BAB II
PEMBAHASAN
Definisi Fungsi Pangkat :
Untuk setiap bilangan bulat positif n, fungsi ( ) dinamakan fungsi pangkat.
Catatan :
1. Fungsi f tersebut merupakan fungsi menyeluruh, karena ( )
2. Untuk n > 1, fungsi f bukanlah fungsi satu-satu sehingga tidak mempunyai
fungsi invers.
Definisi Transformasi Pangkat :
Sifat-sifat pemetaan tertentu pada transformasi pangkat
lebih mudah dipelajari dalam bentuk kutub. Jadi, dengan menyatakan fungsi di atas
dalam bentuk kutub, kita mempunyai ( ) (1)
kita dapat melihat dengan mudah bahwa jika | | arg z = t, maka | |
dan arg w = nt.
Dengan kata lain,
Transformasi pangkat memetakan suatu titik z dengan modulus r dan
n
argumen t ke suatu titik dengan modulus r dan argument nt
3
Sebagai contoh, di bawah w = z , titk z = 2 cis ( ) dipetakan ke titik w= 8 cis .
Pada umumnya, di bawah (1), suatu sinar yang dipancarkan dari pusat sumbu
koordinat dengan sudut inklinasi dipetakan menjadi suatu sinar yang bersudut
inklinasi n ; selanjutya mudahlah untuk melihat bahwa, seperti yang disarankan pada
Gambar 1., suatu juring lingkaran dengan jari-jari r bersudut ditransformasian ke
n
juring lingkaran dengan jari-jari r pusat n . Sebagai akibat, misalnya, di bawah
, kuadran pertama bidang z dipetakan ke setengah bidang w atas, setengah lingkaran
atas bidang z dipetakan ke satu lingkaran pada bidang w, dan jika kita mengambil seluruh
bidang z maka kita akan menutupi bidang w dua kali. Dengan menggeneralisasikan kasus
khusus, kita melihat bahwa di bawah transformasi pangkat , bidang z dipetakan
ke bidang w, n kali, yaitu setiap titik pada bidang w kecuali w = 0, merupakan bayangan n
titik berbeda dari bidang z. Kenyataan ini, tentu saja merupakan ungkapan geometrik
terhadap kenyataan bahwa setiap bilangan bukan nol mempunyai n akar berbeda.( Lihat
contoh 10 hal 17) Perhatikan gambar berikut.
Gambar 1
Contoh –contoh:
A= {z = (x,y|x,y 0} * ( ) +
* + * +
* | | + * | | +
* ( ) +
Contoh 1
Andai fungsi dan batasi domain sebagai berikut : adalah himpunan
semua sedemikian sehingga
dimana α adalah suatu sudut sembarang. Jelaslah, jika , maka . Untuk
yang lain di , fungsi yang diberikan memangkatkan tiga domain modulusnya dan
melipatkan tiga argumennya :
| | | | ( )
Dengan kata lain, bidang tertutup “tiga kali lebih cepat” dari pada bidang ,
Gambar 2 memperlihatkan bagaimana domain , yang merupakan “sepertiga” bidang
, dipetakan ke seluruh bidang Mudahlah dilihat bahwa jika z berubah-ubah di
seluruh bidang z, maka setiap kecuali , akan mempunyai tiga prapeta yang
berbeda.
Gambar 2
Meskipun beberapa aspek tertentu fungsi pangkat lebih mudah dipelajari dalam
bentuk kutub, bentuk Cartesius “fungsi kuadrat”.
mengungkapkan beberapa hubungan yang menarik. Kita memeriksanya pada contoh
berikut.
Contoh 2
Kita tahu bahwa uraian fungsi menghasilkan ;
( ) dan ( )
Perhatikan sekarang, pada bidang , hiperbola tegak lurus
Maka, jelaskan dan bila mengambil semua nilai yang diperbolehkan,
maka nilai bergerak dari hingga . Ini berarti bahwa, di bawah ,
hiperbola di atas dipetakan menjadi garis tegak
Kemudian, perhatikan hiperbola
Maka seperti di atas, tidaklah sulit untuk melihat bahwa, di bawah fungsi yang
diberikan, bayangannya adalah garis mendatar .
Kita boleh menunjukkan bahwa, di bawah fungsi yang sama, garis mendatar
dan tegak pada bidang dipetakan menjadi parabola-parabola di bidang .
Perhatikan contoh-contoh berikut.
Transformasi
Domain Range
1. H pe b l Garis tegak
Secara umum Hiperbola Garis tegak
2. Hiperbola 1 Garis mendatar 1
Secara umum Hiperbola Garis mendatar
3. Garis mendatar Parabola 6( 9)
4. Garis tegak Parabola 16( )
5. Sinar
6. Sinar
7. 1 Parabola 1
Uraiannya adalah sebagai berikut.
Uraian pada Tabel Transformasi
1. H pe b l
√
+ - +
√ √
( ) atau
2. Hiperbola 1
1
3. Garis mendatar
( ) 6
1
( ) 9 ( 9)
6 6 6
1
( 9) 9 6( 9)
6 6
4. Garis tegak
( ) 16( )
16 16
5. ( )
6.
7. 1
(1 ) (1 )
(1 )
⬚
(1 ) = 1
1 1
( ) (1 ) 1
1
1
( 1) ( ) 1
( 1)( 1)
1
* ( )| +
Contoh 3:
Dibawah fungsi , petakan titik 1 ke bidang-w dengan domain
{ | | 1 }
Jawab :
| | √1 1 √ | | (√ )
Tulis Daerah A pada bidang-z dipetakan menjadi * | | 1
+ pada bidang-w, kita dapatkan
sin = 0
| |
Kita dapatkan b = 0 , Analog dengan cara di atas, kita dapatkan
cos = -1
1
Jadi didapat seperti gambar di bawah ini.
Latihan Soal
1. Carilah bayangan sector di bawah
Jawab :
Karena maka
2. a. Dengan menggunakan kenyataan bahwa uraian fungsi kuadrat
menghasilkan , tunjukkan bahwa untuk fungsi ini,
( ) ( )
b. Gunakan hasil dari (a) untuk menunjukkan bahwa, dibawah garis-garis
mendatar ( ) dan tegak lurus ( ) dipetakan menjadi parabola.
Jawab:
a)
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) (1)
b) Misal x=c dan y=k.
(Seperti contoh no.3 dan 4 pada tabel transformasi di atas).
DAFTAR RUJUKAN
Paliouras, J.D., 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmiwan dan Insinyur (terjemahan
oleh: Wibisono Gunawan). Jakarta: Erlangga.
https://asimtot.files.wordpress.com/2012/02/fungsi-kompleks-transformasi-
pangkat.pdf