ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 51 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน ( ) จากความรู้พื้นฐานเรื่องการแจกแจงปกติ ในหัวข้อ 4.3.1 เราได้ทราบว่า เส้นโค้งปกติ ( ) หรือเส้น โค้งปกติมาตรฐาน ( ) เขียนด้วยสมการเส้นโค้งปกติ = () = 1 √2 − 1 2 ( − ) 2 หรือ = () = 1 √2 − 1 2 ( − ) 2 ได้มาจากวิธีการทางแคลคูลัสเมื่อ เมื่อ −∞ < < ∞ และ = 1 , 2 , 3 , … , โดยที่ ≈ 3.1416 … และ ≈ 2.718… แทน ค่าเลี่ยเลขคณิตของประชากร () แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร () แทน จ านวนประชากร () ซึ่งเส้นโค้งปกติจะมีลักษณะเป็นรูประฆังคว่ า เกิดจากการแจกแจงความถี่ของข้อมูลที่เกิดจากการปรับรูปหลาย เหลี่ยมของความถี่ของฮิสโทแกรมให้เป็นรูปโค้งเรียบ โดยจะได้เส้นโค้งของความถี่ซึ่งพื้นที่ ( ∶ ) ภายใต้เส้นโค้งของ ความถี่จะแทนความถี่ของค่าจาการสังเกตทั้งหมด พื้นที่ใต้เส้นโค้ง (A) ทั้งหมด นิยมก าหนดให้เป็น 100 % หรือในทางความ น่าจะเป็น ( ∶ ) โดยก าหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้ง () ทั้งหมด เป็น 1 ดังรูป 0.5 0.5 50 % 50 % -3 -2 -1 0 1 2 3 = = 0 , = 1 (5) แสดงเส้นโค้งปกติ ( ) หรือ เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ( ) 4.3.2.1 ความหมายและสมบัติของค่ามาตรฐาน ( − − ) ผลการเรียนรู้ : นักเรียนสามารถ 1. วิเคราะห์ความหมายของค่ามาตรฐานที่ได้จากข้อมูลที่ก าหนดให้ได้ 2. น าสมบัติของค่ามาตรฐานและหาหาค่ามาตรฐานของข้อมูลชุดใดๆ ในข้อมูลแต่ละชุด เพื่อน าไปวิเคราะห์ เปรียบเทียบกันได้ 3. เมื่อก าหนดค่ามาตรฐานมาให้ สามารถหาข้อมูลหรือสิ่งที่เกี่ยวข้องกับค่ามาตรฐานได้ 4. น าความรู้เรื่องค่ามาตรฐานไปใช้แก้ปัญหาได้ 4.3.2.1 (1) ความหมายของค่ามาตรฐาน ค่ามาตรฐาน เป็นค่าที่ใช้ในการเปรียบเทียบค่าของข้อมูลตั้งแต่ 2 ค่าขึ้นไป ที่มาจากข้อมูลแต่ละชุดว่ามีความ แตกต่างกันหรือไม่เพียงไร ซึ่งเราไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้โดยตรงเนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลและส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เท่ากัน เช่น ถ้าเราต้องการจะเปรียบเทียบผลการเรียนผลการเรียนวิชาภาษาไทยกับคณิตศาสตร์ของ นักเรียนคนหนึ่งในห้องว่าเรียนวิชาใดได้ดีกว่ากัน ในการกระท าเบื้องต้นอาจปรับคะแนนให้เต็มเท่ากัน แล้วเปรียบเทียบคะแนน ที่ได้ แต่ก็ไม่สามารถสรุปได้ถูกต้องนักเพราะเนื้อหาวิชาหรือข้อสอบทั้งสองวิชามีความยากง่ายต่างกัน นักเรียนอาจมีความรู้ ความเข้าใจในวิชานั้นๆ ต่างกัน ทั้งอาจจะมาจากการที่ครูผู้สอนมีวิธีการสอน การให้ความรู้ที่ให้นักเรียนมีความเข้าใจใน วิชาที่แตกต่างกัน ดังนั้นเพื่อให้การเปรียบเทียบมีความถูกต้องมากขึ้น จึงจ าเป็นต้องแปลงคะแนนที่ได้จากการเรียนรู้ไปเป็น คะแนนมาตรฐานหรือค่ามาตรฐาน (ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากันเสียก่อน) โดยใช้สูตรค่า มาตรฐาน ( − ) แล้วจึงเปรียบเทียบคะแนนความรู้จากวิชาทั้งสอง โดยหลักการแปลงค่าข้อมูลของตัวแปรแต่ละตัวให้ เป็นค่ามาตรฐานนี้ ท าโดย “แปลงข้อมูลที่ต้องการหาให้เป็นค่ามาตรฐาน” ซึ่ง ค่ามาตรฐานจากข้อมูลเดิมที่ค านวณมาจากประชาการ () หรือกลุ่มตัวอย่าง () ทั้งหมดที่มี การแจกแจงปกติ ( ) และโค้งปกติ ( ) มีลักษณะส าคัญ ดังนี้ 1. ที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( , ) จะมีค่ามาตรฐาน เท่ากับ 0 และ 2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (, หรือ ..) เท่ากับ 1
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 52 ***************************************************************************************************************************************************************************** ซึ่งค่ามาตรฐานหรือคะแนนมาตรฐาน ( ) หาได้จาก สูตร 1. ค่ามาตรฐานของประชากร () 2. ค่ามาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง () = − …….(1) = − …….(2) เมื่อ เป็น ค่ามาตรฐาน ( − ) เป็น ค่าที่ต้องการสังเกต หรือค่าที่ i ของตัวแปร (เมื่อ = 1 ,2 ,3 , … , ) , เป็น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรและกลุ่มตัวอย่างตามล าดับ , เป็น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรและกลุ่มตัวอย่างตามล าดับ = + …….(1.1) = − …….(1.2) = − …….(1.3) = + …….(2.1) = − …….(2.2) = − …….(2.3) ค่าหรือคะแนนมาตรฐานที่ค านวณได้ จะเป็นตัวบอกให้ทราบว่า ค่าสังเกต ( ) นั้นๆ อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต เป็นกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และอยู่ในทิศทางใดเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต (ที่ = 0) ซึ่ง 1. ถ้าค่าสังเกต ( ) มีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ย ( > , ) จะมีคะแนนมาตรฐานเป็นบวก ( +) หรือ > 0 2. ถ้าค่าสังเกต ( ) ที่มีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( < , ) จะมีค่าคะแนนมาตรฐานเป็นลบ ( -) หรือ < 0 และ 3. ถ้าค่าสังเกต ( ) มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตพอดี ( = , = ) จะมีคะแนนมาตรฐานเป็นศูนย์ ( = 0) ซึ่งการแปลงหรือการหาคะแนนมาตรฐานเป็นการแปลงแบบเชิงเส้น (linear transformation) ซึ่งวิธีการนี้จะไม่ท า ให้การแจกแจงของค่าสังเกตก่อนและหลังเปลี่ยนแปลงไป และค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล หลังการแปลงก็สามารถหาได้โดยวิธีง่าย และการเปรียบเทียบค่าสังเกตด้วยวิธีการข้างต้นก็ยังคงมีการแจกแจงปกติเช่นเดิม 4.3.2.1 (2) ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งปกติ กับ ค่ามาตรฐาน ในทางปฎิบัติจะเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( , ) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (, s) ซึ่งรูปของเส้นโค้งปกติอาจ เปลี่ยนแปลงรูปไปบ้าง แต่รูปของเส้นโค้งปกติ จะก าหนดมาจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ามาตรฐาน ( = 0) และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน (= 1) ซึ่งก าหนดให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล อยู่ที่ค่ามาตรฐาน = 0 และให้แกนราบ (แกน x) เป็นแกนค่าของ ข้อมูล ซึ่งค่ามาตรฐาน z ได้จากสูตร = − ไม่ว่าข้อมูล จะเปลี่ยนไปอย่างไรก็สามารถหาค่า และเขียน ต าแหน่งบนระนาบแกน x แสดงค่า ภายใต้เส้นโค้งปกติได้เสมอ และจากข้อสังเกตเกี่ยวกับค่ามาตรฐานที่กล่าวว่า ค่า มาตรฐาน () ของข้อมูลใดๆ จะเป็นบวก (+) หรือลบ (-) และ ค่ามาตรฐานของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติหรือใกล้เคียงปกติ จะมีค่าอยู่ระหว่าง -3 ถึง 3 แต่อาจจะมีค่าต่ ากว่า -3 หรือมากกว่า 3 ก็ได้ และเมื่อแปลงข้อมูลในทุกๆ ค่าในข้อมูลชุดใดชุด หนึ่งที่เป็นข้อมูลระดับประชากรให้เป็นค่ามาตรฐาน (z) แล้วน าค่ามาตรฐานเหล่านี้มาค านวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต () ของข้อมูลอยู่ต าแหน่งที่ z = 0 และ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () = 1 ท าให้ได้รูปเส้นโค้งปกติที่มี 3 ลักษณะที่ส าคัญ ดังนี้ 1. การแจกแจงข้อข้อมูลชุดใดๆ จะเรียกว่ามีการแจกแจงปกติก็ต่อเมื่อ มีค่ากลาง 3 ชนิดมีค่าเท่ากัน นั่นคือมี ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( หรือ ) เท่ากับค่ามัธยฐาน () และฐานนิยม () [หรือ , = = ] และเมื่อลากเส้นตั้งฉาก จากระนาบไปยังใต้เส้นโค้งปกติ เส้นตั้งฉากนี้จะเป็นแกนสมมาตร แบ่งพื้นที่ (: ) ใต้เส้นโค้งปกติออกเป็น 2 ส่วนเท่าๆ กัน เป็นพื้นที่ด้านซ้าย 50 % และพื้นที่ด้านขวา 50 % รวมเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง 100 % หรือถ้าแบ่งในลักษณะของความน่าจะ เป็นจะได้ พื้นที่ด้านซ้ายเท่ากับ 0.5 และพื้นที่ด้านขวาเท่ากับ 0.5 รวมเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากับ 1 (A=1.00 หรือ A=100 %) 2. ถ้าเราแบ่งฐานของเส้นโค้งปกติรูประฆังคว่ าของข้อมูลชุดนั้นๆ โดยเริ่มจากจุดที่เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( , ) ซึ่ง เป็นจุดที่มีค่ามาตรฐาน z = 0 ออกไปทางซ้ายและทางขวาออกไปเป็นช่วงๆ โดยความกว้างแต่ละช่วงเท่ากับค่าของส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐาน ( หรือ ) ของข้อมูล และเมื่อลากเส้นตั้งฉากจากจุดแบ่งฐานแต่ละจุดไปตัดเส้นโค้งปกติที่อยู่เหนือระนาบ
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 53 ***************************************************************************************************************************************************************************** แล้ว จะท าให้ได้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระหว่างเส้นแบ่งแต่ละช่วงเป็นร้อยละของพื้นที่ทั้งหมดหรือตามสัดส่วนของช่วงจากพื้นที่ ใต้เส้นโค้ง ( ∶ ) ทั้งหมดเท่ากับ 1.00 หรือ 100 % ดังนี้ .3413 .3413 .4772 .4772 .4990 .4990 -3 -2 -1 0 1 2 3 − 3 − 2 − + + 2 + 3 − 3 − 2 − + + 2 + 3 − 3 z − 2 − + + 2 + 3 (6) แสดงการแบ่งส่วนพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ( ∶ ) ทั้งหมดเท่ากับ 1.00 หรือ 100 % บนช่วงของค่า 1. พื้นที่ (A) จากจุด z = 0 ถึง z = 1 (หรือ ถึง + s) = 0.3413 หรือ 34.13 % 2. พื้นที่ (A) จากจุด z = 0 ถึง z = 2 (หรือ ถึง + 2s) = 0.4772 หรือ 47.72 % 3. พื้นที่ (A) จากจุด z = 0 ถึง z = 3 (หรือ ถึง + 3s) = 0.4987 หรือ 49.87 % 4. พื้นที่ (A) จากจุด z = 0 ถึง z = 3.09 (หรือ ถึง + 3.09s) = 0.4990 ≈ 0.5 หรือ 49.90 % ≈ 50 % 5. พื้นที่ (A) จากจุด z = 0 ถึง z = -1 (หรือ ถึง - s) = 0.3413 หรือ 34.13 % 6. พื้นที่ (A) จากจุด z = 0 ถึง z = -2 (หรือ ถึง - 2s) = 0.4772 หรือ 47.72 % 7. พื้นที่ (A) จากจุด z = 0 ถึง z = -3 (หรือ ถึง - 3s) = 0.4987 หรือ 49.87 % 8. พื้นที่ (A) จากจุด z = 0 ถึง z = -3.09 (หรือ ถึง - 3.09s) = 0.4990 ≈ 0.5 หรือ 49.90 % ≈ 50 % 3. ถ้าข้อมูลชุดใดๆ ที่มีค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( หรือ ) โดยที่ 3.1) ถ้าค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( หรือ ) มีค่ามาก (กระจายมาก) ฐานของโค้งปกติรูประฆังคว่ าจะกว้าง 3.2) ถ้าค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( หรือ ) มีค่าน้อย (กระจายน้อย) ฐานของโค้งปกติรูประฆังคว่ าจะแคบ 4.3.2.1 (3) สมบัติของค่ามาตรฐาน 1. ค่ามาตรฐาน () ของข้อมูลใดๆ จะเป็นบวก (+) เป็นลบ ( - ) หรือเป็นศูนย์ (0) ก็ได้ 2. ถ้าค่ามาตรฐาน () เป็นศูนย์ ( = 0 ) แสดงว่าค่าของข้อมูล ( ) นั้นๆ มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนั้น ( = , = ) 3. ค่ามาตรฐานของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติหรือใกล้เคียงปกติ จะมีค่าอยู่ระหว่าง -3 ถึง 3 แต่อาจจะมีค่าต่ ากว่า -3 หรือมากกว่า 3 ก็ได้ 4. เมื่อแปลงข้อมูลในทุกๆ ค่าในข้อมูลชุดใดชุดหนึ่งที่เป็นข้อมูลระดับประชากรให้เป็นค่ามาตรฐาน () แล้วน าค่า มาตรฐานเหล่านี้มาค านวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต () และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( ) จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ามาตรฐาน เท่ากับ 0 ( = 0 )และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 (= 1) เสมอ นั่นคือ 4.1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ามาตรฐาน () เท่ากับ 0 เสมอ นั่นคือ ถ้า ∑ = 0 จะได้ว่า ∑ = = 0 เมื่อ i = 1 , 2 , 3 , … ,N จาก ∑ = 1 + 2 + 3+ … + = …+ (-3) + (-2) + (-1) + 0 + (1) + (2) + (3) + … = 0 ………………. (1) ดังนั้น = ∑ = 0 = 0 ………………. (2) 4.2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่ามาตรฐาน ( ) เท่ากับ 1 เสมอ และ ∑ 2 = จาก ∑ 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + 2 = ………………. (3) ดังนั้น = √ ∑ 2 − () 2 = √ − (0) 2 = √1 = 1 ………………. (4) 5. ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () = 0 แล้วจะหาค่า z ไม่ได้เนื่องจากข้อมูลเท่ากันทุกตัว …….........… (5)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 54 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.2.1 (4) สมบัติของเส้นโค้งปกติ ( ) 1. เส้นโค้งปกติ ( ) มีค่ากลาง 3 ชนิดมีค่าเท่ากัน นั่นคือ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับค่ามัธยฐานและ ฐานนิยม ( , = = ) และอยู่ที่จุดที่เส้นตรงลากผ่านจุดสูงสุดของเส้นโค้งความถี่และตั้งฉากกับแกนนอน และเป็น จุดที่ค่ามาตรฐาน Z = 0 2. เส้นโค้งปกติ (Normal curve) จะมีเส้นตั้งฉาก ที่ค่ากลางทั้ง 3 อยู่ ณ จุดเดียวกัน เป็นแกนสมมาตร และเป็น จุดที่ก าหนดค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ามาตรฐาน () เท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () เท่ากับ 1 3. เส้นโค้งจะลดลงเรื่อยๆ จากแกนสมมาตรทั้งทางด้านซ้ายและด้านขวา และเข้าใกล้แกนนอนมากขึ้นในต าแหน่งที่ อยู่ห่างออกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( , ) เป็นระยะสม่ าเสมอและจะไม่ตัดแกนนอน 4. พื้นที่ (A ∶ Area) ใต้เส้นโค้งปกติ ( ) ที่อยู่ด้านซ้ายและด้านขวาของแกนสมมาตรที่ z = 0 ด้าน ละ 50 % รวม 100 % หรือมีพื้นที่ได้เส้นโค้งปกติด้านละ 0.5 รวมเท่ากับ 1.00 5. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ (Normal curve) มีค่าเท่ากับ 1.00 เสมอ หรือพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเท่ากับจ านวนข้อมูล ทั้งหมด (N) MEMO :
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 55 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.2.1 (5) ความสัมพันธ์ระหว่างค่ามาตรฐาน ( − ) กับโค้งปกติ ( ) และการน าไปใช้ ตัวอย่างที่ 13 ผลการสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนชั้น ม.6 แผนการเรียนวิทย์ - คณิต มีคะแนนเฉลี่ย 63 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4 คะแนน วันวิภาสอบได้ 74 คะแนน จงหาค่ามาตรฐานของคะแนนสอบของวันวิภา และค่า มาตรฐานที่ได้แปลผลได้ว่าอย่างไร เมื่อพิจารณาร่วมกับพื้นที่ใต้โค้งปกติเพื่อเปรียบเทียบกับคะแนนสอบของนักเรียนชั้น ม.6 ทั้งกลุ่ม วิธีท า วิเคราะห์ จากโจทย์จะได้ว่า คะแนนเฉลี่ย = 63 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 4 คะแนน และคะแนนสอบของวันวิภ า = 74 คะแนน 13.1) หาค่ามาตรฐาน () ของคะแนนสอบของวันวิภา จากสูตร ค่ามาตรฐาน = − แทนค่า จะได้ = 74−63 4 = 11 4 = 2.75 ซึ่ง ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบ = 2.75 > 0 หมายถึง มีคะแนนสอบสูงว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่ม …….. 13.1 ∎ 13.2) เปิดตารางเพื่อหาค่าพื้นที่ใต้โค้งปกติ () ที่ = 2.75 ตรงกับพื้นที่ใต้โค้งปกติ = 0.9970 …….. 13.2 ∎ 13.3) พิจารณาร่วมกับพื้นที่ใต้โค้งปกติเพื่อเปรียบเทียบกับคะแนนสอบของนักเรียนชั้น ม.6 ทั้งกลุ่ม (ในลักษณะ เปอร์เซนไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง) จากโจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < < ) = 63 คะแนน = 4 คะแนน = 74 คะแนน จ า ก สู ต ร = − จะได้ = 74−63 4 = 11 4 = 2.75 จาก ( ≤ 63) = ( ≤ 2.75) เปิดตาราง1 = 0.9970 ได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง = 0.9970 คิดเป็นเปอร์เซนต์ = 0.9970 x 100 % = 0 = 2.75 = 99.70 % = 0.9970 พบว่าพื้นที่ใต้โค้ง () ของคะแนนสอบของวันวิภา เท่ากับ 0.9970 หรือ 99.70 % แสดงว่าเมื่อเทียบต าแหน่งที่ของตคะแนนสอบทั้งกลุ่มของนักเรียนชั้น ม.6 แผนวิทย์-คณิตทั้งหมด เมื่อเรียงคะแนนสอบจากน้อยไปหามากแล้ว วันวิภามีคะแนนสอบตรงกับต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 99.7 …….. 13.3 ∎ ตัวอย่างที่ 14 นรากร มีผลผลการเรียนวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษคะแนนเต็ม 100 คะแนน เขาสอบได้ 79 และ 73 คะแนน ตามล าดับ ถ้าคะแนนเฉลี่ยวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษของของนักเรียน ม.6 ทั้งระดับ เท่ากับ 76 และ 70 คะแนน ตามล าดับ และความแปรปรวนของคะแนนวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษเท่ากับ 225 และ 100 ตามล าดับ จงหาว่า นรากรเรียนวิชาใดได้ดีกว่ากัน วิธีท า แยกวิเคราะห์ข้อมูล เป็นรายวิชา (เราสามารถหาค่าต าแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์จากพื้นที่ใต้โค้งปกติ จากตาราง 1 หน้า 62) 2.1 วิชาภาษาไทย จากโจทย์จะได้ว่า คะแนนเฉลี่ย = 76 คะแนน ความแปรปรวน 2 = 225 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = √225 = 15 คะแนน และคะแนนสอบวิชาภาษาไทย = 79 คะแนน 1) หาค่ามาตรฐาน () จากสูตร = − แทนค่า จะได้ = 79−76 15 = 3 15 = 0.20 2) เปิดตารางเพื่อหาค่าพื้นที่ใต้โค้งปกติ () ที่ = 0.20 พื้นที่ใต้โค้งปกติ = 0.5793 ตรงกับต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 57.93 …….. 14.1 ∎ 2.2 วิชาภาษาอังกฤษ จากโจทย์จะได้ว่า คะแนนเฉลี่ย = 70 คะแนน ความแปรปรวน 2 = 100 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = √100 = 10 คะแนน และคะแนนสอบวิชาภาษาองกฤษ = 73 คะแนน 1) หาค่ามาตรฐาน () จากสูตร = − แทนค่า จะได้ = 73−70 10 = 3 10 = 0.30 2) เปิดตารางเพื่อหาค่าพื้นที่ใต้โค้งปกติ () = 0.30 พื้นที่ใต้โค้งปกติ = 0.6179 ตรงกับต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 61.79 …….. 14.2 ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 56 ***************************************************************************************************************************************************************************** พบว่าคะแนนสอบของนรากร มีค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ ( = 0.30) มีค่ามากกว่าค่า มาตรฐานของคะแนสอบวิชาภาษาไทย ( = 0.20) สรุปได้ว่า นรากรเรียนวิชาภาษาอังกฤษได้ดีกว่าวิชาภาษาไทย หรือหากจะพิจารณาที่พื้นที่ใต้โค้งปกติ เมื่อแปลงข้อมูลเป็นต าแหน่งที่ของเปอร์เซนไทล์พบว่าต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ ของวิชาภาษาอังกฤษ (ซึ่งเท่ากับ 61.79) สูงกว่าต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ของวิชาภาษาไทย (ซึ่งเท่ากับ 57.93) ซึ่งก็สามารถ สรุปได้ว่า นรากรเรียนวิชาภาษาอังกฤษได้ดีกว่าวิชาภาษาไทย …………………………………………………………………... 14.3 ∎ อย่าลืมนะ … ค่ามาตรฐาน () ที่มีค่ามาก “ดีกว่า” ค่ามาตรฐาน () ที่มีค่าน้อย (ส าหรับข้อมูลเชิงบวก) ตัวอย่างที่15 ผลการสอบวิชาเคมีของนักเรียน ม.6 ห้องหนึ่ง จ านวน 42 คน มีคะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 62 คะแนน ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 12 คะแนน ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของนักเรียนกลุ่มนี้เพียง 41 คน เท่ากับ 2.75 แล้ว นักเรียนอีก 1 คน ที่เหลือสอบได้คะแนนเท่าใด วิธีท า วิเคราะห์ จากโจทย์จะได้ว่า จ านวนนักเรียนทั้งห้อง = 42 คน มีคะแนนเฉลี่ย = 62 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 12 คะแนน และ ผลรวมของค่ามาตรฐานของนักเรียนกลุ่มนี้เพียง 41 คน เท่ากับ 2.75 นั่นคือ 1 + 2+3 + ⋯ + 39 + 40+41 = ∑ = 2.75 41 =1 15.1) หาค่ามาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรียนคนที่ 42 จากสมบัติของค่ามาตรฐาน 1 + 2+3 + ⋯ + 39 + 40+41 + +42 = 0 ∑ + 42 = 0 41 =1 2.75+ 42 = 0 42 = −2.75 …….. 15.1 ∎ 15.2) หาคะแนนสอบ ( ) ของนักเรียนคนที่ 42 เมื่อค่ามาตรฐาน 42 = −2.75 จากสูตร = − แทนค่า จะได้ −2.75 = −62 12 −2.75(12) + 62 = = 62 − 33 = 29 ดังนั้น นักเรียนคนที่ 42 มีคะแนนสอบเท่ากับ 29 คะแนน …….. 15.2 ∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 6 : ค่ามาตรฐาน () และการแปลความหมายการน าไปใช้ : (−∞ ≤ ≤ ∞) ข้อ 1 ผลสอบกลางภาควิชาภาษาอังกฤษพื้นฐานของนักเรียนชั้น ม.6 โรงเรียนหนึ่ง มีคะแนนเฉลี่ย 14 คะแนน ความ แปรปรวนของคะแนนสอบเท่ากับ 16 และคมชัด เป็นนักเรียนโรงเรียนนี้มีค่ามาตรฐานคะแนนสอบ เท่ากับ −1.5 จงหาว่า คมชัดสอบได้กี่คะแนน และแปลผลของคะแนนได้ว่าอย่างไร วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 57 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 2 ผลสอบวิชาคณิตศาสตร์ คะแนนเต็ม 20 คะแนน พบว่าคะแนนเฉลี่ยของนักเรียน ม.6 ห้องหนึ่ง เท่ากับ 15 คะแนน และส่วนบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 2 จงหาว่า 2.1 นลินีเป็นนักเรียนห้องนี้ สอบได้ค่ามาตรฐาน 1.25 แล้วเธอสอบได้กี่คะแนน 2.2 สมยศ สอบได้ 11 คะแนน ค่ามาตรฐานของเขาเป็นเท่าใด วิธีท า จากโจทย์ คะแนนเฉลี่ยของวิชาคณิตศาสตร์ = 15 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 2 2.1 หาคะแนนสอบ ( ) ของนลินีเมื่อ = 1.25 2.2 หาค่ามาตรฐาน () ของคะแนนสอบของสมยศ เมื่อคะแนนสอบ ( ) = 11 ข้อ 3 นายสังคม มีผลการเรียนวิชาประวัติศาสตร์ และวิชาและภาษาอังกฤษคะแนนเต็ม 120 คะแนนเท่ากัน เขาสอบได้ ประวัติศาสตร์ และวิชาและภาษาอังกฤษ เท่ากับ 98 และ 88 คะแนน ตามล าดับ ถ้าคะแนนเฉลี่ยวิชาประวิติศาสตร์และ ภาษาอังกฤษของของนักเรียน ม.6 ทั้งระดับ เท่ากับ 80 และ 70 คะแนน ตามล าดับ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนน วิชาประวัตศาสตร์และภาษาอังกฤษเท่ากับ 9 และ 6 ตามล าดับ จงหาว่า นายสังคม เรียนวิชาใดได้ดีกว่ากัน วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 58 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 4. (ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย PAT1) ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 30 คน มีคะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 60 และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุ่มนี้เพียง 29 คนเท่ากับ 2.5 แล้วนักเรียนอีก 1 คนที่เหลือ สอบได้คะแนนเท่ากับเท่าใดต่อไปนี้ 1. 35 2. 58 3. 60 4. 85 วิธีท า ข้อ 5. (ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย PAT1) บริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงาน 20 คน เงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานเท่ากับ 60,000 บาท และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10,000 บาท ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของเงินเดือนของพนักงาน จ านวน 19 คน มีค่าเท่ากับ 2.5 แล้วพนักงานอีก 1 คน ที่เหลือจะมีเงินเดือนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 35,000 2. 57,500 3. 62,500 4. 85,000 วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 59 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.2.2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน ( ) จะศึกษาความนหนาแน่นของตัวแปรสุ่ม Z ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐานที่ได้จากฟังก์ชัน () = 1 √2 − 1 2 () 2 เมื่อ −∞ < < ∞ ซึ่งพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ = ∫ () ∞ −∞ โดยที่ แทน ค่าของตัวแปรสุ่ม () เมื่อ = − และ แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( ) บทนิยาม 6 การแจกแจงปกติมาตรฐาน ( ) คือ การแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 ( = 0) และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 ( = 1) จากรูปเราเรียกเส้นโค้งที่ได้จากฟังก์ชัน () ที่เป็นสมการของตัวแปรสุ่มปกติ ที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 ( = 0) และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 ( = 1) นี้ว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ( ) และเรียกตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติมตรฐานว่า ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ( ) ส าหรับการหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานจะมีค่าอยู่ในช่วงที่สนใจ จะใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติ มาตรฐาน (ตารางที่ 1) แทนการหาปริพันธ์จ ากัดเขต ของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น โดยค่าที่ปรากฏในตาราง ที่ 1 คือ “ค่าประมาณของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง ” หรือ “ความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ( < ) ในการอ่านค่าค่าประมาณของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ให้เริ่มพิจารณาจากค่า จาก 0.00 ถึง - 3.09 หรือ จาก 0.00 ถึง 3.09 ดังปรากฎในหนังสือแบบเรียนของนักเรียน (บางเอกสารก าหนดค่ามาตรฐานให้ จาก 0.00 ถึง ± 3.99) และ ในเอกสารประกอบการเรียนเล่มนี้ ก าหนดให้ค่ามาตรฐานจาก 0.00 ถึง ± 3.49 และพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ณ ต าแหน่ง ค่าของของมูล ที่เราหาได้สามารถน าไปเทียบหาต าแหน่งที่ของเปอร์เซนไทล์ของข้อมูลที่เราต้องทราบโดยน าค่าของพื้นที่ไป คูณกับ 100 หรือเราจะหาช่วงของพื้นที่จากช่วงความน่าจะเปนของตัวแปรสุ่มเป็นเปอร์เซนต์ เราสามารถน าค่าของพื้นที่ไปคูณ กับ 100 ได้เช่นเดียวกัน ถ้าเราต้องการหาค่า ( ≤ 2.5) โดยจะหาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่าหรือ เท่ากับ 2.5 เราจะต้องเปิดตาราง ไปที่ค่า = 2.50 จะได้ค่าพื้นที่ใต้โค้ง = 0.9938 ดังรูป = 2.50 = 0.9938 จากรูป แสดงพื้นที่ได้โค้งปกติที่เป็นหาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2.5 หรือจาก −∞ ถึง 2.50 มีพื้นที่ที่แรเงา เท่ากับ 0.9938 หรือคิดเป็น 99.38 % หรือจะอนุมานได้ว่า ค่าของข้อมูล ณ ที่ค่า = 2.50 ตรงกับต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 99.38 ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 60 ***************************************************************************************************************************************************************************** Standard Normal Cumulative Probability Table CumulativeprobabilitiesforNEGATIVEz-valuesareshowninthefollowing table : ( ≤ ) z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 - 3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 - 3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 - 3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 - 3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 - 3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 - 2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 - 2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 - 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 - 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 - 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 - 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 - 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 - 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 - 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 - 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 - 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 - 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 - 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 - 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 - 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 - 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 -1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 - 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 - 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 - 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 - 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 - 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 - 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 - 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 - 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 - 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 - 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 - 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 -0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 ตาราง 1 “ค่าประมาณของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง ” หรือ “ความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ ” : ( < )
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 61 ***************************************************************************************************************************************************************************** Standard Normal Cumulative Probability Table CumulativeprobabilitiesforPOSITIVEz-valuesareshowninthefollowing table : ( ≤ ) z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 ตาราง 1 “ค่าประมาณของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจาก −∞ ถึง ” หรือ “ความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ ” : ( < )
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 62 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่16 จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ จากค่ามาตรฐาน ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้(และให้นักเรียนแรเงาบริเวณค าตอบ) โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) P ( 3.05) จาก P ( 3.05) จากตาราง 1 ได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง A = 0.99.89 คิดเป็นเปอร์เซนต์ = 0.9989 x 100 % = 99.89 % =0 =3.05 =0.9989 ตัวอย่างที่17 จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ จากค่ามาตรฐาน ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) P ( 1.55) จาก P ( 1.55) จากตาราง 1 ได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง A = 0.9314 คิดเป็นเปอร์เซนต์ = 0.9314 x 100 % = 93.14 % =0 =1.55 =0.9314 ตัวอย่างที่18 จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ จากค่ามาตรฐาน ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) P ( -2.55) จาก P ( -2.55) จากตาราง 1 ได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง A = ………………….……….……….. คิดเป็นเปอร์เซนต์=………………….………….. x 100 % = ………………….……….……….. % = -2.55 =0 = ………………….……….……….. ตัวอย่างที่19 จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ จากค่ามาตรฐาน ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) P (-2.75 2.45) จาก P (-2.75 2.45) จะได้ A = P(2.45 ) - P(-2.75 ) เปิดตาราง 1 จะได้ A = ………………….……….……….. - ………………….……….……….. = ………………….……….……….. ได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง A = ………………….……….……….. คิดเป็นเปอร์เซนต์ = ………………….……….…… x 100% = ………………….……….……….. % =-2.75 = 0 =2.45 A=………………….……….……….. =………………….……….………..
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 63 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่20 จงหาค่ามาตรฐาน ถ้าพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ (A) เท่ากับ 0.4950 วิธีท า เราพบว่า พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ A = 0.4950 ในตารางไม่มี พบว่าค่า A = 0.4950 มีค่าอยู่ระหว่าง 0.4920 - 0.4960 ซึ่งมีค่ามาตรฐาน อยู่ระหว่าง 0.02 - 0.01 จะได้ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ A ค่ามาตรฐาน 0.4920 0.02 0.4950 ………..…… 0.4960 0.01 เทียบสัดส่วน −0.01 = 0.003 0.004 จะได้ = 0.003 0.004 × −0.01 = −0.0075 …………..(1) ดังนั้นที่พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ A = 0.4950 ตรงกับค่ามาตรฐาน = 0.02 + = 0.02 + (−0.0075 ) = 0.0125 นั่นคือ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ (A) = 0.4950 มีค่าตรงกับค่ามตรฐาน = 0.0125 …….. ∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 7 : การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ จากตาราง 1 ที่ค่ามาตรฐาน : ( < ) ข้อ 1. จงวาดรูปแสดงอาณาบริเวณพร้อมหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติและคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ เมื่อก าหนดความน่าจะเป็นของ ค่ามาตรฐาน (จากตาราง 1) ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 1.1 P (0 2.03) โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 1.2 P ( 1.86) 0.004 0.003 x -0.01
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 64 ***************************************************************************************************************************************************************************** โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 1.3 P (-1.56 0) โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 1.4 P ( -2.77) โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 1.5 P ( 1.96) โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 1.6 P( -3.00 -1.2)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 65 ***************************************************************************************************************************************************************************** โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 1.7 P (0.99 1.99) ข้อ 2. ข้อมูลของประชากรชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต (μ) เท่ากับ 40 และมีส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน (σ) เท่ากับ 10 จงค านวณ วาดรูปแสดงอาณาบริเวณพร้อมหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติและคิดเป็นเปอร์เซนต์จาก ตาราง 1 ที่ค่ามาตรฐาน : ( < < ) เมื่อก าหนดข้อมูล ( ) ซึ่งมีค่า โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 2.1 มากกว่า 44 จากสูตร = − แทนค่า = 44−40 10 = 4 10 = 0.4 โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 2.2 มากกว่า 24 โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 2.3 น้อยกว่า 32
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 66 ***************************************************************************************************************************************************************************** โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( < ) 2.4 ระหว่าง 25.6 และ 52 จากสูตร = − (1) ที่ =25.6 แทนค่า = 25.6−40 10 = …………………………………… = …………………………………… (2) ที่ =52 แทนค่า = 52−40 10 = …………………………………… = …………………………………… ข้อ 3. จงหาค่ามาตรฐาน ถ้าพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ (A) เท่ากับ 0.8499 วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 67 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 4. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ (A) ถ้าก าหนดค่ามาตรฐาน = 1.758 วิธีท า ข้อ 5. นักเรียนชั้น ม.6 มีความสูงเฉลี่ย 165 เซนติเมตร และความแปรปรวนของความสูงเท่ากับ 36 ซม.2 จงหา 5.1) เปอร์เซ็นต์ของจ านวนนักเรียน ที่มีความสูง มากกว่า 175 เซนติเมตร 5.2) เปอร์เซ็นต์ของจ านวนนักเรียน ที่มีความสูง อยู่ระหว่าง 150 ถึง 170 เซนติเมตร วิธีท า 5.1) เปอร์เซ็นต์ของจ านวนนักเรียน ที่มีความสูง มากกว่า 175 เซนติเมตร ( > 175) 5.2) เปอร์เซ็นต์ของจ านวนนักเรียน ที่มีความสูง อยู่ระหว่าง 150 ถึง 170 เซนติเมตร (150 < < 170)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 68 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 8 : การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ จากตาราง 1 ที่ค่ามาตรฐาน : ( < ) ข้อ 1 จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติพร้อมแรเงาอาณาบริเวณที่เป็นค าตอบ จากตาราง 1 เมื่อก าหนดความน่าจะเป็น ของค่ามาตรฐาน z ต่อไปนี้ โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 1.1 (Z ≤ 2.23) จาก (Z ≤ 2.23) เปิดตาราง 1 จากตารางได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง A = 0.9871 คิดเป็นเปอร์เซนต์ = 0.9871 x 100 % = 98.71 % =0 =2.23 =0.9871 โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 1.2 (−1.87 ≤ ) จาก (−1.87 ≤ ) เปิดตาราง 1 จากตารางได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง A = ............................ คิดเป็นเปอร์เซนต์ = ............................ x 100 % = ............................ % = -1.87 =0 = …………….…..….………… โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 1.3 (Z ≥ 2.05) จาก (Z ≥ 2.05) จะได้ A = 1 − (Z ≤ 2.05) เปิดตาราง 1 = 1 − 0.9798 ได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง = 0.0202 คิดเป็นเปอร์เซนต์ = 0.0202 x 100 % = 2.02 % =0 =2.05 =0.9798 โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 1.4 (−2.75 ≤ ≤ 1.50) จาก (−2.75 ≤ ≤ 1.50) จะได้ A = ( ≤ 1.50) − ( ≤ −2.75) = 0.9332 − 0.0030 = 0.9302 จากตารางได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง A = 0.9302 คิดเป็นเปอร์เซนต์ = 0.9302 x 100% = 93.02 % =-2.75 =0 =1.50 =…………………….………… =…………………….…………
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 69 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 2. จงวาดรูปและแรเงาแสดงอาณาบริเวณพร้อมหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติและคิดเป็นเปอร์เซนต์ จากตาราง 1 ที่ค่ามาตรฐาน : ( < ) ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 2.1 (Z ≤ 2.25) โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 2.2 (Z ≤ −1.98) โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 2.3 ( ≥ −1.23) โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้ 2.4 (−2.55 ≤ ≤ 2.55)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 70 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 3. ข้อมูลของประชากรชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต () เท่ากับ 60 และมีส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน () เท่ากับ 12 จงค านวณ วาดรูปแสดงอาณาบริเวณพร้อมหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติและคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ของข้อมูล ( ) จากค่ามาตรฐาน z ที่ก าหนดโดยจากตาราง 1 ที่ค่ามาตรฐาน : ( < ) ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้จากข้อมูลซึ่งมีค่า โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 3.1 น้อยกว่า 84 จากสูตร = − แทนค่า = 84−60 12 = 24 12 = 2 จาก = ( ≤ 84) = ( ≤ 2) เปิดตาราง 1 จะได้ = ( ≤ 2.00) = 0.9772 ได้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง A = 0.9772 = 97.72 % โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 3.2 น้อยกว่า 39 โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 3.3 มากว่า 30.6 โจทย์ ภาพแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ข้อมูลที่ได้: ( ≤ ) 3.4 ระหว่าง 48 และ 84
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 71 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.2.3 ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ( ) ต่อไปจะศึกษาตัวแปรสุ่มปกติสุ่มปกติมาตรฐาน ( ) เมื่อก าหนด ความน่าจะเป็นของค่ามาตรฐาน หรือ () จากตาราง 1 เมื่อ เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่21 ให้ เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา 21.1) ( ≤ 2) 21.2) ( < −1.75) 21.3) ( ≥ 1.23) 21.4) (−2.50 ≤ ≤ 2.25) วิธีท า 21.1) ( ≤ ) หาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2.00 เปิดตาราง 1 ไปที่ค่า = 2.00 จะได้ค่าพื้นที่ใต้โค้ง = 0.9772 ดังรูป = 2.00 = 0.9772 จากรูป แสดงพื้นที่ได้โค้งปกติที่เป็นหาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2.00 หรือจาก −∞ ถึง 2.00 มีพื้นที่ที่แรเงา เท่ากับ 0.9772 หรือคิดเป็น 97.72 % หรือจะอนุมานได้ว่า ค่าของข้อมูล ณ ที่ค่า = 2.50 ตรงกับต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 97.72 …….. 21.1∎ 21.2) ( < −. ) หาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่า −1.75 เปิดตาราง 1 ไปที่ค่า = −1.75 จะได้ค่าพื้นที่ใต้โค้ง = 0.0401 ดังรูป = −1.75 = 0.0401 จากรูป แสดงพื้นที่ได้โค้งปกติที่เป็นหาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่า −1.75 หรือ จาก −∞ ถึง −1.75 มีพื้นที่ที่แรเงา เท่ากับ 0.0401 หรือคิดเป็น 4.01 % หรือจะอนุมานได้ว่า ค่าของข้อมูล ณ ที่ค่า = −1.75 ตรงกับต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 4.01 …….. 21.2∎ 21.3) ( > . ) หาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่ามากกว่า 1.23 เปิดตาราง 1 ไปที่ค่า = 1.23 จะได้ค่าพื้นที่ใต้โค้ง = 0.8907 ดังรูป = 1.23 = 0.8907 จากรูป แสดงพื้นที่ได้โค้งปกติที่เป็นหาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1.23 หรือจาก −∞ ถึง 1.23 มีพื้นที่ที่แรเงา เท่ากับ 0.8907 นั่นคือ ( ≤ 1.23) = 0.8907 ดังนั้น ( > 1.23) = 1 − ( ≤ 1.23) = 1 − 0.8907 = 0.0193 นั่นคือ ( > 1.23) มีพื้นที่ใต้โค้ง เท่ากับ 0.0193 หรือคิดเป็น 1.93 % …….. 21.3∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 72 ***************************************************************************************************************************************************************************** 21.4) (−. ≤ ≤ . ) หาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่มีค่าระหว่าง −2.50 ถึง 2.25 เปิดตาราง 1 ไปที่ค่า = −2.50 จะได้ค่าพื้นที่ใต้โค้ง = 0.0062 และเปิดตาราง 1 ไปที่ค่า = 2.25 จะได้ค่าพื้นที่ใต้โค้ง = 0.9878 ดังรูป = −2.50 = 2.25 = 0.0062 = 0.9878 จากรูป แสดงพื้นที่ได้โค้งปกติที่เป็นหาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน มีค่าระหว่าง −2.50 ถึง 2.25 หรือจาก −2.50 ถึง 2.25 โดยที่ ( ≤ −2.50) = 0.0062 และ ( ≤ 2.25) = 0.9878 ดังนั้น (−2.50 ≤ ≤ 2.25) = ( ≤ 2.25) – ( ≤ −2.50) = 0.9878 – 0.0062 = 0.9816 นั่นคือ ) (−2.50 ≤ ≤ 2.25) มีพื้นที่ใต้โค้ง เท่ากับ 0.9816 หรือคิดเป็น 98.16 % …….. 21.4∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 9 ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน : แบบฝึกหัดที่ 4.3 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 241) ข้อ 1 ให้ เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา (พร้อมวาดรูปประกอบและแรเงาเพื่อแสดงอาณาบริเวณที่เป็นค าตอบ) 1.1) ( ≤ −1.34) 1.2) ( > 2.18) 1.3) (−2.45 ≤ ≤ 1.68) 1.4) (0.91 ≤ ≤ 2.26) วิธีท า 1.1) ( ≤ −1.34) วิธีท า 1.2) ( > 2.18)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 73 ***************************************************************************************************************************************************************************** วิธีท า 1.3) (−2.45 ≤ ≤ 1.68) วิธีท า 1.4) (0.91 ≤ ≤ 2.26)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 74 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.3 การแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มมาตรฐาน ในกรณีที่ตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติ แต่ไม่ใช่การแจกแจงปกติมาตรฐาน จะไม่สามารถใช้ตารางที่ 1 ในการหา ความน่าจะเป็นได้ จึงต้องแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน โดยใช้ทฤษฎีบท ทฤษฎีบท 2 ให้ตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้าตัวแปรสุ่ม นิยามโดย = − แล้วตัวแปรสุ่ม จะมีการแจกแจงปกติมาตรฐานนั่นคือ = 0 และ = 1 นอกจากนี้ ( ≤ ≤ ) = ( − ≤ ≤ − ) เมื่อ , เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม และ ≤ และจากความรู้ในหัวข้อก่อนหน้า เรื่อง การแจกแจงปกติที่กล่าวถึง ตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติ โดยที่ แทน ค่าแฉลี่ย และ 2 แทนความแปรปรวน จะเรียก - ตัวแปรสุ่ม ว่า ตัวแปรสุ่มปกติและเรียก - และ 2 ว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ~ ( , 2 ) ซึ่ง ~ ( , 2 ) หมายถึง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงปกติ ที่มี และ 2 เป็นพารามิเตอร์ ซึ่งเมื่อจะน ามาใช้ในการแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มมาตรฐาน หรือแปลงการแจกแจงปกติให้เป็นการ แจกแจงปกติมาตรฐาน ซึ่งเราจะต้องทราบค่า ค่าแฉลี่ย () ค่าความแปรปรวน ( 2 ) ซึ่งจะต้องแปลงให้เป็นค่าส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐาน () ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่22 ก าหนดให้ ~ (3.5 , 4) จงหา (1.5 ≤ ≤ 6.2) วิธีท า จาก ~ ( , 2 ) หมายถึง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงปกติ ที่มี และ 2 เป็นพารามิเตอร์ จากโจทย์ ~ (3.5 , 4) จะได้ค่าเฉลี่ย = 3.5 ความแปรปรวน 2 = 4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = √4 = 2 จาก = − ดังนั้น (1.5 ≤ ≤ 6.2) = ( .−. ≤ − ≤ .−. = ( − ≤ − ≤ . = ( −1.00 ≤ ≤ 1.35) = ( ≤ 1.35) − ( ≤ −1.00) เปิดตาราง 1 = 0.9115 − 0.1587 = 0.7528 (1.5 ≤ ≤ 6.2) ( −1.00 ≤ ≤ 1.35) จากรูปจะเห็นว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงปกติที่มีค่าระหว่าง 1.5 ถึง 6.2 มีค่าระหว่างการแจกแจงปติมาตรฐาน เป็นการแจกแจงปกติมาตรฐานที่มีค่าระหว่าง −1.00 ถึง 1.35 มีพื้นที่ใต้โค้ง หรือ ความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.7528 หรือ 75.28 % …….. ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 75 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่ 23 ความสูงของนักเรียนชายชั้น ม.6 โรงเรียนหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเท่ากับ 165 และ 5 เซนติเมตร ตามล าดับ ถ้าสุ่มนักเรียนชายชั้น ม.6 จ านวน 1 คนจากโรงเรียนนี้ จงหาความน่าจะ เป็นที่นักเรียนที่สุ่มได้มีความสูง 23.1) ระหว่าง 155 – 179.75 เซนติเมตร 23.2) มากกว่า 170 เซนติเมตร วิธีท า 23.1) ความสูงระหว่าง 155 – 179.75 เซนติเมตร ให้ตัวแปรสุ่ม แทนความสูงของนักเรียนชายชั้น ม.6 ของโรงเรียนนี้ จะได้ว่าตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติ จะได้ความสูงเฉลี่ย = 165 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 5 จาก = − ดังนั้น (155 ≤ ≤ 185) = ( − ≤ − ≤ .− = ( − ≤ − ≤ . ) = ( −2.00 ≤ ≤ 2.95) = ( ≤ 2.95) − ( ≤ −2.00) เปิดตาราง 1 = 0.9984 − 0.0228 = 0.9756 = −2.00 = 2.95 = 0.0228 = 0.9984 จากรูปจะเห็นว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ของนักเรียนที่มีความสูงระหว่าง 155-179.75 เซนติเมตร มีค่าระหว่างการแจกแจงปติมาตรฐาน เป็นการแจกแจงปกติมาตรฐาน ที่มีค่าระหว่าง −2.0 ถึง 2.95 มีพื้นที่ ใต้โค้ง หรือความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.9756 หรือ 97.56 % …….. 23.1 ∎ 23.2) มากกว่า 172.5 เซนติเมตร ให้ตัวแปรสุ่ม แทนความสูงของนักเรียนชายชั้น ม.6 ของโรงเรียนนี้ จะได้ว่าตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจง ปกติจะได้ความสูงเฉลี่ย = 165 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 5 จาก = − ดังนั้น ( > 172.5) = ( − > .− ) = ( − > . ) = ( > 1.50) = 1 − ( ≤ 1.50) เปิดตาราง 1 = 1 − 0.9332 = 0.0668 = 1.50 = 0.9332 จากรูปจะเห็นว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ของนักเรียนที่มีความสูงมากกว่า 172.5 เซนติเมตร มีค่าระหว่างการแจกแจงปติมาตรฐาน เป็นการแจกแจงปกติมาตรฐานที่มีค่ามากกว่า 1.50 มีพื้นที่ใต้โค้งหรือความน่าจะเป็น เท่ากับ 0.0668 หรือ 6.68 % …….. 23.2 ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 76 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 10 : การแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มมาตรฐาน แบบฝึกหัดที่ 4.3 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 241) ข้อ 2 ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 และ 2 ตามล าดับ จงหาค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน พร้อมเขียนแผนภาพโค้งปกติของข้อมูลต่อไปนี้ 2.1) 11 2.2) 12 2.3) 14.2 วิธีท า 2.1) 11 : จากโจทย์ก าหนดให้ ค่าเฉลี่ย = 10 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 2 จะหา ( = 11) จาก = − จะได้ วิธีท า 2.2) 12 : จากโจทย์ก าหนดให้ ค่าเฉลี่ย = 10 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 2 จะหา ( = 12)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 77 ***************************************************************************************************************************************************************************** วิธีท า 2.3) 14.2 จากโจทย์ก าหนดให้ ค่าเฉลี่ย = 10 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 2 จะหา ( = 14.2) ข้อ 3 ก าหนดให้ ~ (20 , 100) จงหา 3.1) ( < 48.9) 3.2) ( > 12.9) 3.3) (18.5 ≤ ≤ 37.4) พร้อมเขียนแผนภาพโค้งปกติของข้อมูลประกอบ วิธีท า 3.1) ( < 48.9) จาก ~ ( , 2 ) = ~ (20 , 100) จากข้อมูลที่ก าหนดให้ จะได้ว่าค่าเฉลี่ย = 20 ความแปรปรวน 2 = 100 และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = √100 = 10 จาก = − จะได้
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 78 ***************************************************************************************************************************************************************************** วิธีท า 3.2) ( > 12.9) วิธีท า 3.3) (18.5 ≤ ≤ 37.4)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 79 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.4 เปอร์เซนไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เนื่องจากเปอร์เซนไทล์เป็นค่าวัดต าแหน่งที่ของข้อมูลเชิงปริมาณ โดยแบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วจากน้อยไปหามาก ออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆ กัน และส าหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งมีความหนาแน่นทั้งหมดเท่ากับ 1 หรือ 100 % ดังนั้นถ้า เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม จะได้ว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า มีจ านวน ( < ) ∙ 100 % นั่น คือ ถ้า ( < ) ∙ 100 เป็นจ านวนที่อยู่ระหว่าง 0 และ 100 จะได้ว่า เปอร์เซนไทล์ที่ ( < ) ∙ 100 เท่ากับ ตัอวอย่างเช่น ถ้า เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน เนื่องจาก ( < 0) = 0.5 (เปิดตารางที่ 1) ดังนั้นที่ = 0 คือเปอร์เซนไทล์ที่ ( < 0) ∙ 100 = (0.5) ∙ 100 = 50 หรือกล่าวได้ว่าข้อมูที่มีค่าน้อยกว่าค่าที่ = 0 มีจ านวน 50 % ของข้อมูลทั้งหมด หรือเป็นพื้นที่ครึ่งหนึ่งของพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานทั้งหมด ดังรูป รูปแสดง ( < 0) = 0.5 = 0 = 0.5000 นั่นคือที่ = 0 ตรงกับต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 50 …….. ∎ ท านองเดียวกัน ถ้า เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน เนื่องจาก ( < 1.95) = 0.9744 (เปิดตารางที่ 1) ดังนั้นที่ = 1.95 คือเปอร์เซนไทล์ที่ ( < 0) ∙ 100 = (0.9744) ∙ 100 = 97.44 หรือกล่าวได้ว่าข้อมูที่มีค่าน้อยกว่าค่าที่ = 1.95 มีจ านวน 97.44 % ของข้อมูลทั้งหมด หรือเป็นพื้นที่ 0.9744 ของพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานทั้งหมด ดังรูป รูปแสดง ( < 1.95) = 0.9744 = 1.95 = 0.9744 นั่นคือที่ = 1.95 ตรงกับต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 97.44 …….. ∎ ตัวอย่างที่24 * อายุการใช้งานของถ่านไฟฉายชนิดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยค่าเฉลี่ยและส่วนเบึ่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 756 และ 35 นาทีตามล าดับ จงหาว่า 24.1) ถ่านไฟฉายที่มีอายุการใช้งานน้อยกว่า 791 นาที มีกี่เปอร์เซนต์ของถ่านไฟฉายทั้งหมด 24.2) ถ่านไฟฉายที่มีอายุการใช้งานมากกว่าหรือเท่ากับเปอร์เซนไทล์ที่ 95 สามารถท างานได้อย่างน้อยกี่นาที (เมื่อก าหนดให้ ที่ ( < 1.645) = 0.95)) วิธีท า 24.1) จะหาว่า ถ่านไฟฉายที่มีอายุการใช้งานน้อยกว่า 791 นาที มีกี่เปอร์เซนต์ของถ่านไฟฉายทั้งหมด ให้ตัวแปรสุ่ม แทน อายุการใช้งานของถ่านไฟฉาย (มีหน่วยเป็นนาที) จะได้ว่าตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติโดยที่ค่าเฉลี่ย = 791 นาที และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 35 นาที ให้ = − ดังนั้น ( < 791) = ( − < − ) = ( − < ) = ( < 1.00) เปิดตาราง 1 = 0.8413
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 80 ***************************************************************************************************************************************************************************** ( < 791) = ( < 1.00) = 1.00 = 0.8413 จากรูปจะเห็นว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ของอายุการใช้งานของถ่านไฟฉายที่มีอายุการใช้งาน น้อยกว่า 791 นาที มีค่าระหว่างการแจกแจงปติมาตรฐาน เป็นการแจกแจงปกติมาตรฐานที่มีค่าน้อยกว่า 1.00 มีพื้นที่ ใต้โค้งหรือความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.08413 หรือ (0.8413) ∙ 100 = 84.13 % ของจ านวนถ่านไฟฉายทั้งหมด …….. 24.1∎ 24.2) ถ่านไฟฉายที่มีอายุการใช้งานมากกว่าหรือเท่ากับเปอร์เซนไทล์ที่ 95 สามารถท างานได้อย่างน้อยกี่นาที (เมื่อก าหนดให้ ที่ ( < 1.645) = 0.95)) เนื่องจากอายุการใช้งานของถ่านไฟฉายที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับเปอร์เซนไทล์ที่ 95 ก็คือเปอร์เซนไทล์ที่ 95 ต้องการหาค่า กว่า ท าท าให้ ( < ) ∙ 100 = 95 หรือ ( < ) = 0.9500 นั่นคือ ( < ) = 0.95 จะได้ ( < −756 35 ) = 0.95 เนื่องจาก ( < 1.645) = 0.95 ดังนั้น −756 35 = 1.645 ดังนั้น = 1.645(35) + 756 = 57.575 + 756 = 813.575 ( < ) = ( < 1.645) = 0.95 = 1.645 = 0.9500 = 813.575 นั่นคือ ถ่านไฟฉายที่มีอายุการใช้งานที่มากกว่าหรือเท่ากับเปอร์เซนไทล์ที่ 95 สามารถใช้งานได้อย่างน้อย 813.575 นาที …….. 24.2∎ หมายเหตุ : 1) หากมีค าถามต่อว่า จะมีถ่านไฟฉายที่มีอายุการใช้งานเกินเปอร์เซนไทล์ที่ 95 มีกี่เปอร์เซนต์ หาได้จาก (100 − 95)% = 5 % 2) ถ้า 100% คือ อายุการใช้งานสูงสุดของถ่านไฟฉาย ถ้าเกินนี้จะใช้ไม่ได้เลย จะหาว่า ถ่านไฟฉายที่มีอายุ การใช้งานเกินเปอร์เซนไทล์ที่ 95 จะมีอายุการใช้งานได้อีกประมาณกี่นาที หาได้จาก ระยะวลาใช้งาน 95 % ถ่านไฟฉายมีอายุการใช้งาน 813.575 นาที ระยะวลาใช้งาน 5 % ถ่านไฟฉายมีอายุการใช้งาน 813.575 ×5 95 = 42.8197 นาที …….. 24.3∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 81 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 11 : เปอร์เซนไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง แบบฝึกหัดที่ 4.3 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 241-243) ข้อ 4 ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 400 และ 100 ตามล าดับ จงหาว่ามีข้อมูลอยู่กี่เปอร์เซนต์ที่มีค่า 4.1) มากกว่า 538 4.2) มากกว่า 179 4.3) น้อยกว่า 356 4.4) น้อยกว่า 621 วิธีท า 4.1) มากกว่า 538 ( > 538) 4.2) มากกว่า 179 ( > 179) วิธีท า 4.3) น้อยกว่า 356 ( < 356) 4.4) น้อยกว่า 621 ( < 621)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 82 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 5. ระยะเวลาในการประกอบชิ้นส่วนอิเลกทรอนิกส์ชนิดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน เท่ากับ 12 และ 1.5 นาที ตามล าดับ สุ่มชิ้นส่วนอิเลกทรอนิกส์มา 1 ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วน อิเลคทรอนิกส์นี้จะใช้เวลาประกอบ 5.1) น้อยกว่า 11 นาที 5.2) ระหว่าง 10 และ 13 นาที 5.3) มากกว่า 14 นาที วิธีท า 5.1) น้อยกว่า 11 นาที( < 11) วิธีท า 5.2) ระหว่าง 10 และ 13 นาที(10 < < 13) วิธีท า 5.3) มากกว่า 14 นาที( > 14)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 83 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 6. คะแนนสอบการววัดความรู้ความสามารถทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนระดบมัธยมศึกษาตอนปลายที่จัดโดยสถาบัน แห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 505 และ 111 คะแนน ตามล าดับ สุ่มนักเรียน 1 คน ที่เข้าร่วมการสอบนี้ จงหความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะได้คะแนนสอบ 6.1) ระหว่าง 400 และ 600 คะแนน 6.2) มากกว่า 700 คะแนน 6.3) น้อยกว่า 450 คะแนน วิธีท า 6.1) ระหว่าง 400 และ 600 คะแนน (400 < < 600) วิธีท า 6.2) มากกว่า 700 คะแนน ( > 700) วิธีท า 6.3) น้อยกว่า 450 คะแนน ( < 400)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 84 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 7. * คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 72 และ 12 คะแนนตามล าดับ ถ้าก าหนดให้ ( < −0.6745) = 0.25 และ ( < 1.2816) = 0.90 จงหาเปอร์เซนไทล์ที่ 25 และเปอร์เซนไทล์ที่ 90 วิธีท า ข้อ 8. * ในการผลิตแผ่นพลาสติกของบริษัทแห่งหนึ่ง พบว่าความหนาของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงปกติโดยมี ความหนาเฉลี่ย 0.0625 เซนติเมตร และความแปรปรวน 0.00000625 เซนติมเตร2 ถ้าสุ่มแผ่นพลาสติกท่ 1 แผ่น จงหาความน่าจะเป็นที่แผ่นพลาสติดที่สุ่มได้ มีความหนามากกว่า 0.0595 เซนติเมตร แต่ไม่เกิน 0.0659 เซนติเมตร วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 85 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 9 * คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 22 และ 4 คะแนนตามล าดับ 9.1) จงหาค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาตร์ของนักเรียนที่ได้ 30 คะนน วิธีท า 9.2) ถ้าสุ่มนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 มา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้ จะได้คะแนนสอบระหว่าง 15 และ 32 คะแนน วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 86 ***************************************************************************************************************************************************************************** 9.3) ถ้าสุ่มนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 มา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้ จะได้คะแนนสอบมากกว่า 34 คะแนน วิธีท า 9.4) ถ้าสุ่มนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 มา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้ จะได้คะแนนสอบน้อยกว่า 25 คะแนน วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 87 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 10* น้ าหนักสุทธิของกระป๋องบรรจุถั่วที่ผลิตในโรงงานแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยมีน้ าหนักสุทธิเฉลี่ย 12 กรัม ถ้า สุ่มกระป๋องบรรจุถั่วมา 1 ใบ แล้วความน่าจะเป็นที่กระป๋องใบนี้ จะมีน้ าหนักสุทธิน้อยกว่า 11.8 กรัม คือ 0.1151 จงหาความ แปรปรวน ของน้ าหนักสุทธิของกระป๋องบรรจุถั่วที่ผลิตโดยโรงงานแห่งนี้ วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 88 ***************************************************************************************************************************************************************************** 4.3.5 การเปรียบเทียบต าแหน่งของข้อมูลโดยใช้ค่าของตัวแปรสุ่มสมมุติฐาน การแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มสุ่มปกติมาตรฐาน นอกจากจะมีประโยชน์ในการหาความน่าจะเป็นโดยใช้ ตารางแล้ว ยังมีประโยชน์ในการน าค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานที่แปลงใช้มาใช้ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่ 2 ชุดขึ้นไป ว่ามีความแตกต่างกันหรือไม่เพียงใด เนื่องจากค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลแต่ละชุดไม่เท่ากัน จึงไม่สามารถ น าข้อมูลแต่ละชุดที่แตกต่างกันนั้นมาเปรียบเทียบกันไดโดยตรง จึงต้องแปลงค่าของข้อมูลให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานก่อน จึงจะท ามาเปรียบเทียบกันได้ เช่น ถ้าต้องการเปรียบเทียบว่าการเรียนวิชาคณิตศาสตร์กับวิชภาษาอังกฤษของนักรียนคนหนึ่ง นั้น นักเรียนมีผลการเรียนรายวิชาใดดีกว่ากัน โดยสมมติว่าคะแนนสอบของทั้งสองวิชามีการแจกแจงปกติ ถ้าพิจารณาจาก คะแนนสอบทั้งสองวิชา ถึงแม้ว่าจะมีการปรับให้คะแนนเต็มเท่ากัน และคะแนนที่ได้ก็ไม่อาจารุปหรือเปรียบเทียบได้ทันทีว่า นักเรียนคนนี้เรียนวิชานั้นได้ดีกว่าวิชานี้ถึงแม้ว่าอาจจะมีคะแนนของอีกวิชาหนึ่งสูงกว่าอีกวิชาหนึ่งก็ตาม ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับ ลักษณะธรรมชาติของวิชา ความยากง่ายของข้อสอบหรือวิธีการวัดผลประเมินผล การให้คะแนของครูผู้สอนประจ าวิชา จึ่งท า ให้ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนทั้งสองวิชาไม่เท่ากัน ดังนั้นเมื่อเต้องการเปรียบเทียบผลการเรียนของทั้งสองวิชา จึงจ าเป็นต้องแปลงคะแนนสอบจากตัวแปรสุ่มปกติ ให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ซึ่งจะท าให้ค่เฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนสอบทั้งสองวิชานี้เท่ากัน แล้วจึง เปรียบเทียบจากตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน โดยมีหลักการว่า ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่มีค่าสูงกว่าจะดีกว่า ตัวแปร สุ่มปกติมาตรฐาน ที่มีค่าต่ ากว่า ทั้งนี้เองจากค่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของพื้นที่ใต้โค้งปกติที่ค่าสูงกว่า หรือ ถ้าเปรียบเทียบเป็นเปอร์เซนไทล์ก็จะได้ต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่สูงกว่าดีกว่าต าหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ต่ ากว่า ตัวอย่างที่25 พิมพ์ชนกสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษ ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนนเท่ากัน โดยท าคะแนนได้ 78 และ 75 คะแนนตามล าดับ ถ้าคะแนนสอบของทั้งสองวิชานี้มีการแจกแจงปกติ โดยค่าเฉลี่ยและส่วนเบึ่ยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ เท่ากับ 72 และ 15 คะแนน ตามล าดับ และค่าเฉลี่ยและส่วนเบึ่ยงเบนมาตรฐานของคะแนน สอบวิชาภาอังกฤษ เท่ากับ 70 และ 10 คะแนน ตามล าดับ จงพิจารณาว่าพิมพ์ชนกเรียนวิชาได้ได้ดีกว่ากัน วิธีท า ให้ตัวแปรสุ่ม และ แทนคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องนี้ ตามล าดับ จะได้ว่า ตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติโดยที่ค่าเฉลี่ย = 72 นาที และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 15 คะแนน และ ตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติโดยที่ค่าเฉลี่ย = 70 นาที และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 10 คะแนน ให้ และ แทน คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของพิมพ์ชนก ตามล าดับ จะได้ = 72 และ = 70 จะได้ค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของวิชาคณิตศาสตร์ คือ − = 78−72 15 = 6 15 = 0.4 และ ได้ค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของวิชาภาอังกฤษ คือ − = 75−70 10 = 5 10 = 0.5 เนื่องจาก − = 0.5 > − = 0.4 นั่นคือ ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของวิชาภาษาอังกฤษ มีค่ามากกว่า ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของวิชาคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า พิมพ์ชนกเรียนวิชาภาษาอังกฤษได้ดีกว่าวิชาคณิตศาสตร์ …….. ∎ ( ≤ 0.5) = 0.6915 ; = 69.15 ( ≤ 0.4) = 0.6554 ; = 65.54 ท านองเดียวกันจะได้ว่า ( ≤ 0.5) = 0.6915 หรือต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 69.15 และ ( ≤ 0.4) = 0.6554 หรือต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 65.54 นั่นคือ ต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ของวิชาภาษาอังกฤษ มีค่าสูงกว่า ต าแหน่งเปอร์เซนไทล์ของวิชาคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า พิมพ์ชนก เรียนวิชาภาษาอังกฤษ ได้ดีกว่า วิชาคณิตศาสตร์ …….. ∎
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 89 ***************************************************************************************************************************************************************************** ตัวอย่างที่ 26 นิติและนิพนธ์เป็นนักเรียนห้องเดียวกัน และเข้าสอบวิชาฟิสิกส์ด้วยกัน นิติได้คะแนนสอบ 55 คะแนน ซึ่งปรับเป็นค่าของตัวแปรสุ่มมาตรฐานได้เป็น -0.8 ส่วนนิพนธ์ได้คะแนนสอบ 72 คะแนน ปรับเป็นค่าของตัวแปรสุ่มมาตรฐาน ได้เป็น 1.4 ถ้าคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของคะแนนห้องนี้มีการแจกแจงปกติ จงหาค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนห้องนี้ วิธีท า ให้ตัวแปรสุ่ม แทน คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของคะแนนห้องนี้ จะได้ว่า ตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องนี้ ตามล าดับ จะได้ว่า ตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงปกติโดยมี ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ให้ 1 และ 2 แทน คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนิติและนิพนธ์ ตามล าดับ โดยที่ 1 = 55 และ 2 = 72 จะได้ค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนิติ 1 คือ 1− = 55− = −0.8 นั่นคือ = 55 + 0.8 ........... (1) จะได้ค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนิพนธ์ 2 คือ 2− = 72− = 1.48 นั่นคือ = 72 − 1.4 ........... (2) เนื่องจาก (1) = (2) จะได้ว่า 55 + 0.8 = 72 − 1.4 0.8 + 1.4 = 72 − 55 2.2 = 17 = 17 2.2 = 7.7272 ≈ 7.73 คะแนน …….. 26.1∎ แทนค่า = 7.73 ในสมการ (1) จะได้ = 55 + 0.8(7.73) = 55 + 6.184 = 61.184 ≈ 61.18 คะแนน …….. 26.2∎ สรุปได้ ค่าเฉลี่ย () และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () ของคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนห้องนี้ มีค่าประมาณ 61.18 และ 7.73 คะแนน ตามล าดับ …….. 26.3∎ MEMO :
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 90 ***************************************************************************************************************************************************************************** กิจกรรมระหว่างเรียน 12 : การเปรียบเทียบต าแหน่งของข้อมูลโดยใช้ค่าของตัวแปรสุ่มสมมุติฐาน แบบฝึกหัดที่ 4.3 (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 243-244) ข้อ 11. ร้านขายอาหารแห่งหนึ่ง นอกจากขายอาหารแล้ว ยังมีผลไม้ขายบริเวณหน้าร้านด้วย โดยยอดขายอาหาร รายวัน มีการแจกแจงปกติ ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ที่มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8,400 และ 360 บาท ตามล าดับ และยอดขายผลไม้รายวันมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 5,200 และ 240 บาท ตามล าดับ ถ้าวันนี้มียอดขายอาหาร 9,500 บาท และยอดขายผลไม้ 6,000 บาท จงพิจารณาว่า วันนี้ร้านอาหารแห่งนี้ ขายอาหารหรือขายผลไม้ดีกว่ากัน วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 91 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 12.ภัครพรรณต้องการเรียนต่อคณะอักษรศาสตร์ ณ มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งจึงได้สมัครสอบวัดระดับความถนัด ทางภาษาจีนและภาษาเกาหลี และได้คะแนนสอบดังนี้ ภาษา คะแนนของภัครพรรณ คะแนนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จีน 75 55 13 เกาหลี 68 50 10 ถ้าคะแนนสอบวัดระดับความถนัดทางภาษาจีนและภาษาเกาหลีมีการแจกแจงปกติ แล้วภัครพรรณมีโอกาสสอบติด คณะอักษรศาสตร์สาขาวิชาภาษาจีนและสาขาวิชาภาษาเกาหลี มากกว่ากัน เพราะเหตุใด วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 92 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 13. * เกณฑ์ในการแบ่งระดับคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง แสดงได้ดังนี้ เกรด คะแนน 4 ตั้งแต่ + 1.5 ขึ้นไป 3 [ + 0.5 , + 1.5 ] 2 [ − 0.5 , + 0.5 ] 1 [ − 1.5 , − 0.5 ] 0 น้อยกว่า − 1.5 ขึ้นไป โดย ตั้งแต่ และ แทนค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของักเรียนระดับชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 6 ตามล าดับ สมมติว่าคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียน คนนี้จะได้เกรดแต่ละระดับ วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 93 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 14. อักษรศิลป์และสรวิทย์ เป็นักเรียนห้องเดียวกัน อักษรศิลป์สูง 152 เซนติเมตร ซึ่งปรับเป็นค่าของตัวแปรสุ่ม มาตรฐานเป็น −1.2 ส่วนสรวิทย์สูง 170 เซนติเมตร ซึ่งปรับเป็นค่าของตัวแปรสุ่มมาตรฐานเป็น 0.8 ถ้าส่วนสูงของนักเรียน ในห้องนี้มีการแจกแจงปกติ 14.1) จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนห้องนี้ วิธีท า 14.2) ถ้าวิภารัตน์สูง 160 เซนติเมตร วิภารัตน์จะสูงกว่าค่าเฉลี่ยของความสูงของนักเรียนห้องนี้หรือไม่ วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 94 ***************************************************************************************************************************************************************************** 14.3) ถ้าเกริกสูง 180 เซนตเมตร จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนหนึ่งที่สุ่มมาจากห้องนี้สูงกว่าเกริก วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 95 ***************************************************************************************************************************************************************************** แบบฝึกหัดท้ายบท บทที่ 4 : ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น (ในหนังสือแบบเรียน หน้า 247-255) ข้อ 1. จงพิจารณาว่าตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องหรือตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง หรือ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 1. ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนต้นไม้ที่ชาวสวนคนหนึ่งปลูกได้ ในเวลา 1 เดือน 2. ตัวแปรสุ่ม คือ ความสูงของผู้ป่วยในโรงพยาบาลแห่งหนึ่ง 3. ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนนักเรียนที่ชื่นชอบภาพยนตร์ สยองขวัญจากการสอบถามนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย จ านวน 100 คน 4. ตัวแปรสุ่ม คือ น้ าหนักของเงาะกระป๋องที่ผลิตในโรงงาน แห่งหนึ่ง 5. ตัวแปรสุ่ม คือ เวลาที่ใช้ในการเดินทางจากจังหวัดเชียงใหม่ ถึงจังหวัดอุดรธานีโดยเครื่องบิน 6. ตัวแปรสุ่ม คือ ปริมาณการใช้น้ าประปาของโรงเรียน แห่งหนึ่งใน 1 วัน 7. ตัวแปรสุ่ม คือ ผลคูณของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอด ลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ข้อ 2. จ านวนวันที่นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่งออกก าลังกายภายใน 1 สัปดาห์ แสดงด้วยตารางแจกแตงความถี่ ได้ดังนี้ จ านวนวันที่นักเรียนออกก าลังกายภายใน 1 สัปดาห์ จ านวนนักเรียน (คน) 0 1 1 7 2 10 3 12 4 6 5 3 6 4 7 1 ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนนักเรียนที่สุ่มได้จากการออกก าลังกาย ภายใน 1 สัปดาห์ 2.1) จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตาราง 2.2) จงหาค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า 2.1) จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตาราง
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 96 ***************************************************************************************************************************************************************************** วิธีท า 2.2) จงหาค่าคาดหมาย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุ่ม 2.2.1) หาค่าคาดหมาย () ของตัวแปรสุ่ม 2.2.2) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () ของตัวแปรสุ่ม ข้อ 3. ให้ตัวแปรสุ่ม คือ จ านวนครั้งที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 3 หรือ 4 จากการทอดลูกเต๋ษที่เที่ยงตรง 1 ลูก 2 ครั้ง 3.1) จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตาราง 3.2) จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า 3.1) เขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในรูปตาราง
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 97 ***************************************************************************************************************************************************************************** วิธีท า 3.2) หาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม 3.2.1) หาค่าคาดหมาย () ของตัวแปรสุ่ม 3.2.2) หาค่าความแปรปรวน ( 2 ) ของตัวแปรสุ่ม 3.2.3) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 98 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 4. สลากกินแบ่ง 1 ฉบับ ราคา 80 บาท แต่ละฉบับประกอบด้วยเลขโดด 6 ตัว โดยมีเงื่อนไข การตรวจผลรางวัล ดังนี้ รางวัล จ านวน มูลค่า (บาท) รางวัลที่ หนึ่ง 1 รางวัล 6,000,000 รางวัลที่ สอง 5 รางวัล 200,000 รางวัลที่ สาม 10 รางวัล 80,000 รางวัลที่ สี่ 50 รางวัล 40,000 รางวัลที่ ห้า 100 รางวัล 20,000 รางวัลข้างเคียงรางวัลที่หนึ่ง 2 รางวัล 100,000 รางวัลเลขหน้า 3 ตัว เสี่ยง 2 ครั้ง 2,000 รางวัล 4,000 รางวัลเลขท้าย 3 ตัว เสี่ยง 2 ครั้ง 2,000 รางวัล 4,000 รางวัลเลขท้าย 1 ตัว เสี่ยง 1 ครั้ง 10,000 รางวัล 2,000 ถ้าซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาล 1 ฉบับ จะมีโอกาสได้ก าไรหรือขาดทุนมากกว่ากัน โดยสมมติว่าจะสามารถรับรางวัลได้ เพียงรางวัลเดียว วิธีท า
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 99 ***************************************************************************************************************************************************************************** ข้อ 5. กล่องใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ โดยมีหมายเลข 1 , 2 , 3 , … , 10 ก ากับไว้ ถ้านักเรียนสุ่มหยิบสลากจากกล่อง ใบนี้ 1 ใบ และให้ตัวแปรสุ่ม คือ หมายเลขบนสลากที่สุ่มได้ 5.1) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ 5.2) จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า 5.1) พิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ วิธีท า 5.2) หาค่าคาดหมาย () ความแปรปรวน ( 2 ) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () ของตัวแปรสุ่ม 5.2.1) หาค่าคาดหมาย () ของตัวแปรสุ่ม 5.2.2) หาความแปรปรวน ( 2 ) ของตัวแปรสุ่ม
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น MA32202 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : SirA NannY TaozaA TaniT : 100 ***************************************************************************************************************************************************************************** 5.2.3) หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () ของตัวแปรสุ่ม ข้อ 6. ให้ตัวแปรสุ่ม มีค่าที่เป็นไปได้ เป็นจ านวนนับที่เรียงติดกันทั้งหมด 7 ค่า โดยมีมัธยฐานเป็น 10 ถ้าการแจกแจง ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานของตัวแปรสุ่ม วิธีท า