คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1

300 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลังสอง คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

บตั รคำ�ถามท่ี 4

ค�ำ ถาม
ตวั เลือกใดแสดงลักษณะของกราฟของสมการ

y = -(x – 2)2 – 16

ตวั เลือก

กราฟไมต่ ัดแกน X กราฟของสมการ
y = (x – 2)2 – 16

เป็นภาพสะทอ้ น
โดยมีเสน้ ตรง y = -16

เปน็ เส้นสะท้อน

แกนสมมาตรเป็นแกนเดยี วกับ เปน็ พาราโบลาควำ�่
กราฟของสมการ และมจี ดุ สงู สุดอยู่ที่ (2, -16)
y = 3(x – 2)2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันกำ�ลงั สอง 301

บัตรค�ำ ถามที่ 5

ค�ำ ถาม
ตวั เลือกใดแสดงลักษณะของกราฟของสมการ

y = 3x2 + 24x + 49

ตวั เลือก

กราฟมีลักษณะเดยี วกับ Y X
กราฟของสมการ
11
y = 3(x + 4)2 + 1 10

กราฟผา่ นจุด (-1, 28) 9
8
กราฟไมต่ ัดแกน Y 7
6
5
4
3
2

1

-ค7 ่า-ส6 งู -ส5 ดุ -4ขอ-3ง -y2 เ-ท1 ่าOกับ1 02

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

302 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ ันก�ำ ลังสอง คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยบตั รค�ำ ถาม

บตั รคำ�ถามท่ี 1 ตัวเลอื กท่ถี ูกตอ้ ง ไดแ้ ก่

เสน้ ตรง x = 0 จดุ ต่�ำ สุดเปน็ จดุ เดียวกบั
เปน็ แกนสมมาตร จุดต่ำ�สุดของกราฟของ

สมการ y = x2

กราฟของสมการ y = 2.5x2

บัตรค�ำ ถามท่ี 2 ตวั เลือกที่ถูกต้อง ไดแ้ ก่

แกนสมมาตรเป็นแกนเดียวกับ กราฟผา่ นจดุ (2, -12)
กราฟของสมการ y = -4x2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลงั สอง 303

บตั รคำ�ถามที่ 3 ตวั เลอื กทถ่ี ูกต้อง ไดแ้ ก่

เส้นตรง x = -5 กราฟตัดแกน Y ท่ีจุด (0, 75)
เป็นแกนสมมาตร

บัตรค�ำ ถามท่ี 4 ตวั เลือกทถี่ ูกตอ้ ง ไดแ้ ก่

กราฟไมต่ ัดแกน X แกนสมมาตรเปน็ แกนเดียวกับ
กราฟของสมการ
y = 3(x – 2)2

เป็นพาราโบลาคว่ำ�
และมจี ดุ สงู สดุ อยูท่ ี่ (2, -16)

บัตรค�ำ ถามท่ี 5 ตวั เลอื กที่ถูกต้อง ไดแ้ ก่

กราฟมีลกั ษณะเดยี วกับ กราฟผา่ นจดุ (-1, 28)
กราฟของสมการ
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
y = 3(x + 4)2 + 1

304 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลงั สอง คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยชวนคดิ

ชวนคดิ 5.1

จาก y = ax2 + bx + c
ipst .me /114 08 ถา้ a = 0 จะได ้ y = bx + c
ดังนั้น ถา้ ให้ a = 0 จะไดส้ มการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ซึง่ มีกราฟเปน็ เส้นตรง


ชวนคดิ 5.2

สามารถหาจดุ ตัดแกน X และจดุ ตัดแกน Y ของกราฟของสมการ y = ax2 เมอื่ a ≠ 0 ไดโ้ ดย
ipst .me/ 114 09 1. พิจารณาจากกราฟ จะไดว้ า่ จุดตดั แกน X และจดุ ตัดแกน Y คอื (0, 0)
หรือ 2. หาจดุ ตดั แกน X โดยแทน y ด้วย 0 ในสมการ y = ax2 จะได้ x = 0
ดงั นน้ั จดุ ตัดแกน X คอื (0, 0)
หาจดุ ตัดแกน Y โดยแทน x ดว้ ย 0 ในสมการ y = ax2 จะได้ y = 0
ดงั น้นั จุดตดั แกน Y คอื (0, 0)

ชวนคิด 5.3

พาราโบลาทก่ี �ำ หนดดว้ ยสมการ y = 4x2 และ y = -4x2 เป็นภาพสะท้อนซ่ึงกนั และกัน โดยมเี ส้นตรง
ipst.me/11410
y = 0 หรอื แกน X เป็นเสน้ สะท้อน

ชวนคิด 5.4

สมการ y = -ax2 เมื่อ a ≠ 0 มกี ราฟเป็นภาพสะท้อนของกราฟของสมการ y = ax2 เมอื่ a ≠ 0
ipst.me/11411
โดยมีแกน X เปน็ เสน้ สะท้อน

ชวนคดิ 5.5

พาราโบลาทก่ี �ำ หนดดว้ ยสมการ y = 4x2 + 1 และ y = -4x2 + 1 เปน็ ภาพสะทอ้ นซง่ึ กนั และกนั โดยมี

ipst.me/11412 เสน้ ตรง y = 1 เป็นเส้นสะทอ้ น

ชวนคิด 5.6

สามารถหาจุดตัดแกน X และจดุ ตดั แกน Y ของกราฟของสมการ y = ax2 + k เมอื่ a ≠ 0 ไดโ้ ดยก�ำ หนด

ipst.me/11413 ให้ตัวแปรใดตวั แปรหนง่ึ ในสมการเปน็ 0 ดงั น้ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลังสอง 305

1. หาจุดตดั แกน X โดยแทน y ด้วย 0 ลงในสมการ y = ax2 + k

จาก y = ax2 + k

จะได้ 0 = ax2 + k

เนื่องจาก a ≠ 0

ดังนนั้ x2 = - –ka

จากความรูเ้ รอ่ื งรากทส่ี องของจำ�นวนจรงิ จะพจิ ารณาดงั น้ี

✤ ถา้ - –ka เป็นจ�ำ นวนจรงิ บวก จะไดว้ า่ –ka เปน็ จำ�นวนจรงิ ลบ ซ่ึงจะเกดิ จากกรณี
เมอ่ื a < 0 และ k > 0 หรือเมื่อ a > 0 และ k < 0

จาก x2 = - –ka และ –ka < 0

จะได ้ | |x2 = –ka

| | เนื่องจาก –ka เปน็ จำ�นวนจริงบวก
x = - –ka หรือ x = –ka
| | | |ดังนัน้
( | | ) ( | | )จะได้ จดุ ตดั แกน X คือ - –ka , 0 และ –ka , 0

✤ ถ้า - –ka = 0 x2 = - –ka
จาก

จะได ้ x2 = 0

x = 0

ดังนน้ั จุดตดั แกน X คือ (0, 0)

✤ ถ้า - –ka เป็นจ�ำ นวนจริงลบ - –ka
x2 =
จาก

จะไดว้ ่า ไม่มีจำ�นวนจริงทแี่ ทน x แลว้ ทำ�ให้ x2 = - –ka

ดงั นน้ั กรณีนีจ้ ะไม่มจี ดุ ตดั แกน x

2. หาจดุ ตดั แกน Y โดยแทน x ดว้ ย 0 ลงในสมการ y = ax2 + k

จาก y = ax2 + k

จะได ้ y = k

ดังน้นั จดุ ตดั แกน Y คอื (0, k)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

306 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลงั สอง คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

ชวนคิด 5.7

พาราโบลาทีก่ �ำ หนดสมการ y = 4(x – 2)2 และ y = -4(x – 2)2 เปน็ ภาพสะท้อนซง่ึ กนั และกนั โดยมี

ipst.me/11414 เส้นตรง y = 0 หรือแกน X เปน็ เสน้ สะทอ้ น

ชวนคิด 5.8

สามารถหาจดุ ตดั แกน X และจุดตัดแกน Y ของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a ≠ 0 ได้โดย

ipst.me/11415 พจิ ารณาจากกราฟ จะได้วา่ จดุ ตัดแกน X คอื (h, 0)

หรอื หาจดุ ตัดแกน X โดยแทน y ด้วย 0 ลงในสมการ y = a(x – h)2

จะได้ 0 = a(x – h)2

เนือ่ งจาก a ≠ 0 (x – h)2 = 0
ดังนัน้

จะได้ x – h = 0

x = h

ดงั น้นั จดุ ตดั แกน X คอื (h, 0)

และหาจดุ ตัดแกน Y โดยแทน x ดว้ ย 0 ลงในสมการ y = a(x – h)2

จะได้ y = a(0 – h)2

y = ah2

ดงั นั้น กราฟจะมีจุดตดั แกน Y เปน็ (0, ah2)

ชวนคดิ 5.9

อาจหาคำ�ตอบโดยใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad ซ่ึงคำ�ตอบมีได้หลากหลาย ข้ึนอยู่กับ

ipst.me/11416 ระยะหนึ่งหน่วยที่ก�ำ หนด

แนวคดิ 1 กำ�หนดให้ปลายเส้นโค้งควำ่�เส้นล่างของสะพานผ่านจุด (0, 0) และใช้พารามิเตอร์กำ�หนด

คา่ a, h และ k และเขียนกราฟของฟังกช์ ัน f(x) = a(x – h)2 + k จากนน้ั ปรับคา่ พารามิเตอร์

จนกวา่ จะไดพ้ าราโบลาท่ีทับกับเส้นโคง้ คว�่ำ เส้นล่าง

สำ�หรับเส้นโค้งคว่ำ�เส้นบน สามารถใช้พารามิเตอร์กำ�หนดค่า a, h และ k อีกชุดหน่ึง
จากนั้นเขยี นกราฟของฟังก์ชัน g(x) = a(x – h)2 + k และปรับค่าพารามเิ ตอร์ จนกว่าจะได้

พาราโบลาทที่ บั กบั เสน้ โคง้ คว�ำ่ เสน้ บน เชน่ เดยี วกบั การหาเสน้ โคง้ คว�่ำ เสน้ ลา่ ง (นกั เรยี นสามารถ

สร้างเปน็ แถบเล่ือนในการปรบั ค่า a, h และ k แทนการใช้พารามเิ ตอรก์ ไ็ ด้)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชนั กำ�ลงั สอง 307

10 a = -0.039 g(x) = a ∙(x – h)2 + k

8 h = 7.70 y = -0.039 (x – 7.70 )2 + 3.95

k = 3.95

6

a = -0.055

4 h = 7.70 f (x) = a ∙(x – h)2 + k
y = -0.055 (x – 7.70 )2 + 3.25
2 k = 3.25

5 10 15 20 25 30
-2

แนวคดิ 2 กำ�หนดจุด A เป็นจุดสูงสุดของเส้นโค้งคว่ำ�เส้นล่าง และกำ�หนดจุด B เป็นจุดใด ๆ ที่อยู่บน
เสน้ โค้งคว�่ำ เสน้ ล่าง จากนน้ั วัดพิกดั ทหี่ นง่ึ และพกิ ดั ที่สองของจุด A และ จดุ B จะได้ว่า คา่ ของ
พิกัดท่ีหนึ่งและพิกัดท่ีสองของจุด A คือ ค่า h และ k ของจุดสูงสุด (h, k) ของพาราโบลา
ตามลำ�ดับ จากนั้นแทนคา่ h และ k ลงในสมการ y = a(x – h)2 + k แล้วแทน x และ y
ในสมการด้วยพิกัดท่ีหนึ่งและพิกัดท่ีสองของจุด B เพ่ือหาค่า a ก็จะได้ค่า a, h และ k
ของสมการของพาราโบลาทที่ ับเสน้ โคง้ คว�่ำ เส้นล่างของสะพาน
สำ�หรับการหาสมการของพาราโบลาของเส้นโค้งคว่ำ�เส้นบนสามารถใช้วิธีเช่นเดียวกับ
การหาสมการของพาราโบลาของเสน้ โค้งเสน้ ลา่ งได้

10 xA = 7.71 yA = 3.30 (h, k)
8
6 xB = 4.16 yB = 2.54
4A
2B y = a (x – 7.71 )2 + 3.30

5 10 แทน x ดว� ย 4.16 และแทน y ดว� ย 2.54 จะได�
-2 2.54 = a (4.16 – 7.71)2 + 3.30

a = -0.060

y = -0.060 (x – 7.71 )2 + 3.30

15 20 25 30

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

308 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลงั สอง คมู่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหดั 5.2 ก

แนวคิด จัดรปู สมการในแตล่ ะข้อ หากจัดรปู สมการแล้วไดส้ มการอยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c เม่อื x, y เปน็ ตัวแปร

a, b, c เปน็ คา่ คงตวั และ a ≠ 0 สมการดงั กล่าวจะเป็นสมการของพาราโบลา

1. y = 3x – 5 ไมเ่ ปน็ สมการของพาราโบลา เพราะไมม่ ีพจน์ ax2 เมอ่ื a เปน็ คา่ คงตวั และ a ≠ 0 ทำ�ให้

ไมส่ ามารถเขยี นให้อยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c ได้

2. y = 6 ไม่เปน็ สมการของพาราโบลา เพราะไมม่ ีพจน์ ax2 เม่อื a เป็นคา่ คงตวั และ a ≠ 0 ทำ�ให้
ไม่สามารถเขียนให้อยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c ได้

3. y = x2 + 2x – 3 เป็นสมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป y = ax2 + bx + c ได้เป็น

4. y = -2x2 y = x2 + 2x – 3 โดยท่ี a = 1, b = 2 และ c = -3
เปน็ สมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรปู y = ax2 + bx + c ได้เป็น
y = -2x2 + 0x + 0 โดยท่ี a = -2, b = 0 และ c = 0

5. y = 4x2 – 5 เป็นสมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรูป y = ax2 + bx + c ไดเ้ ป็น

6. y = 4—x 2–—x2 y = 4x2 + 0x – 5 โดยท่ี a = 4, b = 0 และ c = -5
เปน็ สมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขยี นให้อยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c ไดเ้ ปน็

y = - –21x2 + 2x + 0 โดยที่ a = - –21 , b = 2 และ c = 0
7. y = 6 – x2 เปน็ สมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขยี นให้อย่ใู นรปู y = ax2 + bx + c ไดเ้ ปน็
y = -x2 + 0x + 6 โดยที่ a = -1, b = 0 และ c = 6

8. y = 2(x + 3)2 เป็นสมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขียนใหอ้ ยูใ่ นรูป y = ax2 + bx + c ได้เป็น

9. y = x(7x + 5) y = 2x2 + 12x + 18 โดยที่ a = 2, b = 12 และ c = 18
เป็นสมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป y = ax2 + bx + c ได้เป็น

y = 7x2 + 5x + 0 โดยท่ี a = 7, b = 5 และ c = 0

10. y = x2(x – 1) ไม่เป็นสมการของพาราโบลา เพราะมีพจน์ x3 ทำ�ให้ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป
y = ax2 + bx + c ได้

แบบฝกึ หัด 5.2 ข

1. 1) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = 3x2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาหงายท่ีมีแกน Y เป็นแกนสมมาตร
จดุ ต�่ำ สดุ ของกราฟ คือ จดุ (0, 0) และกราฟผา่ นจุด (1, 3) และ (2, 12) ดงั นี้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชนั กำ�ลังสอง 309

Y

12 X
10 246

8
6
4
2

-6 -4 -2 O
-2

2) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = –45x2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาหงายที่มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร
จุดต่ำ�สุดของกราฟ คอื จุด (0, 0) และกราฟผ่านจุด (2.5, 5) และ (5, 20) ดงั นี้

Y

20

15

10

5

-6 -4 -2 O X
246

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

310 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลงั สอง ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

3) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = -5x2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�ที่มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร
จุดสูงสุดของกราฟ คือ จุด (0, 0) และกราฟผ่านจดุ (-1, -5) และ (-2, -20) ดงั น้ี

Y

-6 -4 -2 O X
-5 246

-10

-15

-20

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลงั สอง 311

4) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = - –13x2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�ที่มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร
จดุ สงู สุดของกราฟ คอื จุด (0, 0) และกราฟผา่ นจดุ (-3, -3) และ (-6, -12) ดังนี้

Y

-6 -4 -2 O X
-2 2 46
-4
-6
-8

-10
-12

2. แนวคดิ พิจารณาสมการ y = ax2 จ�ำ แนกออกเปน็ 2 กลมุ่ ดังนี้

✤ กลุ่มท่ี 1 a > 0 ได้แก่ สมการในข้อ 2) ข้อ 4) และขอ้ 6)

เนื่องจาก ถ้า |a| มคี ่าน้อยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากข้ึนเรอื่ ย ๆ

จะได้ว่า พาราโบลา c1 เป็นกราฟของสมการในข้อ 6) y = 3–5x2

พาราโบลา c2 เปน็ กราฟของสมการในข้อ 2) y = x2

พาราโบลา c3 เปน็ กราฟของสมการในข้อ 4) y = –51x2

✤ กลมุ่ ท่ี 2 a < 0 ได้แก่ สมการในขอ้ 1) ขอ้ 3) และขอ้ 5)

เนอ่ื งจาก ถา้ |a| มคี า่ น้อยลงเร่อื ย ๆ กราฟจะบานมากขึน้ เร่อื ย ๆ

จะไดว้ ่า พาราโบลา c4 เปน็ กราฟของสมการในขอ้ 5) y = - –16x2

พาราโบลา c5 เปน็ กราฟของสมการในขอ้ 3) y = - –32x2

พาราโบลา c6 เป็นกราฟของสมการในข้อ 1) y = -3x2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

312 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ นั กำ�ลงั สอง ค่มู อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

3. แนวคดิ กราฟของสมการ y = 4x2 เปน็ พาราโบลาหงาย และกราฟของสมการ y = -4x2 เป็นพาราโบลาคว�่ำ
เขียนกราฟของสมการทง้ั สองโดยใชแ้ กนคเู่ ดียวกนั ได้ดงั นี้

Y

6
y = 4x2

4

2

-4 -2 O X
-2 24

-4
y = -4x2

-6

จะได้วา่

1) กราฟทั้งสองมีแกน Y เปน็ แกนสมมาตร
2) จุดต่ำ�สดุ ของกราฟของสมการ y = 4x2 คือ จดุ (0, 0)
จุดสงู สดุ ของกราฟของสมการ y = -4x2 คอื จุด (0, 0)
3) คา่ ต่�ำ สุดของ y ของสมการ y = 4x2 คอื 0
ค่าสงู สดุ ของ y ของสมการ y = -4x2 คอื 0

4. แนวคิด พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาที่กำ�หนดให้ จะได้ว่า สมการของพาราโบลาอยู่ในรูป y = ax2

เม่ือ a ≠ 0 และเมอ่ื แทน x และ y ด้วยพิกัดทห่ี นงึ่ และพิกดั ทีส่ องของคู่อนั ดับของจดุ ทีก่ ราฟผา่ นลง

ในสมการ จะสามารถหาค่า a ไดด้ งั นี้
( ) เน่ืองจาก กราฟผ่านจุด 3, - –95
แทน x ดว้ ย 3 และแทน y ดว้ ย - –95 ลงในสมการ y = ax2 จะได้

- –95 = a(3)2
- –51
a =

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลังสอง 313

แทน a ด้วย - –51 ลงในสมการ y = ax2
จะได้ y = - –51x2

( )และเม่ือใชพ้ ิกัดท่ีหน่งึ และพกิ ัดทส่ี องของจุด -2, - –54 และ (0, 0) มาตรวจสอบ

จะได้ว่า ค่าเหล่านั้นท�ำ ใหส้ มการ y = - –51x2 เปน็ จริง

( ) ( )ดงั นนั้ สมการของพาราโบลาทผี่ า่ นจดุ -2, - –54 , (0, 0) และ 3, - –95 คือ y = - –51x2

แบบฝึกหดั 5.2 ค

1. 1) แนวคิด พจิ ารณาสมการ y = 5x2 + 4 จะไดก้ ราฟเป็นพาราโบลาหงายท่ีมแี กน Y เป็นแกนสมมาตร
จดุ ต�่ำ สุดของกราฟ คือ จุด (0, 4) และกราฟผ่านจุด (1, 9) และ (2, 24) ดงั นี้

Y

25
20
15
10

5

-4 -2 O 24 X

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

314 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ ันกำ�ลังสอง คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

2) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = –41x2 – 1 จะไดก้ ราฟเป็นพาราโบลาหงายทมี่ แี กน Y เป็นแกนสมมาตร
จดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟ คือ จุด (0, -1) และกราฟผา่ นจุด (2, 0) และ (4, 3) ดงั น้ี

Y

5
4
3
2
1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 123456 X

-1

-2

-3

3) แนวคดิ พจิ ารณาสมการ y = -3x2 – 2 จะไดก้ ราฟเปน็ พาราโบลาคว่�ำ ทม่ี แี กน Y เปน็ แกนสมมาตร
จุดสูงสุดของกราฟ คือ จดุ (0, -2) และกราฟผ่านจุด (1, -5) และ (2, -14) ดังน้ี

Y

-6 -4 -2 O X
246
-5

-10

-15

-20

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลังสอง 315

4) แนวคิด พจิ ารณาสมการ y = - –13x2 + 2 จะได้กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ�ทีม่ แี กน Y เปน็ แกนสมมาตร
จุดสงู สดุ ของกราฟ คือ จดุ (0, 2) และกราฟผ่านจดุ (-3, -1) และ (-6, -10) ดังน้ี

Y

-6 -4 -2 O X
246
-2
-4
-6
-8
-10
-12

2. แนวคดิ พิจารณาสมการ y = ax2 + k จำ�แนกออกเปน็ 2 กล่มุ ดังน้ี

✤ กลุ่มท่ี 1 k = 2 ได้แก่ สมการในขอ้ 2) และขอ้ 3)

เนอื่ งจาก ถ้า |a| มีค่านอ้ ยลงเรือ่ ย ๆ กราฟจะบานมากข้ึนเร่ือย ๆ

จะได้วา่ พาราโบลา c3 เป็นกราฟของสมการในข้อ 2) y = -x2 + 2

พาราโบลา c4 เปน็ กราฟของสมการในขอ้ 3) y = - 41–x2 + 2

✤ กลุ่มท่ี 2 k = -5 ได้แก่ สมการในขอ้ 1) และขอ้ 4)

เน่ืองจาก ถา้ |a| มคี า่ น้อยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากขนึ้ เรอื่ ย ๆ

จะได้วา่ พาราโบลา c1 เปน็ กราฟของสมการในขอ้ 1) y = 3x2 – 5

พาราโบลา c2 เป็นกราฟของสมการในขอ้ 4) y = –31x2 – 5

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

316 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลังสอง คมู่ อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

3. แนวคดิ กราฟของสมการ y = 4x2 + 1 เป็นพาราโบลาหงาย และกราฟของสมการ y = -4x2 + 1
เปน็ พาราโบลาควำ�่ เขียนกราฟของสมการทงั้ สองโดยใช้แกนคู่เดยี วกนั ได้ดังนี้

Y

6
y = 4x2 + 1

4

2

-4 -2 O 2 4X
y = -4x2 + 1
-2
-4

จะได้วา่

1) กราฟทง้ั สองมแี กน Y เปน็ แกนสมมาตร
2) จุดตำ�่ สุดของกราฟของสมการ y = 4x2 + 1 คือ จดุ (0, 1)
จดุ สูงสุดของกราฟของสมการ y = -4x2 + 1 คือ จดุ (0, 1)
3) คา่ ตำ่�สุดของ y ของสมการ y = 4x2 + 1 คือ 1
คา่ สูงสุดของ y ของสมการ y = -4x2 + 1 คือ 1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลังสอง 317

4. แนวคดิ ค�ำ ตอบของข้อ 1) ถงึ ข้อ 4) สามารถหาได้จากลกั ษณะทัว่ ไปของกราฟของสมการ y = ax2 + k

เม่ือ a ≠ 0

ค�ำ ตอบของข้อ 5) สำ�หรบั จดุ ตดั แกน X จะมีคา่ y ของพิกัดเป็น 0 จงึ แทนคา่ y ดว้ ย 0 ลงใน

สมการ แล้วแก้สมการหาคา่ x

ส�ำ หรบั จุดตัดแกน Y คอื จุดต�ำ่ สดุ หรือจุดสูงสดุ ของกราฟ
สมการท่ี 1 : y = 2x2 + 5

1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย

2) จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟ คอื จดุ (0, 5)

3) คา่ ต�ำ่ สุดของ y คอื 5

4) แกน Y เป็นแกนสมมาตร (หรือเสน้ ตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตร)

5) กราฟไมต่ ัดแกน X แต่ตดั แกน Y ที่จดุ (0, 5)

สมการท่ี 2 : y = - 4–9x2 + 1
1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่�ำ

2) จุดสงู สดุ ของกราฟ คอื จดุ (0, 1)

3) ค่าสูงสุดของ y คือ 1

4) แกน Y เปน็ แกนสมมาตร (หรือเสน้ ตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตร)

5) กราฟตัดแกน X ทีจ่ ดุ - –32, 0 และ –32, 0 และตัดแกน Y ที่จุด (0, 1)

( ) ( ) สมการที่ 3 : y = -3x2 – –13

1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ�

( )2) 0, - –13

3)
จดุ สูงสดุ ของกราฟ คือ จุด
คา่ สูงสุดของ y คือ - –13

4) แกน Y เปน็ แกนสมมาตร (หรอื เสน้ ตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตร)

( ) 5) กราฟไมต่ ัดแกน X แต่ตัดแกน Y ทจ่ี ุด 0, - –13

สมการท่ี 4 : y = -x2 + 5

1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่�ำ

2) จดุ สูงสุดของกราฟ คือ จดุ (0, 5)

3) ค่าสูงสุดของ y คือ 5

4) แกน Y เปน็ แกนสมมาตร (หรือเสน้ ตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตร)
5) กราฟตัดแกน X ท่จี ุด (-√5, 0) และ (√5, 0) และตัดแกน Y ท่จี ดุ (0, 5)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

318 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชนั กำ�ลงั สอง คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

5. 1) แนวคิด พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาที่กำ�หนดให้ จะได้ว่า สมการของพาราโบลาอย่ใู นรปู y = ax2

เมอ่ื a > 0 และเมื่อแทน x และ y ด้วยพิกดั ทหี่ นึ่งและพิกดั ทสี่ องของคู่อันดับของจดุ ทก่ี ราฟ

ผา่ นลงในสมการ จะสามารถหาคา่ a ได้ดังนี้

เน่อื งจาก กราฟผา่ นจดุ (1, 2)

แทน x ดว้ ย 1 และแทน y ด้วย 2 ลงในสมการ y = ax2 จะได้

2 = a(1)2

a = 2

แทน a ดว้ ย 2 ลงในสมการ y = ax2

จะได้ y = 2x2

และเม่ือใช้พิกัดทห่ี นึ่งและพกิ ดั ทส่ี องของจุด (-2, 8) และ (0, 0) มาตรวจสอบ

จะได้วา่ คา่ เหล่านน้ั ทำ�ให้สมการ y = 2x2 เป็นจริง

ดังนั้น สมการของพาราโบลาทผ่ี ่านจดุ (-2, 8), (0, 0) และ (1, 2) คอื y = 2x2

2) ถ้าเลอื่ นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ข้ึนไป 3 หน่วย กราฟท่ีได้จะมสี มการเป็น

y = 2x2 + 3

3) ถา้ เลอ่ื นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ลงมา 5 หน่วย กราฟทไ่ี ดจ้ ะมสี มการเปน็

y = 2x2 – 5

6. แนวคิด พจิ ารณาจากกราฟของพาราโบลาทก่ี ำ�หนดให้ จะได้วา่ สมการของพาราโบลาอยู่ในรูป
y = ax2 + k เมื่อ a > 0 ซึง่ มีจดุ ตำ่�สดุ ของกราฟ คือ (0, k)

และเน่ืองจากจุด (0, 4) เปน็ จุดตำ�่ สดุ ของกราฟ ดังน้นั k = 4

จงึ ไดส้ มการของพาราโบลาอยู่ในรปู y = ax2 + 4

และเมอื่ แทน x และ y ด้วยพกิ ัดที่หน่ึงและพิกดั ทีส่ องของจดุ ที่กราฟผ่านลงในสมการ

y = ax2 + 4 จะสามารถหาคา่ a ไดด้ ังน้ี

เนอ่ื งจากกราฟผ่านจุด (-2, 8)
แทน x ด้วย -2 และแทน y ด้วย 8 ลงในสมการ y = ax2 + 4 จะได้

8 = a(-2)2 + 4

a = 1

แทน a ด้วย 1 ลงในสมการ y = ax2 + 4

จะได้ y = x2 + 4

และเม่อื ใชพ้ กิ ัดท่หี น่งึ และพกิ ัดที่สองของจุด (0, 4) และ (3, 13) มาตรวจสอบ
จะได้วา่ คา่ เหล่านนั้ ทำ�ให้สมการ y = x2 + 4 เป็นจริง
ดงั นั้น สมการของพาราโบลาทผี่ า่ นจดุ (-2, 8), (0, 4) และ (3, 13) คือ y = x2 + 4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชันก�ำ ลงั สอง 319

แบบฝกึ หดั 5.2 ง

1. 1) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = (x + 1)2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาหงายท่ีมีเส้นตรง x = -1 เป็น
แกนสมมาตร จุดต่ำ�สดุ ของกราฟ คือ จุด (-1, 0) และกราฟผ่านจุด (-3, 4) และ (-4, 9) ดงั นี้

Y

12

10 X
8
6 246
4
2

-6 -4 -2 O

-2

2) แนวคิด พิจารณาสมการ y = -3(x – 1)2 จะได้กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ�ทีม่ เี ส้นตรง x = 1 เป็น
แกนสมมาตร จดุ สงู สดุ ของกราฟ คอื จุด (1, 0) และกราฟผ่านจุด (2, -3) และ (3, -12) ดังนี้

Y

-6 -4 -2 O X

-2 24 6
-4
-6
-8
-10
-12

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

320 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสอง คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

3) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = -4(x + 2)2 จะไดก้ ราฟเป็นพาราโบลาควำ่�ท่ีมเี ส้นตรง x = -2 เปน็
แกนสมมาตร จดุ สงู สดุ ของกราฟ คอื จดุ (-2, 0) และกราฟผา่ นจดุ (-3, -4) และ (-4, -16) ดงั น้ี

Y

-6 -4 -2 O 2 4 6X

-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16

4) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = (x – 2)2 จะไดก้ ราฟเป็นพาราโบลาหงายที่มเี สน้ ตรง x = 2 เป็น
แกนสมมาตร จุดต่�ำ สุดของกราฟ คอื จดุ (2, 0) และกราฟผ่านจดุ (4, 4) และ (5, 9) ดงั น้ี

Y

12 X
10
246
8
6
4
2

-6 -4 -2 O

-2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั กำ�ลังสอง 321

2. 1) กราฟของ y = -(x + 3)2 เป็นพาราโบลาคว�่ำ และมจี ดุ สูงสุดอยู่ท่ี (-3, 0)

ดังนนั้ กราฟของ y = -(x + 3)2 คอื พาราโบลา c3
2) กราฟของ y = (x + 5)2 เปน็ พาราโบลาหงายและมจี ุดตำ�่ สดุ อย่ทู ่ี (-5, 0)

ดังนน้ั กราฟของ y = (x + 5)2 คือ พาราโบลา c1
3) กราฟของ y = -(x – 3)2 เป็นพาราโบลาคว�ำ่ และมจี ดุ สงู สดุ อย่ทู ่ี (3, 0)

ดังนน้ั กราฟของ y = -(x – 3)2 คอื พาราโบลา c4
4) กราฟของ y = (x – 1)2 เป็นพาราโบลาหงายและมจี ุดต�่ำ สุดอย่ทู ่ี (1, 0)

ดงั นนั้ กราฟของ y = (x – 1)2 คือ พาราโบลา c2

3. แนวคิด กราฟของสมการ y = 4(x – 2)2 เป็นพาราโบลาหงาย และกราฟของสมการ y = -4(x – 2)2
เปน็ พาราโบลาควำ�่ เขยี นกราฟของสมการทั้งสองโดยใช้แกนค่เู ดยี วกัน ไดด้ ังนี้

Y

6

y = 4(x – 2)2

4

2 X

-6 -4 -2 O 24 6

-2

-4 y = -4(x – 2)2

-6

จะได้วา่

1) กราฟท้ังสองมเี ส้นตรง x = 2 เปน็ แกนสมมาตร
2) จดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟของสมการ y = 4(x – 2)2 คอื จดุ (2, 0)
จดุ สงู สดุ ของกราฟของสมการ y = -4(x – 2)2 คือ จุด (2, 0)
3) คา่ ต่�ำ สุดของ y ของสมการ y = 4(x – 2)2 คอื 0
ค่าสงู สุดของ y ของสมการ y = -4(x – 2)2 คอื 0

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

322 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

4. แนวคดิ ค�ำ ตอบของขอ้ 1) ถึงขอ้ 4) สามารถหาได้จากลักษณะท่ัวไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2

เมอื่ a ≠ 0

คำ�ตอบของขอ้ 5) ส�ำ หรับจดุ ตัดแกน X คอื จดุ ตำ่�สุดหรอื จุดสูงสุดของกราฟ

ส�ำ หรบั จดุ ตดั แกน Y จะมีคา่ x ของพิกดั เป็น 0 จงึ แทนค่า x ด้วย 0 ลงในสมการ

แล้วแก้สมการหาคา่ y
สมการท่ี 1 : y = -(x – 4)2

1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ�

2) จุดสงู สุดของกราฟ คอื จุด (4, 0)

3) คา่ สูงสดุ ของ y คอื 0

4) เสน้ ตรง x = 4 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตดั แกน X ทจี่ ดุ (4, 0) และตดั แกน Y ทีจ่ ดุ (0, -16)
สมการท่ี 2 : y = -3(x + 2)2

1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่�ำ

2) จุดสูงสดุ ของกราฟ คือ จุด (-2, 0)

3) คา่ สงู สุดของ y คอื 0

4) เสน้ ตรง x = -2 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตดั แกน X ที่จุด (-2, 0) และตดั แกน Y ทจี่ ุด (0, -12)

( ) สมการที่ 3 : y = 4 x – 2–1 2

1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย

( )2) จุดต�ำ่ สุดของกราฟ คือ จดุ 2–1, 0

3) ค่าต�ำ่ สุดของ y คอื 0

4กเส:ร้นาyตฟรต=งัดแ–31xก(xน=–X2–13ท)2เปี่จุด็นแ2–1ก,น0สมมแาลตะรตัดแกน
( ) 4) Y ทจ่ี ุด (0, 1)

5)
สมการท่ี

1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย

2) จุดตำ่�สดุ ของกราฟ คือ จดุ (3, 0)

3) คา่ ต�ำ่ สุดของ y คอื 0

4) เส้นตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตัดแกน X ท่ีจดุ (3, 0) และตัดแกน Y ทจ่ี ุด (0, 3)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลงั สอง 323

5. 1) แนวคิด พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาท่ีก�ำ หนดให้ จะได้ว่า สมการของพาราโบลาอยใู่ นรูป y = ax2

เม่ือ a < 0 และเม่ือแทน x และ y ดว้ ยพิกดั ที่หนงึ่ และพกิ ดั ทส่ี องของคอู่ นั ดบั ของจุดทกี่ ราฟ

ผา่ นลงในสมการ จะสามารถหาค่า a ไดด้ ังน้ี

เน่ืองจาก กราฟผ่านจุด (-2, -4)

แทน x ด้วย -2 และแทน y ด้วย -4 ลงในสมการ y = ax2 จะได้

-4 = a(-2)2

a = -1

แทน a ด้วย -1 ลงในสมการ y = ax2

จะได้ y = -x2

และเม่อื ใช้พิกดั ทหี่ นงึ่ และพกิ ดั ที่สองของจดุ (0, 0) และ (3, -9) มาตรวจสอบ

จะไดว้ า่ คา่ เหล่าน้นั ท�ำ ให้สมการ y = -x2 เป็นจรงิ

ดงั นัน้ สมการของพาราโบลาทผ่ี า่ นจุด (-2, -4) , (0, 0) และ (3, -9) คือ y = -x2

2) ถ้าเลือ่ นขนานกราฟของ y = -x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 2 หน่วย กราฟที่ได้จะมีสมการเป็น

y = -(x – 2)2

3) ถ้าเล่อื นขนานกราฟของ y = -x2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย 4 หนว่ ย กราฟทไี่ ดจ้ ะมสี มการเป็น

y = -(x + 4)2

6. แนวคดิ พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาท่กี �ำ หนดให้ จะได้ว่า สมการของพาราโบลาอยู่ในรูป y = a(x – h)2

เม่อื a > 0 และมีจุดตำ�่ สุดของกราฟ คอื จุด (h, 0)

และเนอ่ื งจากจดุ (4, 0) เป็นจดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟ ดงั นน้ั h = 4
จงึ ได้สมการของพาราโบลาอยใู่ นรูป y = a(x – 4)2
และเมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยพกิ ดั ทห่ี น่ึงและพกิ ดั ท่ีสองของจุดท่กี ราฟผ่านลงในสมการ y = a(x – 4)2

จะสามารถหาคา่ a ได้ดงั น้ี

เน่ืองจากกราฟผ่านจดุ (2, 2)

แทน x ด้วย 2 และแทน y ดว้ ย 2 ลงในสมการ y = a(x – 4)2 จะได้

2 = a(2 – 4)2

a = –12
แทน a ดว้ ย a(x – 4)2
จะได้ y = 1–21–2 ลงในสมการ y =
(x – 4)2

และเมื่อใช้พกิ ัดทีห่ น่งึ และพิกัดทส่ี องของจดุ (4, 0) และ (8, 8) มาตรวจสอบ

จะได้วา่ ค่าเหล่านั้นท�ำ ใหส้ มการ y = 1–2(x – 4)2 เป็นจริง ส(8ถ,าบ8ัน) ส่งคเอืสริมyกา=รสอ1–2น(วxิทย–าศ4า)ส2 ตร์และเทคโนโลยี
ดังนนั้ สมการของพาราโบลาท่ีผ่านจุด (2, 2) , (4, 0) และ

324 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

แบบฝกึ หดั 5.2 จ

1. 1) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = 4(x – 1)2 – 2 จะไดก้ ราฟเปน็ พาราโบลาหงายท่มี ีเสน้ ตรง x = 1
เป็นแกนสมมาตร จุดต่�ำ สดุ ของกราฟ คือ จดุ (1, -2) และกราฟผ่านจดุ (2, 2) และ (3, 14)
ดังนี้

Y

14 2 4 6X
12
10

8
6
4
2

-6 -4 -2 O

-2

2) แนวคิด พจิ ารณาสมการ y = -(x + 1)2 – 3 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาควำ�่ ทม่ี ีเส้นตรง x = -1
เป็นแกนสมมาตร จุดสงู สุดของกราฟ คือ จดุ (-1, -3) และกราฟผา่ นจุด (0, -4) และ (1, -7)
ดงั นี้

Y

-6 -4 -2 O 2 4 6X

-2
-4
-6
-8

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง 325

3) แนวคดิ พจิ ารณาสมการ y = -3(x + 1)2 + 3 จะไดก้ ราฟเปน็ พาราโบลาคว�่ำ ท่ีมเี ส้นตรง x = -1

เปน็ แกนสมมาตร จุดสงู สุดของกราฟ คือ จดุ (-1, 3) และกราฟผ่านจดุ (-2, 0) และ (-3, -9)

ดังนี้

Y

4 X
2
246
-6 -4 -2 O

-2
-4
-6
-8
-10
-12

4) แนวคิด พจิ ารณาสมการ y = (x + 2)2 + 2 จะได้กราฟเปน็ พาราโบลาหงายทีม่ เี สน้ ตรง x = -2

เปน็ แกนสมมาตร จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟ คือ จุด (-2, 2) และกราฟผา่ นจดุ (0, 6) และ (1, 11)

ดังนี้

Y

14 X
12
10 246

8
6
4
2

-6 -4 -2 O

-2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

326 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สอง คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

2. แนวคิด 1) กราฟของ y = -(x – 6)2 – 1 เป็นพาราโบลาคว�ำ่ และมีจดุ สงู สดุ อยทู่ ี่ (6, -1)

ดงั นน้ั กราฟของ y = -(x – 6)2 – 1 คอื พาราโบลา c4
2) กราฟของ y = (x + 4)2 – 1 เป็นพาราโบลาหงายและมีจดุ ต�ำ่ สดุ อยูท่ ี่ (-4, -1)

ดงั นัน้ กราฟของ y = (x + 4)2 – 1 คือ พาราโบลา c1
3) กราฟของ y = -(x – 4)2 เป็นพาราโบลาควำ�่ และมีจดุ สงู สุดอยูท่ ่ี (4, 0)

ดังน้นั กราฟของ y = -(x – 4)2 คอื พาราโบลา c3
4) กราฟของ y = (x + 2)2 เป็นพาราโบลาหงายและมจี ุดต�่ำ สดุ อยู่ที่ (-2, 0)

ดงั น้นั กราฟของ y = (x + 2)2 คือ พาราโบลา c2

3. แนวคดิ ค�ำ ตอบในขอ้ 1) ถงึ ข้อ 4) สามารถหาไดจ้ ากลักษณะท่วั ไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k

เมอ่ื a ≠ 0

คำ�ตอบในข้อ 5) ส�ำ หรับจุดตดั แกน X จะมีค่า y ของพิกดั เปน็ 0 จึงแทนค่า y ดว้ ย 0 ลงในสมการ

แล้วแกส้ มการหาค่า x

ส�ำ หรบั จุดตดั แกน Y จะมีค่า x ของพิกัดเปน็ 0 จงึ แทนค่า x ด้วย 0 ลงในสมการ

แล้วแก้สมการหาค่า y

สมการท่ี 1 : y = -(x – 4)2 + 1

1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ�

2) จุดสงู สดุ ของกราฟ คอื จุด (4, 1)

3) ค่าสงู สดุ ของ y คอื 1

4) เส้นตรง x = 4 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตดั แกน X ที่จดุ (3, 0) และจุด (5, 0) และตัดแกน Y ที่จุด (0, -15)
สมการท่ี 2 : y = -3(x + 2)2 – 4

1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว�ำ่

2) จุดสูงสดุ ของกราฟ คือ จุด (-2, -4)

3) คา่ สงู สุดของ y คือ -4

4) เสน้ ตรง x = -2 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟไม่ตัดแกน X แต่ตดั แกน Y ทีจ่ ดุ (0, -16)
สมการท่ี 3 : y = 2(x – 3)2 – 8

1) กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย

2) จดุ ตำ่�สุดของกราฟ คอื จดุ (3, -8)

3) ค่าต�่ำ สดุ ของ y คอื -8

4) เสน้ ตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตดั แกน X ท่ีจุด (1, 0) และจุด (5, 0) และตดั แกน Y ที่จดุ (0, 10)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ นั กำ�ลงั สอง 327

สมการที่ 4 : y = 3–2(x + 3)2 + 1
1) กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย
2) จดุ ตำ�่ สุดของกราฟ คอื จดุ (-3, 1)
3) ค่าตำ�่ สุดของ y คอื 1
4) เส้นตรง x = -3 เปน็ แกนสมมาตร
5) กราฟไม่ตัดแกน X แตต่ ดั แกน Y ท่จี ุด (0, 7)

4. 1) แนวคดิ พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาทก่ี ำ�หนดให้ จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = ax2

เม่อื a > 0 และเมื่อแทน x และ y ดว้ ยพิกัดที่หนึง่ และพิกัดที่สองของคู่อนั ดับของจุดที่กราฟ

ผ่านลงในสมการ จะสามารถหาคา่ a ไดด้ ังน้ี

เน่อื งจาก กราฟผา่ นจดุ (-1, 2)

แทน x ด้วย -1 และแทน y ดว้ ย 2 ลงในสมการ y = ax2 จะได้

2 = a(-1)2

a = 2

แทน a ด้วย 2 ลงในสมการ y = ax2

จะได้ y = 2x2

และเมือ่ ใชพ้ ิกดั ท่หี น่ึงและพิกัดทีส่ องของจดุ (0, 0) และ (2, 8) มาตรวจสอบ

จะได้วา่ คา่ เหล่านัน้ ท�ำ ให้สมการ y = 2x2 เปน็ จริง

ดงั นั้น สมการของพาราโบลาท่ีผ่านจุด (-1, 2) , (0, 0) และ (2, 8) คอื y = 2x2

2) ถ้าเลอ่ื นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 2 หน่วย แล้วเลือ่ นขนานตามแนวแกน Y

ขน้ึ ไป 3 หน่วย กราฟที่ไดจ้ ะมีสมการเป็น y = 2(x – 2)2 + 3

3) ถา้ เลอ่ื นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางซ้าย 1 หน่วย แลว้ เลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y

ขึ้นไป 2 หนว่ ย กราฟที่ได้จะมสี มการเป็น y = 2(x + 1)2 + 2

4) ถา้ เลอ่ื นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 4 หนว่ ย แล้วเลอื่ นขนานตามแนวแกน Y

ลงมา 3 หนว่ ย กราฟทีไ่ ดจ้ ะมสี มการเปน็ y = 2(x – 4)2 – 3

5) ถ้าเลื่อนขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย 5 หน่วย แลว้ เล่อื นขนานตามแนวแกน Y

ลงมา 2 หน่วย กราฟทีไ่ ด้จะมีสมการเป็น y = 2(x + 5)2 – 2

5. แนวคดิ พจิ ารณาจากกราฟของพาราโบลาทก่ี �ำ หนดให้ จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k

เมื่อ a < 0 ซ่ึงมีจดุ สูงสดุ ของกราฟคอื จดุ (h, k)

และเนอื่ งจากจดุ (3, 3) เปน็ จุดสูงสดุ ของกราฟ ดงั นน้ั h = 3 และ k = 3
จงึ ไดส้ มการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – 3)2 + 3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

328 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลงั สอง ค่มู ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

และเมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยพกิ ดั ทห่ี นง่ึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ ทก่ี ราฟผา่ นลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 3

จะสามารถหาค่า a ไดด้ ังน้ี

เนอื่ งจากกราฟผ่านจุด (2, 1)

แทน x ดว้ ย 2 และแทน y ดว้ ย 1 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 3 จะได้

1 = a(2 – 3)2 + 3

a = -2

แทน a ด้วย -2 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 3

จะได้ y = -2(x – 3)2 + 3

และเม่ือใช้พกิ ดั ที่หนึ่งและพิกัดที่สองของจุด (3, 3) และ (5, -5) มาตรวจสอบ
จะได้วา่ ค่าเหล่าน้นั ท�ำ ใหส้ มการ y = -2(x – 3)2 + 3 เป็นจรงิ
ดังน้นั สมการของพาราโบลาทผี่ ่านจดุ (2, 1) , (3, 3) และ (5, -5) คือ y = -2(x – 3)2 + 3

แบบฝกึ หดั 5.2 ฉ

1. 1) แนวคิด เขยี นสมการ y = x2 + 6x + 8 ใหอ้ ยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 ไดด้ งั นี้

y = x2 + 6x + 8

= [x2 + 2(x)(3) + 32] – 32 + 8
= (x + 3)2 – 1

พจิ ารณาสมการ y = (x + 3)2 – 1 จะไดก้ ราฟเปน็ พาราโบลาหงายทีม่ ีเส้นตรง x = -3

เปน็ แกนสมมาตร จุดตำ�่ สดุ ของกราฟ คอื จดุ (-3, -1) และกราฟผ่านจุด (-4, 0) และ (-5, 3)

ดังนี้

Y

6 2 X
4
2

-6 -4 -2 O

-2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันกำ�ลงั สอง 329

2) แนวคดิ เขียนสมการ y = -x2 – 4x – 2 ให้อยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0 ได้ดงั นี้

y = -x2 – 4x – 2

= -(x2 + 4x) – 2

= -[(x2 + 2(x)(2) + 22) – 22] – 2

= -(x + 2)2 + 4 – 2

= -(x + 2)2 + 2

พิจารณาสมการ y = -(x + 2)2 + 2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�ท่มี เี สน้ ตรง x = -2

เปน็ แกนสมมาตร จดุ ต่�ำ สดุ ของกราฟ คือ จดุ (-2, 2) และกราฟผ่านจุด (-3, 1) และ (-4, -2)

ดังนี้

Y

2 1 X
1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 O

-1
-2
-3
-4
-5

2. แนวคิด คำ�ตอบในขอ้ 1) ถึงข้อ 4) สามารถหาไดจ้ ากลกั ษณะทัว่ ไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k

เมอื่ a ≠ 0

คำ�ตอบในข้อ 5) สำ�หรับจุดตัดแกน X จะมีค่า y ของพิกัดเปน็ 0 จึงแทนค่า y ดว้ ย 0 ลงในสมการ

แล้วแกส้ มการหาคา่ x

ส�ำ หรับจดุ ตดั แกน Y จะมคี า่ x ของพิกัดเปน็ 0 จึงแทนค่า x ดว้ ย 0 ลงในสมการ

แล้วแก้สมการหาคา่ y
สมการที่ 1 : y = x2 – 6x
จาก y = x2 – 6x

จะได้ y = [x2 – 2(x)(3) + 32] – 32

= (x – 3)2 – 9

1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย

2) จดุ ตำ่�สุดของกราฟ คือ จดุ (3, -9)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

330 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

3) ค่าตำ่�สุดของ y คอื -9

4) เส้นตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตัดแกน X ทจ่ี ดุ (0, 0) และจดุ (6, 0) และตัดแกน Y ที่จุด (0, 0)

สมการท่ี 2 : y = -x2 – 6x
จาก y = -x2 – 6x
จะได้ y = -(x2 + 6x)

= -[(x2 + 2(x)(3) + 32) – 32]

= -(x + 3)2 + 9

1) กราฟเป็นพาราโบลาควำ่�

2) จุดสงู สุดของกราฟ คือ จุด (-3, 9)

3) คา่ สูงสุดของ y คอื 9

4) เส้นตรง x = -3 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตดั แกน X ท่จี ดุ (-6, 0) และจดุ (0, 0) และตัดแกน Y ทจี่ ุด (0, 0)

สมการที่ 3 : y = -x2 + 6x – 5
จาก y = -x2 + 6x – 5

จะได ้ y = -(x2 – 6x) – 5

{ } = - [x2 – 2(x)(3) + 32] – 32 – 5

= -(x – 3)2 + 9 – 5
= -(x – 3)2 + 4

1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว�ำ่

2) จดุ สูงสดุ ของกราฟ คอื จุด (3, 4)

3) ค่าสงู สดุ ของ y คือ 4

4) เส้นตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตดั แกน X ที่จดุ (1, 0) และจุด (5, 0) และตัดแกน Y ท่จี ดุ (0, -5)
สมการท่ี 4 : y = 2x2 + 5x + 2

จาก y = 2x2 + 5x + 2

( ) จะได ้ y = 2 x2 + –45x + 2
{[ ( ) ( ) ] ( ) } = 2 x2 + 2 –45 x + –45 2 – –45 2 + 2
( ) ( ) 2
= 2 x + –45 2—85 +2
–

( ) ( ) = 2 x + –45 2 – 8–9

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันก�ำ ลงั สอง 331

1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย

( )2) จุดต่�ำ สดุ ของกราฟ คอื จุด - –45, - 8–9

3) คา่ ต�ำ่ สดุ ของ y คอื - 8–9
4) เสน้ ตรง x = - –45 เป็นแกนสมมาตร

( )5) กราฟตัดแกน X ทีจ่ ดุ (-2, 0) และจดุ - 2–1, 0 และตดั แกน Y ท่จี ุด (0, 2)

3. แนวคดิ พจิ ารณาจากกราฟของพาราโบลาทก่ี �ำ หนดให้ จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k

เม่อื a > 0 ซ่งึ มจี ดุ ต�่ำ สุดของกราฟคอื จุด (h, k)

และเนอื่ งจากจดุ (-3, -2) เป็นจุดตำ่�สดุ ของกราฟ ดงั น้ัน h = -3 และ k = -2
จึงได้สมการของพาราโบลาอยูใ่ นรปู y = a(x + 3)2 – 2
และเมื่อแทน x และ y ดว้ ยพิกัดที่หนง่ึ และพกิ ัดท่สี องของจดุ ท่กี ราฟผ่านลงในสมการ y = a(x + 3)2 – 2

จะสามารถหาคา่ a ได้ดงั นี้

เนอื่ งจากกราฟผา่ นจุด (-2, 0)

แทน x ด้วย -2 และแทน y ด้วย 0 ลงในสมการ y = a(x + 3)2 – 2 จะได้

0 = a(-2 + 3)2 – 2

a = 2

แทน a ด้วย 2 ลงในสมการ y = a(x + 3)2 – 2

จะได้ y = 2(x + 3)2 – 2

และเม่อื ใช้พิกดั ท่ีหนงึ่ และพิกดั ท่ีสองของจุด (-5, 6) และ (-3, -2) มาตรวจสอบ

จะไดว้ า่ ค่าเหล่านน้ั ทำ�ใหส้ มการ y = 2(x + 3)2 – 2 เป็นจริง

ดังนนั้ สมการของพาราโบลาท่ีผา่ นจุด (-5, 6) , (-3, -2) และ (-2, 0) คือ y = 2(x + 3)2 – 2

ซง่ึ สามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู นรปู y = ax2 + bx + c ไดด้ ังนี้

y = 2(x + 3)2 – 2

= 2(x2 + 6x + 9) – 2

= 2x2 + 12x + 16

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

332 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสอง คูม่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

4. แนวคดิ พจิ ารณาจากสมการทีก่ ำ�หนดให้ จะสามารถจดั ใหอ้ ยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k เม่ือ a ≠ 0

ไดด้ ังน้ี

จาก s = -2t2 + 48t + 20

จะได้ s = -2(t2 – 24t) + 20
{ } = -2 [(t2 – 2(t)(12) + 122] – 122 + 20
= -2(t – 12)2 + 2(122) + 20

= -2(t – 12)2 + 308

แสดงว่า กราฟของสมการเปน็ พาราโบลาคว่ำ� และจุดสงู สุดของกราฟ คือ จุด (12, 308)

1) เมอ่ื เวลา 0 วนิ าที (t = 0) เปน็ จุดท่ยี งิ ปืนใหญ่อยสู่ ูงจากพนื้ น�้ำ

ซ่งึ จะได้ s = -2(0 – 12)2 + 308 = 20

ดังนั้น จุดท่ยี งิ ปืนใหญ่อยสู่ งู จากพนื้ น�้ำ 20 เมตร

2) เนื่องจาก จดุ สงู สดุ ของกราฟ คอื จดุ (12, 308)

ดงั นัน้ กระสุนปืนใหญข่ น้ึ ไปไดส้ งู สุดเมอื่ เวลาผ่านไป 12 วินาที หลังจากการยิง และขน้ึ ไปได้สูงสดุ 308 เมตร

3) แทน s ด้วย 180 ลงในสมการท่ีก�ำ หนดให้ จะได้

180 = -2t2 + 48t + 20

t2 – 24t + 80 = 0

(t – 4)(t – 20) = 0

นั่นคือ t = 4 หรือ t = 20

ดังน้นั กระสุนปนื ใหญ่จะสูงจากพน้ื น�้ำ 180 เมตร หลงั จากยิงไปแลว้ 4 วินาที และ 20 วินาที

4) เน่ืองจากจดุ ทก่ี ระสุนปนื ใหญ่ตกน้ำ�อยตู่ ำ่�กว่าจดุ ที่ยิงปนื ใหญ่ 20 เมตร

แสดงวา่ จดุ ทกี่ ระสุนปนื ใหญต่ กนำ�้ สงู -20 เมตร เมอ่ื เทยี บกับจดุ ทยี่ งิ ปืนใหญ่

แทน s ด้วย -20 ลงในสมการ จะได้

-20 = -2t2 + 48t + 20

t2 – 24t – 20 = 0

t = - (-24 ) ± √(-24)2 – 4(1)(-20)

2(1)

= 24 ± √656
2

= 12 ± 2√41
นั่นคอื t ≈ -0.81 หรอื t ≈ 24.81

เน่อื งจาก t เป็นเวลา จะได้ t ≥ 0

ดังนัน้ กระสนุ ปนื ใหญจ่ ะตกน้�ำ หลังจากการยงิ ไปแล้ว 24.81 วนิ าที

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันก�ำ ลงั สอง 333

5. แนวคิด สรา้ งแบบจ�ำ ลองเพื่อหาขนาดของทด่ี ินรูปส่เี หลีย่ มมมุ ฉากท่สี อดคลอ้ งกบั สถานการณ์ปญั หา ดังน้ี

กำ�หนดให้ ABCD เปน็ รูปส่เี หล่ยี มมมุ ฉากที่มดี ้าน CD

D C เปน็ ดา้ นท่อี ยู่ติดคลอง และใหด้ ้าน AD ยาว x เมตร
เน่ืองจาก มีวัสดุสำ�หรบั ท�ำ ร้ัวยาว 200 เมตร
x x จะได้ ดา้ น AB ยาว 200 – 2x เมตร


A 200 – 2x B ถา้ ใหพ้ ้นื ทขี่ อง ABCD เปน็ y ตารางเมตร

จะได้สมการเป็น y = x(200 – 2x)
เขยี นสมการใหอ้ ยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k ได้ดงั นี้

จาก y = x(200 – 2x)

จะได้ y = -2x2 + 200x

= -2(x2 – 100x)

= -2{[x2 – 2(x)(50) + 502] – 502}
= -2(x – 50)2 + 5,000

แสดงวา่ กราฟของสมการเป็นพาราโบลาควำ่� ทม่ี ีจดุ สูงสุด คอื (50, 5,000)

จะได้ y มีค่ามากทส่ี ุดเทา่ กบั 5,000 เม่ือ x เทา่ กับ 50

ดังนนั้ ท่ีดินทธ่ี นินทรล์ ้อมร้วั ได้มีพื้นท่มี ากท่ีสุดเท่ากับ 5,000 ตารางเมตร

6. แนวคดิ ให้ ABCD เปน็ รปู ส่เี หลีย่ มมุมฉากทมี่ คี วามยาวรอบรปู
D x C
40 – x 40 – x 80 เมตร และให้ดา้ น AB ยาว x เมตร

A x B จะได้ดา้ น BC ยาว 80 – 2x เมตร หรอื 40 – x เมตร
2

ถ้าให้พื้นทีข่ อง ABCD เป็น y ตารางเมตร

จะได้สมการเปน็ y = x(40 – x)

จาก y = x(40 – x)

จะได้ y = -x2 + 40x

= -{[x2 – 2(x)(20) + 202] – 202}
= -(x – 20)2 + 400

แสดงว่า กราฟของสมการเปน็ พาราโบลาคว�่ำ ท่มี ีจดุ สงู สุด คือ (20, 400)

จะได้ y มีคา่ มากท่ีสดุ เทา่ กับ 400 เมอื่ x เท่ากับ 20

ดังน้นั รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่มีความยาวรอบรูปเป็น 80 เมตร จะมีพื้นท่ีมากท่ีสุดเมื่อมีด้านด้านหน่ึงยาว

20 เมตร และมีด้านประกอบมุมฉากของดา้ นน้ยี าว 40 – 20 = 20 เมตร

นน่ั คอื รปู สีเ่ หลี่ยมมุมฉากจะมีพน้ื ท่มี ากทสี่ ุด เมอื่ ความกว้างและความยาวเปน็ 20 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

334 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง คูม่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

กจิ กรรมทา้ ยบท : จบั ค.ู่ .. เรยี นรู้สถานท่ีปรศิ นา

กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนได้ฝึกใช้ความรู้เก่ียวกับลักษณะของกราฟของพาราโบลา ซ่ึงเป็นการพัฒนา
ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการน�ำ เสนอสมการในรูปของกราฟ รวมทงั้ การตีความ แปลความ และสื่อความหมาย
จากกราฟ ครอู าจใหน้ กั เรยี นทำ�กิจกรรมนี้นอกเวลาเรยี น โดยมีสือ่ /อปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดังนี้

สอื่ /อปุ กรณ์

อปุ กรณ์ส�ำ หรบั สบื ค้นข้อมูล เชน่ สมารต์ โฟน หรอื คอมพวิ เตอร์

ข้นั ตอนการด�ำ เนินกิจกรรม

1. ครูให้นักเรยี นทำ� “กิจกรรมท้ายบท : จับค.ู่ .. เรียนรู้สถานทปี่ รศิ นา” ในหนังสือเรยี น หน้า 209–211 เมื่อนักเรียนได้
ช่อื ของสถานทีป่ รศิ นาแล้ว ครใู หน้ ักเรยี นคน้ หาข้อมูลเกีย่ วกับสถานทน่ี ั้น

2. ครูอาจให้นักเรียนนำ�เสนอข้อมูลเกี่ยวกับสถานที่ปริศนาน้ัน และแลกเปลี่ยนความรู้ร่วมกันในช้ันเรียน โดยครูอาจ
เตรียมรูปภาพหรอื เวบ็ ไซต์ของสถานทนี่ นั้ แสดงให้นักเรยี นเหน็ เพ่มิ เติม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันก�ำ ลังสอง 335

เฉลยกิจกรรมท้ายบท : จบั คู.่ .. เรยี นรสู้ ถานที่ปรศิ นา

สมการท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ตัวอกั ษรทก่ี ำ�กบั อยบู่ น OC EANOGRAF I C
ภาพท่ีแสดงกราฟ

สถานทป่ี รศิ นา คอื OCEANOGRAFIC

สถานทีป่ รศิ นาเป็นสถานทเ่ี กี่ยวขอ้ งกับอะไร และมีลักษณะพเิ ศษอยา่ งไร
Oceanografic เป็นพิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ�ที่ใหญ่ท่ีสุดในทวีปยุโรป ต้ังอยู่ในเมืองวาเลนเซีย ราชอาณาจักรสเปน
อาคารทม่ี ชี อ่ื เสยี งทสี่ ดุ ของ Oceanografic คอื อาคารทมี่ ลี กั ษณะเปน็ ทรงพาราโบลาทอ่ี อกแบบโดยสถาปนกิ ทมี่ ชี อื่ เสยี ง
คือ Félix Candela ซ่งึ อาคารดังกล่าวได้สื่อความหมายถงึ ดอกบวั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

336 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลงั สอง ค่มู ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยแบบฝกึ หดั ทา้ ยบท

1. แนวคิด f(5) = √52 + 25 = 5√2 และ f(-5) = √(-5)2 + 25 = 5√2
ดงั น้ัน f(5) + f(-5) = 5√2 + 5√2 = 10√2

2. แนวคิด f(2) = 23 – 4(2)2 + 10 = 2 และ f(-4) = (-4)3 – 4(-4)2 + 10 = -118
ดงั นน้ั f(2) + f(-4) = 2 + (-118) = -116

3. แนวคิด g(2a) = 4(2a)2 – 3(2a) – 5 = 4(4a2) – 6a – 5 = 16a2 – 6a – 5
4. แนวคิด
h(a – 1) = 2(a – 1) – [(a – 1) – 4]3 = 2a – 2 – (a – 5)3 = -a3 + 15a2 – 73a + 123

5. แนวคิด ค�ำ ตอบในข้อ 1) ถึงข้อ 4) สามารถหาได้จากลักษณะทั่วไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k

เม่อื a ≠ 0

คำ�ตอบในขอ้ 5) ส�ำ หรับจุดตดั แกน X จะมคี า่ y ของพกิ ดั เปน็ 0 จึงแทนคา่ y ดว้ ย 0 ลงในสมการ

แล้วแก้สมการหาค่า x

สำ�หรับจุดตดั แกน Y จะมีค่า x ของพกิ ัดเป็น 0 จงึ แทนค่า x ดว้ ย 0 ลงในสมการ

แลว้ แกส้ มการหาค่า y

สมการท่ี 1 : y = 5x2 + 3

1) กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย

2) จุดต�่ำ สดุ ของกราฟ คือ จดุ (0, 3)

3) ค่าต�่ำ สุดของ y คอื 3

4) แกน Y เป็นแกนสมมาตร

5) กราฟไมต่ ดั แกน X แตต่ ดั แกน Y ทีจ่ ุด (0, 3)
สมการท่ี 2 : y = -2(x – 5)2

1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว�่ำ

2) จุดสงู สุดของกราฟ คอื จุด (5, 0)

3) ค่าสูงสดุ ของ y คือ 0

4) เสน้ ตรง x = 5 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟตดั แกน X ทจ่ี ุด (5, 0) และตัดแกน Y ทีจ่ ดุ (0, -50)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชันก�ำ ลงั สอง 337

สมการท่ี 3 : y = 3x2 + 10x + 9

จาก y = 3x2 + 10x + 9

( ) จะได ้ y = 3 x2 + 1—30x + 9
{[ ( ) ( ) ] ( ) } = 3 x2 + 2(x) 3–5 + 35– 2 – 3–5 2 + 9

( ) = 3 x + 3–5 2 – 2—35 + 9
( ) = 3 x + 3–5 2 + –32

1) กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย

( ) 2) จดุ ต�่ำ สุดของกราฟ คือ จุด - 3–5 , 32–

3) คา่ ต�่ำ สุดของ y คือ 3–2
4) เสน้ ตรง x = - 3–5 เปน็ แกนสมมาตร

5) กราฟไม่ตัดแกน X แต่ตัดแกน Y ที่จดุ (0, 9)
สมการท่ี 4 : y = -4x2 + 4x + 3
จาก y = -4x2 + 4x + 3
จะได ้ y = -4(x2 – x) + 3

{[ ( ) ( ) ] ( ) } = -4 x2 – 2(x) 12– + 12– 2 – 12– 2 + 3

( ) = -4 x – 12– 2 + 1 + 3
( ) = -4 x – 12– 2 + 4

1) กราฟเป็นพาราโบลาควำ�่

( ) 2) จุดสูงสดุ ของกราฟ คือ จดุ 2–1 , 4
3) คา่ สูงสดุ ของ y คอื 4

2–1 เปน็ แกนสมมาตร
X ทจี่ ุด 21– , 0 และ
4)
5)
( ) ( )
เสน้ ตรง x = 23– , 0 และตดั แกน Y ท่ีจดุ (0, 3)
กราฟตัดแกน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

338 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั กำ�ลังสอง คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

6. 1) แนวคิด พจิ ารณาจากกราฟพาราโบลาทกี่ ำ�หนดให้ จะไดว้ ่า สมการของพาราโบลาอยูใ่ นรูป y = a(x – h)2 + k

เมื่อ a > 0 ซ่งึ มจี ดุ ต�ำ่ สุดของกราฟคือ จุด (h, k)

และเน่อื งจากจดุ (3, 2) เป็นจุดตำ่�สุดของกราฟ ดงั น้ัน h = 3 และ k = 2
จงึ ไดส้ มการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – 3)2 + 2
และเมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยพกิ ดั ทห่ี นง่ึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ ทก่ี ราฟผา่ นลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2

จะสามารถหาค่า a ไดด้ งั น้ี

เนือ่ งจากกราฟผา่ นจุด (1, 4)

แทน x ดว้ ย 1 และแทน y ดว้ ย 4 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2 จะได้

4 = a(1 – 3)2 + 2

a = –12

แทน a ดว้ ย –12 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2

จะได้ y = 1–2(x – 3)2 + 2

และเมอื่ ใช้พิกัดที่หน่งึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ (3, 2) และ (6, 6.5) มาตรวจสอบ

จะไดว้ า่ ค่าเหล่านนั้ ทำ�ใหส้ มการ y = –12(x – 3)2 + 2 เปน็ จรงิ

ดังนน้ั สมการของพาราโบลาน้ี คือ y = 1–2(x – 3)2 + 2

2) ถ้าเลอ่ื นขนานกราฟของ y = 1–2(x – 3)2 + 2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย 5 หน่วย กราฟท่ีได้จะมีสมการเป็น
y = –12(x + 2)2 + 2
3) ถา้ เลือ่ นขนานกราฟของ y = 1–2(x – 3)2 + 2 ตามแนวแกน Y ไปดา้ นลา่ ง 2 หนว่ ย กราฟท่ีไดจ้ ะมสี มการเปน็
y = 1–2(x – 3)2

7. แนวคดิ 1 พจิ ารณาจากกราฟพาราโบลาท่ีก�ำ หนดให้ จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k

เมือ่ a < 0 ซ่งึ มีจดุ สงู สดุ ของกราฟคือ จุด (h, k)

และเน่ืองจากจุด (-1, -3) เป็นจดุ สงู สุดของกราฟ ดงั น้นั h = -1 และ k = -3
จึงไดส้ มการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x + 1)2 – 3
และเมือ่ แทน x และ y ด้วยพกิ ัดทหี่ น่งึ และพิกดั ท่สี องของจดุ ท่กี ราฟผา่ นลงในสมการ y = a(x + 1)2 – 3

จะสามารถหาคา่ a ไดด้ งั น้ี

เนอื่ งจากกราฟผา่ นจดุ (-2, -5)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลงั สอง 339

แทน x ดว้ ย -2 และแทน y ด้วย -5 ลงในสมการ y = a(x + 1)2 – 3 จะได้

-5 = a(-2 + 1)2 – 3

a = -2

แทน a ดว้ ย -2 ลงในสมการ y = a(x + 1)2 – 3

จะได้ y = -2(x + 1)2 – 3

และเมื่อใชพ้ กิ ดั ที่หน่ึงและพิกัดที่สองของจดุ (-1, -3) และ (1, -11) มาตรวจสอบ
จะได้ว่า ค่าเหลา่ นนั้ ทำ�ให้สมการ y = -2(x + 1)2 – 3 เปน็ จรงิ
ดังนนั้ สมการของพาราโบลานี้ คอื y = -2(x + 1)2 – 3
เมื่อเลื่อนขนานกราฟของ y = -2(x + 1)2 – 3 ไปทางขวา 4 หน่วย จากนั้นเลื่อนขนานกราฟ
ข้ึนไป 5 หน่วย สมการของพาราโบลาท่ไี ด้จากการเล่อื นขนานนี้ คอื y = -2(x – 3)2 + 2

แนวคิด 2 เลอ่ื นขนานจุด (-2, -5) จุด (-1, -3) และจุด (1, -11) ไปทางขวา 4 หน่วย จากนนั้ เลื่อนขนานข้ึนไป

5 หนว่ ย จะได้พกิ ัดของจดุ ใหมเ่ ป็นจุด (2, 0) จดุ (3, 2) และจุด (5, -6) ตามล�ำ ดับ
พิจารณากราฟของพาราโบลาทกี่ ำ�หนดให้ จะไดว้ ่า สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k

เม่อื a < 0 ซงึ่ มีจดุ สูงสดุ ของกราฟคอื จดุ (h, k)

และเนื่องจากจุด (3, 2) เปน็ จุดสงู สดุ ของกราฟ ดงั น้ัน h = 3 และ k = 2
จึงไดส้ มการของพาราโบลาอยู่ในรูป y = a(x – 3)2 + 2
และเมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยพกิ ดั ทห่ี นง่ึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ ทก่ี ราฟผา่ นลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2

จะสามารถหาค่า a ได้ดงั น้ี

เนอ่ื งจากกราฟผา่ นจุด (2, 0)

แทน x ด้วย 2 และแทน y ดว้ ย 0 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2 จะได้

0 = a(2 – 3)2 + 2

a = -2

แทน a ดว้ ย -2 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2

จะได้ y = -2(x – 3)2 + 2

และเมื่อใช้พิกดั ท่หี น่ึงและพิกดั ทสี่ องของจุด (3, 2) และ (5, -6) มาตรวจสอบ
จะได้วา่ ค่าเหลา่ นนั้ ท�ำ ใหส้ มการ y = -2(x – 3)2 + 2 เป็นจรงิ
ดังนนั้ สมการของพาราโบลาทไ่ี ดจ้ ากการเลอื่ นขนานน้ี คือ y = -2(x – 3)2 + 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

340 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลังสอง คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

8. แนวคดิ ให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉากทม่ี คี วามยาวรอบรปู
D x C
p – 2x p – 2x p หนว่ ย และใหด้ า้ น AB ยาว x หนว่ ย
x x p – 2x หนว่ ย หรอื 2–p – x หน่วย
จะไดด้ ้าน BC ยาว 2
A x B
ถา้ ให้พ้นื ท่ีของ ABCD เป็น y ตารางหน่วย

( )จะไดส้ มการเปน็ y = x 2–p – x

จาก ( )y = x 2–p – x

จะได้ ( )y = -x2 + 2–p x

{[ ( ) ( ) ] ( ) } = - x2 – 2(x) 4–p + 4–p 2 – 4–p 2
( ) = - x – 2–p 2 + 1—p62
( )แสดงวา่ กราฟของสมการเป็นพาราโบลาคว�่ำ ท่มี จี ุดสูงสุด คอื จดุ 4–p, 1—p62


จะได้ y มีค่ามากท่ีสดุ เท่ากบั 1—p62 เมือ่ x เทา่ กับ 4–p

ดงั นั้น เราควรก�ำ หนดรูปส่เี หลี่ยมมุมฉากให้มดี ้านดา้ นหนึ่งยาว 4–p หน่วย จะได้ ด้านประกอบมุมฉากของ

ดา้ นนย้ี าว p2– – 4–p = 4–p หนว่ ย ท�ำ ใหไ้ ดร้ ปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ทม่ี พี น้ื ทเ่ี ทา่ กบั 1—p62 ตารางหนว่ ย ซง่ึ เปน็

พืน้ ท่มี ากที่สุดตามต้องการ

9. แนวคดิ พิจารณาสมการทก่ี ำ�หนดให้ จะสามารถจัดใหอ้ ยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0 ไดด้ ังน้ี

จาก P = 0.6x2 – 9.6x + 60

จะได้ P = 0.6(x2 – 16x) + 60

= 0.6{[x2 – 2(x)(8) + 82] – 82} + 60
= 0.6(x – 8)2 + 21.6
เมอ่ื 5 ≤ x ≤ 13

แสดงวา่ กราฟเป็นพาราโบลาหงาย และจดุ ต�ำ่ สุดของกราฟ คอื จดุ (8, 21.6)

1) ผลกำ�ไรในการขายข้าวต�ำ่ สดุ อยใู่ นปที ่ี x = 8 หรือ พ.ศ. 2557 และมกี ำ�ไร 21.6 สบิ ล้านบาท หรอื 216 ลา้ นบาท

2) ในปี พ.ศ. 2561 (x = 12) บรษิ ัทมผี ลก�ำ ไรในการขายขา้ วเทา่ กับ 0.6(12 – 8)2 + 21.6 = 31.2 สิบล้านบาท

หรือ 312 ล้านบาท

3) บรษิ ทั มีผลก�ำ ไรประมาณ 222 ล้านบาท ในปี พ.ศ. 2556 และ พ.ศ. 2558

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลงั สอง 341

ตัวอย่างแบบทดสอบทา้ ยบท

1. จงพจิ ารณาวา่ สมการของพาราโบลาที่กำ�หนดให้ในแตล่ ะข้อสอดคล้องกับกราฟใดตอ่ ไปนี้ (5 คะแนน)

1) y = (x + 4)2 – 1 สอดคลอ้ งกบั กราฟ

2) y = (x – 4)2 + 1 สอดคลอ้ งกับกราฟ
สอดคลอ้ งกับกราฟ
3) y = –41 (x – 4)2 + 1 สอดคลอ้ งกับกราฟ
4) y = - 2–1(x – 4)2 + 1 สอดคล้องกับกราฟ

5) y = -3(x + 4)2 – 1

Y

c2 c3 c4
c1
5

-8 -6 -4 -2 O 24 68 X

c5 -5 c8
c6 c7

2. จงเติมเครื่องหมาย  หน้าขอ้ ความทถี่ ูกต้อง และเติมเครือ่ งหมาย  หนา้ ข้อความที่ไม่ถกู ต้อง พรอ้ มท้ังใหเ้ หตผุ ลประกอบ

(20 คะแนน)
1) สมการ y = 2x2 + 3x + 4 เป็นสมการของพาราโบลา

เหตผุ ล

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

342 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชนั ก�ำ ลงั สอง คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

2) กราฟของสมการ y – x = - –21x – x + 9 เป็นพาราโบลาคว�ำ่
เหตุผล

3) กราฟของสมการ y = 5 – x2 มีจดุ (0, 5) เปน็ จดุ ต่ำ�สดุ
เหตผุ ล

( ) 4) แกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = x + –12 2 คอื เส้นตรง x = –12

เหตุผล

( ) ( ) 5) กราฟของสมการ y = 2 x – –23 2 – –25 มจี ดุ ต่ำ�สุด คอื จุด –23, –25

เหตผุ ล

6) จุด (-9, -1) เปน็ จดุ ทอ่ี ยู่บนกราฟของสมการ y = -2x2 + 3x – 4
เหตผุ ล

7) กราฟของสมการ y = 4(x + 2)2 – 2 มีแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = -2
เหตผุ ล

8) จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟของสมการ y = 1–4x2 – 3 และจดุ สงู สดุ ของกราฟของสมการ y = - –23x2 + 2 อยหู่ า่ งกนั
5 หน่วย
เหตผุ ล

9) กราฟของสมการ y = -2(x – 4)2 – 18 ไมม่ จี ุดตัดแกน X
เหตุผล

10) กราฟของสมการ y = -3(x – 5)2 + 10 จะตดั แกน Y ทจ่ี ดุ (0, 65)
เหตผุ ล

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ นั ก�ำ ลังสอง 343

3. จงเขยี นสมการ y = 3x2 – 12x + 11 ใหอ้ ยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k แล้วตอบค�ำ ถามต่อไปนโ้ี ดยไมต่ ้องเขยี นกราฟ

(5 คะแนน)

1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�หรือพาราโบลาหงาย
2) จุดต�่ำ สุดหรอื จดุ สงู สุดของกราฟเปน็ จดุ ใด และมคี า่ ต่ำ�สุดหรือคา่ สงู สุดของ y เป็นเทา่ ใด
3) กราฟมีเส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

4. จงเขยี นสมการ y = -x2 + 8x + 12 ใหอ้ ยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k แล้วตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนีโ้ ดยไม่ต้องเขียนกราฟ

(5 คะแนน)

1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่�ำ หรอื พาราโบลาหงาย
2) จดุ ต่ำ�สดุ หรือจดุ สงู สุดของกราฟเปน็ จดุ ใด และมีคา่ ตำ�่ สดุ หรอื คา่ สงู สุดของ y เป็นเทา่ ใด
3) กราฟมเี สน้ ตรงใดเปน็ แกนสมมาตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

344 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

5. กราฟของสมการ y = 4x2 – 12x + c ผ่านจุด (2, -1) จงหาจดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟน ี้ (5 คะแนน)

6. สะพานแขวนแห่งหนึ่งแขวนด้วยลวดสลิงท่ีโยงระหว่างยอดเสาสองต้นท่ีอยู่ปลายสะพานซึ่งสูงเท่ากัน ลวดสลิงดังกล่าว
หยอ่ นโค้งเปน็ รูปพาราโบลาทีม่ ีสมการ y = 0.01x2 – x + 35 เมอ่ื x แทนระยะทาง (เมตร) ทจี่ ดุ แตล่ ะจุดบนสะพาน

อยู่หา่ งจากเสาสะพานทางซา้ ย และ y แทนระยะหา่ งระหว่างลวดสลงิ กบั พื้นสะพาน

1) จงหาระยะหา่ งทน่ี อ้ ยทสี่ ุดระหวา่ งลวดสลงิ กับพน้ื สะพาน (3 คะแนน)

2) เสาสะพานทั้งสองต้นหา่ งกันเทา่ ใด (2 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชันก�ำ ลังสอง 345

7. นาวินมีท่ีดินแปลงหนึ่งอยู่ริมคลองและต้องการแบ่งที่ดินเพ่ือสร้างบ้านริมคลอง โดยล้อมรั้วท่ีดินสำ�หรับสร้างบ้านเป็น

รปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากและลอ้ มรว้ั เพยี งสามดา้ น อกี ดา้ นหนง่ึ ตดิ คลองไมต่ อ้ งลอ้ มรว้ั ถา้ นาวนิ มวี สั ดใุ นการลอ้ มรว้ั ยาว 120 เมตร

และอยากได้พนื้ ที่ภายในรั้วมากทสี่ ดุ จงหาวา่ นาวนิ จะต้องกำ�หนดขนาดของรัว้ อย่างไร และมพี ื้นท่เี ท่าไร พร้อมทั้งวาดภาพ

ประกอบ (7 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

346 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง ค่มู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1. จงพิจารณาว่าสมการของพาราโบลาที่ก�ำ หนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ สอดคล้องกบั กราฟใดตอ่ ไปนี้ (5 คะแนน)

1) y = (x + 4)2 – 1 สอดคลอ้ งกับกราฟ c1

2) y = (x – 4)2 + 1 สอดคล้องกับกราฟ c3
สอดคลอ้ งกบั กราฟ c4
3) y = –-412–(1x(x– 4)2 + 1 สอดคลอ้ งกบั กราฟ c8
4) y = – 4)2 + 1 สอดคล้องกับกราฟ c6

5) y = -3(x + 4)2 – 1

Y

c2 c3 c4
c1
5

-8 -6 -4 -2 O 24 68 X

c5 -5 c8
c6 c7

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น
ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถระบลุ กั ษณะพรอ้ มทง้ั เขยี นกราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สองทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2, y = ax2 + k,

y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c, h และ k เปน็

ค่าคงตวั ท่ี a ≠ 0

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

✤ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลังสอง 347

2. จงเติมเครอ่ื งหมาย  หนา้ ข้อความทถ่ี ูกตอ้ ง และเติมเครอ่ื งหมาย  หนา้ ขอ้ ความที่ไม่ถูกต้อง พรอ้ มท้ังใหเ้ หตผุ ลประกอบ

(20 คะแนน)

 1) สมการ y = 2x2 + 3x + 4 เป็นสมการของพาราโบลา

เหตผุ ล เพราะสมการ y = 2x2 + 3x + 4 อย่ใู นรูป y = ax2 + bx + c โดยท่ี a = 2, b = 3

และ c = 4

 2) กราฟของสมการ y – x = - –21=x-–2–1xx+– 9 เป็นพาราโบลาควำ�่ y = - 2–1x +9 ซง่ึ เปน็ สมการเชงิ เสน้
เหตุผล เพราะสมการ y – x x + 9 สามารถจดั รปู ไดเ้ ปน็

สองตวั แปร ดังนนั้ กราฟทไี่ ด้เป็นกราฟเส้นตรง

 3) กราฟของสมการ y = 5 – x2 มีจดุ (0, 5) เป็นจุดต่�ำ สดุ
เหตผุ ล เพราะสมการ y = 5 – x2 สามารถจดั รูปได้เป็น y = -x2 + 5 ซ่ึงมกี ราฟเป็นพาราโบลาควำ�่

และมจี ุดสงู สดุ คือ จุด (0, 5)

( )  4) แกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = x + 1–2 2 คือ เส้นตรง x = 1–2
( ) [ ( )] เหตุผล เพราะสมการ y = x + –12 2 สามารถจัดรปู ไดเ้ ป็น y = x – - –12 2
ดงั นน้ั แกนสมมาตรของกราฟของสมการน้ี คอื เสน้ ตรง x = - 1–2


( ) ( ) 5) กราฟของสมการ y = 2 x – –23 2 – –25 มจี ุดต่ำ�สดุ คอื จุด –23, –25
( ) ( ) ( ) เหตผุ ล เพราะสมการ y = 2 x – –23 2 – –25 สามารถจดั รูปไดเ้ ป็น y = 2 x – –23 2 + - –25
( )ดังนน้ั กราฟของสมการนี้เป็นพาราโบลาหงาย มีจุดตำ�่ สดุ คอื จดุ –23, -–25


 6) จดุ (-9, -1) เปน็ จุดทอ่ี ย่บู นกราฟของสมการ y = -2x2 + 3x – 4

เหตผุ ล เพราะเมอ่ื แทน x ดว้ ย -9 และแทน y ดว้ ย -1 ลงในสมการ y = -2x2 + 3x – 4

ทำ�ใหไ้ ดส้ มการที่ไมเ่ ปน็ จรงิ ดังน้ัน จดุ (-9, -1) ไม่อยบู่ นกราฟของสมการ y = -2x2 + 3x – 4

 7) กราฟของสมการ y = 4(x + 2)2 – 2 มีแกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = -2

เหตุผล เพราะสมการ y = 4(x + 2)2 – 2 สามารถจดั รูปไดเ้ ปน็ y = 4[x – (-2)]2 – 2

ดงั นัน้ แกนสมมาตรของกราฟของสมการน้ี คอื เสน้ ตรง x = -2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

348 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

 8) จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟของสมการ y = 1–4x2 – 3 และจดุ สงู สดุ ของกราฟของสมการ y = - –23x2 + 2 อยหู่ า่ งกนั
5 หนว่ ย
–23–14xx22+–
เหตุผล เพราะจดุ ต่ำ�สดุ ของกราฟของสมการ y= 3 คอื (0, -3)
และจุดสงู สุดของกราฟของสมการ y =- 2 คือ (0, 2)

ดงั นั้น จุดตำ่�สดุ และจุดสูงสดุ ของกราฟท้งั สองอย่หู า่ งกัน 5 หน่วย

 9) กราฟของสมการ y = -2(x – 4)2 – 18 ไมม่ ีจดุ ตัดแกน X
เหตุผล เพราะกราฟของสมการ y = -2(x – 4)2 – 18 เปน็ พาราโบลาคว่ำ� ที่มจี ุดสูงสดุ อยู่ทีจ่ ุด (4, -18)

จะไดว้ า่ กราฟของสมการน้ีไม่ตัดแกน X ดังนน้ั กราฟจงึ ไม่มจี ดุ ตัดแกน X

 10) กราฟของสมการ y = -3(x – 5)2 + 10 จะตดั แกน Y ที่จุด (0, 65)

เหตุผล เพราะเมอ่ื แทน x ดว้ ย 0 ลงในสมการ y = -3(x – 5)2 + 10 จะได้ y = -65

ดังนนั้ กราฟของสมการ y = -3(x – 5)2 + 10 จะตดั แกน Y ท่ีจุด (0, -65)

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถระบลุ กั ษณะพรอ้ มทง้ั เขยี นกราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สองทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2, y = ax2 + k,

y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เม่อื a, b, c, h และ k เป็น

ค่าคงตัว ท่ี a ≠ 0

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดงั นี้

✤ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงเหตผุ ลไดอ้ ยา่ งสมเหตสุ มผล ได้ 1 คะแนน

3. จงเขยี นสมการ y = 3x2 – 12x + 11 ให้อย่ใู นรปู y = a(x – h)2 + k แล้วตอบค�ำ ถามต่อไปนีโ้ ดยไม่ตอ้ งเขียนกราฟ

(5 คะแนน)

แนวคดิ จาก y = 3x2 – 12x + 11

จะได ้ y = 3(x2 – 4x) + 11

= 3{[x2 – 2(x)(2) + 22] – 22} + 11
= 3(x – 2)2 + 3(-4) + 11

= 3(x – 2)2 – 1

1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�หรือพาราโบลาหงาย

พาราโบลาหงาย

2) จดุ ต่ำ�สดุ หรอื จดุ สูงสุดของกราฟเปน็ จุดใด และมีคา่ ต�ำ่ สุดหรอื คา่ สูงสดุ ของ y เป็นเท่าใด

จดุ ต่�ำ สุดของกราฟเปน็ คอื จุด (2, -1) และมีคา่ ต�ำ่ สุดของ y เป็น -1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ นั กำ�ลังสอง 349

3) กราฟมเี ส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
กราฟมเี สน้ ตรง x = 2 เปน็ แกนสมมาตร

4. จงเขียนสมการ y = -x2 + 8x + 12 ใหอ้ ยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k แล้วตอบคำ�ถามตอ่ ไปนโ้ี ดยไมต่ ้องเขียนกราฟ

(5 คะแนน)

แนวคิด จาก y = -x2 + 8x + 12

จะได ้ y = -(x2 – 8x) + 12

= -{[x2 – 2(x)(4) +42] – 42} + 12

= -(x – 4)2 + 16 + 12

= -(x – 4)2 + 28

1) กราฟเป็นพาราโบลาคว�่ำ หรอื พาราโบลาหงาย

พาราโบลาควำ�่

2) จุดตำ�่ สดุ หรอื จดุ สงู สุดของกราฟเป็นจดุ ใด และมีค่าตำ่�สุดหรอื คา่ สงู สดุ ของ y เปน็ เทา่ ใด

จุดสูงสดุ ของกราฟ คอื จุด (4, 28) และมคี า่ สูงสดุ ของ y เปน็ 28

3) กราฟมีเสน้ ตรงใดเป็นแกนสมมาตร

กราฟมเี ส้นตรง x = 4 เปน็ แกนสมมาตร

สำ�หรบั ข้อ 3–4

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน
ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถระบลุ กั ษณะพรอ้ มทง้ั เขยี นกราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สองทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2, y = ax2 + k,

y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c, h และ k เป็น

คา่ คงตัว ที่ a ≠ 0

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ ข้อละ 5 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้ ได้ 2 คะแนน
ส่วนที่ 1 การเขียนสมการใหอ้ ยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k ได้ 1 คะแนน
✤ เขยี นสมการใหอ้ ยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k ถกู ตอ้ งครบถ้วน ได้ 0 คะแนน
✤ เขียนสมการใหอ้ ยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k ถูกต้องบางสว่ น
✤ เขยี นสมการใหอ้ ย่ใู นรปู y = a(x – h)2 + k ไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไมเ่ ขียน

สว่ นที่ 2 การตอบคำ�ถาม

✤ ตอบถูกตอ้ ง ไดข้ อ้ ละ 1 คะแนน

✤ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี