“EduCon” Education Consulting
Мектепке көмекші – емтиханға дайындық
АЛГЕБРА
КІТАП 3
Алматы 2016
УДК 372.8:94(574)
ББК 63.3(5Каз)
И 90
Баглан Кузембаев, Чингис Набиев.
Ж 68 “EduCon” Education Consulting.
Алматы: “EduCon” Education Consulting, 2016 – 88 бет.
ISBN 978-601-7175-01-6
«EduCon» компаниясы мамандары дайындаған «Алгебра» кітабы
мектепке көмекші құрал ретінде пайдалануға арналған теориялық жəне
практикалық тапсырмалардан тұрады.
Кітап жалпы білім беретін орта мектеп оқушыларына,
мұғалімдерге арналған.
УДК 372.8:94(574)
ББК 74.266.3
И 0503020905
00(05)-09
ISBN 978-601-7175-01-6 “EduCon” Education Consulting
СӨЗ БАСЫ
Сүйікті оқушылар және құрметті ұстаздар!
Білімнің негізі мектепте қаланады. Жақсы мектептен нәр
алмаған оқушының болашақта жетістікке жетуі мүмкін емес.
Мақсатқа жетудің жолы тек дайындықпен ғана емес, дайындалатын
материалдардың таңдаулы болуында. Осы мәселені негізге ала
отырып, «EduCon» компаниясы білікті мамандарға осы
басылымдарды әзірлетті.
«EduCon» басылымдарының негізгі мақсаты оқушылардың
мектепте алған білімін нығайтуға көмектесу, пәндік білімдерін
арттыру және оқып-үйренгендерін бекіту. Бұл кітап – сынып ішінде
немесе жеке дайындық кезінде қосымша жаттығу жұмысы ретінде
пайдалануға болатын таптырмас құрал.
Жетістікке жету жолында сенімді серігіңіз – «EduCon»
басылымдары тың жүйемен дайындалған, әлі сиясы кеппеген жап-
жаңа кітаптарымен Сіздердің ең маңызды көмекшілеріңіз болады
деген сенімдеміз.
«EduCon» басылымдары қолыңыздан бір елі ажырамауы тиіс
қайнар көзі. Әр басылымы жаңаланып, мектеп бағдарламасына
сәйкес құрастырылып толықтырылған осы кітаптар Сіздердің
дайындығыңызды жеңілдетеді деген ойдамыз.
«EduCon» басылымдары ұжымдық жұмыстың өнімі. Көптеген
жылдарын дайындық курстарымен өткізген, тәжірибелі әрі білікті
мамандардың қолынан шыққан бұл кітаптарда оқушыға тақырыпты
тез әрі жеңіл түсіндіретін әдістер қолданылған.
Нық сеніммен дайындалуыңызға болатын «EduCon»
басылымдарының бұл кітабымен бірге Сізді өз еркіңізге қалдыра
отырып, білім жолында барлығыңызға биік жетістіктер тілейміз.
БҰРЫШТЫҢ ГРАДУСТЫҚ ЖӘНЕ РАДИАНДЫҚ ӨЛШЕМДЕРІ 1
БҰРЫШТЫҢ ГРАДУСТЫҚ ЖӘНЕ РАДИАНДЫҚ Бұрыштық өлшемдер
ӨЛШЕМДЕРІ
Бұрыш-бір нүктеден шығатын екі сəуленің OA
арасында орналасқан геометриялық фигура.
Сəулені қарама-қарсы екі бағытта бұруға Градустық өлшем:
болады.
30, 45, 60, 90,120,180, 360,1000....
Сағат тілінің бағытына қарсы бұрғанда
пайда болған бұрыш оң бұрыш Радиандық өлшем:
Сағат тілінің бағытымен бұрғанда пайда , , , , 2 , , 2 ....
болған бұрыш теріс бұрыш деп аталады. 6 4 3 2 3
Бірлік шеңбер – центрі санақ басында Градустық өлшеммен берілген кез келген
орналасатын,радиусы 1 бірлікке тең шеңбер. бұрышты радианға,ал радиандық өлшеммен
берілген бұрышты градустық өлшемге аударуға
y болады.
B Градусты радианға аудару формуласы:
1
C 1A Р Г
–1 0 x 180
Радианды градусқа аудару формуласы:
D –1 Г 180 Р
Р-радиандық , Г-градустық өлшем.
4
Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері
Мысал 1
30 бұрышын санын қолданып , радиан 15 бұрышын радиан арқылы өрнектеңіз.
арқылы өрнектеңіз.
Шешімі:
Р Г болғандықтан
180
Р 30 1
180 6 6
90 бұрышын санын қолданып , радиан 210 бұрышын радиан арқылы өрнектеңіз.
арқылы өрнектеңіз.
Мысал 2
20 бұрышын санын қолданып , радиан Радиандық өлшемі болатын доғаның
арқылы өрнектеңіз. 4
120 бұрышын санын қолданып , радиан бұрыштық өлшемін градустық өлшеммен
арқылы өрнектеңіз.
көрсетіңіз.
Шешімі:
Г 180 Р болғандықтан
Г 180 4 180 1 180 1 180 45
4 4 4
Оңай тəсілі :
180 болғандықтан өрнегінде
4
орынына 180 -ты қоямыз.
Шешуі: 180 45
4 4
5
Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері
Радиандық өлшемі 2 болатын доғаның 0,75 бұрышын градус арқылы өрнектеңіз.
5
бұрыштық өлшемін градустық өлшеммен
көрсетіңіз.
Радиандық өлшемі 13 болатын доғаның Бұрыштың периодтылығы. Бұрыштың
6 негізгі өлшемі. Бір бұрыштың өлшемін:
градуспен берілсе k 360, k Z
бұрыштық өлшемін градустық өлшеммен
радианмен берілсе k 2 , k Z
көрсетіңіз.
түрінде жазсақ, осындағы бұрышы сол
бұрыштың негізгі бұрышы деп аталады.
Негізгі бұрыш 0,360 аралығындағы
бұрыштар.
Мысал 3
Өлшемі 954 -қа тең бұрыштың негізгі өлшемі
қанша градус?
Радиандық өлшемі 3 болатын доғаның Шешімі:
бұрыштық өлшемін градустық өлшеммен 954 -тық бұрыштың ішіндегі 360 -тың
көрсетіңіз. еселіктерін алып тастасақ қалған қалдық негізгі
өлшем болады. Сол үшін 954 -ты 360 -қа
бөлеміз.
954 360
– 720 2
234
954° = 234° + 2.360°
954 -тық бұрыштың мағынасы бірлік шеңбер
бойында бұрыш екі толық айналым жасап 234
-тық бұрышқа тоқтайды.
6
Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері
Өлшемі 2518 -қа тең бұрыштың негізгі өлшемі Өлшемі 1537 -қа тең бұрыштың негізгі
қанша градус? өлшемі қанша градус?
Өлшемі 800 -қа тең бұрыштың негізгі өлшемі Өлшемі 750 -қа тең бұрыштың негізгі өлшемі
қанша градус? қанша градус?
Мысал 4 Мысал 5
Өлшемі 500 -қа тең бұрыштың негізгі өлшемі Өлшемі 17 радианға тең бұрыштың негізгі
қанша градус? 2
Шешімі: өлшемі қанша радиан?
500 -тық бұрышты 360 -қа бөлеміз. Шешімі:
–500° 360°
– k 2 ,k Z формуласы бойынша 17
–360° –1 2
234 өрнегін
500 140 1 360
түрінде жазғанымызда негізгі өлшем 140 17 4 2 түрінде жазғанда
шыққанын көреміз. Бірақ негізгі өлшем 2 2 2
0 360 аралығында болғандықтан 140 болатынын көреміз. Негізгі бұрышымыз
2
бұрышына сəйкес келетін оң бұрышты
табамыз. Ол үшін 360 -тан 140 азайтамыз. радианға тең.
Шыққан айырым негізгі өлшем болады.
360 140 220 220
7
Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері
Өлшемі 14 радианға тең бұрыштың негізгі Дөңгелектің радиусы 3 см. 30 -қа сəйкес
3
бұрыш доғасының ұзындығын есептеңіз.
өлшемі қанша радиан? ( 3,14 )
Доғаның ұзындығын анықтау
L B Дөңгелектің радиусы 9 см. 60 -қа сəйкес
A
r бұрыш доғасының ұзындығын есептеңіз.
α ( 3,14 )
O
Доғаның ұзындығы(L):
L r
180
( -центрлік бұрыш, r -радиус)
Мысал 6
Дөңгелектің радиусы 3 см. 30 -қа сəйкес
бұрыш доғасының ұзындығын есептеңіз. (
3,14 )
Шешімі:
r 3см
30
Доға ұзындығын табу формуласы бойынша
L r 30 3,14 3 1, 57
180 180
L 1,57см
8
Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері
№1 Білімді нығайту №2 Білімді нығайту
1. Келесі бұрыштарды санын 1. Дұрыс үшбұрыштың ішкі бұрыштарын
қолданып,радиан арқылы өрнектеңіз: радиан арқылы өрнектеңіз.
a. 45
2. Берілген бұрышты радиан арқылы жазыңыз:
a. 24
b. 180
b. 1500
c. 150
c. 2100
d. 240
d. 4000
2. Келесі радиандық өлшеммен берілген
бұрыштар-ды градустық өлшеммен 3. Берілген бұрышты градус арқылы жазыңыз:
жазыңыз:
12
a. a.
3
b. 1, 25
9
b.
c. 2,5
c. 0,5
d. 17
3
d. 5
3. Өлшемі 810 -қа тең бұрыштың негізгі 4. Өлшемі 1570 -қа тең бұрыштың негізгі
өлшемі қанша градус? өлшемі қанша градус?
9
Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері
№3 Білімді нығайту ТЕСТ № 1
1. Өлшемі 630 -қа тең бұрыштың негізгі
1. Радиандық өлшемі болатын доғаның
өлшемі қанша градус? 9
2. Өлшемі 3450 -қа тең бұрыштың негізгі бұрыштық өлшемін градустық өлшеммен
өлшемі қанша градус?
көрсетіңіз.
3. Дөңгелектің радиусы 10 см. 27 -қа сəйкес
бұрыш доғасының ұзындығын есептеңіз. A) 90
3,14 B) 20
4. Бұрышты радианмен өрнектеңіз: 7,5 C) 30
D) 60
E) 15
2. Радиандық өлшемі 3 болатын доғаның
4
бұрыштық өлшемін градустық өлшеммен
көрсетіңіз.
A) 135
B) 30
C) 130
D) 145
E) 225
3. Радиандық өлшемі 1,6 болатын доғаның
бұрыштық өлшемін градустық өлшеммен
көрсетіңіз.
A) 235
B) 210
C) 270
D) 288
E) 267
4. 5 бұрышын градус арқылы өрнектеңіз.
2
A) 400
B) 540
C) 450
D) 250
E) 350
5. 6 бұрышын градус арқылы өрнектеңіз.
A) 750
B) 900
C) 980
D) 1080
E) 780
10
Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері
6. 300 бұрышын санын қолданып ,радиан 9. 150 бұрышын санын қолданып ,радиан
арқылы өрнектеңіз. арқылы өрнектеңіз.
A) 5 A) 2
3 3
B) 5 B) 3
6 4
C) 2 C) 4
3 3
D) 4 D) 5
3 6
E) 3 E)
2 3
7. 45 бұрышын санын қолданып ,радиан 10. 270 бұрышын санын қолданып ,радиан
арқылы өрнектеңіз.
арқылы өрнектеңіз.
A) A) 5
9 6
B) B) 5
6 3
C) C)
4 2
D) D) 2
3 3
E) E) 3
12 2
8. 60 бұрышын санын қолданып ,радиан 11. Дұрыс алтыбұрыштың ішкі бұрыштарын
арқылы өрнектеңіз. радиан арқылы өрнектеңіз.
A) A)
3 3
B) B) 2
2 3
C) C)
6
D)
6 3
D) 4
E)
4 5
E) 6
11
Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері
12. 24 бұрышын радиан арқылы өрнектеңіз. 15. 22,5 бұрышын радиан арқылы өрнектеңіз.
A) A) 3
7 10
B) B)
14 8
C) 3 C)
16 9
D) 5 D)
18 10
E) 2 E)
15 7
13. Дұрыс төртбұрыштың ішкі бұрыштарын 16. Радиусы R дөңгелекте бұрышын
радиан арқылы өрнектеңіз. құрайтын доғаның ұзындығын есептейтін
A) формуланы табыңыз.
2
A) l R
B) B) l
3 R
C) 2 C) l R
D)
6 D) l 2 R
E) 0,2 E) l r2
14. 1200 бұрышын радиан арқылы өрнектеңіз. 17. Дөңгелектің радиусы 9 см. 10 -қа сəйкес
бұрыш доғаның ұзындығын есептеңіз.
A) 15
4 3,14
B) 20 A) 1,67 см.
3 B) 1,52 см.
C) 1,57 см.
C) 25 D) 1,7 см.
6 E) 2 см.
D) 11
6
E) 13
3
12
КЕЗ КЕЛГЕН БҰРЫШТЫҢ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРЫ 2
КЕЗ КЕЛГЕН БҰРЫШТЫҢ Берілген үшбұрышты пайдаланып
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРЫ sin x,cos x,tgx жəне сtgx өрнектерінің мəнін
табыңыз.
Тригонометрия – үшбұрыштың қабырғалары
мен бұрыштарының арасындағы байланысты A
зерттейтін математика саласы.
83
B 1 xC
Мысал 1 Пифагор теоремасын пайдаланып гипотенуза
мəнін табыңыз, sin x,cos x,tgx жəне сtgx
Берілген үшбұрышты пайдаланып sin x өрнектерінің мəнін есептеңіз.
өрнегінің мəнін табыңыз. A
A 3
B 2 xC
35
13
B 4 xC
Шешімі:
x бұрышына қарсы жатқан катет 3-ке, ал
гипотенуза 5-ке тең болғандықтан
sin x a 3 мəнін табамыз.
c 5
Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары
БІРЛІК ШЕҢБЕРДЕГІ
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР
7 ; 15 ; 13 бұрыштары қай ширектерге
3 4 6
тиісті?
Ордината осіндегі 1;1 кесіндісі –
синус сызығы деп аталады.
Абсцисса осіндегі 1;1 кесіндісі –
косинус сызығы деп аталады.
Мысал 2
120 бұрышы қай ширекке тиісті?
Шешімі:
Бұрышымыз 90 180 аралығында
болғандықтан 120 бұрышы II ширекке тиісті
30 ; 240 ; 287 бұрыштары қай ширектерге
тиісті?
; 7 ; 2 бұрыштары қай ширектерге тиісті?
4 6 3
390 ; 820 ;1160 бұрыштары қай ширектерге
тиісті?
14
Тригонометриялық кесте Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары
Өрнектің мəнін табыңыз:
a) 3 cos30 2 sin 45
b) 3 sin 60 tg30
c) 2cos60 3sin 45
Мысал 3
3sin 90 2cos 60 tg45 өрнегінің мəнін d) 3 cos 0 2ctg30
табыңыз.
Шешімі: Өрнектің мəнін табыңыз:
Кестеге қарап берілген бұрыштардың мəндерін
a) 1 sin cos
жеке-жеке жазайық: 2 4 4
sin 90 1
cos 60 1
2
tg45 1
3sin 90 2 cos 60 tg 45 3 1 2 1 1 3
2 4 6 6
b) sin tg cos
3sin 90 2cos 60 tg45 өрнегінің мəнін
табыңыз.
c) sin cos tg
3 3 3
d) 5ctg sin 5sin cos
4 6 2 3
15
Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары
Мысал 4
Егер 30 болса, онда sin 2 cos 2 Өрнектің мəнін табыңыз:
өрнегінің мəнін табыңыз. a) sin 30 cos302
3cos 45sin 45 6tg30ctg60
Шешімі:
30 болғандықтан sin 2 cos 2 өрнегінде
орнына мəнін жазамыз
sin 2 cos 2 sin 2 30 cos 2 30 sin 60 cos60
sin 60 cos60 3 1 3 1
2 2 2
Егер 45 болса, онда tg ctg 2
өрнегінің мəнін табыңыз.
2tg 2 cos 3ctg 2
3 3 6
b)
sin 2 cos 3 tg 4 ctg 2 6
Егер болса, онда cos 2 өрнегінің мəнін
4
табыңыз.
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ
АНЫҚТАЛУ ОБЛЫСЫ МЕН МӘНДЕР ЖИЫНЫ
Егер болса, онда sin 2 cos3 a) sin жəне cos функциялары -ның кез
6
келген мəнінде анықталатындықтан (мəні
өрнегінің мəнін табыңыз. болатындықтан)
анықталу облысы : ;
аралығы болады.
Сонымен қатар sin жəне cos
функция-лары -ның қандай мəнінде
болса да 1-ден үлкен жəне (-1)-ден кіші
мəнге ие болмайды. Сондықтан
мəндер жиыны : 1;1 кесіндісі.
16
Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары
Мысал 5 Функцияның мəндер жиынын табыңыз:
Функцияның мəндер жиынын табыңыз: y sin2 2
y 4sin 3
Шешімі:
sin функциясының мəндер жиыны 1;1
аралығында болғандықтан,
y 4sin 3 функциясының мəндер жиыны
4sin 3 4 -1;1 3 4 (-1);4 1 3 4;4 3
4 3;4 3 1;7
1;7 аралығында болады
Функцияның мəндер жиынын табыңыз: b) tg функциясы
y 2sin 5
-ның k мəндерінен басқа мəндерінің
Функцияның мəндер жиынын табыңыз: 2
y 1 cos
бəрінде анықталады,сондықтан
анықталу облысы : k
2
c) сtg функциясы
-ның k мəндерінен басқа мəндерінің
бəрінде анықталады,сондықтан
анықталу облысы : k
d) tg жəне сtg функцияларының
мəндер жиыны : ;
17
Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары
№1 Білімді нығайту 4. Егер 30 болса, онда келесі
1. Келесі бұрыштардың ширектерін
өрнектердің мəндерін табыңыз.
анықтаңыз:
a) 95 a) sin 2
b) 220 b) cos 2 sin 3
c) 400 c) sin tg2 cos3
d) 500 №3 Білімді нығайту
5. Өрнектің мəнін табыңыз:
2. Келесі бұрыштардың ширектерін
2tg30ctg30cos 30sin 30 3tg60
анықтаңыз:
a) 7
3
6. Өрнектің мəнін табыңыз:
b) 3 2 cos2 30 5 3tg 2 30
18 4 4
c) 11
6
7. Өрнектің мəнін табыңыз:
d) 2 tg 2 2 3 2 1 sin2 2
3 3 4 3 2 4
№2 Білімді нығайту 8. Өрнектің ең үлкен жəне ең кіші мəнін
3. Өрнектің мəнін табыңыз:
табыңыз: 3cos 2
a) 2 cos 45 2sin30
9. Өрнектің ең үлкен жəне ең кіші мəнін
b) 4cos 60 3tg45
табыңыз: 1 4sin
10. Тік бұрышты үшбұрышты пайдаланып
1 келесі есепті шығарыңыз:
4 2 4
c) 8 sin ctg Егер sin 15 жəне бұрышы I–
17
ширекке тиісті болса, онда tg -ны
d) tg 1 ctg табыңыз.
3 3 6
18
Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары
ТЕСТ № 1
1. бұрышы қай ширекке тиісті? 7. 5 бұрышы қай ширекке тиісті?
12 3
A) I -ширек A) 1-ширек
B) II -ширек B) 2-ширек
C) III -ширек C) 3-ширек
D) IV -ширек D) 4-ширек
E) II , III -ширек E) Барлығы дұрыс
2. 120 бұрышы қай ширекке тиісті? 8. Өрнектің мəнін табыңыз: cos0 2 sin 90
A) 1-ширек A) 0
B) 2-ширек
C) 3-ширек B) 2
D) 4-ширек C) 1
E) 1,3-ширек D) 1
E) 2
3. cos өрнегінің мəні бола алатын санды
көрсет. 9. Егер 30 болса,онда sin cos2
A) 0,7
B) 2 өрнегінің мəнін табыңыз.
C) 1,5 A) 1
D) 1,03 B) 3
E) 2 C) 0
D) 3
4. Өрнектің мəнін табыңыз:
2cos45 2 sin 30 E) 2
A) 2 10. Есептеңіз: 2 sin 3tg
B) 2 2 3 6
C) 1
D) 1 A) 0
E) 2
B) 1
C) 1
D) 3
E) 2
5. Өрнектің мəнін табыңыз: 4tg45 sin 270 11. Есептеңіз: 2 cos180 sin 2 270
A) 1 A) 1
B) 3 B) 3
C) 0 C) 0
D) 3 D) 3
E) 2
E) 2
6. Есептеңіз: cos 2 2ctg 12. Егер 60 болса,онда cos sin
2 2
A) 4 өрнегінің мəнін табыңыз.
B) 2 A) 1
B) 3
C) 1
D) 3 C) 0
E) 2 D) 3
E) 2
19
Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары
13. Есептеңіз: sin30 cos 60 sin 2 45 18. Өрнектің мəнін табыңыз:
A) 1 cos 3 ctg sin
4 2 2
B) 1 A) 0
C) 0 B) 3
D) 3 C) 1
D) 3
E) 1
2 E) 2
14. Егер 30 болса,онда tg2 ctg - sin3 19. Өрнектің мəнін табыңыз: sin tg ctg
3 3 4
өрнегінің мəнін табыңыз.
A) 4 A) 1,5
B) 2
C) 1 B) 2,5
D) 3
E) 2 C) 1
D) 0
E) 0,5
15. Есептеңіз: 2 sin 30 cos 0 20. Есептеңіз: tg cos sin
tg30 sin 60 6 4 3
A) 4 A) 1
B) 2 B) 0
C) 1
D) 3 C) 2
E) 2 D) 2
2
16. sin өрнегінің мəні бола алатын санды E) 2
4
көрсет.
A) 1 1 21. Суреттегі берілген мəліметтер бойынша
2 tg өрнегінің мəнін табыңыз.
B
B) 5
2
C) 3 41 40
4 C
D) 2
E) 4 α
3 A
3 A) 4
2 2
17. Есептеңіз: 2ctg 3 cos 5sin 0 . B) 40
9
A) 4
B) 0 C) 5
C) 5 D) 5
D) 5 E) 2
E) 2
20
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ШИРЕКТЕРДЕГІ 3
ТАҢБАЛАРЫ
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ Егер 180 270 болса, онда sin
ШИРЕКТЕРДЕГІ ТАҢБАЛАРЫ өрнегінің таңбасын анықтаңыз
I жəне II sin 0 (синус таңбасы оң),
III жəне IV sin 0 (синус таңбасы теріс).
Мысал 1 I жəне IV cos 0 (косинус таңбасы оң),
II жəне III cos 0 (косинус таңбасы теріс).
sin 240 өрнегінің таңбасын анықтаңыз.
Шешімі: Мысал 2
240 бұрышы III -ширекке тиісті,ал синустың
cos150 өрнегінің таңбасын анықтаңыз.
III -ширекте таңбасы минус,сондықтан
sin240 өрнегінің таңбасы теріс болады. Шешімі:
150 бұрышы II -ширекке тиісті,ал косинустың
Өрнектердің таңбаларын анықтаңыз:
a) sin130 II -ширекте таңбасы минус,сондықтан
cos150 өрнегінің таңбасы теріс болады.
b) sin 40 Өрнектердің таңбаларын анықтаңыз:
a) cos50
c) sin 310 b) cos190
d) sin 200
21
Тригонометриялық функциялардың ширектердегі таңбалары
c) cos289 Мысал 3
d) cos100
tg140 өрнегінің таңбасын анықтаңыз.
Шешімі:
140 бұрышы II -ширекке тиісті,ал тангенстің
II -ширекте таңбасы минус,сондықтан
tg140 өрнегінің таңбасы теріс болады.
Көбейтіндінің таңбасын анықтаңыз: Өрнектердің таңбаларын анықтаңыз:
a) cos 40sin100 a) tg30
b) sin 225cos120 b) tg340
c) cos310sin 70 c) tg135
d) sin 200cos80 d) tg400
Көбейтіндінің таңбасын анықтаңыз:
a) cos80sin 220tg170
b) ctg225cos150tg50sin 560
c) sin170cos2 150tg150ctg240
I жəне III tg ,ctg 0 ,
II жəне IV tg ,ctg 0 .
22
Тригонометриялық функциялардың ширектердегі таңбалары
ТЕРІС БҰРЫШ ҮШІН ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ sin sin
ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ МӘНДЕРІ:
cos cos
tg tg
ctg ctg
Формуладан синус, тангенс жəне котангенс тақ
функциялар, косинус жұп функция болады
деген қортынды шығады.
Мысал 1
sin(30) sin 30 1
2
sin(90) sin 90 1
sin(240) sin 240
cos(30) cos30 3
2
cos(210) cos 210
tg(45) tg45 1
tg(210) tg210
ctg (30) ctg30 3
tg( ) sin( ) sin tg Өрнектің мəнін табыңыз:
cos( ) cos
a) cos 45
ctg( ) cos( ) cos ctg b) sin 90
sin( ) sin c) tg 60
d) ctg 30
e) sin 30
f) sin 45
g) cos 60
h) tg 45
23
Тригонометриялық функциялардың ширектердегі таңбалары
Өрнектің мəнін табыңыз: №1 Білімді нығайту
a) sin 30 cos 60 1. Егер sin 0 жəне cos 0 болса, онда
бұрышы қай ширекте.
b) tg 45 ctg 45
2. Егер sin 0 жəне cos 0 болса, онда
бұрышы қай ширекте.
3. Егер cos 0 жəне tg 0 болса, онда
бұрышы қай ширекте.
4. Егер sin 0 болса, онда бұрышы қай
ширектерде болады.
5. Егер tg 0 болса, онда бұрышы қай
ширектерде болады.
c) cos sin №2 Білімді нығайту
6 3
1. Өрнектің таңбасын анықтаңыз:
a) cos 20
b) sin 110
c) ctg165
d) ctg 144
d) ctg tg 2. Көбейтіндінің таңбасын анықтаңыз:
3 6 a) ctg52cos120
b) sin 15tg 80
c) ctg500 cos 110
d) cos 95tg 170
24
Тригонометриялық функциялардың ширектердегі таңбалары
№3 Білімді нығайту ТЕСТ № 1
1. функциясының мəні оң болатын
1. Өрнектің таңбасын анықтаңыз:
12
a) cos 230tg160sin 35 ширектерді табыңыз.
ctg 130cos65 A) I жəне II
B) II жəне III
b) cos30 sin 30 C) II жəне IV
c) 3tg45 2sin 30 D) I жəне III
E) I жəне IV
d) tg cos 2ctg
3 6 4 2. sin функциясының мəні оң болатын
ширектерді табыңыз.
e) ctg 1000 A) I жəне IV
B) I жəне II
C) II жəне III
D) II жəне IV
E) I жəне III
3. tg функциясының мəні теріс болатын
ширектерді табыңыз.
A) II жəне III
B) I жəне III
C) II жəне IV
D) I жəне II
E) Тек III
4. Жұп функцияны табыңыз.
A) sin
B) tg3
C) cos
D) ctg
E) sin2
5. Егер tg 0 болса,онда бұрышы қай
ширектерде жатады?
A) II жəне III
B) I жəне III
C) I жəне IV
D) II жəне IV
E) I жəне II
6. Таңбасы оң болатын көбейтіндіні
анықтаңыз.
A) sin50 cos100
B) sin -40 ctg 70
C) sin120tg150
D) cos15ctg300
E) tg250 cos 210
25
Тригонометриялық функциялардың ширектердегі таңбалары
7. Қате тепе-теңдікті табыңыз 12. Таңбасы оң болатын өрнекті анықтаңыз.
A) sin - sin A) tg -45
B) -tg - tg
C) cos - cos B) cos -150
D) ctg - ctg
E) sin 2 - sin2 C) sin -135
D) cos120
E) ctg210
8. Егер sin 0,cos 0 болса,онда бұрышы 13. Егер sin 0,cos 0 болса,онда
қай ширекте жатады? бұрышы қай ширекте жатады?
A) I A) I
B) II B) II
C) III C) III
D) IV D) IV
E) I жəне III E) I жəне III
9. Таңбасы оң болатын өрнекті анықтаңыз. 14. Таңбасы теріс болатын көбейтіндіні
анықтаңыз.
A) cos-60 A) sin(-40 ) cos100
B) sin -45 B) sin120 cos150
C) tg(-125 )sin100
C) ctg300 D) cos150 sin 200
E) ctg35 cos(63 )
D) tg -30
E) cos 240
10. Таңбасы теріс болатын өрнекті анықтаңыз. 15. Нөлден үлкен өрнекті анықтаңыз.
A) cos 0 A) sin(-50 )
B) sin240
C) tg(120 ) B) sin250 cos110
C) sin140tg(70 )
D) cos 240
E) ctg210 D) sin50 cos100
E) cos(120 )
11. Егер sin 0,cos 0 болса,онда 16. Егер аргументтің таңбасы өзгергенде
функцияның таңбасы да өзгерсе, онда
бұрышы қай ширекте жатады? функция ..... деп аталады. Көп нүктенің
A) I орнына сəйкес келетін сөзді табыңыз.
B) II A) периодты
C) III B) тақ
D) IV C) жұп
E) I жəне III D) периодсыз
E) өспелі
26
НЕГІЗГІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕПЕ-ТЕҢДІКТЕР 4
НЕГІЗГІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ Егер sin 12 жəне 0 90 болса, онда
ТЕПЕ-ТЕҢДІКТЕР 13
cos өрнегінің мəнін табыңыз.
OBC тікбұрышты үшбұрышын қарастырсақ.
Пифагор теоремасы бойынша
y
B
O αx y A
Сx
OB2 OC2 BC2 , мұндағы Егер cos 12 жəне 180 270 болса,
OB 1,OC x, BC y немесе OC x cos , 13
BC y sin .
Демек, онда sin өрнегінің мəнін табыңыз.
1 cos2 sin2
sin2 cos2 1
cos2 1 sin2
sin2 1 cos2
Мысал 1
Егер sin 3 жəне 90 180 болса, онда
5
cos өрнегінің мəнін табыңыз.
Шешімі:
cos 1 sin2 1 3 2 16 4
5 25 5
90 180 болғандықтан бұрышы II
ширекке тиісті,ал II ширекте косинустың
таңбасы теріс.Демек,
cos 4
5
27
Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер
tg sin Егер cos 0, 6 жəне 180 270 болса,
cos онда sin , tg жəне ctg өрнектерінің
cos мəндерін табыңыз.
sin
ctg
tg ctg 1
Мысал 2
Егер cos 5 жəне 0 болса, онда
13 2
tg өрнегінің мəнін табыңыз.
Шешімі: Өрнекті ықшамдаңыз:
Бірінші синусты табайық,
a) 1 cos2
sin2
5 2 144 12
sin 1 cos2 1 13 169 13
бұрышы I ширекте жатыр, ал I ширекте b) sin2 1
синус таңбасы оң.Демек,
sin 12 енді тангенсті есептейік, c) 1 cos 1 cos
13
12
tg sin 13 12 d) 1 sin2 cos2
cos 5 5
13
Егер sin 1 жəне болса, онда Өрнекті ықшамдаңыз:
2 2 a) 1 sin cosctg
ctg өрнегінің мəнін табыңыз.
Мысал №8 b) tgctg sin2
c) cos2 1
sin2 1
d) 11
cos2 ctg 2
28
1 ctg 2 1 Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер
sin 2
Өрнекті ықшамдаңыз:
(sin cos )2 (sin cos )2 9
1 tg 2 1
cos2
Өрнекті ықшамдаңыз:
a) sin2 cos2 tg 2
b) cos2 ctg 2 sin2 Өрнекті ықшамдаңыз: cos2 1 ctg
sin 2 1
c) sin2 (1 ctg 2 ) 1
d) tg 1
ctg
Өрнекті ықшамдаңыз: cos x cos x
1 sin x 1 sin x
Өрнекті ықшамдаңыз: cos 4 tg4 sin 4
Егер tg ctg 8 болса, онда tg 2 ctg 2
өрнегінің мəнін табыңыз.
Өрнекті ықшамдаңыз: 1 cos2 ctg 2 sin2
29
Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер
№1 Білімді нығайту №2 Білімді нығайту
1. Өрнекті ықшамдаңыз:
cos4 (1 tg 2 ) sin2
1. Ықшамдаңыз: 1 sin x1 sin x
cos x
2. Өрнекті ықшамдаңыз: cos x tgx
1 sin x
2. Егер sin 3 жəне 3 болса,
5 2
онда sin 2 өрнегінің мəнін табыңыз.
3. Егер tg ctg 2 болса, онда
tg 2 ctg 2 өрнегінің мəнін табыңыз.
3. Ықшамдаңыз: cos2 x sin x
1 sin x
4. Егер sin 2 x 15 жəне x болса, онда
17 4 2
4. Есептеңіз: sin2 75 cos2 75 cos 2x өрнегінің мəнін табыңыз.
30
Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер
№3 Білімді нығайту ТЕСТ № 1
1. Егер sin x cos x 2 болса, онда
1. Егер sinx 8 жəне x болса, онда
sin x cos x өрнегінің мəнін табыңыз. 17 2
2. Өрнекті ықшамдаңыз: cos x өрнегінің мəнін табыңыз.
tg 2 sin2 tg 2 sin2
A) 15
17
B) 8
15
C) 15
17
D) 15
8
E) 8
17
3. Өрнекті ықшамдаңыз: 2. Егер cosx 5 жəне x 3 болса,
ctg 2 sin2 ctg 2 cos2 13 2
онда sin x өрнегінің мəнін табыңыз.
A) 12
13
4. Өрнекті ықшамдаңыз: sin 1 sin B) 5
1 cos cos 12
C) 12
13
D) 5
12
5. Өрнекті ықшамдаңыз: cos cos E) 13
1 sin 1 sin 5
3. Өрнекті ықшамдаңыз: tgctg sin2
A) sin
B) tg
C) 1
sin2
6. Егер tg ctg 5 болса, онда
D) cos2
1 1
tg 2 sin cos ctg 2 өрнегінің мəнін E) 1
cos2
табыңыз.
31
Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер
4. Өрнекті ықшамдаңыз cos2 1 8. Өрнекті ықшамдаңыз: 1 1 ctg 2
cos2 cos2
A) 1 A) 1
B) tg 2 B) sin2
C) 1 C) ctg
D) tg
D) 1
E) ctg2 E) cos
5. Өрнекті ықшамдаңыз cos2 tgctg 9. Өрнекті ықшамдаңыз:
A) sin2 tgctg tg cos 2
B) cos 2
C) sin A) sin2
D) sin2 B) cos2
E) 0 C) -sin2
D) cos2
E) 1
6. Егер cos 12 жəне 3 2 болса, 10. Егер ctg 12 жəне болса,
13 2 5 2
онда tg өрнегінің мəнін табыңыз. онда cos өрнегінің мəнін табыңыз.
A) 5 A) 5
12 12
B) 12 B) 12
13 13
C) 13 C) 13
5 5
D) 12 D) 12
5 5
E) 5 E) 5
12 12
7. Егер sin 15 жəне болса, онда 11. Егер tg 8 жəне 3 болса, онда
17 2 15 2
cos өрнегінің мəнін табыңыз. ctg өрнегінің мəнін табыңыз.
A) 8 A) 8
17 17
B) 15 B) 15
8 8
C) 8 C) 15
15 17
D) 15 D) 15
17 8
E) 8 E) 8
17 17
32
Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер
12. Егер sin x 3 жəне x болса, онда 15. Егер sin x 0, 2 жəне x болса, онда
5 2 2
cos x өрнегінің мəнін табыңыз. tgx өрнегінің мəнін табыңыз.
A) 4 A) 6
5 12
B) 3 B) 6
5 6
C) 3 C) 6
4 3
D) 3 D) 6
4 6
E) 4 E) 6
5 18
13. Егер cos 2 жəне 3 болса, 1
3 2 3
16. Егер cos болса, онда 1 3sin2
онда tg өрнегінің мəнін табыңыз.
A) 5 өрнегінің мəнін табыңыз.
2
A) 2 2
3
B) 25
5 B) 2
9
C) 2 55
D) 2 C) 1
3
5
D) 4
9
5
E) 2 E) 3 2
3
14. Өрнекті ықшамдаңыз 17. Өрнекті ықшамдаңыз:
(cos2 1 1 2 ) : tg sin4 (1 ctg 2 ) sin2
ctg
A) sin
A) sin x B) 0
C) 1
B) ctg D) sin
E) -1
C) sin x
D) cos x
E) ctg
33
Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер 22. Егер sin x cos x 2 болса, онда
18. Егер tg ctg 5 болса, онда tg 2 ctg 2 sin x cos x өрнегінің мəнін табыңыз.
өрнегінің мəнін табыңыз.
A) 7 A) –0,5
B) 27 B) –0,4
C) 23 C) 0,5
D) 29 D) 0,75
E) 3 E) 1
19. Өрнекті ықшамдаңыз: cos 4 tg4 sin 4 23. Ықшамдаңыз: cos2 x sin x
1 sin x
A) cos 4
B) 0 A) –1
C) sin 4
D) sin 4 B) sin x
E) cos 4
C) cos x
D) sin x
E) 1
20. Өрнекті ықшамдаңыз: 24. Өрнекті ықшамдаңыз 1 sin cos
cos 1 sin
1 cos2 ctg 2 sin2
A) -1
A) -2
B) 1 B) 0
C) 2
D) 0 C) cos
E) -1
D) 1
cos
E) 1
21. Өрнекті ықшамдаңыз: 25. Өрнекті ықшамдаңыз: cos2 1 ctg
sin2 1
(sin cos )2 (sin cos )2 7
A) sin
A) -9
B) 7 B) tg
C) 9
D) 1 C) cos
E) -7
D) ctg
E) 1
34
КЕЛТІРУ ФОРМУЛАЛАРЫ 5
КЕЛТІРУ ФОРМУЛАЛАРЫ sin y cos y sin y cos y
2 2
Келтіру формулалары – кез келген бұрыштың
тригонометриялық мəнін сүйір бұрыштың cos y sin y cos y sin y
тригонометриялық мəні арқылы өрнектейтін 2 2
формулалар
tg y ctg y tg y ctg y
Келтіру ережесі: 2 2
1. Бастапқы функцияның берілген ширектегі ctg y tg y ctg y tg y
таңбасын анықтау керек. 2 2
2. Функцияның аты өзгеріп өзгермейтінін sin 3 y cos y sin 3 y cos y
анықтау керек. 2 2
cos 3 y sin y cos 3 y sin y
2 2
tg 3 y ctg y tg 3 y ctg y
2 2
ctg 3 y tg y ctg 3 y tg y
2 2
Мысал 1
Төмендегі өрнектерді сүйір бұрышына
келтіріңіз:
a) cos100
b) ctg200
c) sin 300
немесе 90 , Шешімі:
2
a) cos100 cos 90 10 sin10
3 немесе 270 ,
2 косинус 100 -тық бұрышта II ширекте
5 немесе 450 … теріс болғандықтан жауабымыздағы sin10
2 функциясының алдына минус таңбасы
қойылады.
бұрыштары үшін бастапқы тригонометриялық
b) ctg 200 ctg 270 70 tg 70
функцияның аты өзгереді
котангенс 200 -тық бұрышта
III ширекте оң болғандықтан
жауабымызда оң болады.
c) sin 300 sin 270 30 cos 30
35
Келтіру формулалары
Төмендегі өрнектерді сүйір бұрышына Өрнектің мəнін табыңыз: cos330
келтіріңіз:
a) cos130 Өрнекті ықшамдаңыз:
b) tg165 a) cos
2
c) sin 215
b) sin 3
d) cos 250 2
e) ctg305 c) ctg
2
f) sin 330
g) tg350
d) tg 3
2
Мысал 2
Өрнектің мəнін табыңыз: cos150
Шешімі: немесе 180 ,
2 немесе 360 ,
cos150 cos90 60 sin 60 3 3 немесе 540 …
2
бұрыштары үшін бастапқы тригонометриялық
функцияның аты өзгермейді
Өрнектің мəнін табыңыз: sin 210 sin y sin y sin y sin y
cos y cos y cos y cos y
tg y tg y tg y tg y
ctg y ctg y ctg y ctg y
Өрнектің мəнін табыңыз: tg225 sin 2 y sin y sin 2 y sin y
cos2 y cos y cos2 y cos y
tg 2 y tg y tg 2 y tg y
ctg 2 y ctg y ctg 2 y ctg y
36
Келтіру формулалары
Мысал 3 Мысал 4
Төмендегі өрнектерді сүйір бұрышына Өрнектің мəнін табыңыз: tg240
келтіріңіз:
a) cos110 Шешімі:
b) ctg230
tg240 tg 180 60 tg60 3
c) sin 340
Шешімі: Өрнектің мəнін табыңыз:
a) tg120
a) cos110 cos 180 70 cos 70
b) cos 210
косинус 110 -тық бұрышта II ширекте c) ctg315
теріс болғандықтан жауабымыздағы cos70 d) sin 225
функциясының алдына минус таңбасы e) cos300
қойылады. f) ctg420
b) ctg 230 ctg 180 50 ctg50
котангенс 230 -тық бұрышта
III ширекте оң болғандықтан
жауабымызда оң болады.
c) sin 340 sin 360 20 sin 20
Төмендегі өрнектерді сүйір бұрышына Өрнекті ықшамдаңыз:
келтіріңіз:
a) tg135 a) cos
b) sin170 b) sin
c) sin 220 c) ctg 2
d) cos 250 d) tg 2
e) cos300 Мысал 5
f) tg320 Өрнекті ықшамдаңыз:
g) sin 400 sin cos tg ctg 3
2 2
Шешімі:
sin cos tg ctg 3
2 2
cos cos tg tg 0
37
Келтіру формулалары
Өрнекті ықшамдаңыз: Мысал 6
a) cos sin Өрнекті ықшамдаңыз:
2
a) sin 90
b) ctg
c) cos
2 2
b) tg ctg
Шешімі:
a) sin 90 sin 90 cos
c) sin 2 cos 3 b) ctg ctg ctg ctg
2
c) cos cos sin
2 2
Өрнекті ықшамдаңыз: Өрнекті ықшамдаңыз:
cos90 cos180 a) tg 90
sin 90 sin 180
b) sin
Өрнекті ықшамдаңыз: c) cos 270
d) sin 2 90
cos sin sin 2 cos 3 e) ctg 2 360
2 2
f) ctg(2 )
g) cos( )
38
Келтіру формулалары
Мысал 7 Өрнекті ықшамдаңыз:
Өрнектің мəнін табыңыз: tg90 cos270
cos sin tg 3 ctg 2 sin( )
2 2
Шешімі:
Мысал 8
Өрнектің мəнін табыңыз: cos150 sin120
sin 210
Шешімі:
cos sin tg 3 ctg 2
2 2
sin sin ctg ctg
2ctg
Өрнекті ықшамдаңыз:
cos 3π cos π sin
2 2
cos150 sin120 cos30 sin 60
sin 210 sin 30
3 3 3 3
2 2 4 2
1 1 1, 5
2 2
Өрнекті ықшамдаңыз:
cos 90 sin 270 cos 360
Өрнектің мəнін табыңыз:
sin150 cos 210 tg135
ctg225 cos120 sin(60)
39
Келтіру формулалары
№1 Білімді нығайту №3 Білімді нығайту
1. Өрнекті ықшамдаңыз: 1. Өрнектің мəнін табыңыз:
sin 225 cos(120) сtg80
tg170 cos135 sin 330
cos π sin 2π
2
2. Өрнекті ықшамдаңыз:
cos 90 sin 270 cos360
3. Өрнекті ықшамдаңыз: ctg 90 2. Өрнектің мəнін табыңыз:
tg 180 sin130 cos315 tg(30)
ctg(60) cos140 sin 210
4. Өрнекті ықшамдаңыз: 1 cos2 90
sin 90
№2 Білімді нығайту
1. Өрнекті ықшамдаңыз:
cos2 π cos2 3π 3. Өрнектің мəнін табыңыз:
2 sin 240 cos 250 tg330
ctg225 cos 210 cos 290
2. Өрнектің мəнін табыңыз:
cos 270 sin 180 cos 90
3. Өрнектің мəнін табыңыз:
tg 3π ctg sin
2
40
Келтіру формулалары
ТЕСТ № 1 5. Өрнекті ықшамдаңыз: sin
2
1. Өрнекті ықшамдаңыз: cos(180 )
A) sin 2 A) cos
B) cos
C) sin B) 1
D) cos
E) sin C) cos
D) sin
E) sin
2. Өрнектің мəнін табыңыз: sin 210 6. Есептеңіз: sin840
A) 3 A) 3
2 2
B) 1 B) 1
2 2
C) 1 C) 1
D) 3 D) 1
2 2
E) 1 E) 3
2 2
3. Өрнекті ықшамдаңыз: tg 3 7. Өрнекті ықшамдаңыз:
2
ctg cos sin 3
A) 0 2 2
B) ctg A) sin
C) tg B) 2sin
D) tg C) 0
D) 1
E) ctg
E) sin2
4. Өрнектің мəнін табыңыз: ctg 3 8. Егер cos 0,3 болса, онда cos( )
4
өрнегінің мəнін табыңыз.
A) 3 A) -1
B) 0,3
B) -1
C) 0 C) 0, 2
D) 1
D) 1
E) 3 E) 0,3
41
Келтіру формулалары
9. Өрнекті ықшамдаңыз: 13. Өрнекті ықшамдаңыз:
tg ctg 3 ctg tg 3 sin 2
2 2 2
A) tg A) sin2 1
B) 0 B) cos2
C) 2ctg C) -1
D) ctg D) cos2
E) 2tg E) 1
10. Өрнекті ықшамдаңыз: 14. Есептеңіз: cos330
A) 1
tg 3 sin cos
2 3
B) 2
A) cos-60
C) -1
B) sin -45
D) 3
C) ctg300 2
D) tg -30 E) 1
2
E) cos 240
11. Өрнекті ықшамдаңыз: tg 2 90 15. Өрнекті ықшамдаңыз:
A) tg 2 sin 90 cos 360
B) ctg2
C) tg A) 2cos
D) ctg 2 B) 2cos
E) tg2 C) 2sin
D) 2sin 2
E) 2sin
16. Есептеңіз: cos( 600 )
12. Өрнекті ықшамдаңыз: A) 3
2
1 sin sin 3 ctg
2 2 1
B) 2
A) -1
B) cos2 C) 1
C) 1 D) 3
2
D) cos2
E) 0 E) 1
2
42
Келтіру формулалары
17. Өрнекті ықшамдаңыз: 20. Өрнекті ықшамдаңыз:
tg 90 cos270 cos2 π cos2 3π
2
sin( )
A) 2cos2
A) tg
B) 1
B) ctg
C) sin C) 2sin2
D) cos
E) tg D) -1
E) 2cos2
18. Есептеңіз: ctg240 . 21. Өрнектің мəнін табыңыз:
sin150 cos 210 tg135
A) -1
ctg225 cos120 sin(60)
B) 3
3 A) 3
B) 1
C) 3 C) 0
D) -1
D) 1
E) 3
E) 3
3
19. Өрнектің мəнін табыңыз: cos150 sin120 22. Өрнектің мəнін табыңыз:
sin 210 sin 225 cos(120) сtg80
A) 3 tg170 cos135 sin 330
4
2
B) 1 1 A) 2
2
B) 1
C) 3
C) 0
D) 1
1 2 D) -1
E) 3 E) 2
4 2
43
Келтіру формулалары
23. Өрнектің мəнін табыңыз: 27. Өрнекті ықшамдаңыз:
cos sin tg 3 ctg 2 ctg 3 tg
2 2 2
A) 2sin 1 tg2 2
B) 2ctg
A) sin2
C) 0 B) cos2
D) 2ctg C) sin2
D) 2sin2
E) 2sin E) cos2
24. Өрнектің мəнін табыңыз: 28. Есептеңіз: ctg(1350 ) .
ctg 2ctg 4ctg6...ctg88 A) 3
B) 0
A) 3
B) 1 C) 3
C) 1 2
3 D) 1
D) 0
E) -1 E) 3
25. Өрнекті ықшамдаңыз: 29. Есептеңіз: sin 11
6
cos 270 sin 180 cos 90
A) 3
A) cos 2
B) sin
C) 0 B) 1
D) cos 2
E) sin
C) 1
26. Өрнекті ықшамдаңыз: sin( 90 ) D) 0
A) -sin E) 3
B) cos 2
C) 1
D) sin
E) -cos
44
ҚОСУ ФОРМУЛАЛАРЫ 6
ҚОСУ ФОРМУЛАЛАРЫ Өрнектің мəнін табыңыз:
sin 47 cos13 sin13 cos 47
Екі бұрыштың қосындысы мен айырымының
тригонометриялық функцияларын сол бұрыш- Өрнектің мəнін табыңыз:
тардың тригонометриялық функциялары арқы- sin 26 cos 34 sin 34 cos 26
лы өрнектейтін формулаларды қосу формула-
лары деп атайды
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
Мысал 1
Есептеңіз: sin105 Мысал 3
Шешімі: Өрнектің мəнін табыңыз:
sin105 sin(60 45) sin 60cos 45 sin 45cos 60 sin114 cos 24 sin 24 cos114
3 2 21 6 2 Шешімі:
2 2 2 2 4 sin114 cos 24 sin 24 cos114
sin(114 24) sin 90 1
Есептеңіз: sin 75 Өрнектің мəнін табыңыз:
sin 70 cos 25 sin 25 cos 70
Есептеңіз: sin15
Мысал 2 Өрнектің мəнін табыңыз:
cos 36 sin 6 cos 6 sin 36
Өрнектің мəнін табыңыз:
sin12 cos18 sin18 cos12 45
Шешімі:
sin12 cos18 sin18 cos12
sin(12 18) sin 30 1
2
Қосу формулалары
Мысал 4 Есептеңіз: cos 75
Өрнектің мəнін табыңыз:
sin 9 cos 2 cos 9 sin 2
7 7 7 7
Шешімі:
sin 9 cos 2 cos 9 sin 2
7 7 7 7
Есептеңіз: cos105
sin(9 2
7 7 ) sin 0
Өрнектің мəнін табыңыз:
sin 4 cos cos 4 sin Мысал 6
15 15 15 15
Өрнектің мəнін табыңыз:
cos 78 cos18 sin 78 sin18
Шешімі:
cos 78 cos18 sin 78 sin18
Өрнектің мəнін табыңыз: cos(78 18) cos 60 1
2
sin cos cos sin
12 4 12 4
Өрнектің мəнін табыңыз:
cos107 cos17 sin107 sin17
cos( ) cos cos sin sin Өрнектің мəнін табыңыз:
cos( ) cos cos sin sin sin 42 sin12 cos 42 cos12
Мысал 5
Есептеңіз: cos15
Шешімі: Мысал 7
cos15 cos(60 45) cos60cos 45 sin 60sin 45 Өрнектің мəнін табыңыз:
cos 63 cos 27 sin 63 sin 27
1 2 3 2 2 6 Шешімі:
2 2 2 2 4 cos 63 cos 27 sin 63 sin 27
cos(63 27) cos90 0
46
Қосу формулалары
Өрнектің мəнін табыңыз: Мысал 8
cos17 cos13 sin17 sin13
Есептеңіз: tg75
Шешімі:
tg 75 tg (45 30) tg45 tg30
1 tg45 tg30
Өрнектің мəнін табыңыз: 1 3
cos 40 cos110 sin 40 sin110 11 3
3
3
3 3
3 3
Өрнектің мəнін табыңыз: Есептеңіз: tg15
cos 5 cos 3 sin 5 sin 3
8 8 8 8
Мысал 9
Өрнектің мəнін табыңыз: Өрнектің мəнін табыңыз: tg27 tg3
1 tg27 tg3
cos cos sin sin Шешімі:
12 4 12 4
tg27 tg3 tg (27 3) tg30 3
1 tg27 tg3 3
tg tg Есептеңіз: tg9 tg51
1 tg tg 1 tg9tg51
tg( )
tg ( ) tg tg
1 tg tg
Есептеңіз: tg86 tg56
1 tg86 tg56
47
Қосу формулалары
Мысал 10 Мысал 11
Егер tg 1 жəне tg 1 болса, онда 12 4
3 6 13 5 2
Егер sin , cos жəне , ;
tg( ) өрнегінің мəнін табыңыз.
Шешімі: болса, онда cos( ) өрнегінің мəнін табыңыз.
1 1 1 Шешімі:
3 6
tg tg 19 1 18 3 cos( ) cos cos sin sin
1 tg tg 18 6 19 19
tg ( ) 6
1 1
1 3 6
Егер tg 1 жəне tg 1 болса,онда
2 3
tg -ның мəнін табыңыз
Егер tg 3 жəне tg 6 болса, онда Демек, cos( ) cos cos sin sin
tg( ) өрнегінің мəнін табыңыз.
5 4 12 3
Егер tg 4 жəне tg( ) 2 болса, онда 13 5 13 5
tg өрнегінің мəнін табыңыз.
20 36
65 65
16
65
48
Қосу формулалары
Егер sin 3 , cos 5 жəне, 0;
5 13 2
№1 Білімді нығайту
болса, онда sin( ) өрнегінің мəнін табыңыз
Өрнектің мəнін табыңыз:
1. sin 20cos10 cos 20sin10
2. cos 50cos 5 sin 50sin 5
3. sin 71cos11 cos 71sin11
4. cos 25cos 65 sin 25sin 65
Есептеңіз:
5. cos 8 cos sin 8 sin
15 5 15 5
Егер sin x 3 , 0 x жəне 6. cos cos 2 sin sin 2
5 2 10 5 10 5
3 3
cos y 5 , y 2 болса,онда sin x y
өрнегінің мəнін табыңыз. cos 12
6 6 12
7. sin cos sin
8. sin cos 4 cos sin 4
9 9 9 9
Өрнектің мəнін табыңыз:
1. tg20 tg25
1 tg20tg25
2. tg70 tg10
1 tg70tg10
49
Қосу формулалары
tg 7 tg Өрнекті ықшымдаңыз:
24 8
3. 7 5. sin sin
24 sin sin
1 tg tg 8
tg tg 6. sin sin
20 5 cos cos
4.
1 tg 20 tg 5
№2 Білімді нығайту №3 Білімді нығайту
Өрнекті түрлендіріңіз:
1. tg 45 tg 45
Өрнекті ықшымдаңыз:
1. 2 sin 3 sin
6
2. 1 tg tg 45
1 tg
1
2. 2 cos cos 3
3. 2 sin 2 sin Егер tg 1 жəне tg 3 болса,онда келесі
4 3 5
өрнектердің мəндерін табыңыз:
1. tg
4. cos 3 cos
6 2
Өрнекті ықшымдаңыз: 2. tg
1. cos 2 cos3 sin 2 sin 3
2. sin cos 2 cos sin 2
3. ctg
3. cos 13 cos 2 sin 1 sin 2
3 3 3
4. ctg
4. sin 1 x cos 3 x cos 1 x sin 3 x
2 2 2 2
50
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
EDUCON 9-СЫНЫП АЛГЕБРА 3-КІТАП KZ
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search