ตรีโกณ

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1.3 16

คาช้แี จง จากรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากทก่ี าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี จงเติมคาตอบในชอ่ งว่างใหถ้ กู ตอ้ ง

1. A

5
3

B 4C

2. A

13 12

B 5C
3. A

51

B2C

4. A
c
b

BaC

17

5. A

B C

6. A
10 6

B8C

7. A
20
12
B 16 C

8. A

23
B 1C

18

9. A
Xy

Bz C
10. A

BC

19

ใบความรู้ที่ 1.3
เร่อื ง อัตราสว่ นตรีโกณมิตกิ บั ทฤษฎบี ทพที าโกรัส

ในการหาอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กรณีทท่ี ราบความยาวด้าน

ของรปู สามเหลีย่ มมุมฉากทก่ี าหนดใหไ้ ม่ครบท้ังสามดา้ น นักเรยี นมคี วามจาเปน็ ต้องใช้ความรู้
เกี่ยวกับทฤษฎบี ทพีทาโกรสั เพื่อหาความยาวของด้านที่เหลอื ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากนั้น

ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉากทม่ี มี มุ C เป็นมมุ ฉาก ด้าน AC
ยาว 5 หนว่ ย ดา้ น BC ยาว 12 หนว่ ย จงหาค่าของ sin A , cos A และ tan A
วธิ ที า เนื่องจากโจทย์ไม่แสดงรูป นักเรยี นสามารถวาดรปู โดยใชข้ ้อมูลจากโจทย์ได้ดังนี้

B

12

A5C

จากรูป หาความยาวด้าน AB ซงึ่ เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

โดยใช้ทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้

AB2  AC2  BC2

AB2  52  122

AB2  25  144

AB2  169

จะไดร้ ูปดังน้ี AB  13 ดงั นน้ั sin A = 12
B 13

cos A = 5
13
12
13 12 tan A = 5

A 5C

20

ตัวอย่างที่ 5 กาหนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เปน็ มุมฉาก
2
และ sin A = 3 จงหา cos A และ tan A ความยาวด้านตรงขา้ มมุม A
ความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก
วธิ ที า เนือ่ งจากโจทยก์ าหนด sin A = 2 ซงึ่ sin A =
3

จะได้ ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ A เท่ากับ 2 หนว่ ย

และ ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก เทา่ กับ 3 หน่วย ดังรูป

B

3
2

AC
จากรปู หาความยาวดา้ น AC ซึ่งเป็นความยาวของด้านประชดิ มมุ A
โดยใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะได้

AB2  AC2  BC2

AC2  AB2  BC2

AC2  32  22

AC2  9  4

AC2  5

AC  5 2
5
ดังนั้น cos A = 5 และ tan A =
3

21

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.4

คาชีแ้ จง จงแสดงวธิ ที าเพอ่ื หาค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนตจ์ ากโจทย์แต่ละขอ้ ต่อไปนี้

1. กาหนดรปู สามเหล่ียมมุมฉากดังรปู จงหา sin A , cos A และ tan A

A วธิ ีทา AC2 = 102 – 62
10 AC2 = 100 – 36
AC2 = 64

AC = 8

C6 B 6 cos A = 8 tan A = 6
ดงั นน้ั sin A = 10 8
10

2. กาหนดรูปสามเหลีย่ มมุมฉากดังรูป จงหา sin B , cos B และ tan B

B 17 วธิ ที า x2 = 172 – 82
8 x2 = 289 – 64
x2 = 225

x = 15

ดังนั้น sin B = 15 cos B = 8 tan B = 15
17 17 8

3. กาหนดรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากดังรูป จงหา sin A , cos A และ tan A

4 วธิ ีทา x2 = 42 – 22
x2 = 16 – 4
A x2 = 12
2
ดังน้ัน sin A = 2 3 x =2 3

4 ccos A = 2 tan A = 2 3
4 2

22

4. กาหนดรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ABC มมี ุม C เป็นมุมฉาก ด้าน AB ยาว 20 หนว่ ย และ
ดา้ น BC ยาว 16 หนว่ ย จงหาค่าของ sin A , cos A และ tan A

A วธิ ที า AC2 = 202 – 162
20 AC2 = 400 – 256
AC2 = 144

AC = 12

C 16 B

ดงั นัน้ sin A = 16 cos A = 12 tan A = 16
20 20 12

5. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก MNP มีมุม N เป็นมมุ ฉาก ด้านประกอบมุมฉากยาวด้านละ 7
และ 24 หน่วย จงหาคา่ ของ sin M , cos M และ tan M

M วิธีทา MP2 = 242 + 72
24 MP2 = 576 + 49
MP2 = 625
MP = 25

N7 P cos M = 24 tan M = 7
ดังนั้น sin M = 7 25 24

25

23

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1.5

คาชแ้ี จง จงแสดงวิธีทาเพอื่ หาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนตจ์ ากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1. กาหนดรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ท่ีมมี ุม C เป็นมมุ ฉาก และ sin A = 5
13
จงหา cos A และ tan A

A วธิ ีทา AC2 = 132 – 52

AC2 = 169 – 25
13 AC2 = 144

AC = 12

C5 B tan A = 5
ดงั นัน้ cos A = 12 12

13

2. กาหนดรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ทม่ี มี ุม C เปน็ มมุ ฉาก และ cos B = 2
3

จงหา sin A และ tan A วิธที า AC2 = 32 – 22
A AC2 = 9 – 2
AC2 = 7
3 AC = 7

CB tan A = 2
2 7

ดงั นน้ั sin A = 2
3

2 24
5
3. กาหนดรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC ทม่ี มี มุ C เป็นมมุ ฉาก และ tan A =

จงหา sin B และ cos B AB2 = 22 + 52
A วธิ ที า AB2 = 4 + 5
AB2 = 9

5 AB = 3

CB

2 5 cos B = 2
ดังนัน้ sin B = 3
3
4
4. กาหนดรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC ทมี่ ีมุม C เปน็ มุมฉาก และ 2sin A = 13

จงหา cos B และ tan B วธิ ีทา 2sin A = 4
A sin A = 213
13
AC2 = 132- 22
13

C2 B AC2 = 13 - 4
AC2 = 9

ดงั นน้ั cos B = 2 AC = 3 2
13 3
tan B =

5. กาหนดรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ABC ที่มมี มุ C เป็นมุมฉาก และ 3 cos B = 1
2
จงหา sin B และ tan B
3
A วธิ ีทา 2 cos B = 1
cos B = 2
3
3 AC2 = 32- 22

C2 B AC2 = 9 - 4
AC2 = 5

ดงั นั้น sin B = 5 AC = 5
3 2

tan B = 5

25

แนวการสรปุ ใบกิจกรรมกลมุ่
“สรปุ บทเรียน เล่มที่ 1 เรอ่ื ง อัตราส่วนตรีโกณมิต”ิ

แนวการสรปุ แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 1
- ถ้ารูปสามเหลีย่ มสองรูป มีมมุ ซึ่งมีขนาดเท่ากนั สามคแู่ ลว้ รูปสามเหลย่ี มสองรปู น้ันจะคลา้ ยกนั

- ถา้ รปู สามเหลีย่ มคใู่ ดคล้ายกันแลว้ อัตราส่วนของความยาวของด้านคูท่ ่อี ยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ท่มี ขี นาด
เทา่ กันจะเท่ากนั ทงั้ สามอตั ราส่วน

- ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส กาหนดรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC มีมมุ C เปน็ มมุ ฉาก และ BC มีความยาว
a หนว่ ย AC มีความยาว b หน่วย AB มคี วามยาว c หนว่ ย จะได้ความสัมพนั ธข์ องความยาวดา้ น

ทั้งสาม คือ c2  a2  b2
แนวการสรุป แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 2

- อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถงึ อัตราส่วนของความยาวด้านทงั้ สามของรปู

สามเหลีย่ มมุมฉาก
- กาหนดรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC มมี ุม C เปน็ มุมฉาก ถา้ พจิ ารณามมุ A จะได้ AB คือ ด้านตรงขา้ ม

มมุ ฉาก BC คือ ดา้ นตรงขา้ มมุม A และ AC คือ ด้านประชดิ มมุ A
- อัตราส่วนความยาวของด้านของรปู สามเหล่ยี มมุมแก ABC ท่มี ุม C เป็นมุมฉาก

ไซน์ (sine) ของมมุ A เขียนแทนดว้ ย sin A = ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ A
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ (cosine) ของมุม A เขียนแทนดว้ ย cos A = ความยาวด้านประชดิ มุม A
ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก

แทนเจนต์ (tangent) ของมมุ A เขียนแทนดว้ ย tan A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A
ความยาวดา้ นประชดิ มมุ A

แนวการสรปุ แผนการจัดการเรียนรูท้ ่ี 3

การหาอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิของรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก กรณที ่ีทราบความยาวด้านของรปู
สามเหลี่ยมมมุ ฉากที่กาหนดให้ไม่ครบท้งั สามดา้ น ตอ้ งใช้ความรู้เก่ียวกบั ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั เพ่อื หา
ความยาวของด้านท่ีเหลอื ของรปู สามเหลย่ี มมุมฉากน้ัน

แบบทดสอบหลงั เรียน 26

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบหลังเรยี นแบบปรนยั จานวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ( 20 นาที )
2. ให้นักเรียนพิจารณาคาตอบทถี่ กู ต้องทสี่ ุดเพยี งขอ้ ละ 1 คาตอบ แลว้ ทาเครอ่ื งหมาย
กากบาท (X) ลงในกระดาษคาตอบ

1. ถ้า sinA = 5 ขอ้ ใดคอื 13 tanBcos B 6. ถา้ cos A = 2 แล้วข้อใดคอื tan A
13 7
ก. 13 ข. 12 ค. 9 ง. 5
2 1 ก. 5 ข. 3 2 5 ค. 7 ง .327
2. ถา้ 3 tan A = 3 แลว้ ข้อใดกลา่ วผิด 2 2
จากรปู ทก่ี าหนดให้
ก. sin B – sin A = cos B
จงตอบคาถามข้อท่ี 4 – 5
ข. sin A + cos B = cos A
B
ค. sinA cos A = cos BsinB

ง. 1 – tan A = sin A 5
4
จากรปู ทก่ี าหนดให้

จงตอบคาถามข้อที่ 3 – 5

B A3C

c 7. ข้อใดคือคา่ ของ sin A  cos B - tanA
a 1 4 4 3
ก. 15 ข. 15 ค. 5 ง. 5

8. ขอ้ ใดคือคา่ ของ tanA sinB
Cb A 1 4 4 3
ก. 15 ข. 15 ค. 5 ง. 5
3. ขอ้ ใด คือ ช่ือเรยี กของด้าน BC
9. ถ้า cos A = 0.25 แลว้ ขอ้ ใดคอื 2sinA
ก. ด้านตรงขา้ มมุม A tanA

ข. ดา้ นประชิดมมุ A ก. 1 ข. 1 ค .2 ง. 4
4 2
ค. ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

ง. ดา้ นตรงข้ามมุม B 10. กาหนดรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC มีมุม C

4. ขอ้ ใดไม่ใชอ่ ตั ราส่วนตรีโกณมติ ทิ ่ถี กู ต้อง เปน็ มมุ ฉาก และ 2sin A = 6 ขอ้ ใดถูกตอ้ ง
a b 5
ก. sin A = c ข. cos A = c 4
ก. cos B = 5
ค. tan B = b ง. cos B = a
a b ข. 4tan A = 4
5. ขอ้ ใดคอื คา่ ของ b เม่ือกาหนด a ยาว
ค. พนื้ ท่ีรูปสามเหล่ยี ม ABC เท่ากับ 6
8 หนว่ ย และ c ยาว 17 หน่วย
ตารางหน่วย
ก. 10 ข. 12 ค. 13 ง. 15
ง. ความยาวเส้นรอบรปู สามเหลี่ยม ABC

เท่ากบั 11 หน่วย

27

เฉลย
แบบทดสอบหลังเรยี น

ชอื่ – นามสกุล ………………………………………………………………… ระดบั ช้ัน ม.4/…….. เลขที่…………..

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบหลังเรยี นแบบปรนัย จานวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ( 20 นาที )
2. ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาคาตอบท่ีถูกต้องทสี่ ดุ เพยี งขอ้ ละ 1 คาตอบ แลว้ ทาเครือ่ งหมาย
กากบาท (X) ลงในกระดาษคาตอบ

ข้อท่ี ก ข ค ง
1X
2X
3X
4X
5X
6X
7X
8X
9X
10 X

บรรณานุกรม 28

กระทรวงศึกษาธกิ าร กรมวิชาการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พนื้ ฐาน

พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.ลาดพร้าว.
วชิ าการและมาตรฐานการศกึ ษา, สานกั . (2551). ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรแู้ กนกลาง

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน

พทุ ธศกั ราช 2551. พมิ พค์ รั้งที่ 6. กรุงเทพฯ : ชมุ ชนสหกรณ์การเกษตรแห่ง
ประเทศไทย จากดั .
สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2557). หนังสือเรียนรายวชิ าพ้นื ฐาน

คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4 - 6 กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. พิมพค์ รั้งท่ี 6.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภา ลาดพร้าว.

________. (2551). นวตั กรรมตามแนวคดิ Backward Design. กรงุ เทพฯ : ชา้ งทอง.
จติ จวบ เปาอินทร์. (2555). คู่มอื ประกอบสื่อการสอนคณิตศาสตร์ ตอนท่ี 67 ตรีโกณมติ ิ.

แหลง่ ทมี่ า www.phukhieo.ac.th/obec-media/2555/manual.

สืบค้นเมื่อ 8 มกราคม 2561.

29

ภาคผนวก

แผนการจดั การเรียนรู้

โดยใช้การจดั การเรยี นรู้แบบรว่ มมือเทคนคิ STAD