Irisan Kerucut

Kemungkinan-kemungkinan
1. D > 0, persamaan (1) mempunyai 2 akar real yang berlainan.

Ini berarti garis dan ellips berpotongan pada 2 titik.
2. D < 0, persamaan (1) tidak mempunyai akar real.

Ini berarti garis dan ellips tidak berpotongan.
3. D = 0, persamaan (1) mempunyai 2 akar real yang sama.

Ini berarti garis dan ellips bersinggungan.

Sekarang akan dicari persamaan garis singgungnya, jika m diketahui.
Syarat : D = 0

Dari D = 0 atau :

  4a2b2 n2  b2  a2m2  0, maka :

n2  b2  a2m2  0
n2  b2  a2m2

n   b2  a2m2

Isikan (substitusi) dalam persamaan garis, diperoleh:
y = mx + n

Persamaan garis singgung pada ellips

y  mx  b2  a2m2 x2 y2
a2 b2
 1 dengan gradient m

Note:

Bila persamaan ellips x   2  y   2 1 dan gradient garis singgung m, maka

a2 b2

persamaan garis singgung menjadi:

y    mx     b2  a2m2

250

Garis sin ggung di titik x1, y1 pada ellips x2  y2 1
a2 b2

Sehubungan dengan pembuktian garis singgung di titik (x1, y1) pada ellips membutuhkan
pengetahuan diferensial, sementara chapter diferensial baru dibahas pada chapter 8, maka
penurunan rumusnya tidak dilakukan.

Titik singgung Persamaan garis singgung:

 Px1, y1 x1x  y1 y 1
a2 b2

x2  y2 1
a2 b2

Note:

Bila persamaan ellips x  2  y  2 1 dan titik singgungnya (x1, y1), maka

a2 b2

persamaan garis singgungnya menjadi:

x1  x     y1   y   1

a2 b2

Selengkapnya rumus-rumus ellips, akan disajikan pada ringkasan berikut:

251

Gambar Persamaan Ringka

Kete

Rebah / Horizontal

x2 y2 1 Pusat : M (0 ,
a2  b2 Fokus : F ( c
Puncak : P1,2 (
Ujung sb minor:

Persamaan direk

Persamaan sb. m
Persamaan sb. m
Persamaan latus
Panjang sb. may
Panjang sb. min

Panjang latus re

Eksentrisitas : e

0<e <1

252

asan Ellips Persamaan Garis Persamaan Garis
Singgung dengan Singgung dengan
erangan
Gradien m Titik Singgung
(x1,y1) / Persamaan
Garis Polar dengan

Titik Polar (x1,y1)

, 0) y  mx  a2m2  b2 x1x  y1y =1
a2 b2
c , 0) ; c2 = a2 – b2

 a , 0)

: P3,4 (0 ,  b)

ktriks : x =  a2
c

mayor : y = 0

minor : x = 0

s rectum : x =  c

yor : 2a

nor : 2b

ectum : L  2b2
a

e = c
a

= a2  b2
a

Gambar Persamaan Ketera

Pusat : M (

x  2 y  2 1 Fokus : F (

a2  b2 c2

Puncak : P1,2

Ujung sb mino

P3,4 (

Persamaan di

x =  a2 
c

Persamaan sb

y=

Persamaan sb
x=

Persamaan la
x=c+

Panjang sb. m

Panjang sb.m

Panjang latu

L  2b 2
a

Eksentrisitas :

e= c
a

= a2  b2
a

0<e <1

253

angan Persamaan Garis Singgung Persamaan Garis Singgung
dengan Gradien m dengan Titik Singgung (x1,y1) /
( , ) Persamaan Garis Polar dengan
 c+ , ) ; y    mx    a2m2  b2
Titik Polar (x1,y1)
= a2 – b2
   x1   y 
2 ( a+ , )   x   y1   1
b2
nor: a2 

 ,  b+)

irektriks :

b. mayor :

b. minor :

atus rectum :

mayor : 2a
minor : 2b
us rectum :

:
2

Gambar Persamaan

Tegak / Vertikal y a2 x2  y2 1 Pusat : M
c b2 a2
y  Fokus : F
a c

P2 0, a Puncak : P
Ujung sb m
F2 0, c
x Persamaan
M 0,0
y a2 Persamaan
P3  b,0 P4 b,0 c Persamaan
Persamaan
F1 0,c Panjang sb.
Panjang sb.
P1 0,a
Panjang lat
 
Eksentrisitas

0<e <1

254

Keterangan Persamaan Garis Persamaan Garis
Singgung dengan Singgung dengan Titik

Gradien m Singgung (x1,y1) /
Persamaan Garis Polar

dengan Titik Polar
(x1,y1)

M (0 , 0) y  mx  b2m2  a2 x1x y1y =1
b2 a2
F (0 ,  c) ; 

c2 = a2 – b2

P1,2 (0 ,  a)
minor:

P3,4 ( b , 0)

direktriks :y=  a2
c

sb. mayor : x = 0

sb. minor : y = 0

latus rectum : y =  c

b. mayor : 2a

b. minor : 2b

tus rectum : L  2b2
a

s :e = c
a

= a2  b2
a

Gambar Persamaan Keterang

x  2  y  2 1 Pusat : M (

b2 a2 Fokus :

F ( ,  c +)

c2 = a2 – b2
Puncak :

P1,2 ( ,  a +

Ujung sb minor

P3,4 ( b + ,

Persamaan dir

y=  a2 
c

Persamaan sb.

x=
Persamaan sb.

y=
Persamaan

rectum : y = 
Panjang sb. ma

Panjang sb.min

Panjang latus

L  2b 2
a

Eksentrisitas : e

= a2  b2
a

0<e <1

255

gan Persamaan Garis Singgung Persamaan Garis Singgung
dengan Gradien m
 , ) dengan Titik Singgung (x1,y1) /
Persamaan Garis Polar dengan
;
Titik Polar (x1,y1)
)
r:    x1
) y    mx    b2m2  a2   x   y1   y    1

b2  a2

rektriks :

. mayor :

. minor :

latus
c + 
ayor : 2a
nor : 2b

rectum :

e = c
a

Exercise 3

1. Tentukan koordinat puncak, fokus, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor,

eksentrisitas , persamaan direktriks, persamaan latus rectum, panjang latus rectum dari

persamaan ellips berikut: d. 9 x  2 2 4 y 1 2 36
a. x2  y 2  1

25 16

b.. x2  y 2  1 e. 9x2  4y2  54x 16y  61  0
9 16

c. x  22  y 12  1 f . 25x2 16y2  50x  64y  311  0

16 9

2. Tentukan persamaan ellips jika diketahui data-data berikut:
a. Pusat (0,0) , salah satu fokus (3,0) dan salah satu puncak (5,0)
b. Pusat (0,0) , salah satu fokus (4, 0) dan salah satu puncak ( – 5 ,0)
c. Pusat (0,0) , salah satu fokus ( 0, – 11 ) dan salah satu ujung sumbu minor (5,0)

d. Pusat (0,0) , salah satu ujung sumbu minor (0.2) dan jarak kedua fokus 2 5
e. Pusat (2, 3) , sumbu mayor sejajar sumbu x, panjang sumbu mayor 10 dan panjang

sumbu minor 8
f. Pusat (1, – 2) serta melalui titik-titik (1, 4) dan (10, – 1)
g. Pusat (3, – 5) , salah satu puncak (–2, – 5) serta melalui titik (–1, 1)
h. Fokus ( – 3, 2) dan ( – 3, 8) serta panjang sumbu minor 8
i. Pusat (1, – 2) , salah satu persamaan latus rectum x = 4 dan salah satu persamaan

direktriks x   22
3

j. Pusat (– 1, 2) , eksentrisitas 3 dan panjang latus rectum 64 , sumbu mayor
55

sejajar sumbu y
k. Pusat (2, 3), salah satu persamaan direktriks y   16 dan panjang latus rectum

3
32

5
3. Selidikilah apakah pasangan garis dan ellips berikut, berpotongan pada dua titik,

bersinggungan atau tidak berpotongan. Jika berpotongan pada dua titik atau
bersinggungan, tentukan titik potongnya atau titik singggungnya.
a. Garis 3x + 5y – 15 = 0 dan elips x2  y2  1

25 9
b. Garis x + 6y – 20 = 0 dan ellips x2  4y2  40  0

c. Garis x + y = 5 dan ellips 4x2  y2  16

d. Garis 4x + 5y – 19 = 0 dan ellips 16x2  25y2 64x  50y  311  0

e. Garis x + 6 y – 25 = 0 dan ellips x2  4y2  2x 8y  35  0

f. Garis x + y – 7 = 0 dan ellips 4x2  y2 8x  2y 11  0

256

4. Tentukan nilai p agar tiap pasangan garis dan ellips berikut bersinggungan. Tentukan
juga koordinat titik singgungnya.
a. Garis x + y = p dan ellips x2  4y2  20

b. Garis px + 3y = 50 dan ellips 4x2  y2  100

c. Garis x + p y + 3 = 0 dan ellips x 12  y 12  1

15 10
d. Garis 9x + 2y = p dan ellips 9x2  4y2  18x  8y  27  0

e. Garis px + y = 32 dan ellips 4x2  y2  8x  6y  24  0

5. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung pada ellips

a. x2  y2  1 , gradien garis singgung 1
64 20 2

b. 9x2  16 y2 144 , garis singgung sejajar garis x + y – 5 = 0

c. 6x2  25 y2 150  0 , garis singgung membentuk sudut 600 terhadap sumbu x

positif.

d. 21x2  9 y2 189  0 , garis singgung tegak lurus garis 3x + 4y + 4 = 0

e. x  32  y  22  1, garis singgung sejajar garis 2x – y = 5

4 20
f. x2  6 y2  4x  36y  52  0 , garis singgung tegak lurus garis x – 2y + 3 = 0

g. 12x2  9 y2  24x  36y  60  0 , garis singgung sejajar garis 4x – 3y – 7 = 0

6. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips, jika diketahui titik singgungnya
a. Ellips x2  y2  1; di titik (6, – 4)
100 25
b. Ellips x2  y2  1 ; di titik (– 2, 6)
10 60
c. Ellips x2  2 y2 12 ; di titik (2, 2)
d. Ellips 4x2  y2  20  0 ; di titik (– 1, – 4)

e. Ellips x  32  y  22  1; di titik (– 1, 4)

6 12

f. Ellips x 12  y  22  1; di titik (5, – 1)

20 5
g. x2  4 y2  8x  8y  80  0 ; di titik (2, – 3)

h. 16x2  25 y2  32x  150y 159  0 ; di titik   2, 1 
 5

257

IV. HIPERBOLA
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak-jaraknya dari 2 titik yang
diketahui konstan.
2 titik diketahui disebut Fokus.

Untuk mencari persamaan hiperbola yang paling sederhana, kita pilih sumbu-x melalui
kedua fokusnya dan sumbu-y melalui titik tengah F1F2 (F1 dan F2 adalah kedua titik focus).

Misal : F1F2= 2c dan selisih jarak-jarak yang konstan = 2a, dengan 0 < a < c.

 F1  c, 0 ; F2 c, 0

Jika T(x,y) sembarang titik pada hiperbola, tentulah berlaku:
TF1  TF2  2a

x  c2  y2  x  c2  y2  2a

Jika persamaan ini dijabarkan dan kita tetapkan: c2  a2  b2  c2  a2  b2 , kita
peroleh persamaan: b2x2  a2 y2  a2b2

x2  y2 1 merupakan persamaan hiperbola dengan :
a2 b2
Pusat : 0,0
Puncak : P1  a, 0 ; P2 a,0

dengan c2  a2  b2

Sekarang kita tinjau perpotongan hiperbola dengan garis g yang melalui titik asal (0,0),

yaitu: y = mx.

Eleminasi y,

x2  y2 1
a2 b2

b2x2  a2 y2  a2b2  b2x2  a2m2x2  a2b2  0

 g  y  mx  x2  a2b2  0 .......1
b2  a2m2

 D  4 b2  a2m2 a2b2

  4a2b2 b2  a2m2

Kemungkinan-kemungkinan
1. D  0, garis g memotong hiperbola pada 2 titik

2. D  0, garis g tidak memotong hiperbola pada 2 titik

 3. D  0  atau 4 b2  a2m2 a2b2  0

b2  a2m2  0  a2m2  b2

m  b
a

D = 0, dalam hal ini persamaan (1) menjadi: 0x2  a2b2 yang tidak terdefinisikan.

258

Persamaan garisnya menjadi: y  mx

y   b x ..........2 ,

a
yang merupakan 2 garis dengan gradien b dan  b

aa
Garis-garis persamaan (2) merupakan asimtot-asimtotnya.

Gambar hiperbola x2  y2 1
a2 b2

y  b x y
a

F1 c,0 F2 c, 0 ybx
 0,0 a

x

P1 a,0 P2a,0

Note:

1. Bila pusat hiperbola ,  , maka persamaan hiperbola menjadi :

x  2  y  2  1

a2 b2

Dan persamaan kedua asimtotnya menjadi : y     b x  

a

2. Jika a = b, maka : x2  y2 1 menjadi
a2 b2

x2  y2 1 atau
a2 a2

x2  y2  a2 Merupakan hiperbola orthogonal
(hiperbola yang kedua asimtotnya
saling tegak lurus)

y=-x y=x

3. Garis singgung pada hiperbola x2  y2 1 dengan gradien m, adalah:
a2 b2

259

y  mx  a2m2  b2

4. Garis singgung pada hiperbola x  2  y  2  1 dengan gradien m, adalah:

a2 b2

y    mx    a2m2  b2

5. Garis singgung di titik x1, y1 pada hiperbola x2  y2 1 adalah:
a2 b2

x1x  y1 y 1
a2 b2

6. Garis singgung di titik x1, y1 pada hiperbola x  2  y   2 1 adalah:

a2 b2

x1  x     y1    y     1

a2 b2

Selanjutnya untuk hiperbola horizontal maupun hipebola vertical, disajikan pada ringkasan tabel
berikut:

260

Gambar HIPER

Persamaan

Rebah / Horizontal

y x2 y2 Pusat
a2  b2 Fokus
a  a2 a2 1 Puncak
c c Ujung-u
y   b x x  x  y  b x
a a Persama

(0 , b) Persama

P1(-a ,0) P2(a, 0) 2b Persama
F(-c , 0) F(-c , 0) x
Persama
(0, -b) Persama
Panjang
2a Panjang
Panjang
Eksentris

261

RBOLA

Keterangan Persamaan Garis Persamaan Garis Singgung
Singgung dengan Gradien dengan Titik Singgung (x1,y1) /
Persamaan Garis Polar dengan
m
Titik Polar (x1,y1)

: M (0 , 0) y  mx  a2m2  b2 x1x  y1y =1
a2 b2
: F ( c , 0) ;
c2 = a2 + b2

: P1 (-a , 0) ;
P2 (a , 0)

ujung sb. minor :

(0,  b)

aan asimtot :

y =  b x
a

aan direktriks :

x =  a2
c

aan latus rectum :

x=c

aan sb. mayor :

y=0

aan sb. minor : x = 0

g sb. mayor : 2a

g sb. minor : 2b

g latus rectum : L  2b2
a

sitas :e = c ;
a

e>1

Gambar Persamaan

b

x   a2  x  a2   x  2  y  2 1 Pusat
c c Fokus
y x= a2 b2 Puncak
Ujung-
y     b x   Persam
a
Persam
M(,)

P1(-a+,) P2(a+,) 2b
F1(-c+,) F2(c+,) y=

 Persam

 y    b x   Persam
2a a
Persam

Panjan
Panjan
Panjan

Eksent

262

Keterangan Persamaan Garis Persamaan Garis Singgung
Singgung dengan Gradien dengan Titik Singgung (x1,y1) /
Persamaan Garis Polar dengan
m
Titik Polar (x1,y1)

: M ( , )    x1 
y    mx    a2m2  b2   x   y1   y   1

: F (c+ , ) a2  b2

c2 = a2 + b2

k : P1 (-a+ , ) ;
P2 (a+ , )

-ujung sb. minor :

( ,  b+)

maan asimtot :

y-=  b x  
a

maan direktriks :

x=  a2 
c

maan latus rectum

x=c+
maan sb. mayor :

y=

maan sb. minor :

x=
ng sb. mayor : 2a

ng sb.minor : 2b

ng latus rectum :

L  2b 2
a

trisitas : e = c ;
a

e >1

Gambar Persamaan Keter

Tegak / Vertikal x2 y2 Pusat : M
 b2  a2 Fokus : F (
a 1
c2
y   a x y y  a x Puncak : P1
b b
P2
F2(0,c) Ujung-ujung
P2(0,a)
(
y  a2 Persamaan a
c
y=
2a M(0,0) x   a2
c Persamaan d
P1(0,-a) y
F1(0,-c) y=

2b Persamaan l
y=

Persamaan s
x=

Persamaan s
y

Panjang sb.
Panjang sb.
Panjang latu

L

Eksentrisitas

263

rangan Persamaan Garis Persamaan Garis Singgung dengan
Singgung dengan Titik Singgung (x1,y1) / Persamaan

Gradien m Garis Polar dengan Titik Polar

(x1,y1)

(0 , 0) y  mx   b2m2  a2 x1x y1y =1
b2 a2
(0 ,  c) ;  

= a2 + b2

1 (0 , -a) ;
2 (0 , a)

sb. minor :

b, 0 )

asimtot :

=  a x
b

direktriks :

=  a2
c

latus rectum :

=c
sb. mayor :

=0

sb. minor :

y =0

mayor : 2a

minor : 2b

us rectum :

2b2
a

:e = c ;
a

e>1

Gambar Persamaan

y a
b
b y     a x   x= y    x   Pusat
b Fokus
x  2 y  2 1
  Puncak
b2 a2

F2(,c+)

P2(,a+) y  a2   Ujung-
M(,) c Persam
2a P1(,-a+)
y= Persam

y   a2 
c

F1(,-c+)  Persam
2b x
Persam

Persam

Panjan
Panjan
Panjan

Eksent

Catatan : 1. Suatu hiperbola yang kedua asimtotnya saling tegak lurus diseb

2. Dua buah hiperbola yang mempunyai asimtot

264

Keterangan Persamaan Garis Singgung Persamaan Garis Singgung
dengan Gradien m dengan Titik Singgung (x1,y1) /
Persamaan Garis Polar dengan

Titik Polar (x1,y1)

: M ( , )     
y    mx     b2m2  a2 x1   x   y1   y   1

: F1 ( , c+) ; b2  a2

c2 = a2 + b2

k : P1 ( , -a+) ;
P2 ( , a+)

-ujung sb. minor :

(b+ , )
maan asimtot :

y - =  a x  
b

maan direktriks :

y =  a2 
c

maan latus rectum :

y=c+

maan sb. mayor :

x=
maan sb. minor :

y=

ng sb. mayor : 2a

ng sb.minor : 2b

ng latus rectum :

L  2b 2
a

trisitas : e = c ;
a

e>1

but hiperbola yang orthogonal hiperbola yang saling sekawan
t yang sama disebut

Exercise 4

1. Tentukan pusat, puncak, fokus, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, koordinat
ujung-ujung sumbu minor, persamaan asimtot, persamaan direktriks, persamaan latus
rectum, persamaan sumbu mayor, persamaan sumbu minor, panjang sumbu mayor,
panjang sumbu minor, panjang latus rectum dan eksentrisitas dari hiperbola berikut:
a. 4x2  9y 2  36
b. 9x2 16y2 144  0
c. 9x2  4y2 18x  8y  31  0
d. 9x2  4y2 18x 16y  29  0

2. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi ketentuan:

a. Titik Fokus  8,0 dan titik puncak  6, 0
b. Titik Fokus 0,  4 dan titik puncak 0,  3
c. Titik Fokus 10, 0 dan panjang sumbu mayor(sumbu utama) 16
d. Titik Fokus 0,  5 dan panjang sumbu minor (sumbu sekawan) 6

 e. Titik puncak  4,0 dan melalui titik 8,3 3

f. Titik puncak 0,  3 dan melalui titik 9, 6

g. Pusat (0, 0) , persamaan sumbu mayor y = 0, serta melalui titik-titik (6, 4) dan (- 3 , 1)
h. Pusat (- 3, 2) , salah satu puncak (3, 2) dan panjang sumbu minor 8
i. Persamaan asimtot y = 2x dan y = 4 – 2x, serta melalui (3, 0)

3. Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 pada hiperbola 4x2  9y2  36

4. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis 2x – y + 3 = 0 pada
hiperbola 9x2 16y2 144  0

5. Tentukan persamaan garis singgung yang membentuk sudut 600 terhadap sumbu-x positif,
pada hiperbola x2  9y2  2x  36y  44  0

6. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis 3x – y + 2 = 0 pada
hiperbola 4x2  9y2 16x 18y  43  0

7. Diketahui garis g dengan persamaan y = mx + 3 dan hiperbola 2x2  y2  2y  5  0 .
Tentukan batas-batas m, agar garis g dengan hiperbola:
a. Berpotongan pada 2 titik
b. Bersinggungan
c. Tidak berpotongan

8. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola x2  4y2  48  0 yang dapat ditarik
dari titik (4, 4)

9. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 3x2  4y2  6x  8y 13  0 yang
dapat ditarik dari titik (3, - 2)

265