วิจัยในชั้นเรียน

45

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2555). ทักษะและกระบวนการทาง
คณิตศาสตร์ (พิมพ์ครงั้ ท่ี 3), กรุงเทพฯ : บรษิ ทั 3-ควิ มเี ดยี จากดั

สมทรง สุวพานิช. (2539), เอกสารประกอบการสอนรายวิชา 1023623 : พฤติกรรมการสอน
คณิตศาสตร์ระดับประถมศกึ ษา มหาสารคาม : ภาควิชาหลกั สตู รและการสอนสถาบนั ราชภฏั มหาสารคาม

สมพร เชื้อพันธ์. (2547). การเปรียบเทียบผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้ัน
มัธยมศึกษาปีที่3 โดยใช้วิธีการจัดการเรียนการสอนแบบสร้างองค์ ความรู้ด้วยตนเองกับการจัดการเรียน
การสอนตามปกติ วิทยานิพนธ์ ค.ม. (หลักสูตรและ การสอน), พระนครศรีอยุธยา : บัณฑิตวิทยาลัย
สถาบนั ราชภฏั พระนครศรีอยธุ ยา, ถ่ายเอกสาร

สมบัติ ท้ายเรือคา. (2551). ระเบียบวิธีวิจัยสาหรับมนุษย์ศาสตร์และสังคมศาสตร์กาฬสินธุ์ :
ประสานการพมิ พ์

สมนึก ภัททิยธน.ี (2558) การวดั ผลการศึกษา, กาฬสนิ ธ์ุ : ประสานการพมิ พ์
สานักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา. (2551). ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลางกลุ่มสาระ
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรง
พิมพช์ มุ นมุ สหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จากดั
สิริพร ทิพย์คง. (2545). หลักสูตรและการสอนคณิตศาสตร์, กรุงเทพ : พัฒนาคุณภาพวิชาการ
(พว.)
อัมพร ม้าคะนอง. (2546). คณิตศาสตร์ : การสอนและการเรียนรู้ กรุงเพทฯ :สานักพิมพ์
จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย
สุรางค์ โคว้ ตระกูล. (2553), จิตวทิ ยาการศึกษา, พมิ พ์ครัง้ ที่ 10. กรุงเทพฯ : ด่านสุทราการพิมพ์

ภาคผนวก

แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรยี น

แบบทดสอบกอ่ นเรียน
เรอ่ื งการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี อง

คําชแี้ จง : ใหนกั เรยี นเขียนเครื่องหมาย x ทับตวั อักษรหนาคําตอบท่ีถกู เพยี งคําตอบเดยี ว

1. ขอใดเปนตัวประกอบพหนุ ามของ 3x2 + 3x 6. ขอใดตอไปน้ไี มถกู ตอง

ก. 3(x2 + x) ข. 3x(x + 1) ก. (x + 8)(x - 5) = x2 + 3x - 40

ค. 3x(x + x) ง. 3(x2 + 1) ข. (x - 8)(x + 5) = x2 - 3x - 40

2. ขอใดไมใชตวั ประกอบของ x2 + 3x - 18 ค. (x + 8)(x + 5) = x2 + 13x +40

ก. (x - 3) ข. (x + 2) ง. (x - 8)(x - 5) = x2 - 13x - 40

ค. (x + 6) ง. (x - 3) (x + 6) 7. จงหาคาของ (133)2 – (33)2

3. พหุนาม 88x3 + 8x2 แยกตัวประกอบไดเท่า ก. 100 ข. 166
กับขอใด
ค. 10,000 ง. 16,600

ก. 8x(11x2 + 8x) ข. 8x2(11x + 1) 8. จงหาคาของ (102)2 – (98)2

ค. 8x2(x + 1) ง. 8x(11x2 + 1) ก. 800 ข. 400

4. ตัวประกอบของ x4 - 4x2 คือขอใด ค. 8,000 ง. 4,000

ก. 4x2 (x2 - x) ข. x2(x - 4) 9. ตวั ประกอบของ x2 – x - 6 คอื ขอใด

ค. x2(x2 - 4) ง. x2(x2 - 4) ก. (x – 3) ข. (x - 2)

5. ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง ค. (x – 6) ง. (x + 6)

ก. 3x2y – 3x2 = 3x(y - 1) 10. ถา x2 – 15x + 36 = (x - m) (x - n) แลว
จงหาคาของ m+n
ข. 4x2y – 8x2 = 4x2(y - 2)

ค. 5a2 – 10a3b = 5a2(a – 2ab) ก. – 9 ข. – 13

ง. 5a2 – 10a2b = 5a2(0 – 2ab) ค. – 15 ง. – 18

11. ถา s2 + 12s - 189 = (x - m) (x + n) 16. ขอใดตอไปนีถ้ กู ตอง

และ m<n แลวจงหา n – m ก. (1.5)2 – (1.3)2 = 0.04

ก. 11 ข. 12 ข. (81)2 – (19)2 = 5,200

ค. 13 ง. 14 ค. (1,001)2 – 1 = 1,000

12. ขอใดเปนตวั ประกอบของ 6y2 – y - 12 ง. (99)2 – (98)2 = 197

ก. (3y + 4) ข. (2y + 3) 17. ถาจดั 9x2 – 1 ในรูป ax2- b2 แลว a มีคา
เทาใด
ค. (3y + 3) ง. (2y - 3)

13. ถา 4x2+12x + n2 เปนกาํ ลังสองสมบูรณ ก. 3 ข. - 3
แลว n มีคาเทาใด
ค. 9 ง. – 9

ก. 3 ข. 3 หรือ – 3 18. กําหนดให (2x - 3)เปนตัวประกอบทเ่ี ป็น
ผลตางกาํ ลงั สองของ 4x2 – 9 จงหาตัว
ค. 9 ง. 9 หรอื – 9 ประกอบทเี่ หลือ

14. ถา x2 + ax + 16 เปนกาํ ลงั สองสมบูรณ์ ก. (2x + 3) ข. (4x - 9)
แลว a มีคาเทาใด

ก. 8 ข. 4 หรือ – 4 ค. (2x+9) ง. (4x + 9)

ค. 9 ง. 9 หรอื – 9 19. ขอใดเปนตวั ประกอบของ x2 - 361

15. จงแยกตัวประกอบของ 5x2 + 14x - 3 ก. (x -19) (x -19)

ก. (5x - 1) (x + 3) ข. (x -19) (x + 9)

ข. (5x + 3) (x - 1) ค. (x +19) (x +19)

ค. (5x + 1) (x - 3) ง. (x +19) (x -19)

ง. (5x + 3) (x + 1) 20. ตัวประกอบของ 5a2 + 7a – 6 คอื ขอใด

ก. a – 2 ข. 5a +3

ค. a + 3 ง. 5a – 3

แบบทดสอบหลังเรียน
เรื่องการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง

คําช้ีแจง : ใหนักเรียนเขียนเครอ่ื งหมาย x ทับตวั อกั ษรหนาคาํ ตอบทถี่ ูกเพียงคําตอบเดียว

1. ขอใดไมใชตวั ประกอบของ x2 + 3x - 18 6. ตวั ประกอบของ x4 - 4x2 คอื ขอใด

ก. (x - 3) ข. (x + 2) ก. 4x2 (x2 - x) ข. x2(x - 4)

ค. (x + 6) ง. (x - 3) (x + 6) ค. x2(x2 - 4) ง. x2(x2 - 4)

2. ขอใดเปนตวั ประกอบพหุนามของ 3x2 + 3x 7. ขอใดตอไปน้ีถูกตอง

ก. 3(x2 + x) ข. 3x(x + 1) ก. 3x2y – 3x2 = 3x(y - 1)

ค. 3x(x + x) ง. 3(x2 + 1) ข. 4x2y – 8x2 = 4x2(y - 2)

3. พหนุ าม 88x3 + 8x2 แยกตัวประกอบไดเท่า ค. 5a2 – 10a3b = 5a2(a – 2ab)
กับขอใด
ง. 5a2 – 10a2b = 5a2(0 – 2ab)

ก. 8x(11x2 + 8x) ข. 8x2(11x + 1) 8. จงหาคาของ (133)2 – (33)2

ค. 8x2(x + 1) ง. 8x(11x2 + 1) ก. 100 ข. 166

4. จงหาคาของ (102)2 – (98)2 ค. 10,000 ง. 16,600

ก. 800 ข. 400 9. ขอใดเปนตวั ประกอบของ 6y2 – y - 12

ค. 8,000 ง. 4,000 ก. (3y + 4) ข. (2y + 3)

5. ขอใดตอไปนไี้ มถกู ตอง ค. (3y + 3) ง. (2y - 3)

ก. (x + 8)(x - 5) = x2 + 3x - 40 10. ถา x2 + ax + 16 เปนกาํ ลงั สองสมบูรณ์
แลว a มีคาเทาใด
ข. (x - 8)(x + 5) = x2 - 3x - 40

ค. (x + 8)(x + 5) = x2 + 13x +40 ก. 8 ข. 4 หรือ – 4

ง. (x - 8)(x - 5) = x2 - 13x - 40 ค. 9 ง. 9 หรือ – 9

11. ตัวประกอบของ x2 – x - 6 คือขอใด 17. จงแยกตัวประกอบของ 5x2 + 14x - 3

ก. (x – 3) ข. (x - 2) ก. (5x - 1) (x + 3)

ค. (x – 6) ง. (x + 6) ข. (5x + 3) (x - 1)

12. ตัวประกอบของ 5a2 + 7a – 6 คือขอใด ค. (5x + 1) (x - 3)

ก. a – 2 ข. 5a +3 ง. (5x + 3) (x + 1)

ค. a + 3 ง. 5a - 3 18. ขอใดตอไปนีถ้ กู ตอง

13. ถาจดั 9x2 – 1 ในรูป ax2- b2 แลว a มีคา ก. (1.5)2 – (1.3)2 = 0.04
เทาใด
ข. (81)2 – (19)2 = 5,200

ก. 3 ข. - 3 ค. (1,001)2 – 1 = 1,000

ค. 9 ง. – 9 ง. (99)2 – (98)2 = 197

14. ถา x2 – 15x + 36 = (x - m) (x - n) แลว 19. กําหนดให (2x - 3)เปนตัวประกอบที่เป็น
จงหาคาของ m+n ผลตางกําลังสองของ 4x2 – 9 จงหาตัว
ประกอบทเ่ี หลือ
ก. – 9 ข. – 13

ค. – 15 ง. – 18 ก. (2x + 3) ข. (4x - 9)

15. ถา s2 + 12s - 189 = (x - m) (x + n) ค. (2x+9) ง. (4x + 9)
และ m<n แลวจงหา n – m
20. ขอใดเปนตัวประกอบของ x2 - 361

ก. 11 ข. 12 ก. (x -19) (x -19)

ค. 13 ง. 14 ข. (x -19) (x + 9)

16. ถา 4x2+12x + n2 เปนกําลังสองสมบูรณ ค. (x +19) (x +19)
แลว n มีคาเทาใด
ง. (x +19) (x -19)
ก. 3 ข. 3 หรือ – 3

ค. 9 ง. 9 หรือ – 9

เอกสารประกอบการเรียน
และแบบฝึกเสริมทักษะ

เร่อื ง การแยกตัวประกอบ
ของพหนุ ามดีกรสี อง

เอกสารประกอบการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน

ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 2

โรงเรียนบางปลามา้ “สงู สมุ ารผดงุ วทิ ย”์

1

ทบทวนความรู้ก่อนเรียน

❖ นิพจน์ที่สามารถเขยี นได้ในรูปการคูณของ คา่ คงตัวกับตวั แปรตง้ั แตห่ นงึ่ ตวั ข้นึ ไป โดยที่เลขชกี้ ำลงั ของตัว
แปรแต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือ จำนวนเตม็ บวก เรยี กว่า เอกนาม

❖ นพิ จนท์ อ่ี ย่ใู นรปู เอกนาม หรือเขยี นในรูปการบวกของเอกนามตง้ั แต่สองเอกนามข้นึ ไป เรยี กว่า พหนุ าม
เรียกแต่ละเอกนามในพหุนามวา่ พจน์

❖ เรยี กพหุนามทีไ่ ม่มีพจนท์ ี่คล้ายกนั วา่ พหุนามในรูปผลสำเร็จ
เรียกดกี รสี งู สดุ ของพจนข์ องพหุนามในรูป ผลสำเร็จวา่ ดกี รขี องพหุนาม

❖ ตัวประกอบของจำนวนนบั ใดๆ คือ จำนวนนับทห่ี ารจำนวนนบั น้นั ลงตัว เชน่
o ตวั ประกอบท้งั หมดของ 10 คอื 1, 2, 5 และ 10
o ตัวประกอบท้ังหมดของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12
o และ 1, 2 เป็นตัวประกอบรว่ มของทัง้ 10 และ 12 จึงเรยี ก 1, 2 ว่า ตัวประกอบรว่ ม หรือตัวหาร
รว่ มของ 10 และ 12

❖ ตัวประกอบทีเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ เรยี กว่า ตัวประกอบเฉพาะ เชน่
o 3 และ 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 15
o 2 และ 7 เปน็ ตัวประกอบเฉพาะของ 14

❖ การแยกตวั ประกอบของจำนวนนับใด คือ ประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนบั นนั้ ในรปู การคูณของตัว
ประกอบเฉพาะ เชน่
o 12 = 2 × 2 × 3
o 18 = 2 × 3 × 3

❖ ตัวประกอบรว่ มที่มากทส่ี ดุ หรอื ตวั หารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของจำนวนนับต้ังแตส่ องจำนวนขน้ึ ไป คือ
จำนวนนับทีม่ ากท่สี ดุ ทห่ี ารจำนวนนบั เหล่านนั้ ได้ลงตวั เชน่
o ห.ร.ม ของ 12 และ 18 คือ 6

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง

1. การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง

2. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตัวแปรเดียว

3. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองท่ีเปน็ กาลงั สองสมบูรณ์

4. การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองที่เป็นผลต่างกาลงั สอง

2

ใบความรู้ที่ 1

11. การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบัติการแจกแจง เรยี กงา่ ยๆว่า
“การดึงตวั รว่ ม”
สมบตั ิการแจกแจงกล่าวว่า ถา้ a, b และ c แทนจำนวนใด ๆ แลว้
a(b + c) = ab + ac หรอื (b + c)a = ba + ca

เราอาจเขยี นใหม่เปน็ ดงั นี้

ab + ac = a(b + c) หรอื ba + ca = (b + c)a

ถา้ a, b และ c เปน็ พหนุ าม เรากส็ ามารถใช้สมบตั ิการแจกแจงข้างต้นไดด้ ้วย และเรียก a วา่
ตัวประกอบรว่ ม ของ ab และ ac หรือตวั ประกอบร่วมของ ba และ ca

พิจารณาวิธีการแยกตวั ประกอบต่อไปน้ี

2x + 4y

ตวั ประกอบ คือ 2(x) + 2(2y) 2x + 4y = (2 ⋅ x) + (2 ⋅ 2 ⋅ y)
ตวั ประกอบร่วม คือ 2 = 2(x) + 2(2y)
พจนท์ ีเ่ หลือ คือ x + 2y

แยกตวั ประกอบพหุนาม คือ 2(x + 2y)

7xy - 14yz

ตวั ประกอบ คือ 7y(x) - 7y(2z) 7xy - 14yz = (7 ⋅ x ⋅ y) - (2 ⋅ 7 ⋅ y ⋅ z)
ตวั ประกอบรว่ ม คือ 7y = 7y(x) - 7y(2z)
พจนท์ ่เี หลอื คือ x - 2z

แยกตวั ประกอบพหุนาม คือ 2(x – 2z)

x2y + xy2

ตวั ประกอบ คือ xy(x) - xy(y) x2y + xy2 = (x ⋅ x ⋅ y) + (x ⋅ y ⋅ y)
ตวั ประกอบรว่ ม คือ xy = xy(x) - xy(y)
พจน์ทเี่ หลือ คือ x-y

แยกตวั ประกอบพหุนาม คือ xy(x - y)

3

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ 5xy + 6x2
วิธีทำ
5xy + 6x2 = x(5y + 6x)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของ 12y2z – 20yz
วิธีทำ 12y2z – 20yz = 4yz(3y – 5)

ในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบตั ิการสลับที่หรอื สมบตั ิการ
เปลี่ยนหมู่ประกอบดว้ ย ดังตอ่ ไปนี้

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ ab – 2ac + bc – 2c2 b – 2c เปน็
วธิ ที ำ ab – 2ac + bc – 2c2 = (ab – 2ac) + (bc – 2c2) ตัวประกอบรว่ ม

ดังนัน้ = a(b – 2c) + c(b – 2c)
= (b – 2c)(a + c)
ab – 2ac + bc – 2c2 = (b – 2c)(a + c)

ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 5z - 3 เป็น
วธิ ีทำ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = 5x2z – 3x2 + 5yz –3y ตัวประกอบรว่ ม

ดังนน้ั = (5x2z – 3x2) + (5yz –3y)
= x2 (5z – 3) + y(5z –3)
= (5z –3)(x2 + y)
5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = (5z –3)(x2 + y)

ในตวั อยา่ งท่ี 3 และ ตวั อยา่ งที่ 4
ยงั สามารถจบั คแู่ บบอนื่ ได้ ลองทาดูนะครบั

4

แบบฝกึ หัดที่ 1.1

คาช้ีแจง จงแยกตัวประกอบพหนุ ามตอ่ ไปน้ี

5

แบบฝึกหดั ที่ 1.2

คาชแ้ี จง จงแยกตัวประกอบพหุนามตอ่ ไปนี้

1) 5x2 – 10x = ……………………………………………………

2) -2x + 14 = ……………………………………………………

3) 16x + 64xy = ……………………………………………………

4) 33y2 – 11yz = ……………………………………………………

5) 6xy – 8xy2 = ……………………………………………………

6) 5y2 – 20y = ……………………………………………………

7) 10x2 -50x = ……………………………………………………

8) 4x2y – 10xy = ……………………………………………………

9) -25x3 + 15x2 = ……………………………………………………

10) 81x2 + 88x = ……………………………………………………

11) 2x3 – 10x2 + 6x = ……………………………………………………

12) 9x4 + 12x3 – 6x2 = ……………………………………………………

13) m(n+3) + 5(n+3) = ……………………………………………………

14) (4y2+3)y + 6(4y2+3) = ……………………………………………………

15) 4t(a + b) – s(a + b) = ……………………………………………………

6

แบบฝึกหดั ที่ 1.3

คาช้ีแจง จงแยกตัวประกอบพหุนามตอ่ ไปน้ี

1) ax + by + bx + ay = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

2) 5a – 10x + ab – 2bx = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

3) n2m + n2p – 8m – 8p = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

4) ab2 – cb2 – 6a+ 6c = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

5) 2x3 – x + 14x2 – 7 = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

7

ใบความรทู้ ่ี 2

21. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดียว เรยี กงา่ ยๆว่า
“การแยกสองวงเลบ็ ”

เปน็ การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มดี ีกรสี องและมีตวั แปรเดียวที่แตล่ ะพจนม์ ี
สมั ประสิทธแิ์ ละค่าคงตวั เปน็ จำนวนเต็ม เชน่ 3x2 - 8x + 5, 2x2 – x - 1, x2 – 9, y2 + 6y – 7
เปน็ ตัวอยา่ งของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียว

พหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดียว เรยี กอีกอย่างหนึ่งว่า “พหนุ ามกำลงั สอง” คือพหนุ ามท่ี
เขยี นให้อย่ใู นรูป ax2 + bx + c เมอื่ a, b, c เปน็ ค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เปน็ ตัวแปร

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดียว สามารถแบ่งได้เป็น 3 กรณี ดังนี้

❖ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a, b เปน็ จำนวนเตม็

และ c = 0 ตัวอย่างเชน่ a และ b เป็นอะไรกไ็ ด้
▪ 4x2 – 20x

▪ -15x2 + 12x แต่ c = 0

❖ การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องในรูป ax2 + bx + c เมือ่ a = 1, b และ c เปน็

จำนวนเตม็ และ c ≠ 0 ตัวอย่างเชน่

▪ x2 - 6x + 8 a=1

▪ y2 + 6y – 4 b และ c เป็นอะไรกไ็ ด้
▪ x2 – 7
❖ การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องในรแูปตa่ xc2เ+ป็ นbx0+ c เมอื่ a , b และ c เป็น

จำนวนเตม็ และ a ≠ 1 , c ≠ 0 ตัวอย่างเช่น

▪ 8x2 - 6x + 8 a ไม่ใช่ 1, b เป็นอะไรกไ็ ด้
▪ -3x2 + 8x + 3 และ c ไม่ใช่ 0
▪ -7x2 - 12

กรณท่ี 2 และ 3 สามารถใชว้ ธิ ีการแยก
ตวั ประกอบพหนุ ามวิธกี ารเดยี วกนั ไดค้ รบั

8

21..1 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดียว กรณที ี่ 1

❖ การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมอื่ a, b เป็นจำนวนเต็ม

และ c = 0 ตัวอยา่ งเชน่

▪ 4x2 – 20x a และ b เป็นอะไรกไ็ ด้

▪ -15x2 + 12x แต่ c = 0

ในกรณีท่ี c = 0 นี้ เราสามารถใช้สมบตั กิ ารแจกแจง (ดึงตัวรว่ ม) ในการแยกตัวประกอบของ
พหุนามในรปู นไ้ี ดล้ กั ษณะเดียวกนั กบั ทกี่ ล่าวมาแล้วในใบความรูท้ ่ี 1

ตวั อย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 – 20x
วธิ ที ำ
4x2 – 20x = 4x(x - 5)

ตวั อย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ -15x2 + 12x
วิธที ำ
หรอื -15x2 + 12x = 3x(-5x + 4)

-15x2 + 12x = -3x(5x - 4)

21..2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดียว กรณที ่ี 2

❖ การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1, b และ c เปน็

จำนวนเตม็ และ c ≠ 0 ตวั อย่างเชน่

▪ x2 - 6x + 8 a=1

▪ y2 + 6y – 4 b และ c เป็นอะไรกไ็ ด้

▪ x2 – 7 แต่ c เป็น 0

ในกรณีทวั่ ไป สามารถแยกตวั ประกอบ ของพหุนามดีกรีสองในรปู ax2 + bx + c เมอื่ b, c

เปน็ จำนวนเตม็ และ c ≠ 0 ได้ โดยหาจำนวนเตม็ สองจำนวนทค่ี ูณกนั ไดเ้ ทา่ กับพจน์ที่เปน็ ค่าคงตวั

คอื c และบวกกันไดเ้ ท่ากบั สมั ประสทิ ธข์ิ อง X คือ b

9

ถ้าให้ m และ n เปน็ จำนวนเต็มสองจำนวน ซงึ่ mn = c และ m + n = b
จะได้ว่า x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 2x + 1
วธิ ที ำ x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 10x + 21
วิธที ำ x2 - 10x + 21 = [x + (-3)][x + (-7)]
นั่นคือ x2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)

ตัวอยา่ งที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x - 35
วธิ ที ำ
นน่ั คือ x2 + 2x - 35 = [x + (-5)](x + 7)

x2 + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7)

ตวั อย่างท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 4x - 12
วิธที ำ
นน่ั คือ x2 - 4x - 12 = [x + (-6)](x + 2)

x2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)

2.23. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว กรณที ี่ 3

❖ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a , b และ c เปน็ จำนวน

เต็ม และ a ≠ 1 , c ≠ 0 ตวั อย่างเชน่

▪ 8x2 - 6x + 8 a ไม่ใช่ 1, b เป็นอะไรกไ็ ด้
▪ -3x2 + 8x + 3 และ c ไม่ใช่ 0
▪ -7x2 - 12

วธิ กี ารแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เราจะเรยี ก ax2 วา่ พจน์หน้า

เรียก bx ว่า พจนก์ ลาง และเรียก c ว่า พจน์หลัง

10

พิจารณาการคูณพหนุ ามต่อไปนี้ โดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง
(2x - 3)(3x + 1) = (2x - 3)(3x) + (2x - 3)(1)

= (6x2 – 9x) + (2x - 3)
= 6x2 + (-9x + 2x) - 3
= 6x2 - 7x - 3

จากการคณู ขา้ งต้น อาจเขียนวธิ หี าพจนห์ น้า พจนห์ ลงั และพจนก์ ลางของพหุนามที่เป็นผล

คณู ไดด้ ังน้ี พจนก์ ลาง

พจนห์ น้า 6x2 - 7x - 3

พจนห์ ลงั

การหาพจน์หนา้ ของพหนุ ามทเ่ี ป็นผลคณู

ทำไดโ้ ดยนำพจนห์ นา้ ของพหนุ ามในวงเลบ็ แรกคณู กับพจนห์ นา้ ของพหนุ ามในวงเลบ็ หลงั

6x2

(2x - 3)(3x + 1) (2x)(3x) = 6x2

การหาพจนห์ ลังของพหนุ ามท่ีเปน็ ผลคณู

ทำไดโ้ ดยนำพจน์หลังของพหนุ ามในวงเล็บแรกคูณกับพจนห์ ลังของพหนุ ามในวงเล็บหลงั

-3

(2x - 3)(3x + 1) (-3)(1) = -3

การหาพจนก์ ลางของพหุนามท่ีเป็นผลคูณ

ทำได้โดยหาผลคณู ระหวา่ งพจนห์ นา้ ของพหุนามในวงเล็บแรกกับพจน์หลังของพหุนามใน

วงเล็บหลงั บวกกับผลคูณระหวา่ งพจนห์ ลังของพหนุ ามใน วงเลบ็ แรกกับพจน์หน้าของพหุนามใน

วงเลบ็ หลัง -9x

(2x - 3)(3x + 1) -7x (-3)(3x) + (2x)(1)
2x = (-9x) + 2x
= -7x

11

ดงั น้นั การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม ทำได้ดังน้ี
1. หาพหนุ ามดกี รหี นงึ่ สองพหุนามท่ีคณู กนั แล้ว ไดพ้ จนห์ นา้ แลว้ เขยี นทง้ั สองเป็นพจนห์ นา้
ของ พหนุ ามในวงเลบ็ สองวงเลบ็
2. หาจำนวนเตม็ สองจำนวนท่ีคณู กนั แลว้ ได้ พจนห์ ลัง แล้วเขียนจำนวนทั้งสองน้ีเป็นพจน์
หลงั ของพหนุ ามในแตล่ ะวงเล็บใหค้ รบทุกกรณี
3. นำผลที่ได้ในข้อ 2 มาหาพจนก์ ลางทีละกรณจี นกวา่ จะได้เท่ากับพจน์กลาง แลว้ กรณนี นั้
จะเปน็ ตวั ประกอบของพหุนาม

หนา้ คูณ หน้า เทา่ กบั พจน์หน้า
หลงั คณู หลงั เทา่ กบั พจน์หลัง
ใกลค้ ูณใกล้ บวก ไกลคูณไกล เท่ากบั พจนก์ ลาง

ตัวอยา่ งท่ี 7 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 + 13x + 10
วธิ ีทำ 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)(x + 2)

ตรวจสอบ 4x2 10

(4x + 5) (x + 2)

5x 5x + 8x = 13x
8x

ตัวอยา่ งท่ี 8 จงแยกตัวประกอบของ 12x2 + 5x - 2
วิธที ำ 12x2 + 5x - 2 = (4x - 1)(3x + 2)

ตรวจสอบ 12x2 -2

(4x - 1) (3x + 2)

-3x (-3x) + 8x = 5x
8x

12

ตัวอยา่ งท่ี 9 จงแยกตัวประกอบของ 8x2 - 26x + 15
วธิ ีทำ 8x2 - 26x + 15 = (2x - 5)(4x - 3)

ตวั อยา่ งท่ี 10 จงแยกตวั ประกอบของ 6x2 - 10x - 4

วิธีทำ

วิธที ี่ 1 6x2 - 10x - 4 = 2(3x2 - 5x - 2)

ดงั นัน้ 6x2 - 10x – 4 = 2(3x + 1)(x - 2)

วิธที ี่ 2 6x2 - 10x - 4 = (3x + 1)(2x - 4)
ดังนั้น 6x2 - 10x – 4 = 2(3x + 1)(x - 2)

วิธที ่ี 3 6x2 - 10x - 4 = (6x + 2)(x - 2)
ดงั น้ัน 6x2 - 10x – 4 = 2(3x + 1)(x - 2)

สามารถเลือกใช้วิธีใดก็ได้ แต่วธิ ีท่ี 1
น่าจะเปน็ วธิ ที งี่ ่ายทส่ี ดุ นะ

แบบฝกึ หดั ท่ี 2.1 เลขอะไร1เ3อ่ย ?
คณู กันได้ c บวกกนั ได้ b

คาชี้แจง ใหน้ ักเรยี นหาจานวนเตม็ m และ n ท่ีทาให้ mn = c และ m + n = b โดยที่ b และ c มี
ค่าตามที่กาหนดให้ตอ่ ไปน้ี

ตวั อยา่ ง b = 19 และ c = 84
ดังนน้ั m = ………12……… และ n = ………7………
หรอื m = ………7……… และ n = ………12………

1) b = 10 และ c = 24 2) b = 4 และ c = -12
ดังนั้น m = ……………… และ n = ……………… ดังนนั้ m = ……………… และ n = ………………
หรอื m = ……………… และ n = ……………… หรือ m = ……………… และ n = ………………

3) b = -9 และ c = 20 4) b = -20 และ c = -21
ดงั นน้ั m = ……………… และ n = ……………… ดงั นน้ั m = ……………… และ n = ………………
หรือ m = ……………… และ n = ……………… หรอื m = ……………… และ n = ………………

5) b = -11 และ c = 30 6) b = -18 และ c = 81
ดังนนั้ m = ……………… และ n = ……………… ดังนั้น m = ……………… และ n = ………………
หรอื m = ……………… และ n = ……………… หรือ m = ……………… และ n = ………………

คาชแ้ี จง จงแยกตวั ประกอบพหนุ ามตอ่ ไปนี้

1) x2 – 5x = …………………….….
2) 2) 3m2 – 3m = …………………….….
3) -2y + y2 = …………………….….
4) -5x2 – 10x = …………………….….
5) x2 + 12x + 36 = (………………)(………………)
6) x2 + 12x + 20 = (………………)(………………)

14

แบบฝกึ หัดท่ี 2.2

คาช้แี จง จงแยกตัวประกอบพหุนามตอ่ ไปน้ี (x + 7)(x + 2) 7 x 2 = 14
7+2=9
ตัวอยา่ ง

x2 + 9x + 14 =

1) x2 + 3x + 2 = ( x +1)(............) 2) x2 + 5x + 6 = (............)(............)
3) x2 +10x +16 = (...........)(............) 4) x2 + 9x +14 = (............)(............)
5) x2 − 4x + 3 = (............)(............) 6) x2 − 9x + 20 = (............)(............)
7) x2 − 7x +10 = (...........)(............) 8) x2 − 9x +18 = (............)(............)
9) x2 + 3x − 4 = (............)(............) 10) x2 − 3x − 4 = (............)(............)
11) x2 − 7x −18 = (...........)(............) 12) x2 + x − 20 = (............)(............)
13) x2 − x − 20 = (............)(............) 14) x2 + 2x −8 = (............)(............)
15) x2 −8x − 20 = (...........)(............) 16) x2 + 2x − 24 = (............)(............)
17) x2 + x −12 = (............)(............) 18) x2 − x −12 = (............)(............)
19) x2 − x − 42 = (...........)(............) 20) x2 + 3x − 40 = (............)(............)

15

แบบฝึกหัดที่ 2.3

คาชี้แจง จงแยกตวั ประกอบพหุนามต่อไปน้ี พรอ้ มแสดงการตรวจสอบ

ตวั อยา่ ง 3x2 - 10x - 8 = (3x + 2)(x - 4)

ตรวจสอบ 12x2 -2

(4x - 1) (3x + 2) หนา้ คณู หนา้ เท่ากับ พจน์หน้า
-3x หลัง คูณ หลัง เท่ากับ พจน์หลงั
8x (-3x) + 8x = 5x ใกลค้ ูณใกล้ บวก ไกลคณู ไกล เทา่ กบั พจนก์ ลาง

1) 2a2 + 6a + 4 = (…………..…….) (………………….)
ตรวจสอบ

(…………...…….) (…………...…….)

2) 2x2 - 2x – 4 = (…………..…….) (………………….)
ตรวจสอบ

(…………...…….) (…………...…….)

16

3) 3x2 - 6x – 9 = (…………..…….) (………………….)
ตรวจสอบ

(…………...…….) (…………...…….)

4) 6y2 - y – 12 = (…………..…….) (………………….)
ตรวจสอบ

(…………...…….) (…………...…….)

5) 9y2 - 6y + 1 = (…………..…….) (………………….)
ตรวจสอบ

(…………...…….) (…………...…….)

17

แบบฝกึ หดั ท่ี 2.4

คาช้ีแจง จงแยกตวั ประกอบพหุนามต่อไปน้ี

ตวั อยา่ ง 3x2 - 10x - 8 = (3x + 2)(x - 4)

ตรวจสอบ 12x2 -2

(4x - 1) (3x + 2) หนา้ คูณ หน้า เท่ากับ พจน์หน้า

-3x หลัง คูณ หลัง เท่ากับ พจน์หลัง
8x (-3x) + 8x = 5x ใกลค้ ูณใกล้ บวก ไกลคณู ไกล เท่ากบั พจน์กลาง

1) 6a2 + a – 12 = (................)(................)

2) 6a2 + 17a + 12 = (................)(................)

3) 5x2 + 14x – 3 = (................)(................)

4) 4x2 + 16x – 9 = (................)(................)

5) 9y2 – 12y – 5 = (................)(................)

6) 5x2 + 4x – 1 = (................)(................)

7) 16y2 – 8y + 1 = (................)(................)

8) 7a2 + 49a + 84 = (................)(................)

9) 35 – 26b + 3b2 = (................)(................)

10) -12a2 - 20a - 7 = (................)(................)

18

ใบความรู้ที่ 3

31. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องท่ีเปน็ กาลังสองสมบูรณ์

พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องตอ่ ไปน้ี

1. x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) หรอื (x + 3)2
2. x2 – 8x + 16
3. 4x2 + 4x + 1 = (x - 4)(x - 4) หรอื (x - 4)2
4. 9x2 - 24x + 16
= (2x + 1)(2x + 1) หรอื (2x + 1)2

= (3x - 4)(3x - 4) หรอื (3x - 4)2

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ จะเห็นได้ว่าการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในแต่ละข้อ จะไดต้ วั
ประกอบเปน็ พหนุ ามเดยี วกัน ที่มีดดี รีเปน็ หนึง่ จงึ เขียนการแยกตวั ประกอบของแตล่ ะพหนุ ามดีกรี
สองข้างต้นได้เปน็ กำลงั สองของพหนุ ามดกี รีหนง่ึ เรียกพหุนามดกี รีสองทมี่ ีลกั ษณะเช่นนี้วา่ พหนุ าม
ดกี รีสองท่ีเป็นกำลงั สองสมบรู ณ์ (perfact square)

พหนุ ามดกี รสี องที่เป็นกำลังสองสมบูรณข์ า้ งตน้ มีลกั ษณะพเิ ศษท่สี ังเกตได้ ดังน้ี

1. x2 + 6x + 9 = x2 + 2(x)(3) + 32

= (x + 3)2

ถ้าให้ x เป็นพจนห์ น้า และ 3 เปน็ พจนห์ ลัง จะเขียนความสัมพันธไ์ ด้ดังนี้

(หนา้ )2 + 2(หนา้ )(หลงั ) + (หลงั )2 = (หนา้ + หลงั )2

2. x2 – 8x + 16 = x2 - 2(x)(4) + 42

= (x - 4)2

ถ้าให้ x เป็นพจน์หนา้ และ 4 เป็นพจนห์ ลงั จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

(หนา้ )2 - 2(หนา้ )(หลงั ) + (หลงั )2 = (หนา้ - หลงั )2

19

3. 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2(2x)(1) + 12
= (2x + 1)2

ถา้ ให้ 2x เปน็ พจนห์ น้า และ 1 เปน็ พจนห์ ลัง จะเขยี นความสัมพนั ธไ์ ด้ดังน้ี
(หนา้ )2 + 2(หนา้ )(หลงั ) + (หลัง)2 = (หนา้ + หลงั )2

4. 9x2 - 24x + 16 = (3x)2 - 2(3x)(4) + 42
= (3x - 4)2

ถ้าให้ 3x เป็นพจนห์ น้า และ 4 เปน็ พจนห์ ลงั จะเขยี นความสมั พันธ์ไดด้ งั น้ี
(หนา้ )2 - 2(หนา้ )(หลัง) + (หลัง)2 = (หนา้ - หลัง)2

ในกรณีท่ัวไป ถ้าให้ A แทนพจน์หนา้ และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดกี รีสอง ทเ่ี ปน็ กำลังสองสมบรู ณ์ไดต้ ามสูตร ดงั น้ี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

จำใหง้ า่ ยขน้ึ อาจทอ่ งไดว้ ่า
(หน้า)2 + 2(หนา้ )(หลัง) + (หลงั )2 = (หน้า + หลงั )2
(หน้า)2 - 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หนา้ - หลัง)2

ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 24x + 144
วธิ ที ำ x2 + 24x + 144 = x2 + 2(x)(12) + 122
ดงั นั้น x2 + 24x + 144 = (x + 12)2

ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 26x + 169 20
วิธีทำ x2 - 26x + 169 = x2 - 2(x)(13) + 132
ดงั นน้ั x2 - 26x + 169 = (x - 12)2 A2 + 2AB + B2
= (A + B)2
ตัวอย่างท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ 25x2 + 20x + 4
วธิ ที ำ 25x2 + 20x + 4 = (5x)2 + 2(5x)(2) + 22
ดงั นั้น 25x2 + 20x + 4 = (5x + 2)2

ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 12x + 9
วิธีทำ 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2(2x)(3) + 32
ดงั น้ัน 4x2 - 12x + 9 = (2x - 3)2

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ (x + 1)2 + 14(x +A1) + 49 A B B
วิธีทำ
(x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x +1)2 + 2(x + 1)(7) + 72
ดังนั้น
ตวั อยา่ งที่ 6 = (x + 1 + 7)2

(x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 8)2

จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 - 4(x2 – 3x) + (x - 3)2 A2 - 2AB + B2
= (A - B)2

วธิ ีทำ 4x2 - 4(x2 – 3x) + (x - 3)2 = (2x)2 – 4x(x – 3)B+ (x - 3B)2
ดงั น้ัน A A

= (2x)2 + 2(2x)(x - 3) + (x - 3)2
=
= [(2x – (x - 3)]2
=
(2x – x + 3)2

4x2 - 4(x2 – 3x) + (x - 3)2 (x + 3)2

21

แบบฝกึ หัดท่ี 3.1

คาช้ีแจง จงแยกตวั ประกอบพหุนามตอ่ ไปนี้ (น)2 + 2(น)(ล) + (ล)2 = (น + ล)2
(น)2 - 2(น)(ล) + (ล)2 = (น - ล)2
ตัวอย่าง x2 - 26x + 169
วธิ ีทำ x2 - 26x + 169 = x2 - 2(x)(13) + 132
= (x - 12)2
ดังน้ัน x2 - 26x + 169 = (x - 12)2
1) x2 + 12x + 36
2) x2 + 16x + 64

…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………

……………………………………………………………. …………………………………………………………….

3) x2 + 34x + 289 4) x2 + 40x + 400

…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………………….

5) x2 + 46x + 529 6) x2 - 10x + 25

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

……………………………………………………………. …………………………………………………………….

7) x2 - 28x + 196 8) x2 - 38x + 361

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

……………………………………………………………. …………………………………………………………….

9) x2 - 52x + 676 10)x2 - 60x + 900

…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………………….

22

แบบฝึกหดั ที่ 3.2

คาช้แี จง จงแยกตวั ประกอบพหนุ ามตอ่ ไปน้ี = (น)2 + 2(น)(ล) + (ล)2 = (น + ล)2
= (น)2 - 2(น)(ล) + (ล)2 = (น - ล)2
ตัวอย่าง 25x2 + 20x + 4
วธิ ีทำ 25x2 + 20x + 4 = (5x)2 + 2(5x)(2) + 22
(5x + 2)2
ดงั นน้ั 25x2 + 20x + 4 (5x + 2)2

1) 9x2 + 30x + 25 2) 16x2 + 56x + 49

…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………

……………………………………………………………. …………………………………………………………….

3) 49x2 + 42x + 9 4) 100x2 + 220x + 121

…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………………….

5) 81x2 + 360x + 400 6) 4x2 - 36x + 81

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

……………………………………………………………. …………………………………………………………….

7) 49y2 – 70y + 25 8) 64y2 – 176y + 121

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

……………………………………………………………. …………………………………………………………….

9) 81x2 - 180x + 100 10) 225x2 - 360x + 144

…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………………….

23

แบบฝกึ หดั ท่ี 3.3

คาช้แี จง จงแยกตวั ประกอบพหนุ ามตอ่ ไปน้ี (น)2 + 2(น)(ล) + (ล)2 = (น + ล)2
(น)2 - 2(น)(ล) + (ล)2 = (น - ล)2
ตัวอย่าง (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49
วธิ ที ำ (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x +1)2 + 2(x + 1)(7) + 72
= (x + 1 + 7)2
ดังนนั้ (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 8)2

1) (x - 2)2 + 12(x - 2) + 36 2) (2x + 1)2 + 20(2x + 1) + 100

…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………….. ……………………………………………………………..

3) (x + 3)2 - 16(x + 3) + 64 4) 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

…………………………………………………………… ……………………………………………………………

…………………………………………………………….. ……………………………………………………………..

5) 16x2 + 8x(x + 1) + (x + 1)2 6) (x + 2)2 - 18(x2 + 2x) + 81x2

…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………….. ……………………………………………………………..
คาชแ้ี จง จงเตมิ พจน์ที่หายไป เพ่ือให้พหนุ ามในแต่ละขอ้ เป็นพหนุ ามดกี รสี องท่ีเป็นกาลังสอง

สมบูรณ์

1) 4x2 + 24x + 2) 9x2 - + 81

3) 100x2 - + 1 4) x2 - 18x +

5) + 40x + 100 6) 9x2 - + 25

24

ใบความรู้ที่ 4

42. การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองท่ีเป็นผลต่างของกาลังสอง

พิจารณาการแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องตอ่ ไปนี้

1. x2 - 25 = x2 - 52
2. 36x2 - 49 = (x + 5)(x - 5)
= (6x)2 - 72
= (6x +7)(6x - 7)

จากตัวอยา่ งข้างตน้ จะเห็นไดว้ า่ การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในแตล่ ะขอ้ จะไดต้ ัว
ประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนงึ่ ทมี่ พี จน์เหมอื นกัน แต่มีเครือ่ งหมายระหวา่ งพจนต์ า่ งกัน เรยี กพหุนาม
ดีกรสี องทมี่ ลี กั ษณะเช่นนีว้ ่า พหนุ ามดีกรีสองทเี่ ปน็ ผลตา่ งของกำลงั สอง (difference of two
squres)

พหุนามดกี รีสองทเี่ ปน็ ผลต่างของกำลังสองขา้ งตน้ มีลกั ษณะพเิ ศษท่ีสังเกตได้ ดังนี้

1. x2 - 25 = x2 - 52
= (x + 5)(x - 5)

ถา้ ให้ x เป็นพจน์หน้า และ 5 เปน็ พจนห์ ลงั จะเขียนความสมั พันธ์ไดด้ งั นี้

(หนา้ )2 - (หลงั )2 = (หนา้ + หลงั ) (หนา้ - หลงั )

2. 36x2 - 49 = (6x)2 - 72
= (6x +7)(6x - 7)

ถา้ ให้ 6x เปน็ พจน์หนา้ และ 7 เป็นพจน์หลงั จะเขยี นความสมั พนั ธ์ได้ดงั นี้

(หนา้ )2 - (หลงั )2 = (หนา้ + หลงั ) (หนา้ - หลัง)

ในกรณีทว่ั ไป ถ้าให้ A แทนพจนห์ น้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนาม
ดกี รีสองที่เปน็ ผลตา่ งของกำลงั สองไดต้ ามสตู ร ดงั นี้

A2 - B2 = (A + B)(A – B)

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ 16x2 - 81 25
วิธีทำ 16x2 - 81 = (4x)2 - 92
ดังนน้ั 16x2 - 81 = (4x + 9)(4x - 9) 25x2 – 225 = 25(x2 – 9)
= 25(x2 – 32)
ตัวอยา่ งที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 25x2 - 225 = 25(x + 3)(x - 3)
วธิ ที ำ 25x2 - 225 = (5x)2 - 152

ดังนน้ั = (5x + 15)(5x - 15)
= 5(x + 3)(5)(x - 3)
25x2 - 225 = 25(x + 3)(x - 3)

ตัวอยา่ งที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – (x - 4)2
วิธีทำ x2 – (x - 4)2 = [x + (x - 4)] [x - (x - 4)]

ดังน้นั = (x + x - 4) (x - x + 4)
= (2x - 4)(4)
= 4(2)(x - 2)
x2 – (x - 4)2 = 8(x - 2)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตวั ประกอบของ (3x – 2)2 – (x + 5)2
วิธีทำ (3x – 2)2 – (x + 5)2 = [(3x – 2) + (x + 5)] [(3x – 2) - (x + 5)]

ดังนนั้ = (3x – 2 + x + 5)(3x – 2 - x - 5)
(3x – 2)2 – (x + 5)2 = (4x + 3)(2x - 7)

26

แบบฝึกหดั ที่ 4.1

คาช้ีแจง จงแยกตวั ประกอบพหุนามตอ่ ไปน้ี (น)2 – (ล)2 = (น + ล)(น - ล)

ตวั อย่าง 16x2 – 81 (4x)2 - 92
วิธที ำ 16x2 - 81 = (4x + 9)(4x - 9)
ดังนัน้ 16x2 - 81 =

1) x2 - 1 =…………………………............ 2) 16 - x2 =…………………………............
3) x2 - 64 =…………………………………… 4) x2 - 144 =……………………………………
5) 225 - x2 6) x2 - 361
7) x2 - 625 =…………………………............ 8) x2 - 900 =…………………………............
9) 9x2 - 1 =…………………………………… 10) 4x2 - 49 =……………………………………
11) 16x2 - 169 12) 49x2 - 81
13) 25x2 - 121 =…………………………............ 14) 196x2 - 100 =…………………………............
15) 81x2 - 400 =…………………………………… 16) 64x2 - 225 =……………………………………
17) 144x2 - 441 18) 1 - 289x2
19) 529x2 - 625 =…………………………............ 20) 961 – 900x2 =…………………………............
=…………………………………… =……………………………………

=…………………………............ =…………………………............
=…………………………………… =……………………………………

=…………………………............ =…………………………............
=…………………………………… =……………………………………

=…………………………............ =…………………………............
=…………………………………… =……………………………………

=…………………………............ =…………………………............
=…………………………………… =……………………………………

=…………………………............ =…………………………............
=…………………………………… =……………………………………

=…………………………............ =…………………………............
=…………………………………… =……………………………………

27

แบบฝกึ หดั ที่ 4.2

คาชแี้ จง จงแยกตัวประกอบพหนุ ามต่อไปน้ี (น)2 – (ล)2 = (น + ล)(น - ล)

ตวั อยา่ ง (3x – 2)2 – (x + 5)2 [(3x – 2) + (x + 5)] [(3x – 2) - (x + 5)]
วิธีทำ (3x – 2)2 – (x + 5)2 = (3x – 2 + x + 5)(3x – 2 - x - 5)
= (4x + 3)(2x - 7)
ดังน้ัน (3x – 2)2 – (x + 5)2 =

1) (a - 2)2 - 1 =…………………………............ 2) 25 – (y + 1)2 =…………………………............

=…………………………………… =……………………………………

=…………………………………… =……………………………………

3) (x + 2)2 - 4 =…………………………............ 4) (x – 3)2 - 36 =…………………………............

=…………………………………… =……………………………………

=…………………………………… =……………………………………

5) 81 – (x + 5)2 =…………………………............ 6) 4x2 – (x – 2)2 =…………………………............

=…………………………………… =……………………………………

=…………………………………… =……………………………………

7) (2x + 3)2–25x2 =…………………………............ 8) (x+6)2 – (x+4)2 =…………………………............

=…………………………………… =……………………………………

=…………………………………… =……………………………………

9) (x-8)2 – (x-5)2 =…………………………............ 10) (x+6)2 – (x+4)2 =…………………………............

=…………………………………… =……………………………………

=…………………………………… =……………………………………

11)(3x+8)2–(x-1)2 =…………………………............ 12) 144x2 – (2x-3)2 =…………………………............

=…………………………………… =……………………………………

=…………………………………… =……………………………………

28

แบบฝกึ หดั ที่ 4.3

1) วงกลมสองวงมีจดุ ศูนย์กลางรว่ มกนั วงกลมใหญ่มรี ศั มยี าว 89 หน่วย วงกลมเล็กมรี ศั มยี าว 65
หนว่ ย วงกลมทัง้ สองมพี น้ื ท่ตี า่ งกนั เท่าไร (กำหนด ≈ 3.14)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………

2) จากรปู กำหนดให้ ∆ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จว่ั มี B̅̅̅C̅ เปน็ ฐาน AB = 51 เซนตเิ มตร

AE = 38 เซนตเิ มตร และ BE = 25 เซนตเิ มตร จงหาพน้ื ทขี่ อง ∆ A

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………5…1 ………3…8……………

……………………………………………………………………………………………………………………2…5…………………

…………………………………………………………………………………………………………B………………D……………C…

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………

29

สรุปท้ายบท

❖ การเขยี นพหุนามที่กำหนดให้ ในรูปการคูณกันของตัวประกอบของพหนุ ามท่ีมีดกี รตี ่ำกว่า
พหนุ ามเดมิ ตั้งแตส่ องพหนุ ามข้นึ ไป เรยี กว่า การแยกตัวประกอบของพหนุ าม

❖ การแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง (ดึงตวั ร่วม)
ถา้ a, b และ c แทนจำนวนใด ๆ แล้ว
a(b + c) = ab + ac หรอื (b + c)a = ba + ca
เราอาจเขยี นใหม่เปน็ ดังน้ี
ab + ac = a(b + c) หรอื ba + ca = (b + c)a
เรียก a ว่า ตวั ประกอบรว่ ม ของ ab และ ac หรอื ตัวประกอบร่วมของ ba และ ca

❖ การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดียว (แยกสองวงเลบ็ )
พหุนามดกี รีสองตวั แปรเดียว เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “พหนุ ามกำลงั สอง” คือพหุนามท่ี

เขียนให้อยูใ่ นรูป ax2 + bx + c เมอื่ a, b, c เป็นคา่ คงตัวที่ a ≠ 0 และ x เปน็ ตัวแปร

• การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b เปน็
จำนวนเตม็ และ c = 0
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวในกรณีนี้จะอยุ่ในรูป ax2 + bx เราสามารถใช้
สมบตั ิการแจกแจง (ดึงตัวร่วม) ในการแยกตวั ประกอบของพหุนามในรูปนไี้ ด้

• การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ
c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0

ในกรณีทว่ั ไป สามารถแยกตวั ประกอบ ของพหนุ ามดีกรีสองในรปู
ax2 + bx + c เมอื่ b, c เปน็ จำนวนเต็ม และ c ≠ 0 ได้ โดยหาจำนวนเต็มสอง
จำนวนที่คณู กันไดเ้ ทา่ กบั พจน์ทเ่ี ป็นคา่ คงตัวคอื c และบวกกันได้เท่ากบั สัมประสทิ ธ์ิ
ของ X คอื b

ถา้ ให้ m และ n เป็นจำนวนเตม็ สองจำนวน ซงึ่ mn = c และ m + n = b

จะไดว้ า่ x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

30

• การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a , b และ c
เปน็ จำนวนเตม็ และ a ≠ 1 , c ≠ 0

1. หาพหนุ ามดีกรหี นง่ึ สองพหนุ ามทีค่ ูณกันได้พจนห์ น้าคอื ax2

2. หาจำนวนเต็มสองจำนวนทค่ี ณู กนั แลว้ ได้พจน์หลังคือ c

3. นำผลทีไ่ ดใ้ นขอ้ ท่ี 1 และ 2 มาหาพจน์กลางทลี ะกรณี จะกว่าจะไดพ้ จนก์ ลาง
เป็น bx ตามตอ้ งการ

❖ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองที่เป็นกำลงั สองสมบูรณ์

ในกรณที ่ัวไป ถ้าให้ A แทนพจน์หนา้ และ B แทนพจน์หลงั จะแยกตวั ประกอบของ
พหุนามดกี รสี อง ทเี่ ปน็ กำลังสองสมบูรณไ์ ดต้ ามสูตร ดังน้ี

❖ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
❖ A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
❖ การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองทเ่ี ปน็ ผลต่างของกำลงั สอง
ในกรณที วั่ ไป ถา้ ให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของ
พหนุ ามดกี รีสองท่ีเป็นผลต่างของกำลังสองได้ตามสตู ร ดังน้ี
❖ A2 - B2 = (A + B)(A – B)

แผนการจดั การเรยี นการสอน

แผนการจดั การเรียนร้ทู ่ี 1

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ รายวิชาพ้นื ฐาน คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 2
จำนวน 10 ช่ัวโมง
หน่วยการเรียนรู้ เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง จำนวน 2 ช่วั โมง

เรอ่ื ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียว

ครผู สู้ อน นายภาณุ ดวงมาลา

1. มาตรฐานการเรียนรแู้ ละตัวช้วี ัด / ผลการเรยี นรู้
1.1 มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสมั พนั ธ์ ฟังกช์ ัน ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้
1.2 ตวั ช้วี ัด
ค 1.2 ม.2/2 เขา้ ใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

2. สาระสำคัญ
การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจงทำไดโ้ ดยนำตัวประกอบร่วมออกมาไว้หน้าวงเล็บ สว่ นที่

เหลือในวงเลบ็ จะเปน็ ผลลพั ธ์จากการนำตัวประกอบรว่ มไปหารแต่ละพจน์นั้น ๆ นอกจากสมบตั ิการแจกแจง
แลว้ จำเป็นท่จี ะต้องใชส้ มบัติการสลบั ท่ีและสมบตั ิการเปลยี่ นหมูเ่ ข้ามาช่วยในการแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ด้วย

3. สมรรถนะสำคญั
1. ความสามารถในการสอื่ สาร
2. ความสามารถในการคดิ
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา
4. มีวนิ ัย รับผดิ ชอบ
5. ใฝ่เรียนรู้
6. มุง่ มน่ั ในการทำงาน

4. จดุ ประสงค์กรเรยี นรู้
ด้านความรู้
1. บอกความหมายของการแยกตัวประกอบของพหนุ ามได้
ดา้ นทักษะ/กระบวนการ
2. เขียนแยกตวั ประกอบของพหุนาม โดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจงได้
ดา้ นคุณลักษณะ
3. ต้งั ใจเรียนรู้และแสวงหาความรู้ รับผิดชอบตอ่ หน้าทท่ี ี่ได้รบั มอบหมาย

5. สาระการเรยี นรู้
การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองโดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง

6. กิจกรรมการเรยี นการสอน
ชั่วโมงท่ี 1

ข้ันนำ
1. ครูทบทวนความรู้กับนกั เรยี นเกย่ี วกับตวั ประกอบของพหุนาม ดังนี้
• ตัวประกอบของพหุนาม คือ เอกนามหรือพหนุ ามทห่ี ารพหุนามนั้นลงตวั
• การหาตัวประกอบของพหนุ าม ทำไดโ้ ดยนำจำนวนนับตงั้ แต่ 1 ถงึ พหนุ ามท่ีกำหนดไป
หารพหนุ ามท่ีกำหนดให้ทลี ะจำนวน แลว้ พจิ ารณาวา่ มีพหุนามใดทน่ี ำมาหารพหนุ ามท่ี
กำหนดใหไ้ ด้ลงตวั บา้ ง
2. ครูและนักเรียนร่วมกันสนทนาทบทวนเกี่ยวกับความรู้เดิม โดยการถาม-ตอบ ดังน้ี
• เอกนามคืออะไร
(แนวตอบ : นพิ จนท์ ี่สามารถเขียนใหอ้ ย่ใู นรูปการคูณของค่าคงตวั กบั ตัวแปรตั้งแต่หนึง่
ตัวข้นึ ไป โดยทเ่ี ลขช้ีกำลงั ของตัวแปรแต่ละตวั เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศนู ย์ เช่น a2
, 2x, -3y ฯลฯ)
• พหุนามคืออะไร
(แนวตอบ : นิพจน์ที่สามารถเขียนในรปู เอกนามหรือในรปู ผลบวกของเอกนามต้ังแต่
2 ข้ึนไป เช่น 2x – 3, y2 – 2x + 5)
3. ครทู บทวนความรู้นักเรียนเรอ่ื ง การคูณพหุนาม โดยเขียนตัวอยา่ งโจทย์ 2(x + 4) = 2x + 8
บนกระดาน
4. ครูเขยี นผลคูณของพหนุ ามขา้ งต้นใหม่ ดังน้ี 2x + 8 = 2(x + 4)
5. ครูอธิบายกับนักเรียนว่า “การเขียนพหนุ ามท่ีกำหนดให้ ให้อยู่ในรูปของการคูณของพหุนาม
ตั้งแต่สองพหุนามขน้ึ ไปดงั ข้างต้น เปน็ ตัวอยา่ งหน่ึงของการแยกตวั ประกอบของพหุนาม
ซง่ึ วนั นเ้ี ราจะมาเรียนกนั ในเรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง”.

ข้นั สอน
1. นักเรียนศกึ ษาความรู้เก่ียวกับการแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจงใน
หนงั สอื เรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ ม.2 เลม่ 2 บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุ
นามดกี รีสอง

2. จากนัน้ ครถู ามคำถามกระตุ้นความคดิ วา่ กบั นักเรยี น ดงั น้ี
• พหนุ ามทเี่ ป็นตัวประกอบแต่ละตวั จะมีดีกรเี ปน็ อย่างไรกับพหนุ ามทีก่ ำหนด
(แนวตอบ : ดีกรตี ่ำกว่า)
• นักเรียนคดิ ว่า ตัวประกอบรว่ มของ 36x2และ 60xy เท่ากับเทา่ ใด
(แนวตอบ : 12x)
• นกั เรยี นคิดว่า 36x2 + 60xy แยกตวั ประกอบไดเ้ ท่ากับเท่าใด
(แนวตอบ : 36x2 + 60xy = 12x (3x + 5y))

3. นกั เรยี นทำกิจกรรมในหนงั สือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน คณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 บทที่ 5 การ

แยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง ลงในสมดุ จากนัน้ ครูและนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ

4. จากนนั้ ครูถามคำถามกระตุ้นความคดิ กบั นักเรียน ดงั นี้

• นกั เรยี นคิดวา่ 3x + 18 = 3(x + 6) เปน็ ไปตามสมบตั ิใด

(แนวตอบ : สมบตั กิ ารแจกแจง)

• ถา้ a, b และ c เปน็ พหนุ าม แลว้ สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม ab + ac ได้

หรอื ไม่อย่างไร

(แนวตอบ : ได้ โดยใชส้ มบัติการแจกแจงจะไดว้ ่า ab + ac = a(b + c))

5. นักเรียนจับคกู่ ับเพื่อน โดยแต่ละคศู่ ึกษาตวั อย่างในหนงั สือเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 เล่ม

2 บทที่ 5 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง จากน้ันแต่ละครู่ ่วมกนั แลกเปลยี่ นความรู้

ซง่ึ กนั และกนั

6. นักเรยี นทำกิจกรรมในหนังสือเรียนรายวชิ าพื้นฐาน คณติ ศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 บทท่ี 5 การ

แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ลงในสมุด จากนั้นครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยคำตอบ

ชวั่ โมงท่ี 2

7. ครูกล่าวว่า “การแยกตัวประกอบของพหนุ ามทมี่ ีหลายพจนไ์ ม่สามารถนำสมบัติการแจกแจง

มาใชแ้ ยกตัวประกอบได้ทนั ทีแต่เมอื่ จดั เรียงพจน์ในพหนุ ามดงั กลา่ วใหมโ่ ดยใชส้ มบัติ

การเปลยี่ นหม่หู รอื สมบัตกิ ารสลับทแ่ี ลว้ สามารถแยกตัวประกอบได้”

8. นกั เรียนศึกษาตวั อย่างในหนงั สอื เรยี นรายวชิ าพื้นฐาน คณติ ศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 บทท่ี 5 การ

แยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง

9. ครูยกตัวอยา่ งโจทยเ์ รื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามที่มหี ลายพจน์ จากนั้นครูแสดงวธิ ที ำ

ให้นกั เรียนบนกระดาน พร้อมท้ังใช้การถามตอบประกอบการอธบิ าย และใหน้ ักเรียนจด

ลงในสมดุ ดงั น้ี
• จงแยกตวั ประกอบ xy – 2xz + yz – 2z2

(แนวตอบ : xy – 2xz + yz – 2z2 = (xy – 2xz) + ( yz – 2z2) (จดั หมู่)

= x(y – 2z) + z( y – 2z) (ตัวประกอบร่วม)

= (y – 2z) ( x + z) ตอบ)

• จงแยกตัวประกอบ y3 – y2 + y - 1

(แนวตอบ : y3 – y2 + y – 1 = (y3 – y2) + (y - 1) (จดั หมู)่
= y2(y - 1) + (y - 1)
(ตัวประกอบร่วม)

= (y - 1) (y2 + 1) ตอบ

• จงแยกตัวประกอบ 2a2x – abx + acx – 2aby + b2y - bcy
(แนวตอบ : 2a2x – abx + acx – 2aby + b2y - bcy

= (2a2x – abx + acx) - (2aby - b2y + bcy) (จดั หมู่)

= ax(2a – b + c ) - by (2a - b + c) (ตวั ประกอบรว่ ม)

= (2a – b + c) (ax - by) ตอบ

10. ครถู ามคำถามกับนักเรียน ดังน้ี

• พหุนามมลี ักษณะอยา่ งไร

(แนวตอบ : เปน็ พหนุ ามที่มีหลายพจน์)

• การแยกตัวประกอบของพหนุ ามทมี่ หี ลายพจนข์ า้ งต้นมวี ิธกี ารอยา่ งไรบ้าง
(แนวตอบ : ใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง และสมบตั ิอืน่ ๆ เชน่ การจดั หมู่ สมบัติการเปลย่ี น
หมู)่

• เรียกวธิ ีการแยกตัวประกอบของพหุนามขา้ งตน้ วา่ อย่างไร
(แนวตอบ : การแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยการจดั กลุ่ม)

11. นกั เรยี นทำกจิ กรรมในหนงั สือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ ม.2 เลม่ 2 บทที่ 5 การ
แยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง ลงในสมุด จากน้ันครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยคำตอบ

12. นกั เรยี นทำใบงานท่ี 1 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง
13. นกั เรียนแบง่ กลุ่ม กลมุ่ ละ 3 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ โดยแตล่ ะกลุม่ รว่ มกนั ทำ

กิจกรรมในหนงั สือเรียนรายวิชาพ้นื ฐาน คณติ ศาสตร์ ม.2 เลม่ 2 บทท่ี 5 การแยกตัวประกอบ
ของพหนุ ามดีกรีสอง เมือ่ เสร็จแล้ว นกั เรียนแต่ละกลมุ่ ส่งตัวแทนออกมานำเสนอคำตอบหนา้
ชั้นเรียน โดยครตู รวจสอบความถกู ต้อง
ขัน้ สรปุ
1. ครใู หน้ กั เรียนทำแบบฝกึ ทักษะ ในหนังสือเรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน คณติ ศาสตร์ ม.2 เลม่ 2 บทท่ี
5 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง ลงในสมุดเปน็ การบา้ นแล้วส่งในช่วั โมงถดั ไป
2. ครถู ามคำถามเพื่อสรปุ ความรู้รวบยอดของนักเรียน ดงั น้ี

• แยกตัวประกอบของพหุนามคืออะไร
(แนวตอบ : การเขียนพหนุ ามให้อยใู่ นรูปการคูณกันของพหุนามที่มดี ีกรีตำ่ กวา่ ตงั้ แต่
สองพหนุ ามขึน้ ไป หรือเขียนพหุนามท่ีกำหนดให้ในรูปที่ง่ายกว่า)

3. นักเรยี นและครูรว่ มกันสรุปเกี่ยวกบั การแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัติการแจกแจง

7. ส่ือและแหล่งการเรยี นรู้
1. หนังสือเรยี นรายวิชาพนื้ ฐาน คณติ ศาสตร์ ม.2 เลม่ 2
2. แบบฝกึ หัด เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
3. ห้องสมดุ โรงเรยี น

8. การวดั และประเมินผลการเรยี นรู้

รายการวัด วธิ กี าร เคร่อื งมอื เกณฑก์ ารประเมิน

1) การแยกตัว - ตรวจแบบฝึกหัดที่ 1.1 - แบบฝกึ หดั ท่ี 1.1 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- ร้อยละ 60 ผา่ นเกณฑ์
ประกอบของพหุนาม - ตรวจแบบฝกึ หัดท่ี 1.2 - แบบฝกึ หัดที่ 1.2

โดยใช้สมบตั ิการแจก
แจง

2) การนำเสนผลงาน/ - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบการนำเสนอ - ระดบั คุณภาพ 2
ผ่านเกณฑ์
ผลการทำกจิ กรรม ผลงาน/ผลการทำ ผลงาน/ผลการทำ

กิจกรรม กจิ กรรม

รายการวดั วิธกี าร เครือ่ งมอื เกณฑก์ ารประเมนิ
- ระดับคณุ ภาพ 2
3) พฤติกรรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

รายบคุ คล การทำงานรายบุคคล การทำงานรายบคุ คล - ระดับคณุ ภาพ 2
ผา่ นเกณฑ์
4) พฤติกรรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกตพฤติกรรม
กลมุ่ การทำงานกล่มุ การทำงานกลมุ่ - ระดับคณุ ภาพ 2
ผา่ นเกณฑ์
5) คุณลักษณะ - สังเกตความมีวินัย - แบบประเมนิ
อนั พึงประสงค์ รบั ผดิ ชอบ ใฝ่เรยี นรู้ คณุ ลักษณะ
และม่งุ มัน่ ในการทำงาน อนั พงึ ประสงค์

9. บันทึกหลังการจัดการเรียนการสอน
ผลการสอน

............................................................................................................................. ........................................
.......................................................................................... ...........................................................................
............................................................................................................................. ........................................

ปัญหาและอุปสรรค
............................................................................................................................. ........................................
...................................................................................... ...............................................................................
............................................................................................................................. ........................................

แนวทางการแกไ้ ข
............................................................................................................................. ........................................
............................................................................................................................. ........................................
.......................................................................................... ...........................................................................

ลงช่ือ ................................... ผูส้ อน
ความคดิ เหน็ เพม่ิ เติม
....................................................................................................... ..............................................................
............................................................................................................................. ........................................
........................................................................................................................................................ .............
............................................................................................................................. ........................................

ลงชอื่ ....................................หวั หน้ากลมุ่ สาระการเรยี นรู้

แบบฝึกหัดท่ี 1.1

คำช้แี จง จงแยกตวั ประกอบพหนุ ำมต่อไปนี้

แบบฝกึ หดั ที่ 1.2

คำช้แี จง จงแยกตัวประกอบพหนุ ำมตอ่ ไปนี้

1) 5x2 – 10x = ……………………………………………………

2) -2x + 14 = ……………………………………………………

3) 16x + 64xy = ……………………………………………………

4) 33y2 – 11yz = ……………………………………………………

5) 6xy – 8xy2 = ……………………………………………………

6) 5y2 – 20y = ……………………………………………………

7) 10x2 -50x = ……………………………………………………

8) 4x2y – 10xy = ……………………………………………………

9) -25x3 + 15x2 = ……………………………………………………

10) 81x2 + 88x = ……………………………………………………

11) 2x3 – 10x2 + 6x = ……………………………………………………

12) 9x4 + 12x3 – 6x2 = ……………………………………………………

13) m(n+3) + 5(n+3) = ……………………………………………………

14) (4y2+3)y + 6(4y2+3) = ……………………………………………………

15) 4t(a + b) – s(a + b) = ……………………………………………………

แบบฝกึ หัดท่ี 1.3

คำชี้แจง จงแยกตวั ประกอบพหนุ ำมต่อไปน้ี

1) ax + by + bx + ay = ……………………………………………………………..
= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

2) 5a – 10x + ab – 2bx = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

3) n2m + n2p – 8m – 8p = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

4) ab2 – cb2 – 6a+ 6c = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

5) 2x3 – x + 14x2 – 7 = ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

= ……………………………………………………………..

แบบประเมินการนำเสนอผลงาน/ผลการทำกจิ กรรม

คำชี้แจง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ✓ลงในชอ่ งที่

ตรงกับระดับคะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมนิ ระดับคะแนน 1
32

1 เน้ือหาละเอียดชัดเจน  

2 ความถูกตอ้ งของเนื้อหา  

3 ภาษาที่ใชเ้ ขา้ ใจงา่ ย  

4 ประโยชน์ทีไ่ ด้จากการนำเสนอ  

5 วิธีการนำเสนอผลงาน  

รวม

ลงช่ือ...................................................ผูป้ ระเมนิ
............./.................../..............

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 3 คะแนน
ผลงานหรือพฤติกรรมสอดคล้องกบั รายการประเมินสมบรู ณ์ชัดเจน ให้ 2 คะแนน
ผลงานหรอื พฤตกิ รรมสอดคล้องกบั รายการประเมนิ เป็นส่วนใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ผลงานหรือพฤติกรรมสอดคล้องกบั รายการประเมนิ บางสว่ น

เกณฑก์ ารตัดสนิ คุณภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคุณภาพ

14-15 ดีมาก

11-13 ดี

8-10 พอใช้

ตำ่ กว่า 8 ปรับปรุง