«НАЗАРБАЕВ ЗИЯТКЕРЛІК МЕКТЕПТЕРІ» ДББҰ «БІЛІМ БЕРУ БАҒДАРЛАМАЛАРЫ ОРТАЛЫҒЫ» ФИЛИАЛЫ ГЕОМЕТРИЯ ДИДАКТИКАЛЫҚ МАТЕРИАЛДАР Назарбаев Зияткерлік мектептері Астана, 2018
Геометрия. Дидактикалық материалдар. Оқу құралы жалпы орта білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандартының «Геометрия» пәні бойынша оқу бағдарламасының тақырыптары мен мақсаттарына сәйкес келеді. Ұсынылған дидактикалық материалдар жинағының негізгі мақсаты — 8-сыныптың геометрия курсын оқыту барысында мұғалімге әдістемелік және дидактикалық көмек көрсету. / С.А. Конакпаева, С.Н. Петерс, – Астана: «Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ, «Білім беру бағдарламалары орталығы» филиалы, 2018. – 66 б. ISBN 978–601–328–412–5 «Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ Білім беру бағдарламалары орталығының Ғылыми-әдістемелік кеңесі басуға ұсынған ӘОЖ 373 КБЖ 22.1я72 К 55 Авторлары: С.А. Конакпаева С.Н. Петерс ©«Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ, «Білім беру бағдарламалары орталығы» филиалы, 2018 ӘОЖ 373 КБЖ 22.1я72 ISBN 978–601–328–412–5
3 МАЗМҰНЫ Түсініктеме хат...............................................................................................................................................4 Бөлім 8.1A Көпбұрыштар. Төртбұрыштарды зерттеу (13 сағат).............................................5 Бөлім 8.2A Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы қатынастар (15 сағат)...................................................................................................... 20 Бөлім 8.3A Аудандар (19 сағат) ......................................................................................................... 33 Бөлім 8.4A Жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесі (9 сағат)........................... 43 8-сыныптағы геометрия курсын қайталау (6 сағат)...................................................................... 54 Жауаптар ...................................................................................................................................................... 57 Қолданылған әдебиеттер тізімі........................................................................................................... 63
4 ТҮСІНІКТЕМЕ ХАТ «Геометрия» дидактикалық материалдар жинағы жалпы білім беретін мектеп мұғалімдеріне және 8-сынып оқушыларына қосымша материал ретінде ұсынылады. Оқу құралы жалпы орта білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандартының «Геометрия» пәні бойынша оқу бағдарламасының тақырыптары мен мақсаттарына сәйкес келеді. Ұсынылған дидактикалық материалдар оқытудың заманауи әдістемелерін қолдануға бағытталған. Бағдарламаның әрбір тақырыбы бойынша есептің күрделілігіне сәйкес деңгейлік тапсырмалар құрылған. Оқу мақсаттарына сай, бұл тапсырмаларды оқушылардың сыныптағы өздік жұмысын ұйымдастыру барысында және қосымша жеке тапсырма ретінде де қолдануға болады. Сонымен қатар, әрбір тарау үшін келесі тапсырмалар түрлері келтірілген: – материалды бекіту және схемалар мен сызбалардан мәліметтерді жинау дағдысын дамыту үшін дайын сызба бойынша есеп шығару тапсырмалары; – қолданбалы есептер, соның ішінде ұлттық құндылықтар арқылы тәрбиелеуге мүмкіндік беретін тапсырмалар. Бұл есептерді түрлі дидактикалық мақсаттарда қолдануға болады: оқушылардың оқуға деген қызығушылығын және ынтасын көтеру, ойлау қабілетін дамыту, математиканың басқа пәндермен байланысы мен күнделікті өмірдегі қолданысын көрсету үшін пайдалануға болады. – практикалық жұмыстар өлшеу, сызба салу, геометриялық модельдеу мен құрастырумен тікелей байланыста қолданылады, соның нәтижесінде осы дағдылар жетілдіріледі; – сабақта қолданылатын белсенді жұмыс түрлері оқушылардың оқуға деген қызығушылығын және ынтасын көтеру және өткен материалды бекіту мақсатында қолданылады. Сонымен қатар, танымдық ізденіске қызықтыруға көмектесіп, белсенді, әрі өздігінен білім алуға ынталандырып, топта жұмыс жасауға үйретеді. – тест тапсырмалары өзін-өзі бағалау немесе бір-бірін бағалау мақсатында қолдануға болады. Тест тапсырмаларын қолдану арқылы оқушылардың білімді меңгеру, дағдылардың қалыптастыру деңгейін бақылауға болады. Барлық тапсырмалар және ұсынылатын жұмыс түрлері сыни тұрғыдан ойлау және шығармашылық ойлау қабілетін дамытуға, геометрияның өмірдегі практикалық маңызын түсіндіруге бағытталған. Оқу құралындағы тапсырмалардың көбі авторлық жұмыс болып табылады. Ұсынылған дидактикалық материалдар жинағының негізгі мақсаты — 8-сыныптың геометрия курсын оқыту барысында мұғалімге әдістемелік және дидактикалық көмек көрсету. «Геометрия 8» курсының бөлімдері: 8.1A Көпбұрыштар. Төртбұрыштарды зерттеу (13 сағат) 8.2A Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы қатынастар (15 сағат) 8.3A Аудандар (19 сағат) 8.4A Жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесі (9 сағат) 8-сыныптың геометрия курсын қайталау (6 сағат)
5 БӨЛІМ 8.1A КӨПБҰРЫШТАР. ТӨРТБҰРЫШТАРДЫ ЗЕРТТЕУ (13 САҒАТ) Оқу мақсаттары: 8.1.1.1 көпбұрыш, дөңес көпбұрыш, көпбұрыш элементтері анықтамаларын білу; 8.1.1.2 көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысының және сыртқы бұрыштарының қосындысының формулаларын қорытып шығару; 8.1.1.3 параллелограммның анықтамасын білу; 8.1.1.4 параллелограммның қасиеттерін қорытып шығару және қолдану; 8.1.1.5 параллелограммның белгілерін қорытып шығару және қолдану; 8.1.1.6 тік төртбұрыш, ромб, квадрат анықтамаларын білу және олардың қасиеттері мен белгілерін қорытып шығару; 8.1.1.7 Фалес теоремасын білу және қолдану; 8.1.1.8 пропорционал кесінділер туралы теореманы білу және қолдану; 8.1.1.9 циркуль мен сызғыштың көмегімен кесіндіні бірдей n бөлікке бөлу; 8.1.1.10 пропорционал кесінділерді салу; 8.1.1.11 трапецияның анықтамасын, түрлері және қасиеттерін білу; 8.1.1.12 үшбұрыштың орта сызығының қасиетін дәлелдеу және қолдану; 8.1.1.13 трапецияның орта сызығының қасиетін дәлелдеу және қолдану; 8.1.3.1 үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген медианалар, биссектрисалар, биіктіктер және орта перпендикулярлар қасиеттерін білу және қолдану. Негізгі ойлар Бұл бөлімнің тапсырмалары көпбұрыш ұғымын, төртбұрыштың түрлері мен олардың қасиеттерін, пропорционал кесінділер ұғымын, Фалес теоремасын, үшбұрыштың тамаша нүктелері ұғымын білу, теоремалар дәлелдеу мен есептер шығару, соның ішінде қолданбалы есептер шығару барысында қолдануға бағытталған. Саралау тапсырмалары Тақырып 1. Көпбұрыш. Дөңес көпбұрыш Оқу мақсаттары: 8.1.1.1 көпбұрыш, дөңес көпбұрыш, көпбұрыш элементтері анықтамаларын білу; 8.1.1.2 көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысының және сыртқы бұрыштарының қосындысының формулаларын қорытып шығару. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. Берілген көпбұрыштардың қайсысы дөңес, қайсысы дөңес емес екенін көрсет. Жауабыңды түсіндір. a. b. c. d.
6 2. Берілген көпбұрыштың элементтерін көрсет, оның түрін ата. Көпбұрыштың барлық диагональдар санын анықтап, оларды сызбада көрсет. А B C D E F 3. Дөңес n-бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 1620o тең. Берілген n-бұрыштың қабырғалар санын тап. 4. Дұрыс бесбұрыштың ішкі бұрышының градустық өлшемін тап. 2-деңгей 1. Дөңес n-бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180oæ(n – 2) тең екенін дәлелде. 2. Дұрыс көпбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы мен ішкі бұрыштарының қосындысының қатынасы 1 3 -ге тең. a) Бұл көпбұрыштың неше қабырғасы бар? ә) Бұл көпбұрыштың неше диагоналі бар? б) Бұл көпбұрыштың ішкі бұрышының градустық шамасын тап. 3. Дөңес жетібұрыштың ішкі бұрыштарының өлшемдері 4 : 5 : 6 : 7 : 7 : 8 : 8 қатынасындай болса, жетібұрыштың ең кіші және ең үлкен бұрыштарын тап. 3-деңгей 1. Дөңес көпбұрыштың әрбір төбесінде бір-бірден алынған сыртқы бұрыштардың қосындысы 360o-қа тең екенін дәлелде. 2. Дөңес көпбұрыштың ең көп дегенде неше ішкі сүйір бұрышы болады? Жауабыңды түсіндір. 3. ABCDE… — дұрыс көпбұрыш, FBDE = 120o. Бұл көпбұрыштың неше қабырғасы бар? 120o А B C D E
7 Тақырып 2. Параллелограмм, ромб, тік төртбұрыш, квадрат және олардың қасиеттері мен белгілері Оқу мақсаттары: 8.1.1.3 параллелограммның анықтамасын білу; 8.1.1.4 параллелограммның қасиеттерін қорытып шығару және қолдану; 8.1.1.5 параллелограммның белгілерін қорытып шығару және қолдану; 8.1.1.6 тік төртбұрыш, ромб, квадрат анықтамаларын білу және олардың қасиеттері мен белгілерін қорытып шығару. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. ABCD параллелограммында Е және F нүктелері — қарама-қарсы қабырғаларының орталары. Суретте көрсетілгендей Е және F нүктелері сәйкесінше D және В төбелерімен қосылған. Дәлелде: а) œADE = œBCF; б) DE C BF; в) егер Е және F нүктелерін қосатын болсақ, онда параллелограмм төрт тең үшбұрышқа бөлінеді. 2. KLMN параллелограммының KN қабырғасы 11 см, ал оның диагональдары 12 см және 16 см. О нүктесі параллелограмм диагональдарының қиылысу нүктесі болып табылады. LOM үшбұрышының периметрін тап. 3. Ромбтың периметрі 32 см тең, ал биіктігі 4 см тең. Ромб бұрыштарының градустық өлшемдерін тап. 4. Мөлдір қағазда төртбұрыш салынған. Берілген төртбұрыш ромб екенін көрсету үшін қағазды қалай бүктеу керек? (қағазды бірнеше рет бүктеуге болады). 2-деңгей 1. ABCD — параллелограмм. O — оның AC және BD диагональдарының қиылысу нүктесі, ал M және N нүктелері — сәйкесінше DO және BO кесінділерінің орталары. ANCM параллелограмм екенін дәлелде. 2. СDEF ромбының DCE бұрышының биссектрисасы DE қабырғасын және DF диагоналін сәйкесінше M және N нүктелерінде қиып өтеді. Егер FCME = 150o болса, CND бұрышын тап. 3. Үстел беті квадрат екенін тексеру үшін ағаш шебері оның қабырғаларын өлшеп, олар тең екенін анықтайды. Үстел беті квадрат болатынын көрсету үшін бұл жеткілікті ме? Ал үстел бетінің тек диагональдарын өлшеп, оның қабырғалары тең деп айтуға бола ма? Жауабыңды түсіндір. А B D F C E
8 3-деңгей 1. Параллелограммның қабырғаларында параллелограммнан тыс квадраттар салынған. Бұл квадраттардың центрлері тізбектей қосылған. Алынған фигура квадрат болатынын дәлелде. 2. O нүктесі — KLMN параллелограмм диагональдарының қиылысу нүктесі. KLO, LMO, MNO және NKO әрбір үшбұрышының биссектрисаларының қиылысу нүктелері ромбтың төбелері болатынын дәлелде. 3. Төрт таяқшадан параллелограммның контуры құрастырылған. Бұл таяқшалардан үшбұрыштың контурын құруға барлық жағдайда бола ма? (үшбұрыштың бір қабырғасы екі таяқшадан құрастырылады). Тақырып 3. Фалес теоремасы. Пропорционал кесінділер Оқу мақсаттары: 8.1.1.7 Фалес теоремасын білу және қолдану; 8.1.1. пропорционал кесінділер туралы теореманы білу және қолдану; 8.1.1.9 циркуль мен сызғыштың көмегімен кесіндіні бірдей n бөлікке бөлу; 8.1.1.10 пропорционал кесінділерді салу. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. АВС үшбұрышы берілген. TS C AC, ВТ=6 см, ВS=9 см, АВ=2х+4 және ВС=5х болатындай, АВ және ВС қабырғаларында сәйкесінше Т және S нүктелері алынған. SС-ні тап. 2. Берілгені: AS C BR C CM C DN. Суретті қолданып, m, n, x және y мәндерін тап. А S N B K 4 m x 3 3 4 5 y n R C P M D 3. Кез келген кесіндіні сал. Салынған кесіндіні циркуль және сызғыш көмегімен 4 тең бөлікке бөл.
9 2-деңгей 1. АВС үшбұрышы берілген. Суретте көрсетілгендей EF C AC, AK=KD, BD=2DC және АЕ=3 см. ЕВ кесіндінің ұзындығын тап. А B F K 3 D C E 2. CD түзуі AB түзуіне параллель және BOA бұрышының қабырғаларын қияды. O, B, D нүктелері бір түзуге тиісті, В нүктесі O және D нүктелерінің арасында жатыр. O, A, C нүктелері де бір түзуге тиісті, А нүктесі O және С нүктелерінің арасында жатыр. Егер OA=6, AC=3 және BD=1 болса, OD ұзындығын тап. 3. Кез келген кесіндіні сал. Салынған кесіндіні циркуль және сызғыш көмегімен ұзындықтары 1:3 қатынаста болатын екі кесіндіге бөл. 3-деңгей 1. АВС үшбұрышы берілген. Суретте көрсетілгендей AF = FE, BD=5 см, BE=4 см және EC=6 см. AD кесіндінің ұзындығын тап. А B F 5 4 6 C D E 2. OKL үшбұрышының ОK қабырғасында E1 нүктесі алынған. LE1 кесіндісі үшбұрыштың OF медианасын E2 нүктесінде қиып өтеді және OE1 = OE2 . KE1 : FE2 қатынасын тап. 3. Кез келген кесіндіні сал. Салынған кесіндіні циркуль және сызғыш көмегімен ұзындықтары 2:5 қатынаста болатын екі кесіндіге бөл.
10 Тақырып 4. Трапеция, оның түрлері мен қасиеттері. Трапецияның мен үшбұрыштың орта сызықтары Оқу мақсаттары: 8.1.1.11 трапецияның анықтамасын, түрлері және қасиеттерін білу; 8.1.1.12 үшбұрыштың орта сызығының қасиетін дәлелдеу және қолдану; 8.1.1.13 трапецияның орта сызығының қасиетін дәлелдеу және қолдану. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. АВС үшбұрышында K, L, N нүктелері сәйкесінше АВ, ВС, АС қабырғаларының орталары болып табылады. Егер KN=4 см, NL=5 см және KL=8 см болса, АВС үшбұрышының периметрін тап. Қорытынды жаса. 2. а) Екі орта сызығы тең болатын үшбұрыш бар ма? Егер бар болса, ондай үшбұрыштың түрін ата. ә) Барлық орта сызықтары тең болатын үшбұрыш бар ма? Егер бар болса, ондай үшбұрыштың түрін ата. 3. Теңбүйірлі трапецияның диагоналі оның сүйір бұрышын қақ бөледі. Трапецияның периметрі 256 см, ал табандары 3:7 қатынаста. Трапецияның орта сызығының ұзындығын анықта. 2-деңгей 1. Трапецияның бұрыштарының бірі 30o тең, трапецияның бүйір қабырғалары арқылы өтетін түзулер тік бұрыш жасап қиылысады. Егер трапецияның орта сызығы 21, ал оның бір табаны 15-ке тең болса, кіші бүйір қабырғасының ұзындығын тап. 2. Егер трапецияның орта сызығы оның диагональдарымен үш тең бөлікке бөлінсе, трапеция табандарының қатынасын тап. 3-деңгей 1. Трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр. Олардың бірі 17-ге тең, ал екіншісі табанымен 30o-қа тең бұрыш жасайды. Трапецияның орта сызығын тап. 2. Вариньон теоремасы. Кез келген төртбұрыш қабырғаларының орталары параллелограммның төбелері екенін дәлелде. Қандай төртбұрыштар үшін бұл параллелограмм тік төртбұрыш болады? Ромб ше? Квадрат ше?
11 Тақырып 5. Үшбұрыштың тамаша нүктелері Оқу мақсаты: 8.1.3.1 үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген медианалар, биссектрисалар, биіктіктер және орта перпендикулярлар қасиеттерін білу және қолдану. 1-деңгей 1. А нүктесі — PNK үшбұрышы медианаларының қиылысу нүктесі, PN=NK. Егер А нүктесінен PK қабырғасына дейінгі арақашықтық 4 см-ге тең болса, N нүктесінен PK қабырғасына түсірілген үшбұрыш биіктігін тап. 2. ABC үшбұрышында FA және FB-ның биссектрисалары қиылысады. K қиылысу нүктесі үшбұрыштың C төбесімен қосылған. Егер FA=60o, FB=70o болса, FACK-ны анықта. 3. ABC доғал бұрышты үшбұрышы берілген. Оның доғал бұрышының қабырғаларына орта перпендикулярлар тұрғызылған. Олардың D қиылысу нүктесі B бұрышының төбесінен 8 см қашықтықта орналасқан. D нүктесінен үшбұрыштың A және C төбелеріне дейінгі ара қашықтықтарды анықта. Жауабыңды түсіндір. 2-деңгей 1. АВСD параллелограммының АС диагоналі 15-ке тең. М нүктесі — АВ қабырғасының ортасы. АС диагоналі DМ кесіндісімен қандай екі кесіндіге бөлінеді? 2. EFD үшбұрышында E және F бұрыштарының биссектрисалары K нүктесінде қиылысады. К нүктесі үшбұрыштың D төбесімен қосылған. Егер FEKF=150o болса, FFDK анықта. 3. Үшбұрыштың екі бұрышы 52o және 78o тең. Осы бұрыштардың төбелерінен түсірілген биіктіктер арасындағы доғал бұрышты тап. 3-деңгей 1. М нүктесі — АВСD параллелограммының СD қабырғасының ортасы, N нүктесі — ВС қабырғасының ортасы. АМ және АN түзулері ВD диагоналін үш тең бөлікке бөлетінін дәлелде. 2. Е нүктесі үшбұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан. Егер үшбұрыштың бұрыштары 16o, 44o және 120o болса, Е нүктесінен үшбұрыштың қысқа қабырғасы қай бұрышпен көрінеді? 3. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі берілген үшбұрыштың орта сызықтарынан құралған үшбұрыштың ортоцентрі екенін дәлелде.
12 Дайын сызба бойынша есеп шығару 1. ABCD — параллелограмм. Параллелограммның қабырғаларын тап. 2x + 1 5x – 8 3y – 7 y + 1 А B C D 5. ABCD — трапеция. Табу керек: a және c. c a B C A D 6 9 2. ABCD — параллелограмм. Параллелограммың бұрыштарын тап. 3m – 15o А 2m + 10o B C AD C BC AB C DC D 6. Табу керек: PR. 3x – 1 x + 2 A C R B P 3. ABCD — параллелограмм. Параллелограммның периметрін тап. 2 5 D B E C A 7. ABCD ромбының CAE бұрышын тап. D E C B A 55o 100o ? 4. Трапецияның бұрыштарын тап. 50o 70o W S T R U ST C RU 8. BC және AD қабырғаларының ұзындықтарын тап. x + 1 x + 3 8 D B C E F A BC C AD
13 Қолданбалы есептер 1-есеп. Көлсай көлдері Көлсай көлдері — Қазақстандағы ең әдемі жерлердің бірі. Бұл Іле Алатауындағы 2000 м биіктікте орналасқан бір аттас өзеннің таза мұзды суымен толтырылған үш жасыл көл екен. Осы көлдерде тек бұлақ немесе ағын суында мекендейтін алабалық бар, ал төңіректегі тауларда маралдар, тау текелері және аюлар да мекендейді. Көлдердің бірі биіктіктері шамалы бірдей екі тау бөктерінің арасында орналасқан. Егер көлдің ені 52 м, ал тау бөктерлерінің орталары арасындағы арақашықтық 96 м болса, бұл тау бөктерлерінің төбелері арасындағы арақашықтықты тап. 2-есеп Фермер шаруашылығы көкөністерді өсіру және малды ұстау үшін құнарлы жер учаскілерін сатып алды. Оның территориясын белгілеу үшін қоршау орнату қажет. Макетте көрсетілген сандық мәліметтерді пайдаланып, малды өсіруге арналған (А) жерді қоршайтын қатты қоршау ұзындығын және көкөністерді өсіруге арналған (В және С) учаскілерді қоршайтын металл тор қоршауының ұзындығын есепте. 43 16 8 8 12 10 14 9 9 A B С А В С
14 Практикалық жұмыс Практикалық жұмыс 1 Қалай ойлайсың, неліктен үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесін ауырлық центрі деп атайды? Эксперимент жасап көр: үшбұрышты қалың қағаздан қиып ал, оның медианаларын жүргіз, медианаларының қиылысу нүктесіне қарындыштың ұшын қойып, үшбұрышты тепе-теңдік қалпында ұстап көр. Үшбұрыштың бірнеше түрлеріне қатысты осындай экспериментті жасап көр. Не байқадың? Қорытынды жаса. Практикалық жұмыс 2 1. Суретте A, B, C, D нүктелері көрсетілген. Бұл нүктелер қабырғаларының орталары болатындай параллелограмм сал. А B C D 2. Берілген A және C екі төбесі мен KL орта сызығы бойынша трапецияны сал. А K L C C K L F G E
15 3. Берілген кесінділерді циркуль және сызғыш көмегімен 5 тең бөлікке бөл. B C D A Белсенді жұмыс түрлері Топтық жұмыс. «Домино» ойыны Ойын мақсаты: бөлімнен оқып үйренген негізгі ұғымдарын қайталау, топта жұмыс жасау арқылы коллаборативті ортаны қалыптастыру, оқушылардың пәнге деген қызығушылығын арттыру. Мұғалім алдын-ала домино қиықшаларын жасап, әрбір топқа бір-бір экземплярдан қиып дайындайды. Топтық жұмысты бақылау барысында мұғалім әрбір топтың өз жұмысын толығымен орындауына көңіл аудару қажет. Егер бір топта жұмыс жасау барысында тапсырма қиындық тудыратын болса, онда жұмысын дұрыс, әрі тез бітірген басқа топ оқушылары сол топқа көмек көрсетеді немесе сол топтың жіберген қателерін түсіндіреді. Оқушылар домино тізбегін дұрыс құрастыру керек. Бірінші болып домино құрастырған топ жеңіске жетеді. Келесі мысалда көрсетілгендей доминоларды өлшемі 1×2 болатындай етіп қию керек. СТАРТ Егер көпбұрыш оның әрбір қабырғасы арқылы өтетін түзулердің бір жақ бөлігінде жатса, онда мұндай көпбұрыш … деп аталады СТАРТ Егер көпбұрыш оның әрбір қабырғасы арқылы өтетін түзулердің бір жақ бөлігінде жатса, онда мұндай көпбұрыш … деп аталадыдөңес Екі қабырғасы ғана параллель болатын төртбұрыш
16трапеция Төртбұрыштың қарама-қарсы төбелерін қосатын кесінділерді оның ... деп атайды диагональдары ABCD тік төртбұрышында AB=8см, BC=5см. Табу керек: C нүктесінен AD қабырғасына дейінгі қашықтықты. 8 Төртбұрыш бұрыштарының қосындысы ... тең360 градусқа Табандағы бұрыштары тең болатын трапеция Тең бүйірлі Төртбұрыш қабырғасының неше көршілес қабырғалары бар? 2 Берілген екі түзудің біреуінен тең кесінділер қиып өтетін параллель түзулер … екінші түзуден де тең кесінілер қиып өтеді Егер параллелограммның диагональдары тең болса, онда бұл параллелограмм … болып табылады тік төртбұрыш Табандарына параллель және олардың жарты қосындысына тең
17 Трапецияның орта сызығы Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі Іштей сызылған шеңбердің центрі Квадраттың қарама-қарсы қабырғаларының арасындағы арақашықтық 5-ке тең. Квадраттың периметрін табу керек 20 Егер параллелограммның барлық қабырғалары тең болса, онда бұл параллелограмм … болып табыладыромб Параллелограммның екі көршілес бұрыштарының қосындысы ... тең 180 градусқа Қарама-қарсы қабырғалары параллель болатын төртбұрыш параллелограмм ∆ABC-ның AB қабырғасының D ортасы арқылы жүргізілген AC қабырғасына параллель және BC-ні E нүктесінде қиып өтетін. түзу берілген. DE=8. AC=? 16 Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі Центроид ФИНИШ
18 Тест тапсырмалары 1. ABCDEF… — дұрыс көпбұрыш, AH және FH — сәйкесінше FA және FF биссектрисалары. Егер FAHF=150o болса, көпбұрыштың қабырғалар санын анықта. A) 10; B) 11; C) 12; D) 13; E) 14. 2. Егер параллелограмм диагональдарының бірі оның биіктігі болса және оған перпендикуляр емес параллелограмм қабырғасының жартысына тең болса, параллелограмм бұрыштарын тап. A) 30o және 150o; B) 45o және 135o; C) 60o және 120o; D) 70o және 110o; E) 80o және 100o. 3. ABCD трапециясы берілген. АВ және CD — оның табандары, АВ<CD. Е, КÝAD, F, РÝCB, АК=КЕ=ЕD және ВР=РF=FC. Егер КР=15 см, ЕF=12 см және KP C EF C AB CCD болса, трапецияның табандарын тап. A) 6 см және 22 см; B) 7 см және 21 см ; C) 8 см және 20 см ; D) 9 см және 18 см; E) 10 см және 16 см. 4. Суретте DC C EF C AB және DE=50 см, EA=70 см, CF=х және FB=x+20 см. х-тің мәнін тап. A) 25; B) 30; C) 35; D) 40; E) 50. 5. Қабырғалары 10 см тең, ал сүйір бұрышы 60o тең болатын ромбының кіші диагоналін тап. A) 5 см; B) 10 см; C) 15 см; D) 20 см; E) 25 см. 6. ABCD тік төртбұрышының периметрі 24 см, О нүктесі — ВС қабырғасының ортасы. ОА және ОD түзулері өзара перпендикуляр болса, ABCD қабырғаларын тап. A) 3 см және 9 см; B) 4 см және 8 см; C) 5 см және 7 см; D) 2 см және 10 см; E) 4,5 см және 7,5 см. 7. KLM үшбұрышы берілген, КL=LM, КМ=16 см, М бұрышы 45o-қа тең. О нүктесі — үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі (ауырлық центрі). LО кесіндісінің ұзындығын тап. A) 2 2 3 см; B) 3 см; C) 4 см; D) 4 2 3 см; E) 5 см. 150o D E F H A B C
19 8. Теңбүйірлі трапецияның табандары 60 және 90, ал сүйір бұрышы 60o-қа тең. Трапецияның периметрін тап. A) 210; B) 216; C) 220; D) 224; E) 230. 9. Шеңбер дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған, оның радиусы 6. Үшбұрыш биіктігінің ұзындығын тап. A) 15; B) 16; C) 18; D) 20; E) 21. 10. CDEF — квадрат. О — оның диагональдарының қиылысу нүктесі. СОF үшбұрышының периметрі 12, ал квадрат диагоналі 5. Квадрат периметрін тап. A) 22; B) 24; C) 28; D) 32; E) 36.
20 БӨЛІМ 8.2A ТІКБҰРЫШТЫ ҮШБҰРЫШТЫҢ ҚАБЫРҒАЛАРЫ МЕН БҰРЫШТАРЫ АРАСЫНДАҒЫ ҚАТЫНАСТАР (15 САҒАТ) Оқу мақсаттары: 8.1.3.2 бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсінің тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының қатынастары арқылы берілген анықтамаларын білу; 8.1.3.3 Пифагор теоремасын дәлелдеу және қолдану; 8.1.3.4 тікбұрышты үшбұрыштағы тік бұрышының төбесінен гипотенузасына түсірілген биіктігінің қасиеттерін дәлелдеу және қолдану; 8.1.3.21. Пифагор теоремасын пайдаланып, sin2 α + cos2 α = 1 формуласын қорытып шығару және есептер шешуде қолдану; 8.1.3.22 негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктерді қорытып шығару және қолдану; 8.1.3.23 α және (90o–α) бұрыштарының синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі арасындағы байланыстарды білу және қолдану; 8.1.3.24 sinα, cosα, tgα және ctgα мәндерін олардың біреуінің берілген мәні бойынша табу; 8.1.3.5 бұрышты оның синусы, косинусы, тангенсі немесе котангенсінің белгілі мәні бойынша салу; 8.1.3.6 тікбұрышты үшбұрышты 30o, 45o, 60o-қа тең бұрыштардың синус, косинус, тангенс және котангенсінің мәндерін табу үшін қолдану; 8.1.3.7 тікбұрышты үшбұрыштың элементтерін табу үшін 30o, 45o, 60o-қа тең бұрыштардың синус, косинус, тангенс және котангенсінің мәндерін қолдану; 8.1.3.8 берілген екі элементі бойынша тікбұрышты үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғаларын табу. Негізгі ойлар Бұл бөлімнің тапсырмалары тригонометрияның негізгі ұғымдарын геометриялық тұрғыдан енгізуге, бұл ұғымдарды негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктерді қорытып шығаруда және есептер шығаруда, соның ішінде қолданбалы есептер шығару барысында қолдануға бағытталған. Геометрияның негізгі теоремасы — Пифагор теоремасының қолданылуы өте маңызды болып табылады. Саралау тапсырмалары Тақырып 1. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының тригонометриялық функциялары. Пифагор теоремасы Оқу мақсаттары: 8.1.3.2 бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсінің тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының қатынастары арқылы берілген анықтамаларын білу; 8.1.3.3 Пифагор теоремасын дәлелдеу және қолдану; 8.1.3.4 тікбұрышты үшбұрыштағы тік бұрышының төбесінен гипотенузасына түсірілген биіктігінің қасиеттерін дәлелдеу және қолдану. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары 9 см, 12 см және 15 см тең. Тап: а) кіші катетке іргелес жатқан сүйір бұрышының тангенсін; ә) кіші катетке қарсы жатқан сүйір бұрышының косинусын. 2. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 26 см, ал оның катеттерінің қатынасы 5:12. Ең үлкен катеттің ұзындығын тап.
21 3. Тікбұрышты үшбұрыштың биіктігі 4 тең және гипотенузаны 4:9 қатынаста бөледі. Берілген үшбұрыштың гипотенузасын тап. 4. Ануар тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының тангенсін есептегенде, мәні 1 болып шықты. Бұл қандай жағдайда болуы мүмкін? Жауабыңды түсіндір. 2-деңгей 1. Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары 10 дм, 24 дм және 26 дм. Тап: а) кіші сүйір бұрышының котангенсін; ә) үлкен сүйір бұрышының синусын. 2. ABCD — тік төртбұрыш, Е нүктесі — оның АВ үлкен қабырғасының ортасы. АС — тікбұрыштың диагоналі, АС=11 см, ЕС= 46 см. Тік төртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын тап. 3. Тікбұрышты үшбұрыштың биіктігі гипотенузаны 9 см және 16 см-ге тең кесінділерге бөледі. Берілген үшбұрыштың катеттерін тап. 4. Ануар тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының косинусын есептегенде, мәні 1,099 болып шықты. Оның есептегені дұрыс па? Жауабыңды түсіндір. 3-деңгей 1. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері 5 см, 12 см-ге тең. Тап: а) sin(90o–α), мұндағы α — үшбұрыштың үлкен сүйір бұрышы; ә) ctg(90o–β), мұндағы β — үшбұрыштың кіші сүйір бұрышы. 2. КРМ — тікбұрышты үшбұрыш, мұндағы FМ — тік. КМ және РМ катеттерінде сәйкесінше S және Т нүктелері белгіленді, РТ=ТS=КS. Егер КМ=3 см және РМ=4 см болса, ТS ұзындығын тап. 3. Тікбұрышты үшбұрыштың биіктігі 3 3-ке тең, ол гипотенузаны біреуі екіншісінен 6-ға артық екі кесіндіге бөледі. Берілген үшбұрыштың катеттерін тап. 4. α сүйір бұрышы өскенде, sin α, cos α, tg α қалай өзгереді? Жауабыңды түсіндір.
22 Тақырып 2. Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер Оқу мақсаттары: 8.1.3.21. Пифагор теоремасын пайдаланып, sin2 α + cos2 α = 1 формуласын қорытып шығару және есептер шешуде қолдану; 8.1.3.22 негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктерді қорытып шығару және қолдану; 8.1.3.23 α және (90o–α) бұрыштарының синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі арасындағы байланыстарды білу және қолдану; 8.1.3.24 sinα, cosα, tgα және ctgα мәндерін олардың біреуінің берілген мәні бойынша табу; 8.1.3.5 бұрышты оның синусы, косинусы, тангенсі немесе котангенсінің белгілі мәні бойынша салу. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. Өрнекті ықшамда: а) cos2 α æ (1+ tg2 α) – sin2 α; ә) sin44o æctg44o. 2. х-тің мәнін тап, егер: a) tg x = ctg73o; ә) sin2x = cos66o. 3. Егер tgθ= 5 12 болса, sinθ, cosθ, ctgθ мәнін тап. 4. α сүйір бұрышын сал, егер cosα = 7 10 . 2-деңгей 1. Өрнекті ықшамда: а) 1 sinxcosx – ctgx; ә) cos31o + sin59o 2cos31o . 2. х-тің мәнін тап, егер: a) cos(x – 10o) = sin70o; ә) tg2x = ctg44o. 3. Егер ctgθ= 24 7 болса, sinθ + cosθ, сtg(90o – θ) мәнін тап. 4. α сүйір бұрышын сал, егер sinα=0,6.
23 3-деңгей 1. Өрнекті ықшамда: а) (cosα + sinα) 2 –1 ctgα – sinα æ cosα ; ә) ctg5o æ ctg10o æ ctg15o æ ... æ ctg85o. 2. х-тің мәнін табыңыз, егер: a) sin ( x 3 + 13o) = cos57°; ә) ctg (5x + 11°) = tg39°. 3. Егер 4sinθ + 3cosθ 2sinθ – cosθ =5 болса, sinθ, cosθ, tgθ, ctgθ өрнектерінің мәндерін тап. 4. α сүйір бұрышын сал, егер tgα=2. Тақырып 3. Тікбұрышты үшбұрыштарды шешу Оқу мақсаттары: 8.1.3.6 тікбұрышты үшбұрышты 30o, 45o, 60o-қа тең бұрыштардың синус, косинус, тангенс және котангенсінің мәндерін табу үшін қолдану; 8.1.3.7 тікбұрышты үшбұрыштың элементтерін табу үшін 30o, 45o, 60o-қа тең бұрыштардың синус, косинус, тангенс және котангенсінің мәндерін қолдану; 8.1.3.8 берілген екі элементі бойынша тікбұрышты үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғаларын табу. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. 45o-қа тең бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсінің мәндерін тікбұрышты үшбұрышты қолдану арқылы қорытып шығар. 2. Берілген элементтері бойынша тікбұрышты үшбұрыштың қалған қабырғалары мен бұрыштарын тап. а) θ 180 см 60 3 см [4] ә) h 34 м 52o [4]
24 3. Суретте көрсетілген мәліметтерді қолданып, ВD және АС кесінділердің ұзындықтарын анықта. А C 10 см 30o 45o B D 2-деңгей 1. 30o, 60o-қа тең бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсінің мәндерін тікбұрышты үшбұрышты қолдану арқылы қорытып шығар. 2. Берілген элементтері бойынша тікбұрышты үшбұрыштың қалған қабырғалары мен бұрыштарын тап: а) катеті 50-ге тең, ал оған іргелес жатқан сүйір бұрышы 30o; ә) катеті 18-ге тең, ал оған қарсы жатқан сүйір бұрышы 25o; б) гипотенузасы 100-ге тең, ал сүйір бұрышы 60o. 3. Суретте көрсетілген мәліметтерді қолданып, ВХ кесіндінің ұзындығын және САВ бұрышының тангенсін тап. А C 4 см 6 см 150o B X 3-деңгей 1. 30o, 45o, 60o-қа тең бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсінің мәндерін тікбұрышты үшбұрышты қолдану арқылы қорытып шығар.
25 2. А нүктесінен мұнара төбесі 38o-қа тең, ал В нүктесінен 45o-қа тең бұрышпен көрінеді. Егер А және В арасындағы қашықтық 200 м болса, мұнара биіктігін және мұнарадан А нүктесіне дейінгі қашықтықты тап. 38o 45o 3. Суретте көрсетілген мәліметтерді қолданып, ОАВСD көпбұрыштың периметрін есепте, мұндағы ОА=1 см. D C B O A 30o 30o 30o
26 Дайын сызба бойынша есеп шығару 1. х-ті тап. 7 24 x A B С 5. х-ті тап. 8 6 5 x H K L G 2. х-ті тап. 17 6 x A B P С 10 6. ТК-ні тап. 12 69 S T K 3. х-ті тап. 15 9 7 Q A x B C 7. Тіктөртбұрыштың периметрін тап. B A G C D 6 2 4. х-ті тап. 12 15 S R T N x 19 8. CF-ті тап. 45o 4 2 ? B A F G C D
27 Қолданбалы есептер 1-есеп. Хан-Тәңірі Хан-Тәңірі шыңы, Қазақстанның ең жоғары нүктесі (7 010 м), орталық Тянь-Шань тауларының әдемі шыңдардың бірі болып есептеледі. Оның пирамида тәріздес үшкір мәрмәр төбесі барлық бағыттардан жақсы көрінеді. Бұл тау туралы ежелден бастап, түрлі аңыздар бар. Оны Тәңірі тауы немесе күн батқан кездегі төбесінің өзгеше қызыл түсі үшін Қантау да атайды. Бұл әлемдегі солтүстіктегі бірден-бір жетімыңдық болып саналады. Хан-Тәңірі шыңына шығу жолы қиын, сондықтан альпинистер және де туризм әуесқойлары үшін бұл жер аса тартымды жерлердің бірі болып табылады. Туристік маршрут үшін қажетті есептеулер: а) егер де Лагерь 1 теңіз деңгейінен 4200 м биіктікте, ал Лагерь 3 – 5900 м биіктікте орналасқан болса, шамалы 3400 м құрайтын «Лагерь 1 – Лагерь 3» жолының көтерілу бұрышын есепте; ә) егер Хан-Тәңірі шыңы теңіз деңгейінен 7010 м биіктікте орналасқан болса, көтерілу бұрышы шамамен 60 градусқа тең болатын «Лагерь 3 – Хан-Тәңірі шыңы» маршрутының ұзындығын есепте. 2-есеп Өрт сөндірушілер үй тұрғындарын өрттен құтқару үшін өртсөндіргіш сатысын қолданды. Бұл саты 46 метрге созылып және 72o-қа тең мүмкін болатын ең үлкен көтерілу бұрышын құрап көтерілді. Тригонометриялық функциялардың мәндер кестесін қолданып, сатының үстіңгі ұшының қандай биіктікке жететінін есепте, егер де оның төменгі ұшы жерден 1,7 м биіктікте орнатылған болса.
28 3-есеп 8-сыныпта оқитын екі оқушы жолдардың қиылысында қоштасып, біреуі 8 метр, ал екіншісі 6 метр өткеннен кейін олардың арасындағы арақашықтықты тап. Практикалық жұмыс 1. DEF үшбұрышының сүйір бұрыштарының синусы, косинусы, тангенсі мен котангенсін тап. E F D 2. ABC үшбұрышының А және С бұрыштарының синусы, косинусы, тангенсі мен котангенсін анықта. А B C
29 3. KLM тікбұрышты үшбұрышты сал, егер: а) sinM= 3 5 ; ә) tgL= 2 5 . Белсенді жұмыс түрлері Топтық жұмыс. «Тарсия» ойыны Ойын мақсаты: бөлімнен оқып үйренген негізгі ұғымдарын бекіту, топта жұмыс жасау арқылы коллаборативті ортаны қалыптастыру, оқушылардың пәнге қызығушылығын арттыру. Мұғалім алдын-ала ойын карточкаларын жасап, әрбір топқа бір-бір экземплярдан қиып дайындайды. Топтық жұмысты бақылау барысында әрбір топтың өз жұмысын толығымен орындап бітіруіне көңіл аудару қажет. Егер бір топта жұмыс жасау барысында тапсырма қиындық тудыратын болса, онда жұмысын дұрыс, әрі тез бітірген басқа топ оқушылары сол топқа көмек көрсетеді немесе сол топтың жіберген қателерін түсіндіреді. Оқушылар белгілі бір фигураны дұрыс құрастыру керек. Бірінші болып домино құрастырған топ жеңіске жетеді.
30 Тапсырмалар sin60o 5æsin30o 2 3 4 3 3 cos30o 4æcos230o 1 tg30o æ tg45o ctg45o tg60o cos45o 5 0 tg α 4 1 1 3 1 2 cosα sinα sin32o cos32o 1 – cos2α іргелес жатқан катеті гипотенуза 1 + ctg2α tg32o 2 æ cos30o 2ætgαæсtgα 2 3 ctg15o cos2α sin30o 3 1 + tg α 2 5 æ (sin2 β + cos2 β) 3 2 sinα cosα 1 cos α2 1 2 1 3 1 sin2α 1 – sin2α sin30o – cos30o 2æsin45o 2æ 2 3æcos60o – 2æctg45o бұрыштың синусы қарсы жатқан катеті бұрыштың косинусы гиротенуза ctgα 2æctg30o 2ætgα sin2α cos260o 3ætg60o + ctg30o 2 1 5 2 1 3 sin α cos α 3 2 6 2 cos15o sin15o
31 Тест тапсырмалары 1. Тікбұрышты үшбұрыштың катеті 8 см, ал оған іргелес жатқан бұрышы 60o. Гипотенуза және екінші катет ұзындықтарының қосындысын есепте. A) 16+8 3; B) 16+6 3; C) 16+4 3; D) 12+3 3; E) 12+9 3. 2. Өрнекті ықшамда 1 + tg2 x tg2 x . A) 1 sinx ; B) 1 sin2 x ; C) 1 cosx ; D) 1 cos2 x ; E) ctgx. 3. Суретте көрсетілген мәліметтерді қолданып, СD ұзындығын тап. А 2d (2 3)d 30o B 60o D E С A) 3 3 d; B) 3; C) 3 3d; D) 4d; E) 9d. 4. Алдыңғы есептің суретін қолданып, АВЕD периметрін анықта. A) 2( 3 + 1)d; B) 3( 3 + 1)d; C) (2 3 + 3)d; D) ( 3 + 3)d; E) ( 3 + 2)d. 5. Егер cosθ = 7 10 болса, tgθ есепте. A) 10 7 ; B) 10 51 ; C) 51 10 ; D) 7 51 ; E) 51 7 . 6. Суретте көрсетілген мәліметтерді қолданып, АD ұзындығын тап. A) 10 3 ; B) 10; C) 2 10; D) 3 10 ; E) 10 2 . 6 8 3x B C D A x
32 7. Тікбұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан түсірілген биіктігі гипотенузаны біреуі екіншісінен 11 см-ге үлкен екі кесіндіге бөледі. Егер үшбұрыштың катеттері 6:5 қатынаста болса, гипотенузаны тап. A) 61 см; B) 51 см; C) 41 см; D) 31; E) 21. 8. Егер cos3x = sin53o, х-тің мәнін есепте. A) 7o; B) 9o; C) 11o; D) 13o; E) 14o. 9. Егер ромбтың диагональдары 6 см және 8 см болса, оның қабырғасын тап. A) 5; B) 7; C) 9; D) 10; E) 12 . 10. Егер sinα 5 7 , онда ctgα: A) 6 2 5 ; B) 5 2 6 ; C) 5 6 2 ; D) 2 6 5 ; E) 2 3 7 .
33 БӨЛІМ 8.3A АУДАНДАР (19 САҒАТ) Оқу мақсаттары: 8.1.3.9 көпбұрыш ауданының анықтамасы мен қасиеттерін білу; 8.1.3.10 тең шамалас және тең құрамдас фигуралардың анықтамаларын білу; 8.1.3.11 параллелограммның, ромбтың аудандарының формулаларын қорытып шығару және қолдану; 8.1.3.12 үшбұрыштың ауданының формулаларын қорытып шығару және қолдану; 8.1.3.13 трапецияның ауданының формулаларын қорытып шығару және қолдану. Негізгі ойлар Бұл бөлімнің тапсырмалары тең шамалы фигуралар, дөңес көпбұрыштың ауданы, үшбұрыштың ауданы және төртбұрыштардың негізгі түрлері мен олардың комбинациялары ұғымдарын түсінуге және бекітуге бағытталған, осы ұғымдарды есеп шығару барысында, соның ішінде қолданбалы тапсырмаларды орындау барысында қолдану дағдысын қалыптастыруға бағытталған. Саралау тапсырмалары Тақырып 1. Фигураның ауданы және оның қасиеттері Оқу мақсаттары: 8.1.3.9 көпбұрыш ауданының анықтамасы мен қасиеттерін білу; 8.1.3.10 тең шамалас және тең құрамдас фигуралардың анықтамаларын білу. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. Дұрыс алтыбұрышты параллелограмм құрастыруға болатындай етіп, қалай екі бөлікке бөлуге болады? 2. Қағаздан параллелограмм қиып ал. Параллелограммның ауданы оның табаны мен биіктігінің көбейтіндісіне тең екенін қиып алу арқылы дәлелде. Қиып алудың неше әдісі бар? 3. Берілген фигураны екі шамалас емес бөлікке бөліп, олардан квадрат құрастыр. Егер бір торкөздің өлшемі 2 см × 2 см болса, квадраттың ауданын тап.
34 2-деңгей 1. Тік төртбұрышты тікбұрышты үшбұрышты құрастыруға болатындай етіп, түзу бойымен екі бөлікке бөл. 2. Қағаздан ромб қиып ал. Ромбтың ауданы оның диагональдарының жарым көбейтіндісіне тең екенін қиып алу арқылы дәлелде. Қиып алудың неше әдісі бар? 3. Берілген фигураны қалай екі тең бөлікке бөлуге болады? 3-деңгей 1. Трапецияны а) параллелограмм құрастыруға болатындай етіп, қалай екі бөлікке бөлуге болады; ә) үшбұрыш құрастыруға болатындай етіп, қалай екі бөлікке бөлуге болады; б) тік төртбұрыш құрастыруға болатындай етіп, қалай үш бөлікке бөлуге болады? 2. Қағаздан сегізбұрышты қиып ал. Сегізбұрыштың ауданы оның ең үлкен және ең кіші диагональдарының көбейтіндісіне тең екенін қиып алу арқылы дәлелде. 3. Берілген фигураны тоғыз тең бөлікке бөл.
35 Тақырып 2. Төртбұрыштар мен үшбұрыштардың аудандары Оқу мақсаттары: 8.1.3.11 параллелограммның, ромбтың аудандарының формулаларын қорытып шығару және қолдану; 8.1.3.12 үшбұрыштың ауданының формулаларын қорытып шығару және қолдану; 8.1.3.13 трапецияның ауданының формулаларын қорытып шығару және қолдану. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. Егер үшбұрыштың қабырғалары 10 см, 17 см және 21 см болса, оның ең үлкен биіктігін тап. 2. Теңбүйірлі трапецияның бүйір қабырғасы, кіші табаны және орта сызығы сәйкесінше 13 дм, 6 дм және 15 дм. Трапецияның ауданын анықта. 3. Ромбтың биіктігі 2, ал сүйір бұрышы 30o болса, ромб ауданын тап. 4. Параллелограммның ауданы 24 см2 . Параллелограммның бір қабырғасы екіншісінен 13 см-ге артық, ал сүйір бұрышы 30o-қа тең. Параллелограмм периметрін тап. 2-деңгей 1. Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі 50 дм. Үшбұрыштың бүйір қабырғасы табанынан 1 дм-ге артық. Үшбұрыштың ауданын анықта. 2. Ромб қабырғасының ұзындығы 10, ал оның бір диагоналі 12. Ромбқа тең шамалас болатын квадраттың қабырғасын анықта. 3. Теңбүйірлі трапецияның табандары 3 см және 5 см, ал бүйір қабырғасы тең 7 см. Трапецияның диагоналін және ауданын тап. 4. Параллелограммның сүйір бұрышы 30o, ал доғал бұрышының төбесінен 4 см және 6 см-ге тең биіктіктері жүргізілген. Параллелограмм ауданын тап. 3-деңгей 1. Егер теңбүйірлі үшбұрыштың табаны 12 см, ал табанына түсірілген биіктігі табан мен бүйір қабырғасының орталарын қосатын кесіндіге тең болса, үшбұрыштың ауданын анықта. 2. Трапецияның параллель қабырғалары 16 см және 44 см, ал параллель емес 17 см және 25 см. Трапецияның ауданын есепте. 3. Ромбтың периметрі 2р см, ал диагональдарының қосындысы d см. Ромбтың ауданын тап. 4. Параллелограмм қабырғаларының орталары басқа параллелограммның төбелері болып табылады. Егер бірінші параллелограммның ауданы 114 тең болса, екіншісінің ауданын тап.
36 Дайын сызба бойынша есеп шығару 1. Боялған фигураның ауданын тап. Есептеудің бірнеше әдісін қолдан. 1 5. Боялған фигураның ауданын тап. Есептеудің бірнеше әдісін қолдан. 1 K L J M 2. OPN үшбұрышының ауданын тап. 5 5 6 N P O 6. RSQ үшбұрышының ауданын тап. 2 13 Q O T R S 3. ABCD тік төртбұрышының ауданын тап. 18 8 A E D B C 7. ABCD параллелограммның ауданын тап. 8 10 60o B E С A D 10 60o 4. IJKL трапециясының ауданын тап. 6 16 22 I J L K 8. ABCD трапециясының ауданын тап. 9 6 B D C A O
37 Қолданбалы есептер 1-есеп Жарнамалық компанияға 30000 га жер учаскесін сату үшін жол бойында тұратын жарнамалық қалқанды (щитті) жасау керек. Сызбадағы мәліметті қолданып, жол бойындағы жердің ұзындығын тап, 1 га = 0,01 км2 . х км 10 км 12 км 8 км 30,000 га бос Айналып өтетін жолға дейін 320 м, Астананың орталығына дейін 16 км. 33,000 га бос емес 2-есеп Жиһаз фабрикасының дизайнерлері есіктің жаңа түрлерін ойлап жасаған: Қай есік үшін шыны көп қажет болатынын есепте. Келесі мәліметтерді ескеру қажет: тік төртбұрышты шынылар ұзындығы 38 см, ал ені 8 см; ромб тәрізді шынылардың қарама-қарсы төбелері арасындағы арақашықтықтар 30 см және 18 см.
38 Практикалық жұмыс Практикалық жұмыс 1 1. ABCD параллелограммның және EFGH тік төртбұрыштың аудандарын тап. C D B G F E H A 2. ABC үшбұрышның және EFGH трапецияның аудандарын тап. C B G F E H A 3. Берілген фигуралардың аудандарын тап. C B G F E H A D
39 Практикалық жұмыс 2 1. Берілген тікбұрышты трапецияны төрт тең трапецияға бөл. А B D C 2. Тік төртбұрышты квадрат құрастыруға болатындай етіп, бөліктерге бөл. E H F G 3. Берілген тік төртбұрышты екі тең фигураға қиып бөл. Әрбір бөлікте нөль болу керек. Бірнеше шешу жолын көрсет. 0 0
40 Белсенді жұмыс түрлері Топтық жұмыс. «PUZZLE» Тапсырма Суретте екі үшбұрыш көрсетілген. Бірінші үшбұрышты түрлі түсті бөліктерге бөліп қиып ал және сол бөліктерден екінші үшбұрышты құрастыр. Не байқадың? Екінші үшбұрышта не дұрыс емес? Жетіспейтін квадрат қайда? Тест тапсырмалары 1. Ромб қабырғасы 8 см. Егер оның қабырғасы мен диагональ арасындағы бұрышы 75o-қа тең болса, ауданын тап. A) 16 см2 ; B) 24 см2 ; C) 32 см2 ; D) 45 см2 ; E) 54 см2 . 2. Тік төртбұрыш периметрі 46, ал ауданы 126. Тік төртбұрыштың үлкен қабырғасын тап. A) 9; B) 11; C) 12; D) 13; E) 14. 3. Трапецияның аудан 240, ал табандарының қатынасы 1:3. Трапецияның орта сызығы оны екі трапецияға бөледі. Олардың аудандарын тап. A) 96 және 144 ; B) 104 және 136; C) 90 және 150; D) 86 және 154; E) 98 және 142.
41 4. Теңбүйірлі үшбұрыштың табаны 6, бүйір қабырғасының медианалары өзара перпендикуляр. Үшбұрыштың ауданын тап. A) 18; B) 27; C) 36; D) 42; E) 54. 5. Параллелограммның ауданы 750 см2 . Оның қабырғалары 25 см және 30 см болса, биіктіктер ұзындықтарының қосындысын анықта. A) 40 см; B) 45 см; C) 50 см; D) 55 см; E) 60 см. 6. Қабырғалары 13, 20 және 21 болатын үшбұрыштың ауданын есепте. A) 108; B) 112; C) 114; D) 126; E) 136. 7. Егер дұрыс алтыбұрыштың қабырғасы 8 болса, оның ауданын тап. A) 24 3; B) 96 3; C) 64 3; D) 48 3; E) 16 3. 8. Тікбұрышты трапецияның сүйір бұрышы 30º. Бүйір қабырғаларының қосындысы 42 см. Егер трапецияның кіші табаны 5 3 см болса, оның ауданын тап. A) 168 3 см2 ; B) 160 3 см2 ; C) 156 3 см2 ; D) 108 3 см2 ; E) 60 3 см2 . 9. Орнамент өзара тең үш ромбтан құралады. Ромбтың диагональдары 4 және 6 дюймге тең. 1 дюйм2 ауданды бояу үшін 20 г жасыл эмаль қажет. Осындай 10 орнаментті бояу үшін неше грамм эмаль қажет болады? A) 5200 г; B) 5600 г; C) 6400 г; D) 6800 г; E) 7200 г. 10. Азат өз бөлменің еденіне толығымен ковралан салмақшы болды. Суретте бөлменің схемасы көрсетілген, бөлменің өлшемдері футпен берілген. Азат бөлмесіне неше фут2 ковралан қажет болады? 6 ft 3 ft 5 ft 15 ft 15 ft 120o A) 195 + 27 3 ; B) 195 + 18 3 ; C) 195 + 9 3; D) 196 + 18 3 ; E) 196 + 15 3.
42 БӨЛІМ 8.4A ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ ТІКБҰРЫШТЫ КООРДИНАТАЛАР ЖҮЙЕСІ (9 САҒАТ) Оқу мақсаттары: 8.1.3.14 жазықтықта координаталарымен берілген екі нүктенің арақашықтықтығын есептеу; 8.1.3.15 кесінді ортасының координаталарын табу; 8.1.3.16 кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаталарын табу; 8.1.3.17 центрі (a, b) нүктесі және радиусы r болатын шеңбердің теңдеуін (x–a)2 + (y–b)2 = r 2 білу; 8.1.3.18 берілген теңдеуі бойынша шеңберді салу; 8.1.3.19 түзудің жалпы теңдеуін және берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазу: ax+by+c=0, х–х1 х2 –х1 = y–y1 y2 –y1 . 8.1.3.20 координаталармен берілген қарапайым есептерді шығару. Негізгі ойлар Бұл бөлімнің тапсырмалары жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесінде жұмыс жасауға, координаталармен берілген қарапайым есептерді шығаруға, сызба бойынша шеңбер және түзудің теңдеулерін құру және керісінше шеңбер мен түзудің теңдеуі бойынша сызбасын салу дағдысын қалыптастыруға және осы ұғымдарды қолданбалы есептер шығаруда қолдануға бағытталған. Саралау тапсырмалары Тақырып 1. Жазықтықтағы координаталар әдісі Оқу мақсаттары: 8.1.3.14 жазықтықта координаталарымен берілген екі нүктенің арақашықтықтығын есептеу; 8.1.3.15 кесінді ортасының координаталарын табу; 8.1.3.16 кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаталарын табу. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. (–1; 2) және (3; 5) нүктелерінің қайсысы (3; 0) нүктесіне жақын орналасқан? 2. Егер А(а+1; 4 – 2b) және В(3 – а; 2b – 3) берілген болса, АВ кесіндісі ортасының координаталарын есепте. 3. ABC үшбұрышы тең бүйірлі болатынын дәлелде, егер A(–2; –1), B (4; 1) және C(2; –5). 4. АВ кесіндісі берілген, мұндағы А(1; 4), В (15; 10). С, D және Е нүктелері сәйкесінше АD, АВ және DВ кесінділерінің орталары, осы нүктелердің координаталарын тап. 5. A(3; −2) және B (6; 4) нүктелері кесіндінің ұштары болып табылады. Бұл кесінді үш тең бөлікке бөлінген. Бөлу нүктелерінің координаталарын анықта.
43 2-деңгей 1. Төбелерінің координаталары А(2; 5), В (–2; 3) және С(4; –1) болатын АВС үшбұрышы берілген. А төбесінен жүргізілген үшбұрыш медианасының ұзындығын тап. 2. (–3; 2), (5; –2), (4; –4) және (–4; 0) нүктелері тік төртбұрыштың төбелері болатынын дәлелде. 3. А(–3; 0) және В (4; –1) нүктелерінен бірдей қашықтықта жатқан Оу осіндегі нүктені тап. 4. Егер A(–5; –7) нүктесі кесіндінің бір ұшы, ал кесіндінің ортасы C(–9; –12) нүктесі болса, кесіндінің екінші B ұшының координаталарын тап. 5. АВ кесіндісі А(3; –5), В(–4; 6) нүктелерімен берілген. АВ кесіндісін А нүктесінен бастап санағанда 3:2 қатынаста бөлетін С нүктесінің координаталарын анықта. 3-деңгей 1. К(2; 1) және L (–6; а) нүктелері берілген. Егер КL=10 болса, а-ның мәнін анықта. 2. А(–2; –3), В(3; –2), С(х; у) және D(–1; 3) нүктелері АВСD параллелограммның төбелері болып табылады. С нүктесінің координаталарын тап. 3. Егер L (–3; –2), M(0; –1), N(–2; 5), болса LMN үшбұрышы тікбұрышты екенін дәлелде. 4. Үшбұрыш қабырғаларының орталары E (7; 8), F (–4; 5), K(1; –4) нүктелерінде орналасса, осы үшбұрыш төбелерінің координаталарын тап. 5. АВ кесіндісі С(2; 3) нүктесімен А(–4; –7) нүктесінен бастап санағанда 5:3 қатынаста бөлінген. В нүктесінің координаталарын тап. Оқу мақсаттары: 8.1.3.17 центрі (a, b) нүктесі және радиусы r болатын шеңбердің теңдеуін (x–a)2 + (y–b)2 = r 2 білу; 8.1.3.18 берілген теңдеуі бойынша шеңберді салу; 8.1.3.19 түзудің жалпы теңдеуін және берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазу: ax + by + c = 0, х–х1 х2 –х1 = y–y1 y2 –y1 . Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. w1 және w2 шеңберлері сәйкесінше теңдеулермен берілген. а) w1 және w2 шеңберлер центрлерінің арасындағы арақашықтықты тап. ә) Бұл шеңберлердің өзара орналасуын анықтаңыз, өз жауабыңызды сәйкес сызбамен негізде.
44 2. A(−2; 2), B (−2; −2) және C(6; 6) нүктелері берілген. ABC үшбұрышының қабырғалары арқылы өтетін түзулердің теңдеулерін жаз. 2-деңгей 1. AB диаметрі болатын шеңбер берілген, мұндағы A(4;7) және B (10;15). a) Шеңбердің центрі мен радиусын анықта; ә) Шеңбердің теңдеуін жазып, оның сызбасын сал. 2. x2 + y2 + 6x – 2y – 6 = 0 теңдеуімен берілген шеңбер центрінің координаталарын және радиусын тап. 3. A(4; 1), B (−8; 0) және C(0; −6) нүктелері берілген. ABC үшбұрышының медианалары арқылы өтетін түзулердің теңдеулерін жаз. 3-деңгей 1. k-ның мәнін тап, егер: а) x2 + y2 – 12x + 8y + k = 0 теңдеуімен берілген шеңбердің радиусы 4-ке тең; ә) x2 + y2 + 4x – 2y + k = 0 теңдеуі шеңбердің теңдеуі болып табылады. 2. Берілген сурет бойынша а-ның мәнін тап және шеңбердің теңдеуін жаз. a 12 2 3. KLMN параллелограммының үш төбесі берілген: K(–1; 2), L(–2; –2) және M(5; –2). Оның KM және LN диагональдарының теңдеулерін құрастыр.
45 Тақырып 2. Координаталармен берілген есептерді шығару Оқу мақсаты: 8.1.3.20 координаталармен берілген қарапайым есептерді шығару. Өздік жұмысқа арналған тапсырмалар 1-деңгей 1. х – 2у + 5 = 0 түзуінде абсциссасы 3-ке тең А нүктесі, ал 2х – у + 8 = 0 түзуінде ординатасы 2-ге тең В нүктесі алынған. АВ кесіндінің ұзындығын тап. 2. Ұштары A(3; −2) және B(7; 4) нүктелерінде болатын кесінді тең төрт бөлікке бөлінді. Бөлу нүктелерінің координаталарын анықта. 3. Егер шеңбер центрі А(3; 2) нүктесі болса, ал В(7; 5) нүктесі шеңбер бойында жатса, онда осы шеңбердің теңдеуін жаз. 2-деңгей 1. Барлық нүктелері А(–2; 1) және В(–1; –3) нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан түзудің теңдеуін құрастыр. 2. 4х – 3у + 12 = 0 түзуінің координаталық осьтер арасындағы орналасқан кесіндісі шеңбердің диаметрі болып табылады. Осы шеңбердің теңдеуін құрастыр. 3. А(–2; 5), В (4; 3) және С(1; –2) нүктелері берілген. M нүктесі АВС үшбұрышының ауырлық центрі болсын. а) М нүктесінің координаталарын тап; ә) АВМ үшбұрышының периметрін тап. 3-деңгей 1. Төбелері А(x1 ; y1 ), В(x2 ; y2 ), С(x3 ; y3 ) нүктелерінде болатын АВС үшбұрышы медианаларының қиылысу нүктесінің координаталары ( x1 + x2 + x3 3 ; y1 + y2 + y3 3 ) болатынын дәлелде. 2. А(–1; 2), В (5; 2), С(а; b) нүктелері — үшбұрыштың төбелері, D(4; 4) нүктесі — АВС үшбұрышының ауырлық центрі. а) С нүктесі мен координаталар басы арқылы өтетін түзудің теңдеуін жаз; ә) АВС үшбұрышының периметрін тап. 3. А(0; 2), В (1; 1), С(2; –2) үш нүкте арқылы өтетін шеңбердің теңдеуін құрастыр.
46 Дайын сызба бойынша есеп шығару 1. С нүктесінің координаталарын тап. B (–2; –1) A (4;3) C x y 4. Тік төртбұрыш төбелерінің координаталарын тап, мұндағы АD=5. D C A (–3;3) B x y 2. Шеңбердің теңдеуін жаз. D (3; 1) x y 5. Шеңбердің теңдеуін жаз. O D (0; –8) x y 3. АВ түзуінің теңдеуін құрастыр. 4 3 x A f B y 6. АВ түзуінің теңдеуін құрастыр. 45o 7 x A B y
47 Қолданбалы есептер 1-есеп Сауда кемесі (1,2; 6) нүктесінде қайырға тұрып қалып, көмек сұраған. Жақын жерден «Бригантина» және «Тұлпар» кемелері сәйкесінше (3; –0,75) жəне (7; 8,6) нүктелерінде орналасқан. Екі кеменің максимал жылдамдығы шамалы бірдей болса, кемелердің қайсысы сауда кемесіне көмекке бірінші болып келеді? –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 8 6 4 2 –2 –4 –6 8 2-есеп Қарағанды қаласының халықаралық әуежайында Халықаралық ұйымының талаптарына сәйкес азаматтық авиацияның жаңа навигациялық радар құрылғысы орнатылды, бұл радар авиадиспетчерлерге ұшақтардың қозғалысын жоғары дәлдікпен қадағалауға мүмкіндік береді. Егер радардың орнатылған жері (0;0) нүктесі деп алынса, ал радар ұшақтың ең алшақ позициясын (250; 170) деп көрсетсе, осы құрылғының әрекет аумағының радиусын анықта.
48 Практикалық жұмыс 1. Суретте көрсетілген шеңбердің теңдеуін жаз. 0 А 6 5 4 3 2 1 –1 –2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 2. Берілген теңдеуі бойынша шеңберді сал: x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0. 5 4 3 2 1 –1 –2 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
49 3. Суретте көрсетілген түзулердің теңдеулерін жаз. x y –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 1 3 4 6 5 2 5 4 3 2 1 –1 –2
50 Белсенді жұмыс түрлері Топтық жұмыс. «Лабиринт» ойыны «Лабиринт» Лабиринттің тапсырмаларын орындап, координаталар жазықтығында нүктеден-нүктеге қозғалып бағытын белгілеңіз. Лабиринтті аяғына дейін өтіңіз! Соңғы нүктені және маршруттың барлық нүктелерін тізбектей қосқанда пайда болатын фигураны анықтаңыз. СТАРТ Берілген нүктеден OA кесіндісінің ортасына өтү қажет, мұндағы А(8; 4). MN кесіндісін MF FN = 1 2 қатынаста бөлетін нүктеге өтү керек, мұндағы M(–1; 3), N(–7; 6). O(0; 0) B (__; __) D(__; __) C(__; __) Е (__; __) F (__; __) H(__; __) G(__; __) ФИНИШ (x – 9)2 + + (y + 5)2 = 4 шеңберінің центрине өтү қажет. 2 бірлікке оң жағына және 5 бірлікке жоғарыға өтү қажет у = – 4 3 х түзүі бойымен 5 бірлікке жоғарыға көтерілу керек. 6 бірлікке сол жағына және 1 бірлікке жоғарына өтү қажет Егер GH кесіндісінің ортасы L ( 3 2 ; 11 2 ) нүктесі болса, Н нүктесін табыңыз.