + 2B + C = – 40 ……(1)
6(– 6) + 2(4) + C = – 40
– 36 + 8 + C = – 40

C = – 12
Persamaan lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0

x2 + y2 - 6x + 4y - 12 = 0

213

D. Garis Singgung dengan Gradien m pada Lingkaran

2

y3 1

32
x

Bila y = mx + n merupakan berkas – berkas garis yang sejajar dengan gradien m, maka titik

potong berkas dengan lingkaran (0,R) dapat ditentukan sebagai berikut :

x2 + y2 = R2  x2 + (mx + n)2 = R2

y = mx + n x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = R2

(1 + m2) + 2mnx + (n2 - R2) = 0

Dalam hal ini :
D = (2mn)2 – 4(1 + m2)( n2 - R2)
Kemungkinan – kemungkinan :

1. D > 0 , maka garis memotong lingkaran pada 2 titik.

2. D < 0 , maka garis tidak memotong lingkaran.

3. D = 0 , maka garis menyinggung lingkaran.

D=0
(2mn)2 – 4(1 + m2)( n2 - R2)= 0
4m2n2 – 4(n2 - R2 + m2n2 – m2R2) = 0
4m2n2 – 4n2 + 4R2 – 4m2n2 + 4m2R2 = 0
– n2 + R2 + m2R2 = 0

n2 = R2 + m2R2

n2 =  R2  m2 R2

n2 =  R 1  m2
Persamaan garis singgung :
y = mx + n

y = mx  R 1 m2  Pers. garis singgung lingkaran (0,R) dengan gradien garis

singgung m.

214

Contoh Soal :
Tentukan pers. garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang :

a) sejajar dengan garis y = 3x + 4
b) tegak lurus dengan garis y = 6x – 5

Solusi : R =5
a) Lingkaran x2 + y2 = 25 m=3

Garis y = 3x + 4

Garis singgung sejajar dengan garis y = 3x + 4

Gradien garis singgung : m = m1 = 3

Pers. garis singgung : y = mx  R 1 m2

y = 3x  5 1 9

y = 3x  5 10
b) Lingkaran x2 + y2 = 25  R = 5

Garis y = 6y - 5  m = 6
Garis singgung  dengan garis y = 6y - 5
Gradien garis singgung : m1.m2 = -1

6. m2 = -1  m2 =  1
6

Pers. garis singgung : y = mx  R 1 m2

y =  1 x  5 1    1 2
6  6

y =  1 x  5 37
6 36

y =  1 x  5 37
66

catatan:
Jika persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2. maka persamaan garis singgung
dengan gradien m menjadi :

y - b= m(x – a)  R 1 m2

215

E. Garis singgung di titik (x1 , y1) pada Lingkaran :

P

(x1 , y1)

O

garis singgung

x2 + y2 = R2

mOP = y
x

= y1  0 = y1
x1  0 x1

Garis singgung  OP :

m =- 1 1 m = - x1
mOP m =- y1

y1
x1

Persamaan garis singgung :

y – y1 = m(x – x1)

y – y1 = - x1 (x – x1)
y1

y y1 – y12 = - x1x + x12

x1x + y1y = x12 + y12
x1x + y1y = R2  Pers. garis singgung di titik (x1 , y1) pada lingkaran x2 + y2 = R2

Contoh Soal :
Tentukan pers. garis singung lingkaran x2 + y2 = 25 pada titik (3,4)
Solusi :
Pers. garis singgung di titik (x1 , y1) pada lingkaran x2 + y2 = R2 : x1x + y1y = R2
Pers. lingkaran : x2 + y2 = 25
Pers. garis singgung : 3x + 4y = 25

216

Catatan :
1. Jika persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2, maka persamaan garis singgung

menjadi :
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = R2
2. Jika persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka persamaan garis singgung
menjadi:
x1x + y1y + A x1  x + B y1  y + C = 0

22

F. Garis Polar dengan titik Polar (x1 , y1) pada Lingkaran:
1)

x2 + y2 = R2 (x1 , y1)

2) (0,0)

garis polar : x1x + y1y = R2

(a,b) (x1 , y1)

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 Persamaan garis polar : (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = R2

3) Jika pers. lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0,
Pers. garis polar : x1x + y1y + A x1  x + B y1  y + C = 0
22

217

Contoh Soal :
I. Tentukan pers. garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang dapat ditarik dari titik (7,1)

Solusi :

(7,1)

x2 + y2 = 25

garis polar

Pers. garis polar : x1x + y1y = R2 y = -7x + 25
7x + y = 25 

Perpot. garis singgung dengan lingkaran :
x2 + y2 = 25
x2 + (-7x + 25)2 = 25
x2 + 49x2 – 350x + 625 – 25 = 0
50x2 – 350x + 600 = 0
x2 – 7x + 12 = 0
(x – 3)(x – 4) = 0

x1 = 3 v x2 = 4
untuk x = 3  y = -7(3) + 25 = 4

x = 4  y = -7(4) + 25 = -3
Titik singgung : (3,4) dan (4, -3)
1. Titik singgung (3,4) ; x1 = 3 y1 = 4

Pers. garis singgung : x1x + y1y = R2
3x + 4y = 25

2. Titik singgung (4, -3) ; x1 = 4 y1 = -3
Pers. garis singgung : x1x + y1y = R2
4x - 3y = 25

II. misal : pers. garis singgung : y – y1 = m(x – x1)
melalui (7,1) : y – 1 = m(x – 7)
y = m(x – 7) + 1

pers. lingkaran : x2 + y2 = 25
x2 + {m(x – 7) + 1}2 = 25

218

x2 + {mx – 7m + 1}2 = 25
x2 + {m2x2 + 49m + 1 – 14m2x + 2mx – 14m} = 25
(m2 + 1)x2 + (2m – 14m2)x + (49m2 – 14m – 24) = 0

syarat menyinggung : D = 0
(2m – 14m2)2 – 4(m2 + 1) (49m2 – 14m – 24) = 0
4m2 – 56m3 + 196m4 – 4(49m4 – 14m3 – 24m2 + 49m2 – 14m – 24) = 0
4m2 – 56m3 + 196m4 – 196m4 + 56m3 + 96m2 – 196m2 + 56m + 96= 0
-96m2 + 56m + 96 = 0
12m2 – 7m – 12 = 0

 m  4  persamaan garis sin ggung : y  mx  7  1

 3

 y  4 x  7  1

3m  44m  3  0  3 3

m    persamaan garis sin ggung : y  mx  7 1
4

 y   3 x  7  1

4

G. Panjang Garis Singgung Lingkaran yang dapat ditarik dari titik (x1,y1) :

R L= PR  Px1, y1

Q

Pada gambar di atas, titik Px1, y1 terletak di luar lingkaran, titik P dan Q adalah

titik singgung, maka panjang garis singgung PQ = PR = L , dapat dihitung dengan

rumus pada tabel berikut:

No. Persamaan Lingkaran Panjang garis singgung yang ditarik dari

titik Px1, y1

1. x2  y2  R2 L  x12  y12  R2

2. x  a 2 y  b 2  R2 L  x1  a 2 y1  b 2  R2

3. x2  y2  Ax  By  C  0 L  x12  y12  Ax1  By1  C

219

Contoh :

Tentukan panjang garis singgung yang dapat ditarik dari titik (7,1) pada lingkaran:

a. x 1 2 y  2 2  25 b. x2  y2  2x  4y  6  0

Jawab :

a. L  x1 1 2 y1  2 2  25
 7 1 2 1 2 2  25

 40

b. L  x12  y12  2x1  4 y1  6
 7 2 12  2.7  4.1 6
 54

H. PERPOTONGAN DUA LINGKARAN …… (2)
Diberikan lingkaran – lingkaran : x2 + y2 = R2 …… (1)
x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Titik potong 2 lingkaran itu diperoleh sebagai berikut :

I. x2 + y2 + Ax + By + C = 0 …… (2)

x2 + y2 – R2 = 0 …… (1) –

Ax + By + C + R2 = 0 …… Persamaan tali busur persekutuan …… (3)

II. Persamaan (3) digabung dengan persamaan (1) / (2)

Ax + By + C + R2 = 0 …… (3)

x2 + y2 = R2 …… (1)  2 persamaan, 2 variabel (x,y)  eliminasi x atau y.

ATTENTION !!!
Persamaan (3) merupakan persamaan garis yang melalui titik potong kedua lingkaran.
Jadi, mencari titik potong dua lingkaran tersebut = mencari titik potong salah satu lingkaran
dengan tali busur persekutuannya.

220

Contoh Soal :
x2 + y2 + x – 2y – 4 = 0
x2 + y2 + 3x + y – 2 = 0

Cari titik potong kedua lingkaran !

Solusi :
I. x2 + y2 + x – 2y – 4 = 0

x2 + y2 + 3x + y – 2 = 0 –

2x + 3y + 2 = 0  Pers. tali busur gabungan
II. x2 + y2 + x – 2y – 4 = 0 ……(1)

2x + 3y + 2 = 0 ……(3)

 3y = -2x - 2

y = 2x 2
33

x2 + y2 + x – 2y – 4 = 0 ……(1)

x2 + (  2 x  2 )2 + x – 2(  2 x  2 ) – 4 = 0
33 33

Cari D , jika D > 0  kedua lingkaran berpotongan

D = 0  kedua lingkaran bersinggungan

D < 0  kedua lingkaran tidak berpotongan

221

Gambar Persamaan/rumus Ringka

a. y x2  y2  R2 Persamaan Garis Singgung
R dengan Gradien m
Pusat : P(0,0)
Jari-jari : R y  mx  R m2 1

x

b.

y x  a 2 y  b 2  R2

Pusat : P(a,b) y  b  mx  a R m2 

R Jari-jari : R

x

222

asan Lingkaran Panjang garis singgung yang

Persamaan Garis Singgung dengan Titik ditarik dari titik Px1, y1
Singgung (x1,y1) / Persamaan Garis Polar
L  x12  y12  R2
dengan Titik Polar (x1,y1)

x1x  y1 y  R2

1 x1  ax  a y1  by  b  R2 L  x1  a 2 y1  b 2  R2

Gambar Persamaan/rumus Persamaan Garis Singgung
c. dengan Gradien m
x2  y2  Ax  By  C  0
Pusat: P  1 A,  1 B

 2 2
Jari-jari:
R  1 A2  1 B2  C

44

d. x2  y2  Ax  By  C  0
Ax+By+C=0

Jari-jari:

R R  Ax1  by1  C
A2  B2
Px1, y1 

223

Persamaan Garis Singgung dengan Titik Panjang garis singgung yang

Singgung (x1,y1) / Persamaan Garis Polar ditarik dari titik Px1, y1
dengan Titik Polar (x1,y1)

x1 x  y1 y  A x1  x  B y1  y  C  0
2 2

Exercise 1
1. Tulislah persamaan atau pertidaksamaan untuk hal-hal berikut :

a. TK titik-titik P(x,y) yang berjarak 9 satuan dari pangkal.

b. TK titik-titik P(x,y) yang berjarak lebih dari 8 satuan dari pangkal.
c. TK titik-titik P(x,y) yang terletak di dalam lingkaran dengan pusat O dan

jari-jari 6 satuan.

2. Gambar dan arsir bagian dari :

a. x, y/ x2  y2  25x, y/ x  3
b. x, y/ x2  y2  25x, y/ x  3
   c. x, y/ x2  y2  9  x, y/ x2  y2  25
d. x, y/ x2  y2  16x, y/ y  x

3. a. Diketahui titik-titik A(-1,0), B(-9,0) carilah TK titik-titk P(x,y) sehingga PB = 3 PA
b. Diketahui titik-titik (0,2), B(0,8) carilah TK titik-titk P(x,y) sehingga PB = 2 PA

c. Diketahui titik-titik A(0,-1), B(0,-25) carilah TK titik-titk P(x,y) sehingga PB = 2 PA
d. Diketahui titik-titik A(1,1), B(9,) carilah TK titik-titk P(x,y) sehingga PB = 3 PA

e. Diketahui titik-titik A(-3,4), B(2,-1) carilah TK titik-titk P(x,y) sehingga 2 AP = PB

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada (-1,2) dan berjari-jari 5. Tentukan pula
titik potongnya dengan kedua sumbu.

5. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 2 dan menyinggung sumbu x positif dan
sumbu y negatif.

6. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan

x2 + y2 + 8x – 6y = 0

Apakah keistimewaan lingkaran yang persamaannya tidak mengandung bilangan tetap ?

7. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan x2 + y2 –
8x – 5 = 0

Apakah keistimewaan lingkaran yang persamaannya tidak mengandung suku dengan y ?

8. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut :
a. x2 + y2 + 4x + 16y + 12 = 0
b. 4x2 + 4y2 – 2x + 3y – 16 = 0
c. 3x2 + 3y2 + 2x – 5y – 4 = 0
d. 2x2 + 2y2 + 3x – 5y + 17 = 0

224

9. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik :

a. A(1,3) , B(6,-2) , C(-3,-5) c. A(1,6) , B(2,5) , C(-6,4)

b. A(1,-1) , B(2,1) , C(-3,2) d. A(3,2) , B(2,-3) , C(-2,4)

10. Tentukan persamaan lingkaran-lingkaran yang melalui titik pangkal, berjar-jari 5 dan
yang berpusat pada garis x – y = 1

11. Carilah persamaan lingkaran yang titik-titik ujung garis tengahnya (2,3) dan (-1,5)

12. Carilah persamaan lingkaran dengan segmen garis hubung titik (-3,0) dan (1,-4) sebagai

diameternya.

13. Carilah persamaan lingkaran-lingkaran yang menyinggung sumbu x dan menyinggung

sumbu y , masing- masing melalui titik :

a. A(1,2) b. B(2,4)

14. Carilah persamaan lingkaran-lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 3x – 5y = 8 dan

menyinggung sumbu-sumbu koordinat.

15. Dalam tiap masalah berikut, carilah persamaan tiap lingkaran dengan data yang

diketahui sebagai berikut :

a. Pusat pada sumbu y dan lingkaran melalui titik-titik (1,2) dan (-3,1)
b. Pusat pada garis x – y + 4 = 0 dan menyinggung kedua sumbu koordinat.
c. Pusat pada garis x + 2y – 6 =0 dan melalui titik-titik (5,4) dan (1,-2)

d. menyinggung kedua sumbu koordinat dan melalui titik (2,1)

e. Melalui titik (1,-1) dan pusat terletak pada perpotongan garis-garis
x + 2y – 4 = 0 dan 2x – 4y + 32 = 0

f. Berpusat pada (-3,2) dan menyinggung garis 3x – 4y = 8

16. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (-4,3), juga

persamaan garis singgung yang sejajar garis singgung tadi.

17. Tentukan persamaan lingkaran-lingkaran yang melalui titik O(0,0) , menyinggung garis
4x – 3y = 6 dan berpusat pada garis x – 2y = – 6

18. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan jari-jari 5. Tentukan pula
persamaan-persamaan garis s inggungnya yang tegak lurus pada garis 4x – 3y = 6

19. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 yang dapat

ditarik dari titik (7,1)

20. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 yang :

a. sejajar sumbu x c. sejajar garis x + y + 2 = 0

b. sejajar sumbu y d. tegak lurus garis x + 2y + 3 = 0

225

21. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik-titik yang :
a. berabsis – 4 b. berordinat 4

22. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0 yang dapat

ditarik dari titik O(0,0)

23. Tentukan panjang garis singgung yang dapat ditarik dari titik (6,3) terhadap lingkaran:

a. x2 + y2 = 25 b. x 1 2 y  2 2  25 c. 2x2 + 2y2 + 20x – 12y + 72 = 0

24. Panjang garis singgung yang ditarik dari titik A( - 5, 4) terhadap lingkaran
L  x2 + y2 + 2ax - ay + 6 = 0 sama dengan 2 satuan panjang. Hitung nilai a.

25. Tentukan titik-titik potong kedua lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y + 3 = 0 dan
x2 + y2 = 9

26. Perlihatkan bahwa dua lingkaran
x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0 dan x2 + y2 + 20x – 12y + 72 = 0 tidak berpotongan

27. Garis singgung di titik (4,3) pada lingkaran x2 + y2 = 25 memotong lingkaran
x2 + y2 = 50 di titik-titik P dan Q. Buktikan bahwa garis singgung garis singgung di P dan
Q pada lingkaran kedua tegak lurus sesamanya.

28 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (5, 1), serta menyinggung garis 2x
+ y - 1 = 0 di titik (- 1, 3).

29. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari 2 5 dan menyinggung garis
x + 2y – 5 = 0 di titik (1,2)

Latihan Pilihan Ganda

1. Lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titk (1,7). Pusat lingkaran itu adalah :

a. (-2,-3) b. (-2,3) c. (2,-3) d. (-2,4) e. (-2,6)

2. Pusat dan jari-jari lingkaran
3x2 + 3y2 + 3x – 6y – 3 = 0 adalah :

a.   3 ,3 dan 1 57 c.   1 ,1 dan 3 e.   1 ,1 dan 3 5
2 2  2 2  2 2

b.   3 ,3 dan 3 5 d.   1 ,1 dan 1
2 2  2 2

3. Persamaan lingkaran yang berpusat pada (0,0) dan bersinggungan dengan garis x + y = 6

adalah :

a. x2 + y2 = 6 c. x2  y 2  3 2 e. x2 + y2 = 18

b. x2 + y2 = 9 d. x2  y 2  12 2

226

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan melalui titik (5,-1) adalah :

a. x2 + y2 – 4x – 6y + 25 = 0 d. x2 + y2 – 4x – 6y – 13 = 0

b. x2 + y2 – 4x – 6y + 13 = 0 e. x2 + y2 – 4x – 6y – 25 = 0

c. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0

5. Diketahui P(x,y) , A(3,1) dan B(-4,0). Tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi PA = 2 PB

adalah: d. 3x2 + 3y2 + 38x + 2y + 54 = 0
a. 3x2 + 3y2 – 38x + 2y + 54 = 0

b. 3x2 + 3y2 + 38x – 2y + 54 = 0 e. 3x2 + 3y2 + 38x – 2y – 54 = 0
c. 3x2 + 3y2 + 38x + 2y – 54 = 0

6. Diketahui daerah

D  x, y/1  x  3 dan 1  y  1

Cakram lingkaran terkecil yang menutupi daerah D dan berpusat di perpotongan diagonal

daerah D adalah :  d. x, y/ x2  y2  2x  5
 e. x, y/ x2  y2  2y  5
 a. x, y/ x2  y2  2y  4
 b. x, y/ x2  y2  2x  4
 c. x, y/ x2  y2  2x  4

7. Lingkaran x2 + y2 – 6x – 6y + 6 = 0 mempunyai kekhususan :

a. menyinggung y = 0 d. Titik pusatnya terletak pada x – y = 0

b. menyinggung x = 0 e. berjari-jari 3

c. berpusat di O(0,0)

8. Sebuah titik A bergerak sedemikian sehingga jaraknya terhadap O(0,0) sama dengan dua kali

jaraknya terhadap titik B(3,0). Tempat kedudukan titik A terletak pada sebuah lingkaran

dengan pusat P dan jari-jari r adalah :

a. P(4,0) dan r = 4 c. P(4,0) dan r = 2 e. P(-4,0) dan r = 4

b. P(0,4) dan r = 2 d. P(0,4) dan r = 4

9. Titik pusat lingkaran L berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis y = 2x. Jika L

menyinggung sumbu y di titk (0,6), persamaan L adalah :

a. x2 + y2 – 3x – 6y = 0 d. x2 + y2 – 12x – 6y = 0

b. x2 + y2 + 6x + 12y – 108 = 0 e. x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0
c. x2 + y2 + 12x + 6y – 72 = 0

10. Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 dan menyinggung garis
3x – 4y + 7 = 0 adalah :

a. (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 c. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 e. (x – 4)2 + (y + 6)2 = 2
b. (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16 d. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16

11. Pusat sebuah lingkaran terletak pada sumbu x . Jika lingkaran itu menyinggung garis y = x di

titik (a,a) dengan a > 0 , persamaannya adalah :

a. x2 + y2 – 4ax + 2a2 = 0 c. x2 + y2 – 4ax – 2a2 = 0 e. x2 + y2 – 2ax – 2a2 = 0
b. x2 + y2 + 4ax + 2a2 = 0 d. x2 + y2 + 4ax – 2a2 = 0

227

13. Lingkaran yang menyinggung garis x + y = 3 di titik (2,1) dan melalui (6,3) mempunyai

jari-jari :

a. 5 3 b. 5 2 c. 5 6 d. 5 3 e. 5 2
3 3 3

16. Suatu satelit mengelilingi bumi dengan orbit yang berbentuk lingkaran . Panjang orbitnya 6

000 km. Jika jari-jari orbit tersebut bertambah 5 km, panjang orbitnya bertambah . . . km.

a. 10 b. 100 c. 1 000 d. 12.000 e. 6000

12. Persamaan lingkaran :

(1) x2 + y2 = 25
(2) (x + 2)2 + (y – 14)2 = 25

(3) (x – 6)2 + (y – 8)2 = 25
(4) x2 + y2 + 16x – 12y + 75 = 0

Lingkaran berjari-jari 5 satuan yang menyinggung garis 4x – 3y + 25 = 0 dan garis 3x + 4y –

25 = 0 adalah :

a. (1), (2) dan (3) c. (2) , (3) dan (4) e. (1) , (2) , (3) dan (4)

b. (1) dan (4) d. (1) , (3) dan (4)

14. Lingkaran L menyinggung sumbu x, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 4, dan melalui titik

(4,6). Persamaan L adalah : d. x2 + y2 – 24x + 44 = 0
a. (x – 4)2 + (y + 6)2 = 144

b. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 e. x2 + y2 – 8x + 6y + 56 = 0
c. x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0

15. Persamaan lingkaran yang melalui titik (2,2) , (2,4) , dan (5, – 1) adalah :

a. x2 + y2 + 4x – 2y + 4 = 0 d. x2 + y2 + 4x + 2y – 4 = 0

b. x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 e. x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

c. x2 + y2 + 4x + 2y + 4 = 0

17. Jari-jari lingkaran yang menyinggung sumbu x di titik (6,0) dan mrnyinggung pula garis
y  3x adalah :

a. 2 3 atau 6 3 c. 2 3 atau 3 2 e. 3 2

b. 2 3 d. 6 3

18. Diketahui titik A(a,b) , B(-a,-b) dan kurva C terletak di bidang XOY. Titik P bergerak

sepanjang kurva C . Jika hasil kali gradien garis PA dan gradien garis PB selalu sama dengan

konstanta k , C merupakan lingkaran jika k :

a. = - 1 b. < - 1 c. = 1 d. > 0 e. sembarang

20. Garis g menghubungkan titik A(5,0) dan titik B(10 cos,10sin ) . Titik P terletak pada AB

sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika  berubah dari 0 sampai dengan 2 , titik P bergerak menusur

kurva berupa lingkaran dengan persamaan :

a. x2 + y2 – 4x = 32 c. x2 + y2 – 6x = 7 e. . x2 + y2 – 4x – 6y = 32

b. x2 + y2 – 4y = 32 d. x2 + y2 – 4y = 7

228

21. Diketahui garis x = 2y – 5 dan lingkaran ( x – 2 )2 + ( y – 1 )2 = 10. Garis tersebut :

a. melalui pusat lingkaran. d. berjarak 1 2 jari-jari dari pusat
2

b. menyinggung lingkaran e. Terletak di luar lingkaran

c. berjarak ½ jari-jari dari pusat lingkaran

22. Jika lingkaran x2 + y2 + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x = 2 , nilai c adalah :

a. – 7 b. – 6 c. 0 d. 6 e. 12

23. Lingkaran x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 menyinggung sumbu y jika c =

a. ab b. ab2 c. a2b d. a2 e. b2

24. Jika lingkaran (x – p)2 + (y – q)2 = 25 menyinggung sumbu x , maka :

a. p = 25 c. q = 25 e. p2 + q2 = 25

b. p = 5 dan q = – 5 d. p = – 5 dan q = 5

25. Jika garis y  1 2x  5 menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x – k = 0, nilai k =

5

a.  5 5 b. – 5 c.  5 d. 5 e. 5 5

26. Jika garis x + y = p memotong lingkaran x2 + y2 = 1 – p , nilai p yang memenuhi adalah :
   a. 1 3  p  1 3    d. p  1 3 atau p  1 3
   b. 1 3  p  1 3  e. p  1 3
   c. p  1 3 atau p  1 3

27. Diketahui sebuah lingkaran

L  x2  y2  2y  24  0 . Jika melalui titik P(1,6) dibuat garis singgung pada L , jarak dari

P ke titik singgung tadi adalah :

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

28. Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) berada pada parabola y = x2 dan menyinggung

sumbu x adalah : d. x2 + y2 – 2ax – 2a2y – a4 = 0
a. x2 + y2 – 2ax – 2a2y + a2 = 0 e. x2 + y2 – 2ax – 2a2y + a2 + a4 = 0
b. x2 + y2 – 2ax – 2a2y – a2 = 0

c. x2 + y2 – 2ax – 2a2y + a4 = 0

29. Jika garis g : x – 2y = 5 memotong lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 di titik A dan B , luas
segitiga yang dibentuk oleh A, B dan pusat lingkaran adalah . . . satuan luas.

a. 2 10 b. 4 2 c. 6 d. 5 e. 10

30. Garis y = 2x memotong lingkaran x2 + y2 – 10y – 16 = 0 di titik A dan B. Koordinat

titik tengah tali busur AA mempunyai ordinat :

a. 8 b. 4 c. 2 d. 1 e. ½

229

31.

Kedua lingkaran besar berjari-jari sama , yaitu 5 cm. Jari-jari lingkaran kecil adalah . . . cm.

a. 0,5 b. 0,75 c. 1 d. 1,25 e. 1,5

32. Jika titik (1,2) merupakan titik tengah suatu tali busur lingkaran

x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 , persamaan tali busur tersebut adalah :

a. x + 2y – 5 = 0 c. x + 2y – 3 = 0 e. 2x + y – 4 = 0

b. x – y + 1 = 0 d. 3x + y – 5 = 0

33. Persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan membagi lingkaran x2 + y2 +

4x + 3 = 0 atas dua bagian yang sama adalah :

a. y  1 x  1 b. y  1 x 1 c. y  1 x  2 d. y  1 x  2 e. y  1 x
2 22 2 2

34. Diketahui suatu lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva y  x dan melalui titik asal

(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a, persamaan garis singgung lingkaran

yang melalui O adalah:

a. y = – x b. y  x a c. y = – ax d. y  2x 2 e. y = – 2ax

35. Dua buah setengah lingkaran yang sama dan sebuah lingkaran saling bersinggungan dan

terletak dalam sebuah siku empat ( persegi panjang ) , seperti pada gambar , maka r =

a. a/2

b. a/4 r

 c. a 10  2 a
2

d. a/3 2a

e. a  5 1
2

36. Syarat agar lingkaran
x2 + y2 + 2(Ax + By + C) = 0 benyinggung sumbu x dan juga sumbu y adalah :

a. A = B c. A  B e.  A  B  A2  B2  2C

b. – A = B  d. A  B  2 A2  c

37. M adalah pusat lingkran dengan jari-jari 11 cm dan N adalah pusat lingkaran dengan jari-jari

4 cm. Jarak MN = 25 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran itu adalah

. . . cm.

a. 17 b. 18 c. 20 d. 21 e. 24

38. M adalah pusat lingkran dengan jari-jari 1 cm dan N adalah pusat lingkaran dengan jari-jari 2

cm. Jarak MN = 5 cm. Jika PQ garis singgung persekutuan yang memotong MN, serta P dan

Q titik-titik singgungnya, panjang PQ = . . . cm.

a. 3 b. 2 3 c.4 d. 3 3  e. 1 21  3
2

230

39. Segitiga sama kaki MAB siku-siku pada M. Lingkaran berjari-jari 10 yang berpusat di N

menyinggung MA dan MB masing- masing di A dan B. Jarak M ke AB adalah :
A
a. 2,5

b. 5

c. 10 M N
d. 5 2

e. 10 2 B

40. Tiga pipa plastik yang masing-masing berdiameter a cm , diikat erat jadi satu. Jika arah tali

pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa, panjang tali yang melilit pipa-pipa itu adalah . .

. cm.

a.   3. 1 a b. 4 a c.  a d.   3.a e.   3. 1 a

2 3

41. Garis g menyinggung lingkaran x2 + y2 = 18 di titik P(3,3). Jika garis h tegak lurus garis

g dan melalui P, maka garis h memotong sumbu x di titk :

a. (0,0) b. (1,0) c. (2,0) d. (3,0) e. (4,0)

42. Persamaan garis singgung lingkaran

x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5,3) adalah :

a. 3x – 4y + 27 = 0 c. 3x + 4y – 27 = 0 e. 7x + 4y – 7 = 0

b. 3x – 4y – 7 = 0 d. 7x + 4y -17 = 0

43. Persamaan garis singgung di titik (-2,-4) pada lingkaran yang berpusat di (2,-1) berjari-jari 5

adalah : c. 4x + 3y + 20 = 0 e. 4x – 3y -4 = 0
d. 3x – y + 2 = 0
a. 3x + 4y + 22 = 0
b. x – 3y – 10 = 0

44. Kedua garis lurus yang ditarik dari titik (0,0) yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x

+ 2y – 20 = 0 , mempunyai gradien :

a. – 1 dan 2 b. – ½ dan 2 c. 1 dan – 2 d. ½ dan – 2 e. – 1 dan 1

45. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang dapat ditarik dari titik (7,1) adalah :

a. x – 2y = 5 atau x + 3y = 10 c. x – 4y = 3 atau x + 4y = 11 e. 7x + y = 50

b. 4x – 3y = 25 atau 3x + 4y = 25 d. 3x – 4y = 17 atau 4x – 3y = 25

46. Garis singgung pada lingkaran
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 membentuk sudut 450 dengan sumbu x positif. Salah satu

persamaan garis singgung tersebut adalah :

a. y  x  5 2 c. y  x  5(1 5 2) e. y  x  5(1 2)

b. y  x  5 2 d. y  x  5(1 5 2)

47. Persamaan garis singgung lingkaran

x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 yang tegak lurus garis 3x – 4y – 5 = 0 adalah :

a. 4x + 3y – 13 = 0 dan 4x + 3y + 17 = 0 d. 4x + 3y – 10 = 0 dan 4x + 3y + 15 = 0

b. 4x + 3y + 10 = 0 dan 4x + 3y – 15 = 0 e. 4x + 3y – 5 = 0 dan 4x + 3y + 5 = 0

c. 4x + 3y + 13 = 0 dan 4x + 3y – 17 = 0

231

48. Garis g tegak lurus pada garis 3x + 4y + 5 = 0 dan berjarak 2 dari pusat lingkaran

x2 + y2 – 4x + 8y + 4 = 0. Persamaan salah satu garis g adalah :

a. 3y – 4x + 20 = 0 b. 3y – 4x – 50 = 0 e. 4x – 3y + 10 = 0

b. 4x – 3y – 10 = 0 d. 4x – 3y – 50 = 0

49. Hubungan lingkaran
x2 + y2 + 6x – 8y + 21 = 0 dan
x2 + y2 + 10x – 8y + 25 = 0 adalah :

a. bersinggungan dalam c. berpotongan di dua titik e. sepusat

b. bersinggungan luar d. saling lepas

50. Diketahui dua lingkaran
L1 : x2 + y2 + 2x – 2y = a dengan pusat P; L2 : x2 + y2 – 8x – 6y = b dengan pusat P2 dan garis

g : 10x + 2y + 5 = 0 Jika L1 menyinggung g di A dan L2 menyinggung g di B , maka :
a. P1 berada di sebelah kiri g, P2 berada di sebelah kanan g dan kedua titik A dan B berbeda.

b. P1 berada di sebelah kanan g, P2 berada di sebelah kiri g dan kedua titik A dan Bberbeda
c. P1 berada di sebelah kiri g, P2 berada di sebelah kanan g dan kedua titik A dan Bsama.
d. P1 berada di sebelah kanan g, P2 berada di sebelah kiri g dan kedua titik A dan B sama.

e. P1 berada di sebelah kiri g, P2 berada di sebelah kiri g dan kedua titik A dan B berbeda.

232

II. PARABOLA

Parabola adalah tempat kedudukan (TK) titik-titik yang berjarak sama dari satu
garis tertentu dan satu titik tertentu.
Titik tertentu disebut fokus
Titik tertentu disebut direktik ( garis pengarah )

g  garis direktrik

 Sumbu simetri
Puncak
Fokus

A. Persamaan Parabola yang paling sederhana.

Untuk memperoleh parabola yang paling sederhana, kita pilih titik fokus F(p,0)
dan persamaan garis direktriks x = – p

g  x p y

x

Tx, y

p 2p

P0,0 Fp,0 x

Latus Rectum

233

Jika T(x,y) sembarang titik pada parabola, maka berlaku:

TF  jarak T , g 

xT  xF  2  yT  yF  2  x  p

x  p2  y  02  x  p

x 2  2 px  p 2  y 2  x 2  2 px  p 2

y 2  4 px Pers. Parabola dengan:

Puncak : P(0,0)

Fokus : F(p,0)
Pers. Direktrik : x=–p

Pers. Sumbu simetri : y = 0

Pers. Latus rectum : x = p

Panjang Latus rectum : L  4 p

Eksentrisitas : e=1

Catatan : p = parameter
P > 0 , parabola terbuka ke kanan
P < 0 , parabola terbuka ke kiri

Contoh:

1. Tentukan koordinat puncak, fokus, perssamaan direktriks, persamaan latus rectum,
persamaan sumbu simetri , panjang latus rectum dan eksentrisitas dari parabola

y 2  8x

Solusi:

y2  8x  4 p  8  p  2
y2  

4 px

Puncak P0,0 ; Fokus: Fp,0  F 2,0 ;

pers.direktrik : x   p  x  2 ; pers. latus rectum: x  p  x  2

pers. sumbu simetri y  0 ; panjang latus rectum: L  4 p 8

eksentrisitas : e  1

2. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak pada (0,0) dan fokus (4,0)

Solusi:

y 2  4 px 

F 4,0  p  4   y2  16x
F  p,0 


234

B. Persamaan Parabola dengan Puncak P(a,b)

Bila parabola y 2  4 px ditranlasikan ( digeser ) oleh vektor  a  , maka persamaan
b

parabola menjadi:

y  b2  4p  x  a  Pers. Parabola dengan:

xa Puncak : P(a,b)

Tx, y Fokus : F(p + a, b)
Pers. Direktrik : x=–p+a

x  pa Pers. Sumbu simetri : y = b
y
Pers. Latus rectum : x = p + a

Panjang Latus rectum : L  4 p

Eksentrisitas : e=1

Latus Rectum

P a, b  Fp  a,b yb

a b

x

Contoh
Tentukan koordinat puncak, fokus, perssamaan direktriks, persamaan sumbu simetri ,
persamaan latus rectum, panjang latus rectum dan eksentrisitas dari parabola
y 2  8x  2y 17  0

Solusi : y 2  8x  2 y 17  0

y 2  2 y  8x 17

y 2  2 y 1  8x 17 1

y 12  8x  2a p  2 ; a  2 ; b  1
y  b2  4 px

Puncak : P(2, – 1)
Fokus : F(p + a, b) = P(4, – 1)
Pers. Direktrik
Pers. Sumbu simetri : x=–p+a=0
: y=b=–1

Pers. Latus rectum : x = p + a = 4

Panjang Latus rectum : L  4 p = 8

Eksentrisitas : e=1

235

Dapat juga dipilih sumbu parabola terletak pada sumbu y sedemikian sehingga fokus
F(0,p) dan persamaan direktris y = – p

y Pers. Parabola dengan:
x 2  4 py Puncak
: P(0,0)

Fokus : F(0,p)
Pers. Direktrik : y=–p

Pers. Sumbu simetri : x = 0

Pers. Latus rectum : y = p

x Panjang Latus rectum : L  4 p

Eksentrisitas : e=1

p > 0, parabola terbika ke atas
p <0, parabola terbuka ke bawah

Jika x 2  4 py ditranslasikan dengan  a  , maka persamaan parabola menjadi:
b

x  a2  4p  y  b  Pers. Parabola dengan:

Puncak : P(a,b)

Fokus : F( a, b + p )
Pers. Direktrik : y=–p+b

Pers. Sumbu simetri : x = a

Pers. Latus rectum : y = p + b

Panjang Latus rectum : L  4 p

Eksentrisitas : e=1

Contoh:

Tentukan puncak, fokus, per. direktrik, pers sumbu simetri, pers. latus rectum, panjang

latus rectum dan eksentrisitas dari parabola y  x2  2x  4

Solusi:  x 1 2  y  3   4p 1 p  1
y  x2  2x  4  x  a 2  4 p  y  b  4
a  1
 x2  2x 1 3 b3

  x 12  3 : P(a,b) = P( – 1 , 3 )

Puncak

Fokus : F( a, b + p ) = F 1, 3 1 
 4

Pers. Direktrik : y=–p +b= 23
Pers. Sumbu simetri 4

: x=a= –1

Pers. Latus rectum : y=p+ b= 31
4

Panjang Latus rectum : L  4 p  1

Eksentrisitas : e=1

236

Perpotongan Parabola dengan Garis

Persamaan parabola y2  4 px dengan garis y  mx  n
Kedua persamaan digabung dengan eliminasi y atau x. Eleminasi x memberikan
persamaan kudrat dalam y.

y2  4 px  x  y2
4p

y  mx  n

y  m y2  n  4 py  my2  4 pn
4p

 my2  4 py  4 pn  0 . . . . .i
D   4 p2  m.4 pn

 16 p2 16 pmn

Jika :  D  0  pers.i mempunyai 2 akar real berlainan.

Secara geometris, garis tersebut memotong parabola di 2 titik.

 D  0  pers.i tidak mempunyai akar real .

Secara geometris, garis tersebut memotong parabola di 2 titik.

 D  0  pers.i mempunyai 2 akar real yangsama.

Secara geometris, garis tersebut menyinggun g parabola.

Kemudian kita cari persamaan garis singgungnya, jika gradient m diketahui.

D  0   4 p2  m.4 pn  0

p  mn  0

n  p ..........ii

m

Substitusikan (ii) dalam y  mx  n , didapat:

y  mx  p Merupakan persamaan garis singgung dengan
m gradient m pada parabola y2  4 px

Secara umum:

Persamaan Parabola Persamaan Garis Singgung dengan
y2 = 4px
Gradien m
y  b2  4px  a
y  mx  p
x2 = 4py m

x  a2  4py  b y  b  mx  a  p
m

y  mx  pm2

y  b  m(x  a)  pm2

237

Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis 3x – y + 5 = 0, terhadap

parabola 2x2  8x  y  0

Solusi : l  3x  y  5  0  ml  3

Garis singgung // garis l  m ml  3

2x2  8x  y  3  0  2x2  8x y  3

 2 x2  4x   y  3
 2 x2  4x  4  4   y  3

 2 x  22  4   y  3

2x  22   y  5

x  22  1 y  5  p  1 ; a  2 ; b  5
x  a2 2 8

 4 p y  b 

Persamaan garis singgung y  b  m(x  a)  pm2

y  5  3x  2  1 .32

8
y  5  3x  6  9

8
y  3x  1  3x  8y 1  0

8

Garis singgung di titik x1 , y1 pada parabola y2  4 px
Misalkan titik Px1, y1 terletak pada parabola y2  4 px

y Garis singggung y2  4 px
x 2 y. y' 4 p  y' 2 p
Px1, y1
y

y2  4 px gradien garis singgung m   dy 
 dx  y y1

m  2p
y1

Persaaan garis singgung : y-y1  m x  x1 

y-y1  2 p x  x1   yy1  y12  2 px  2 px1

y1

yy1  4 px1  2 px  2 px1

yy1  2 px  x1 

y1 y  4 p x  x1  Persamaan garis singggung pada parabola y2  4 px
 2 
dengan titik singggung x1 , y1

238

Secara umum:

Persamaan Parabola Persamaan Garis Singgung dengan titik
y2 = 4px
 singgung x1 , y1
y  b2  4px  a
y1 y  4 p  x1  x 
x2 = 4py  2 

x  a2  4py  b y1  b y  b  4 p x1  a  x  a

ay2  by  cx  d  0 2
ax2  bx  cy  d  0
x1x  4 p  y1  y 
 2 

x1  a x  a  4 p y1  b  y  b

2

ay1 y  b y1  y  c x1  x  d  0
2 2

ax1x  b x1  x  c y1  y  d  0
2 2

Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola 2x2  4x  y  5  0 di titik yang

berabsis 1.
Jawab : 2x2  4x  y  5  0

x  1  2.12  4.1  .y  5  0

y  1

 titik singgung 1, 1

Persamaan garis singgung 2x1x  4 x1  x  y1  y  5  0
2 2

2x  4.1  x  1  y  5  0
22

4x  4  4x 1  y  10  0

8x  y  13  0

239

R

Gambar Persamaan

Rebah / Horizontal y2 = 4px Punca
Fokus
x=-p Persam
ay
= -p
P (0,0) Persam
:x=
x Panjan
L = |4
F (p,0) Persam
simetr
Eksen
p>

terbuk
p<
terbuk

240

Ringkasan
Parabola

Keterangan Persamaan Garis Persamaan Garis Singgung dengan
Singgung dengan
Titik Singgung (x1,y1) / Persamaan
Gradien m Garis Polar dengan Titik Polar

(x1,y1)

ak : P (0 , 0) y  mx  p y1y  4p x1  x
s : F (p , 0) m 2
maan direktriks : x

maan latus rectum

p

ng latus rectum :

4p|

maan sumbu

ri : y = 0

ntrisitas : e = 1

0  parabola

ka ke kanan

0  parabola

ka ke kiri

Gambar Persamaan

by x=-p+a y  b2  4px  a Punca
Fokus
F (p+a,b)
Persam

P (a,b) = -p +
Persam

:x=

b Panjan

L = |4

Persam

simetr

x Eksen

p>

terbuk

p<

a terbuk

c ay2+by+cx+d=0

241

Keterangan Persamaan Garis Persamaan Garis Singgung dengan
Singgung dengan
Titik Singgung (x1,y1) / Persamaan
Gradien m Garis Polar dengan Titik Polar

(x1,y1)

ak : P (a , b) y  b  mx  a  p y1  b y  b  4p x1  a  x  a
m
s : F (p+a , b) 2

maan direktriks : x

+a

maan latus rectum

p+a

ng latus rectum :

4p|

maan sumbu

ri : y = b

ntrisitas : e = 1

0  parabola

ka ke kanan

0  parabola

ka ke kiri

ay1 y  b y1  y  c x1  x  d  0
2 2

Gambar Persamaan K

Tegak / Vertikal x2 = 4py Puncak
Fokus
ay Persam
y = -p
F (0,p) Persam
rectum
P (0,0) X Panjang
L = |4p
y = -p
Persam
simetri
Eksentri
p >0
terbuka
p <0

terbuka

242

Keterangan Persamaan Garis Persamaan Garis Singgung dengan
Singgung dengan
Titik Singgung (x1,y1) / Persamaan
Gradien m Garis Polar dengan Titik Polar (x1,y1)

: P (0 , 0) y  mx  pm2 x1x  4p y1  y
: F (0 , p) 2
maan direktriks :

maan latus

:y=p

g latus rectum :

p|

maan sumbu

: x= 0

isitas : e = 1

0  parabola

a ke atas

0  parabola

a ke bawah

Gambar Persamaan K

by x  a2  4py  b Puncak
F (a , p+b) Fokus
P (a,b) Persam
y = -p +
y=-p+b b Persam
x rectum
Panjang
a L = |4p
Persam
simetri

Eksentri
p >0
terbuka
p <0
terbuka

c ax2+bx+cy+d=0

243

Keterangan Persamaan Garis Persamaan Garis Singgung dengan
Singgung dengan
Titik Singgung (x1,y1) / Persamaan
Gradien m
Garis Polar dengan Titik Polar (x1,y1)
y  b  m(x  a)  pm2
: P (a , b) x1  ax  a  4p y1  b  y  b

: F (a , p+b) 2

maan direktriks :

+b

maan latus

:y=p+b

g latus rectum :

p|

maan sumbu

: x= a

isitas : e = 1

0  parabola

a ke atas

0  parabola

a ke bawah

ax1x  b x1  x  c y1  y  d  0
2 2

Exercise 2

1. Tentukan puncak. Focus, persamaan direktriks, persamaan sumbu simetri, persamaan latus
rectum, panjang latus rectum dan eksentisistas dari parabola berikut:

a. y2  16x f . y 12  32x k. x2  6x  8y 1 0

b. y2  28x g. y  22  8x  3  0 l. 2x2  4x  y  3  0

c. x2  8y h. y2  2y  8x 15  0 m. 4y2 16y  x 15  0

d. x2  16y i. y2  4y  8x  4  0

e. y2 12x  0 j. x2  2x  y  2  0

2. Tentukan persamaan parabola dengan ketentuan berikut:
a. Titik puncak ( – 1, 3) dan fokus (3, 3)
b. Titik puncak ( – 3, – 1) dan ( – 3, – 5)
c. Fokus (2, 3) dan persamaan garis direktriks x – 6 = 0
d. Fokus (2, 4) dan persamaan direktriks y + 4 = 0
e. Puncak (3, -1) dan persamaan direktris x + 1 = 0
f. Puncak (1, - 2) dan persamaan direktris y – 6 = 0
g. Puncak ( - 2, 5) dan sumbu simetri sejajar sumbu y, grafiknya memotong sumbu y di
titik (0, 9)
h. Puncak (1, 3) dan sumbu simetri sejajar sumbu x, serta grafiknya melalui titik (-1, 6)
i. Puncak (-2, 4) dan fokus terletak pada garis y = 4, serta melalui titik (2, 6)

3. Selidikilah apakah pasangan garis dan parabola berikut, berpotongan pada dua titik,
bersinggungan atau tidak berpotongan. Jika berpotongan pada dua titik atau
bersinggungan, tentukan titik potongnya atau titik singggungnya.
a. Garis 4x – y + 16 = 0 dan paraboala y = 4x2 + 1
b. Garis x – 2y + 6 = 0 dan parabola y2 – 4y – x + 3 = 0
c. Garis x – y – 5 = 0 dan parabola x2 – x – y = 0
d. Garis 3x – 2y + 6 = 0 dan parabola 4y2 + 2y + 3x + 3 = 0
e. Garis 6x + 4y – 7 = 0 dan parabola 2x2 – 3x + 2y + 1 = 0
f. Garis 3x + 3y – 1 = 0 dan parabola 3y2 – 3y + x + 2 = 0

244

4. Tentukan nilai p agar tiap pasangan garis dan parabola berikut bersinggungan. Tentukan

juga titik singgungnya.
a. garis x – y + p = 0 dan parabola x2 – x + y + 1 = 0
b. garis x – 3y – p = 0 dan parabola 4x2 + 3x + 3y + 3 = 0
c. garis y = px +9 dan parabola 9x2 + 8x – y + 4 = 0
d. garis py + x + 4 = 0 dan parabola 4y2 – 2y + x + 1 = 0
e. garis 3x + py + 11 = 0 dan parabola 3y2 – 2y + x + 2 = 0
f. garis x – y + 3 = 0 dan parabola (p + 2)y2 + y + 3x + 1 = 0
g. garis 3x – 2y – 16 = 0 dan parabola 4x2 + (p – 1)x + 2y + 1 = 0

5. Tentukan persamaan garis singgung pada tiap parabola berikut ini di titik-titik yang

disebutkan. g. y2  2y  3x 15  0 di titik 5, 2

a. y2  16x di titik 1,4

b. x2  8y di titik 4, 2 h. y2  4y  8x  13  0 di titik 1, 3

c. x2  y 3 di titik 1, 2 i. x2  2x  y  1  0 di titik  2,  1

d. y2 12x  8  0 di titik (2, 1) j. x2  6x  8y 11  0 di titik 1, 2
k. 2x2  4x  9y  7  0 di titik 4, 1
e. y 12  32x  4 di titik 5, 1 l. 4y2  2y  13 x  4  0 di titik 2, 3
f . x  22  8 y  3  0 di titik 6, 1

6. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik P yang terletak pada parabola

y2  6y  4x  1  0 , jika titik P:

a. Berordinat 1 b. berabsis 2

7. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola:

a. y2  2y  4x  9  0 yang dapat ditarik dari titik (4, 4)

b. x2  2x  16y  49  0 yang dapat ditarik dari titik ( – 3, 1)

8. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung pada parabola:
a. y2  16x dengan gradien  3

b. x2  8y yang membentuk sudut 450 dengan sumbu x positif

c. y  2 2 8x  3  0 sejajar dengan garis 2x + y – 3 = 0

d. x  2 2  16x  3  0 tegak lurus garis 2x – 4y + 5 = 0

e. y2  2y  8x  17  0 sejajar garis 2x + 3y – 8 = 0

f. x2  2x  16y  49  0 tegak lurus garis 3x – 2y + 5 = 0

245

III. Ellips

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak-jaraknya dari 2 titik yang
diketahui konstan. Kedua titik tersebut disebut Fokus.

Persamaan Ellips

Untuk mencari persamaan ellips yang paling sederhana kita pilih sumbu x melalui

kedua fokusnya ( F1 dan F2) dan sumbu y melalui titik tengan F1F2.

y

T(x,y) Missal : F1F2 = 2 c dan jumlah jarak yang konstan 2a
Syarat : 0 < c < a

F1(-c,0) x
F2(c,0)

2c
Jika T(x. y) sembarang titik pada ellips, tentu berlaku:

TF1  TF2  2a

 x  c2  y 2  x  c2  y 2  2a
 x  c2  y 2  2a  x  c2  y 2  2

 x  c2  y 2  4a2  4a x  c2  y 2  x  c2  y 2

 x2  2cx  c2  y2  4a2  4a x  c2  y 2  x2  2cx  c2  y2

 4a x  c2  y 2  4a2  4cx

 a x  c2  y 2  a2  cx  2

    a2 x  c2  y 2  a2  cx 2

  a2 x2  2cx  c2  y2  a4  2a2cx  c2 x2

 a2 x2  2a2cx  a2c2  a2 y2  a4  2a2cx  c2 x2
 a2x2  c2x2  a2 y2  a4  a2c2

    a2  c2 x2  a2 y2  a2 a2  c2

Tetapkan :b2  a 2  c2
diperoleh : b2 x2  a2 y2  a2 b2 : a2 b2

x2  y2 1
a2 b2

246

Jadi persamaan ellips :

x2  y2 1
a2 b2

Bila : x  0  y   b
y  0 x a

Ellips Rebah/Ellips Horizontal

x2  y2 1 M erupakan ellips dengan :
a2 b2
Pusat : M0,0
Fokus :F1  c, 0 , F2 c, 0 ; c2  a 2  b2  a  b
Puncak:  a, 0 ; a, 0
Ujung sumbu minor : 0,  b ; 0, b

Persamaan directriks : x   a 2   a
ce

Persamaan latus rectum : x   c

Pesamaan sumbu mayor : y  0

Persamaan sumbu minor : x  0

Panjang sumbu mayor  2a

Panjang sumbu minor  2b

Panjang latus rectum : L  2b2
a

Esentrisitas : e  c
a

 a2 b2 ; 0  e 1
a

247

Ellips Tegak/Ellips Vertikal

x2  y2 1 M erupakan ellips dengan :
b2 a2
Pusat : M0,0

Fokus :F0,  c ; c2  a 2  b2  a  b
Puncak : P1,2 0,  a 
Ujung sumbu minor : P3,4  b,0

Persamaan directriks : y   a 2  a
ce

Persamaan latus rectum : y   c

Pesamaan sumbu mayor : x  0

Persamaan sumbu minor : y  0

Panjang sumbu mayor  2a

Panjang sumbu minor  2b

Panjang latus rectum : L  2b2
a

Esentrisitas : e  c
a

 a2 b2 ; 0  e 1
a
Note:
Bila pusat ellips ,  , maka persamaan ellips rebah menjadi:

Ellips Rebah/Ellips Horizontal

x   2  y   2 1 Pusat : M ,  
Fokus :F1  c   ,   ; c2  a 2  b2  a  b
a2 b2 Puncak : P1,2  a   ,  
Ujung sumbu minor : P3,4  ,  b   

Persamaan directriks : x   a 2  
c

Persamaan latus rectum : x   c  
Pesamaan sumbu mayor : y  
Persamaan sumbu minor : x  

Panjang sumbu mayor  2a

Panjang sumbu minor  2b

Panjang latus rectum : L  2b2
a

Esentrisitas : e  c
a

 a2 b2 ; 0  e 1
a

248

Ellips Tegak / ellips vertikal dengan Pusat ,  

x   2  y   2 1 M erupakan ellips dengan :

b2 a2 Pusat : M ,  
Fokus :F ,  c    ; c2  a 2  b2  a  b
Puncak : P1,2  ,  a   
Ujung sumbu minor : P3,4  b   ,  

Persamaan directriks : y   a 2     a  
ce

Persamaan latus rectum : y   c  
Pesamaan sumbu mayor : x  
Persamaan sumbu minor : y  

Panjang sumbu mayor  2a

Panjang sumbu minor  2b

Panjang latus rectum : L  2b2
a

Esentrisitas : e  c
a

 a2 b2 ; 0  e 1
a

Ellips dan garis

Diketahui : Ellips x2  y2 1 dan garis y  mx n
a2 b2

Titik potong ellips dengan garis dapat dicari dengan menggabungkan 2 persamaan itu.

Eliminasi y menghasilakan:

b2x2  a2 y2  a2b2

b2x2  a2 mx  n2  a2b2

  b2x2  a2 m2x2  2mnx  n2  a2b2

 b2x2  a2m2x2  2a2mnx  a2n2  a2b2  0

    b2  a2m2 x2  2a2mnx  a2n2  a2b2  0 . . . . . . 1

Persamaan (1) merupakan persamaan kuadrat dalam x :

     D  2a2mn 2  4 b2  a2m2 a2n2  a2b2
  4a4m2n2  4 a2b2n2  a2b4  a4m2n2  a4b2m2

 4a4m2n2  4 a2b2n2  4a2b4  4a4m2n2  4a4b2m2

   4a2b2 n2  b2  a2m2

249