EDUCON 9-СЫНЫП АЛГЕБРА 3-КІТАП KZ

Қосу формулалары

ТЕСТ № 1

1. Есептеңіз: sin 20 cos 40  cos 20 sin 40 5. Есептеңіз: cos 70 cos10  sin 70 sin10
sin 50 cos10  cos 50 sin10
A) 1
2 A) 3

B) 0 B) 1
2
C) 3
2 3
C) 3
D) 1
 2

E) 1 D)  3

E)  3
3

2. Есептеңіз: cos12 cos18  sin12 sin18  6. Есептеңіз: cos 27 cos3  sin 27 sin 3 3
A) 0
A) 1
B) 1 B) 1,5

C) 1 C) 3
2 4

D) 3 D) 3
2
E) 0,5
E) 1

3. Есептеңіз: 2 2 cos15 7. Есептеңіз: sin      sin    

A) 6  3 A) 2cos sin 

B) 3  1 B) 0
C) 2 C) 2sin cos 
D) 4
E) 3 1 D) sin 2
E) 2sin cos 

4. Есептеңіз: sin 5 cos 2  cos5 sin 2 8. Өрнектіы қшамдаңдар:
cos 3
 2cos   30  3 cos  sin
A) ctg
A) 3 cos
B) tg3 B) sin
C) 0
C) tg
D) 3 sin
D) ctg3 E) sin 2

E) ctg2

51

Қосу формулалары

9. Есептеңіз: sin165 12. Есептеңіз: sin 2 cos   cos 2 sin 
15 5 15 5
A) 2
2 3
A)  3
6 2
B) 2 B) 1
2
C) 6 2
4 C) 3
2
D) 6 2
2 D)  1
2
6 2
E) 4 E) 3
3

10. Есептеңіз: sin      1 sin  13. Егер sin t  3 , 0 t   болса, онда
 3  2 5 2

A)  3 cos sin    t  -ты есептңіз:
2  3 

3 A) 2 32
2 5
B) sin

C) 3 cos B) 4 33
2 10

D)  3 sin C) 2 32
2 5

E) 0,5 cos D) 1

E) 4 33
10

11. Есептеңіз: cos      cos    sin  14. Өрнекті ықшамдаңыз:
 2
sin   60  sin   60
A) sin 2
B) 2sin cos  A) 2 cos
B) sin
C) 2cos cos  C) 1
D) cos
D) cos 2 E) 2sin

E) 2cos cos 

52

Қосу формулалары

15. Егер cos  3 (0    90 ) болса,онда 19. Егер cos  2 (0    90 ) болса,онда
5 2

sin(  30 ) -ты есептеңіз. sin(  60 ) -ты есептеңіз.

A) 3 3 A) 6 2
10 4

B) 4 3 B) 3 2
10 4

C) 2 3 C) 6 2
10 4

D) 4 3 D) 6 2
10 2

E) 2 3 E) 3 2
10 2

16. Өрнекті ықшамдаңдар: 20. Өрнектіықшамдаңдар:
cos1050 cos 50  sin1050 cos850 sin 750 cos 50  cos 750 cos850
sin 950 cos 50  sin 950 sin1850 cos 3750 cos 50  sin150 sin 3650

A) tg1100 A) tg 200
B) tg1000
C) 1 B) ctg 200
D) ctg1000 C) 1
E) ctg1100 D) ctg 200

E) tg 200

17. Егер sin  0,9 жəне sin  0,6 21. Егер sin  15 жəне cos  3 ,  жəне 
17 5
(0    90 ) болса,онда
 ширекке тиісті болса,онда sin(   ) -ны
cos(   )  cos    -ны есептеңіз
есептеңіз
A) 1,8
B) 1,08 A) 13
C) 0,108 85
D) 1,8
E) 1,08 B) 85
77

C) 77
85

18. Өрнекті ықшамдаңдар: D)  13
85
2cos      cos  sin
 4  E) 6 7
13
A) 1

B) 2 cos

C) 0

D) sin

E) cos

53

Қосу формулалары 5. Есептеңіз: tg1050

ТЕСТ № 2 A) 2  3
B) 3  2
1. Есептеңіз: tg150 C) 2  3
A) 2  3 D) 1
B) 1 E) 2  3
C) 2  3
D) 3  2
E) 2  3

tg 270  tg180 6. Есептеңіз: tg90  tg510
1  tg 270 tg180 1  tg90 tg510
2. Есептеңіз:
A) 0

A) 0 B) 3
B) 1
C) 1
C) 3 D) 1

D) 1 3
3
E)  3
E) -1

3. Есептеңіз: tg750 7. Есептеңіз: tg 
12
A) 3  2
B) 2  3 A) 1
C) 2  3 B) 3  2
D) 2  3
E) -1 C) 2  3

D) 2  3

E) 3  2

4. Егер tg  2 болса, онда tg      -ны 8. Егер tg  4 болса, онда tg      -ны
3  4  5  3 

есептеңіз: есептеңіз:

A) 0, 4 A) 3  5
B) 1
B) 1

C) 0, 2 C) 5 3  4

D) 0 D) 3  3

E) 1

E) 3 3  1

54

Қосу формулалары

9. Егер tg  1 , tg   1 болса, онда 12. Егер tg  2 жəне tg  8 болса, онда
2 3
tg(   ) өрнегінің мəнін табыңыз.

tg     -ны есептеңіз: A) 2
3
A) 0

B) 5 B) 1
6 3

C) 1 C)  2
3
D) 6
5 3
D) 2
1
E) 6 5
3
E) 

10. Өрнекті ықшамдаңыз: tg2, 22  tg0,92  tg 450    tg
1 tg2, 22tg0,92
13. Өрнекті ықшамдаңыз:
A) 1
 1 tg 450   tg
B) 3
A) 3
C) 0 B) 1
C) 0
D) 1 D) -1
E) 1 E) 1

3 3

11. Егер tg  2 , tg       3 болса, 14. Өрнекті ықшамдаңыз:
5  2 
     
онда tg     -ны есептеңіз tg  8     tg  8  

A) 14 1 tg      tg     
15  8  8 

B) 15 A) 3
14
B) 1
C) 11 C) 0
13
D) 1
D) -1 3

E) 13 E) -1
11

55

Қосу формулалары

15. Егер tg     3 болса, онда tg -ны 19. Өрнектіықшамдаңдар:
4 
2cos      cos  sin
есептеңіз:  4 

A) 1 A) 2sin

B) -2 B) 2 cos

C)  3 C) 0

D) -1 D) 2sin
E) 2
E) 2 cos

16. tg  3 жəне tg      1 болса, онда tg 20. Есептеңіз: tg112  tg52
1 tg112  tg52
-ны табыңыз:
A) -1 A)  3
3
B)  1
2
B) 3
C) 2
3 C) 1

D) 1 D) 3
3
E) 1
2 E)  3

17. Егер tg(   )  3 жəне tg  2 болса, онда 21. sin  1123 ,     3 болса, онда
2
tg өрнегінің мəнін табыңыз.
tg     -і есептеңіз:
A) –2 4 
B) 1
C) –3 A)  13
D) 2 17
E) –1
B) 1

18. Есептеңіз: ctg62  ctg 2 C)  17
1 ctg62  ctg2 7

A) 3 D) 13
B) 1 17

3 E)  7
17

C)  3
D) 1
E)  1

3

56

  7 

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ҚОС БҰРЫШ
ФОРМУЛАЛАРЫ 

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ Мысал 2
ҚОС БҰРЫШ ФОРМУЛАЛАРЫ
1
Егер sin   3 жəне 0    90 болса, онда

Қос бұрыш формулаларын қосу формуласы sin 2 өрнегінің мəнін табыңыз.
арқылы оңай қорытып шығаруға болады
Шешімі:
sin      sin cos   sin  cos
Синустың қос бұрыш формуласын қолданамыз.
осы формулада  орнына  жазсақ, sin 2  2sin cos теңдігінің оң жағындағы

sin      sin cos  sin cos  2sin cos cos -ның мəні белгісіз.Онда cos2   1 sin2 
тепе-теңдігі мен  -ның бірінші ширекке тиісті
Сонда екенін ескеріп, cos -ның мəнін есептейміз:
sin 2  2sin cos
cos  1  sin2   1   1 2  1 1 
 3  9

Мысал 1   8  8  22 Ал енді sin 2 -ның мəнін
9 3 3

Ықшамдаңыз: sin 2 таба аламыз,
2 sin 
sin 2  2 sin  cos  2 1  2 2  42 немесе
3 3 9
Шешімі:

sin 2  2sin cos  cos sin 2  42
2 sin  2 sin  9

Ықшамдаңыз: sin 2 Егер cos   4 жəне 180    270 болса,
1  sin2  5

онда sin 2 өрнегінің мəнін табыңыз.

Ықшамдаңыз: sin  cos 2  sin 2 cos     cos cos   sin sin 

Ықшамдаңыз: sin 80 осы формулада  орнына  жазсақ,
2 cos 40
cos    cos cos  sin sin  cos2   sin2 
 
Сонда
cos 2  cos2   sin2 
осы формуланы түрлендіріп тағы қосымша екі
формула жазуға болады
cos 2  2cos2  1

cos 2  1  2sin2 

57

  Тригонометриялық функциялардың қос бұрыш формулалары 

Мысал 3

Өрнекті ықшамдаңыз: cos 2 Егер cos  0,8 жəне     3 болса, онда
cos  sin 2

cos 2 өрнегінің мəнін табыңыз.

Шешімі:

cos 2  cos2   sin2  
cos  sin cos  sin

 cos  sin  cos  sin   cos  sin  Мысал 5
cos
 sin Өрнекті ықшамдаңыз: 2sin 20cos 20

Өрнекті ықшамдаңыз: cos2   cos 2 Шешімі:
2sin cos  sin 2
2sin 20cos 20  sin 2  20  sin 40

Өрнектің ықшамдаңыз: 2sin 25cos 25

Өрнекті ықшамдаңыз: 1  2sin2 
2sin cos

Өрнектің мəнін табыңыз: 2sin15cos15

Өрнекті ықшамдаңыз: cos 40
sin 20  cos 20

Өрнектің мəнін табыңыз: 2 sin  cos 
12 12

Мысал 4

Егер sin   1 жəне 0    90 болса, онда
4
Мысал 6
cos 2 өрнегінің мəнін табыңыз.

Шешімі: Өрнекті ықшамдаңыз: cos2 10  sin2 10

sin - ның мəнін білгендіктен Шешімі:
cos 2  1 2sin2  формуласын қолдансақ
жеткілікті, cos2   sin2   cos 2
сонда cos2 10  sin2 10  cos 2 10  cos 20

cos 2 1 2 sin 2  1 2  1 2 1 2  1 1 1  7
4  16 8 8

  58

  Тригонометриялық функциялардың қос бұрыш формулалары 

Өрнектің ықшамдаңыз: cos2 40  sin2 40 Егер tg  1 жəне     3 болса, онда
5 2

tg 2 өрнегінің мəнін табыңыз.

Өрнектің мəнін табыңыз: cos2 22,5  sin2 22,5

Өрнектің мəнін табыңыз: cos2   sin2 
8 8

Мысал 8

Өрнектің мəнін табыңыз: 2tg 75
1  tg 2 75

Шешімі:

tg      tg  tg 2tg  tg2
1 tgtg 1  tg 2

осы формулада  орнына  жазсақ, 2tg 75
1  tg 2 75
tg    tg  tg  2tg  tg2  75  tg150
1 tg  tg  tg 2
1

Сонда tg150  tg 180  30  tg30   3
3
tg 2  2tg
1  tg 2

ctg 2  1  tg 2
2tg

Мысал 7

Егер tg  3 жəне 0     болса, онда
4 2

tg 2 өрнегінің мəнін табыңыз.

Шешімі:

2tg 2 3 3 24
 tg 2 4 2 7
tg 2  1  3 2  7 
4  16
1  


59

  Тригонометриялық функциялардың қос бұрыш формулалары 

№1 Білімді нығайту 4. Өрнекті ықшамдаңыз: 1  1 1
1 tg tg
1. Өрнектің мəнін табыңыз:
2sin 22,5cos 22,5

2. Өрнекті ықшамдаңыз: 2cos2  1

№3 Білімді нығайту

3. Өрнектің мəнін табыңыз: cos2   sin 2  1. Өрнекті ықшамдаңыз: 1  sin 2  cos 
12 12 sin   cos 

4. Өрнектің мəнін табыңыз: 2tg15 2. Өрнекті ықшамдаңыз: 1  8sin 2  cos2 
1  tg 215 cos 2 2  sin 2 2

5. Есептеңіз: 8 cos15  sin 15

3. Егер cos 2   5 болса, онда cos 2
6
№2 Білімді нығайту
өрнегінің мəнін табыңыз.

1. Егер sin   5 жəне     3 болса,
13 2

онда cos 2 өрнегінің мəнін табыңыз.

4. Егер sin   12 жəне     3 болса,
2 13 2

2. Егер cos  0,8 жəне 270    360 онда sin  өрнегінің мəнін табыңыз.

болса, онда sin 2 өрнегінің мəнін
табыңыз.

3. Егер sin   4 жəне 90    180 болса, 5. Өрнекті ықшамдаңыз:
5
32 cos 18  cos 36  cos 72  cos 144 

онда tg 2 өрнегінің мəнін табыңыз.

  60

  Тригонометриялық функциялардың қос бұрыш формулалары 

6. Егер sin   3 болса, онда cos өрнегінің ТЕСТ № 1
2 5
1. Өрнекті ықшамдаңыз: sin2
мəнін табыңыз. cos

A)  2sin

B) 1  cos

C) 2 sin

D) 1  cos

E)  2 cos

7. Өрнекті ықшамдаңыз: 2. Өрнекті ықшамдаңыз: sin20
2cos10
16 cos 10  cos 20  cos 40 

8. Егер tgx  2 болса, онда ctg2x өрнегінің A)  sin 10
мəнін табыңыз. B) cos10
C) sin10
D)  cos10
E) cos 20

9. Есептеңіз: sin2 75  cos2 75 3. Өрнекті ықшамдаңыз: cos2   cos 2
A)  cos 2 
B) sin 2 
C) cos2 
D)  sin 2 
E) 0

sin105  cos105 4. Өрнекті ықшамдаңыз: cos 2   sin 2 
sin2 15  cos2 15 2 sin  cos
10. Есептеңіз:
A)  ctg2

B) tg2

C) 1

D)  tg2

E) ctg2

11. Егер sin 2 x  3 жəне   x   болса, онда 2  cos  sin  2
5 4 2 2  8 8 
5. Есептеңіз:  
sin 4 x өрнегінің мəнін табыңыз.

A) 1

B) 0

C) 0

D) 1
2

E) 1
4

61

  Тригонометриялық функциялардың қос бұрыш формулалары 

6. Егер sin   3 (0    90 ) болса,онда 9. Егер tg 3 жəне 90    180
5 4

sin 2 -ны есептеңіз. болса,онда sin2 -ны есептеңіз.

A)  13 A) 24
15 25

24 13
 15
B) 25 B)
13 24
C)  25
C) 15 13
D) 1
D) 15
24 13
E)  25 E) 25

7. Егер cos  4 (270    360 ) 10. Егер tg  2 жəне 0    90 болса,онда
5
cos 2 -ны есептеңіз.
болса,онда sin 2 -ны есептеңіз.
4
A) 13 A) 5
 15
2
13
B) 5
B) 25 3
24 C) 5

C)  25 4
13 D)  5

D) 15 3
24
E) 5
E) 25

8. Егер cos   5 жəне 90    180 11. Егер sin   0,6 жəне 360    540
17 2

болса,онда cos2 -ны есептеңіз. болса,онда cos -ні есептеңіз.

A)  229 A) 8
289 25

219 13

B) 289 B) 15
239 7
289
C)  C) 25
7
129
D) 15
D) 289 8
239

E) 289 E) 15

  62

  Тригонометриялық функциялардың қос бұрыш формулалары 

12. Өрнекті ықшамдаңыз: cos2  sin  16. Өрнекті ықшамдаңыз: cos40
cos  sin  cos 20  sin 20
A)  2 cos
A)  2 cos 65
B) sin
C) B) 2 sin 65
cos C) 2 cos 55
D) 2 cos 65
D)  2sin E)  2 sin 65
E)  sin 

13. Егер tg x  1 болса, онда sin x есептеңіз: 17. Есептеңіз : cos  sin 
2 4 12 12

A)  9 A)  2
17 2

8 1

B) 17 B) 4
6 1

C) 17 C) 8 1
9 4

D) 17 D) 
8
E)  17 3

E) 2

14. Есептеңіз: cos 2   sin 2  18. Есептеңіз : 2 sin15 cos15
8 8

A) 0 A)  1
4
2
3
B) 2
1 B) 2
1
C) 2
2 C) 2

D)  2 2
3 D)  2

E) 2 1
E)  2

15. Есептеңіз: sin 4x 19. Есептеңіз: 8sin10 cos10cos 20 cos 40
cos2x A) sin 20
B) sin 30
A) 2sin x C) sin 40
D) sin 60
B) 2 cos x E) sin 80

C) 2sin 2x

D) sin 2x

E) 2 cos 2x

63

  Тригонометриялық функциялардың қос бұрыш формулалары 

20. Есептеңіз: 2tg15 23. Есептеңіз: tg 75

1  tg 215  1  tg 2 75 

A) 3 A) 1
B) 1 B) 3

C) 3 C) 3
3 6

D)  3 D) 3
3
E)  3
3 3
E)  6

tg  24. Есептеңіз: sin105  cos105
21. Есептеңіз: 8 sin2 15  cos2 15

1  tg 2  3
8 6
A) 
A) 0

B) 1 B) 1
2 6

C) 2 C) 2
4 6

D) 3 D) 3
2 6

E) 2 E) 5
2 6

22. Есептеңіз: sin 15  cos 152 25. Өрнектің мəнін табыңыз:

A) 1 2 cos 20 cos 40 cos 80
4
A) 1

B) 1 1
4 B) 8

3 C) 1
4
C) 2
1 D) 1
16
D) 2
2 1
E) 2
E) 3

  64

  8 

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ЖАРТЫ БҰРЫШТАРЫНЫҢ
ФОРМУЛАЛАРЫ 

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ sin   0, 6 жəне 270    360 екені белгілі.
ЖАРТЫ БҰРЫШТАРЫНЫҢ ФОРМУЛАЛАРЫ

sin  жəне cos  -ні табайық.
2 2
Жарты бұрыштың косинусы мен синусы
формулаларының жалпы түрі:

cos    1 cos
2 2

sin    1  cos
2 2

Мысал 1

sin    4 жəне 180    270 екені белгілі.
5
1  екені белгілі. sin 
sin  жəне cos  -ні табайық. cos  3 жəне 0   2 2
2 2

Шешімі: жəне cos 2 -ні табайық.

sin    4 жəне берілген ширекті қолданып,
5

cos -ның мəнін табайық,яғни

cos2  1 sin 2   1    4 2 1 16  9
 5  25 25

cos  9   3 берілген ширекте косинус
25 5

теріс таңбалы болғандықтан cos   3
5

Сондықтан

 1 cos 1    3 Жарты бұрыштың тангенсі мен котангенсі
2 2  5  формулаларының жалпы түрі:

sin   2   1  cos
2 1  cos
tg  

8

 5  8 2 25  1  cos
2 10   ctg 2 1 cos
5 5  

1    3 2
 5 
cos   1 cos   5 
2 2 2 2

21 5
 10  
5 5

  65

  Тригонометриялық функциялардың жарты бұрыштарының формулалары 

Мысал 2

cos  7 жəне 0    екені белгілі. tg  tg  мен ctg  өрнегін sin жəне cos
10 2 2 22

 арқылы өрнектелсе
2
жəне ctg -ні табайық. tg   sin   1 cos
2 1 cos sin 

Шешімі: ctg   1  cos  sin 
2 sin  1 cos
1  7
 1 cos 10 3 51
tg 2  1  cos  7  17  17
10 Мысал 3
1 

7 tg22,5 -тың мəнін табыңыз.
10
 1  cos 1  17 51 Шешімі:
2 1  cos 3 3
ctg   7 
10
1    22,5 болса,онда   45 болады.Сонда
2

2

cos  0,5 жəне 0     екені белгілі. tg  tg 22, 5  1 sin 45  2 2  2  2 1
2 2  cos 45  2 2 2
1

жəне ctg  -ні табайық.
2

ctg15 -тың мəнін табыңыз.

sin   0, 4 жəне 270    360 екені белгілі.

tg  жəне ctg  -ні табайық.
2 2

  66

  Тригонометриялық функциялардың жарты бұрыштарының формулалары 

№1 Білімді нығайту №2 Білімді нығайту
1. Өрнекті ықшамдаңыз: 1  cos

1  cos

1. cos  3 жəне 0    90 екені белгілі.
5

cos  -ні табайық.
2

2. cos30  3 екені белгілі.Олай болса,
2

жарты бұрыш формулаларын пайдаланып

косинустың 15 градустағы мəнін табайық.

2. tg  2, 4 жəне 0    90 екені белгілі.

cos  -ні табайық.
2

3. Өрнекті ықшамдаңыз: 2 sin 2   cos
2

67

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ҚОСЫНДЫСЫ МЕН 9
АЙЫРЫМЫН КӨБЕЙТІНДІГЕ ТҮРЛЕНДІРУ ФОРМУЛАЛАРЫ

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ Мысал 2
ҚОСЫНДЫСЫ МЕН АЙЫРЫМЫН
Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
КӨБЕЙТІНДІГЕ ТҮРЛЕНДІРУ ФОРМУЛАЛАРЫ sin 70  sin 20

Аргументтері əр түрлі синустардың қосындысы Шешімі:
мен айырымының көбейтіндіге түрлендірілуі:
sin 70  sin 20  2 sin 70  20  cos 70  20 
2 2
sin   sin   2sin     cos   
2 2
 2sin 45  cos 25  2  2  cos 25  2 cos 25 .
2
sin   sin   2 sin     cos   
2 2

Мысал 1 Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
sin 75  sin15

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
sin 5x  sin 3x

Шешімі:

sin 5 x sin 3x  2 sin 5x  3x  cos 5x  3x  Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
2 2 sin 25  sin 35

 2sin 4 x cosx .

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз: Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
sin 6x  sin 2 x sin 65  sin 35

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
sin 3  sin 7

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:

sin   sin 3
5 5
Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
sin 5  sin 

68

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

Мысал 3 Аргументтері əр түрлі косинустардың
қосындысы мен айырымының көбейтіндіге
Тригонометриялық өрнекті көбейтінді түрінде түрлендірілуі:

жазыңыз : sin  2
2
cos cos  2cos     cos   
  2 2

Шешімі:    

sin 45  2 болғандықтан sin  sin 45 деп cos  cos   2 sin   sin 
2 2 2

жазсақ,онда cos  cos   2 sin    sin   
2 2
sin   sin 45  2sin   45 cos   45 . түрінде
2 2
Мысал 4
көбейтуге түрлендіруге болады.

Есептеңіз: cos130  cos50

Тригонометриялық өрнекті көбейтінді түрінде Шешімі:

жазыңыз : sin   1 cos130  cos 50  2 cos 130  50  cos 130  50
2 2 2

 2cos90  cos 40

 2  0  cos 40

0

Тригонометриялық өрнекті көбейтінді түрінде Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
жазыңыз : 1 sin cos3  cos

Ықшамдаңыз: sin 37  sin 23
sin 37  sin 23

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
cos80  cos 20

69

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз: tg  tg   sin    
cos18  cos78
cos cos 

tg  tg   sin    

cos cos 

Мысал 5

Өрнекті ықшамдаңыз: tg2  tg

Шешімі:

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз: tg 2  tg  sin 2     sin   1  sin 
cos 2 cos  cos 2 cos 
3  cos 2 cos 
10 10
cos  cos  1  tg  tg
cos 2 cos 2

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз: tg3x  tgx

Ықшамдаңыз: cos  cos  Мысал 6
cos  cos 

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
tg15  tg75

Шешімі:

tg15  tg 75  sin 15  75 

cos15cos 75

sin 90  15 
cos15 cos
90

 1  2  2 
cos15 sin 15 2 2 sin 15 cos15

 2  2 4
sin 30 1

2

70

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз: Мысал 7
tg25  tg65
Есептеңіз: sin      sin     .
Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:  6   6 
tg50  tg25
Шешімі:

sin      sin      
 6   6 

                    
 6  2  6   6  2  6 
 2 sin  cos

 2 sin   cos 
6

 2sin  3
2

 3 sin

Есептеңіз: sin      sin     .
 4   4 

Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
tg75  tg15

Есептеңіз: cos       cos      .
 4   4 

71

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

Мысал 8

Өрнектің мəнін табыңыз:

sin3 sin 4 sin 5 . №1 Білімді нығайту
cos3 cos 4 cos 5 Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
1. sin130  sin10
Шешімі:
2. sin80  sin 40
sin3 sin 4 sin 5  sin3 sin 5 sin 4
cos3 cos 4 cos 5 cos3 cos 5  cos 4 3. sin 80  sin160

 2 sin 3  5  cos 3  5  sin 4 4. cos55  cos125
2 cos 3 5  cos 3 2  cos 4
2  5
 2

2

 2 sin 4  cos( )  sin 4
2 cos 4  cos( )  cos 4

 sin 4  (2cos  1)
cos 4  (2cos  1)

 sin 4
cos 4

 tg4

Өрнектің мəнін табыңыз 5. cos 3  cos 
sin2 sin 3 sin 4 . 4 4
cos2 cos 3 cos 4

6. sin 2  sin 
3 6

7. cos55  cos125

72

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

№2 Білімді нығайту №3 Білімді нығайту

Есептеңіз: Көбейтінді түрінде жазыңыз:

1. sin   30  sin   30

1. sin48  sin12
cos18

2. cos      cos    
 3   3 

2. cos 54  cos 36 3. cos  3
sin 9 2

3. cos10  cos8
sin10  sin 8

4. sin2   sin2 

4. sin 6  sin 4 5. cos2 x  cos2 y
cos 6  cos 4

5. cos 25  cos85 6. sin 80  cos50
sin 25  sin 85 sin 70  sin110

7. sin 64  cos 64
sin 79  cos 49

73

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

ТЕСТ № 1

1. Көбейтінді түрінде жазыңыз: sin25  sin15 4. Көбейтінді түрінде жазыңыз:
A) 2sin5 sin 20 cos76  cos16
B) 2sin5 cos 20 A) 3cos93
C) 2cos5 sin 20 B) 3sin46
D) 2cos5 cos 20 C) 3sin42
E) 2sin15 sin 20 D) 3cos46
E) 3sin93

2. Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз: 5. Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:

sin   sin  cos   cos 3
5 10 5 20

A) 2 sin  sin 3 A) 2 sin  cos 3
20 20 20 5

B) 2 cos 3 sin 3 B) 2 cos  sin 3
20 20 5 20

C) 2 sin  cos 3 C) 2 sin  sin 3
20 20 20 5

D) 2 cos  sin 3 D) 2sin  sin 3
20 20 5 20

E) 2 cos  cos 3 E) 2 cos  cos 3
20 20 20 20

3. Көбейтінді түрінде жазыңыз: sin 4x  sin 2x 6. Есептеңіз: sin 80  sin160
A) 2cos3xsin 2x A) cos 40
B) 2sin 3x cos x B) sin 20
C) 2sin 3xsin x C) cos10
D) 2cos3x cos x D) sin 40
E) 2cos3xsin x E) sin80

74

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

7. Есептеңіз: sin      sin     11. Өрнектің мəнін табыңыз: sin 6  sin 4
 6   6  cos 6  cos 4

A) sin A) tg

B) cos B) ctg

C) 2sin C) 1
D) ctg
D) sin
E) tg
E) cos

8. Есептеңіз: sin 5  sin 3 . 12. Есептеңіз: sin 80  cos 50
16 16 sin 70  sin110

A) 2 sin  A)  1 ctg 20
8 2

B) 2 cos  B) 1 tg 20
16 2

C) 1 C) 1

D) 2 cos  D) 1 ctg 20
8 2

E) 2 sin  E)  1 tg 20
16 2

9. Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз: 13. Есептеңіз: sin130  cos 40
A) 2sin 20
tg75  tg15 B) 2cos 20
C) 2sin 40
A) -1 D) 2sin 20
B) 4 E) 2cos 20
C) 3
D) -4
E) 1

10. Өрнектің мəнін табыңыз: sin48  sin12 14. Есептеңіз: sin 64  cos 64
cos18 sin 79  cos 49

A) -2 A) D-1
B) 1
C) 0 B) 2
D) -1 C) 1
E) 2
D) 3

E) 2
2

75

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

15. Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз: sin 7  sin 
cos 18  9
cos 11  cos 3 19. Есептеңіз: 7
12 4 18 
cos 9

A) 3 sin 12 7
36
B) 3 cos  A) tg
12
B) tg 5
 36
C) 3 cos 16
5
 C) ctg 36
16
D) 3 sin 7
36
 D) ctg
12
E) 2 cos 5
36
E) tg

16. Өрнекті ықшамдаңыз: cos10  cos8 20. Есептеңіз: cos59  cos1
sin10  sin 8 sin 59  sin1

A)  2 A) 1
2
B) 3
B) 1 3

C) 2 C)  2
2 2

D) 3 D) 1

E) -1 E)  3

17. Өрнекті ықшамдаңыз: sin 7x  sin11x 21. Өрнекті ықшамдаңыз: sin 35  sin 55
cos10x  cos8x cos35  cos55

A) -ctg9x A) tg10

B) -tg9x B) -tg10

C) -1 C) 1
D) tg9x D) tg10

E) ctg9x E) ctg10

18. Есептеңіз: sin   sin 5  cos  22. Есептеңіз: sin      sin     .
18 18 9  4   4 

A) -1 A)  2 sin

B) 0 B) 2 cos
C) 1
C) 2

D) 1

E) -2 D)  2 cos

E) 2 sin

76

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымын көбейтіндіге
түрлендіру формулалары

23. Көбейткіштерге жіктеңіз: 26. Өрнекті ықшамдаңыз:
sin  sin2  sin3 sin3 sin 4 sin 5

A) cos2 2cos 1 cos3 cos 4 cos 5
A) ctg4
B) cos2 2cos 1
B) tg4
C) cos2 2sin 1
C) 1
D) sin2 2sin  1 D) ctg4

E) sin2 2cos 1 E) tg4

24. Көбейтінді түрінде жазыңыз: 27. Көбейтінді түрінде жазыңыз:
2sin cos  sin 4
cos2   sin2   cos 6 A) 2sin 3 sin
A) 2cos 4 cos 2 B) 2sin 3 cos
B) 2sin 2 sin C) 2cos3 cos
C) 2sin 4 sin 2 D) 2sin 3 sin
D) 2sin 4 cos 2 E) 2cos3 cos
E) 2cos 2 sin 3

25. Өрнекті ықшамдаңыз: cos 2x  cos 3x 28. Өрнекті көбейтінді түрінде жазыңыз:
sin 2x  sin 3x cos2   cos2 

A) -ctgx A) cos   cos   
B) sin    sin    
B) tgx C) 2sin    cos   
D) sin2    
C) 1 E) 4sin    sin    
D) ctgx

E) -tgx

77

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ КӨБЕЙТІНДІСІН ҚОСЫНДЫ

10НЕМЕСЕ АЙЫРЫМҒА ТҮРЛЕНДІРУ ФОРМУЛАЛАРЫ

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ Көбейтіндіні қосынды немесе айырым түрінде
КӨБЕЙТІНДІСІН ҚОСЫНДЫ НЕМЕСЕ жазыңыз: 2sin 37cos 23  sin14

АЙЫРЫМҒА ТҮРЛЕНДІРУ ФОРМУЛАЛАРЫ

Аргументтері əр түрлі синус жəне косинус
функцияларының көбейтіндісі сол аргумент-
тердің қосындысы мен айырымының
синустарының қосындысының жартысына тең.

sin  cos   1 sin      sin     Аргументтері əр түрлі косинус
2 функцияларының көбейтіндісі сол
аргументтердің қосындысы мен айырымының
Мысал 1 косинустарының қосындысының жартысына
тең.
Көбейтіндіні қосынды немесе айырым түрінде
жазыңыз: sin 40  cos10 cos  cos   1 cos      cos    
2
Шешімі:

sin 40  cos10  1 sin  40  10  sin  40  10  Мысал 2
2
Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
 1 sin 50  sin 30  1  sin 50  1   cos80  cos10
2 2  2 

 1  sin 50  1 Шешімі:
2 4
cos 80  cos10  1 cos 80  10  cos 80  10 
2

Көбейтіндіні қосынды немесе айырым түрінде  1  cos 90  cos 70  1 0  cos 70 
жазыңыз: sin 75  cos15 2 2

 1 cos 70
2

Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
cos130  cos50

Көбейтіндіні қосынды немесе айырым түрінде

жазыңыз: 2 sin  cos 
4 12

78

Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосынды немесе айырымға
түрлендіру формулалары

Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
sin110  sin40
cos   cos 3
8 8

Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
sin105sin15
   cos   
cos  4     4  

Аргументтері əр түрлі синустардың Өрнектің мəнін табыңыз: sin 7 sin 
көбейтіндісі сол аргументтердің айырымының 12 12
косинусы мен қосындысының косинусының
айырымының жартысына тең.

sin  sin   1 cos      cos    
2

Мысал 3

Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
sin8x  sin12x

Шешімі:

sin8x  sin12x   1 cos(8x  12 x)  cos(8x  12 x)
2

  1  cos20 x  cos4x    1 cos20x  1 cos4x
2 2 2

79

Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосынды немесе айырымға
түрлендіру формулалары

10. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:

cos 6  cos 4
5 5
№1 Білімді нығайту
Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 11. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
1. sin 4  cos3
sin 2  sin 5
2. cos3  cos 7 7

№3 Білімді нығайту

3. sin 5  cos      12. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
 2 

cos       cos     
 3   3 

4. 2sin 5cos 23

5. 2 cos 22,5cos 7,5 13. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
sin 74
№2 Білімді нығайту
cos 53 sin127
6. Өрнекті ықшамдаңыз: 4 sin 50cos 20  1
2sin 70 14. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
8sin 75sin15
7. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: sin 30
2cos35cos 25  cos10
15. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
8. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: sin 75  cos15
2sin 65cos 25  sin 40 sin15  cos105

9. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 16. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
2sin105sin15  sin 30 sin2 25  sin65

cos115

80

Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосынды немесе айырымға
түрлендіру формулалары

ТЕСТ № 1

1. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 4. Өрнектің мəнін табыңыз: sin  cos 
4 12
sin 80  cos10

A)  1 1  cos 70 A) 3 1
2 2

B) 1 1  sin 70 B) 3  3
2 4

C) 1 1  cos 70 C) 3 1
2 4

D) 1 1  sin 70 D) 3 1
2 2

 E)1
2 1  cos 70 E) 3 1
4

2. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 5. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
cos 45  sin15 sin 23 sin 32

A) 32 A) 1  1  cos 9 
2 2  2 

B) 3 1 B) 1 1  cos 9 
4 2

C) 32 C) 1 3  cos 9 
2 2  2 

D) 3  2 D) 1  1  cos 9 
4 2  2 

E) 32 E) 1 2  cos 9 
4 2  2 

3. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 6. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:

cos130  cos 50 2cos  cos 
12 8
A) 1  cos 80  1 
2  2  5 
A) cos 24  cos 24
1
B) 2  cos 80  1 7 3
24 24
1 B) sin  sin
2
C)   cos 80  1 5 
24 24
1 C) sin  sin
2
D)  cos 80  1 5 
24 24
1 D) cos  cos
2
E)   cos 80  1 5 
24 24
E) sin  sin

81

Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосынды немесе айырымға
түрлендіру формулалары

7. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 10. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:

2 sin     sin     cos60   cos60  
 6   6 
1  1 
A) 3 cos A) 2  cos 2  2 
2
 1
2
B) 1  cos 2 B)  cos 2
2
C) 1  1 sin 2 
C) 2 cos 2 2  2  
2


D) 1  cos D) 1  cos 2  1 
2 2  2 

E) 3  cos 2 E) 1  sin 2
2 2

8. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 11. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:

sin    sin     sin(2  5x)cos3x

A)  1  sin 2  sin 2  A) 1  cos 8 x  cos 2 x
2 2

B) 1 cos 2  cos 2  B)  1 sin 8x  sin 2 x
2 2

C) 1 sin 2  sin 2  C) 1  cos 8 x  cos 2x
2 2

D) 1 cos 2  cos 2  D) 1 sin 8x  sin 2x 
2 2

E)  1  sin 2  sin 2  E) 1 sin 8x  sin 2x
2 2

9. Көбейтіндіні қосынды немесе айырым 12. Көбейтіндіні қосынды немесе айырым

түріне келтіріңіз: 2sin 36 cos9 түріне келтіріңіз: 2sin x cos3x

A) sin 27 A) cos 4x  cos 2x

B) 1 sin27 B) sin 4x  sin 2x

C) 2  sin27 C) 1 sin 4 x  sin 2x
2 2

D) 1  sin27 D) 1 cos 4 x  cos 2 x 
2 2

3 E) sin 4x  sin 2x
2
E)  sin27

82

Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосынды немесе айырымға
түрлендіру формулалары

13. Егер sin sin  1 жəне     3 17. Егер sin x sin y  0,5 жəне x y  
2 2 2

болса,онда cos(   ) -ны табыңыз. болса,онда cos(x  y) -ны табыңыз.

A) -2 A) -2

B) 1 B) 1

C) 2 C) 2

D) -1 D) -1

E) 0 E) 0

14. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 18. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:

cos      cos      cos10 cos8 .
 2 2   2 2 
 A) 1
1  2 cos9  cos1
2
A) sin   sin    B)1
2 cos18  cos 2
1
B) 2 cos   cos   C)1
2 cos9  cos1
C) 1

1  D) 1
D) 2 sin   sin    2 cos18  cos 2

1  E)1
E) 2 cos   cos  2 cos18  cos 2

15. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 19. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:

sin 75  cos15 8sin 75sin15

sin15  cos105 sin 30

A)  3 A)  1
2 2

B) 1 B) -4

C) 1 C) 1
2 2

3 D) 4
2
D) E) 0

E) -1

20. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:

16. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: cos      cos    
 3   3 
4sin 25 sin 5
A) sin50 cos100
A) 1 2sin 20
B) sin -40 ctg 70 
B) 3  2sin 20

C) 3  2 cos 20 C) d
D) d
D) 1 E) d
2

E) 1 2cos 20

83

Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосынды немесе айырымға
түрлендіру формулалары

21. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 25. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
2sin105sin15  sin 30
sin 5t  cos 2t

A) 3  3 A) 1 cos 7t  cos 3t 
2 2

B) 3 1 B) 1 sin 7t  sin 3t 
2 2

C) 3 1 C) 1 cos 7t  sin 3t 
3 2

D) 3  2 D) 1 cos 7t  sin 3t 
2 2

E) 22 E) 1 sin 7t  sin 3t 
2 2

22. Егер cos x cos y  0,5 жəне x y  5 26. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
2 8cos 2  cos 4

болса,онда 3cos(x  y) -ны табыңыз. A) 4cos6  cos2 

A) 0 B) 4cos6  cos2 

B) -3 C) -4sin6  sin2 

C) 1 D) 4sin6  sin2 
D) 3
E) -1 E) -4cos6  scos2 

23. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 27. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:
8cos 2  sin10
4sin 3  cos  A) 4sin6  4cos6
8 8 B) 4sin6 -4sin4
C) 4cos6  4cos4
A) 2 2
D) 4cos4 -4cos6
B) 2  2
E) 4sin4 -4sin6
C) 2

D) 2  2

E) 2  2

24. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз: 28. Көбейтіндіні қосынды түріне келтіріңіз:

2cos35cos 25  cos10 sin 2  sin 5
7 7
A) 1
2 A) 1 1  sin 3 
 2 7 
1
B) 2  cos 50  cos 40 1 1 3 
2 7 
C) 1 B) -  cos
2
C)  1 1  sin 3 
D) 1 2 7 

E) 1  cos 50  cos 40 D) 1 1  sin 3 
2 2 7 

E) 1 1  cos 3 
2 7 

84

ҚОСЫМША

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

85

85

ҚОСЫМША

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

86

ҚОСЫМША

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

87

87

“EduCon” Education Consulting
Мектепке көмекші – емтиханға дайындық

АЛГЕБРА
жұмыс дәптері №3

Құрастырғандар:
Баглан Кузембаев, Чингис Набиев.

Редакторы: Бағдат Есембеков
Компьютерге беттеген: Бекзат Джамалов, Сафа Сафаев

Дизайнері: Мырзабек Сайгелдиев