สื่อ ppt เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เอกภพสมั พัทธ์
ตัวบง่ ปรมิ าณ เซตของจํานวนจริง
เซตของจํานวนตรรกยะ
ตวั บง่ ปริมาณ (quantifier) ในทางคณิตศาสตรไ์ ดแ้ ก่ เซตของจํานวนเต็ม
สาํ หรับ…ทกุ ตวั (for all) เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์  เซตของจาํ นวนนับ
สาํ หรบั …บางตวั (for some) เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ 

x สาํ หรับ x ทกุ ตัว U
x สําหรบั x บางตัว ℝ
ℚ
ℤ
ℕ

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ตรรกศาสตร์

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

ตวั บง่ ปริมาณ

พิจารณาข้อความ
“สําหรบั x ทกุ ตัว x + 0 = x เม่ือกาํ หนดเอกภพสัมพทั ธเ์ ป็นเซตของจาํ นวนจริง”
“สาํ หรับ x บางตัว x + x = x2 เมื่อกาํ หนดเอกภพสมั พัทธ์เป็นเซตของจํานวนจริง”

ขอ้ ความในลกั ษณะน้เี รียกว่า ข้อความทีม่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณ (quantified statement)

“สาํ หรับ x ทุกตัว x + 0 = x เม่ือกาํ หนดเอกภพสมั พัทธ์เป็นเซตของจํานวนจริง” x[x + 0 = x], U = ℝ
“สําหรบั x บางตัว x + x = x2 เม่อื กําหนดเอกภพสัมพทั ธ์เปน็ เซตของจาํ นวนจริง” x[x + x = x2], U = ℝ

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 x[x + x = 2x]
ตัวบง่ ปรมิ าณ x[x + 0 = 2x]
x[x  ℤ  x  ℝ]
จงเขยี นข้อความตอ่ ไปนใ้ี นรปู สัญลักษณ์ เมื่อ U = ℝ x[x  ℤ]
x[x  ℤ  x2 = 1]
1 สําหรบั x ทกุ จํานวน x + x = 2x
2 มีจาํ นวนจริง x ซ่งึ x + 0 = 2x
3 สาํ หรบั x ทกุ จาํ นวน ถ้า x เปน็ จํานวนเต็ม แลว้ x เป็นจาํ นวนจริง

4 จาํ นวนจริงทุกจํานวนเปน็ จาํ นวนเตม็

5 จาํ นวนเตม็ บางจาํ นวนยกกําลังสองแลว้ เทา่ กับ 1

ในกรณที ี่เอกภพสัมพทั ธเ์ ปน็ เซตของจํานวนจรงิ มักนยิ มละเว้นการเขยี นเอกภพสัมพัทธ์

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

ตัวบ่งปรมิ าณ

จงเขยี นขอ้ ความต่อไปนี้ในรปู สัญลักษณ์ เมือ่ A และ B เป็นเซตใด ๆ
1 A = B ก็ตอ่ เมือ่ สมาชิกทกุ ตัวของ A เป็นสมาชิกของ B และสมาชิกทกุ ตวั ของ B เปน็ สมาชิกของ A

A = B  x[x  A  x  B]  x[x  B  x  A]

2 A  B กต็ อ่ เม่ือ มสี มาชิกบางตัวของ A ไมเ่ ปน็ สมาชิกของ B

A  B  x[x  A  x  B]

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 สมาชกิ ทกุ ตัวใน U ยกกาํ ลงั สองแล้วมากกว่า 0
ค่าความจรงิ ของประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปรมิ าณตวั เดยี ว สมาชกิ บางตวั ใน U ยกกําลังสองแลว้ มากกว่า 0

พิจารณาประโยคต่อไปน้ี

1 x[x2 > 0], U = {0, 1, 2, 3}

2 x[x2 > 0], U = {0, 1, 2, 3}

x x2 x2 > 0

00 F

11 T

24 T

39 T

ถา้ เติมตัวบ่งปริมาณหน้าประโยคเปดิ จะไดข้ ้อความที่เป็นประพจน์ เพราะทาํ ใหท้ ราบค่าความจริงวา่ เปน็ จริงหรือเทจ็

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

ค่าความจริงของประโยคท่มี ตี ัวบง่ ปรมิ าณตัวเดยี ว

การพจิ ารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนน้ั โดยทวั่ ไปจะพิจารณาแตล่ ะส่วนของประโยค
ท่ีมตี วั บ่งปริมาณ ดังน้ี

1 ตัวบ่งปรมิ าณ

2 ประโยคเปดิ

3 เอกภพสมั พทั ธ์

โดยในหลกั สตู รนจ้ี ะพิจารณาค่าความจริงของประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปริมาณตัวเดียว ซึ่งเปน็ ประโยคเปดิ ที่มีตวั แปร
เพียงตวั เดียว และเพ่อื ความสะดวก จะแทนประโยคเปิดท่มี ีตวั แปร x ดว้ ย P(x) ดงั น้ัน ประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณจะ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังน้ี

x[P(x)] เม่ือเอกภพสัมพัทธ์คอื U

x[P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธค์ ือ U

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

ค่าความจรงิ ของประโยคท่ีมตี วั บง่ ปริมาณตวั เดียว

การหาคา่ ความจริงของประโยคท่มี ีตัวบง่ ปริมาณตวั เดียว สามารถพิจารณาตามหลักการดงั น้ี
x[P(x)] มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ ก็ตอ่ เม่ือ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชกิ แตล่ ะตัวในเอกภพสัมพทั ธ์
แลว้ ไดป้ ระพจนท์ ม่ี ีค่าความจริงเปน็ จรงิ ท้ังหมด

x[P(x)] มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างนอ้ ยหนง่ึ ตวั ในเอกภพสัมพัทธ์
แลว้ ไดป้ ระพจน์ทีม่ ีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็

x[P(x)] มคี า่ ความจริงเป็นจริง ก็ตอ่ เม่ือ แทน x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกอย่างนอ้ ยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพทั ธ์
แล้วไดป้ ระพจนท์ ีม่ คี า่ ความจรงิ เป็นจริง

x[P(x)] มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ ก็ตอ่ เมอื่ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชกิ แตล่ ะตัวในเอกภพสัมพัทธ์
แลว้ ได้ประพจนท์ ่ีมีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ ทั้งหมด

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม ตรรกศาสตร์

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

ค่าความจริงของประโยคทีม่ ตี วั บ่งปรมิ าณตัวเดยี ว

จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยคทีม่ ตี ัวบง่ ปริมาณตอ่ ไปนี้ 2 x[x < 5] เมอื่ U = ℤ
1 x[x < 5] เมอ่ื U = {0, 1, 2, 3} 4 x[x < 5] เม่ือ U = {6, 7, 8}
3 x[x < 5] เม่อื U = ℤ

1 x[x < 5] เมือ่ U = {0, 1, 2, 3} 2 x[x < 5] เมื่อ U = ℤ
ให้ P(x) x < 5
x x<5
0T เนอื่ งจาก 6  ℤ
1T
2T เป็นจรงิ ทง้ั หมด จะได้ P(6) 6<5
3T
นัน่ คอื P(6)  F

ดงั นัน้ x[x < 5] เมอ่ื U = {0, 1, 2, 3} เป็นจรงิ ดงั นัน้ x[x < 5] เมื่อ U = ℤ เปน็ เท็จ

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 2 x[x < 5] เมอ่ื U = ℤ
4 x[x < 5] เม่อื U = {6, 7, 8}
คา่ ความจรงิ ของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปริมาณตัวเดยี ว 4 x[x < 5] เมอ่ื U = {6, 7, 8}

จงหาค่าความจรงิ ของประโยคท่ีมีตัวบง่ ปริมาณตอ่ ไปน้ี x x<5
1 x[x < 5] เม่อื U = {0, 1, 2, 3} 6F
3 x[x < 5] เม่อื U = ℤ
7 F เป็นเทจ็ ท้งั หมด
3 x[x < 5] เม่อื U = ℤ
ให้ P(x) x < 5 8F

เนื่องจาก 1  ℤ ดงั น้ัน x[x < 5] เมอ่ื U = {6, 7, 8} เปน็ เท็จ

จะได้ P(1) 1<5

น่นั คอื P(1)  T

ดงั นน้ั x[x < 5] เมือ่ U = ℤ เปน็ จริง

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ค่าความจริงของประโยคท่มี ตี วั บ่งปริมาณตวั เดียว

จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตอ่ ไปนี้ เมอื่ U = {–1, 0, 1}

1 x[(x < 0)  (x2 > 0)] 2 x[x < 5]  x[x2 > 0]

3 x[(x < 0)  (x – 1 = 0)] 4 x[(x < 0]  x[x – 1 = 0]

1 x[(x < 0)  (x2 > 0)]

x x<0 x2 x2 > 0 (x < 0)  (x2 > 0)
–1 T 1T
0F 0F T
1F 1T
T เป็นจริงท้งั หมด

T

ดังนน้ั x[(x < 0)  (x2 > 0)] เปน็ จริง

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

ค่าความจรงิ ของประโยคที่มตี ัวบง่ ปริมาณตวั เดียว

จงหาค่าความจรงิ ของประโยคทีม่ ีตัวบ่งปริมาณตอ่ ไปนี้ เม่อื U = {–1, 0, 1}

1 x[(x < 0)  (x2 > 0)] 2 x[x < 0]  x[x2 > 0]

3 x[(x < 0)  (x – 1 = 0)] 4 x[x < 0]  x[x – 1 = 0]

2 x[x < 5]  x[x2 > 0]

x x<0 x x2 x2 > 0 x[x < 0]  x[x2 > 0]
FF
–1 T –1 1 T
T
0F 00 F

1F 11 T

x[x < 5] F x[x2 > 0] F

ดงั นั้น x[x < 0]  x[x2 > 0] เป็นจรงิ

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ค่าความจรงิ ของประโยคท่มี ตี ัวบ่งปรมิ าณตวั เดยี ว

จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปริมาณต่อไปน้ี เมอื่ U = {–1, 0, 1}

1 x[(x < 0)  (x2 > 0)] 2 x[x < 5]  x[x2 > 0]

3 x[(x < 0)  (x – 1 = 0)] 4 x[x < 0]  x[x – 1 = 0]

3 x[(x < 0)  (x – 1 = 0)]

x x < 0 x – 1 x – 1 = 0 (x < 0)  (x – 1 = 0)

–1 T –2 F F
0 F –1 F
F เปน็ เท็จทั้งหมด

1F 0 T F

ดังนน้ั x[(x < 0)  (x – 1 = 0)] เปน็ เท็จ

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

คา่ ความจริงของประโยคที่มตี วั บ่งปรมิ าณตัวเดียว

จงหาค่าความจริงของประโยคทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณตอ่ ไปน้ี เม่อื U = {–1, 0, 1}

1 x[(x < 0)  (x2 > 0)] 2 x[x < 5]  x[x2 > 0]

3 x[(x < 0)  (x – 1 = 0)] 4 x[x < 0]  x[x – 1 = 0]

4 x[x < 0]  x[x – 1 = 0]

x x<0 x x–1 x–1=0 x[x < 0]  x[x – 1 = 0]
TT
–1 T –1 –2 F
T
0F 0 –1 F

1F 10 T

x[x < 0] T x[x – 1 = 0] T

ดังนน้ั x[x < 0]  x[x – 1 = 0] เป็นจรงิ

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

คา่ ความจริงของประโยคท่มี ตี วั บง่ ปริมาณตัวเดียว

จงพิสจู น์ว่าเซตวา่ งเป็นสบั เซตของทุกเซต
ให้ A เป็นเซตใด ๆ

A x[x    x  A]

 ไมม่ ีสมาชิกแน่ ๆ x  xA
F?

T

น่ันคอื x[x    x  A] มคี า่ ความจริงเป็นจริง
ดังน้นั   A

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมมลู และนเิ สธของประโยคท่ีมตี วั บ่งปรมิ าณ

พิจารณาประโยคเปิด P(x)  Q(x) และ P(x)  Q(x) แทน x U
แทน x U
pq p  q
จึงกลา่ วได้ว่า
สมมลู กัน

P(x)  Q(x) สมมูลกับ P(x)  Q(x)

เราสามารถใช้สมมลู ของประโยคเปดิ เทียบกบั รปู แบบของประพจนท์ ่ีสมมูลกันได้

p  q  q  p P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x)
pq  qp P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x)
(p  q)  p  q [P(x)  Q(x)]  P(x)  Q(x)
(p  q)  p  q [P(x)  Q(x)]  P(x)  Q(x)
นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ตรรกศาสตร์

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

สมมลู และนเิ สธของประโยคที่มตี วั บง่ ปริมาณ

จากสมมูลของประโยคเปดิ ถ้าเตมิ ตวั บ่งปริมาณชนิดเดียวกนั ไว้ข้างหนา้ จะไดป้ ระพจนท์ ่สี มมูลกนั ดว้ ย

x[ ] P(x)  Q(x)  P(x)  Q(x)
x[P(x)  Q(x)]  x[P(x)  Q(x)]

x[ ] P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x)
x[P(x)  Q(x)]  x[Q(x)  P(x)]

(P(x)  Q(x))  P(x)  Q(x)
x[ ]  x[P(x)  Q(x)]

x[(P(x)  Q(x))]

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมมลู และนเิ สธของประโยคที่มตี วั บง่ ปริมาณ

เนื่องจากประโยคทม่ี ีตัวบ่งปรมิ าณเปน็ ประพจน์ ดังนั้น สามารถเทียบประโยคทมี่ ีตัวบ่งปรมิ าณสมมลู กัน กบั รปู แบบของ
ประพจนท์ ี่สมมูลกันได้ เชน่

p  q  p  q

x[P(x)]  x[Q(x)]  x[P(x)]  x[Q(x)]

x[P(x)]  x[Q(x)]  x[P(x)]  x[Q(x)]

(p  q)  p  q
(x[P(x)]  x[Q(x)])  x[P(x)]  x[Q(x)]

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม ตรรกศาสตร์

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

สมมูลและนิเสธของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ

จงพิจารณาวา่ ประโยค x[P(x)  Q(x)] กับ x[Q(x)  P(x)] สมมลู กนั หรอื ไม่

เน่อื งจาก P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x) x[ ]
ดงั น้ัน x[P(x)  Q(x)]  x[Q(x)  P(x)]

จงพจิ ารณาวา่ ประโยค x[P(x)  Q(x)] กบั x[(P(x)  Q(x))  (Q(x)  P(x))] สมมลู กนั หรือไม่

เนอื่ งจาก P(x)  Q(x)  (P(x)  Q(x))  (Q(x)  P(x))

ดงั นนั้  (P(x)  Q(x))  (Q(x)  P(x)) x[ ]
x[P(x)  Q(x)]  x[(P(x)  Q(x))  (Q(x)  P(x))]

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมมูลและนิเสธของประโยคที่มตี ัวบง่ ปริมาณ

จงพิจารณาวา่ ประโยค x[(P(x)  Q(x))] กับ x[P(x)  Q(x)] สมมูลกนั หรือไม่

เนอ่ื งจาก (P(x)  Q(x))  (P(x)  Q(x))

ดงั นั้น  P(x)  Q(x)
x[(P(x)  Q(x))]  x[P(x)  Q(x)]

จงพจิ ารณาว่าประโยค x[P(x)]  x[Q(x)] กบั x[Q(x)  x[Q(x)] สมมูลกันหรอื ไม่

เนอ่ื งจาก pq  qp

ดงั นั้น x[P(x)]  x[Q(x)]  x[Q(x)  x[Q(x)]

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

สมมูลและนิเสธของประโยคที่มตี ัวบง่ ปรมิ าณ

จงพจิ ารณาวา่ ประโยค x[P(x)]  x[Q(x)] กับ x[Q(x)]  x[P(x)] สมมลู กนั หรอื ไม่

เนอ่ื งจาก p  q  q  p

ดงั นัน้ x[P(x)]  x[Q(x)]  x[Q(x)]  x[P(x)]

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมมลู และนิเสธของประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ

ประโยคทีส่ มมูลกันสามารถใช้แทนกนั ได้ ซ่ึงการพสิ ูจน์ในวชิ าคณติ ศาสตร์จะนําสมบตั ิดงั กลา่ วไปใช้

จงพสิ จู น์ว่า A  B = B  A
A  B และ B  A จะเท่ากนั ได้กต็ อ่ เม่ือ A  B และ B  A มีสมาชกิ เหมอื นกนั ทุกตัว

1 ให้ x เป็นสมาชิกใด ๆ ของ A  B จะได้ x A  x B

เนื่องจาก x A  x B  x B  x A

นัน่ คอื x เป็นสมาชกิ ใด ๆ ของ B  A ดว้ ย

ดังนนั้ A  B  B  A

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมมูลและนเิ สธของประโยคทมี่ ตี วั บง่ ปริมาณ

ประโยคทส่ี มมลู กันสามารถใช้แทนกนั ได้ ซึง่ การพิสจู นใ์ นวชิ าคณติ ศาสตร์จะนาํ สมบัติดังกล่าวไปใช้

จงพิสูจน์ว่า A  B = B  A
A  B และ B  A จะเท่ากนั ได้ก็ตอ่ เม่อื A  B และ B  A มสี มาชิกเหมอื นกันทกุ ตัว

2 ให้ x เปน็ สมาชกิ ใด ๆ ของ B  A จะได้ x B  x A

เนือ่ งจาก x B  x A  x A  x B

นนั่ คอื x เป็นสมาชิกใด ๆ ของ A  B ด้วย

ดังนัน้ B  A  A  B

จาก A  B  B  A และ B  A  A  B
ดังน้นั A  B = B  A

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

สมมูลและนเิ สธของประโยคท่มี ตี ัวบง่ ปริมาณ

ในการพจิ ารณานเิ สธของประโยคเปิดหรอื ประโยคทีม่ ีตัวบง่ ปริมาณ สามารถเทยี บกับนเิ สธของประพจน์ได้ เช่น

(p  q)  p  q

[P(x)  Q(x)]  P(x)  Q(x)]

(x[P(x)]  x[Q(x)])  x[P(x)]  x[Q(x)]

(p  q)  p  q
[P(x)  Q(x)]  P(x)  Q(x)]
(x[P(x)]  x[Q(x)])  x[P(x)]  x[Q(x)]

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

สมมูลและนิเสธของประโยคท่มี ตี ัวบง่ ปริมาณ

ประโยคเปิดที่เป็นนิเสธกนั ถา้ เติมตวั บง่ ปริมาณชนิดเดียวกนั ไวข้ ้างหนา้ ผลจะไม่ไดป้ ระพจน์ท่ีเปน็ นิเสธกนั

P(x) และ P(x) เป็นนเิ สธกนั
x[P(x)] และ x[P(x)] ไมเ่ ปน็ นเิ สธกัน

กาํ หนด U = {0, 1, 2, 3, 4} จงหาค่าความจริงของประโยค x[x < 2] และ x[x  2]

x x<2 x x2 เป็นนเิ สธกนั
0T 0F ดงั น้นั x[x < 2] และ x[x  2] เปน็ เทจ็ ทั้งคู่
1T 1F
2F 2T
3F 3T
4F 4T

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

สมมูลและนเิ สธของประโยคท่มี ตี ัวบง่ ปริมาณ

จงพจิ ารณาวา่ ประโยค x[P(x)]  x[Q(x)] กับ (x[P(x)]  x[Q(x)]) เป็นนเิ สธกนั หรอื ไม่

เนื่องจาก p  q  (p  q)

น่นั คอื x[P(x)]  x[Q(x)]  (x[P(x)]  x[Q(x)])

ดงั น้ัน x[P(x)]  x[Q(x)] กบั (x[P(x)]  x[Q(x)]) ไมเ่ ป็นนเิ สธกัน

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิม่ เติม ตรรกศาสตร์

ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

สมมลู และนิเสธของประโยคที่มตี ัวบ่งปรมิ าณ

จงพจิ ารณาวา่ ประโยค P(x)  Q(x) กับ P(x)  Q(x) เป็นนิเสธกนั หรือไม่

เนอื่ งจาก (p  q)  p  (q)

 p  q

(p  q)  p  q

น่ันคอื รปู แบบประพจน์ p  q กบั p  q เปน็ นเิ สธกนั

ดงั นั้น P(x)  Q(x) กับ P(x)  Q(x) เป็นนิเสธกนั

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

สมมลู และนเิ สธของประโยคทม่ี ตี วั บ่งปริมาณ

จงพจิ ารณาว่าประโยค x[P(x)  Q(x)] กบั x[P(x)  Q(x)] เป็นนเิ สธกนั หรือไม่
เนอ่ื งจาก p กับ p เป็นนิเสธกนั
ดงั นั้น x[P(x)  Q(x)] กับ x[P(x)  Q(x)] เปน็ นเิ สธกนั

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4
สมมูลและนิเสธของประโยคทม่ี ตี วั บ่งปริมาณ

x[P(x)] สมมลู กับ x[P(x)] หรือ นเิ สธของ x[P(x)] คือ x[P(x)]

พสิ จู น์ 1 สมมตวิ ่า x[P(x)]  T
จะได้
x[P(x)]  F สมมลู กนั

น่ันคอื x[P(x)]  T

2 สมมตวิ า่ x[P(x)]  F
จะได้
x[P(x)]  T สมมลู กนั

นั่นคือ x[P(x)]  F

จากท้ังสองกรณี สรปุ ได้วา่ x[P(x)] สมมลู กบั x[P(x)]
หรือนเิ สธของ x[P(x)] คอื x[P(x)]

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4
สมมูลและนเิ สธของประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปริมาณ
จงหานเิ สธของข้อความตอ่ ไปนี้

1 x[x + 3 > 5]
x[x + 3  5]

2 จาํ นวนจริงทุกจํานวนเป็นจํานวนค่ี
จํานวนจรงิ บางจํานวนไมเ่ ปน็ จาํ นวนค่ี

3 จาํ นวนจริงทุกจํานวนไม่ใชจ่ ํานวนตรรกยะ
จาํ นวนจรงิ บางจํานวนเป็นจาํ นวนตรรกยะ

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4
สมมูลและนเิ สธของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปรมิ าณ

x[P(x)] สมมูลกับ x[P(x)] หรอื นเิ สธของ x[P(x)] คือ x[P(x)]

พสิ จู น์ 1 สมมตวิ ่า x[P(x)]  T
จะได้
x[P(x)]  F สมมูลกนั

น่ันคอื x[P(x)]  T

2 สมมตวิ า่ x[P(x)]  F
จะได้
x[P(x)]  T สมมูลกนั

นัน่ คอื x[P(x)]  F

จากทั้งสองกรณี สรปุ ไดว้ า่ x[P(x)] สมมลู กับ x[P(x)]
หรือนเิ สธของ x[P(x)] คือ x[P(x)]

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4
สมมูลและนเิ สธของประโยคทีม่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณ
จงหานเิ สธของข้อความตอ่ ไปน้ี

1 x[x2 < 0]
x[x2  0]

2 มจี าํ นวนจริงบางจํานวนเปน็ จาํ นวนคู่
จาํ นวนจรงิ ทกุ จํานวนไมเ่ ปน็ จาํ นวนคู่

3 จํานวนจรงิ x บางจํานวนไม่เป็นจาํ นวนเต็ม
จํานวนจริง x ทุกจาํ นวนเปน็ จาํ นวนเต็ม

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4
สมมูลและนเิ สธของประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปรมิ าณ

จงหานเิ สธของ x[x > 0]  x[x2 < 0]
นิเสธของ x[x > 0]  x[x2 < 0]  (x[x > 0]  x[x2 < 0])

 x[x > 0]  x[x2 < 0]
 x[x  0]  x[x2  0]

ดงั น้นั นิเสธของ x[x > 0]  x[x2 < 0] คอื x[x  0] x[x2  0]

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ตรรกศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4
สมมลู และนิเสธของประโยคทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณ

จงหานเิ สธของ x[x  0]  x[x  0]
นิเสธของ x[x  0]  x[x  0]  (x[x  0]  x[x  0])

 (x[x  0]  x[x  0])

 (x[x  0])  x[x  0]

 x[x  0]  x[x = 0]

ดังนนั้ นิเสธของ x[x  0]  x[x  0] คอื x[x  0] x[x = 0]

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ตรรกศาสตร์

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4
สมมลู และนิเสธของประโยคที่มตี ัวบง่ ปรมิ าณ
จงหานิเสธของ x[P(x)  Q(x)]
นิเสธของ x[P(x)  Q(x)]  x[P(x)  Q(x)]

 x[(P(x)  Q(x))]
 x[(P(x)  Q(x))]
 x[(P(x))  Q(x)]
 x[P(x)  Q(x)]

ดงั นัน้ นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือ x[P(x)  Q(x)]

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ตรรกศาสตร์

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมมลู และนิเสธของประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ

ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ จงเขยี นข้อความท่ีมีตวั บง่ ปริมาณที่แสดงวา่ A  B

เนอ่ื งจาก A  B  x[x  A  x  B]
และ A  B  (A  B)

 x[x  A  x  B]

 x[(x  A  x  B)]

 x[((x  A)  x  B)]

 x[((x  A))  (x  B)]

 x[x  A  x  B]

ดังนั้น ข้อความทม่ี ตี ัวบง่ ปริมาณท่ีแสดงว่า A  B คือ x[x  A  x  B]

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม ตรรกศาสตร์

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

สมมูลและนเิ สธของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปริมาณ

จงหานเิ สธของข้อความ “มจี ํานวนจริง x ซ่ึงเป็นจํานวนตรรกยะแตไ่ มใ่ ชจ่ ํานวนเต็ม”

ให้ P(x) “x เป็นจํานวนตรรกยะ”
และ Q(x) “x เป็นจาํ นวนเต็ม”

“มจี ํานวนจริง x ซึง่ เป็นจาํ นวนตรรกยะแต่ไม่ใช่จาํ นวนเต็ม” x[P(x)  Q(x)]

นเิ สธของ x[P(x)  Q(x)]  x[P(x)  Q(x)]

 x[(P(x)  Q(x))]

 x[P(x)  (Q(x))]

 x[P(x)  Q(x)]

ดงั น้นั นิเสธของข้อความ “มีจํานวนจรงิ x ซ่งึ เป็นจาํ นวนตรรกยะแตไ่ ม่ใช่จํานวนเตม็ ” คือ “จํานวนจรงิ x ทกุ
จาํ นวนตอ้ งไมเ่ ป็นจาํ นวนตรรกยะหรือตอ้ งเปน็ จํานวนเต็ม”

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม