บทที่ 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 50
10. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6/1 และ 6/2 แสดงด้วยแผนภาพกล่องได้ดังนี้
นักเรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6/1
60 67 75 88 100
นกั เรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6/2
64 77 85 91 98
10.1) กลุ่มนกั เรียนช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 6/1 ทไ่ี ด้คะแนนต่าสุดมีจานวนประมาณ 25% ของนักเรียนทั้งห้อง
จงหาคะแนนตา่ สดุ และคะแนนสงู สุดของนักเรียนกลุม่ น้ี
∎ตอบ
10.2) มนี ักเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6/2 ก่ีเปอร์เซน็ ต์ท่ไี ดค้ ะแนนมากกว่า 91 คะแนน
∎ตอบ
10.3) มนี ักเรยี นช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6/1 กี่เปอร์เซ็นตท์ ่ไี ดค้ ะแนนน้อยกว่า 75 คะแนน
∎ตอบ
10.4) มีนักเรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6/2 กี่เปอร์เซน็ ต์ทไี่ ดค้ ะแนนมากกวา่ 77 คะแนน
∎ตอบ
10.5) กาหนดใหน้ ักเรยี นช้ันมัธยมศกึ ษาปที ีแ่ ละ 6/2 มีจานวนเท่ากัน และนกั เรียนไดเ้ กรด 4 กต็ อ่ เมอ่ื
นกั เรียนไดค้ ะแนนตัง้ แต่ 80 คะแนนข้นึ ไป
จงพจิ ารณาว่าห้องใดนา่ จะมนี กั เรียนไดเ้ กรด 4 มากกวา่ กัน พร้อมทงั้ ใหเ้ หตุผลประกอบ
∎ตอบ
บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 51
11. ขอ้ มูลความสงู (เซนติเมตร) และน้าหนกั (กโิ ลกรมั ) ของนกั เรยี นท่ีสุ่มมาจานวน 15 คนแสดงไดด้ งั นี้
ความสูง (เซนตเิ มตร) 168 152 155 149 145 154 146 160 162 152 163 157 164 141 145
นา้ หนกั (กิโลกรัม) 60 40 45 41 34 33 40 42 55 39 60 46 50 30 39
จงเขยี นแผนภาพการกระจายของข้อมลู ชดุ น้ี พรอ้ มทั้งพิจารณาว่าความสงู และน้าหนกั ของนกั เรยี นมีความสัมพนั ธ์
กนั หรอื ไม่อยา่ งไร
∎ตอบ เขียนแผนภาพการกระจาย (scatter plot)
Y นา้ หนกั (กโิ ลกรัม)
65
60
55
50
45
40
35
344005
2350 X ความสูง
(เซนตเิ มตร)
0
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
จากแผนภาพ แผนภาพการกระจาย ( ) ขา้ งต้น สรปุ ได้วา่
∎ ตอบ
บทท่ี 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 52
12. ความดันอากาศ ณ ความสูงต่าง ๆ จากระดบั น้าทะเลปานกลางแสดงด้วยแผนภาพการกระจาย ได้ดงั นี้
ความดันอากาศ (กิโลปาสกาล)
90
80
70
60
50
40
30
20
10 ความสูงจากระดบั
น้าทะเลปานกลาง (เมตร)
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
จงพิจารณาว่าความดันอากาศและความสงู จากระดับน้าทะเลปานกลางมคี วามสัมพนั ธก์ ันหรอื ไม่อยา่ งไร
∎ตอบ
13. จานวนเพอ่ื นสนทิ และอายขุ องนกั เรยี นทสี่ มุ่ มาจานวน 16 คน แสดงดว้ ยแผนภาพการกระจายได้ดงั นี้
จานวนเพอ่ื นสนทิ (คน)
6
5
4
3
2
1
อายุ (ป)ี
0 13 14 15 16 17 18
จงพิจารณาว่าจานวนเพ่ือนสนิทและอายขุ องนกั เรยี นมีความสัมพนั ธก์ ันหรอื ไม่อยา่ งไร
∎ตอบ
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 53
14. คะแนนสอบวิชาคหกรรมของนกั เรยี นหญงิ ห้องหนึ่ง จานวน 18 คน คะแนนเตม็ 30 คะแนน ได้ข้อมลู ดังน้ี
10 16 17 12 13 15 28 26 5
2 30 18 15 29 20 21 8 24
14.1) นารี ดารา และพาขวัญ มีคะแนนตรงกับควอร์ไทล์ท่ี 1 ควอรไ์ ทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ท่ี 3 ตามลาดบั
จงหาคะแนนสอบของนักเรยี นทง้ั 3 คน
14.2) ขอ้ มูลชดุ นี้มคี า่ นอกเกณฑ์หรือไมถ่ ้ามีคอื คา่ ใด
14.3) จงเขยี นแผนภาพกลอ่ ง (Box plot) เพ่อื นาเสนอข้อมูลชดุ นี้
14.4) จากแผนภาพกลอ่ งทไี่ ดใ้ นข้อ 14.3) จงอธิบายลกั ษณะการกระจายของข้อมูลของคะแนนสอบชดุ น้ี
วิธที า จากโจทยม์ ขี ้อมูลทัง้ หมด ................................... ข้อมลู ( = ................................ ) จะเขยี นแผนภาพกล่อง ไดต้ ามขน้ั ตอนตอ่ ไปน้ี
14.1.1) เรยี งตาแหนง่ ท่ีของขอ้ มูลจากน้อยไปหามาก
ตาแหน่งท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ค่าของขอ้ มลู 2 5 8 10 12 13 15 15 16
ตาแหนง่ ท่ี 10 11 12 13 14 15 16 17 18
คา่ ของขอ้ มลู 17 18 20 21 24 26 28 29 30
( ) ( )14.1.2) ค่าต่าสุด
ของข้อมูล คือ ........................................ ค่าสูงสดุ ของข้อมูล คือ .......................................................
( )และจานวนขอ้ มูลของขอ้ มูลชดุ นีม้ จี านวน ........................................ ขอ้ มลู = ........................................
4.1.3) หาคะแนนสอบของนารี ดารา และพาขวญั ซ่งึ ท้ัง 3 คนมคี ะแนนสอลตรงกับ 1 , 2 และ 3
และหา ตาแหนง่ ควอไทล์ที่ ได้จากสตู ร ตาแหนง่ ที่ = ( +1) เม่อื = 1 , 2, 3 ดังน้ี
4
* 14.1.3.1) คะแนนสอบของนารตี รงกบั 1 (* ขอ้ มูลจานวนคู่ ตอ้ งเทียบสัดส่วน หรอื เทยี บบัญญัติไตรยางศ์)
ดังน้ัน ค่า 1 อยใู่ นตาแหนง่ ที่ 1 (18+1) = 19 = 4.75
4 4
โดยตาแหน่งที่ 4.75 อยู่ระหว่างตาแหนง่ ท่ี 4 - 5
ซ่ึงมคี า่ อยรู่ ะหว่าง ค่าของข้อมลู 10 - 12
∎ จะหาคา่ ของ 1 โดยการเทยี บสดั ส่วน ค่าของข้อมลู
ตาแหนง่ ที่
1 4 0.75 10 2
4.75
5 ……………..
12
เทียบสดั ส่วนจะได้ = 0.75 = 1.5
21
ซึ่ง = 0.75 × 2
1
ดังนนั้ คา่ ของ 1 = 10 +
= 10 + 1.5 = 11.5
ดังนัน้ นารสี อบได้ คะแนน11.5 ......................................................................................................................................... ∎
บทที่ 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 54
14.1.3.2) คะแนนสอบของดาราตรงกบั 2
ดังนั้น ค่า อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี 2 ..................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
14.1.3.3) คะแนนสอบของพาขวญั ตรงกับ 3
ดงั น้ัน คา่ อยู่ในตาแหน่งท่ี 3 ..................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
14.2) ข้อมูลชุดน้ีมีค่านอกเกณฑห์ รอื ไม่ถ้ามคี ือคา่ ใด
หาค่า14.2.1) 1 − 1.5( 3 − 1) = ........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
หาค่า14.2.2) 3 + 1.5( 3 − 1) = .........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
จะพบวา่ มีขอ้ มูลทนี่ อ้ ยกว่า ไดแ้ ก่ 1 − 1.5( 3 − 1) ............................................................................................................................................................
มขี อ้ มูลทมี่ ากกว่า ได้แก่ 3 + 1.5( 3 − 1) .............................................................................................................................................................
ดังนนั้ ค่านอกเกณฑข์ องขอ้ มูลชุดนี้ ไดแ้ ก่ .................................................................................................................................................................................
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 55
14.3) จงเขียนแผนภาพกลอ่ ง (Box plot) เพ่อื นาเสนอข้อมูลชดุ น้ี
… 2 6 10 14 18 22 26 30 34
14.4) จากแผนภาพกล่องที่ไดใ้ นขอ้ 14.3) จงอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลของคะแนนสอบชดุ น้ี
∎ ตอบ จากแผนภาพกล่องสรปุ ได้วา่
15. ในการตรวจให้คะแนน Portfolio ของมหาวิทยาลยั แห่งหน่ึง ซึ่งมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ยื่นเข้าสมคั ร
จานวน 30 คน คะแนนตม็ 200 คะแนน ผลคะแนนของแตล่ ะคน เป็นดงั น้ี
150 175 182 100 120 195 200 75 180 155 160
132 169 173 125 177 170 168 50 85 190 195
172 164 155 180 158 125 172 140 135 165 199
15.1) อัศวิน สุชชั วีร์ และชัชชาติ มคี ะแนนตรงกบั ควอรไ์ ทล์ที่ 1 ควอรไ์ ทล์ที่ 2 และควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 ตามลาดบั
จงหาคะแนนสอบของทง้ั 3 คน
15.2) ถ้าบุคคลท่ีไมผ่ ่านการพจิ ารณาคอื บุคคลท่ีมคี ะแนนอยใู่ นค่านอกเกณฑ์หรอื ไม่ถ้ามีคอื คา่ ใดและมกี ีค่ น
15.3) จงเขียนแผนภาพกล่อง (Box plot) เพอ่ื นาเสนอขอ้ มลู ชุดน้ี
15.4) จากแผนภาพกล่องทีไ่ ด้ในข้อ 15.3) จงอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมลู ของคะแนนสอบชดุ นี้
15.5) ถ้ามหาวทิ ยาลยั กาหนดว่าผ้มู สี ิทธเ์ิ ข้าศกึ ษาในรอบ Port คือคนทมี่ คี ะแนนไมต่ า่ กว่าควอไทล์ท่ี 3 จง
หสว่าจะต้องมคี ะแนนขน้ั ตา่ เท่าใด และผู้มีสิทธ์ศิ กึ ษาตอ่ มีกี่คน
วิธที า จากโจทย์มีข้อมูลทั้งหมด ...................... ขอ้ มูล ( = ……….…….. ) จะหาค่าของเขยี นแผนภาพกลอ่ ง ได้ตามข้ันตอนต่อไปน้ี
15.1) จงหาควอรไ์ ทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ท่ี 2 และควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 ของคะแนนสอบข้อมลู ชดุ น้ี
เรียงตาแหนง่ ท่ขี องขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก
ตาแหนง่ ท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
คา่ ของข้อมลู
ตาแหนง่ ที่ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ค่าของขอ้ มลู
ตาแหน่งที่ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ค่าของขอ้ มูล
บทที่ 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 56
15.1.1) คะแนนสอบของอัศวินตรงกับ 1
ดงั น้ัน ค่า อยูใ่ นตาแหน่งที่ 1 ..................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
14.1.3.2) คะแนนสอบของสุชัชวีร์ตรงกับ 2
ดังนน้ั ค่า อยูใ่ นตาแหน่งที่ 2 ..................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 57
14.1.3.3) คะแนนสอบของชชั ชาตติ รงกับ 3
ดงั นั้น ค่า อยู่ในตาแหน่งท่ี 3 ..................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
15.2) ถา้ บคุ คลทไี่ มผ่ า่ นการพจิ ารณาคอื บคุ คลท่ีมีคะแนนอย่ใู นคา่ นอกเกณฑ์หรอื ไม่ ถ้ามีคอื ค่าใด และมีกค่ี น
หาค่า15.2.1) 1 − 1.5( 3 − 1) = ........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
หาค่า15.2.2) 3 + 1.5( 3 − 1) = .........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
= .........................................................................................................................................................................................
จะพบวา่ มขี อ้ มลู ที่นอ้ ยกว่า ไดแ้ ก่ 1 − 1.5( 3 − 1) ............................................................................................................................................................
มขี ้อมูลที่มากกว่า ได้แก่ 3 + 1.5( 3 − 1) .............................................................................................................................................................
ดงั น้ัน คา่ นอกเกณฑ์ของขอ้ มลู ชุดน้ี ไดแ้ ก่ .................................................................................................................................................................................
ดังน้นั บุคคลทไี่ มผ่ า่ นการพิจารณาคอื บคุ คลที่มคี ะแนนอยู่ในค่านอกเกณฑค์ ือบุคคลทีม่ คี ะแนน..............................................................................
และมจี านวน ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 58
15.3) จงเขยี นแผนภาพกลอ่ ง (Box plot) เพ่อื นาเสนอข้อมูลชุดน้ี
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
15.4) จากแผนภาพกล่องท่ีได้ในข้อ 15.3) จงอธิบายลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู ของคะแนนสอบชดุ นี้
∎ ตอบ จากแผนภาพกลอ่ งสรปุ ไดว้ า่
15.5) ถ้ามหาวิทยาลัยกาหนดว่าผู้มีสิทธิ์เข้าศึกษาในรอบ Port คือคนท่ีมีคะแนนไม่ต่ากว่าควอไทล์ท่ี 3
จงหาว่าจะต้องมีคะแนนขน้ั ตา่ เทา่ ใด และผู้มสี ทิ ธ์ิศึกษาตอ่ มีก่ีคน
∎ ตอบ
บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 59
3.3 ค่าวัดทางสถติ ิ
ในการวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้วิธีการของสถิติศาสตร์เชิงพรรณนา นอกจากจะทาได้โดยการเขียนตารางความถี่หรือ
แผนภาพต่าง ๆ ตามที่ได้กล่าวมาแล้ว ยังสามารถใช้ค่าวัดทางสถิติซึ่งเป็นค่าที่ได้จากการนาข้อมูลท้ังหมดหรือข้อมูล
บางส่วนมาคานวณเพื่อใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล โดยค่าวัดทางสถิติจะช่วยให้เห็นภาพรวมของข้อมูลและช่วยให้สามารถ
จดจาข้อสรุปเก่ียวกับข้อมูลนนั้ ๆ ไดง้ ่ายขนึ้ ซึ่งจะเป็นประโยชนใ์ นการนาไปประกอบการตัดสนิ ใจหรอื การวางแผนต่าง ๆ
ค่าวัดทางสถิติประกอบด้วยค่าสถิติและพารามิเตอร์ ซ่ึงเป็นค่าท่ีวัดลักษณะโดยประมวลหรือคานวณจากข้อมูล
เหมือนกัน แต่แตกต่างกันตรงที่ค่าสถิติได้จากการพิจารณาข้อมูลของตัวอย่าง ในขณะที่พารามิเตอร์ได้จากการพิจารณา
ข้อมูลทงั้ หมดของประชากร โดยค่าสถิตแิ ละพารามิเตอร์ทจ่ี ะศึกษาในหัวข้อน้ี ไดแ้ ก่ ค่ากลางของขอ้ มูลค่า วดั การกระจาย
และ คา่ วดั ตาแหนง่ ท่ขี องขอ้ มลู
3.3.1 ค่ากลางของข้อมลู
ค่ากลางของข้อมูลมีหลายชนิด เช่น ค่าเฉล่ียเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ซึ่งนักเรียนได้ศึกษามาแล้วในระดับ
มัธยมศึกษาตอนต้นค่ากลางแต่ละชนิดต่างก็มีข้อดีข้อเสียและมีความเหมาะสมในการนาไปใช้ไม่เหมือนกันขึ้นอยู่กับ
ลกั ษณะการแจกแจงของข้อมูลและวตั ถุประสงคข์ องผใู้ ชข้ ้อมูลน้นั ๆ
ในทางสถิติจะใช้ค่ากลางของข้อมูลเป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมด เพ่ือให้เข้าใจภาพรวมและสะดวกในการจดจา
ข้อสรุปเกี่ยวกับข้อมูลน้ัน ๆ เช่นผู้อานวยการโรงเรียนแห่งหน่ึงต้องการทราบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนใน
ระดับช้ันต่าง ๆ ในปีท่ีผ่านมาผู้อานวยการอาจไม่ต้องทราบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนแต่ละคนในแต่ละ
ระดับชั้น แต่อาจพิจารณาเบอื้ งต้นจากค่าเฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนวิชาคณิตศาสตรข์ องนกั เรียนแต่ระดบั ช้ัน
การวัดค่ากลางของข้อมูล (Measures of Central Value) หรือการหาค่ากลางของข้อมูล เป็นการ
วิเคราะห์ข้อมูลประเภทหนึ่ง ซ่ึงเป็นการหาค่าทางสถิติของข้อมูลที่เราสนใจ โดยค่ากลางของข้อมูล คือ ตัวเลขท่ีใช้เป็น
ตัวแทนของข้อมูลท่ีเราสนใจ การหาค่ากลางของข้อมูลมหี ลายวธิ ี ซ่ึงแต่ละวิธีจะมีข้อดีข้อเสียแตกต่างกันไป และมีความ
เหมาะสมในการนาไปใช้แตกต่างกัน ทั้งน้ีขน้ึ อยู่กับลักษณะของขอ้ มูลและวัตถปุ ระสงคข์ องการนาไปใช้ ซึ่งการหาค่ากลาง
ของขอ้ มูล ประกอบดว้ ย
1. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต (Arithmetic Mean ; หรือ )
2. มธั ยฐาน (Median ; Me , Med หรอื Mdn)
3. ฐานนิยม (Mode ; Mo หรอื Mod)
4. ค่าเฉลีย่ ฮาร์มอนคิ (Harmonic Mean หรอื H.M.)
5. คา่ เฉลย่ี เรขาคณติ (Geometric Mean หรอื G.M.)
6. ค่ากึง่ กลางพสิ ัย (mid-range) หรือค่ากลางพสิ ยั
และในสว่ นนี้ จะเนน้ การศึกษาค่ากลางของขอมูล จานวน 3 เรอ่ื ง ดว้ ยกนั คือ
1. ค่าเฉลยี่ เลขคณติ (Arithmetic Mean ; หรอื )
2. มธั ยฐาน (Median ; Me , Med หรอื Mdn)
3. ฐานนิยม (Mode ; Mo หรอื Mod)
จากชนดิ ของการหาคา่ กลางของข้อมลู ขา้ งต้น คา่ กลางของข้อมลู ที่นยิ มใช้ คือ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ มธั ยฐาน
และฐานนิยม และในการคานวณหาค่ากลางของข้อมูล จะแบ่งออกเปน็ 2 ลกั ษณะใหญๆ่ คือ
1. การหาค่ากลางของข้อมูลท่ีไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ (ข้อมูลเดยี่ ว , Ungroup data)
2. การหาคา่ กลางของขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถแ่ี ล้ว (ขอ้ มูลกลุม่ , Group data)
บทที่ 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 60
ขอ้ ตกลงเบอื้ งตน้ เก่ียวกบั สญั ลกั ษณท์ างสถติ ิ
สัญลกั ษณ์ ความหมาย
(ซิกมา : ) สญั ลกั ษณ์แทนการบวก หรือสัญลักษณแ์ ทนผลรวม ( )
(มิว : ) สญั ลักษณ์ของคา่ เฉลย่ี เลขคณิต สาหรับประชากร ( )
(เอก็ ซ์ บาร์ : − ) สัญลักษณข์ องค่าเฉลีย่ เลขคณติ สาหรับตวั อย่าง ( )
(ซกิ มา : ) สัญลักษณ์ของค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สาหรบั ประชากร ( )
หรอื . . (เอส หรือ เอส ดี) สญั ลกั ษณข์ องคา่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน สาหรับตัวอยา่ ง ( )
2 ( ) สัญลักษณข์ องคา่ ความแปรปรวน สาหรับประชากร ( )
หรือ 2 ( . . )2 ( − ) สญั ลกั ษณ์ของค่าความแปรปรวน สาหรับตัวอย่าง ( )
3.3.1.1 คา่ เฉลยี่ เลขคณิต (arithmetic mean : , )
1) การหาค่าเฉลยี่ เลขคณิตแบบไมแ่ จกแจงความถี่
เปน็ คา่ ที่หาได้จากการหารผลรวมของขอ้ มลู ท้งั หมดด้วยจานวนขอ้ มลู ท่มี ี
(1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมูล เมื่อ แทน ขนาดประชากร
คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของประชากร (population mean) เขยี นแทนด้วย (อ่านวา่ มิว) หาได้จาก
= 1+ 2+ 3+...+ = ∑ = 1
(2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมลู เม่ือ แทน ขนาดตวั อย่าง
ค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของตัวอยา่ ง (sample mean) เขียนแทนดว้ ย ̄ (อา่ นวา่ เอ็กซบ์ าร)์ หาไดจ้ าก
= 1+ 2+ 3+...+ = ∑ =1
จะเห็นว่า เพื่อความสะดวกจะใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ ∑ (อ่านว่าซิกมา) เป็นสัญลักษณ์แสดงการบวก
กล่าวคือจะเขียนแทน 1 + 2 + 3+. . . + ดว้ ยสญั ลกั ษณ์
∑ =1 (อ่านวา่ ซมั เมชัน (summation) เมอ่ื เท่ากับ 1 ถงึ )
ดังนัน้ สามารถเขยี น สตู รของคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ไดด้ งั นี้
= ∑ = 1 ......................... (สาหรบั ประชากร : population)
และ ̄ = ∑ =1 ......................... (สาหรับตัวอย่าง : sample)
หมายเหตุ : การหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตจะใช้ได้กับข้อมูลเชงิ ปริมาณเท่านน้ั เชน่ สามารถหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของ อายุ
รายได้ ความสูง แต่จะไมส่ ามารถหาค่าเฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มลู เชิงคณุ ภาพ เชน่ ยี่ห้อรถยนต์ เชือ้ ชาติ
เบอรโ์ ทรศพั ท์
บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 61
กิจกรรม 11 : การหาค่ากลางของขอ้ มลู โดยใช้คา่ เฉลยี่ เลขคณติ (arithmetic mean : , )
∎ ตัวอยา่ งที่ 16 ทีมฟุตบอลชายของโรงเรียนแหง่ หนงึ่ มสี มาชกิ ท้งั หมด 24 คน โดยความสงู (เซนตเิ มตร)
ของสมาชิก แตล่ ะคน แสดงไดด้ งั น้ี
165 178 170 168 167 167 180 175
181 164 179 158 177 163 165 172
180 191 185 176 175 183 177 179
จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มูลชดุ นี้
วิธที า จากโจทย์ จานวนข้อมูลทง้ั หมด = 24 คน และจาก สตู รของคา่ เฉลีย่ เลขคณิต ̄ = ∑ =1
ดงั น้นั ̄ = ∑ =1
= 1 + 2 + 3+ ...+ 24
24
165+178+170+168+167+167+180+175+181+164+179+158
= +177+163+165+172+180+191+185+176+175+183+177+179
24
= 4,175
24
≈ 173.96
ดังนน้ั คา่ เฉล่ยี หรอื ความสูงเฉลี่ย ของของนกั ฟุตลอลกลุม่ นี้ ประมาณ 173.96 เซนติเมตร ∎
ข้อสังเกต : ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ท่ีหาไดอ้ าจไมใ่ ช่ค่าใดค่าหนึง่ ของข้อมลู ชดุ นัน้ เช่นจากตวั อยา่ งท่ี 14 ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของ
ความสูงของสมาชิกทีมฟตุ บอลของโรงเรียนมคี า่ ประมาณ ......................................... เซนตเิ มตร แตไ่ มม่ ีสมาชกิ คนใดมี
ความสงู เซนตเิ มตร..........................................
ตัวอย่างท่ี 17 โรงเรียนแห่งหน่ึงกาหนดว่านักเรียนจะได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ ก็ต่อเมื่อนักเรียนได้คะแนนเฉล่ียจาก
การสอบย่อย 6 ครั้ง ไม่ต่ากว่า 80 คะแนน ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตจากการสอบย่อย 5 คร้ัง ของนักเรียนคนหน่ึงเท่ากับ 77
คะแนน จงหาว่าในการสอบย่อยครั้งที่ 6 นกั เรยี นคนนจ้ี ะต้องได้คะแนนอยา่ งน้อยเทา่ ใดจงึ จะได้เกรด 4
วิธีทา
บทท่ี 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 62
ตัวอยา่ งที่ 18 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ทสี่ มุ่ ตวั อยา่ งมาจากหอ้ งหนึง่
จานวน 11 คน เป็นดังนี้
70 72 68 3 71 74 70 67 73 5 78
จงหา 18.1) ค่านอกเกณฑ์ของข้อมลู ชุดน้ี
18.2) คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมลู ชุดน้ี
18.3) ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรียนทีส่ มุ่ มาโดยไม่รวมค่านอกเกณฑ์
วธิ ีทา 18.1) หาค่านอกเกณฑข์ องข้อมลู ชุดนี้ เนอ่ื งจากการหาค่าดงั กลา่ วจาเปน็ ต้องหาคา่ 1 , 2 , 3
ดังน้ันตอ้ งเรียงตาแหนง่ ท่ขี องขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก และจานวนขอ้ มูลทัง้ หมด มี = ………………………… ข้อมลู
ตาแหน่งที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
คะแนนสอบ 3 5 67 68 70 70 71 72 73 74 78
( ) ( )18.1.1) คา่ ตา่ สดุ
ของข้อมูล คือ ........................................ คา่ สงู สุด ของข้อมลู คือ .......................................................
( )และจานวนข้อมูลของข้อมลู ชดุ น้มี ีจานวน ........................................ ข้อมลู = ........................................
18.1.2) หา 1 , 2 และ 3 หาไดจ้ ากสตู ร ตาแหนง่ ควอไทล์ที่ = ( +1) ดงั นี้
4
อยูใ่ นตาแหนง่ ที่18.1.2.1) 1 ................................................................................................................................................................................................................................
ดงั นน้ั ค่าของ 1 ............................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
อยู่ในตาแหนง่ ท่ี18.1.2.2) 2 ............................................................................................................................................................................................................................
ดงั น้นั ค่าของ 2 ..........................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
อยใู่ นตาแหน่งท่ี18.1.2.3) 3 ...............................................................................................................................................................................................................................
ดังน้นั คา่ ของ 3 .........................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
18.1.3) หาค่านอกเกณฑ์
18.1.3.1) หาคา่ 1 − 1.5( 3 − 1) = .......................................................................................................................................................................................
= .......................................................................................................................................................................................
18.1.3.2) หาค่า 3 + 1.5( 3 − 1) = .......................................................................................................................................................................................
= .......................................................................................................................................................................................
บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 63
จะพบวา่ มขี ้อมูลทีน่ ้อยกวา่ ได้แก่ 1 − 1.5( 3 − 1)............................................................................................................................................................................
และมขี ้อมูลท่ีมากกว่า ไดแ้ ก่ 3 + 1.5( 3 − 1) ...........................................................................................................................................................................
ดงั นัน้ ค่านอกเกณฑข์ องข้อมูลชดุ น้ี ได้แก่ ..............................................................................................................................................................................................................
18.1.4) เขียนแผนภาพกล่อง (Box plot) เพือ่ นาเสนอข้อมูลชุดน้ี
35 45 50 55 60 65 70 75 80 85
18.2) คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ( ) ของข้อมลู ชุดน้ี
18.3) คา่ เฉล่ยี เลขคณิต ( ) ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนกั เรียนท่ีสุ่มมาโดยไม่รวมคา่ นอกเกณฑ์
จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าค่านอกเกณฑ์มีผลต่อค่าเฉล่ียเลขคณิต เน่ืองจากค่าเฉล่ียเลขคณิตคานวณจากข้อมูล
ทัง้ หมด ดังน้นั ถา้ ขอ้ มลู ชุดใดมีค่านอกเกณฑ์ คา่ เฉล่ียเลขคณิตอาจไม่สามารถนามาใช้เปน็ ตัวแทนทด่ี ขี องชดุ ข้อมูลน้ัน แต่
ในกรณีทชี่ ุดขอ้ มลู ไม่มคี ่านอกเกณฑ์ คา่ เฉลีย่ เลขคณติ อาจเป็นคา่ กลางท่ใี ชเ้ ป็นตวั แทนของชุดข้อมลู ได้
บทท่ี 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 64
2) การหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตแบบแจกแจงความถี่ไม่เปน็ อนั ตรภาคชน้ั
เปน็ คา่ ที่หาได้จากการหารผลรวมของข้อมลู ทง้ั หมดด้วยจานวนข้อมูลทีม่ ี
(1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ขอ้ มูลชน้ั ท่ี 1 , 2 , 3 , … , k
และ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อความถ่ขี องมูลชนั้ ท่ี 1 , 2 , 3 , … , k เมือ่ แทน ขนาดประชากร
คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของประชากร (population mean) เขียนแทนดว้ ย (อ่านวา่ มิว) หาไดจ้ าก
= 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ =1
∑ =1
1+ 2+ 3+ ,...,+
(2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมลู ช้ันท่ี 1 , 2 , 3 , … , k
และ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อความถีข่ องมลู ชั้นที่ 1 , 2 , 3 , … , k เมือ่ แทน ขนาดตวั อยา่ ง
ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของตัวอย่าง (sample mean) เขยี นแทนด้วย ̄ (อ่านวา่ เอ็กซบ์ าร)์ หาได้จาก
= 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ =1
∑ =1
1+ 2+ 3+ ,...,+
ตัวอย่างท่ี 19 ในการสอบวิชาภาษาอังกฤษของนกั เรยี นชั้น ม.6/1 จานวน 20 คน ปรากฏผลคะแนน ดังตาราง
คะแนน 9 12 15 16 19
จานวนนกั เรียน (คน) 2 7 5 4 2
จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนกั เรียนชั้น ม.6/1 เปน็ เทา่ ใด
วธิ ที า ให้ แทน คะแนนสอบของนกั เรียน และ แทน ความถขี่ องข้อมลู หรือจานวนคนท่สี อบได้คะแนนชดุ น้ันๆ
คะแนน ( ) จานวนนกั เรียน ( )
9 2 18
12 7 84
15 5 75
16 4 64
19 2 38
∑ =1 = 20 ∑ =1 = 279
หาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษ จากสตู ร
= 1 1+ 2 2+ 3 3+...+
1+ 2+ 3+ ,...,+
= ∑ =1 จะได้
∑ =1
279 = 13.95
= 20
ดงั นน้ั ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( ) ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ ของนกั เรียนชน้ั ม.6/1 เท่ากบั 13.95 คะนน ∎………….
บทท่ี 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 65
กจิ กรรม 12 : การหาคา่ กลางของขอ้ มูลแบบแจกแจงความถไี่ ม่เปน็ อนั ตรภาคชน้ั
ขอ้ 1.ขอ้ มูลจากตารางเป็นคะแนนสอบกลางภาคเรียนวชิ าภาษาไทย ของนักเรยี นชั้น ม.6 หอ้ งหน่งึ
ซง่ึ มีคะแนนเตม็ 20 คะแนน ปรากฏดังตาราง 11 10
5 3
คะแนน 20 19 18 17 16 15 14 13 12
จานวนนกั เรียน 1 2 2 4 5 7 11 12 8
จงหาคะแนนเฉลย่ี ของคะแนนสอบกลางภาคเรียนวิชาภาษาไทยของนักเรียนหอ้ งน้ี
วิธีทา
ขอ้ 2 . คะแนนเก็บก่อนสอบปลายภาคของนักเรยี น ม.6 ห้องหนงึ่ ซึ่งมคี ะแนนเกบ็ 70 คะแนน ปรากฏดังตาราง
คะแนน ( ) 40 45 50 55 60 65 รวม
ความถ่ี ( ) 2 3 12 8 6 31 +
ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมลู ชุดน้ี เท่ากับ 54.43 คะแนน จงหาว่านักเรียนที่สอบได้ 55 คะแนน มี a คน เปน็ เท่าใด
วธิ ีทา
บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 66
ข้อ 3 . ขอ้ มูลชุดหนง่ึ มี 10 จานวน มีคา่ เฉล่ยี เลขคณิตเป็น 5 เนือ่ งจากขอ้ มลู ไมช่ ัดเจน 1 จานวน คอื อา่ น 3 เปน็ 8
จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตท่ีถูกตอ้ ง
วธิ ีทา จากสูตร ∑ =
ผลรวมของข้อมูลทีอ่ ่านผิดเทา่ กบั 10 x 5 =
อา่ นข้อมลู เกนิ ข้อมลู จริง เท่ากบั 8 – 3 =
ผลรวมของขอ้ มลู ทีถ่ กู ตอ้ ง เท่ากบั 50 – 5 =
ดงั นน้ั ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ที่ถูกตอ้ ง เทา่ กับ
ขอ้ 4 . ขอ้ มูลชุดหนึ่งมี 20 จานวน ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ท่ากับ 4 ต่อมาปรากฏวา่ ผ้คู านวณอา่ นค่าข้อมลู ผดิ ไป
2 จานวน คือ อ่าน 0.8 เป็น 8.0 และอ่าน 3.0 เป็น 0.3 จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตท่ีถูกตอ้ ง
วธิ ที า จากสตู ร ∑ =
ผลรวมของขอ้ มูลทอ่ี ่านผิดเท่ากบั 20 x 4 =
อ่านขอ้ มลู เกนิ ไป เท่ากบั 8 – 0.8 =
อา่ นข้อมูลขาดไป เทา่ กบั 3 – 0.3 =
ผลรวมของข้อมูลที่ถูกตอ้ ง เท่ากบั 80 – 7.2 + 2.7 =
ดังน้นั ค่าเฉล่ยี เลขคณิตที่ถูกตอ้ ง เทา่ กับ
บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 67
3.1.1.2 การหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean ; รวม หรอื )
เป็นการหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตรวมของขอ้ มูลหลายกล่มุ เม่อื ทราบค่าเฉลยี่ ของข้อมูลแตล่ ะกลุ่ม โดยกาหนดให้
ข้อมลู กลมุ่ ท่ี 1 มีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเทา่ กับ 1 และมีจานวนข้อมลู เท่ากับ
ขอ้ มลู กลมุ่ ท่ี 2 มคี ่าเฉลย่ี เลขคณติ เทา่ กับ 2 และมีจานวนข้อมูลเท่ากับ
ข้อมูลกล่มุ ที่ 3 มีค่าเฉลี่ยเลขคณติ เท่ากับ 3 และมีจานวนข้อมลู เท่ากบั
: : : ::
ข้อมูลกลมุ่ ท่ี k มคี ่าเฉลี่ยเลขคณติ เทา่ กับ และมจี านวนขอ้ มูลเท่ากับ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม หาได้จากสูตร
คา่ เฉลีย่ เลขคณิตรวม ( รวม หรอื ) = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ =1
1+ 2+ 3+...+ ∑ =1
กจิ กรรม 13 : การหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean ; )
ตัวอย่างที่ 20 นักเรียนช้ัน ม.6 ของโรงเรียนหน่ึงมีนักเรียน 4 ห้อง คือ ห้อง ก. 40 คน ห้อง ข. 35 คน ห้อง ค. 38
คน และ ห้อง ง. 42 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ มีค่าเฉล่ียเลขคณิตของห้อง ก. เป็น 85 คะแนน ห้อง ข. เป็น 77 คะแนน
ห้อง ค. เป็น 75 คะแนน และ ห้อง ง. เป็น 60 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของ
นกั เรยี นชั้น ม.6 ทั้งหมด
วิธที า จากโจทย์กาหนดให้
ตัวอย่างท่ี 21 ค่าเฉล่ียเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มหน่ึงเท่ากับ 50 กิโลกรัม ในกลุ่มน้ีเป็นนักเรียนชาย 57 คน และ
เป็นนักเรียนหญงิ 43 คน ถ้าค้าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักกลุ่มนกั เรียนหญิงเท่ากับ 45 กิโลกรัม จงหาน้าหนักรวมของ
กลุ่มนักเรยี นชาย
วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้
บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 68
กิจกรรม 14 : แบบฝกึ หดั การหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean ; รวม หรอื )
ข้อ 1. นักเรียนห้องหนึ่งมี 40 คน เป็นนักเรียนชาย 25 คน มีน้าหนักเฉล่ีย 55 กิโลกรัม และมีนักเรียนหญิง 15 คน
มีน้าหนักเฉล่ีย 45 กิโลกรัม ถ้าน้าหนักเฉลี่ยรวมของนักเรียน 40 คน รวมกับครูประจาช้ันอีกหนึ่งคนจะได้น้าหนัก
เฉลีย่ รวม เท่ากบั 51.5 กิโลกรมั จงหาน้าหนกั ของครปู ระจาชั้น
วธิ ีทา จากโจทยก์ าหนดให้
ขอ้ 2. ในการสอบวชิ าสถติ ิ นักเรียนหอ้ ง A จานวน 40 คน สอบไดค้ ่าเฉล่ยี เลขคณติ เท่ากบั 80 คะแนน นักเรยี นห้อง B
จานวน 35 คน สอบได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 75 คะแนน และค่าเฉล่ียเลขคณิตรวมของนักเรียนห้อง A , B
และ C เทา่ กบั 74 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของนักเรียนหอ้ ง C ซง่ึ มีจานวนนักเรยี นเทา่ กับ 30 คน
วธิ ที า จากโจทยก์ าหนดให้
บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 69
ข้อ 3. ในการสอบ Midterm วิชาคณิตศาสตร์ (สถติ ิ) ของนกั เรียนช้ัน ม.6 จานวน 3 หอ้ ง คือ หอ้ ง ม. 6/1 จานวน 40
คน สอบได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 80 นักเรียนห้อง ม. 6/2 จานวน 35 คน สอบได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 75
คะแนน ครูผู้สอนบอกว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคณิตรวมของนักเรียนท้ัง 3 ห้อง เท่ากับ 74 คะแนน จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิต
ของนักเรยี นของนักเรียนชัน้ ม. 6/3 ซงึ่ นักเรียนมีจานวนเทา่ กับ 30 คน
วธิ ที า จากโจทย์กาหนดให้
ข้อ 4. นักเรียนห้องหนึ่งมีท้ังหมด 100 คน โดยส่วนสูงเฉล่ียของนักเรียนชายเป็น 165 เซนติเมตร และส่วนสูงเฉลี่ยของ
นักเรียนหญิงเป็น 150 เซนติเมตร ถ้าส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนทั้งห้องเป็น 159 เซนติเมตร จงหาจานวนนักเรียนชาย
และจานวนนกั เรยี นหญิงของห้องน้ี
วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้
บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 70
3.3.1.3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงนา้ หนกั (weighted arithmetic mean : )
เราจะใช้การหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตในกรณที ่ีข้อมูลแต่ละค่ามีความสาคัญไม่เท่ากนั เช่น ในการหาค่าเกรดเฉล่ียของนักเรยี น
ในแต่ละวชิ า ซง่ึ แตล่ ะวชิ ามจี านวนหนว่ ยกติ ไม่เทา่ กัน (คือมนี ้าหนัก หรอื ℎ ไมเ่ ทา่ กัน) เราจึงไม่สามารถนาเกรดท้ังหมดมา
รวมกันแล้วหารด้วยจานวนวชิ าเพราะจะทาให้เกรดเฉล่ียออกมาคลาดเคล่ือนได้ ดังนั้นเราจึงใช้วิธีถ่วงน้าหนัก น่ันคือ นาเกรดท่ีได้
ในแต่ละวิชาคูณด้วยจานวนหน่วยกิตของวิชาเหล่าน้ันก่อน แล้วจึงนามารวมกันแล้วหารด้วยจานวนหน่วยกิตท้ังหมด ดังนั้นเราจะ
กาหนดให้ 1 , 2 , 3 , . . . , เป็นความสาคัญหรือถ่วงน้าหนักของค่าจากการสังเกตของข้อมูลท่ี 1 , 2 , 3 , … , N และ
1 , 2 , 3 , . .. , เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตแต่ละชุดของข้อมูลท่ี 1 , 2 , 3 , … , N ตามลาดับ ดังนั้นจึงเหมาะสาหรับใช้ในกรณีที่
ขอ้ มลู แต่ละค่ามคี วามสาคัญไม่เท่ากนั เชน่ การหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบ 4 วชิ า ซึง่ แต่ละวชิ ามีหนว่ ยกิตไม่เทา่ กนั ถ้าใช้
วิธีการหาคา่ เฉล่ียเลขคณติ โดยไมถ่ ่วงน้าหนักอาจทาให้ค่าที่ไดน้ าไปส่ขู ้อสรปุ ท่คี ลาดเคลอื่ นจากความเปน็ จรงิ เพราะขอ้ มูลแต่ละค่า
มคี วามสาคญั ไมเ่ ท่ากันขน้ึ อยกู่ บั น้าหนักของแตล่ ะขอ้ มลู โดยท่ี
1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมลู เมื่อ แทนขนาดประชากร (population)
และให้ 1, 2, 3, . . . , แทน นา้ หนกั ของขอ้ มูล 1 , 2 , 3 , . . . , ตามลาดับจะได้
= 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ ∑ = 1
∑ = 1
1+ 2+ 3+...+
ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ถ่วงน้าหนัก =
2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมลู เม่อื แทนขนาดของตวั อยา่ ง (sample)
และให้ 1, 2, 3, . . . , แทน นา้ หนักของข้อมลู 1 , 2 , 3 , . . . , ตามลาดับจะได้
ค่าเฉล่ียเลขคณติ ถ่วงน้าหนกั = = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ ∑ =1
∑ =1
1+ 2+ 3+...+
หมายเหตุ : จะเป็นว่าสูตรในการหาค่าเฉล่ียเลขคณิตถ่วงน้าหนกั มีสตู รเดยี วกนั แต่แตกตา่ งตรงท่ี N แทนขนาดประชากร
และ แทนขนาดตัวอย่าง
กิจกรรม 15 : การหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ ถว่ งน้าหนัก (Weight Arithmetic mean: )
ตัวอย่างที่ 22 ในการคานวณเกรดเฉล่ยี (grade point average: GPA) ของนักเรยี นคนหนึ่งสมมตวิ า่ นักเรียนคนนี้
ลงทะเบยี นเรยี น 5 วิชาซึง่ แต่ละวชิ ามหี นว่ ยกติ ไม่เท่ากนั และได้เกรดแต่ละวิชาดงั นี้
วชิ า คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ ภาษาไทย สังคมศึกษา สุขศกึ ษา
หนว่ ยกติ 2.0 3.0 3.0 3.0 1.0
เกรด 4 4 3 3 2
จงหาเกรดเฉล่ียของนกั เรียนคนนี้
วิธที า จะแสดงวิธึการหาเกรดเฉลี่ยโดยการสร้างตาราง
วชิ า หน่วยกติ ( ) เกรด ( )
คณติ ศาสตร์ ∑ =1 =
ภาษาองั กฤษ 2.0 4
ภาษาไทย 3.0 4
สังคมศกึ ษา 3.0 3
สขุ ศึกษา 3.0 3
1.0 2
รวม
∑ =1 = . .
∑ =1
∑ =1
ดงั นน้ั เกรดเฉลยี่ ∎ = =
………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………….…………………………….
บทท่ี 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 71
ตัวอย่างที่ 23 ผลการสอบของนายสมชาย นักเรียนช้ัน ม.6 ผลปรากฏว่า วิชาคณิตศาสตร์ 2.5 หน่วยกิต ได้เกรด 4
วิชาภาษาไทย 1.0 หน่วยกิต ได้เกรด 4 วิชาภาษาอังกฤษ 2.0 หน่วยกิตได้เกรด 2 และวิชาสังคมศึกษา 1.5 หน่วยกิต
ได้เกรด 3 จงหาเกรดเฉลยี่ รวมท้งั 4 วชิ าของนายสมชาย
วธิ ีทา จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน ค่าถว่ งน้าหนกั หรอื หนว่ ยกติ และ xi แทน ระดบั ผลการเรียนหรือเกรด
ตัวอย่างที่ 24 ศิษย์เก่าจานวน 3 คนกลับมาเย่ียมโรงเรียนบอกครูผู้สอนว่า พวกเขาสามคน มีเกรดเฉลี่ยรวมเท่ากับ
2.60 โดยคนแรกลงทะเบยี นเรียนเรยี น 124 หนว่ ยกติ คนที่สองลงทะเบยี นเรยี น 121 หนว่ ยกิต และคนท่สี ามลงทะเบียน
เรียน 125 หน่วยกิต โดยที่คนที่หน่ึงและคนท่ีสองมีเกรดเฉล่ียสะสม เท่ากับ 3.00 และ 2.50 ตามลาดับ จงหาเกรด
เฉลย่ี สะสมของคนท่สี าม
วิธีทา จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน ค่าถว่ งน้าหนักหรอื หน่วยกิต และ xi แทน ระดับผลการเรียนหรอื เกรด
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 72
กิจกรรม 16 : แบบฝกึ หดั การหาค่าเฉล่ียเลขคณิตถว่ งน้าหนกั (Weight Arithmetic Mean หรือ )
ขอ้ 1. ผลการเรียนในรายวชิ าชวี วิทยา 5 ภาคเรยี นของเรวดี มรี ะดับผลการเรียนและน้าหนักเกรดเปน็ ดังนี้
ช่อื วชิ า จานวนหนว่ ยกติ ( ) ผลการเรยี น ( : เกรด) ∙
ชวี วิทยา 1 2.0 2
ชีววิทยา 2 2.0 2.5
ชวี วทิ ยา 3 1.5 1.5
ชีววทิ ยา 4 1.5 3
ชวี วทิ ยา 5 1.5 3.5
นก.∑ =1 = ……………….………… ∑ =1 ∙ = .
จงหาผลการเรียนเฉลีย่ 5 ภาคเรียนของเรวดี
วธิ ที า จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน ค่าถ่วงน้าหนักหรือหนว่ ยกติ และ xi แทน ระดบั ผลการเรยี นหรือเกรด
ข้อ 2. นายณรงค์ชัยศึกษาในระดับอุดมศึกษา ลงทะเบยี นเรยี นไว้ 16 หน่วยกติ ได้ผลการเรยี นในภาคเรยี นแรก ดังน้ี
วชิ า จานวนหน่วยกติ ( ) ผลการเรยี น ( : เกรด) ∙
คณติ ศาสตร์
4.0 3
ฟิสิกส์ 2
เคมี 4
ภาษาองั กฤษ 3.0 2
พ้ืนฐานท่ัวไป 2.0 3
นก.∑ =1 = ……………….………… ∑ =1 = .
ถ้านายณรงคช์ ัยได้ระดบั คะแนนเฉลย่ี 2.75 จงหาว่า เขาลงทะเบียนเรยี นในวิชาฟิสิกสแ์ ละวชิ าเคมีอย่างละก่ีหนว่ ยกิต
วิธีทา จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน ค่าถว่ งน้าหนักหรือหนว่ ยกิต และ xi แทน ระดบั ผลการเรียนหรอื เกรด
บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 73
3.3.2 มธั ยฐาน (Median : Me , Med , Mdn )
เมื่อนาข้อมูลทั้งหมดมาเรียงลาดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย จะเรียกค่าที่อยู่ในตาแหน่งก่ึงกลาง
ของขอ้ มูลว่า มธั ยฐาน ( )
คา่ มธั ยฐาน (Median : Me , Med หรือ Mdn) คือ คา่ ทีม่ ี ตาแหน่งอยทู่ ีก่ ่ึงกลาง ของขอ้ มลู ชุดนน้ั เม่ือนา
ขอ้ มลู เหลา่ นนั้ เรียงจากคา่ นอ้ ยทสี่ ุดไปหาค่ามากทีส่ ดุ หรือ เรียงข้อมูลจากคา่ มากท่ีสดุ ไปหาคา่ นอ้ ยทีส่ ุดแล้ว
การหาคา่ มธั ยฐานของขอ้ มูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungroup data) หาไดจ้ าก
ถ้าให้ x1 , x2 , x3 , … , xN เป็นค่าขอ้ มูลท่ไี ดจ้ ากการสังเกตทีเ่ รียงลาดับจากน้อยไปหามาก หรือจากมาก
ไปหาน้อย และ เปน็ จานวนข้อมูลท้ังหมด แลว้ ค่ามัธยฐาน หาได้จาก
ก.) กรณที ี่ N เปน็ จานวนค่ี (n-odd) คา่ มธั ยฐาน (Me) อยู่ตาแหน่งท่ี = ( 2+1) (1)......................…..
ข.) กรณที ่ี N เป็นจานวนคู่ (n-even) ค่ามัธยฐาน (Me) อยตู่ าแหน่งที่ = ( 2 )+ ( 2 )+1 (2)..........................
2
สรุปได้อย่างง่ายว่า ในการหาค่ามัธยฐานของข้อมูล ถ้าข้อมูลมี ตัวการหามัธยฐานทาได้โดยเรียงลาดับข้อมูล
จากน้อยไปมากหรอื จากมากไปนอ้ ย จะได้มัธยฐานอยู่ในตาแหนง่ ที่ +1 นน่ั คอื
2
ถา้ เป็นจานวนคี่ มธั ยฐาน คือ ขอ้ มูลทีอ่ ยู่ก่งึ กลาง
ถ้า เปน็ จานวนค่มู ัธยฐาน คือ คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของข้อมลู สองตัวที่อย่กู ่งึ กลาง
จากหวั ขอ้ 3.2 นักเรยี นทราบแลว้ ว่า 2 เปน็ ค่าที่อยใู่ นตาแหนง่ กึ่งกลางของขอ้ มลู ทัง้ หมด ดังนั้นมธั ยฐาน คือ 2
กจิ กรรม 17 : การหามธั ยฐาน ( ∶ , , ) ข้อมูลทไี่ ม่แจกแจงความถี่
ตัวอย่างที่ 25 ความสงู (เซนตเิ มตร) ของนักเรียนหญงิ จานวน 11 คนแสดงได้ดงั น้ี
164 158 167 160 163 159 162 161 155 170 168
จงหามัธยฐานของข้อมลู ชุดนี้
วธิ ที า 25.1 เรยี งข้อมลู จากนอ้ ยไปหามาก
ตาแหนง่ ที่ 1 : 1 2 : 2 3 : 3 4 : 4 5 : 5 6 : 6 7 : 7 8 : 8 9 : 9 10 : 10 11 : 11
ความสงู : ซม. 155 158 159 160 161 162 163 164 167 168 170
25.2 หาตาแหนง่ ของค่ามธั ยฐานและคา่ มัธยฐาน ∎
จากโจทย์จานวนขอ้ มูลท้งั หมด คอื จานนวนนกั เรียน = 11 คน
ซึ่งจานวนข้อมลู เป็นจานวนคี่ ( − )
ดงั น้นั ตาแหน่งของค่ามัธยฐานจะอยทู่ ี่ ตาแหน่งท่ี ( +21) = (112+1) = (122) = 6
และจะได้ค่ามธั ยฐานอยู่ตาแหน่งท่ี 6 ซ่ึง อยู่ท่ีค่าของข้อมูล 6 = 162
ดังนน้ั ค่ามัธยฐาน (Me) ของความสูง ของนกั เรียนหญงิ กลมุ่ น้ี คอื 162 เซนตเิ มตร
บทท่ี 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 74
ตัวอย่างท่ี 26 ระยะเวลา (นาที) ท่ีใชใ้ นการเดนิ ทางจากบา้ นไปโรงเรียนของนักเรยี น 6 คน แสดงได้ดังนี้
32 15 45 12 90 25 จงหามัธยฐานของขอ้ มูลชุดนี้
วิธีทา 26.1 เรยี งขอ้ มลู จากน้อยไปหามาก
ตาแหนง่ ที่ 1 : 1 2 : 2 3 : 3 4 : 4 5 : 5 6 : 6
ระยะเวลา : นาที 12 15 25 32 45 90
26.2 หาตาแหนง่ ของคา่ มัธยฐานและคา่ มัธยฐาน
จากโจทย์จานวนข้อมูลทัง้ หมด คอื จานนวนนักเรยี น = 6 คน ดังนัน้ จานวนข้อมลู เป็นจานวนค่ี ( − )
ดงั นั้น ตาแหนง่ ของค่ามธั ยฐาน จะอยทู่ ่ี ตาแหนง่ ท่ี ( 2 )+ ( 2 )+1 = (62)+ (62)+1 = 3+ 4
2 22
ซึ่งจะได้ค่ามัธยฐาน อย่รู ะหวา่ งข้อมลู ตาแหน่งที่ 3 และ 4 ซึง่ ค่าของ 3 = 25 และ 4 = 32
ดังน้นั ค่ามธั ยฐาน (Me) ของระยะเวลาทีน่ กั เรียนเดนิ ทาง คือ 3+ 4 = 25+32 = 57 = 28.5 นาที ∎
2 22
ตัวอย่างที่ 27 จงหาคา่ มัธยฐาน (Me) จากข้อมลู 145 , 152 , 137 , 142 , 154 , 158 และ 149
วิธีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก
ตวั อยา่ งท่ี 28 ข้อมูลชุดหนึง่ ประกอบด้วย 14.25 , 15.25 , 13.75 , 14.50 , 15.95 , 15.85 , 20.25 และ 14.95
จงหาค่ามัธยฐาน (Me) ของข้อมูลชุดน้ี
วิธีทา เรียงข้อมลู จากน้อยไปหามาก
บทท่ี 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 75
กิจกรรม 18 : แบบฝกึ หดั เรือ่ ง การหาคา่ มัธยฐาน (Median : Me , Med , Mdn) ของข้อมลู ไม่แจกแจงความถ่ี
ขอ้ 1. ผลการสารวจเงนิ เดือนของพนกั งานบรษิ ัท กจิ การจงเจรญิ จากดั เปน็ ดังนี้
4,500 , 4,700 , 4,300 , 4,250 , 4,100 , 4,000 , 4,350 , 4,700 , 4,900 , 5,000 และ 4,650 บาท
จงหาค่ามธั ยฐาน (Me) ของเงนิ เดือนพนกั งานกล่มุ น้ี
วิธีทา
ขอ้ 2. นา้ หนักของนกั กีฬามวยสากลสมัครเล่น จานวน 8 คน เปน็ ดงั น้ี
45 , 52 , 57 , 63 , 54 , 49 , 55 , 60
จงหาค่ามัธยฐาน (Me) ของน้าหนกั นกั กฬี ากลมุ่ น้ี
วธิ ที า
ขอ้ 3. ข้อมลู ชุดหนง่ึ เม่ือเรียงจากน้อยไปหามากแล้วเป็นดงั นี้ 15 , 15 , a , b , 20 ถา้ มัธยฐานของข้อมูลชดุ นี้ คือ 16
และค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมลู ชุดนเ้ี ป็น 17 จงหาคา่ ของ a + b
วิธที า
บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 76
สมบตั ิของคา่ มธั ยฐาน
สมบัตทิ ี่สาคญั ของคา่ มัธยฐาน คอื ผลรวมของค่าสมั บรู ณข์ องผลตา่ งระหวา่ งข้อมลู แต่ละคา่ กับมธั ยฐานของขอ้ มลู
ชดุ นน้ั จะมีคา่ นอ้ ยทส่ี ุด กล่าวคอื สาหรับคา่ คงตวั a ใดๆ และ Mdn แทนมธั ยฐานของขอ้ มูลแล้ว จะไดว้ า่
∑ =1| − | ≤ ∑ = 1| − | หรือ ∑ =1| − | มีคา่ นอ้ ยทีส่ ุด
จากข้อมลู ขา้ งต้นอธิบายไดง้ า่ ยๆ วา่
1. ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างข้อมูลแต่ละค่ากับค่ามัธยฐานของช้อมูลชุดน้ันจะมีค่าน้อยท่ีสุด
กลา่ วคือ ∑ =1| − | มคี ่าน้อยทส่ี ุด เม่ือ a = มัธยฐาน และถา้ แทนค่ามัธยฐานด้วยจานวนใดๆ ที่หาได้จากขอ้ มูลชดุ น้ัน
แล้วจะได้ผลรวมมากกวา่ หรือเท่ากบั คา่ นี้เสมอ
2. ลักษณะสาคัญของการใช้คา่ มธั ยฐาน คอื ค่ามธั ยฐานเป็นค่าท่ีเหมาะสมที่จะนามาใช้เปน็ คา่ กลางของข้อมูลเม่ือ
ขอ้ มลู นัน้ ๆ มคี า่ ใดคา่ หน่ึงหรอื หลายๆ ค่าซงึ่ สงู หรอื ต่ากว่าค่าอ่ืนๆ หรอื ตอ้ งการทราบว่ามีค่าทีเ่ ป็นไปได้ค่าใดของข้อมูลชุด
น้ันๆ มีจานวนคา่ สังเกตท่ีมากกว่าหรือน้อยกว่าคา่ น้ีอยูป่ ระมาณเทา่ ๆ กนั ดังรูป
50 % 50 %
Min Me Max
3. สมบัติของค่ามัธยฐานคล้ายกับสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต โดยที่ สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มี
∑ =1( − )2 มคี ่าน้อยที่สดุ เมอ่ื = ส่วนสมบัตขิ องคา่ มัธยฐาน มี ∑ =1| − | มคี ่าน้อยท่สี ดุ เมื่อ =
3.3.3 ฐานนิยม ( ∶ , )
ฐานนยิ ม ( ∶ , )
คอื ขอ้ มลู ที่มจี านวนครง้ั ของการเกดิ ซา้ กนั มากที่สดุ หรอื ข้อมลู ที่มคี วามถ่สี ูงสุดท่มี ากกวา่ 1
จากบทท่ี นักเรยี นได้ศกึ ษามาแล้ววา่ สาหรับข้อมูลเชิงคณุ ภาพ ฐานนิยม คือ ขอ้ มลู ท่มี ีจานวนคร้ังของการเกิดซ้า
กันมากที่สุดหรือข้อมูลที่มีความถ่ีสูงสุดที่มากกว่า 1 ซึ่งบทนิยามของฐานนิยมดังกล่าวสามารถใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณได้
เช่นกัน ข้อมูลบางชุดอาจไม่มีฐานนิยม เช่น ในกรณีท่ีข้อมูลมีความเป็น 1 เท่ากันหมด นอกจากน้ีข้อมูลบางชุดอาจมีฐาน
นิยมมากกว่า 1 ค่าเช่นในกรณีท่ีมีข้อมูลมากกว่า 1 ข้อมูลท่ีมีความถ่ีสูงสุดเท่ากัน อย่างไรก็ตามในที่น้ีจะพิจารณาเฉพาะ
ชดุ ข้อมลู ท่มี ีฐานนยิ มเพียงคา่ เดยี ว
ฐานนิยม (Mode : Mo , Mod) คือ ค่าของข้อมลู ท่ีมคี วามถ่สี ูงสดุ ใช้เป็นคา่ กลางของขอ้ มลู อีกชนดิ หนงึ่ (ถ้าเป็น
ขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพแลว้ การหาตวั กลางของข้อมลู ต้องฐานนยิ มเท่านน้ั * )
การหาฐานนิยม (Mode : Mo , Mod) ของข้อมูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถ่ี (Ungroup data) หาได้จากคะแนน
ของข้อมูลท่ีมี “ความถี่มากท่ีสุด” หรือมีจานวนข้อมูล “ซ้ามากที่สุด” ซึ่งคะแนนหรือค่าสังเกตนั้น ถือว่าเป็น “ฐาน
นิยม : ( ∶ , )”
กจิ กรรม 19 : ฐานนยิ ม ( ; , ) ของขอ้ มูลท่ีไม่ไดแ้ จกแจงความถี่
ตัวอยา่ งที่ 29 จงหาฐานนิยม (Mo) ของข้อมลู 4 , 5 , 3 , 5 , 2 , 7 , 3 , 5
วธิ ีทา
บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 77
ตัวอยา่ งท่ี 30 จงหาฐานนิยม (Mo) ของขอ้ มลู 24 , 25 , 26 , 27 , 25 , 24 , 26 , 24 , 25
วิธที า
ตวั อยา่ งที่ 31 จงหาฐานนยิ ม (Mo) ของขอ้ มลู 3 , 6 , 9 , 7 , 5 , 10 , 12
วิธีทา
จากตัวอย่างข้างต้น สามารถสรุปฐานนิยม (Mode : Mo , Mod) ของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ ได้ว่าจานวน
ฐานนิยมของขอ้ มูลแต่ละชุดอาจมไี ด้ตง้ั แต่ 0 ขน้ึ ไป โดย จะมฐี านนยิ ม 1 ค่า เม่อื ข้อมูลชุดนนั้ มคี ่าของขอ้ มูลสงู สุดเพยี งชุด
เดียว หรือมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า เม่ือจานวนชุดของข้อมูลที่ซ้ากันสูงสุดมีหลายค่า หรือไม่มีฐานนิยมเลย เม่ือไม่มี
จานวนขอ้ มูลทซ่ี ้ากนั เลย หรือมขี ้อมูลท่ซี ้ากนั มจี านวนเทา่ ๆ กนั
และสิ่งท่ีได้จากการสังเกตตัวอย่างข้างต้นเกี่ยวกับฐานนิยม และเอกสารต่างๆ ท่ีนักเรียนได้ฟังหรือได้อ่านจาก
เอกสารตาราต่างๆ จะพบว่า ไม่ได้เป็นกฎเกณฑ์ที่ตายตัว เช่น มีเอกสาร ตาราบางเล่มกล่าวว่า หากมีฐานนิยมเกินกว่า 2
ตัวข้ึนไป จะถือว่าว่าข้อมูลน้ันไม่มีฐานนิยม อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติ เราในฐานะผู้ศึกษาเรียนรู้เรื่องฐานนิยมและ
นาไปใชน้ าไปใชใ้ นการตัดสินใจเหตกุ ารณ์บางอย่าง เชน่ นาไปสารวจความนยิ มของขอ้ มูลบางอย่างบางประเภททีม่ ีจานวน
มากๆ และหลายๆ กลุ่ม ข้อมูลท่ีเราได้น้ันอาจเปน็ ขอ้ มูลท่ีมีผู้คนนยิ มมากกว่า 2 ตัวก็เป็นไปได้ น่ันหมายความว่าฐานนยิ ม
อาจมีมากกวา่ 2 คา่ และเปน็ เหตุเป็นผลในการตัดสินใจพจิ ารณาเลอื กใชใ้ นคร้งั นัน้
กิจกรรม 20 : แบบฝึกหดั ฐานนิยม ( ; , ) ของข้อมลู ท่ีไม่ไดแ้ จกแจงความถี่
ขอ้ 1. ข้อมูลชดุ หนงึ่ ประกอบด้วย 7 , 2 , 4 , 9 , 5 , 6 , 4 , 6 , 3 , 4
จงหาค่าของ | − | เมื่อ แทน ค่าเฉล่ยี เลขคณิต และ แทน ฐานนิยมของขอ้ มลู ชุดน้ี
วธิ ที า
บทท่ี 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 78
ข้อ 2. ขอ้ มลู ชุดหนึ่งเมือ่ เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากจะได้ 1 , 2 , 16 , 4 , 5 ตามลาดับ โดยขอ้ มูลชุดน้ี
มีค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 17 มีฐานนิยมเท่ากับ 15 และมีผลต่างระหว่างข้อมูลค่ามากที่สุดกับคา่ น้อยท่ีสุดเป็น 5 จงหา
ข้อมลู ทั้งหมดของข้อมูลชดุ น้ี
วิธีทา
ตัวอยา่ งที่ อายุ (ป)ี ของนกั เรยี นท่ีมาเขา้ ค่ายคณิตศาสตรจ์ านวน 15 คนแสดงได้ดงั น้ี
5 8 7 6 7 8 12 11
10 11 8 6 8 7 8
จงหา มธั ยฐานนิยม ( ) และฐานนยิ ม ( ) ของขอ้ มลู ชดุ น้ี
วิธที า
บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 79
ตวั อย่างที่ 33 เงินเดอื น (บาท) ของพนักงานแผนกหน่งึ ใน บรษิ ัท แหง่ หนึง่ จานวนท้งั หมด 7 คนแสดงได้ดงั น้ี
15,300 16,600 13,400 15,300 14,400 15,300 71,000
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ) มัธยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของข้อมูลชุดน้ีและพิจารณาว่าควรใช้คา่ กลางใด
เป็นตัวแทนของข้อมลู ชดุ น้พี ร้อมท้ังให้เหตผุ ลประกอบ
วธิ ีทา
ตวั อย่างท่ี 34 นกั เรียนคนหนง่ึ ไดค้ ะแนนสอบย่อยวชิ าคณติ ศาสตร์จานวน 5 ครัง้ ซงึ่ แต่ละครั้งมคี ะแนนเตม็ เท่ากันดงั น้ี
17 17 17 19 20
จงพจิ ารณาวา่ ควรใชค้ ่ากลางใดเปน็ ตวั แทนของขอ้ มูลชดุ นีพ้ ร้อมท้ังให้เหตผุ ลประกอบ
วิธที า
บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 80
ข้อสงั เกตทีส่ าคัญเก่ียวกบั ค่ากลางชนิดต่าง ๆ
1. ฐานนิยมจะมีค่าตรงกบั ค่าใดค่าหน่ึงของขอ้ มลู ชุดนั้นในขณะท่ีค่าเฉลย่ี เลขคณติ และมัธยฐานอาจไม่ใช่คา่ ใดค่า
หนึง่ ของข้อมลู ชดุ นน้ั
2. โดยปกติค่าเฉลย่ี เลขคณิตมักเป็นคา่ กลางทนี่ ยิ มมากท่สี ุด แตถ่ ้าชดุ ขอ้ มลู มีขอ้ มลู ที่แตกตา่ งจากขอ้ มูลตัวอน่ื มาก
จะมผี ลตอ่ ค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มูลชุดน้ี แต่จะไม่มผี ลตอ่ มัธยฐานและฐานนยิ ม
3. สาหรับข้อมูลเชิงคุณภาพจะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมเท่าน้ันไม่สามารถหาค่าเฉล่ียเลขคณิต
และมธั ยฐานได้
4. ค่าเฉล่ียเลขคณิตมัธยฐานและฐานนิยมไม่จาเป็นต้องมีค่าเท่ากันทั้งนี้คา่ เฉล่ยี เลขคณิตและมัธยฐานจะมคี ่าท่ีไม่
สงู หรือต่าเกนิ ไปเมือ่ เทยี บกับคา่ ของขอ้ มลู ท้ังหมดในขณะทีฐ่ านนิยมอาจเป็นค่าสูงสดุ หรอื คา่ ตา่ สุดของชุดข้อมูลนัน้ ได้
การพิจารณาเลือกใช้ค่ากลางของข้อมูลไม่มีกฎเกณฑ์ท่ีแน่ชัด แต่ควรเลือกให้เหมาะสมกับวัตถุประสงค์ในการ
นาไปใช้และลักษณะของข้อมูลรวมท้ังต้องพิจารณาข้อดีและข้อเสียของค่ากลางแต่ละชนิดหากเลือกใช้ค่ากลางท่ีไม่
เหมาะสมอาจทาให้สรปุ ผลหรือตัดสนิ ใจผดิ พลาดได้
3.3.4 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการกระจายของข้อมลู และค่ากลางของขอ้ มูล
การอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลนอกจากจะวิเคราะห์โดยใช้แผนภาพกล่องตามท่ีได้ศึกษาในหัวข้อ 3.2
แล้วยังสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของค่าเฉล่ียเลขคณิตมัธยฐานและฐานนิยมในที่น้ีจะแบ่ งลักษณะการ
กระจายของขอ้ มลู เป็น 3 แบบดังน้ี
แบบท่ี 1. การแจกแจงสมมาตร (Symmetrical distribution)
คา่ เฉล่ียเลขคณติ = มธั ยฐาน = ฐานนยิ ม
11 2 2 3 3
1 2 3
รปู ท่ี 4
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปที่ 4 เรียกว่าการแจกแจงสมมาตร (Symmetrical distribution) และ
จากรปู ที่ 4 จะไดค้ วามสมั พันธ์ของค่ากลางของข้อมลู ดังน้ี
ค่าเฉล่ยี เลขคณิต ( ) = มัธยฐาน ( ) = ฐานนิยม ( )
จะเห็นว่าข้อมูลที่มีความถ่ีสูงสุดจะอยู่ตรงกลางและความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเม่ือข้อมูลมีค่าห่างจากมัธยฐาน เม่ือ
พจิ ารณาจากแผนภาพกลอ่ งจะเห็นว่าความกวา้ งของชว่ งจาก 1 ถงึ 2 เทา่ กบั ความกว้างของช่วงจาก 2 ถึง 3
บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 81
แบบที่ 2. การแจกแจงเบ้ขวา ขวา (right-skewed distribution)
ฐานนิยม < มธั ยฐาน < คา่ เฉลย่ี เลขคณิต
1 2 3
รปู ท่ี 5
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 5 เรียกว่า การแจกแจงเบ้ขวา (right-skewed distribution) โดยมี
ความสัมพนั ธข์ องค่ากลางของขอ้ มลู ดังน้ี
ฐานนิยม ( ) < มัธยฐาน ( ) < คา่ เฉล่ียเลขคณิต ( )
จะเห็นว่าข้อมูลท่ีมีค่าน้อยจะมีความถี่สูงและความถี่ของข้อมูลจะลดลงเม่ือค่าของข้อมูลเพิ่มขึ้นเมื่อพิจารณาจาก
แผนภาพกลอ่ งจะเหน็ ว่าความกวา้ งของชว่ งจาก 1 ถึง 2 น้อยกวา่ ความกว้างของช่วงจาก 2 ถึง 3
แบบที่ 3. การแจกแจงเบ้ซา้ ย (left-skewed distribution)
ค่าเฉลีย่ เลขคณติ < มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม
1 2 3
รปู ที่ 6
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 6 เรียกว่าการแจกแจงเบ้ซ้าย (left-skewed distribution) โดยมี
ความสมั พันธข์ องคา่ กลางของข้อมลู ดังนี้
ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( ) < มัธยฐาน ( ) < ฐานนิยม ( )
จะเห็นว่าข้อมูลที่มีค่ามากจะมีความถ่ีสูงและความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเมื่อค่าของข้อมูลลดลงเม่ือพิจารณาจาก
แผนภาพกล่องจะเหน็ วา่ ความกว้างของช่วงจาก 1 ถึง 2 มากกว่าความกว้างของชว่ งจาก 2 ถงึ 3
บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 82
การแจกแจงเบซ้ า้ ย การแจกแจงสมมาตร การแจกแจงเบ้ขวา
< < = = < <
ถึงแมค้ ่ากลางของขอ้ มลู จะสามารถใชใ้ นการบอกลกั ษณะการกระจายของข้อมูล แต่ก็ยังไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ ข้อมูล
มีการกระจายมากหรือน้อย ในหัวข้อต่อไปนักเรียนจะได้ศึกษาค่าที่ใช้ในการพิจารณาว่าข้อมูลมีการกระจายมากหรือน้อย
เพียงใด
. . ความสมั พนั ธข์ องค่าเฉลี่ยเลขคณติ มัธยฐาน และ ฐานนยิ มและการประมาณค่า
ความสัมพนั ธ์ของ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และ ฐานนิยม คือ ̅ − = 3( ̅ − )
เส้นโค้งปกตจิ ะจะมีความโดง่ มากหรือนอ้ ยข้ึนอยู่กบั การกระจายของขอ้ มลู
1. ถ้าขอ้ มูลมีการกระจายมาก เส้นโคง้ ปกตจิ ะมีความโดง่ น้อย
2. ถ้าข้อมูลมกี ารกระจายนอ้ ย เสน้ โค้งปกติจะมีความโดง่ มาก
1 = 2 และ 1 > 2 1 < 2 และ 1 = 2 ; 1 กระจายมากกวา่ 2 เพราะ 1 = 2
1 2
รูปแบบท่ี 1
รปู แบบที่ 2
1 < 2 และ 1 > 2 1 > 2 และ 1 > 2
รูปแบบที่ 3 รปู แบบท่ี 4
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 83
กจิ กรรม 21 : แบบฝกึ หัด การประมาณค่าการหาค่าเฉล่ยี เลขคณิต มธั ยฐาน และ ฐานนิยม
สูตร : ความสมั พนั ธข์ องการประมาณของ ค่าเฉล่ียเลขคณิต มธั ยฐาน และ ฐานนยิ ม คือ ̅ − = 3( ̅ − )
ขอ้ 1. ข้อมูลชุดหนงึ่ มี ̅ = 20 และ = 18 จงหาค่าประมาณของฐานนยิ ม
พร้อมวาดภาพประกอบว่าเปน็ การแจกแจงแบบใด (แบบสมมาตร เบ้ทางซ้าย เบท้ างขวา)
และอธบิ ายลกั ษณะการแจกแจงของข้อมูล
วธิ ีทา จากความสมั พันธ์ คือ ̅ − = 3( ̅ − )
ข้อ 2. ข้อมูลชดุ หนงึ่ มีมัธยฐานเทา่ กับ 24 และฐานนยิ มเท่ากบั 18 จงหาคา่ ประมาณของค่าเฉลย่ี
พร้อมวาดภาพประกอบวา่ เปน็ การแจกแจงแบบใด (แบบสมมาตร เบท้ างซา้ ย เบ้ทางขวา)
และอธิบายลกั ษณะการแจกแจงของข้อมูล
วธิ ีทา จากความสมั พนั ธ์ คอื ̅ − = 3( ̅ − )
บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 84
ขอ้ 3. จงหาคา่ ประมาณของค่ากลางทีเ่ หลือ พรอ้ มวาดภาพประกอบวา่ เป็นการแจกแจงแบบใด
(แบบสมมาตร เบ้ทางซ้าย เบ้ทางขวา) และอธิบายลกั ษณะการแจกแจงของข้อมูล
3.1 ̅ = 5 ; = 11
วธิ ที า
3.2 ̅ = 11 ; = 9
วิธีทา
3.3 = 12 ; = 14
วธิ ที า
บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 85
ขอ้ 4. คะแนนสอบของนักเรียนห้องหนงึ่ มกี ารแจกแจงแบบปกติ ถา้ นักเรียนห้องน้ีมี 40 คน และฐานนยิ ม
เทา่ กับ 60 คะแนน แล้วจงหาผลรวมของคะแนนทงั้ หอ้ ง
วิธีทา
ขอ้ 5. จากการศึกษาอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้ายห่ี ้อหน่ึงพบว่า อายุการใช้งานเฉลีย่ คอื 1,500 ชัว่ โมง
มธั ยฐานของอายุการใชง้ านคอื 1,600 ชว่ั โมง จงหาฐานนิยามของอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้าย่หี ้อน้ี
วธิ ีทา
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 86
กจิ กรรม 22 : แบบฝึกหดั 3.3.1 เร่อื ง คา่ กลางของข้อมูล
1. จากการสมุ่ เก็บขอ้ มูลคา่ จ้างรายวนั (บาท) ของพนกั งานชัว่ คราวของรา้ นสะดวกซื้อ 2 แห่ง เป็นเวลา 10 วนั
ในเดอื นมกราคม พ.ศ. 2562 แสดงได้ดังนี้
รา้ นที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
ร้านที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
1.1) จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณิต ( ) มธั ยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของคา่ จ้างรายวันของพนักงานแต่ละร้าน
1.1.1) จงหาค่าเฉล่ียเลขคณติ ( )
รา้ นที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
รา้ นท่ี 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วธิ ีทา
1.1.2) มธั ยฐาน ( )
รา้ นท่ี 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
ร้านท่ี 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วธิ ที า
บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 87
1.1.3) ฐานนิยม ( )
รา้ นที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
รา้ นที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วธิ ีทา
1.2) นกั เรียนจะเลอื กทางานทร่ี ้านใดเพราะเหตใุ ด
ตอบ
2. ธนาคารแห่งหน่ึงสารวจระยะเวลา (นาที) ทล่ี ูกค้าใช้ในการทาธุรกรรมทธี่ นาคารไดผ้ ลสารวจดังน้ี
14 13 17 15 15 14 15 28 18
17 11 9 13 16 18 15 14 16
7 16 11 12 19 27 14 12 19
จงหา 2.1) ค่านอกเกณฑข์ องขอ้ มูลชุดนี้
2.2) ค่าเฉลีย่ เลขคณิต ( ) ของขอ้ มลู ชุดนี้
2.3) คา่ เฉลี่ยเลขคณิต ( ) ของระยะเวลาท่ีลูกค้าใช้ในการทาธรุ กรรมที่ธนาคารแห่งนี้โดยไมร่ วมค่านอกเกณฑ์
2.4) คา่ เฉลยี่ เลขคณิต ( ) ท่ไี ด้จากข้อ 2.2) และ 2.3) แตกต่างกันมากหรือไมเ่ พราะเหตุใด
วิธีทา : 2.1) คา่ นอกเกณฑข์ องขอ้ มลู ชดุ นี้
( )2.1.1) คา่ ตา่ สดุ ของขอ้ มลู คือ ...............................................
( )ค่าสูงสดุ ของข้อมูล คือ ...........................................
( )และจานวนขอ้ มูลของข้อมูลชุดนมี้ ีจานวน ........................................ ขอ้ มลู = ........................................
บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 88
2.1.2) หา 1 , 2 และ 3 โดยเรยี งตาแหน่งทขี่ องข้อมลู จากน้อยไปหามาก ดังตาราง
ตาแหนง่ ที่ 12345678 9
คา่ ของขอ้ มูล
ตาแหนง่ ที่ 10 11 12 13 14 15 16 17 18
คา่ ของขอ้ มูล
ตาแหนง่ ที่ 19 20 20 22 23 24 25 26 27
คา่ ของข้อมูล
และหาค่าของ 1, 2และ 3 ได้จาก
สูตร ตาแหนง่ ควอไทล์ท่ี = ( +1) ซ่งึ จานวนข้อมลู = ................................ ดงั น้ี
4
อย่ใู นตาแหน่งท่ี2.1.2.1) 1 ...........................................................................................................................................................................................................................
. .............................................................................................................................................................................................................................................................................
ดงั น้นั ค่าของ 1 ............................................................................................................................................................................................................................................
อยู่ในตาแหนง่ ท่ี2.1.2.2) 2 .....................................................................................................................................................................................................................
. .............................................................................................................................................................................................................................................................................
ดงั นั้นคา่ ของ 2 .............................................................................................................................................................................................................................................
อยู่ในตาแหน่งที่2.1.2.3) 3 ......................................................................................................................................................................................................................
. .............................................................................................................................................................................................................................................................................
ดังนน้ั ค่าของ 3 .........................................................................................................................................................................................................................................
2.1.3) หาค่านอกเกณฑ์ (outlier)
หาค่า2.1.3.1) 1 − 1.5( 3 − 1) = ..............................................................................................................................................................
= ..............................................................................................................................................................
หาค่า2.1.3.2) 3 + 1.5( 3 − 1) = ................................................................................................................................................................
= ..............................................................................................................................................................
จะพบว่า มขี ้อมูลทน่ี อ้ ยกว่า ได้แก่ 1 − 1.5( 3 − 1) .........................................................................................................................................................................
และ มขี อ้ มูลที่มากกว่า ไดแ้ ก่ 3 + 1.5( 3 − 1) .........................................................................................................................................................................
ดังน้ัน ค่านอกเกณฑ์ของข้อมูลชดุ นี้ ไดแ้ ก่ ..................................................................................................................................................................................................................
บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 89
2.1.4) ขียนแผนภาพกลอ่ ง (Box plot) เพื่อนาเสนอขอ้ มูลชดุ นี้
5 8 11 14 17 20 23 26 29 32
จากแผนภาพกลอ่ ง สรุปไดว้ ่า
2.2) คา่ เฉล่ียเลขคณติ ( ) ของขอ้ มูลชดุ น้ี
2.3) คา่ เฉลี่ยเลขคณิต ( ) ของระยะเวลาที่ลูกค้าใช้ในการทาธุรกรรมที่ธนาคารแห่งนีโ้ ดยไมร่ วมคา่ นอกเกณฑ์
2.4) คา่ เฉล่ียเลขคณติ ( ) ท่ีได้จากข้อ 2.2) และ 2.3) แตกตา่ งกันมากหรือไม่เพราะเหตุใด
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 90
3. วชิ าคณติ ศาสตร์มีการสอบ 3 ครง้ั เปน็ การสอบยอ่ ย 2 คร้ัง และสอบปลายภาค 1 ครั้ง โดยคะแนนสอบย่อยแตล่ ะคร้ัง
คิดเป็นร้อยละ 15 ของคะแนนท้ังหมด และคะแนนสอบปลายภาคคิดเป็นร้อยละ 70 ของคะแนนท้ังหมดถ้านักเรียนคน
หนึ่งได้คะแนนสอบยอ่ ย 2 ครั้งเปน็ 74 และ 80 คะแนน และไดค้ ะแนน สอบปลายภาค 62 คะแนนโดยแต่ละคร้ังมี
คะแนนเต็ม 100 คะแนนจงหาคะแนนเฉลย่ี วชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นคนนี้
วิธีทา
4. ในการสมัครเข้ารับการคัดเลือกเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งผู้สมัครต้องยื่นจดหมายรับรอง จานวน 3 ฉบับ
เพ่ือประกอบการพิจารณาถา้ คา่ เฉล่ียเลขคณิตมัธยฐานและฐานนยิ มของจานวนจดหมาย รับรองของผู้สมัครจานวน 148
คน คือ 2.9 , 3 และ 3 ฉบับตามลาดับจงใช้ค่ากลางดังกล่าว ในการอธิบายความหมายของจานวนจดหมายรับรองของ
ผสู้ มัครทง้ั 148 คน
วิธที า
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 91
5. ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียน 3 คนคือ 38 กิโลกรัม และนักเรียนหนึ่งคนในกลุ่มน้ีหนัก 45 กิโลกรัม
สว่ นอีกสองคนทเี่ หลอื หนกั เทา่ กัน จงหาว่านกั เรยี นสองคนทเ่ี หลือ หนักคนละก่ีกโิ ลกรมั
วิธีทา
6. ขอ้ มลู ชดุ หน่งึ มี 7 ตัวและมีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตคอื 81 ถ้าตัดข้อมูลออกไป 1 ตัว แล้วทาใหค้ ่าเฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มูลชุด
นีเ้ หลือ 78 จงหาว่าข้อมลู ทีถ่ กู ตัดออกไปมคี า่ เท่าใด
วิธีทา
บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 92
7. วชิ าคณติ ศาสตร์มีการสอบยอ่ ยทั้งหมด 5 ครั้งแตล่ ะคร้งั มคี ะแนนเต็มเทา่ กนั ถา้ คา่ เฉลย่ี เลขคณติ มัธยฐาน และฐานนยิ ม
ของคะแนนสอบย่อยท้ังห้าคร้ังของน้อยหน่าคือ 86 , 87 และ 80 คะแนน ตามลาดับ จงหาคะแนนสอบย่อยท่ีสูงท่ีสุดท่ี
เป็นไปได้ของนอ้ ยหน่า ถ้าคะแนนสอบทัง้ ห้าครง้ั ของนอ้ ยหนา่ เปน็ จานวนเตม็
วธิ ที า
8. นกั สัตววิทยาคนหนึ่งสารวจจานวนการตายและการเกดิ ของไก่ป่าชนดิ หนึง่ ในพ้นื ท่ีสารวจ 14 พ้นื ทใ่ี นเดอื นพฤษภาคม
พ.ศ. 2562 ไดผ้ ลสารวจดังน้ี
พืน้ ทส่ี ารวจ จานวนการตายของไก่ปา่ ( : ตวั ) จานวนการเกดิ ของไก่ปา่ ( : ตวั )
15 30
20 28
30 38
48 34
59 26
67 40
72 48
86 46
94 32
10 0 31
11 2 46
12 10 132
13 3 42
14 5 126
รวม ∑ 1 =41 = ∑1 =41 =
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 93
8.1) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ) มัธยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของจานวนการตายของไก่ป่าในพ้ืนที่
สารวจทง้ั 14 พื้นท่ีและพจิ ารณาว่าคา่ กลางใดไม่ควรเป็นตัวแทนของจานวนการตายของไก่ป่าในพน้ื ท่สี ารวจทงั้ 14 พน้ื ท่ี
พร้อมทงั้ ให้เหตุผลประกอบ
วธิ ที า กาหนดให้ จานวนการตายของไก่ป่าเปน็ ตัว และ จานวนการเกดิ ของไก่ปา่ เปน็ ตวั
ตาแหนง่ ที่ พืน้ ท่ีสารวจ จานวนการตายของไก่ปา่ ( : ตัว)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
รวม ∑ 1 =41 =
8.1.1) หาค่าเฉล่ียเลขคณิต ( )
8.1.2) หาค่ามัธยฐาน ( )
8.1.3) หาฐานนิยม ( )
บทท่ี 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 94
8.2) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ) มัธยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของจานวนการเกิดของไก่ป่าในพื้นที่
สารวจทั้ง 14 พ้ืนท่ีและพิจารณาว่าควรใช้ค่ากลางใดเปน็ ตัวแทนของจานวนการเกดิ ของไกป่ ่าในพื้นท่ีสารวจท้ัง 14 พ้ืนท่ี
พรอ้ มทงั้ ให้เหตผุ ลประกอบ
วธิ ที า
ตาแหน่งที่ พืน้ ทส่ี ารวจ จานวนการเกดิ ของไก่ป่า ( : ตวั )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
รวม ∑ 1 =41 =
8.2.1) หาคา่ เฉล่ียเลขคณิต ( )
8.2.2) หาคา่ มธั ยฐาน ( )
8.2.3) หาฐานนยิ ม ( )
บทที่ 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 95
3.4 คา่ วดั การกระจาย
การทราบเพียงค่ากลางของข้อมูลไม่เพียงพอที่จะบอกว่าข้อมูลมีการกระจายมากหรือน้อย เน่ืองจากค่ากลาง
แต่ละชนิดมิได้บอกให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละค่าห่างกันมากหรือน้อยเพียงใด ข้อมูลส่วนใหญ่รวมกลุ่มกันหรือกระจายกัน
ออกไป
ห้อง 1 ห้อง 2
คะแนนเฉลย่ี ( ) 67 67
คะแนนสงู สุด ( ) 72 97
คะแนนต่าสดุ ( ) 62 25
ผลต่าง ( − ) 10 72
สมมติว่าในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี นสองห้องซ่ึงใชข้ ้อสอบชุดเดยี วกนั มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ
เท่ากัน คือ 67 คะแนน ห้องแรกมีคะแนนสูงสุด 72 คะแนน และคะแนนต่าสุด 62 คะแนน ส่วนห้องท่ีสองมีคะแนนสูงสุด
97 คะแนน และคะแนนต่าสุด 25 คะแนน จะเห็นว่าคะแนนสูงสุดและคะแนนต่าสุดของห้องแรกต่างกันเพียง 10 คะแนน
แต่คะแนนสงู สดุ และคะแนนต่าสดุ ของห้องท่ีสองต่างกนั ถึง 72 คะแนน
แสดงว่าคะแนนของห้องที่สองมีการกระจายมากกวา่ ห้องแรกมาก ซึ่งอาจกล่าวได้ว่านักเรียนห้องแรกส่วนใหญ่สอบได้
คะแนนใกล้เคียงกัน แต่นักเรียนห้องที่สองสอบได้คะแนนแตกต่างกันมาก ต่อไปน้ีนักเรียนได้ศึกษาค่าวัดทางสถิติที่จะช่วยให้
เหน็ ลกั ษณะของข้อมูลชดั เจนขึ้นและสามารถวิเคราะหเ์ กยี่ วกับขอ้ มูลน้ันไดม้ ากขนึ้
จากการศึกษา เรื่องการหาค่ากลางของขอ้ มูลเราพบว่ามวี ิธีการหาค่าได้มากมาย ท้ังค่าเฉลี่ยเลขคณติ ค่ามัธยฐาน ฐาน
นิยม ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิค ค่าเฉล่ียเรขาคณิต และค่ากึ่งกลางพิสัย ค่ากลางเหล่านี้เราสามารถพจิ ารณาเลือกใช้ให้เหมาะสมตาม
ลักษณะของข้อมูลท่ีเราต้องการได้ แต่การหาค่ากลางหรือค่าเฉล่ียท่ีได้จากค่าสังเกตหรือขอ้ มูลย่อยๆ เหล่าน้ันอาจมีค่าเท่ากัน
หรือใกล้เคียงกัน แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าข้อมูลเหล่านั้นเหมือนกัน หรือใกล้เคียงกันทุกประการ เพ่ือที่จะต้องการวิเคราะหว์ ่า
ข้อมูลชุดเหล่าน้ันมคี วามเหมือนกนั หรือแตกต่างกนั มากน้อยแค่ไหน จึงทาให้เราต้องศึกษาเพิ่มเตมิ อีกว่าถ้าคา่ ของขอ้ มลู แต่ละ
ตัวไมแ่ ตกตา่ งกนั มาก กแ็ สดงว่าขอ้ มูลมกี ารเกาะกลุม่ มีคา่ ใกลเ้ คียงกนั มคี ่าคลาดเคลือ่ นน้อย แตถ่ ้าขอ้ มลู แตล่ ะตวั แตกตา่ งกัน
มาก แสดงว่าข้อมูลไม่มีการเกาะกลุ่ม มีค่าคลาดเคล่ือนระหว่างข้อมูลชุดเหล่านั้นมาก เราน้ีเราจะหาสถิติตัวใดมาวัดเพิ่มเติม
เพื่อวิเคราะห์ควบคู่ไปพร้อมๆ กับการหาค่ากลางของข้อมูล เหล่าน้ีคือแนวคิดท่ีจะมาวัดความแตกต่าง ความคลาดเคล่ือนของ
ขอ้ มูล ทเ่ี ราเรียกวา่ “การวดั การกระจายของขอ้ มูล” ด้วยแนวคดิ ทีว่ ่า ถา้ คา่ วดั การกระจายทคี่ านวณมีคา่ มาก ได้บ่งช้ีวา่ ขอ้ มูล
มูลนั้นมีการกระจายมากหรือแตกต่างกันมาก ไม่เกาะกลุ่มหรือไม่เป็นไปในทิศทางเดียวกัน และข้อมูลเหล่านั้นก็มีค่า
คลาดเคลื่อนมากด้วย ในขณะเดียวกัน ถ้าค่าวัดการกระจายท่ีคานวณมีค่าน้อย ได้บ่งชี้ว่าข้อมูลมูลน้ันมีการกระจายน้อยหรือ
แตกต่างกันน้อย ข้อมูลเกาะกลุ่มหรือเป็นไปในทิศทางเดียวกัน และข้อมูลเหล่านั้นก็มีค่าคลาดเคล่ือนน้อยด้วย นักสถิติได้
คิดค้นวิธีวดั การกระจายจากการวเิ คราะหห์ าค่ากลางชนิดต่างๆ ได้ 2 กลุ่มใหญๆ่ และแบง่ เปน็ วธิ ีย่อยไดด้ ังนี้
1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) ประกอบดว้ ย
1.1) พิสัย (Range : R)
1.2) สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ (Quatiles deviation : Q.D.)
1.3) ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลย่ี (Mean deviation or Average deviation : M.D.)
1.4) สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s ; S.D.)
1.5) ความแปรปรวน (Variance : s2 ; (S.D.)2)
บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 96
2. การวดั การกระจายสมั พัทธ์ (Relative Variation) ประกอบดว้ ย
2.1) สมั ประสิทธิ์ของพสิ ัย (Coefficient of Range : C.R.)
2.2) สัมประสทิ ธิ์ของส่วนเบึ่ยงเบนควอไทล์ (Coefficient of quatiles deviation : C.Q.)
2.3) สมั ประสทิ ธขิ์ องส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย (Coefficient of mean deviation : C.M.)
2.4) สมั ประสิทธิ์ของการแปรผัน (Coefficient of Variance : C.V.)
ซ่ีงในระดบั ช้ันน้ี ตามหลักสตู รการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน ฉบบั ปรบั ปรงุ พุทธศักราช 2560 ใหน้ กั เรียนศกึ ษา เพยี ง 5
เรอ่ื ง จาก 2 วธิ ีวัดการกระจาย ดงั นี้
1. การกระจายสัมบูรณ์ (absolute variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่มี
หน่วยเช่นเดียวกับข้อมูลหรือเป็นกาลังสองของหน่วยของข้อมูลเพ่ือใช้พิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกันมาก
หรือนอ้ ยเพยี งใดในที่นจ้ี ะศึกษาค่าวดั การกระจายสมั บรู ณ์ 4 ชนดิ คือ
1.1) พิสยั (Range : R)
1.2) พิสยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (interquartile range : IQR)
1.3) ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s ; S.D. )
1.4) ความแปรปรวน (Variance : s2 ; (S.D.)2 )
2. การกระจายสัมพัทธ์ (relative variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติท่ีไม่มี
หนว่ ยซ่ึงเป็นค่าที่ใช้ในการเปรยี บเทียบการกระจายระหว่างขอ้ มูลมากกว่า 1 ชดุ ในทีน่ ีจ้ ะศกึ ษาคา่ วัดการกระจายสัมพัทธ์
เพยี งชนิดเดียว คือ สมั ประสิทธ์ิการแปรผัน (Coefficient of Variance : C.V.)
3.4.1 การวดั การกระจายสัมบูรณ์ (absolute variation)
การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) คอื การวดั การกระจายของขอ้ มลู เพยี งชดุ เดยี ว กลุ่มเดยี ว
เพอ่ื ดวู า่ ค่าสงั เกต (หรอื ขอ้ มลู ) มีความแตกตา่ งกนั มากน้อยเพียงใด ประกอบดว้ ย
3.4.1.1 พิสยั (Range : R)
การวัดการกระจายของขอ้ มลู โดยใชพ้ ิสยั เปน็ การวัดการกระจายของขอ้ มลู อย่างคร่าวๆ
พิสยั (Range) ของขอ้ มลู คือ ค่าทีไ่ ด้จากการวัดกระกระจายของข้อมลู ทไ่ี ดจ้ ากผลต่างระหวา่ ง
คา่ สงั เกตสูงสุด กับ คา่ สงั เกตตา่ สุด ของข้อมูลชดุ หน่ึงๆ
ซ่ึงมสี ตู ร ดังน้ี
1) พิสยั ของข้อมลู ทไ่ี ม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungroup data)
พิสยั (Range : R) = (1) − ……………….…………....
เมื่อ เปน็ ค่าสงู สดุ (Maximum) ของขอ้ มูลทง้ั หมด
เปน็ ค่าต่าสุด (Minimum) ของข้อมูลทงั้ หมด
2) พิสยั ของขอ้ มูลที่แจกแจงความถ่ี (Group data)
พสิ ยั (Range : R) = (2)U − L ………………………………………..……....
เม่อื L เปน็ ขอบล่าง (Lower boundary) ของอนั ตรภาคชัน้ ท่มี คี ่าต่าสุด
U เปน็ ขอบบน (Upper boundary) ของอนั ตรภาคชัน้ ท่มี ีค่าสูงสดุ
บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 97
กิจกรรม 23 : การวดั การกระจายของข้อมูลโดยใช้พิสยั (Range : R)
ตวั อยา่ งท่ี 35 ผลผลิตนา้ ตาลใน พ.ศ. 2561/62 ของจนี สหรฐั อเมริกาไทยอินเดียออสเตรเลยี และบราซลิ แสดงได้ดงั น้ี
ประเทศ จนี สหรฐั อเมริกา ไทย อินเดยี ออสเตรเลีย บราซิล
ผลผลติ (ลา้ นตัน) 10.60 8.12 14.19 33.07 4.90 29.50
จงหาพิสยั (Rang : R) ของข้อมูลชุดนี้
วธิ ที า จากโจทย์ คา่ สูงสดุ (Maximum) ของขอ้ มลู คือ = ………………………………………….
คา่ ต่าสดุ (Minimum) ของขอ้ มูล คือ = ………………………………………….
จากสตู ร พิสยั (Range : R) = −
ขอ้ ดีของการใชพ้ ิสัยในการวัดการกระจายของขอ้ มูล คือ สามารถหาได้สะดวก แต่การวัดการกระจายของขอ้ มลู โดย
ใช้พสิ ัยเปน็ การวดั การกระจายของข้อมูลอยา่ งคร่าว ๆ เพราะพสิ ัยคานวณจากข้อมูลเพียงสองค่าเท่านนั้ คือค่าสูงสุดและ
ค่าต่าสุดไม่ได้ใช้ข้อมูลอ่ืน ๆ ในการคานวณเลย ดังนั้นการใช้พิสัยในการวัดการกระจายของข้อมูลอาจให้ข้อสรุปท่ี
คลาดเคลื่อนในกรณีท่ีชุดข้อมูลมีข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลตัวอ่ืนมาก เช่น คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของ
นักเรยี นจานวน 10 คน เปน็ ดังนี้
10 70 71 72 73 74 75 76 77 100
จะเห็นว่านักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนนใกล้เคียงกันโดยมีค่าต้ังแต่ 70 ถึง 77 คะแนนยกเว้นท่ีได้คะแนนสูงสุดและ
ต่าสุด แต่พิสัยของข้อมูลชุดน้ีคือ 100 – 10 = 90 คะแนน ทาให้อาจเข้าใจว่านักเรียนได้คะแนนแตกต่างกันมากซ่ึง
คลาดเคลอ่ื นไปจากความเป็นจรงิ
ตัวอยา่ งที่ 36 นักเรยี นกล่มุ หน่งึ มนี ้าหนกั 55 , 43 , 71 , 58 , 52 , 56 กโิ ลกรัม จงหาพสิ ัย (Rang) ของนา้ หนกั
วิธีทา
ตวั อย่างท่ี 37 จงหาพิสัยของคะแนนเกบ็ จาการสอบวชิ าสถติ ิคะแนนเตม็ 30 คะแนนของนักเรียน ม.6 หอ้ งหนง่ึ
จากตารางแจกแจงความถี่ตอ่ ไปน้ี
คะแนน 5 - 9 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29
ความถี่ 12 14 18 10 6
วิธที า
บทท่ี 3 : การวเิ คราะห์และนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 98
3.4.1.2 พสิ ยั ระหวา่ งควอร์ไทล์ (interquartile range : IQR)
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (interquartile range) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยคานวณจากผลต่างระหว่างค
วอรไ์ ทลท์ ่ีสามและควอรไ์ ทล์ทีห่ น่งึ เขยี นแทนพิสยั ระหวา่ งควอร์ไทลด์ ้วย IQR
ให้ 1 และ 3 เป็นควอร์ไทล์ที่หน่งึ และ ควอรไ์ ทลท์ ี่สาม ของข้อมลู ชุดหนง่ึ ตามลาดับ จะได้
พสิ ัยระหวา่ งควอรไ์ ทล์ (interquartile range) = −
การวัดการกระจายสัมบูรณ์โดยใช้พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ มีข้อดีในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลที่แตกต่างจากข้อมูลตัวอื่นมาก
เนื่องจากการคานวณหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์จะใช้เพียง 1 และ 3 เท่าน้ัน ส่วนข้อมูลท่ีแตกต่างจากข้อมูลตัวอ่ืนมากจะมีค่า
น้อยกวา่ 1 หรอื มากกวา่ 3
นอกจากน้ี IQR สามารถนาไปใช้ในการตรวจสอบว่าข้อมูลใดเป็นค่านอกเกณฑ์ดังท่ีได้นาเสนอไว้ใน 3.2 เร่ือง แผนภาพ
กล่องนั่นคือ คา่ นอกเกณฑ์ ( ) คอื
ข้อมูลทมี่ คี ่านอ้ ยกวา่ 1 − 1.5 หรือ ขอ้ มูลทีม่ คี ่ามากกว่า 3 + 1.5 เช่น
กิจกรรม 24 : การวัดการกระจายของข้อมลู โดยใช้พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (interquartile range : )
ตวั อยา่ งที่ 38 ขอ้ มูลการสอบคณิตศาสตรม์ ีคะแนนของนกั เรยี น แสดงดว้ ยแผนภาพ ตน้ – ใบ ดังนี้
07
23378
3234445
4002
99
จงหาค่าของ 3 , 1 และ พสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทลด์ ว้ ย IQR
วิธีทา จากแผนภาพ ตน้ – ใบ หาคา่ ต่าสุด ค่าสงู สุด และ ตาแหน่งทีข่ องแต่ละขอ้ มลู จะได้
07 → ตาแหนง่ ที่ 1
23378 → ตาแหนง่ ท่ี 2 3 4 5
3 2 3 4 4 4 5 → ตาแหน่งที่ 6 7 8 9 10 11
4002 → ตาแหน่งท่ี 12 13 14
99 → ตาแหน่งที่ 15
( ) ( )38.1) คา่ ตา่ สุด
ของขอ้ มูล คือ ............................................ คา่ สงู สุด ของข้อมูล คือ ................................................
และ จานวนข้อมูล ข้อมลู = ............................................
38.2) หาค่า 1 และ 3 หาได้จากสูตร ตาแหน่งควอไทลท์ ่ี = ( +1) ดังน้ี
4
อยู่ในตาแหนง่ ท่ี38.2.1) 1
..............................................................................................................................................................................................................................
ดงั นน้ั ค่าของ 1 = ............................................................................................................................................................................................................
อยู่ในตาแหนง่ ที่38.2.2) 3 ..........................................................................................................................................................................................................................
ดังนนั้ ค่าของ 3 = ...........................................................................................................................................................................................................
38.3) หาค่าพิสยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ (IQR)
∎IQR = 3 − 1 = ................................................................................................................................................................................................................................................
บทที่ 3 : การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101- MA33102 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 99
ตวั อย่างที่ 39 ปริมาณพลังงาน (กโิ ลแคลอร)ี ของอาหารจานเดยี ว 7 รายการทีจ่ าหน่ายในโรงอาหารของโรงเรยี น
แหง่ หนึ่งแสดงไดด้ ังน้ี
อาหารจานเดียว ปริมาณพลงั งาน (กโิ ลแคลอรี)
ข้าวราดแกงเขียวหวานไก่ 338
ข้าวราดแกงไตปลา 319
ข้าวราดแกงสม้ ผักรวม 255
ราดผัดเผ็ดหอยลาย 424
ข้าวราดแกงพะแนงหมู 409
ขา้ วราดแกงฉฉู่ ่ปี ลาทู 365
ข้าวราดผดั ผกั รวม 353
จงหาพิสยั ระหวา่ งควอร์ไทล์ของข้อมลู ชุดน้ี
วิธีทา 39.1) เรยี งข้อมูลจากน้อยไปหามาก
ตาแหนง่ ท่ี อาหารจานเดยี ว ปริมาณพลงั งาน (กโิ ลแคลอรี)
1
2
3
4
5
6
7
39.2) หาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) ของข้อมลู ชดุ นี้
( ) ( )39.2.1) คา่ ตา่ สุด ของข้อมูล คือ .............................................. ค่าสงู สุด ของข้อมลู คือ .........................................
ขอ้ มลูและจานวนข้อมลู = ......................................
39.2.2) หา 1 และ 3 หาไดจ้ ากสตู ร ตาแหนง่ ควอไทล์ท่ี = ( +1) ดงั น้ี
4
อยใู่ นตาแหน่งท่ี39.2.2.1) 1 .......................................................................................................................................................................................................................................................
ดงั น้ันคา่ ของ 1 = .................................................................................................................................................................................................................................................
อย่ใู นตาแหน่งที่39.2.2.2) 3 ...................................................................................................................................................................................................................................................
ดงั น้ันคา่ ของ 3 = ....................................................................................................................................................................................................................................................
39.3) หาค่าพสิ ยั ระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) ซึ่ง IQR = 3 − 1
∎= ...................................................................................................................................................................
เม่อื เปรยี บเทียบระหว่างพสิ ัยและพิสยั ระหว่างควอรไ์ ทลจ์ ะเห็นวา่ พสิ ยั สามารถหาไดส้ ะดวก แตไ่ ม่เหมาะสาหรับใช้
วัดการกระจายของข้อมูลในกรณีท่ีชุดข้อมูลมีข้อมูลท่ีมีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลตัวอ่ืนมาก โดยเฉพาะอย่างย่ิงในกรณีที่ชุด
ข้อมูลมีค่านอกเกณฑ์ในขณะท่ีพิสัยระหว่างควอร์ไทล์สามารถใช้วัดการกระจายของข้อมูลในลักษณะนี้ได้ อย่างไรก็ตาม
ทงั้ พสิ ัยและพสิ ัยระหวา่ งควอรไ์ ทลไ์ ม่ไดใ้ ชข้ อ้ มูลทุกตวั ในการคานวณเพอ่ื วัดการกระจาย
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search