Matematika Peminatan KLS 12 MIPA

Kegiatan 5.2

Menentukan Titik Stasioner dan Jenisnya

Budi berjalan di sebuah lintasan yang dinyatakan fungsi: f (x)  2 sin(2x   )  2 , dimana f(x)
2

merupakan ketinggian dari permukaan tanah yang dinyatakan dengan satuan m dan x merupakan

waktu yang dinyatakan dalam detik. Jika budi mulai berjalan dari x = 0 det dan berhenti pada x

=1,5 π det, tunjukan manakah interval budi saat menanjak dan menuruni lintasan.

Penyelesaian :

f (x)  2 sin(2x   )  2 → f ' (x)  4 cos(2x   )
22

Syarat stasioner f ' (x)  0 ↔ 4 cos(2x   )  0
2

cos(2x   )  cos ...  ↔
2 ...

x    n.2  atau x   )  n.2 

(2x   )  ...   n.2 atau (2x   )   ...   n.2
2 ... 2 ...

2x  ...   ...   n.2 atau 2x   ...   ...   n.2
... ... ... ...

x  ...   n. atau x  ...  n.
...

ambil n = bil bulat
n = -1 maka

x  ...   (...)n.  ... x  ...  (...).  ...
... x  ...  (...).  ...

n = 0 maka

x  ...   (...)n.  ...
...

n = -1 maka

x  ...   (...)n.  ... x  ...  (...).  ...
...

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi interval : 0  x  3 
2

Adalah x  ..., x  ......, x  ......, x  ........

Tunjukan Uji tanda absis stasioner (interval budi saat menanjak dan menurun)

... ... ... ... ...
f’(x) ... ... ... ... ...
gradien ... ... ... ... ...

51 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Jadi interval budi yang memenuhi :

Budi Saat menanjak
{f’(x)>0} : ...  x  .... atau ...  x  ....

Budi Saat menurun
{f’(x)>0} : ...  x  ....

Jadi Nilai Balik Minimumnya = ...
Nilai Balik Maksimumnya = ...

3. GRADIEN DAN GARIS SINGGUNG KURVA

Gambar 5.7

Gradien AB = m AB  f (x2 )  f (x1 ) , Ambil

x2  x1

x2  x1  h atau x2  x1  h ,

sehingga

mAB  f (x1  h)  f (x1)
h

Apabila yang terjadi jika B kita geser sepanjang kurva y = f(x) mendekati A/ dengan kata lain jika

kita ambil h → 0 ? tampak garis AB makin mendekati garis singgung di titik A. Dengan demikian

gradien garis ab mendekati gradien garis singgung kurva/garis g di titik A (x1, f (x1 ))

Definisi Turunan

m  lim m  lim f (x1  h)  f (x1 )
h0 h
h0 AB

Menentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dan titik singgung A (x1, y1), maka

mAB  y  y1 Atau y  y1  m(x  x1)
x  x1

52 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Kegiatan 5.3

Garis singgung Kurva Fungsi Trigonometri

Sebuah kurva memiliki persamaan y = sin3 – 3 sin x. Tentukan persamaan garis singgung pada titik

dimana x  
3

Penyelesaian :

y = sin3 – 3 sin x → y'  3(sin x)31 d (sin x)  3 cos x
dx

m ↔ y'  3sin x2...(cos x)  3cos x

↔ m  3cos x{..........................} dengan x   , maka m
3

m  3cos  {...............................}  3(....){(........)  .....}
3

Selanjutnya titik singgung y1 = substirusi x1  
3

y1  (sin  )3  sin   (... ...)3  3(... ...)  ..............  .........
3 3 ... ...

Diperoleh titik (x1, y1 )  (..........,...........) Pers grs singgungnya: y  y1  m(x  x1) →
y  (.....)1  .......(x  .........1)
y ........  .......x .........

.........................................

Persm grs singgungnya adalah 3x  8y    9 3  0

Uji Kompetensi 5.2

Tentukn persamaan garis singgung f (x)  cos 2 x  2 cos x , pada titik dengan x = π
Penyelesaian :
f (x)  cos 2 x  2 cos x ↔ f ' (x)  .........................

Substitusi x1 = π, ke f (x)  cos 2 x  2 cos x untuk memperoleh y1

y1  (cos )2  cos   ..............  .........

Diperoleh titik (x1, y1)  (..........,...........) Pers grs singgungnya: y  y1  m(x  x1)

Persamaan Garis Singgunya : ...........................

53 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 6

DIFERENSIAL LANJUT FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Diferensial Lanjut
Trigonometri

Teorema
Nilai Balik

Kata Kunci :
Diferensial Lanjut Triginometri

54 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 6
DIFERENSIAL LANJUT

3.6 Menjelaskan Diferensial  Mencermati penerapan Dalam pokok bahasan
turunan kedua fungsi
keberkaitan turunan lanjut trigonometri dalam sebelumnya kita telah
pemecahan masalah,
kedua suatu fungsi membahas tentang
 Mencermati konstruksi
dengan titik belok dan turunan kedua fungsi menentukan titik stasioner
trigonometri,
selang kecekungan dan jenisnya dengan
 Mempresentasikan
kurva fungsi pemecahan masalah
yang berkaitan dengan
trigonometri turunan kedua fungsi menggunakan uji tanda
trigonometri.
4.6 Menyelesaikan masalah turunan pertama/absis
yang berkaitan
dengan titik belok dan stasioner (metode 1). Untuk
selang kecekungan
kurva fungsi pembahasan berikut ini kita
trigonometri
akan menentukan uji

turunan kedua (metode 2).

Dalam materi matematika wajib telah dinyatakan bahwa ada kaitan antara tanda dari

kedua fungsi pada titik stasioner *f’’(x) dengan x = c adalah absis titik stasioner+ dengan jenis titik

stasionernya. Ini dinyatakan dalam teorema berikut :
Teorema Nilai Balik
Misalkan y = f(x) terdefinisi pada selang a < x < b yang muat c, f’(x) dan f”(x) ada untuk setiap
titik pada selang a < x < b. Misal juga f’(c) = 0, yang berarti x = c adalah absis titik stasioner.
1) Jika f”(c) < 0 atau negatif → f(c) adalah nilai balik maksimum
2) Jika f”(c) > 0 atau positif → f(c) adalah nilai balik minimum

Mari kita terapkan teorema metode 2 ini menentukan mana dari kedua absis stasioner
yang telah dihitung sebelumnya, yang merupakan absis titik maks dan minimum (lihat uraian
dibawah ini). Karena metode2 adalah metode uji tanda turunan kedua, maka kita perlu
menentukan dahulu turunan kedua f” (x) sebelum mengujinya.

Penyelesaian metode 1 :

f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π

f’(x) = 2 cos 2x = 2. Cos 2x

f”(x)= 2 d (cos u) d (2x)   2.(sin 2x)(2)  4sin 2x
u x 

Dalam menentukan absisnya sebelumnya Metode 1 diperoleh:

Untuk k = 0, diperoleh x  1  dan x  3  yang absis stasioner
44

x  1  → f (x)  1   sin 2 1    sin 1    1
4 4 4  2 

55 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

x  3  → f (x)  3   sin 2 3    sin 3    1
4 4 4  2 

Jadi titik stasionernya : (1  ,1) dengan nilai stasioner 1 (Maksimum) atau ( 3  ,1) dengan nilai
44

stasioner -1 (Minimum)
Metode ke 2:

f "(x)  4sin 2x , jadi :

f "(1  )  4.sin[2.(1  )]  4 sin 1   4(1)  4
4 42

Karena Jika f”(c) < 0 → -4 < 0 (maksimum)

f "(3  )  4.sin[2.(3  )]  4 sin 3   4(1)  4
4 42

Karena Jika f”(c) > 0 → 4 > 0 (minimum)

Jadi, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, kita harus membandingkan kedua diatas
dengan ujung selang yaitu 0 ≤ x ≤ π

Nilai maksimum dan minimum f(x) =sin 2x untuk kedua titik maksimum dan minimum,

Nilai Max, x  1  → f (1  )  sin 2 1    sin 1    1
44 4  2 

Nilai Max, x  3  → f (3  )  sin 2 3    sin 3    1
44 4  2 

Untuk kedua ttik ujung-ujung selang

x  (0) =0 → f (0)  sin 20  sin 0  0

x   → f ( )  sin 2   sin 2  0 ,

Jika keempat nilai ini kita bandingkan, maka jelas terbukti :

nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum adalah -1 (Terbukti Benar)

Kegiatan 6.1

Menentukan Nilai balik maks dan minimum menggunakan Teorema Nilai Balik

Tentukan Nilai minimum mutlak f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π
Penyelesaian :
f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π
f’(x) = .............................................
titik stasionernya f’(x) = 0, maka 2 (cos x –sin 2x) = 0
cos x – sin 2x = 0 ↔ cos x = sin 2x ↔

cos x  cos(1   2x) → x  (1   2x)
22

56 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

x    n.2  atau x   )  n.2  →

x  (1   2x)  n.2 atau x  (1   2x)  n.2
2 2

3x  (1  )  n.2  x   1   n.2
2 2

x  ( 1  )  n .2 x  1   n.2
... ... ...

Untuk n = 0, diperoleh

n  0 → x  1   .... atau x  1   ....
.. ..

n  1→ x  1   1 .2  ... x  1   (...).2  ... (TM)
... ... ...

n  ...→ x  1   1 .2  ...
... ...

n  ...→ x  1   1 .2  ... (TM)
... ...

Jadi ada empat absis titik stasioner yang diperoleh {....,....,....,....}

Mari selanjutnya kita terapkan metode 2 ini untuk menentukan mana keempat absis stasioner
yang telah dihitung sebelumnya, yang merupakan abisi titik minimum. Karena metode ke 2
adalah metode uji tanda turunan kedua, mari kita perlu menentukan dahulu turunan kedua f”(x)
sebelum mengujinya.

f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π
f’(x) = .............................................
f”(x) = 2(-sinx)-2(2 cos 2x) = ........................
keempat absis disubstitusi ke persaman turunan kedua

f "( 1  )  2.sin(1 )  4cos(2 )  2(...)  4(...)  .  3
... .. .. ... ...

Karena Jika f”(c) < 0 → -3 < 0 (maksimum)

f "( 1  )  2.sin(1  )  4 cos(2 )  2(...)  4(...)  ...
... .. .. ... ...

Karena Jika f”(c) > 0 → .... > 0 (minimum)

f "(...  )  2.sin(...  )  4 cos(.... )  2(...)  4(...)  ...
... .. .. ... ...

Karena Jika f”(c) < 0 → ... < 0 (...................)

57 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

f "(...  )  2.sin(...  )  4 cos(6 )  2(...)  4(...)  ...
... .. .. ... ...

Karena Jika f”(c) < 0 → ... > 0 (..................)

Jadi, ada dua absis minimum yaitu x  1  dan x  3 
22

Untuk menentukan nilai minimum mutlak, maka kita harus membandingkan kedua nilai minimum
dengan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung selang (0 ≤ x ≤2 π) yaitu x = 0 dan x = 2π

Nilai minimum f(x) = 2 sin x + cos 2x, untuk kedua titik balik minimum.

x  1  → f (...  )  2.sin(...  )  cos(2 )  2(...)  (1)  ...
2 ... .. 2

x  3  → f (...  )  2.sin(...  )  cos(3 )  2(...)  (1)  3
2 ... ..

Untuk kedua titik di ujung-ujung selang
x  0 → f (0)  2.sin(0)  cos(0)  2(...)  (1)  ...

x  2 → f (2 )  2.sin(2 )  cos(2 )  2(...)  (1)  ..

Jadi Keempat nilai ini, nilai paling kecil adalah -3

Nilai minimum mutlak dari f(x) = 2 sin x + cos 2x adalah -3 yang terjadi ketika x  3 
2

Uji Kompetensi 6.1

Jika nilai minimum dari fungsi f (x)  1 2cos   2x dalam selang 0  x   adalah 1,
4  2

tentukan nilai dari x

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 6.1

Tentukan nilai x dalam selang 0 < x < 2π dimana f (x)  3 cos x adalah stasioner. Tentukan nilai
2  sin x

maksimum mutlak dan minimum mutlak dalam selang yang di berikan

58 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 7

STATISTIK INFERENSIAL

Peta Konsep

Statistik
Inferensial

Konsep
Variabel Acak

Fungsi
Probabilitas

Fungsi
Distribusi Binomial

Kata Kunci :
Statistik Inferensial, Variabel acak, Fungsi Probabilitas, dan Distribusi Binomial

59 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 7
STATISTIK INFERENSIAL

3.7 Menjelaskan dan Statistik  Mencermati konsep Statistik Inferensial adalah
menentukan inferensial variabel acak.
distribusi staistik yang digunakan untuk
peluang binomial  Mencermati konsep dan
berkaitan sifat fungsi distribusi menganalisa data sampel dan
dengan fungsi binomial.
peluang binomial hasilnya akan
 Melakukan penarikan
4.7 Menyelesaikan kesimpulan melalui uji digeneralisasikan/diinferensial
masalah hipotesis dari suatu
berkaitan masalah nya yang terkait kan kepada populasi dimana
dengan dengan distribusi peluang
distribusi binomial sampel diambil.
peluang binomial
suatu percobaan  Menyelesaikan masalah Sering juga dikenal dengan
(acak) dan berkaitan dengan distribusi
penarikan peluang binomial suatu cakupan metode yang
kesimpulannya percobaan (acak) dan
penarikan kesimpulannya berhubungan dengan

 Menyajikan penyelesaian menganalisi sebuah
masalah berkaitan dengan
distribusi peluang binomial data/sampel untuk kemudian
suatu percobaan (acak) dan
penarikan kesimpulannya sampai pada

peramalan/pendugaan/penarik

an kesimpulan mengenai

seluruh data induknya.

Statistik inferensial ada 2 macam yaitu :
 Statistik Parametrik, yaitu ilmu statistik yang mempertimbangnkan jenis sebaran atau
distribusi data, yaitu pakah data menyebar secara normal atau tidak. Dengan kata lain,
data yang akan dianalisis menggunakan statistik parametrik harus memenuhi asumsi
normalitas. Pada umumnya, jika data tidak menyebar normal, maka data seharusnya
dikerjakan dengan metode statistik non-parametrik, atau setidak-tidaknya dilakukan
tranformasi terlebih dahulu agar data mengikuti sebaran normal, sehingga bisa dikerjakan
dengan statistik parametrik. Contoh metode statistik parametrik : uji-Z (1 atau 2 sampel),
Uji-t (1 atau 2 sampel), Korelasi pearson, Perancangan percobaan (one or two way anova
parametrik). Ciri statistik parametrik : Data dengan skala interval dan rasio, Data menyebar
berrdistribusi normal.
 Statistik Non-Parametrik, yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk
sebaran parametrik populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik ini biasanya
menggunakan skala sosial, yaitu nominal dan ordinal yang umumnya tidak berdistribusi
normal. Contoh metode statistik Non-parametrik : uji tanda (sign test), Rank sum test
(wilcoxon), Rank correlation test (spearman), Fisher probability exact test, chi-square test.
Ciri-ciri statistik non parametrik : Data tidak berdistribusi normal, umumnya data nominal
atau ordinal, penelitian sosial, umumnya jumlah sampel kecil.

Dalam statistik inferensial diadakan pendugaan parameter, mebuat hipotesis serta melakukan
pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku umum. Metode
seperti ini disebut juga sattistik induktif, karena kesimpulan yang diambil ditarik berdasarkan pada
informasi dari sebagian data saja. Pengambilan kesimpuln dari statistik inferensial yang hanya
didasarkan pada sebagian data saja yang menyebabkan sifat data tak pasti, memungkinkan
terjadinya kesalahan dalam pengambilan keputusan, sehingga pengetahuan mengenai teori
peluang mutlak diperlukan dalam melakukan metode –metode satistik inferensial.

60 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

A. KONSEP VARIABEL ACAK

Suatu kejadian disebu acak (random event), kalu kejadian tersebut tak dapat ditentukan dengan
pasti sebelumnya.

Kegiatan 7.1

Mencermati konsep variabel acak dan fungsi probabilitas
Perhatikan kegiatan berikut ini :

Percobaan Perkiraan mucul( sangat sukar Probabilitas/
ditentukan terlebih dahulu Peluang
muncul/keluar

Mata uang logam Rp. 500 dilempar Gambar burung ...

Suatu dadu dilempar Mata dadu 5 ...

Satu kartu diambil dari satu set karu Kartu AS ...
Bridge

Probabilitas ialah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya kejadian acak. Kalau
A = suatu kejadian acak, maka P(A) = 0,90, berarti probabilitas bahwa A terjadi sebesar 0,90 atau
90%.

Perhatikan kegiatan berikut :

Pelembaran mata uang logam Rp. 500 dilempar 3 kali. Dimana B = muncul gambar burung, dan B’
= muncul Angka. Hasil pelemparan tersebut :

Pelemparan Probabilitas Hasil perlemparan
Mungkin

... ...

... ... Ada .....kemungkinan,

... ... masing-masing dengan probabilitas .....

... ... Misal x = banyaknya B setiap pelemparan, maka nilai x = 0,1,2,3.

... ... X disebut variabel acak diskrit yaitu hasil suatu ekperiment atau

... ... variabel yang nilainya tak dapat ditentukan dengan pasti,

... ... sebelum terjadi.

... ...

X = 0, berasal B’B’B ’→ P (X = 0) = 1
8
X = 1, berasal ......,.........,.........
X = 2, berasal ......,.........,......... → P (X = 1) = ...
X = 3, berasal BBB
→ P (X = ...) = ...

→ P (X = 3) = ...

61 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

B. FUNGSI PROBABILITAS

Fungsi probabilitas ialah fungsi acak yang dapat dipergunakan untuk menghitung probabilitas
suatu kejadian acak atau variabel acak. Dalam sub ini kiata hanya membahas fungsi probabilitas
diskrit.

p (x) = P (X = x), artinya probabilitas bahwa variabel X mengambil nilai x.

Dari pelemparan mata uang diatas fungsi probabilitas dapat :

p (0) = P (X = 0) = .... p (2) = P (X = 2) = ....

p (1) = .... p (3) = ....

Fungsi Probabilitas untuk variabel diskrit (tidak bisa mengambil nilai pecahan) antara lain
Binomial dan Poisson sedangkan yang kontinu (bisa mengambil nilai pecahan) atara lain normal,
fungsi t, F, X (chi kuadrat)

p (x) merupakan fungsi probabilitas diskrit kalau memenuhi dua syarat berikut :

Pertama : 0 ≤ p(x) ≤ 1, paling sedikit nol, tak pernah negatif dan paling besar 1

Kedua: p(x) = 1, untuk semua nilai x

x

Mari kita buktikan pelemparan mata uang Rp.500 diatas memenuhi sebagai fungsi probabilitas,
yang memebuhi syarat :

Pertama : 0 ≤ p(x) ≤ 1, paling sedikit nol, tak pernah negatif dan paling besar 1
Nilai p(x) tersebut adalah ....., ......., ......., dan .......

Jelas syarat pertama telah terpenuhi *)

Kedua: p(x) = 1, untuk semua nilai x

x

Maka

 p(x) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)

x

= .... + .... + .... + .... = 1

Jelas syarat kedua telah terpenuhi **)

Sedangkan kalau X variabel kontinu f(x) disebut fungsi kepadatan/densitas/desity function, f (x) ≥ 0



dan f (x)dx  1 , yaitu integral untuk keseluruhan nilai sebesar 1 sampai ∞, sehingga dalam sub


ini hanya membahas fungsi binomial.

62 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

C. FUNGSI DISTRIBUSI BINOMIAL

Probabilitas P( X ≤ x ) dengan x adlah bil real (-∞ < x < ∞) Fungsi distribusi dapat diperoleh dari
fungsi probabilitas, yaitu

F(X) = P (X ≤ x) = X x f (x)

Dengan jumlah pada ruas kanan diambil pada semua nilai u dengan u ≤ x

Kegiatan 7.2

Melakukan penarikan Kesimpulan dengan Fungsi Binomial

Jika X diambil hanya pada suatu bilangan tertentu dari nilai-nilai x1, x2,..., xn maka fungsi
distribusi diberikan oleh :

F ( x) 0 -∞ < x < 0
0≤x<1
 f (x1) = ... 1≤x<2
 f (x1)  f (x2) = ... +.... = ... 2≤x<3

... 3≤x<∞
... =
 f (x1)  f (x2)  f (x3) + ...
.... + .... + .... + .... = ...

D. FUNGSI BINOMIAL

P(x)  n! .px.(1 p)nx x = 0, 1, 2, ..., n
x!(n  x)!

p (x) = (P (x) = x) = probabilitas bahwa variabel X mengambil nilai x

n = banyak elemen sampel atau banyak eksperiment

x = banyaknya sukses atau banyaknya elemen sampel dengan karakteristik yang sedang diamati
atau diperhatikan.

Perhatikan kegiatan berikut :
n = 3 banyak lemparan mata uang loga Rp. 500,
x = banyak gambar burung (=B) yang diperoleh: Nilai x = 0,atau 1, atau 2, atau 3,
p = probabilitas sukses, misalnya probabilitas untuk memperoleh gambar burung.

n = 3 , dan p = 1 , x = 0, 1, 2, 3
2

63 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Maka :
p(0)  3! . 1 0 .(1 1)30  3!. 1 0 .(1)3  3x2x1 .1.(1)  1

0!(3  0)! 2 2 3! 2 2 3x2x1 8 8

p(1)  3! . 11 .(1 1)31  ...
1!(3 1)! 2 2

p(2)  ..

=... =3
p(3)  ... 8

=... = ..
...

Kegiatan 7.3

Menyelesaikan dan Menyajikan Masalah Fungsi Binomial

1) 10 % dari semacam benda tergolong ke dalam Kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah
diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan kategori A:

a. Semuanya d. Paling sedikit sebuah
b. Sebuah e. Paling banyak dua buah
c. Dua buah

Penyelesaian :
Kita artikan X = banyak kategori A, maka P = peluang benda ternasuk kategori A = 10 % = 0,10.
a. Semua tergolong kategori A berarti X = 30, n = 30

P(x)  n! .px.(1 p)nx x = 0, 1, 2, ..., n
x!(n  x)!

P(x  30)  30! .0,1030.(1 0,10)3030
30!(30  30)!

P(x  30)  30! .0,1030.(0,90)0  ............  1030
30!(0)!

b. Sebuah kategori A berarti X = 1, n = 30  0,1409
P(x  1)  30! .0,101.(1 0,10)301
30!(30 1)!
=......................
=.........................

64 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

c. Dua buah ketori A berarti X = ... , n =30

P(...)  ...! .0,10....(1 0,10).......
...!(....  ...)!

=...

=...  0,2270

d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A,
berarti X =1, 2, 3...........30. jadi perlu dicari:

P(x  1)  P(x  2)  ....  P(x  30) , sehingga yang kita cari adalah 1 P(x  0) , sekarang

menjadi :
P(x  0)  ...

= ...
=... = 0,0423

Peluang dalam sampel itu = 1 - 0,0423 = 0,9577

e. Paling banyak dua buah tergolong kategori A,
berarti X =1, 2. jadi perlu di cari: P(x  0)  P(x  1)  P(x  2)  ...

2) Sebuah dadu digelindingkan empat kali. Jika X ditetapkan sebagai variabel acak untuk
menampilkan banyak muncul sisi berangka 6, tentukanlah X :

Jika variabel acak X untuk menampilkan banyak munculnya mata dadu 6, maka untuk percobaan 4:
X = 0, menyatakan tidak muncul mata dadu 6
X = 1, menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali
X = ..., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak ...... kali
X = ..., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak ..... kali
X = ...., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak empat kali

Peluang muncul mata dadu 6 = P(6)  1 ,
6

Peluang muncul mata dadu bukan 6 = P(6)c  1 p  1 1  5 ,
66

Maka : P(x)  n! .px.(1 p)nx
x!(n  x)!

Probabilitas muncul mata dadu tidak muncul angka 6, P(x=0, n=4)

65 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

P(x)  ...! ........(....)... = ...!........(....)...
...!(....  ....)! ...!

P(x)  ...

Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali P(x=1, n =4)

P(x)  ...! ........(....)... = ...!........(....)...
...!(....  ....)! ...!

P(x)  ...

Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak dua kali P(x=2, n =4)

P(x)  ...! ........(....)... = ...!........(....)...
...!(....  ....)! ...!

P(x)  ...

Probabilitas muncul mata dadu 6sebanyak tiga kali P(x=3, n =4)

P(x)  ...! ........(....)... = ...!........(....)...
...!(....  ....)! ...!

P(x)  ...

Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak empat kali P(x=3, n =4)

P(x)  ...! ........(....)... = ...!........(....)...
...!(....  ....)! ...!

P(x)  ...

Uji Kompetensi 7.1
1) Menghitung fungsi Distribusi Binomial dua dadu digelindingkan 3 kali untuk mendapatkan

jumlah mata dadu 11.
2) Seorang siswa sedang menghadapi kuis matematika sehubungan dengan materi yang baru

diperlajari. Kuis terdiri dari 6 soal. Karena kuis mendadak maka seorang siswa yang tidak
belajar menjawab seluruh 6 soal itu dengan menebak. Berapa peluang siswa itu menjawab:
a. Benar tepat dua soal
b. Benar tepat tiga soal
c. Benar Paling banyak tiga soal
d. Benar dua sampai empat soal

66 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 8

DATA BERDISTRIBUSI NORMAL

Peta Konsep

Data Berdistribusi Normal

Fungsi Distribusi Normal

Cara Menggunakan Tabel Normal

Menyelesaiakan Berkaitan Distribusi Binomial

Kata Kunci :
Fungsi Distribusi Normal, ara Menggunakan Tabel Normal , Menyelesaikan Berkaitan
Distribusi Normal

67 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 8
DATA BERDISTRIBUSI NORMAL

3.8 Menjelaskan Data  Mencermati Semua variabel acak bersifat diskrit
karakteristik data berdistribusi pemahaman kurva
berdistribusi normal normal sebagaimanatelah kita bicarakan
normal yang
berkaitan  Menyelesaikan pada pokok bahasan
dengan data masalah yang
berdistribusi berkaitan dengan sebelumnya(fungsi binomial).
normal distribusi normal
dan penarikan Sekarang kita alihkan perhatian kita
kesimpulannya
kepada distribusi dengan variabel
 Mempresentasikan
penarikan acak kontinu. Distribusi dengan
kesimpulan melalui
4.8 Menyelesaikan uji hipotesis untuk variabel acak kontinu yang pertama
masalah yang permasalahan yang
berkaitan berkaitan dengan kali kita akan kita bicarakan di sini
dengan distribusi normal
distribusi normal hanyalah distribusi normal atau
dan penarikan
kesimpulannya sering juga disebut distribusi Gauss.

Distribusi ini merupakan salah satu

yang paling penting dan banyak

digunakan.

A. DISTRIBUSI FUNGSI NORMAL

Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan :

f (x)  1 1( x )2

 2 e2 

Dengan

π = nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal, π = 3,1416

e = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183

µ = parameter, ternyata merupakan rata-rata distribusi

σ = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi

dan nilai x mempunyai batas -∞ < x < ∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi
normal. Sifat-sifat penting distribusi normal :

1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

2) Bentuknya simetrik terhadap x = µ

3) Mempunyai satu modus, jika kurva uniimodal, tercapai pada x = µ sebesar 0,3989


4) Grafiknya mendekati (berasimtotkan) sumbu datar x dimulai dari x = µ + 3 σ ke kanan dan
x = µ - 3 σ ke kiri

5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satuan persegi.

Untuk tiap pasang µ dan σ, sifat-sifat di atas selalu di penuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang
berlainan. Jika σ makin besar, kurva makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurva
makin tinggi (leptokurtik)

68 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Jika X sebuah variabel acak kontinu Karena ada hubungan dengan sifat fungsi probabilitas bilitas

     1 1( x )2
f (x)dx  1 , maka berlaku juga untuk f (x)dx 
   2 e 2  dx , maka menentukan

peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b ) digunakan rumus

b 1 1( x )2

P(a  X  b) a  2 e 2  dx

Penggunaan praktis menggunakan rumus diatas tidak perlu dirisaukan lagi karena telah tersusun

daftar untuk keperluan di maksud. Daftar tersebut dapat dilihat di daftar distribusi normal standar

atau normal baku pada lampiran (Daftar F). Distribusi normal standar ialah distribusi normal

dengan rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ = 1. Fungsi densitasnya berbentuk :

f (z)   1 1Z2

2 e 2 ; z daerah -∞ < z < ∞

Mengubah dstribusi normal umum f(x) diatas menjadi distribusi normal baku f(z) diatas ditempuh

menggunakan transformasi :

Z  X 


Perubahan grafiknya dilihat gambar berikut:

69 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Fungsi normal, mempunyai bentuk kurva yang simetris terhadap rata-ratanya. Luas kurva
disebelah kiri sama dengan di sebelah kanan rata-ratanya yaitu 0,5 atau 50%. Apabila x mengikuti
fungsi normal , maka menurut teorema normal ada fenomena tersebut :

1) ±68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara
µ - σ dan µ + σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 1σ dari rata-ratanya)

2) ±95,45% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara
µ - 2σ dan µ + 2σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 2σ dari rata-ratanya)

3) ±99,37% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara
µ - 3σ dan µ + 3σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 3σ dari rata-ratanya)

B. CARA MENGGUNAKAN TABEL NORMAL
Agar dapat menggunakan tabel normal, variabel X harus diubah terlebih dahulu menjadi
variabel Z. Untuk keperluan ini, lihat tabel F (tabel Normal pada lampiran)
Perhatikan, bahwa setiap nilai dalam tabel menunjukkan luas daerah di bawah kurva yang dibatasi
oleh nilai Z = 0 sampai dengan Z = tertentu (maksudnya jarak terhadap rata-rata) seperti contoh
dibawah ini.
Kalau nilai variabel yang diberikan belum berupa standar normal harus di standarkan
dahulu dengan rumus Z  X   , ingat bahwa luas seluruh kurva = 1 artinya probabilitas Z



mengambil antara = -∞ s/d +Z sebesar 1 (luas seluruh kurva) yaitu Pr (-∞ < Z < ∞) = 1 dan
Pr (-∞ < Z < 0) = Pr (0 < Z < ∞) = 0,5 (karena simetris terhadap titik 0, tempat rata-rata Z)

Kegiatan 8.1

Mecermati dan Memahami Kurva Normal
Perhatikan Soal berikut ini :

Pr (0 ≤ X ≤ 1,24) = 0,3925 → Pr Z > 1,24 = 0,5 – 0,3925 = 0,1075
Oleh karena kurva normal simetris, maka

Pr (-1,24 ≤ Z ≤ 0) = 0,3925 dan Pr (Z < -1,24) = 0,50 – 0,3925 = 1,1075
Perhatikan : Nilai 0,3925 terletak merupakan perpotongan antara baris dengan angka 1,2 dengan kolom

dengan angka 0,04. Angka 1,2 setelah digabungkan dengan 0,04 diperoleh angka Z yaitu :
Z = 1,2 + 0,04 = 1,24 (lihat lampiran tabel Normal diperoleh 0,3925)

70 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Pr (-1,5 ≤ Z ≤ 0) = 0,4332 Pr (Z ≤ 2,15) = 0,50 + Pr (0 ≤ Z ≤ 2,15)
Pr Z (-1,5 ≤ Z ≤ 1,5) = 0,4332 + 0,4332 = 0,50 + ...... = 0,9842

= 0,8664 Pr (0,73 ≤ Z ≤ 1,64)
= Pr (0 ≤ Z ≤ 1,64) - Pr (0 ≤ Z ≤ 0,73)
Pr (Z ≥ -1,45) = . ........... + ............ = ...
= Pr (-1,45 ≤ Z ≤ 0) + 0,50
= ...... + 0,5 = 0,9265

Di dalam persoalan khusus d dalam pengujian hipotesis (testing hypotesis) dan teori
perkiraan interval (interval estimation theory) kita sering harus mencari berapa besarnya nilai Z
apabila luas daerah dibawah kurva sudah diketahui.

Misal carilah besaran nilai Z sedemikian rupa sehingga daerah di sebelah kanannya = 10 %

Pr (0 ≤ Z ≤ ? ) = 0,50 - 0,100 = 0,400

Ternyata dari data tabel tidak ada angka 0,4000 tetapi angka yang dekat dengan angka itu yaitu
0,3997 dengan nilai Z sebesar 1,28.

Jadi Z = 1,28 sebesar Pr (0 ≤ Z ≤ 1,28) = 0,3997

Kegiatan 8.2

Meyelesaikan dan Mempresentasikan Berkaitan dengan Distribusi Normal

Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3,750 gr dengan simpangan baku 325 gr. Jika berat bayi
berdistribusi normal, maka tentukan :

a) Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gr
b) Berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr , jika semuanya ada 10.000 bayi
c) Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gr , jika semuanya ada

10.000 bayi
d) Berapa bayi yang beratnya 4.250 gr jika semuanya ada 5.000 bayi.
Penyelesaian : X = berat bayi dalam gr, µ = 3.750 gr, σ = 325 gr ,maka :

a) Dengan tranformasi Z  X   , untuk x = 4.500 gr


Z  4.500 gr  3.750 gr  2,31 (Lihat Daftar F)
325 gr

Z {(2,3) vertikal, (1) horizontal} = 0, 4896

71 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Berat yang lebih dari 4.500 gr pada grafiknya ada disebelah kanan z = 2,31. Luas daerah ini = 0,5 –
0,4896 = 0,0104.

Jadi ada 1,04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gr

0,4896

Grafik Luas daerah
b) Dengan x = 3.500 dan x = 4.500 gr

Z1  ...... gr  3.750 gr  0,77 dan Z2  .... gr  .... gr  ...
325 gr 325 gr

Daftar F diperoleh 0,2794 dan 0,4896,
Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,2794 + 0,4896 = ...
Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr diperkirakan ada (0,7690) (10000)

= ...

c) Dengan berat kecil atau sama dengan 4.000 g, maka beratnya harus lebih kecil dari
4.000,5
Z  ..... gr  3.750 gr  ... (Lihat Daftar F)
325 gr

Daftar F diperoleh 0,2794
Peluang berat bayi lebih kecil atau sama dengan 4.000 gr = 0,5 – ............ = ..............

Jadi banyak bayi = (..............)(.....................)= ........
Sketsa Grafiknya :

..............................................

d) Berat 4.250 gr berat antara 4.249,5 gr dan 4.250,5 gr, jadi :
X = ..................... dan x = .........................

Z1  ...... gr  3.750 gr  ... dan Z2  .... gr  .... gr  ...
325 gr 325 gr

Daftar F diperoleh ......... dan ..............,
Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,4382 - 0,4370 = ...
Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr diperkirakan ada (.............) (............) = ...

Sketsa Grafiknya :

...........................................

72 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

C. MENGUJI HIPOTESIS BERDISTRIBUSI NORMAL

Sebelum mempelajari cara menarik kesimpulan, kita telah mengenal istilah parameter.

Parameter dapat berupa taksiran dari populasi yang akan ditaksir dan diuraikan dalam bentuk

rata-rata, simpangan baku dan persen. Taksiran atau penafsiran sebaiknya berupa interval atau

selang taksiran yang akan dikenal sebagai arti sempit sebagai derajat kepercayaan/koefisien

kepercayaan merupakan pernyataan dalam bentuk peluang. Berdasarkan penaksiran yang

dilakukan, lalu kesimpulan dibuat bagaimana atau berapa besar harga parameter itu melalui

pengujian hipotesis.

Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk

menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. Jika asumsi atau

dugaan itu dihususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi,

maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan

karenanya pelu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Untuk pengujian

hipotesis, peneitian dilakukan sampel acak diambil, nilai-nilai statistik yang perlu dihitung

kemudian dibandingkan menggunakan kriteria tertentu dengan hipotesis.

Jika hasil yang dapat dari penelitian itu, dalam pengertian peluang, jauh berbeda dari hasil

yang diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak. Jika terjadi sebaliknya,

hipotesis diterima. Perlu dijelaskan di sini bahwa meskipun berdasarkan penenlitian kita

menerima atau menolak hipotesis, tidak berarti bahwa kita telah membuktikan atau tidak

membuktikan kebenaran hipotesis. Yang kita perlihatkan hanyalah menerima atau menolak

hipotesis saja.

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi,

dikenal dengan nama-nama :

 Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima

 Kekeliruan tipe II : Ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Untuk mengingat hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan dapat dilihat dalam

tabel dibawah ini.

Tabel 8. 1 Tipe Kekeliruan Membuat Kesimpulan Tentang Hipotesis

Kesimpulan Keadaan Sebenarnya

Hipotesis Benar Hipotesis Salah

Terima Hipotesis Benar Keliruan (Tipe II)

Tolak Hipotesis Keliruan (Tipe I) Benar

Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan dalam
peluang. Menuat peluang tipe I bisa dinyatakan dengan kekeliruan α dan peluang tipe II
dnyatakan dengan kekeliruan β. Dalam penggunaanya α disebut taraf signifikan atau taraf
nyata/arti. Harga α yang biasa digunakan yaitu α = 0,01 atau α = 0,05. Dengan α = 0,05 arti taraf
nyata 5 %, berarti kira-kira 5 dari 100 kesimpulan bahwa kita akan menoloka hipotesis yang
seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95 % yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan
yang benar. Dalam hal demkian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf 0,05 yang
berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05.

Langkah-langkah Pengujian Hipotesis :

Untuk setiap pengujian dengan α yang ditentukan, besar β dapat dihitung. Harga (1 – β)
dinamakan kuasa uji. Ternyata nilai β berbeda untuk harga parameter yang berlainan, Jadi β
bergantung pada parameter, katakanlah θ, sehingga didapat β(θ) sebuah fungsi yang bergantung
pada θ. Bentuk β(θ) dinamakan fungsi ciri operasi dan 1 – β(θ) disebut fungsi kuasa.

73 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Kalau yang sedang diuji itu parameter θ (dalam penggunaannya nanti θ bisa rata-rata μ,

proporsi π, simpangan baku σ dan lain-lain) :

H0 : θ = θ o

H1 : θ ≠ θ o Hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian

H0 : θ = θ o sama atau tidak memiliki perbedaan, disebut hipotesis nol

H1 : θ > θ o (Ho) melawan hipotesis tandingan (H1) yang mengandung

H0 : θ = θ o pengertian tidak sama., lebih besar atau lebih kecil.

H1 : θ < θ o

Langkah selanjutnya kita pilih bentuk statistik mana yang harus digunakan, apakah Uji Z, t,
X, F atau lainnya, Harga statistik yang dipilih dihitung dari data sampel yang dianalisis. Kemudian,
berdasarkan pilihan taraf nyata α (ukuran daerah kritis), kriteria pengujian kita tentukan. Peran
hipotesis tandingan (H1) dalam menentukan daerah kritis adalah sebagai berikut:
1) Jika tandingan H1 mempunyai perumusan tidak sama, Maka dalam distribusi statistik yang

digunakan normal untuk angka Z, didapat dua daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap
ujung adalah ½α. Karena adanya dua darah penolakan ini , maka pengujian hipotesis
dinamakan uji dua pihak

Gambar Uji dua pihak

Kriteria Ho diterima jika :

 Z 1 (1   )  Z  Z 1 (1   ) , dengan Z 1 (1   ) didapat dari daftar normal baku.
22 2

2) Untuk tandingan H1 mempunyai perumusan lebih besar , maka dalam distribusi statistik yang
digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah
kritis penolakan ini sama dengan α.

Gambar Uji pihak kanan

Kriteria Ho ditolak jika :
Z  Z(0,5 ) , dengan Z(0,5 ) didapat dari daftar normal baku.

Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh α,
menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan (Ho). Kriteria yang dipakai adalah tolak

74 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Ho jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d. Dalam Hal lain diterima Ho.
Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan

3) Untuk tandingan H1 mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik yang
digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kiri. Luas daerah kritis
penolakan ini sama dengan α.

Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh α,
menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan (Ho). Kriteria yang dipakai adalah
terima Ho jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel lebih besar dari d. Dalam Hal lain Ho kita
tolak. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri

Gambar Uji pihak kiri

Kegiatan 8.3

Menguji Hipotesis rata-rata μ, permasalahan berdistribusi Normal dengan rata-rata μ
dan simpangan baku σ

Uji Dua Pihak

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhir-

akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu telah berubah. Untuk menentukan hal ini,

dilakukan penelitian dengan jalan menuji 50 lampu. Ternyata rata-ratanya 792 jam. Dari

pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan taraf

nyata 0,05 apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau belum.

Penyelesaian :

Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan menguji

H0 : μ = 800 jam → Berarti lampu itu masa pakainya sekitar 800 jam

H1 : μ ≠ 800 jam → Berarti kualitas lampu telah berubah dan bukan 800 jam lagi

Z  X  , untuk simpangan baku σ diketahui, ẋ =792, n = 50, σ = 60 jam, μo = 800 jam


n

Z  ....  ....  ....  0,94
.... ....

...

Kriteria dipakai dari daftar normal baku untuk uji dua pihak dengan θ = 0,05 yang memberikan Z
(0,475) = 1,96 adalah

75 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Gambar Uji dua pihak

Terima Ho jika z hitung terletak antar -1,96 dan 1,96. Dalam hal lain Ho ditolak.
Dari penelitin sudah didapat z = -0,94 dan ini jelas terletak dalam daerah penerimaan Ho.
Jadi Ho diterima
Ini berarti dalam taraf nyata 0,05. Penelitian memperlihatkan bahwa memang masa pakai lampu
masih sekitar 800 jam. Jadi belum berubah.

Jika dari soal diatas simpangan baku populasi tidak diketahui, dari data sampel didapat s = 55 jam
(s = simpangan baku yang dihitung dari sampel) dan n = 50, maka

t  X   , untuk simpangan baku σ tidak diketahui (Distribusi Student, dengan dk = n – 1)
s

n

t  ...  ...  ...  1,029 (dengan dk = 49)
... ...

...

Gambar Uji dua pihak

Dari daftar distribusi student dengan α = 0,05 dengan dk = 49 untuk uji dua pihak didapat t = 2,01.
Kriteria pengujian terima ho jika t hitung terletak antara -2,01 dan 2,01 Sedangkan dalam hal
lainnya Ho ditolak.
Penelitian menghasilkan t = -1,029 yang jelas terletak dalam daerah penerimaan

Uji Satu Pihak

Proses pembuatan barang rata-rata meghasilkan 15,7 unit perjam. Hasil produksi mempunyai
varians = 2,3. Metode baru diusulkan untuk menganti yang lama jika rata-rata perjam
menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode diganti atau tidak,
metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha
bermaksud mengambil resiko 5% untuk mengunakan metode baru apabila metode ini rata-rata
menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan si pengusaha.
Penyelesaian :

76 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan menguji

H0 : μ = 16 → Berarti rata-rata hasil metode baru paling tinggi 16. Jika ini terjadi, metode lama

masih dipertahankan.

H1 : μ > 16 → Berarti rata-rata hasil metode baru lebih dari 16.dan karenanya metode lama

dapat diganti.

Z  X  , ẋ =16,9, n = 20, σ =2,3, μo = 16 buah


n

Z  ....  ....  ....  2,65
.... ....

...

Gambar Uji pihak kanan

Dari daftar normal standar dengan α = 0,05 diperoleh z = 1,64
Keiteria pengujian adalah tolak Ho Jika z hitung lebih kecil dari 1,64 maka Ho diterima.

Dari penelitian didapat z = 2,65 yang jelas jatuh pada daerah kritis. Jadi Ho ditolak. Ini
menyimpulkan bahwa metode baru dapat menggantikan metode lama dengan mengambil risiko
5%. Peluang tersebut adalah

P (Z ≥ 2,65 ) = 0,5 – 0,4960 = ...

Ini berarti :
Berdasarkan penelitian yang dilakukan. Kesempatan melakukan kekeliruan ketika memutuskan
mengambil metode baru adalah 4 dari setiap 1000, Dalam hal ini biasanya dituliskan bahwa
peluang P < 0,05 bahkan P < 0,01.

Uji Kompetensi 8.1
1) Dikatakan bahwa dengan menyuntikan semacam hormon tertentu kepada ayam akan

menambah serat telurnya rata-rata dengan 4,5 gram. Sampel acak terdiri atas 31 butir telur
dari ayam yang telah diberi suntikan hormon tersebut memberikan rata-rata 4,9 gram dan
simpangan baku s = 0,8 gram. Cukup beralasan untuk menerima penyataan bahwa
pertambahan rata-rata telur paling sedikit 4,5 gram.
2) Akhir-akhir ini masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan A dalam
kaleng tidak sesuai dengan yang tertulis pada etiketnya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,
23 kaleng makanan A telah diteliti secara acak. Dari ke-23 isi kaleng tersebut, berat badan
rata-ratanya 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 0,05, tentukan apa yang
akan kita katakan tentang keluhan masyarakat tersebut.

77 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII