ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 1 ***************************************************************************************************************************************************************************** เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 (รหัสวิชา ค33202) ตามหลักสูตร 2551 (ปรับปรุง พ.ศ.2560) ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่6 ประจ าภาคเรียนที่2 ปีการศึกษา 2566 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนปากเกร็ด อ าเภอปากเกร็ด จังหวัดนนทบุรี หน่วยการเรียนรู้ที่4. ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ( ) สาระและผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้: 4.1 ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม 4.2 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ( ) 4.2.1 การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ( ) 4.2.2 การแจกแจงทวินาม ( ) 4.3 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ( ) 4.3.1 การแจกแจงปกติ( ) 4.3.2 การแจกแจงมาตรฐาน ( ) ผลการเรียนรู้(หลัก) : 1. เข้าใจและใช้สถิติในการน าเสนอข้อมูล และแลความหมายของค่าสถิติเพื่อประกอบการตัดสินใจ 2. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจากตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูป การแจกแจงทวินาม และการแจกแจงปกติ และน าไปใช้แก้ปัญหา ความรู้พื้นฐานของนักเรียน (ที่ต้องเรียนมาแล้ว) 1. หลักการนับเบื้องต้น 2. ความน่าจะเป็น 3. การวิเคราะห์และน าเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ จุดมุ่งหมาย (ย่อย) : มุ่งให้ผู้เรียน 1. จ าแนกได้ว่าตัวแปรสุ่มที่ก าหนดให้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องหรือตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 2. เขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง 3. หาค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง พร้อมใช้ในการแก้ปัญหา 4. ตรวจสอบได้ว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ 5. ใช้ความรู้เกี่ยวกับการแจกแจงทวินามในการแก้ปัญหา 6. หาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มปกติที่มีอยู่ในช่วงที่ก าหนด 7. ใช้ความรู้เกี่ยวกับการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติมาตรฐานในการแก้ปัญหา ชื่อ ………………………………………..……………….……………….. นามสกุล ……………………...………………………………..……………………………………….. 5 ชั้น ม. 6 /……… เลขที่ ………….. เลขประจ าตัว ………………………………… โทร. ………….……………………………..……………………….. ครูผู้สอน ………………………………………..…........................................................................................................................…………….……………….. คณิต ...กับชีวิตที่... ...แพ้ไม่ได้...
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 2 ***************************************************************************************************************************************************************************** หน่วยการเรียนรู้ที่4. ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ( ) เรื่อง สารบัญ หน้า 4.1 ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม .............................................................................................................. 3 - กิจกรรมระหว่างเรียน 1 : แบบฝึกหัด 4.1 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 196) ............................................. 4 4.2 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variable) ................................ 5 4.2.1 การน าเสนอการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องด้วยตารางและกราฟ .................... 6 - กิจกรรมระหว่างเรียน 2 : : แบบฝึกหัด 4.2ก. การน าเสนอการแจกแจงความน่าจะเป็น ของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องด้วยตารางและกราฟ (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 202) ..................................... 9 4.2.2 ค่าคาดหมาย () และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ) ของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ........................... 12 - กิจกรรมระหว่างเรียน 3 : แบบฝึกหัด 4.2ข. (ในหนังสือแบบเรียนหน้า 208) ........................................... 16 4.2.3 การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง (Discrete uniform distribution) .................................................. 22 - กิจกรรมระหว่างเรียน 4 : แบบฝึกหัด 4.2.1 (ในหนังสือแบบเรียนหน้า 211 - 212) ............................... 24 4.2.4 การแจกแจงทวินาม (Binomial distribution) ............................................................................. 30 - กิจกรรมระหว่างเรียน 5 : แบบฝึกหัด 4.2.2 (ในหนังสือแบบเรียนหน้า 220 - 221) ............................... 35 4.3 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous random variable) ........................... 48 4.3.1 การแจกแจงปกติ (Normal Distribution) ..................................................................................... 49 4.3.2 การแจกแจงมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) ........................................................... 51 4.3.2.1 ความหมายและสมบัติของค่ามาตรฐาน (Standard Score or Z − Score or Z − Value) ……..... 51 4.3.2.1 (1) ความหมายของค่ามาตรฐาน ................................................................................................. 51 4.3.2.1 (2) ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งปกติ กับ ค่ามาตรฐาน .............................................................. 52 4.3.2.1 (3) สมบัติของค่ามาตรฐาน ......................................................................................................... 53 4.3.2.1 (4) สมบัติของเส้นโค้งปกติ (Normal Curve) ............................................................................. 54 4.3.2.1 (5) ความสัมพันธ์ระหว่างค่ามาตรฐาน (Z − Score) กับโค้งปกติ(Normal Curve) และการน าไปใช้ ................................................................................................................. 55 - กิจกรรมระหว่างเรียน 6 : ค่ามาตรฐาน () และการน าไปใช้ที่ค่ามาตรฐาน : (−∞ < < ∞) ….... 56 4.3.2.2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) .................................................. 59 - กิจกรรมระหว่างเรียน 7 : การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากตาราง 1 ที่ค่ามาตรฐาน : ( < ) …….... 68 4.3.2.3 ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน (Standard Normal Random Variable) .................................... 71 - กิจกรรมระหว่างเรียน 8 : ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน แบบฝึกหัดที่ 4.3 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 241) .................................... 72 4.3.3 การแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มมาตรฐาน ................................................................. 74 - กิจกรรมระหว่างเรียน 9 : แบบฝึกหัดที่ 4.3 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 241-242) .............................. 76 4.3.4 เปอร์เซนไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง .......................................................................................... 79 - กิจกรรมระหว่างเรียน 10 : เปอร์เซนไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง แบบฝึกหัดที่ 4.3 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 242-243) ........................... 81 4.3.5 การเปรียบเทียบต าแหน่งของข้อมูลโดยใช้ค่าของตัวแปรสุ่มสมมุติฐาน ...................................... 88 - กิจกรรมระหว่างเรียน 11 : การเปรียบเทียบต าแหน่งของข้อมูลโดยใช้ค่าของตัวแปรสุ่มสมมุติฐาน แบบฝึกหัดที่ 4.3 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 243-244) .......................... 90 - กิจกรรมระหว่างเรียน 12 : แบบฝึกหัดท้ายบท บทที่4 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 247-255) ……... 95-131
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 3 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.1 ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม 4.1.1 ความหมายของตัวแปรสุ่ม พิจารณาการทดลองสุ่ม ซึ่งได้จาการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง ให้ แทน ปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มนี้ แทน เหรียญขึ้นหัว แทน เหรียญขึ้นก้อย จะได้ = { , , , , , , , } และ () = ให้ 0 , 1 , 2 และ 3 แทน เหตุการณ์ที่เหรียญเกิดขึ้นหัว () จ านวน 0 , 1 , 2 และ 3 ครั้ง ตามล าดับ จะเห็น ได้ว่าสิ่งที่เราสนใจไม่ใช่หน้าของเหรียญที่ปรากฎในการโยนแต่ละครั้ง แต่สนใจจ านวนครั้งที่เหรียญเกิดขึ้นหัว () ซึ่งค่าที่ เป็นไปได้มี 4 ค่า คือ 0 , 1 , 2 , 3 โดยจะยังไม่ทราบค่าที่ได้จริงๆ จนกว่าจะเสร็จสิ้นการทดลองสุ่ม เราจึงก าหนดฟังก์ชัน จากปริภูมิตัวอย่าง ไปยัง { 0 , 1 , 2 , 3} เพื่อแปลงผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่มทั้งหมดที่มีโอกาส เกิดหัว () โดยก าหนดให้ () = 3 , () = 2 , () = 2 , () = 1 () = 2 , () = 1 , () = 1 , () = 0 เรียก ว่า ตัวแปรสุ่ม นิยามโดย ตัวแปรสุ่ม ( ) คือ ฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลงสุ่มไปยังเซตของจ านวนจริง (ℝ) และเรียกสมาชิกของตัวแปรสุ่มว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม ซึ่งแต่ละค่าจะเกิดได้ด้วย ความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง ซึ่งสรุปได้อย่างง่ายๆ ว่า ตัวแปรสุ่ม ( ) คือ ตัวแปรที่มีค่าเป็นตัวเลข ที่ใช้แทนจ านวน การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เราสนใจในการทดลองสุ่ม โดยทั่วไปนิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น , , แทน “ตัวแปรสุ่ม” และใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น , , แทน “ค่าของตัวแปรสุ่ม” จากข้างต้น ใช้สัญลักษณ์ = แทน เหตุการณ์ที่เหรียญเกิดขึ้นหัว ครั้ง และ ใช้สัญลักษณ์ ( = ) แทน ความน่าจะเป็น ที่เหรียญเกิดขึ้หัว ครั้ง ดังนั้น จะเขียน ( = 0) แทน (0) หรือ ความน่าจะเป็นที่เหรียญเกิดขึ้นหัว 0 ครั้ง ซึ่ง (0 ) = 1 8 ( = 1) แทน (1) หรือ ความน่าจะเป็นที่เหรียญเกิดขึ้นหัว 1 ครั้ง ซึ่ง (1 ) = 3 8 ( = 2) แทน (2) หรือ ความน่าจะเป็นที่เหรียญเกิดขึ้นหัว 2 ครั้ง ซึ่ง (2 ) = 3 8 ( = 3) แทน (3) หรือ ความน่าจะเป็นที่เหรียญเกิดขึ้นหัว 3 ครั้ง ซึ่ง (3 ) = 1 8 จ านวนครั้งที่เกิดหัว : 0 1 2 3 ความน่าจะเป็น : ( = ) = () 1 8 3 8 3 8 1 8 จะได้ความน่าจะเป็นที่จะเกิดหัวเป็นจ านวน ครั้ง โดย (0 ) = 1 8 , (1 ) = 3 8 , (2 ) = 3 8 , (3 ) = 1 8 และ () = ∑ ( ) =1 = (0 ) + (1 ) + (2 ) + (3 ) = 1 8 + 3 8 + 3 8 + 1 8 = 8 8 = 1 จะเห็นว่า ตัวแปรสุ่ม 1 ค่า จะมีความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม 1 ค่า และตัวแปรสุ่มหลายค่าในชุดนั้นก็จะมีความ น่าจะเป็นหลายค่าซึ่งเป็นไปตามค่าของตัวแปรสุ่มเหล่านั้น และผลรวมของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มในชุดนั้นจะมีค่า เท่ากับ 1 (หรือ 100 เปอร์เซนต์เสมอ) ซึ่งท าให้เกิด “การแจกแจงตัวแปรสุ่ม” และน ามาสร้าง “ฟังก์ชันความหนาแน่นของ ความน่าจะเป็น ( ∶ . . .)” ของตัวแปรสุ่ม ซึ่ง .. . เป็นฟังก์ชันที่แสดงว่า โอกาสที่ตัวแปรสุ่ม จะมีโอกาสเท่ากับค่าใดค่าหนึ่ง () นั้นจะโอกาสด้วยความ น่าจะเป็นเท่าใด ดังนั้นเมื่อแทนค่า ลงใน ( = ) จะได้ความน่าจะเป็นที่ 0 ≤ ( = ) ≤ 1 ดังแสดงข้างต้น
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 4 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.1.2 ชนิดของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไป ตัวแปรสุ่มแบ่งได้เป็น 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าที่เป็นไปได้ ของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ 1. ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ( ) 2. ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (continuous random variale) คือ ตัวแปรสุ่มที่ค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ในเซตที่ สามารถ “นับจ านวนสมาชิกได้” หรือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของตัวแปรสุ่มสามารถ “เขียนเรียงล าดับจากน้อยไปหามาก ได้” ทั้งนี้ เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มไม่ ต่อเนื่องอาจเป็นเซตจ ากัดหรือเซตอนันต์ก็ได้ตัวอย่าง เช่น (1) ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าให้ตัวแปร สุ่ม คือ ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองจะได้เซตของ ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือ {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12} (2) ในการโยนเหรียญ 1 เหรีญ 1 ครั้ง ถ้าให้ตัวแปรสุ่ม เป็น 0 เมื่อขึ้นหัว และ 1 เมื่อเหรียญขึ้นก้อย จะได้เซตของ ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {0 , 1} (3) ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญไปเรื่อยๆ จนกว่าเหรียญ นั้นจะขึ้นหัวจึงจะหยุด ถ้าให้ตัวแปรสุ่มคือ จ านวนครั้งที่ต้อง โยนเหรียญจนกว่าเหรียญจะขึ้นหัว จะได้เซตของค่าที่เป็นไป ได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {1 , 2 , 3 ,4 , … } หรือ - สรุปง่ายๆ ได้ว่า ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจะมีค่าเป็น จ านวนเต็ม 0 หรือ จ านวนเต็มบวก (จ านวนที่นับได้) 1 , 2 , 3 , … คือ ตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นช่วงที่ เป็นสับเซตของ ตัวอย่าง เช่น (1) ให้ตัวแปรสุ่ม คือ ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง อาจได้ว่า เซตของค่าที่เป็นไป ได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นช่วง [ 150 , 190 ] (2) ให้ตัวแปรสุ่ม คือ น้ าหนัก (กิโลกรัม) ของแตงโมที่เก็บ เกี่ยวจากสวนแห่งหนึ่ง อาจได้ว่า เซตของค่าที่เป็นไปได้ ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นช่วง [ 1 , 6 ] (3) ให้ตัวแปรสุ่ม คือ ระยะเวลา (ชั่วโมง) นับจากปัจจุบัน จนเกิดแผ่นดินไหวครั้งต่อไปที่จังหวัดล าปาง อาจได้ว่า เซต ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นช่วง [ 0 , ∞ ] - สรุปง่ายๆ ได้ว่า ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง จะมีค่าเป็น จ านวนจริงที่ต่อเนื่องกัน หรือทศนิยม มักเป็นค่าที่ได้จาก การชั่ง ตวง วัด หรือ ความสูง น้ าหนัก มวลของวัตถุ ระยะทาง ระยะเวลา เป็นต้น กิจกรรมระหว่างเรียน 1 : แบบฝึกหัด 4.1 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 196) ข้อ 1. จงพิจารณาว่าตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องหรือตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง หรือ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 1. ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนข้อสอบ (ข้อ) ที่ตอบถูก จากจ านวน ข้อสอบแบบปรนัยทั้งหมด 50 ข้อ ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของ นักเรียนคนหนึ่ง 2. ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนวัยรุ่น (คน) ที่ชื่นชอบการดื่มชาเขียว จากการสอบถามวัยรุ่นจ านวน 100 คน 3. ตัวแปรสุ่ม คือ อุณหภูมิร่างกาย (องศาเซลเซียส) ของผู้ป่วย ไข้หวัดใหญ่ในโรงพยาบาลแห่งหนึ่ง 4. ตัวแปรสุ่ม คือ น้ าหนัก (กิโลกรัม) ของทารกแรกเกิด ใน โรงพยาบาลแห่งหนึ่ง 5. ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนลูกค้า (คน) ที่มาใช้บริการที่ธนาคาร แห่งหนึ่ง ระหว่างเวลา 09.00 - 12.00 น. 6. ตัวแปรสุ่ม คือ เวลา (นาที) ที่ใช้ในการเดินทางจาก สนามหลวงถึงอนุเสาวรีย์ชัยสมรภูมิโดยรถโดยสารสารธารณะ
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 5 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 2. จงพิจารณาว่าข้อมูลของตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องหรือตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง หรือ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 1. = ปริมาณผงกาแฟยี่ห้องหนึ่งในขวดขนาดกลาง 2. = จ านวนค าผิดในแต่ละหน้าของสมุดโทรศัพท์ 3. = ระดับน้ าท่วมในเขตกรุงเทพมหานคร 4. = จ านวนลูกชายในครอบครัวหนึ่ง 5. = ปริมาณน้ านมที่รีดได้จากแม่วัวตัวหนึ่งในรอบ 1 ปี 6. = จ านวนอุบัติเหตุทางรถยนต์ในกรุงเทพมหานคร ในรอบ 1 ปี 7. = น้ าหนักเป็นกิโลกรัมของธัญพีชที่ผลิตได้ต่อเนื้อที่ 1 ไร่ 8. = จ านวนไข่จากแม่ไก่ตัวหนึ่งในแต่ละเดือน 9. = ระยะเวลาที่นักเรียนท าข้อสอบเสร็จ เมื่อข้อสอบที่ท า ใช้เวลา 120 นาที ข้อ 3. จงยกตัวอย่างข้อมูลที่เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง มา 3 ตัวอย่าง ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง 3.1) 3.2) 3.3) ข้อ 4. จงยกตัวอย่างข้อมูลที่เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง มา 3 ตัวอย่าง ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 4.1) 4.2) 4.3)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 6 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.2 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ( ) 4.2.1 การน าเสนอการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องด้วยตารางและกราฟ ในการหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่เราสนใจ นอกจากจะใช้ความรู้เรื่องความน่าจะเป็นแล้ว ยังสามารถหาความ น่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์จากตารางแจกแจงความถี่ได้อีกด้วย ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่1 จากการส ารวจจ านวนพี่น้องของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จ านวน 50 คน แสดงด้วยความถี่ ดังนี้ จ านวนพี่น้อง (คน) ความถี่ () ความถี่สัมพัทธ์ 0 6 0.12 1 22 0.44 2 17 0.34 3 4 0.08 4 1 0.02 = ∑ = ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คนจากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม แทนจ านวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มได้ จงหาความน่าจะเป็นที่ นักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง คน เมื่อ ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } วิธีท า ให้ (0 ) , (1 ) , (2 ) , (3 ) , (4 ) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง จ านวน 0 , 1 , 2 , 3 , 4 คน ตามล าดับ ส าหรับ ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } จะได้ว่า ( = ) คือ ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 0 คน คือ ( = 0) = 6 50 = 0.12 ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 1 คน คือ ( = 1) = 22 50 = 0.44 ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 2 คน คือ ( = 2) = 17 50 = 0.34 ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 3 คน คือ ( = 3) = 4 50 = 0.08 ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 4 คน คือ ( = 4) = 1 50 = 0.02 0 1 2 3 4 ( = ) 0.12 0.44 0.34 0.08 0.02 จะพบว่าผลรวมของ (0 ) + (1 ) + (2 ) + (3 ) + (4 ) = 6 50 + 22 50 + 17 50 + 4 50 + 1 50 = 50 50 = 1 ท านองเดียวกันผลรวมของ ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) + ( = 4) = 0.12 + 0.44 + 0.34 + 0.08 + 0.02 = 1 โดยทั่วไปจะพบว่า ส าหรับตัวแปรสุ่ม ใดๆ จะมีค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 นั่นคือ 0 ≤ ( = ) ≤ 1 และผลรวมของความน่าจะเป็นของการเกิดค่าแต่ละค่าของ ( = ) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เท่ากับ 1 ( = ) เมื่อเราน าข้อมูลของความน่าจะเป็นส าหรับตัวแปรสุ่ม แต่ละค่ามาลงจุดบนกราฟเพื่ออธิอบายลักษณะของตัวแปร สุ่ม จะเรียกว่า “การแจกแจงความน่าจะเป็น ( )” และเขียนกราฟเชื่อมแต่ละจุด ของความ น่าจะเป็นที่เกิดจาก “การแจกแจงตัวแปรสุ่ม” เป็นกราฟของฟังก์ชัน เราจะได้กราฟของ “ฟังก์ชันความหนาแน่นของความ น่าจะเป็น ( ∶ . . .)” ของตัวแปรสุ่ม ซึ่ง . . . เป็นฟังก์ชันที่แสดงว่าโอกาสที่ตัว แปรสุ่ม จะมีโอกาสเท่ากับค่าใดค่าหนึ่ง () นั้นจะโอกาสด้วยความน่าจะเป็นเท่าใด ดังนั้นเมื่อแทนค่า ลงใน ( = ) จะได้ความน่าจะเป็นที่ 0 ≤ ( = ) ≤ 1 และผลรวมของตัวแปรสุ่มทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 (หรือ 100 เปอร์เซนต์) เสมอ
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 7 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่2 ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัวที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม ในรูปตารางและกราฟ วิธีท า ให้ แทน ปริภูมิตัวอย่างการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง โดยให้ แทน เหรียญขึ้นหัว และ แทน เหรียญขึ้นก้อย จะได้ = { , , , , , , , } และ () = 8 ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือ 0 , 1 , 2 , 3 หรือ ( = ) เมื่อ ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } เหตุการณ์ที่ = 0 คือ { } หรือ ( = 0) = 1 8 = 0.125 เหตุการณ์ที่ = 1 คือ { , , } หรือ ( = 1) = 3 8 = 0.375 เหตุการณ์ที่ = 2 คือ { , , } หรือ ( = 2) = 3 8 = 0.375 เหตุการณ์ที่ = 3 คือ { } หรือ ( = 3) = 1 8 = 0.125 จะได้ (1) ตารางส าหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่ม ดังนี้ 0 1 2 3 ( = ) 0.125 0.375 0.375 0.125 และจะได้ (2) กราฟส าหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่ม ดังนี้ ( = ) ซึ่งจะได้ตารางและกราฟ ส าหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่ม ที่แสดงจ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัวที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง ….. ∎ จากตัวย่างที่ 2 ถ้าเราน าเสนอการแจกแจงส าหรับตัวแปรสุ่ม ที่แสดงจ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัวที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง ดังตาราง {} { } {} {} {} {} {} {} 0 1 2 3 ( = ) 0.125 0.375 0.375 0.125 เปรียบเทียบกับกราฟส าหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่ม ที่แสดงความน่าจะเป็นของจ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง ดังกราฟรูป ( = ) เมื่อเราน าข้อมูลที่แสดงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นส าหรับตัวแปรสุ่ม แต่ละค่ามาลงจุดบนกราฟเพื่อ อธิอบายลักษณะของตัวแปรสุ่ม ที่เป็น“การแจกแจงความน่าจะเป็น ( )” และเขียนกราฟ เ ชื่ อ ม แ ต่ ล ะ จุ ดจ ะ เ ห็ น ลั ก ษ ณ ะ ลั ก ษ ณ ะ ก ร า ฟ ที่ เ ป็ น ฟั ง ก์ ชั น ค ว า ม ห น า แ น่ น ข อ ง ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น ( ∶ . . ) ของตัวแปรสุ่มโดยที่ผลรวมของ ( = ) เท่ากับ 1 8 + 3 8 + 3 8 + 1 8 = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1 โดยที่ 0 ≤ ( = ) ≤ 1 ซึ่งเป็นความรู้พื้นฐานที่จะใช้ศึกษาเรื่องพื้นที่ใต้โค้ง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในหัวข้อต่อไป
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 8 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 2 : การน าเสนอการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องด้วยตารางและกราฟ ให้ตัวแปรสุ่ม แทน ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตารางและกราฟ วิธีท า ให้ แทน ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จะได้ = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)} ซึ่ง () = 36 ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม (ที่เป็นผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า)คือ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 8 10 , 11 , 12 เหตุการณ์ที่ = 2 คือ {(1,1)} หรือ ( = 2) = 1 36 = 0.0277 … ≈ 0.28 เหตุการณ์ที่ = 3 คือ {(1,2) , (2,1)} หรือ ( = 3) = 36 = …………………….…………….. เหตุการณ์ที่ = 4 คือ {(… . , … . ) , (… . , … . ) , (… . , … . )} หรือ ( = 4) = 36 = ……………………….………….. เหตุการณ์ที่ = 5 คือ {(… . , … . ) , (… . , … . ) , (… . , … . ), (… . , … . )} หรือ ( = 5) = 36 = ………………………….……….. เหตุการณ์ที่ = 6 คือ {(… . , … . ) , (… . , … . ) , (… . , … . ), (… . , … . ), (… . , … . )} หรือ ( = 6) = 36 = ………………………………….. เหตุการณ์ที่ = 7 คือ {(… . , … . ) , (… . , … . ) , (… . , … . ), (… . , … . ) , (… . , … . ) , (… . , … . )} หรือ ( = 7) = 36 = ………… เหตุการณ์ที่ = 8 คือ {(… . , … . ) , (… . , … . ) , (… . , … . ), (… . , … . ), (… . , … . )} หรือ ( = 8) = 36 = …………………….…………….. เหตุการณ์ที่ = 9 คือ {(… . , … . ) , (… . , … . ) , (… . , … . ), (… . , … . )} หรือ ( = 9) = 36 = …………………….…………….. เหตุการณ์ที่ = 10 คือ {(… . , … . ) , (… . , … . ) , (… . , … . )} หรือ ( = 10) = 36 = …………………….………… เหตุการณ์ที่ = 11 คือ {(… . , … . ) , (… . , … . )} หรือ ( = 11) = 36 = …………………….………… เหตุการณ์ที่ = 12 คือ {(6,6)} หรือ ( = 12) = 1 36 = 0.0277 … ≈ 0.28 จะได้(1) ตารางส าหรับการแจกแจง ส าหรับตัวแปรสุ่ม ดังนี้ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ( = ) และจะได้(2) กราฟส าหรับการแจกแจง ส าหรับตัวแปรสุ่ม ดังนี้ ( = ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 กราฟที่เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ( ∶ .. ) ของตัวแปรสุ่ม โดยที่ผลรวมของ ( = ) เท่ากับ
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 9 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 2 : แบบฝึกหัด 4.2ก. (ในหนังสือแบบเรียนหน้า 202) ข้อ 1. ข้อสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข้อ จ านวนข้อสอบที่ตอบถูกในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้ ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จ านวน 40 คน แสดงด้วยตารางแจกแจงความถี่ได้ดังนี้ จ านวนข้อที่ตอบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จ านวนนักเรียน (คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2 ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก จงเขียนการแจกแจง ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตาราง พร้อมเขียนกราฟแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 10 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 2. ในการตรวจสอบคุณภาพของสินค้าชนิดหนึ่งซึ่งมีทั้งหมด 80 กล่อง แต่ละกล่องมีสินค้าจ านวน 500 ชิ้น ผู้ตรวจสอบ จะสุ่มสินค้าจากแต่ละกล่องมาตรวจสอบกล่องละ 100 ชิ้น โดยแสดงผลการตรวจสอบด้วยตารางแจกแจงความถี่ได้ดังนี้ จ านวนสินค้าที่ไม่ผ่านมาตรฐานจากสินค้า 100 ชิ้น ที่สุ่มมาตรวจสอบจากแต่ละกล่อง (ชิ้น) 0 1 2 3 4 5 6 จ านวนกล่อง 41 17 14 4 3 0 1 ถ้าสุ่มกล่องสินค้ามา 1 กล่อง จากกล่องสินค้าทั้งหมด 80 กล่อง และให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนสินค้าที่ไม่ผ่าน มาตรฐานจากสินค้า 100 ชิ้นที่สุ่มมาตรวจสอบจากกล่องนี้ จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตาราง พร้อมเขียนกราฟแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 11 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 3. ให้ตัวแปรสุ่ม คือ ผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตาราง และกราฟ วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 12 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.2.2 ค่าคาดหมาย () และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ) ของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง จะนิยามค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ดังนี้ บทนิยาม 1 ค่าคาดหมาย ( ) ของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง เขียนแทนด้วย นิยามโดย = ∑ =1 ( = ) เมื่อ แทน จ านวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม และ 1 , 2 , 3 , … , แทน ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม หมายเหตุ : ในกรณีที่ค่าของเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม เป็นเซตอนันต์จะนิยามให้ = ∑ ∞ =1 ( = ) แต่ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะกรณีเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นเซตจ ากัด ตัวอย่างที่4 จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม จากตัวอย่างที่ 1 วิธีท า จากตัวอย่างที่ 1 จากการส ารวจจ านวนพี่น้องของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จ านวน 50 คน แสดงด้วยความถี่ ดังนี้ จ านวนพี่น้อง (คน) ความถี่ () ความถี่สัมพัทธ์ 0 6 0.12 1 22 0.44 2 17 0.34 3 4 0.08 4 1 0.02 = ∑ = ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คนจากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม แทน จ านวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มได้ จะได้ความน่าจะเป็นที่ นักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง คน เมื่อ ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } ซึ่ง ( = ) คือ ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมี พี่น้อง คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 0 คน คือ ( = 0) = 6 50 = 0.12 ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 1 คน คือ ( = 1) = 22 50 = 0.44 ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 2 คน คือ ( = 2) = 17 50 = 0.34 ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 3 คน คือ ( = 3) = 4 50 = 0.08 ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง 4 คน คือ ( = 4) = 1 50 = 0.02 เขียนสรุปได้ดังตาราง 0 1 2 3 4 ( = ) 0.12 0.44 0.34 0.08 0.02 ต่อไปจะหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม จาก = ∑ =1 ( = ) จะได้ว่า = 0 ∙ ( = 0) + 1 ∙ ( = 1) + 2 ∙ ( = 2) + 3 ∙ ( = 3) + 4 ∙ ( = 4) = 0(0.12) + 1(0.44) + 2(0.34) + 3(0.08) + 4(0.02) = 0 + 0.44 + 0.68 + 0.24 + 0.08 = 1.44 นั่นคือ ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม คือ 1.44 คน …….. 4.1 ∎ ในท านองเดียวกัน จากความรู้เรื่องการหาค่ากลางของข้อมูลที่เราเคยเรียนมาแล้ว โดยที่ค่ากลางของข้อมูลหาได้จาก ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด หารด้วย จ านวนข้อมูลที่มี จากตารางในตัวอย่างที่ 4 ข้างต้น จะได้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของของจ านวน พี่น้องของนักเรียนทั้ง 50 คน คือ = 0(6)+1(22)+2(17)+3(4)+4(1) 50 = 72 50 = 1.44 …….. 4.2 ∎ หรือ = 0 ∙ ( 6 50) + 1 ∙ ( 22 50) + 2 ∙ ( 17 50) + 3 ∙ ( 4 50) + 4 ∙ ( 1 50) = 0(0.12) + 1(0.44) + 2(0.34) + 3(0.08) + 4(0.02) = 1.44 …….. 4.3 ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 13 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่5 ในงานประจ าปีของจังหวัดหนึ่ง มีเกมวงล้อเสี่ยงโชค โดยมีกติกาว่า ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อ ที่มีหมายเลข 1–7 ก ากับไว้ดังรูป ถ้าลูกศรที่ชี้ช่องที่มีหมายเลขก ากับเป็นจ านวนคี่ ผู้เล่นจะได้เงินรางวัล 20 บาท สมมติในการหมุนวงล้อ แต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อตัวในราคา 10 บาท จงหาค่าคาดหมายของจ านวนเงินที่ผู้เล่นจะได้รับหรือเสียไป พร้อมทั้ง อธิบายความหมาย วิธีท า ให้ตัวแปรสุ่ม คือ ก าไร (ขาดทุน) ของผู้เล่นจากการหมุนวงล้อ 1 ครั้ง เนื่องจากในการหมุนวงล้อ 1 ครั้ง มีหตุการณ์ที่เป็นไปได้ 2 เหตุการณ์ คือ ผู้เล่นได้เงินรางวัล 20 บาท และผู้เล่นไม่ได้ เงินรางวัล แต่ในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องเสียเงิน 10 บาท จะได้ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือ 10 และ −10 เนื่องจากผู้เล่นจะได้รับเงินรางวัลก็ต่อเมื่อ ลูกศรชี้ที่ช่องที่มีหมายเลขก ากับเป็นจ านวนคี่ (จากรูป) ซึ่งมี 4 ช่อง จากทั้งหมด 10 ช่อง ดังนั้น คือ ( = 10) = 4 10 และ ( = −10) = 6 10 ต่อไปจะหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม จาก = ∑ =1 ( = ) จะได้ว่า = 10 ∙ ( = 10) + (−10) ∙ ( = −10) = 10 ( 4 10) + (−10)( 6 10 ) = 4 − 6 = −2 นั่นคือ ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม คือ −2 บาท หรือ ค่าคาดหมายของก าไร (ขาดทุน) หรือจ านวนเงินที่ผู้เล่น จะได้รับหรือเสียไป คือ −2 บาท ซึ่งหมายความว่า โดยเฉลี่ยแล้ว ในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะขาดทุนครั้งละ 2 บาท แสดงว่า ถ้าผู้เล่น เล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคหลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วผู้เล่นจะเสียเปรียบ …….. ∎ ต่อไปจะนิยามส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม เพื่อใช้ในการวัดการกระจายของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มว่า มีความความแตกต่างจากค่าคาดหมายมากหรือน้อยเพียงใด จากบทนิยาม 2 บทนิยาม 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง เขียนแทนด้วย σ นิยามโดย σ = √∑ ( − ) 2 =1 ( = ) และเรียก 2 ว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง เมื่อ แทนจ านวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม และ 1 , 2 , 3 , … , แทน ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม หมายเหตุ : 1) จากบทนิยาม 2 จะได้ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม คือ 2 = ∑ ( − ) 2 =1 ( = ) 2) ค่าของเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม เป็นเซตอนันต์จะนิยามให้ σ = √∑ ( − ) ∞ 2 =1 ( = ) แต่ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะกรณีเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของตัวแปรสุ่มเป็นเซตจ ากัด
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 14 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่ 6 จงใช้ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มจากตัวอย่างที่ 4 ที่ได้จากการส ารวจจ านวนพี่น้องของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จ านวน 50 คน ที่จะมีจ านวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มได้ จะมีพี่น้อง คน เมื่อ ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } แสดงด้วยความถี่ จงหาความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า จากตัวอย่างที่ 4 จะได้ตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ 0 1 2 3 4 ( = ) 0.12 0.44 0.34 0.08 0.02 6.1) หาค่าคาดหมาย ของตัวแปรสุ่ม จาก = ∑ =1 ( = ) จะได้ = 0(0.12) + 1(0.44) + 2(0.34) + 3(0.08) + 4(0.02) = 1.44 นั่นคือ ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม คือ 1.44 คน ……..6.1 ∎ 6.2) หาความแปรปรวน ของตัวแปรสุ่ม จาก 2 = ∑ ( − ) 2 =1 ( = ) จะได้ 2 = (0 − 1.44) 2 ∙ (0.12) + (1 − 1.44) 2 ∙ (0.44) + (2 − 1.44) 2 ∙ (0.34) + (3 − 1.44) 2 ∙ (0.08) + (4 − 1.44) 2 ∙ (0.02) = (−1.44) 2 ∙ (0.12) + (−0.44) 2 ∙ (0.44) + (0.56) 2 ∙ (0.34) + (1.56) 2 ∙ (0.08) + (2.56) 2 ∙ (0.02) = 2.0736 ∙ (0.12) + 0.1936 ∙ (0.44) + 0.3136 ∙ (0.34) + 2.4336 ∙ (0.08) + 0.65536 ∙ (0.02) = 0.248832 + 0.085184 + 0.106624 + 0.194688 + 0.131072 = 0.7664 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม คือ 0.7664 คน2 ……..6.2 ∎ 6.3) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุ่ม จาก σ = √∑ ( − ) 2 =1 ( = ) = √ 2 แทนค่า 2 = 0.7664 จะได้ σ = √0.7664 = 0.855442745 ≈ 0.86 ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม คือ 0.86 คน ……..6.3 ∎ ตัอวย่างที่7 ให้ตัวแปรสุ่ม แทน ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม ในรูปตารางและกราฟ วิธีท า ให้ แทน ปริภูมิตัวอย่างจากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จะได้ = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)} ซึ่ง () = 36 ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม (ที่เป็นผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า)คือ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 8 10 , 11 , 12 ซึ่ง เหตุการณ์ที่ = 2 คือ {(1,1)} หรือ ( = 2) = 1 36 = 0.02777 … ≈ 0.03 เหตุการณ์ที่ = 3 คือ {(1,2) , (2,1)} หรือ ( = 3) = 2 36 = 0.0555 … ≈ 0.06 เหตุการณ์ที่ = 4 คือ {(1 ,3) , ( 2 , 2) , ( 3 ,1)} หรือ ( = 4) = 3 36 = 0.0833 … ≈ 0.08 เหตุการณ์ที่ = 5 คือ {(1 ,4) , (2 ,3) , ( 3 ,2), (4 ,1)} หรือ ( = 5) = 4 36 = 0.1111 … ≈ 0.11 เหตุการณ์ที่ = 6 คือ {(1 , 5) , ( 2 ,4) , ( 3 ,3) , (4 ,2) , (5 , 1)} หรือ ( = 6) = 5 36 = 0.1388 … ≈ 0.14 เหตุการณ์ที่ = 7 คือ {(1 , 6) , ( 2 ,5) , ( 3 ,4) , (4 , 3) , (5 , 2) , ( 6 , 1)} หรือ ( = 7) = 6 36 = 0.1666 … ≈ 0.17 เหตุการณ์ที่ = 8 คือ {(2 ,6 ) , (3 ,5) , (4 ,4), (5 , 3), (6 ,2)} หรือ ( = 8) = 5 36 = 0.1388 … ≈ 0.14 เหตุการณ์ที่ = 9 คือ {(3 ,6) , (4 ,5) , (5 ,4) , (6 ,3)} หรือ ( = 9) = 4 36 = 0.1111 … ≈ 0.11 เหตุการณ์ที่ = 10 คือ {(4 ,6) , (5 ,5 ) , (6 ,4)} หรือ ( = 10) = 3 36 = 0.0833 … ≈ 0.08 เหตุการณ์ที่ = 11 คือ {(5 ,6) , (6 ,5)} หรือ ( = 11) = 2 36 = 0.0555 … ≈ 0.06 เหตุการณ์ที่ = 12 คือ {(6,6)} หรือ ( = 12) = 1 36 = 0.02777 … ≈ 0.03
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 15 ***************************************************************************************************************************************************************************** จะได้ตารางส าหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่ม ดังนี้ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ( = ) 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 7.1) หาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม จาก = ∑ =1 ( = ) จะได้ = 2 ( 1 36) + 3 ( 2 36) + 4 ( 3 36) + 5 ( 4 36) + 6 ( 5 36) + 7( 6 36 ) + 8( 5 36 ) + 9( 4 36 ) + 10( 3 36 ) + 11 ( 2 36) + 12 ( 1 36) = ( 2 36) + ( 6 36) + ( 12 36) + ( 20 36) + ( 30 36) + ( 42 36 ) + ( 40 36 ) + ( 36 36 ) + ( 30 36 ) + ( 22 36) + ( 12 36) = 252 36 = 7 ดังนั้น ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม คือ 7 แต้ม ……..7.1 ∎ 7.2) หาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม จาก 2 = ∑ ( − ) 2 =1 ( = ) จะได้ 2 = (2 − 7) 2 ∙ ( 1 36) + (3 − 7) 2 ∙ ( 2 36) + (4 − 7) 2 ∙ ( 3 36) + (5 − 7) 2 ∙ ( 4 36) + (6 − 7) 2 ∙ ( 5 36) + (7 − 7) 2 ∙ ( 6 36) +(8 − 7) 2 ∙ ( 5 36) + (9 − 7) 2 ∙ ( 4 36) + (10 − 7) 2 ∙ ( 3 36) + (11 − 7) 2 ∙ ( 2 36) + (12 − 7) 2 ∙ ( 1 36) = (−5) 2 ∙ ( 1 36) + (−4) 2 ∙ ( 2 36) + (−3) 2 ∙ ( 3 36) + (−2) 2 ∙ ( 4 36) + (−1) 2 ∙ ( 5 36) + (0) 2 ∙ ( 6 36 ) +(1) 2 ∙ ( 5 36) + (2) 2 ∙ ( 4 36) + (3) 2 ∙ ( 3 36) + (4) 2 ∙ ( 2 36) + (5) 2 ∙ ( 1 36) = 25 ∙ ( 1 36) + 16 ∙ ( 2 36) + 9 ∙ ( 3 36) + 4 ∙ ( 4 36) + 1 ∙ ( 5 36) + 0 ∙ ( 6 36 ) +1 ∙ ( 5 36) + 4 ∙ ( 4 36) + 9 ∙ ( 3 36) + 16 ∙ ( 2 36) + 25 ∙ ( 1 36) = ( 25 36) + ( 32 36) + ( 27 36) + ( 16 36) + ( 5 36) + ( 0 36 ) + ( 5 36 ) + ( 16 36 ) + ( 27 36 ) + ( 32 36) + ( 25 36) = 210 36 = 5.8333 … ≈ 5.83 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม คือ 5.83 แต้ม2 ……..7.2 ∎ 7.3) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม จาก σ = √∑ ( − ) 2 =1 ( = ) = √ 2 แทนค่า 2 = 210 36 จะได้ Σ = √ 210 36 = √5.8333 … = 2.415229458 … ≈ 2.42 ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุ่ม คือ 2.42 แต้ม …….. 7.3∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 16 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 3 : แบบฝึกหัด 4.2ข. (ในหนังสือแบบเรียนหน้า 208) ข้อ 1.จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มในข้อ 1-3 ของแบบฝึกหัด 4.2ก. แบบฝึกหัด 4.2ก.ข้อ 1.1) ข้อสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข้อ จ านวนข้อสอบที่ตอบถูกในการสอบ ย่อยวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จ านวน 40 คน แสดงด้วยตารางแจกแจงความถี่ได้ดังนี้ จ านวนข้อที่ตอบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จ านวนนักเรียน (คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2 ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก จงเขียนการแจกแจง ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตารางพร้อมหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 17 ***************************************************************************************************************************************************************************** แบบฝึกหัด 4.2ก.ข้อ 1.2) ในการตรวจสอบคุณภาพของสินค้าชนิดหนึ่งซึ่งมีทั้งหมด 80 กล่อง แต่ละกล่องมีสินค้า จ านวน 500 ชิ้น ผู้ตรวจสอบจะสุ่มสินค้าจากแต่ละกล่องมาตรวจสอบกล่องละ 100 ชิ้น โดยแสดงผลการตรวจสอบด้วยตาราง แจกแจงความถี่ได้ดังนี้ จ านวนสินค้าที่ไม่ผ่านมาตรฐานจากสินค้า 100 ชิ้น ที่สุ่มมาตรวจสอบจากแต่ละกล่อง (ชิ้น) 0 1 2 3 4 5 6 จ านวนกล่อง 41 17 14 4 3 0 1 ถ้าสุ่มกล่องสินค้ามา 1 กล่อง จากกล่องสินค้าทั้งหมด 80 กล่อง และให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนสินค้าที่ไม่ผ่าน มาตรฐานจากสินค้า 100 ชิ้นที่สุ่มมาตรวจสอบจากกล่องนี้ จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูป ตาราง พร้อมหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุ่ม วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 18 ***************************************************************************************************************************************************************************** แบบฝึกหัด 4.2ก. ข้อ 1.3) ให้ตัวแปรสุ่ม คือ ผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตาราง พร้อมหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 19 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 2 กล่องใบหนึ่งบรรจุเบี้ย 6 อัน โดยมีหมายเลข 3 , 5 , 6 , 7 , 8 และ 11 ก ากับไว้ ถ้าสุ่มหยิบเบี้ย 2 อัน โดย หยิบเบี้ยทีละอันและไม่ใส่คืนก่อนที่จะหยิบเบี้ยอันที่สอง และให้ตัวแปรสุ่ม คือผลบวกของหมายเลขบนเบี้ยทั้งสองอันที่สุ่มได้ 2.1) จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม พร้อมทั้งอธิบายความหมาย 2.2) จงหาความแปรปรวน และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 20 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 3. ลูกค้ารายหนึ่งต้องการท าประกันชีวิตกับบริษัทมั่นใจประกันชีวิต โดยก าหนดทุนประกัน 2,000,000 บาท (นั่นคือในกรณีที่ลูกค้าเสียชีวิต บริษัทจะต้องจ่ายเงินให้ผู้รับประโยชน์ ที่ลูกค้าระบุไว้เป็นจ านวนเงิน 2,000,000 บาท) และ ลูกค้าจะต้องจ่ายเบี้ยประกันปีละ 50,000 บาท ถ้าลูกค้ารายนี้มีภาวะหยุดหายในขณะหลับ ( ) โดยโอกาสที่เขาจะเสียชีวิตในแต่ละปีคิดเป็นร้อยละ 1 จงพิจารณาว่า ถ้าบริษัทมั่นใจประกันชีวิตรับท าประกันชีวิตให้กับลูกค้า รายนี้ บริษัทจะได้ก าไรหรือขาดทุนโดยเฉลี่ยปีละกี่บาท วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 21 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 4. จากการตรวจสอบคุณภาพของสิ้นค้าชนิดเหนึ่ง จ านวน 60 ชิ้น ได้ข้อมูลจ านวนรอยต าหนิบนสินค้าแต่ละชิ้น ดังตารางต่อไปนี้ จ านวนรอยต าหนิบนสินค้า (แห่ง) 0 1 2 3 จ านวนสินค้า (ชิ้น) 47 4 6 3 ถ้าผู้ขายได้ก าไรจากการขายสินค้าที่ไม่มีรอยต าหนิชิ้นละ 20 บาท แต่ถ้าสินค้ามีรอยต าหนิจะเสียค่าซ่อมแซมแห่งละ 11 บาท จงหาค่าคาดหมายของรายได้จากการขายสินค้า 1 ชิ้น วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 22 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.2.3 การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ( ) จะนิยามค่าคาดหมายของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ดังนี้ บทนิยาม 3 การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ( ) ให้ เป็นตัวแปรสุ่ม ถ้าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ คือ 1 , 2 , 3 , … , แล้วการแจกแจง ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็น การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ( ) เมื่อ ( = ) = 1 ส าหรับทุก ∈ { 1 , 2 , 3 , … , } จากบทนิยาม 3 จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม จะเป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เมื่อ การเกิดค่าแต่ละค่าของตัวแปรสุ่มมีความความน่าจะเป็นเท่ากัน ตัวอย่างที่8 ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก 1 ครั้ง ให้ตัวแปรสุ่ม คือ แต้มบนหน้าลูกเต๋า จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ วิธีท า จากโจทย์ ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก 1 ครั้ง ให้ตัวแปรสุ่ม คือ แต้มบนหน้าลูกเต๋า จะได้ว่า ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6 ส าหรับทุก ∈ { 1 , 2 , 3 ,4 , 5 , 6 } จะได้ว่า ( = ) คือความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการทอดลูกเต๋าที่ขึ้นแต้ม 1 คือ ( = 1) = 1 6 = 0.1666 … ความน่าจะเป็นของการทอดลูกเต๋าที่ขึ้นแต้ม 2 คือ ( = 2) = 1 6 = 0.1666 … ความน่าจะเป็นของการทอดลูกเต๋าที่ขึ้นแต้ม 3 คือ ( = 3) = 1 6 = 0.1666 … ความน่าจะเป็นของการทอดลูกเต๋าที่ขึ้นแต้ม 4 คือ ( = 4) = 1 6 = 0.1666 … ความน่าจะเป็นของการทอดลูกเต๋าที่ขึ้นแต้ม 5 คือ ( = 5) = 1 6 = 0.1666 … ความน่าจะเป็นของการทอดลูกเต๋าที่ขึ้นแต้ม 6 คือ ( = 6) = 1 6 = 0.1666 … (8.1) จะได้ตารางแสดงการแจกแจงความถี่ของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ และ (8.2) จะได้กราฟแสดงการแจกแจงความถี่ของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ ( = ) จากตารางและกราฟจะเห็นได้ว่า ส าหรับทุก ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จะได้ว่า ( = ) คือความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม และเนื่องจากลูกเต๋าเที่ยงตรง จะได้ว่า เมื่อ ( = ) = 1 6 เมื่อ = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 นั่นคือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ……. .8.2 ∎ 1 2 3 4 5 6 ( = ) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 ……..8.1 ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 23 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่ 9 ลูกคิดสุ่มหยิบสลาก 1 ใบ จากกล่องที่บรรจุสลาก 4 ใบ แต่ละใบระบุจ านวนเงินรางวัลแตกต่างกัน คือ 20 , 50 , 100 และ 500 บาท ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนเงินรางวัลที่ลูกคิดจะได้รับ 9.1) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ 9.2) จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม 9.3) ถ้าลูกคิดต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา 150 บาท เพื่อหยิบสลาก 1 ใบ จงพิจารณาว่า ถ้าลูกคิดสุ่มหยิบสลากหลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วลูกคิดจะได้เปรียบหรือเสียเปรียบ วิธีท า 9.1) จะพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ เนื่องจาก ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนเงินรางวัลที่ลูกคิดจะได้รับ จะได้ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือ 20 , 50 , 100 และ 500 บาท ส าหรับทุก ∈ { 20 , 50 , 100 , 500 } จะได้ว่า ( = ) คือ ความน่าจะเป็นจ านวนเงินรางวัลที่ลูกคิดจะได้รับเงิน บาท ดังนั้น ความน่าจะเป็นจ านวนเงินรางวัลที่ลูกคิดจะได้รับเงิน 20 บาท คือ ( = 20) = 1 4 = 0.25 ความน่าจะเป็นจ านวนเงินรางวัลที่ลูกคิดจะได้รับเงิน 50 บาท คือ ( = 50) = 1 4 = 0.25 ความน่าจะเป็นจ านวนเงินรางวัลที่ลูกคิดจะได้รับเงิน 100 บาท คือ ( = 100) = 1 4 = 0.25 ความน่าจะเป็นจ านวนเงินรางวัลที่ลูกคิดจะได้รับเงิน 500 บาท คือ ( = 500) = 1 4 = 0.25 จะได้ตารางแสดงการแจกแจงความถี่ของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ 20 50 100 500 ( = ) 1 4 1 4 1 4 1 4 จากข้อมูลและตาราง จะเห็นได้ว่า ส าหรับทุก ∈ { 20 , 50 , 100 , 5006 } จะได้ว่า ( = ) คือ ความน่าจะเป็นจ านวนเงินรางวัลที่ลูกคิดจะได้รับเงิน บาท โดยที่ ( = ) = 1 4 เมื่อ = 20 , 50 , 100 , 500 บาท นั่นคือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง …….. 9.1∎ 9.2) หาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม จากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม คือ = ∑ =1 ( = ) จะได้ = 20( 1 4 ) + 50( 1 4 ) + 100( 1 4 ) + 500( 1 4 ) = 20(0.25) + 50(0.25) + 100(0.25) + 500(0.25) = 5 + 12.5 + 25 + 125 = 167.5 นั่นคือ ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม คือ 167.5 บาท …….. 9.2 ∎ 9.3) ถ้าลูกคิดต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา บาท เพื่อหยิบสลาก 1 ใบ จงพิจารณาว่า ถ้าลูกคิดสุ่มหยิบสลาก หลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วลูกคิดจะได้เปรียบหรือเสียเปรียบ เนื่องจากในแต่ละครั้งลูกคิดซื้อตั๋วราคา 150 บาทเพื่อสุ่มหยิบสลาก และค่าคาดหมายที่ลูกคิดจะได้เงินรางวัล คือ 167.5 บาท ซึ่งได้เปรียบอยู่ 167.5 − 150 = 17.50 บาท แสดงว่า ถ้าลูกคิดสุ่มหยิบสลากหลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วลูกคิดจะได้เปรียบ …….. 9.3 ∎ หมายเหตุ : จาก 9.2 เราอาจหา = 20( 1 4 ) + 50( 1 4 ) + 100( 1 4 ) + 500( 1 4 ) = 20 4 + 50 4 + 100 4 + 500 4 = 670 4 = 167.5 บาท …….. 9.4 ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 24 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 4 : การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ( ) แบบฝึกหัด 4.2.1 (ในหนังสือแบบเรียนหน้า 211 - 212) ข้อ 1. จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ พร้อม ทั้งให้เหตุผลประกอบ 1.1) ตัวแปรสุ่ม 1 คือ จ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 1 ครั้ง วิธีท า 1.2) ตัวแปรสุ่ม 2 คือ จ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นก้อย จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 10 ครั้ง วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 25 ***************************************************************************************************************************************************************************** 1.3) ตัวแปรสุ่ม 3 คือ ผลรวมของเงินรางวัลที่ได้รับ จากการสุ่มหยิบสลาก 2 ใบพร้อมกัน จากกล่องที่บรรจุ สลาก 4 ใบ โดยแต่ละใบระบุจ านวนเงินที่แตกต่างกัน คือ 10 , 30 , 60 และ 80 บาท วิธีท า 1.4) ตัวแปรสุ่ม 4 คือ จ านวนสิ้นค้าที่ไม่ผ่านมาตรฐาน เมื่อสุ่มกล่องสินค้ามา 1 กล่อง จากกล่องสินค้าทั้งหมด 80 กล่อง โดยข้อมูลจ านวนสินค้าที่ไมผ่านมาตรฐานในแต่ละกล่อง แสดงด้วยตารางความถี่ ดังนี้ จ านวนสินค้าที่ไม่ผ่านมาตรฐานในแต่ละกล่อง (ชิ้น) : 0 1 2 3 4 จ านวนกล่อง : ( = ) 16 16 16 16 16 วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 26 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 2. จากการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง และค่าที่เป็นไปได้ ของตัวแปรสุ่ม คือ 5 , 6 , 7 , 8 , 9 และ 10 จงหา ค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุ่ม วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 27 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 3. ครูประจ าชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง ได้น าของขวัญมาจับสลากในวันปีใหม่ โดยมูลค่าของของขวัญที่น้อยที่สุด คือ 100 บาท และเมื่อน ามูลค่าของของขวัญทั้งหมดมาเรียงล าดับจากน้อยไปมาก พบว่า มูลค่าของของขวัญที่อยู่ติดกัน จะต่างกัน 100 บาท ถ้าความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้ของขวัญแต่ละชิ้นมีค่าเท่ากัน คือ 0.125 จงหาว่า ของขวัญทั้งหมด ที่ครูน ามาจับมีมูลค่าเท่าใด วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 28 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 4. ในงานประจ าปีของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีเกมลูกเต๋าเสี่ยงโชค โดยมีกติกาว่า ผู้เล่นจะต้องทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก ถ้าลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 ผู้เล่นจะได้เงินรางวัล 30 , 18 , 12 , 10 , 5 หรือ บาท ตามล าดับ โดยที่ 0 ≤ ≤ 5 ให้ตัวแปรสุ่ม คือ เงินรางวัลที่ผู้เล่นจะได้รับจากการเล่นเกมลูกเต๋าเสี่ยงโชค 4.1) ถ้า = 5 จงพิจารณาว่าตัวแปรสุ่ม คือ มีการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ 4.2) จงยกตัวอย่างค่าของ ที่ท าให้ตัวแปร มีการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง 4.3) ถ้า = 1 ผู้จัดเกมนี้ควรตั้งราคาส าหรับผู้เล่นเกมอย่างน้อยเท่าใด (ตอบเป็นจ านวนเต็ม) โดยเฉลี่ยแล้วจึงจะไม่ ขาดทุน เมื่อมีการเล่นเกมลูกเต๋าเสี่ยงโชคหลายๆ ครั้ง วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 29 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 5. เกมวงล้อเสี่ยงโชค มีกติกาในการเล่นคือ ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อที่แบ่งเป็น 10 ช่องเท่าๆ กัน โดยแต่ละช่องระบุ จ านวนเงินรางวัลที่แตกต่างกันคือ 50 , 100 , 150 , 200 , ... , 500 บาท ถ้าลูกศรชี้ที่ช่องใด ผู้เล่นจะได้เงินรางวัลตามที่ระบุใน ช่องนั้น สมมุติว่าในการหมุนวงล้อแต่ละครั้ง โอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ช่องใดช่องหนึ่งเท่ากัน และในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชค แต่ ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา 300 บาท นักเรียนจะเล่นเกมนี้หรือไม่ เพราะเหตุใด วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 30 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.2.4 การแจกแจงทวินาม ( ) จากการศึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มอย่างง่าย เนื่องจากการเกิดค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ซึ่งอาจพบได้ไม่มากในชีวิตจริง หัวข้อนี้จะศึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีลักษณะเฉพาะประเภทหนึ่งซึ่งความน่าจะ เป็นของการเกิดค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มไม่จ าเป็นต้องเท่ากัน เช่น ในการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง เมื่อก าหนดให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จะได้ว่า เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง และในการโยนเหรียญ เราจะได้ = { , , , , , , , } และ () = 8 เราสังเกตเห็นว่าในแต่ละครั้งที่เราโยนเหรียญ จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 แบบ คือ เหรียญขึ้นหัว () หรือก้อย () แต่จากการก าหนดตัวแปรสุ่ม จะเห็นว่า “สนใจจ านวนครั้งที่เกิดหัว ()” จึงอาจพิจารณาได้ว่าในการโยนเหรียบแต่ละครั้ง ถ้าโยนเหรียญขึ้นหัว คือ “ส าเร็จ” แต่ถ้าเหรียญขึ้นก้อย คือ “ไม่ส าเร็จ” ดังนั้นเมื่อพิจารณาว่าตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนครั้งของการเกิดผลส าเร็จจากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ เป็นจ านวน 3 ครั้ง เช่น เหตุการณ์ที่ = 1 คือ { , , } หมายความว่า แต่ละสมาชิกในเหตุการณ์นี้ เกิดผลส าเร็จ 1 ครั้ง (คือเหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง) และไม่เกิดผลส าเร็จ 2 ครั้ง (คือเหรียญขึ้นก้อย 2 ครั้ง) นอกจากน้จะเห็นได้ว่า ผลที่ได้จากการโยนเหรียญในครั้งก่อนหน้าไม่ส่งผลต่อการโยนเหรียญครั้งต่อไป และความ น่าจะเป็นที่จะเกิดผลส าเร็จในการโยนเหรียญแต่ละครั้งเท่ากัน คือ 1 2 จากการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มจากตัวอย่างข้างต้น เรียกว่า “การแจกแจงทวินาม” ซึ่งนิยาม ดังนี้ บทนิยาม 4 การแจกแจงทวินาม ( ) คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งคือจ านวนครั้งของการเกิดผลส าเร็จจากการทดลองสุ่ม ครั้ง ที่เป็นอิสระต่อกัน โดยในแต่ละครั้งมีโอกาสเกิดผลส าเร็จ ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ และไม่เกิดผลส าเร็จ ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 − หมายเหตุ : 1) เรียก และ พารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม และเขียนสัญลักษณ์ ~( , ) เพื่อแสดงว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินามที่มี และ เป็นพารามิเตอร์ 2) การทดลองสุ่ม 1 ครั้ง ที่เป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 แบบ คือ ส าเร็จ กับ ไม่ส าเร็จ เรียกว่า การลองแบร์นูลลี ( ) เช่น การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง จากนิยามข้างต้นสรุปได้ว่า การแจกแจงทวินาม คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ที่มี ลักษณะดังนี้ 1. เกิดจากการทดลองสุ่มจ านวน ครั้ง ที่เป็นอิสระต่อกัน กล่าวคือ ผลที่ได้จากกาทดลองสุ่มในครั้งก่อนหน้า ไม่ส่งผลตอการทดสองสุ่มครั้งต่อไป 2. การทดลองสุ่มแต่ละครั้ง มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 แบบ คือ ส าเร็จ กับ ไม่ส าเร็จ 3. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลส าเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้งเท่ากัน ให้เป็น เมื่อ 0 < < 1 และจะได้ความ น่าจะเป็นที่จะไม่เกิดผลส าเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้งเป็น มี 1 − ทฤษีบทต่อไปนี้ ใช้ในการหาความน่าจะเป็น ค่าคาดหมาย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจง ความน่าจะเป็น เป็นการแจกแจงวินาม โดยในที่นี้จะขอละการพิสูจน์ ทฤษฎีบท 1 ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินาม จะได้ว่า 1. ( = ) = ( ) (1 − ) − ส าหรับทุก ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , … , } 2. = 3. = √(1 − ) เมื่อ แทน จ านวนครั้งของการทดลองสุ่ม และ แทน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลส าเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 31 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อสังเกต : จากทฤษฎีบทที่ 1 ข้อ 1 จะได้ว่า 1. ∑ ( = ) =0 = ∑ ( ) (1 − ) − =0 = ( + (1 − )) = 1 2. จาก = √(1 − ) จะได้ 2 = (1 − ) 3. 1 ! = 0 ! = 1 4. , = ( ) = ! (−) ! ! 5. , = ! (−) ! 6. ( 0 ) = ( ) = 1 ตัวอย่างที่10 ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนครั้งที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก 7 ครั้ง 10.1) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินามหรือไม่ 10.2) จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 เป็นจ านวน 5 ครั้ง 10.3) จงเขียนการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตารางและกราฟ 10.4) จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุ่ม วิธีท า 10.1) จะพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินามหรือไม่ เนื่องจาก ตัวแปรสุ่ม มีลักษณะดังต่อไปนี้ (1) เกิดจากการทดลองสุ่ม (การทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก) จ านวน 7 ครั้งเป็นอิสระต่อกัน (2) การทดลองสุ่มแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จ (ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5) และ ไม่ส าเร็จ (ลูกเต๋าไม่ขึ้น แต้ม 5) (3) ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงแต่ละครั้งเท่ากัน โดยเท่ากับ 1 6 (นั่นคือ = 1 6 ) และความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าไม่ขึ้นแต้ม 5 ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงแต่ละครั้งเป็น 1 − 1 6 = 5 6 (นั่นคือ 1 − = 5 6 ) ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินาม …….. 10.1∎ 10.2) หาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 เป็นจ านวน 5 ครั้ง โดยที่ = 7 ครั้ง และขึ้นแต้ม = 5 จาก ( = ) = ( ) (1 − ) − ส าหรับทุก ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , … , } จะได้ ( = 5) = ( 7 5 ) ( 1 6 ) 5 ( 5 6 ) 2 ส าหรับทุก ∈ { 0 ,1 , 2 , 3 , … , } = ( 7 ! 2 ! 5 ! ) (0.1666 … ) 5 (0.8333 … ) 2 = ( 7× 6 2 ) (0.0001286 … )(0.69444444 … ) = (21)(0.0001286 … )(0.69444444 … ) = 0.0018754165 … ≈ 0.001875 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 เป็นจ านวน 5 ครั้ง ≈ 0.001875 …….. 10.2∎ 10.3) เขียนการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตารางและกราฟ จากโจทย์ ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนครั้งที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก 7 ครั้ง จะได้ว่า ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 และ 7 ส าหรับทุก ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } จะได้ว่า ( = ) คือความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 ครั้ง ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการทอดลูกเต๋าที่ขึ้นแต้ม 5 จ านวน 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 และ 7 ครั้ง คือ ( = 0) = ( 7 0 ) ( 1 6 ) 0 ( 5 6 ) 7 = ( 7 ! 7 ! 0 ! ) (0.1666 … ) 0 (0.8333 … ) 7 ≈ 0.279082 ( = 1) = ( 7 1 ) ( 1 6 ) 1 ( 5 6 ) 6 = ( 7 ! 6 ! 1 ! ) (0.1666 … ) 1 (0.8333 … ) 6 ≈ 0.390714 ( = 2) = ( 7 2 ) ( 1 6 ) 2 ( 5 6 ) 5 = ( 7 ! 5 ! 2 ! ) (0.1666 … ) 2 (0.8333 … ) 5 ≈ 0.234429 ( = 3) = ( 7 3 ) ( 1 6 ) 3 ( 5 6 ) 4 = ( 7 ! 4 ! 3 ! ) (0.1666 … ) 3 (0.8333 … ) 4 ≈ 0.078143 ( = 4) = ( 7 4 ) ( 1 6 ) 4 ( 5 6 ) 3 = ( 7 ! 3 ! 4 ! ) (0.1666 … ) 4 (0.8333 … ) 3 ≈ 0.015628 ( = 5) = ( 7 5 ) ( 1 6 ) 5 ( 5 6 ) 2 = ( 7 ! 2 ! 5 ! ) (0.1666 … ) 5 (0.8333 … ) 2 ≈ 0.001875 ( = 6) = ( 7 6 ) ( 1 6 ) 6 ( 5 6 ) 1 = ( 7 ! 1 ! 6 ! ) (0.1666 … ) 6 (0.8333 … ) 1 ≈ 0.000125 ( = 7) = ( 7 7 ) ( 1 6 ) 7 ( 5 6 ) 0 = ( 7 ! 0 ! 6 ! ) (0.1666 … ) 7 (0.8333 … ) 0 ≈ 0.000004
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 32 ***************************************************************************************************************************************************************************** จะได้ (1) ตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ ( = ) 0 0.279082 1 0.390714 2 0.234429 3 0.078143 4 0.015628 5 0.001875 6 0.000125 7 0.000004 ∑( = ) 7 =0 = 0.999936 ≈ 1 …….. 10.3.1∎ และจะได้ (2) กราฟแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ดังนี้ ( = ) …….. 10.3.2 ∎ . 10.4) หาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุ่ม (1) หาค่าคาดหมาย () ของตัวแปรสุ่ม จาก = จะได้ = 7 ( 1 6 ) = 7(0.16666 … ) = 1.16666 … ≈ 1.17 ดังนั้น ค่าคาดหมาย () ของตัวแปรสุ่ม ที่เป็นจ านวนครั้งที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 มีค่าประมาณ 1.17 ครั้ง …….. 10.4.1∎ (2) หาความแปรปรวน ( 2 ) ของตัวแปรสุ่ม จาก 2 = (1 − ) จะได้ 2 = 7 ( 1 6 ) (1 − 1 6 ) = 7 ( 1 6 ) ( 5 6 ) = 7 ( 5 36) = 7(0.1388 … ) = 0.9722 … ≈ 0.97 ดังนั้น ความแปรปรวน ( 2 ) ของตัวแปรสุ่ม มีค่าประมาณ 0.97 ครั้ง2 …….. 10.4.2∎ (3) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () ของตัวแปรสุ่ม จาก = √(1 − ) จะได้ จาก = √7 ( 1 6 ) (1 − 1 6 ) = √0.9722 … = 0.986013297 … ≈ 0.99 ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () ของตัวแปรสุ่ม มีค่าประมาณ 0.99 ครั้ง …….. 10.4.3∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 33 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่ 11 ในการรักษาโรคมะเร็งด้วยสมุนไพรที่คิดค้นขึ้นมาใหม่ พบว่า เมื่อผู้ป่วยรับประทานสมุนไพรชนิดนี้ ต่อเนื่องกันไป ตามแพทย์สั่งในช่วงระยะเวลาหนึ่ง ความนาจะเป็นที่ผู้ป่วยแต่ละคน จะหายจากโรคมะเร็งเป็น 0.5 ถ้านักวิจัย สุ่มผู้ป่วยโรคมะเร็ง ที่มารับการรักษาด้วยสมุนไพรีนี้จ านวน 6 คน 11.1) จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีผู้ป่วย หายจากโรคมะเร็งอย่างน้อย 3 คน 11.2) จงหาค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจ านวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเร็ง พร้อมทั้งอธิบาย ความหมาย วิธีท า 11.1) หาความน่าจะเป็นที่จะมีผู้ป่วย หายจากโรคมะเร็งอย่างน้อย 3 คน ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเร็ง จากผู้ป่วยมะเร็งที่มารับการรักษาด้วยสมุนไพรนี้ ที่สุ่มมา จ านวน 6 คน เนื่องจาก ตัวแปรสุ่ม มีลักษณะดังต่อไปนี้ (1) เกิดจากการสุ่มผู้ป่วยโรคมะเร็งที่มารับการรักษาด้วยสมันไพรที่สุ่มมาจ านวน 6 คน ที่เป็นอิสระต่อกัน (2) การทดลองสุ่มแต่ละครั้ง เกิดผลลัพทธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จ (ผู้ป่วยที่สุ่มมาหายจากโรคมะเร็ง) และ ไม่ส าเร็จ (ผู้ป่วยที่สุ่มมาไม่หายจากโรคมะเร็ง) (3) ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยแต่ละคนจะหาจากโรคมะเร็งเท่ากัน โดยเท่ากับ 0.5 (นั่นคือ = 0.5 ) และความ น่าจะเป็นที่ผู้ป่วยที่สุ่มมาไม่หายจากโรคมะเร็ง 1 − 0.5 = 0.5 (นั่นคือ 1 − = 0.5 ) ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินาม …….. 11.1.1 ∎ ต่อไป จะหาความน่าจะเป็นที่จะมีผู้ป่วย หายจากโรคมะเร็งอย่างน้อย 3 คน โดยที่ = 6 คน และ ≥ 3 นั่นคือ ∈ { 3 , 4 , 5 , 6 } จาก ( = ) = ( ) (1 − ) − ส าหรับทุก ∈ { 0 ,1 , 2 , 3 , … , } จะได้ ( ≥ 3) = ( = 3) + ( = 4) + ( = 5) + ( = 6) = ( 6 3 ) (0.5) 3 (0.5) 3 + ( 6 4 ) (0.5) 4 (0.5) 2 + ( 6 5 ) (0.5) 5 (0.5) 1 + ( 6 6 ) (0.5) 6 (0.5) 0 = ( 6 ! 3 ! 3 ! ) (0.5) 3 (0.5) 3 + ( 6 ! 2 ! 4 ! ) (0.5) 4 (0.5) 2 + ( 6 ! 1 ! 5 ! ) (0.5) 5 (0.5) 1 + ( 6 ! 0 ! 6 ! ) (0.5) 6 (0.5) 0 ≈ 0.3125 + 0.2344 + 0.0938 + 0.0156 ≈ 0.6563 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะมีผู้ป่วย หายจากโรคมะเร็งอย่างน้อย 3 คน ≈ 0.6563 …….. 11.1.2 ∎ 11.2) หาค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจ านวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเร็ง พร้อมทั้งอธิบาย ความหมาย (1) หาค่าคาดหมาย () ของตัวแปรสุ่ม ที่เป็นค่าคาดหมายของจ านวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเร็ง จาก = จะได้ = 6(0.5) = 3 ดังนั้น ค่าคาดหมายของจ านวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเร็ง คือ 3 คน ซึ่งหมายความว่า ในการสุ่มผู้ป่วยโรคมะเร็งที่มารับการรักษาโรคด้วยสมุนไพรนี้จ านวน 6 คน โดยเฉลี่ยแล้วจะมีผู้ป่วย หายจากโรคมะเร็ง 3 คน …….. 11.2.1 ∎ (2) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () ของตัวแปรสุ่ม จาก = √(1 − ) จะได้ จาก = √6(0.5)(1 − 0.5) = √6(0.5)(0.5) = √1.5 = 1.224744871 … ≈ . ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจ านวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเร็งมีค่าประมาณ 1.22 คน ซึ่งหมายควาว่า ในการสุ่มผูป่วยโรคมะเร็งที่มารบการรักษาด้วยสมุนไพรนี้จ านวน 6 คน จ านวนผู้ป่วยที่หายจาก โรคมะเร็ง ต่างจากค่าคาดหมาย ประมาณ 1.22 คน …….. 11.2.2 ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 34 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่12 จากข้อมูลเกี่ยวกับคุณภาพของสินค้า ซึ่งเก็บรวบรวมมาในอดีตท าให้ทราบว่า ความน่าจะเป็นที่สินค้าแต่ละ ชิ้นจะช ารุดเป็น 0.05 และในกระบวนการตรวจสอบคุณภาพสินค้าของโรงงาน มีหลักการคือ พนักงานจะสุ่มสินค้าจ านวน 5 ชิ้น จากแต่ละกล่องเพื่อตรวจสอบคุณภาพ ถ้าตรวจสอบพบสินค้าช ารุดไม่เกิน 1 ชิ้น สิ้นค้ากล่องนั้นจะผ่านการตรวจสอบ คุณภาพ 12.1) จงหาความน่าจะเป็นที่สินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบ จะผ่านการตรวจสอบคุณภาพ 12.2) ในการผลิตสินค้าครั้งหนึ่ง ฝ่ายผลิตของโรงงาน ส่งสินค้ามาให้พนักงานตรวจสอบคุณภาพ จ านวน 100 กล่อง จะมีสินค้าที่ผ่านการตรวจสอบคุณภาพกี่กล่อง วิธีท า 12.1) หาความน่าจะเป็นที่สินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบ จะผ่านการตรวจสอบคุณภาพ ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนสินค้าที่ช ารุด เมื่อสุ่มสินค้า 5 ชิ้น จากแต่ละกล่อง จะได้ว่า ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 ส าหรับทุก ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } จะได้ว่า ( = ) คือความน่าจะเป็นของจ านวนสินค้าที่ช ารุด ชิ้น เนื่องจาก ตัวแปรสุ่ม มีลักษณะดังต่อไปนี้ (1) เกิดจากการสุ่มสินค้าจากแต่ละกล่องจ านวน 5 ครั้ง ที่เป็นอิสระต่อกัน (2) การทดลองสุ่มแต่ละครั้ง เกิดผลลัพทธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ ส าเร็จ (สินค้าที่สุ่มมาช ารุด) และ ไม่ส าเร็จ (สินค้า ที่สุ่มมาไม่ช ารุด) (3) ความน่าจะเป็นที่ที่สินค้าช ารุด เมื่อสุ่มสินค้าแต่ละครั้งเท่ากัน โดยเท่ากับ 0.05 (นั่นคือ = 0.05 ) และ ความน่าจะเป็นสินค้าที่สุ่มมาไม่ช ารุด 1 − 0.05 = 0.95 (นั่นคือ 1 − = 0.95 ) ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินาม …….. 12.1.1 ∎ ต่อไป จะหาความน่าจะเป็น ที่สินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบ จะผ่านการตรวจสอบคุณภาพ ไม่เกิน 1 ชิ้น โดยที่ = 5 ชิ้น และ ≤ 1 นั่นคือ ∈ { 0 , 1 } จาก ( = ) = ( ) (1 − ) − ส าหรับทุก ∈ { 0 ,1 , 2 , 3 , … , } จะได้ ( ≤ 1) = ( = 0) + ( = 1) = ( 5 0 ) (0.05) 0 (0.95) 5 + ( 5 1 ) (0.05) 1 (0.95) 4 = ( 5 ! 5 ! 0 ! ) (0.05) 0 (0.95) 5 + ( 5 ! 4 ! 1 ! ) (0.05) 1 (0.95) 4 ≈ 0.7737800937 … + 0.203626562 … ≈ 0.977406656 … ≈ 0.9774 ดังนั้น หาความน่าจะเป็นที่สินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบ จะผ่านการตรวจสอบคุณภาพ ไม่เกิน 1 ชิ้น มีค่าประมาณ 0.9774 …….. 12.1.2 ∎ 12.2) จะหาว่าในการผลิตสินค้าครั้งหนึ่ง ฝ่ายผลิตของโรงงาน ส่งสินค้ามาให้พนักงานตรวจสอบคุณภาพ จ านวน 100 กล่อง จะมีสินค้าที่ผ่านการตรวจสอบคุณภาพกี่กล่อง จากข้อ 12.1) ความน่าจะเป็นที่สินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบ จะผ่านการตรวจสอบคุณภาพ ไม่เกิน 1 ชิ้น มีค่าประมาณ ≈ 0.9774 ดังนั้น ถ้าพนักงานตรวจสอบสินค้าทั้งหมด 100 กล่อง จะมีสินค้าผ่านการตรวจสอบคุณภาพ ประมาณ (0.9774)(100) = 97.74 หรือประมาณ 97.74 กล่อง …….. 12.2 ∎ จากบทนิยาม 4 และทฤษฎีบท 1 การแจกแจงทวินาม ( ) เป็นการแจกแจงความน่าจะ เป็นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งคือจ านวนครั้งของการเกิดผลส าเร็จจากการทดลองสุ่ม ครั้ง ที่เป็นอิสระต่อกัน โดยในแต่ละครั้ง มีโอกาสเกิดผลส าเร็จ ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ และไม่เกิดผลส าเร็จ ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 − เรียก และ พารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม และเขียนสัญลักษณ์ ~( , ) เพื่อแสดงว่า การแจกแจงความน่าจะเป็น ของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินามที่มี และ เป็นพารามิเตอร์ สัญลักษณ์ ~( , ) หมายถึง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินาม ที่มี และ เป็นพารามิเตอร์
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 35 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 5 : การแจกแจงทวินาม ( ) แบบฝึกหัด 4.2.2 (ในหนังสือแบบเรียนหน้า 220 – 222) ข้อ 1. ก าหนดให้ ~(6 , 0.3) จงหา 1.1) ( = 2) 1.2) ( = 4) 1.3) ( ≤ 2) 1.4) ( > 2) 1.5) (2 ≤ ≤ 5) วิธีท า 1.1) ( = 2) จากสัญลักษณ์ ~( , ) หมายถึง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินาม ที่มี และ เป็นพารามิเตอร์และจากโจทย์ จะได้ = 6 , = 0.3 และ 1 − = 1 − 0.3 = 0.7 จากทฤษฎีบทที่ 1 ( = ) = ( ) (1 − ) − ส าหรับทุก ∈ { 0 ,1 , 2 , 3 , … , } ( = 2) = ( 6 2 ) (0.3) 2 (1 − 0.3) 6−2 = ( 6 ! 4 ! 2 ! ) (0.3) 2 (0.7) 4 = ( 6 ×5 2 ) (0.09)(0.0401) = (15)(0.09)(0.2401) = 0.324135 …….. 1.1. ∎ วิธีท า 1.2) ( = 4)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 36 ***************************************************************************************************************************************************************************** วิธีท า 1.3) ( ≤ 2) วิธีท า 1.4) ( > 2)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 37 ***************************************************************************************************************************************************************************** วิธีท า 1.5) (2 ≤ ≤ 5) ข้อ 2. จากการโยนเหรียญที่ไม่เที่ยงตรงเหรียญหนึ่ง พบว่า ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะเกิดขึ้นก้อย ในการโยนเหรียญแต่ละ ครั้งเท่ากับ 0.6 ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญนี้ 6 ครั้ง 2.1) จงหาค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม 2.2) จงพิจารณาว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินามหรือไม่ พร้อมให้เหตุผล ประกอบ 2.3) จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว น้อยกว่า 3 ครั้ง 2.4) โดยเฉลี่ยแล้วเหรียญจะขึ้นหัวกี่ครั้ง 2.5) จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า 2.1) หาค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 38 *****************************************************************************************************************************************************************************
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 39 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 3. ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนครั้งที่ได้แต้มเป็นจ านวนคู่ จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก 8 ครั้ง 3.1) จงพิจารณาว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงทวินามหรือไม่ พร้อมให้เหตุผลประกอบ 3.2) จงหาความน่าจะเป็นที่ได้แต้มเป็นจ านวนคู่ 5 ครั้ง 3.3) จงหาความน่าจะเป็นที่ได้แต้มเป็นจ านวนคู่น้อยกว่า 8 ครั้ง 3.4) จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุ่ม วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 40 *****************************************************************************************************************************************************************************
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 41 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 4. ความน่าจะเป็นที่โสภิตา จะซื้อชานมไข่มุกในแต่ละวันเท่ากับ 9 10 จงหาความน่าจะเป็นที่โสภิตา จะซื้อชานมไข่มุก ไม่เกิน 2 วัน ในหนึ่งสัปดาห์ วิธีท า ข้อ 5. ในการแข่งขันตอบโจทย์ปัญหาทางวิชาการของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีผู้เข้าร่วมการแข่งขันจ านวน 6 คน ท าการ แข่งขันทั้งหมด 5 ครั้ง ถ้าภัคนินทร์ เป็นหนึ่งในผู้เข้าแข่งขัน และความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะชนะการแข่งขันในแต่ละครั้ง เท่ากับ 0.3 จงหาความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะชนะการแข่งขันอย่างน้อย 1 ครั้ง วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 42 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 6. จากข้อมูลเกี่ยวกับปัญหาที่เกิดขึ้นในกระบวนการผลิตแผงวงจรไฟฟ้า ของโรงงานผลิตอุปกรณ์อิเลคทรอนิกส์ แห่งหนึ่ง พบว่า แผงวงจรไฟฟ้ที่ช ารุดแต่ละแผ่น เกิดจากาเหตุใดสาเหตุหนึ่งด้วยความน่าจะเป็น ดังต่อไปนี้ สาเหตุ ความน่าจะเป็น โลหะบัดกรีเป็นรู 0.4 อุปกรณ์เชื่อมไม่ติด 0.3 อุปกรณ์แตกร้าว 0.2 อื่นๆ 0.1 ถ้าพนักงานสุ่มแผงวงจรไฟฟ้าที่ช ารุด จ านวน 3 แผ่น จงหา 6.1) ความน่าจะเป็นที่แผงวงจรไฟฟ้าทั้งสามแผ่น ช ารุดเนื่องจาก โลหะบัดกรีเป็นรู 6.2) ความน่าจะเป็นที่แผงวงจรไฟฟ้า 2 แผ่น ช ารุดเนื่องจาก อุปกรณ์เชื่อมไม่ติด 6.3) ค่าคาดหมาย ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจ านวนแผงวงจรไฟฟ้าที่ช ารุดเนื่องจาก อุปกรณ์ แตกร้าว วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 43 *****************************************************************************************************************************************************************************
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 44 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 7. จากข้อมูลของศูนย์ควบคุมและสั่งการจราจร พบว่า ความน่าจะเป็นที่รถยนต์แต่ละคันจะเปลี่ยนช่องทางเดิน รถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) บริเวณสี่แยกไฟแดงแห่งหนึ่งเป็น 0.75 ถ้าสุ่มรถยนต์ที่วิ่งผ่านป้อมควบคุมสัญญาณไฟจาจร บริเวณสี่ แยกนี้มาจ านวน 9 คัน จงหา 7.1) ความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) 4 คัน 7.2) ความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) ไม่เกิน 3 คัน 7.3) ความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) มากกว่า 6 คัน 7.4) ค่าคาดหมาย ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจ านวนรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถ ในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) วิธีท า 7.1) หาความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) 4 คัน
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 45 *****************************************************************************************************************************************************************************
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 46 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 8. สาเหตุหนึ่งของภาวะคอเรสเตอรอลสูงเกิดจากมิวเทชันของยีน ( − ) ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างตัวรับ ที่บริเวณเยื่อหุ้มเซลล์ ซึ่งส่งผลต่อระดับคอเรสเตอรอลในเลือด ดังมีรายละเอียดต่อไปนี้ บุคคลที่มีจีโนไทป์ สามารถสร้างตัวรับ ได้ บุคคลที่มีจีโนไทป์ ℎ สามารถสร้างตัวรับ ได้ในปริมาณน้อย ส่งผลให้มีโอกาสมีระดับคอเรสเตอรอลในเลือด ค่อนข้างสูง บุคคลที่มีจีโนไทป์ ℎ ℎ ไม่สามารถสร้างตัวรับ ได้ส่งผลให้มีโอกาสมีระดับคอเรสเตอรอลในเลือดสูงมากและ มีโอกาสเป็นโรคหัวใจตั้งแต่อายุยังน้อยได้ ส าหรับพ่อและแม่ที่มีจีโนไทป์ ℎ ความน่าจะเป็นที่ลูกแต่ละคนจะมีจีโนไทป์ และ ℎ คือ 1 4 และ 1 2 ตามล าดับ ถ้าสามีภรรยาคู่หนึ่งมีจีโนไทป์ ℎ ต้องการมีบุตร 3 คน จงหา 8.1) ความน่าจะเป็นที่บุตรทั้ง 3 คน จะไม่มีจีโนไทป์ ℎ ℎ 8.2) ความน่าจะเป็นที่มีบุตรอย่างน้อย 1 คน มีจีโนไทป์ ℎ ℎ วิธีท า 8.1) หาความน่าจะเป็นที่บุตรทั้ง 3 คน จะไม่มีจีโนไทป์ ℎ ℎ
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 47 *****************************************************************************************************************************************************************************
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 48 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ( ) ในกรณีที่ตัวแปรสุ่มที่เราสนใจเป็นต วแปรสุ่มต่อเนื่อง เช่น 1. ระยะเวลาที่ลูกค้าใช้เวลาในห้างสรรพสิ้นค้าแห่งหนึ่ง 2. น้ าหนักของผู้ป่วยที่เขารับการรักษาในโรงพยาบาลแห่งหนึ่ง 3. ค่าของฝุ่น PM 2.5 ของแต่ละวัน ในเดือนมกราคม 2565 ในเขตเทศบาลนครปากเกร็ด เนื่องจากตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เป็นเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นช่วงที่เป็นสับเซตของ ซึ่งมีสามาชิกเป็นจ านวน อนันต์จึงไม่เหมาะกับการเขียนแสดงการแจกแจงคาม่าจะเป็นในรูปตารางเช่นเดียวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นของ ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง แต่ะจะใช้เส้นโค้งความหนาแน่น ( ) ในการเขียนแจกแจงความน่าจะ เป็นแทน โดยความหนาแน่นที่เป็นตัวแปรสุ่มจะมีหค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งกับพื้นที่ทิ่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งความ หนาแน่นกับแกน X จะเรียกพื้นที่บริเวณดังลก่าวว่า พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่น เส้นโค้งความหนาแน่นเป็นกราฟของฟังก์ชัน = () โดยที่ เป็นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม จะเรียก ฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันความหาแน่นของความน่าจะเป็น ( ∶ .. .) เราก าหนด () เป็นฟังก์ชันความหหนาแน่นของตัวแปรสุ่ม ก็ต่อเมื่อ 1. () ≥ 0 ส าหรับทุก ที่มีค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม 2. พื้นที่ () ใต้โค้งความหน่าแน่นทั้งหมดจะเท่ากับ 1 ( = 1.00) พิจารณาเส้นโค้งของความหนาแน่นของตัวแปรสุ่ม ดังรูป จากรูป เราสามารถหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีค่าอยู่ในช่วงที่เราสนใจได้จากการหาพื้นที่ใต้โค้ง = () ในช่วงดังกล่าว เช่น ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม มีค่ามากกว่า 1 แต่น้อยกว่า 3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (1 < < 3) จะเท่ากับพื้นที่ส่วนที่แรเงา โดยที่ (1 < < 3) = ∫ () 3 1 ซึ่งในการหาพื้นที่ (Area) ใต้โค้งความหน่าแน่นทั้งหมด สามารถหาได้ 2 แบบ คือ 1. หาพื้นที่โดยใช้สูตร (− < < ) = ∫ () − ซึ่งเป็นวิธีการที่ต้องค านวณและใช้เวลา 2. หาพื้นที่โดยการใช้ตาราง ซึ่งผ่านการค านวณจากการใช้สูตรโดยข้อข้างต้นเรียบร้อยแล้ว
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 49 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.1 การแจกแจงปกติ ( ) หัวข้อนี้มุ่งให้นักเรียนศึกษาเรื่องการแจกแจงปกติ ( ) เพื่อน าแนวคิดและความรู้ที่ได้ไป ช่วยหาความน่าจะเป็นของข้อมูลที่เราสนใจ ซึ่งจะกล่าวถึงการแจกแจงปกติและเส้นโค้งปกติ ( ) ซึ่งจะ เกี่ยวข้องกับค่ามาตรฐาน (S − − ) โดยค่ามาตรฐานที่ศึกษาจะมีประโยชน์หลาย ประการ เช่น ใช้ในการวัดต าแหน่งที่หรือต าแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล ใช้เปรียบเทียบลักษณะบางประการของข้อมูล ใช้เป็น พื้นฐานของการค านวณพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติและความน่าจะเป็นที่จะน าไปท านายลักษณะที่เป็นไปได้ของข้อมูลตามเงื่อนไขด้วย วิธีการทางสถิติ เส้นโค้งความหนาแน่นของการแจกแจงปกติ มีลักษณะ สมมาตรคล้ายรูประฆังคว่ า ดังรูป บทนิยาม 5 การแจกแจงปกติ ( ) คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่ ที่มีฟังก์ชันของความหนาเน่นของความน่าจะเป็น คือ () = 1 √2 − 1 2 ( − ) 2 โดยที่ แทน ค่าเฉลี่ย () และ แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( ) ซึ่งโค้งปกติรูประฆังคว่ า มีสมบัติที่ส าคัญ ดังนี้ 1. เส้นโค้งมีเส้นตั้งฉากกับแกน X ที่ลากผ่านค่าเฉลี่ย ( ∶ ) เป็นแกนสมมาตร ท าให้พื้นที่ด้านซ้ายของค่าเฉลี่ย เท่ากับพื้นที่ด้านขวาของค่าเฉลี่ย ถ้าพื้นที่ด้านซ้าย 50% จะเท่ากับพื้นที่ด้านขวา 50% รวมพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมด 100 % หรือ ถ้า พื้นที่ด้านซ้าย 0.5 จะเท่ากับ พื้นที่ด้านขวา 0.5 รวมพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมด 1.00 2. ปลายของเส้นโค้งทั้งสองด้ายเข้าใกล้แกน X แต่ไม่ตัดกับแกน X หรือกล่าวได้ว่า แกน X เป็นเส้นก ากับแนวนอน (horizonta asymtote) 3. ค่าแฉลี่ย() และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () หรือความแปรปรวน ( 2 ) จะเป็นตัวก าหนดลักษณะเฉพาะของเส้น โค้งว่ามีแกนสมมาตรอยู่ที่ใด และมีการกระจายจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด A1 = 50 % A1 = 0.5 A2 = 50 % A2 = 0.5
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 50 ***************************************************************************************************************************************************************************** (1) แสดงพื้นที่ด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยเท่ากับพื้นที่ด้านขวาของค่าเฉลี่ย ถ้าพื้นที่ด้านซ้าย 50% จะเท่ากับพื้นที่ด้านขวา 50% รวมพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมด A = 100 % หรือ ถ้าพื้นที่ด้านซ้าย 0.5 จะเท่ากับพื้นที่ด้านขวา 0.5 รวมพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมด A = 1.00 (2) แสดง ค่าแฉลี่ย() ต่างกัน แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () หรือความแปรปรวน ( 2 ) ไม่เท่ากัน (3) แสดง ค่าแฉลี่ย() เท่ากัน แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () หรือความแปรปรวน ( 2 ) ไม่เท่ากัน ตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติ โดยที่ แทนค่าแฉลี่ย และ 2 แทนความแปรปรวน จะเรียก - ตัวแปรสุ่ม ว่า ตัวแปรสุ่มปกติและเรียก - และ 2 ว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ~ ( , 2 ) ซึ่ง ~ ( , ) หมายถึง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงปกติที่มี และ 2 เป็นพารามิเตอร์