คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1

138 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลังสองตวั แปรเดยี ว คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

ดังนั้น 2z + 5 = 0 หรอื 7z – 2 = 0
z = - –25 หรือ z = –27
จะได้

ดงั นัน้ คำ�ตอบของสมการ คอื - –25 และ 2–7
—r92 = r+4
15) แนวคิด

r2 – 9r – 36 = 0

(r + 3)(r – 12) = 0

ดงั น้นั r + 3 = 0 หรือ r – 12 = 0

จะได้ r = -3 หรือ r = 12

ดงั นน้ั ค�ำ ตอบของสมการ คือ -3 และ 12

16) แนวคิด 2–1y2 = 7y – 12
y2 – 14y + 24 = 0

(y – 2)(y – 12) = 0

ดงั นน้ั y – 2 = 0 หรอื y – 12 = 0

จะได้ y = 2 หรอื y = 12

ดงั นน้ั คำ�ตอบของสมการ คอื 2 และ 12

17) แนวคิด 2w2 – 3–5w = 7
6w2 – 5w = 21
6w2 – 5w – 21 = 0


(2w + 3)(3w – 7) = 0

ดงั น้นั 2w + 3 = 0 หรอื 3w – 7 = 0

จะได ้ w = - –23 หรอื w = 3–7
ดงั นั้น คำ�ตอบของสมการ คอื - –23
และ 3–7

18) แนวคดิ 1 (4n – 3)2 = 49

16n2 – 24n + 9 = 49

16n2 – 24n – 40 = 0

2n2 – 3n – 5 = 0

(2n – 5)(n + 1) = 0

ดังนน้ั 2n – 5 = 0 หรอื n + 1 = 0

จะได้ n = –25 หรอื n = -1

ดงั น้ัน ค�ำ ตอบของสมการ คอื –25 และ -1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลงั สองตวั แปรเดยี ว 139

แนวคิด 2 (4n – 3)2 = 72

(4n – 3)2 – 72 = 0

[(4n – 3) + 7][(4n – 3) – 7] = 0

(4n + 4)(4n – 10) = 0

ดงั นน้ั 4n + 4 = 0 หรือ 4n – 10 = 0

จะได ้ n = -1 หรือ n = –25

ดังนั้น คำ�ตอบของสมการ คือ -1 และ –25
t2 – 3t = 4t2 – 36
19) แนวคดิ

3t2 + 3t – 36 = 0

t2 + t – 12 = 0

(t + 4)(t – 3) = 0

ดงั นนั้ t + 4 = 0 หรอื t – 3 = 0

จะได ้ t = -4 หรอื t = 3

ดงั นั้น ค�ำ ตอบของสมการ คือ -4 และ 3

20) แนวคิด 1 (2m – 3)2 – (m + 2)2 = 0

(4m2 – 12m + 9) – (m2 + 4m + 4) = 0

3m2 – 16m + 5 = 0

(3m – 1)(m – 5) = 0

ดงั นน้ั 3m – 1 = 0 หรอื m – 5 = 0

จะได ้ m = –31 หรอื m = 5
ดงั นั้น คำ�ตอบของสมการ –31 และ
คือ 5

แนวคิด 2 (2m – 3)2 – (m + 2)2 = 0

[(2m – 3) + (m + 2)][(2m – 3) – (m + 2)] = 0

(3m – 1)(m – 5) = 0

ดังน้นั 3m – 1 = 0 หรือ m – 5 = 0

จะได้ m = –31 หรอื m = 5

ดังนั้น ค�ำ ตอบของสมการ คือ –31 และ 5

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

140 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดยี ว คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

คำ�ชแ้ี จง เฉลยแบบฝกึ หดั ข้อ 3–10 ไมไ่ ดแ้ สดงการแก้สมการโดยละเอยี ดและไม่ไดแ้ สดงการตรวจสอบค�ำ ตอบ แต่ครูควรย้ำ�
ใหน้ กั เรียนตรวจสอบค�ำ ตอบและความสมเหตสุ มผลของค�ำ ตอบจากเงื่อนไขในโจทย์ทุกครั้ง

3. แนวคดิ ให้ x แทนจำ�นวนเตม็ ทนี่ ้อยกว่า

จะได้ จ�ำ นวนเต็มท่ีอยู่ตดิ กันเป็น x + 1

เน่อื งจาก ผลคณู ของจำ�นวนเตม็ สองจำ�นวนทอ่ี ย่ตู ดิ กนั เท่ากับ 210

จะได้สมการเปน็ x(x + 1) = 210

x2 + x – 210 = 0

(x + 15)(x – 14) = 0

ดังน้ัน x + 15 = 0 หรอื x – 14 = 0

จะได้ x = -15 หรือ x = 14

เนอื่ งจาก x แทนจ�ำ นวนเต็ม ดังนน้ั x จึงเปน็ ได้ทงั้ จำ�นวนเต็มลบและจ�ำ นวนเตม็ บวก

ถา้ ให้จ�ำ นวนเตม็ ท่ีน้อยกวา่ คือ -15 จะได้ จำ�นวนเตม็ ที่อยู่ตดิ กันเปน็ -15 + 1 = -14

ถา้ ใหจ้ ำ�นวนเต็มท่นี อ้ ยกวา่ คอื 14 จะได้ จ�ำ นวนเตม็ ทอี่ ยู่ติดกนั เป็น 14 + 1 = 15

ดงั น้นั จำ�นวนเต็มสองจ�ำ นวนนน้ั มี 2 ชุด คอื -15 กับ -14 และ 14 กบั 15

4. แนวคิด 1 ให้ x แทนจ�ำ นวนค่จู ำ�นวนหนง่ึ

จะได้ จ�ำ นวนคู่ท่ีอยู่ถดั ไปเป็น x + 2

เน่อื งจาก ผลคณู ของจ�ำ นวนคูจ่ �ำ นวนหนง่ึ กบั จำ�นวนคูอ่ ีกจ�ำ นวนหนงึ่ ที่อยู่ถดั ไปเท่ากบั 840

จะไดส้ มการเป็น x(x + 2) = 840

x2 + 2x – 840 = 0

(x + 30)(x – 28) = 0

ดังน้ัน x + 30 = 0 หรือ x – 28 = 0

จะได้ x = -30 หรือ x = 28

เน่อื งจาก x แทนจ�ำ นวนคู่ ดังนัน้ x จงึ เปน็ ได้ทงั้ จ�ำ นวนเตม็ บวกและจ�ำ นวนเต็มลบ

ถ้าใหจ้ �ำ นวนคู่จ�ำ นวนหนึ่ง คอื -30 จะได้ จำ�นวนคูท่ ี่อยถู่ ัดไปเปน็ -30 + 2 = -2

ถ้าให้จ�ำ นวนคจู่ ำ�นวนหนึง่ คอื 28 จะได้ จำ�นวนคู่ทีอ่ ยู่ถดั ไปเป็น 28 + 2 = 30

ดงั นั้น จำ�นวนค่สู องจำ�นวนน้ัน มี 2 ชุด คอื -30 กบั -28 และ 28 กับ 30

แนวคิด 2 ให้ x แทนจ�ำ นวนเต็มจ�ำ นวนหนงึ่

จะได้ จ�ำ นวนค่เู ปน็ 2x และจำ�นวนคูท่ อ่ี ยถู่ ดั ไปเป็น 2x + 2

เนื่องจาก ผลคูณของจ�ำ นวนคู่จำ�นวนหนึง่ กับจำ�นวนคู่อกี จำ�นวนหน่ึงที่อยู่ถดั ไปเทา่ กับ 840

จะไดส้ มการเปน็ 2x(2x + 2) = 840

4x2 + 4x – 840 = 0

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดยี ว 141

x2 + x – 210 = 0

(x + 15)(x – 14) = 0

ดังน้ัน x + 15 = 0 หรือ x – 14 = 0

จะได้ x = -15 หรือ x = 14

ดงั นั้น 2x = -30 หรอื 2x = 28

เนอื่ งจาก x แทนจ�ำ นวนคู่ ดังนั้น x จงึ เปน็ ไดท้ ้งั จ�ำ นวนเต็มลบและจ�ำ นวนเต็มบวก

ถ้าใหจ้ ำ�นวนคจู่ ำ�นวนหนึง่ คอื -30 จะได้ จ�ำ นวนคู่ทอี่ ยถู่ ดั ไปเปน็ -30 + 2 = -28

ถา้ ให้จำ�นวนคู่จำ�นวนหนึง่ คอื 28 จะได้ จ�ำ นวนค่ทู ่ีอยถู่ ดั ไปเปน็ 28 + 2 = 30

ดงั นั้น จ�ำ นวนคู่สองจ�ำ นวนนั้น มี 2 ชดุ คือ -30 กับ -28 และ 28 กบั 30

5. แนวคดิ 1 ให้ x แทนจ�ำ นวนค่บี วกจำ�นวนหนงึ่

จะได้ จำ�นวนคีบ่ วกทอี่ ยู่ถัดไปเป็น x + 2

เน่ืองจาก ผลคูณของจำ�นวนค่ีบวกจ�ำ นวนหนงึ่ กับจำ�นวนค่ีบวกอีกจ�ำ นวนหนึง่ ทีอ่ ยู่ถดั ไปเปน็ 675

จะไดส้ มการเปน็ x(x + 2) = 675

x2 + 2x – 675 = 0

(x + 27)(x – 25) = 0

ดังนั้น x + 27 = 0 หรือ x – 25 = 0

จะได ้ x = -27 หรือ x = 25

เน่ืองจาก x แทนจ�ำ นวนคีบ่ วก

ดังนั้น จึงพิจารณาเฉพาะ x = 25

จะได้ จ�ำ นวนคีบ่ วกที่อยู่ถดั ไปเปน็ 25 + 2 = 27

ดังนน้ั จ�ำ นวนค่ีบวกสองจำ�นวนน้นั คอื 25 และ 27

แนวคดิ 2 ให้ x แทนจ�ำ นวนเตม็ บวกจ�ำ นวนหน่งึ

จะได้ จำ�นวนคี่บวกเป็น 2x – 1 และจ�ำ นวนคบี่ วกที่อยถู่ ัดไปเป็น 2x + 1

เนือ่ งจาก ผลคณู ของจ�ำ นวนคี่จำ�นวนหน่ึงกบั จ�ำ นวนคีอ่ กี จำ�นวนหน่ึงทอ่ี ย่ถู ดั ไปเปน็ 675

จะไดส้ มการเปน็ (2x – 1)(2x + 1) = 675
4x2 – 676 = 0
x2 – 169 = 0



(x + 13)(x – 13) = 0

ดงั น้นั x + 13 = 0 หรอื x – 13 = 0

จะได้ x = -13 หรอื x = 13

ดังนั้น 2x – 1 = -27 หรอื 2x – 1 = 25

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

142 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดยี ว คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

เนอ่ื งจาก จำ�นวนคท่ี ่ีต้องการเป็นจำ�นวนคบี่ วก
ดงั นนั้ จงึ พิจารณาเฉพาะ 2x – 1 = 25
จะได ้ จำ�นวนค่ีบวกท่ีอยูถ่ ดั ไปเป็น 25 + 2 = 27
ดังนน้ั จ�ำ นวนค่ีบวกสองจำ�นวนนั้น คือ 25 และ 27

6. แนวคิด ให ้ x แทนจ�ำ นวนจ�ำ นวนหนึง่

จะได ้ จำ�นวนทนี่ อ้ ยกวา่ 2 เท่าของจ�ำ นวนน้นั อยู่ 1 เป็น 2x – 1

เนอื่ งจาก ผลคูณของจ�ำ นวนทงั้ สองเท่ากบั 3

จะไดส้ มการเป็น x(2x – 1) = 3

2x2 – x – 3 = 0

(2x – 3)(x + 1) = 0

ดังนั้น 2x – 3 = 0 หรอื x + 1 = 0

จะได ้ x = 3–2 หรือ x = -1

เนือ่ งจาก x แทนจำ�นวนจ�ำ นวนหนึ่ง ดังน้ัน x จงึ เป็นได้ทงั้ จ�ำ นวนลบและจ�ำ นวนบวก

ถา้ ใหจ้ ำ�นวนจ�ำ นวนหนง่ึ คอื -1 จะได ้ จ�ำ นวนทนี่ อ้ ยกวา่ 2 เทา่ ของจำ�นวนนัน้ อยู่ 1 เปน็ 2(-1) – 1 = -3

( )ถา้ ใหจ้ ำ�นวนจำ�นวนหนง่ึ คอื –23 จะได้ จ�ำ นวนทนี่ อ้ ยกวา่ 2 เทา่ ของจำ�นวนนนั้ อยู่ 1 เป็น 2 –23 – 1 = 2

ดังนน้ั จำ�นวนสองจำ�นวนนน้ั มี 2 ชุด คอื -1 กบั -3 และ –23 กับ 2

7. แนวคิด ให ้ x แทนจ�ำ นวนจำ�นวนแรก

จะได ้ จำ�นวนท่ีน้อยกว่าจำ�นวนแรกอยู่ 13 เป็น x – 13

เนื่องจาก ผลคณู ของจำ�นวนทั้งสองเปน็ -40

จะได้สมการเปน็ x(x – 13) = -40

x2 – 13x + 40 = 0

(x –5)(x – 8) = 0

ดังน้นั x – 5 = 0 หรือ x – 8 = 0

จะได้ x = 5 หรือ x = 8

เนอ่ื งจาก x แทนจำ�นวน ดังนั้น x จึงเปน็ ได้ทั้งสองจำ�นวน

ถา้ ใหจ้ ำ�นวนจำ�นวนแรก คือ 5 จะได ้ จ�ำ นวนทีน่ ้อยกว่าจ�ำ นวนแรกอย ู่ 13 เป็น 5 – 13 = -8

ถ้าให้จำ�นวนจ�ำ นวนแรก คือ 8 จะได ้ จำ�นวนท่นี ้อยกวา่ จำ�นวนแรกอยู่ 13 เปน็ 8 – 13 = -5

ดงั นน้ั จ�ำ นวนสองจำ�นวนนนั้ มี 2 ชุด คอื -8 กับ 5 และ -5 กับ 8

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลังสองตวั แปรเดยี ว 143

8. แนวคดิ ให้ x แทนจ�ำ นวนจ�ำ นวนหน่งึ

เนอื่ งจาก จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนรวมกันเท่ากับ 22

จะได้ จ�ำ นวนอีกจำ�นวนหนง่ึ เป็น 22 – x

เน่ืองจาก กำ�ลงั สองของแต่ละจ�ำ นวนรวมกันเทา่ กับ 274

จะไดส้ มการเปน็ x2 + (22 – x)2 = 274

x2 + 484 – 44x + x2 = 274

x2 – 22x + 105 = 0

(x – 15)(x – 7) = 0

ดังนั้น x – 15 = 0 หรือ x – 7 = 0

จะได้ x = 15 หรอื x = 7

เน่ืองจาก x แทนจำ�นวนจำ�นวนหน่งึ ดงั นัน้ x จึงเปน็ ไดท้ ั้งสองจ�ำ นวน

ถา้ ใหจ้ �ำ นวนจ�ำ นวนหนงึ่ คือ 7 จะได้ จำ�นวนอกี จ�ำ นวนหนึ่งเปน็ 22 – 7 = 15

ถ้าใหจ้ �ำ นวนจำ�นวนหน่งึ คอื 15 จะได้ จำ�นวนอกี จ�ำ นวนหนง่ึ เปน็ 22 – 15 = 7

เนอ่ื งจาก เม่อื ตรวจสอบแล้วพบว่าคำ�ตอบท่ีอาจเป็นไปไดท้ ัง้ สองแบบเป็นคำ�ตอบเดยี วกัน

ดงั นน้ั จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนน้นั คือ 7 และ 15

9. แนวคิด ให้ x แทนจำ�นวนทน่ี ้อยกว่า

เนอ่ื งจาก จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนตา่ งกนั อยู่ 3

จะได้ จ�ำ นวนอีกจ�ำ นวนหนง่ึ เป็น x + 3

เนอ่ื งจาก ผลบวกของกำ�ลังสองของทั้งสองจ�ำ นวนเปน็ 117

จะได้สมการเป็น x2 + (x + 3)2 = 117

x2 + x2 + 6x + 9 = 117

x2 + 3x – 54 = 0

(x – 6)(x + 9) = 0

ดังนนั้ x – 6 = 0 หรือ x + 9 = 0

จะได้ x = 6 หรือ x = -9

เนอ่ื งจาก x แทนจ�ำ นวน ดงั น้นั x จึงเปน็ ได้ท้งั สองจ�ำ นวน

ถา้ ให้จ�ำ นวนทนี่ ้อยกวา่ คือ -9 จะได้ จ�ำ นวนอกี จำ�นวนหนง่ึ เปน็ -9 + 3 = -6

ถา้ ใหจ้ ำ�นวนที่น้อยกว่า คอื 6 จะได้ จำ�นวนอีกจ�ำ นวนหน่ึงเป็น 6 + 3 = 9

ดงั น้ัน จำ�นวนสองจ�ำ นวนนัน้ มี 2 ชดุ คอื -9 กบั -6 และ 6 กบั 9

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

144 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดียว คู่มือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

10. แนวคดิ 1 ให้ x แทนจ�ำ นวนคูจ่ ำ�นวนหน่ึง

จะได้ จ�ำ นวนคู่ทอี่ ยู่ถดั ไปเปน็ x + 2

ด้งนั้น 40 เท่าของผลบวกของจ�ำ นวนคู่จำ�นวนหนึ่งกบั จำ�นวนคูอ่ ีกจำ�นวนหนง่ึ ท่อี ยถู่ ัดไปเปน็

40[x + (x + 2)]

และ 9 เท่าของผลคูณของทงั้ สองจำ�นวนเป็น 9[x(x + 2)]

เนอ่ื งจาก 40 เทา่ ของผลบวกของจ�ำ นวนค่จู �ำ นวนหนงึ่ กับจำ�นวนคอู่ กี จ�ำ นวนหนึ่งท่ีอยถู่ ัดไปเท่ากับ

9 เทา่ ของผลคูณของท้ังสองจำ�นวน

จะได้สมการเป็น 40[x + (x + 2)] = 9[(x)(x + 2)]
80x + 80 = 9x2 + 18x


9x2 – 62x – 80 = 0

(9x + 10)(x – 8) = 0

ดังนั้น 9x + 10 = 0 หรือ x – 8 = 0

จะได ้ x = - 1—90 หรือ x = 8

เนื่องจาก x แทนจ�ำ นวนคู่ ดังนนั้ จึงพจิ ารณาเฉพาะ x = 8

ถา้ จ�ำ นวนคู่จ�ำ นวนหน่ึง คือ 8 จะได้ จำ�นวนคูท่ ่อี ยถู่ ัดไปเปน็ 8 + 2 = 10

ดังน้นั จ�ำ นวนค่สู องจำ�นวนนัน้ คือ 8 และ 10

แนวคิด 2 ให้ x แทนจำ�นวนเต็มจำ�นวนหนึ่ง

จะได้ จ�ำ นวนคเู่ ป็น 2x และจำ�นวนคทู่ ีอ่ ยูถ่ ัดไปเป็น 2x + 2

ดังนั้น 40 เทา่ ของผลบวกของจ�ำ นวนคจู่ �ำ นวนหนงึ่ กบั จำ�นวนคู่อีกจำ�นวนหน่ึงท่อี ยู่ถดั ไปเป็น

และ 40[(2x) + (2x + 2)]
9 เทา่ ของผลคูณของทั้งสองจ�ำ นวนเปน็ 9[(2x)(2x + 2)]

เนื่องจาก 40 เท่าของผลบวกของจำ�นวนคูจ่ ำ�นวนหนง่ึ กับจำ�นวนค่อู ีกจ�ำ นวนหนึง่ ที่อยู่ถัดไปเท่ากบั

9 เทา่ ของผลคูณของท้ังสองจำ�นวน

จะไดส้ มการเปน็ 40[(2x) + (2x + 2)] = 9[(2x)(2x + 2)]
160x + 80 = 36x2 + 36x


9x2 – 31x – 20 = 0

(9x + 5)(x – 4) = 0

ดังน้ัน 9x + 5 = 0 หรอื x – 4 = 0

จะได้ x = - –95 หรือ x = 4
ดังนั้น 2x = - 1—90 หรือ 2x = 8

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดียว 145

เนื่องจาก จำ�นวนทตี่ ้องการเปน็ จำ�นวนคู่ ดังนัน้ จงึ พจิ ารณาเฉพาะ 2x = 8
ถา้ จ�ำ นวนคูจ่ �ำ นวนหน่ึง คือ 8 จะได้ จำ�นวนคทู่ ่อี ยู่ถดั ไปเป็น 8 + 2 = 10
ดงั นนั้ จ�ำ นวนค่สู องจำ�นวนนนั้ คือ 8 และ 10

แบบฝกึ หัด 3.2 ค

1. 1) แนวคิด x2 + 26x + 165 = 0

[x2 + 2(x)(13) + 132] – 132 + 165 = 0

(x + 13)2 – 4 = 0

(x + 13)2 – 22 = 0

[(x + 13) + 2][(x + 13) – 2] = 0

(x + 15)(x + 11) = 0

ดงั นั้น x + 15 = 0 หรอื x + 11 = 0

จะได ้ x = -15 หรือ x = -11

ดังนัน้ ค�ำ ตอบของสมการ คือ -15 และ -11

2) แนวคดิ y2 – 98y + 2,376 = 0

[y2 – 2(y)(49) + 492] – 492 + 2,376 = 0

(y – 49)2 – 25 = 0

(y – 49)2 – 52 = 0

[(y – 49) + 5][(y – 49) – 5] = 0

(y – 44)(y – 54) = 0

ดงั น้นั y – 44 = 0 หรือ y – 54 = 0

จะได้ y = 44 หรอื y = 54

ดังน้นั ค�ำ ตอบของสมการ คอื 44 และ 54

3) แนวคดิ z2 + 756 = 60z

z2 – 60z + 756 = 0

[z2 – 2(z)(30) + 302] – 302 + 756 = 0

(z – 30)2 – 144 = 0

(z – 30)2 – 122 = 0

[(z – 30) + 12][(z – 30) – 12] = 0

(z – 18)(z – 42) = 0

ดังนั้น z – 18 = 0 หรอื z – 42 = 0

จะได้ z = 18 หรือ z = 42

ดังนน้ั คำ�ตอบของสมการ คอื 18 และ 42

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

146 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียว ค่มู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

4) แนวคิด 400 + 50x = -x2

x2 + 50x + 400 = 0

[x2 + 2(x)(25) + 252] – 252 + 400 = 0

(x + 25)2 – 225 = 0

(x + 25)2 – 152 = 0

[(x + 25) + 15][(x + 25) – 15] = 0

(x + 40)(x + 10) = 0

ดงั น้นั x + 40 = 0 หรือ x + 10 = 0

จะได ้ x = -40 หรอื x = -10

ดังน้นั คำ�ตอบของสมการ คอื -40 และ -10

5) แนวคดิ 4y2 – 3 = 8y + 9

4y2 – 8y – 12 = 0

y2 – 2y – 3 = 0

[y2 – 2(y)(1) + 12] – 12 – 3 = 0

(y – 1)2 – 4 = 0

(y – 1)2 – 22 = 0

[(y – 1) + 2][(y – 1) – 2] = 0
(y + 1)(y – 3) = 0

ดงั นั้น y + 1 = 0 หรอื y – 3 = 0

จะได้ y = -1 หรอื y = 3

ดงั น้ัน ค�ำ ตอบของสมการ คอื -1 และ 3

6) แนวคดิ 9z2 + 6z – 8 = 0

[(3z)2 + 2(3z)(1) + 12] – 12 – 8 = 0

(3z + 1)2 – 9 = 0

(3z + 1)2 – 32 = 0

[(3z + 1) + 3][(3z + 1) – 3] = 0

(3z + 4)(3z – 2) = 0

ดงั นัน้ 3z + 4 = 0 หรอื 3z – 2 = 0

จะได ้ z = - –34 หรือ z = –23
ดงั นน้ั คำ�ตอบของสมการ คอื - –34
และ –23

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดยี ว 147

2. 1) แนวคดิ จากสมการ x2 – 12x + 11 = 0 จะได้ a = 1, b = -12 และ c = 11

ดังนั้น b2 – 4ac = (-12)2 – 4(1)(11) = 144 – 44 = 100

จา กสูตร x = -b ± √b2 – 4ac

2a

จะ ได้ x = -(-12) ± √100

2(1)

= 12 ± 10
2

ดงั น น้ั x = 12 +2 10 หรอื x = 12 – 10
2

จะได้ x = 11 หรือ x = 1

ดงั นั้น ค�ำ ตอบของสมการ คอื 11 และ 1

2) แนวคดิ จากสมการ y2 – 3y – 10 = 0 จะได้ a = 1, b = -3 และ c = -10

ดังนน้ั b2 – 4ac = (-3)2 – 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49

จา กสูตร y = -b ± √b2 – 4ac

2a

จะ ได้ y = -(-3) ± √49

2(1)

= 3±7
2

ดังน ั้น y = 3 2+ 7 หรอื y = 3–7
2

จะได้ y = 5 หรือ y = -2

ดังนั้น คำ�ตอบของสมการ คือ 5 และ -2

3) แนวคิด จากสมการ z2 + 4z + 1 = 0 จะได้ a = 1, b = 4 และ c = 1

ดังนนั้ b2 – 4ac = 42 – 4(1)(1) = 16 – 4 = 12

จา กสตู ร z = -b ± √b2 – 4ac

2a

จะ ได ้ z = -4 ± √12

2(1)

= -4 ± 2 √3

2

= -2 ± √3

นน่ั คอื z = -2 + √3 หรือ z = -2 – √3

ดังนน้ั ค�ำ ตอบของสมการ คอื -2 + √3 และ -2 – √3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

148 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลังสองตวั แปรเดียว คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

4) แนวคดิ จากสมการ 3x2 – 2x = -2 จดั สมการใหมไ่ ดเ้ ป็น 3x2 – 2x + 2 = 0

จะได้ a = 3, b = -2 และ c = 2

ดังนน้ั b2 – 4ac = (-2)2 – 4(3)(2) = 4 – 24 = -20

เน่อื งจาก b2 – 4ac < 0

ดงั นน้ั ไมม่ จี �ำ นวนจริงใดเป็นคำ�ตอบของสมการ

5) แนวคดิ จากสมการ 2x2 = 3x + 14 จดั สมการใหมไ่ ด้เปน็ 2x2 – 3x – 14 = 0

จะได้ a = 2, b = -3 และ c = -14
ดงั นั้น b2 – 4ac = (-3)2 – 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121

จา กสูตร x = -b ± √b2 – 4ac

2a

จะ ได้ x = 3 ± √121

2(2)

= 3 ± 11
4

ดงั น นั้ x = 3 +4 11 หรอื x = 3 – 11
x = –27 4
คำ�ตอบของสมการ คือ
จะได ้ หรอื x = -2
ดงั นั้น –27 และ
-2

6) แนวค ิด จะ ได ้ z = -(-17) ± √(-17)2 – 4(10)(3)

2(10)

= 17 ± 13
20

ดังน นั้ z = 172+0 13 หรือ z = 17 – 13
20
จะไ ด ้ z = 2–3 ห รอื z = 15–
ดงั นน้ั ค�ำ ตอบของสมการ คือ –23 และ –51


-(-14) ± √(-14)2 – 4(49)(1)
7) แนวค ดิ จะ ได ้ y =
2(49)

= –71

ดงั นัน้ ค�ำ ตอบของสมการ คือ –71

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดียว 149

8) แนวค ิด จะ ได ้ x = -(-1) ± √(-1)2 – 4(1)(-20)

2(1)

นั่นคอื x = 5 หรือ x = -4

ดงั น้นั ค�ำ ตอบของสมการ คือ 5 และ -4

9) แนวค ดิ จะ ได้ z = -(-1) ± √(-1)2 – 4(4)(0)

2(4)

นั่นคอื z = 4–1 หรอื z = 0
ดังนน้ั ค�ำ ตอบของสมการ คือ 4–1 และ 0

10) แนวคดิ เน่อื งจาก b2 – 4ac = 32 – 4(2)(6) = -39

นน่ั คอื b2 – 4ac < 0

ดังนั้น ไม่มจี �ำ นวนจริงใดเปน็ ค�ำ ตอบของสมการ

11) แนวค ิด จะ ได้ x = -(-8) ± √(-8)2 – 4(2)(3)

2(2)

น่ันค ือ x = 4 +2√ 10 หรอื x = 4 – √10
2

ดังน้นั คำ�ต อบขอ งสมการ คือ 4 + √10 และ 4 – √10
2 2

12) แนวค ิด จะ ได้ z = -7 ± √72 – 4(3)(-1)

2(3)

น่นั ค ือ z = -7 +6√ 61 หรอื z = -7 – √61
6

ดงั นนั้ คำ�ต อบขอ งสมการ คอื -7 + √61 และ -7 – √61
6 6

13) แนวค ิด จะ ได้ y = -(-4) ± √(-4)2 – 4(4)(-35)

2(4)

นน่ั คือ y = 3–12 หรือ y = -2–12

ดังนน้ั คำ�ตอบของสมการ คอื 3–12 และ -2–12

-(-8) ± √(-8)2 – 4(16)(1)
14) แนวค ดิ จะ ได้ x =
2(16)

นัน่ คือ x = –41
ดังนั้น คำ�ตอบของสมการ คอื –41

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี