94 กิจกรรมที่27 สร้างเทสเซลเลชันจากการหมุนรูปใด ๆ จากการท าเทสเซลเลชันโดยใช้เพียงแค่การเลื่อนขนาน กระเบื้องทั้งหมดจะเรียงไปในทิศทางเดียวกัน ในทางกลับกัน ถ้าต้องการสร้างเทสเซลเลชันที่กระเบื้องเรียงไปในทิศทางที่แตกต่างกันได้สามารถท าได้โดยใช้ การหมุน 1. เปิดแบบร่างหน้าใหม่ แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC 2. ใช้เครื่องมือส่วนของเส้นตรง สร้างส่วนของเส้นตรง ระหว่างจุด A และจุด B ดังรูป 3. ระบุจุด A เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน 4. หมุนจุดและส่วนของเส้นตรงที่สร้างได้ในข้อ 2 ด้วยมุมขนาด 60° จะได้ผลดังรูป 5. สร้างจุดกึ่งกลาง D บนด้าน BC โดยคลิกเลือกด้าน BC จากนั้นไปที่เมนูสร้าง เลือกค าสั่ง จุดกึ่งกลาง แล้วก าหนดชื่อจุดกึ่งกลางที่สร้างได้เป็นจุด D 6. ใช้เครื่องมือส่วนของเส้นตรง สร้างส่วนของเส้นตรง ระหว่างจุด B และจุด D ดังรูป
95 7. ระบุจุด D เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน 8. หมุนจุดและส่วนของเส้นตรงที่สร้างได้ในข้อ 6 ด้วยมุม 180° จะได้ผลดังรูป 9. สร้างบริเวณภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้โดยใช้เครื่องมือบริเวณภายในรูปหลายเหลยี่ม จะได้ผลดังรูป 10. เริ่มท าเทสเซลเลชันโดยระบุจุด A เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน แล้วหมุนบริเวณภายในของรูป หลายเหลี่ยม จ านวน 5 ครั้งด้วยมุม 60° เพื่อให้จุด A ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม จากนั้นเปลี่ยนสีของ บริเวณภายในของรูปหลายเหลี่ยมให้สลับกัน จะได้ผลดังรูป
96 11. ระบุจุด D เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน แล้วหมุนรูปหลายเหลี่ยมทั้งหกรูปไปด้วยมุม 180° จะ ได้ผลดังรูป ค าถามที่1 จากการสังเกตรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดรอบจุด B และจุด C มุมของการหมุนจะต้องมีขนาดเท่าใด จึงจะเติมเต็มรูปหลายเหลี่ยมรอบจุดเหล่านั้นได้พอดี
97 กิจกรรมที่28 สร้างลวดลาย Tumbling-Block ลวดลาย Tumbling-Block มักพบในลายผ้าแบบ Amish ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของ “การศึกษาศิลปะ ที่สื่อความหมายด้วยรูปเรขาคณิตและสี” เราสามารถสร้างลวดลาย Tumbling-Block ได้อย่างง่าย ๆ โดยใช้ การเลื่อนขนาน 1. เปิดแบบร่างหน้าใหม่ แล้วสร้างรูปหกเหลี่ยมปรกติABCDEF จะได้ผลดังรูป 2. สร้างจุดกึ่งกลางของรูปหกเหลี่ยมปรกติABCDEF โดยสร้างเส้นทแยงมุม AD และ BE แล้วสร้าง จุดตัดของเส้นทแยงมุมทั้งสอง ซึ่งจุดตัดนี้คือจุดกึ่งกลางของรูปหกเหลี่ยมปรกติABCDEF จากนั้นก าหนดชื่อ เป็นจุด G จะได้ผลดังรูป 3. ซ่อนเส้นทแยงมุม AD และ BE แล้วสร้างส่วนของเส้นตรง BG, DG และ FG จะได้ผลดังรูป 4. สร้างบริเวณภายในรูปสี่เหลี่ยมและจัดรูปหกเหลี่ยมปรกติให้มีลักษณะดังรูป
98 5. เลื่อนขนานรูปข้างต้นเพื่อสร้างบล็อกขึ้นมา 1 แถว ด้วยเวกเตอร์DF โดยคลิกเลือกจุด D และจุด F ตามล าดับ จากนั้นไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ระบุเวกเตอร์เลื่อนขนานรูปต้นแบบ โดยคลิกเลือกรูป ต้นแบบ จากนั้นไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง เลื่อนขนาน ในกล่องโต้ตอบการเลื่อนขนานให้คลิก เลื่อน ขนาน จะได้ผลดังรูป 6. ในขณะที่ภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานถูกเลือกอยู่ ให้เลื่อนขนานภาพนี้ด้วยเวกเตอร์DF โดยไปที่ เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง เลื่อนขนาน ในกล่องโต้ตอบการเลื่อนขนานให้คลิก เลื่อนขนาน 7. ท าซ้ าข้อ 6 อีก 1 ครั้ง จะได้ผลดังรูป 8. ระบุเวกเตอร์EA เป็นเวกเตอร์ในการเลื่อนขนาน โดยคลิกเลือกจุด E และจุด A ตามล าดับ จากนั้นไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ระบุเวกเตอร์ 9. เลื่อนขนานรูปที่สร้างได้ในข้อ 7 ด้วยเวกเตอร์EA โดยคลิกเลือกรูปที่สร้างได้ในข้อ 7 จากนั้นไป ที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง เลื่อนขนาน ในกล่องโต้ตอบการเลื่อนขนานให้คลิก เลื่อนขนาน จะได้ผลดังรูป
99 10. ในขณะที่ภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานถูกเลือกอยู่ ให้เลื่อนขนานภาพนี้ด้วยเวกเตอร์EA โดยไปที่ เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง เลื่อนขนาน ในกล่องโต้ตอบการเลื่อนขนานให้คลิก เลื่อนขนาน 11. ท าซ้ าข้อ 10 อีก 1 ครั้ง จะได้ผลดังรูป 12. ทดลองลากจุดต่าง ๆ บนรูปหกเหลี่ยมปรกติต้นแบบเพื่อเปลี่ยนขนาดและหมุนลวดลายที่สร้าง ขึ้น หรือทดลองเปลี่ยนสีให้แตกต่างกันเพื่อปรับปรุงลวดลายให้สวยงามยิ่งขึ้น ตัวอย่างดังรูป
100 แบบฝึกหัด 1.ใช้เครื่องมือส่วนตัวรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่สร้างไว้ สร้างเทสเซลเลชันอื่น ๆ อีก 2 แบบ 2.ออกแบบรูปต้นแบบโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิต แล้วน าไปสร้างเป็นเทสเซลเลชัน 1 แบบ
101 14. การออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย จุดประสงค์ 1.ประยุกต์ใช้การย่อ/ขยายสร้างเครื่องมือออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย 2.ใช้เครื่องมือออกแบบศิลปะจากเส้นด้ายที่สร้างขึ้นออกแบบลวดลายที่สวยงาม กิจกรรมที่29 ออกแบบศิลปะจากเส้นด้ายจากรอยของส่วนของเส้นตรง การออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย เริ่มต้นด้วยการเจาะรูกระดาษตามแนวเส้นตรงที่ลากท ามุมกันสอง เส้นโดยให้มีระยะห่างเท่า ๆ กัน หลังจากนั้นร้อยเส้นด้ายผ่านรูที่เจาะไว้จนกระทั่งได้แบบที่ต้องการ ดังรูป การออกแบบศิลปะจากด้วยเส้นด้ายนี้สามารถสร้างได้ด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ซึ่งมีขั้นตอนการสร้างง่าย ๆ ดังต่อไป 1. เปิดแบบร่างหน้าใหม่ แล้วสร้างรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ABCD โดยใช้เครื่องมือรูปหลายเหลี่ยมและ บริเวณภายใน เพื่อใช้เป็นกรอบที่จะออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย 2. เปลี่ยนสีบริเวณภายในรูปสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นให้เป็นสีขาว โดยคลิกเลือกบริเวณภายใน แล้วไปที่ เมนูแสดงผล เลือกค าสั่ง สีจากนั้นเลือก สีอื่น ๆ แล้วปรับสีให้เป็นสีขาว แล้วคลิกตกลง 3. สร้างจุด E และจุด F ที่สามารถเคลื่อนที่ไปบนเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยคลิกเลือก บริเวณภายในรูปสี่เหลี่ยม ABCD แล้วไปที่เมนูสร้าง เลือกค าสั่ง จุดบนเส้นรอบรูป 4. สร้างส่วนของเส้นตรง EF จะใช้ส่วนของเส้นตรงนี้แทนเส้นด้าย จะได้ผลดังรูป
102 5. สร้างให้ส่วนของเส้นตรงเคลื่อนไหวไปรอบ ๆ รูปสี่เหลี่ยม แทนการโยงเส้นด้าย โดยคลิกเลือก ส่วนของเส้นตรง EF แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค าสั่ง ปุ่มการท างาน และเลือกค าสั่งย่อย การเคลื่อนไหว (ใช้ความเร็วปานกลาง) หลังจากนั้น คลิก OK ในกล่องโต้ตอบที่ปรากฏขึ้น 6. สร้างรอยของส่วนของเส้นตรง EF (เปรียบเหมือนการโยงเส้นด้ายนั่นเอง) โดยคลิกเลือกส่วนของ เส้นตรง EF แล้วไปที่เมนูแสดงผล เลือกค าสั่ง ท าให้เกิดรอยของส่วนของเส้นตรง 7. คลิกปุ่มการท างาน การเคลื่อนไหวส่วนของเส้นตรง แล้วสังเกตการเคลื่อนไหวของส่วนของ เส้นตรง และรอยที่เกิดขึ้น จะได้ผลดังรูป 8. ลองเปลี่ยนความยาวของส่วนของเส้นตรง EF เปลี่ยนสีของส่วนของเส้นตรง แล้วสังเกตรอยที่ได้ ถ้าลองเปลี่ยนกรอบที่ใช้ในการออกแบบให้เป็นรูปเรขาคณิตอื่น ๆ เช่น รูปสามเหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยม รูปหก เหลี่ยม ก็จะได้ลวดลายแตกต่างกัน ตัวอย่างดังรูป
103 กิจกรรมที่30สร้างเครื่องมือส่วนตัวส าหรับใช้ออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย นอกจากจะออกแบบศิลปะจากเส้นด้ายโดยใช้วิธีในกิจกรรมที่ 27 แล้วเรายังสามารถสร้างเครื่องมือ ส่วนตัวไว้ใช้ในการออกแบบลวดลายได้อีกด้วย การสร้างเครื่องมือส่วนตัวส าหรับใช้ออกแบบศิลปะจากเส้นด้ายมีขั้นตอนการสร้างใหญ่ ๆ 2 ขั้นตอน คือ การสร้างเครื่องมือแบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็นส่วนที่เท่ากัน (การเจาะรูกระดาษ) และการสร้างเครื่องมือ ออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย (การโยงเส้นด้ายผ่านรูที่เจาะไว้) ดังนี้ 1. เปิดแบบร่างหน้าใหม่ แล้วสร้างส่วนของเส้นตรง AB ความยาวพอสมควร 2. แบ่งส่วนของเส้นตรง AB ออกเป็น 20 ส่วนเท่า ๆ กัน (จ านวนส่วนที่แบ่งขึ้นอยู่กับความต้องการ ส่วนบุคคล ถ้าต้องการให้ลวดลายที่ออกแบบมีความละเอียดมากก็แบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็นส่วนที่มากขึ้น) โดยระบุจุด A เป็นจุดศูนย์กลางของการย่อ/ขยาย แล้วคลิกเลือกจุด B ไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ย่อ/ ขยายในกล่องโต้ตอบการย่อ/ขยายที่ปรากฏขึ้นให้เติมอัตราส่วนของการย่อ/ขยายเป็น 20 1 แล้วคลิก ย่อ/ ขยายจะได้จุดใหม่อยู่ห่างจากจุด A เป็นระยะ 20 1 ของความยาวของส่วนของเส้นตรง AB ดังรูป 3. คลิกที่ว่างในแบบร่างเพื่อยกเลิกการเลือกอ็อบเจกต์ทั้งหมด ในขณะที่มีจุด A เป็นจุดศูนย์กลาง ของการย่อ/ขยาย คลิกเลือกจุด B ไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ย่อ/ขยายในกล่องโต้ตอบการ ย่อ/ขยายที่ ปรากฏขึ้นให้เติมอัตราส่วนของการย่อ/ขยายเป็น 20 2 แล้วคลิก ย่อ/ขยายจะได้จุดใหม่อยู่ห่างจากจุด A เป็น ระยะ 20 2 ของความยาวของส่วนของเส้นตรง AB 4. ท าในท านองเดียวกับข้อ 3 แต่เปลี่ยนอัตราส่วนของการย่อ/ขยาย เป็น 20 19 ,..., 20 5 , 20 4 , 20 3 จนได้ส่วนของตรงที่มีจุดแบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็น 20 ส่วนเท่า ๆ กัน ดังรูป
104 ค าถามที่1 ท าไมจึงไม่ใช้อัตราส่วนของการย่อ/ขยายเป็น 20 20 5. เก็บส่วนของเส้นตรงที่แบ่งออกเป็น 20 ส่วนเท่า ๆ กันเป็นเครื่องมือส่วนตัว โดยซ่อนป้ายชื่อส่วน ของเส้นตรง แล้วเลือกอ็อบเจกต์ทั้งหมด จากนั้นไปที่กล่องเครื่องมือส่วนตัว แล้วเลือก สร้างเครื่องมือใหม่จะ ปรากฏกล่องโต้ตอบเครื่องมือใหม่ในแบบร่าง ให้ใส่ชื่อเครื่องมือเป็น 20 ส่วนดังรูป 6. ทดลองใช้เครื่องมือ 20 ส่วน โดยการคลิกที่กล่องเครื่องมือส่วนตัวค้างไว้แล้วไปเลือกชื่อเครื่องมือ 20 ส่วน จะสังเกตเห็นว่าลูกศรจะกลายเป็นสีขาวและมีจุดสีแดงที่ปลายลูกศร เมื่อคลิกบนแบบร่างจะได้จุด ปลายข้างหนึ่งของส่วนของเส้นตรงที่แบ่งออกเป็น 20 ส่วน ให้เลื่อนลูกศรออกไปพอสมควรแล้วคลิกอีกครั้ง เพื่อวางส่วนของเส้นตรงตามต าแหน่งที่ต้องการ เมื่อต้องการยกเลิกการใช้เครื่องมือ ให้คลิกที่เครื่องมือลูกศร 7. เปิดแบบร่างหน้าใหม่ แล้วสร้างมุมที่เกิดจากการน าส่วนของเส้นตรงที่แบ่งออกเป็น 20 ส่วน จ านวน 2 เส้นมาต่อกัน โดยเลือกเครื่องมือส่วนตัว 20 ส่วน จากกล่องเครื่องมือส่วนตัว แล้วเริ่มสร้างจากเส้น ที่อยู่ในแนวเฉียง (ส่วนของเส้นตรง A) และเส้นในแนวนอน (ส่วนของเส้นตรง B) จะได้ผลดังรูป
105 8. สร้างส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด A1 ที่อยู่บนส่วนของเส้นตรง A (จุดบนสุด) กับจุด B2 ที่อยู่บนส่วน ของเส้นตรง B (จุดที่อยู่ติดกับจุดยอดมุม) และสร้างส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด A2 กับจุด B3 จะได้ผลดังรูป 9. ท าในท านองเดียวกันกับข้อ 8 โดยการสร้างส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด A3 กับจุด B4 ไปจนกระทั่ง สร้างส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด A20 กับจุด B21 จะได้ผลดังรูป 10. สร้างปุ่มการท างานซ่อน/แสดง เพื่อซ่อนจุดปลายส่วนของเส้นตรงในแนวเฉียง จุดยอดมุม และจุด ปลายส่วนของเส้นตรงในแนวนอน โดยคลิกเลือกจุดดังกล่าวทั้งสามจุด จากนั้นไปที่เมนูแก้ไข เลือกค าสั่ง ปุ่ม การท างาน และค าสั่งย่อย ซ่อน/แสดง ดังรูป
106 จะปรากฏปุ่มการท างาน ซ่อนจุด บนแบบร่าง ให้คลิกปุ่มการท างานซ่อนจุดเพื่อซ่อนจุดทั้งสาม 11. ซ่อนจุดทุกจุด โดยการคลิกเลือกเครื่องมือจุด จากนั้นไปที่เมนูแก้ไข เลือกค าสั่ง เลือกจุดทุกจุด แล้วไปที่เมนูแสดงผล เลือกค าสั่ง ซ่อนจุด จุดทุกจุดในแบบร่างก็จะซ่อนไป จะได้ผลดังรูป
107 12. คลิกปุ่มการท างาน แสดงจุด เพื่อแสดงจุด 3 จุดที่ซ่อนไว้จะได้ผลดังรูป 13. เก็บการโยงเส้นด้ายเป็นเครื่องมือส่วนตัวเพื่อใช้ในการออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย โดยคลิกเลือก จุดปลายส่วนของเส้นตรงในแนวเฉียง จุดยอดมุม และจุดปลายส่วนของเส้นตรงในแนวนอน ตามล าดับ แล้วกด แป้น shift บนแป้นพิมพ์ค้างไว้แล้วเลือกอ็อบเจกต์ทั้งหมดที่เหลือ ยกเว้นปุ่มการท างาน ซ่อนจุด หลังจากนั้น ไปที่กล่อง เครื่องมือส่วนตัว เลือกค าสั่ง สร้างเครื่องมือใหม่จะปรากฏกล่องโต้ตอบเครื่องมือใหม่ในแบบร่าง ให้ใส่ชื่อเครื่องมือเป็น ออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย ดังรูป จากนั้นคลิก ตกลง จะได้เครื่องมือส่วนตัวไว้ส าหรับออกแบบศิลปะจากเส้นด้ายอยู่ในกล่องเครื่องมือส่วนตัว
108 14. ทดลองใช้เครื่องมือออกแบบศิลปะจากเส้นด้ายเพื่อออกแบบลวดลายต่าง ๆ โดยการคลิกที่กล่อง เครื่องมือส่วนตัวค้างไว้แล้วไปเลือกชื่อเครื่องมือ ออกแบบศิลปะจากเส้นด้าย จะสังเกตเห็นว่าลูกศรจะ กลายเป็นสีขาวและมีจุดสีแดงที่ปลายลูกศร เมื่อคลิกครั้งที่ 1 บนแบบร่าง จะได้จุดยอดมุม เมื่อลากลูกศร ออกไปจะได้ส่วนของเส้นตรง ให้คลิกครั้งที่ 2 เพื่อก าหนดความ ยาวและต าแหน่งของส่วนของเส้นตรง และ คลิกครั้งที่ 3 ในต าแหน่งที่ต้องการก็จะได้การโยงเส้นด้าย ทดลองออกแบบเส้นด้ายในแบบร่าง และเปลี่ยนสี เส้นด้ายตามใจชอบ เมื่อต้องการยกเลิกการใช้เครื่องมือให้คลิกที่เครื่องมือ ลูกศร ตัวอย่างการออกแบบดังรูป แบบฝึกหัด ใช้เครื่องมือส่วนตัวออกแบบศิลปะจากเส้นด้ายที่สร้างไว้ ออกแบบลวดลายอื่น ๆ อีก 3 แบบ
109 15. การท้าซ ้าเชิงเรขาคณิต จุดประสงค์ 1.ใช้การท้าซ ้าในการสร้างรูปทางเรขาคณิต 2.ออกแบบลวดลายโดยใช้การท้าซ ้าได้ การท้าซ ้าเชิงเรขาคณิต เป็นกฎที่ก้าหนดให้สร้างรูปซ ้า ๆ กันหลาย ๆ ครั ง ซึ่งแต่ละครั งของการท้าซ ้าจะ ท้าตามล้าดับของการสร้างนั น ๆ กับรูปที่ได้จากขั นก่อนหน้า โดยที่กฎการท้าซ ้าจะก้าหนดว่าจะใช้รูปขั นก่อน หน้ามาสร้างรูปในขั นต่อไปได้อย่างไร กฎการท้าซ ้าเชิงเรขาคณิตจะก้าหนดการส่งจากจุดอิสระ แต่ละจุดไปยังจุด ตามล้าดับ (ซึ่งขึ นอยู่กับจุด อิสระเหล่านั นจะโดยตรงหรือโดยอ้อมก็ตาม) กิจกรรมที่29 ขั นบันได บันไดแต่ละขั นประกอบด้วย ส่วนที่อยู่ในแนวตั งเรียกว่า ลูกตั ง และส่วนที่อยู่ในแนวนอนเรียกว่า ลูกนอน (ดูรูปข้างบนประกอบ) โดยทั่ว ๆ ไป ในบันไดอันเดียวกันขั นบันไดแต่ละขั นจะมีขนาดเท่ากัน จะ สังเกตเห็นว่าการท้าบันไดขั นที่สองจะเหมือนกับเป็นการท้าซ ้าบันไดขั นที่หนึ่งโดยเริ่มต่อจากลูกนอนของบันได ขั นที่หนึ่ง การท้าบันไดขั นที่สามจะเหมือนกับเป็นการท้าซ ้าบันไดขั นที่หนึ่งโดยเริ่มต่อจากลูกนอนของบันไดขั น ที่สอง บันไดขั นต่อ ๆ ไปก็ท้าในท้านองเดียวกัน ในกิจกรรมนี เราจะสร้างขั นบันไดโดยการท้าซ ้าเชิงเรขาคณิต 1. เปิดแบบร่างใหม่ แล้วสร้างจุด 1 จุด ก้าหนดป้ายชื่อจุดเป็นจุด A 2. เลื่อนขนานจุด A ด้วยระยะทาง 1 ซม. มุม 90 องศา ได้จุด A' 3. เลื่อนขนานจุด A' ด้วยระยะทาง 1.5 ซม. มุม 0 องศา ได้จุด A" 4. สร้างส่วนของเส้นตรง AA' และ A'A" จะได้ผลดังรูป
110 5. เลือกจุด A แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ท้ำซ ้ำ จะปรากฏกล่องโต้ตอบ การท้าซ ้า (เราอาจ ต้องลากกล่องโต้ตอบของการท้าซ ้าไปยังต้าแหน่งใหม่เพื่อให้เรามองเห็นจุดทั งหมดในแบบร่าง) คลิกที่จุด A" เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรกของจุดต้นแบบ A จะเห็นภาพที่ได้จากการท้าซ ้าเป็นภาพลาง ๆ ดังรูป จากนั นคลิกที่ปุ่ม ท้ำซ ้ำ จะได้ภาพของขั นบันได 6. ซ่อนป้ายชื่อจุดทุกจุด (อาจซ่อนจุดทั งหมดได้ถ้าต้องการ) จะได้ผลดังรูป การเพิ่มหรือลดจ้านวนขั นบันได ท้าได้โดยคลิกเลือกบันไดส่วนที่ท้าซ ้าแล้วกดแป้นเครื่องหมายบวก ( + ) หรือแป้นเครื่องหมายลบ ( - ) บนแป้นพิมพ์ ข้อสังเกต กฎการท้าซ ้าส้าหรับกิจกรรมขั นบันไดนี จะเริ่มจากการส่งจุดอิสระ A ของรูปต้นแบบไปยังจุด A" ซึ่ง จะเป็นจุดเริ่มต้นของการท้าซ ้าครั งแรกแล้วท้าซ ้าตามล้าดับการสร้างจากข้อ 2 ถึง ข้อ 4 ท้าเช่นนี ไปจนครบ จ้านวนครั งของการท้าซ ้าที่ต้องการ
111 กิจกรรมที่30 การสร้างแฟร็กทัลรูปต้นไม้ ในการสร้างแฟ็กทัลรูปต้นไม้ตามขั นตอนต่าง ๆ ที่ก้าหนดให้ต่อไปนี ป้ายชื่อต่าง ๆ จะแสดงไว้เพียง เพื่อให้สามารถเข้าใจขั นตอนต่าง ๆ ได้ง่ายขึ นเท่านั น ไม่มีความจ้าเป็นจะต้องใส่ป้ายชื่อเหล่านั นไว้ในแบบร่าง ด้วย 1. เปิดแบบร่างใหม่ และสร้างส่วนของเส้นตรง AB ในแนวตั ง (ยาวประมาณ 2 ซม.) และมุม DCE ดังรูป 2. ระบุจุด B เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน 3. ระบุมุม DCE โดยเลือกจุด D, C และ E ตามล้าดับ แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ระบุมุม 4. หมุนจุด A ไปด้วยมุมที่ระบุโดยคลิกเลือกจุด A แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง หมุน ใน กล่องโต้ตอบการหมุนให้คลิก หมุน จะได้จุดที่เป็นภาพที่ได้จากการหมุนจุด A ก้าหนดชื่อเป็นจุด A' 5. หมุนจุด A' ไปด้วยมุมที่ระบุโดยคลิกเลือกจุด A' แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง หมุน ใน กล่องโต้ตอบการหมุนให้คลิก หมุน จะได้จุดที่เป็นภาพที่ได้จากการหมุนจุด A' ก้าหนดชื่อเป็น จุด A" ดังรูป 6. เลือกจุด A' และ A" แล้วไปที่เมนู การแปลง เลือกค้าสั่ง ย่อ/ขยำย ในกล่องโต้ตอบการย่อ/ขยายที่ ปรากฏขึ นให้เติมอัตราส่วนของการย่อ/ขยายเป็น 3 2 จะเห็นภาพที่ได้จากการย่อ/ขยายเป็นภาพลาง ๆ ดังรูป
112 แล้วคลิก ย่อ/ขยำย จะได้จุดซึ่งเป็นภาพจากการย่อ/ขยาย 7. ก้าหนดป้ายชื่อจุดที่ได้จากการย่อ/ขยายเป็นจุด A" และ A''' จากนั นซ่อนจุด A' และ A" ที่ได้จาก การหมุน 8. เลือกจุด A และจุด B ตามล้าดับแล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ท้ำซ ้ำ จะปรากฏกล่องโต้ตอบ การท้าซ ้า (เราอาจต้องลากกล่องโต้ตอบของการท้าซ ้าไปยังต้าแหน่งใหม่เพื่อให้เรามองเห็นจุดทั งหมดในแบบ ร่าง) คลิกที่จุด B เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรกของจุดต้นแบบ A และคลิกที่จุด A" เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรก ของจุดต้นแบบ B จะเห็นภาพที่ได้จากการท้าซ ้าเป็นภาพลาง ๆ ดังรูป 9. เพิ่มการส่งใหม่ โดยคลิกที่ปุ่มโครงสร้าง ในกล่องโต้ตอบการท้าซ ้า ดังรูป
113 10. คลิกที่จุด B เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 2 ของจุดต้นแบบ A และคลิกที่จุด A''' เพื่อก้าหนดให้เป็น ภาพที่ 2 ของจุดต้นแบบ B ดังรูป จากนั นคลิกปุ่ม ท้ำซ ้ำ จะได้ภาพแฟร็กทัลรูปต้นไม้ 11. ซ่อนป้ายชื่อจุด แล้วลองเพิ่มหรือลดจ้านวนกิ่งไม้โดยคลิกเลือกกิ่งไม้ส่วนที่ท้าซ ้าแล้วกดแป้น เครื่องหมายบวก ( + ) หรือแป้นเครื่องหมายลบ ( - ) บนแป้นพิมพ์และลากจุด D หรือ จุด E เพื่อเปลี่ยน ขนาดของมุม เมื่อต้องการภาพแฟร็กทัลรูปต้นไม้ที่แตกต่างออกไป จะได้แฟร็กทัลรูปต้นไม้ดังรูป ค้าถามที่1 กฎการท้าซ ้าเชิงเรขาคณิต ส้าหรับภาพแฟร็กทัลรูปต้นไม้ในกิจกรรมนี คืออะไร
114 กิจกรรมที่31 การสร้างแฟร็กทัลสามเหลี่ยม Sierpinski 1. เปิดแบบร่างใหม่ แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยม ABC และบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม โดยใช้เครื่องมือ รูปหลายเหลี่ยมและบริเวณภายใน จากนั นก้าหนดป้ายชื่อจุดต่าง ๆ 2. สร้างจุดกึ่งกลางของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ABC โดยคลิกเลือกด้านทั งสามของรูป สามเหลี่ยม แล้วไปที่เมนูสร้าง เลือกค้าสั่ง จุดกึ่งกลำง จากนั นก้าหนดป้ายชื่อจุดเป็น D, E และ F ดังรูป 3. เลือกจุด A, B, และ C ตามล้าดับ แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ท้ำซ ้ำ (อาจต้องลากกล่อง โต้ตอบของการท้าซ ้าไปยังต้าแหน่งใหม่เพื่อให้เรามองเห็นจุดทั งหมดในแบบร่าง) 4. คลิกที่จุด A เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรกของจุดต้นแบบ A คลิกที่จุด D เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรกของจุดต้นแบบ B คลิกที่จุด F เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรกของจุดต้นแบบ C
115 5. เพิ่มการส่งใหม่โดยคลิกที่ปุ่มโครงสร้ำง ในกล่องโต้ตอบท้าซ ้า เลือกค้าสั่ง เพิ่มกำรส่งใหม่ 6. คลิกที่จุด D เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 2 ของจุดต้นแบบ A คลิกที่จุด B เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 2 ของจุดต้นแบบ B คลิกที่จุด E เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 2 ของจุดต้นแบบ C 7. เพิ่มการส่งใหม่โดยคลิกที่ปุ่มโครงสร้ำง ในกล่องโต้ตอบท้าซ ้า เลือกค้าสั่ง เพิ่มกำรส่งใหม่ 8. คลิกที่จุด F เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 3 ของจุดต้นแบบ A คลิกที่จุด E เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 3 ของจุดต้นแบบ B คลิกที่จุด C เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 3 ของจุดต้นแบบ C
116 9. ตั งค่าการท้าซ ้าเพื่อให้แสดงเฉพาะการท้าซ ้าในขั นสุดท้ายเท่านั น โดยคลิกที่ปุ่มแสดงผล และคลิก เลือก กำรท้ำซ ้ำขั นสุดท้ำยเท่ำนั น แล้วคลิกที่ปุ่ม ท้ำซ ้ำ 10. ซ่อนบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม ABC โดยคลิกเลือกบริเวณภายในของรูปสามเหลี่ยม ABC จากนั นไปที่เมนูแสดงผล เลือกค้าสั่ง ซ่อนรูปสำมเหลี่ยม จะได้ภาพบนหน้าจอจะปรากฏเป็นภาพการท้าซ ้า ขั นสุดท้าย 11. เปลี่ยนส่วนของเส้นตรงทั งหมดให้เป็นเส้นบาง โดยคลิกเลือกส่วนของเส้นตรง AB, BC, AC และ ส่วนของเส้นตรงที่เกิดจากการท้าซ ้า แล้วไปที่เมนูแสดงผล เลือกค้าสั่ง เส้น/เส้นบำง จะได้ผลดังรูป 12. เลือกรูปทั งหมด แล้วกดแป้นเครื่องหมายบวก ( + ) หรือแป้นเครื่องหมายลบ ( - ) ที่แป้นพิมพ์ เพื่อเพิ่มหรือลดจ้านวนครั งการท้าซ ้า 13. ซ่อนจุดทั งหมดในแบบร่าง โดยกดที่แป้น Esc เพื่อยกเลิกการเลือกอ็อบเจกต์ทั งหมด แล้ว จึงคลิกที่เครื่องมือ ลงจุด แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง เลือกจุดทั งหมด จากนั นไปที่เมนูแสดงผล และ เลือกค้าสั่ง ซ่อนจุด แฟร็กทัลสามเหลี่ยม Sierpinski ควรจะมีลักษณะดังรูป
117 ค้าถามที่1 กฎการท้าซ ้าเชิงเรขาคณิต ส้าหรับภาพแฟร็กทัลสามเหลี่ยม Sierpinski ในกิจกรรมนี คืออะไร ค้าถามที่2 เมื่อให้จ้านวนครั งของการท้าซ ้าเท่ากับ 1 บริเวณภายในของรูปสามเหลี่ยมที่แรเงาคิดเป็น เศษส่วนเท่าไรของพื นที่ทั งหมด ค้าถามที่3 เมื่อจ้านวนครั งของการท้าซ ้าเท่ากับ 2 บริเวณภายในของรูปสามเหลี่ยมที่แรเงาคิดเป็นเศษส่วน เท่าไรของพื นที่ทั งหมด ค้าถามที่4 เมื่อจ้านวนครั งของการท้าซ ้าเท่ากับ 3 บริเวณภายในของรูปสามเหลี่ยมที่แรเงาคิดเป็นเศษส่วน เท่าไรของพื นที่ทั งหมด ค้าถามที่5 ถ้าจ้านวนครั งของการท้าซ ้าเท่ากับ n บริเวณภายในของรูปสามเหลี่ยมที่แรเงาคิดเป็นเศษส่วน เท่าไรของพื นที่ทั งหมด
118 กิจกรรมที่32 แฟร็กทัลเกล็ดหิมะ 1. เปิดแบบร่างใหม่ แล้วสร้างจุด A และจุด B ห่างกันพอสมควร (ประมาณ 10 ซม.) 2. ระบุจุด A เป็นจุดศูนย์กลาง จากนั นเลือกจุด B แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ย่อ/ขยำย ในกล่องโต้ตอบการย่อ/ขยายที่ปรากฏขึ นให้เติมอัตราส่วนของการย่อ/ขยายเป็น 3 1 จะได้จุด B' 3. ระบุจุด B เป็นจุดศูนย์กลาง จากนั นเลือกจุด A แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ย่อ/ขยำย ในกล่องโต้ตอบการย่อ/ขยายที่ปรากฏขึ นให้เติมอัตราส่วนของการย่อ/ขยายเป็น 3 1 จะได้จุด A' 4. หมุนจุด A' ไปด้วยมุม 60 องศา โดยระบุจุด B' เป็นจุดศูนย์กลาง แล้วคลิกเลือกจุด A' จากนั นไป ที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง หมุน ก็จะปรากฏกล่องโต้ตอบการหมุน ก้าหนดให้หมุนด้วยมุมคงตัว 60 องศา จะได้จุด A" ลากส่วนของเส้นตรง AB', B'A", A"A' และ A'B 5. เลือกจุด A และจุด B ตามล้าดับแล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ท้ำซ ้ำ (อาจต้องลากกล่อง โต้ตอบของการท้าซ ้าไปยังต้าแหน่งใหม่เพื่อให้เรามองเห็นจุดทั งหมดในแบบร่าง) 6. คลิกที่จุด A เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรกของจุดต้นแบบ A คลิกที่จุด B' เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรกของจุดต้นแบบ B 7. เพิ่มการส่งใหม่โดยคลิกที่ปุ่ม โครงสร้ำง ในกล่องโต้ตอบท้าซ ้า เลือกค้าสั่ง เพิ่มกำรส่งใหม่ คลิกที่จุด B' เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 2 ของจุดต้นแบบ A คลิกที่จุด A" เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 2 ของจุดต้นแบบ B
119 8. เพิ่มการส่งใหม่โดยคลิกที่ปุ่ม โครงสร้ำง ในกล่องโต้ตอบท้าซ ้า เลือกค้าสั่ง เพิ่มกำรส่งใหม่ คลิกที่จุด A" เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 3 ของจุดต้นแบบ A คลิกที่จุด A' เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 3 ของจุดต้นแบบ B 9. เพิ่มการส่งใหม่โดยคลิกที่ปุ่ม โครงสร้ำง ในกล่องโต้ตอบท้าซ ้า เลือกค้าสั่ง เพิ่มกำรส่งใหม่ คลิกที่จุด A' เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 4 ของจุดต้นแบบ A คลิกที่จุด B เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพที่ 4 ของจุดต้นแบบ B 10. ตั งค่าการท้าซ ้าเพื่อให้แสดงเฉพาะการท้าซ ้าในขั นสุดท้ายเท่านั น โดยคลิกที่ปุ่ม แสดงผล และ คลิกเลือก กำรท้ำซ ้ำขั นสุดท้ำยเท่ำนั น แล้วคลิกที่ปุ่ม ท้ำซ ้ำ
120 11. ซ่อนส่วนของเส้นตรงและจุดบางจุด โดยคลิกเลือกส่วนของเส้นตรง AB', B'A", A"A', A'B, จุด B', จุด A" และจุด A' แล้วไปที่เมนู แสดงผล เลือกค้าสั่ง ซ่อนอ็อบเจกต์จะได้ผลดังรูป ค้าถามที่1 กฎการท้าซ ้าเชิงเรขาคณิต ส้าหรับภาพแฟร็กทัลเกล็ดหิมะ ในกิจกรรมนี คืออะไร ค้าถามที่2 เมื่อให้จ้านวนครั งของการท้าซ ้าเท่ากับ 1 ความยาวของส่วนของเส้นตรงทั งหมดรวมกันคิดเป็น กี่เท่าของความยาวของส่วนของเส้นตรง AB ค้าถามที่3 เมื่อจ้านวนครั งของการท้าซ ้าเท่ากับ 2 ความยาวของส่วนของเส้นตรงทั งหมดรวมกันคิดเป็น กี่เท่าของความยาวของส่วนของเส้นตรง AB ค้าถามที่4 เมื่อจ้านวนครั งของการท้าซ ้าเท่ากับ 3 ความยาวของส่วนของเส้นตรงทั งหมดรวมกันคิดเป็น กี่เท่าของความยาวของส่วนของเส้นตรง AB ค้าถามที่5 จงสร้างข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับความยาวของส่วนของเส้นตรงทั งหมดรวมกัน ถ้าจ้านวนครั งของการท้าซ ้าเท่ากับ n 12. เลือกรูปที่ได้จากการท้าซ ้า แล้วไปที่เมนูแสดงผล เลือกค้าสั่ง เส้น/เส้นบำง 13. คัดลอกรูปทั งหมด โดยเลือกรูปที่ได้ทั งหมด แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง คัดลอก จากนั นวาง รูปที่คัดลอกไว้จ้านวน 2 รูป โดยไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง วำง จะได้รูปที่วางรูปที่ 1 และวางรูปอีกครั ง จะ ได้ผลดังรูป
121 14. สร้างจุด P, Q และ R ให้เป็นจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 15. เลือกจุด A และ R แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง รวมจุด เลือกจุด B และ Q แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง รวมจุด เลือกจุด C และ R แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง รวมจุด เลือกจุด D และ P แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง รวมจุด เลือกจุด E และ P แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง รวมจุด เลือกจุด F และ Q แล้วไปที่เมนูแก้ไข เลือกค้าสั่ง รวมจุด 16. ซ่อนจุด P, Q และ R แล้วแฟร็กทัลเกล็ดหิมะควรมีลักษณะดังรูป
122 กิจกรรมที่33 ก้นหอย 1. เปิดแบบร่างใหม่ แล้วสร้างจุด A และจุด B ห่างกันพอสมควร (ประมาณ 8 ซม.) 2. หมุนจุด B ไปด้วยมุม 20 องศา โดยระบุจุด A เป็นจุดศูนย์กลาง แล้วคลิกเลือกจุด B จากนั นไปที่ เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง หมุน ก็จะปรากฏกล่องโต้ตอบการหมุน ก้าหนดให้หมุนด้วยมุมคงตัว 20 องศา จะ ได้จุด B' 3. เลือกจุด B' แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ย่อ/ขยำย ในกล่องโต้ตอบการย่อ/ขยายที่ปรากฏ ขึ นให้เติมอัตราส่วนของการย่อ/ขยายเป็น 20 19 จะได้จุด B" 4. จากนั นซ่อนจุด B' (จุดที่ได้จากการหมุน) 5. สร้างบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม ABB" โดยใช้เครื่องมือ บริเวณภายในรูปหลายเหลี่ยม 6. วัดพื นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABB" โดยคลิกเลือกบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม ABB" แล้วไปที่เมนู การวัด เลือกค้าสั่ง พื นที่ค่าพื นที่ก็จะปรากฏในแบบร่าง 7. เลือกค่าพื นที่ที่วัดได้และบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม ABB" จากนั นไปที่เมนูแสดงผล เลือกค้าสั่ง สี/สีอิงพำรำมิเตอร์ดังรูป
123 8. ในกล่องโต้ตอบสีอิงพารามิเตอร์ช่องโดเมนของพารามิเตอร์ใช้ค่าจาก 0 ถึง 4 (อาจใช้ค่าอื่นก็ได้) ช่วงสีเลือกตามใจชอบ ในที่นี ใช้ซ ้าสองทิศทาง ดังรูป 9. คลิกที่ว่างเพื่อยกเลิกการเลือกทั งหมด 10. เลือกจุด B แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค้าสั่ง ท้ำซ ้ำ จะปรากฏหน้ากล่องโต้ตอบการท้าซ ้า ใน แบบร่าง (อาจต้องลากกล่องโต้ตอบของการท้าซ ้าไปยังต้าแหน่งใหม่เพื่อให้เรามองเห็นจุดทั งหมดในแบบร่าง) 11. คลิกที่จุด B" เพื่อก้าหนดให้เป็นภาพแรกของจุดต้นแบบ B 12. ถ้าไม่ต้องการให้ท้าซ ้าจุด ให้ไปที่ปุ่มโครงสร้าง เลือก ภำพที่ไม่ใช่จุดเท่ำนั น ดังรูป
124 13. คลิกที่ปุ่ม ท้ำซ ้ำ 14. เลือกรูปทั งหมด แล้วกดแป้นเครื่องหมายบวก ( + ) หรือแป้นเครื่องหมายลบ ( - ) ที่แป้นพิมพ์ เพื่อเพิ่มหรือลดจ้านวนครั งการท้าซ ้า 15. ซ่อนจุด B" ก้นหอยที่ได้ควรมีลักษณะดังรูป ค้าถาม กฎการท้าซ ้าเชิงเรขาคณิต ส้าหรับภาพก้นหอย ในกิจกรรมนี คืออะไร แบบฝึ กหัด ก ำหนดรูป ก) เป็นรูปเริ่มต้น จงใช้กำรท ำซ ำเชิงเรขำคณิตสร้ำงรูป ข) ก) ข)
125 16. การแปลงส่วนตัว จุดประสงค์ สามารถสร้างและใช้การแปลงส่วนตัวได้ การแปลงส่วนตัว เป็นการแปลงทั่ว ๆ ไปที่ก าหนดจากความสัมพันธ์ระหว่างจุดสองจุด เมื่อใช้การแปลงนี้ กับอ็อบเจกต์อื่น ๆ จะท าให้จุดทุกจุดบนอ็อบเจกต์นั้นแปลงไปเป็นจุดภาพตามความสัมพันธ์ระหว่างจุดสองจุด ที่ใช้ก าหนดการแปลงนั้น การแปลงส่วนตัวสร้างได้จากการก าหนดจุดอิสระ A แล้วใช้การแปลงทางเรขาคณิตกับจุด A ในลักษณะที่ ซับซ้อนเท่าที่ต้องการจนได้จุดภาพของจุดสุดท้ายของการแปลง สมมติให้เป็นจุด A" จากนั้นเลือกจุด A และจุด A" แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ก ำหนดกำรแปลงส่วนตัว แล้วตั้งชื่อการแปลงส่วนตัวนั้น การใช้การแปลงส่วนตัวกับอ็อบเจกต์อื่น ๆ ท าได้โดยเลือกอ็อบเจกต์ที่ต้องการแล้วเลือกการแปลงส่วนตัวที่ สร้างไว้จากเมนูการแปลง การแปลงส่วนตัวนั้นจะส่งจุดตัวอย่างแต่ละจุดในอ็อบเจกต์ไปเป็นจุดภาพ ซึ่งจะ ประกอบกันเป็นอ็อบเจ็กต์ใหม่ที่ได้จากการแปลงส่วนตัว กิจกรรมที่34 การแปลงส่วนตัว เลื่อนขนานสะท้อน 1. เปิดแบบร่างหน้าใหม่ แล้วสร้างจุด 1 จุด จากนั้นก าหนดป้ายชื่อจุดเป็นจุด A 2. สร้างส่วนของเส้นตรง BC ยาวพอสมควร (ประมาณ 3 ซม.) 3. ระบุเวกเตอร์BC โดยคลิกเลือกจุด B และจุด C ตามล าดับ แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ระบุเวกเตอร์ 4. เลื่อนขนานจุด A โดยคลิกเลือกจุด A แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง เลื่อนขนำน แล้วคลิกปุ่ม เลื่อนขนำน จะได้จุด A' ดังรูป 5. ระบุส่วนของเส้นตรง BC เป็นเส้นสะท้อน โดยเลือกส่วนของเส้นตรง BC แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ระบุเส้นสะท้อน 6. สะท้อนจุด A' โดยคลิกเลือกจุด A' แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง สะท้อน แล้วคลิกปุ่ม สะท้อน จะได้จุด A"
126 7. สร้างการแปลงส่วนตัว โดยคลิกเลือกจุด A และจุด A" แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ก ำหนดกำรแปลงส่วนตัว ดังรูป จะปรากฏกล่องโต้ตอบ การแปลงส่วนตัว (อาจต้องลากกล่องโต้ตอบการแปลงส่วนตัวไปยังต าแหน่งใหม่เพื่อให้ เรามองเห็นอ็อบเจกต์ทั้งหมดในแบบร่าง) ก าหนดชื่อการแปลงส่วนตัว เป็น เลื่อนขนำนสะท้อน แล้วคลิกปุ่ม ตกลง 8. คัดลอกรูปภาพมาใช้กับการแปลงส่วนตัวที่สร้างไว้โดยท าการคัดลอก (Ctrl + C) รูปภาพที่ ต้องการ จากนั้นน ารูปภาพที่ชอบมาวางในแบบร่าง (Ctrl + V)
127 9. ใช้การแปลงส่วนตัวที่สร้างไว้กับรูปภาพ โดยคลิกเลือกรูปภาพ แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง เลื่อนขนำนสะท้อน ดังรูป จะได้ภาพที่ได้จากการแปลงส่วนตัว 10. ท าข้อ 9 ซ้ ากับภาพสุดท้ายที่ได้จากการแปลงส่วนตัวหลาย ๆ ครั้ง เพื่อให้ได้ภาพดังรูป
128 k x มุม AB k x มุม AB กิจกรรมที่35 การแปลงส่วนตัว หมุนวน 1. เปิดแบบร่างใหม่แล้วสร้างจุด 2 จุดห่างกันพอสมควร จากนั้นก าหนดชื่อจุดเป็นจุด A และจุด B 2. วัดระยะ AB โดยคลิกเลือกจุด A และจุด B จากนั้นไปที่เมนูการวัด เลือกค าสั่ง ระยะทำง ค่าระยะ AB ปรากฏบนแบบร่าง 3. สร้างพารามิเตอร์k = 2 ให้หน่วยเป็น ซม. เพื่อใช้เพิ่มหรือลดระดับของการหมุนวน 4. สร้างพารามิเตอร์h = 30 ให้หน่วยเป็น องศา 5. ค านวณค่ามุมที่จะใช้หมุนเมื่อระยะทาง AB เปลี่ยนไป 6. ระบุ A เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน โดยดับเบิลคลิกที่จุด A 7. ระบุขนาดของมุมที่ใช้หมุนจากค่ามุมที่ค านวณ โดยคลิกเลือกค่า ที่ค านวณไว้แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ระบุมุม 8. เลือกจุด B แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง หมุน แล้วคลิกปุ่ม หมุน จะได้จุด B' สร้างการแปลงส่วนตัว โดยคลิกเลือกจุด B และจุด B' แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ก ำหนดกำรแปลง ส่วนตัว จะปรากฏกล่องโต้ตอบ การแปลงส่วนตัว (อาจต้องลากกล่องโต้ตอบการแปลงส่วนตัวไปยังต าแหน่ง ใหม่เพื่อให้เรามองเห็นอ็อบเจกต์ทั้งหมดในแบบร่าง) ก าหนดชื่อการแปลงส่วนตัว เป็น หมุนวน แล้วคลิกปุ่ม ตกลง k x มุม AB
129 9. คัดลอกรูปภาพมาใช้กับการแปลงส่วนตัวที่สร้างไว้โดยท าการคัดลอก (Ctrl + C) รูปภาพที่ ต้องการ จากนั้นน ารูปภาพที่ชอบมาวางในแบบร่าง (Ctrl + V) 10. ใช้การแปลงส่วนตัวที่สร้างไว้กับรูปภาพ โดยคลิกเลือกรูปภาพ แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง หมุนวน จะได้ภาพที่จากการแปลงส่วนตัว ดังรูป 11. เปลี่ยนแปลงค่าพารามิเตอร์k และ มุม แล้วสังเกตการเปลี่ยนแปลงของรูปภาพ 12. ลองเลื่อนจุด A และจุด B แล้วสังเกตการเปลี่ยนแปลงของรูป ค าถามที่1 พารามิเตอร์k และ พารามิเตอร์มุม ควบคุมการหมุนวนของภาพต่างกันอย่างไร ค าถามที่2 การเลื่อนจุด A และ จุด B ให้ผลต่างกันหรือเหมือนกันอย่างไร
130 กิจกรรมที่36 การแปลงส่วนตัว ตาปลา ภาพที่มองผ่านเลนส์ตาปลาจะมีลักษณะบิดเบี้ยวเห็นภาพในมุมกว้าง ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ทาง ธรรมชาติอันเนื่องจากการหักเหของแสงและการสะท้อนกลับหมดของแสงเมื่อผ่านเลนส์ชนิดนี้ในกิจกรรมนี้ เราจะใช้การแปลงทางเรขาคณิตและสมบัติบางประการทางคณิตศาสตร์มาจ าลองเลนส์ตาปลา ดังนี้ 1. เปิดแบบร่างใหม่ แล้วสร้างส่วนของเส้นตรง AB ยาวพอสมควร (ประมาณ 3 ซม.) 2. สร้างจุด C บนส่วนของเส้นตรง AB 3. เลือกจุด A, C และ B ตามล าดับ แล้วไปที่เมนูการวัด เลือกค าสั่ง อัตรำส่วน จะได้ AC AB 4. สร้างพารามิเตอร์r = 0.5 5. สร้างจุด D และจุด E ระยะห่างกันพอสมควร 6. วัดระยะ DE โดยคลิกเลือกจุด D และจุด E จากนั้นไปที่เมนูการวัด เลือกค าสั่ง ระยะทำง ค่าระยะ DE จะปรากฏบนแบบร่าง ดังรูป 7. ค านวณค่า DE r AC AB 8. เลือกค่าที่ค านวณได้ในข้อ 7 แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ระบุอัตรำส่วนจำกจ ำนวน 9. ระบุจุด D เป็นจุดศูนย์กลางของการย่อ/ขยาย 10. ย่อ/ขยายระยะ DE โดยคลิกเลือกจุด E แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ย่อ/ขยำย จะได้จุด E' ดังรูป
131 11. สร้างการแปลงส่วนตัว โดยคลิกเลือกจุด E และจุด E' แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ก ำหนดกำรแปลงส่วนตัว จะปรากฏกล่องโต้ตอบ การแปลงส่วนตัว (อาจต้องลากกล่องโต้ตอบการแปลง ส่วนตัวไปยังต าแหน่งใหม่เพื่อให้เรามองเห็นอ็อบเจกต์ทั้งหมดในแบบร่าง) ก าหนดชื่อการแปลงส่วนตัว เป็น ตำปลำ แล้วคลิกปุ่ม ตกลง 12. คัดลอกรูปภาพที่ชอบมาวางในแบบร่าง 13. ใช้การแปลงส่วนตัวที่สร้างไว้กับรูปภาพ โดยคลิกเลือกรูปภาพ แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกค าสั่ง ตาปลาจะได้ภาพที่จากการแปลงส่วนตัว ดังรูป
132 14. ลองเลื่อนจุด C และจุด D แล้วสังเกตการเปลี่ยนแปลงของภาพในบริเวณที่เป็นตาปลา 15. เปลี่ยนค่าพารามิเตอร์r แล้วสังเกตการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นกับภาพในบริเวณที่เป็นตาปลา แบบฝึกหัด ให้ออกแบบการแปลงส่วนตัวตามที่ผู้เรียนสนใจ 1 ชนิด
133 17. บทประยุกต์ จุดประสงค์ สามารถประยุกต์ใช้ความรู้สร้างชิ้นงานได้ กิจกรรมที่39 ก้าวย่างอย่างอสุรกาย เตโอ ยันเซิน (Theo Jansen) เป็นศิลปินชาวดัทช์ที่ท างานด้านประติมากรรมแบบเคลื่อนไหว (Kinetic sculpture) เขาพยายามสร้างความเชื่อมต่อระหว่างศิลปะและวิศวกรรมโดยมุ่งเน้นไปที่ธรรมชาติ ของสิ่งที่มีชีวิต ผลงานที่มีชื่อเสียงของเขาก็คือ สตรันด์เบสต์(Strandbeest) หรืออสุรกายชายหาด (รูปที่ 1) รูปที่ 1 สตรันด์เบสต์หรือ อสุรกายชายหาด ที่มา : www.thesteki.com เตโอ ยันเซิน ใช้ท่อพีวีซีเล็ก ๆ 11 ท่อน มาสร้างเป็นกลไกที่สามารถก้าวเดินบนระนาบได้และเมื่อเขา น ากลไกดังกล่าวหลาย ๆ ชุด ที่มีขนาดเท่ากันมาจัดเรียงต่อกันปรากฏว่าสิ่งที่เขาคิดค้นนั้นสามารถเดินได้บน พื้นราบ เตโอ ยันเซิน จึงได้สร้างประติมากรรมที่มีชื่อว่า สตรันด์เบสต์หรือ อสุรกายชายหาด ที่สามารถเดินได้ เพื่อเป็นเกียรติแก่ เตโอ ยันเซิน เราจึงเรียกกลไกนี้ว่า กลไกเตโอยันเซิน
134 ก) แบบจ าลองกลไกเตโอยันเซิน ข) แบบโครงร่างของกลไกเตโอยันเซิน รูปที่ 2 ในการออกแบบกลไกนี้มีจุดประสงค์ที่จะท าให้เส้นทางการเคลื่อนที่ของเท้า (จุด F) มีลักษณะคล้าย วงรีเส้นทางการเคลื่อนที่ของเท้าในแต่ละก้าวแบ่งออกเป็นสองส่วน ดังแสดงในรูปที่ 3 ส่วนที่หนึ่งเป็นส่วนของ การออกแรงผลักดันให้เคลื่อนที่ (ระหว่างจุด P ถึงจุด Q) ซึ่งในส่วนนี้เท้าจะสัมผัสกับพื้น ส่วนที่สองเป็นส่วน ของการก้าวเท้าซึ่งเท้าจะไม่สัมผัสกับพื้น ระยะจากจุด P ถึงจุด Q จะเป็นความยาว 1 ก้าวเดิน และความสูง ของการยกเท้าก็คือความสูงที่มากที่สุดของสิ่งกีดขวางที่อสุรกายชายหาดจะก้าวข้ามไปได้ รูปที่ 3 เส้นทางการเคลื่อนที่ของเท้า (จุด F)
135 กลไกเตโอยันเซินเป็นกลไกที่ออกแบบมาเพื่อเปลี่ยนการเคลื่อนที่แบบหมุนเป็นการเคลื่อนไหวของขา เมื่อน ากลไกเตโอยันเซิน 2 ชุดที่เหมือนกันมาประกอบเรียงกันดังรูปที่ 4 แล้วให้จุด A หมุนรอบจุด A0 จะท าให้ กลไกท างานเหมือนกับการก้าวเดินของขาสองข้าง พื้นฐานการท างานของขาทั้งสองอยู่ที่ระยะสัมพัทธ์ของจุด ต่อทั้ง 12 จุด (จุดตรึง 3 จุด ถือเป็น 1 จุด) รูปที่ 4 กลไกเตโอยันเซินเมื่อประกอบเป็นขาสองข้าง การจ าลองกลไกเตโอยันเซินด้วยโปรแกรม GSP การสร้างกลไกการก้าวเดินของขาของอสุรกายชายหาดสิ่งส าคัญคือขนาดของชิ้นส่วนแต่ละชิ้นที่มา ประกอบกันแล้ว เมื่อมีการเคลื่อนไหวจะท าให้ได้เส้นทางการเคลื่อนไหวของจุดที่แทนเท้าเป็นไปตามรูปแบบที่ ต้องการ ด้วยสมบัติที่เป็นพลวัตของโปรแกรม GSP เราจึงสามารถใช้โปรแกรมนี้สร้างรูปเรขาคณิตประกอบ เป็นโครงร่างของกลไกเตโอยันเซิน และเปลี่ยนแปลงขนาดของแต่ละชิ้นส่วนของกลไก ดังรูปที่ 5 รูปที่ 5 แบบจ าลองกลไกเตโอยันเซินด้วยโปรแกรม GSP
136 จากรูปที่ 5 ตัวเลื่อน a ใช้ควบคุมความยาวส่วนของเส้นตรง A0B0 ตัวเลื่อน b ใช้ควบคุมความยาวรัศมีของวงกลม A0 ซึ่งก็คือความยาวของข้อเหวี่ยง เมื่อจุด A เคลื่อนที่ได้บน เส้นรอบวงของวงกลม และ A0A คือเพลาข้อเหวี่ยง ตัวเลื่อน c ใช้ควบคุมความยาวด้านประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว BB0C (อาจเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดไม่เป็นมุมฉากก็ได้) ซึ่งเป็นขนาดของขาท่อนบน ตัวเลื่อน d ใช้ควบคุมความยาวส่วนของเส้นตรง AB ตัวเลื่อน e ใช้ควบคุมความยาวส่วนของเส้นตรง AE ตัวเลื่อน f ใช้ควบคุมความยาวส่วนของเส้นตรง DC และด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม DEF ซึ่ง เป็นขาท่อนล่าง ตัวเลื่อน g ใช้ควบคุมความยาวส่วนของเส้นตรง EF หรือความยาวของขาท่อนล่าง เมื่อใช้เครื่องมือใน GSP สร้างแบบจ าลองกลไกเสร็จแล้ว ก็ใช้แบบจ าลองส ารวจหาเส้นทางการเคลื่อนที่ของเท้า และปรับขนาดของ ส่วนต่างจนได้ขนาดของแต่ละชิ้นส่วน และเส้นทางของจุด F ที่ต้องการ ในกิจกรรมต่อไปนี้จะเป็นการใช้GSP ในการสร้างแบบจ าลองโครงสร้างหุ่นยนต์ที่ได้มีการก าหนด ขนาดไว้ให้แล้ว ดังนี้ 1. เปิดแบบร่างใหม่ แล้วสร้างจุด 1 จุด และก าหนดชื่อเป็นจุด A 2. เลื่อนขนานจุด A ด้วยระยะทางคงตัว 1.75 ซม. ที่มุมคงตัว 90 องศา แล้วก าหนดชื่อจุดที่ได้จาก การเลื่อนขนานเป็นจุด B 3. สร้างวงกลม A ที่มีรัศมียาวเท่ากับระยะ AB โดยใช้ค าสั่ง วงกลมที่สร้างจากจุดศูนย์กลางและจุด อื่น จากเมนูสร้าง จะได้ผลดังรูป 4. ซ่อนจุด B 5. เลื่อนขนานจุด A ด้วยระยะทางคงตัว 4.5 ซม. ที่มุมคงตัว 0 องศา แล้วก าหนดชื่อจุดที่ได้จากการ เลื่อนขนานเป็นจุด C 6. เลื่อนขนานจุด A ด้วยระยะทางคงตัว 4.5 ซม. ที่มุมคงตัว 180 องศา แล้วก าหนดชื่อจุดที่ได้จาก การเลื่อนขนานเป็นจุด D ดังรูป
137 7. เลื่อนขนานจุด C และ D ด้วยระยะทางคงตัว 4.0 ซม. ที่มุมคงตัว 90 องศา แล้วก าหนดชื่อจุดที่ได้ จากการเลื่อนขนานเป็นจุด G และ H จะได้ผลดังรูป 8. สร้างวงกลม C ที่มีรัศมียาวเท่ากับระยะ CG โดยใช้ค าสั่ง วงกลมที่สร้างจากจุดศูนย์กลางและจุด อื่น จากเมนูสร้าง แล้วซ่อนจุด G 9. สร้างวงกลม D ที่มีรัศมียาวเท่ากับระยะ DH โดยใช้ค าสั่ง วงกลมที่สร้างจากจุดศูนย์กลางและจุด อื่น จากเมนูสร้าง แล้วซ่อนจุด H จะได้ผลดังรูป 10. สร้างจุด I บนวงกลม A แล้วเลื่อนขนานจุด I ด้วยระยะทางคงตัว 6.0 ซม. ที่มุมคงตัว 90 องศา แล้วก าหนดชื่อจุดที่ได้จากการเลื่อนขนานเป็นจุด J 11. สร้างวงกลม I ที่มีรัศมียาวเท่ากับระยะ IJ โดยใช้ค าสั่ง วงกลมที่สร้างจากจุดศูนย์กลางและจุด อื่น จากเมนูสร้าง จะได้ผลดังรูป
138 12. ซ่อนจุด J 13. สร้างจุดตัดระหว่างวงกลม I และวงกลม C แล้วก าหนดชื่อจุดตัดเป็นจุด K และ L 14. สร้างจุดตัดระหว่างวงกลม I และวงกลม D แล้วก าหนดชื่อจุดตัดเป็นจุด M และ N 15. สร้างส่วนของเส้นตรง IK, IL, IM และ IN จะได้ผลดังรูป 16. ระบุจุด C เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน แล้วหมุนจุด K ด้วยมุมคงตัว -90 องศา และก าหนดชื่อ จุดที่ได้จากการหมุนเป็นจุด O 17. ใช้เครื่องมือ บริเวณภายในรูปหลายเหลี่ยม สร้างบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม COK
139 18. ระบุจุด D เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน แล้วหมุนจุด M ด้วยมุมคงตัว 90 องศา และก าหนดชื่อ จุดที่ได้จากการหมุนเป็นจุด P 19. ใช้เครื่องมือ บริเวณภายในรูปหลายเหลี่ยม สร้างบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม DPM ได้ผลดังรูป 20. สร้างส่วนของเส้นตรง CL และ DN 21. สร้างวงกลม L และวงกลม O ที่มีรัศมียาว 4.25 ซม. (ใช้การเลื่อนขนานเพื่อสร้างจุดก าหนดรัศมี) 22. สร้างจุดตัดระหว่างวงกลม L และวงกลม O หนึ่งจุด แล้วก าหนดชื่อจุดตัดเป็นจุด Q 23. สร้างวงกลม N และวงกลม P ที่มีรัศมียาว 4.25 ซม. 24. สร้างจุดตัดระหว่างวงกลม N และวงกลม P หนึ่งจุด แล้วก าหนดชื่อจุดตัดเป็นจุด R ได้ผลดังรูป
140 25. สร้างส่วนของเส้นตรง LQ, OQ, NR และ PR 26. ซ่อนวงกลมทั้งหมด ยกเว้นวงกลม A จะได้ผลดังรูป 27. ระบุจุด L เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน แล้วหมุนจุด Q ด้วยมุมคงตัว -90 องศา และก าหนดชื่อ จุดที่ได้จากการหมุนเป็นจุด S 28. ระบุจุด N เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน แล้วหมุนจุด R ด้วยมุมคงตัว 90 องศา และก าหนดชื่อ จุดที่ได้จากการหมุนเป็นจุด T 29. ย่อ/ขยายระยะ LS ด้วยอัตราส่วนคงตัว 2 3 โดยมีจุด L เป็นจุดศูนย์กลางของการย่อ/ขยาย และ ก าหนดชื่อจุดที่ได้จากการย่อ/ขยายเป็นจุด U 30. ใช้เครื่องมือ บริเวณภายในรูปหลายเหลี่ยม สร้างบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม LQU 31. ย่อ/ขยายระยะ NT ด้วยอัตราส่วนคงตัว 2 3 โดยมีจุด N เป็นจุดศูนย์กลางของการย่อ/ขยาย และ ก าหนดชื่อจุดที่ได้จากการย่อ/ขยายเป็นจุด V 32. ใช้เครื่องมือ บริเวณภายในรูปหลายเหลี่ยม สร้างบริเวณภายในรูปสามเหลี่ยม NRV ได้ผลดังรูป
141 33. ซ่อนจุด S และจุด T 34. ซ่อนป้ายชื่อจุดทุกจุดยกเว้นป้ายชื่อของจุด I และจุด A 35. สร้างเส้นตรง XY ในแนวนอน จากนั้นรวมจุด A กับเส้นตรงนี้โดยการคลิกเลือกจุด A และ เส้นตรงจากนั้นไปที่เมนูแก้ไข เลือกค าสั่ง รวมจุดกับเส้นตรง จะได้ผลดังรูป 36. สร้างปุ่มการท างานการเคลื่อนไหวจุด A และจุด I โดยคลิกเลือกจุด A และจุด I แล้วไปที่เมนู แก้ไข เลือกค าสั่ง ปุ่มการท างาน ค าสั่งย่อย การเคลื่อนไหว ในกล่องโต้ตอบสมบัติของปุ่มการท างานการ เคลื่อนไหวจุด ให้ตั้งค่าการเคลื่อนไหวจุด ดังนี้ จุด A ตั้งค่าทิศทาง ไปข้างหน้า ด้วยอัตราเร็ว อื่น ๆ ระบุเป็น 1.6 จุด I ตั้งค่าทิศทาง ตามเข็มนาฬิกา ด้วยอัตราเร็ว ปานกลาง ดังรูป
142 จากนั้นคลิกที่แผงรายการ ป้ายชื่อ แล้วเปลี่ยนชื่อเป็น เดิน แล้วคลิก OK จะปรากฏปุ่มการท างาน เดิน บน แบบร่าง 37. ซ่อนเส้นตรง XY และจุด A จะได้โครงสร้างหุ่นยนต์ดังรูป คลิกปุ่ม เดิน เพื่อให้หุ่นยนต์เดิน
143 กิจกรรมที่40 การสร้างแมลง 1. เปิดแบบร่างใหม่ แล้วสร้างจุด 1 จุด และก าหนดชื่อเป็นจุด A 2. เลื่อนขนานจุด A ด้วยระยะทางคงตัว 2.0 ซม. ที่มุมคงตัว 90 องศา จะได้จุด B 3. สร้างวงกลม A ที่มีรัศมียาวเท่ากับระยะ AB โดยใช้ค าสั่ง วงกลมที่สร้างจากจุดศูนย์กลางและจุด อื่น จากเมนูสร้าง แล้วซ่อนจุด B จะได้ผลดังรูป สร้างหัวและล าตัว 4. สร้างจุด 1 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลม A ก าหนดชื่อจุดเป็นจุด C 5. ย่อ/ขยายระยะ AC ด้วยอัตราส่วนคงตัว 7 2 , 5 1 และ 5 4 โดยมีจุด A เป็นจุดศูนย์กลางของการย่อ/ ขยาย และก าหนดชื่อจุดที่ได้จากการย่อ/ขยายเป็นจุด D, E, และ F ตามล าดับ จะได้ผลดังรูป 6. ระบุจุด A เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน แล้วหมุนจุด D ด้วยมุมคงตัว 45 และ -45 องศา และ ก าหนดชื่อจุดที่ได้จากการหมุนเป็นจุด G และ H ตามล าดับ 7. ระบุจุด A เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน แล้วหมุนจุด F ด้วยมุมคงตัว 12 และ-12 องศา และ ก าหนดชื่อจุดที่ได้จากการหมุนเป็นจุด I และ J ตามล าดับ จะได้ผลดังรูป