คา่ วัดทางสถิติ 1
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวดั ทางสถิติ 1
คา่ วัดทางสถิติ
ในการวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้วิธีการทางสถิติศาสตร์เชิงพรรณนาสามารถทำได้โดยการเขียนตาราง
ความถห่ี รอื แผนภาพต่าง ๆ ทไ่ี ด้เรียนผ่านมาแลว้ นนั้ ยังสามารถใช้ค่าวัดทางสถิติซงึ่ เปน็ ค่าที่ได้จากการนำข้อมูล
ทั้งหมดหรือข้อมูลบางส่วนมาคำนวณเพื่อใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล ซึ่งค่าวัดทางสถิติจะช่วยทำให้วิเคราะห์เห็น
ภาพรวมของข้อมูลและช่วยให้สามารถจดจำข้อสรุปเกี่ยวกับข้อมูลนั้น ๆ ได้ง่ายขึ้น อันจะเป็นประโยชน์ต่อการ
นำไปใช้ในการวางแผนและตัดสินใจต่าง ๆ ต่อไป สำหรับในหัวข้อนี้จะศึกษาค่าวัดทางสถิติ ได้แก่ ค่ากลางของ
ขอ้ มูล คา่ วัดการกระจาย และคา่ วัดตำแหน่งทขี่ องขอ้ มลู
ค่ากลางของขอ้ มูล
คา่ กลางของข้อมูลเป็นตัวแทนของข้อมลู ท้ังหมด ซ่งึ จะทำใหเ้ ข้าใจภาพรวมและง่ายต่อการจดจำข้อสรุป
เกี่ยวกับข้อมลู นัน้ ๆ โดยในทีนี้จะศึกษาคา่ กลางของข้อมูล 3 ชนิด คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม
ซงึ่ ค่ากลางแตล่ ะชนดิ กม็ ีขอ้ ดี ข้อเสีย และมีความเหมาะสมในการนำไปใชไ้ ม่เหมอื นกัน
1. คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ( Arithmetic Mean )
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เป็นค่าที่หาได้จากการหารผลรวมของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูลที่มี
คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของประชากร ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของตัวอยา่ ง
ให้ x1, x2, x3,..., xN แทนขอ้ มลู ให้ x1, x2, x3,..., xn แทนขอ้ มูล
เมอ่ื N แทน ขนาดประชากร
เมื่อ n แทน ขนาดตวั อยา่ ง
= x1 + x2 + x3 + ... + xN
N x = x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
ข้อตกลงทคี่ วรรู้
ใช้สัญลักษณ์ (อ่านว่า ซิกมา) เป็นสัญลักษณ์แสดงการบวก นั่นคือ
x1 + x2 + x3 + ... + xN เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ N xi (อา่ นว่า ซัมเมชนั xi เม่ือ i เท่ากับ 1
i =1
ถงึ N)
ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของประชากร ค่าเฉล่ียเลขคณติ ของตัวอยา่ ง
ให้ x1, x2, x3,..., xN แทนขอ้ มูล ให้ x1, x2, x3,..., xn แทนขอ้ มลู
เมือ่ N แทน ขนาดประชากร เม่ือ n แทน ขนาดตวั อยา่ ง
N n
xi xi
= i=1 x = i=1
N n
หมายเหตุ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้ได้กับข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น แต่ไม่สามารถหา
คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มลู เชิงคุณภาพได้
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
คา่ วัดทางสถติ ิ 2
ตวั อย่างท่ี 1 ทีมฟุตบอลชายของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 24 คน โดยความสูง
(เซนตเิ มตร) ของสมาชิกแต่ละคน แสดงได้ดังน้ี
165 178 170 168 167 167 180 175 181 164 179 158
177 163 165 172 180 191 185 176 175 183 177 179
จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของขอ้ มูลชดุ น้ี
วิธที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ตัวอย่างที่ 2 จากการสมุ่ ตรวจสอบราคาขา้ วสารชนิดถุงละ 5 กโิ ลกรมั ของร้านค้า 10 รา้ น
ปรากฏวา่ ราคาข้าวสารต่อถงุ เป็น ดังนี้
150 , 153 , 170 , 160 , 165 , 180 , 175 , 139 , 145 , 149
จงหาราคาเฉล่ียของข้าวสารชนดิ ถุงละ 5 กิโลกรมั ของรา้ นคา้ เหล่านี้
วิธีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลุม่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วัดทางสถติ ิ 3
ตวั อยา่ งที่ 3 โรงเรียนแห่งหนึ่งกำหนดว่านักเรียนจะได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ ก็ต่อเมื่อ นักเรียน
ไดค้ ะแนนเฉลีย่ จากการสอบย่อย 6 คร้งั ไมต่ ่ำกว่า 75 คะแนน ถ้าคา่ เฉลี่ยเลขคณติ จากการสอบย่อย 5 ครัง้ ของ
นักเรยี นคนหน่งึ เท่ากับ 71 คะแนน จงหาวา่ ในการสอบครง้ั ท่ี 6 นักเรยี นคนน้ีจะตอ้ งสอบให้ได้คะแนนอย่างน้อย
ก่ีคะแนน จงึ จะไดเ้ กรด 4
วธิ ที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ตวั อย่างท่ี 4 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 10 จำนวน หาค่าเฉลีย่ เลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ ได้เท่ากับ 45 แต่ปรากฏ
ว่าผู้คำนวณอ่านค่าผิดไป 2 จำนวน คือ จาก 48 และ 50 แต่ผู้คำนวณอ่านเป็น43 และ 60 ตามลำดับ จงหา
ค่าเฉล่ียเลขคณติ ทถี่ กู ต้องของข้อมลู ชดุ น้ี
วิธีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
คา่ วดั ทางสถิติ 4
ตัวอย่างท่ี 5 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 ที่สุ่มตัวอย่างมาจาก
ห้องหน่งึ จำนวน 11 คน เปน็ ดังนี้
70 72 68 3 71 74 70 67 73 5 78
จงหา
1) คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของข้อมูลชดุ นี้
วธิ ีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
2) ค่านอกเกณฑ์ของข้อมูลชุดนี้
วธิ ีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
3) คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มูลชุดนี้ โดยไม่รวมคา่ นอกเกณฑ์
วิธีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วดั ทางสถติ ิ 5
2. ค่าเฉลยี่ เลขคณิตถว่ งน้ำหนกั ( Weighted Arithmetic Mean )
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก เหมาะสำหรับใช้ในกรณีที่ข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน
เชน่ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของคะแนนสอบ 5 วิชา ซง่ึ แต่ละวชิ ามหี นว่ ยกติ ไม่เทา่ กัน ฉะน้นั การใช้
วิธีการหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตอาจทำให้คา่ ที่ได้นำไปสู่การสรุปที่คลาดเคล่ือนจากความเปน็ จริง เพราะ
ข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน ขึ้นอยู่กับน้ำหนักของแต่ละข้อมูล ฉะนั้นการนำความสำคัญ
ของขอ้ มูลแต่ละคา่ มาคำนวณด้วยจะทำให้ได้ข้อสรปุ ที่ใกล้เคยี งกับความเป็นจริงมากท่ีสดุ
ให้ x1, x2, x3,..., xN แทนข้อมูล เมอื่ N แทน ขนาดประชากร
และให้ w1, w2, w3,..., wN แทนน้ำหนักของขอ้ มูล x1, x2, x3,..., xN ตามลำดบั
คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถ่วงน้ำหนกั = w1x1 + w2x2 + w3x3 + ...+ wN xN
w1 + w2 + w3 + ... + wN
N
wi xi
= i=1
N
wi
i =1
หมายเหตุ กรณีเป็นข้อมูลของตัวอย่าง สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักได้ทำนอง
เดียวกับสูตรข้างต้น โดยเปลี่ยน N เป็น n เมื่อ N แทน ขนาดของประชากร และ n แทน
ขนาดของตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 6 ในการคำนวณเกรดเฉลี่ยของนักเรียนคนหนึ่ง ซึ่งได้ลงทะเบียนเรียนไว้ 4 วิชา
ซง่ึ แตล่ ะวชิ ามหี นว่ ยกติ ไมเ่ ทา่ กนั และไดเ้ กรดแตล่ ะวชิ าเปน็ ดงั น้ี
วชิ า คณศิ าสตร์ ศิลปะ สังคมศึกษาฯ ภาษาจนี
หนว่ ยกิต 2.0 1.5 1.5 1.0
เกรด 3 4 3 3.5
จงหาเกรดเฉลย่ี ของนกั เรยี นคนนี้
วธิ ีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวดั ทางสถติ ิ 6
ตัวอย่างที่ 7 วิชาสถิติมีการสอบ 3 ครั้ง เป็นการสอบย่อย 2 ครั้ง และสอบปลายภาค 1 ครั้ง โดย
คะแนนสอบย่อยแต่ละครั้งคิดเป็นรอ้ ยละ 30 ของคะแนนทั้งหมด และคะแนนสอบปลายภาคคิดเป็นร้อยละ 40
ของคะแนนทั้งหมด ถา้ ภชุ งค์ได้คะแนนสอบย่อย 2 คร้ัง เป็น 65 และ 80 คะแนน และไดค้ ะแนนสอบปลายภาค
75 คะแนน โดยแต่ละครงั้ มคี ะแนนเต็ม 100 คะแนน จงหาคะแนนเฉลย่ี วิชาคณติ ศาสตร์ของภุชงค์
วิธีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ตวั อย่างที่ 8 ในการสอบวิชาทักษะและกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ แบ่งการสอบออกเป็นสอง
ส่วน คือ การสอบปลายภาคและการสอบย่อย 2 ครั้ง ซึ่งการสอบปลายภาคมีการถ่วงน้ำหนักด้วย 3 และการ
สอบยอ่ ยมกี ารถว่ งน้ำหนักดว้ ย 1 ซงึ่ ในการสอบคร้ังนี้มเี ง่ือนไขว่านักศกึ ษาจะสอบผ่านเม่ือมีคะแนนเฉล่ียไม่น้อย
กว่า 65 คะแนน ถา้ พนาสอบปลายภาคได้ 65 คะแนน จากคะแนนเตม็ 100 คะแนน และสอบยอ่ ยไดค้ ะแนน 70
และ 68 จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน จงพิจารณาว่าพนาสอบผ่านวิชาทักษะและกระบวนการคิดทาง
คณิตศาสตร์ หรือไม่
วธิ ีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 7
3. มัธยฐาน ( Median )
มัธยฐาน เป็นค่าที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลเมื่อนำข้อมูลทั้งหมดมาเรียงลำดับจาก
น้อยไปมาก หรอื จากมากไปน้อย
ขนั้ ตอนการหามัธยฐาน
1) เรยี งลำดับขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมากหรอื มากไปน้อย
2) พจิ ารณาตำแหน่งของมัธยฐาน ได้จากตำแหนง่ ที่ n +1
2
- ถา้ n เป็นจำนวนคี่ มธั ยฐานคือข้อมลู ทอ่ี ยกู่ ่ึงกลาง
- ถา้ n เปน็ จำนวนคู่ มัธยฐานคือค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู สองตัวท่ีอยู่กงึ่ กลาง
ตัวอย่างท่ี 9 จากผลการทดสอบทักษะทางดา้ นภาษาของนักเรยี นจำนวน 9 คน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 50
คะแนน แสดงผลไดด้ ังน้ี
45 32 49 25 16 34 29 33 40
จงหามธั ยฐานของข้อมูลชดุ นี้
วธิ ที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ตวั อยา่ งที่ 10 กรมการค้าภายในได้ออกสำรวจราคาเนื้อหมูสันนอก(บาทต่อกิโลกรัม) ในท้องตลาด
ชว่ งเดอื นธนั วาคม โดยสุ่มตรวจจากรา้ นคา้ ในตลาดสดจำนวน 12 รา้ น ไดผ้ ลดงั นี้
120 116 125 118 117 130 126 122 119 116 125 130
จงหามัธยฐานของข้อมลู ชุดนี้
วิธที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
คา่ วัดทางสถิติ 8
4. ฐานนิยม ( Mode )
ฐานนิยมเป็นคา่ ของขอ้ มูลท่มี ีความถี่สงู ทส่ี ดุ ในข้อมลู ชดุ นนั้
ขอ้ ควรรู้ 1) ข้อมลู บางชุดอาจไม่มีฐานนิยม เช่น กรณที ่ีขอ้ มูลมคี วามถ่เี ปน็ 1 เท่ากนั หมด
2) ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า เช่น กรณีที่ข้อมูลกว่า 1 ข้อมูล ที่มี
ความถ่สี ูงสดุ เทา่ กนั
3) ในทน่ี จี้ ะพจิ ารณาเฉพาะชดุ ข้อมูลทม่ี ฐี านนิยมเพียงค่าเดยี ว
ตวั อย่างท่ี 11 จากการศึกษาพฤติกรรมการใช้สื่อสังคมออนไลน์ของนักศึกษากลุ่มหนึ่งจำนวน 20 คน
ปรากฏวา่ นักศึกษาแต่ละคนมรี ะยะเวลา(ชั่วโมง)ในการใชส้ ือ่ สังคมออนไลนต์ อ่ วนั เป็นดงั นี้
58765476789572576334
จงหาฐานนยิ มของข้อมลู ชดุ น้ี
วธิ ที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ตัวอย่างที่ 12 จากการเก็บข้อมลู ของน้ำหนักเดก็ แรกเกดิ (กิโลกรมั ) จำนวน 20 คน 3.6
ที่โรงพยาบาลแห่งหน่ึง เป็นดังนี้ 4.0
4.0 3.5 4.5 3.7 3.0 3.6 3.4 3.1 2.8
2.9 2.7 3.6 4.2 3.5 4.0 3.6 3.7 3.4
จงหาฐานนยิ มของข้อมูลชดุ นี้
วธิ ที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลุม่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวดั ทางสถติ ิ 9
5. การเลือกใช้คา่ กลางของข้อมูลและข้อสังเกตทสี่ ำคัญเก่ียวกับค่ากลางชนดิ ต่าง ๆ
การเลือกใช้ค่ากลางของข้อมูลไม่มีกฎเกณฑ์ที่แน่ชดั แต่ควรเลือกให้เหมาะสมกับวัตถุประสงค์
ในการนำไปใช้และลักษณะของข้อมูล รวมทั้งต้องพิจารณาข้อดีและข้อเสียของค่ากลางแต่ละชนิด
หากเลือกใช้ค่ากลางอย่างไม่เหมาะสม อาจทำให้สรุปผลผิดพลาดหรือคลาดเคลื่อนจากความเป็น
จรงิ ได้
ขอ้ สังเกตทส่ี ำคัญเก่ยี วกับค่ากลางชนิดต่าง ๆ มีดงั น้ี
1) ฐานนยิ มจะมีค่าตรงกับค่าใดค่าหน่ึงของขอ้ มูลชุดน้นั ในขณะทีค่ า่ เฉลี่ยเลขคณติ และมัธยฐาน
อาจไมใ่ ชค่ ่าใดค่าหนึง่ ของข้อมลู ชดุ นนั้
2) โดยปกตคิ า่ เฉลีย่ เลขคณติ มกั เปน็ ค่ากลางท่ีนิยมมากท่ีสดุ แต่ถา้ ชุดข้อมลู มีข้อมลู ท่ีแตกต่างจาก
ขอ้ มูลตัวอืน่ มาก
จะมีผลต่อคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู ชุดน้ี แตจ่ ะไม่มผี ลตอ่ มัธยฐานและฐานนยิ ม
3) สำหรบั ขอ้ มลู เชิงคุณภาพ จะหาคา่ กลางได้เฉพาะฐานนยิ มเท่านนั้
4) คา่ เฉลยี่ เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ มไมจ่ ำเป็นต้องมีค่าเท่ากนั ทั้งน้ี ค่าเฉลย่ี เลขคณิต
และมัธยฐานจะมีค่าที่ไมส่ ูงหรือตำ่ เกินไปเม่ือเทยี บกบั ค่าของข้อมูลทัง้ หมด ในขณะท่ี ฐานนิยม
อาจเป็นค่าสงู สุดหรือตำ่ สดุ ของชดุ ขอ้ มูลนนั้ ได้
ตวั อย่างที่ 13 เงนิ เดือน(บาท) ของพนักงานแห่งหนง่ึ ในบริษัทแหง่ หนงึ่ จำนวนทัง้ หมด 7 คน มีได้ดงั นี้
15,300 16,600 13,450 15,300 14,400 15,300 71,000
จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ มของข้อมลู ชุดนี้ และพจิ ารณาวา่ ควรใชค้ า่ กลางใดเปน็ ตัวแทนของ
ข้อมูลชดุ น้ี
วธิ ีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
ค่าวดั ทางสถิติ 10
ตัวอยา่ งท่ี 14 นกั เรียนคนหน่ึงไดค้ ะแนนสอบย่อยวชิ าคณิตศาสตร์จำนวน 5 ครัง้ ซ่งึ แตล่ ะครง้ั มี
คะแนนเต็มเท่ากัน ดงั น้ี
17 17 17 19 20
จงพิจารณาว่าควรใช้ค่ากลางใดเปน็ ตัวแทนของข้อมูลชดุ น้ี
วธิ ที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
6. ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งการกระจายของข้อมูลและคา่ กลางของข้อมูล
ในการอธบิ ายลักษณะการกระจายของข้อมูล นอกจากจะใชแ้ ผนภาพกลอ่ งในการวเิ คราะห์แล้ว
ยงั สามารถใช้ความสัมพนั ธข์ องค่ากลางของข้อมูลในการอธิบายลักษณะการกระจายของขอ้ มลู ได้
ซง่ึ ในที่น้ีจะแบ่งลกั ษณะการกระจายของข้อมูลเปน็ 3 แบบ ดงั นี้
การแจกแจงสมมาตร
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 11
การแจกแจงเบข้ วา
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
การแจกแจงเบ้ซ้าย
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวดั ทางสถติ ิ 12
ตัวอย่างท่ี 15 แผนภาพลำตน้ และใบตอ่ ไปนี้แสดงคะแนนสอบของผู้สมัครเข้าศึกษาต่อใน
ระดบั ปรญิ ญาโทของคณะวิทยาศาสตร์ ในมหาวทิ ยาลัยแห่งหนงึ่
ลำตน้ ใบ
0468
111235
20446
30112
42223
จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยม พร้อมทงั้ ใชค้ ่ากลางทง้ั สามอธิบายลกั ษณะการกระจาย
ของขอ้ มูล
วธิ ที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วัดทางสถติ ิ 13
ค่าวดั การกระจาย
การวดั การกระจาย เป็นการใช้วิธกี ารทางสถิตปิ ระเภทหนง่ึ ทีค่ ำนวณออกมาเปน็ ตวั เลขเพือ่ ใช้อธบิ าย
ลกั ษณะการกระจายของข้อมูล สำหรับข้อมลู ชดุ หนึ่งท่ีประกอบไปดว้ ยค่าท่ีต่างกนั จะถือว่าเปน็ ข้อมูลที่มีการ
กระจาย ซง่ึ ถา้ ข้อมลู ชุดน้นั ประกอบด้วยข้อมลู ทีม่ ีค่าต่างกนั มาก จะเรยี กวา่ เปน็ ข้อมลู ทมี่ ีการกระจายมาก และ
ถ้าข้อมูลชดุ นนั้ ประกอบด้วยข้อมูลที่มีคา่ ต่างกันน้อย จะเรยี กว่า เปน็ ขอ้ มูลท่ีมีการกระจายนอ้ ย แต่หากข้อมลู ชุด
นั้นประกอบไปดว้ ยค่าท่ีเท่ากันหมด จะเรียกว่า เป็นข้อมลู ท่ีไม่มกี ารกระจาย
พจิ ารณาขอ้ มลู แตล่ ะชุดต่อไปนี้
ขอ้ มูลชุดท่ี ค่าของข้อมลู แต่ละชุด ลกั ษณะการกระจาย
1 40 40 40 40 40 40 ขอ้ มูลที่ไม่มีการกระจาย
2 5 20 15 68 90 85 ข้อมลู ท่ีมกี ารกระจายมาก
3 40 42 45 52 53 55 ข้อมูลท่ีมีการกระจายน้อย
จากการศึกษาเรื่องค่ากลางของข้อมลู ทำใหเ้ ราทราบว่าข้อมูลมีการกระจายแบบใด แต่ไม่เพียงพอที่จะ
วเิ คราะห์ว่าข้อมลู มีการกระจายมากหรือกระจายน้อย และบอกไม่ไดว้ ่าข้อมลู แตล่ ะคา่ หา่ งกันมากหรือน้อย
เพียงใด ข้อมลู ส่วนใหญ่รวมกลมุ่ กันหรือกระจายกันออกไป ฉะนน้ั เพ่ือช่วยให้เหน็ ลกั ษณะของข้อมูลทช่ี ดั เจนข้นึ
และสามารถวเิ คราะห์เกีย่ วกับขอ้ มลู นนั้ ได้มากขึน้ เราจะศึกษาเก่ยี วกับค่าวัดการกระจายของขอ้ มลู เพ่ือใช้
อธบิ ายลักษณะของขอ้ มูลไดเ้ จนมากข้ึน
การวดั การกระจายของข้อมูลแบ่งได้เปน็ 2 วิธี
การกระจายสมั บรู ณ์ การกระจายสัมพทั ธ์
การวัดการกระจายของข้อมูลชุดเดียวเพ่ือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัด
ใช้พิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความ ทางสถติ ทิ ่ไี ม่มหี นว่ ย ซง่ึ เป็นคา่ ที่ใชใ้ นการ
แตกตา่ งกันมากหรอื น้อยเพียงใด ซึ่งเปน็ ค่า เปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูล
วัดทางสถิติที่มีหน่วยเช่นเดียวกับข้อมูล มากกว่า 1 ชุด
หรอื เปน็ กำลงั สองของหนว่ ยของขอ้ มลู
1 พิสัย 1 สมั ประสทิ ธิค์ วามแปรผัน
2 พสิ ัยระหว่างควอร์ไทล์
3 สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน
4 ความแปรปรวน
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวัดทางสถิติ 14
1. การวดั การกระจายสัมบูรณ์
การวัดการกระจายของข้อมูลชุดเดียวเพือ่ ใช้พิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกนั มาก
หรือน้อยเพียงใด ซึ่งเป็นค่าวัดทางสถิติที่มีหน่วยเช่นเดียวกับข้อมูล หรือเป็นกำลังสองของหน่วยของ
ขอ้ มูล
1.1) พิสยั
พิสยั เปน็ ผลตา่ งระหว่างคา่ สูงสดู และค่าต่ำสุดของข้อมลู ชุดน้ัน
กำหนดใหข้ ้อมูลชดุ หน่งึ มี xmin และ xmax เป็นคา่ ต่ำสดุ และค่าสูงสุด ตามลำดับ
พิสัย = xmax − xmix
ตัวอย่างท่ี 16 จากการสำรวจปรมิ าณน้ำฝน (หน่วยเป็นมิลลิเมตร) ที่ตกในบรเิ วณบ้านหลงั หนึง่ เป็นเวลา
10 วนั ได้ผลดงั น้ี
11 , 12 , 10.5 , 1.4 , 3 , 15 , 2.7 , 3.6 , 1.3 , 9
จงหาพสิ ยั ของขอ้ มูลชดุ นี้
วธิ ีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ตัวอย่างท่ี 17 ผลผลิตนำ้ ตาลใน พ.ศ. 2561/62 ของจนี สหรัฐอเมรกิ า ไทย อินเดีย ออสเตรเลยี และ
บราซิล แสดงไดด้ งั นี้
ประเทศ จีน สหรัฐอเมรกิ า ไทย อินเดีย ออสเตรเลยี บราซิล
8.12 14.19 33.07 4.90 29.50
ผลผลติ (ลา้ นตนั ) 10.60
จงหาพิสยั ของขอ้ มูลชุดนี้
วิธที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถิติ 15
ตัวอย่างที่ 18 ข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลอยู่ 3 จำนวน ถ้าข้อมูลชุดนี้มีมัธยฐานเป็น 16 พิสัยเป็น 16 และ
ค่าเฉล่ยี เลขคณิตเป็น 20 จงหาคา่ ท่นี อ้ ยท่ีสุดของขอ้ มลู ชุดนี้
วิธที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ตัวอย่างที่ 19 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 4 คน บุตร 2 คนมีน้ำหนักเท่ากันและมีน้ำหนกั น้อยกวา่ บตุ รอีก 2
คน ถ้านำ้ หนักของบตุ รทัง้ 4 คน มฐี านนยิ ม มธั ยฐาน และพิสยั เท่ากับ 45 , 47.5 และ 7 กโิ ลกรมั ตามลำดับ แลว้
จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของนำ้ หนักของบตุ รทั้ง 4 คน
วิธที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
คา่ วัดทางสถิติ 16
ขอ้ สงั เกตสำหรับพิสยั
1) สามารถหาไดส้ ะดวกและรวดเร็ว
2) เป็นการวดั การกระจายอย่างครา่ ว ๆ เท่านั้น
3) เป็นการวัดการกระจายที่ใช้ค่าของข้อมูลเพียง 2 ค่า คือ ค่าน้อยที่สุด และค่าที่มากที่สุด
เท่านน้ั ไมไ่ ดใ้ ชข้ อ้ มูลอน่ื ๆ ในการคำนวณเลย
4) ถ้าชุดข้อมูลมีข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ำกว่าข้อมูลตัวอื่นมาก อาจทำให้ข้อสรุปของการวัดการ
กระจายคลาดเคลอ่ื น เชน่
พิจารณาขอ้ มลู ทกี่ ำหนดใหต้ อ่ ไปนี้
19 76 78 71 86 78 79 86 85 94 87
จากขอ้ มลู ทีก่ ำหนดใหจ้ ะได้ว่า พสิ ยั ของขอ้ มูลชุดนี้ คือ 94 – 19 = 75
เมื่อพิจารณาจากข้อมูลจะเห็นว่า ข้อมูลส่วนใหญ่มีค่าใกล้เคียงกัน โดยมีค่าตั้งแต่
71 – 94 ยกเว้นข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดคือ 19 แต่พิสัยของข้อมูลชุดนี้ คือ 75 ซึ่งอาจทำให้
เข้าใจวา่ ข้อมลู มีความแตกต่างกนั มาก ซึ่งคลาดเคลื่อนไปจากความเปน็ จรงิ
1.2) พสิ ยั ระหว่างควอร์ไทล์
พิสัยระหวา่ งควอรไ์ ทล์ คือ ผลตา่ งระหว่างควอร์ไทลทีส่ ามและควอร์ไทลท์ ่ีหนึง่ เขียน
แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ IQR
ให้ Q1 และ Q3 เปน็ ควอรไ์ ทลท์ หี่ นงึ่ และควอร์ไทล์ที่สามของข้อมูลชุดหน่งึ
ตามลำดบั จะไดว้ า่
IQR = Q3 − Q1
ขอ้ สังเกตสำหรบั พิสัยระหวา่ งควอรไ์ ทล์
1) เป็นการคำนวณทีใ่ ชค้ ่าเพียง 2 คา่ คอื Q1 และ Q3
2) เหมาะสำหรับการใช้วัดการกระจายของชดุ ขอ้ มูลทีม่ ีค่าแตกตา่ งจากข้อมูลตัวอ่ืนมาก (ชุด
ข้อมูลทมี่ ีค่าสงู กว่าหรือตำ่ กวา่ ข้อมูลตัวอ่ืนมาก) โดยเฉพาะชุดขอ้ มูลทม่ี คี ่านอกเกณฑ์
3) สามารถนำไปใช้ในการตรวจสอบว่าข้อมูลใดเป็นคา่ นอกเกณฑ์ ตามเนอื้ หาในเรือ่ งแผนภาพ
กล่อง นั่นคือ ค่านอกเกณฑ์ คือ ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า Q1 −1.5IQR หรือมากกว่า
Q3 +1.5IQR
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวดั ทางสถติ ิ 17
ตวั อยา่ งที่ 20 จากการสำรวจราคาอาหารตามสั่ง (บาท) ท่ีนักเรียนกลมุ่ หน่ึงซือ้ รับประทานเป็นดังนี้
40 , 42 , 45 , 45 , 47 , 50 , 55 , 57 , 60 , 60 , 65
จงหาพิสยั ระหว่างควอรไ์ ทลข์ องขอ้ มูลชุดนี้
วิธีทำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ตวั อย่างท่ี 21 อุณหภูมิ(องศาเซลเซยี ส)ในหมู่บ้านแหง่ หนึง่ ทางภาคเหนอื ของประเทศไทยซ่ึงวดั ในชว่ งเวลา
เดียวกนั เป็นระยะเวลา 7 วนั ไดผ้ ลดังน้ี
15 , 14 , 17 , 13 , 14 , 18 , 20
จงหาพสิ ัยระหวา่ งควอรไ์ ทล์ของข้อมลู ชุดน้ี
วิธที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วดั ทางสถติ ิ 18
ตวั อยา่ งท่ี 22 ร้านค้าแห่งหนึ่งต้องการวิเคราะห์ข้อมูลการขายสินค้าของร้าน จึงได้บันทึกจำนวนสินค้า
(ช้ิน) ท่ีขายไดใ้ นหนง่ึ วัน โดยสุ่มเกบ็ ข้อมลู เพยี ง 11 วนั ในเดือนทีผ่ า่ นมา แสดงข้อมลู ได้ดังนี้
85 125 30 75 80 65 90 75 78 92 67
จงหาพิสัยและพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ของข้อมูลชุดนี้ และพิจารณาว่าค่าวัดใดที่เหมาะสมสำหรับใช้
อธิบายลกั ษณะการกระจายของข้อมลู ชดุ นี้ พรอ้ มระบุเหตุผลประกอบ
วิธที ำ .....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
ตอบ .....................................................................................................................................................................................................................
ขอ้ สงั เกตทส่ี ำคัญเก่ียวกับพิสยั และพสิ ัยระหวา่ งควอร์ไทล์
พสิ ัย พสิ ัยระหวา่ งควอรไ์ ทล์
อาจใช้เวลาในการคำนวณมากกวา่ พสิ ัย
เหมาะสำหรับการวัดการกระจายอยา่ งคร่าว ๆ
เพอื่ ความรวดเร็ว
ไม่เหมาะสำหรับชุดข้อมลู ท่ีมีค่าสงู กว่าหรือต่ำ เหมาะสำหรับชุดข้อมลู ที่มคี ่าสงู กว่าหรือตำ่ กว่า
กวา่ ขอ้ มูลอ่นื มาก ข้อมูลอื่นมาก (มีค่านอกเกณฑ)์
แต่
การวัดการกระจายทั้งสองวธิ ี ไมไ่ ด้ใช้ข้อมูลทุกตวั ในการคำนวณเพอ่ื วดั การกระจาย
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
คา่ วดั ทางสถติ ิ 19
1.3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน เป็นค่าที่ใช้วดั การกระจายของข้อมูลโดยเปน็ ค่าทบ่ี อกใหท้ ราบว่า
ขอ้ มูลแตล่ ะตัวอยหู่ ่างจากคา่ เฉลี่ยเลขคณิตโดยเฉลี่ยประมาณเทา่ ใด
สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของประชากร สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของกลุ่มตวั อยา่ ง
ให้ x1, x2, x3,..., xN แทนข้อมูล ให้ x1, x2, x3,..., xn แทนข้อมูล
N แทน ขนาดของประชากร และ n แทน ขนาดของประชากร และ
แทน คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มูลชดุ นี้ x แทน คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มูลชุดนี้
N n
( xi − )2 ( xi − x )2
= i=1 s = i=1
N n −1
ตวั อยา่ งท่ี 23 รา้ นขายอุปกรณไ์ ฟฟา้ แหง่ หน่ึงซงึ่ มี 7 สาขา มีนโยบายรับประกันความพึงพอใจ โดย
ลกู คา้ สามารถส่งคืนสนิ ค้าท่ยี ังไม่ได้ใชง้ านภายใน 7 วัน นบั จากวนั ท่ไี ดร้ ับสนิ ค้า เพื่อรับเงินคืนเต็มจำนวน
ถา้ ข้อมูลจำนวนสนิ คา้ (ชนิ้ )ทีล่ ูกคา้ สง่ คนื ในระยะเวลา 1 เดอื น ของ 7 สาขา แสดงได้ดังนี้
8 9 11 12 7 6 10
จงหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดน้ี
วธิ คี ดิ จากการพิจารณาข้อมูลพบวา่ สถานการณ์ในข้อนี้เปน็ การเก็บขอ้ มลู จากหนว่ ยของประชากร
หาค่าเฉล่ียเลขคณิต
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
หาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
xi xi − ( xi − )2 …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
………………………………………………
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
ค่าวดั ทางสถติ ิ 20
ตวั อยา่ งท่ี 24 บรษิ ัทขายอาหารเสรมิ แหง่ หนงึ่ ต้องการวิเคราะหข์ ้อมลู การขายสนิ ค้า จงึ ได้บนั ทึก
จำนวนสนิ ค้า(ช้นิ ) ท่ขี ายไดใ้ นหน่งึ วัน โดยสุม่ เกบ็ ข้อมูลเพยี ง 11 วัน ในหน่งึ เดอื นที่ผ่านมา แสดงขอ้ มลู ไดด้ ังน้ี
85 125 30 75 78 65 88 75 78 92 67
จงหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วิธคี ิด จากการพจิ ารณาขอ้ มลู พบว่าสถานการณ์ในข้อนเ้ี ป็นการเก็บข้อมลู จากหน่วยของ....................................
หาค่าเฉล่ยี เลขคณติ
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
หาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน
xi
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
คา่ วัดทางสถติ ิ 21
ตวั อยา่ งที่ 25 สวนผลไมแ้ ห่งหนึ่งตอ้ งการเก็บผลผลิตมะม่วงน้ำดอกไมส้ ายพันธ์หน่ึงจำหนา่ ยใหก้ ับ
ผบู้ รโิ ภค โดยได้ทำการสุ่มชั่งนำ้ หนกั (กรัม) ของมะมว่ งแต่ละผลจำนวน 9 ผล ไดผ้ ล ดังนี้
410 415 420 430 455 465 425 435 415
จงหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของนำ้ หนักของมะมว่ งทั้ง 9 ผล
วิธีคดิ จากการพจิ ารณาขอ้ มลู พบวา่ สถานการณ์ในข้อนีเ้ ปน็ การเก็บขอ้ มลู จากหน่วยของ....................................
หาค่าเฉล่ียเลขคณิต
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
หาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
xi
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วัดทางสถิติ 22
ตัวอย่างที่ 26 จากการเก็บตัวอยา่ งข้อมูลมา 5 จำนวน โดยกำหนดให้ x1, x2, x3, x4, x5 เป็นขอ้ มูลที่
เรียงลำดับจากน้อยไปมาก ถ้าขอ้ มลู ชดุ นี้มีค่าท่นี ้อยทส่ี ดุ เท่ากับ 7 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
เท่ากับ 4 ถ้ากำหนดตารางแสดงค่าของ xi − x เปน็ ดงั น้ี
i xi − x
1 7−x
2 -3
3 -1
43
56
จงหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตของข้อมลู ชดุ นี้
วธิ คี ิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 23
1.4) ความแปรปรวน
ความแปรปรวน เปน็ ค่าท่ีใชว้ ัดการกระจายของข้อมลู โดยคำนวณจากกำลังสองของสว่ น
เบีย่ งเบนมาตรฐาน
ขอ้ สังเกตท่สี ำคัญ สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานมหี นว่ ยเหมือนกับหนว่ ยของข้อมูล แต่ความ
แปรปรวนมีหน่วยเปน็ กำลงั สองของหน่วยของข้อมลู
ความแปรปรวนของประชากร ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง
ให้ x1, x2, x3,..., xN แทนขอ้ มูล ให้ x1, x2, x3,..., xn แทนขอ้ มูล
N แทน ขนาดของประชากร และ n แทน ขนาดของประชากร และ
แทน คา่ เฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มูลชดุ นี้ x แทน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ นี้
N n
( xi − )2 ( xi − x )2
2 = i=1 s2 = i=1
N n −1
ตวั อย่างที่ 27 ระยะเวลาท่ีใช้ในการผา่ นดา่ นตรวจคนเขา้ เมืองท่าอากาศยานสุวรรณภูมิ (นาท)ี
ของนักท่องเทยี่ วจำนวน 7 คน เป็นดังน้ี
6 7 7 8 9 9 10
จงหาความแปรปรวนของข้อมูลชดุ น้ี
วธิ ีคดิ จากการพจิ ารณาขอ้ มูลพบว่าสถานการณ์ในข้อนี้เป็นการเก็บข้อมูลจากหนว่ ยของประชากร
หาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
หาความแปรปรวน
xi xi − ( xi − )2 …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
………………………………………………
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
ค่าวดั ทางสถติ ิ 24
ตัวอยา่ งท่ี 28 จากการสุ่มตรวจผลผลติ พรกิ ข้หี นสู วน (กโิ ลกรมั ) ท่ีเก็บได้จากสวนพริกของเกษตรกร
รายหนึ่งในแต่ละวนั จำนวน 7 วัน ไดผ้ ลดงั นี้
21 23 22 19 17 18 20
จงหาความแปรปรวนของข้อมลู ชดุ น้ี
วธิ คี ดิ จากการพจิ ารณาขอ้ มลู พบว่าสถานการณ์ในข้อน้ีเปน็ การเก็บข้อมลู จากหนว่ ยของ....................................
หาค่าเฉล่ียเลขคณติ
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
หาความแปรปรวน
xi
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
คา่ วดั ทางสถติ ิ 25
ตวั อยา่ งท่ี 29 ครอบครัวหน่งึ เลีย้ งแมวไวท้ ัง้ หมด 6 ตัว ซ่งึ มอี ายุ 2 , 4 , 5 , 6 , 6 และ 7 ปี
จงหาความแปรปรวนของอายุแมวของครอบครัวน้ี
วธิ ีคิด จากการพจิ ารณาข้อมูลพบว่าสถานการณ์ในข้อน้ีเปน็ การเก็บขอ้ มูลจากหนว่ ยของ....................................
หาคา่ เฉล่ยี เลขคณติ
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
หาความแปรปรวน
xi
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวัดทางสถิติ 26
ตัวอย่างท่ี 30 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบไปด้วย 5 จำนวน พิสัยและฐานนิยมของข้อมูลชุดน้ี
คือ 5 และ 11 ตามลำดับ ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐานซึ่งมีค่าเท่ากับ 9 แล้ว
ความแปรปรวนของข้อมูลชุดน้ีเทา่ กับเทา่ ใด
วธิ ีคิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วดั ทางสถติ ิ 27
2. การวดั การกระจายสมั พัทธ์
การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยคา่ วัดทางสถติ ิท่ีไม่มีหน่วย ซึ่งเป็นค่าทีใ่ ชใ้ นการเปรียบเทยี บ
การกระจายระหว่างขอ้ มลู มากกวา่ 1 ชดุ
2.1) สมั ประสิทธขิ์ องการแปรผนั
สมั ประสิทธก์ิ ารแปรผนั เปน็ อัตราสว่ นระหว่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกับค่าเฉล่ยี เลขคณิตของ
ข้อมูลชุดน้นั เขยี นสัญลักษณ์แทนดว้ ย C.V. (coefficient of variation)
สัมประสิทธก์ิ ารแปรผนั ของประชากร สมั ประสิทธิก์ ารแปรผันของกลมุ่ ตัวอยา่ ง
ให้ แทน สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชดุ หนึ่ง ให้ s แทน ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลชดุ หนงึ่
และ แทน ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู ชุดนี้ และ x แทน ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู ชุดน้ี
C.V. = เมือ่ 0 C.V. = s เม่อื x 0
x
สมั ประสทิ ธ์กิ ารแปรผันอาจเขียนในรูปเปอร์เซน็ ต์ ได้ดงั น้ี
C.V. = 100% เม่อื 0 C.V. = s 100% เมื่อ x 0
x
การเปรียบเทยี บการกระจายขอ้ มลู โดยใชส้ ัมประสทิ ธิ์การแปรผนั นน้ั ถ้าสัมประสทิ ธกิ์ ารแปรผันของ
ขอ้ มูลชุดใดมคี ่ามากกว่า หมายความวา่ ข้อมลู ชุดน้ันมีการกระจายออกจากคา่ เฉลย่ี เลขคณติ มากกว่า หรอื กลา่ ว
ไดว้ า่ ข้อมูลชุดน้ันเกาะกลุ่มกันน้อยกว่าข้อมูลอีกชุดหนง่ึ
การนำสมั ประสิทธก์ิ ารแปรผนั ไปใชป้ ระโยชน์
1) ใช้เปรยี บเทียบการกระจายของข้อมลู ต้ังแต่ 2 ชุด ขึน้ ไปที่มหี นว่ ยตา่ งกนั
2) ใช้เปรยี บเทียบการกระจายของข้อมูล 2 ชุด ที่มีหน่วยเหมือนกนั แต่ขนาดต่างกัน
3) ใชเ้ ปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมูลหลาย ๆ ชุด โดยขอ้ มลู ชุดใดมีคา่ C.V. มาก จะมกี ารกระจาย
มากกว่าขอ้ มลู ชดุ ท่มี คี า่ C.V. นอ้ ย
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
ค่าวดั ทางสถติ ิ 28
ตัวอยา่ งที่ 31 ในการเปรียบเทียบคะแนนสอบวชิ าวิทยาศาสตร์และวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี นห้อง
หนึ่งซ่ึงมีคะแนนเต็มวชิ าละ 100 คะแนน โดยครปู ระจำชัน้ ไดส้ มุ่ ตวั อยา่ งนกั เรยี นหอ้ งนี้มา 8 คน พบวา่ คะแนน
สอบแต่ละวิชาของนกั เรียนแตล่ ะคนเป็น ดังนี้
นักเรียนคนที่ 12345678
คะแนนสอบวิชา 59 54 76 90 81 88 79 81
วิทยาศาสตร์
คะแนนสอบวชิ า 70 74 63 89 75 85 87 73
คณติ ศาสตร์
จงหาสัมประสิทธ์ิการแปรผันของคะแนนสอบวชิ าวิทยาศาสตร์และวิชาคณติ ศาสตรข์ องนักเรยี นที่สุม่ ตวั อย่าง
มา 8 คนนี้ พร้อมท้ังเปรียบเทียบการกระจายของคะแนนสอบทัง้ สองวิชาของนกั เรียนท่ีสุ่มตวั อย่างมา 8 คนน้ี
วธิ ีคดิ หาสมั ประสทิ ธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์
1) หาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของคะแนนสอบวิชาวทิ ยาศาสตร์
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
2) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์
xi xi − x ( xi − x )2
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
ฉะน้นั สัมประสิทธ์กิ ารแปรผันของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ คือ ...........................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 29
หาสมั ประสิทธ์ิการแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์
1) หาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
2) หาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์
xi xi − x ( xi − x )2
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
ฉะน้นั สัมประสิทธก์ิ ารแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ คือ ...........................................................
เปรียบเทียบการกระจายของคะแนนสอบทง้ั สองวิชา
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 30
ตัวอยา่ งท่ี 32 บริษัทแห่งหน่ึงมี 2 แผนก โดยแผนกประชาสัมพนั ธ์และขายสนิ คา้ มีพนกั งานจำนวน
6 คน และ แผนกตรวจสอบสินค้าและจัดส่ง มีพนักงานจำนวน 5 คน ซึ่งอายุของพนักงานในแต่ละแผนกเป็น
ดังนี้
อายุของพนกั งานแผนกประชาสัมพันธแ์ ละขายสินคา้ (ป)ี : 25 27 29 35 32 38
อายขุ องพนกั งานแผนกตรวจสอบสนิ ค้าและจัดส่ง(ป)ี : 29 27 30 25 34
จงเปรียบเทียบการกระจายของอายขุ องพนักงานทั้ง 2 แผนก
วธิ คี ิด หาสมั ประสิทธ์ิการแปรผนั ของอายขุ องพนกั งานแผนกประชาสมั พันธแ์ ละขายสินค้า
1) หาคา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของอายขุ องพนักงานแผนกประชาสมั พันธ์และขายสินคา้
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
2) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายขุ องพนกั งานแผนกประชาสมั พันธแ์ ละขายสนิ คา้
xi xi − ( xi − )2
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
ฉะน้นั สัมประสิทธ์ิการแปรผันของอายุของพนักงานแผนกประชาสมั พนั ธแ์ ละขายสินค้า คอื
.......................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วดั ทางสถิติ 31
หาสัมประสิทธก์ิ ารแปรผันของอายุของพนกั งานแผนกตรวจสอบสินคา้ และจัดสง่
1) หาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของอายุของพนักงานแผนกตรวจสอบสนิ คา้ และจัดสง่
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
2) หาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของอายขุ องพนกั งานแผนกตรวจสอบสินค้าและจดั ส่ง
xi xi − ( xi − )2
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
ฉะนัน้ สมั ประสิทธ์ิการแปรผันของอายขุ องพนักงานแผนกตรวจสอบสินคา้ และจดั สง่ คือ
.......................................................................................................................................................................................
เปรียบเทียบการกระจายของอายขุ องพนักงานทัง้ 2 แผนก
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
คา่ วดั ทางสถติ ิ 32
ตัวอย่างท่ี 33 บริษัทแห่งหนง่ึ ผลิตหลอดภาพโทรทศั น์ 2 ชนิด คือ ชนดิ A และ ชนดิ B
ถ้าหลอดภาพชนดิ A มีอายุการใชง้ านเฉลยี่ 1,495 ชั่วโมง สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 280 ชว่ั โมง
สว่ นหลอดภาพชนดิ B มอี ายุการใชง้ านเฉลยี่ 1,875 ชว่ั โมง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 310 ชั่วโมง
จงพิจารณาวา่ หลอดภาพโทรทศั นช์ นดิ ใดมีการกระจายมากกวา่ กัน และหลอดภาพโทรทศั น์ชนดิ ใดมีอัตราการใช้
งานนานกว่ากัน
วธิ ีคดิ จากข้อมลู ท่โี จทยก์ ำหนดสรปุ ขอ้ มลู ได้ ดงั นี้
ชนดิ หลอดภาพโทรทัศน์ อายกุ ารใช้งานเฉล่ยี ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน
ชนิด A
ชนิด B
หาสัมประสิทธ์กิ ารแปรผันของอายกุ ารใช้งานหลอดภาพชนดิ A
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
หาสมั ประสิทธก์ิ ารแปรผนั ของอายกุ ารใชง้ านหลอดภาพชนิด B
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
ข้อสรุป
.......................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วดั ทางสถิติ 33
ค่าวดั ตำแหน่งที่ของขอ้ มลู
ในการเปรียบเทียบข้อมูลของข้อมูลแต่ละชุดที่มีลักษณะต่างกันจำเป็นจะต้องนำข้อมูลแต่ละชุดนั้นมา
แปลงใหม้ ีลกั ษณะเดยี วกนั กอ่ นจงึ จะสามารถเปรยี บเทียบข้อมลู กนั ได้ โดยใช้วิธีการวัดตำแหน่งทีข่ องข้อมูล
การวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล เป็นการแปลงข้อมูลแต่ละชุดให้อยู่ในลักษณะเดียวกัน เพื่อที่จะสามารถ
เปรียบเทียบข้อมูลระหว่างข้อมูลคนละชุดกันได้ โดยการแปลงข้อมูลมีลักษณะเป็นการแบ่งข้อมูลออกเป็น
ส่วนย่อย ๆ ซงึ่ มที ้งั การแบง่ ออกเปน็ 4 สว่ น 10 ส่วน และ 100 สว่ น
สำหรบั การวดั ตำแหน่งท่ีแบ่งขอ้ มูลออกเปน็ 4 สว่ น เรยี กวา่ ควอรไ์ ทล์
การวัดตำแหน่งท่ีแบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 10 ส่วน เรียกว่า เดไซด์
และ การวัดตำแหน่งท่ีแบง่ ข้อมลู ออกเป็น 100 สว่ น เรียกวา่ เปอร์เซน็ ไทล์
1. ควอรไ์ ทล์ ( quartiles )
เมื่อนำข้อมูลชุดหน่งึ มาแบง่ ข้อมูลออกเป็นสว่ นๆ จำนวน 4 ส่วนเท่าๆกนั โดย เรยี งขอ้ มูลจากคา่ น้อยไป
หาค่ามาก หรอื จากคา่ มากไปหาคา่ น้อย แลว้ จดุ ทแ่ี บง่ ข้อมูล 3 จุด เราจะเรียกวา่ ควอร์ไทลท์ ี่ 1 (Q1) ควอร์
ไทลท์ ่ี 2 (Q2 ) และควอร์ไทลท์ ่ี 3 (Q3 ) ตามลำดบั
น้อย มาก
ขอ้ มูล (Q1) (Q2 ) (Q3 )
ควอรไ์ ทล์ที่ 1 เปน็ คา่ ทมี่ จี ำนวนข้อมลู น้อยกว่าคา่ นีอ้ ยูป่ ระมาณหนึ่งในสข่ี องข้อมูลท้ังหมด หรอื ร้อย
ละ 25
ควอรไ์ ทล์ท่ี 2 เป็นคา่ ท่ีมีจำนวนข้อมลู น้อยกว่าค่านี้อย่ปู ระมาณสองในสี่ของข้อมลู ท้ังหมด หรอื ร้อย
ละ 50 หรอื กลา่ วได้วา่ เปน็ คา่ ท่ีอยู่กึ่งกลางขอ้ มูลทีเ่ รียงแลว้ ดงั นัน้ ควอร์ไทล์ท่ีสองคอื มัธยฐานน่ันเอง
ควอรไ์ ทล์ท่ี 3 เป็นค่าทม่ี จี ำนวนขอ้ มูลน้อยกวา่ ค่านอ้ี ยู่ประมาณสามในสี่ของข้อมูลทงั้ หมด หรือ ร้อย
ละ 75
หลักการหาควอรไ์ ทล์
กำหนดใหข้ ้อมลู มีจำนวน n ค่า
1. เรยี งลำดบั ขอ้ มลู จากค่าน้อยไปหาค่ามาก หรือ จากคา่ มากไปหาค่าน้อย
2. หาตำแหน่งของ Qr จากสตู ร
ตำแหนง่ ของ Qr = r(n +1) ; r 1,2,3
4
3. หาคา่ ของ Qr
- ถา้ ตำแหน่งที่ไดเ้ ปน็ จำนวนเต็ม คา่ ของข้อมลู จะอย่ตู รงกับตำแหนง่ ดังกล่าว
- ถ้าตำแหน่งทไ่ี ด้ไม่เป็นจำนวนเต็ม ใหห้ าควอร์ไทล์ โดยการใชส้ ัดสว่ น หรอื วิธเี ทยี บ
บัญญตั ิไตรยางศ์
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถิติ 34
ตวั อย่างที่ 34 จากการผลสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรยี น 15 คน เปน็ ดังนี้
80 , 67 , 87 , 45 , 65 , 77 , 69 , 80 , 75 , 98 , 84 , 40 , 39 , 59 , 71
จงหาควอรไ์ ทลท์ ี่ 1 ควอร์ไทลท์ ี่ 2 และ ควอร์ไทล์ท่ี 3 ของขอ้ มูลชดุ นี้
วธิ คี ิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
ตัวอย่างที่ 35 พนกั งานในแผนหนง่ึ ของบริษัทขายประกนั มีจำนวน 12 คน ซ่ึงแตล่ ะคนมีอายุ ดังน้ี
25 32 40 29 36 34 26 28 27 33 45 39
จงหาควอรไ์ ทล์ท่ี 1 ควอร์ไทล์ท่ี 2 และ ควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 ของขอ้ มลู ชดุ น้ี
วธิ คี ิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 35
ตวั อยา่ งที่ 36 ในการสอบเข้าศึกษาต่อระดับปริญญาเอกของมหาวิทยาลยั แห่งหนงึ่
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 50 คะแนน โดยมคี นที่เขา้ สอบจำนวน 20 คน ซึง่ แต่ละคนสอบ
ได้คะแนนดังน้ี
42 49 44 38 44 36 35 28 40 41
37 42 26 24 15 36 24 20 46 30
1) จงหาคะแนนท่ีแสดงว่ามีคนประมาณสามในสี่ของคนท่เี ข้าสอบมีคะแนนมากกว่า
วิธีคิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
2) จงหาคะแนนที่แสดงว่ามีคนประมาณสองในส่ีของคนทเ่ี ขา้ สอบมีคะแนนน้อยกวา่
วิธคี ิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
3) จงหาคะแนนที่แสดงวา่ มคี นประมาณ 75 % ของคนท่เี ข้าสอบมคี ะแนนน้อยกวา่
วธิ ีคิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
คา่ วดั ทางสถติ ิ 36
ตัวอย่างท่ี 37 ขอ้ มูลยอดการขายเคร่ืองออกกำลงั กาย (เคร่ือง) ของรา้ นค้าตวั แทนจำหนา่ ยจำนวน
7 ร้าน ในระยะเวลา 1 เดือน แสดงไดด้ งั นี้
ร้านคา้ ตวั แทนจำหน่าย ABCDE FG
ยอดการขายเครอ่ื งออกกำลงั กาย(เคร่ือง) 15 20 12 17 23 22 14
จงหา
1) ควอร์ไทลท์ ่ี 1 ควอร์ไทลท์ ่ี 2 และ ควอร์ไทล์ที่ 3 ของยอดการขายเครื่องออกกำลงั กายของร้านค้า
ตัวแทนจำหน่ายท้งั 7 ร้าน
วิธคี ดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
2) ร้านคา้ ตัวแทนจำหน่ายที่มียอดการขายเครื่องออกกำลงั กายมากกว่าควอร์ไทลที่ 2
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
3) ร้านค้าตวั แทนจำหนา่ ยทมี่ ียอดการขายเครื่องออกกำลังกายน้อยกวา่ ควอร์ไทลที่ 1
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
คา่ วัดทางสถิติ 37
2. เดไซด์ ( deciles )
เมอ่ื นำข้อมูลชดุ หนึ่งมาแบง่ ข้อมูลออกเป็นส่วน ๆ จำนวน 10 สว่ นเท่า ๆ กัน โดยเรยี งข้อมลู จากค่าน้อย
ไปหาคา่ มาก หรอื จากคา่ มากไปหาค่าน้อย แลว้ จุดที่แบง่ ขอ้ มลู 9 จุด เราจะเรยี กว่า เดไซด์ที่ 1 (D1)
เดไซด์ที่ 2 (D2 ) … เดไซด์ที่ 9 (D9 ) ตามลำดบั
น้อย มาก
ขอ้ มลู ( D1 ) ( D2 ) ( D3 ) ( D4 ) ( D5 ) ( D6 ) ( D7 ) ( D8 ) ( D9 )
เดไซด์ที่ r (Dr ) คอื ค่าทมี่ ีจำนวนข้อมลู น้อยกวา่ ค่านี้อยู่ประมาณ r ใน 10 ของจำนวนข้อมูลท้ังหมด
เช่น เดไซด์ท่ี 1 (D1) คือ ค่าท่มี จี ำนวนข้อมลู น้อยกว่าค่าน้ีอยปู่ ระมาณ 1 ใน 10 ของจำนวนข้อมลู ท้ังหมด
เดไซด์ท่ี 7 (D7 ) คอื ค่าที่มจี ำนวนข้อมลู นอ้ ยกว่าคา่ น้ีอยู่ประมาณ 7 ใน 10 ของจำนวนข้อมูลทงั้ หมด
*** เดไซด์ที่ 5 (D5 ) คอื คา่ ท่ีมีจำนวนข้อมลู นอ้ ยกว่าคา่ น้ีอยปู่ ระมาณ 5 ใน 10 ของจำนวนขอ้ มูล
ท้ังหมดหรือกลา่ วได้ว่าเปน็ ค่าทีอ่ ยูก่ ึ่งกลางข้อมลู ทีเ่ รยี งแลว้ ดงั นัน้ เดไซดท์ ่ี 5 คือ มัธยฐานนนั่ เอง
หลกั การหาเดไซด์
กำหนดใหข้ ้อมลู มีจำนวน n ค่า
1. เรียงลำดับขอ้ มูลจากค่าน้อยไปหาค่ามาก หรอื จากคา่ มากไปหาค่านอ้ ย
2. หาตำแหน่งของ Dr จากสตู ร
ตำแหน่งของ Dr = r(n +1) ; r 1,2,3,,9
10
3. หาคา่ ของ Dr
- ถา้ ตำแหนง่ ทไี่ ดเ้ ป็นจำนวนเต็ม คา่ ของข้อมูลจะอยู่ตรงกบั ตำแหน่งดงั กล่าว
- ถ้าตำแหนง่ ที่ได้ไม่เปน็ จำนวนเต็ม ใหห้ าเดไซดโ์ ดยการใชส้ ดั สว่ น หรือวธิ ีเทียบบัญญัติไตรยางศ์
ตวั อย่างที่ 38 จากการเก็บข้อมลู จำนวนวันลาในรอบ 6 เดือน ของพนักงานในบริษัทแหง่ หน่ึงจำนวน
19 คน แสดงไดด้ งั น้ี
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 38
15 12 8 9 11 10 7 8 12 6
5 3 7 8 10 7 8 6 11
จงหา เดไซด์ท่ี 2 และเดไซด์ที่ 9 ของข้อมูลชุดน้ี
วธิ ีคดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
ตวั อยา่ งท่ี 39 ในการสำรวจเงินออมของนักเรียนแตล่ ะคนในหน่ึงสัปดาหข์ องนักเรยี น
ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 3 จำนวน 25 เปน็ ดังนี้
45 50 65 35 50 70 63 42 25 36 35 26 35 39
42 46 35 29 27 26 45 15 24 50 40
จงหา เดไซดท์ ี่ 3 และเดไซด์ท่ี 8 ของขอ้ มูลชดุ น้ี
วธิ คี ดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
คา่ วดั ทางสถติ ิ 39
ตวั อยา่ งที่ 40 คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียน 40 คน ในโรงเรียนแหง่ หนึง่ เป็นดังนี้
48 40 22 27 43 50 65 80 55
57 35 16 17 38 37 47 56 47 55
46 50 40 42 25 23 60 62 44 52
49 78 52 30 74 32 69 53 46 35
44
1) จงหาคะแนนท่ีแสดงวา่ มนี ักเรียนประมาณส่ีในสบิ ที่ได้คะแนนต่ำกว่าคะแนนน้ี
วธิ ีคิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
2) จงหาคะแนนที่แสดงวา่ มีนักเรียนประมาณแปดในสิบท่ีไดค้ ะแนนสูงกว่าคะแนนน้ี
วิธีคิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
3) จงหาคะแนนที่แสดงว่ามีนักเรียนอยู่ 1 ใน 2 ที่ได้คะแนนสูงกวา่ คะแนนนี้
วิธคี ิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 40
ตวั อยา่ งท่ี 41 ร้านขายไอศกรีมแห่งหนงึ่ ได้ทำการเก็บขอ้ มลู จำนวนลกู คา้ (คน) ที่ส่ังไอศกรมี รสชาติ
ต่าง ๆ ของทางรา้ นในระยะเวลาหนึง่ เดือน แสดงไดด้ งั นี้
รสชาตขิ องไอศกรมี จำนวนลกู ค้า (คน)
มะนาว เชอร์เบท 59
สตรอเบอร์ร่ี 78
ช็อกโกแลต 95
วานลิ ลา 74
แคนตาลปู 54
ทุเรียน 59
มิดไนทบ์ ราวนสี ์ 99
มะมว่ ง 82
ชอ็ คโกแลตชิพ 76
รมั ลกู เกด 45
ม๊อคคา่ 72
แอปเป้ลิ แกรนเบอรร์ ่ี 62
บลเู บอร์รี่ชีสเคก้ 52
มัทฉะกรนี ที 69
มิน้ ทช์ ็อกโกแลต 36
1) จงหารสชาตขิ องไอศกรมี ที่มีจำนวนลูกคา้ ส่ังน้อยกว่าเดไซด์ท่ี 3
วธิ คี ิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
2) จงรสชาตขิ องไอศกรีมทมี่ ีจำนวนลกู คา้ ส่ังมากกว่าเดไซด์ที่ 8
วธิ ีคดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครูกลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
คา่ วัดทางสถติ ิ 41
3. เปอร์เซ็นไทล์ ( percentiles )
เมอื่ นำขอ้ มูลชุดหนึง่ มาแบ่งข้อมูลออกเปน็ ส่วนๆ จำนวน 100 ส่วนเท่าๆกัน โดย เรยี งข้อมูลจากคา่ น้อย
ไปหาค่ามาก หรอื จากคา่ มากไปหาค่าน้อย แล้วจุดที่แบ่งขอ้ มูล 99 จดุ เราจะเรียกว่า เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 1 (P1)
เปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ี 2 (P2 ) เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 3 (P3 ) … เปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ 99 (P99 ) ตามลำดับ
น้อย มาก
( P1 ) ( P10 ) ( P20 ) ( P30 ) ( P40 ) ( P50 ) ( P60 ) ( P70 ) ( P80 ) ( P90 ) ( P99 )
เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี r (Pr ) คอื ค่าท่มี จี ำนวนข้อมูลน้อยค่านอ้ี ยู่ประมาณ r ใน 100 ของจำนวนข้อมลู ท้งั หมด
เช่น เปอรเ์ ซน็ ไทล์ที่ 5 (P5 ) คอื ค่าทีม่ จี ำนวนข้อมลู นอ้ ยคา่ น้ีอยู่ประมาณ 5 ใน 100 ของจำนวนข้อมูลท้งั หมด
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 30 (P30 ) คอื ค่าทม่ี จี ำนวนข้อมลู นอ้ ยคา่ น้ีอยู่ประมาณ 30 ใน 100 ของจำนวนข้อมูล
ทงั้ หมด
เปอร์เซน็ ไทล์ที่ 65 (P65 ) คือ ค่าทีม่ จี ำนวนข้อมลู นอ้ ยคา่ นี้อยู่ประมาณ 65 ใน 100 ของจำนวนขอ้ มลู
ทัง้ หมด
*** เปอรเ์ ซ็นไทล์ ที่ 50 (P50 ) คอื ค่าที่มจี ำนวนข้อมูลน้อยกวา่ คา่ นอี้ ยปู่ ระมาณ 50 ใน 100
ของจำนวนข้อมลู ทั้งหมดหรือกลา่ วไดว้ า่ เปน็ ค่าท่อี ยู่ก่งึ กลางขอ้ มูลทเ่ี รียงแลว้ ดงั น้ัน เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 50
คอื มัธยฐานนน่ั เอง
หลกั การหาเปอรเ์ ซน็ ไทล์
กำหนดใหข้ ้อมลู มีจำนวน n ค่า
1. เรยี งลำดบั ขอ้ มลู จากค่าน้อยไปหาคา่ มาก หรอื จากค่ามากไปหาคา่ นอ้ ย
2. หาตำแหนง่ ของ Pr จากสตู ร
ตำแหน่งของ Pr = r(n +1) ; r 1,2,3,,99
100
3. หาคา่ ของ Pr
- ถา้ ตำแหนง่ ทไี่ ด้เปน็ จำนวนเต็ม ค่าของข้อมูลจะอยตู่ รงกบั ตำแหนง่ ดงั กลา่ ว
- ถ้าตำแหน่งทไ่ี ด้ไมเ่ ป็นจำนวนเตม็ ให้หาเปอรเ์ ซน็ ไทล์ โดยการใช้สัดสว่ นหรือวิธเี ทียบ
บัญญัติไตรยางศ์
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถิติ 42
ตวั อย่างที่ 42 ในการสำรวจเงนิ ออมของนักเรียนแต่ละคนในหน่ึงสปั ดาหข์ องนักเรียนช้นั ม.3 42
จำนวน 25 เป็นดังน้ี
45 50 65 35 50 70 63 42 25 36 35 39
46 35 29 27 26 45 15 35 26 24 50 40
จงหาเปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ 30 เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ 65 และ เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 75 ของข้อมูลชดุ น้ี
วธิ คี ดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
ตัวอยา่ งท่ี 43 ในการบันทึกข้อมลู ผลผลิตส้ม (กโิ ลกรมั ) ทเ่ี จ้าของสวนแตล่ ะสวนนำมาส่งให้กับ
พ่อค้าคนกลางทตี่ ลาดแห่งหนึ่งใน 1 วัน เปน็ ดงั นี้
120 150 95 80 75 100 90 85 80 95
140 65 86 78 88 95 86 92 83 75
100 95 98 86 87 95 84 96 85 75
จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ 40 และ เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 80 ของข้อมลู ชดุ น้ี
วิธีคิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วัดทางสถิติ 43
ตวั อยา่ งท่ี 44 ขอ้ มลู การลงทะเบยี นเรยี นในวิชาเลอื กเสรีของนักศึกษาในคณะศลิ ปกรรมศาสตร์ของ
มหาวิทยาลัยแห่งหน่งึ เปน็ ดังน้ี
วชิ าเลอื กเสรี จำนวนนักศกึ ษาทล่ี งทะเบียนเรยี น(คน)
ผ้นู ำนนั ทนาการ 225
ศลิ ปะการถ่ายภาพ 190
ทักษะการคดิ นอกกรอบ 175
อารมณ์และการจดั การความเครียด 150
ศลิ ปะการพูดและการนำเสนอ 260
การพัฒนาทมี งาน 233
ศิลปะการเลา่ เรื่อง 186
จติ วทิ ยาเพือ่ พัฒนาคุณภาพชีวิต 135
เกมเบ็ดเตล็ด 255
ภาษาจนี เพ่ือการส่ือสาร 122
1) จงหาเปอร์เซน็ ไทล์ที่ 30 และของจำนวนนกั ศึกษาทีล่ งทะเบียนเรยี นในวชิ าเลอื กเสรี
วิธคี ิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตร์คลองหลวงวิทยาคม
ค่าวดั ทางสถติ ิ 44
2) จงหาเปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 80 ของจำนวนนักศึกษาท่ีลงทะเบียนเรียนในวิชาเลอื กเสรี
วธิ ีคดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
3) ถ้ามหาวทิ ยาลัยแห่งน้ตี ้องการปดิ วชิ าเลอื กเสรที ี่มีจำนวนนกั ศึกษาลงทะเบยี นน้อยกว่าเปอรเ์ ซน็ ไทล์
ที่ 25 ในปกี ารศึกษาหนา้ แล้วจะมวี ชิ าใดบ้างท่ีถกู ปิดวิชาเลือกเสรใี นปีการศึกษาหน้า
วธิ คี ิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวัดทางสถิติ 45
ตวั อยา่ งที่ 45 รายได้ตอ่ เดือน (ร้อยบาท) ของพนกั งานในบริษัทแหง่ หน่งึ จำนวน 44 คน เป็นดังนี้
130 125 121 100 96 128 76 78 103 100 55
62 151 142 71 74 66 142 136 85 81 105
145 110 107 80 76 144 98 101 122 123 150
118 95 60 132 134 114 116 124 95 90 96
1) จงหาเปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ี 60
วธิ คี ดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
2) จงหารายไดต้ ่อเดือนที่มีพนักงานประมาณหน่งึ ในห้าของพนกั งานทัง้ หมดไดร้ ายไดส้ ูงกว่า
วิธีคดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 46
3) จงหารายไดต้ ่อเดือนที่มพี นกั งานประมาณสามในส่ขี องพนกั งานทัง้ หมดได้รายได้ตำ่ กวา่
วิธีคิด ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
4) จงหารายได้ต่อเดือนท่ีมีพนกั งานประมาณร้อยละ 40 ของพนักงานทัง้ หมดไดร้ ายไดต้ ่ำกวา่
วธิ ีคดิ ................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
ตอบ ......................................................................................................................................................................................................................
นายวสันต์ เปรมทวี ครกู ล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วัดทางสถติ ิ 47
ความสมั พนั ธข์ องควอรไ์ ทล์ เดไซด์ และเปอร์เซน็ ไทล์ มาก
น้อย
ขอ้ มลู ( 1) ( 25) ( 50) ( 75) ( 99)
ข้อมลู ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9)
ขอ้ มลู ( 1) ( 2) ( 3)
สรุปหลกั การหาควอรไ์ ทล์ เดไซด์ และเปอร์เซน็ ไทล์
การหาควอร์ไทล์ เดไซด์ และเปอร์เซ็นไทล์มหี ลกั การหา ดงั นี้
กำหนดให้ข้อมูลมีจำนวน n ค่า
1. เรยี งลำดับข้อมูลจากค่านอ้ ยไปหาค่ามาก หรือ จากคา่ มากไปหาค่าน้อย
2. หาตำแหน่งของ Qr , Dr และ Pr จากสูตร
; r 1,2,3
ตำแหนง่ ของ Qr = r(n +1)
; r 1,2,3,,9
4
r(n +1) ; r 1,2,3,,99
ตำแหน่งของ Dr =
10
r(n +1)
ตำแหนง่ ของ Pr =
100
3. หาค่าของ Qr , Dr และ Pr
- ถ้าตำแหน่งที่ไดเ้ ปน็ จำนวนเต็ม ค่าของข้อมูลจะอยตู่ รงกบั ตำแหน่งดังกล่าว
- ถา้ ตำแหน่งท่ีได้ไมเ่ ป็นจำนวนเตม็ ใหห้ าควอร์ไทล์ เดไซด์ และ เปอร์เซ็นไทล์ โดยการใช้
สัดส่วน หรอื วิธเี ทียบบัญญัติไตรยางศ์
- ถ้าตำแหนง่ ทไี่ ด้ไม่เปน็ จำนวนเตม็ ใชส้ ูตรความสมั พันธ์ดังนี้
ตำแหนง่ ที่ n ตำแหนง่ ของ Qr , Dr หรอื Pr ตำแหนง่ ท่ี n +1
ทตี่ ้องการ เมื่อ n r n +1
ขอ้ มลู ตำแหนง่ ที่ n ค่าของ Qr , Dr หรือ Pr ขอ้ มลู ตำแหน่งท่ี n +1
Qr ,Dr หรอื Pr = ข้อมูลตำแหนง่ ท่ี n + (ผลตา่ งของ n และ r)(ผลตา่ งของข้อมลู ตำแหนง่ ท่ี n และ n+1)
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตร์คลองหลวงวทิ ยาคม
คา่ วัดทางสถติ ิ 48
แบบฝกึ เสรมิ ประสบการณ์ เรือ่ ง คา่ วัดทางสถติ ิ
1. ถ้าข้อมูลชุดหน่งึ ประกอบด้วย 10 , 12 , 15 , 13 และ 10
ขอ้ ความในข้อใดต่อไปนีเ้ ป็นเทจ็ สำหรับข้อมลู ชดุ น้ี (O – Net’48)
1) มัธยฐาน เทา่ กับ 12 2) ฐานนิยม นอ้ ยกว่า 12
3) ฐานนยิ ม น้อยกวา่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 4) ค่าเฉล่ียเลขคณิต มากกว่า 12
2. เมอื่ พจิ ารณาผลการสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 39 คน พบว่า เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 25 ของคะแนน
สอบเทา่ กับ 35 คะแนน และมีนักเรียน 30 คน ได้คะแนนน้อยกว่าหรือเทา่ กบั 80 คะแนน ถ้ามีนกั เรียน
ท่สี อบได้ 35 คะแนน เพยี งคนเดยี ว แลว้ จำนวนนกั เรยี นท่สี อบได้คะแนนในช่วง 35 – 80 เทา่ กบั ข้อใด
(O – Net’48)
1) 18 คน 2) 19 คน
3) 20 คน 4) 21 คน
3. ถ้านำ้ หนัก (กโิ ลกรัม) ของนักเรยี น 2 กลุ่ม ๆ ละ 6 คน เขยี นเปน็ แผนภาพต้น - ใบ ได้ดงั นี้
นักเรียนกลมุ่ ที่ 1 นักเรียนกล่มุ ท่ี 2
864349
8664224
50
ข้อสรปุ ในข้อใดต่อไปนีถ้ ูกต้อง (O – Net’48)
1) นำ้ หนักเฉล่ียของนักเรียนกลมุ่ ท่ี 2 มากกวา่ นำ้ หนกั เฉลีย่ ของนกั เรยี นกลมุ่ ที่ 1
2) ฐานนยิ มของน้ำหนกั ของนักเรยี นกลุ่มท่ี 2 มากกว่าฐานนยิ มของนำ้ หนกั ของนักเรียนกลุ่มที่ 1
3) มัธยฐานของนำ้ หนักของนักเรียนกลุ่มที่ 2 มากกว่ามัธยฐานของนำ้ หนักของนักเรียนกลุม่ ที่ 1
4) มธั ยฐานของน้ำหนักของนักเรียนทงั้ หมด มากกวา่ มธั ยฐานของนำ้ หนกั ของนักเรียนกลุ่มที่ 1
4. ขอ้ มูลชุดหนง่ึ ประกอบไปดว้ ย 19 จำนวน ต่อไปน้ี
6 8 9 12 12 15 15 16 18 19
20 20 21 22 23 24 25 30 30
ควอร์ไทล์ท่ี 3 มีค่าต่างจากเปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 45 เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (O – Net’49)
1) 4 2) 5
3) 6 4) 7
นายวสันต์ เปรมทวี ครูกลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
ค่าวัดทางสถติ ิ 49
5. ผลการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนายคณติ ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เปน็ ดงั นี้
รหัสวชิ า ค41101 ค42101 ค41102 ค41202
1.5
จำนวนหน่วยกติ 1 1.5 1 2
เกรด 2.5 3 3.5
เกรดเฉล่ยี ของวิชาคณติ ศาสตร์ของนายคณิต ในชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (O – Net’49)
1) 2.60 2) 2.65
3) 2.70 4) 2.75
6. กำหนดให้ข้อมลู ชุดหนงึ่ คือ 10 , 3 , x , 6 , 6 ถา้ ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ มคี า่ เทา่ กบั
มัธยฐาน แลว้ x มีค่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (O – Net’49)
1) 3 2) 4
3) 5 4) 6
7. แผนภาพต้น - ใบ ของขอ้ มลู แสดงน้ำหนกั (กโิ ลกรมั ) ของนักเรียนกลมุ่ หนงึ่ เป็นดังน้ี
4210
508322
60314
เม่อื สมุ่ นักเรียนมา 1 คน จากกลุ่มนี้ ความน่าจะเป็นท่ีจะได้นักเรยี นทม่ี นี ำ้ หนักนอ้ ยกวา่ ฐานนิยมของ
กลุ่มมีคา่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (O – Net’49)
1) 1 2) 1
4 3
3) 5 4) 1
12 2
8. ข้อมูลชุดหนงึ่ มี 5 จำนวน ถา้ ควอรไ์ ทล์ท่หี น่ึง ควอร์ไทล์ทสี่ อง และควอร์ไทลท์ ีส่ าม เท่ากับ 18 , 25
และ 28 ตามลำดบั แลว้ ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมลู ชุดนี้เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (O – Net’49)
1) 23.4 2) 23.7
3) 24.0 4) 24.3
นายวสนั ต์ เปรมทวี ครกู ล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นธรรมศาสตรค์ ลองหลวงวิทยาคม
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search