ตรีโกณ

เล่มที่ 1 อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ

เรื่อง อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ
โดยใชก้ ารจดั การเรียนรูแ้ บบรว่ มมือเทคนิค STAD
สาหรับนักเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

จัดทาโดย นางกาญจนา ชิดสิน
ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการ

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนเบญจมราชานสุ รณ์ อาเภอเมือง จังหวัดนนทบรุ ี

สานักงานเขตพ้ืนท่ีการศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 3

ก

คานา

แบบฝกึ ทกั ษะ เร่อื ง อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ โดยใชก้ ารจัดการเรยี นรแู้ บบร่วมมือ( STAD)
สาหรบั นกั เรียนชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 จดั ทาข้นึ เพอื่ ประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา
คณติ ศาสตร์ 2 รหสั วิชา ค 31102 ระดับช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 เน้ือหาเป็นไปตามหลักสตู ร
แกนกลางการศกึ ษาข้นั พื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551 แบบฝกึ ทักษะน้เี ป็นนวตั กรรมการจัดการ
เรยี นรู้ซ่งึ ครูมีหนา้ ทีเ่ ปน็ ทป่ี รกึ ษา ใหค้ าชี้แนะ มุง่ เนน้ ใหน้ ักเรยี นสามารถเรยี นรู้ร่วมกนั และพฒั นา
ตนเองตามความสามารถและความแตกต่างระหว่างบุคคลของนกั เรยี น สรปุ องคค์ วามรแู้ ละ
สามารถนาความร้ไู ปใชค้ ิดแก้ปัญหาได้ทัง้ ในหอ้ งเรยี นและชวี ติ ประจาวนั

แบบฝึกทกั ษะเลม่ นปี้ ระกอบด้วย คานา สารบัญ คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทักษะสาหรับ
ครู คาแนะนาการใชแ้ บบฝกึ ทักษะสาหรบั นกั เรียน มาตรฐานการเรียนรู้ ตวั ชี้วัด จุดประสงคก์ าร
เรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบหลงั เรยี น เฉลย
แบบทดสอบ และแบบฝึกทักษะ แบบบนั ทกึ คะแนน และบรรณานุกรม ซึ่งผู้จดั ทาได้เรียบเรยี ง
เนอื้ หาจากงา่ ยไปสู่เนอ้ื หาท่มี คี วามยากมากขึน้ เป็นลาดบั ขัน้ งา่ ยต่อการศกึ ษาค้นคว้า

การจดั ทาแบบฝกึ ทกั ษะ เรอ่ื ง อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมอื
(STAD) นี้ ไดร้ บั ความรว่ มมืออยา่ งดยี ิง่ จากผบู้ รหิ าร คณะครู และบุคลากรทางการศกึ ษา
ตลอดจน ผ้ทู ม่ี สี ่วนเก่ียวขอ้ งทกุ ท่านทีช่ ่วยเหลอื ให้คาแนะนา และใหก้ าลังใจจนกระทั่งงาน
สาเร็จลลุ ่วงได้ด้วยดี จงึ ขอขอบคุณมา ณ โอกาสน้ี และหวังเป็นอย่างย่ิงวา่ แบบฝึกทกั ษะน้จี ะเป็น
ประโยชน์ตอ่ การศกึ ษาวิชาคณติ ศาสตร์ เรื่องอัตราสว่ นตรโี กณมิติ สาหรับครู นกั เรียน และ
บุคลากรทางการศกึ ษาทุกทา่ น

กาญจนา ชดิ สิน

สารบญั ข

คานา หนา้
สารบญั ก
คาแนะนาการใชแ้ บบฝกึ ทักษะสาหรบั นักเรียน ข
มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวช้ีวัด จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1
แบบทดสอบกอ่ นเรียน 2
กระดาษคาตอบแบบทดสอบกอ่ นเรียน 3
ใบความรทู้ ่ี 1.1 เร่ือง สามเหล่ยี มคลา้ ยและทฤษฎบี ทพีทาโกรสั 4
แบบฝกึ ทักษะที่ 1.1 5
ใบความรทู้ ี่ 1.2 เร่ือง อตั ราส่วนตรีโกณมติ ขิ องรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 8
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.2 9
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.3 12
ใบความร้ทู ี่ 1.2 เรื่อง อัตราส่วนตรโี กณมติ ิกับทฤษฎบี ทพีทาโกรัส 15
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.4 18
แบบฝึกทักษะที่ 1.5 20
ใบกิจกรรมกล่มุ “สรปุ บทเรียน เล่มที่ 1 เรอ่ื ง อัตราส่วนตรโี กณมิต”ิ 22
แบบทดสอบหลังเรียน 24
กระดาษคาตอบ แบบทดสอบหลงั เรยี น 25
แบบบนั ทึกคะแนน 26
บรรณานกุ รม 27
29

คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนกั เรยี น 1

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ โดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบ

รว่ มมือเทคนิค STAD สาหรบั นกั เรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 เลม่ น้ใี ชป้ ระกอบการจัดกิจกรรมการ
เรียนร้รู ายวิชาคณิตศาสตร์ 2 รหัสวชิ า ค31102 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 2 เรอ่ื งอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ
ระดับชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 เพือ่ ใหน้ ักเรียนได้บรรลุตามมาตรฐานการเรียนรู้ ตวั ชี้วัด และ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ทีก่ าหนดไว้ จึงจาเป็นอย่างย่ิงทนี่ ักเรียนต้องศกึ ษารายละเอยี ดการใช้
เน้อื หา การจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ และการวัดและประเมนิ ผลการเรียนรกู้ อ่ นใชแ้ บบฝึกทักษะ
ดงั น้ี

1. แบบฝกึ ทักษะเล่มน้ี เป็นเลม่ ที่ 1 เร่อื ง อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ ใชเ้ วลาเรยี น 3 ชั่วโมง
2. นักเรยี นตอ้ งปฏบิ ตั ิ ดังนี้

2.1 นกั เรยี นอ่านคาแนะนาการใช้แบบฝึกทกั ษะเล่มนอ้ี ย่างละเอยี ด และปฏิบัติ

กิจกรรมตามลาดบั ข้ันตอน
2.2 นกั เรียนศกึ ษามาตรฐานการเรยี นรู้ ตวั ชวี้ ดั จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ และการวดั

และประเมนิ ผลตามท่คี รชู แี้ จง

2.3 นกั เรียนทาแบบทดสอบก่อนเรยี นด้วยตนเอง มีความซ่ือสัตย์ เพอ่ื ประเมนิ ความรู้
พ้ืนฐานของนกั เรียน แลว้ เปลีย่ นกนั ตรวจ โดยครูเปน็ ผูเ้ ฉลยคาตอบ บันทกึ คะแนนในแบบบันทกึ
คะแนน

2.4 นกั เรยี นแบ่งกลมุ่ ตามรายชื่อท่ีครแู จง้ และแบง่ หน้าทีค่ วามรับผิดชอบของสมาชิก
ในกลมุ่ ดังน้ี ประธาน ผูป้ ระสานงาน ผตู้ รวจสอบ ผนู้ าเสนอและเลขานุการ

2.5 นกั เรยี นร่วมกนั ศึกษาใบความรู้และทาแบบฝกึ ทักษะ แล้วตรวจสอบคาตอบ

ภายในกลุ่มโดยดูจากเฉลยท่คี รเู ตรียมไว้ บนั ทึกคะแนนในแบบบนั ทึกคะแนนทุกครัง้
2.6 นกั เรียนอภปิ ราย สรปุ ผลการเรยี นร้รู ่วมกันในกลุม่ หากมปี ญั หาหรอื ขอ้ สรุป

ไมต่ รงกันสามารถขอคาปรกึ ษาจากครูเพอ่ื ให้คาชี้แนะ

2.7 นักเรยี นทาแบบทดสอบหลังเรยี น เพ่ือประเมินความกา้ วหนา้ ของนักเรียน แล้ว
เปลย่ี นกันตรวจ ครูเป็นผู้เฉลยคาตอบ บันทกึ คะแนนในแบบบันทึกคะแนน

2.8 กรณีมีนักเรียนขาดเรยี นในช่วั โมงนั้น ให้นกั เรียนศกึ ษาใบความรแู้ ละแบบฝกึ

ทกั ษะด้วยตนเองรว่ มกบั การเรยี นรจู้ ากนักเรยี นกลุม่ เดียวกันนอกเหนอื เวลาเรียน

2

มาตรฐานการเรียนรู้ ตวั ช้วี ัด และจดุ ประสงค์การเรียนรู้

มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 2.1 เขา้ ใจพนื้ ฐานเก่ียวกบั การวัด วดั และคาดคะเนขนาดของสง่ิ ทีต่ ้องการวัด
มาตรฐาน ค 6.1 มคี วามสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตผุ ล การสอื่ สาร การสื่อความหมาย

ทาง คณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรตู้ ่าง ๆ ทาง
คณติ ศาสตร์ และเชอื่ มโยงคณติ ศาสตรก์ ับศาสตรอ์ ่นื ๆ และมคี วามคิดรเิ ร่มิ
สร้างสรรค์

ตัวช้วี ัด

ค 2.1 ม.4 – 6/1 ใชค้ วามรู้เรือ่ ง อตั ราส่วนตรีโกณมติ ขิ องมุมในการคาดคะเนระยะทางและ
ความสงู

ค 6.1 ม.4 – 6/3 ให้เหตผุ ลประกอบการตัดสินใจ และสรปุ ผลได้อยา่ งเหมาะสม
ค 6.1 ม.4 – 6/4 ใช้ภาษาและสญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตรใ์ นการสอ่ื สาร การสือ่ ความหมาย

และการนาเสนอไดอ้ ย่างถูกตอ้ งและชัดเจน

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

ดา้ นความรู้
1) นักเรยี นสามารถบอกนิยามและสมบตั ิของรปู สามเหลี่ยมทค่ี ลา้ ยกันได้
2) นักเรียนสามารถใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรัสหาความยาวดา้ นทเ่ี หลอื ของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากได้
3) นักเรยี นสามารถบอกนิยามของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ของมุมของรูปสามเหลีย่ มมุมฉากได้
4) นกั เรียนสามารถหาอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิของรปู สามเหลย่ี มมุมฉากที่กาหนดใหไ้ ด้
ด้านทกั ษะกระบวนการ
1) นักเรยี นสามารถใช้ทักษะกระบวนการคณติ ศาสตรแ์ ก้ปัญหาได้
2) นักเรยี นสามารถใชท้ ักษะในการส่ือสารได้
ด้านคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์
1) มรี ะเบียบวนิ ัย
2) มีความซอื่ สตั ย์
3) มีความรับผิดชอบ

แบบทดสอบก่อนเรยี น 3

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบก่อนเรียนแบบปรนยั จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ( 20 นาที )

2. ให้นกั เรยี นพจิ ารณาคาตอบที่ถกู ต้องที่สุดเพียงขอ้ ละ 1 คาตอบ แล้วทาเครอื่ งหมาย
กากบาท (X) ลงในกระดาษคาตอบ

จากรปู ทกี่ าหนดให้ 4. ขอ้ ใดคอื ค่าของ sin A  cos B - tanA
จงตอบคาถามขอ้ ท่ี 1 – 3 4 3 1 4
5 5 15 15
B ก. ข . ค. ง .

5. ขอ้ ใดคือคา่ ของ tanA sinB
4 3 1 4
c ก. 5 ข . 5 ค. 15 ง. 15
a
6. ถา้ cos A = 2 แลว้ ข้อใดคอื tan A
7

Cb A ก. 5 ข. 3 2 5 ค. 7 ง .327
2 2
5
1. ข้อใด คือ ช่อื เรียกของดา้ น BC 7. ถ้า sin A = 13 แลว้ ขอ้ ใดคือ 13 tanBcos B

ก. ด้านตรงข้ามมุม A ก. 5 ข. 9 ค. 12 ง. 13

ข. ด้านประชิดมมุ A 8. ถ้า cos A = 0.25 แล้วขอ้ ใดคือ 2sinA
tanA
ค. ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ง. ดา้ นตรงข้ามมมุ B ก. 2 ข. 4 ค . 1 ง. 1
2 4
2. ข้อใดไมใ่ ช่อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิท่ถี กู ต้อง 2 1
a b 3 3
ก. sin A = c ข. cos A = c 9. ถา้ tan A = แลว้ ขอ้ ใดกล่าวผดิ

ค. tan B = b ง. cos B= a ก. sin A + cos B = cos A
a c
3. ข้อใดคอื คา่ ของ b เม่ือกาหนด a ยาว ข. sin B – sin A = cos B

8 หน่วย และ c ยาว 17 หน่วย ค. 1 – tan A = sin A
ง. sin A cos A =cos BsinB
ก. 10 ข. 12 ค. 13 ง. 15
10. กาหนดรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC มีมุม C
จากรูปท่กี าหนดให้ 6
เปน็ มมุ ฉาก และ 2sin A = 5 ข้อใดถูกตอ้ ง
จงตอบคาถามขอ้ ท่ี 4 – 5

B ก. 4tan A = 4
4
5 ข. cos B = 5
4
ค. ความยาวเส้นรอบรปู สามเหลยี่ ม ABC

เท่ากับ 11 หน่วย

A3C ง. พนื้ ทีร่ ูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 6

ตารางหนว่ ย

4

กระดาษคาตอบ
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ชอ่ื – นามสกุล ………………………………………………………………… ระดับชั้น ม.4/…….. เลขท่ี…………..

คาช้แี จง 1. แบบทดสอบกอ่ นเรยี นแบบปรนัย จานวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ( 20 นาที )

2. ให้นกั เรยี นพิจารณาคาตอบทถี่ ูกตอ้ งทีส่ ดุ เพยี งขอ้ ละ 1 คาตอบ แล้วทาเครอื่ งหมาย

กากบาท (X) ลงในกระดาษคาตอบ

ขอ้ ที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ใบความรทู้ ่ี 1.1 5

เร่อื ง สามเหลยี่ มคลา้ ยและทฤษฎีบทพที าโกรสั

สามเหลีย่ มคล้าย

1. ถา้ สามเหล่ียม 2 รปู มีมุมเท่ากัน 3 คู่ มมุ ตอ่ มุม แล้ว สามเหล่ียม 2 รปู นนั้ เป็นรปู
สามเหลย่ี มท่ีคลา้ ยกนั

จากรปู BAˆC = NMˆP ABˆC = MNˆP ACˆB = MPˆN
ดงั นนั้ ∆ABC ~ ∆MNP

2. ถ้าสามเหลยี่ ม 2 รปู คลา้ ยกัน แลว้ อัตราส่วนของความยาวดา้ นทีอ่ ยูต่ รงข้ามมมุ ทเ่ี ทา่ กัน
จะเทา่ กนั

จากรปู กาหนดให้ ∆ABC ~ ∆MNP
AB BC AC
ดงั น้นั MN = NP = MP

6

ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

จากรูป ABC เป็นรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก
BC มีความยาว a หนว่ ย
AC มคี วามยาว b หน่วย
AB มีความยาว c หนว่ ย

จะไดค้ วามสัมพันธข์ องความยาวด้านทั้งสาม คือ c2  a2  b2

ตวั อย่างที่ 1 กาหนดรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ดงั รปู จงหาความยาวของด้านทเ่ี หลือ

x
3

3

4

วิธีทา จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได้ x2  42  32 x2  16  9
x2  25
x 5

ตวั อยา่ งท่ี 2 กาหนดรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ดงั รปู จงหาความยาวของด้านทเ่ี หลอื 7

8
y

10

วิธีทา จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได้ 102  y2  82
102  82  y2
y2  102  82
y2  100  64
y2  36
y 6

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1 8

คาชแี้ จง จงหาความยาวของดา้ นที่เหลือจากรูปสามเหลย่ี มมุมฉากทีก่ าหนดให้ตอ่ ไปน้ี

1. ………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

12 ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

5 ………………………………………………………………………………

2. ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
7

………………………………………………………………………………

25 ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

3. ………………………………………………………………………………
12
………………………………………………………………………………

20 ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

4. ………………………………………………………………………………
1 ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
1 ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
5. ………………………………………………………………………………
2
………………………………………………………………………………
3 ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

ใบความรูท้ ่ี 1.2 9
เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตรีโกณมติ ิ (Trigonometry) มาจากรากศพั ท์ภาษากรกี 2 คา คือ trigonon หมายถงึ

มุม 3 มมุ และ metro หมายถงึ การวดั ในภาษาไทย ตรโี กณมติ ิ มาจากคาวา่ ตรี (แปลวา่ สาม)
โกณ (แปลวา่ มุมหรอื เหลยี่ ม) มติ ิ (แปลวา่ การวัด)

ดังน้ัน ตรีโกณมติ ิ หรอื Trigonometry จึงหมายถงึ การวัดและหาความสมั พันธ์ระหว่าง

ดา้ น มุม และพนื้ ทข่ี องรูปสามเหลย่ี ม
อัตราสว่ นตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถงึ อัตราส่วนของความยาวด้าน

ท้ังสามของรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก

จากรูป ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก มี ACB เปน็ มุมฉาก
ถา้ พจิ ารณามุม A จะไดว้ า่

1. ด้าน AB เรียก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย
2. ดา้ น BC เรยี ก ดา้ นตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย
3. ดา้ น AC เรียก ด้านประชิดมมุ A ยาว b หน่วย

10

พจิ ารณามมุ A จะได้อัตราส่วนความยาวของด้านท้งั สาม ดงั นี้

เรยี ก ไซน์ (sine) ของมุม A
เขียนแทนดว้ ย sin A

เรยี ก โคไซน์ (cosine) ของมมุ A
เขยี นแทนดว้ ย cos A

เรยี ก แทนเจนต์ (tangent) ของมมุ A
เขยี นแทนดว้ ย tan A

นัน่ คอื

สงั เกตมั้ยคะวา่

a ac a
c cb b
tan A  b  

c sinA
cosA
ดังน้นั tan A 

11

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของไซน์ โคไซน์และแทนเจนต์ของมมุ A และมุม B
จากรปู สามเหลย่ี มทก่ี าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

B

5
4

A 3C

วธิ ีทา จากรูป sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมมุ A = 4
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก 5

cos A = ความยาวดา้ นประชิดมุม A = 3
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก 5

tan A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A = 4
ความยาวด้านประชดิ มุม A 3

ในทานองเดียวกัน จะได้วา่

sin B = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ B = 3
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก 5

cos B = ความยาวดา้ นประชิดมมุ B = 4
ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก 5

tan B = ความยาวด้านตรงข้ามมุม B = 3
ความยาวดา้ นประชดิ มมุ B 4

12

แบบฝึกทักษะท่ี 1.2

คาชแ้ี จง จงหาคา่ ของไซน์ โคไซนแ์ ละแทนเจนตข์ องมุมทกี่ าหนดให้ จากรปู สามเหลี่ยมต่อไปนี้

1. sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A =
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

B cos A = ความยาวด้านประชิดมมุ A =
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

10 8 tan A = ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ A =
ความยาวด้านประชิดมมุ A

A C sin B = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุม B =
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

cos B = ความยาวดา้ นประชดิ มมุ B =
ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก

tan B = ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ B =
ความยาวดา้ นประชิดมุม B

2. sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมมุ A =
C1A ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก

cos A = ความยาวดา้ นประชดิ มมุ A =
ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

tan A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A =
ความยาวดา้ นประชดิ มมุ A

1 sin B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม B =
ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก
2

B cos B = ความยาวดา้ นประชิดมุม B =
ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

tan B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ B =
ความยาวดา้ นประชิดมุม B

ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ A 13
ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก
3. sin A = =

A cos B = ความยาวดา้ นประชิดมมุ B =
5 ความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก
C
13 tan B = ความยาวด้านตรงข้ามมุม B =
12 ความยาวดา้ นประชดิ มุม B

B sin B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม B =
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

cos A = ความยาวดา้ นประชดิ มุม A =
ความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก

tan A = ความยาวด้านตรงขา้ มมุม A =
ความยาวด้านประชิดมุม A

4. sin A = sin B =
C cos A = cos B =
1 tan A = tan B =

3 A sin A = tan A =

2
B

5. A

17 15 sin B = cos B =
B8 C tan B = cos A =

6. A cos B = tan B =
24 25 tan A = sin A =
sin B = cos A =
C7 B

14

7. A 20 tan B =
12 sin A =
cos A =
C 16 B
cos B =
8. A tan A =
B sin B =
3
2 sin B =
tan A =
5C cos A =

9. C 7 sin B =
B cos A =
2 tan A =

A
3

10. A 2
3B
2
C

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.3 15

คาชแ้ี จง จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากทกี่ าหนดใหต้ ่อไปนี้ จงเตมิ คาตอบในชอ่ งวา่ งใหถ้ กู ตอ้ ง

1. A

5
3

B 4C

2. A

13 12

B 5C
3. A

51

B2C

4. A
c
b

B aC

16

5. A

B C
6. A

10 6

B8C

7. A
20
12
B 16 C

8. A

23
B 1C

17

9. A
xy

B zC
10. A

BC

18

ใบความร้ทู ่ี 1.3
เรอ่ื ง อัตราสว่ นตรโี กณมิตกิ ับทฤษฎีบทพที าโกรัส

ในการหาอัตราส่วนตรโี กณมิติของรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก กรณีท่ีทราบความยาวดา้ น

ของรปู สามเหลย่ี มมุมฉากทกี่ าหนดใหไ้ มค่ รบท้ังสามด้าน นกั เรยี นมคี วามจาเป็นตอ้ งใช้ความรู้
เกี่ยวกับทฤษฎบี ทพที าโกรสั เพื่อหาความยาวของด้านท่เี หลอื ของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากน้ัน

ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากทีม่ มี ุม C เปน็ มมุ ฉาก ด้าน AC
ยาว 5 หน่วย ดา้ น BC ยาว 12 หน่วย จงหาค่าของ sin A , cos A และ tan A
วธิ ีทา เนือ่ งจากโจทย์ไมแ่ สดงรูป นักเรียนสามารถวาดรปู โดยใชข้ อ้ มลู จากโจทยไ์ ดด้ งั นี้

B

12

A5C

จากรปู หาความยาวด้าน AB ซ่งึ เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก

โดยใชท้ ฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได้

AB2  AC2  BC2

AB2  52  122

AB2  25  144

AB2  169

AB  13 12
13
จะได้รปู ดังนี้ B ดังนั้น sin A =

cos A = 5
13
12
13 12 tan A = 5

A 5C

19

ตัวอยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากทมี่ ีมมุ C เปน็ มุมฉาก
2
และ sin A = 3 จงหา cos A และ tan A ความยาวด้านตรงขา้ มมุม A
วิธีทา เนอื่ งจากโจทย์กาหนด ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก
sin A = 2 ซงึ่ sin A =
3

จะได้ ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม A เท่ากบั 2 หน่วย

และ ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก เท่ากบั 3 หนว่ ย ดังรูป
B

3
2

AC
จากรปู หาความยาวด้าน AC ซ่งึ เปน็ ความยาวของด้านประชดิ มมุ A
โดยใช้ทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได้

AB2  AC2  BC2

AC2  AB2  BC2

AC2  32  22

AC2  9  4

AC2  5

AC  5 2
5
ดงั น้ัน cos A = 5 และ tan A =
3

20

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.4

คาช้แี จง จงแสดงวิธีทาเพอ่ื หาคา่ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1. กาหนดรปู สามเหลย่ี มมุมฉากดังรปู จงหา sin A , cos A และ tan A

A วิธที า ……………………………………………………………………………….
10 ……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
C6 B
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….

ดงั น้ัน sin A =…………. cos A =………... tan A =…………..

2. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉากดงั รปู จงหา sin B , cos B และ tan B

วิธที า……………………………………………………………………………….

B ……………………………………………………………………………………….
8 17 ……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….

ดังนั้น sin B =…………. cos B =………... tan B =…………..

3. กาหนดรปู สามเหลี่ยมมุมฉากดังรูป จงหา sin A , cos A และ tan A

4 วธิ ีทา……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
A
2 ……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

ดงั นั้น sin A =…………. cos A =………... tan A =…………..

21

4. กาหนดรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ABC มีมุม C เปน็ มมุ ฉาก ด้าน AB ยาว 20 หน่วย
และดา้ น BC ยาว 16 หนว่ ย จงหาค่าของ sin A , cos A และ tan A

วธิ ที า …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..

ดงั น้ัน sin A =…………. cos A =………... tan A =…………..

5. กาหนดรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก MNP มีมมุ N เป็นมุมฉาก ด้านประกอบมมุ ฉากยาวดา้ นละ 7
และ 24 หนว่ ย จงหาคา่ ของ sin M , cos M และ tan M

วธิ ีทา …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..

ดังนั้น sin M =…………. cos M =………... tan M =…………..

แบบฝึกทักษะท่ี 1.5 22

คาชี้แจง จงแสดงวิธที าเพือ่ หาค่าไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนตจ์ ากโจทยแ์ ตล่ ะข้อต่อไปน้ี

1. กาหนดรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC ท่มี มี ุม C เปน็ มมุ ฉาก และ sin A = 5
13
จงหา cos A และ tan A

วิธีทา …………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

ดังนนั้ cos A =………... tan A =…………..

2. กาหนดรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC ทีม่ ีมมุ C เปน็ มุมฉาก และ cos B = 2
3

จงหา sin A และ tan A

วิธที า …………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

ดังน้นั sin A =………... tan A =…………..

3. กาหนดรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC ทม่ี ีมมุ C เปน็ มมุ ฉาก และ tan A = 2 23
5
จงหา sin B และ cos B

วธิ ที า …………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

ดงั นน้ั sin B =………... cos B =…………..

4. กาหนดรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ABC ที่มมี มุ C เป็นมมุ ฉาก และ 2sin A = 4
13
จงหา cos B และ tan B

วธิ ีทา …………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

ดงั นัน้ cos B =………... tan B =…………..

5. กาหนดรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC ท่มี มี มุ C เปน็ มุมฉาก และ 3 cos B = 1
2
จงหา sin B และ tan B

วธิ ีทา …………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

ดงั นัน้ sin B =………... tan B =…………..

24

ใบกจิ กรรมกลมุ่
“สรุปบทเรียน เลม่ ที่ 1 เร่ือง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ”ิ

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………..……………………………………………………………
…………..…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

แบบทดสอบหลังเรยี น 25

คาช้แี จง 1. แบบทดสอบหลังเรียนแบบปรนยั จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ( 20 นาที )

2. ให้นกั เรยี นพจิ ารณาคาตอบทีถ่ ูกตอ้ งทีส่ ดุ เพียงข้อละ 1 คาตอบ แล้วทาเครอื่ งหมาย
กากบาท (X) ลงในกระดาษคาตอบ

1. ถ้า sinA = 5 ขอ้ ใดคอื 13 tanBcos B 6. ถ้า cos A = 2 แล้วขอ้ ใดคอื tan A
13 7
ก. 13 ข. 12 ค. 9 ง. 5
2 1 ก. 5 ข. 3 2 5 ค. 7 ง .327
2. ถา้ 3 tan A = 3 แล้วขอ้ ใดกลา่ วผิด 2 2
จากรปู ทก่ี าหนดให้
ก. sin B – sin A = cos B
จงตอบคาถามข้อท่ี 4 – 5
ข. sin A + cos B = cos A
B
ค. sinA cos A = cos BsinB

ง. 1 – tan A = sin A 5
4
จากรปู ที่กาหนดให้

จงตอบคาถามข้อท่ี 3 – 5

B A3C

c 7. ข้อใดคอื ค่าของ sin A  cos B - tanA
a 1 4 4 3
ก. 15 ข. 15 ค. 5 ง. 5

8. ขอ้ ใดคอื ค่าของ tanA sinB
Cb A 1 4 4 3
ก. 15 ข. 15 ค. 5 ง. 5
3. ข้อใด คือ ชือ่ เรยี กของดา้ น BC
9. ถ้า cos A = 0.25 แลว้ ข้อใดคือ 2sinA
ก. ด้านตรงข้ามมมุ A tanA

ข. ด้านประชิดมุม A ก. 1 ข. 1 ค .2 ง. 4
4 2
ค. ดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก

ง. ดา้ นตรงข้ามมมุ B 10. กาหนดรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ABC มีมมุ C

4. ข้อใดไม่ใช่อัตราส่วนตรีโกณมติ ทิ ถี่ กู ต้อง เปน็ มมุ ฉาก และ 2sin A = 6 ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง
a b 5
ก. sin A = c ข. cos A = c 4
ก. cos B = 5
ค. tan B = b ง. cos B = a
a c ข. 4tan A = 4
5. ข้อใดคือคา่ ของ b เมื่อกาหนด a ยาว
ค. พื้นท่รี ปู สามเหลีย่ ม ABC เทา่ กับ 6
8 หนว่ ย และ c ยาว 17 หนว่ ย
ตารางหนว่ ย
ก. 10 ข. 12 ค. 13 ง. 15
ง. ความยาวเสน้ รอบรูปสามเหล่ียม ABC

เทา่ กับ 11 หนว่ ย

26

กระดาษคาตอบ
แบบทดสอบหลังเรยี น

ชื่อ – นามสกุล ………………………………………………………………… ระดบั ชั้น ม.4/…….. เลขท่ี…………..

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบหลงั เรยี นแบบปรนยั จานวน 10 ข้อ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ( 20 นาที )
2. ให้นักเรยี นพจิ ารณาคาตอบทถ่ี ูกต้องที่สุดเพียงข้อละ 1 คาตอบ แลว้ ทาเคร่ืองหมาย

กากบาท (X) ลงในกระดาษคาตอบ

ขอ้ ที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

แบบบนั ทึกคะแนน 27

ชอื่ – นามสกลุ ……………………………….….…………………..…………………. ช้ัน ม.4/……. เลขท่ี ………

คาช้แี จง ใหน้ กั เรียนบนั ทึกคะแนนท่ีไดจ้ ากการทาแบบทดสอบและแบบฝึกทกั ษะ และทา
 ในชอ่ งสรปุ ผลผ่านหรือไม่ผา่ นเกณฑ์การประเมนิ
เครอื่ งหมาย

1. บันทึกคะแนนกอ่ นเรยี นและคะแนนหลังเรยี น

แบบทดสอบ คะแนนเตม็ คะแนนท่ีได้ สรุปผล
ผา่ น ไม่ผ่าน

กอ่ นเรียน 10

หลงั เรียน 10

คะแนนการพัฒนา

เกณฑค์ ะแนนการพฒั นา คะแนนการพฒั นา

ส่วนตา่ งของคะแนนทดสอบกับคะแนนฐาน/คน 0
10
ไดต้ า่ กวา่ คะแนนฐานมากกวา่ 10 คะแนน 20
ไดต้ า่ กวา่ คะแนนฐาน 1 – 10 คะแนน 30
ไดเ้ ทา่ กบั คะแนนฐานหรอื มากกวา่ 1 – 10 คะแนน
ไดส้ งู กวา่ คะแนนฐานมากกวา่ 10 คะแนน

28

2. บนั ทกึ คะแนนแบบฝึกทกั ษะ

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้ สรุปผล
ผา่ น ไมผ่ ่าน

1.1 10

1.2 10

1.3 10

1.4 10

1.5 10

รวม 60

หมายเหตุ คะแนนแบบฝกึ ทกั ษะแตล่ ะแบบฝึก ตัง้ แต่ 8 คะแนน ขึ้นไป ผ่านเกณฑ์

บรรณานุกรม 29

กระทรวงศึกษาธกิ าร กรมวิชาการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พนื้ ฐาน

พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.ลาดพร้าว.
วชิ าการและมาตรฐานการศกึ ษา, สานกั . (2551). ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรแู้ กนกลาง

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน

พทุ ธศกั ราช 2551. พมิ พค์ รั้งที่ 6. กรุงเทพฯ : ชมุ ชนสหกรณ์การเกษตรแห่ง
ประเทศไทย จากดั .
สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2557). หนังสือเรียนรายวชิ าพ้นื ฐาน

คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4 - 6 กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. พิมพค์ รั้งท่ี 6.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภา ลาดพร้าว.

________. (2551). นวัตกรรมตามแนวคดิ Backward Design. กรงุ เทพฯ : ชา้ งทอง.
จติ จวบ เปาอินทร์. (2555). คู่มอื ประกอบสื่อการสอนคณิตศาสตร์ ตอนท่ี 67 ตรีโกณมติ ิ.

แหลง่ ทมี่ า www.phukhieo.ac.th/obec-media/2555/manual.

สืบค้นเมื่อ 8 มกราคม 2561.

คมู่ อื ครู เล่มที่ 1 อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ

เรอื่ ง อัตราสว่ นตรีโกณมิติ
โดยใชก้ ารจดั การเรยี นรูแ้ บบรว่ มมือเทคนิค STAD
สาหรับนกั เรียนชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4

จัดทาโดย นางกาญจนา ชิดสิน
ตาแหน่งครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนเบญจมราชานุสรณ์ อาเภอเมือง จงั หวัดนนทบุรี

สานกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 3

ก

คานา

คมู่ อื ครู “แบบฝกึ ทกั ษะ เรอื่ ง อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ
(STAD) สาหรบั นักเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4” จดั ทาขนึ้ เพอื่ ใหค้ รูผสู้ อนสามารถใช้แบบฝกึ ทกั ษะ
เรอ่ื ง อตั ราส่วนตรโี กณมิติ โดยใช้การจดั การเรยี นร้แู บบรว่ มมอื ( STAD) สาหรับนกั เรยี นชน้ั
มัธยมศึกษาปีที่ 4 เลม่ ท่ี 1 เรื่องอตั ราสว่ นตรีโกณมิติ ประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา
คณิตศาสตร์ 2 รหสั วิชา ค31102 ระดับช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

คู่มือครูเล่มนปี้ ระกอบดว้ ย คานา สารบัญ คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะสาหรบั ครู
คาแนะนาการใช้แบบฝกึ ทักษะสาหรบั นักเรียน มาตรฐานการเรยี นรู้ ตวั ชี้วัด จดุ ประสงค์การ
เรยี นรู้ แบบทดสอบกอ่ นเรยี น ใบความรู้ แบบฝกึ ทักษะ แบบทดสอบหลงั เรยี น พร้อมเฉลย แบบ
บันทกึ คะแนน และบรรณานุกรม ซึ่งผ้จู ัดทาไดเ้ รียบเรยี งเนอื้ หาให้ง่ายตอ่ การศึกษาค้นคว้าและ
นาไปใช้

การจดั ทาคูม่ อื ครู แบบฝึกทกั ษะ เรือ่ ง อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้
แบบร่วมมอื (STAD) นี้ ไดร้ ับความร่วมมืออย่างดยี ิ่งจากผู้บรหิ าร คณะครู และบุคลากรทางการ
ศึกษา ตลอดจน ผทู้ ่มี ีสว่ นเกี่ยวขอ้ งทกุ ท่านท่ีช่วยเหลือ ให้คาแนะนา และให้กาลงั ใจจนกระท่ัง
งานสาเรจ็ ลลุ ่วงไดด้ ้วยดี จึงขอขอบคณุ มา ณ โอกาสนี้ และหวงั เป็นอยา่ งย่ิงว่าคมู่ อื ครูเล่มนจ้ี ะ
เป็นประโยชนต์ อ่ การศึกษาวชิ าคณติ ศาสตร์ และเปน็ แนวทางนาไปใช้ในการจัดการเรียนการสอน
เรื่องอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ สาหรับครูผูส้ อน

กาญจนา ชิดสิน

ข

สารบัญ

หนา้

คานา ก

สารบัญ ข

คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทกั ษะสาหรับครู 1

มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชีว้ ัด จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 2

ขั้นตอนการเรยี นรู้ เรอื่ ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิโดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือเทคนิคSTAD 3

แบบทดสอบก่อนเรียน 4

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน 5

ใบความรูท้ ่ี 1.1 เร่อื ง สามเหลยี่ มคลา้ ยและทฤษฎีบทพที าโกรสั 6

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.1 9

ใบความรทู้ ี่ 1.2 เรอื่ ง อัตราส่วนตรีโกณมิติของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก 10

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1.2 13

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 1.3 16

ใบความร้ทู ี่ 1.2 เรื่อง อัตราสว่ นตรโี กณมติ กิ บั ทฤษฎีบทพีทาโกรสั 19

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 1.4 21

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.5 23

แนวการสรปุ ใบกจิ กรรมกลุม่ “สรปุ บทเรียน เล่มที่ 1 เรอ่ื ง อัตราส่วนตรโี กณมิต”ิ 25

แบบทดสอบหลงั เรยี น 26

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 27

บรรณานุกรม 28

ภาคผนวก 29

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 1 31

แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 2 48

แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 3 64

1

คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทักษะสาหรับครู

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ โดยใช้การจัดการเรยี นรู้แบบ

ร่วมมอื เทคนิค STAD เล่มนี้ใชป้ ระกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรรู้ ายวิชาคณติ ศาสตร์ 2 รหัสวิชา
ค31102 หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 เรอื่ งอัตราส่วนตรโี กณมิติ ระดับชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 เพ่ือให้
นกั เรียนไดบ้ รรลตุ ามมาตรฐานการเรียนรู้ ตวั ช้วี ัด และจดุ ประสงคก์ ารเรียนรทู้ ่กี าหนดไวจ้ ึง

จาเป็นอย่างยิง่ ทค่ี รูต้องศกึ ษารายละเอียดการใช้ เนื้อหา การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ และการวดั
และประเมินผลการเรยี นรู้กอ่ นใชแ้ บบฝกึ ทักษะ ดงั นี้

1. แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง อัตราสว่ นตรโี กณมิติ โดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบ

ร่วมมอื เทคนิค STAD สาหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 มที ัง้ หมด 6 เล่ม ดงั นี้
เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง อตั ราส่วนตรีโกณมิติ
เล่มที่ 2 เรอ่ื ง อตั ราส่วนตรโี กณมิติของมมุ 30  , 45  และ 60 

เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง การหาค่าอัตราสว่ นตรโี กณมติ จิ ากตารางคา่ ประมาณ
เลม่ ที่ 4 เร่อื ง การหาอัตราส่วนตรีโกณมติ ิจากความสัมพันธ์ของด้านและมมุ
เล่มท่ี 5 เรอื่ ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิของโคเซแคนต์ เซแคนต์ และโคแทนเจนต์

เล่มท่ี 6 เรือ่ ง การประยกุ ต์ของอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ
2. แบบฝกึ ทักษะเลม่ น้ี เปน็ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ ใช้เวลาเรียน 3 ชวั่ โมง
3. ครูต้องปฏิบตั ิ ดงั นี้

3.1 ครูเตรยี มแบบฝกึ ทกั ษะและเครอ่ื งมอื วัดและประเมินผลใหค้ รบถว้ นและเพยี งพอ
ต่อจานวนนกั เรยี น

3.2 ครชู ้ีแจงลาดบั ขั้นตอน วธิ กี ารจดั กิจกรรมการเรียนรู้โดยใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะเล่มน้ี

ใหน้ กั เรียนทราบ รวมถงึ ประโยชน์ทีน่ ักเรียนจะไดร้ บั จากการเรียนรูโ้ ดยใช้แบบฝกึ ทักษะเล่มน้ี
3.3 ครูช้ีแจงมาตรฐานการเรยี นรู้ ตวั ชว้ี ดั จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ และการวัดและ

ประเมนิ ผลใหน้ ักเรียนทราบ

3.4 ครูใหน้ ักเรยี นทาแบบทดสอบกอ่ นเรียน เพ่ือประเมินความร้พู ื้นฐานของนักเรยี น
โดยเน้นย้าการทาแบบทดสอบก่อนเรียนดว้ ยตนเอง มคี วามซ่ือสัตย์ แลว้ เปล่ยี นกนั ตรวจ

3.5 ครูแบ่งนักเรยี นเป็นกล่มุ กลมุ่ ละ 5 คน โดยแบ่งคละนกั เรียนออ่ น ปานกลาง และเก่ง

3.6 ครูใหน้ ักเรียนแต่ละกลมุ่ รว่ มกนั ศกึ ษาใบความรู้และทาแบบฝึกทักษะ แลว้ ตรวจสอบ
คาตอบภายในกลุ่มจากเฉลยทีค่ รเู ตรยี มไว้

3.7 ครใู ห้นกั เรยี นอภปิ ราย สรปุ ผลการเรยี นรูร้ ่วมกันในกล่มุ

3.8 ครใู หน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรยี น เพือ่ ประเมนิ ความกา้ วหนา้ ของนักเรยี น แลว้
ตรวจสอบคาตอบ

3.9 กรณมี ีนักเรียนขาดเรยี นในช่ัวโมงนน้ั ใหน้ ักเรยี นศึกษาใบความรแู้ ละแบบฝึกทกั ษะ

ด้วยตนเองรว่ มกบั การเรยี นรจู้ ากนักเรยี นกลุ่มเดียวกนั นอกเหนอื เวลาเรยี น

2

มาตรฐานการเรยี นรู้ ตวั ชี้วดั และจดุ ประสงค์การเรียนรู้

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 2.1 เข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับการวดั วดั และคาดคะเนขนาดของสงิ่ ที่ตอ้ งการวดั
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสอื่ สาร การสือ่ ความหมาย

ทาง คณติ ศาสตร์ และการนาเสนอ การเช่ือมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทาง
คณติ ศาสตร์และเชอื่ มโยงคณิตศาสตรก์ บั ศาสตรอ์ น่ื ๆ และมีความคิดริเริ่ม
สร้างสรรค์

ตวั ชีว้ ดั

ค 2.1 ม.4 – 6/1 ใช้ความร้เู ร่อื ง อัตราส่วนตรีโกณมติ ขิ องมุมในการคาดคะเนระยะทางและ
ความสงู

ค 6.1 ม.4 – 6/3 ให้เหตุผลประกอบการตัดสนิ ใจ และสรุปผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ค 6.1 ม.4 – 6/4 ใช้ภาษาและสญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตรใ์ นการสือ่ สาร การสอื่ ความหมาย

และการนาเสนอไดอ้ ยา่ งถกู ต้องและชัดเจน

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

ด้านความรู้
1) นกั เรยี นสามารถบอกนยิ ามและสมบตั ิของรูปสามเหลีย่ มทีค่ ลา้ ยกันได้
2) นักเรียนสามารถใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั หาความยาวดา้ นท่ีเหลอื ของรปู สามเหลย่ี มมุมฉากได้
3) นักเรียนสามารถบอกนยิ ามของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ของมุมของรูปสามเหลีย่ มมุมฉากได้
4) นักเรียนสามารถหาอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของรูปสามเหลยี่ มมุมฉากที่กาหนดใหไ้ ด้
ด้านทักษะกระบวนการ
1) นักเรียนสามารถใชท้ กั ษะกระบวนการคณิตศาสตร์แก้ปญั หาได้
2) นักเรยี นสามารถใช้ทักษะในการสือ่ สารได้
ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์
1) มรี ะเบียบวินยั
2) มคี วามซื่อสตั ย์
3) มคี วามรับผิดชอบ

ข้ันตอนการเรียนรู้ เรอ่ื ง อัตราสว่ นตรีโกณมิติ 3
โดยใชก้ ารจดั การเรยี นรแู้ บบรว่ มมอื เทคนคิ STAD

การจดั การเรยี นรู้ เรือ่ ง อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ โดยใชก้ ารจัดการเรยี นรูแ้ บบรว่ มมอื เทคนคิ

STAD มีข้นั ตอนดงั น้ี
ขัน้ ที่ 1 การนาเสนอบทเรยี น ครจู ดั เตรียมเนอ้ื หาตามสาระการเรยี นรู้ มาตรฐานการเรยี นรู้กลุม่

สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์โดยพจิ ารณาจากคาอธบิ ายรายวชิ าคณิตศาสตร์ 2 รหัสวิชา

ค31102
ขน้ั ที่ 2 การเรยี นเปน็ กลมุ่ ยอ่ ย ครูแบง่ นกั เรยี นคละความสามารถกลุ่มละ 5 คน ประกอบดว้ ย

นกั เรยี นเก่ง 1 คน ปานกลาง 3 คน และนักเรยี นออ่ น 1 คน โดยแต่ละกลุ่มเลือก

ประธานกลุ่ม ผปู้ ระสานงาน ผ้ตู รวจสอบ ผนู้ าเสนอ และเลขานุการกลุม่ มีการสรุป
บทเรียน โดยนักเรยี นทม่ี หี น้าที่นาเสนอของแต่ละกลมุ่ นาเสนอ ใบกิจกรรมกลุ่ม “สรุป
บทเรียน เลม่ ท่ี 1 เรื่อง อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ ” โดยครูให้คาช้แี นะและ ตรวจสอบความ

ถกู ตอ้ ง
ข้ันที่ 3 การทดสอบย่อย เมอื่ ศึกษาแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ืองอัตราส่วนตรีโกณมิติ

จบแล้ว นกั เรยี นตอ้ งไดร้ ับการทดสอบยอ่ ยรายบคุ คล

ขนั้ ที่ 4 การใหค้ ะแนนการพฒั นา นาคะแนนทดสอบก่อนเรยี นและหลังเรยี นรายบคุ คลไปหา
คะแนนฐาน (ผลรวมคะแนนก่อนเรียนและคะแนนหลงั เรียนหารดว้ ยสอง) แล้ว
เปรยี บเทยี บกับเกณฑค์ ะแนนการพัฒนาการที่กาหนดไว้

ข้ันที่ 5 การยกย่องกลุ่มท่ีมคี ะแนนการพัฒนาสงู สดุ โดยเปรยี บเทยี บกับเกณฑค์ ะแนนพฒั นา
รายกลมุ่

แบบทดสอบก่อนเรียน 4

คาช้ีแจง 1. แบบทดสอบก่อนเรยี นแบบปรนัย จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ( 20 นาที )
2. ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาคาตอบท่ถี ูกต้องที่สดุ เพยี งขอ้ ละ 1 คาตอบ แล้วทาเครื่องหมาย

กากบาท (X) ลงในกระดาษคาตอบ

จากรปู ทกี่ าหนดให้ 4. ข้อใดคอื คา่ ของ sin A  cos B - tanA
จงตอบคาถามข้อท่ี 1 – 3 4 3 1 4
ก. 5 ข . 5 ค. 15 ง . 15

B 5. ข้อใดคอื คา่ ของ tanA sinB
4 3 1 4
ก. 5 ข . 5 ค. 15 ง. 15

c 6. ถา้ cos A = 2 แลว้ ขอ้ ใดคอื tan A
a 7

Cb A ก. 5 ข. 3 2 5 ค. 7 ง .327
2 2
5
7. ถา้ sin A = 13 แล้วข้อใดคือ 13 tanBcos B

1. ขอ้ ใด คือ ช่ือเรยี กของดา้ น BC ก. 5 ข. 9 ค. 12 ง. 13

ก. ด้านตรงข้ามมุม A 8. ถา้ cos A = 0.25 แลว้ ขอ้ ใดคือ 2sinA
tanA
ข. ดา้ นประชดิ มุม A

ค. ด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก ก. 2 ข. 4 ค . 1 ง. 1
2 4
ง. ดา้ นตรงขา้ มมมุ B 2 1
3 3
2. ขอ้ ใดไมใ่ ชอ่ ตั ราส่วนตรีโกณมติ ิทถ่ี ูกต้อง 9. ถ้า tan A = แลว้ ขอ้ ใดกล่าวผิด
a b
ก. sin A = c ข. cos A = c ก. sin A + cos B = cos A

ค. tan B = b ง. cos B = a ข. sin B – sin A = cos B
a b
3. ขอ้ ใดคอื คา่ ของ b เมอื่ กาหนด a ยาว ค. 1 – tan A = sin A
ง. sin A cos A =cos BsinB
8 หน่วย และ c ยาว 17 หน่วย
10. กาหนดรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมมุ C
ก. 10 ข. 12 ค. 13 ง. 15 6
เปน็ มมุ ฉาก และ 2sin A = 5 ขอ้ ใดถูกต้อง
จากรูปท่กี าหนดให้

จงตอบคาถามข้อที่ 4 – 5 ก. 4tan A = 4
4
B ข. cos B = 5

5 ค. ความยาวเส้นรอบรปู สามเหลี่ยม ABC
4
เทา่ กบั 11 หนว่ ย

ง. พืน้ ทีร่ ูปสามเหลีย่ ม ABC เทา่ กบั 6

A3C ตารางหนว่ ย

5

เฉลย
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ช่อื – นามสกุล ………………………………………………………………… ระดับชนั้ ม.4/…….. เลขท่ี…………..

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบกอ่ นเรียนแบบปรนยั จานวน 10 ข้อ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ( 20 นาที )
2. ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพยี งข้อละ 1 คาตอบ แลว้ ทาเครอื่ งหมาย

กากบาท (X) ลงในกระดาษคาตอบ

ขอ้ ท่ี ก ข ค ง
1X
2X
3X
4X
5X
6X
7X
8X
9X
10 X

ใบความรทู้ ่ี 1.1 6

เร่ือง สามเหลย่ี มคลา้ ยและทฤษฎีบทพที าโกรสั

สามเหลีย่ มคล้าย

3. ถา้ สามเหล่ียม 2 รปู มมี มุ เท่ากัน 3 คู่ มมุ ตอ่ มุม แล้ว สามเหลย่ี ม 2 รปู นนั้ เป็นรปู
สามเหลย่ี มท่ีคลา้ ยกนั

จากรปู BAˆC = NMˆP ABˆC = MNˆP ACˆB = MPˆN
ดงั นนั้ ∆ABC ~ ∆MNP

4. ถ้าสามเหลยี่ ม 2 รปู คล้ายกนั แลว้ อัตราส่วนของความยาวดา้ นทีอ่ ยูต่ รงข้ามมมุ ทเ่ี ทา่ กัน
จะเทา่ กนั

จากรปู กาหนดให้ ∆ABC ~ ∆MNP
AB BC AC
ดังน้นั MN = NP = MP

7

ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

จากรปู ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก
BC มคี วามยาว a หนว่ ย
AC มคี วามยาว b หน่วย
AB มคี วามยาว c หนว่ ย

จะไดค้ วามสมั พันธ์ของความยาวดา้ นทง้ั สาม คือ c2  a2  b2

ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ดงั รปู จงหาความยาวของด้านท่เี หลอื

x
3

3

4

วธิ ีทา จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ x2  42  32
x2  16  9
x2  25
x5

8

ตวั อยา่ งท่ี 2 กาหนดรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ดงั รูป จงหาความยาวของด้านทเ่ี หลอื

8
y

10

วิธีทา จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได้ 102  y2  82
102  82  y2
y2  102  82
y2  100  64
y2  36
y 6

9

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.1

คาชี้แจง จงหาความยาวของด้านทเ่ี หลอื จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

1. x2 = 122 + 52
x 12 x2 = 144 + 25
x2 = 169
x = 13

5 x2 = 252 – 72
x2 = 625 – 49
2. x2 = 576

7 x = 24
x

25

3. x2 = 202 – 122
12 x2 = 400 – 144

20 x2 = 256
x = 16
x
4. x2 = 12 + 12
x2 = 1 + 1
1 x2 = 2
1 x= 2

x

5. x2 = 22 – 32
2 x2 = 4 – 3
x2 = 1
x3
x =1

ใบความรทู้ ี่ 1.2 10
เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตรีโกณมิติ (Trigonometry) มาจากรากศพั ท์ภาษากรกี 2 คา คือ trigonon หมายถงึ

มมุ 3 มมุ และ metro หมายถึง การวัด ในภาษาไทย ตรโี กณมิติ มาจากคาว่า ตรี (แปลวา่ สาม)
โกณ (แปลว่า มมุ หรอื เหลี่ยม) มติ ิ (แปลวา่ การวดั )

ดงั นน้ั ตรีโกณมิติ หรอื Trigonometry จึงหมายถึง การวดั และหาความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง

ด้าน มมุ และพ้ืนทีข่ องรูปสามเหลี่ยม
อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถึง อัตราสว่ นของความยาวดา้ น

ท้ังสามของรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก

จากรูป ABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก มี ACB เปน็ มมุ ฉาก
ถา้ พิจารณามมุ A จะไดว้ ่า

1. ดา้ น AB เรยี ก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หนว่ ย
2. ด้าน BC เรียก ดา้ นตรงขา้ มมมุ A ยาว a หน่วย
3. ดา้ น AC เรยี ก ด้านประชิดมมุ A ยาว b หน่วย

11

พจิ ารณามมุ A จะไดอ้ ัตราสว่ นความยาวของดา้ นทั้งสาม ดังนี้

เรยี ก ไซน์ (sine) ของมุม A
เขยี นแทนดว้ ย sin A

เรียก โคไซน์ (cosine) ของมมุ A
เขียนแทนดว้ ย cos A

เรียก แทนเจนต์ (tangent) ของมมุ A
เขยี นแทนดว้ ย tan A

นั่นคอื

สังเกตมยั้ คะวา่

a ac a
c cb b
tan A  b  

c sinA
cosA
ดังนั้น tan A 

12

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคา่ ของไซน์ โคไซน์และแทนเจนตข์ องมุม A และมมุ B
จากรปู สามเหลย่ี มทก่ี าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

B

5
4

A 3C

วิธีทา จากรปู sin A = ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ A = 4
ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก 5

cos A = ความยาวดา้ นประชดิ มมุ A = 3
ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก 5

tan A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A = 4
ความยาวด้านประชดิ มุม A 3

ในทานองเดยี วกนั จะได้วา่

sin B = ความยาวด้านตรงขา้ มมุม B = 3
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก 5

cos B = ความยาวด้านประชิดมมุ B = 4
ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก 5

tan B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม B = 3
ความยาวดา้ นประชดิ มุม B 4

13

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 1.2

คาช้แี จง จงหาค่าของไซน์ โคไซนแ์ ละแทนเจนตข์ องมุมที่กาหนดให้ จากรปู สามเหลี่ยมตอ่ ไปน้ี

5. sin A = ความยาวด้านตรงขา้ มมุม A = 8
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก 10

B cos A = ความยาวด้านประชดิ มุม A = 6
ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก 10

10 8 tan A = ความยาวด้านตรงข้ามมมุ A = 8
ความยาวดา้ นประชดิ มมุ A 6

A6C sin B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม B = 6
ความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก 10

cos B = ความยาวดา้ นประชิดมุม B = 8
ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก 10

tan B = ความยาวด้านตรงข้ามมุม B = 6
ความยาวด้านประชิดมมุ B 8

6. sin A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A = 1
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก 2
C1A
1 cos A = ความยาวดา้ นประชิดมุม A = 1
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก 2
2
tan A = ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ A = 1
B ความยาวดา้ นประชิดมุม A

sin B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม B = 1
ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก 2

cos B = ความยาวดา้ นประชิดมมุ B = 1
ความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก 2

tan B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม B = 1
ความยาวดา้ นประชิดมุม B

sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมมุ A = 12 14
ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก 13
7.

A cos B = ความยาวดา้ นประชิดมมุ B = 12
ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก 13

5 13 tan B = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ B = 5
ความยาวด้านประชิดมมุ B 12

C 12 B sin B = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุม B = 5
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก 13

cos A = ความยาวด้านประชิดมุม A = 5
ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก 13

tan A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = 12
ความยาวดา้ นประชดิ มุม A 5

8. C sin A = 3 sin B = 1
1 2 2
3
A cos A = 1 cos B = 3
B 2 2 2
1
tan A = 3 tan B = 3

5. A sin A = 8 tan A = 8
17 15

sin B = 15 cos B = 8
17 17
17 15
B8 C tan B = 15 cos A = 15
8 17

6. A cos B = 7 tan B = 24
24 25 25 7

C7 B tan A = 7 sin A = 7
24 25

sin B = 24 cos A = 24
25 25

12 15
16
7. A tan B =
12
20 sin A = 16
20

C 16 B cos A = 12
20

8. A cos B = 5
B 3
3
2 tan A = 5
2
5C 2
sin B = 3

9. C sin B = 2
3
2
7 tan A = 7
A B 2
3
cos A = 2
3

10. A 2 sin B = 2
3B cos A = 13
2 tan A = 2
C 13
2
3