สื่อ ppt เรื่อง เซต

คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน เซต

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

เซต

แผนผงั สาระการเรยี นรู้ เซตจาํ กดั เซตทเี่ ทา่ กนั
เซตอนนั ต์ ทฤษฎีบททเ่ี ก่ียวข้อง
การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก เซตวา่ ง กับเซตทเี่ ทา่ กนั
การเขยี นเซตแบบบอกเงือ่ นไข 2. ประเภทของเซต
ของสมาชกิ 3. การเปรียบเทียบเซต
แผนภาพเวนน์-ออยเลอย์
เซต
1. การเขียนแสดงเซต
4. สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต
6. การแกป้ ญั หาโดยใช้
การดําเนนิ การของเซต 5. การดําเนนิ การของเซต สบั เซตเพาเวอรเ์ ซต
เพาเวอรเ์ ซต
นางสาวเปรมยุดา คํามะณี
อินเตอรเ์ ซกชัน
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม ยเู นียน
คอมพลเี มนต์ของเซต
ผลตา่ งระหว่างเซต

นกั เรยี นพจิ ารณาการจัดกลุ่มของผลไมต้ อ่ ไปนี้
วา่ มีผลไมใ้ ดบา้ งอยู่ในกลุ่ม

1. กล่มุ ของผลไมท้ ีม่ เี มล็ดเดยี ว
2. กล่มุ ของผลไม้ทม่ี หี ลายเมลด็
3. กลุ่มของผลไมท้ มี่ เี มล็ดอยู่ภายนอกผล

4. กลุ่มของผลไมท้ มี่ ีเมล็ดอยภู่ ายในผล
5. กลมุ่ ของผลไม้ทไ่ี มม่ เี มลด็

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน เซต

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

เซต

เซต (set) ในคณติ ศาสตร์ ใช้คําว่า เซต (set) ในการกลา่ วถงึ กลมุ่ ของส่ิงตา่ ง ๆ และเม่อื กลา่ วถงึ กลุ่มใดแลว้
สามารถทราบไดแ้ นน่ อนว่าสง่ิ ใดอยู่ในกลุม่ และสง่ิ ใดไม่อยใู่ นกล่มุ โดยจะเรียกสงิ่ ท่อี ยใู่ นเซตว่า สมาชกิ
(element or member)

ตวั อย่างของเซต เช่น จนั ทร์ องั คาร พุธ พฤหสั บดี ศุกร์ เสาร์ และอาทติ ย์
เซตของช่อื วันในสัปดาห์ 1 และ 2
เซตของจํานวนนบั ทน่ี อ้ ยกวา่ 3

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน เซต

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

เซต

สง่ิ ทไ่ี ม่สามารถจดั เปน็ เซต คือ กลุ่มของสง่ิ ท่ีบ่งบอกเชิงคณุ ภาพ

ลกั ษณะของกลมุ่ ที่ไม่สามารถจดั เป็นเซต
เซตของคนสวย
1 กล่มุ ของคนสวย

2 กลุ่มของคนเกง่ เซตของคนเกง่

3 กลุ่มของอาหารท่อี รอ่ ย เซตของอาหารอร่อย

4 กลมุ่ ของจังหวัดทน่ี ่าเทยี่ ว เซตของจงั หวัดทน่ี ่าเทีย่ ว

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

สมาชิกของเซต

คําว่า “เปน็ สมาชกิ ของ” หรอื “อย่ใู น” ใชส้ ญั ลักษณ์ “”
คําวา่ “ไม่เป็นสมาชกิ ของ” หรอื “ไม่อยู่ใน” ใช้สญั ลักษณ์ “”
เช่น ก ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ B หรอื ก ไมอ่ ยใู่ น B

เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ ก B

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน เซต

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

สมาชิกของเซต

ในการเขียนเซตของจาํ นวน สามารถใชส้ ญั ลกั ษณแ์ ทนเซตของจํานวนตา่ ง ๆ ดังนี้

แทน เซตของจํานวนจรงิ

แทน เซตของจํานวนเตม็ หรอื = { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

แทน เซตของจํานวนเตม็ ลบ หรอื = { … , -3, -2, -1 }

แทน เซตของจํานวนเต็มศนู ย์ หรอื = { 0 }

แทน เซตของจํานวนเต็มบวก หรือ = { 1, 2, 3, … }
หรอื = { 1, 2, 3, … } ใชแ้ ทนกนั ได้
แทน เซตของจํานวนนับ

แทน เซตของจาํ นวนเฉพาะ หรอื P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … }

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน เซต

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

สมาชิกของเซต

ให้ A เป็นเซตของจาํ นวนนบั ที่ไมเ่ กิน 2 จงพจิ ารณาว่าขอ้ ความตอ่ ไปนี้เป็นจริงหรอื เท็จ

1 1A สมาชกิ ของเซต A 1, 2
2 0A

3 {1 2}  A

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เซต

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

การเขยี นแสดงเซต

การเขยี นแสดงเซตอาจเขยี นไดส้ องแบบดังนี้

1 แบบแจกแจงสมาชกิ

เขยี นสมาชกิ ทุกตัวของเซตลงในวงเลบ็ ปีกกา { } และใชเ้ ครอ่ื งหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตวั

EXAMPLE เซตของจาํ นวนนับทีน่ อ้ ยกว่า 5 {1, 2, 3, 4}

โดยทั่วไปจะแทนเซตดว้ ยตวั อักษรภาษาองั กฤษตัวพิมพ์ใหญ่ และแทนสมาชกิ ของเซตดว้ ยตวั พมิ พ์เลก็

EXAMPLE A = {a, b, c} เซต A ซ่ึงมีสมาชิก 3 ตวั ได้แก่ a, b และ c

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน เซต

ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

การเขียนแสดงเซต

ในกรณีทีเ่ ขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ แล้วพบวา่ จํานวนสมาชกิ หลายตวั
สามารถใช้จุดสามจุด “...” เพือ่ แสดงให้ทราบว่ายังมสี มาชกิ อนื่ ๆ อกี

EXAMPLE เซต {1, 2, 3, … , 9}
EXAMPLE สัญลักษณ์ “…” แสดงวา่ มี 4, 5, 6, 7 และ 8 เป็นสมาชกิ ของเซตน้ดี ว้ ย
ให้ A เปน็ เซตของจาํ นวนคู่ เขียน A เซตแบบแจกแจงสมาชกิ ได้ดังน้ี
A = {…, – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, …}

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เซต

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การเขียนแสดงเซต

การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ ไม่นยิ มเขยี นสมาชิกซาํ้ กนั
จะเขียนสมาชกิ แตล่ ะตวั เพยี งครง้ั เดียว เชน่
ไม่เขียน {3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6,}
แต่เขยี น {3, 4, 5, 6} หรอื {3, 5, 6, 4} หรอื {4, 5, 6, 3}
เปน็ ทเ่ี ข้าใจตรงกนั วา่ เซตน้มี สี มาชิกสตี่ วั คอื 3, 4, 5 และ 6

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน เซต

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 B = {–4, 4}

การเขยี นแสดงเซต C = {ก, ข, ฃ, …, ฮ}

จงเขยี นแสดงเซตในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้แี บบแจกแจงสมาชกิ D = {…, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …}
1 ให้ B แทนเซตของจํานวนเต็มท่ียกกําลังสองแลว้ ได้ 16 E = {1, 2}
2 ให้ C แทนเซตของพยญั ชนะในภาษาไทย
F = {จนั ทบุรี}
3 ให้ D แทนเซตของจํานวนคู่

4 ให้ E แทนเซตของเลขโดดท่ีปรากฏในจํานวน 121

5 ให้ F แทนเซตของจังหวดั ในประเทศไทยทข่ี นึ้ ตน้ ดว้ ย “จ”

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน เซต

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

การเขียนแสดงเซต

2 แบบบอกเง่ือนไขของสมาชกิ

ใชต้ ัวแปร เชน่ x, y แทนสมาชกิ แล้วบรรยายสมบัตหิ รอื เง่ือนไข และใช้สญั ลกั ษณ์ “|” แทนคาํ ว่า “โดยท่”ี

EXAMPLE F = {x | x เปน็ จาํ นวนนบั ท่มี ีหลกั เดยี ว} F = {1, 2, 3, 4, …, 9}

จงเขียนแสดงเซตในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนแี้ บบบอกเงอื่ นไขของสมาชกิ

1 ให้ B แทนเซตของจาํ นวนเต็มทย่ี กกาํ ลังสองแลว้ ได้ 16
B = {x | x เปน็ จาํ นวนเตม็ และ x2 = 16}

2 ให้ C แทนเซตของพยัญชนะในภาษาไทย
C = {x | x เป็นพยญั ชนะในภาษาไทย}

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พื้นฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

สมาชกิ ของเซต

จํานวนสมาชกิ (cardinality) ของ A สามารถเขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ n(A)

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พื้นฐาน เซต

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

สมาชกิ ของเซต

กําหนดให้ G= 2, 1 เซต G มสี มาชกิ 2 ตวั ไดแ้ ก่ 2 และ 1
2 2

จะไดว้ า่ 2  G 2 เปน็ สมาชกิ เซต G หรือ 2 อยู่ในเซต G

และ 1  G 1 เป็นสมาชกิ เซต G หรอื 1 อยู่ในเซต G
2 2
2

แต่ 1 G 1 ไมเ่ ป็นสมาชกิ เซต G หรอื 1 ไม่อยใู่ นเซต G
3 3 3

ให้ A = {0, 1, 2} จงพิจารณาว่าขอ้ ความต่อไปน้ีเป็นจริงหรอื เทจ็

1 0A สมาชกิ ของเซต A 0, 1, 2
2 {0}  A

3 {1, 2}  A

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

จํานวนสมาชกิ ของเซต

จงหาจํานวนสมาชกิ ของ A = {x | x เป็นพยญั ชนะในภาษาไทย}
จาก A = {x | x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย}
จะได้ A = {ก, ข, ฃ, …, ฮ}
ดังน้นั A มจี ํานวนสมาชกิ 44 ตัว หรอื n(A) = 44

จงหาจาํ นวนสมาชิกของ B = {x | x เปน็ จาํ นวนคี่บวกทม่ี สี องหลัก}
จาก B = {x | x เปน็ จาํ นวนคบี่ วกท่ีมีสองหลัก}
จะได้ B = {11, 13, 15, …, 99}
ดงั นน้ั B มีจํานวนสมาชกิ 45 ตวั หรือ n(B) = 45

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน เซต

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

EXAMPLE จํานวนสมาชกิ ของเซต

1 A = {a, b, c, d} n(A) = 4
2 B = { , , , , ,  } n(B) = 6
3 C = {1, 2, 34, {5, 6, 7}, {8910}} n(C) = 5
4 D = {1, 2, 3, 4, ..., 20} n(D) = 20
5 E = {{1, 2, 3, 4, ..., 20}} n(E) = 1
6 F = {{1, 2, 3, ...}} n(F) = 1
7 G = {} n(G) = 0
8 H = {{ }} n(H) = 1

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน เซต

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

เซตวา่ ง
เรยี กเซตท่ไี ม่มสี มาชกิ วา่ เซตว่าง (empty set or null set)

เขียนแทน เซตว่าง ดว้ ยสญั ลักษณ์ { } หรอื 

ให้ A = {x | x เป็นจาํ นวนจรงิ และ x + 1 = x}
จะได้ A = 

จงหาจาํ นวนสมาชกิ ของ 
เน่ืองจาก  เปน็ เซตที่ไม่มสี มาชกิ
ดงั นนั้  มจี ํานวนสมาชิก 0 ตวั หรือ n(A) = 0

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์พื้นฐาน เซต

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4
เซตจํากัดและเซตอนนั ต์

เซตทีม่ ีจาํ นวนสมาชิกเป็นจํานวนเตม็ บวกใด ๆ หรอื ศูนย์ เรียกวา่ เซตจํากดั (finite set)

ตัวอย่างของเซตจํากัด เชน่

{1, 2, 3, …, 20}

{x | x เป็นชือ่ ของจังหวดั ในประเทศไทย}

{}

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน เซต

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4
เซตจํากัดและเซตอนนั ต์

เซตที่ไม่ใชเ่ ซตจํากัด เรียกวา่ เซตอนันต์ (infinite set)

ตวั อยา่ งของเซตอนนั ต์ เชน่

{1, 2, 3, …}

1, 1 , 1 , 1 ,...
2 4 8

{x | x เป็นจาํ นวนเตม็ }

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน เซต

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 เซตจํากัด เซตวา่ ง
เซตจาํ กัดและเซตอนันต์ เซตจํากัด
เซตอนันต์
1 {2, 4, 6, 8} เซตจาํ กดั
2 {1, 2, 3, …, 100}
3 {3, 5, 7, 9, …} เซตอนันต์
4 {{5, 6, 7, 8, 9, …}} เซตจํากัด

5 {x | x เป็นจํานวนเตม็ ท่หี ารดว้ ย 3 ลงตวั }
6 {x | x เปน็ จํานวนลบทีม่ ากกวา่ 5}

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน เซต

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพทั ธ์ (relative universe) เปน็ เซตท่กี ําหนดข้นึ เพ่ือบง่ บอกถึงขอบเขตของสง่ิ ทจ่ี ะพจิ ารณา มักจะ
เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ U หรือตําราบางเล่มใช้ U โดยมขี ้อตกลงว่า เมอ่ื กล่าวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไม่
กล่าวถึงส่ิงอน่ื ทนี่ อกเหนอื จากสมาชกิ ในเอกภพสมั พทั ธ์

กําหนดให้ U คือ เซตของจาํ นวนจริง
โดยที่ A = {x | x2 = 4}

B = {x | x3 = –1}

จะได้ A = {–2, 2}

B = {–1}

แต่ถา้ กาํ หนดให้ U คอื เซตของจาํ นวนเตม็ บวก
จะได้ A = {2}

B = {}

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4
เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพทั ธท์ พ่ี บบ่อย ไดแ้ ก่
ℕ เซตของจาํ นวนนบั
I เซตของจํานวนเต็ม
I เซตของจาํ นวนเต็มบวก
I เซตของจํานวนเตม็ ลบ
ℝ เซตของจาํ นวนจรงิ

บางครั้งเพอื่ ความสะดวก จะระบุเอกภพสมั พัทธล์ งในการเขยี นเซตแบบบอกเงอื่ นไข เช่น

A  x ∈ ℕ| x 4 A  {2}
B  x ∈ I| x 4 B  {2, 2}

ในการกล่าวถึงเซตของจาํ นวน ถา้ ไม่มีการระบุเอกภพสมั พัทธใ์ ห้ถือว่าเอกภพสมั พัทธ์คอื เซตของจาํ นวนจริง

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน เซต

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

เซตทีเ่ ทา่ กัน

กําหนดให้ A = {0, 1, 2, 3} เซต A และเซต B เปน็ เซตทเี่ ท่ากัน (equal sets or identical sets)
และ
B = {1, 0, 2, 3}

จะได้ A = B

เซต A เทา่ กบั เซต B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทกุ ตวั ของเซต B
เปน็ สมาชกิ ของเซต A

ในกรณที ีม่ สี มาชกิ อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั ของเซต A ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของเซต B หรอื สมาชิกอยา่ งนอ้ ย 1 ตัวของเซต B ไม่เป็น
สมาชิกของเซต A จะไดว้ ่า เซต A ไมเ่ ท่ากบั เซต B เขยี นแทนดว้ ย A  B

กําหนดให้ A = {1, 2, 3}
และ B = {1, 2}
จะได้ AB

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 3 E = {i, d, e, a}
F = {a, i, d}
เซตที่เทา่ กนั eE
eF
จงพจิ ารณาว่าเซตในข้อใดบ้างเท่ากนั และเซตในขอ้ ใดบา้ งไมเ่ ทา่ กนั
ดังนนั้ E  F
1 A = {1, 2, 3} 2 C = {p, o, s, t}

B = {3, 2, 1} D = {s, t, o, p}

A=B C=D

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน เซต

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

เซตท่ีเท่ากัน

ให้ A = {x | x เปน็ จํานวนค}ู่ , B = {x | x เปน็ จาํ นวนคี่บวก} และ C = {1, 3, 5, 7, …}

เน่อื งจาก A = {…, –4, –2, 0, 2, 4, …}

จะไดว้ า่ B = {1, 3, 5, 7, …}
A B
A C

B =C

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน เซต

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

เซตท่เี ทา่ กัน

ให้ S = {2, 4, 6, …, 16} และ T = {x | x เปน็ จาํ นวนคูบ่ วกทน่ี อ้ ยกว่า 20}
จงพจิ ารณาวา่ เซต S เท่ากบั เซต T หรอื ไม่

จาก S = {2, 4, 6, …, 16}
T = {x | x เป็นจาํ นวนคูบ่ วกทนี่ ้อยกว่า 20}

จะไดว้ า่ = {2, 4, 6, …, 18}
18  T

18  S

ดังน้ัน S  T

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน เซต

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

สับเซต (Subsets)
กาํ หนดให้
A = {7, 8}

และ B = {1, 3, 5, 7, 8}

จะได้ เซต A เปน็ สับเซต (subset) ของเซต B

เขียนแทนดว้ ย A  B

เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B ก็ตอ่ เมื่อ สมาชิกทกุ ตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว้ ย A  B

ในกรณที ่มี ีสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่งึ ตวั ของเซต A ไม่เป็นสมาชกิ ของเซต B จะไดว้ า่ เซต A ไมเ่ ป็นสบั เซตของเซต B
เขยี นแทนดว้ ย A  B

ให้ A เป็นเซตใด ๆ จะไดว้ ่า

AA
A

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เซต

ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

สบั เซต (Subsets)

กําหนดให้ A = {1} และ B = {0, 1, 2} จงพจิ ารณาว่า เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B หรอื ไม่
และเซต B เป็นสบั เซตของเซต A หรือไม่

จาก A = {1}

B = {0, 1, 2}

จะไดว้ า่ A  B

BA

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์พื้นฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

สบั เซต (Subsets)

กาํ หนดให้ A = {3, 4, 5, 6} และ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} จงพจิ ารณาวา่ เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B หรอื ไม่
และเซต B เปน็ สบั เซตของเซต A หรือไม่

จาก A = {3, 4, 5, 6}
จะไดว้ ่า B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
AB
BA

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน เซต

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

สับเซต (Subsets)

กาํ หนดให้ A = {1, 3, 5, 7, 9, …} และ B = {x | x = 2n – 1 เม่อื n N}
จงพจิ ารณาวา่ เซต A เปน็ สับเซตของเซต B หรือไม่ และเซต B เป็นสบั เซตของเซต A หรอื ไม่

จาก A = {1, 3, 5, 7, 9, …}

B = {1, 3, 5, 7, 9, …}

จะไดว้ า่ A  B

BA

เนือ่ งจาก ถา้ A  B และ B  A แลว้ A = B

ถา้ A = B แลว้ A  B และ B  A

ดังน้ัน จงึ สามารถสรปุ ได้ว่า A  B และ B  A กต็ อ่ เมอื่ A = B

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน เซต

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4
สบั เซต (Subsets)
กําหนดให้ A = {x, y, z} จงหาวา่ เซตในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีเป็นสับเซตของ A หรอื ไม่

1 {x} 6 {y, z}

2 {y} 7 {x, y, z}

3 {z} 8
4 {x, y} 9 {v, x, y, z}

5 {x, z} 10 {a, b, c, x, y, z}

กําหนดให้ A เปน็ เซตใด ๆ ท่มี จี ํานวนสมาชิกเทา่ กบั n(A)
1 สับเซตท้งั หมดของ A จะมีจํานวนเท่ากับ 2n(A) เซต
2  A

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน เซต

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 4 D = {a, {b, c}}

สบั เซต (Subsets)

จงหาสับเซตท้งั หมดของเซตในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี

1 A = {1} 2 B = {1, 2} 3 C = {a, b, c}

1 A = {1} ไม่มสี มาชิกเลย 
มสี มาชกิ หนึ่งตวั {1}

ดงั นน้ั สับเซตท้ังหมดของ A ไดแ้ ก่ , {1}

2 B = {1, 2} ไม่มีสมาชกิ เลย 
มสี มาชิกหนงึ่ ตัว {1},{2}

มสี มาชกิ สองตัว {1, 2}

ดงั นั้น สบั เซตทัง้ หมดของ B ไดแ้ ก่ , {1}, {2}, {1, 2}

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน เซต

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

สับเซต (Subsets)

จงหาสับเซตท้ังหมดของเซตในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1 A = {1} 2 B = {1, 2} 3 C = {a, b, c} 4 D = {a, {b, c}}

3 C = {a, b, c} ไมม่ สี มาชกิ เลย 
มสี มาชิกหนึ่งตวั {a},{b},{c}

มสี มาชิกสองตวั {a, b}, {a, c}, {b, c}

มสี มาชิกสามตวั {a, b, c}

ดังน้ัน สบั เซตท้ังหมดของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} 

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน เซต

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 4 D = {a, {b, c}}

สับเซต (Subsets)

จงหาสบั เซตทงั้ หมดของเซตในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1 A = {1} 2 B = {1, 2} 3 C = {a, b, c}

4 D = {a, {b, c}} ไม่มสี มาชกิ เลย 
มีสมาชิกหนงึ่ ตวั {a}, {{b, c}}

มีสมาชิกสองตัว {a,{b, c}}

ดงั นั้น สับเซตทงั้ หมดของ D ไดแ้ ก่ , {a}, {{b, c}}, {a, {b, c}}

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน เซต

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

สับเซต (Subsets)

กําหนดให้ A = {a, b, c, d, e, f} จงหาจํานวนสบั เซตของ A ทม่ี เี งอ่ื นไขต่อไปนี้

1 สบั เซตทัง้ หมดของ A 2 สับเซตแทข้ อง A

1 สบั เซตทง้ั หมดของ A 2 สับเซตแทข้ อง A

A = {a, b, c, d, e, f} = 2n(A)  1
n(A) = 6 = 26  1

จํานวนสบั เซตท้ังหมดของ A = 64  1
= 63
= 26
= 64

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

สับเซต (Subsets)

กําหนดให้ A, B และ C เปน็ เซตใด ๆ

1 A A
2 A

3 ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C
4 A  B และ B  A กต็ อ่ เมอื่ A = B

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เซต

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

เพาเวอรเ์ ซต (Power Set)

กําหนดให้ A เปน็ เซตใด ๆ
เพาเวอร์เซตของ A คือ เซตทม่ี ีสมาชกิ ทัง้ หมดเปน็ สับเซตของ A ใชส้ ญั ลกั ษณ์ P(A)

P(A) = { x | x  A }

กาํ หนดให้ A = {a, b, c} จงหา P(A)
จาก A = {a, b, c}
จะไดส้ ับเซตทัง้ หมดของ A ไดแ้ ก่ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
ดังน้ัน P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

เพาเวอร์เซต (Power Set)

กาํ หนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ

1  P(A)
2 {}  P(A)
3 A  P(A)

4 n(P(A)) = 2n(A)

5 A  P(B) กต็ อ่ เม่ือ A  B
6 A  B กต็ อ่ เมอื่ P(A)  P(B)

7 P(A)  P(B) = P(A  B)
8 P(A)  P(B)  P(A  B)

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์พื้นฐาน เซต

ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 1,024 เซต

เพาเวอร์เซต (Power Set)

ถ้าเซต A มีจาํ นวนสมาชิก 10 ตัว แลว้ P(A) มีจาํ นวนสมาชิกกี่ตัว

เน่ืองจากสมาชิกของ P(A) คอื สับเซตท้ังหมดของ A
และ A มีสมาชิก 10 ตัว นน่ั คอื สบั เซตทง้ั หมดของ A จะมีจาํ นวน

ดงั น้ัน P(A) มสี มาชกิ 1,024 ตวั

ถ้าสับเซตแทข้ อง P(A) มี 255 เซต แลว้ A มีจาํ นวนสมาชิกกี่ตัว

เนอื่ งจากสับเซตแท้ของ P(A) มีจาํ นวนเท่ากบั 255 เซต

น่นั คือ สับเซตทัง้ หมดของ P(A) มี 256 เซต 2n(P(A)) n(P(A))  8

เนอื่ งจาก n(P(A))  2n(A) n(A)  3

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

แผนภาพเวนน์

แผนภาพเวนน์ (Venn diagram) เปน็ แผนภาพทใี่ ชส้ าํ หรบั แสดงเซต โดยทว่ั ไปมกั จะแทนเอกภพสมั พทั ธ์ U
ด้วยรปู สี่เหล่ยี มผนื ผา้ (อาจจะใช้รูปปิดใด ๆ ก็ได้) ส่วนเซตอนื่ ๆ ซง่ึ เปน็ สับเซตของ U นน้ั อาจจะเขยี นแทนด้วย
วงกลม วงรี หรือรูปปิดใด ๆ

เอกภพสัมพัทธ์ เซตใด ๆ

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพทิ ยาคม

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน เซต

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

แผนภาพเวนน์

กาํ หนดให้ U แทนเอกภพสมั พัทธ์ และ A, B เปน็ สบั เซตของ U พิจารณาแผนภาพเวนน์ ดังนี้

U U
AB
AB

เซต A และ B ไม่มีสมาชกิ รว่ มกัน เซต A และ B มสี มาชิกบางส่วนรว่ มกนั
เรียกเซตทไ่ี ม่มีสมาชิกรว่ มกนั เลย ว่า นัน่ คอื A  B และ B  A
เซตไม่มีสว่ นรว่ ม (disjoint sets)

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน เซต

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

แผนภาพเวนน์

กําหนดให้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ และ A, B เปน็ สับเซตของ U พจิ ารณาแผนภาพเวนน์ ดังน้ี

AU A BU
B

สมาชกิ ทุกตัวของเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A สมาชิกทกุ ตวั ของเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B
น่นั คอื B  A และสมาชิกทกุ ตวั ของเซต B เปน็ สมาชิกของเซต A

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี นัน่ คือ A = B

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน เซต

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4
แผนภาพเวนน์

กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {3, 4, 5, 6} จงเขียนแผนภาพเวนนแ์ สดงเซตทั้งสอง
จาก A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

U
AB

1 35
2 46

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ทิ ยาคม

คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เซต

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

แผนภาพเวนน์

AB U กําหนดแผนภาพดังนี้
จงหา
31 1 จาํ นวนสมาชกิ ในเซต A
2a
2 จํานวนสมาชิกทอี่ ยทู่ ้งั ในเซต A และ B
c 5d
47 6 3 สมาชิกที่ไม่อยู่ในเซต A และไมอ่ ยูใ่ นเซต B

xb 8

1 เซต A มีสมาชกิ 6 ตัว
2 จาํ นวนสมาชกิ ที่อยู่ทัง้ ในเซต A และ B มที ้งั หมดสมาชกิ 3 ตัว
3 สมาชกิ ทไ่ี ม่อยใู่ นเซต A และไม่อยู่ในเซต B คอื x, b และ 8

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน เซต

ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

แผนภาพเวนน์

กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} และ C = {3, 5, 7, 8} U
จงเขยี นแผนภาพเวนนแ์ สดงเซตทง้ั สาม
จาก A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7} AB

C = {3, 5, 7, 8} 1 4 6
2 5

37

8
C

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ทิ ยาคม

คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน เซต

ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

แผนภาพเวนน์

กําหนดให้ U เป็นเซตของจํานวนนับ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 4, 6} และ C = {1, 3, 5}
จงเขยี นแผนภาพเวนน์แสดงเซตท้งั สาม

จาก A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A U
B
B = {2, 4, 6} C

C = {1, 3, 5} 2 1
46 35
จะได้ B  A

CA

7

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เซต

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

การดําเนนิ การระหวา่ งเซต : อนิ เตอร์เซกชนั

กาํ หนดให้ A = {1, 2, 3, 4}

และ B = {2, 4, 6, 8}

สร้างเซตใหม่ C = {2, 4} อินเตอร์เซกชนั (intersection) เซต A และ B เขยี นแทนด้วย A  B

A  B = {x | x  A และ x  B}

อาจเขยี นแสดง A  B ได้ดว้ ยแผนภาพ ดงั น้ี BU

A

ส่วนทแ่ี รเงาคือ A  B

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตร์พื้นฐาน เซต

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การดาํ เนินการระหว่างเซต : อนิ เตอรเ์ ซกชนั

ให้ A = {0, 1, 2, 3} และ B = {0, 3, 5} จงหา A  B

จาก A = {0, 1, 2, 3}

ดังน้นั B = {0, 3, 5}
A  B = {0, 3}

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน เซต

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4
การดําเนนิ การระหว่างเซต : อนิ เตอรเ์ ซกชนั

ให้ A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4} และ C = {0} จงหา A  B, A  C และ B  C
จาก A = {0, 1, 2, 3}

B = {0, 1, 2, 3, 4}
C = {0}

จะได้ A  B = {0, 1, 2, 3}

A  C = {0}

B  C = {0}

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี

ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม