บทที่ 3-การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 50

16.1.4) เขียนแผนภาพกลอ่ ง (Box plot) เพอ่ื นาเสนอขอ้ มลู ชดุ นี้

35 45 50 55 60 65 70 75 80 85

16.2) ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ( ) ของข้อมลู ชุดน้ี

16.3) ค่าเฉล่ยี เลขคณิต ( ) ของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นทีส่ มุ่ มาโดยไมร่ วมคา่ นอกเกณฑ์

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าค่านอกเกณฑ์มีผลต่อค่าเฉลยี่ เลขคณิต เนื่องจากค่าเฉล่ียเลขคณิตคานวณจากข้อมลู
ทั้งหมด ดังน้ัน ถ้าข้อมูลชุดใดมีค่านอกเกณฑ์ คา่ เฉล่ยี เลขคณิตอาจไม่สามารถนามาใช้เปน็ ตัวแทนที่ดีของชุดข้อมลู นน้ั แต่
ในกรณีทีช่ ุดข้อมลู ไม่มคี า่ นอกเกณฑ์ คา่ เฉล่ียเลขคณิตอาจเปน็ คา่ กลางที่ใช้เป็นตัวแทนของชดุ ขอ้ มูลได้

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 51

3.1.1.2 การหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวม (Combined Arithmetic Mean ; รวม หรอื )

เป็นการหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ รวมของขอ้ มูลหลายกลุ่ม เมอ่ื ทราบคา่ เฉล่ยี ของขอ้ มลู แตล่ ะกลุ่ม โดยกาหนดให้
ข้อมลู กลุ่มที่ 1 มีคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเท่ากบั 1 และมจี านวนขอ้ มลู เท่ากับ
ขอ้ มลู กลมุ่ ที่ 2 มคี า่ เฉลย่ี เลขคณิตเท่ากับ 2 และมีจานวนขอ้ มูลเทา่ กับ

ขอ้ มลู กลมุ่ ที่ 3 มีค่าเฉล่ยี เลขคณติ เท่ากับ 3 และมีจานวนขอ้ มลู เท่ากับ

: : : ::
ขอ้ มลู กลุ่มที่ k มคี ่าเฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กับ และมีจานวนข้อมลู เทา่ กบั

ค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวม หาไดจ้ าก

คา่ เฉลย่ี เลขคณติ รวม ( รวม หรือ ) = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ =1
1+ 2+ 3+...+ ∑ =1

กจิ กรรมระหว่างเรียน เรอ่ื ง การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean ; )

ตัวอย่างท่ี 17 นักเรียนช้ัน ม.6 ของโรงเรียนหน่ึงมีนักเรียน 4 ห้อง คือ ห้อง ก. 40 คน ห้อง ข. 35 คน ห้อง ค. 38

คน และ ห้อง ง. 42 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของห้อง ก. เป็น 85 คะแนน ห้อง ข. เป็น 77 คะแนน
ห้อง ค. เป็น 75 คะแนน และ ห้อง ง. เป็น 60 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ อง
นักเรียนชน้ั ม.6 ท้ังหมด
วธิ ที า จากโจทย์กาหนดให้

ตัวอย่างท่ี 18 ค่าเฉล่ียเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 50 กิโลกรัม ในกลุ่มน้ีเป็นนักเรียนชาย 57 คน และ

เป็นนักเรยี นหญิง 43 คน ถ้าคา้ เฉลย่ี เลขคณิตของน้าหนักกลุ่มนักเรียนหญิงเทา่ กับ 45 กิโลกรมั จงหานา้ หนกั รวมของ
กลุ่มนักเรียนชาย
วธิ ีทา จากโจทยก์ าหนดให้

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 52

แบบฝึกหัด เร่อื ง การหาคา่ เฉล่ยี เลขคณติ รวม (Combined Arithmetic Mean ; รวม หรือ )

ขอ้ 1. นกั เรียนหอ้ งหน่งึ มี 40 คน เป็นนกั เรียนชาย 25 คน มีน้าหนักเฉลย่ี 55 กโิ ลกรัม และมนี ักเรียนหญงิ 15 คน
มีน้าหนักเฉล่ีย 45 กิโลกรัม ถ้าน้าหนักเฉลี่ยรวมของนักเรียน 40 คน รวมกับครูประจาช้ันอีกหนึ่งคนจะได้น้าหนัก
เฉลี่ยรวม เท่ากบั 51.5 กิโลกรมั จงหานา้ หนกั ของครปู ระจาชัน้

วิธีทา จากโจทยก์ าหนดให้

ขอ้ 2. ในการสอบวชิ าสถติ ิ นกั เรยี นห้อง A จานวน 40 คน สอบได้คา่ เฉลี่ยเลขคณติ เท่ากับ 80 คะแนน นักเรียนห้อง B
จานวน 35 คน สอบได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 75 คะแนน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของนักเรียนห้อง A , B
และ C เท่ากับ 74 คะแนน จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของนักเรยี นหอ้ ง C ซ่ึงมจี านวนนกั เรยี นเทา่ กบั 30 คน

วิธที า จากโจทยก์ าหนดให้

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 53

ข้อ 3. ในการสอบ Midterm วิชาคณิตศาสตร์ (สถติ ิ) ของนกั เรยี นช้นั ม.6 จานวน 3 หอ้ ง คอื หอ้ ง ม. 6/1 จานวน 40

คน สอบได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 80 นักเรียนห้อง ม. 6/2 จานวน 35 คน สอบได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 75
คะแนน ครูผู้สอนบอกว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคณิตรวมของนักเรียนทั้ง 3 ห้อง เท่ากับ 74 คะแนน จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิต
ของนักเรียนของนักเรยี นช้ัน ม. 6/3 ซ่ึงนักเรียนมจี านวนเท่ากับ 30 คน
วธิ ีทา จากโจทย์กาหนดให้

ข้อ 4. นักเรียนห้องหน่ึงมีท้งั หมด 100 คน โดยส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนชายเปน็ 165 เซนติเมตร และส่วนสงู เฉลยี่ ของ
นักเรียนหญิงเป็น 150 เซนติเมตร ถ้าส่วนสูงเฉล่ียของนักเรียนทั้งห้องเป็น 159 เซนติเมตร จงหาจานวนนักเรียนชาย
และจานวนนกั เรยี นหญิงของหอ้ งนี้
วิธที า จากโจทยก์ าหนดให้

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 54

3.3.1.3 คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ถว่ งน้าหนกั (weighted arithmetic mean : )

เราจะใชก้ ารหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ในกรณีที่ขอ้ มลู แตล่ ะคา่ มคี วามสาคัญไม่เท่ากัน เชน่ ในการหาค่าเกรดเฉลยี่ ของนักเรียน
ในแต่ละวิชา ซึ่งแต่ละวิชา มีจานวนหน่วยกิตไม่เท่ากนั (คือมีน้าหนัก หรือ weight ไม่เท่ากัน) เราจึงไมส่ ามารถนาเกรดท้ังหมดมา
รวมกันแล้วหารดว้ ยจานวนวิชาเพราะจะทาให้เกรดเฉลี่ยออกมาคลาดเคล่ือนได้ ดังน้ันเราจึงใช้วิธีถ่วงน้าหนัก นั่นคือ นาเกรดทีไ่ ด้
ในแต่ละวิชาคณู ด้วยจานวนหน่วยกิตของวิชาเหลา่ น้ันก่อน แล้วจึงนามารวมกันแล้วหารด้วยจานวนหน่วยกิตท้ังหมด ดังน้ันเราจะ
กาหนดให้ 1 , 2 , 3 , . . . , เปน็ ความสาคญั หรอื ถ่วงน้าหนักของคา่ จากการสงั เกตของขอ้ มูลท่ี 1 , 2 , 3 , … ,
N และ 1 , 2 , 3 , . .. , เป็นค่าเฉล่ียเลขคณิตแต่ละชุดของข้อมูลท่ี 1 , 2 , 3 , … , N ตามลาดับ ดังนั้นจึง
เหมาะสาหรบั ใช้ในกรณที ข่ี ้อมลู แต่ละค่ามคี วามสาคญั ไมเ่ ท่ากนั เชน่ การหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบ 4 วชิ า ซึง่ แตล่ ะวชิ า

มีหน่วยกติ ไม่เท่ากัน ถ้าใชว้ ธิ กี ารหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยไมถ่ ่วงนา้ หนักอาจทาใหค้ ่าทไี่ ด้นาไปสขู่ ้อสรุปท่ีคลาดเคลอ่ื นจากความเป็น

จรงิ เพราะข้อมูลแต่ละค่ามีความสาคัญไม่เทา่ กันข้ึนอยู่กบั น้าหนักของแต่ละข้อมลู โดยที่

1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมูลเมือ่ แทนขนาดประชากร (population)

และให้ 1, 2, 3, . . . , แทน น้าหนักของขอ้ มลู 1 , 2 , 3 , . . . , ตามลาดับจะได้

คา่ เฉลี่ยเลขคณิตถ่วงนา้ หนกั = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ = 1
1+ 2+ 3+...+ ∑ = 1

2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมลู เมื่อ แทนขนาดของตัวอยา่ ง (sample)

และให้ 1, 2, 3, . . . , แทน นา้ หนักของข้อมูล 1 , 2 , 3 , . . . , ตามลาดบั จะได้

คา่ เฉล่ียเลขคณติ ถว่ งนา้ หนกั = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ =1
1+ 2+ 3+...+ ∑ =1

หมายเหตุ : จะเป็นวา่ สูตรในการหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ถว่ งน้าหนัก มสี ตู รเดยี วกนั แต่แตกต่างตรงท่ี N แทนขนาดประชากร

และ แทนขนาดตวั อย่าง

ตัวอย่างท่ี 19 ในการคานวณเกรดเฉลี่ย (grade point average: GPA) ของนักเรียนคนหนึ่งสมมติว่านักเรียนคนนี้
ลงทะเบยี นเรียน 5 วชิ าซง่ึ แตล่ ะวิชามีหน่วยกติ ไม่เทา่ กันและได้เกรดแตล่ ะวิชาดงั น้ี

วชิ า คณติ ศาสตร์ ภาษาองั กฤษ ภาษาไทย สงั คมศกึ ษา สุขศึกษา

หน่วยกติ 2.0 3.0 3.0 3.0 1.0

เกรด 4 4 3 3 2

จงหาเกรดเฉล่ียของนกั เรยี นคนนี้
วธิ ีทา จะแสดงวธิ ึการหาเกรดเฉล่ยี โดยการสรา้ งตาราง

วชิ า หน่วยกติ ( ) เกรด ( )
คณิตศาสตร์ ∑ =1 =
ภาษาองั กฤษ 2.0 4
ภาษาไทย 3.0 4
สังคมศึกษา 3.0
สุขศกึ ษา 3.0 3
1.0 3
รวม 2
∑ =1 =
. .

∑ =1
∑ =1
ดังน้นั เกรดเฉลย่ี ∎ = =
………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………….…………………………….

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 55

กจิ กรรมระหว่างเรียน 4 เรือ่ ง การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถว่ งน้าหนกั (Weight Arithmetic mean: )

ตัวอย่างที่ 21 ผลการสอบของนายสมชาย นักเรียนช้ัน ม.6 ผลปรากฏว่า วิชาคณิตศาสตร์ 2.5 หน่วยกิต ได้เกรด 4

วิชาภาษาไทย 1.0 หน่วยกิต ได้เกรด 4 วิชาภาษาอังกฤษ 2.0 หน่วยกิตได้เกรด 2 และวิชาสังคมศึกษา 1.5 หน่วยกิต
ได้เกรด 3 จงหาเกรดเฉล่ยี รวมทง้ั 4 วชิ าของนายสมชาย
วิธที า จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน คา่ ถ่วงนา้ หนักหรือหนว่ ยกิต และ xi แทน ระดบั ผลการเรยี นหรือเกรด

ตัวอย่างที่ 22 ศิษย์เก่าจานวน 3 คนกลับมาเย่ียมโรงเรียนบอกครูผู้สอนว่า พวกเขาสามคน มีเกรดเฉลี่ยรวมเท่ากับ

2.60 โดยคนแรกลงทะเบียนเรยี นเรียน 124 หน่วยกิต คนทสี่ องลงทะเบียนเรยี น 121 หนว่ ยกิต และคนที่สามลงทะเบยี น
เรียน 125 หน่วยกิต โดยที่คนท่ีหน่ึงและคนท่ีสองมีเกรดเฉล่ียสะสม เท่ากับ 3.00 และ 2.50 ตามลาดับ จงหาเกรด
เฉลย่ี สะสมของคนที่สาม
วธิ ีทา จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน ค่าถ่วงนา้ หนักหรอื หน่วยกิต และ xi แทน ระดับผลการเรียนหรือเกรด

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 56

แบบฝึกหัด เร่ือง การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถว่ งน้าหนกั (Weight Arithmetic Mean หรอื )

ขอ้ 1. ผลการเรยี นในรายวิชาชวี วทิ ยา 5 ภาคเรียนของเรวดี มีระดบั ผลการเรียนและนา้ หนักเกรดเปน็ ดังนี้

ช่อื วชิ า จานวนหนว่ ยกิต ( ) ผลการเรียน ( : เกรด) ∙

ชวี วิทยา 1 2.0 2
ชวี วทิ ยา 2 2.0 2.5
ชีววทิ ยา 3 1.5 1.5
ชวี วิทยา 4 1.5 3
ชวี วิทยา 5 1.5 3.5

นก.∑ =1 = ……………….………… ∑ =1 ∙ = .

จงหาผลการเรยี นเฉล่ยี 5 ภาคเรียนของเรวดี

วิธที า จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน คา่ ถว่ งนา้ หนกั หรอื หนว่ ยกิต และ xi แทน ระดับผลการเรียนหรอื เกรด

ข้อ 2. นายณรงค์ชัยศกึ ษาในระดบั อดุ มศกึ ษา ลงทะเบยี นเรียนไว้ 16 หน่วยกิต ไดผ้ ลการเรยี นในภาคเรียนแรก ดงั นี้

วชิ า จานวนหน่วยกิต ( ) ผลการเรียน ( : เกรด) ∙
คณติ ศาสตร์
4.0 3

ฟสิ กิ ส์ 2

เคมี 4

ภาษาองั กฤษ 3.0 2

พืน้ ฐานทว่ั ไป 2.0 3

นก.∑ =1 = ……………….………… ∑ =1 = .

ถา้ นายณรงคช์ ยั ได้ระดับคะแนนเฉลย่ี 2.75 จงหาวา่ เขาลงทะเบียนเรยี นในวชิ าฟิสกิ สแ์ ละวชิ าเคมอี ยา่ งละกห่ี นว่ ยกิต

วิธีทา จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน ค่าถ่วงนา้ หนักหรอื หนว่ ยกติ และ xi แทน ระดบั ผลการเรยี นหรือเกรด

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 57

3.3.2 มธั ยฐาน (Median : Me , Med , Mdn )

เมื่อนาข้อมูลท้ังหมดมาเรียงลาดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย จะเรียกค่าท่ีอยู่ในตาแหน่งกึ่งกลาง
ของขอ้ มูลว่า มัธยฐาน (median)

ค่ามัธยฐาน (Median : Me , Med หรอื Mdn) คอื คา่ ที่มี ตาแหน่งอยทู่ ก่ี ึง่ กลาง ของข้อมูล ชดุ นั้น เม่ือนา
ขอ้ มูลเหล่านนั้ เรียงจากค่าน้อยทส่ี ดุ ไปหาคา่ มากทส่ี ดุ หรือ เรียงขอ้ มูลจากค่ามากท่ีสุดไปหาคา่ นอ้ ยทสี่ ุดแลว้

การหาคา่ มัธยฐานของขอ้ มูลทีไ่ ม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี (Ungroup data) หาได้จาก

ถา้ ให้ x1 , x2 , x3 , … , xN เปน็ ค่าขอ้ มลู ท่ไี ดจ้ ากการสงั เกตทเ่ี รยี งลาดบั จากน้อยไปหามาก หรือจากมาก

ไปหาน้อย และ N เปน็ จานวนข้อมูลทัง้ หมด แลว้ ค่ามัธยฐาน หาได้จาก

ก.) กรณที ่ี N เป็นจานวนคี่ (n-odd) ค่ามธั ยฐาน (Me) อย่ตู าแหนง่ ที่ = ( 2+1) (1)......................…..

ข.) กรณีท่ี N เปน็ จานวนคู่ (n-even) คา่ มธั ยฐาน (Me) อยู่ตาแหนง่ ที่ = ( 2 )+ ( 2 )+1 (2)..........................

2

สรุปได้อย่างง่ายว่า ในการหาค่ามัธยฐานของข้อมูล ถ้าข้อมูลมี ตัวการหามัธยฐานทาได้โดยเรียงลาดับข้อมลู
จากนอ้ ยไปมากหรือจากมากไปน้อย จะไดม้ ธั ยฐานอยูใ่ นตาแหน่งที่ +1 น่นั คือ

2

 ถ้า เป็นจานวนคี่ มธั ยฐาน คอื ขอ้ มลู ท่อี ยู่กึง่ กลาง
 ถ้า เปน็ จานวนค่มู ัธยฐาน คอื คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองตวั ทอี่ ยูก่ ึ่งกลาง
จากหัวข้อ 3.2 นกั เรยี นทราบแล้ววา่ 2 เปน็ คา่ ท่ีอยใู่ นตาแหน่งกง่ึ กลางของข้อมูลท้ังหมด ดงั นน้ั มัธยฐาน คอื 2

ตวั อย่างท่ี 23 ความสูง (เซนตเิ มตร) ของนักเรียนหญิงจานวน 11 คนแสดงไดด้ งั นี้

164 158 167 160 163 159 162 161 155 170 168

จงหามัธยฐานของข้อมูลชดุ น้ี

วธิ ีทา 10 : 10 11 : 11
23.1 เรียงข้อมลู จากน้อยไปหามาก
168 170
ตาแหน่งที่ 1 : 1 2 : 2 3 : 3 4 : 4 5 : 5 6 : 6 7 : 7 8 : 8 9 : 9

ความสงู : ซม. 155 158 159 160 161 162 163 164 167

23.2 หาตาแหน่งของคา่ มัธยฐานและคา่ มธั ยฐาน
จากโจทย์จานวนข้อมลู ทัง้ หมด คอื จานนวนนกั เรียน = 11 คน ดังนนั้ จานวนข้อมูลเปน็ จานวนคี่ ( − )

ดงั นน้ั ตาแหนง่ ของคา่ มธั ยฐานจะอยทู่ ี่ ตาแหนง่ ท่ี ( +21) = (112+1) = (122) = 6
และจะไดค้ า่ มธั ยฐาน อยู่ที่ขอ้ มลู 6 = 162

ดงั นน้ั คา่ มัธยฐาน (Me) ของความสงู ของนักเรยี นหญงิ กลุ่มนี้ คอื 162 เซนตเิ มตร ∎

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 58

ตวั อย่างที่ 24 ระยะเวลา (นาท)ี ที่ใชใ้ นการเดนิ ทางจากบา้ นไปโรงเรียนของนักเรียน 6 คน แสดงได้ดงั น้ี

32 15 45 12 90 25

จงหามัธยฐานของขอ้ มูลชดุ นี้

วิธีทา

24.1 เรยี งข้อมลู จากน้อยไปหามาก

ตาแหน่งที่ 1 : 1 2 : 2 3 : 3 4 : 4 5 : 5 6 : 6

ระยะเวลา : นาที 12 15 25 32 45 90

24.2 หาตาแหน่งของคา่ มัธยฐานและคา่ มธั ยฐาน
จากโจทยจ์ านวนข้อมูลทั้งหมด คอื จานนวนนกั เรียน = 6 คน ดงั นน้ั จานวนขอ้ มลู เป็นจานวนค่ี ( − )
ดงั นนั้ ตาแหนง่ ของคา่ มัธยฐาน จะอยู่ท่ี ตาแหนง่ ที่ ( 2 )+ ( 2 )+1 = (26)+ (62)+1 = 3+ 4

2 22

ซง่ึ จะไดค้ ่ามธั ยฐาน อยู่ระหวา่ งข้อมลู 3 = 25 และ 4 = 32
ดงั นน้ั คา่ มัธยฐาน (Me) ของระยะเวลาทน่ี กั เรยี นเดินทาง คอื 3+ 4 = 25+32 = 57 = 28.5 นาที ∎

2 22

กิจกรรมระหวา่ งเรียน เรอ่ื ง การหาคา่ มธั ยฐาน ( ∶ , , ) ของขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงความถี่

ตวั อย่างที่ 25 จงหาคา่ มัธยฐาน (Me) จากข้อมลู 145 , 152 , 137 , 142 , 154 , 158 และ 149
วิธีทา เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก

ตัวอย่างที่ 26 ขอ้ มลู ชุดหนง่ึ ประกอบด้วย 14.25 , 15.25 , 13.75 , 14.50 , 15.95 , 15.85 , 20.25 และ 14.95

จงหาคา่ มัธยฐาน (Me) ของขอ้ มูลชดุ น้ี
วิธที า เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 59

แบบฝกึ หัด เรื่อง การหาค่ามัธยฐาน (Median : Me , Med , Mdn) ของขอ้ มูลไมแ่ จกแจงความถี่

ขอ้ 1. ผลการสารวจเงนิ เดือนของพนกั งานบรษิ ทั กจิ การจงเจรญิ จากัด เปน็ ดงั น้ี
4,500 , 4,700 , 4,300 , 4,250 , 4,100 , 4,000 , 4,350 , 4,700 , 4,900 5,000 และ 4,650 บาท

จงหาคา่ มัธยฐาน (Me) ของเงนิ เดอื นพนกั งานกลุ่มนี้

วิธีทา

ขอ้ 2. นา้ หนักของนกั กีฬามวยสากลสมัครเลน่ จานวน 8 คน เปน็ ดงั น้ี

45 , 52 , 57 , 63 , 54 , 49 , 55 , 60

จงหาค่ามัธยฐาน (Me) ของน้าหนกั นักกฬี ากลมุ่ น้ี

วธิ ที า

ขอ้ 3. ข้อมูลชุดหนึ่งเมอ่ื เรยี งจากนอ้ ยไปหามากแลว้ เป็นดงั นี้ 15 , 15 , a , b , 20 ถา้ มัธยฐานของข้อมูลชดุ น้ี คอื 16
และคา่ เฉล่ียเลขคณติ ของข้อมูลชุดน้ีเปน็ 17 จงหาค่าของ a + b

วิธที า

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 60

สมบตั ขิ องคา่ มธั ยฐาน

สมบตั ิทส่ี าคญั ของค่ามัธยฐาน คอื ผลรวมของคา่ สัมบูรณข์ องผลต่างระหวา่ งข้อมลู แต่ละคา่ กับมธั ยฐานของข้อมลู

ชุดนน้ั จะมีคา่ นอ้ ยท่สี ุด กลา่ วคอื สาหรบั ค่าคงตัว a ใดๆ และ Mdn แทนมัธยฐานของข้อมลู แลว้ จะได้วา่

∑ =1| − | ≤ ∑ =1| − | หรือ ∑ = 1| − | มคี ่าน้อยทีส่ ุด
จากขอ้ มลู ข้างตน้ อธิบายได้ง่ายๆ วา่

1. ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างข้อมูลแต่ละค่ากับค่ามัธยฐานของช้อมูลชุดนั้นจะมีค่าน้อยที่สุด

กล่าวคือ ∑ =1| − | มคี า่ นอ้ ยที่สดุ เม่ือ a = มธั ยฐาน และถา้ แทนค่ามัธยฐานด้วยจานวนใดๆ ที่หาได้จากข้อมลู ชุดนนั้
แลว้ จะได้ผลรวมมากกว่าหรือเท่ากบั คา่ นี้เสมอ

2. ลกั ษณะสาคญั ของการใชค้ า่ มัธยฐาน คือคา่ มัธยฐานเป็นคา่ ทเ่ี หมาะสมที่จะนามาใช้เป็นคา่ กลางของข้อมูลเมื่อ

ข้อมูลน้ันๆ มีค่าใดคา่ หน่ึงหรือหลายๆ ค่าซึง่ สูงหรอื ตา่ กว่าค่าอื่นๆ หรือตอ้ งการทราบว่ามีคา่ ที่เปน็ ไปได้ค่าใดของข้อมูลชุด

นนั้ ๆ มีจานวนค่าสังเกตท่มี ากกวา่ หรือนอ้ ยกว่าคา่ นอี้ ยู่ประมาณเทา่ ๆ กนั ดังรูป

50 % 50 %

Min Me Max

3. สมบัติของค่ามัธยฐานคล้ายกับสมบัติของค่าเฉล่ียเลขคณิต โดยท่ี สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มี
∑ =1( − )2 มีคา่ น้อยท่สี ุด เม่ือ = สว่ นสมบัติของคา่ มธั ยฐาน มี ∑ =1| − | มีคา่ นอ้ ยท่สี ุด เมอ่ื =

3.3.1.4 ฐานนยิ ม (Mode : Mo , Mod)

ฐานนิยม (Mode : Mo , Mod)
คอื ข้อมูลทีม่ จี านวนครงั้ ของการเกิดซา้ กันมากทีส่ ดุ หรือข้อมลู ท่ีมีความถสี่ งู สุดทม่ี ากกว่า 1

จากบทท่ี นกั เรียนได้ศึกษามาแล้วว่าสาหรบั ข้อมลู เชงิ คุณภาพ ฐานนิยม คือ ขอ้ มลู ท่มี ีจานวนครงั้ ของการเกิดซา้
กันมากท่ีสุดหรือข้อมูลที่มีความถ่ีสูงสดุ ทีม่ ากกว่า 1 ซึ่งบทนิยามของฐานนยิ มดังกล่าวสามารถใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณได้
เช่นกัน ข้อมูลบางชุดอาจไม่มีฐานนิยม เช่น ในกรณีที่ข้อมูลมีความเป็น 1 เท่ากันหมด นอกจากนี้ข้อมูลบางชุดอาจมีฐาน
นิยมมากกว่า 1 ค่าเช่นในกรณีท่ีมีข้อมูลมากกว่า 1 ข้อมูลที่มีความถ่ีสูงสุดเท่ากัน อย่างไรก็ตามในท่ีน้ีจะพิจารณาเฉพาะ
ชุดข้อมูลทมี่ ีฐานนิยมเพยี งค่าเดียว

ฐานนิยม (Mode : Mo , Mod) คอื ค่าของข้อมูลท่ีมีความถ่ีสงู สุด ใชเ้ ปน็ คา่ กลางของขอ้ มลู อีกชนิดหน่ึง (ถา้ เปน็
ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพแล้ว การหาตัวกลางของข้อมูลตอ้ งฐานนยิ มเทา่ นั้น * )

การหาฐานนิยม (Mode : Mo , Mod) ของข้อมูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungroup data) หาได้จากคะแนน
ของข้อมูลที่มี “ความถ่ีมากที่สุด” หรือมีจานวนข้อมูล “ซ้ามากท่ีสุด” ซึ่งคะแนนหรือค่าสังเกตน้ัน ถือว่าเป็น “ฐาน
นิยม : Mode”

กิจกรรมระหว่างเรยี น เรื่อง ฐานนยิ ม ( ; , ) ของข้อมลู ทไี่ ม่ได้แจกแจงความถี่

ตัวอย่างท่ี 27 จงหาฐานนยิ ม (Mo) ของขอ้ มูล 4 , 5 , 3 , 5 , 2 , 7 , 3 , 5
วธิ ีทา

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 61

ตัวอย่างท่ี 28 จงหาฐานนยิ ม (Mo) ของข้อมูล 24 , 25 , 26 , 27 , 25 , 24 , 26 , 24 , 25
วิธที า

ตวั อย่างที่ 29 จงหาฐานนิยม (Mo) ของขอ้ มลู 3 , 6 , 9 , 7 , 5 , 10 , 12
วธิ ที า

จากตัวอย่างข้างต้น สามารถสรุปฐานนิยม (Mode : Mo , Mod) ของข้อมูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถ่ี ได้ว่าจานวน
ฐานนิยมของขอ้ มลู แตล่ ะชุดอาจมไี ดต้ ัง้ แต่ 0 ขน้ึ ไป โดย จะมีฐานนิยม 1 ค่า เมือ่ ขอ้ มูลชุดนน้ั มคี า่ ของขอ้ มูลสูงสดุ เพียงชดุ
เดียว หรือมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า เม่ือจานวนชุดของข้อมูลที่ซ้ากันสูงสุดมีหลายค่า หรือไม่มีฐานนิยมเลย เมื่อไม่มี
จานวนขอ้ มลู ท่ีซา้ กันเลย หรอื มขี อ้ มลู ท่ีซา้ กันมจี านวนเทา่ ๆ กัน

และสิ่งที่ได้จากการสังเกตตัวอย่างข้างต้นเก่ียวกับฐานนิยม และเอกสารต่างๆ ท่ีนักเรียนได้ฟังหรือได้อ่านจาก
เอกสารตาราตา่ งๆ จะพบวา่ ไม่ได้เป็นกฎเกณฑท์ ่ีตายตวั เช่น มีเอกสาร ตาราบางเล่มกล่าวว่า หากมีฐานนยิ มเกินกวา่ 2
ตัวข้ึนไป จะถือว่าว่าข้อมูลน้ันไม่มีฐานนิยม อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติ เราในฐานะผู้ศึกษาเรียนรู้เร่ืองฐานนิยมและ
นาไปใช้นาไปใช้ในการตัดสินใจเหตกุ ารณบ์ างอย่าง เช่น นาไปสารวจความนิยมของข้อมลู บางอย่างบางประเภทที่มจี านวน
มากๆ และหลายๆ กล่มุ ขอ้ มูลท่เี ราไดน้ ั้นอาจเปน็ ข้อมูลที่มีผู้คนนิยมมากกวา่ 2 ตวั ก็เปน็ ไปได้ นัน่ หมายความวา่ ฐานนิยม
อาจมมี ากกวา่ 2 คา่ และเป็นเหตุเป็นผลในการตัดสินใจพจิ ารณาเลือกใช้ในครัง้ น้ัน

แบบฝกึ หัด เรอ่ื ง ฐานนิยม ( ; , ) ของข้อมลู ทีไ่ มไ่ ดแ้ จกแจงความถี่

ข้อ 1. ข้อมูลชุดหน่งึ ประกอบดว้ ย 7 , 2 , 4 , 9 , 5 , 6 , 4 , 6 , 3 , 4
จงหาคา่ ของ | − | เมอ่ื แทน คา่ เฉล่ยี เลขคณติ และ แทน ฐานนยิ มของขอ้ มลู ชุดนี้

วธิ ที า

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 62

ข้อ 2. ข้อมลู ชุดหนง่ึ เมื่อเรียงข้อมูลจากนอ้ ยไปหามากจะได้ 1 , 2 , 16 , 4 , 5 ตามลาดบั โดยข้อมูลชดุ นี้
มีค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 17 มีฐานนิยมเท่ากับ 15 และมีผลตา่ งระหว่างข้อมลู ค่ามากที่สดุ กับค่านอ้ ยที่สดุ เป็น 5 จงหา
ข้อมูลท้ังหมดของข้อมลู ชดุ น้ี
วิธที า

วอยา่ งท่ี อายุ (ป)ี ของนกั เรียนท่ีมาเข้าค่ายคณติ ศาสตรจ์ านวน 15 คนแสดงไดด้ งั น้ี

5 8 7 6 7 8 12 11
10 11 8 6 8 7 8

จงหาฐานนยิ ม ( ) ของข้อมลู ชดุ นี้
วิธีทา

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 63

ตวั อยา่ งท่ี 31 เงินเดอื น (บาท) ของพนกั งานแผนกหนึ่งใน บรษิ ทั แห่งหน่ึงจานวนท้งั หมด 7 คนแสดงได้ดังนี้

15,300 16,600 13,400 15,300 14,400 15,300 71,000

จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิต ( ) มัธยฐาน ( ) และฐานนยิ ม ( ) ของข้อมูลชุดนแ้ี ละพิจารณาว่าควรใช้ค่ากลางใด
เป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนี้พรอ้ มทง้ั ให้เหตุผลประกอบ
วธิ ีทา

ตวั อย่างที่ 32 นักเรยี นคนหน่งึ ไดค้ ะแนนสอบยอ่ ยวชิ าคณิตศาสตร์จานวน 5 ครงั้ ซง่ึ แตล่ ะครั้งมีคะแนนเต็มเทา่ กันดงั น้ี

17 17 17 19 20

จงพิจารณาว่าควรใช้ค่ากลางใดเปน็ ตวั แทนของขอ้ มูลชดุ นพ้ี ร้อมท้ังใหเ้ หตผุ ลประกอบ
วิธที า

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 64

ข้อสังเกตทส่ี าคัญเก่ยี วกับคา่ กลางชนดิ ต่าง ๆ

1. ฐานนิยมจะมีค่าตรงกบั คา่ ใดคา่ หนึ่งของข้อมูลชุดนน้ั ในขณะที่คา่ เฉล่ยี เลขคณิตและมธั ยฐานอาจไม่ใช่ค่าใดค่า
หน่ึงของขอ้ มลู ชดุ น้นั

2. โดยปกติคา่ เฉล่ียเลขคณิตมักเปน็ ค่ากลางท่ีนยิ มมากทสี่ ุด แต่ถา้ ชุดข้อมูลมขี อ้ มลู ท่แี ตกตา่ งจากขอ้ มลู ตวั อนื่ มาก
จะมีผลต่อค่าเฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู ชุดน้ี แตจ่ ะไมม่ ผี ลตอ่ มธั ยฐานและฐานนยิ ม

3. สาหรับข้อมูลเชิงคุณภาพจะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมเท่าน้ันไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
และมัธยฐานได้

4. ค่าเฉลี่ยเลขคณติ มธั ยฐานและฐานนิยมไม่จาเป็นต้องมีค่าเท่ากันท้ังนค้ี ่าเฉล่ยี เลขคณิตและมัธยฐานจะมีคา่ ท่ีไม่
สูงหรือตา่ เกนิ ไปเม่ือเทยี บกับคา่ ของขอ้ มูลท้งั หมดในขณะท่ีฐานนิยมอาจเปน็ คา่ สูงสุดหรือคา่ ตา่ สดุ ของชดุ ข้อมูลนั้นได้

การพิจารณาเลือกใช้ค่ากลางของข้อมูลไม่มีกฎเกณฑ์ท่ีแน่ชัด แต่ควรเลือกให้เหมาะสมกับวัตถุประสงค์ในการ
นาไปใช้และลักษณะของข้อมูลรวมทั้งต้องพิจารณาข้อดีและข้อเสียของค่ากลางแต่ละชนิดหากเลือกใช้ค่ากลางที่ไม่
เหมาะสมอาจทาให้สรุปผลหรอื ตัดสนิ ใจผดิ พลาดได้

3.3.1.6 ความสัมพนั ธร์ ะหว่างการกระจายของข้อมลู และค่ากลางของขอ้ มลู

การอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลนอกจากจะวิเคราะห์โดยใช้แผนภาพกล่องตามท่ีได้ศึกษาในหัวข้อ 3.2
แล้วยังสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของค่าเฉล่ียเลขคณิตมัธยฐานและฐานนิยมในท่ีนี้จะแบ่ งลักษณะการ
กระจายของขอ้ มูลเปน็ 3 แบบดงั นี้

แบบที่ 1. การแจกแจงสมมาตร (Symmetrical distribution)

คา่ เฉลี่ยเลขคณิต = มัธยฐาน = ฐานนิยม

1 2 3
1 2 3

รปู ท่ี 4
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 4 เรียกว่าการแจกแจงสมมาตร (Symmetrical distribution) และ
จากรูปที่ 4 จะได้ความสมั พนั ธ์ของคา่ กลางของข้อมลู ดังนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณติ = มธั ยฐาน = ฐานนิยม
จะเห็นว่าข้อมูลทมี่ ีความถี่สูงสดุ จะอยู่ตรงกลางและความถี่ของข้อมูลจะลดลงเมื่อข้อมูลมีค่าห่างจากมัธยฐาน เมื่อ
พจิ ารณาจากแผนภาพกลอ่ งจะเห็นว่าความกว้างของชว่ งจาก 1 ถึง 2 เท่ากับความกวา้ งของช่วงจาก 2 ถึง 3

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 65

แบบท่ี 2. การแจกแจงเบ้ขวา ขวา (right-skewed distribution)

ฐานนิยม < มธั ยฐาน < คา่ เฉล่ยี เลขคณติ

รูปท่ี 5
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 5 เรียกว่า การแจกแจงเบ้ขวา (right-skewed distribution) โดยมี
ความสัมพนั ธ์ของค่ากลางของขอ้ มูลดงั น้ี

ฐานนยิ ม < มัธยฐาน < คา่ เฉลย่ี เลขคณติ
จะเห็นว่าข้อมูลท่ีมีค่าน้อยจะมีความถี่สูงและความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเมื่อค่าของข้อมูลเพิ่มข้ึนเม่ือพิจารณาจาก
แผนภาพกล่องจะเหน็ วา่ ความกวา้ งของชว่ งจาก 1 ถงึ 2 นอ้ ยกว่าความกวา้ งของช่วงจาก 2 ถึง 3

แบบที่ 3. การแจกแจงเบซ้ า้ ย (left-skewed distribution)

ค่าเฉล่ียเลข < มธั ยฐาน < ฐานนิยมคณิต

1 2 3

รปู ที่ 6
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปที่ 6 เรียกว่าการแจกแจงเบ้ซ้าย (left-skewed distribution) โดยมี
ความสัมพันธ์ของค่ากลางของขอ้ มลู ดงั น้ี

ค่าเฉล่ียเลขคณติ <มัธยฐาน<ฐานนยิ ม
จะเห็นว่าข้อมูลที่มีค่ามากจะมีความถี่สูงและความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเมื่อค่าของข้อมูลลดลงเม่ือพิจารณาจาก
แผนภาพกล่องจะเหน็ วา่ ความกว้างของชว่ งจาก 1 ถึง 2 มากกวา่ ความกว้างของช่วงจาก 2 ถงึ 3

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 66

การแจกแจงเบ้ซ้าย การแจกแจงสมมาตร การแจกแจงเบ้ขวา

< < = = < <

ถงึ แม้ค่ากลางของข้อมูลจะสามารถใชใ้ นการบอกลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู แต่กย็ งั ไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ ข้อมูล
มีการกระจายมากหรือนอ้ ย ในหัวข้อต่อไปนักเรียนจะได้ศึกษาค่าท่ีใช้ในการพิจารณาว่าข้อมูลมีการกระจายมากหรอื น้อย
เพียงใด

แบบฝกึ หดั 3.3.1 เร่อื ง ค่ากลางของข้อมลู

1. จากการสุ่มเก็บข้อมูลค่าจ้างรายวัน (บาท) ของพนักงานชัว่ คราวของร้านสะดวกซ้ือ 2 แห่ง เป็นเวลา 10 วัน ในเดือน
มกราคม พ.ศ. 2562 แสดงไดด้ งั นี้

ร้านที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
รา้ นที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
1.1) จงหาค่าเฉล่ียเลขคณติ ( ) มธั ยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของค่าจ้างรายวนั ของพนกั งานแต่ละร้าน
1.1.1) จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณติ ( )
รา้ นที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
ร้านท่ี 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วธิ ีทา

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 67

1.1.2) มธั ยฐาน ( )
ร้านที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
ร้านที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วิธีทา

1.1.3) ฐานนิยม ( )
ร้านท่ี 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
ร้านที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วธิ ีทา

1.2) นกั เรียนจะเลอื กทางานทร่ี ้านใดเพราะเหตุใด
ตอบ

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 68

2. ธนาคารแห่งหนึ่งสารวจระยะเวลา (นาท)ี ทีล่ กู ค้าใช้ในการทาธรุ กรรมทีธ่ นาคารได้ผลสารวจดังนี้

14 13 17 15 15 14 15 28 18
17 11 9 13 16 18 15 14 16
7 16 11 12 19 27 14 12 19

จงหา
2.1) คา่ นอกเกณฑข์ องขอ้ มูลชดุ นี้
2.2) คา่ เฉล่ียเลขคณิต ( ) ของข้อมูลชุดน้ี
2.3) ค่าเฉล่ยี เลขคณิต ( ) ของระยะเวลาทล่ี กู ค้าใชใ้ นการทาธรุ กรรมทธ่ี นาคารแหง่ น้ีโดยไม่รวมค่านอกเกณฑ์
2.4) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ) ทไี่ ด้จากข้อ 2.2) และ 2.3) แตกตา่ งกนั มากหรือไมเ่ พราะเหตุใด

วิธีทา :

2.1) คา่ นอกเกณฑ์ของขอ้ มลู ชดุ นี้

หาค่าตา่ สุด ( ) ของข้อมูล คือ2.1.1)
.......................................................................................

หาค่าสูงสุด ( ) ของข้อมูล คอื .......................................................................................

2.1.2) หา 1 , 2 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหนง่ ควอไทล์ท่ี = ( +1) ดังนี้
4

อยู่ในตาแหน่งที่2.1.2.1) 1 ....................................................................................................................................................................................................

ดงั นัน้ คา่ ของ 1 = .................................................................................................................................................................................................................................

อยใู่ นตาแหน่งที่2.1.2.2) 2 ...............................................................................................................................................................................................

ดังน้ันคา่ ของ 2 = ................................................................................................................................................................................................................................

อยู่ในตาแหนง่ ที่2.1.2.3) 3 ................................................................................................................................................................................................

ดงั น้ันคา่ ของ 3 = ....................................................................................................................................................................................................................................
2.1.3) หาค่านอกเกณฑ์

หาค่า2.1.3.1) 1 − 1.5( 3 − 1) = ..............................................................................................................................................................

หาคา่2.1.3.2) 3 + 1.5( 3 − 1) = ................................................................................................................................................................

จะพบวา่ มขี อ้ มูลที่นอ้ ยกว่า ไดแ้ ก่ 1 − 1.5( 3 − 1) .........................................................................................................................................................................

และ มีขอ้ มลู ท่ีมากกวา่ ได้แก่ 3 + 1.5( 3 − 1) .........................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั คา่ นอกเกณฑ์ของข้อมูลชุดน้ี ได้แก่ ..................................................................................................................................................................................................................

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 69

2.1.4) ขยี นแผนภาพกลอ่ ง (Box plot) เพ่ือนาเสนอขอ้ มลู ชุดนี้

5 8 11 14 17 20 23 26 29 32

จากแผนภาพกลอ่ ง สรปุ ไดว้ า่

2.2) คา่ เฉล่ียเลขคณติ ( ) ของขอ้ มูลชุดน้ี

2.3) ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( ) ของระยะเวลาทลี่ ูกคา้ ใชใ้ นการทาธรุ กรรมท่ธี นาคารแหง่ น้โี ดยไมร่ วมค่านอกเกณฑ์

2.4) ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ( ) ทไ่ี ดจ้ ากขอ้ 2.2) และ 2.3) แตกต่างกันมากหรือไมเ่ พราะเหตุใด

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 70

3. วชิ าคณติ ศาสตรม์ ีการสอบ 3 ครั้ง เปน็ การสอบยอ่ ย 2 คร้งั และสอบปลายภาค 1 ครัง้ โดยคะแนนสอบยอ่ ยแต่ละคร้งั
คิดเป็นร้อยละ 15 ของคะแนนทั้งหมด และคะแนนสอบปลายภาคคิดเป็นร้อยละ 70 ของคะแนนทั้งหมดถ้านักเรียนคน
หนึ่งไดค้ ะแนนสอบยอ่ ย 2 ครัง้ เป็น 74 และ 80 คะแนน และได้คะแนน สอบปลายภาค 62 คะแนนโดยแต่ละครั้งมี

คะแนนเตม็ 100 คะแนนจงหาคะแนนเฉล่ียวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นคนน้ี
วิธีทา

4. ในการสมัครเข้ารับการคัดเลือกเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยแห่งหน่ึงผู้สมัครต้องย่ืนจดหมายรับรอง จานวน 3 ฉบับ
เพ่ือประกอบการพิจารณาถ้าค่าเฉลยี่ เลขคณิตมธั ยฐานและฐานนิยมของจานวนจดหมาย รับรองของผู้สมัครจานวน 148
คน คือ 2 , 9 , 3 และ 3 ฉบับตามลาดับจงใชค้ ่ากลางดังกล่าว ในการอธิบายความหมายของจานวนจดหมายรับรองของ

ผสู้ มัครท้ัง 148 คน
วิธที า

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 71

5. ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียน 3 คนคือ 38 กิโลกรัม และนักเรียนหน่ึงคนในกลุ่มนี้หนัก 45 กิโลกรัม
สว่ นอีกสองคนทีเ่ หลอื หนักเทา่ กนั จงหาวา่ นักเรียนสองคนที่เหลอื หนกั คนละกี่กิโลกรัม
วิธีทา

6. ขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ มี 7 ตวั และมคี ่าเฉลยี่ เลขคณติ คือ 81 ถ้าตดั ขอ้ มูลออกไป 1 ตัว แลว้ ทาให้ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของขอ้ มูลชุด
นีเ้ หลอื 78 จงหาว่าข้อมูลทีถ่ กู ตดั ออกไปมคี ่าเท่าใด
วิธีทา

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 72

7. วิชาคณติ ศาสตร์มีการสอบยอ่ ยท้งั หมด 5 คร้ังแต่ละครั้งมคี ะแนนเตม็ เทา่ กันถา้ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม
ของคะแนนสอบย่อยทั้งห้าครั้งของน้อยหนา่ คือ 86 , 87 และ 80 คะแนน ตามลาดับ จงหาคะแนนสอบย่อยทีส่ ูงทีส่ ดุ ท่ี
เป็นไปไดข้ องน้อยหน่า ถา้ คะแนนสอบทัง้ หา้ ครง้ั ของน้อยหนา่ เปน็ จานวนเตม็
วธิ ที า

8. นกั สตั ววิทยาคนหนง่ึ สารวจจานวนการตายและการเกิดของไก่ปา่ ชนดิ หนงึ่ ในพน้ื ท่สี ารวจ 14 พ้ืนทีใ่ นเดอื นพฤษภาคม

พ.ศ. 2562 ได้ผลสารวจดงั น้ี

พื้นทส่ี ารวจ จานวนการตายของไกป่ ่า ( : ตัว) จานวนการเกดิ ของไก่ป่า ( : ตวั )

15 30

20 28

30 38

48 34

59 26

67 40

72 48

86 46

94 32

10 0 31

11 2 46

12 10 132

13 3 42

14 5 126

รวม ∑1 =41 = ∑ 1 =41 =

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 73

8.1) จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิต ( ) มัธยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของจานวนการตายของไก่ป่าในพื้นท่ี
สารวจทง้ั 14 พนื้ ท่ีและพจิ ารณาว่าคา่ กลางใดไม่ควรเป็นตัวแทนของจานวนการตายของไกป่ า่ ในพ้นื ท่ีสารวจทัง้ 14 พน้ื ท่ี
พรอ้ มท้ังใหเ้ หตุผลประกอบ
วิธีทา

ตาแหนง่ ที่ พน้ื ท่สี ารวจ จานวนการตายของไก่ป่า ( : ตัว)
รวม
1 ∑1 =41 =
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

8.1.1) หาคา่ เฉล่ียเลขคณิต ( )

8.1.2) หาค่ามธั ยฐาน ( )

8.1.3) หาฐานนยิ ม ( )

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 74

8.2) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ) มธั ยฐาน ( ) และฐานนยิ ม ( ) ของจานวนการเกิดของไกป่ า่ ในพน้ื ทีส่ ารวจ
ทั้ง 14 พ้ืนที่และพิจารณาว่าควรใชค้ ่ากลางใดเป็นตวั แทนของจานวนการเกิดของไก่ปา่ ในพื้นที่สารวจท้ัง 14 พื้นที่พรอ้ ม
ทง้ั ให้เหตุผลประกอบ
วธิ ที า

ตาแหนง่ ท่ี พืน้ ท่สี ารวจ จานวนการเกิดของไก่ปา่ ( : ตัว)
รวม
1 ∑1 =41 =
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

8.2.1) หาค่าเฉลยี่ เลขคณิต ( )

8.2.2) หาคา่ มัธยฐาน ( )

8.2.3) หาฐานนยิ ม ( )

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 75

3.3.2 คา่ วัดการกระจาย

การทราบเพียงคา่ กลางของข้อมูลไม่เพียงพอทจ่ี ะบอกวา่ ข้อมลู มีการกระจายมากหรือนอ้ ย เน่อื งจากคา่ กลางแต่ละ

ชนิดมิได้บอกให้ทราบว่าขอ้ มลู แตล่ ะคา่ หา่ งกนั มากหรือน้อยเพยี งใด ขอ้ มูลสว่ นใหญ่รวมกลุม่ กนั หรือกระจายกันออกไป

หอ้ ง 1 ห้อง 2

คะแนนเฉล่ีย ( ) 67 67

คะแนนสูงสดุ ( ) 72 97
คะแนนตา่ สดุ ( ) 62 25
ผลตา่ ง ( − ) 10 72

สมมติว่าในการสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนักเรียนสองหอ้ งซึ่งใช้ขอ้ สอบชุดเดียวกัน มีค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบ
เทา่ กัน คือ 67 คะแนน ห้องแรกมีคะแนนสงู สุด 72 คะแนน และคะแนนต่าสดุ 62 คะแนน ส่วนหอ้ งท่สี องมีคะแนนสงู สุด 97
คะแนนและคะแนนต่าสุด 25 คะแนน จะเห็นว่าคะแนนสูงสุดและคะแนนต่าสุดของห้องแรกต่างกันเพียง 10 คะแนน แต่
คะแนนสูงสุดและคะแนนต่าสุดของห้องทส่ี องตา่ งกันถึง 72 คะแนน

แสดงว่าคะแนนของหอ้ งท่ีสองมีการกระจายมากกว่าหอ้ งแรกมาก ซ่ึงอาจกล่าวได้ว่านักเรียนห้องแรกส่วนใหญส่ อบได้
คะแนนใกล้เคียงกัน แต่นักเรียนห้องที่สองสอบได้คะแนนแตกต่างกันมาก ต่อไปนี้นักเรียนได้ศึกษาค่าวดั ทางสถิติท่ีจะช่วยให้
เห็นลักษณะของข้อมูลชดั เจนขึน้ และสามารถวเิ คราะหเ์ กยี่ วกับข้อมูลน้นั ได้มากขึน้

จากการศึกษา เร่ืองการหาค่ากลางของขอ้ มูลเราพบวา่ มีวิธีการหาคา่ ได้มากมาย ทั้งค่าเฉล่ียเลขคณิต ค่ามัธยฐาน ฐาน
นิยม ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิค ค่าเฉลี่ยเรขาคณติ และค่าก่ึงกลางพิสัย ค่ากลางเหล่านี้เราสามารถพิจารณาเลือกใช้ใหเ้ หมาะสมตาม
ลักษณะของขอ้ มูลที่เราตอ้ งการได้ แต่การหาคา่ กลางหรือคา่ เฉลี่ยที่ได้จากค่าสังเกตหรอื ขอ้ มูลย่อยๆ เหล่านั้นอาจมีค่าเทา่ กัน
หรือใกล้เคียงกัน แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าข้อมูลเหล่านนั้ เหมือนกัน หรือใกล้เคยี งกันทุกประการ เพ่ือท่ีจะต้องการวเิ คราะหว์ า่
ข้อมูลชดุ เหลา่ นั้นมีความเหมอื นกันหรอื แตกต่างกนั มากน้อยแค่ไหน จงึ ทาใหเ้ ราต้องศึกษาเพิ่มเติมอีกว่าถ้าคา่ ของขอ้ มลู แต่ละ
ตัวไม่แตกต่างกันมาก กแ็ สดงว่าขอ้ มูลมีการเกาะกลุ่ม มีคา่ ใกลเ้ คียงกนั มคี า่ คลาดเคลอ่ื นน้อย แต่ถา้ ขอ้ มูลแต่ละตัวแตกตา่ งกนั
มาก แสดงว่าข้อมูลไม่มีการเกาะกลุ่ม มีค่าคลาดเคลื่อนระหว่างข้อมูลชุดเหล่าน้ันมาก เราน้ีเราจะหาสถิติตัวใดมาวัดเพิ่มเติม
เพื่อวิเคราะห์ควบค่ไู ปพร้อมๆ กับการหาค่ากลางของข้อมูล เหลา่ น้ีคือแนวคดิ ทจี่ ะมาวดั ความแตกต่าง ความคลาดเคล่ือนของ
ข้อมูล ทเ่ี ราเรยี กวา่ “การวดั การกระจายของข้อมลู ” ดว้ ยแนวคดิ ท่ีวา่ ถ้าค่าวดั การกระจายที่คานวณมคี า่ มาก ไดบ้ ่งชี้วา่ ข้อมลู
มูลนั้นมีการกระจายมากหรือแตกต่างกันมาก ไม่เกาะกลุ่มหรือไม่เป็นไปในทิศทางเดียวกัน และข้อมูลเหล่านั้นก็มีค่า
คลาดเคล่ือนมากด้วย ในขณะเดียวกัน ถ้าค่าวัดการกระจายท่ีคานวณมีค่าน้อย ได้บ่งชี้ว่าข้อมูลมูลน้ันมีการกระจายน้อยหรือ
แตกต่างกันน้อย ข้อมูลเกาะกลุ่มหรือเป็นไปในทิศทางเดียวกัน และข้อมูลเหล่านั้นก็มีค่าคลาดเคลื่อนน้อยด้วย นักสถิติได้
คิดค้นวธิ วี ดั การกระจายจากการวเิ คราะหห์ าค่ากลางชนิดตา่ งๆ ได้ 2 กลุ่มใหญ่ๆ และแบ่งเป็นวิธยี อ่ ยได้ดงั น้ี

1. การวดั การกระจายสัมบรู ณ์ (Absolute Variation) ประกอบด้วย
1.1) พิสัย (Range : R)
1.2) ส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ (Quatiles deviation : Q.D.)
1.3) สว่ นเบ่ียงเบนเฉลีย่ (Mean deviation or Average deviation : M.D.)
1.4) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s ; S.D.)
1.5) ความแปรปรวน (Variance : s2 ; (S.D.)2)

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 76

2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) ประกอบดว้ ย
2.1) สมั ประสิทธิ์ของพิสยั (Coefficient of Range : C.R.)
2.2) สัมประสิทธิ์ของสว่ นเบ่ยึ งเบนควอไทล์ (Coefficient of quatiles deviation : C.Q.)
2.3) สัมประสทิ ธข์ิ องส่วนเบ่ียงเบนเฉลยี่ (Coefficient of mean deviation : C.M.)
2.4) สัมประสทิ ธข์ิ องการแปรผัน (Coefficient of Variance : C.V.)

ซง่ี ในระดบั ชนั้ น้ี ตามหลกั สตู รการศกึ ษาขนั้ พนื้ ฐาน ฉบบั ปรบั ปรุง พุทธศกั ราช 2560 ให้นกั เรียนศกึ ษา เพยี ง 5
เรอื่ ง จาก 2 วิธวี ัดการกระจาย ดงั น้ี

1. การกระจายสัมบูรณ์ (absolute variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่มี
หน่วยเช่นเดียวกับข้อมูลหรือเป็นกาลังสองของหน่วยของข้อมูลเพื่อใช้พิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกันมาก
หรอื น้อยเพียงใดในท่ีนจ้ี ะศกึ ษาค่าวัดการกระจายสมั บรู ณ์ 4 ชนิด คือ

1.1) พสิ ัย (Range : R)

1.2) พสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ (interquartile range : IQR)
1.3) สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s ; S.D. )
1.4) ความแปรปรวน (Variance : s2 ; (S.D.)2 )

2. การกระจายสัมพัทธ์ (relative variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติท่ีไม่มี
หนว่ ยซึ่งเป็นค่าทีใ่ ชใ้ นการเปรยี บเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลมากกว่า 1 ชดุ ในท่ีน้ีจะศกึ ษาค่าวดั การกระจายสัมพัทธ์
เพยี งชนิดเดยี ว คอื สมั ประสทิ ธิ์การแปรผัน (Coefficient of Variance : C.V.)

3.3.2.1 การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ (absolute variation)

การวัดการกระจายสมั บูรณ์ (Absolute Variation) คอื การวัดการกระจายของข้อมลู เพยี งชุดเดียว กล่มุ เดียว
เพ่ือดูวา่ คา่ สังเกต (หรือข้อมลู ) มีความแตกต่างกันมากนอ้ ยเพียงใด ประกอบด้วย

3.3.2.1.1 พิสยั (Range : R)

การวดั การกระจายของขอ้ มลู โดยใชพ้ ิสยั เปน็ การวดั การกระจายของขอ้ มูลอยา่ งครา่ วๆ
พสิ ัย (Range) ของขอ้ มลู คือ ค่าท่ีไดจ้ ากการวดั กระกระจายของข้อมูลที่ไดจ้ ากผลตา่ งระหวา่ ง

คา่ สังเกตสงู สดุ กบั ค่าสังเกตต่าสดุ ของข้อมูลชดุ หน่ึงๆ
ซ่งึ มสี ูตร ดังน้ี

1) พิสยั ของขอ้ มลู ทไ่ี ม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี (Ungroup data)
พสิ ยั (Range : R) = (1) − ……………….…………....
เม่ือ เป็น คา่ สูงสดุ (Maximum) ของข้อมลู ทั้งหมด
เปน็ ค่าตา่ สดุ (Minimum) ของขอ้ มูลท้ังหมด

2) พิสยั ของข้อมลู ทีแ่ จกแจงความถี่ (Group data)
พิสยั (Range : R) = (2)U − L ………………………………………..……....
เมอ่ื L เปน็ ขอบลา่ ง (Lower boundary) ของอนั ตรภาคช้ันที่มคี า่ ตา่ สุด
U เปน็ ขอบบน (Upper boundary) ของอนั ตรภาคชนั้ ทมี่ คี า่ สงู สุด

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 77

ตัวอย่างท่ี 33 ผลผลติ นา้ ตาลใน พ.ศ. 2561/62 ของจนี สหรฐั อเมริกาไทยอนิ เดียออสเตรเลียและบราซลิ แสดงได้ดังน้ี

ประเทศ จนี สหรฐั อเมรกิ า ไทย อนิ เดยี ออสเตรเลยี บราซลิ

ผลผลิต (ล้านตนั ) 10.60 8.12 14.19 33.07 4.90 29.50

จงหาพสิ ัย (Rang : R) ของข้อมูลชุดน้ี
วธิ ีทา

ข้อดีของการใช้พิสยั ในการวดั การกระจายของข้อมลู คอื สามารถหาไดส้ ะดวก แตก่ ารวดั การกระจายของข้อมูลโดย
ใช้พสิ ัยเปน็ การวดั การกระจายของข้อมลู อยา่ งคร่าว ๆ เพราะพสิ ยั คานวณจากข้อมลู เพียงสองคา่ เท่าน้ันคือคา่ สูงสุดและ
ค่าต่าสุดไม่ได้ใช้ข้อมูลอ่ืน ๆ ในการคานวณเลย ดังน้ันการใช้พิสัยในการวัดการกระจายของข้อมูลอาจให้ข้อสรุปที่
คลาดเคล่ือนในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลตัวอ่ืนมาก เช่น คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของ
นกั เรยี นจานวน 10 คน เป็นดงั น้ี

10 70 71 72 73 74 75 76 77 100

จะเห็นว่านักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนนใกล้เคียงกันโดยมีค่าต้ังแต่ 70 ถึง 77 คะแนนยกเว้นที่ได้คะแนนสูงสดุ และ
ต่าสุด แต่พิสัยของข้อมูลชุดนี้คือ 100 – 10 = 90 คะแนน ทาให้อาจเข้าใจว่านักเรียนได้คะแนนแตกต่างกันมากซ่ึง
คลาดเคลอื่ นไปจากความเป็นจรงิ

กิจกรรมระหวา่ งเรยี น เรื่อง การวดั การกระจายของขอ้ มลู โดยใช้พสิ ัย (Range : R)

ตวั อย่างที่ 34 นักเรยี นกลุ่มหนง่ึ มนี ้าหนัก 55 , 43 , 71 , 58 , 52 , 56 กโิ ลกรัม
จงหาพสิ ยั (Rang) ของนา้ หนัก

วิธีทา

ตัวอยา่ งท่ี 35 จงหาพิสัยของคะแนนเกบ็ จาการสอบวชิ าสถิติคะแนนเตม็ 30 คะแนนของนกั เรียน ม.6 ห้องหนงึ่

จากตารางแจกแจงความถต่ี อ่ ไปนี้

คะแนน 5 - 9 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29

ความถ่ี 12 14 18 10 6

วธิ ที า

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 78

3.3.2.1.2 พิสัยระหวา่ งควอร์ไทล์ (interquartile range : IQR)

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (interquartile range) คอื ค่าทใ่ี ช้วดั การกระจายของข้อมูลโดยคานวณจากผลตา่ ง
ระหว่างควอรไ์ ทล์ท่สี ามและควอรไ์ ทลท์ หี่ น่ึงเขยี นแทนพสิ ัยระหวา่ งควอร์ไทล์ดว้ ย IQR

ให้ และ เปน็ ควอร์ไทลท์ ่ีหนงึ่ และควอร์ไทลท์ ่ีสามของข้อมลู ชดุ หนึ่ง ตามลาดบั จะได้

= −

การวัดการกระจายสัมบูรณ์โดยใช้พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ มีข้อดีในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลท่ีแตกต่างจากข้อมูลตัว

อื่นมากเนื่องจากการคานวณหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์จะใชเ้ พียง 1 และ 3 เท่าน้ัน ส่วนข้อมูลท่ีแตกต่างจากข้อมลู ตวั
อื่นมากจะมคี า่ นอ้ ยกว่า 1 หรือมากกว่า 3

นอกจากนี้ IQR สามารถนาไปใช้ในการตรวจสอบว่าข้อมูลใดเป็นค่านอกเกณฑ์ดังที่ได้นาเสนอไว้ในหัวข้อ 3.2

เร่อื งแผนภาพกลอ่ งนน่ั คือ ค่านอกเกณฑ์ คือ

ขอ้ มลู ที่มีคา่ น้อยกวา่ 1 − 1.5 หรอื ข้อมลู ที่มีค่ามากกวา่ 3 + 1.5 เช่น
ตวั อยา่ งท่ี 36 ข้อมลู การสอบคณิตศาสตร์มคี ะแนนของนักเรียน แสดงดว้ ยแผนภาพ ต้น – ใบ ดงั น้ี

07
23378
3234445
4002
99

จงหา 3 , 1 และ พสิ ัยระหว่างควอรไ์ ทล์ด้วย IQR

วธิ ีทา จากแผนภาพ ต้น – ใบ หาค่าต่าสดุ ค่าสูงสดุ และ ตาแหน่งที่ของแตล่ ะขอ้ มลู จะได้

07 → ตาแหนง่ ที่ 1

23378 → ตาแหน่งท่ี 2 3 4 5

3 2 3 4 4 4 5 → ตาแหน่งที่ 6 7 8 9 10 11

4002 → ตาแหน่งที่ 12 13 14

99 → ตาแหน่งท่ี 15

( ) ( )36.1) หาค่าตา่ สุด ของขอ้ มูล คอื ............................................ หาคา่ สงู สดุ ของขอ้ มลู คอื ................................................

36.2) หา 1 และ 3 หาได้จากสูตร ตาแหนง่ ควอไทล์ที่ = ( +1) ดังนี้
4
อยูใ่ นตาแหน่งท่ี36.2.1) 1
..............................................................................................................................................................................................................................

ดังนนั้ คา่ ของ 1 = ............................................................................................................................................................................................................

อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี36.2.2) 3 ..........................................................................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั ค่าของ 3 = ...........................................................................................................................................................................................................
36.3) หาคา่ พสิ ัยระหวา่ งควอร์ไทล์ (IQR)

IQR = 3 − 1 = ..............................................................................................................................................................................................................................................................

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 79

ตัวอย่างท่ี 37 ปรมิ าณพลงั งาน (กโิ ลแคลอร)ี ของอาหารจานเดยี ว 7 รายการที่จาหนา่ ยในโรงอาหารของโรงเรียนแหง่
หน่งึ แสดงไดด้ ังนี้

อาหารจานเดียว ปริมาณพลงั งาน (กโิ ลแคลอร)ี

ข้าวราดแกงเขียวหวานไก่ 338
ขา้ วราดแกงไตปลา 319
ข้าวราดแกงส้มผักรวม 255
ราดผดั เผด็ หอยลาย 424
ขา้ วราดแกงพะแนงหมู 409
ข้าวราดแกงฉู่ฉ่ปี ลาทู 365
ข้าวราดผดั ผกั รวม 353

จงหาพิสยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ของข้อมลู ชดุ นี้

วิธที า 37.1) เรียงขอ้ มลู จากน้อยไปหามาก

ตาแหน่งท่ี อาหารจานเดยี ว ปรมิ าณพลังงาน (กิโลแคลอร)ี

1
2
3
4
5
6
7

37.2) หาพสิ ัยระหวา่ งควอร์ไทล์ของข้อมลู ชุดน้ี

หาคา่ ต่าสดุ ( ) ของขอ้ มลู คอื37.2.1)
..................................................................................................

หาค่าสงู สดุ ( ) ของข้อมูล คือ ....................................................................................................

37.2.2) หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทล์ท่ี = ( +1) ดงั นี้
4

อยูใ่ นตาแหน่งที่37.2.2.1) 1 .......................................................................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั คา่ ของ 1 = ....................................................................................................................................................................................................................................

อยู่ในตาแหนง่ ที่37.2.2.2) 3 ..................................................................................................................................................................................................................

ดงั นนั้ ค่าของ 3 = ....................................................................................................................................................................................................................................
37.3) หาคา่ พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (IQR)

IQR = 3 − 1 = ...............................................................................................................................................................................................................................................................

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 80

เมอื่ เปรยี บเทยี บระหวา่ งพสิ ยั และพิสยั ระหว่างควอรไ์ ทล์จะเหน็ วา่ พิสัยสามารถหาไดส้ ะดวก แตไ่ ม่เหมาะสาหรับใช้
วัดการกระจายของข้อมูลในกรณีท่ีชุดข้อมูลมีข้อมูลท่ีมีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลตัวอ่ืนมาก โดยเฉพาะอย่างย่ิงในกรณีท่ีชุด
ข้อมลู มีค่านอกเกณฑ์ในขณะท่ีพิสยั ระหว่างควอร์ไทล์สามารถใชว้ ดั การกระจายของข้อมลู ในลักษณะนีไ้ ด้ อย่างไรก็ตามทั้ง
พสิ ัยและพสิ ัยระหว่างควอรไ์ ทลไ์ มไ่ ด้ใชข้ อ้ มลู ทุกตวั ในการคานวณเพือ่ วดั การกระจาย

3.3.2.1.3 ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s , )

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s) คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยเป็นค่าทีบ่ อกให้
ทราบว่าขอ้ มลู แต่ละตัวอยูห่ ่างจากคา่ เฉลยี่ เลขคณิตโดยเฉล่ยี ประมาณเทา่ ใด

สูตรของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานมีดงั นี้

1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมลู เม่ือ N แทนขนาดประชากร (population)
และให้ แทนคา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของข้อมลู ชดุ น้ี
ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากร (population) เขยี นแทนด้วย (อ่านว่าซกิ มา) หาไดจ้ าก

= √∑ = 1( − )2 = √∑ = 1 2 − 2



2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทนขอ้ มูล เมื่อ n แทนขนาดตัวอยา่ ง (sample)

และให้ ̄ แทนค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู ชดุ น้ี

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (sample) เขยี นแทนด้วย s หาไดจ้ าก

= √∑ =1( − ̄ )2 = √∑ =1 2 − ̄ 2
−1 −1

ตัวอยา่ งท่ี 38 ความสูง (เซนติเมตร) ของนกั วอลเลย์บอลหญิงของโรงเรียนแห่งหนึง่ จานวนท้งั หมด 10 คนแสดงได้ดงั น้ี

174 171 170 184 180
179 169 178 181 160

จงหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน ( ) ของขอ้ มลู ชุดนี้

วธิ ที า ให้ แทน คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู ชดุ นี้ และ จานวนขอ้ มูล

และ แทน ความสงู ของนกั วอลเลย์บอลหญิงคนท่ี เม่ือ ∈ {1 , 2 , 3 , . .. , 10} จากข้อมลู ข้างต้นจะได้

ความสงู ( : เซนติเมตร) − ( − )2
∑ 1 =010( − )2 =
160
169
170
171
174
178
179
180
181
184
∑ 1 =01 =

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 81

จะได้ความสงู เฉลีย่ = ∑ 1 =01
10
=. .

= .............................................................

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ) ของขอ้ มลู ชดุ น้ี คอื ..................................................................................................................... เซนตเิ มตร

ดังน้นั = √∑ = 1( − )2 = ............................................................................................................................................. .........................................................................



น่ันคือ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ( ) ของขอ้ มลู ชดุ น้ีมคี ่าประมาณ เซนติเมตร.........................................................................

จากตัวอย่างข้างต้นสามารถนาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมาใช้ในการอธิบายว่า โดยเฉล่ียแล้วความสูงของนัก
วอลเลย์บอลหญงิ แตล่ ะคนของโรงเรียนแหง่ น้ีต่างจากความสงู เฉล่ียประมาณ เซนติเมตร............................................................. ∎

3.3.2.1.4) ความแปรปรวน (variance ; , )

ความแปรปรวน (variance) คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยคานวณจากกาลังสองของส่วนเบ่ียงเบน
มาตรฐาน จะได้สูตรของความแปรปรวน ดังนี้

1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ขอ้ มลู เม่ือ N แทนขนาดประชากร (populatin)
และให้ แทนค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมูลชุดนี้

ความแปรปรวนวนของประชากร (population) เขยี นแทนดว้ ย 2 หาได้จาก

= 2 ∑ = 1( − )2 = ∑ = 1 2 − 2



2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทนขอ้ มูล เมอ่ื n แทนขนาดตัวอย่าง (sample)
และให้ ̄ แทนค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู ชดุ นี้

ความแปรปรวนวนของตัวอยา่ ง (sample) เขยี นแทนดว้ ย 2 หาได้จาก

2 = ∑ =1( − ̄)2 = ∑ =1 2 − ̄ 2
−1 −1

จากตัวอยา่ งที่ 38 จะไดว้ า่ ความแปรปรวนของความสูงของนกั วอลเลยบ์ อลหญงิ จานวน 10 คน คือ
2 = ∑ = 1( − )2 = 468.40 = 46.84 เซนตเิ มตร2

10

ขอ้ สังเกต : ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานมหี น่วยเหมือนกับหนว่ ยของข้อมูล แต่ความแปรปรวนมีหนว่ ยเป็นกาลงั สองของหน่วย
ของขอ้ มูล

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 82

ตัวอย่างที่ 39 ในการศึกษาอายุขัยเฉลี่ย (ปี) ของสัตว์เล้ียงลูกด้วยน้านมนักวิทยาศาสตร์ได้สุ่มตัวอย่างสัตว์เล้ียงลูกด้วย
นา้ นมมา 10 ชนิดพบว่าอายุขยั เฉลีย่ ของสตั ว์แตล่ ะชนิดเปน็ ดังน้ี

สัตว์เลีย้ งลกู ดว้ ยนา้ นม อายุขยั เฉลี่ย (ป)ี
แมว
วัว 12
สุนัข 15
ลา 12
แพะ 12
8
หนูตะเภา 4
มา้ 20
หมู 10
5
กระต่าย 12
แกะ

จงหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายขุ ยั เฉลี่ยของสัตวเ์ ลยี้ งลูกดว้ ยนา้ นม 10 ชนิดน้ี

วิธีทา ให้ แทน อายุขยั เฉล่ยี ของสตั วเ์ ลี้ยงลกู ดว้ ยน้านมชนิดที่ เมอื่ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 10}
และ ̄ แทน ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของอายุขัยเฉล่ียของสตั ว์เลย้ี งลกู ดว้ ยนา้ นม 10 ชนิดนี้ จะได้ = 10

จะสรา้ งตารางประกอบการคานวณ โดยการเรยี งอายุขันเฉลยี่ จากนอ้ ยไปหามาก

สัตวเ์ ลย้ี งลูกดว้ ยนา้ นม อายขุ ัยเฉล่ยี ; ปี − ( − )2
หนตู ะเภา
กระต่าย 4 ∑ 1 =010( − )2 =
แพะ 5
หมู 8
สนุ ขั 10
ลา 12
แมว 12
แกะ 12
ววั 12
ม้า 15
20

∑ 1 =01 = .

จะได้ อายขุ ยั เฉล่ยี = ∑1 =01 = . ปี 39.1. = ......................................................... ∎

10

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 83

ดงั น้ัน สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน s = √∑ =1( − ̄)2
−1

= .........................................................

ปี 39.2= ......................................................... ∎

และ ความแปรปรวน s2 = ∑ =1( − ̄)2

−1

= .........................................................

ปี 39.3= .........................................................2 ∎

น่ันคือ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน ของอายุขยั เฉลี่ยของสตั วเ์ ล้ียงลกู ดว้ ยน้านม 10 ชนิดนี้ มีคา่ ประมาณ ............................... ปี

และ ความแปรปรวน ของอายขุ ยั เฉลี่ยของสตั ว์เล้ียงลกู ด้วยนา้ นม 10 ชนดิ นี้ มีคา่ ประมาณ ปี2 ∎
....................................................

3.3.2.2 การกระจายสัมพัทธ์ (relative variation)

ในการเปรียบเทียบข้อมูลต้ังแต่สองชุดข้ึนไปเพ่ือพิจารณาว่าข้อมูลชุดใดมีการกระจายมาก ข้อมูลชุดใดมีการ
กระจายน้อย ถ้านาค่าท่ีได้จากการวัดการกระจายสมั บรู ณ์ของข้อมูลแต่ละชุดมาเปรียบเทียบกันโดยตรง อาจให้ข้อสรปุ ที่
คลาดเคลือ่ นไปจากความเป็นจรงิ เช่น ขอ้ มลู ชุดหนึง่ มีคา่ ตั้งแต่ 0 ถงึ 10 มสี ว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 2.2 และขอ้ มูลอีกชุด
หน่ึงมีค่าต้ังแต่ 200 ถึง 800 มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 60.5 ถ้าพิจารณาเฉพาะส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลท้ัง
สองชุดอาจทาให้เข้าใจว่าข้อมูลชุดที่หนึ่งมีการกระจายน้อยกว่าข้อมูลชุดที่สองซึ่งอาจไม่ถูกต้องนัก เพราะค่าของข้อมูล
สองชุดนี้ต่างกันมากค่ากลางและค่าวัดการกระจายของข้อมูลท้ังสองชุดย่อมต่างกันมากเช่นกัน เพ่ือให้การเปรียบเทียบมี
ความหมายจึงนิยมหาอัตราส่วนของกระจายสมบูรณ์กับค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ๆ แล้วจึงนาอัตราส่วนท่ีหาได้มา

เปรียบเทียบกันในท่นี จ้ี ะพจิ ารณาเฉพาะสัมประสทิ ธ์ิการแปรผัน (coefficient of variation) โดยมีสตู รดงั น้ี

สัมประสิทธ์ิการแปรผัน ( . .) ของประชากร = เมอื่ ≠ 0
| |

สัมประสิทธก์ิ ารแปรผนั ( . .) ของตวั อยา่ ง = | ̄ | เมื่อ ̄ ≠ 0

สัมประสทิ ธิ์การแปรผนั อาจเขยี นในรูปเปอรเ์ ซ็นตไ์ ด้ดงั น้ี

1) สมั ประสิทธ์กิ ารแปรผนั ( . . %) ของประชากร = × 100% เมอื่ ≠ 0
| |

2) สัมประสิทธ์ิการแปรผัน ( . . %) ของตวั อย่าง = × 100% เม่อื ̄ ≠ 0
| ̄ |

เชน่ ขอ้ มลู ตัวอยา่ งชดุ หนึ่ง มี s = 10 และ ̄ = 12 จะได้สัมประสทิ ธก์ิ ารแปรผนั ( . .) ของข้อมลู ชุดน้คี อื

( . .) = 10 = 0.33 หรือ ( . . %) = 10 × 100 = 33 %
12 12

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 84

การเปรียบเทยี บการกระจายของข้อมูลโดยใชส้ มั ประสิทธิ์การแปรผนั น้ันถ้าสมั ประสิทธกิ์ ารแปรผันของข้อมลู ชุดใด
มีค่ามากกวา่ หมายความวา่ ข้อมูลชุดนนั้ มีการกระจายออกจากคา่ เฉลย่ี เลขคณิตมากกวา่ หรือกล่าวไดว้ า่ ข้อมูลชุดนั้นเกาะ
กลุ่มกันน้อยกวา่ ข้อมลู อกี ชุดหน่งึ

ตัวอย่างที่ 40 ในการเปรียบเทียบคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมีคะแนน
เต็มวิชาละ 100 คะแนนครูประจาช้ันได้สุ่มตัวอย่างนักเรียนห้องน้ีมา 10 คน พบว่าคะแนนสอบแต่ละวิชาของนักเรียน
แต่ละคนเป็นดงั นี้

นกั เรียนคนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ 58 62 76 90 78 81 88 79 80 75

คะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษ 78 74 63 89 76 75 85 90 73 74

จงหา สัมประสิทธกิ์ ารแปรผัน ของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่สมุ่ ตวั อยา่ งมา
10 คนน้ี พรอ้ มทง้ั เปรียบเทยี บการกระจายของคะแนนสอบทงั้ สองวิชาของนกั เรียนทสี่ มุ่ ตวั อยา่ งมา 10 คนนี้

วิธที า 40.1 หาค่าเฉลีย่ เลขคณติ และ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน ของคะแนนสอบท้ังสองวิชา
โดยสรา้ งตารางประกอบวิธกี ารคานวณ

ให้ และ แทน คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์และวชิ าภาษาอังกฤษของนักเรยี นคนที่
เมื่อ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 10} ตามลาดบั ดงั นน้ั จานวนนกั เรียน = 10 คน

̄ และ ̄ แทน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนท่ีสุ่ม
ตวั อย่างมา 10 คนนีต้ ามลาดบั

และ แทน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่
สมุ่ ตวั อยา่ งมา 10 คนนี้ ตามลาดับ

คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ( ) − ( − )2

58 ∑1 =010( − )2 = .
62
76
90
78
81
88
79
80
75

∑ 1 =01 =

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 85

และ

คะแนนสอบวิชาวทิ ยาศาสตร์ ( ) − ( − )2

78 ∑ 1 =010( − )2 = .
74
63
89
76
75
85
90
73
74

∑1 =01 =

จากตาราง จะได้ คะแนน. = ......................................................
40.1.1) คะแนนเฉลยี่ ของวชิ าคณติ ศาสตร์ ̄ = ∑ 1 =01 = .

10

40.1.2) คะแนนเฉลยี่ ของวิชาวทิ ยาศาสตร์ ̄ = ∑1 =01 = . คะแนน. = ......................................................

10

40.1.3) ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ = √∑ =1( − ̄ )2 =. .

−1

คะแนน= ......................................................

40.1.4) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ = √∑ =1( − ̄ )2 =. .

−1

คะแนน= ......................................................

40.2 หาสมั ประสิทธขิ์ องการแปรผัน ( . .) ของคะแนนสอบ

40.2.1) สัมประสิทธิ์การแปรผนั ของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นท่ีสุม่ ตัวอย่างมา 10 คนน้ี

คือ = = . . = ........................................................
| ̄ |

40.2.2) สมั ประสิทธิ์การแปรผนั ของคะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษของนักเรยี นทส่ี ่มุ ตวั อย่างมา 10 คนน้ี

คอื = = . . = ........................................................
| ̄ |

เม่ือพิจารณาจากนักเรียนท่ีสุ่มตัวอย่างมา 10 คนนี้จะเห็นว่าสัมประสิทธ์ิการแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์
เทา่ กบั ........................................................ และสัมประสทิ ธก์ิ ารแปรผนั ของคะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษ เท่ากับ ........................................................

สรุปได้ว่าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการกระจาย ........................................................ คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ

หรือกล่าวได้ว่า คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ เกาะกลุ่มกัน ........................................................ คะแนนมากกว่าคะแนนสอบวิชา

คณติ ศาสตร์ ∎

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 86

แบบฝกึ หัด 3.3.2 คา่ วดั การกระจายของขอ้ มูล

1. ร้านคา้ จาหนา่ ยและรบั ติดตัง้ ประตูอัตโนมัตแิ ห่งหนง่ึ เกบ็ ขอ้ มลู ตัวอยา่ งเกย่ี วกบั เวลา (นาท)ี ที่ใช้ในการติดตั้งประตูแต่

ละบานไดข้ ้อมูลดังน้ี

28 32 24 46 44 40 54 38 32 42 36

จงหา พิสัย พสิ ัยระหว่างควอรไ์ ทล์ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน ของเวลาทใ่ี ช้ในการตดิ ต้งั ประตู

วธิ ที า 1.1 หาพสิ ยั (Range : R) ของข้อมูล

จากโจทย์ ค่าตา่ สดุ ( ) ของขอ้ มูล คอื ..................................... และคา่ สงู สุด ( ) ของขอ้ มูล คือ .....................................

ดังนน้ั พสิ ัย (Range : R) = −
= .....................................

= ..................................... นาที 1.1 ∎

1.2) หาคา่ พสิ ยั ระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) โดยเรยี งตาแหน่งทีข่ องขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก จะได้

ตาแหน่งทขี่ องขอ้ มลู 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

เวลาในการตดิ ตง้ั บานประตู (นาที)

หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทลท์ ี่ = ( +1) ดงั นี้
4
อยใู่ นตาแหน่งท่ี1.2.1) 1
..............................................................................................................................................................................................................................

ดงั น้นั คา่ ของ 1 = .....................................................................................................................................................................................................

อยู่ในตาแหน่งท่ี1.2.2) 3 ..........................................................................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั ค่าของ 3 = .....................................................................................................................................................................................................

1.2.3 หาค่าพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (IQR)

1.2IQR = 3 − 1 = ................................................................................................................................................................................................. ∎

1.3 หาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S)

เวลา ( : นาที) 2 − ( − )2
58

62

76

90

78

81

88

79

80

75

∑ 1 =01 = ∑ 1 =01 2 = ∑ 1 =010( − )2 = .

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 87

1.3.2) จะได้ค่าเฉลย่ี เลขคณิต = ∑1 =41


=. .

= ……………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. . . ∎

1.3.2) จะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) [ สังเกตสตู รที่ใชแ้ ละค่าทีไ่ ด้ ]

= √∑ =1( − ̄)2 = ………………………………………………………………………… = √∑ =1 2 − ̄ 2 = …………………………………………………………………………

−1 −1

= ……………………………………………….………………………… = …………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………

................................................................................................................. . . ∎

1.4 หาความแปรปรวน ( )

= ∑ =1( − ̄ )2 = ………………………………………………………………………… = ∑ =1 2 − ̄ 2 = …………………………………………………………………………
−1 −1

= ………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………

................................................................................................................. . ∎

2. ปริมาณพลงั งาน (กโิ ลแคลอรี) ของอาหารจานเดยี ว 11 รายการทสี่ ุม่ ตวั อยา่ งมาจากโรงอาหารแห่งหนง่ึ แสดงไดด้ งั นี้

อาหารจานเดียว ปริมาณพลังงาน (กิโลแคลอร)ี
หอยทอด
สุก้ีน้ารวมมิตร 933
ข้าวผดั หมู 117
ข้าวหมูแดง 553
ข้าวมันไก่ 444
เสน้ ใหญร่ าดหนา้ หมู 717
ข้าวหมกไก่ 337
ขา้ วคลกุ กะปิ 475
หมก่ี รอบราดหน้าทะเล 522
ผดั ไทยก้งุ สด 344
ขนมจีนแกงเขียวหวาน 519
337

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 88

2.1) จงหาพสิ ัยและพสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ของปริมาณพลังงานของอาหารจานเดียวทส่ี ุ่มตัวอยา่ งมา 11 รายการนี้
2.2) จงพจิ ารณาว่าระหว่างพสิ ยั และพิสัยระหวา่ งควอรไ์ ทลค์ ่าวดั การกระจายสัมบรู ณใ์ ดเหมาะสาหรับใชอ้ ธิบาย

ลักษณะการกระจายของขอ้ มลู ชดุ น้ีพรอ้ มทั้งใหเ้ หตุผลประกอบ

วิธที า 2.1 หาพิสยั และพิสัยระหว่างควอรไ์ ทลข์ องปรมิ าณพลังงานของอาหารจานเดียวท่ีสุ่มตัวอย่าง
2.1.1 หาพสิ ัย (Range : R) ของข้อมลู
จากโจทย์ คา่ ต่าสดุ ( ) ของขอ้ มลู คือ ..................................... และคา่ สงู สดุ ( ) ของขอ้ มูล คือ .....................................
ดังนัน้ พิสยั (Range : R) = −

= .................................................. นาที . . ∎
= ...................................................

2.1.2) หาค่าพสิ ยั ระหวา่ งควอร์ไทล์ (IQR) โดยเรียงตาแหน่งทขี่ องขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก และ n = 11 จะได้

ตาแหนง่ ท่ี อาหารจานเดียว ปรมิ าณพลังงาน (กโิ ลแคลอร)ี

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทลท์ ่ี = ( +1) ดังนี้
4

อยใู่ นตาแหน่งท่ี2.1.2.1) 1 ...................................................................................................................................................................... ....................................................

ดังนนั้ คา่ ของ 1 = .........................................................................................................................................................................................................

อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี2.1.2.2) 3 .......................................................................................................................................................................................................................

ดงั นนั้ ค่าของ 3 = …….....................................................................................................................................................................................................

2.1.2.3 หาค่าพสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ (IQR)

IQR = 3 − 1 = ............................................................................................................................................................................................. . . ∎

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 89

2.2) จงพิจารณาวา่ ระหว่างพิสัยและพสิ ัยระหว่างควอรไ์ ทล์ค่าวัดการกระจายสมั บรู ณ์ใดเหมาะสาหรับใชอ้ ธิบาย
ลักษณะการกระจายของข้อมูลชุดน้ี พรอ้ มท้งั ใหเ้ หตผุ ลประกอบ

∎ ตอบ.

3. ครอบครัวหน่ึงประกอบด้วยพอ่ แมแ่ ละลูกอีก 3 คนมีอายุ 45 , 42 , 20 , 17 และ16 ตามลาดับ
3.1 จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของสมาชิกในครอบครวั นี้ และ
3.2 จงหาว่าในอีก 5 ปีขา้ งหน้าสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนจี้ ะเป็นอย่างไร

วธิ ีทา 3.1 จงหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของสมาชกิ ในครอบครัวน้ี จากโจทย์ n = 5

อายขุ องคนในครอบครวั : ปี 2 3.1.1 หาค่าเฉล่ียเลขคณิต
∑1 =01 2 =
45 = ∑ 1 =41
42
20
17
16 =. . ปี . . ∎
= …………………………………….
∑ 1 =01 =

3.1.2 จะได้สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (S) 3.1.3 หาความแปรปรวน ( 2)

= √∑ =1 2 − ̄ 2 = ………………………………………………………………………… = ∑ =1 2 − ̄ 2 = ……………………………………………………………………

−1 −1

= ……………………………………………….………………………… = ………………………………………………………………………

= ……………………………………………… . . ∎ = ………………………………………… . . ∎

3.2 จงหาว่าในอีก 5 ปีข้างหนา้ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของอายขุ องสมาชกิ ในครอบครัวน้ี ( ใหม่)

อายขุ องคนใน อายขุ องคนใน 3.1.1 หาคา่ เฉลี่ยเลขคณิต
ครอบครวั ปปี จั จุบนั ครอบครวั อกี 5 ปี
ข้างหน้า : ปี 2 = ∑1 =41
45
42

=. .

20
ปี17
= ………………………. . . ∎

16

n=5 ∑1 =01 = ∑1 =01 2 =

จะไดส้ ว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน = √∑ =1 2 − ̄2 = …………………………………………………………..………… = …………………………….…………………………………………………
−1

= ………………………………………………………………………… ............................................................ . . ∎

∎ จะสงั เกตเห็นว่าข้อมลู ทกุ ขอ้ มูล มีการเปล่ยี นแปลงด้วยข้อมลู ทเี่ ทา่ กันแล้วสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชดุ น้นั จะ

................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................ . . ∎

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 90

4. จากรายงานของศูนย์ขอ้ มูลอบุ ตั ิเหตุเพอ่ื เสรมิ สรา้ งวฒั นธรรมความปลอดภยั ทางถนน พบว่าจานวนผบู้ าดเจ็บรวม (ราย)
ต้งั แต่ พ.ศ. 2556-2558 ในแต่ละวันของชว่ ง 7 วันอนั ตราย ของเทศกาลปีใหม่ แสดงไดด้ งั นี้

วันท่ี 1 วนั ที่ 2 วันท่ี 3 วนั ที่ 4 วันที่ 5 วันที่ 6 วนั ท่ี 7

1,236 1,633 1,664 1,458 1,506 1,423 870

จงหาพสิ ยั พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน ของขอ้ มูลชดุ น้ี

วธิ ที า 4.1 หาพิสยั และพิสยั ระหว่างควอร์ไทล์ของจานวนผู้บาดเจบ็

4.1.1 หาพสิ ัย (Range : R) ของข้อมูล

จากโจทย์ คา่ ตา่ สดุ ( ) ของขอ้ มลู คือ ....................................... และคา่ สงู สดุ ( ) ของข้อมลู คอื .......................................

ดังน้นั พสิ ัย (Range : R) = −

= ………………………………………..………....

= ………………………………………..……….... คน . . ∎

4.2) หาค่าพสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (IQR) โดยเรียงตาแหนง่ ที่ของข้อมูลจากนอ้ ยไปหามาก และ n = ………….. จะได้

ตาแหนง่ ท่ี วนั ท่ี จานวนผ้บู าดเจบ็ ( : ราย) 2
1
2 ∑7 =1 = ∑7 =1 2 =
3
4
5
6
7
รวม

หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทลท์ ่ี = ( +1) ดังน้ี
4

อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี4.2.1) 1 .................................................................................................................................................................................................................................

ดงั นัน้ คา่ ของ 1 = .........................................................................................................................................................................................................

อยใู่ นตาแหน่งท่ี4.2.2) 3 .............................................................................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั คา่ ของ 3 = …….....................................................................................................................................................................................................
4.1.2.3 หาคา่ พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (IQR)

IQR = 3 − 1 = ............................................................................................................................................................................................. . . ∎

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 91

4.2) หาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( ) จากตารางข้อมลู จะได้
4.2.1 หาคา่ เฉลี่ยเลขคณิต

= ∑ 1 =41



=. .

ราย= ……………………………………. . . ∎

4.22 จะไดส้ ่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S)

√= ∑ =1 2 − ̄ 2 = …………………………………………………………………………
−1

= ……………………………………………….…………………………

ราย= ……………………………………………… . . ∎

4.2.3 หาความแปรปรวน ( 2) = …………………………………………………………………………
= ∑ =1 2 − ̄ 2

−1

= …………………………………………………………………………

= ………………………………………… ราย2 . . ∎

5. คา่ เฉลีย่ เลขคณิตและสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
จานวน 2 หอ้ งเรยี น ซงึ่ มีคะแนนเต็ม 100 คะแนนเป็นดังน้ี

คา่ เฉล่ียเลขคณิต ( ) สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน ( )

หอ้ ง 1 73.2 4.8

หอ้ ง 2 52.4 3.6

จงเปรียบเทยี บการกระจายของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรยี นสองห้องน้ี

วิธีทา จะเปรียบเทียบการกระจายโดยใช้สัมประสทิ ธก์ิ ารแปรผัน ( . .) = เมอื่ ̄ ≠ 0
| ̄ |

จากโจทย์ จะได้ (C. V. )ห้อง = = . . = ……………………………………..

| ̄ |

และ จะได้ (C. V. )ห้อง = = . . = ……………………………………..

| ̄ |

จากการเปรียบเทยี บการกระจายโดยใชส้ ัมประสทิ ธ์ขิ องการแปรผนั สรุปได้ว่า

∎

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 92

6. อุณหภมู สิ งู สดุ และอณุ หภูมิต่าสุด (องศาเซลเซยี ส) ของจังหวดั ขอนแกน่ ตั้งแต่ พ.ศ. 2549-2558 แสดงไดด้ ังน้ี

พ.ศ. 2549 2550 2551 2552 2553 2554 2555 2556 2557 2558

อณุ หภูมสิ ูงสดุ 39.3 41.1 38.5 39.6 41.2 39.3 39.0 41.8 40.5 41.0
อุณหภมู ติ า่ สุด 12.0 12.6 11.9 10.2 13.5 11.6 15.0 11.6 10.2 11.6

จงหาสัมประสิทธกิ์ ารแปรผนั ของอณุ หภมู ิสงู สุดและอุณหภมู ติ า่ สุดของจังหวัดขอนแก่นตง้ั แต่ พ.ศ. 2549-2558

พร้อมท้งั เปรียบเทียบการกระจายของข้อมลู ท้งั สองชุดนี้

วธิ ีทา 6.1) ให้ แทนขอ้ มูลอณุ หภูมิสูงสดุ (° ) และ แทนขอ้ มลู อณุ หภมู ติ ่าสุด (° ) ของแต่ละ พ.ศ. ตามลาดบั
และ จานวนข้อมูลทั้งหมด = ………………………………………… ข้อมูล สร้างตารางเพือ่ ประกอบการวิเคราะหข์ ้อมูล

พ.ศ. อุณหภมู ิสงู สุด : ° อณุ หภมู ิต่าสดุ : °

2549

2550

2551

2552

2553

2554

2555

2556

2557

2558

รวม ∑ 1 =01 = ∑1 =01 2 = ∑1 =01 = ∑1 =01 2 =

6.2) หาค่าเฉลี่ยและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของอณุ หภมู ิสงู สุดและอณุ หภมู ิตา่ สุดตามลาดับ เพอ่ื ประกอบการ

หาสมั ประสิทธขิ์ องการแปรผัน

. . ) หาสมั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผันของอุณหภมู ิสูงสุด . . ) หาสมั ประสทิ ธิก์ ารแปรผันของอุณหภูมิตา่ สุด

ก) หาคา่ เฉล่ียของอุณหภมู สิ ูงสดุ ( ° ) ก) หาคา่ เฉล่ยี ของอุณหภูมติ า่ สุด ( ° )

= ∑1 =01 = ∑ 1 =01



=. . =. .

= ……………………………………. ° ∎ = ……………………………………. ° ∎

ข) หาส่วนบยี่ งเบนมาตรฐานของอณุ หภมู สิ งู สุด ( ) ข) หาส่วนบี่ยงเบนมาตรฐานของอณุ หภมู ิต่าสุด ( )

= √∑1 =01 2 − ̄ 2 = √∑ 1 =01 2 − ̄ 2

−1 −1

= ………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………

= ……………………………………………….………………………… = ……………………………………………….…………………………

= ……………………………………………………………………….… ° ∎ = ……………………………………………………………………….… ° ∎

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 93

6.3) หาสัมประสิทธข์ิ องการแปรผัน ( . .)

. . ) หาสมั ประสทิ ธิก์ ารแปรผันของอณุ หภูมสิ ูงสุด . . ) หาสัมประสทิ ธ์ิการแปรผันของอณุ หภูมิตา่ สดุ

จะได้ (C. V. ) = จะได้ (C. V. ) =
| ̄ | | ̄ |
. .
=. =.

= ……………………………. ∎ = ……………………………. ∎

จากการเปรียบเทยี บการกระจายโดยใช้สมั ประสิทธิข์ องการแปรผัน สรุปได้ว่า
∎ ตอบ

* 7. ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 มี
คะแนนเต็ม 100 คะแนน จานวน 2 ห้องเรยี นซึง่ จานวนนกั เรยี นหอ้ งละ 40 คนเทา่ กนั เปน็ ดงั นี้

จานวนนักเรยี น ( ) ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( ) สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( )

ห้อง 1 40 73.2 4.8

หอ้ ง 2 40 52.4 3.6

จงหา คา่ เฉลยี่ เลขคณิตรวม และ ความแปรปรวนรวม คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนักเรยี นสองห้องนี้

วธิ ีทา 7.1 หาค่าเฉล่ียเลขคณิตรวม ( ) จากโจทย์ จะได้ = ∑ =1 = 1 1 + 2 2
∑ =1 1+ 2

=. .= . .

คะแนน= …………………………………….. = …………………………………….. 7.1 ∎

7.2 หาความแปรปรวนรวม ( ร วม) จากโจทย์ จะได้ ร2วม = ∑ =1 2 = 1 12 + 2 22
∑ =1 1+ 2

=. .= . .

คะแนน= …………………………………….. = …………………………………….. 2 7.2 ∎

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 94

3.3.3 คา่ วดั ตาแหน่งท่ีของข้อมลู

การวดั ตาแหนง่ ทข่ี องขอ้ มลู เป็นการพจิ ารณาตาแหนง่ ที่ของขอ้ มูลตัวหนงึ่ เมือ่ เปรยี บเทยี บกับขอ้ มลู ตวั อ่ืน ๆ ท่ีอยู่ใน
ชุดข้อมูลเดียวกัน เช่น จากผลการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (International Mathematical

Olympiad: IMO) ครั้งที่ 55 พ.ศ. 2557 พบว่าประเทศไทยอยู่ในอันดับท่ี 21 ถ้าไม่ได้เปรียบเทียบอันดับที่ของ
ประเทศไทยกับประเทศท่ีเข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมดจะไม่สามารถทราบได้ว่าศักยภาพทางด้านคณิตศาสตร์ของผู้แทน
ประเทศไทยเป็นอย่างไรเมื่อเปรียบเทียบกับประเทศอ่ืน ๆ ท่ีเข้าร่วมการแข่งขัน แต่ถ้ามีการเปรียบเทียบอันดับท่ีของ
ประเทศไทยกับประเทศทเ่ี ข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด 101 ประเทศจะเห็นวา่ ผแู้ ทนประเทศไทยทาผลงานได้ดีมากจนตดิ

อนั ดบั ตน้ ๆ ของโลก ค่าวดั ตาแหน่งทขี่ องขอ้ มูลทนี่ ิยมใชก้ ันมาก คือ ควอร์ไทล์และเปอร์เซ็นไทล์

3.3.3.1 ควอร์ไทล์ (Quartile)

นักเรียนได้ศึกษาการหาตาแหนง่ ของควอร์ไทล์มาแล้วในหัวข้อ 3.2 เร่ืองแผนภาพกล่องซึ่งควอรไ์ ทล์มที ้ังหมดสาม
ค่า ไดแ้ ก่ ควอรไ์ ทลท์ ี่ 1 ( 1) ควอร์ไทล์ที่ 2 ( 2) และควอร์ไทล์ที่ 3 ( 3) โดยควอรไ์ ทลจ์ ะแบง่ ข้อมลู ที่เรยี งจากน้อย
ไปมากออกมาเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันดังรูปที่ 7 จะเห็นว่าควอร์ไทล์ที่ i ( ) เม่ือ ∈ {1 , 2 , 3} เป็นค่าท่ีมีจานวน
ข้อมูลทีม่ คี ่าน้อยกว่าค่าน้อี ยูป่ ระมาณ i ส่วน และมีจานวนขอ้ มลู ท่ีมคี า่ มากกวา่ คา่ นี้อยปู่ ระมาณ 4 − สว่ น

ขอ้ มลู เรียงจากน้อยไปหามาก
25% ของข้อมูล 25% ของข้อมูล 25% ของข้อมูล 25% ของข้อมูล

1 รูป ท 2่ี 7 3

ให้ แทนจานวนข้อมูลท้ังหมด และ ∈ { 1 , 2 , 3 } การหาควอร์ไทล์ท่ี ( ) ทาได้โดยเรียงลาดับข้อมูล

ตวั จากนอ้ ยไปมากจากน้ันจะไดว้ า่ อย่ใู นตาแหน่งที่ ( +1)
4
ขอ้ สงั เกต : เน่ืองจาก มธั ยฐาน คือ 2 ดังนัน้ มัธยฐานจงึ เปน็ คา่ กลางท่ีสามารถใช้ในการวดั ตาแหน่งที่ของข้อมลู ได้

ตัวอย่างท่ี 41 ขอ้ มูลปรมิ าณการสง่ ออกขา้ วไทยโดยประมาณ (พันตันขา้ วสาร) ใน พ.ศ. 2560 จาแนกตามชนิดของขา้ ว

จากศูนยเ์ ทคโนโลยีสารสนเทศและการส่อื สาร สานักงานปลัดกระทรวงพาณิชย์โดยความรว่ มมอื จากกรมศุลกากร แสดงได้
ดังตาราง

ชนดิ ของขา้ ว ปรมิ าณการสง่ ออกโดยประมาณ (พนั ต้นข้าวสาร)
ตน้ ข้าวขาว
ปลายขา้ วขาว 4,662
ตน้ ข้าวหอมมะลิ 408
ปลายขา้ วหอมมะลิ 1,630
ขา้ วนึง่ 669
ข้าวเหนยี ว 3,370
ปลายข้าวเหนยี ว 214
ข้าวหอมไทย 303
213

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 95

จงหา
41.1) ควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ท่ี 2 และควอร์ไทล์ท่ี 3 ของปริมาณการส่งออกโดยประมาณของข้าว 8 ชนิด

ใน พ.ศ. 2560
41.2) ชนิดของขา้ วที่มีปริมาณการสง่ ออกน้อยกว่าควอร์ไทลท์ ่ี 1
41.3) ชนิดของข้าวที่มีปรมิ าณการส่งออกมากกวา่ ควอรไ์ ทล์ท่ี 3

วิธีทา 41.1) ควอรไ์ ทล์ที่ 1 ควอรไ์ ทล์ที่ 2 และควอรไ์ ทลท์ ี่ 3 ของปริมาณการสง่ ออกโดยประมาณของข้าว 8 ชนดิ

ใน พ.ศ. 2560

41.1.1) สร้างตารางโดยเรยี งตาแหน่งท่ีของข้อมูลจากนอ้ ยไปหามาก โดยที่จานวนขอ้ มลู = จะได้

ตาแหน่งที่ ชนดิ ของข้าว ปริมาณการสง่ ออกโดยประมาณ ( : พันต้นข้าวสาร)

1

2

3

4

5

6

7

8

41.1.2) หาค่าควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทลท์ ี่ 2 และควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 ของปริมาณการส่งออกโดยประมาณของข้าว 8 ชนดิ

( ) ( )1) หาคา่ ตา่ สดุ
ของข้อมูล คอื ......................................... หาคา่ สงู สดุ ของข้อมลู คอื .........................................

2) หา 1 และ 3 หาได้จากสูตร ตาแหน่งควอไทล์ท่ี = ( +1) ดังน้ี
4

อยใู่ นตาแหนง่ ท่ี2.1) 1 ........................................................................................................ ............................................................................................................................. .................

ดงั นนั้ ค่าของ 1 = ....................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

อยใู่ นตาแหน่งท่ี2.2) 2 ........................................................................................................ ............................................................................................................................. .................

ดงั นนั้ ค่าของ 2 = ....................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 96

อยใู่ นตาแหนง่ ที่2.3) 3 ..................................................................................................................................................................................................................................... ...............

ดังนัน้ คา่ ของ 3 = ....................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

41.2) ชนิดของข้าวทีม่ ีปริมาณการสง่ ออกนอ้ ยกว่าควอรไ์ ทล์ท่ี 1
∎ ตอบ.

41.3) ชนดิ ของขา้ วทม่ี ีปริมาณการส่งออกมากกว่าควอร์ไทล์ที่ 3
∎ ตอบ.

3.3.3.2 เปอรเ์ ซน็ ไทล์ (Percentile)

ในทานองเดียวกันกับควอร์ไทล์การวัดตาแหน่งโดยเปอร์เซ็นไทล์เป็นการแบ่งข้อมูลท่ีเรียงจากน้อยไปมาก แต่
เปอร์เซ็นไทล์แบ่งข้อมูลท้ังหมดออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน จึงประกอบด้วยเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 1 , 2 , 3 , ... , 99 โดย
เปอร์เซ็นไทล์ที่ เม่ือ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 99 } แทนด้วยสัญลักษณ์ หมายความว่า เมื่อแบ่งข้อมูลท่ีเรียงจากน้อย
ไปมากออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน เปอร์เซ็นไทล์ที่ ( ) เม่ือ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 99 } จะเป็นค่าที่มีจานวนขอ้ มูล
ที่มีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ ส่วน หรือร้อยละ ของข้อมูลทั้งหมด และมีจานวนข้อมูลท่ีมีค่ามากกว่าค่าน้ีอยู่
ประมาณ 100 – ส่วนหรอื รอ้ ยละ 100 – ของข้อมูลท้ังหมด

ให้ แทนจานวนขอ้ มลู ทัง้ หมด และ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 99 }
การหาเปอร์เซ็นไทล์ท่ี ( ) ทาได้โดยเรียงลาดบั ข้อมูล ตัวจากน้อยไปมากจากน้ันจะได้วา่ ค่าของ อยู่ใน
ตาแหนง่ ที่ ( +1)

100

หมายเหตุ : 1. พิจารณาตาแหน่งท่ีของ 1 , 2 และ 3 มีค่าตรงกับตาแหน่งท่ีของ 25 , 50 และ 75 ตามลาดับ
จะได้วา่

1.1) ตาแหนง่ ท่ีของ 1 คอื 1( +1) ซง่ึ เทา่ กับ 25( +1)
4 100
1 จงึ เปน็ ตาแหนง่ ท่ีเดยี วกนั กบั 25

1.2) ตาแหน่งที่ของ 2 คอื 2( +1) ซง่ึ เทา่ กบั 50( +1)
4 100
2 จงึ เปน็ ตาแหน่งที่เดียวกนั กับ 50

1.3) ตาแหนง่ ที่ของ 3 คอื 3( +1) ซ่ึงเท่ากบั 75( +1)
4 100
3 จงึ เป็นตาแหนง่ ท่ีเดยี วกนั กบั 75

น่ันคอื 1 = 25 , 2 = 50 และ 3 = 75

2. ควอรไ์ ทลแ์ ละเปอรเ์ ซ็นไทล์สามารถใช้ในการวเิ คราะหข์ ้อมูลไดถ้ ึงแม้วา่ ข้อมลู ชุดนั้นจะมีคา่ นอกเกณฑ์ก็ไม่มีผล

ตอ่ ควอร์ไทล์และเปอรเ์ ซ็นไทล์เน่ืองจากการหาควอรไ์ ทลแ์ ละเปอร์เซน็ ไทลจ์ ะพิจารณาเพยี งตาแหนง่ ทขี่ องข้อมูลเท่าน้ัน

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 97

ตวั อยา่ งที่ 42 คะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษของนกั เรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6/1 ในโรงเรยี นแหง่ หนึ่งจานวนทัง้ หมด 40
คน ซ่ึงมีคะแนนเต็ม 100 คะแนนแสดงไดด้ ังนี้

96 78 80 76 84 77 74 85 65 69
82 53 45 67 58 54 56 62 56 54
43 48 49 50 60 65 54 51 55 60
65 66 75 98 97 63 92 94 76 78

จงหา 42.1) เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 25 เปอรเ์ ซน็ ไทล์ที่ 50 เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 75 และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ของคะแนนสอบวิชา

ภาษาองั กฤษของนกั เรยี นหอ้ งน้ี

42.2) คะแนนท่ีมนี กั เรยี นประมาณ รอ้ ยละ 25 ของห้องได้คะแนนตา่ กวา่

42.3) คะแนนท่ีมนี กั เรียนประมาณหนง่ึ ในห้าของหอ้ งไดค้ ะแนนสงู กว่า

วิธที า 42.1) หาค่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 50 เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 75 และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ของคะแนน

สอบวิชาภาษาองั กฤษของนักเรยี นห้องนี้ โดยเรียงตาแหนง่ ท่ขี องขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก

ตาแหน่งท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
คะแนน ( )

ตาแหน่งท่ี 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
คะแนน ( )

ตาแหนง่ ที่ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
คะแนน ( )

ตาแหนง่ ที่ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
คะแนน ( )

42.1.1) หาค่าเปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ 25 ของคะแนน
42.1.1.1) หาตาแหนง่ เปอรเ์ ซนไทล์ที่ 25

จากสตู รการหาเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี ( ) คา่ ของ อยูใ่ นตาแหน่งท่ี ( +1)
100
25(40+1) =
ดังน้นั คา่ ของ 25 อยใู่ นตาแหนง่ ที่ 41(0.25) = …………………………………..
100
42.1.1.2) หาค่าของเปอร์เซนไทลท์ ี่ 25 ( 25)

จาก คา่ ของ อยู่ในตาแหน่งท่ี 25 ………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะได้คา่ ของ 25 .................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตอบ....................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................... ∎

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 98

42.1.2) หาคา่ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 ของคะแนน

42.1.2.1) หาตาแหน่งเปอร์เซนไทล์ท่ี 50

จากสตู รการหาเปอร์เซน็ ไทล์ท่ี ( ) ค่าของ อยใู่ นตาแหน่งท่ี ( +1)
100

ดงั นั้น คา่ ของ 50 อยใู่ นตาแหน่งท่ี 50(40+1) = 41(0.50) = …………………………………..

100

42.1.2.2) หาคา่ ของเปอรเ์ ซนไทลท์ ่ี 50 ( 50)

จาก คา่ ของ อยู่ในตาแหน่งที่ 50 ………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะได้คา่ ของ 50 .................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตอบ....................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ........ ∎

42.1.3) หาคา่ เปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 75 ของคะแนน

42.1.3.1) หาตาแหนง่ เปอรเ์ ซนไทล์ที่ 75

จากสูตรการหาเปอร์เซ็นไทล์ท่ี ( ) คา่ ของ อยู่ในตาแหนง่ ท่ี ( +1)
100

ดังนั้น คา่ ของ 75 อยู่ในตาแหน่งท่ี 75(40+1) = 41(0.75) = …………………………………..

100

42.1.3.2) หาค่าของเปอร์เซนไทล์ท่ี 75 ( 75)

จาก ค่าของ อย่ใู นตาแหน่งท่ี 75 ………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะได้คา่ ของ 75 .................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตอบ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................... ∎

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 99

42.1.4) หาคา่ เปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 80 ของคะแนน

42.1.4.1) หาตาแหน่งเปอรเ์ ซนไทลท์ ่ี 80

จากสตู รการหาเปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ ( ) ค่าของ อยใู่ นตาแหนง่ ท่ี ( +1)
100

ดังนั้น ค่าของ 80 อยใู่ นตาแหนง่ ท่ี 80(40+1) = 41(0.80) = …………………………………..

100

42.1.4.2) หาค่าของเปอร์เซนไทลท์ ่ี 80 ( 80)

จาก คา่ ของ อยู่ในตาแหนง่ ท่ี 80 ………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะได้ค่าของ 80 .................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตอบ......................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ...................................................... ∎

42.2) คะแนนที่มนี กั เรยี นประมาณ ร้อยละ 25 ของห้องได้คะแนนตา่ กวา่
∎ ตอบ.

42.3) คะแนนทีม่ นี กั เรยี นประมาณหนึง่ ในห้าของห้องไดค้ ะแนนสงู กว่า
∎ ตอบ.

* 42.3) จงเขียนแผนภาพกลอ่ ง (Box plots) แสดงคะแนนสอบของนักเรยี นในหอ้ งนจ้ี านวน 40 คน

จากข้างต้นเราทราบความสัมพันธ์ระหว่างควอไทล์และเปอร์เซนไทล์ว่า ค่าของ 1 = 25 , 2 = 50

และ 3 = 75 เราจะนาความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง 2 คา่ นี้ มาเขยี นแผนภาพกล่อง โดยท่ี

( ) ( )42.3.1) ค่าต่าสดุ
ของขอ้ มลู คือ ......................................... ค่าสงู สุด ของข้อมูล คือ .........................................

คา่ ของ42.3.2) 1 = 25 = .......................................

ค่าของ 2 = 50 = .......................................

คา่ ของ 3 = 75 = .......................................