สื่อ ppt เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ตรรกศาสตร์

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

ประพจน์

ประพจน์ (statement) คอื ประโยคหรอื ขอ้ ความท่ีเปน็ จรงิ หรอื เท็จอย่างใดอยา่ งหน่ึง ซ่งึ ประโยคหรือข้อความ
ดงั กลา่ วจะอยใู่ นรูปบอกเลา่ หรือปฏิเสธก็ได้

ประโยคหรอื ข้อความท่เี ป็นประพจน์
ดาวพธุ เปน็ ดาวเคราะห์
จังหวัดเชียงใหม่ไมอ่ ยใู่ นภาคใตข้ องประเทศไทย

93

17 + 8  23

เป็นจาํ นวนตรรกยะ
เซตว่างเปน็ สับเซตของเซตทุกเซต

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

ประพจน์

ในตรรกศาสตร์ เรียกการเป็น จริง หรือ เท็จ ของแตล่ ะประพจนว์ ่า คา่ ความจริง (truth value) ของประพจน์

3 = 1 + 2 เปน็ ประพจนท์ ีม่ คี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ
3 = 1 + 2 เป็นประพจนท์ เ่ี ป็นจรงิ

ประโยคหรือขอ้ ความที่ไม่เป็นประพจน์ ไดโ้ ปรดเถดิ
ฝนตกหรือเปล่า นา่ กลัวจริง
อยา่ เดินลดั สนาม ออกไปใหพ้ น้
ชว่ ยด้วย ขออภัยในความไม่สะดวก
กรณุ าเปิดหนา้ ต่างดว้ ย

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

การเชื่อมประพจน์

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
1 เปน็ จาํ นวนคี่ และ 4 เป็นจาํ นวนคู่
ถา้ 3 เป็นจาํ นวนค่ี แล้ว 32 เป็นจํานวนค่ี

รูปสามเหล่ียม ABC เป็นรปู สามเหล่ียมด้านเท่า ก็ตอ่ เมือ่ รปู สามเหล่ียม ABC มคี วามยาวของด้านเท่ากนั ทุกด้าน

คาํ ว่า “และ” “หรอื ” “ถ้า...แล้ว...” “...ก็ตอ่ เม่อื ...” หรอื คาํ วา่ “ไม่” ที่ใช้เตมิ ในประโยคเดิมแลว้ ทาํ ให้
ประโยคเปลยี่ นแปลงไป เรียกวา่ ตวั เชอ่ื ม (connective)

ประพจนท์ น่ี าํ มาเช่อื มกันด้วยตัวเชื่อมตา่ ง ๆ เรียกว่า ประพจน์ย่อย (atomic statement) หรือ
ประพจนเ์ ชงิ เดยี ว (simple statement)
ประพจนท์ ี่เกิดจากการเชือ่ มประพจนเ์ ชงิ เดยี วด้วยตวั เชื่อม เรียกว่า ประพจน์เชงิ ประกอบ (compound
statement)

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

การเชื่อมประพจน์

ถ้า p เป็นประพจน์ใด ๆ แลว้ ค่าความจรงิ ของ p เป็นไปได้ 2 กรณี คอื จริง (true) ซ่งึ เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ T
หรือ เทจ็ (false) ซ่ึงเขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ F

Tp

p T ตารางคา่ ความจริง (truth table) ของ p

FF

p q pq
T TT
F T TF
นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี F FT
T FF
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม F

คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเช่อื ม “และ”

พจิ ารณาประพจน์ และ 1 + 2 = 2 + 1 และ 3  2 = 2  3

1+2 = 2+1

32 = 23

ถา้ p และ q เปน็ ประพจน์ใด ๆ แลว้ การเชื่อมประพจน์ p กบั ประพจน์ q ด้วยตัวเช่อื ม “และ” (and) จะได้
ประพจน์ใหมเ่ ปน็ “p และ q” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ p  q และเขยี นตารางคา่ ความจรงิ ของ p  q ได้ดังน้ี

p q pq

TT T
TF F

FT F

FF F

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4
การเชื่อมประพจน์ดว้ ยตวั เช่อื ม “และ”

จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ “3 {1, 3, 5, …} และ 3 เปน็ จาํ นวนค”่ี

p q

3 {1, 3, 5, …} และ 3 เป็นจํานวนค่ี

TT

T

ดังนน้ั ค่าความจรงิ ของประพจน์ “3 {1, 3, 5, …} และ 3 เป็นจํานวนคี่” คอื จริง

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การเชื่อมประพจนด์ ้วยตัวเชื่อม “และ”

จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ “3 เป็นจาํ นวนตรรกยะ และ 3 เป็นจํานวนตรรกยะ”

p q
3 เป็นจาํ นวนตรรกยะ และ 3 เปน็ จํานวนตรรกยะ

TF

F

ดังนั้น คา่ ความจรงิ ของประพจน์ “3 เปน็ จาํ นวนตรรกยะ และ 3 เป็นจํานวนตรรกยะ” คือ เท็จ

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ หรือ ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 1 + 5 = 5 + 1 หรอื 4(2 + 3) = (4  2) + (4  3)
การเช่ือมประพจนด์ ว้ ยตวั เชื่อม “หรือ”

พจิ ารณาประพจน์

1+5 = 5+1

4(2 + 3) = (4  2) + (4  3)

ถา้ p และ q เปน็ ประพจนใ์ ด ๆ แลว้ การเช่ือมประพจน์ p กบั ประพจน์ q ดว้ ยตวั เชือ่ ม “หรือ” (or) จะได้
ประพจน์ใหม่เป็น “p หรอื q” เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ p  q และเขียนตารางคา่ ความจรงิ ของ p  q ไดด้ ังน้ี

p q pq

TT T
TF T

FT T

FF F

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การเชื่อมประพจนด์ ้วยตัวเชือ่ ม “หรอื ”

จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ “ 2 เปน็ จํานวนตรรกยะ หรอื 2 เป็นจาํ นวนเตม็ ”

p q

2 เป็นจํานวนตรรกยะ หรือ 2 เป็นจํานวนเตม็

FF

F

ดังนัน้ คา่ ความจรงิ ของประพจน์ “ 2 เปน็ จาํ นวนตรรกยะ หรอื 2 เป็นจาํ นวนเต็ม ” คอื เท็จ

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

การเชื่อมประพจน์ด้วยตวั เชอ่ื ม “หรือ”

จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ “2 เป็นจาํ นวนคู่ หรอื 23 เป็นจาํ นวนค่”ี

p q
2 เปน็ จํานวนคู่ หรือ 23 เปน็ จาํ นวนคี่

TF

T

ดงั นั้น คา่ ความจรงิ ของประพจน์ “2 เป็นจํานวนคู่ หรือ 23 เปน็ จาํ นวนค่”ี คอื จริง

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การเช่ือมประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม “ถา้ ...แล้ว...”

พิจารณาประพจน์ ถ้า 2 + 3 = 3 + 2 แลว้ 6(2 + 3) = 6(3 + 2)

2+3 = 3+2

ถา้ ...แลว้ ...

6(2 + 3) = 6(3 + 2)

ถา้ p และ q เป็นประพจนใ์ ด ๆ แล้ว การเชอ่ื มประพจน์ p กับประพจน์ q ด้วยตวั เช่ือม “ถ้า...แลว้ ...”

(if…then…) จะไดป้ ระพจนใ์ หมเ่ ป็น “ถา้ p แล้ว q” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ p  q และเขยี นตารางคา่ ความ

จริงของ p  q ไดด้ งั นี้

p q pq

TT T

TF F

FT T

FF T

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

การเชือ่ มประพจนด์ ้วยตวั เช่อื ม “ถ้า...แลว้ ...”

จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ “ถ้า 5 เป็นจาํ นวนค่ี แล้ว 54 เป็นจํานวนค”่ี

pq

ถ้า 5 เป็นจํานวนค่ี แลว้ 54 เป็นจาํ นวนค่ี

TT

T

ดงั น้ัน ค่าความจริงของประพจน์ “ถา้ 5 เป็นจํานวนคี่ แลว้ 54 เปน็ จาํ นวนค่”ี คอื จรงิ

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

การเชื่อมประพจนด์ ้วยตวั เชื่อม “ถา้ ...แลว้ ...”

จงหาค่าความจริงของประพจน์ “ถ้า 0 เปน็ จํานวนเตม็ แลว้ 0 เปน็ จํานวนลบ”

p q
ถ้า 0 เปน็ จาํ นวนเตม็ แลว้ 0 เปน็ จํานวนลบ

TF

F

ดังน้ัน คา่ ความจริงของประพจน์ “ถ้า 0 เปน็ จํานวนเต็ม แลว้ 0 เปน็ จาํ นวนลบ” คอื เท็จ

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การเช่ือมประพจน์ด้วยตัวเชอ่ื ม “...ก็ตอ่ เมอ่ื ...”

พจิ ารณาประพจน์ 2(3 + 2) = 2  5 ก็ตอ่ เม่อื 3 + 2 = 5

2(3 + 2) = 2  5

...ก็ต่อเมือ่ ...

3+2 = 5

ถา้ p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ แล้ว การเช่ือมประพจน์ p กบั ประพจน์ q ดว้ ยตวั เชื่อม “...กต็ อ่ เมือ่ ...” (if and

only if) จะได้ประพจนใ์ หมเ่ ป็น “p ก็ต่อเมอ่ื q” เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ p  q และเขียนตารางค่าความจริง

ของ p  q ได้ดังน้ี

p q pq

TT T

TF F

FT F

FF T

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

การเชอ่ื มประพจนด์ ว้ ยตวั เชอ่ื ม “...กต็ อ่ เมอื่ ...”

จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ “2 < 3 ก็ตอ่ เมือ่ > ”

2 p 3  1 q 1
< 2  3
กต็ อ่ เมื่อ

TT

T

ดังน้ัน คา่ ความจรงิ ของประพจน์ “2 < 3 ก็ต่อเมอื่ > ” คือ จริง

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4
การเชื่อมประพจน์ด้วยตวั เชอื่ ม “...กต็ อ่ เมอ่ื ...”

จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ “22 = (–2)2 ก็ตอ่ เมอ่ื 2 = –2”

p q

22 = (–2)2 ก็ตอ่ เม่อื 2 = –2

TF

T

ดงั น้ัน คา่ ความจริงของประพจน์ “22 = (–2)2 กต็ อ่ เมื่อ 2 = –2” คอื เท็จ

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

การเชอื่ มประพจนด์ ว้ ยตวั เช่ือม “...ก็ตอ่ เม่ือ...”

จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ “7 หารด้วย 2 ลงตวั กต็ ่อเม่อื 7 เปน็ จํานวนคู่”

p q

7 หารดว้ ย 2 ลงตัว กต็ ่อเม่ือ 7 เปน็ จํานวนคู่

FF

T

ดังนน้ั คา่ ความจริงของประพจน์ “7 หารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเม่อื 7 เป็นจาํ นวนคู่” คอื จรงิ

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

นเิ สธของประพจน์

พิจารณานเิ สธของประพจนต์ ่อไปนี้

2+3 = 5 นิเสธ 2+3  5
2<3
2<3 นิเสธ 2>3
23

2=3

คา่ ความจรงิ ของนเิ สธจะตรงขา้ มกบั ค่าความจริงของประพจน์เดิมเสมอ

ถ้า p เปน็ ประพจนใ์ ด ๆ แลว้ นเิ สธ (negative) ของ p เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ p และเขียนตารางค่าความ
จรงิ ของ p ได้ดังนี้

p p
TF
FT

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

นเิ สธของประพจน์

จงหาค่าความจริงของนเิ สธของประพจน์ “จดุ (2, 0) อยูบ่ นแกน X”

p p

จดุ (2, 0) อยู่บนแกน X นเิ สธ จดุ (2, 0) ไมอ่ ยู่บนแกน X

TF

ดงั นั้น คา่ ความจริงของนิเสธของประพจน์ “จดุ (2, 0) อยบู่ นแกน X” คือ เทจ็

จงหาคา่ ความจริงของนเิ สธของประพจน์ “งไู ม่เป็นสตั ว์เลือ้ ยคลาน”

q q

งไู ม่เปน็ สัตว์เลอ้ื ยคลาน นิเสธ งูเปน็ สัตวเ์ ลอ้ื ยคลาน

FT

ดงั นน้ั ค่าความจรงิ ของนิเสธของประพจน์ “งไู มเ่ ปน็ สตั ว์เลื้อยคลาน” คอื จริง

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การหาค่าความจรงิ ของประพจน์

กําหนดให้ a, b และ c เป็นประพจน์ทีม่ ีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ จริง และเทจ็ ตามลําดับ
จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ (a  b)  c

(a  b)  c

TT F

T T

ดังนน้ั ประพจน์ (a  b)  c เปน็ จรงิ

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ตรรกศาสตร์

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์

จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ (a  b) เมือ่ a และ b เป็นประพจน์ทีม่ ีค่าความจริงเปน็ จริง

 (a   b)
TT

F
F

T

ดังนนั้ ประพจน์ (a  b) เปน็ จริง

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

การหาค่าความจริงของประพจน์

กําหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจนท์ ม่ี ีค่าความจรงิ เปน็ จริง เทจ็ เทจ็ และจริง ตามลําดับ
จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ [(p  q)  r]  (p  s)

[(p  q)  r]  (p  s)

TFF TT

FT

F

T

ดงั น้นั ประพจน์ [(p  q)  r]  (p  s)) เป็นจรงิ

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ตรรกศาสตร์

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

การสรา้ งตารางค่าความจริง

การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ในกรณีท่ไี ม่ทราบค่าความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ย จะตอ้ งกําหนดค่าความจริงของประพจน์
ย่อยทกุ กรณที ่ีเปน็ ไปได้

ถา้ ประพจน์ท่ตี อ้ งการหาค่าความจริง มีจํานวนประพจนย์ อ่ ยทั้งหมด n ประพจน์ จํานวนกรณเี ก่ียวกับคา่ ความ
จริงทีพ่ ิจารณาเท่ากบั 2n กรณี

pq r pq r

T T TTT
T F FFF
T TTT
F F FFF
T TTT
F T F FFF
นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี F T TTT
F FFF
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

การสรา้ งตารางค่าความจริง

กําหนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ (p  q)  (p   q)

p q p  q p q p   q (p  q)  (p   q)

TTT F F F F

T FF F T F T
FTTT F F F

F FTT T T T

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

การสรา้ งตารางค่าความจริง

กําหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ จงสรา้ งตารางคา่ ความจริง (p  q) → r

p q r p  q (p  q) → r

T TT T T

TTF T F

T FT F T

T FF F T

F TT F T

FTF F T

F FT F T

F FF F T

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมูลกัน

ถา้ รูปแบบของประพจน์สองรปู แบบใดมีคา่ ความจริงตรงกนั กรณตี อ่ กรณี แล้วจะสามารถนาํ ไปใชแ้ ทนกนั ได้ เรยี ก
รปู แบบของประพจนท์ งั้ สองวา่ เป็น รปู แบบของประพจนท์ ่ีสมมลู กนั (equivalent statements)

พิจารณาตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ p  q กับ p  q p  q

p q p  q p

TT T F T

TF F F F
FT T T T

FF T T T

จากตารางจะได้วา่ p  q สมมูลกับ p  q เขยี นแทนดว้ ย p  q  p  q

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

รปู แบบของประพจนท์ ่ีสมมลู กนั

กาํ หนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ จงตรวจสอบวา่ p  q สมมูลกับ q  p หรือไม่

p q pq qp

TT T T

TF T T
FT T T

FF F F

ดงั น้นั p  q สมมลู กับ q  p

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมูลกัน

กําหนดให้ p เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p สมมลู กับ (p) หรอื ไม่

p p (p)

TF T
FT F

ดังนนั้ p สมมูลกบั (p)

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

รปู แบบของประพจน์ท่สี มมลู กนั

นอกจากการใชต้ ารางค่าความจริงตรวจสอบการสมมลู กนั ของรปู แบบของประพจน์สองรปู แบบแลว้ ยงั สามารถใชร้ ูปแบบ
ของประพจนท์ ่ที ราบมาแล้ววา่ สมมลู กับรูปแบบของประพจนท์ ่ีตอ้ งการตรวจสอบมาชว่ ยในการพิจารณาได้

กาํ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบวา่ p  q สมมูลกบั q  p หรอื ไม่

pq  p  q
 q  p
 (q)  p
q  p


ดงั น้นั p  q สมมลู กบั q  p

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

รปู แบบของประพจนท์ ีส่ มมูลกนั

รปู แบบของประพจนท์ ี่สมมูลกนั ที่ควรทราบ pq  p  q

p  (p)

pq  qp pq  q  p

pq  qp pq  (p  q)  (q  p)

(p  q)  p  q p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

(p  q)  p  q p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

รูปแบบของประพจน์ทส่ี มมูลกนั

กาํ หนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  q สมมูลกบั p  q หรือไม่

p q p  q p p  q

TT T F F

TF F F F

FT T T T

FF T T F

ดังนั้น p  q ไม่สมมลู กับ p  q

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมูลกนั

จงตรวจสอบว่าประพจนส์ องประพจนต์ ่อไปนส้ี มมลู กนั หรือไม่

ถา้ 82 เปน็ จํานวนคู่ แลว้ 8 เปน็ จาํ นวนคู่ ถา้ 8 ไมเ่ ป็นจํานวนคู่ แลว้ 82 ไมเ่ ป็นจํานวนคู่

ถ้า 82 เป็นจํานวนคู่ แลว้ 8 เป็นจํานวนคู่ ? ถ้า 8 ไม่เปน็ จาํ นวนคู่ แล้ว 82 ไมเ่ ปน็ จาํ นวนคู่

p q q  p

เนื่องจาก p  q  q  p

ดังน้ัน ประพจนส์ องประพจนน์ ้ีสมมลู กัน

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ ตรรกศาสตร์

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 เปน็ จรงิ ทกุ กรณี
สัจนิรันดร์

พิจารณาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ [(p  q)  p]  q

p q p  q (p  q)  p [(p  q)  p]  q

TT T T T

TF F F T
FT T F T

FF T F T

รูปแบบของประพจน์ [(p  q)  p]  q เป็น สัจนริ ันดร์ (tautology)

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

สัจนิรันดร์

รปู แบบของประพจน์ท่มี คี า่ ความจรงิ เป็นจริงทุกกรณี เรยี กวา่ สจั นิรนั ดร์ (tautology)

กําหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงว่า (p  q)  (q  p) เปน็ สัจนิรันดร์

p q p  q q p q  p (p  q)  (q  p)

TT T F F T T

TF F TF F T
FT T FT T T

FF T T T T T

ดังนน้ั (p  q)  (q  p) เปน็ สัจนริ ันดร์

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

สจั นิรนั ดร์

กําหนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ จงตรวจสอบว่ารปู แบบของประพจน์ [(p  q)  p]  q เปน็ สจั นิรนั ดร์
หรอื ไม่

p q p  q p (p  q)  p q [(p  q)  p]  q

TT T F FF T

TF F F F T T
FT T T T F F
FF T T T T T

ดงั น้ัน [(p  q)  p]  q] ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ตรรกศาสตร์

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

สจั นิรันดร์

กาํ หนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ จงตรวจสอบวา่ รปู แบบของประพจน์ [(p  q)  p]  q เป็นสจั นริ นั ดร์
หรือไม่

1 [(p  q)  p]  q 2 [(p  q)  p]  q

F F

TF TF

T TT T TT

TT TT
FT T
FF

ดังนั้น [(p  q)  p]  q ไม่เปน็ สจั นริ นั ดร์

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

สัจนิรนั ดร์

กาํ หนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ จงตรวจสอบวา่ รูปแบบของประพจน์ (p  q)  (q  p) เป็นสัจนิรันดรห์ รอื ไม่

1 (p  q)  (q  p) 2 (p  q)  (q  p)

F F

TF TF

TT FF TT TT
T

ดงั น้ัน (p  q)  (q  p) เปน็ สัจนริ ันดร์

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

สจั นริ นั ดร์

กาํ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารปู แบบของประพจน์ (~q → p) → (q → ~p) เปน็ สัจนริ นั ดร์
หรอื ไม่

(~q → p) → (q → ~p)
F

TF

TT TF
F T

T

ดงั นั้น (~q → p) → (q → ~p) ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ตรรกศาสตร์

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล คือ เมอื่ มปี ระพจน์ p1, p2, p3, …, pn ซึง่ เรียกวา่ เหตุหรอื ส่งิ ทกี่ าํ หนดให้ แลว้ สามารถสรุป
ประพจน์ C ประพจน์หนงึ่ ได้ ซง่ึ เรยี กว่า ผลหรือข้อสรปุ โดยใช้ตวั เชื่อม  เชื่อมเหตุทั้งหมดเข้าดว้ ยกนั แล้วใช้
ตวั เชือ่ ม  เชือ่ มส่วนที่เป็นเหตุกับผล หรอื เปน็ รูปแบบของประพจน์ดังน้ี

(p1  p2  p3 … pn)  C

การอ้างเหตผุ ลน้ี สมเหตุสมผล (valid) ถ้ารปู แบบประพจนด์ ังกล่าวเป็นสจั นิรันดร์
การอ้างเหตผุ ลน้ี ไม่สมเหตุสมผล (invalid) ถ้ารปู แบบประพจนด์ ังกลา่ วไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

การอ้างเหตุผล

กําหนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ จงพิจารณาว่าการอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปนส้ี มเหตสุ มผลหรือไม่

เหตุ 1 p  q ผล q

2p

[(p → q) ˄ p] → q
F

TF

T T

TF นั่นคอื [(p → q) ˄ p] → q เปน็ สัจนิรนั ดร์
F ดังนั้น การอา้ งเหตุผลนีส้ มเหตุสมผล

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

การอา้ งเหตผุ ล

กาํ หนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงพิจารณาวา่ การอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนสี้ มเหตสุ มผลหรอื ไม่

เหตุ 1 p  q ผล q

2 p

[(p → q) ˄ p] → q
F

T F
T
T T
FT F น่นั คือ ประพจน์ [(p → q) ˄ ~p] → ~q ไม่เปน็ สัจนริ นั ดร์
ดงั นน้ั การอ้างเหตุผลนไ้ี ม่สมเหตุสมผล
T

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

การอา้ งเหตผุ ล

จงพิจารณาวา่ การอ้างเหตุผลต่อไปนส้ี มเหตสุ มผลหรือไม่

เหตุ 1 ถา้ ฝนตกท่บี า้ นของสชุ าดา แล้วหลงั คาบ้านของสชุ าดาเปยี ก ผล ฝนไมต่ กท่ีบ้านของสุชาดา

2 หลังคาบา้ นของสชุ าดาไม่เปยี ก

เหตุ 1 p  q [(p  q)   q]   p

2 q F

ผล p TF

T T T
F
นนั่ คอื [(p  q)  q]  p เป็นสจั นริ ันดร์ TF
ดังนั้น การอา้ งเหตผุ ลน้สี มเหตสุ มผล F

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

การอา้ งเหตผุ ล

จงพิจารณาว่าการอา้ งเหตผุ ลต่อไปน้สี มเหตุสมผลหรอื ไม่

เหตุ 1 ถา้ แป้งไดโ้ บนัส แลว้ แป้งจะฝากเงินกบั ธนาคาร 10,000 บาท ผล แป้งไดโ้ บนสั

2 แปง้ ฝากเงนิ กบั ธนาคาร 10,000 บาท

เหตุ 1 p  q [(p  q)  q]  p

2q F

ผล p TF

T T

นั่นคือ [(p  q)  q]  p ไม่เป็นสัจนริ ันดร์ FT
ดงั นั้น การอ้างเหตุผลนีไ้ มส่ มเหตุสมผล T

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 ผล นุ่นลงทุนในตลาดหนุ้
การอา้ งเหตผุ ล
[(p  q)   p]  q
จงพจิ ารณาว่าการอา้ งเหตผุ ลต่อไปน้ีสมเหตุสมผลหรอื ไม่ F
เหตุ 1 นุน่ ซ้ือรถคันใหม่ หรือ นนุ่ ลงทนุ ในตลาดห้นุ
TF
2 น่นุ ไมซ่ ้อื รถคันใหม่
เหตุ 1 p  q TT

2 p FF F
F
ผล q

นั่นคอื [(p  q)  p]  q เปน็ สจั นริ ันดร์
ดงั นน้ั การอ้างเหตผุ ลนี้สมเหตุสมผล

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การอ้างเหตผุ ล

จงพิจารณาวา่ การอ้างเหตผุ ลต่อไปน้สี มเหตสุ มผลหรือไม่

เหตุ 1 ถ้าไฟฟ้าดบั แล้วโรงแรมตอ้ งใชเ้ ครอื่ งปน่ั ไฟ ผล ถา้ ไฟฟา้ ดบั แลว้ ลิฟต์จะทํางานไม่ได้

2 ถา้ โรงแรมตอ้ งใชเ้ คร่อื งปนั่ ไฟ แลว้ ลิฟตจ์ ะทาํ งานไม่ได้

เหตุ 1 p  q [(p  q)  (q  r)]  (p  r)

2 qr F

ผล p  r TF

T T TF
FF
น่นั คอื รปู แบบของประพจนน์ ีเ้ ปน็ สจั นิรนั ดร์ TF
ดังนั้น การอ้างเหตผุ ลนส้ี มเหตสุ มผล F

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

การอา้ งเหตุผล

จงพจิ ารณาว่าการอา้ งเหตผุ ลต่อไปน้สี มเหตสุ มผลหรือไม่

เหตุ 1 ถ้าเก่งไปทํางาน แลว้ กอ้ งอยู่บา้ น pq
2 ถ้าก้องไมอ่ ยู่บ้าน แล้วกลา้ เป็นคนดแู ลบา้ น q  r
3 กลา้ ไมไ่ ด้เปน็ คนดูแลบ้าน r

ผล เก่งไม่ได้ไปทํางาน p

[(p  q)  ( q  r)   r ]  p
F

นั่นคอื ไม่เป็นสจั นริ นั ดร์ T T T F
ดงั นัน้ การอา้ งเหตุผลนีไ้ มส่ มเหตสุ มผล TT F T
F F
นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี T

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ตรรกศาสตร์

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 เขา ? ยังไม่ทราบว่าเป็นจริงหรือเทจ็
ประโยคเปิด เปน็ ประโยคทเ่ี ป็นจรงิ

พิจารณาประโยค
เขา = ยุคลดิ “เขาเป็นนักคณติ ศาสตร”์

“ยคู ลดิ เปน็ นกั คณิตศาสตร์”

x=3 “x > 2” x = ? ยงั ไม่ทราบว่าเป็นจรงิ หรอื เทจ็

“3 > 2” เป็นประโยคทเี่ ปน็ จริง

เขา และ x ตัวแปร มีค่าทเ่ี ป็นไปไดต้ ามเอกภพสัมพทั ธท์ ่ีกาํ หนด
ประโยคตามตัวอยา่ งข้างต้น ประโยคเปดิ

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ประโยคเปิด

ประโยคเปดิ (open sentence) คอื ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏเิ สธท่มี ตี ัวแปร

ประโยคเปิดจะไมส่ ามารถระบุคา่ ความจรงิ ได้ว่าจริงหรอื เท็จ แตเ่ มือ่ แทนตวั แปรในประโยคเปดิ ด้วยสมาชกิ ในเอกภพสมั พทั ธ์
จะได้ประพจนท์ ี่มีค่าความจริง

กาํ หนดใหเ้ อกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจํานวนจริง

แทน x ดว้ ย 0 2x + 1 =3 ประโยคเปดิ
แทน x ดว้ ย 1 0+1 =3 เปน็ ประพจน์ท่ีมีค่าความจริงเป็นเท็จ
แทน x ด้วย 2 2+1 =3 เปน็ ประพจน์ทม่ี ีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ
4+1 =3 เปน็ ประพจนท์ ม่ี คี ่าความจรงิ เปน็ เท็จ

นิพจน์ 2x + 1 ไมเ่ ป็นประโยคเปดิ เพราะเมื่อแทน x ดว้ ยจาํ นวนจริงใด ๆ แล้วไมเ่ ปน็ ประพจน์

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4
ประโยคเปิด

สญั ลกั ษณ์แทนประโยคเปิดใด ๆ ทม่ี ตี วั แปร x เป็นตวั แปร เขียนแทนดว้ ย P(x)

การเชอ่ื มประโยคเปิดดว้ ยตวั เช่ือม , ,  และ  ตลอดจนการเติม  ทาํ ไดเ้ ชน่ เดียวกันกับการเชอื่ มประพจน์

จงพจิ ารณาวา่ ประโยคต่อไปนเ้ี ปน็ ประพจนห์ รอื ประโยคเปดิ หรือไม่ใช่ทงั้ ประพจน์และประโยคเปดิ

1 เขากําลังเรยี นอยูช่ ัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 ใชห่ รอื ไม่ ไมใ่ ชท่ ้งั ประพจน์และประโยคเปดิ

2 ถา้ {3}  {0, 1} แล้ว 3  {0, 1} เป็นประพจน์

3 x2 + x – 6 = 0 เปน็ ประโยคเปิด

4 เธอเป็นนักร้องเพลงไทยสากลของโรงเรียน เป็นประโยคเปิด

5 x2 – 1 ไมใ่ ชท่ ้ังประพจนแ์ ละประโยคเปดิ

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม