Matematika Peminatan KLS 12 MIPA

BAB 1

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Limit Peta Konsep
Fungsi Trigonometri
Grafik
fungsi trigonometri
Pengertian Limit Melalui
Pengamatan Grafik Fungsi

Pemahaman Secara Intuisi
Limit Trigonometri

Menyelesaikan Limit Fungsi
Trigonometri

Rumus dasar Limit Fungsi Metode
Trigonometri Menyederhanakan

Metode Substitusi Langsung
Dan Pemfaktoran

Kata Kunci :
Grafik Fungsi Trigonometri, Definisi Limit Trigonometri, Metode Substitusi, Pemfaktoran
dan Menyederhanakan

1 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Kompetensi Dasar Materi Kegiatan Pembelajaran Masih ingatkah anda definisi
Pembelajaran yang telah dipelajari dalam
3.1 Menjelaskan matematika wajib kelas X ?
dan Limit fungsi  Mencermati gambar yang
menentukan Limit suatu fungsi aljabar.
limit fungsi Trigonometri berkaitan dengan limit
trigonometri
fungsi trigonometri.
4.1 Menyelesaikan
masalah  Menyelesaikan masalah Limit fungsi:
berkaitan
dengan limit yang berkaitan dengan limit Suatu limit f(x) dikatakan
fungsi mendekati a {f(x), a} sebagai
trigonometri fungsi trigonometri. suatu limit.

 Menerapkan limit fungsi

trigonometri dalam

pemecahan masalah. Bila x mendekati a {x → a},

 Mempresentasikan gambar Dinotasikan Lim F(x) = L

yang berkaitan dengan limit

fungsi trigonometri Limit fungsi bagian dari

 Mempresentasikan pengantar kalkulus (hitungan

pemecahan masalah yang diferensial dan integral),

berkaitan dengan limit namun dasar kalkuls yang

fungsi trigonometri disefinisikan Augustin-Louis

 Mempresentasikan Cauchy 1789-1857)

penerapan limit fungsi berkebangsaan prancis

trigonometridalam

pemecahan masalah.

Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi di suatu titik, yaitu :

1) Pengamatan grafik di sekitar titik yang di tinjau. Dapat diseskripsikan menggunakan
alat peraga dua buah potongan kawat dan satu lembar film tipis. Film ini ditempatkan
vertikal/tegak lurus terhadap sumbu x dengan arah permukaaannya menghadap ke
kanan dan ke kiri.

2) Perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Dapat dipahami dengan
cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.

Pada pokok bahasan ini kita akan membicarakan cara Limit fungsi trigonometri
terutama menjelaskan, menentukan dan menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Kami
menganggap pembaca telah mengenal trigonometri dan akraf dengan definisi fungsi
trigonometri yang berdasarkan sudut dan segitiga siku-siku.

Mengingat petingnya memahami limit trigonometri alangkah baiknya kita
dingingatkan kembali dengan sifat-sifat dasar sinus dan cosinus serta grafik fungsi
trigonometri berikut ini:

 sin(x  2 )  sin x , cos(x  2 )  cos x

 sin(x)  sin x , cos(x)  cos x

   x)  cos x,   x)  sin x
sin( cos(
2 2

2 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

A. Grafik Fungsi Trigonometri

Sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x). Pasangan-pasangan (x, f(x)) merupakan koordinat
titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi f. Koordinat titik-titik yang diperoleh dihubungkan
sehingga terbentuk kurva mulus.

Berikut ini adalah grafik fungsi di bawah ini untuk syarat 0 ≤ x ≤ 360o!

a. y = sin x b. y = cos x c. y = tan x

Penyelesaian :

a. y = sin x

Gambar 1.1

b. y = cos x

Gambar 1.2

c. y = tan x

Gambar 1.3

Bahkan dengan pengamatan sekilas saja kita dapat melihat empat hal tentang grafik-grafik ini:
1) Sin x dan cos x keduanya berkisar antara -1 dan 1
2) Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan sepanjang 2π.
3) Grafik y = sin x simetris terhadap titik asal, y = cos x simetris terhadap sumbu y



4) Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser satuan ke kanan
2

3 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

B. Pengertian Limit Fungsi Melalui Pengamatan Grafik Fungsi

Percobaan sebuah film tipis ditempatkan tegak lurus (vertikal) terhadap sumbu x dengan
arah permukaan menghadap kekanan dan kekiri. Kawat 1 berada disebelah kiri film dan kawat 2
berada disebelah kanan film. Kedua kawat ini digerakan vertikal ke atas dan ke bawah atau
horizontal ke kanan dan ke kiri mendekati film, seperti gambar berikut ini:

a) lim f (x)  L1 , lim f (x)  L2 dan L1  L2 b) lim f (x)  L1 , lim f (x)  L2 & L1  L2
xa xa
xa xa

Gambar 1.4

penjelasan point :

a. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama dengan L

b. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada

lim f (x)  L1, tetapi lim f (x) tidak ada maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada

xa xa

Gambar 1.5

lim f (x) tidak ada, tetapi lim f (x)  L2 maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada

xa xa

Gambar 1.6

4 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

lim f (x) tidak ada, tetapi lim f (x) tidak ada maka limit f(x) untuk x mendekati a tidak ada
xa xa

Gambar 1.7

Suatu seketika titik ujung kawat menyatukan film, sehingga dapat diperkirakan

berapa tinggi titik ujung kawat terhadap sumbu x. Untuk memperkirakan ketinggian itu,

bentuk kawat dapat dianggap sebagai grafik fungsi y = f (x) dalam daerah asal x < a, x >a

dan posisi film sebagai garis tegak dengan persamaan x = a.

Dalam matematika, perkiraan ketinggian ujung kawat terhadap sumbu x di
ucapkan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan maupun kiri
(tergantung titik ujung kawat yg digerakan dari arah mana). Misalkan bahwa ketinggian
yang diperkirakan itu adalah L1 dan L2 , maka notasi singkat limit dapat dirangkum dengan
daftar seperti diperlihatkan pada tabel 1.1 berikut ini:

Kegiatan 1.1

Menjelaskan dengan mencermati gambaran berkaitan dengan limit
Tabel 1.1 Hasil Pengamatan grafik diatas dapat dirangkum pada tabel 1.1 berikut :

No Limit kiri lim f (x) Limit Kanan lim f (x) lim f (x)
Gambar xa xa
xa

1.4 a Ada, nilai L1 Ada, nilai L2 Ada nilai L ,karena L1  L2  L

1.4 b Ada, nilai L1 Ada, nilai L2 ..............., L1  L2

1.5 a,b Ada, nilai L1 ............... ...............

1.6 a,b ............... Ada, nilai L2 ...............

1.7a,b,c,d ............... ............... ...............

Berdasarkan deskripsi di atas, ada atau tidak adanya nilai limit suatu fungsi di suatu titik

bila peubahnya mendekati titik itu dapat didefinisikan dengan menggunakan konsep limit

kiri lim f (x) dan limit kanan lim f (x) sebagai berikut.
xa xa

Definisi :

Suatu fungsi f(x) di definisikan untuk x di sekitar a, maka lim f (x)  L jika dan hanya
xa

jika lim f (x)  lim f (x)  L
xa xa

5 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

C. Pemahaman Secara Intuisi Limit Fungsi Trigonometri Melalui Perhitungan

Pengertian limit fungsi trigonometri di suatu titik dapat pula di pahami dengan cara
menhitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Misal suatu fungsi f (x), akan ditentukan
nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara membuat
daftar nilai-nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x mendekati a. Perhatikan soal berikut ini:

Kegiatan 1.2

Menentukan dan menjelaskan limit fungsi trigonometri di sekitar titik

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri soal dibawah ini:

1) Cari lim sin x  ...
x0 x

Penyelesaian :
Tidak ada muslihat aljabar yang akan menyederhanakan penyelesaian persamaan ini, tentu saja
kita tidak bisa mencoret x. Kalkulator akan menolong kita memperoleh gagasan tentang limit itu,
Gunakan kalkulator anda (mode radian) untuk memeriksa nilai-nilai pada tabel 1.2berikut ini:

X 1 0,5 0,1 0,01 → 0 ← -0,01 -0,1 -0,5 -1
sin x
... ... ... ... ... ? ... 0,99998 0,99833 0,95885 0,84147
x

Kesimpulan yang diperoleh bahwa : lim sin x  ....
x0 x

Ternyata keadaan tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh kita,
demikian juga dengan intuisi kita. Perhatikan contoh berikut :

2) Cari lim  x 2  cos x   ...
 10.000 
x0

Penyelesaian :

Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel yang diperlihatkan pada tabel dibawah

ini. Kesimpulan yang disarankan adalah bahwa limit yang diinginkan adalah 0. Tetapi itu salah, Jika

kita ingat kembali grafik y = cos x, kita sadari bahwa cos x mendekati 1 untuk x mendekati 0. Jadi

nilai limit fungsi trigonometri dapat dilihat pada tabel 1.3 berikut ini:

x ±1 ±0,5 ±0,1 ±0,01 → 0

 x 2  cos x  0,99995 0,24991 0,009990 0,000000005 ... ?
 10.000 

Kesimpulan yang diperoleh bahwa :

lxim0  x 2  cos x   lim ....2  ....  ...
10.000  lim
x0 x0 .....

Perhatikan contoh berikut ini yang mengetengahkan pertanyaan rumit tentang limit. Anda

di minta menentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan menentukan nilai-nilai x yang

mendekati 0 (gunakan kalkulator.

3) Cari lim sin 1   ...
x0  x 

Penyelesaian :

6 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel untuk menghitung nilai 1 pada
sin( )
x

semua nilai x pada tabel 1.4 yang diperlihatkanberikut ini:

X 22 2 2 2 2 2 2 →0

 2 3 4 5 6 7 8

sin 1  1 0 -1 0 ... ... ... ... ... ?
x

Berdasarkan tabel menunjukan bahwa nilai selalu berulang antara -1 dan 1 banyak sekali secara
tak berhingga. Jelas sin 1  tidak berada dekat suatu bilangan unik L bilamana x mendekati 0.

x
Kesimpulannya lim sin 1   ....

x0  x 

D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri

Perhatikan contoh limit-linit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya :

lim sin x  ... lim  x 2  cos x   ... lim sin 1   ...
x0 x  10.000  x0  x 
x0

Limit diatas dapat ditulis sebagai lim f (x) dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat
xa

perbandingan trigonometri. Bentuk limit fungsi semacam itu disebut limit fungsi trigonometri.

Dalam beberapa kasus pada prinsipnya sama seperti cara menentukan limit fungsi aljabar.
Pertama anda menyelesaikan soal limit tersebut dengan cara substitusi langsung, jika hasil yang
diperoleh bukan bentuk tak tentu 0 , hasil tersebut merupakan nilai limit yang dicari. Jika hasilnya

0
bentuk taktentu 0 , anda dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah anda kenal,

0
baik pada pembilang maupun penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikia, pembilang
dan penyebut tersebut tidak lagi melibatkan Fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk 0 .

0

1) Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri

Pada pembahasan limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan menggunakan rumus dasar
limit fungsi trigonometri dibawah ini:

lim x  lim sin x  1 lim x  lim tan x  1
x0 sin x x0 x x0 tan x x0 x

 Berikut ini pembuktian rumus lim x  lim sin x  1
x0 sin x x0 x

7 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Pada gambar 1.8 di perlihatkan lingkaran berpusat o dan jari-jari (r) = 1 satuan dengan
besar sudut AOP = x radian. Jika besar sudut x mendekati nol, maka titik P (cos x, sin x) akan
mendekati A (1,0). Dalam keadaan demikian diperoleh hubungan :

lim cos x  1 dan lim sin x  0
x0 x0

Perhatikan garis PB tegak lurus sumbu x dan menyinggung busur lingkaran kecil BC di titik

B. Jadi jelas bahwa : Luas sektor OBC ≤ Luas Δ OBP ≤ Luas sektor OAP

Berdasarkan rumus luas : = ½. (OB)2. X = ½. Cos2x. x
Luas sektor OBC

Luas Δ OBP = ½. OB.PB = ½. Cosx. sin x
Luas sektor OAP = ½. (OA)2. X = ½. (1)2. X= ½ x

Dengan demikian diperoleh hubungan

½. Cos2x. x ≤ ½. Cosx. sin x ≤ ½ x (masing-masing dikalikan 2 ) diperoleh
x.cos x

cos x ≤ sin x ≤ 1 : untuk x mendekati nol, hubungan menjadi:
x cos x

1  lim sin x  1 atau 1  lim x  1
x0 x x0 sin x

Pertidaksamaan terakhir ini menunjukan bahwa: lim x  lim sin x  1
x0 sin x x0 x

Kegiatan 1.3

Menemukan rumus umum limit fungsi trigonometri dengan cara mandiri

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:

 lim x  lim tan x  1
x0 tan x x0 x

Bukti:

lim x  lim x  lim 1 lim sin x  (....)(...)  ...
x0 tan x x0 sin x x0 ........ x0 ...

cos x

 lim ax  lim sin ax  a atau lim ax  lim tan ax  a
x0 sin bx x0 bx b x0 tan bx x0 bx b

Bukti :

8 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

lim ax  lim ax x .... x ....  lim .... x lim .... x lim ....
x0 sin bx x0 sin bx .... .... x0 .... x0 .... x0 ....

 lim bx x...x...  ...
x0 sin bx.... ...

Bukti :

lim tan ax  lim tan ax x .... x ....  lim .... x lim .... x lim ....
x0 bx x0 bx .... .... x0 .... x0 .... x0 ....

 lim tan ax x...x...  ...
x0 bx ...

 lim sin ax  lim tan ax  a
x0 tan bx x0 sin bx b

Bukti :

lim sin ax  lim sin ax x .... x ....  lim .... x lim .... x lim ....
x0 tan bx x0 tan bx .... .... x0 .... x0 .... x0 ....

 lim sin ax x...x...  ...
x0 tan bx ...

2) Metode substitusi langsung dan Pemfaktoran

Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:

1. lim sin x  cos x  ....  (....)  1
x

2. lim 1 cos 2x  1 cos   1 ....  ....  ...
2cos x  2(....) ....
x
2 2 cos
2

3. lim sin x  lim sin 0  ...  ....  ...
x0 sin x  cos x x0 sin 0  cos 0 ....  .... ....

4. lim (2x  3)sin(x 1)  lim (............)sin(x 1)  ... ....  ...
 4x  3 (............)(x 1) lim lim
x1 x2 x1 x1 ...... x1 ....

5. lim 1  cos(x  2)  lim ...  lim ...
x2 x 2  4x  4 x2 (x  2)(..............) x2 ......

3) Metode Menyederhanakan

Kegiatan 1.4

Menentukan Limit trigonometri dengan cara Menyederhanakan Secara Mandiri

1)Tentukan Limit : lim 1 sin x  1
cos2 x 2
x
2

Langkah 1 :

Substitusi x   , diperoleh lim 1 sin ...  1 ...  ... Karena hasil 0 (Bukan penyelesaian)
2 cos2 ... (cos ...)2 ... 0
x
2

Langkah 2 :

Anda harus merubah penyebut cos2 x

9 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Bentuk cos2 x  (1 sin x)(................) dengan demikian :

lim 1 sin x  lim 1 sin x... 
(1 sin x)(...............)
x cos2 x. x
22

Langkah 3 :

Menyederhakan faktor penyebut 0 pada pembilang dan penyebut

lim 1 sin x  lim ...
cos2 x. ...
x x
22

Langkah 4 :

Mensubstitusi x = µ/2 ke fungsi yang tersisa

lim 1 sin x  ...  1
cos2 x. ... 2
x
2

2) Tentukan Limit : lim 1  cos x  ...
x0 2x sin 3x

Jika kita substitusikan x = 0 diperoleh bentuk 0/0. Maka perlu mengubahnya lewat identitas

trigonometri.

lim 1 cos x 1  (cos 2 1 x  sin 2 1 x) 1  cos 2 1 x  sin 2 1x 
 lim 2 2  lim 2 2

x0 2x sin 3x x0 ... x0 ...

sin 2 1 x  sin 2 1 x ...
2 2
= lim  lim
x0 ... x0 ...

1 11 1
2.( x).(sin x)( x).(sin x).3x
2 2 2 2 ...
= lim  lim
x0 2x.(1 x).(1 x).(sin 3x)(3x) x0 ...

22

1 11 1
2.( ).(sin x)( x).(sin x).3x
2 2 2 2 ...
= lim  lim
x0 2.(1 x).(1 x).(sin 3x)(3x) x0 ...

22

= 1 .1.1.1. 1  1
2 6 12

Untuk lebih memahami konsep menyederhanakan limit trigonometri perhatikan soal dibawah ini :

Contoh Metode Menyederhanakan

 lim tan 2x cos 8x  tan 2x  lim tan 2x(.............. ....)  lim tan 2x(2 sin 2 4x) 
x0 16x 3 x0 16x 3 x0 16x 3

lim(2)( ... ... )  (...)(....)(....)  4
2x )(8x2 ....
x0

10 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

lim 1 cos 2x  lim 1 (1 2 sin2 x)  lim ...................  lim sin2 x x)2
1 cos 4x 1 (1 2 sin2 2x) ................... (2 sin x cos
 x0 x0 x0 x0

 lim .................  lim 1 x  1
............................ 4 cos2 4
x0 x0

cos x   x) sin[(x   )] Sudut rangkap
x sin( 2 cos 2a = cos2a ‒ sin2a
2 cos 2a = 2 cos2a ‒ 1
 lim  lim  lim [(x   )] 1 cos 2a = 1 ‒ 2 sin2a
x
x x x 2
2 2 2
22

 lim sin(x  2)  lim 1 sin(x  2)  1 .(1)  1 tan2a  2 tan a
2
1tan2 a

xx2 x2 x  2 x  2 2  2 4

Uji Kompetensi 1.1

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:

1) lim sin 6x  8) lim tan 2x 
x0 2x x0 5x

2) lim tan 4x  9) lim tan 2x  ...
x0 3x x0 5x

3) lim tan 2x.tan3x  ... 10) lim sin2 2x  ...
x0 x.tan x x0 tan2 3x

sin(x   ) (3x 1).sin(x 1)
4 x2  2x  3
4) lim (x  )  ... 11) lim  ...

x x1
4
4

sin(x   ) 
3 )
5) lim (x  )  ... 12) lim cos(x   ...
x 3
x  3 2
3

6) lim sin(2x  )  ... 13) lim sin2(x   ) 
x x 4
2 2

7) lim (x2 1) sin 6x  ... 14) lim x  sin(x  3)  3) 
x3  3x  2 x3 x  3
x0

Uji Kompetensi 1.2

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini: Kesamaan setengah sudut

1 sin( x )   1 cos x
sin x tan 2 x 22
1. lim 2
x0 x x  ...(1) cos( x )   1 cos x
22
2. lim (cos 2x 1)  ... sifat identitas [‒ 2 sin2a]2
cos nx  1 2sin 2 ( n x),nR
2

xx0

11 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

3. lim 1 cos x  .. cos x  cos2 1 x  sin2 1 x
x0 2x sin 3x 22

4. lim 1 cos x  .......(1) 5. lim cos 4x 1  ...(4)
x0 tan2 2x 8 x0 x tan 2x

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 1.1

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:

1. lim (cos x 1)  ... -(1/2) Rumus Penjumlahan dan Selisih Sin dan cos

xx0 2

Indentitas trigonometri

2. lim (cos3x  cos5x)  ... (8)2
xx0

Rumus Penjumlahan dan Selisih Sinus dan cosinus

3. lim 1 tan x  1 sin x = .... (1/4) kalikan akar sekawan & menyederhanakan
x3
x0

4. lim (cos 3x  cos x)  ...(2)
x sin 2x cos 2x

2

5. lim sin 3x  sin 3x cos 2x  ...
x0 2x3

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 1.1

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:

1. lim x2 4  x  ... (1/2) (SBMPTN2013)
x0 cos x  cos 3x

a. Selisih Sinus dan cosinus dan menyederhanakan

2. lim sin 2(x 1)  (1) (SIMAK UI)

x0 (x2  2x 1).cot 1 (x 1)
2

12 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 2

LIMIT KETAKHINGGAAN
FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Limit Ketakhinggaan
Fungsi Aljabar &
Trigonometri

Pengertian dan
Nilai Limit Ketakhinggaan

Bentuk lim f (x)  
x g(x) 

Bentuk
lim f (x)  g(x)    

x

Aplikas
Limit Fungsi

lim Aljabar lim Trigonometri

x x

Kata Kunci :
Limit Fungsi Ketakhinggaan, Limit bentuk ∞/∞ , Limit ∞-∞ dan Aplikasi Limit ∞

13 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 2
LIMIT KETAKHINGGAAN FUNGSI ALJABAR & TRIGONOMETRI

Kompetensi Dasar Materi Kegiatan Pembelajaran Tak hingga adalah
Pembelajaran
suatu nilai yang
3.2 Menjelaskan dan Limit  Mencermati pengertian yang
demikian besar.
menentukan fungsi berkaitan dengan limit fungsi

limit di trigonometri trigonometri dan limit di Saking besarnya nilai

ketakhinggaan ketakhinggaan fungsi aljabar. tak hingga sehingga

fungsi aljabar  Menyelesaikan masalah yang bilangan apapun akan

dan fungsi berkaitan dengan limit di dianggap kecil

trigonometri ketakhinggaan fungsi trigonometri

dan fungsi aljabar. dibandingkan dengan

4.2 Menyelesaikan  Menggunakan limit di nilai ∞. Untuk

masalah ketakhinggaan fungsi aljabar dan memahami limit tak

berkaitan dengan fungsi trigonometri dalam hingga ini kita baca

eksistensi limit di pemecahan masalah

ketak-hinggaan  Menyajikan penyelesaian masalah dulu paradok filsuf

fungsi aljabar berkaitan dengan eksistensi limit di Zeno dan Elen tentang
dan fungsi ketak-hinggaan fungsi aljabar dan
perlombaan kelinci
trigonometri fungsi trigonometri
dan kura-kura.

Seekor kelinci akan berlomba dengan seekor kura-kura dengan syarat pada detik pertama

jarak yang ditempuh 1/10 jarak sebelumnya. kelinci berlari dengan kelajuan 10m/s dan kura-kura

hanya 1 m/s. Oleh kura-kura lebih lambat diputuskan kura-kura start 10 m didepan anjing.

Pertanyaan yang muncul siapakah yang menjadi pemenang lomba tersebut?

Oleh karena kelinci berlari jauh lebih cepat daripada kura-kura, kelinci merasa akan dapat

menangkap kura-kura. Masalahnya, begitu kelinci telah menempuh jarak 10 m pertama dan tiba

ditempat kura-kura mula-mula berada, kura-kura telah maju 1 m, dan masih memimpin didepan

kelinci. Saat kelinci telah menempuh jarak 1 m, kura-kura telah maju lagi 0,1 m sehingga masih

tetap memimpin didepan.Demikian seterusnya, kelinci terus mendekat dan lebih mendekat dan

lebih mendekat ke kura-kura, tetapi tidak pernah berhasil menangkap kura-kura.

Kelinci kura-kura

kec 10 m/s kec 1 m/s

10 meter

Kita dapat menghitung total jarak yang ditempuh kelinci dari sebelah kiri dan kura-kura

dari sebelah kanan, dengan t menyatakan selang waktu (s) ketika kelinci berhasil menangkap kura-

kura sebagai berikut: (10 m/s) t = (1 m/s) t + 10 m

Penyelesaiannya adalah t = 11 m/s dimana kelinci telah berlari sejauh (10 m/s) (10 s) = 100 m
9
9 9

Teka-teki yang diajukan zeno cerita paradoksnya adalah bisa terjadi bahwa :

10 1 1  1  ...  100 ................*)
10 100 9

Ruas kiri dari persamaan *) menyatkan penjumlahan bilangan-bilangan dengan karakteristik

tertentu tanpa batas, sedangkan ruas kanannya menyatakan hasil tertentu. Coba perhatikan ruas

kiri persamaan *) yaitu : 10 1 1  1  ... (deret geometri)

10 100

14 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

U1 = 10 dan r  U 2  1 (banyak suku n tak hingga)
U1 10

Sesuai dengan rumus deret geometri tak hingga :

10 1 1  1  ... U 1(1  1 )n 
10 100 10 
= lim ,

n 1 1
10

Sekarang bagaimana menghitung

U1(1  1 )n  100 111 ...*)
10 
lim  
n 1 1 99

10

A. Limit Fungsi Berbentuk lim f (x)
x

Kegiatan 2.1

Pengertian dan nilai limit fungsi ketakhinggaan

Pandanglah fungsi f (x)  x digambarkan grafikya secara agak cermat pada gambar 2.1.
(1  x 2 )

Kita mengajukan pertanyaan ini: apa yang terjadi pada f (x) bila x menjadi semakin lama semakin
besar? Dalam lambang kita menanyakan nilai lim f (x)

x

Tabel 2.1

X f (x)  x
(1  x 2 )

10 ...

100 ....

1000 .....

↓↓

∞ .... Gambar 2.1

Bilamana kita menuliskan x →∞, kita tidak mengatakan bahwa pada suatu tempat jauh ke
arah kanan pada sumbu x, terdapat suatu bilangan lebih besar dari pada semua bilangan
lain yang didekati oleh x. Melainkan, kita menggunkan x →∞ sebagai cara singkat untuk
mengatakan bahwa x menjadi semakin besar tanpa batas.

Dalam tabel 2.1, kita telah mendaftarkan nilai-nilai f (x)  x untuk beberapa nilai x.
(1  x 2 )

Kelihatan bahwa f(x) menjadi semakin kecil bilamana x menjadi semakin besar. Kita tuliskan

lim f (x)  lim x  ....

x x 1  x2

Dari pengalaman dengan bilangan-bilangan negatif besar akan mengantarkan kita bahwa

lim f (x)  lim x  ....
x x 1 x 2

15 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Definisi Cermat Limit x → ± ∞, Dalam analogi dengan definisi ε, σ kita untuk limit-limit biasa,
kita membuat definisi berikut :

Gambar 2.1

(Limit bila x →∞). Andai f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan

bahwa lim f (x)  L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
x

sedemikian sehingga: x  M  f (x)  L  

(Limit bila x →-∞). Andai f terdefinisi pada [-∞, c) untuk suatu bilangan c. Kita katakan

bahwa lim f (x)  L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
x

sedemikian sehingga: x  M  f (x)  L  

Jadi Jelas Jika k bilangan bulat positif, maka

lim f (x)  lim 1  0 lim f (x)  lim 1  0
x   xx k x xx k

B. Menyelesaikan Bentuk lim f (x)  
x g(x) 

Buktikan bahwa lim x  0
x 1 x 2

Penyelesaian :

Di sini kita menggunakan trik baku yaitu dengan membagi pembilang dan penyebut dengan
pangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yakni x2

x 1 lim 1  0 0
lim x  lim x 2  lim x  x x
x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1 lim 1  lim 1 0 1
x 2 x x2 x 2 x

Kegiatan 2.2

Memahami dan mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Tentukan Limit : lim 4x3  2x2  5  ...
8x3  x  2
x

16 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Langkah 1 :

Tentukan pangkat tertinggi dari x yang terdapat pada fungsi pecahan polinomial tersebut.
Pangkat tertingginya adalah x3

Langkah 2 :

Kalikan baik pembilang sama penyebut dengan kebalikan pangkat tertinggi yaitu 1
x3

 lim 4x3  2x2  5  ... 1  lim ..................................  lim 4 x 5
...
 ............
x 8x3  x  2 ... x .................................. x ..  1  ...

x3 ... ...

Langkah 3 :

Substitusikan nilai x   , kemudian perhatikan bahwa setiap bentuk lim 1  0 untuk n
xx n

positif, sehingga akan diperoleh nilai limit yang dinyatakan :

lim 4  ...  ...  ...  1
x ...  ...  0 ... 2

Berdasarkan soal diatas Cari hubungan (kaitan) antara hasil limit yang diperoleh, yaitu 1
2

dengan suku-suku yang memiliki x dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya.

lim f (x)  lim an xn  ...
g(x) pm x m ...
x x

Uji Kompetensi 2.1

Carilah Nilai limit berikut atau tunjukan bahwa limit tersebut tidak ada bahwa dalam
pengertian tak-terhingga sekalipun.

1) lim 3x2  4x  6  ... 7) lim sin 2   ...
2x2  x  5   2  5
x
8) lim sin x  ...
2) lim 2x2 x  ... x
4x3 1
x

3) lim x3  4x 2  6  ... 9) lim sin 1  ...
x 3x 2  2x 1 x x

4) lim 3x3  2x2  ... 10) lim sin x  ...
x x
x 2x3  x

5) lim x3  x  ... 11) lim x sin 1  ...
2x4 1 x x
x
12) lim sin(x  1)  ...
6) lim 2x5  x3  ... x x
x3  x2 1
x

17 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Kegiatan 2.3

Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Perhatikan Uji kompetensi 2.1 sebelumnya telah diperoleh penyelesaian masing-masing soal.
Daftarkan suku tertinggi pembilang f(x), suku tertinggi penyebutnya g(x), Untuk memahami dan
mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Soal untuk Suku tertinggi f (x) Hasil
Pembila Penyeb g(x) limit
ng f(x) ut g(x)

1 x →∞ 3x2 2x2 3x 2 3
2 x →-∞ ... 2x2 2

... ... ...

3 x →∞ ... ... ... ...

4 x →-∞ ... ... ... 0

5 x →∞ ... ... ... ...

6 x →-∞ ... x3 ... -∞

Perhatikan kolom diatas, perhatikan eksponen tertinggi pembilang f(x) maupun penyebut g(x).

Dari pengamatan tersebut bisakah anda menentukan cara singkat untuk menghitung:

lim f (x)  lim an xn  bn xn1  c  ...
g(x) pm xm  qm xm1  r ...
x x

 Jika pangkat tertinggi n = m maka hasil limit = ...
...

 Jika pangkat tertinggi n > m maka hasil limit = ...
...

 Jika pangkat tertinggi n < m maka hasil limit = ...
...

Apa yang bisa anda simpulkan dari hubungan ketiganya tersebut:

................................................................................................................................................
............................................................................................................................................

Uji Kompetensi 2.2

Tentukan nilai limit dibawah ini:

1. lim x  3  ... (1) perhatikan √x2 = x,
x x2  4

Pada pembilang kita kalikan 1 sedangkan penyebut kita kalikan dengan 1
x3 x2

2. lim x3  ... (-1) pangkat tertinggi x6 = - x3 atau 1   1
x x6  4 x3 x6

18 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

C. Menyelesaikan Bentuk limit lim f (x)  g(x)    
x

Kegiatan 2.4

Memahami dan mengetahui cara penyelesaian limit taktentu lim f (x)  g(x)    
x

Tentukan Limit : lim( 5x 1  3x  7  ...
x

Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya

 lim( 5x 1  3x  7x ..........  ....... .
x ..........  .......

Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar

 lim ( ..........)2  ( ..........)2  lim (.....)  (.......)
x ..........  ....... x ..........  .......

 lim .......  lim 2x  6

x ..........  ....... x 5x  1  3x  7

Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x
dengan pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut

 lim 2x  6  2x

x 5x 1  3x  7 .....  .....

 lim 2x   lim 2 x   lim ...
x .....(....  ...) x (...  ...) x

Substitusikan x = ∞, sehingga diperoleh nilai limitnya, yaitu ∞
Uji Kompetensi 2.3

Tentukan nilai limit berikut ini :
1. lim x(4x  5)  4x2  3  ...(5)
x 4

2. lim (x  4)  2x 1  ...
x

 3. lim (2x 1)  4x2  6x  5  ...(1)
x 2

4. lim x2  ...
x 1 1 x2

19 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Kegiatan 2.5

Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit tanda akar

Diket: f (x)  ax2  bx  c , g(x)  px2  qx  r :

a. Jika a = p, tunjukan bahwa lim f (x)  g(x)  b  q
x 2 a

b. Jika a > p, tunjukan bahwa lim f (x)  g(x)  

c. Jika a < p, tunjukan bahwa x

d. Jika a = p, b = q, tunjukan bahwa lim f (x)  g(x)  

x

lim f (x)  g(x)  0

x

Langkah Pembuktian tersebut gunakan seperti kegiatan 2. 4:
Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya
Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar
Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x dengan
pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 2.1
Tentukan Nilai Limit :

1. lim x2  2x  x  ...
x

 2. lim 3 (x3  2)  x 1  ...( 5)
x 3

Klu No 2 : (a  b)(a2  ab  b2 )  a3  b3...

 3 (x3  2)  a, ,(x 1)  b

20 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

D. Aplikas Limit Fungsi f (x)  lim
x

1. Limit Aljabar

Jumlah penduduk di sebuah desa diperkirakan t tahun dari sekarang akan menjadi :

N  20.000  10.000
(t  2)2

Berapakah jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat panjang
dimasa depan? (t →∞),Maka:

lim N  lim 20.000  10.000  20.000  lim 10.000  20.000  0  20.000orang
t (t  2)2 (t  2)2
t  t 

2. Limit Trigonometri

Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh s = 10 sin 2t dengan s
adalah jarak yg dinyatakan dalam m. Tentukan kecepatan partikel pada saat
t   det

6

Kec = v(t) = lim s  lim s(t  t)  s(t)
tt t  t

sin A  sin B  2.cos 1 (A  B)sin 1 A  B

22

Jadi :

 lim s  lim 20 cos(2t  t).sin t  lim 20 cos(2t  t). lim .sin t
t  t t  t t  t t  t

 20 cos(2t  0).1  20 cos 2t  20 cos  )  20. cos 60  1  10m / det
2( 20( )
62

Kegiatan 2.6

Memahami dan mengetahui Aplikasi Limit fungsi f (x)  lim
x

Tentukan nilai limit berikut ini :

1. Hubungan antara inang dan jumlah parasit adalah sebagai berikut. Jumlah parasit
untuk kerapatan inang(jumlah inang persatuan luas) x pada satu periode waktu
tertentu bisa dinyatakan oleh : y  900x Jika kerapatan inang terus meningkat
10  45x
tanpa batas?

900x. ...
lim
lim y  900x  lim 10 ...  x ... ...  ...  ...
lim  45x lim 10  lim ...  ... ...
x x 10  45x x

... x ... x ...

21 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

2. Jumlah senyawa baru terbentuk mengikuti fungsi f (t)  t 2  2t  t , f(t)jumlah
senyawa dalam miligram dan t menyatakan waktu dalam detik. Tentukan jumlah
senyawa yang terbentuk jika terus menerus?

Penyelesaian

TUGAS MANDIRI TAK TERSTRUKTUR 2.2
1. Bagaimana juga perpindahan partikel s(t) = 5.cos 2t, tentukan kec partikel pada

saat t =1/6 µ dan t =µ

22 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 3

ASIMTOT FUNGSI ALJABAR
DAN TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Asimtot
Fungsi Aljabar dan

Trigonometri

DEFINISI ASIMTOT FUNGSI

MENENTUKAN
ASIMTOT
FUNGSI

ASIMTOT FUNGSI TEGAK ASIMTOT FUNGSI
MENDATAR

Kata Kunci :
Definisi Asimtot, Asimtot datar dan asimtot tegak

23 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 3
ASIMTOT FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI

3.3 Menjelaskan  Asimtot  Mencermati gambar yang berkaitan

asimtot (datar (datar dan dengan limit fungsi trigonometri dan

dan tegak) tegak) kurva limit fungsi aljabar menuju tak hingga Bagaimana
menentukan
kurva fungsi fungsi aljabar secara geometri. limit-limit Tak
terhingga dari
aljabar dan  Asimtot  Mengilustrasikan dengan gambar fungsi bentuk

fungsi (datar dan konsep limit fungsi trigonometri dan lim 1 ?
x2 x  2
trigonometri tegak) kurva limit di ketakhinggaan fungsi aljabar

fungsi secara geometri

4.3 Menyelesaikan trigonometri  Menyelesaikan masalah yang

masalah yang berkaitan dengan asimtot kurva

berkaitan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

dengan  Menyajikan penyelesaian masalah
asimtot (datar yang berkaitan dengan asimtot kurva

dan tegak) fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
fungsi aljabar

dan fungsi

trigonometri

A. DEFINISI ASIMTOT FUNGSI

Kegiatan 3.1

Definisi Asimtot secara geometri

Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus f (x)  1 dan daerah asalnya
x2

adalah Df  {x, xR dan x  0}.

Coba perhatikan tabel yang menyatakan hubungan x dan 1 Tabel 3.1 berikut ini.
x2

lim f (x)  lim 1  ...
xc x2 x  2

X ... ... ... ... ...

1
... ... ... ... ...

x2

lim f (x)  lim 1  ...
xc x2 x  2

X ... ... ... ... ...

1 ... ... ... ... ...
x2

Berdasarkan Tabel diatas tanpa bahwa adalah tidak masuk akal untuk menanyakan limit

lim 1  ... , tetapi kita pikirkan adalah beralasan bila kita menulis
x2 x  2

lim f (x)  lim 1   lim f (x)  lim 1  
xc x2 x  2 xc x2 x  2

24 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Berikut ini grafik fungsi lim 1 , dapat ditunjukan :
x2 x  2

Gambar 3.1

Berikut adalah definisi yang berkaitan dengan situasi ini.
Definisi

(Limit tak terhingga). Kita katakan bahwa f (x)   jika untuk tiap bilangan positif M,
berpandangan suatu   0 sedemikian sehingga 0  x  c    f (x)  M

Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari

lim f (x)   lim f (x)   lim f (x)   ............(*)

x c  x c  x c 

Secara umum limit fungsi f(x) untuk x mendekati ∞ dapat didefinisikan dengan menggunakan

bilangan positif  dan M sebagai berikut.

Definisi

Misal fungsi f terdefinisi dalam daerah asal D f  [ a, ∞)

Fungsi f(x) mempunyai lim f (x)  L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan  positif
x

didapatbilangan positif M, demikian sehingga jika x > M maka f (x)  L 

Jika lim f (x)  L atau lim f (x)  L, maka garis mendatar dengan persamaan y = L
x x

dinamakan sebagai asimtot datar bagi fungsi y = f(x)

25 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Seperti halnya dalam lim f (x) yang dapat menjadi besar tnpa batas ∞ atau menjadi kecil
xc

tanpa batas -∞

lim f (x)   atau lim f (x)   ............(**)

xc xc

Jadi kaitan terhadap asimtot secara ringkas , jika garis y = L atau x = c adalah asimtot
tegak/datar dari grafik y = f(x) jika salah satu pernyataan-pernyataan berikut benar.

lim f (x)   lim f (x)   lim f (x)   lim f (x)  

x c  x c  x c  x c 

B. MENENTUKAN ASIMTOT FUNGSI

Kegiatan 3.2

Memahami dan mengetahui grafik asimtot

1. Tentukan nilai limit berikut ini :

Diketahui fungsi f (x)  1 , dengan daerah asal Df  {x, xR dan x  0}.
x2

Hitunglah :

a. lim f (x) dan lim f (x)
x0 x0

f (x)  1 ... ... ... ... ... ...
x2 ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
a. lim f (x) ... ... ... ... ... ...
x0
f (x)  1
x2

b. lim f (x)
x0

b. Apakah lim f (x) ada? Jika ada tentukan nilai lim f (x)
x0 x0

f (x)  1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... f (x)  1
x2 ... ... ... ... ... ... ... ... x2

c. lim f (x) ...d. lim f (x)
x0 x0

Jadi Grafik fungsi y
lim f (x) = ...

x0

x

26 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

2. Cari nilai limit menggunakan konsep lim 1 dan lim 1
x1 (x  1)2 x1 (x  1) 2

Penyelesaian :
Sama konsepnya seperti diatas maka diperoleh

lim 1  ... dan lim 1  ...
x1 (x  1)2 x1 (x  1)2

Karena kedua limit adalah ∞, kita dapat menuliskan : lim 1  ...

x1 (x  1) 2

Grafik fungsiya : y

Jadi garis x = 1 adalah asimtot tegak, sementara garis y = 0 adalah asimtot datar

3. Carilah asimtot – asimtot tegak dan datar dari grafik f (x)  2x
(x 1)

Penyelesaian :

Kita harapkan sebuah asimtot tegak pada titik yang penyebutnya nol, dan kita
benar karena

lim 2x   dan lim 2x   , sebaliknya
x1 (x  1) x1 (x  1)

2x 2x
lim 2x  lim ...  ...  ... dan lim 2x  lim ...  ...  2
x (x 1) x x  1 ...  ...
x (x 1) x x  1 ...  ...
... ... ... ...
Sehingga :

f(x) = y = .... merupakan asimtot .........

x = 1 merupakan asimtot ........

Grafik fungsinya :

27 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Uji Kompetensi 3.1

Tentukan nilai limit berikut ini :

1. Diketahui fungsi f (x)  x  3 , dengan daerah asal Df  {x, xR dan x  2}.
x2

Hitunglah :

a. lim f (x) dan lim f (x)
x2 x2

b. Apakah lim f (x) ada? Jika ada tentukan nilai lim f (x)
x0 x0

2. Dengan menganalisis grafik, tunjukan bahwa:

a. lim(2x 1)   dan lim (2x 1)   c. lim(4  2x)   dan lim (4x 1)  
x x x x

b. lim(x2 1)   dan lim (x2 1)   d. lim(4  x2 )   dan lim (4  x2 )  
x x x x

3. lim 1  cos x
x0 sin x

TUGAS MANDIRI BERSTRUKTUR 3.1

Tentukan nilai limit berikut ini menggunakan alat bantu :

cos(x  3) dan lim cos x
lim
x3 x  3 x  x  
2 2

28 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 4

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Turunan
Trigonometri

Definisi
Turunan

Sifat -Sifat
Turunan

Menyelesaikan
Turunan

Aturan
Rantai

Fungsi Persamaan Aplikasi
Implisit Parameter Turunan

Fungsi

Laju TrigonomKeterciepatan &

Perubahan Percepatan
Fungsi
Fungsi Trigonometri
TrKigeocnepoamtaentri

Sudut

Kata Kunci :

Definisi Turunan Trigonometri, Sifat-sifat, Aturan Rantai, Fungsi Implisit, Persamaan
Parameter, Aplikasi turunan

29 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 4
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

3.4 Menjelaskan  Turunan  Mencermati konsep turunan Dalam buku matematika
sebelumnya, kita telah
turunan fungsi fungsi fungsi trigonometri dan sifat- mempelajari beberapa fungsi
trigonometri, yaitu
trigonometri trigonometri sifatnya.
fungsi sinus f(x) = sin x,
 Menentukan turunan fungsi
fungsi cosinus f(x) =cos x,
4.4 Menyelesaikan trigonometri dengan
fungsi tangen f(x) = tan x.
masalah yang menggunakan sifat-sifatnya

berkaitan  Menyelesaikan masalah yang

dengan berkaitan dengan turunan
turunan fungsi fungsi trigonometri

trigonometri  Menyajikan penyelesaian

masalah yang berkaitan

dengan turunan fungsi

trigonometri

Selanjutnya berdasarkan pengamatan menunjukan bahwa limit fungsi trigonometri memiliki nilai.
Untuk itu pada pokok bahasan ini kita membuktikan apakah turunan fungsi aljabar menghasilkan
fungsi aljabar pula. Begitu pula halnya dengan turunan fungsi trigonometri ternyata hasilnya juga
merupakan fungsi trigonometri seperti pada pembahasan berikut.

Uji Kompetensi Awal

Tentukan turunan dari fungsi berikut : f(x) = 2x2 & f (x)  1
x

A. Definisi Turunan : f '(x)  lim f (x  h)  f (x)
h0 h

Kegiatan 4.1

Menemukan konsep rumus turunan fungsi trigonometri
1. Turunan dari f ( x ) = sin x

Menentukan turunan dari f(x) = sin x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut

rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y

lim 1 cos x  0 dan lim sin x  1
x0 x x0 x

Langkah 1 :

Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)

f(x+h) = sin ( x + h) = ...

f(x) = sin x

Langkah 2 :

Hitunglah f’(x) =...

30 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

f '(x)  lim f (x  h)  f (x)  lim ...
h0 h h0 h

f '(x)  lim  sin x.cosh sin x  cos x sinh  lim  sin x(1 cosh)  cos x sinh
h0 h h0 h

 lim  sin x ... ...   cos x ... 
 ...   ...
h0

kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.

f '(x)  sin x.lim ...  ...   cos x.lim ... 
h0 ...  h0 ... 

oleh karena, lim 1  cosh  0 dan lim sinh  1
h0 h h0 h

Maka f ‘ (x) = cos x,

Jadi turunan dari f(x) = sin x adalah f ‘ (x) = cos x,

2. Turunan dari f ( x ) = cos x

Menentukan turunan dari f(x) = cos x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : cos (x+y) = cos x cos y + sin x sin y

lim 1 cos x  0 dan lim sin x  1
x0 x x0 x

Langkah 1 :

Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)

f(x+h) = cos ( x + h) = ...

f(x) = cos x

Langkah 2 :

Hitunglah f’(x)

f '(x)  lim f (x  h)  f (x)  lim ...
h0 h h0 h

f '(x)  lim ............................................................................
h0 h

 lim ......................................................................................
h0 h

 lim  cos x ...  ...   sin x ... 
 ...   ...
h0

kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.

31 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

f ' (x)   cos x. lim ...  ...   sin x. lim ... 
h0 ...  h0 ... 

oleh karena, lim 1  cosh  0 dan lim sinh  1
h0 h h0 h

Maka f ‘ (x) = -sin x,

Jadi turunan dari f(x) = cos x adalah f ‘ (x) = -sin x,

3. Turunan dari f ( x ) = tan x

Menentukan turunan dari f(x) = tan x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu :

tan x  tan x  tan y dan lim tanh  1
1  tan x tan y x0 h

Langkah 1 :

Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)

f(x+h) = tan ( x + h) = ...

f(x) = tan x

Langkah 2 :

Hitunglah f’(x)

f '(x)  lim f (x  h)  f (x)  lim ...
h0 h h0 h

f '(x)  lim ............................................................................  lim tanh(1  tan2 x)
h0 ... h0 h(1  tan x.tanh)

 lim tanh .lim(1 tan2 x).lim 1

hh0 h0 h0 (1  tan x.tanh)

Oleh karena

lim tanh  1, ↔ lim(1 tan2 x) = (1 + tan2x) dan lim 1 =1
h0 h h0 h0 (1 tan x.tanh)

Maka f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x
Jadi turunan dari f(x) = tan x adalah f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 4.1

Buktikan turunan sebagai berikut ini :
 y = cot x → y’ = -coses2x dan

 y = sec x → y’= sec x. tan x

 y = coses x → y’= - cosec x. cot x

32 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

B. SIFAT-SIFAT TURUNAN
f (x)  u(x).v(x) → f ' (x)  u' (x).v(x)  u(x).v' (x)

f (x)  u(x) → f '(x)  u'(x).v(x)  u(x).v'(x)
v(x) v(x)2

Kegiatan 4.2

Penggunaan Sifat-sifat Turunan dalam menyelesaikan persamaan Trigonometri

Tentukan turunan sebagai berikut ini (menggunakan sifat2):

1. f(x) = x2.sin x → f(x)’ = (x2cos x + 2x sin x)

2. f (x)  cos x → f '(x)  1
1 cos x 1 sin 2x

3. f (x)  x → f '(x)  cos x.sin x3  x sin x  sin 2 x(cos x.sin x  x )
2 cot x

Penyelesaian

1) f(x) = x2.sin x → f (x)  u(x).v(x)
u(x)  ....................... → u' (x)  .......................
v(x)  ....................... → v' (x)  .......................
f ' (x)  u' (x).v(x)  u(x).v' (x)

f ' (x)  (.................)(.................)  (................)(.................)
f ' (x)  ...........................................  ..........................................
f ' (x)  ...........................................

2) f (x)  cos x
sin x  cos x

u(x)  ....................... → u' (x)  .......................

v(x)  ....................... → v' (x)  .......................

f '(x)  u'(x).v(x)  u(x).v'(x)  (.......)(............)  (.......)(........)
v(x)2 (..................)

 ...............................................  ............................................... =
(.........)2 ....................

 ...............................................  .........
............................

3) f (x)  x
2 cot x

u(x)  ....................... → u' (x)  .......................

33 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

v(x)  ....................... → v' (x)  .......................

f '(x)  u'(x).v(x)  u(x).v'(x)  (.......)(............)  (.......)(........)
v(x)2 (..................)

 ...............................................  ............................................... =
(.........)2 ....................

 ...............................................  .........
............................

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 4.2

Buktikan turunan sebagai berikut ini :

f (x)  sec x → f '(x)  sin x  cos x
1 tan x 1 2sin x cos x

C. TURUNAN BALIKAN TRIGONOMETRI

f (x)  sin1 x  f ' (x)  1 ;1  x  1 f (x)  tan1 x  f ' (x)  1
1 x2 1 x2

f (x)  cos1 x  f ' (x)  1 ;1  x  1 f (x)  sec1 x  f ' (x)  1 ; x  1
1 x2 x x2 1

Pembuktian : f (x)  sin1 x  f ' (x)  1 ;1  x  1
1 x2

Bukti :

Sekarang kita diferensialkan kedua ruas menurut x, dengan menggunakan aturan rantai pada ruas

kanan maka : 1  cos y.Dx y  cos(sin1 x)Dx (sin1 x)

1  1 x2 Dx (sin1 x)
Pada langkah terahir, kita menggunakan kesamaan pada segitiga :

i) sin(cos1 x)  1 x2 iii) sec(tan1 x)  1 x2

ii) cos(sin1 x)  1 x2 iv) tan(sec1 x)   x2 1

Kita simpulkan bahwa f (x)  sin1 x  f ' (x)  1 ;1  x  1
1 x2

Contoh : f (x)  sin1(3x 1), f ' (x)  ... (gunakan aturan rantai)

f ' (x)  1 Dx (3x 1)  3
1 (3x 1)2  9x2  6x

34 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

D. MENYELESAIKAN DAN MENYAJIKAN PERMASALAHAN BERKAITAN DENGAN TURUNAN
FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Teorema Aturan Rantai

Jika fungsi y = (fog)(x) = f (g(x) = f (u) dan u = g(x), maka turunan fungsi (fog)(x)tersebut =

(fog)’(x) = f’(g(x). g’(x) atau dy  dy . du
dx du dx

Kegiatan 4.3

Menggunakan konsep sifat-sifat dan aturan rantai fungsi trigonometri

Carilah turunan dibawah ini menggunakan sifat-sifat aturan rantai:
1) F(x) = cos (x2 – 5x) → f’(x) = - (2x – 5) sin (x2 - 5x)
Dik : y = f(x) = cos(x2-5x)

Langkah 1 :
Pemisalan u = x2 – 5x sehingga y = cos u,

Maka du = 2x dan dy = -sin u

Langkah 2 : Substitusi ke rumus aturan rantai ↔ dy  dy . du
dx du dx

= d(.cos u) . d(.............) = (sinU).(2x  5)  (sin(x2  5x).(2x  5)  ...........................
du dx

2) F(X) = sin 4(5x) → f’(x) = - 20 sin3 (5x).cos(5x)

Dik : y = f(x) = cos(x2-5x)

Langkah 1 :

Pemisalan
v = 5x , u = sin v, dan y = u4
Maka dy = 4u3 du, du = cos v dv , dan dv = 5 dx

Langkah 2 :

Substitusi ke rumus aturan rantai : dy  dy . du . dv
dx du dv dx

=..........x .d(..........) x. d...... = 4u3. Cosv.5 = .....................

dv. dx

3) f (x)  (1  sin 2 x)2 → f ' (x)  4sin x cos3 x

f ' (x)  2(1  sin 2 x)21. d (1  sin 2 x)
dx

f ' ( x)  2(1  sin 2 x).0  (2 sin x).( d (sin x) 
dx 

f '(x)  2(...............). (2sin x).(.......)  4sin x cos3 x

35 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

4) Tentukan nilai t , dinyatakanfungsi trigonometri sebagai berikut: f (x)  sin 2 3x , Jika
t2

f ' (x)  df (x) dan f '    6
dx  36 

Gunakan sifat turunan fungsi f (x)  u(x) , bahwa : f ' (x)  u' (x).v(x)  v' (x).u(x) ,
v(x) v(x)2

maka f (x)  sin 2 3x
t2

U(x) = sin2 (3x) → u’(x) = 2.(sin 3x).(cos 3x).3 = 3. 2 sin3x cos 3x = 3. Sin 6x

V(x) = .... → v’(x) = ...

Jadi diperoleh : f ' (x)  3sin 6x.(....)  (....)(sin 3x) = ...
.... ...

Selanjutnya substitusi x   , pada f ’(x), maka diperoleh
36

f '    6 , jadi f '    .............  ................  .........
 36   36  ............. ................

6 = .... ↔ 6 t2 = ........
t2

↔ t2 = 1 , t = ± ... =
.... ...

↔ t1  ...... dan t2  ......
5) F(x) = Tan 2 9x ...... ......

dy  dy . du dv = d(tan u)2 . d(tan v) . d(9x)  (....) tan 9x.(.................)(.......)
dx du dv dx du dv dx

dy  (....) tan9x.(.................)(.......) = 18 tan 9x sec2 9x
dx

6) f (x)  sin2 x
1 cot x

U(x) = sin2 x → u’(x) = ...

V(x) = .... → v’(x) = csc2x

f ' (x)  u' (x).v(x)  v' (x).u(x) = (.............)(......................)  (..............)(.............)
v( x) 2 ......................

 (.............)(......................)  (..............)(.............)
......................
Uji Kompetensi 4.1

Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai):

1. f (x)  5 sin 3 x 3) y  sin 4 (2x2   ) 4) y  tan1( x 1)

2. f (x)  2.cos(4x   ) → f ' (x)  8.sin(4x   )
44

36 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

2. Turunan Fungsi Implisit Trigonometri

Fungsi yang telah kita turunkaan sebelumnya, variabel terikat y bisa nyatakan dalam
variabel bebas x sebagai fungsi y = f(x), misalnya y = 3.sin2x (bentuk eksplisit)
Sedangkan fungsi seperti x2 + y2 = 4 adalah bentuk implisit, fungsi tersebut bisa diubah menjadi
bentuk eksplisit menjadi:

Y2 = 4 – x2
Bagaimana jika bentuk 2x2+ yx2 + 1 = 0 apakah bisa diubah menjadi bentuk eksplisit y = f(x).

Untuk mendapatkan dy dari suatu bentuk implisit kita menggnakan aturan rantai. Teknik untuk
dx

mendapatkan dy dari bentuk implisit ini disebut sebagai turunan fungsi implisit
dx

Kegiatan 4.4

Menggunakan konsep aturan Implisit

1) Cos y = x + sin x , (Turunkan Kedua ruas terhadap x)

d(Cos y) =d( x) + d(sin x)

 sin y(dy )  1(dy )  cos(dy )
dx dx dx

dy  (1  cos x)
dx  sin x

2) xy  sin y 1, (langkahnya sama seperti soal 1)

(xy)  sin y 1, (x.y) sifat aturan perkalian turunan

 dx .y  x. dy   (......) dy  0 → ....y  x. dy   cos y dy  0
 dx .dx  dx  .dx  dx

y  (......  ........) dy ↔ dy (x  cos y)   y
dx dx

dy   y
dx x  cos x

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 4.3
Tentukan dy dalam x dan y fungsi berikut ini (aturan Implisit):

dx
1. cot y  x  tan x

2. cos(xy 2 )  y 2  x

37 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

3. Turunan dari Persamaan Parameter

Persamaan parabola y2 =4px bisa dipenuhioleh persamaan x = pt2 dan y =2pt, dengan t
sebagai parameternya. Oleh karena itu persamaan x = pt2 dan y = 2pt disebut persamaan
parameter dari y2=4px.

Jika kita beri dua persamaan parameter x = x(t) dam y = y(t) dan diminta menentukan dy , maka
dx

lebih mudah bagi kita menyelesaikan dengan menggunakan aturan rantai, yaitu :

dy
dy  dy . dt atau dy  dt
dx dt dx dx dx

dt

Kegiatan 4.5

Menentukan Turunan dari Persamaan Parameter

Jika kurva-kurva didefinisiskan dengan persamaan yang diberikan, tentukan dy yang dinyatakan
dx

dalam t.
1) x  4 t dan y  3t 2  5

Penyelesaian : dx 1  4.(... t ( 1)  1 dan dy  ...

 4.t 2 )  2t 2
dt ... dt

dy
Maka : dy  dt = ... = ....
dx dx ...
dt

2) x 1  2sin t dan y  4  cos t

Penyelesaian : dx  .2 cos t dan dy  ...
dt dt

dy
Maka : dy  dt = ...   1 tan t
dx dx ... 2
dt

3) x  sin 2t  2sin t dan y  cos 2t  2 cos t

Penyelesaian : dx  ..... dan dy  ...
dt dt

dy
Maka : dy  dt = ....................... 
dx dx .......................
dt

38 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

4. Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Masalah pertama berkaitan dengan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel bebasnya,
misalnya laju perubahan y = f(x) terhadap x. Laju perubahan fungsi y = f(x) terhadap x
adalah dy yang dinyatakan dalam x,

dx

Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi perpindahan. Untuk perpindahan x = x (t), maka :
Kecepatan : v(x)  dx

dt

Percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan atau turunan kedua dari fungsi
perpindahan. Kecepatan : a(x)  dv

dt

Kegiatan 4.6

Aplikasi Turunan dalam kehidupan sehari-hari

4.1 Laju Perubahan Fungsi Trigonometri

Daya nyata P0 (dalam satuan votl amper) suatu rangkaian listrik yang daya aktifnya P (satuan

watt) dan sudut impedansinya θ, diberikan oleh P0  P.sec . Jika P adalah konstan pada 20 W,

tentukan laju perubahan P0 jika θ berubah pada laju 0,050 rad/menit saat θ = 450.

Penyelesaian :

Dik : Laju perubahan sudut θ terhadap waktu adalah

d  0,050 rad/menit saat θ = 450.
dt

Dit : Laju perubahan daya nyata P0 yaitu dPo  ...
dt

Jb : Perhatikan P0  f ( ) , sedangkan   f (t), sehingga

laju perubahan dPo  dP0 . d ,
dt d dt

P0  P.sec , P  20 , jadi P0  20.sec

Dengan demikinan dPo  20 sec. tan
dt

Maka : dPo  dP0 . d = (............................)(........................)
dt d dt

dPo = .......sec 450. tan 450 = .(.....)(......)(......) = 2
dt

jadi laju perubahannya dPo  2 Watt/menit
dt

39 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

4.2 Kecepatan dan Percepatan Fungsi Trigonometri

Gerakan sebuah partikel diberikan oleh s  6 cos 2t    . Tentukan nilai prpindahan, kecepatan
 4

dan percepatan. Tentukan juga waktu tersingkat ketika nilai-nilai maksimum itu terjadi.

Penyelesaian :

Dik : s  6 cos 2t   
 4

Perpindahan s maksimum = 6 ini tercapai ketika cos 2t     1 ,
 4

cos 2t     cos 0 ↔  2t     0  n.2
 4  4

2t   ....  ...... ↔ t   ....  .n. (*) dengan n = 0, 1, 2, 3, ...
.... ....

Waktu tersingkat untuk perpindahan maksimum ditentukan dengan mensubstitusi n € A yang

memberikan t nilai positif terkecil

n = 0 → t     (...). ↔ t   ....  (Tidak memenuhi)
8 ....

n = 1 → t     (...). ↔ t  ....  (Memenuhi)
8 ....

Jadi, perpindahan s maks = 6 tercapai waktu tersingkat t  7 
8

Kecepatan partikel v adalah v(x)  ds  d 6 cos(2t   )
dt dt 4

v(x)  6 cos(2t   ) ↔ v' (x)  6  (........)(2t   )(...)
4 4

v' (x)   12.....(........  ....)
...

Kec maks adalah vmaks  12. ini tercapai ketika sin 2t     1,
 4 

sin 2t     sin    ↔
 4  2

 x    n.2  atau x  1800   )  n.2

 2t         n.2  dan  2t          n.2
 4  2   4  2

2t      ....  n.2  dan 2t   ...   ....   n.2
 2 ....   ... .... 

t    ....  n.  dan t   ....   n.
 ....   .... 

40 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

n = 0 → t   ...   (...).  ... ↔ t  .... 
8 ....

n = 1 → t   ...   (...).  ...  ↔ t  .... 
8 ... ....

Jadi, Kec maks = 12 tercapai waktu tersingkat t  5 
8

Percepatan partikel a adalah a(x)  dv  d  12 sin(2t   )
dt dt 4

a(x)  12 sin(2t   ) ↔ a( x)  ......  (........)(2t   )(...)
4 4

v' (x)   24.....(........  ....)
...

Perc max adalah amaks  24. ini tercapai ketika cos 2t     1,
 4 

cos 2t     cos  ↔ x    n.2  atau x    )  n.2 

 4

 2t       n.2 dan  2t         n.2
 4  4

2t   ....  n.2  dan 2t    ...    n.2
 ....   ... 

t   ....  n.  dan t    ....   n.
 ....   .... 

n = 0 → t  ...   (...).  ... ↔ t   .... 
8 ....

n = 1 → t  ...  ↔ t   ...   (...).  ... 
... 8 ...

Jadi, perc maks = 24 tercapai waktu tersingkat t  3 
8

4.3 Kecepatan Sudut Fungsi Trigonometri

1. Sebuah permainan anak berbentuk kincir raksasa yang memiliki diameter 10 m sedang
dimainkan di sebuah arena bermain. Kincir tersebut berputar dengan kec sudut

   radian/det tepat diatas permukaan tanah, tentukan laju perubahan posisi kedudukan
12

terhadap arah vertikal pada kincir tersebut pada ketinggian 7,5 m dari permukaan tanah

41 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Hubungan ketinggian dari permukaan tanah h(t), radius R, dan sudut θ (t) seperti gambar diatas,
dapat dirumuskan sebagai berikut :

h(t)  R  Rcos( (t))  R1 cos (t): R = 5 m dan h = 7,5 m

(.......)  (......)1 cos ↔ cos   (.........)  ... →   .........  2  radian
3
...

Diketahui kec sudut d   rad/det, maka laju perubahan ketinggian dapat dirumuskan sebagai
dt 12

berikut :

dh  dh d ↔ dh  d (R  R cos  )(...)
dt d dt dt d ...

dh   ( d R  d (............)   (.....)  (R.........)=
dt ... d d ...

dh   Rsin ↔ dh   5sin 2  = ... 3
dt ... dt ... 3 ...

Jadi, laju perubahan posisi kedudukan terhadap arahvertikal pada kincir tersebut pada ketinggian

7,5 m dari permukaan tanah ketika dudukan kincir tersebut bergerak naik adalah 5 3
24

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 4.1

1. Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai): y  3 t an 4x   , Jika x berkurang
 2

pada laju 0,4 rad/s. Tentkan laju perubahan y terhadap waktu ketika x  
48

2. Sebuah partikel sedang bergerak dengan persamaan perpindahan x  5 cos(2t   ) , dengan
3

x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan :

 kecepatan maksimum partikel saat (0 ≤ t ≤ 2µ ) dan
 percepatan maksimum partikel saat (0 ≤ t ≤ 2µ )

42 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 5

NILAI MAKSIMUM & MINIMUM, SELANG
KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS
SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Nilai Maksimum & Nilai Maksimum
Minimum, Kemonotonan, dan Minimum

Garis Singgung Fungsi
Trigonometri Fungsi

Trigonometri

Nilai
Maksimum dan Minimum

Bentuk Bentuk
A cos x + B sin x = A sin x+ B cos x

k cos ( x- ᾱ )

Menentukan Titik Stasioner,
Kemonotonann, Kemiringan

Definisi & Teorema
Kemonotonan

Titik Stasioner dan Gradien dan
Kemonotonann, Fungsi Garis singgung Kurva

Kata Kunci :
Nilai Maksium dan Minimum, Selang kemonotonan dan Kemiringan garis singgung

43 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 5

NILAI MAKSIMUM, NILAI MINIMUM, SELANG KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS
SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI

3.5 Menjelaskan keberkaitan  Nilai maksimum  Mencermati keterkaitan turunan fungsi
turunan pertama fungsi
dengan nilai maksimum, nilai fungsi trigonometri dengan nilai maksimum dan
minimum, dan selang
kemonotonan fungsi, serta tigonometri minimum.
kemiringan garis singgung
kurva fungsi trigonometri  Nilai minimum  Menentukan titik stationer,selang

4.5 Menyelesaikan masalah yang fungsi kemonotonan dan garis singgung kurva
berkaitan dengan nilai
maksimum, nilai minimum, trigonomerti fungsi trigonometri.
dan selang kemonotonan
fungsi, serta kemiringan garis  Selang  Mempresentasikan cara mencari turunan
singgung kurva fungsi
trigonometri kemonotonan fungsi trigonometri

A. fungsi  Mempresentasikan pemecahan masalah

trigonometri yang berkaitan dengan turunan fungsi

 Kemiringan garis trigonometri

singgung kurva

fungsi

trigonometri

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Gambar 5.1

Dalam kehidupan ini kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan cara terbaik
untuk melalukan sesuatu. Sebagi contoh, seorang petani ingin memiliki kombinasi tanaman yang
dapat menhasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil obat yang
akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin
biaya penyebaran barangnya. Kadang kala salah satu dari masalah diatas dapat dirumuskan
sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang
dirinci

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum relatif/minimum relatif pada suatu
interval pada x = Xo, apabila f(xo) adalah nilai terbesar/terkecil dari nilai pendahulu/penyerta dari
fungsi tersebut. Pada gambar 5.1 diatas titik A(a,f(a)) adalah titik maksimum relatif pada kurva
sebab f(a) > f(x) pada setiap sekitar (neighbourhood) sekecil apapun 0 < Ix – aI < θ. Dan dikatan
bahwa y = f(x) mempunyai maksimum relatif {f(x)=f(a)} jika x = a. Dan dengan jalan yang sama titik
C (c,f(c)) adalah minimum relatif dari kurva, dan dikatakan y = f(x) mempunyai nilai minimum
relatif {f(x)=f(c)} jika x = c.

44 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Definisi
Andai S[a,c], daerah asal f, memuat titik c.Kita katakan bahwa:
1) f (c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
1) f (c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
1) f (c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S
1) f (c) adalah nilai ekstrim f pada S jika nilai maksimum atau nilai munimum

Untuk titik A, f’(x) berubah tanda dari positif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai balik
maksimum f(a) pada x = a
Untuk titik B, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai belok
horizontal f(b) pada x = b

Untuk titik C, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – positif, dikatakan f mempunyai nilai balik
minimum f(c) pada x = c

B. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI

Kegiatan 5.1

Menemukan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri
1) Bentuk A cos x + B sin x = k cos ( x - ᾱ )

Bagaimana menentukan Nilai maksimum dan minimum dari fungsi: 3 cos x + 4 sin x

↔ (cos x cos a + k sin x sin a) = 3 cos x + 4 sin x

Diperoleh k cos a = 3 (KW I dan IV) dan sin a = 4 (KW I dan II),

tg  b  .... ,  53,10 (KW I), k  a2  b2  (....)2  (....)2 = ......  .....
a ....

Nilai Maksimum = +5 dan Nilai Minimum = -5 dan Grafiknya :

Gambar 5.2

45 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

2) Bentuk A Sin X + B Cos X

Bagaimana menentukan nilai maksimum dari fungsi:

f (x)  4cos2 x 14sin2 x  24sin x.cos x 10

Kita bisa saja menyelesaikan soal ini dengan menggunakan syarat titik stasioner : f (x)  0 ,
kemudian menentukan jenis stasioner mana yang termasuk nilai balik maksimum. Tetapi cara
penyelesaian seperti ini memerlukan waktu hitung yang lebih lama dan cukup rumit.
Kita bisa mengerjakan soal seperti ini dengan lebih efisien dan sederhana jika kita bisa
menentukan rumus nilai ekstrim y = A sin x + B cos x yang sangat mudah diingat.

Syarat kurva y = A sin x + B cos x mencapai ekstrim adalah y’=0

y'  A(........)  B(......)  0 ↔ A(........)  B(......)

sin x  .... ↔ .........  ....
cos x ..... .....

Kemungkinan I tan x   A
B

Hipotesa = (........)2 (........)2  (........)2 (........)2

sin x   A dan cos x   B
A2  B2 A2  B2

Nilai ekstrim fungsi : y = A sin x + B cos x

y  A............................  B...........................   [(.......)2  (.......)2]
...................

y   A2  B2

Kemungkinan II tan x  A
B

Hipotesa = (........)2 (........)2  (........)2 (........)2

sin x  A dan cos x  B
A2  B2 A2  B2

Nilai ekstrim fungsi : y = A sin x + B cos x

y  A............................  B...........................  [(.......)2  (.......)2]
...................

y  A2  B2
Karena A2> 0 dan B2> 0, maka pastilah :

Nilai minimum ymin   A2  B2 ,

Nilai maksimum ymaks  A2  B2

46 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Nilai maksimum dari fungsi: f (x)  4cos2 x 14sin2 x  24sin x.cos x 10
Penyelesaian : kita mengubah menjadi bentuk umum

A Sin nx + B Cos nx dengan n > 0
f (x)  4cos2 x  (4sin2 x 10sin2 x) 12.(.......sin x.cos x) 10

f (x)  [(.................  ............) 10 sin2 x] 12.(sin 2x) 10

f (x)  4(.................  ............) 10 sin2 x  ................  ...........

Gunakan sifat : cos 2x  1 2 sin x dan 2sin2 x  1 cos 2x
f (x)  4(1)  ......(2 sin2 x)  ................  ...........
f (x)  14  .......(1 cos 2x)  ................
f (x)  19  5 cos 2x 12 sin 2x

Perhatikan 19 adalah bilangan tetap sehingga f(x) maksimum jika (5 cos 2x 12 sin 2x) juga
maksimum. Bentuk : (5 cos 2x 12 sin 2x) atau (12 sin 2x  5 cos 2x) sudah identik sama
A Sin nx + B Cos nx
Maka Nilai maksimum f (x)  19  NilaiMaksimum

f (x)  19  A2 B2  19  (.....)2  (.....)2

f (x)  .....  (.....)  (.....)  ....  .......  32
Uji Kompetensi 5.1

1. Nilai Maksimum dan minimum : f (x)  sin x  3 cos x

2. Nilai Min dari fungsi : w( )  1 tan2  dan Cos 2θ + cos θ
2 sec2 

3. Nilai Maks dari fungsi: 12 sin   9 sin2  dan sin4   cos6 

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 5.1

Nilai Maksimum  dari k dimana 5  cos 2  2k dan 0 < θ < π Kunci k=3
sin

Langkah penyeleaian :

Klu : 5  cos 2  2k (M) berarti 2k  5  cos 2 (TM)
sin sin 

Gunakan sifat pembagian turunan

47 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

C. MENENTUKAN TITIK STASIONER, SELANG KEMONOTONAN, DAN KEMIRINGAN GARIS
SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Kemonotonan

Pada grafik berikuti Definisi ; Andai f terdefinisi pada selang I
f (x) (buka, tutup atau tak satupun) kita katakan:

Turun Naik i) f Naik pada I jika untuk setiap pasang
bil x1 dan x2 dalam I

x1 < x2 → f (x1) < f (x2)

C ii) f turun pada I jika untuk setiap pasang
bil x1 dan x2 dalam I
Gambar 5.3
x1 < x2 → f (x1) > f (x2)
Menyatakan bahwa f turun di kiri c dan naik di
kanan c. iii) f minoton murni pada I jika ia naik
Turunan Pertama da Kemonotonan pada I atau turun pada I

0

Ingat bahwa turunan pertama f’(x) f’(x)>0 f’(x)<0
memberi kita kemiringan dari garis
singgung pada grafik f di titik x.
Kemudian,

Jika f’(x) > 0, maka garis singgung naik Gambar 5.4
kekanan (lihat gambar 5.4). Serupa
Teorema Kemonotonan : Andai f kontinu pada
Jika f’(x) < 0, maka garis singgung selang I terdiferensial pada setiap titik dalam I:
menurun kekanan (lihat gambar 5.4) Jika f’>0 untuk semua x titik dalam I, maka f
Naik pada I dan f’<0 untuk semua x titik dalam
Pada grafik berikuti: I, maka f turun pada I

2. Titik Stasioner dan Kemonotonan Suatu Fungsi

Gambar 5.5
Titik stasioner terjadi jika terpenuhi f’(x) = 0, yaitu titik dimana gradiennya kurva = nol

Perhatikan Gambar 5.5 bahwa jika suatu titik bergerak sepanjang kurva dari a ke b, maka
nilai fungsi bertambah apabila absis bertambah. Dan juga jika titik bergerak sepanjang kurva dari

48 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

b ke c maka nilai fungsi berkurang apabila absis bertambah. Dikatakan bahwa f naik pada selang
tertutup [a,b] dan f turun pada selang tertutup [b,c]. Bila fungsi f naik atau turun ada suatu selang
maka f dikatakan monoton pada selang tersebut.

Gambar 5.6

Kurva grafik fungsi y = f(x) (gambar 5.6) terlihat bahwa untuk x < a, gradien garis singgung
g1 positif, yang berarti f’(x) > 0, dan f naik pada interval itu. Untuk x > 0, gradien garis singgung
selalu negatif sehingga f’(x) < 0, dan f turun pada interval tersebut.Sedang untuk x = a, gradien
garis singgung di titik tersebut = 0, garis singgung sejajar sumbu x, sehingga f’(x) = 0, dalam hal ini f
tidak naik dan tidak turun dan dikatakan f stasioner di x = a, Sehingga kurva y = f (x) akan: Naik
jika f’(x) > 0, Turun Jika f’(x) < 0, Stasioner Jika f’(x) = 0

Contoh soal :

1) Jika f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 7 tunjukan dimana f naik dan f turun

Penyelesaian :

f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 7 → f’(x) = 6x2 – 6x -12 = 6 (x+1)(x-2), kita perlu menentukan :

Naik jika f’(x) > 0, Turun Jika f’(x) < 0 ↔ (x+1)(x-2) > 0 dan (x+1)(x-2) < 0

Titik pemisah adalah -1 dan 2 ; titik-titik ini membagi sumbu-x menjadi tiga selang
(-∞, 1),(-1,2) dan (2,∞).

Dengan demikian titij uji : X = -2 , x = 0 dan x = 3, kita simpulkan:

f’(x) > 0 pada yang pertama dan terakhir (+) 0 ( - ) 0 ( +)

f’(x) < 0 pada selang tengah. -1 2

Menurut Teorema :

f naik pada (-∞, -1) dan *2, ∞)

f turun pada [-1,2]

2) Tentukan titik stasioner, nilai stasioner, serta jenisnya untuk fungsi trigonometri

f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π

49 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Penyelesaian :

f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π → f’(x) = 2 cos 2x
syarat titik stasioner adalah f’(x) = 0 sehingga 2 cos 2x = 0

↔ cos 2x = 0 ↔ cos 2x = cos 0 ↔ cos 2x  cos 1 
2

x    n.2  atau x   )  n.2  →

2x   1   n.2  atau 2x    1   n.2  →
2  2 

x   1   n.  atau x    1   n. 
4  4 

Untuk k = 0, diperoleh x  1  dan x  3  yang absis stasioner
44

x  1  → f (x)  1   sin 2 1    sin 1    1
4 4 4  2 

x  3  → f (x)  3   sin 2 3    sin 3    1
4 4 4  2 

Jadi titik stasionernya :

(1  ,1) dengan nilai stasioner 1 (Maksimum) atau ( 3  ,1) dengan nilai stasioner -1 (Minimum)
44
Jenis Stasionernya :

 Gambar selangnya dan tetapkan titik uji setiap selang :

Absis titik uji tanda

 Untuk setiap absis titik uji, perikas tanda dari f’(x) dengan mensubstitusikan x ke f’(x) = 2
cos 2x

x = 0 diperoleh 2 cos 2(0) = 2 (positif)

x  1  diperoleh 2 cos 2(1  ) = 2 (negatif)
22

x   diperoleh 2 cos 2( ) (positif)

Sehingga diperoleh:

x  1  terdapat titik balik maksimum (1  ,1) dengan nilai balik maksimumnya f (1  )  1
44 4

x  3  terdapat tik balik maksimum ( 3  ,1) , dengan nilai balik maksimumnya f ( 3  )  1
44 4

50 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII