ชีทสรุปหรรษา ระบบเลขฐาน

ชีทสรุป หรรษา ระบบเลขฐาน

คำนำ ชีทสรุปหรรษา ระบบเลขฐานเล่มนี้จัดทำขึ้นเพื่อสรุปเนื้อหาสาระ ของระบบเลขฐาน ให้ผู้อ่านหรือผู้ที่สนใจเข้าใจเนื้อหาสาระ เนื้อหาของชีทสรุปหรรษาเล่มนี้มีทั้งหมด 3 หน่วยการเรียนรู้ ประกอบด้วย (1) ระบบฐานของตัวเลข (2) การเปลี่ยนฐานของตัวเลขในระบบคอมพิวเตอร์ (3) การคำนวณเลขฐาน พร้อมทั้งแบบฝึกหัดและแบบทดสอบก่อนเรียนและ หลังเรียนเพื่อให้ผู้อ่านได้ฝึกทักษะการคิดและการแก้ปัญหา คณะผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า ชีทสรุปหรรษาระบบเลขฐานเล่มนี้ จะ สามารถใช้ศึกษาให้เกิดความรู้และเกิดประโยชน์แก่ผู้อ่าน ตลอดจนผู้ที่สนใจ ศึกษา หากมีข้อผิดพลาดประการใด คณะผู้จัดทำขอน้อมรับคำติชม เพื่อเป็น ประโยชน์ในการปรับปรุงแก้ไขในโอกาสต่อไป คณะผู้จัดทำ เขมิกา สุขประเสริฐ จินดามณี พวงระกำ นััทธมน ช่อรัก

หน่วยที่ 2 การเปลี่ยนฐานของ ตัวเลขในระบบคอมพิวเตอร์ สารบัญ หน่วยที่ 1 ระบบฐานของตัวเลข ฐานของตัวเลข ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานแปด ระบบเลขฐานสิบ ระบบเลขฐานสิบหก ความสำคัญในการเปลี่ยนฐานของตัวเลข การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานอื่นๆ การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานอื่นๆ การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานอื่นๆ การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานอื่นๆ 2 หน้า 4 6 8 10 13 14 19 23 26

สารบัญ หน่วยที่ 3 การคำนวณเลขฐาน หลักการคำนวณ นิพจน์ทางตรรกศาสตร์ การคำนวณเลขฐานสอง การคำนวณเลขฐานแปด การคำนวณเลขฐานสิบ การคำนวณเลขฐานสิบหก การคำนวณเลขระหว่างฐานที่ต่างกัน คอมพลีเมนต์ของเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์ แบบฝึกหัด เฉลยแบบฝึกหัด หน้า 29 29 29 33 38 41 46 48 54 58

หน่วยที่ 1 ระบบฐานของตัวเลข ตั

แบบทดสอบก่อนเรียน ระบบเลขฐาน

ฐานตัวเลข (Base of Radix) คือ จำนวน ตัวเลขในแต่ละหลัก เริ่มต้นด้วย 0 ถ้าใช้ สัญลักษณ์ b เป็นฐานในการนับ จะได้ ตัวเลขในระบบฐานนั้นๆ มีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง b-1 จำนวนที่มีค่าสูงสุดของฐาน ฐาน บางทีเรียกว่าสเกลหรือเรดิกซ์ที่ใช้นับ มีหลายฐาน (จำนวนจะเท่ากับฐานนั้นเสมอ) จะมีค่าน้อยกว่าฐานอยู่หนึ่งหน่วย ระบบฐานของตั ตัวเลข 2

3 ฐานของตัวเลข ฐานของตัวเลข องตัวเลข 2 ระบบเลขฐานห้า มี สัญลักษณ์ 5 ตัว คือ 0,1,2,3,4 3 ระบบเลขฐานแปด มี สัญลักษณ์ 8 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5,6,7 4 ระบบเลขฐานสิบ มี สัญลักษณ์ 10 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 5 ระบบเลขฐานสิบสอง มีสัญลักษณ์ 12 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B 1 ระบบเลขฐานสอง มี สัญลักษณ์ 2 ตัว คือ 0,1 6 ระบบเลขฐานสิบหก มีสัญลักษณ์ 16 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

11011 = 27 2 ตัวอ ตั ย่าง จำนวน 11011 มีความหมาย มี ดัง ดั นี้ 2 วิธีวิ ทำธี 11011 = (1x2 ) + (1x2 ) + (0x2 ) + (1x2 ) + (1x2 ) 4 3 2 1 0 = (1x16) + (1x8) + (0x4) + (1x2) + (1x1) = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 คือฐานคื 24 2 1 ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System) *ฐานยกกำลังลัศูนย์ = จะเท่ากับ 1 (ไ กัม่ว่าฐานอะไรก็ตาม) ก็ 11012 = (1x2) + (1x2) + (0x2) + (1x2) 3 2 1 0 100112 = (1x2) + (0x2) + (0x2) + (1x2) + (1x2) 4 3 2 1 0 0.1011 2= (0x2) + (1x2) + (0x2) + (1x2) + (1x2) 0 -1 -2 -3 -4 ตัวอ ตั ย่าง เขียน ขี จำนวนต่อไปนี้ในี้ ห้อยู่ในรูปกระจาย วิธี วิ ทำธี 4 มีทั้ มี งหมด ทั้2 ตัว ตั คือ คื 0 กับ กั 1 เรียก รี ว่าบิต (Bit) บิ ภาษาคอมพิวเตอร์ใช้ไม่เหมือน มื กับภาษาม กั นุษย์ ดัง ดั นั้นนั้ คอมพิวเตอร์จึงไจึด้นำ ด้ ระบบเลขฐานสอง คือ คื 0 กับ 1 กั มาแทนลักษณะ ลั ข้อมูล

1101.11 คำอ่านคือ ห คื นึ่ง หนึ่ง ศูนย์ หนึ่ง จุด หนึ่ง หนึ่ง ฐานสอง ตัวอ ตั ย่าง จงเขียน ขี คำอ่านเลขฐานสองต่อไปนี้ วิธีวิ ทำธี 1101 คำอ่านคือ ห คื นึ่ง หนึ่ง ศูนย์ หนึ่ง ฐานสอง 10011 คำอ่านคือ ห คื นึ่ง ศูนย์ ศูนย์ หนึ่ง หนึ่ง ฐานสอง 2 2 2 ข้อสังเกต สั ถ้าต้องการกลุ่มเลขฐานสองประกอบไปด้วย 0 และ 1 จำนวน n บิต จะสามารถใ บิ ช้แทน อักขระ ไ อั ด้จำนวน = 2 ตัว ตั คอมพิวเตอร์จะนำเลขฐานสองมาใช้แทนความหมายต่างๆ เช่น จำนวนเต็ม ทศ ต็ นิยม ถ้าเป็นระบบเลขฐานสองแบบ 3 บิต จะไ บิด้ = 2 = 8 ตัว ตั ถ้าเป็นระบบเลขฐานสองแบบ 6 บิต จะไ บิด้ = 2 = 64 ตัว ตั ถ้าเป็นระบบเลขฐานสองแบบ 8บิต จะไ บิด้ = 2 = 256 ตัว ตั 5 ระบบเลขฐานสอง

ระบบเลขฐานแปด 8 ตัวอย่าง เขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปกระจาย วิธีทำ 478 = ( 4x8 ) + (7x8 ) 1 0 506 = ( 5x8 ) + ( 0 x 8 ) + ( 6x8 ) 8 2 1 0 3,720 = ( 3x8 ) + ( 7x8 ) + ( 2x8 ) + ( 0x8 ) 3 2 1 0.152 = ( 0x8 ) + ( 1x8 ) + ( 5x8 ) + ( 2x8 ) 8 8 0 -1 -2 -3 ตัวอย่าง จำนวน 325 มีความหมายดังนี้ วิธีทำ 325 = (3x8 ) + (2x8 ) + (5x8 ) 2 1 8 = (3x64) + (2x8) + (5x1) 325 = 192 + 16 + 5 8 6 0 0

ตัวอย่าง จงเขียนคำอ่านเลขฐานแปดต่อไปนี้ วิธีทำ 47 คำอ่านคือ สี่ เจ็ด ฐานแปด 506 8 คำอ่านคือ ห้า ศูนย์ หก ฐานแปด ตัวอย่าง จงเขียนให้อยู่ในรูปของเลขฐาน วิธีทำ เจ็ด หก ศูนย์ ฐานแปด เขียนได้ 760 8 หนึ่ง สี่ ศูนย์ หนึ่ง ห้า จุด สาม สอง ฐานแปด เขียนได้ 14015.328 8 ตัวอย่าง แสดงการนับระบบเลขฐานแปด 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 ... ... ... ... ... ... ... ... 70 71 72 73 74 75 76 77 100 101 102 103 104 105 106 107 110 111 112 113 114 115 116 117 ... ... ... ... ... ... ... ... 7 ระบบเลขฐานแปด

ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System) เป็นระบบตัวเลขที่มนุษย์ทั่วโลกนิยมใช้มากที่สุด มีสัญลักษณ์ที่ใช้แทนทั้งหมด 10 ตัว ได้แก่ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ตัวอย่าง จำนวน 3,729 มีความหมายดังนี้ วิธีทำ 3 7 2 9 10x10x10 10x10 10 1 3x(10x10x10) 7x(10x10) 2x(10) 9x(1) 3,000 + 700 + 20 + 9 =3,729 ระบบเลขฐานสิบ สิ 0 ตัวอย่าง จำนวน 7,618 มีความหมายดังนี้ วิธีทำ 7,618 = 7,000 + 600 + 10 + 8 = (7x1,000) + (6x100) + (1x10) + (8x1) 7,618 = (7x10) + (6x10) + (1x10) + (8x10) 3 2 1 8

1,463,720 = 1,000,000 + 400,000 + 60,000 + 3,000 + 700 + 20 + 0 ตัวอย่าง เขียนทศนิยม 0.372 ให้อยู่ในรูปกระจาย วิธีทำ 0.372 = (0x10) + (3x10) + (7x10) + (2x10) 0.372 = 0 + + + 3 10 _ 7 100 _2 1000 _ 0 -1 -2 -3 ตัวอย่าง เขียนจำนวนเต็มต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปกระจาย วิธีทำ 29,067 = = (2x10) + (9x10) + (0x10) + (6x10) + (7x10) (2x10,000) + (9x1,000) + (0x100) + (6x10) + (7x1) 29,067 = 20,000 + 9,000 + 0 + 60 + 7 4 3 2 1 0 = (1x1,000,000) + (4x100,000) + (6x10,000) + (3x1,000) + (7x100) + (2x10) + (0x1) 6 1,463,720 = (1x10) + (4x10) + (6x10) + (3x10) + (7x10) + (2x10) + (0x10) 5 4 3 2 1 0 9

0 ตัวอย่าง จำนวน 20F9 มีความหมายดังนี้ วิธีทำ 20F916 = ( 2 x 16 )3 +( 0 x16 )2 = ( 2 x4,096 )+(0 x 256) 16 +( F x16 )1 +( 15 x16 ) = 8,192 + 0 + 240 + 9 20F916 = 8,441 +( 9 x16 ) +( 9 x 1 ) ระบบเลขฐานสิบ สิ หก ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal Number System) มีทั้งหมด 16 ตัว คือ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ระบบเลขฐานสิบหก มีประโชน์เพราะมีการประมวลผลเลข ฐานสอง ซึ่งหากนำเลขฐานสิบหก มาเขียนแทนทำให้สะดวกขึ้น A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15 10

ตัวอย่าง เขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปกระจาย วิธีทำ A5 16 = ( A x 16 )1 + ( 5 x 16 )0 37216 = ( 3 x16 )2 + ( 7 x 16 )1 + ( 2 x 16 )0 4E2B16 = ( 4 x 16 )2 +( E x16 )2 +( 2 x16 )1 +( B x16 )0 9C.31516 = ( 9 x 16 )1 +( Cx 16 )0 +( 3 x 16 ) -1 +( 1 x 16 ) -2 +( 5 16 ) -3 x ตัวอย่าง จงเขียนให้อยู่ในรูปตัวเลขฐานสิบหก วิธีทำ เจ็ด หก เก้า ฐานสิบหก เขียนได้ 76916 หนึ่ง สี่ ดีห้า เอ จุด ศูนย์ สาม ฐานสิบหก เขียนได้ 14D5A.0316 ตัวอย่าง จงเขียนคำอ่านเลขฐานต่อไปนี้ วิธีทำ A5 16 4E2B 16 9C.31516 คำอ่านคือ คำอ่านคือ คำอ่านคือ เอ ห้า ฐานสิบหก สี่ อี สอง บี ฐานสิบหก เก้า ซีจุด สาม หนึ่ง ห้า ฐานสิบหก ระบบเลขฐานสิบ สิ หก 11

การเปลี่ยนฐานของ ลี่ ตัวเลข ตั ในระบบคอมพิวเตอร์ การเปลี่ยนฐานของ ลี่ ตัวเลข ตั ในระบบคอมพิวเตอร์ หน่วยที่ หน่ ที่ น่ วยที่

ตัวเลขที่ใช้กันในปัจจุบัน มีส่วนสำคัญ 2 ส่วนคือ สัญลักษณ์ และมูลค่าใน การเขียนจำนวนเลขต้องมี เลขฐานกำกับไว้ทุกครั้ง การเปลี่ยนฐานของตัวเลข ในระบบคอมพิวเตอร์ ต้องเปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบก่อน ความสำคัญในการเปลี่ยนฐานของตัวเลขในระบบคอมพิวเตอร์ 13 การเปลี่ยนเลขฐานหนึ่งไปเป็นเลขอีกฐานหนึ่ง นิยมเปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบก่อน แล้วจึง เปลี่ยนไปยังเลขฐานที่ต้องการ แต่เลข ฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก สามารถเปลี่ยนได้โดยตรง ไม่จำเป็น ลักษณะการทำงานของส ใช้ระบบเลขฐานสองในการ วิตซ์ ความหมาย แ สื่อ ฐานสอง ต่เนื่องจากเลข จำนวนหลายๆห ทำให้เกิดความ ลัก สับสนในการสื่อ ความหมาย ซึ่งไม่สะดวกในการ ใช้เลขฐานสองเพียงอย่างเดียว จึงจะต้องศึกษาระบบเลขฐาน ข้ อื่ อ นๆ มูลภายในคอม ที่เกี่ยวข้องกับรหัสแทน พิวเตอ รหัสที่มนุ ร์และ ษย์เข้าใจ

0110012 = 63 2 8 0110011 ซ้าย ขวา 2 1 3 2 1 3 2 1 = 0 0 0 1 1 0 4 2 1 4 2 1 = 0+0+0 6 3 0 1 1 4 2 1 4+2+0 0+2+1 0 วงตัวเลขที่ ไม่มีศูนย์ เพื่อจะได้ง่าย ต่อการหาค่า ตัวเลข 0 1 1 1 0 1 4 2 1 4 2 1 11101 = 35 2 8 4+0+1 11101 ซ้าย ขวา = = 0+2+1 3 5 สูตร 421 ทริคการแปลงฐาน 1. เขียนเลขฐานสองที่ ต้องการเปลี่ยน 2. จัดกลุ่มเลขฐานสอง กลุ่มละ 3 บิต ถ้าไม่ครบ3บิต ให้เติม 0 (ซ้ายมือ) จนครบ 3. นำ 4 2 1 เขียนให้ตรงหลัก การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานอื่นๆ การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด (3 บิต) ( ถ้าไม่ครบ 3 บิตเติม 0 ) 14

ขวา ซ้าย ซ้าย ขวา 1011. 1101 จำนวนเต็ม ทศนิยม 2 0 1 0 0 1 1 4 2 1 4 2 1 . 1 1 0 1 0 0 4 2 1 4 2 1 2 2+1 4+2 4 2 3 6 4 . . 0 0 1 1 1 0 4 2 1 4 2 1 0 1 1 0 1 1 4 2 1 4 2 1 1 2+1 . 4+2 1 . . 2+1 6 3 3 1110.0110112 การเปลี่ยนเลขฐานสองทศนิยมเป็นเลขฐานแปด 1011.11012 = 23.648 1110. 0110112 = 16.33 8 15

หาผลรวมของตัวเลขที่ตรง กับเลข 1 (Bit 1) ถ้าตรง กับ Bit 0 ไ พิ ม่นำ มา พิ จารณา สรุปการ เปลี่ยน เลขฐานสอง เป็น เลขฐานแปด ถ้าเป็นจำ นวนเต็มให้แบ่ง กลุ่ม กลุ่มละ 3 บิต จากขวา ไปซ้าย ตามลูกศรใน ตัวอย่าง ถ้ ละ 3 ถ้ าทศนิยมให้แบ่งกลุ่ม กลุ่ม บิต จากซ้ายไปขวา ตามลูกศรในตัวอย่าง นำ เลข 4 2 1 เขียนให้ตรง ทุกหลักในทุกกลุ่ม 16

0.375 0+0.25+0.125 0 2 1 4 1 8 จงแปลง 0.011 เป็นเลขฐานสิบ วิธีทำ 0.011 2 2 = (0x2)+(1x2)+(1x2) -1 -2 -3 = = = 0.375 0.011 = + + + เลขทศนิยมที่มีค่มีค่ าติดลบตอนที่ คำ นวณจะไม่ติดลบจะใช้จำ นวนเต็ม เลขยกกำ ลังจาก หน้าไปหลัง เลขอะไรยกกำ ลัง 0 จะเท่ากับ 1 14 (1x2)+(1x2)+(1x2)+(0x2) (1x8)+(1x4)+(1x2)+(0x1) จงแปลง 1110 2 เป็นเลขฐานสิบ วิธีทำ 1110 2 2 = 3 2 1 0 = = 8+4+2+0 = 14 1110 = การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบด้วยวิธีการกระจาย 17

0 0 1 1 8 4 2 1 0+0+2+1 3 6 11 0 1 1 0 8 4 2 1 1 0 1 1 8 4 2 1 0+4+2+0 8+0+2+1 B 0011 0110 10112 4 บิต ไม่ครบ 4 บิต เติม ศูนย์ ให้ครบ 4 บิต 4 บิต 4 บิต สูตร 8421 11011010112 = 36B16 2 จงเปลี่ยน .1101101011 เป็นเลขฐานสิบหก 1 1 0 1 8 4 2 1 1 0 1 0 8 4 2 1 1 1 0 0 8 4 2 1 8+4+1 = 2 = 16 2 12 8+2 8+4 C .1101101011 1101101011 13 D 10 A .1101101011 .DAC ใช้ 1 ไม่ใช้ 0 การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก *หากตอบว่า 131012 16จะเป็นคำตอบที่ผิด การเปลี่ยนเลขฐานสองทศนิยมเป็นเลขฐานสิบหก 18

การเปลี่ยนเลขฐานแปด เป็นเลขฐานอื่นๆ 2) 3 เศษ 1 (วิธีการหาร) การเปลี่ยนเลขฐาน 8 เป็น 2 การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสอง มี 2 มี วิธี คือ คื วิธีการหารและ ธี วิธีการบวก ธี ค่าประจำ หลัก วิธีทำ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 2372 เป็นเลขฐานสอง 2) 2 เศษ 0 2) 7 เศษ 1 1 1 1 2) 3 เศษ 1 10 11 111 010 011 111 237 = 10011111 8 2 เติม 0 ให้ครบ 3 บิต วิธีทำ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 0.2462 เป็นเลขฐานสอง 2) 2 เศษ 0 2) 4 เศษ 0 2) 6 เศษ 0 1 1 1 2) 3 เศษ 1 010 100 110 2 4 6 2) 2 เศษ 1 เติม 0 ทางซ้ายให้ครบ 3 บิต 0.246 = .010100110 8 2 19

วิธีทำ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 237 เป็นเลขฐานสอง 8 2 3 7 237 8 = 0100111112 2378 = 421 421 421 010 011 111 วิธีทำ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 35.62 8 เป็นเลขฐานสอง 3 5 7 35.62 8 = 011101.1100102 35.628 = 421 421 421 011 101 010 7 421 . 110 . . (การบวกค่า ประจำหลัก) 20 การเปลี่ยนเลขฐาน 8 เป็น 2

การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ การเปลี่ยนเลขฐานแปดจำนวนเต็มเป็นเลขฐานสิบ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 243 8 เป็นเลขฐานสิบ วิธีทำ 2438 = (2x8)+(4x8)+(3x8) = (2x64)+(4x8)+(3x1) 2 0 8 1 = 128+32+3 243 = 163 การเปลี่ยนเลขฐานแปดทศนิยมเป็นเลขฐานสิบ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 75.21 8 เป็นเลขฐานสิบ วิธีบวกทศนิยมต้อง ตั้งทศนิยมให้ตรงกัน 1 0 -1 -2 8 วิธีทำ 75.21 8 = (7x8)+(5x8)+(2x8)+(1x8) = 56+5+0.25+0.0156 = 61.2656 = (7x8)+(5x1)+(2x )+(1x ) 75.21 1 8 1 64 21

1 1 0 1 0 0 1 1 1 การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบหก ตัวอย่าง 647 8 วิธีทำ ฐานสองจะเป็น 421 ฐานสิบหกจะเป็น 8421 421 สามเลขนี้อะไรที่ + กันได้ 6 คือ 4 กับ 2 ให้ใส่่ตัวเลข 1 ส่วน ตัวที่ไม่ได้นำมาบวกให้ใส่ 0 6 4 7 4 2 1 4 + 2 = 6 4 2 1 1 1 0 2 1 0 0 2 4 2 1 4 + 0 = 4 1 1 1 4 + 2 + 1 = 7 0 0 01 1 0 1 0 0 1 1 1 8 4 2 1 8421 8 4 2 1 เติม 0 1 8 + 2 4+2+1 1 10 (A) 7 647 1 A 7 8 = 16 บน ลง ล่าง * 22

2) 28 เศษ 0 2) 14 เศษ 0 2) 7 เศษ 1 2) 3 เศษ 1 0.725 x 2 = 1.450 1 0.450 x 2 = 0.900 0 0.900 x 2 = 1.800 1 0.800 x 2 = 1.600 1 0.600 x 2 = 1.200 1 0.200 x 2 = 0.400 0 0.400 x 2 = 0.800 0 หารลงตัว = เศษ 0 หารไม่ลงตัว = เศษ 1 การเปลี่ยนเลขฐาน สิบเป็นเลขฐานอื่นๆ ตัวอย่าง วิธีทำ 1 เปลี่ยน 28 เป็นเลขฐานสอง 10 เปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง 2810 = 111002 เปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง (ทศนิยม) ตัวอย่าง วิธีทำ จงแปลง 0.725 เป็นเลขฐานสอง ทศนิยมซ้ำให้หยุด คำ ตอบ บนลง ล่าง 0.725 10 = 1011100 2 23

เปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานแปด 8) 29 เศษ 5 ตัวอย่าง เปลี่ยน 29 เป็นเลขฐานแปด วิธีทำ 3 10 2910 = 35 8 (29-24) เปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานแปด(ทศนิยม) 8)425 เศษ 1 8)53 เศษ 5 ตัวอย่าง วิธีทำ เปลี่ยน 425.03 เป็นเลขฐานแปด (ส่วนแรก) 6 425 10= 651 8 ส่วนทศนิยม (ส่วน 2) โจทย์ 0.3 0.03 x 8 = 0.24 0 .24 x 8 = 1.92 1 .92 x 8 = 7.36 7 .36 x 8 = 2.88 2 .88 x 8 = 7.04 7 0.04 x 8 = 0.32 0 0.3 = 017270 8 425.03 10 = 651.017270 8 24

A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15 16)2531 เศษ 3 ตัวอย่าง วิธีทำ เปลี่ยน 2531 เป็นเลขฐานสิบหก เปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสิบหก 253110 = 9E316 16)158 เศษ 14 9 25

2) 3 เศษ 1 2) 7 เศษ 1 2) 3 เศษ 1 เปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็น เลขฐานอื่นๆ เปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสอง (หาร) ตัวอย่าง เปลี่ยน 137 16 เป็นเลขฐานสอง วิธีทำ 1 0011 1 0111 1 ตัวเลข1ไม่ต้องหาร 0001 13716 = 0001001101112 เปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานแปด 15F8 16 ฐานแปด 1 5 F 8 = = = = 8421 8421 8421 8421 = = = = 0001 0101 1111 1000 0/001/010/111/111/0002 นับ ตัวเลข จาก บน ลง ล่าง 000 001 010 111 111 000 421 421 421 421 421 421 0 1 2 7 7 0 15F816 = 0127702 26

เปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสิบ 16 ) ตัวอย่าง เปลี่ยน 3B4 16 เป็นเลขฐานสิบ วิธีทำ = = = = = ( 3x +( Bx16 )+( 4x16 ) 2 1 0 11 (3x256) (11 x16) +(4x1) 768 + 176 + 4 94810 3B416 94810 27

หน่ น่วยที่ ที่ การคำนวณเลขฐาน

เครื่องหมายยกกำลัง การคำนวณเลขฐานสอง 1 0 1 1 0 0 1 0 0+0 = 0ไม่ทด 0+1 = 1 ไม่ทด 1+0 = 1 ไม่ทด 1+1 = 0 ทด 1 1101 + 101 = 10010 2 2 2 สัญลักษณ์ที่ใช้ใน การคำนวณเลขฐาน เครื่องหมายบวก เครื่องหมายลบ เครื่องหมายคูณ เครื่องหมายหาร , เครื่องหมายเศษ เครื่องหมายหารตัดเศษDIV MOD การคำนวณเลขฐาน ^ หรือ เป็นเครื่องหมายแทน ยกกำลัง *,➗ เครื่องหมายคูณ แทนด้วย “ * ” เครื่องหมายหาร แทนด้วย “ / ” +,- มีความสำคัญเท่ากัน เครื่องหมายใด มาก่อน จะถูกประมวลผลก่อน การบวกเลขฐานสอง ให้บวกตามปกติเหมือนเลขฐานสิบ ถ้าผลบวกเกิน 1 หลักจะมีตัวทด กฎการนับมีดังนี้ สูตร วิธีทำ 1 1 0 1 ตัวตั้ง ตัวบวก ผลลัพธ์ 1 1 ตัวทด + 29 ตัวอย่าง 1101 2 + 1012 หลักการคำนวณ 1

1 0 0 0 0 . 0 1 1 ตัวตั้ง ตัวบวก ผลลัพธ์ ตัวทด 1 0 1 1 ตัวตั้ง ตัวลบ ผลลัพธ์ ตัวกระจาย 1 1 . 0 1 1 0 0 1 . 0 1 0 ตัวตั้ง ตัวลบ ผลลัพธ์ ตัวกระจาย 1 0 0 . 1 0 1 - 0 1 2 วิธีทำ 1011.110 + 100.101 = 10000.011 2 0-0 = 0 ไม่มีตั มีตัวกระจาย 1-1 = 1 ไม่มีตั มีตัวกระจาย 1-0 = 1 ไม่มีตั มีตัวกระจาย 0-1 = 0 ตัวกระจาย 1 สูตร * ตัวกระจาย คือ การยืมตัวเลขหลักทางขวา ไปยืมค่าจากหลักทางซ้ายมือถัดไปหนึ่งหลัก การลบเลขฐานสอง (ทศนิยม) การคำนวณเลขฐานสอง 0 1 0 0 การคำนวณเลขฐาน การบวกเลขฐานสอง (ทศนิยม) วิธีทำ 2 2 1 0 1 1 . 1 1 0 1 0 0 . 1 0 1 + 1 1 1 1 1 การลบเลขฐานสอง ตัวอย่าง 1011 - 111 2 2 วิธีทำ 1 1 1 - 0 2 กระจายให้ 1 มีค่าเท่ากับ 2 1011 + 111 = 0100 2 2 2 100.1012 + 11.0112 = 001.0102 สามารถพิสูจน์คำตอบได้โดย การเปลี่ยนเลขฐานที่ถนัดแล้ว ดำเนินการบวกในหลักการของ ฐานนั้น เสร็จแล้วเปลี่ยนกลับ ไปเป็นเลขฐานสอง 30 ตัวอย่าง 1011.110 +100.101 2 2 ตัวอย่าง 1011.110 + 100.101 2 2

การคำนวณเลขฐานสอง 0*0 = 0 0*1 = 0 1*0 = 0 1*1 = 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ตัวตั้ง ตัวคูณ ผลคูณย่อย 1 ผลคูณย่อย 2 ผลลัพธ์ 1 0 . 0 1 1 . 0 1 1 0 0 1 ผลคูณ 1 1 0 1 1 แบบ (ทศนิยม) การคูณเลขฐานสอง การคำนวณเลขฐาน วิธีทำ ตัวอย่าง 10110 * 10 2 2 0 0 0 0 0 2 + 10110 * 10 = 101100 2 2 2 ตัวอย่าง 10.01 2 * 1.012 วิธีทำ 2 ตำแหน่ง 1 0 . 0 1 0 0 0 . 0 . 0 1 . * ผลคูณ 2 ผลคูณ 3 10.11012 โจทย์ 10.01 1.01 2 ตำแหน่ง 2 ตำแหน่ง ทศนิยม = ตัวตั้ง + ตัวคูณ = ทศนิยม 2 + 2 = 4 ตำแหน่ง 31

101) 0 0 0 1 0 1 110) 1 1 -1 1 0 สูตร 0 หาร 1 = 0 1 หาร 1 = 1 การคำนวณเลขฐานสอง การหารเลขฐานสอง การคำนวณเลขฐาน ตัวอย่าง 101101 - 101 . 2 . 2 1 0 1 วิธีทำ 1 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 000 4 5 1 0 0 1 ผลลัพธ์ 10012 ตัวอย่าง 10.01 - . 2. 1.12 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 2 3 000 4 5 1 0 0 1 ผลลัพธ์ 1.1 2 - 101101 - 101 . . 2 = 10.01 - . . 2 1.12 = 32 2

4 5 3 3 0 116218 3308 การคำนวณเลขฐานแปด การคำนวณเลขฐาน วิธีทำ ตัวอย่าง 6453 8 + 31468 6 4 5 3 3 1 4 6 1 1 6 2 1 3 + 6 บวกกันได้ 9 เกินฐาน 8 ถ้าเกินนำคำตอบมาลบกับฐาน ตัวตั้ง ตัวบวก การบวกเลขฐานแปด (0 - 7) 1 1 1 + 6 + 3 = 9 9 - 8 (ฐาน) = 1 ตัวอย่าง 263 8 + 458 2 6 3 + 1 1 33 วิธีทำ

1 3 5 2 0 5 1 6 นำเลขฐาน + ตัวตั้ง 05168 หรือ 5168 ตัวตั้ง ตัวลบ ตัวอย่าง 702.54 - 63.217 8 8 7 0 2 . 5 4 0 6 3 . 2 1 7 - 6 1 7 . 3 2 1 617.321 8 ตัวตั้ง ตัวลบ การคำนวณเลขฐานแปด การคำนวณเลขฐาน การลบเลขฐานแปด (0 - 7) ตัวอย่าง 1352 - 634 8 8 6 3 4 0 4 - ตัวกระจาย การลบเลบฐานแปด (ทศนิยม) 34 ยืมหยืลักถัดไปคือ 5 มา 1 , คื 5 จะเหลือแลื ค่ 4 *2-4 = ลบไม่ได้ นำ 8(ฐาน) + 2(ตัวตั้ง) = 10 - 4(ตัวลบ) = 6 8 + 3 = 11 - 6 = 5

คำตอบ 2 x 7 = 14 - 8 = 6 ทด 1 2 x 4 = 8 + 1 = 9 - 8 = 1 2 x 7 = 14 - 8 = 6 ทด 1 2 x 4 = 8 + 1 = 9 - 8 = 1 ฐาน การคำนวณเลขฐานแปด การคำนวณเลขฐาน การคูณเลขฐานแปด (0 - 7) 4 7 2 2 ตัวอย่าง 47 8 x 22 8 วิธีทำ x 1 1 6 1 1 1 1 1 6 + 1 2 7 6 1276 8 3 x 7 = 21 - 8 = 13 13 - 8 = 5 3 x 5 = 15 + 2 = 17 - 8 = 9 9 - 8 = 1 ตัวอย่าง 57 8 x 38 วิธีทำ 5 7 3 2 1 5 2 2 x 215 8 35

X 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 10 12 14 16 3 11 14 17 22 25 4 20 24 30 34 5 31 36 43 6 44 52 7 61 การคำนวณเลขฐานแปด การคำนวณเลขฐาน การหารเลขฐานแปด (0 - 7) ตัวอย่าง 3650 - 7 . . 8 8 แบบที่ 1 ตาราง หลัก แถว 36

8) 28 7) 3650 -34 025 00 7x3 = 2110 “ ” 25 8 x 1 = 8 8 x 2 = 16 8 x 3 = 24 8 x 4 = 32 การคำนวณเลขฐานแปด การคำนวณเลขฐาน การหารเลขฐานแปด (0 - 7) แบบที่ 2 แปลงสิบเป็นแปด 7 x 4 = 28 2 8 2 4 = 4 (เศษ) - -25 430 7x4 = 28 10 แปลงเป็นฐานแปด = 34 37

การคำนวณเลขฐาน การคำนวณเลขฐานสิบ การบวกเลขฐานสิบ การลบเลขฐานสิบ 4 6 2 ตัวอย่าง วิธีทำ 829 - 367 8 2 9 3 6 7 - 829 - 367 = 462 8 8 4 ตัวอย่าง วิธีทำ 897 - 13 8 9 7 1 3 - 897 - 13 = 884 9 7 3 ตัวอย่าง วิธีทำ 926 + 47 9 2 6 4 7 + +1 ตัวทด ตัวตั้ง ตัวบวก ผลบวก 926 + 47 = 973 38

การคำนวณเลขฐาน การคำนวณเลขฐานสิบ การคูณเลขฐานสิบ 2 2 5 . 0 ตัวอย่าง วิธีทำ 12.5 x 2 1 2 . 5 x 12.5 x 2 = 25.0 +1 4 2 4 9 9 6 5 2 4 5 8 ตัวอย่าง วิธีทำ 1,249 x 42 1 2 4 9 x 2 4 9 8 +1 + 1,+3 1,249 x 42 = 52,458 + ตัวทดผลคูณย่อย 1 ตัวทดผลคูณย่อย 2 ผลคูณย่อยที่ 1 ผลคูณย่อยที่ 2 39

การหารเลขฐานสิบ 260 4 . . 4) 2 6 0 2 0 0 0 260 4 . . ตัวอย่าง วิธีทำ 6 5 -2 4 -2 0 = 65 การคำนวณเลขฐานสิบ การคำนวณเลขฐาน 40

A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15 F 1 9 5 E 2 1 4 F B + 1 (15) (14) ตัวตั้ง ตัวบวก ผลบวก ตัวทด 9 + 2 = 11 (B) 1 + 14 = 15 (F) 15 + 5 = 20 16 1 เศษ 20 - 16 =4 4 F19 + 5E2 = 14FB 16 16 ตัวอย่าง F19 16+ 5E216 วิธีทำ การคำนวณเลขฐานสิบหก การคำนวณเลขฐาน การบวกเลขฐานสิบหก (0 - 9, A B C D E F) การบวกเลขฐานสิบหก (ทศนิยม) 1.ตั้งทศนิยมให้ตรงกัน ตำแหน่งหลังทศนิยมจะเป็น ทศนิยมตำแหน่งที่ 1 เรียงจากซ้ายไปขวา 2.ถ้าจำนวนหลักทศนิยมไม่เท่ากัน เติม 0 ทางขวา เพื่อทำให้ตัวตั้งและตัวบวกมีตำแหน่งทศนิยมเท่ากัน 3.ดำเนินการบวกตามปกติให้ครบทุกหลัก โดยเริ่ม จากหลักทางขวามือเสมอ ถ้าผลบวกเกินเลข 15 (F) ต้องทำให้เป็นเลขฐานสิบหก และมีตัวทด 4.การเขียนตอบ เหมือนกับหลักการเลขฐานสิบ แต่ต้องห้อยค่าของฐาน คือ 16 ทุกครั้ง 41

C312 16- A4E16 = B8C4 16 วิธีทำ ตัวอย่าง C312 - A4E 16 16 C 3 1 2 A 4 E b 8 c 4 - การคำนวณเลขฐานสิบหก การคำนวณเลขฐาน การลบเลขฐานสิบหก (0 - 9, A B C D E F) 3 C 7 1 D B (12) ตัวอย่าง 3C716 - 1DB16 วิธีทำ - 1 E C (13) (11) ตัวตั้ง ตัวบวก ผลลบ 11 - 13 = ยืมหลักถัดไป ตัวตั้ง + ฐาน 11 + 16 = 27 27 - 13 = 14 (E) 3C716 - 1DB16 = 1EC16 (หลักการลบแบบทศนิยมเหมือนกับเลขฐานสอง) 42 ตัวตั้ง + ฐาน แล้วลบ ล้ ตัวลบ 7 - 11 = ยืม C ยื 7 + 16 = 23 - B (11) 23 -11 = 12 (12)