Berman, G.N - Despre numere si studiul numerelor

ilNSI'RE tYUfr'XI,:nE
^-S/ STL DIITT. NtIMrIRHI,OR

EDI TURA TEHNICA

G. N. BERIIIAN

DESPRE lVUMERtr

$1

STUDIT]L T{UNIERELOR

TRADUCERE DIN TIMBA RUSA

DUPA EDITIA A.DOIJA REVAZUTA

tsIBIIOTECA SOCIETATII DE STIINTE MATEMATICE SI FIZICE DINI R.P.R.

EDITURA TEHNICA

BUCURESTT 196t

In lucrare sint prezentate intr-o formi aocesibill citeva, DIN PREFATA AL]TORI]LUI LA PRIuIA EDITIE

capitole din teoria numerelor. Astlel sint expuse unele sisteme Exisld multe cdrti bune, a cdror sarcind este cle a trezi intere-
de numeralie vechi gi noi, divizibilitatea numerelor, numerele
sul penlru matematicd. Csrtea de fatd are slt scop : ea este
prime gi proprietilile lor, ,,mica" 9i ,,marea" teoreml a lui
destlnatd ocelora care se intereseazd de matematicd, dar nu atr
Feimat.
suficientd pregdtire penlru a citi literatura de specialitate. De
Pentru in{elegerea con{inutului brogurii sint necesare doar
cunogtinte de aritmetici 9i algebrd elerrentari. Cartea se adre- aceea, cititoruL nu ua gdsi aici nic[ ;arade matematice, nict anec-
seaze elevilor din gcolile de culturd general5. studenfilor din ,dote antuzante. Aceastd bro;urd este consacratd. expunerii accesi-
primii ani de studii gi profesorilor din invi{imintul mediu gi
bile, insd serioase, e unor capitole din teoria numerelor intregi.
elementar.
aPreitnmtreuticidnle;ilecgleeraelageebirds,inptresduafliecietnntcelqcsuenleopVtinIItIe-leXlemdeinnta;croeaLtlae
f. H. Eepuau
medie. Autorul s-a strdduit sd ofere msterial de lecturd profeso-
I{I,ICJIOHHAYKAOHEM
rilor incepdtori din inudtdmintul mediu, studenlilor de la institu-
l4s r,altue BTopoe I4cnpaereuuoe
TOCYAAPCTBEHHOE IZ3AATEJTbCTBO tele pedagogice ;i, n'tai ales, eleuilor care fac parte din cercurile
T EXH'IKO-TEOPETI4t{ECKOPI JIHTEPATYPbI
de matematicd.
Mocrea 1954
Aceastd carte nu esle un manuql. De aceea, pentru a face
expunerea
mai atrdgdtoare, autorul a renunlat intentionat la
expunerea sistematicd q elementelor teoriei nLLmerelor. Poate insd
cd studenlii uor uedea tn ea o trambulind comodd pentru a se
lansa din conlortabila aritmeticd elementard tn serioasa pi preten-
lioasa tearie a numerelor.

AutortLl mullumeste tuturor celor care au contribuit la scrierea

;i la publicarea acestei cdrfi. Autorul este deosebit de recunoscdtor

profesorului A. F. Bermant, cqre a citit cu aten{ie manuscrisul pi
i-a dat indicatii rsaloroase.

Moscova, 1947.

INTRODUCERE

ofiunea de numdr natural a apdrut din necesitatea
de a numdra, pe primele trepte-ale dezvoltdrii socie-
td{ii r-rmane, cu mult inaintea apari{iei noliunilor de
numdr fraclionar gi nr-rmdr negativ. Se numesc natn-
rale numerele unu, doi, tcreui',epieatirnuc,ecpinincdi,'c,suasveirestlca.
Omul contemporan se familiarizeazd

prescolard.

Totugi, de,pi sint ttzuale si cotidiene, ilLlmerele naturale au
rnulte proprietdli care sint departe de a fi
unanim cunoscule.
Exisld_ o -stiin{i specia15, teoria numerelor, care se ocupi ,cu
studir-r1 ior. $tiin{a aceasta are o particr-rlaritate interesantd : pro-
blemele ei par simple gi accesibile, iar rensitatele 1or pot fi erpr_rse
persoanelor cu oarecare culturd. Insd rezolvarea protrlemelor ,si
rl metodcle prin care se ajunge la ren:ltate slnt citeodatl extrem
l de dificile pi pe aiocuri inaccesibiie chiar ceior mai buni mate-

1

l rnaticieni. Marele matematician german Gauss (1777-1555) a
spLls, pe br-rnd dreptate, cI aritmetica este regina matematicilor.

Bine?rr{eles, el nu se referea 1a aritmetica elementard,, ci Ia teoria
rilnterelor, care mai este denumlti si aritmeticd superioard gi a
cdrei clezvoltare a fost pr-rternic influen{atd de lucrdrile 1r-ri Gauss"

Existd o infinitate de numere naturaTe, dar nu existd printre

ele unul care sI fie ce1 mai mare. Acest fapt ni se pare c1ar. In
:rdevdr, oricit de mare ar fi nr,rmdrul pe care i1 ihdrn, dacd ii

addugdm o unitate, oblinem Lin numdr-si mai mare. Caracterul

infinit al gilr-i1Lri numerelor creeazA dificLrltd{i considerabile la

frtndamentarea logicd a aritmeticii.

In cartea de fatd nu ne ocupdrn de fundamenteie aritn-leticii

{:rxiomele si regulile ei cele mai'simple).

Sirul numerelor naturale, adicd ai acelor llumere care servesc
p"ntru a numdra obiectele, incepe cL1 u.nu, nu cu zero. Zeroul se I r r I a 7 v^q --
introduce impreund cu numerele negative p-entru..a lace posibild ,zJ$lJ<tvzq
opera{ia de scddere chiar gi in cazullle cind scdzdtorul este egal
siu mai mare decit descdzutul. Numerele intregi pozitive, cele 12 34 5 6 78 9 0

intregi negative gi zero f.ormeazd sistemul numerelor intreg-i, ale
c5ruireguTi fundamentale de efectuare a operaliilor le invd{5m la
inceputrii cursului de algebrd din gcoala elementarh.
ln aceastd
lucrire ne vom ocupa in-special de proprietdliie numerelor natu-
raie. Vom recurge insa gi'la numerble-negative 9i la zero acolo
sutnuddCeiaeatecfee?alIsndtaepvcraihmdpusulttieruianndis,irmedfpi'feelirfriitictoeaalereexppiraoucnenedrueemag.ePre91letrr1n.aat.uleraslecriveosri
fi CAPITOLUL I

a SISTEMUL NOSTRU DE NUMERATIE

ie nota, dezv6ltarea acestor iparorecedabpea9r ilareliamliip1der{dirienatr,eneulme.erAeploori
aborda problemele
se vor
intregi (divizibilitatea, cel mai mare divizor comun, desco.mpune-
mul primiti_v aproape cd nu era plls in sitr-rafia de a
;;i; f)ctori primi etc.). 1i capitolele de. la sfir;itul c5rlii vor fi

ebXxui'p-Dnuleiscame ,luaentroceermzlieaua'lpntlairctottiemepnrediierinretu5tlroslieira:cp'lCeerielmnebuermm;eseav-riae, tilTmto.ropopiloourr|lptmaaareniol.tevuneinitic.daicIrnerlsrstcedccocomiluemtltiaartil scniuunnmteomsircaun.tee,,vIJdoneilui e"s,l.i,,dIaonvise"dm.snid,oe,mi-,auofltaa"cmeeeracnuuii toate numerele
contemporani,

numere la fie-
. care pas. Trebuie sd gtim cum se denumegte gi se
ianudefoosste'obbi,{'aincuatdeemdeicmiaantuelmIa. tMici.enViinsoogvir'eatdicoivc.aD^Le.spGr.eSancierestlemraenzu'sli-' scrie corect orice numdr, oricit ar fi de mare. Dacd fiecare numdr
ar. avea un nllme si s-ar nota in scris -ptroinatter-uancessteemcnuvsipneteciasl,i
tate vom vorbi in ultimul capitol al cdr{ii noastre. si {ina minte
nimeni nu ar fi in stare
tNoeatveinaeceinsteajusitmorbuonlusrii.stCeummderenzootlvad{i.imradfieocniaal.ceUanstaanpsraomblebmluede2
citeva denumiri si simboluri, care ne permite sd scriem orice
numlr si sd-l denumim, se numeste sistem de nll meratie
sau, mai simplu, numera{ie.
\-w
rreea_loNrpurzimmeceeelroasr_ilmianobnuoodluarnsiutrdmdifeeorrebitiesn.naNutuiotrdaulIfeodlo(i1snet,r2.se,te3e,1p4ee,s5ne,trr6vu,e7ss,cc-r8piee,rnegtar)u,nianuomrteaa--l
zecelea nu desemneazd nici un numdr ; eI reprezintd ,,aibitura"

(intervalul) atunci cind scriem numerele. Acest simbol se numeste

zer o si se scrie 0.

Agadar, avem noud simboluri pentru notarea primelor noud
nnuami".erAecegsi tue nsiamlbzoelcuerilesae snirunmboelsc-
zeroul - ,,intervalul pozi{io-

cif re.
ce.loSr ezepcuenecifjrnetr?ebSadrenae:gcinLdlmimpuintetimi csucmrieamnunmuemredlrea
cu ajutorul
o cantitate
mare de obiecte de aceiagi fel, de exemplu chibrituri. In acest scop
arn aleza intii obiectele in grdmezi de cite zece, oblinind astfel
un anumit numdr de zeci (gi, eventual, ne-ar mai rdmine citeva

obiecte care nu au format o grdmadl intreagd de zece). Mai Sd scriem,.conform numeraliei noastre, numdrul ,,o sntd doi''-
departe ar trebui sd numdrlm grdmezlle de cite zece. DacI ann Aici avem o unitate de ordinul'al treilea (o sutd) ei'doLra unita{i
avea foarte multe asemenea grdmezi, le-am grupa iarSgi cite. altfel se scrie
de ordinul intii. Nu putem scrie,, 12", deoareci:
zece etc. nuindrul ,,doisprezece". Nu este comod nici sd scriem ,,1 2",.
ldsind un interval perrtru ordinul care lipseste; in felul acesla
In felul acesta, ajungem 1a ideea fundamentald a sistemului s-ar putea crede ncdumameresc,r,uis1-tr1l1r"itginu,,mdohir"u. lC,,udmoisspdrezdeisctein"gseamLt,-puinr'.
doud
nostru de numerafie, 1a ideea unitdlilor de diferite o r d i n e. Zece si simplu
unitdli f.ormeazd, o unitate superioarh,'de ordinul zecilor, cu alte scrierea noastrS, numerele ,,doisprezece" si ,,o sutd doudzeci" ?,
Unde sd ldsdm acum locul liber ? Pentru inldturarea acestor in-
cuvinte, zece unitd\i de primul ordin Iormeazd o unitate de al conveniente ainfolsotcuinltroordduinsu,l,uini tcearvraeluliipspeosztie\i.oDnaalt"o, rciitllraacezseteroia.,.
cloiiea ordin. Zece unitdli de al doilea ordin formeazd. o unitate
de ordinr-r1 al treilea. In general, zece ttnild\i de un anumit ordin, Ea se scrie
nfiuemcaerreelaest,f,edloi:sp1re2z;e1c0€"2,;,,1o2s0u. td doi" gi ,,o suld doudzeci " se'scriu'
Iormeazd. o unitate de ordinul urmitor.
Cu toatd simplitatea aparen15, acest sistem de numerafie a Numera{ia pozilionald zecimald era cunoscutd in India acurn,
circa 1500 de ani (poate chiar inainte);in Europa ea a fost intro-
parcurs o cale foarte L-rngI in dezvoltarea sa istoricd. La crearea, dusd de arabi, care au cucerit Spania in secolul a1 VIII-lea e.n.,
lui au contribuit multe popoare.
Numera{ia arabd s-a rdspindit in toall Europa. Fiind mai
Se pune o intrebare legitiml : de ce au inceput oarnenii s5, simpld gi mai comodd decit celelalte numera{ii, de care ne vorn.
ocllpa in capitoiul urmitor, ie-a luat cr:rind locul. Obiceiul de a
gtupeze obiectele cite zece gi nr-r cite cinci sau c?te doudsprezece?. da cifrelor noastre denumirea de arabe s-a ,'pdstrat pind astdzi-

De ce o unitate de un anumit ordin este de zece ori mai mare De altfel, in timp de 1 000 de ani toate cifrele, cu exceplia lui
decit o unitate de ordinul precedent gi nu de opt sau de trei orf
I si a lui 9, s-au schimbat mu1t. Pentru comparafie prezentd,rrt
mai mare ? cifrele noastre ,,arabe" Si adevdratele cifre arabe:
Sistemul de numera!ie cu baza zece a devenit foarte rdspinclit
Arabelff{ATVnqd
pentru motivul cd omul dispune de,,o maginl de calcul" naturaid..
legatd de numdrul zece: cele zece degete de ia miini. rE"'u"r.o.,pi"ai, 1 Z I S L\ L V 7 q O

Folosind cele zece simboluri principale gi unele cuvinte de' 1E uropa, 7 , X7 67 6gO
legdturl, putem scrie orice numlr; de ex-emplu ,,cincizeci gi ;apte"
ar putea fi scris astfel : ,,5 unitdli de ordinul al doilea 9i 7 unitd{i secoiulXlV

simple". Acest mod de scriere este insd greoi. Este mai comocl Contemporanel 2 J 4 5 6 7 E g A
si mai scurt sI renuntdm la cuvinte 9i sd folosim simboluri (ciire)"
Tn adevdr, in acest caz, nLtrndrul ,,cincizeci si sapte" se scrie: 57. Sd spunem citerra cr-lyinte despre denumirile numerelor. Denu-,
mirile primeior gase ordine (unit5{i, zeci, sute, mii, zeci de mii,
Aceste doud cifre pllse Ltna lingd alta reprezint\. suma a douh
nrlinere: cea din dreapta (in exemph-rl nostru 7) da numlrul cie sute de mii) sint foarte vechi gi diferd de la un popor la aitul.
unitd{i de ordinul intii (simple), iar cea din stinga (5) da numdrul
de unitd!i de ordinul al doilea (zeci). Daci an scrie trei cifre una Studir-rl originii acestor denumiri ii revine lingvisfuliri, nu mate-
lingd a1ta, atunci cea din dreapta reprezintd. urritdli1e de ordinril
intii, cea din mijloc unit5{i1e de ordinui al doilea, iar cea diir' maticianului. Cuvintul ,,mi1ion" este de origiire relativ recente.

stinga unitd{i1e de ordinul al treilea (sute). De exemplu 238 este' Tn limba italiand ,,millione" este un augmentativ al lui ,,mille",.
suma dintre doud sute, treizeci;i opt unitd{i. In general, din doua.
cifre scrise r-rna lingd alIa, cea din stinga reprezintd unitdli de, care inseamnd,,rnie". Cuvintul ,,mi1ion"'l fost inventat de cunos-
zece ori mai mari decit unitdlile reprezentate de cifra din dreapta..

Nu numai cifra prezintd importanld, ci gi 1ocu1 sau pozil,i a 1) ei..

De aceea, sistemul nostru de numeralie este un sistem de n u m e*

ra!ie pozit,ional.

r) Cuvintul pozilie (aqezare) vine de ;la latinescul ,,positio"

cutul explorator vene{ian Marco Polo (secolul al XIII-lea), cdruia Da{i-mi voie, ne va intrerupe cititorul, dar in Iizicd, dar in
numerele obignuite i s-au pdn-rt insuficiente pentru a relala extra- se
oImrdpienraiuraaal bCuenrudleuni l1d).dAesotdazmi deenni u.smiimdembiloiogadnleii, din astronomie ? ln aclevdr, numerelor mari li spune gi numere

zeci indepirtalul ,,astronomice" I
c1e milioane
gi sr-rte de milioane unitdli1e de ordinele al gaptelea, a1 optulea ;i Qdbdare, cititorr-rle I Ne vom ocllpa acum si de numerele ,,astro-
a1 nouilea. O mie de milioane formeazd un bilion satl Lln miliard, nomice". Vom da insd inainte o tabeld a denumirilor unitd{ilor din
iar mai departe, pentru a crea denumiri a1e numerclor, acelea;i
in toatd lumea, se folosesc numeralele din limba latind. Pentru ordinele superioare, nu atit pentru utilitatca 1or (dupd cum vorn
vedea imecliat, folosr-rl 1or nu cste prea mare), cit pentru satis-

a inlelege mai bine cllm se construiesc denumirile acestor numere -facerea cLrriozitl{ii.

gigante, amintim ci trei ordine formeazl. o c 1 a s i. Astlel : uni- 1 1 I 000000000 (unitaie de ordinul l0 sau clasa 4) - bilion;
000 (unitate de ordinul sau clasa 5) - trilion;
tdlile simple, zecrle si sutele iormeazd. prima clasS; mii1e, zecile 1 000000000000 (unitate de ordinul 13 sau clasa 6) - cvadrilion;
000 000 000 000 C00 de ordinul 16 sau clasa 7) -
de mii gi sutele de mii, a dona clasd ; nilioanele, zecile de nri- 000 d00 000 000 000 (unitate 19 cvintilion.

lioane, sutele de milioane, a treia clasI ; bilioanele, zecilc de IJrmeazl apoi sextilionul, septiiionul, octilionul, nonilionul,
bilioane, sutele cle bilioane, a patra etc.
decilionul, undecilionnl etc.
Pentru a denumi o unitate a unei anumite clase, incepind cu
In unele tdri, de exemplu in Franla, bilionul nu reprezintd o
a patra, trebuie sI micsordm cu doi numdnrl de ordine al clasei, mie de milioane, ci r-rn nrilion de milioane, adicd o unitate de
iar la numdrr-rl ob{inut (lLrind dcnumirea 1a1inI) sd adlugdrn ter-
m,,tirnilaio{irar",,,iplieonnt"r.uAcsdtfe5l,-2o:3un,itaiater din clasa a cincea se nrtmeste ordinutr 13; trilionul este un milion de astfel de bilioane ,,mari"
(el corespunde cvintilionului nostru) etc. lr-rind clasele de cite sase
3 se numeste in limba latrnd, ordine, si nu de cite trei. Aceasta simplificd intrucitva denumirile
,,tres" (in cr-rvinteie compuse insd ,,tres" trece in ,,tri"). Sh Iulm
,o unitate din clasa a douAzeci ;i doua. Ne ddm u;or seama ci trumerelor mari.
aceasta va fi o unitate de ordir-ru1 al 64-1ea (o unitate din clasa
,douhzeci pi dor-rd este precedath de 21 clase, adicd de 21X3:63 Sd trecem acum la ,,numerele astronomice". Inainte de a
'ordine). A.sadar, acest nrrmlr se scrie astfel:
,,porni" in spaliul_interastral, sd le cdr,rtdm pe Pdmint. Prin ce

nllmere se exprimd, de exemplu, aria, volumul *si masa globulLti
terestnt ? Dacd vom cerceta orice manual de geografie, vom gdsi :

I 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 aria globului terestru 509 000 000 km'z
volumul globului terestru 1 070 000 000 000 km3
Ce nume sd-i ddm ? Scdclem doi din numdrul clasei : 22-2:20; masa globului terestru 6 000 000 000 000 000 000 000 t.

in limba latinI, doudzeci se spLlne ,,viginti", deci numdrul nostru Ljltimr-rl nnmir reprezinld gase unitdfi de ordinul 22, adicd Fase

se va numi ,,vigintilion". sextilioane.

r'Denumirile acestea sint insl incomode. ln primul rind, nu toli Toate aceste numere se caracterizeazd printr-o particularitate :
cle sint numere ,,rotLrnde", care se termind cu zerouri. Binein{eles,
plir-r latine.ste. Tn alard de aceasta, denr-rmiril'e numerelor foarte
mari slnt greu de pronuntat. Chiar r-rn bnn cnnoscdior a1 limbii atit aria, cit ;i r,olumul Pdmintului nr-t se pot exprima decit apro-

latine nL1 va fi in stare sd c'lcnumeascd, de exemplu, un numlr ximativ prin astlel de numere ,,rotunde" dc kilometri patra{i gi
cubi. ,,Qotunjimea" este aici aparentd. In adevdr, toate mdsurd-
format din cifu'a 1 urmatd de cinci milioane de zerouri. De altfel,
practic, este imposibil sh scriem un astfel de num5r. torile geoclezice de pe suprafa{a terestrd sint aproximatir,e, de;i se
eleclueazd, cu deosebitd grija ; de aceea gi numerele care exprimd
De ce nll se schimbd atunci procedeul pentru denumirea gi
nu se pot ,introduce ra\ionalizdri? aria ;i volurirul globului terestru sint aproximative.
scrierea numerelor mari ? Oare relativ Llfor, dar nu este necesar.
Desigr-rr se poate gi este chiar Sd cercethm mai atent numdrul 509 000 000 (cinci sute noud
milioane). Ccle lsase zerouri din dreapta nu inseamnd cd lipsesc
Numerele mari, de felr-r1 gigantului scris mai lnainte, apar nlrmai miile gi ordinele inferioare. Aceste ordine ori ne sint necunoscute,
ori 1e omitem intenfionat, deoarece nll avem rrevoie de atita preci-
in culegerile de curiozit:a\i matematice ;i in unele capitole ale zie. Rotrrnjim rezul,tatul 9i spunem: numlrul de kilometri pdtrali
teoriei numerelor.

r) Aqa se numea China in vechime.

t0 11

ai suprafelei terestre este format din cinci sttte noud milioane si Pentru a ne obisnui cu acest sistem de notafii ;i denumiri,

un numdr de mii, sute, zeci gi r-rnitd!i, pe care nu 1e indicdm exact"" sd analizdm citeva exemple.
Dupd primul rdzboi mondial ( 1914-1918), in mai multe !d.ri,
In via{a de toate zlle\e, cind numdrdm obiecte in cantitdli
foarte mari, de exemplu locuitorii unei {dri sau globulele ro;ii
din singeie omului, sau cind mlsurdm diferite mlrimi, reu.;im sd: inclusiv Rusia, distrugerea economicd a fost inso{itd de o devalo-

determindm numai primele 3-4 cifre exacte a1e rezultatulr-ri.. rizare a banilor. A fost necesar sd
se emitd cantitdli imense de hirtii
Chiar in cele mai precise mlsurdtori din lizica motlernd, cu toate
precauliile luate, nu reugim sd obfinem de ;apte, iar cu valoare nominald din ce in ce
mai mr-rlt care gdsim iir
caztri foarte rare, opt cilre exacte. In ur mai mare. Acest fenomen, denumit
cazul in inflafie, a fost inso{it in Rusia de
numdr intrcg mai mare de opt cifre, sinlem nevoifi sI addugAm
la sfirsit zerouri. Asadar, orice numdr mare, pe care 1-am intilni mai multe ori de o denominalizare,

in erperien{e sau in practica zllnicA, poate fi scris ca produsul adicd de emiterea unor bancnote cu
valoare nominald relativ scd,ztttd,
dintre rrn numdr de ce1 mult opt cifre (in cnniazjoerriotautrei"at;c.azDtte- specificindu-se insd cd o rubld din
rilor de numai trei-patru cifre)
gi ,,o unitate noua emisiune este ega16 cu o sr-ttd
exemplu, aria Pimintr,rlui de 509 000 000 km2 se poate scrie,
509X1000000 sau 509'1000000. Numerele pind la un miliard. sau crl o mie de ruble din emisiunea

sint relativ upor de denumit gi de scris. Deci toatd problema se precedentd. Aceste denominalizdri

reduce la a scrie ;i a denumi in mod rafional numerele reprezen- au permis ca pe semnele monetare

tate printr-o unitate cu L1n numdr mai mare de zerouri decit in sd nu se imprime numere prea mari :

cazul mlliardului. nL1 s-a mers dincolo de milioane. In

Aici ne vine in ajutor no{iunea de pntere. Un numdr reprezen- schlmb, in Germania, unde inflaiia
tat printr-o unitate urmald de zerouri este o putere a lui zece". nu a fost insoliti de denomin alizare,
De exemplu, o sutd este puterea a doua a lut zece (100:102),. existau bonuri gi chiar timbre pogtale cu o valoare nominald
o mie este puterea a treia alui zece (1000:103) etc. In general,
imensd : zeci gi sute de miliarde de mdrci I In fig. I slnt repro-
tin numdr reprezentat printr-o unitate urmatd de zerouri este c, duse citeva timbre poptale cu asemenea valori nominale ,,astro-
putere a lui zece, egald cr,r numlrul de zeroLrri. nomice". Valoarea nominalh maximi a unui timbru postal emis

Generalizind, avem ln Germania a fost de 50 miliarde, adicd 5' l0r0 mirci ; s-au

10000.".000:10p. emis bonuri cu valori gi mai mari.
Un exemplu clasic de numdr gigant este rdsplata pe care a
r. o unitate de P zerouri n-l.ea este puterea a (n-l)-a: cerut-o inventatorul jocului de gah dintr-o veche iegendd orien-

'Aslfel, ordinr-r1 aI ta15. Se spune ci el a cerut pentru primul pdtra{e1 al tablei de
a lui zece (de exemph-r m-v*ilionul, adicd unitatea de ordinul al7-Iea, sah un bob de orez, pentru al doilea doud, pentru al treilea
reprezintd 106)" patru pdtrd{el urmdtor dor-rd ori mai mult
clecit etc. ; pentrll fiecare Aceastd cerere, de
Accste considera{ii ne permit sh denumim gi sd scriem foarte pentru cel anterior. aparen{d modestd,
in
scurt ;i comod toate nnmerele pe care 1e intllnim in .stiinld 9i itt s-a dovedit a Ii irealizabild : toate orezdrille 1r-rmii nu erau in stare
via{a practicd. SI considerdm, de exemp1L1, masa globr-rlui terestnt" sd cuprindd orezul cerut de vicleanul inventator. ln adevdr, pentru
Iatd numdrul care o exprimd: primul pitrSlel el ar fi trebuit sI capete un bob, adicd 2-1. Pen-
l*2:3:
6 000 000 000 000 000 000 000 tone. t:r2u'2pr-iml ulbgoiaabled. oPielenatrpultprrdim{eel,lelatrueni loc, isecuveneau
primeasc6
pdtrhfele, urma si
l+2+4:7:2-2.2-l boabe. Rezultd cd pentru primele a pdtrd-
Acum i1 putem scrie 6'102r tone gi citim: ,,gase orizece la ptrterea: "[ele, trebuia sd i se dea

d.ouAzeci ;i unu tone". Este gi scurt gi cornod. 2'2...2-l:2"-lboabe.

l) Aga se numegte pe scurt un numir in care prima cifrd este 1, iar toater de c ori

celelalte sint zerouri, cum ar fi 10, 100, 1000, 10000000 etc.

t2 I3

Agadar, pentru cele 64 de patrh{e1e i se cuveneau inventato* tele moderne. Galaxiile sint.sisteme stelare grandioase formate'
clin miliarde de stele; e1e sint situate 1a distan{e atit de mari, incit
rului 26a-l boabel). Nnmdrul 26a se calaleazd in rnodul cel mai lumina lor ne parvine aproximativ intr-un miliard de ani. Aceasla
ugor, folosind proprietatea de asociativitate a iltmrtltirii ; ?n ade-
vdr,26a este proclusul a 64 de factori egali cr-r 2; pLrtem forma trei itrseamnd cb slnt situate la o distanld de aproape 1022 km sau
grupe de cite 20 gi o gn-rpd de 4 factori egaii ctt 2; vom avea- l0lz' 16s:1027 cm (un kilometru are 100000:106 cm) " In fizicl,

264 --220 . 220 . 220 . 24'. obi.snrrim sd exprimdm toate lungimile in centimetri ; de aceea, am
exprimat in centimetri gi aceastd distanfa. Numdrul 1027 este rela-
Este usor sd calcul2im 210:l024. lnmLrltind 1 024 cts el insugi, tiv ugor de denumit: in adevdr el este egal cu o unitate de ordinul
ob{inem 220: l048 576. Prin urmare, a doudzeci .si optulea sau o unitate din Clasa a zecea. Scdzind din
zece doi, oblinem opt (in legdtr,rrd cu denumirile numereior mari,
264:1 048 576 ' I 0,18 576 ' i 0,lB 576 ' 16. r,. p. l0). Prin Llrmare, dcnumirea unitalii noastre trebuie sd pro-

Ne rdmine sd efectri5m o inmirllire plicticoasd, insd ugoard. ftl vind de la cuvintul latin ,,octo" (opt), adici distanla pind 1a
cele din rirml ob{inem galaxiile accesibile observa!ii1or cu telescoapele moderne este
rlc rrn octilion cle centimetri. Comparali aceasta cu numdrul
264-1:18 416 7MA73 709 551 5i5.
4 . I 036e 6e3 oee I
Numdrul acesta se cite,ste : optsprczece cvintilioane, patru sute
Sd rezumdm. Am stabilit cI pentru denumirea gi scrierea nLr-
patrttzeci gi gase cvadrilioane, ;apte sute patruzeci sl patru tri- nrerclor folosim sistemul de numeratic pozi{ional zecimal. El se
lioane, ;aptezeci oi trei bilioane, ;apte sute noud milioane, cinci numegte pozi\iona|, deoarece semnifica{ia unei cilre depinde rle
sute cincizeci gi una mii, gase sute cincisprezece. E1 este aproxi-
mativ egal cu 18'1018 (se citepte ,,optsprezece ori 10 la puterea pozitia ei, adicd de locul pe care il ocr-rpd printre celelalte cifre
a1e nunrlrulr-ri respectiv; se numeste si zecimal, pentru cd dintre
optsprezecc" ). doud cifre scrise r-rna lingd alta, cea din stinga reprezintd o uni-
tate de zece ori mai mare decit cea din dreaptd. Pentrr_r denumirea
Sd ne amintim de cunoscuta probleml referitoare la numdrul si scrierea numerclor pind 1a un miliard, acest sistem este foarte
cel mai mare care se poate scrie cu trei cifrc de 9. comod. Pcntru scrierea numerelor foarte mari, eI este incomod
a le clenumi este
Ca reztr\tat nll vom obline numdrul banal 999, nici impresio- (ajungem la numere foarte,,lungi "), iar pentru
nantul 9ee sau 99e, ci gigantul ,,cu trci etaje" gse. Cu ajutorul practic cu lotul inr-rtilizabil. Aceste inconveniente se pot inldtura
sistemulr,ri nostru de numera{ie, el se scrie aproximativ astfel :' urplaincodnpusuemteudrtrielizsaeuablzudfionrzmeoctaieu,npsercoardiedumesupsuluitiedrdeeinnautmruenimuuinfndunrmdudmdri.dfirQcure6lptalraetetzievtnotmaintitcel
4'l036e6s3oee (patru ori zece 1a puterea trei sute gasezeci gi noud irumerele intili-rite in ,stiin{5 si via{a de toate zilele.
milioane, gase sute noudzeci gi trei de mii, noud,zeci gi noud).
C.fiiar sr-rb forma aceasta prescurtatd este greu sd-1 rostim !

Prin urmare

gge=ri . 1036e 6e3 oee

(* este semnul egalitdlii aproximative).

In compara{ie cu acest numdr imens, numerele ,,astronomice"
apat ca niste pitici jalnici. Sd ludm, bundoard, distan{a pind lar
cele mai indepdrtate galaxii accesibile observa{ii1or cu instrumen-

t) Cititorii familiarizafi cu progresiile igi vor da seama ci numerele de

boabe care revin fiecirui pdtrS{el lormeazd o progresie geometrici cu rafia 2,.
adici :. 1' 1,2,22,...,2u'. Suma termenilor acestei progresii este

,61- I

2-r

t4

(6of".= cuno.steau numerele mari. In unele tari (de exempiu in China si in
.Iaponia) scrierea hieroglificd s-a plstrat pind ?n zilele noastre.

Iatd hieroglifele japoneze care rcprezintd. numere :

4 Er/23 45 6 7
* /r

8910fi12 132022
T',t 7lv 3 t r1
CAPITOLUL II
CUM NUMARAU STRAMO$II NO$TRI ? $i mai complicale sint hieroglifelc chineze :

I3

Lt stim exact cum numdrau oamenii gi cum denu- fl A€Ir+ :# L lz1
nieau numerele inainte de aparilia scrisului. 1n pri-
vinta aceasta nu putem face decit ipoteze. Un lucru hr,

este incontestabil : omenirca si-a insusit numeratia In cadrul scrierii hieroglifice nu putem'orbi despre un sistem
foarte incet. Pe primele trepte ale dezvoltlrii socie-
tdlii, oamenii se mdrgineau la lrei numere: ,,1lnu", ,,doi" gi ,,mu1t". de numera{ie, pentru cd nu existd nici un sistem. Numai in Egiptr-rl
antic s-a conturat ceva pulin asemdndtor cu numeralia acfLiald.
Au trecut, probabil, mii de ani inainte pentru ca acest ,,mu1t" sd Pe treapta urmdtoare de clezvoltare au apdrut literelc care
reprezentau elementele sonore ale cuvintelor. In aceastd perioacld,
fi fost deplasat mai departe. In orice caz, in perioada cind a
,apfuut scrierea, oamenii stiau sd numere destul de bine.
oamenii stiau sd calculeze brne ; in orice caz, ei cunosteau miile
In urmd cu patru milenii, popoarele cele mai evoluate ("gip- Atunci au apirut cifr e 1 e, adicd semire sall
;i zecile de mii.
1enii, caldeenii) stiar-r sd scrie si sd foloseascd numere intregi si Ds(iinemboliobmliucitereiil,esspccerucvnicaoalseucpucctaen)tcrpiufureutenaaeclfeeilcnsaucsmriiserirctecn,reaasjautftleeolrrai,'lrlclabaitecetousrltirco-reri. snLAu.msmfnideer.l

c$ar frac{ii simple. Mai mu1t, pe atunci existau scoli in care

se preda arta calculului.
In scrierile primitive nu se loloseau iitere. Fiecare obiect
insufle{it sau neinsufle{it, fiecare ac{iune erau redate prin mici c1e numera{ii au existat la vechii evrci, la greci, la romani si la
imagini. Treptat aceste imagini au fost simplificate; aldturi de stravi. vom insista asllpra,'umera{iei roman-e si a celei srave.
Cifrele romane sint unanim cunoscute:
acestea, au ap6.rut figuri care reprezentau diverse proprietd{i ale
obiectelor, precum gi simboluri pentru cuvintele corespunzdtoare IV X L CDM
pnruempoiztiitiihloiregroi cgolnijfunicc{dii1.oIrnnoaacsetraes.tdAsstcferileraeafpielrcudtrusicrsieimrebaodl ei-i 151050 100 500 I 000.

corespunde un cuvint intreg gi nu un sunet, ca in scrierea noastrS. In fond, aceste simbolr-rri nu sint cifre, ci litere majusc're
Pe atunci nu existau semne (cifre) speciale pentru scrierea nume- llatine. Ele au jr-rcat i.isd rolul de cifre. cu ajutorul lor romanii
relor, eintcs.diificeocrdersepiuanddeinatrceitecuovinhtieerleog,l,iLfdlnud"e,te,,rdmoiin"a..t.d.gaNputems6prreu-l ,lrilrrortreiiat.is{uii)ts.rcePriiaestroeuriscsceerinsacruirm.iarderasspptiefnecalt:ivlaIVIrI,-,rnaIdmIiIcildio(arn-dr.niiIctaaaitdedacors_'carmrisLsdernipinirao{scii,eindtgraea:i
zece"
lor nu era chiar atit de mare, deoarece pe atunci oamenii nur

x6 2 - Despre numere si studiul numerelor n

,,se scddea" dir-i cinci. Dimpotrivl, unitdlile scrise in dreapta lui Cifrele slave aveau urmdtorul aspect :

cinci se adunau. Astfel, cinci, rsase, papte ;i opt se scriau: ^EViFsefi^daz vedi g/agol dobro esli ze/o zemlea ye fila
V, VI, VII, VIII.
t23+56789
Mai departe a trebuit introdus semnul X. Nor-rd se scria astfel :
IX (clin zece se scade o rinitate); zgce, tlnsprezece etc. erau sim-
bolizalc p. rin
X, XI, XII, XIII, XIV.

Cincisprezece se ob{inea combinind simbolul pentru zece cn I dX- AAlH eA ontl

cel pentrr_r cinci : XV. Doudzeci gi treizeci se scriau cu ajutorul i kaho liudi mis/ete nes XI on pokoi cerl

zecilor : XX, XXX. t0 20 30 40 50 60 70 60 g0

Pentru patruzeci ;i numerele urmdtoare a trebuit introdus pcrdya..?+dTXrfuJt4

semnul I-. De exemplupatruzeci si unu se scria astfel : XLI (zece r/i slovo trerdo uk ferl ha F$i o li
se scade din cincizeci, iar unu se adarrgb). Pentru noudzeci se /00 200 300 +00 500 600 700 800
recurgea la semnul C al sutei, scriindu-se XC. Men{iondm cd 9a0
+9 pi'-99 nu se scriau XLIX 9i XCIX, ci IL -si IC' O siltd doi se
scria CII, trei sute gaptezeci gi patrr-r CCCLXXIV etc. Un ntrmdr
mare, sd zicem 29 635, se scria astfei :

XXIX.DCXXXV Numerele Ltnsprezece, doisprezece, se scriau respectiv

(indicele rn insemna ,,mii"; el reprezintd prima literd a cuvintului .;ir. dr. . . doudzecigi unu, doudzeci gi c1oi, se scriau ia.[n ,

latinesc,,mi1le" (mie). {el,aax. e.tsiem"ctrcp(i.eliunTre,ilaisdnlaaulvnismduebiepanruuanrmeupasdedarntuesinmeraaadsi-apecupseneeeeauat'nsip)ia,ecnrdaotirnsuottirinceiinancciip'fnirsreopii.nrieOucznreidftbraianeree,raa,_piencluaiitfiairn.e{ailDlcooterr-

Romanii aveau o numerafie perfect elaboratd, foarte econo-
pentru
micl ( am vdzttt cd erau necesare doar gapte cifre a scrie

numerele finA \a un milion), insd incomodd: numere relativ mici si apoi pe a zecilor. Slavii scriau astfel: €r. aclicd punear_r intii
se scriau prin giruri lungi 9i nu existau nici un le1 de upurdri la

calcule ; c-alcule in scris nu se puteau face, astfel incit se calcu1a, un cinci, iar dupd

de fapt, mintal. tri" (cloudzeci si aceea Lln zece. Dimpotrivd, in nLrmdrul,,dvadlati

Nr-rmera{ia slavd seamdnd cu cea latind prin faptul cd folosepte trei), in limba rusd se enunfd intii zecile, apoi
gi ea literele din alfabet pentru a scrie numerele. Nu este tot atit unita{i1e. La slavi acest Iucru se reflectd intocntai ?n scriere :

de economicS, pentru ch folose.ste 27 simboluri, insd scrierea esle' ei scriau Rt,. Locul cifrei, pozilia ei in numdr nu avea nici o im-

mult mai sistematicd gi perrnite sd se simplifice considerabil efec- portan{d.

tuarea operafiilor. Spre deosebire de numera{ia romand, numera- Crt ajutorul aceslor simboluri se scriarr u)or llumerele nrrri.

{ia slavl nu folosea literele majuscule, ci litereie minuscule, pre-

vdzute cu Lrn semn special, tilda 1sl) (care dealtfel, seutiliza sir De exempiu numdrul 29946 se scria astfej rEa [,n5 (simbolr-rl
* insemna mii). Cu ajutorul repetdrii semnului I se puteau
in scr.ierea obisnuitd, la prescurtarea cuvintelor).

18 19

nLlmere foarte Iatd, de erempiLr, cllm se scrra nllma- piasruthoteur"olilaofigBidceeersbterilroflencculetulubaiitnese.iinsintuAdlpeiaastoerip.icoutalamriam(aIrtaekmr,ar1ticaactubaalb).iloDneiaancdeeaau,

rd :2A 178 073 r' rfr ;[orr Sn Se verie irsor cI acest sislern cle

scriere pernri.tc efectuarea operafiilor,,pe co1oane", aproape p.ireIa-aai'cdeopuudtuplospeocaorlre-:riusillaml eXriVeInIIii-lseai i.e.n., s-a produs conto-
in aceia,si fcl cLrm proccdlm astdzi. dintre
acadienii. Fi"crr*
Nr,imcra{ia pozi{ionali a apdrut, duph toate probabilitdliic, in aceste popoare avea L1n comert destul de bine clezvoltat, r_rnitdli
vechit-i1 BabiloLr. lla a luat acolo o lormi aparte, de care meritl sd de greutaie si unitd{i brnesti. hdrd indoiuld, comer{ul cle atunci
ne ocupdm mai amdnunfit. De la babilonieni numeralia pozi\io- ttu necesita multe calcule, astfel cd nici unul dintre aceste popoare
rrali a lrecrrl lir in,licrri. 1111 avea o rrnmcratie bine elaboratd. Ufritatea de masd a sume-
rrcnilor era ,,mina" (aproximativ 0,S kg). Unitatea bdncascd cra
La inrlieni, ca si 1a mLrlte alte popoare antice, primii natcma- o mind de argint. La acadieni unitatea principald era Lln,,;ekel ,,,
de aproximaliv pasezeci de ori mai micd decit mina (binein{eres,
trcieni arr fost prcofii. lli aveau grija de calendar si tineeru soco- aproximafia se datore;te cintarelor primitive aie timpr,rir,ri care nn
sesiza.u diferen{e mici). Dupr contopirea acestor cloud popoare,
lcala sarbdtoriior, observau corpi-rri1c ccregti,si trebuiau sai lie ,,au circulat" ambele sisteme de r,initi{i; mina si sekelul s" ioto-
caperbili sI prer-add cliverscle fenomene cere;ti (de eremplu, eclip, seaLr a.sa cnm folosim astdzi kilogramr-rl gi gramui. in circr,rla{ia
seic). Pcrrtnl aceasta, eraLl necesare anumite cunostinle de mate- blneasci, mina si sekelul jucau ro1ul pe
astAzi in U.R.S.S., cu singura deosebire care-l au rubla ;i copeica
rtaticd.. Din lega|rra. care a existat in timpurile strdvechi intre
cd unitatea mai marb era
maternatici ;i religie, s-a pdstrat o rdmi;i{a curioasi: supcrsti- egald cu 60 de r,initi{i mici ;i nu cu o sutd. comerlul si economia
se dezvoltar-r, circula{ia bdneascd cregtea. Dupd cum noi averr
{ii1e relative la nnmerc. $i in zilele noastre existi oameni care nevoie de tone, in afard de grame si de kilograme, tot astfel a
apdrut .si acolo o unitate de greutate mai mare,-,,talantui,,. Firestc,
cred cd numdrul 3 aduce noroc, pe cind l3 este purtdtor de girinion dat fiind cd divizarea in ,,pasezeci" ajunsese uzuald in calculele
(,, duzina di avoir-i1r-ri " ) . economice, noua unitate s-a ales de $asezeci de ori mai mare
ciecit cea secxrisiatenntbda:builonntiaelnaini tnu"rmuer"egleui?cuEsiasscerzieacui
Cu trei mii de ani in urmd, indienii foloseau o numerafie bine de minc.
elaboratS, desi in documentele acelui timp nu figureazA numere cum
mai mari dc 100000. In operele indiene ulterioare sc intilnesc crr betisoare
numere considerabil mai mari, pind 1a o sutd clc crradrilioanc pe lutul moale, astfel cd principalLrl elernent grafic era un cui
(10tt). Intr-o legendd despre Buda (legenda nu arc nici 100()
de ani), se spllne cd el stia denumirile numerelor pind 1a 1054. I n-ric cle forma t .uu ( . pentru a reprezenla unitatea, se scria
De altfel se pare cd indier-rii nu avealt o idee clarl despre infini-
I un singur cui, asezat vertical y Scrierea numerelor de l;r
tatea giruir-ii numerelor naturalc, crezind ca existd un numdr ,,cel
mai mare"f cunosci-rt numeri de zei. Demonstrafia infinitafii sirLrlui I unu pind la noud este naturald si u.sor dc in{eles :
numcrelor este un merit al invd{afilor elini.
I T TTYTTYWffiWWW
Dltpd cum am splis, matematica babiloniand prezintd un deo-
sebit interes. Numcra{ia babiloniand a fost constitnitd cL1 aproape ]4 Fiecare numdr pind la 9 inclusiv era reprezenlat prin numdrui
corespunzdtor de cuie, apezate atit de ra{iona1, incit la lecturd ele
patrut mii de ani in urmd, a cxistat aproape un mileniu gi jr,rmd- I
nu trebuiau numirate : numirul lor era evident.
tate (din secolele XVIII-III i.e.r-r.) si a fost larg rlspindita in 1
21
1ot Orientul Apropiat. Ea a influenlat matematica chinezla, indiand i

gi greacd si, dupl cum vom vedea, a ldsat urme chiar in ptiin{a

contemporand.

Babilonienii scriau cu beli,soare pe plhci de lir-imd moale 9i
intdreau apoi prin ardere ,,rnanuscrisele". Ei ob{inear-r astfel ,,docu-
mente" din cirdmidd dr-rrabi1d, care s-au pdstrat in parte pinl in
zilele noastre ; aceste documente se gdsesc frecrrent in sdpdturile

2A

Pentru zece exista semnui special numerelor Pe la inceputul secolr-rlr-ri a1 XVIII-1ea i.e.n. au apdrut texte
pur matematice: tabele pentru LlFurarea calculelor, regr,rli pentru
de la unsprezece pind la d,oudzeci este de asemenea ugor de infeles : rezolvatea unor probleme etc. Astronomia ajunsese la un inalt
grad de dezvoltare. In legiturd cu aceasta era necesar, in primul
/2 t3 /4 t5 rind, sd se opereze din ce in ce mai frecvent cu numere mari, iar
in al doilea rinci, sd se treacd de la numere concrete la numere
<T <N <IT <Y <Y abstracte. In ioc de a imagina o nLlmera{ie noul, a inceput sd fie
folositi pentru noile scopuri numeratia elaboratd inainte. Notatia

IE /8 /9 20 T<<YTY <Tfl

<w <Y <W <W ,nu mar insemna neapirat I talant, 23 mine gi 15 gekeli, ci in
acela.si mod se scria numdrul abstract iormat dintr-o unitate de
Vedem cd aceste semne sint foarte c1are. Acum, cititorul va fi al treilea,23 15 unitdti
.ordinul de r,rnitdfi de ordinril al doilea;i
in stare, flrd r.rici o dificultate, sd scrie orice numdr mai mic decit
o sut6. De cxemplu, numerele 37 ,si 54 se scrilt astlel : de ordinul intii, r-rnitd{ile fiecin-ri ordin fiind de 60 de ori mai
.mari decit unita{i1c ordinr:h-ri precedent. Scrierea
<<<Y AY
r<<m<w
Numereie din a opta gi a noua grupd de zece au o scrlere
inseamnd, in sistemul nostru, I .602+23.60+ 15, adica 4 995.
destul de greoaie ; insd de e1e nu era nevoie. Babilonienii nu erau
Analog se scriu numerele cu patru, cinci ,si, in general, cu mai
de loc puii in sitr-ralia de a scrie un numdr mai mare dccit 59,
deoarece dispuneau de cele trei unitafi. ,rnulte cifre. De exemplu

Inifial, minele se scriu cu simboluri mai mari decit ;eke1ii. N<I Y" f^YYY

De exemplu, 20 mine ;i 37 gekeli se scria astlel :

inseamnd 2. 603+ll' 602+4' 60+43, adlcd 47IBB3. Numarul cel
mai mare, care se intilneste in ,,manuscrisele" babiloniene, este
'ffeglait le9laub.6o0ra8t+c1u0'b6a0z7a. Numerafia babiloniand era un sistem
60, adicd o numera{ie sexageiimala. per-

Ulterior, toate semnele au 4juns sd aibd aceeasi mdrime .si Cum scriau babilonienii cifra zero? De exemplLl, cum scriau
numai pozilia unui simbol ardla ce unitali reprezintA. De exem' ei numdrul 3605, egal cu 1.602*5, adicd numdrul care contine o

plu, 2 talanfi, 13 mine si 4 I sekeli se scria astfel: unitate de ordinul al lreilea, cinci unitdti de ordinul intii si nici
o unitate de ordinul a1 doilea ? Timp de secole ei nu au iolosit
TT <ITI f^Y
,de loc semnul de despdr{ire. Dacd era necesan, se 15sa intre cifre
Dacd se iucra numai cu o singurd unitate de mdsur5, nict arn interval mai larg:
aceasta nu era notatd. in vreun fel. Textul care insolea numerele
permitea imediat sI se vadd despre ce fel de unitdfi de mdsurd wT insemna la ei 3 605, iar

era rrorba. W reprezenta'65.

22 I

23

Scrierea cuneiformd este''it-tsd foarte incomodd pentru apre* ce au invd{at sd scrie, oamenii nu all avut, mult timp, o numera{ie
cierea intervalelor dintre cifre, iar faptul cd se copia totul manual,' elaboratd gi au notat numerele cu ajutorul unor hieroglife.

clucea la erori frecvente. Semnul de desplr{ire era indispensabil La vechii evrei, iar de la acegtia la greci, la romani gi la

;i, in consecin{d, el a apdrut. lncepind cL1 o anumitd perioadS' slavi a apdrut numeratia cu ajutorul iiterelor alfabetuh_ri. Acea-

(nu se poate stabili data exactl), pe cdrbmizile babiloniene se std numera{ie a ddinuit aproximativ 2 000 de ani gi era sufi-
cientd pentru cerinfele practicii.
gdsegte simbolr-rl \ , corespunzdlot z'etoului nostru.
ral.iCaupaopzrio\iaopnea4li0. 0In0 de ani in urm5, a apdrut in Babilon nume-
, De exemplu, 3 605 se scrie cu ajutorul zeroului India ea a luat forma numera{iei pozilio*

iar 65 astfei: TrW lDaelelazeincidmieanlei, dacecLevlesftonilstoissintireemsae,c,dioneletelsercvrVaielIir-IerIlu-aliXnpuoumznieluiorlendlaoin1rt"rae--tzcreeelcreoumut \la"ai.

Itr arabi, care alt
civllizate popoare a1e lumii. Europenii au preluat acest sistem
de la arabi (de unde .si denumirea de 'czeifcreim,a,aldraebes"te).
prezent, numerafia pozilionala
ln pe deplin
suficientd pentru cerinlele gtiin{ei gi ale practicii. Cind trebuie,
Elc rrrt mai pot li con[urrda1c. si scriem nllmere foarte mari, este comod sd recurgem 1a expri*
marea prin puteri ale lui zece.
trntroducind insl ,,intervalul pozi{iona1" in interiorul numere*

tror, babilonienii nu au mers pind acolo incit sd-l pund si la sfir*
situl 1or. Chiar pina 1a decdderea culturii babiloniene, numerele

,,unu", ,,gasezeci ", ,,trei mii, gase sute" se scriau 1a fel : Y
Babilonienilor nll le-a venit ideea de a nota pe 60 astfel :

Y t . Abia inclienii, care au preluat de la ei numeralia

pozi{ionald, ar-r invdlat sd utllizeze corect simbolul zero gi, in-
trodr-rcind baza zece in locu1 lui gasezeci, au dat numera{iei forma
ei actual5.

Sistemul de numeratie babilonian (sexagesimal) s-a menlinut
pind in pre.ent la mdsurarea unghiurilor si a timpului. A gasea
parte dintr{un cerc se imparte in 60 de grade, gradul in 60 de
minute, minutul in 00 de secunde. Tot astfel, ora se imparte in
60 de minute, iar minutul in 60 de secunde, dupd cum talantul
se implr{ea in 60 de mine, iar mina in 60 de gekeli. Cu acest pri-
lej vom spllne citeva cuvinte despre originea termenilor ,,minut"

si ,,secundd". Minut este traducerea cuvintului latin ,,minuta" care'
inseamnd ,,mic", iar secunda a cuvintului ,,secunda", care in-
seamnd ,,a doua". Minutele erau ,,partes minutae primae", adicd
,,partes minutae secun-
,,primele pdrli mici ", iar secundele erau

dae", adicd ,,pdr{i1e mici secunde" a1c gradulr-ri sau a1c orei.

Sd rezumdm cele expuse in acest capitol. Omenirea gi-a insu-
pit numera{ia incet. I-au trebuit multe secole pentru a trece de,
la numerele ,,11nu", ,,doi" gi ,,mult" l,a zeci gi la sute. Chiar dupd

24

CAPITOLUL III egald cu o miriadd, adicd este de 10000 de ori mai mare decit
distan{a de la P5minl la Soare, considerind cd aceastd distan{5
DE CE A NUMARAT ARHIMEDE FIRELE DE NISIP $I ,este de o miriadd de miriade cle stadii, adicd, in scrierea actual5,
CUM LE.A NUMARAT ? de 150'107 kmr). Aceasta intrece de zece ori distan{a medie de
la Pdmint 1a Soarc, pentru care mlsurdtorile actuale dau apro-
ximativ 150'106 km. Asadar, raza sferei stelelor fixe era egald
dupd Arhimede cu 15' 1012 km, ceea ce depdgea cu mult chiar
raza slerei stelelor fixe dr-rpd Aristarh. Aceasta este aproximativ
o treime din distan{a efectivl pina la stealra cea mai apropiatd
de noi. Deci, valoarea adoptati de Arhimede pentru raza sferei
stelelor fixe este de circa 650 milioane de ori mai micd decit dis-

tanla pini la galaxiile accesibile observa{iilor cu instrumentele

noastre moderne.

Avind acesle date, nlt este greu sd calculSm volitmul ,,sferei
stelelor fixe". E1 este egai cu

n secolul al III'lea i. e. n. a trdit in insula Sicilia f nR3aza' 153. 1036: 135. 1038 k-tr).

un matematician cu un talent excep{ional. $i astlzi, Mai rlmine sd caiculdm cite fire de nisip pot inclpea in acest
dupd aproape doud lui, orice vo1um. Arhimede considera cd intr-o sdmin{I de mac incape o
milenii de la moartea miriadl de fire de nisip, adicd 10000 fire (cu alte cuvinte, el a
elev ii cunoaste numele. Este vorba de Arhimede.
Remarcabil geometru, mecanician, f.izician 9i ingi- considerat un nisip Joarte fin, ca o pulbere usoard). Dr-rpd soco-
ner militar, e1 ne-a ldsal, prir-rtre nLlmeroasele sale crea{ii, un teala sa, diametrul unei sue)m, iandleicddedmuapcd era egal cu a patru-
zecea parte dintr-un unitd{i1e
admirabil tratat de aritmeticd. Tit1u1 lui este ,,Psammit sau 1o1 noastre cu
Calcuh-rl nisipr-rlr-ri intr-un spafiu egal cu sfera stelelor fixe". l/2 mm.
Arhimede a fost cel dintii care a ardlat in mod convinghtor
cd pentru orice cantitate de obiecte, oricit ar fi ea de mare, se t Daci vom admite, pentru simplitate, cd sdmin{a are forma

poale gdsi un numir care sd-i corespundd ; pentru orice numdr I unui cub, vom vedea cd un milimetru cub conline opt semin{e de
se poate .indica locr-rl lui in girul nnmerelor deja cunoscute; se
pot construi numere gi mai mari gi se pot da denumiri tuluror f, mac sall 80000 fire de nisip;un metru cub contine de lOe (de un
bilion) ori mai mu1t, adicd B'10r3 fire, iar un kilometru cub con-
acestor numere. Cu alte cuvinte, el a construit un sistem de nurne-
rafie stiinlific. fine de incl 10s ori mai mult, adicd B'1013'10e:B'1022 fire cle
Arhimede a demonstr at c/a rlacd se presllpune o sferd egald
nisip. Q5mine sd inmullim numdrul de kilometri cubi din ,,sfera
stelelor fixe", adici 135'1038, cll numdrul de fire de nisip din-
tr-un kilometru cub. Acest calcul ne cld aproximativ 1063 fire de
cu sfera stelelor fixe dupd Aristarhr), umplr-rtd cu nisip, se vor
nacistuipale-. un numdr imens chiar dupd reprezentdrile noastre
putea gdsi gi in acest caz numere care sd lie mai mari decit
numlrul firelor de nisip din aceastd sferd. Pentru a elimina
1) S t a'd i a elind era egald cu aproximativ 150 m. De la cuvintul
,dinainte orice obiec{ii posibile impotriva demonstra{iei acestei i,zn,esctaesdtmaied"iii.ip,Lrpoimevibncaeartgeerremsaeecdninuntlrue,,csdetiasadpuuioannel"ea;rgdinietioticrauiil.v, iCnatcueevspitnaetnuetlrrau,,modeircsiaedmdra5nr"earieinmasepnauirmmtient-ii
relo2r )mPaeinmtruasriimdpelifilc0a0r0e0,. am considerat n:3. Aceastd aproxima{ie nu in-
propozi{ii, Arhimede a admis cd. raza sferei stelelor fixe este
fluen{eazd esen{a rezultatului.
i,.dein.nrS).A)a,rmhdiuompseSd(secfoirsng-caiteubpl!aiaszeaccld.praeu.ialcoIVSno-cleaepraefilie-leeespmteriinmimeanotubjuliulmigaiitsasttrietounaaotmsinegcrce. ecanlAtrruIiIslIt-aslefreha-
rei stelelor fixe, iar Pimintul se pe un in ai cimi centru 3) Tolul vechi grecesc mlsura aproximativ 2 cm.
afli Soarele. rotegte 'cerc se

26 27

,'\m rezolvat fari dificurtate problema rui Arhimecle. pe timpuf €ralr pe deplin suficiente pentru rezolvarea probiemei saie. In
etnmdlLeul'e.reamiadzuAeee^rlceohreeexlionlspemsrtoeeimiLndi,teeaornnrcruri{inmmiises,aaidxniicisLnuaptraumcreoeesxplsaiixssrdiittsedeaslteamuaeu'ufaerileldfeefdegcielputruiurnlmeoimuzgdaemirreg-eiceinsoapiaihLpeilc!tboniuerrcllraeruza-llreiemir.ncitricMmmtrurmeaeeeelb,itrliuieet"cuiuleue(li'nrimdli"ue-gac"in;uaioualnmncmiou-harilst.elre---i,
adevir, am vdzut cd soluiia este 1063:107.108(8-r), a- d-ic-d- o- mie
.cle miriade de unit5{i ale humerelor de ordinul opt.'

lnsd Arhimede nu s-a oprit aici. A;a cum noi introducem, pe
lingd r-rnitd{ile de diferite oidine, unita{i ale diferitelor clase, tbt
astfel a introdr-rs gi el numere de diferite perioade. Arhimede a
pinl 1u i6a'toS ,,nllmere din prima
1rrce, cunoscute pe atunci). calculul lui Arhimede este foari'e inte- denumit toate numerele
resant, insd nu avem posibilitatea sd de miriade de numere de ordinr-rl miria-
ne ocuplm de el in mica perioadS". O miriadd
atrot alustirdAcrahritmer)e. dNcc.vom o--c-ur-p-a- nrrmai dmeeirededimnirpiaedreioseadnuamaeadinousais"t.eAmpilol iluuirm,,ra-runintautemaepierliemseelocurnndeu,-
dc sisiemul tle numeratic

nmnmzmf$eruueeeedlmmpcldrcePiaueeeuscrinrrtmineaee8u.tl,"p5merdl'uaeo6eeid_tl4al1onrep3errasur-9"rl.rmma.i.t1mddi1eEinmeurerinamllnrvemnudaariomrzeaipiefadr.ii-an,ctdider.leu-deeennrdmul,uumemplmimeardiire"ireie,tilmiraiAlneeaudirmelrdnheeipaiiilcctmiiapddnadtetaiearenlepodaudrdeeuaenens:lixaiitotmim,rrsr,uuoftmmipairptiprui"itaaerrridmliauiem,dne,cnie,iplanlav.brcmipritm-mieaaanrimiet"ie.irenrilieoaAm"ausa*rdrmi'i"p-rdrtsnt.iiiei."iilitOmiriT.,r-s,o\nea,.Mrnparh"sortraeirte_*ia-r--i, ter!e etc. pind 1a cele de ordrnul miriadei de miriade din perioada
a doua. O miriadb de miriade de numere de ordinr-rl miriadei de

rniriade din perioada a doua (l0z's'roa,,, Iorrneazd o unitate a
primelor nirmerc din perioada a 1rcia. Unitatca primelor numere
tJin perioada a palra csle rrumirul i03'8'108 . irr g.'neral, o uni-

tate a primeior numere din perioada a rl-a este 10(n-1)'8'108, iar
de ordinul m
,o unitate a numerelor din perioada a n-a este

,,unitatea numerelor secunde". Agadar, o',,unitate a numerelor 10(n-t)'8't08+''a-m. Astfel Arhimede a ajuns pind 1a miriada de
miriade a numereloi de ordinul miriadei de miriade din perioada

nmmsPeurelcrmirneuenda.ludronerremi"lsrmaaeercesenture,eun.leemdogserita"tep,lSdiavnedocdiruAcb1draa1hi0imnmd8eie.rsIidcnauredniaea,cr,seeudiassnettietnfmameotiieareidsaasetdrteienn,uuupdm;mioeneer,dr,erduillteoanierigi1itipt0e.ii1oTr6)at.ietldieAoi c"nene"atusrct--t- de ordinul miriadei de miriacle, adicd pinl 1a numdrul 1gs'ro16.
El s-a oprit aici. Nu este greu insd sd-i corrtinilSm drumul. Dupd
perioade, putem introduce cicluri sau perioade de ordinr-r1 al

cioilea etc.

Sistemul de numera{ie a ir-ri Arhimede se reprezintd comod
sub forma urmhtoarei tabele :
cu bgai zsacri1e0r8e,ainlocra(rcearse-_anuue-llaibnoteraret snaumpeaiAdrheimnuemdeiriipeenni'uru-"iie"zloort-,.
nu ' Perioadaintii- de la I pini la t0s'to8- I con{ine:

varea problemei sale). La Arhimede, fiecare r-rnitate de un ordin NPurimmeerleelenusmeceurnecl-e de la 1 pind la 108-1
mai ' mare r-rnitatea de ordinul - de ia 108 pini la 1016-1
oarecare era de 108 ori decit

precedcnt. I Nunrerele de ordinul m - de iu 16(n-l)'8 pini la 108n-l

In felul acesta se poate ajunge pind ia unitatea,numerelor ' Numer.ie a" ordinul" miriadei' de'miriacle de la
rerlnmdare1ueaelcmodr1o.e0lreer.8ldordN'eidrne1ulcro0dm-8orer(1lenr0dormdu0aermif0dinr0oii0ieunaar0rdlud0eiolep0n-iondul)saedlvu:tezaeto-ed1mfrcfgidiesidrei.ioncdagru0-oudas8dneltl.dezt.mien1cAcsrugiic-Erraaeisa1{tsvr0iid0et8ep'-eap(rae)nini:ntud-ruldum0ergz)oele2marr['sed;icterooedraaeulm1oxden0eeiurl8im,utin(aitpraiied2tldaA,4ditirL-cehrcndiin-imiaetu1paeg*mnitds"n"uae_iua-i-, l ostro8-r) pini
la ,64 . ro8_ , . -

Perioada a doua - de la ,oa' lo8 pind la t0z'a' lo8-1
Primele nunere - de,la 1oe'tospin5 la ,os'{ro8+t)-1

Perioada a treia - de la ,oz'a'to8pini la 16s'a'ro8-,

^iUd1e9lti,meGrp.a)in/,e/cd.eddiPi.l-ioiecnpa:,or,aeIa4.ncsuuenl icn1nt8ee2rHe4s.lreeaazn-iaoescdqteutnraaocdKeu"ass(dtfilcdparenobrmurerami)i,amlpl'.uo-rntle.c,oittir-si,"a,ip-nts,-atrnmi-,amnaoiut,,i,er.ce*aarae.e. Perioada a N-a, de 1u 16(N-11 'a' tosorn, 1u 16aar' to8-1.

Primele n1u, m1ger(eN--l) de la 1g(N-l)'s'tO8pini

.8 . (lo8+l)
1

28 29

Numerele de or4inul m _ de 1u 16(N-t) ..8. t08+8n-8

Pind la t0(N-l) ' 8 ' lo8+arn -,

Nrin.r"ie de ordinul miriadei 1d0e8.mNi..iarcol8e_-l de la
N. lo8-8 pind la
l0B.

Perioada de ordinul ntiriad,ei de nzlriade - de la l0(108-l).8.t08

Pina la 10s ' 1016- 1.

Pentru a ne orienta mai bine in numeratia arhimediand gi
dpeennutrmll.i..ac-iua.apjrleltcoiarlrml eeriitneulemiearejrl-ersgtaigvaanlotiacle'e'c, lesacvaerdeenme-caumm
.in capilolrrl I. plltem CAPITOLI]L IV
dcupat
I{[J CITE ZECE, CI CITE CINCI SAU CTTE DOUASPREZECE
Dupg ...'-1q s-a ardtq! ]a p. 1,1, inventatonrl jocLrlui cle gah a
cerutr I B 61 5 e pare cd in stadiul actual de dezvoltare a stiiniei
446 7 44 07'3 709 55 1 boabe.
nu putem imagina un sistem de numera{ie care sd
i^n Sd descompunem acest numdr in ,,orcline arhimediene.,, adici fie mai comod decit cel pozifional. Ins5, ca baz6, a
grupe cle cite opt cifre. Rezr_rltd unui sistem de numera{ie pozi!iona1 se pot 1r-ra dife-
rite trttmere.
18446741 0737 0955 1615. La rezolvarea Llnor probleme se dovedesc a fi comode sisteme

Evident, aici avem o mie opl sute pa&uzeci si patru de unitdli de numeralie pozitionale cu anumite baze. Poate cI unele sis-
ale.numerelor terte, gase mii sapte sute patruieci gi patru de tcnie, de exemplu cel cu baza 12, s-ar ardta in ansamblul 1or

mirrade, sapte sute treizeci ;i sapte de r,rnita{i de numere secllnde, irttrucitva superioare celui zecimal. Insd obisnuin{a de a numdra

noud sute cincizeci si cinci miriade, o mie sase sute cincisprezece din zece in zece este atit de mafe, iar treccrea obligatorie 1a
tunitdfi de prime numere. Aceastd denumire este ceva mai lungA
noul sistem de numera{ie ar provoca o perturbare a tuturor de-
clecit a noastrd (optsprezece cvintilioane... etc., v. p. i4). princlerilor si cheltuieli materiale atit de mari, incit este pulin

Pentrr nrrmdrrrl Oee, ar ii Iosl clc rjuns nrrmcreic din prima probabil ca o astfel cle reformi si poatd fi consideratd oportund"
opcleinurionpaietdaridote.aDralaacnadutmrtereeiscrpeerlmeozreindcseedao. lraclinnuuml cdirnucli1m0r0iirrd;eeml ivraiadfieeigi arl_crnu'r
Eristh totr,tsi un sislem de numeralie specilic, ale cdrui avan-
Iatd cefinstrument cle calcul comod a creat Arhimecle in urmi
ctt dottd mii tle arri ! taje IaId cle cel zecimal in unele probleme si dezavantaje in

altele sint atit de evidente, incit meritd sd-1 analizim mai amd-

rrrln{it. Este vorba de sistemul binar, adicd de sistemul cu baza 2.

1r vom collsacra capitolul urmdtor. In capitolul de fafd ne vom

oclrpa cle sistemele pozitionale nczecimale, in general, pi vom

invdla sd trecem de la unul dintre aceste sisteme la altr-rl.

In afara numera{iei cu baza zece, este destul de rdspiirditd

in viafa cle toate zile1e numera{ia cu baza 5. Numera{ia cu baza 5
este obignuitd in China, grupurile de cite 5 imbinindu-se in pe-
rechi ; se obfine astfel un sistem de numera{ie original, in care
orice unitate de ordin par este de cinci ori mai mare decit cea

31

precedent5, iar orice unitate de ordin impar este de doud ori mai numdr de unitd{i de ordinul al treilea. Pentru a-i gisi repetdm

mare decit cea precedentS. Instrumentul de calcr-r1 este sciotul opera{ia de impdr{ire; impdrlim 77 prin 5:
chinezesc (fig.2).
77:5:15.
FArd a insista mai muit asupra acestui sistem de numera{ie
D
complicat (cu ambele miini), s6. ana\izS,m sistemul pozi{ional cri
it
baza 5. ln acest sistem se folosesc pen-
trtt scrierea tuturor numerelor numai otr
cinci simboluri (cifre) ;i anume : sim-
n
boh-rri pentru numere1e,,LlnL1",,,doi".
Rreepsretuzlin2tdnenudmddnruuml dderuulndietr!'ni ditedolircdlienuolrrali1ntLriel ilaelac. lociilre_art,rmiaracciutuml
,,trei", ,,patru" Psieinntterurvanloutlapreoazilpiorinmael l-or numdrul de r-rnitdti de ordinr-rl a1_patru.-l^e-a con{inute in l5 unitd{i
semnnl zero. de ordiur-rl a1 treilba. El va fi .g:uftir

patru numere gi a hsi zero, pntem folosi l5:5:3.

eventual si ciirele noastre : l, 2, 3, 4, t), Prin urmare, cincisprezece unitdli de ordinul ar treilea sint for-

insd tipdrite cu caractere grase. mate din trei unitd{i de ordinul al patrulea. Lipsa rcstului ne
aratd cd nu avem unitali ,,libere " de ordinul al treilea. Cit pri-
Numdrul ,,cinci " este o unitate de
ordinul a1 doilea ;i va trebui scris ast- vegte cele trei r,rnitd{i de ordinul al patrulea, este clar ci ele nu
fe1 : 10 (cum scriem noi zece), pr-rnind
LIn zero in locr-rl Lrnitd{i1or simple care pot conline rrni15[i de ordin supericrr. pr-irr rrrmare, riumZrrrl 387

1 i pscsc. este format din trei r-rnitdti de ordinul al patrulea, nu contine
unitdli de ordinul al treilea, con{ine dor-rd r-rr-ritd{i de ortlinul al
Sd scriem in sistemul cttbaza 5 numdrul 387 (treisuleoptzeci cloilea 9i doud unita{i de ordinul intii, adicd ir pr-rtem scrie 8022.

si sapte ; caracterele obi;nuite, si-rb{iri, reprezintd nota{ia tzttald, Toate operafiile pot fi grupate in modul urmdtor:

zecimald). In primul rind sd stabiiirn cite grupe de cinci (r-rni-

ta{i de ordinul a1 doilea) cuprinde numdrul nostru gi cite unitS{i

simple. Pentru a ne da seamarde aceasta, impdr{im 387 prirr

cinci. CitLy' ne l'a da numdrul de,,cinciuri", iar restui r,'a fi numd- 387 I 5

rrtl de unita{i simple: Jcl 25 -r27 T5 I;-itl tt I 5

387 37 15 I 5

J5 -35 151
o-
2

d5 2
2
Numerele tipdrite cu caractere grase (resturile 9i ultimul cit)
Agadar, numdrul nostru cuprinde 2 unitd\i simple si 77 r-rniti{i
trebuie scrise in ordine inversd, pentru a obiine numdrur cdutat
cle ordinr-rl al doilea. Tnsd fiecare cinci unitd{i de ordinul al doilea in sistemul as baza 5.

tormeazd o unitate de ordinul al treilea ; evident, ?n gaptezeci Sd rezolvdm problema inrrersd. Fie dat un numdr in sistemul
;i gapte de r-rnitd{i de ordinul al doilea este coniinut un anumit cubaza cinci, de exemplu 2841, si sd cdutdm expresia lui in sis-

temul zecimal.

32 3 - Despre numere qi studiul numerelor 33

Sd ne gindim ce reprezintd fiecare dintre cifrele acestui numdr. ultimul cit este_ egal cu z,ece, iar restu,rile sint zero Ei trei. prin
1443:X03.
Unitatea din dreapta inseamnd, pur 9i simplu, 1. Cifra 4 din locul urmare,
reprezintd patru ,,cinciuri", adicd
al doilea 4'5; cika 3 care in toate problemele studiate pini aici am indicat sistemele de
utmeazE reprezinll. lrei ,,cinciuri luate de cite cinci ori", adicd numera{ie gi am cerut sd fie exprimate in aceste sisteme anumite
3.52 ; in sfirgit, cilra 2 din extrema stingd teptezinld' 2'53. Ptin
ufmare: numere dfqatt_de.aSuenoprotoppeurnae{.ii.9ci ualnteumperoreblsedmese. De exemplu, dupd
2341 :2' 53 +3' 52 + 4' 5 + I :346. notal,ia stabileasld c" uir-

tem de numer4lie s-a folosit. Iatd un exemplu pentru o astfel de
problemd. Se dd notatia
llen{ionhm cd gi un numdr scris in sistemul zecimal, de exem* l2l

plu 3208, poate fi scris intr-o formd analogd: 3'103*2'102+ X
+0' 10+B (in termenul al treilea al acestei expresii factorul
22
,,zero" este un numdr intreg, insd nu natural).
242
ln general, dacd am luat ca bazd. a sistemului de numeratie
+
numdrrtl m, atunci abcdk 1) inseamnd
242
td. m4 + b. mz :,s. mz d. m + k.
32t2.
In via{a de toate zilele s-au pdstrat unele rIm59i{e ale nu-
mera{iei cLr duzinile. Piciorul englezesc (ca s-i cel rusesc) se fui ce sistem de numera{ie sint corecte aceste operalii ?
Examinind cu
impait in 12 !oii. Anumite mdrfuri se ambaleazd in duzini, iar 2+4 dau un numdr aten!ie efectuarea toip;.erIan{siirao,r,a, ooi.b.gsei,,rpvarmtruc,d'
termind cu
p"ntru o duzind de duzini existd in comer{ o denumire speciald : care se
un gros. Trebuie men{ionat cd sistemul de numeralie cu.baza 12
fac ,,.sase", indiferent de felui in care le-am scrie. Deci, sistemul
este, in r-rnele privinle, superior celui zecimal, deoarece doisprezece de numera{ie dat nu cr_rprinde un simbol pentru numdrul
are patru divizori intregi (in afard Am gdsit insd cifra ,,gas",,.
de I 9i de 12 insugi: aceptia 4 (patrr-r) in notalia noastrd. prin r-rimare,
sint2,3,4, 6), pe cind zece flu are decit doi (2 9i 5). De aceea'
in sistemul cu baza 12 am avea mai multe nllmere ,,rotunde", sistemul de numerafie poate avea ori b'aza s, ori baza 6. Scriind
u1l0unm(nbdua1mzualdr,6gc)oa.srPee"risnineutaermcremasritneed,dioncur-der xoseismutnepimltuaelt,en,oosbsiltsirnutee,mminuliclcalre(ebna2uzm+ae45ra)dt;iaeiu
ceea ce ar permite stabilirea mai multor procedee prescurtate pen-

tru efectuarea opera{ii1or. In ansamblu, insd, avantajul nu ar fi

p' rcaInmsairsef.emul de numeralie cu baza 12 am fi nevoili sd intro- are baza 5. Iatd incd un exemplu ugor; in ce sistem ae .,um"_
ducem, pe lingd zero gi cifrele de la I la 9, incd doud cifre p,entru
ralie avem 3X3:10? Cititorul-va vedea imediat cd aceasta este
notarea lui 10-gi a lui 11. Vom conveni sd notim aceste cifre cu
simbolurile X pi A.. Sd scriem, de exemplu, numdrul I 443 in posibil numai pentru baza noud,.

sistemul cu baza 12: --112224444I31 Nu lotdeauna insd se poate stabili precis, dupd aspectul unei
T
12 tz poplue,raelgiia, liitna.cteeasis1t2em2Xd3e:3n6um6 eersatleieveaslatebviladlainbilodrincoetasfiisat.emDecelexenmu_-

rl220oll ru nreratie cubaza mai mare decil 6.
-0-
Se intimpl5 insd ca si ,,bietele resturi,,aie unei operalii sd

ne poatd ajuta la stabilirea sistemului de numera{ie in-care este

scrisd aceasti operafie gi chiar la reconstituirea ei. Iatd un

r) Spre deosebire de notafiile adoptate in algebri, expresia abc^dh de r) Se presupune cd cifrele reprezintd aceleagi numere ca qi in sistemul
aici nu inseamnd produsul numbrelor a,'b, ca,judtoArui lFc'cif,rienluomr ad,rubl ,scc,risd.' intr-un nostru de numerafie, cu alte cuvinte ci 1 este simbolul unit6{ii, 2 al numd-
sistem de nurirerafie pozitiona,l arbitrar cu k'
rului ,,doi" etc.

34 35

exemplll: sA presllpunem cA sint cunoscute numai unele cifre din Pentru verificare, sI scriem ll2 in sistemul cle numera{ie cd
urmdioarea operafie (celelalte sint inlocuite cu steLu{e): baza 3:

**2 __tt2n2eIt li--7s3316itll-it---ortz23rl 3 --lJ:

X *l _1
3l
;oo. -l- -1-
+ ***t Ob{inem to'cmai 1I011.

;;;;T maSi dmtirc'edcebmaz'daesliasteemxeumlupli,edleancuomncelruazliiei ,g.-ecnueraatleit. Cu cit este

In ce sistem de numerafie este scrisd aceastl operalie ? Cum sd devine mai
greoai,e scrierea numerelor qi a opera!iilbr'cu ele. Iatd, de exem-
reconstituim ci,frele lipsd ?
isnanpcumeemScsuitdalillrsi.iupoisAlrrticu,ev,elpiiranmuasittd,ar'reupnee"ansriu(t'cedimunepmeioidrisaEoiufbuiieilault,ilmntoaiumredmilia'ecdadoicciiind)ffrrau,dsecedaaabvtlaeeerzermamdzuepninlieutnainmdtctueruuulpuldolieiq.teuluVql'neuuteidnit..aep9samtieetrmauciln,ne[ pinlu,si-s'ct'eu,mmualraztedciimnmaluElf iirienasliustiedmouuldtzeer'nciagr i: trei cu gapiespreze,cu

in sistemul 23 in sistemul 212
zecimal: ternar :
X X
.
T7
adica dacA baza este'2, 3 sinaub4a.zTan3b,anzua'm2 dnruuml pdarutrl upasteru..s(cprdietrall- 122
se scrie 100;
tul bazei) l6l r2/0t
i(aagdiic; dr"3s:cl+riel).i0.IAngsafdiragii,t',bianzab'acziuata4t,dnnuumpiroual.tepqfiltdYec(bitanzraumind-- +
+ l20l
23 212

lrbiunulinN,terdoeriti.oinn;dma, cimnetaeasiotadueeipistataertteep,,oa2sixbd+iol'lunanuemcidafrdidpueannndtrueuminxdm:r1uc1lalirt)eu.lusTeiotct'euarmsxtifne9ali, 39r rt2ttt
sdsim cI prima cifrd a deinmr-rllitului este egald cu unitatea.
scrierea in sistemul ternar ocupd mai muit loc decit in cel zecimal
Prin urmaie, deinmul{itul este I12, adicd numdrui patrusprezece' gi este deci mai greoaie. privepte calculul insugi, in
In ceea ce
PnurimnCairfurrradmaadrrie,ne,ssaetionelEgaarsmtdainicndimf'cruiulp{'1ioto.artleunlsufidi,e2igna'm0ldu:0ln{i,ut2a'm'lca:u2i c,du2o'i2,l:,nllien' m-dudlu{in- scns, ne dam u;or seama cd el este considerabil mai simplu in
sistemul ternar dec?t in cel zecimal.
In adevir, penlru a calcula,,pe coloand" in mod obisnuit lre-
baudiuensddrilii"nenem-omininsutegi,m,1atbrelaptaadt,rrinndcriui"rsside,,tdaobil-atrienimaunli{';irciii;t'.p,i,ivTeasbtlae
invd{area tablei inmul{irii, ea este legatd, probabil pentru'fiecare,
torul est,e 22 (opt) gi toatd operalia se 's'crie astfel : de amintiri nu tocmai pldcute.

l12 sau in sniusmteemrau{lieno: stru 14 Cind baza este micd, dtaebciltainadsuisntdermii rs-iil tabla inmultirii sint
X de considerabil mai simple zecimal. Iatd aceste
X
22 table pentru baza ftei:
B
1001 0*0:0; 1lllf:0: r; 222f++l2a: ::ll0t2
ln
+ 0*l:l; 2;
1+2:10.
I00l 0+2:2;

tr0rt oXo:o; tIlXxXzlo::t:2o; ;; z22xXxl02: ::ll20

t) X bpaozaatetrlei i)e.gIanlscau20.,0c*u l:Il sa:u2c. uI+2l:(Id0at fiind cI sistemul de nfu,mtree-- 00xx2l::00;;
i 2.2+l:12. AEadar
rafie are
buie si fie egai cu l.

36 37

Este limpede cd aceste table se invald mult mai ugor decit cele

corespunzdtoare pentru sistemul zecimal.

Cel mai mic numbr natural care poate servi ca bazd, in1'l -un
sistem de numera{ie este doi. In acest sistem, operafiile trebuie sd

se efectueze deosebit de ugor. ln capitolul urmdtor ne vom con-

vinge cd aga gi este in realitate. La numera{ia pozilionald ctbaza
doi aproape toate calculele se efectueazi, automat: ob{inem un
fel de ,,aritmeticd in care nu trebuie sd socotim".

CAPITOLUL V

O ARITMETICA IN CARB NU TREBUIE SA SOCOTIM

istemul de numera{ie avind ca bazd numdrul doi
are multe proprietd{i remarcabile. Meritd sd insis-
td,m asupra lui. In acest sistem se folosesc numai
doud simbol,uri pentru scrierea numerelor : semnul
pentru unitate (1) Ei intervalul pozifional,
In acest zero (0).
capitol, ca gi in cel prec,edent, numerele scrise in
:sistemul binar vor fi
in sist,emul zecimal, imprimate cu caractere grase, iar cele scrise
cu caractere obiqnuite.

P,entru ,unitate, avem semnul l. Numdrul doi, care est,e baza

'sistemului de numera{ie, va deveni o unitate de ordinul a1 cloilea
gi se va scrie 10. Numdrul trei, lormat dintr-o
unitate de ordinul unitate de ordinul
al doiLea (doi) qi dintr-o
intii, se scri,e ll.
Patru este pdtratul lui doi, adicd o unitate de ordinul al treilea,
deci se va scrie 100. In 'ceea ce privegte numdrul opt, egal cu
scris ca mia no,astrd obiqnuitd,IOOO. doi
la cub, el va trebui

Obs,ervdm cd numer,ele ,cafe au in sistemul zecimal o singurd
cifrd, in aritmetica binard sint de cite trei gi chiar de patru c1fre.
Mai departe vom vedea cd scrierea operafiilor ocupl de aseme-
nea mult mai mult loc decit in sistemul zecimal. Toate acestea
fac ca sistemul bi,nar sd fie, practic, pulin utilizabil. Insd sim-

,plitatea efectudrii operafiilor in acest sist,em este cu adevdrat

uluitoare.'

"lt_OSl e(aiqd'igceap2e2mqciu13a)d. unarea. De exemplu sd adundm 10il0 Ei

39

Sd scri'em aceste numere unul sub altul, cum proceddrm comSpcldedmereenatusluei"e.feSctueeanzud.m,etogatertecosimmppluledmacednftolzoesicmim,,raeglulaa:l

obiqnuit, 10110

I unui numdr dat diferen{a dintre cea mai apropiatd pr-rtere a lui'
I zece (,,unu cu zetomi") mai mare decit acest numdr gi numlrul
1101 considerat. De exemplu, complemenlul zecimal a1 numdrului 7

Dacd intr-o coloand avem o singurd unitate (cifra a doua fiinrn este 3, al numdrului 89 este 11, a1 numdrului 6385 este 3615,.
zero), atunci o scriem dedesubtr-rl liniei. Daci avem insd dot-th iar al numl.rului 580 este 420. Pentru a gdsi compiementul, tre-
buie sd scddem toate cifrele numlrului dat din nou5, iar pe ultima
unillli, ca in coloana a tteia, atunci le tdiem, scriem jos zero (ffud a {ine seama de zerourile de la sfirgit) din
mai este greu sd inlocuim scdderea prin adunare zece. Acum nu
si sLrs, deasupra ordinului urmbtor, addugdm o unitate. Proceddrn
: in loc sd scd*
ia fel cu ordinul urmdtor, linind seama ;i de unitdlile scrise dem un numdr din altul dat, este suficient sd addugdm 1a acesta

deasupra. Intreaga operalie aratd astfel: ciin urmd complementul zecimal al scd,zdlorului gi sd scddern

111 puterea Iui zeee. De exemplu, scdzind 5833 din 11021, apezdrn.

10110 opera{ia astfel : tt 021

+ It0l + 4 167

1000 1 1 r5 IBB-10000:5 1BB.

In fond, facem acelagi lucru ca gi in notaliile obignuite, numai cd Analog cu complementul zecimal se introduce gi c o m p 1e-
mentul binar. Se numegte complement binar al unui numdr
nu trebuie sd calculdm de 1oc: nu punem decit bare gi zerouri gi dat diferenla dintre puterea lui doi, cea mai apropiatl de acest
numdr, gi numdrui dat. Complementul binar a1 unui numdr scris
tdiem bare.Iatd un exemplu mai complicat (in dreapta el este

scris in sistemul zecimal),

111 1t 12 in sistemul de numerafie binar se afld mai simplu decit comple-
mentul zecimal. De exemplu, sd presupunem cd trebuie gdsit com-
1111111 45 plement,ul binar al numdrului 11010111000. Ultima unitate din
27 dreapta gi toate zerourile cale-i urmeazd (dacd avem zerouri)
I 01 101
+ rdmin neschimbate, iar in tot restrul inlocuim unitd{ile cu zerouri
11 011 unitdti. Dacd vom o'bfine in rezultat z'erouri in
t7 Ei zerourile cu unitate. Astfel, din
I 0001 stinga, acest,ea se suprimd pind 1a prima
43 numdrul I l0l0ll 1000, oblinem numlr,ul
I lOtOxtr
100001 00 1n

Dupd ce am tdiat doui unitS{i in coloana din extrema dreapt&, ssl 0r 001 000
punem deasupra celei de-a doua coloane (deasupra liniei) o uni-
taate in plus ; tdind incd dor-ri unitd!i, mai punem o unitate in plus. adicd 101001000. Acesta este complementul binar a1 numdruiuf
Coloana din dreapta nu mai cuprinde alte unital,i. De aceca scriem
zero sub linia de jos. Acelagi lucru se va intimpla gi cu a doua I 10101 t 1000.
coloand din dreapta; aici va trebui sd {inem seama gi de unitd{i1e
de deasupra liniei de coloana a treia (din dreapta) existd Din moment ce gtim sd afldm complementul binar, putern
sus. In
trei unitd{i. Tdiem doud dintre e1e scriind o unitate deasupra efect,ua automat scdderea. De exemplu, sd 'efectudm
coloanei a patra, ia.r pe atreia o scriem sub linia de jos etc.
1110001-11011:?
Notafia este'foarte greoaie in compara{ie cu scrierea noastrd
zecimald. In schimb, operafia se efectueazd, aulomat. Afldm mai intii co'mplementul binar al scdzdtorului :

80101=101

40 4T

Inlocuim apoi sclderea printr-o adunare ; Cea mai dific'i6 dintre opera{iile aritmetice este, incontestabil,

r r r ooolr iimspebpr{irireeaa.imCpudrs{iigreuarainnldcocpaildorriiec.inDee{ian1etfeml,inntiecicuitndoemcommaptluicrantdu
8v6a63f5i 4.p5rel9aBinpcriinnta8t7, 9d9a5c.dInvaevtruelbmuiedsiui impartd, de exemplu
" l0l impdrlirea era consi-

1 1 10110_100000:10101 t0 deratb drept o opera{ie atit dc dificild, incit oamenilor indemina-
tici in efectuarea ei 1i se confereau titluri academice.
mailnsimsipsltuem: ulll\-z2e2cim:8a6l, .scdd,erea aceloraEi numere se va scrie
qetv,oai.laelsorcTsceatcaraurirebeaieirl.o'ae.1rrIaemnioangdpsmrgcee: hruoreiaalmo{iiieiabrilii,oinelruianddaii.nnesnmiusasltuediesalumttzinerdueamlrduecdelaeoErbsainiecns,btucaeimtdraruderelsraariamceluieeptsoldcnimt_aaignatietaa'epurusitaoateomrrdepaed.tuviiusirodmmtreii.cdnuie.-tl In sisten-iul de numeratie binar, implrlirea se efectueazd insi
perfect automat ! Ce este drept, simplitatea .si automatismul sint
0X0:0; 0\l:0; lX0:0; ttl:1.
riscumpdrate aici printr-o scriere neobignuit de greoaie. Ca exem-
plu, vom impdr{i 11011101 prin 10111. Opera{ia se scrie in acela;i

fel ca gi la impdr{irea obi;nuit6, insd de fiecare datd vom scrie
sub deimpdrfit, nu produsul impdr{itorului cu cifra corespunzd-
toare a citului, ci complementul binar al acestui produs (putem

eventual sd nu ;tergem zerourile):

Operatia se scrie in aceeaqi ordine ca gi in notaliiie obiE,nuilg. 1 1r
inmul{im _'0x1l000t1xl0t
De ex'emplu, si numdrul lll00l10l cu tttittOt : 10111
r00 1

x 11r001101 ceea ce corespunde in _ 1 00100 221 I 23
sistemul zecimal Ia: 100000 r
ltoltot 2o7I l s
461 '.L 1 001 01
11 01001 t4
tottto
1xxxx11tr1
1x111tr1X1X111 -100000

11{00x101

+ 11X001X01 109 1110-
11x001101
1110011Otr 4T/p Cb{inem citLrl 100tr 9i restul 1110. In dreapta d5m aceea;i impdr-
x1x0011Otr {ire in scrierea zecimald. Se vede imediat cd sistemul binar este
I 100010001001001 + practic inaplicabil, deoarece scrierea sa este foarte greoaiet).in
schimb insd nu trebuie sd calculdm, sd facem incercdri sau sd
461
observdm ceva.
50249
Primul european care a atras atenfia asupra deosebitei sirn-
"f;i";;;i;;Jicsgzaaeei.llcdpioiiSs(imecbLacasacarelraiieenerirnvre.liredmn,eEatlsua.restezlettieieinrdcnneriInuimeoanrrv-canrohiele{.ri.Aiexirrnreeenaedmarcesiilpu.t'odtearrUuanmrcrigi.ioasrdednnoieamusm,tiiimt.udausue,I;lunrtr;ierbea;csb;dii"!;ni"iiipmiimn;e";uneoalfp!miiriiut"co'"o-arim_ni6di-i"topDi.irnru.ar,ivdlcn";d-tir'l{i'li;,'-anrr;iaalfil-piir.f"*saieirpra;1u",ecacrno1tutrpirmri;iuiil plitS!i a sistemului de numerafie binar gi asupra specificului sdLt
a fost celebrul filozof si,matematician G. W. Leibniz ( 1646-1716).

Se pare insd cd matematicienii chinezi gi-au dat seama de aceasta
cu mult inainte.

y..i{9!t_r:Ze fd_rd grescald o astfcl oe iirmuilir; ir,_ r) In ultimul tirnp sistemul binar gi-a gisit aplica!ii importante ,la rnagi-
mullrrea bnara se realizeazd complet
automat. nile electronice de calcul. (N. Red. E. T.)

42 43

sistemul 'de numera{i'e binar ane apli'ca!ii variate in diverse s-sdi 31, apoi ii dali cartonul cu tabela din fig. 3 ;i cere{i-i ca, f.drd
capitole ale matematicii gi in tehnicd.
despre ele in aceastd carte, destinatd Este foarte ;;.;;; vorninr vd arate tabela, sd spund in ce linii se afld numdrul ; de in-
.datd ce el vd va spune numerele liniilor, ve{i putea sd ghicili
unui cititor"fdrd pregitire
de specialitate. In schimb, vom da citeva 'prort.o,"-in .ir.ti.', i*
eviden{d particularitd{ile acestui sistem. numdrul la care s-a gindit.

tr,aoaterMedaaejoprroiotrapictrereea'otaratdepinlsicpape{ociiairfoticerdssaaisutaecsmedustrfuuigiiaub.niInenazersiss(egtelbmaauztleuanbzcidni a,Dnr,eeaouprdmurnadi_t- ilNel 1 3 5 7 s 13 r5 17 19 tr 23 25 27 29 31

este singurf ) sau sd lipseascd, pe ciid in toaie celelarte sisteme ilrgZ 2 5 6 7 10 14 15 ?E 19 22 23 26 27 30 3l

pndeuamrntuedmrud.elinrnator{i-ueudntesr,nubutuemiecdi,snracdizinaedctiic(gadi_meunecuixteeombuipnerirutvdd{emi ndu.ednfileincaJr-e;;;o-.asicnriiniud.. Ne3 4 5 6 7 1? r3 l4 15 20 21 22 23 28 29 30 3t

I fi nil14 29 30 i1
o 10 12 r3 l4 15 24 25 26 27

instsDnrudueltntiieliseea.,pxarIuci,nsninnt'ucedmcimtieeuozsndcdetiudeetcaliaentagelexcidciedsooesetistiula,eaonardraidetsmgai.dnietudcexselr)eipe.tmaee'crcdipimniedfluidicopn,diarrusmietmcnarpiu,icteealeimrttoxfeeeriscududttinrnen.irnutoa.dunrr"{emdi"ti.aLiedndEt"erruesoiil"tn,neodi,imeiirnslsdieuoilesir-niitlan,trcue.oiuimnuelurunuad":lltl l:5 r6 l7 r6 1g 20 21 22 23 14 25 26 1. 1 28 29 30 3t

Fig. 3

'10.1, corespunzd.tor 5 din sistemul iecimal. D. ;;plu,^", .*. Aceastd tabeld este intocmitd foarte simplu. In prima linie
este egal ,n,11r.q.ur 1ui Iigureazd toate numerele de la 1 pind 1a 31, care au in scriereal
,care avem o runitate de ordinul dl-r...t.u, trinara o unitate drept primd cifrd din dreapta (adicd toate nu-
in
any10vuli09lqa03v1t.e1j^um0n90i.0t:ud0_yl,a{jatiadadtiicel ddpaea5lto6rqur0dal,.diesnieaenlleeisnaisagjiloeisnmdo?euuldaIzmleleaecc,idimnaicaalitllo.egpadtusol,iemrOa EaiiicqalsiltiEunau'prtm,ueld",er*a,,:
omeurneilteatiem-pianrelo).cuIn1 linia a doua tigureaz\, toate numerele care au
al doilea din dreapta. De exemplu, num6rul
trei, care se scrie in sistemul binar ll,Iigweazd atit in linia intii,
cit gi in a doua. deoarece primele sale doud cifre din dreapta sint
Linitdli. In acelagi mod sint alcdtr-rite ,si celelalte linii. In ultima
mdeanlTumomaaetrereeadcceaecrseitteipanrcesecepe-dpceountture-nrxliptu(rpitmeroaag, rgieii"s.iaerlrtf"geeln.oumSmdedtrcriocfdnii)ns:iddedredmdoLurnd gir linie frgureazl toate numerele dcuinprdinrseeapintatrel, 1 pi 31, care au in
ort scrierea" binard adicd numerele
cifra a cincea de

-1l,r2824, 4, B; 16, 32, 64, l2B, 256, 512,.. la 16 pind la 31.
10..
b o / 8 I Si presupr-rnem cd partenerul s-a gindit 1a numdrul 29. El
vede cb acest numdr ligureazd in prima 1inie, in a treiat in a
patra pi in a cincea. Spunindu-vd aceste linii, el vd indicd, fdrd
1ncvndao(q1ouuoiritl^irm9iocalceir:erdcniefaretdr-a-onessippculpotoamiumeltar9iqldelti,!e1sercii.vrlii1ecr,mfpd.0iiaioneae0sD,acndcr:taieeilerielizllss0aedfeugi0xiirnabnreto1eestmuo)apers;rm0cprl_iiesele)rneeatLz.aeuenrsm,ngmnld1(ti"uadr9'lpaautrrudenloocetsgg.a'iistoruenaeoionulpseOmstifeeeigueielscamecctraaleaaddci{rt-eeieeduuegieriitnab..itgmueliieinir"nr-anmar,uieirlema:a.cnpndu,uue.arennlrvi'iesiLiiidti-tattreilee"i,iiiuprlr"noemmrior",ietrcneaa"anee-t-.i,.i sd-si dea seama, cd in scrierea binard numdrul la care s-a gindit
are cite o unitate de ordinele intii, al treilea, a1 patrulea ;i al
cniunmcielereal.e$lt,if4i ,cBa in sistemr-ri binar unitd{ile de aceste ordrne slnt
gi 16 (e1e IigureazA in prima coioanl a tabelei),
Acum este ugor sd reconstltui{i aproape instantaneu numlrul la
care s-a gindit partenerul : trebule numai sd aduna{i in minte
cele citeva numere mici, iar reztllatul va fi 29.
Se mai poate imagina 9i un a1t joc distractiv de efect. Tre-
buie doar sd iinvS{dm a memora repede citeva numere de cite
doud cifre (ca .si cum am re{ine doud numere de telefon, ceea
A,gum nu este greu sd explicdm urmdtorul joc distractiv. Pro- ce nu este greu, cu atit mai mult ct-t cit ele trebuie memorate doait
puneli partenerului sd se citeva minute). Jocul consistl in urmdtoarele: propuneli parte-
gindeascd la un numdr cuprins intre i

44

45

ydednroYn1eille,nslou]srpmdnupaooi:olradzunrm,rrt.iu,,blre,rpatsgia,mtuudtre:acloltxrdrrpuaaeecupccmzsaot.reeeriulenun{i.csaliencrit{lzuatfeeirie.l-lipo.cio{suueeef.in,gsv-j.liauucearteprmielecndoacdaictadnItricarcacaslneteitteipemmdvasdeciiiernmneer{nrairpuimr5irllurerneXeirrrn,.,rs5LsiidAinu,r-itsicurpidmeedi"rrd;iceuesriee;trdpls'elrsitioeeaiii9fnfl;tiiIi.;a{'iroiiciasiraieco"idcirdirJdnrrduul'i'isci-mlin,an,i,une"'udilraminu,it,netdroutrlrrroitiseiine*r.i Dupd cinci minute, cind din memoria tuturor s-a sters dis*
e1:x.1e^mcga^pt,rlle_u.iXetlsleetJead,saeptcdarterratlurtmdr ?md,loCeamerleoamrizaddiirssipi.imroazfpliLliidereeasatcerdusicsi'ipureoliizCeil{o,ieir;:isc"r;uluciuuri*- pozi\ia cruciulifelor, continuali sa {ineli minte girul de numere.
Dupd aceste numere pr-rte{i reconstitui imediat tabela inifiald :
irnoLsrCrisi.oteAnmslrirudnlecrbiaintliieaccr.arrrIrenciulerlnxiiieeelmeppodalrLetcrpl!rf."i .uction"r'rirt"sieiidim,eriaauldrrmccedatlouualnerelnelermgnoduarmlese,crrzeies:- este suficient sd le scrie{i unul sub altul in sistemul de numera{ie
binar, inlocuind unitdlile cu cruciuli{e.
1100,
10110, Aceastd posibilitate de a folosi sistemul de numerafie binar
ca procedeu pentru memorarea tabelelor pitratice ge folosegte la
I I l, cifrare gi la criptografie. Modul cum se realizeazd. aceasta este

I I 001, relatat amdnuntit in cartea ltti fl. 14. flepenrvau, >>)Kueaa Mare-

l0l0 MarlrKa<<, locrexHsAar,,M.-JI., 1946.
c\7rt;er2sucr1u1sgord: in stinga unitd{ilor au fost omise). Aceste numere se
Cititorul va observa cd in toate rationamentele noastre existd
ll00:12, ceva neriguros. Am folosit de ori expresia :
l0ll0:22, citeva ,,orice numdr
(intreg) poate fi scris intr-un sistem de numeralie pozi{ional cu
ttt:07,
orice bazd,". Oare aga sd fie ? Qalionamentele pe care le-am folo-
I l00l:25, sit in capitolul precedent, scriind acelagi numdr in sis.teme cubaze

1010:10. cliferite, aratd cd, aceasta este probabil adevdrat. Problema va ii
tratatd mai profund in cele ce utmeazd, 1a sfirgitul capitolului VI
ctfrnc.uriaareuiernmaguliienrndi,nmranocooei.anrsjldurtreemszmcl.eedacm;rtiiameruutraeal.lnbddstiere.neeamnrnrea.uiainmnmruiezetcenreeeatlsz:atzdecetZecsaa)iupmZsfritoZacdail,e'pcO,n5eoitInd,pivn,e2esnd5rt.tata,ricurn1det,0ama.cnempleimnueeo.nsxrixtaseir,t"iees.amaioatnuas.urciu"nebrtsi_"i--- (p. 60); acolo vom demonstra riguros posibilitatea de a repre-
zenta orice numdr intr-un sistem pozi\ional cu orice bazd..
46
In incheiere, vom face citeva observa{ii. Aga cum in sistemul
de numerafie zecimal putem scrie numere intregi si frac{ionare
(frac{ii zecimale), tot astfel putem introduce fraciii binare, ter-
nare etc. Aceste fraclii au aplica{ii interesante, insd cartea noa-
strd este consacratd numai numerelor intregi .si de aceea nu ne

vom putea ocupa de ele.

Pr-,9

o o ;t7fltJ\:5uole{miii't,crede.r)"imev.eliaeIzlnrocd-carseaibf;rieeirlxg1eeai.tgmr,Eripelnenlxuuuis,msmetnadn.uiilrmnldumudolmeriiusnedlcrs.ie6vun.izscauoairrmei(ieapsseaeaturflebermulucspaduirinirv1dmtimznduoeuelrtm.i md(eetur,cerlileZte,dp2Sor,oitp3idr,i6ives)i--.,
o

Asadar, chiar cea mai superficiard privir'" d" anrumblu asupra
opera{iilor numere natr,rrale pr-rne doJd-p;"bl;il;,
aritmetice cu

CAPITOLUL VI '''QrmdpnndgaI1gmourcubiu'peaf,irceerpimimagecteesm1eorrutucgdedee5mratlulnratr[lyiarcEilitainelershen/ltifcameepeiiotcddntsraaamuiiritredermniflrlrrtrienmea-ucictrdpielnliiinedepitasiovlorsniariamimeravatlzliulelleriscioapzbd,atsirirlriisitied-ebanl)lpaima.m.t..uirautzlPirmieaAmdatlarelornsoei.irn.tderrliveLroirde.nea9i"rrtleAe-pmo)jiircdamdrredei,citeitnzpbneriavdeotpremorroeillizeeaaveersbraiirrr,pbdlpeitnetelrueslelremlee'inirlirtacpidcudc?pr(haocilnampenLcenrdsroreirsieseitmlmniieior-ie?sasresintarrtidcpnslf6obzscteiudiriiLsanslni-.eratlpJhoielnsau-ver*it.i"a{]or2mgoira"nUarpo.doiuo'mlsnalaon.t"inteit,osli'"r-osiild'itlJenp-iiijioaetiimuiioae"d.c"i,drna-r"idinpdtuin,irirrnlertlorrrrrroeesieaai"nl-.i-

MASURA COMUNA

drtnarea si irrmLrltirea -- cele doud ooeratii directe
eM- leasieseibnxuatccuintr,dtoddtadecedrarrusmnindattopadoraestaiebiplderoou'pidnricnlnauluren-ei"mrre6ponriantatturnertagdjie.:
:eeSo:gexli.lftJulsl,."ratajgfsuiallut^lndmscreunlpeua-rspermuartnermrJrizbrlaarii..tnnralNlaoaarrdtueraorg,ia_lnrlip-rille0uiuetnltndegueinmanmarlL-cigccrmrnuaaeaazsrsnuipna-liunBaloultetporumatserdlaareegaulafrdeisulilaginio-taaeruul ni)uc(ntdunnre.utpn'o^meruto"xdJmae'rLsmrltnarTspuJaenlutlta,suttconnuraa_uu.-.l Pentru a ne familiariza cu
relor, trebuie sd ne reamintim unere probreme are teoriei nume-
Sprotr,rnddm-citevr-a.tinitii
,si ia
l'sraarsgunaIiIlamu.tll6euluSu.ocisidclrtdeauer2itnmas;nccceeuLie1trmuepe5fbuelxseenmpisstsmdrdettieeamcpdmudddeddieriivuavfpvniir,zirratmziiioazintibruldeinbntiralou,cdrliampriilrn.hr-srerdduipnlct-rmeuousu.na5adlrurDesrueeiumuaatalslccu.dsfeciopcFdareroim.aiamxnlaApuiersblslpudstt,difltaeeae;culcr,eamntli6recbintuiemuedirt_pemstirerpntteiidchunlrrat,rr-nU.nirm-*.1adaNtriurtiultrr.uimaluprirodt.&u"_n.,
reu'sim totdeauna sd gdsini un numdr natural egal cu citr_rl a
doud numere naturale'-(de exempJu nu existd un ir-rmdr
nitural
egal cu 5: B). Intre scddere si rmpdrtire existr insr o deosebire
esenlialf . Asllel, pulem alla loarte'siniplrr dacd un numdr natural
se.poate scadea saLl nll din altul. Existd un ,,criteriu al scdderii",
unic si universal numdrul 6 este mai mare clecit numdrul a, a: bn,
: dacd
sart.egal cu el., nu pulcm si-l
sccuidae-mbp. eD6imdpinotari,vda,dic1Aa nu prrlem unde rz este un numlr natural.
gasl un numdr natural egal impirtire vntlaeoetomermIaenmoarpateie{ra.iodi.obarinianiacatdimadaraeiisvtntmueitzepneilr\botiaairicl1iddcro,leert,piivlpeaotercrneeatbsurreuuremniecllaaeas.pviiDn_rooreebmcgclaieuipmenrsitget-toeielrotmn"rpii"opbauertrtre-"mnnpaifetniicioentnui.tii*"il-ouarra;,t*r".ie,u-*i

ad.esegfi e.ste_ greu sa af15m dacd numdrul b se imparte iau nu
prin b (adicd dacd alb este sau nu un numdr naturil;.
cls2p:ixacr,oedr.is3i.eldn,Mi,bepai4aian.lrli,eiustamao,duidag,nunigtscelnustdi,ttmirnrnrdia-undgri{mnruniu1areuolourmd1reeiiacislivettertruie1/zmn,vo/lmuo-arSmlru:i:,r5fadmtiscrcim.eidnncszaaittdaoticl,u:tliecoe{rdoasrcietmiiltei'pp'(nbL1coiuc.irucsem;Eais;beel-xtdixairli,.iecs.'ie)u;tbE.;rpo#il-lvnini.rau.e}^tmiarlicus"neiiii/rri,ienLtls'-)-lc,Li-"a^nripiz"urpuetdm"attet'aaoermt_u"rr,i
Teorema 1- Dacri a este di'izibit prin b, iar b,larinclul sdtt,

"este^dioizibil prin c, atunci a este cttutzibtt prin c.
'dat,uritlTmzetebo,tllidrcdep)mrq[natmr2-,uaDni amncduu,mlstuodm,rr arNtuaml;gi1ertbeorilecidstree(ramedgiZcandtidis, uctmnuaazsfeaarruodcsdtiafeertrueennsutlael

.48 4 - Despre numere $i studiut numerelor

|Kl

dfginspurermcdarteermnuenptuima nimic, sint multipti ai lui N, atunci ;i acest care nu este nul, deoarece 0:a:0, iar zero se consideri numdr
fi diuizibit prin N.
Teorema 3. Dacd produsul a intreg. Bazindu-ne pe aceasta, obipnr-rim sd spunem cd zero este
doud numere tntregi a si b se muitipiul oricdrui numdr.
imparte printr-un numdr m, care nu are diuizori cdmun'i cu o
(binein{eles, tn afard de unitate), atunci b este d.ioizibiL prin m.. Scddere.q. repetatd este. aplicabild gi atunci cind deimpdr{itul

elprrsei_tbenPucr9ieilm,asieradlecr dsgde,oxuliamdtreprteibanourdrteiduemlpsesdrlsiunifn,ie3ts.aeubTnismoomtpl'uaautsrlcttteiflpaeclrlue,u.dd3Dae,acicdBnas.3e3Aa-6cmxee-rss-gtrteei+cdteBIiovisriz:ei0imb3,ei6l nu este multiplu al impdrlitorului. In acestcaz, ultima scddere nu
trebuie demonstrate, nu pentru a convingc pe cineva de adevdrul
1or, ci pentru a ardla cuni sint legate de dite^propozi\ii mai simple- ne va da zero, ci un numdr mai mic decit impdr{itorul, care se
Cititorul le va
demonstra fdrd <lificultate. fn ieea'ce privestL a nurnegte r e s t. De exemplu, sd impdr{im l7 prin-S, folosind metoda
lreia teoremS, ea se demonstreazd mai greu, cu toatd simpliiatea
ei aparentS. Vom reveni asllpra acestei"teoreme la p. 54. scdderii succesive. Scdzind pe 5 din lZ prima datd ob{inem 12;

la a doua scddere ob{inem 7, la a treia 2. Mai departe nu putem
scddea. Asadar, citul impir{irii 1ui 17 prin 5 va fi egal cu numdrr_r1

de scdderi consecutive, aclicd 3, iar festul va fi nirmarul 2.
Scdderea consecutivd a numdrului 6 din numdrul a, in care

oblinem citttl n gi restul r, se poate scrie compact astfel :

Inainte de a trece mai departe, sd ne ocupdm de impdr{irea cu *.b;:b:r (0<r<b)
de n ori
.' sdoorqecoesdsuatcddgd.dei.uvDdatni.eza^0arSic,bj.rrddeidl.lieliitrnipapnedmteepta2ua,el0ttlteariir;est.erildaea,Dueec5pcso,auetmdex_uioerpfpndmirrdimehpssaulduacm,-pas"dap'dcalrehrdandui"netgozrtrdrlenetemr,rago?vnai(opmiuion,n.mpaaistd*edotru6rjifuid-1ilpiii,ucnz0;olee;inpp'riloS.ir'rio"di,lnabaeld-erSdanum,utipvdeemdolpoecmraa-i
rcseoinlnetsenncaeutgtuiavraetivie;e,)a.ccoAenapssaitddaearirni,nsdien,aamascntefdeslt,ccdtoaaizmiespindnurtfmipreeoraseiblleuileiin2ptr0aetgpiuiricnsacrd5edendrdui reducerea termenilor asemenea dd a-bn:r sall a-r:bn, ceea
ccterinr,-e[imv\ainpienirr1lniarpeaao'srptluaunintead:pedrsiantcedbu,drdinmifenltruoemanlrdaeraual -aarssecvzdaadreieimdarivetiseztiurbmlilrednrpeilrzoiunrlliabn.t
citul 4. Persoanele care au avut ocazia sd' lucreze cu s'ciotul sau
cu aritmometrul, vor socoti aceste consideralii asupra implrlirii formLrlS :
cit se poate de firegti. Nu este greu de observat cd numlrul' de
a:bn*r (0(r(6).

Aceasta este formula fundamentald de definilie a impdrlirii cr-r
rest. Trebuie subliniat faptul cd r este totdeauna mai mic decit b.
Dacd r este nul, impbr{irea se efectueazd exacl. Pentru a nu eli-
m(ri:n0a)a, cleesgt incadzu,-1vodme introduce ?n formulS gi semnr,rl
scdderi consecutive este egal cu acel numdr care, inmullit cu semnul inegalitdtii. Vom avea de egalitate
impdr{itorul (cu scdzdtorul repetat) va da deimpirlitul (numdrul ast{el :

ini{ia I ) .r a:bn*r (0--(r(b).

Deoarece in capitolul de fa{b gi in cele imediat urmdtoare vorn Din ra{ionamente reiese clar cd numerele n gi r sint deter-
nceaougicnarisnlipidarreo:nr0pa1,riaeppltodedatn{utitlerreiufdlirae-irmfin.lu7pTmd'erprlCrertluiempnrnuiinalctiruzireunarndloe,.nisIruniemnbaududmri,eedvdralaurr,tldcztfaieuitnroccd,eieipAnnouicanoitrt'euricrnnfei
minate in hod unic prin nguimber(eale>ba);,iabtu. nCcui alte cuvinte, dacd
sint date
sint unic doud numere c citul n ;i restul r

determinate; restul este nenegativ (adicd pozitiv sau
nul) ;i intotdeauna mai mic decit impdrlitorul.
numdr ?nmul{it cu zero va da zero gi nu a. Dacd vom incerca insd Sd pdrdsim pentru pu{in timp manualele de aritmeticd mo-
orice derne gi sd vedem cltrn era aboidatd problema divizibilitdtii in
sd impdriim^.pe.zero prin zero, vom putea Irra drept cit
numdr, dat fiind cd orice numdr inmullit cLl zero dd zerc. Din
aceasld cauzA, este strict interzis in matemalicl sd impdriim prin urmd cu peste 2 000 de ani de cdtre Eirclicl, unul dintre cei' rnai
mari matematicieni greci. In opera sa ,,Elemente", compusa clin
ze-ro. Dirnpotrivd, numdrul zero poate fi imparlit prin drice numdr sistematizat cunostin}ele de rnate-
'(diferite de zero),.citul fiind totdeauna zefo. Clia vorbim despre 13 ,,cdr{i", el a'sintetizat ;i
maticd ale timpului. ,,Elementele" lui Euciid sint'atit de bine
impdrf irea. numerelor intregi, insd nu neapdrat naturale, ajungern elabora{e, incit pind acum vreo 100 de ani in scolile din Anglia,
la concluzia cd. zero se imparte fdrd rest prin orice numdi iniieg
geometria se studia direct clr-rpd cartea lr_ri Euclid, folositd- ca

50 5l

isimcomenntcllnutearuirrucdepnisemi.dguae5aiiaz.tidolrldeo.Pcesaurriatoarpefiicarldraieaftclordmls{odeeinionerardirdsntili,maeaccpc,aleude,erEanl,snuclteueuidiaalmrmermiretieeepaccinrorloeidtoremlfmirbooelfelruilaeiol"nemrispneesireamtiordnae^dpit'spvgdeoaeciiozr.poanfuotinrItiedrinrlstouamtac,rrso,caeeearmtgaaioacmutbodlein{pzeeineigtnlaaeecteaeeogsdc,atm,;eibfE,eilueuclLemdtlpram",ri-aesn-o,e*oiiiub,frtuimnlt"ccieaaunmdelresrrsaeeiu"r"i cmttdpsriundraecdoemuunndnaucmez]roirndtoreugh.d-seeogrmi iennctee1inpi!rieac1ebcl.e.nt, ,eL va fi

dtvlzor comun aludi ouEdunculmidelr)e.-si--a-rp-d'-strat de altfel numele csldaaaorlttuuanSrrdceaueessapsetin.sedgltItdmirtnleaneprtcanuumsctlreucitena,iseridtgneencisosaiddcauziiarcosecngdiceouae.ssntip^dvaitedu.luaatDaeanllmeuiuiii-ieImgitnceidxudacisarsiauirtcdeuiol.niofdrioAcnaumisdtidetsdrf.euesvsruSlodtremedpcs6opctoeomocbmacetuiutunlnenn'paeodirnes.ci-ctciietmucedtepblucoilrardtrr
de sur.i$i icionmaurnitemaetidcaoundu. mnuemreelorer ,inatdreicgai
alg^oritmul cuprind6 de un numdr intreg de ori iapnuutfeienmcuaip'rneuu-ncme1dipnrrtor".b-ul"elium.,ar,e?mi..I"-i

spprgddomcceltleoeordginsrrianitmatnumaceotrtvSttld.ru,uerdreacmeeiedepnm,aniusrralrfcznitc.iitd.pnuenuumprapcdldLl.mdue,l^aoiiuAeD|asnser1srideulB-c.ep_liiDrbnogrdastprpealdistmelrcl,o_d.BAeesssmacece.Dc.lBrnlcstloneagadratevmueecmccsdefgaldtleiiuoueixmncdlfo"pnrnardiocce,mitrrdcsAenrDisect,trpalBrdlveoeadaucarsigmeed,tueltdguacredvauuA4lidceuneea1nuCmBltn.ocu,cplu8r.D,ruiimrnrampi+DiepnmdeDpdnsoedlidsne:atiuzrCeunoineeBmi3ercDuiixan.fgmnDdduie,digarcnnmii.Aslnoc.oid'ermrScBcp4fireigideiulnier.u[us.mcpi"a.gnnA,tD4pipLp'mednstD.s3ru,.niadaLeeieB3ntrneDsnenBzO.gce"tai,railouiueumgrcunivisrrnusgna-lmiapiciams-.e,uioaaa4"JDenntnnr*r,aslti,e-eCm5un1rdit'sbr,J,,,rrde",,ce.eu-.snD'DcD,nc.iictulcurB3reitirsCtr"ruBmnBBreaasa"-l, cele ddoeusdengummeenrtee,dlaalensurmseeriemlepa-ir'ttraep[irinexerisfdtrdd rest. spre'cteosir-

bire intodduiutru

minndnaa1Luuruc91onemmmmtdcIarenedeaesfrrrrtieededmrgie,nldemgdvdstaralorsdczeetutt"oserg;rpus1ardnrea,rldod,sceiblatonooeciioremboriporcmdmuciaeonmairu.ntmsdnindicauuodasunfnmru:llluatidicr.enmdrdre,uridmimipnorptrduuudmormslirbtnuuuu2lderlnrrci:moduaciarannormaeutmdrg,beilsudvoecgenisalr.zee.irior.eImDisnriDisi,pblcn,odesateer,aredctplccexuiuevfoeedpii'mazlmrir,mindiubnpssnidierla5'ie,eeip',sa6I,pur,i,dnrnsddcieeanlioooruuuu2i2erddnd0r,
rElafDeleuuaplmelccipS-edl9u.ireldnecs2.:eienndgl,u,ta1cmDm_tpieaa3ercia5imcgdc.emt_egIdleasamitntcirenaeatertinredde_uliemmvdmefiaozielnreuoera.iderlinT.iasncuoiuomnmntmmtuadaeumpsrrr'ter'pfeeie_arrilien,mnddllvoroeicoervuargpdiirnizefriniiotmnsupriermreenigmteaicrnceleeclotilrvie"ncemizie.tiriel"bueDmlieeln"ee',a-gleeidaax;cmaenie.mutdiusdcmptoeludLseardeei.-,
se c^rpnnde tie rrn nflrlrmesltreinmldrcsrg_rrdaecoomri usnidina,4uBces(dioe, 13 ori) si

in CD (de 4 ori). segmente.

0/ D2 03

tt C, 8.',8."' 8.," oD Df_g scade din cel mai mare gi restui nu masoire ex?ct pe cel preCedent
pind c?nd el nu este cgal cu unitatea, atunci
Misura comund prime inlrc ele". numerele'date sint

Fig. 4 csmd,eaeal.lcn.linAuusrglmtdp,rgameu.gst nt,fcernmeamaglelegmmtoroeedarriiaoitrmtrmperep,asrnrrtlieetmhr-ufdreoiiacEvianriuzlletccorleuirbdlouc.eglolemac,leucilnnui .incDmeoenaaiiiranamcutedlae.rateEo, tdlAoniudiiupazatoddcrdcu"unmoim-r-maism'a"di

N.u intotdeauna aflarea mdsurii comllne se clesfdgoard atit de
rdpepuendenuSmi 1dmr ipnllure.gSed_epooraiteininsetigmmpelantuclamreasi tmrrlics. iInnuacscest
cuprirrcli
ca7, vorn
solutDvnlelgneu(.al upinnc.sminecguimllue.rae,nsteagnlmozueenc(eta-lreleads,to.ailDel aaocrdseusuttdn),lueclaa,dreianlvtrame tirrieelesbtauu,ir.i.lpe.u) rsstuaectcveian- Sd exprimlm in limbajul actual al matematicii si sd analizdm
cu mai multd ateniie aceasti formulare foarte concisd a lui Euclid.
Fie date doui numere naturale a si b, dintre care a este mai
r) Se numegte algoritm o afldm cel mai mare divizor comun al
mare decit b ; trebuie sd
automat o anumitd problemi de reguld care si rezolvim in rnod acestor numere.. Dupa Euclid ar urma sd-l scddem pe cel mai
matematici, ne permite mic din cel mai mare pind cind vom ob{irre un rest ; in loc sd
un anuniit calcul etc.
si eiectuim

52 53

proceddm astfel, vom imperti pe a prin b; vom ob{ine un cit m1 :dctiinvti{zmIniib2raiylr9.pm.iaAauf{ltniiurencaaucl.i,ldauiocimielaeapasdptdrrrleiinntsedtobrip2ene.meLbdda,d'pasrrdcieensraetrsuv,tleau1n1osim,e.pi rlrgeaindfesarcidnauarEenliuzbaaclnlicdudaozceiuilsneltctaetli
,si un rest f 1, ce€zl ce se va putea scfie:

a:bmr*rt (0.-(r1(0).

Restul 11 este mai mic decit b. Se poate intimpla ca b sd fie,divi- vIoorrmbeu;ltae^idmepsdprreliriai pcliucarreesat).copnrsinecrlrrrlmivdarea, scdderii repetale (dupd
zibil prin acest rest. Atunci rnembrul al doilea al egalitd{ii noastre, ob{inem aoua egaiitaii :
ca sumd a doud numere divizibile prin.r1, va fi de asemenea divi-
zibil prin 11 ; deci gi numdrul a, egal cu aceastd sumd, va fi divi- a:mft*rr (01r1{b),

zPiebidl eparilntdrrp.aRrtees, tsucl r1ii1nvdaefgiadliitvaitzeoaruslucbofmorlmlnaatlrn:aum-bermelor,r a si b. b: m2t1{,r2 (0{r21r1) .

cI orice divizor al numerelor a gi b va fi divizor vedem Noui rest 12va fi mai mic decit noul impdrlitor, adicd decit primul
prin urmare, acest divizor nu
va fi mai mare al numdrului 11 ; rest rr. Apadar, ob{inem un rezultat imiloriant : rzlrt.
decit /'1, c€ea ce
inseamnd cI 11 va fi cel mai mare divizor comun al numerelor Vom- aplica aceastl metodd succesiv, aga cum ne sfdtuieste
a si b. Euclid. Impdr{im pe ry prin r2. Obfinem un noll cit ms;i un nou
olubiliDn1e6e.mlencxsieetuianmlpIlnud(,mfc.dierB:al)v:a2.s4fiirceFesiltubml:aB1i6(mr.1aIr:meBp)d.divIrin{zisondrdcBpoeemsut2en4daipvl irnziunomr1ea6-l, .rest r3, neapdrat mai mic decit 12:

r-3-\/r-2.

relor 16 .si 24.7n adevdr, sd verificdm. IatI toli divizorii nume- Se pune intrebarea : se va termina vreodatd acest sir de ooeraiii
relor 16 pi 24: succesive sar este posibild repetarea lor infinitd, cum se in'timpia
uneori la aflarea mdsurii comllne a doud segmente ? Se obseivd
Divizorii lui 16 124816 ugor cd, in acest caz, nu este posibill o repeiare infinitd a girului
Divizorii lui 24 t23481224
,de opera{ii.
Divizorii comuni ai 1248
numerelor 16 qi 24 In adevdr, am vdiut cd primul rest 11 este mai mic decit b.
Al doilea rest rz este mai mic decit 11 gi aga mai departe :

Cel mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor 16 ,si 24 blrl>.r2>-7slrn. . .

este nurndrul B, pe care l-am ob{inut inainte. 'Numerele b, ry, 12, 13,... sint intregi si pozitive; fiecare dintre ele
Se poate intimpla insd ca ce1 mai mic dintre numerele daie & este cel putin cu o unitate mai mic decit cel precedent, astfel cd
'ele sint toate distincte. Nu existd insd prea multe numere intregi
sd nu se impartd prin 11. Inainte de a str,rdia acest caz, atragenr
atenfia qslrpra unui fapt important. Sh admitem cd la impdr{irea ",pi pozitive, distincte, mai mici decit b: numdrul lor este 6-,[.
Prin urrnare, mai devreme s4u mai tirziu, impdr{irile cu
prin b, numdrul a dd restul rr. Am vAzut cd aceasta se scrie : nL1 va mai rest se
lor termina si r-rltima impdrlire avea rest.
a:bn*rt (0{r1{b). Sd notdm cu n numZlul de impdr{iri consecutive cu rest.

Orice divizor al numerelor a li b va fi divizor al iui 11 sau, .Avem:

cu alte cuvinte, orice divizor comun al perechii de numere a .si b prima impdr{ire : G:bmt+rr (0.1r61b);

va fi totodatd un divizor a1 perechii b li brrv;apfriintoutromdaartde, cel mai a dotta impdrfire: b:rtmzlrz (0<1,r2(.ry);
mare divizor ce1 mai
comun al numerelor a gi a Ireia impdrlire : t1:rrzntyr" (0(.rs(rz);
mare divizor comun al numerelor b ;i 11. Qezultd o teoremd im-
portantd referitoare 1a aceasta. a n-a impdrtire : f n-z: fn-lnn*f n (0(rn(rn-l).
Urmltoarea impir{ire, a (n* 1)-a, se va efectua neapdral IArd
T e o r e m d. Cel mai. mare diuizor comun a doLtd ntLmere este
egal ctt cel mai mare dioizor comun al numdrului mai mic Si al rest :
rdstului obtinut ln impdr{irea celui mai mare d.intre numerele'date
prin cel mai mic. a (n* 1 )-a impdr{ire : fn-1: f 7itfl17y1 .

54 55

Acum vom face uz de teorema referitoare la, cel mai mare La aflarea celui mai mare divizor comLln a doul numere ne"
intereseazd numai relstufile ob{inute din diversele opera{ii de im-
divizor comun (p.54). Din prima egalitate se vede cI cel mar pdrlire consecutive. Citurile nu ne intereseazd. De aceea,'resturile
din exemplul de mai sus au fost tipdrite cu caractere grase. In
mare divizor comun al numerelor a gi b este egal cu cel mai mare unele probleme insd sint importante citurile succesive; de aceste,
divizor comun a1 numerelor b gi 11. 1ns5, in-virtutea celei de-a
doua egalitdli, acest divizor este egal cu ce1 mai mare divizor probleme nu ne vom ocupa aici 1).
comun al numerelor 11 gi rs. Asadar, cel mai mare divizor comlln
Sd revenim la coloana de egalit5{i scrise Ia aflarea celui mai.
a[ numerelor a ;i & este egal cu cel mai mare divizor comun a1
marc divizor comun:
numerelor r1 gi 12. Considerind a treia egalitate, ne convingern
a :bmt*rt;
cI ultimr-rl este egal cu ce1 mai mare divizor comun al nume- b : rtmzl rz;

relot rz.si re. Inaintind succesiv pini 1a egalitatea a n-a, ajungerru f 1:r2ffis!is;

la conclu,zia cd cel mai mare divizor comun al numerclor a ;i b f n-3 : f n-2ff|n-t* I n-t ,

este egal cu cel mai mare divizor comun al numerelor rn_t Fi rn* ln-2 : fn-iflrlf n.
insd rn-rsc imparte ldrd rest prin rn. Prin urmare, rnesle cei mai
in care a si & sint cele doud numere date (a este mai mare decit &)',
nrare divizor comun a1 numereloi rr_t gi rn, deci cel mai mare t?'t1, trt2,... sint citurile succesive, iat r1, 12,... resturile succesive-

divizor comun al numerelor o gi b. In consecinld, aigoritmul lui Transcriem ,,pe dos" aceastd coloand, adicd incepind cu ultima
Euclid ne duce efectiv la rezultatul cdutat.
egalitate pi rezolvdm in raport cu termenul din extrema dreaptd ;
,\lodrri in care se scriu opera{iile cind se calculeazd. practic.
cel rnai mare divizor comun poate fi ilustrat prin urmdtorul exem- obtinem:
plu. Sd afldm cel mai mare divizor comun al numerelor a:729
f n :fn-z-fn-tlThti (1)
si b:522.
Incepem opera{ia mai aproape de marginea dtn dreapta a

hirtiei:

Q: 7291522 -b f n-t : f n-3-f n-ZlTln-t i (2)

522 1 - r1, fg:f 1-f 2t'rQ i (n-2)
f2:b-r1m2; (n-t)
522w

414 2 .. :rz \:a-bm1. (n)

2uz ll08 In dreapta este indicat numdrul de ordine al lf)iecelxrepiraesdiaintlruei ega-
egalitatea (
108 1 litati. SA introducem acum in rn-t
din egalitatea (2); obfinem:
108 l-T0 :fn

99 I :f 4_ fn: f n-z-(fn-s*fn-2tTln-t) m,

ee l-T sau

r":(1 * mn-tmn) fn_2-fflnf n_3.

99 11 Ultimul rest rn, care este cel mai mare divizor comun al nume-
ln acest exemplu, impdr{irea trebuie efectuatd de n+ 1-5 ori- relor a si b, se exprimd prin numerele ro-z gi rr,-s, coeficienlii
,Ai patrulea rest (14:9) este tocmai cel mai mare divizor comun
r) Citurile succesive sint necesare, de exemplu, la dezvoltarea unui numir
al numerelor 72.9 si 522. dat in fraclie continui, unde se aplicd tot algoritmul ,lui Euclid.

56 57

|ui rn-z$i.rn_edin aceastd expresie fiind numere tg:."n' (Pozitive Cei doi termeni din membrul al doilea se divid prin m; primul
notdm ace'ste numere pentru cd ab este divizibil prin m (conform ipotezei), iar al doi-
sau negative). Sa "u a, gi
Avem: lea, deoarece con{ine explicit factorul m. Prin urmare, si membrul

/r: 1 *mn-tfitni intii, adicd numirul 6 este divizibll prin m.
In felul acesta am oblinut dem.onstra{ia celei de-a treia teo-
Bt: -lllo-
reme considerate 1a inceputul acestui capitol (p. 50).
Cu aceste notalii, ultima egalitate sei va scrie :
cniutmvAaemrdai{fmieeraiitinAina-tilltnulilat (opco.imn3v4pe)ir.rtliAirreceaolcuoo,nnusspiernceuutdmivedoirs-edbinirdeter-dunenatauslrigdso.teriinmtmtrudue-l
f n: A{n-z-l B {n-s
lr-ri Euclid, to{i divizorii erau identici. Sd insistlm ceva mai amd-
'^c]u_lepcuenmc,taec,uimnsdlacietigroarlirtral toe.apd(a3ie) (ea nu a fost scrisd, ci inlocr,ritd nunlit asupra acestei implr{iri.

egalitate exprimd ieconstitui .,
p.e rn__2in frrnclie O* ,n_, ,i ",,;_rir".iSta'rjf.j'iatiJir"inaas-toa Fie date
in expresia lui ro si reducind termenii puonalneufmi ddratain9i o bazd. m a unui sistem de numera{ie.
aJ*-bn"r, irUli,i__ , Numdrul a orice alt sistem de numeralie, scris cu

ro: Arrr_sl Bzfo_q, cifre romane sau intr-un ait mod. Se pune problema principiald:
poate fi oare numdrul a scris in sistemul pozi\ional cubaza m?
unde 42 soip8e2rasfiiantdiearndgoinn,uamJeurneseinmtr^ieng,i i(lipsotzii'lii;v;e-l;sia;u,"n-"e'gative). Am vAzut cum decurge practic aceasta
Repetind ; toate exemplele intilnite
in capitolele IV 9i V par sd confirme aceastd posibiiitate. Mai

r":Aa+Bb. (l) rdmine sd studiem problema din punct de vedere teoretic, adicd

sd demonstrdm teorema sub forma ei generald.

iAcnocteere{aigcstiiedanrr{e.iiblaAitlriae9riedBdolci?ien.ildqm,naiunimmeiuarenrecilhidetievdgizeio.itncsoam;iunnrrrmnearcdloeudin. nucmauezrAe, Agadar, se cere ca numdrul o sd fie scris in sistemul cubaza.m.

Impdr{im pe a prin nt. Dupd cum aceasta revine la deter-
minarea in mod unic a citului n1 gi'srteimst,ului 11 :

F-,l oEvxopmresmiaai(^inI)tiiolnaicadeurneproetlaftoeaortrei important in teoria'umereror a:ffinr*f r.
in'cartea
Iatd o priml aplicafie a ei. noastrd.

?9prr9]n:tS:t|"md"-d?fclto#\rn,n_stipbde,lltrgpddrmtfnrdrmtor._acrbienauplmunteeurmemdgsrpuL$Jl.nui e?i dd: eapsirpaimrecerdriivnuitnzriebnirreinltear.ateSiaindlirpr-"rreig_D n1 aratd, cite grupe de m unitdli (cite unitdli de ordinul al doiiea)
s?nt con{inute in numbrul a. 11 dd, numdrul de unitdli libere de
primul ordin. Dacd numdrul nl este mai mic decit baza sistemu-
h,ri de numera{ic, problema este rezolvatd : numdrul nostru este
foi'mat din n1 unitdfi de ordinul al doilea 9i din 11 uniti{i de
lrlnlerrrs.ceag,l,ae(ppxlpoiczrdrlmmttvaeptrdsoapdureienfloearglemaatuivlcaee)r(.uI)iV,mocmaoieamfivcaeieraen: ldirivAiz9oir.Bcofiminudnnaumdoeurde ordinul intii 9i se scrie :
n{tr)

l: Aa + Bm. Dacd insd nr este mai mare decit m, repetdm aceeagi operafie:

rn fiind in cazul nostru ega.l cu unitatea, deoarece a si m sint impdrfim pe nl prin m gi oblinem citr-rl n2 9i restul rz. Citul repre-
zintd numdrul de unitdli de ordinul al treilea, iar restul, numdrul
prime intre ele. de unitdfi de ordinul al doilea. Dacd n2 este mai mic decit m,

Inmul{ind ambii membri ai egalitdtii cu b, rezultd r) Aici, ca gi in capitolui IV (v. p. 34), arr nu insearnni produsu'l nume-
relor n1 gi 11, ci doar doui cifre scrise aldturi, cum sint cifrele 3 9i 5 in
b: Aab * Bmb.
numdrirl 35.

58

59

problema este rezolvatd, in sensul cd numdrul o se scrie in siste*
mul cu baza m astfel r

fl2f2f 1 X*+y*:Z

(adicd nzm2*rzm*r1). In cazul cind n2 este mai mare d,ecit m,
repcidm implr{irea.

Insd numdrul a este un nurndr dat, perfect determinat. Dacd CAPITOLUL VII

isgvdnioeivcrmecitoitpmclrpo,'icnunstsaeimdddreje,cf.rioiealcpmumeg,riaurafuin\fiilm2aa,dasefnrfeeuipimv,ud.atej.et.cir,neiitcxaaahptl.ueeoAnina'usce'apimndvitdaov(irmosr,-dmrdl-gu,iuodi pntsid1noi ittqnnrde"emimgiop'cp'mirludi"a,prtqlmrii")iina,)"sianuamsccttcraefee.sr*-elt ECUATIILE PE CARE LE STUDIAZA ARITMETICA

unicd, bine determinatd, a numdrului a in sistemul pozi{io.ial cr,l

baza m. Este tocmai ceea ce voiam sd clemonstrdm.

itlul acestui capitol poate trezi nedumeriri : in ade-

vdr, ecua{iile se studiazd in algebrilare pot fi
atunci ecualiile ce intrd ?n tp'ipreo.pcu"ipiibLrilea"areitcmueat{iiciii*
Se constatl cd existd un ?

ecu,afrj mai exact un punct de vedere deosebit asllpra unor
meticd d.ec9itardye, prin esenld sa, :este mult mai aproape
algebrd. Despre ce fel de ecuafii eite de arit-
Si ludm urmdtoarea problemd simpld.
vorba ?

Intr-un artel era un anumit numdr de muncitori calificati si
necaiificafi.. Fielare muncitor fcieacliafirceatmaunp'criitmoritnpbceanltirfiuca-tr,inccitae

efectuatd cite 210 ruble, iar
150 rr-rble. Tn total, s-au incasat 1740 ruble. Citi lucrdtori caiifi-
cati avea artelul pi ci{i necalificali ?

Ecuafia acestei probleme este foarte ugor de alcA|uit: dacd
numdrul muncitorilor calificali este x, iar al celor necaiifica\i g,
atunci primii au cigtigat 2l0x rtble, iar ceilalfi 150y rub1e. Suma
acestor cantitlli trebuie sd fie egald cu ciptigul total, ceea ce dd
imediat ecuafia
2l0x*150a:1740

sau, dupd simplificarea cu 30:

7x*5A:58

Aici intervine insl o dificultate: nu dispunem de nici un fel de
4ate pentru intocmirea celei de-a doua ecua{ii. In astfel de pro-
bleme, care
se gdsesc in numlr foarte mare in diferite culegeri,
se dd intotdeauna cite o condilie suplimentard.: fie numdrul total

6I

ldTaI:Troleu_mlDea_uucgrneaebccttruiit,efaonizg{ruorialetlov.fraip,,It.i.dfnfir,ieeeeezcraxoarlertlpv'amcoa{eipravtlfuradrrrilrlraddincsiodndestimir:itecrlLnunrdlunttaomulred. arisuviiries*mdleiemrmlua;uit;ensrci.ms;itr'oi;pp;rll;iuim;coacnr"ilfa"i"cruear""l*i Condi{ia suplimentard, ca solu{ia sd fie in numere in-

7x+5A:58. tregi ii po zitiv e, ne-a {inut loc de a doua ecuafie.

pl.r.,ua^na?dr_eei]u,opnrrlnnnl9runtmfr]taddlreeydveed.desetoerleurr{i?iriJi.ngao_tr,ligcepaberruecii,anpreuromib1dlercmaxra,iuearsdrblmeilrcaclrat,iridloi :ic,.eo,cLreu,tsaa-- Problema studiatd mai sus a dus la o ecuafie cu doud necll-
noscute. Sint insd posibile gi probleme in care o singurd ecualie
Y: "8= ' leagl mai mult decit doud necunoscute sau probleme care con-

psianiodntaeg,Atvurecierredf,gai ncseatusdgtmeia.gsrloorrpruloiucel'u{dzi)ee.izteaimvroup,nro(acibrnittleoelcrtmLiaredzifiineinnxufdtireenfiomierrem,puoacnaat attdee?igniionnrslitued.cetrsrdenaetbtoicusuiifieanaocsisendc.turfIt-ineeo duc la sisteme cL1 un numdr de ecua{ii mai mic decit cel al
|nllo.idaanestuceaacAurnea!ngd:uspoa0eedmsdat,co.aizulrddpt,aeandsrsdqtoieniomnluustaiainoiineflpinlunlmeedfiitrceieaeluetrctnee.h"ornSimlsnuecali,eunldtq.tuaedArtsvdaceoaleesslruat.oieslrSitsiifaerpdaaenvlcerneeteidtoezrveucnoaualuvxaprS'dFd{eimoi,ermraia'cp7isitdnretxofep+cbsleabdleinigedmstr:euSuapp.unBaxptrbeid:n"nn0mrder* necunoscutelor. Astfel de ecr-ra{ii sau sisteme de ecua{ii se numesc.
cscordrrdeVic,scopdt_meuro/nladtzradentceoneae.rrcnepuleenarnoleerssrrcelrLuarxtizeyd)i.8. xNS, dv'avalaordoro-rmtrirreadinbmnturcielacsgrbdrienlipoaaiscvceormrmtdp'dc."eauvlci*nuteltaltn"vc-aisnloa.rl"iirrve-l
necleterminate, deoarece, dacd nu dispunem de condiiii su-
niimentare, ele au o infinitatc de solu{ii: putem da valori oare-

care uneia sau mai multora dintre necunoscute 9i atunci valorile
celorlalte necunosctite sint determinate. Ecr-ratiile nedeterminate,
cu infinitatea 1or de solu{ii, sint foarte utile in matematica supe-
rioard,, la str-rdiul curbelor gi al suprafe{elor.

Situa{ia se prezintl altfel cind mdrimile cdutate trebuie sd
satisfacd, pe iinga ecuatia nedeterminatd, gi unele condi!ii supli-
mentare. Cazul. ce1 mai important gi mai bine studiat este acela
cind se cauld solu{ii intregi, aga cum era situalia din exemplul
anterior. De cele mai multe ori se cautd toate solu{ii1e intregi,

pozitive gi negative. Alteori, se impun solu{iei condi{ii restrictive
mrrlt mai sevcre.

anAacliezsdt g"ennedde ecetercremtarienaatedcusabliiluorannedaeltiezrmi indatieofsae nntuimaen$dte-
dupd numele celebrului mIIaIteaml eartieciiannoaeslitnreD(aiocleaansttacaesreteatofttdceit

la Alexandria in secolul
se glie despre via{a lui). Diofant a scris o carte din care au invd-
{at creatorii teoriei moderne a numerelor. Trebuie relevat cd el
cMaiuc9dltiumtpaetaincetuirlezniuurma,laiioni ndraiidelendici(inaaiudleiicniicnertdrpedugdticsianI1ielseeecionuctaurelpiiegloidr9enierefdrzaeoctel{vriomanrienaaaretei)n-,
numere intregi a ecualiilor nedeterminate gi de discutarea rezttl-
tateJor ob{inute. De altfel este greu de spus cind a apdrut pentru
prima datA analiza nedeterminatd. In orice caz, in secolul al
XII-lea e. n. matematicianul indian Bhdskara avea o metodd per-
ITTlur1r- 58-7x5r 454375^416"92 5 sTT fect elaboratd pentru rezolvarea ecua{iilor nedeterminate de gra-
5 dul intii in numere intregi.

- Indienii au fost pusi in situalia de a rezolva unele probleme

\ttuu:mOpi)brussleeyrvoelmbstfeincoedrpisgfirnnagctrufuiora.xna:v4ra,.loorap_reiernetigrnuattroier,.a.i?gp"irii,inst"i'rp,uoizoiitii"v'aipGailUil,tt.it*i uiu, din practicd cu ajutorul analizei nedeterminate.
are o solulie unicd .si pe deplin determinatd: in 'armrlcalre,
clton calrircati si 6 muncitori necalificati. ".uL + ,nun_ Astfel, in leglturd cu calendarul, ei au fost adeseori nevoiti
sd gdseascd un'interval de timp con{inind atit un numdr intre!
de ani, cit gi un numdr intreg de zile. Aceasta ducea la ecr-ra{ii

nedeterminate ; numai solu{iile intregi ale acestor ecua{ii pre-

z.enlau interes.

62 631

i

Sd stuclicm citeva probleme cu ecuatii nedeterminate. pentru huie sd rezolvd,m in numere intregi un sistem de ecua{ii necle-
a ne da,Lgam,a de principalele lor particularititi.
gradul ihtii, deoar'ece rezorvarba Ne vom mdrgini terminat.
la ecuafiile de ecr-ratiilo. ,-r"'d"-
Gzisirea numdrului x nu prezintd dificultd{i. Oricare ar fi nu-
terminate de grad sup.erior,,chiar numai de gradul a1 doilea, pre- :m.erele ?ntregi A gi z, x va fi de asemenea intreg. De aceea trebuie
zintd dilicultd{i considerabi le.
,t5otrauPlbdlreeoibmnloemnemodneaedsedin4fti?eii.,2j0t".S5e0,c2e0re;isdS. ,sd rezolvdm urmdtoarea ecuatie cu cloud necr-inoscute:
schimbdm o bancnotd. de
5z-39 -f I :0.
copeici, astf.el ca numdruL

tts5d.reeeeczbdvomrS,-aproc.ieaerneiivceexraidem,pmezyroiemdflncve-auualcmatUaiftisai+enatrfzte5inpll:0ur2,domFc0ebo-el.xempr+meAoe:neiil?cnleie0.ltdrASFeedrti-gabedrmite0e-xszacin;sitnttoreeupit'mam2smr0uddlale,rciu:leeeliglxctadiaosrehptdepmc.iaL.oiprrnt';reseinro,do'epururrCdmi*noeapaeircrpiueicotei,t,- Determinind toate valorile intregi gi pozitive ale lrri u sau z,
putem obline imediat si toate valorlje intiegi si pozitive ale lui x.

Din ecua{ia 5z-39{ 1:0, obli1em

!: 5z+l

s

C solr-r{ie este evidentd: pentru z: l, obtinem

5x*20u *502:500 v: 5'1+t -t

x* U *z:20. -t x:8,

dNeucmi dsrisutledmeuniedcueneosccuuatefiieesstetemnaeidmetaerremcinreacti.t 'Suimmpiriuiirlcidned-epcruimafiai, Pentru aceste valori ale 1r-ri z $i lJ intregi corespunde de
asemerlea inlreg.

ecualie..cu 5 si scizind din ea a doua, ob{inem o singurd eiuafie Sd gdsim toate celelalte solulii intregi gi pozitirre, care cores-
cu doud necunoscute: pund valorilor lui a $pittzninindtrze:gli*r;iLp. oAzivteivme. vom
noscuta ar-rriliard u, introduce necu-
3u *92:80.

rJrmeazd sd rezolvrm aceastd ecuatie in numere ir-rtregi. Exami- 5( 1+a)-3u+l:A
nind-o cu mai mr,rltd
aten{ie, observrm cd, oricare ar ii vilorile adicd
c'ezAinacisblruraeieald..gfpnaiairrlli,alnnplneoo3u^aa.lsuteIetnixr.iuis.fscitA$dhriciemezvzs,abotmla,lovermaeimsteditnbemrtinuurbenlrug-nienluixatmaei1ilmeedarpoellluiuleeiincaduuterane{r$e,igreiceiiuz.staprtec{eiraebicnrulneiiveeusiczrslrmiebdtsaielfarriepmieisr,ificnnanlaicivct3eir-i.
5u:3y-6

:sau

5u:3(!J-2).

ipmrobpleoms'aibcialresdnes-cahcimonbddums la aceastd ecuatie nu are solutie. Este tru Moerimcebyrulinat1redgoi.leParian1 ultimei ecuafii este divizibil prin 3, pen-
de s'rublein20 de'monede div.izibil prin
cu valorile indicate. o bancnotd lrebr,rie ca tL 3. urmare, si membrul intii trebuie id ti"
Numerele 5 .si 3. slnt insd prime intre ele ; deci
sd, fie divizibil prin^31),
adicd'sd fie de forma 3n,
Problema a doua. ScY se alle ce numdr natural tmpdrtit unde n este un numdr intreg. ln acest caz, lJ va fi egal cu

prin 3 dd restul 2, iar impdrtit prin S dd restul B. 15n
Notdm cu x 3nu9mi dcruulzccdiututalt.imDpacddrfviroiimlunioxtapcruiiybc, i*turolrinmupud.ru-
prin -)-r.n-uLltt.L)'
{(irr.iipl.u5i0-r):
3 '-

adicd tot cr-r un numdr intreg. Asadar

x:BU -t2 z:l*tL:l*3n
x:52+3:B+15n.
x:52+3. de unde

conform.sens.ului problemei, x, a, $i z trebrrie si fie numere intregi t) Vezi teoremra a treia din c,apiiolul precedent (p. S0) .
numere naturale). Agadar,
(mai mult chiar, aici de asemenea tre-

'S4 5 - Despre numere Si studiul numerelor 65

Am oblinut pentru x o infinitate de valori, iar soluliile problemer isngisnaoeiartrBlldieubAlnsze{pgiioienimal5pvipd3easearsbrrir.iiritd,lrrrdvb-ein,lernepar_lzl)pipip.inielore(poacdtebceeenleeetacealmevrrecmeemealirenacdoaoiectisanevl(drfaciesnre3iiie,cat.aoa7ittnene+cd:e8pudpacre.re4rotsv1bi:cioa5nlrele-3uemr{lcaiarlirra,-u,r'afbfeoo7tlaeiaia')7tntpee,e-otroaaife1rvititee'e1c7ar'aur,pncveiaitetnpoetaealtviucntaeodil

noastre sint de forma' ,:u -l 1sn. solrrIie rrrricd.

unde n este un numir intreg (pozitiv sau nul) eccloLmraS-infiiidminteeannl{dgioiennbtdradmd-sedicraoeszreeobzlivroealavreaianeinccueaaentaiaaclizeinapdcriiavozefau;tnretciareenlzdmo. lavInai rgeaealgfreeubrnaredli,
dg g-i gdsi. todte sol'!iile posibile. F"nitu ca ccLra{ii1e algebrice
n-*0, 1,2,3,.,. . sd fie rezolvabile in toate cazurile, a fost necesard introdircerea

Verificarea aratd cd.' toate aceste solufii sint bune.') numerelor iralionale si complexe. Analiza nedeterrninatd insd se
b.azeazd numai pe solu{iile ii"r numere intregi. Ce e drept, in ana-
Problema a treia. Un cetdtean a cumpdrat pepeni gal- llza nedeterminatd nu putem renun{a 1a numerele negalive, deoa-
rece folosirea lor ne permite sr oblinem formnle geiierale'foarte
beni cu 7 ruble bucata si pepeni uerzi cu 4 rttbLe btLcata. fn totat comode, fdrd a considera prea multe cazuri partiLulare. lntrr-rcit
analiza nedeterminatb considerd numai solri{iile intregi, putem
a pldtit 53 ruble. Ci{i pepeni galbeni ;i cili pepeni oerzi i-aa
,:!i!oo pentru aflarea lor proprietd!i1e nr_rmerelor intregi : iliuizi-
reuenil ? bililatea, descompnnerea in factori primi, afiarea ceh_ri'mai mare
O ecr-ralia se scrie imediat:
rltvrzor comLln e1c. Acestea sint noiir-rni din domeniul aritmeticii,
7 x -f4g:53,
rtrt clin acela ai algebrei. De aceei, analiza necieterminatd este
in care x este numdrul de pepeni galbeni si 17 trumln-rl de pepeni consideratd de obicei un capitol al aritmeticii gi nr_r un capitol
al algebrei. Astfel, titlr-r1 capitolr-rlui de fa{d este justificat.
vcrzi.
Sd trecem la studiul mai atent a1 unei ecuaiii nedeterminate
Problema nll are sens decit dacd x gi y sint simttltan ntlmere cle gradLrl intii cLr doud necunoscute. Dr-rpd ,,pielucrarea" obi,s-
nuitd la care sltpLtrem in generai o ecua{ie (eliminarea numito-
y:ryintregi gi pozitive. Si o rezolvdm in acest serrs. Mai intii avem: rilor, reducerea termenilor asemenea etc.), ea poate fi scrisd:

Ddm 1ui x valori incepind cu 1;constatdm cd pentru x)7, U ia
valori negative. Ne oprim deci la 7 ;i valorile cores-
calcLrldm
punz\toare ale lr,ri tl cind x:l,...,7 :

ax + bA: c. (r)

r\ici o, b, c sint numere intregi (pozitive sau negative) date, iar
x gi l/ sint necunoscLrtele, carc iau numai valori intregi (de ase-
menea pozitive, negative sari nule )
Singurele solu{ii intrcgi ;i ppzitive a1e problemei sint: Sd ecnatia nedeterminati nu are
r:3 considerdm intii cazul cind
eir''t solr-(ie (ca in problema intii, p. 64).
I y--B 4 l;=1.
Si aflSm cel mai mare clivizor comun al nilrnerelor a si b.
t Ai1a1trunnboctvhi ama^fcivuaegdfa^i.l(edcgauacpdl rcoaudsupisrbuoldsuliunsitudlprdcimilntetLr1einntdareltsnieluuemn, rd/nreuismntetrdeerg'ginanllr:ec'gu l).

In toate celelalte cazuri, cel putin una dintre necunoscute este m"

fraclionar5, lArd a mai vorbi de valorile negative. Prin nrmare, A:md, b:nd.

problema are doud solr-r{ii : ori s-au cumpbrat 3 pepeni galbeni

r) Toate solu{iile acestei probleme iormeazd o progresie aritmeticl in- m |i n din aceste relalii vor fi neapdrat prime intre ele. In
iinitd, in ca,re primul termen este B, iar ra{i,a 15 : --8, 23, 38, 53, 68, 83,... adevdr, dacd ele ar avea un divizor comun ft, diferit de l, produ-

66 67

suI kd ar fi divizor caetlitmaar.inummadrerurduiririaz,ocritcosmi alllnnuaml darcuersutiorbd, oausdt- ecua{iilor liniare, este omogeni ecua{ia fdrd termen liber, acesta
cd fiind de grad zero. De exemplu ecuaiiile
fel d nu ar fi
" 2x*3A:0; i-39:22 i x-U:tt-'tt
nLlmere.
sint omogene; in schimb ecuafiile
egocriiucbMaag{rcieimstiarnberrtbrirrmirlienuinrlsrtrmiiipielsaireicd.leieemcidrpur.aatrriAeitedg;iai pd('xlrai)'nr:,itcrmuer..beDuameeieboarasuircrel icafepi1cu,d,t.edonmiuirlei-ii-tazrlai"baig,i-ell,iap'cucrnreinmistaeri-xli,
cmtIonoaienprfeaircoatiebelcneno{minluoacrlueinnszteti?eeci:ll(dnrdirov.asipcczd.uib6teti4ello)rp,mi,raeianmntuucanlejucllinibmseecatrauiaaem{lciaLa'nrra(eeiIia)idieevcsizrt_eorari{mici opnmoesduiebntielaar-1. 2x +39:5 ; x-39 * l:22 ; x-A: u-u + 10A

sint neomogene.
Ca prim exemplu sd considerdm urmdtoarele doud ecua{ii :

2x+3U:5; 2x+3A:0.

Aceste_ ecualii au aceiagi coeficien{i ai necunoscuteior. Se spune
cd a doua ecuafie este ecuatia omogend cores punzdtoare
3Y*92:80; mpliariinmoametdiogaeecxnu*dab,lyiaid:6(icn,deoessmdteopugfinereenmsec;.csS:I0trin:iacieifpfaemecpurainliaa tiriaia necleter-

liaauirciatecr_rcemlsemonlauiril{imleib.aecrrci'ndduivaeizsmotersrct_uorndmmiallutnlataicp1eiucaosctedleficp3ir;eonpblnilleionmr uei s.a.temuerivgaaezlctcutlau{ci3ad,, considera ecua-

ax+bU:0.

intr-adev5r, ea nu are solutie. Putem scrie aceastl ecr:atie mai comod astfel :
nainteutiniiDncdtaieacercdecasusenaeau{izdadsde..ueiAnccipuaaoacdatlraiealera,znadmev,ieeeiantresirctomialuazinfuiaefl itaaisnnta(r-nllr)iucz,lmaiattetr.eerDebnauuicniematrasseedigeiivnc;eciudaaeddtmreieiclaeimzndianu,i
ax:bu t).

care to{i termenii sint divizibili prin cel mai mare divizor comun Qezolvarea ei este foarte.simpld. Membrul al doilea bg esle
coeficicntilor necunoscutelor. Toti divizibil prin b, ceea ce inseamnd cd si membrul intii ax trebuie
a1 termenii r-rnei asemenea ecua-
pot fi implrli{i cu acest divizoi sd fie divizibil prin b. Numerele a ;i b sint insd prime intre e1e;
lii .si se obfine ; ;;;ti;-; .rr"
coeficienfii necunoscLrtelor sint numere prime intre ele. De aceea, prin urmare este absolut necesar ca x sd fie multiplu de 6 (v. a

treia teoremd din capitolul precedent).
Asadar

x:bn.

in rationamentele care rirmeazd., yom considcra cd ?n ecuatia Pentru a-1 gdsi pe y, introducem expresia lui x in ecuafia

{ ax*b!/:c (l) ax:bA. Oblinem:
abn:bg,

numerele a si b itll vor li numai intregi, ci si primc intre de unde

ele. Ecua-fiile de gtoralidtuelrminetini isi canuuamceeslacsiilgr"a.ud,a,d!iiica liniarel). U: an'
Ecua{iile in care
snnru n trebuie sd fie in mod obligator acelapi ca si in expresia lui x.
nerrtilor necunoscutelor, dintr-un termen (monom) este ega"ld"pcou- Prin urmare, solu{ia ecualiei omogene este de forma:

suma corespunzdtoare din fiecare alt termen se nllmesc o m o- x:bn \ (il)
g e n e. Dc exemplu, ecua{ii1e x2l2x!/: U2 sau xB a ys:Bx!/2 sint
omogene. Ecua{iile omogene au cperleo-pnerioemtloligiennteer.ersnanctaez,ssil Y:an I
se rezolvS, de obicei, mai simplu
multe ttnde n este un intreg afirbinittrraerg. iQgeicviporroctr,apnesnfotrrumaoriecceunafiiantdreagtd,
decit y vor
valorile lui x si

l) Aceasti denumire se explici prin iaptul c5, in geometria analiticE In fro)nCd,itiatoicrui linvtaiilia,mevsecnrtuisala, xgo:-cbatgc,i aamposicraismapxu:bsabtin:-blo,c d,e ax:-bA.
(gtiinfa cu care se incepe .ceea ce di
de obicei studiui nratematicii superioare), ecua{ia ax:bg; in slirgit, ,r reprezentind un numir cu totul arbitrar, l-am inlo-
ax+bg:c reprezintdo li
nie dreapti. cuit cu 'litera D.

68 69

intr-o idenrilale. Prin urmarc, formirlele (lI) rezolvd complct SI presupunem ce, prin incercdri, am izbutit sd determinlm
o solu{ie particul4rd a ecua{iei ax+bA:c, cu alte cuvinte am
ecua{ia omogenS. gisit doud numere intregi xo gi !/o care satisfac relalia:

Problemele care i-au condus pentrr prima oard pc astronomii axol b lJo: c.
(v. p. 64) se exprimau tocmai
irrdieni la ecrraIii ncdctermirrate Si aplicdm procedeul ulilizat in algebrd, anume, sd intro-

prrn ectraIrr omogene. .ducem doud necunoscute auxiliare u gi u,legate de vechile necu-
noscute x $i !/ prin relaliile :
In lehnica modernd avem acleseori cle-a face cu ecuatii omo-
gene. nedeterminate. ca_ exempiu vom da urmdtoarea pioblcma x:xo*LL A:Ao+u.
referitoare la numdrul de dint'i ai rotilor crin angrenilJ. e"ntru Substituind aceste expresii in ecua{ia axlby:6, obtinem:
ntfuounrmccleiiorlenuial rdd-eeeaadldiinnotduiacasounrenfsiebpiuitnnraz,ndatsom"riirsufinii;e";iui*r'ro'tofif'icsaJi isnniulnimtu"mr-r"ueJrle"croei'r,ec"st.e"p.'uiuonrtzad"tu-ii
ale celor,doud roli, in rrnitalea de liinp. De exemplrr daca prima
dintre roti are trrratia_.50 rol/min, iar a doua trrrJ{ia B0 roi/min,
atuncr numdrul x al din{ilol primei rofi si numdrril de din{i y al a(xo+u) +b(ao+u):c.

celei de-a doua trebuie sa fie in acelasi raport ca ;i B0 iu SO; Desfacem parantezele gi regrupdm termenii i rezu\td,:
prin urmare, avem :
axstbgslau*bu:c.

i^nt,reAgmi. qbtin^Lrt o "c"uunforjr"moumloeglie'1ndil,;,caarveemse: rezolvd.ugor in numere Scdzind din aceastd egalitate identitatea axslbyt:s, vom avea:
Conform
au*bu:0 sau au:-bu.

x:Bn, Aceasta este ecua{ia omogenl cores pLtnzdtoar e ecua{iei
!/:Stt, neomogene ax*by':s. fi
rela{iilor (ll): Solulia ei poate scrisd imediat, conform

unde n este un intreg arbitrar. u:-bn,\t)

Trecem acum la ecualiile nedeterminate neomogene dc graclul U: An. I

intii, adici Ia ecua{iile O" t.r;:;r:r. Prin urmare

X: Xo+ u: Xo-bn

p1po,ta:b"o?a\r{*t.:itD1rnis!te1eLcirc..cpraIi.a"updo[rlaerelcmpanrgprrauriminelnSloerdevg.dcoroohecmI-uneuapdnvrdefeeuofecodzmruremviamniaat{ud,tiuladoltleoevr,olaisaemctoaleoa(ollearIugseIreo{)neinrceatdorcpiinnriegi_Str'cirnerenx-ator:rnrzBsurunuecynuenIr,ti,eanesalvocluosdrualtm,u[acptfalliriearie,cliicoencaouctsr.ia-eclJogirlgroblau"iatnvitr1i"obi1fesmi)_e., !/: !/o*u: Ao*an'

Aceasta este forma pe care lrebuie s-o aibi orice soh-rfie a
ecualiei ax*bg:6. Pe de altd parte, substitr-rind vaiorile lr-ri x

.si g in ecualia (l), ne convingem cd aceasta va fi satisfdcutd,

oricare ar Ii n. In adevir,

a(xs-b n) * b ( !/61 an) : axs I b gs,

x:Bn, !/:5n iar acest numdr este egal cu c, deoarec€ ,f,s Si /o satislac ecua-
{ia
(l).
va fi generald, iar solr-rtia Prin Llrn-lare, am obiinut soluf ia generald a ecualiei ne-

x:24, U: lS, omogene.

ob{inutd din cea precedentd pentru n:3, va fi o solu{ie par- r) Aici avem semnul ,,minus" inaintea lui b, care nu iigura in formu-
ticulard. lele (ll), deoarece ecua{ia considerati este de lorma au:_br,, gi nu au:bo;
,deci coelicientul lui b este precedat de un,,minus".

70

71

In feiui acesta am ajuns Ia un rezultat remarcabil : solutia cientul 1. Aceea;i remarcd se poate face;i in ceea ce prive;te,
generald a unei ecua{ii liniare neomogene este egald
cu suma. necunoscuta y, cate intervenea in ecua{ia iniliald cu un coeficient.
soluliei particulare si solu{iei generale a ecr_ra{iei omogene cores- mai mic in valoare absolutd.
punzAtoare. Acest rezultat este simplu, insd loarte important. Este
de ajuns sd men{iondm cd teoreme analoge se intiinesc in cele. Aplicdm acelagi procedeu gi ecua{iei oblinute: impdr{im coe-
mai diferite capitole ale matematicii superi,care. ficientul mai mare prin cel mai mic, cu alte cuvinte, lmpdrlim

Se pune intrebarea: cum gdsim numerele xo $i !/0, deci cum, coeficientul mai mii al ecua{iei initiale (169) prin primul rest
gdsim cel pulin o singurd solu{ie a ecua}iei nedeterminate (162). Cblinem citr,ri I si restul 7, adicd,'1692:1622*72. Ecuatia
(I)?
Dacd coeficien{ii a, b si c ai acestei ccLia{ii nu sint mari, este'cel initiala se scrie acun :
mai bine sd alegem aceastd solr-r{ie in modul urmitor: ddm uneia
7z* 162z* l62x:5 sau 162(x+z) *72:5.

dintre necunoscute, de exemplu lui x, consecutiv valorile 0, l, 2, Introducern o norrd necrrnoscutd ai-rxiliard :
3, . . ., pind cind vom obline o valoare intreagd pentru a doua
riecunoscr-rtd y. Acest procedeu a fost utilizat Ia rezolvarea pro-
blemei asdtrereiacu(rpg.em66)la. Daalgcdoriintmsdulco1eufiicEieunctliiida. ,Inbd9iei nciisdinint maanrtii,- urr-*^v Lt - a. (2)
trebuie
[Atragem atenlia cd in ecua!ia (2), atit u (noua neclrnoscutn) cit
chitate au procedat asemdndtor ; tot aga procedeazd gi matemati- gi "r (vechea necllnosclltd, care avea coeficientr:1 mai mic in ecua-.
icaienriei zcoolnvlaermeapoeracnui.aM{ieodi r(-rIl)inilcarveosrel aplicd algoritmr-rl lui Euclid {ia precedentd), au coeficientul I !]
nllmerlc. ilustra printr-un exemplu,
Ob{inem:

l62u*72:5.

Sd se rezokse ecuatia: Impdrlim iardsi coeficientul mai minairleiaplerin(1c6e21)mpa'iinmaicl,daodileicai;r:
tmpdrtim
33lx-1 69u:5. primul rest al ecualiei
rest (7); ob{inem citul 23 9i restul l. Prin Llrmare, l62u:7'23u* u
Ciutam intii o solulie particularS. gi ecualia devine

Prima opera{ie pe care ne vom strddr-ri sd o facem va fi mic- ui7 '23u-l7z:5 sall u*7 (23u*z):5.
gorarea coeficien{ilor ecuafiei. In scop, impdr!im coe-
ficientr-r1 mai mare (331) acest mai mic (169). Introducem o ultimd necunosoutd ar-rxiliard :
cel
prin
Ob{inem citul I si restul 162. Asadar,

331:169+ 162 salr 33lx: l69x+162x. 'ct:23u -lz. (3)

Ecualia se poate scrie acum : ($i aici noua necunoscutd o gi vechea necunoscutd z, adicd

l62x*169x-169A:5 sau 162x*169(x-y):5. aceea care intra cu coeficientul mai mic in ecualia precedentd, au

Sd recurgem iardsi 1a introducerea de irecunoscute auxiliare. Vorn coeficientul l. Situa{ia va fi intotdeauna aceasta; cititorul
lua ca nouA necunoscutd pe:
poate demonstra singur aceastd afirma{ie.)
Ecualia iniiiald a luat acum forma deosebit de simpld :

z: x_4. (t) u+70:5.

Obfinem ecua{ia cu coeficienfi mai mici: Ea este mai avantajoasd decit cele precedente, deoarece una
dintre necunoscute are coeficientul l. Aceasta nu este o intimplare
l62x* 1692:5.
ce_ apare doar in exemplul nostrlt, ci o proprietate generald. In
Observdm cd 1n egalitatea (1), care leagd pe z de vechile
adevdr, revd,zind toate rindurile rationamentului tipdiite cu litere
necunoscute x gi u' necunoscuta auxiliard, e intervine cu coefi*
cursive, cititorul se va convinge ch am calculat d! fapt cel mai

mare divizor comun al celor doi coeficienti ai necunos6utelor din

72 731

ecuatia ini{iala, iar sirul de opera{ii se va incheia atunci cind unul cutelor primi intr€ ei. 1n practicd, acest procedeu nu se continud
dintre coeficien{ii ecr-raliei respectrve va deveni egal cu acest divi- pind.la cap.dt; dupd ce ob{inem o ecua{ie ajutdtoare cu coeficienfi
zor comLln. Qeamintim cd ne ocuplm numai de ecuatii in care relativ mici, rezolvdm
coeficien{ii sint numere prime intie elel). Prin urmare, cel mai aceastd ecLra{ie prin-incercdri. Insusi mer-
mare divizor I si ultima dintre sul rezolvdrii poate il ralionalizat. In-acest caz, calcuiele vor fi
simplificate comun a1 n1eorapedstreate'giranl ucul simplificate, dar se va pierde din vedere esenla problemei r).
dintre coeficien{i ecuatiile
va avea _ Existd formuie pentru rezolvarea unei ecualii nedeterminate
egal'cu insd deducere4 *si aplicarea
rinitatea. de gradLrl intii cu doud necunoscute, continue, pe care iititorul,
folosirea fraclii1or
Ultima ecua{ie ne dd : lor se bazeazd. pe
probabil, nu le cunoaste. Men{iondm cd teoria fiac{iilor continue
u:5-7u. rse leagd ;i ea de algoritmr-rl lui Euclid, astfel cd nici in acest caz

e;aP('ox2v^eese)nm,airtrpi(cu1lsuou)oe.scrfi'iuF,cc.epiie0eac,nuracoturirbnc-llitirrIngneeicgn(mca,dumgnutoio:aasu5ttcer.uvateasAdgctfcauoiemltiitnult{tivrmirlmoeepmgerm-.aruzlFardSarmctcaaeaitnnefdrliaiuacfd-iLolaeinrpstaeueumrmpmoereianneria-eagLtlca"dretl,(,s',v3,tAdua)eei, nu ne putem lipsi de el.

Am amJaoisat rsAcIraitsdcddeprDimioafacnatrt(esecco.nIsIaIcrea.tnd.)e. cAuvaelimilormnoetidveetesrd-
rninate

fapt!). De aceea toate necunoscutele (cieci si x r\i A) vor fi numere credem cd, 5a0s0tfedledaenieicnuaainfitie. alnh_Eri vDuiol fManet,diAurhsi-maeudoeceurpaatindestaerlee
intregi. ln exemplul nostru ob{inem:
' sd rezolve
indienii .sini anraubmiie. rIeninEturerogpiaa,1periemcru-rla!ciia1roer
u:0; solt-t{iile a inceput s'd studieze

nedeterminate a fost
matematicianul lrancez Bachet de Meziriac, editor gi comentator
Iz.t,-:u\r)-.t2\u:-l 15; al operelor lui Diofant (inceputr-il secolului al XVII-lea).

x:u-z:S_(_l t5):120; Se stie cd Diofant'a considerat, aldtr_rri de ecuaiiiie liniare (de
U : x-z : 120-( -t :15) 23S.
Agadar, solulia particulard a gradul intii), si ecua{iile nedeterminate de gradul'al cloilea si a1
ecualiei este: treilea. De regulS, rezolvarea lor este complicatd. Sd ne oprim

.asupra unei probleme devenite clasice.

Problema este urmbtoarea : sd se afle triunghiurile drept-
.unghice ale cdror Laturi se exprimd toate prin numere tntregi.
xo:120, !/o:235. Teorema lui Pitagora ne permite sI scriem imediat ecua{ia

$tim deja cllm se afli soh-r{ia ei generalI. In acest scop vom acestei probleme. Dacd vom nota cu x gi cr_r y lungimile cateteior
considera ecua{ia omogend cores p'unzdtoare: .gi cr-t z lungimea ipotenuzei, vom avea:

' 33lx-169a:o; x2 I Y2:22.

aici a:331,b:169. De aceea [Bv.Bfolxrr-nl6ulgelAe:5(lIv)a1afilp. 69] solu{ia Aceasta este o ecuatie nedeterminatd cu trei necunoscute,
,omogend gi este unanim
generald a ecualiei neomogene de gradr-r1 al doilea. Una dintre soluiii

x:120*169n; g:2JS*331n. cunoscuti : cateiele de 3 .;i 4 unitdli, iar ipotenuLa de 5 unitdli
(,,triunghiu1 egiptean"). Dar aceasta este o solu{ie particr_rlard $i
mpuenAreict.iiensadesvtiiindmseinsetttddomdledgadasteuLpirrraeazdeoinlivldarerinepedrosoctuecddienmtrtorrutidvceeitvr;eaiznog-rrp'eiaroirmeaire-ai,i insd cunoasterea ei ne-ar permite sd rezolvdm complet ecLra{ia numai
rinrl dacd ar fi 1iniar5. Pentru a ob{ine insd solulia-completa, in cazul
de fafa va trebui sd folosim un artificir: de calcul.
rrnei
ecuatrr nedeterminate si algoritmul lrri Euclid; in al doilea rind
ea aratd, cd ecua!ia are o solu{ie, oricare ar li coeficien{ii necunos- t) O astiel de metodi simplificatl pentru rezolvarea unei ecua{ii nedeter-
minate este dati, de exemplu, in partea a doua a manualului de algebri a
l) Daci.ele au un divizor comun dilerit de l, sau ecuatia este nerezcil- lui Kiseliov gi in cartea lui l. fJepe.ntnau, ,,3aar.rnrarerbuaq a,rre6pa,,, fo-
vabili
sau ea poate fi s,implificati cu acest factor. €TexugAar, MocKea, 1955.

74 75

Vom cduta trei numere x, A Qi z care satisfac ecuafia lui Pita- ,catete este un dumdr par, iar cealaltd catetd ,si ipotenuza sint
goral) gi care nll au nici un factor comuit itr afard de 12). Este
i?nportant sd gdsim tocmai aceste solr-rfii, deoarece orice solulie numere impare.
intre
IormaId, din nr-imerele prime din neulemexore, AnoeFpirizm0 ecoinndtrueceeliemiedttxiast,. Vom nota cu x cateta exprimaih prin numdrul par gi cr-r y pe
,cea exprim atd prin numdrul impar. In acest caz avem dreptr-rl sd
la o serie de solulii formate
t1!Js, flzs, unde n este un intreg oarecare. Qeciproc, dacd vom gdsi scriem x:2u pi ecua{ia noastrl devine 4u2+A2:22 sau
o anumitd solufie formatd din numerele neprime intre ele p, q, r"
.4u2:22-!/2; in sfirsit, aceasta se mai poate scrie astfel:

caotumnucni par-lrnniundmPer:ealxoor ,p,Qq:agUior,),r:sauzbosti(tucinfidindaxcse, lalmJsa, iamzsairne divizor 4u2: (z* !/) (r-A) .
eclta{ie
Suma ;i diferen{a a doud numere impare sint totdeauna pare"
.si simplificind cu a2, ne vom convinge cd xo, Ao, zs teptezintd o'
solulie formatd din numere prime intre e1e. Agadar, dupd ce am De aceea, vom pune:

gdsit toate soh-rlii1e prime intre ele, vom cunoa9te, in general, z+A:2u, z- 11:21.
toate solu{iile ecuafiei lui Pitagora.
fi toate' Se vede ugor cd u ;i t sint prime intre ele gi anume unul este
treiTpnasdre;.r,DlJeQai szemfiienndeanunmuerpeofprfiimpeairnetrneiceiied,oer-lred nu pot par, iar ceidlalt impar. In adevdr, exprimind pe z gi g prin u st
dintre e1e, de-
oarece atunci un membru al egalitdiii ar fi divizibil ptin 2, iar
celdlalt nu; dar nici impare nu pot fi toate trei, intrucit suma a prin t, oblinem z--ult, U:u-t. Dac/a u ;i t ar avea un divizor
doud numere impare este pard. Prin urmare, revenind la triunghi" fi comun si numerelor !/, ceea ce
comun, acest divizor ar z gi
'contrazice ipoteza, conform clreia acestea sint prime intre e1e;
ori sint impare ambele catete, ori sint impare una dintre catete tot astfel, u si t nu pot avea aceea;i paritate, pentru cd atunci :',
si ipotenuza.
'care este egal cu suma 1or, ar Ii par, ceea ce este imposibil.
Sd ardtdm cd ambele catete nu se pot exprima prin ilulrl€re: Introducind in ecua{ia 4u2:(zty)(z-U) numerele 2u gi 2t
impare. In pdraincdnuumnadrduinl t2rep*elIe se exprimi prin numdntl
2q*1, iar adevdr, (unde q $i p sint numere. pentrll suma ;i diferen{a necunoscr,rtelor, vom avea :

a doua 4u2:4ut sau u2:ut.
intregi), atunci suma pdtratelor lor va fi :

: * * :(2q + t)' + (2p + 1)2 4q2 + 4q 1 -t 4p2 + 4p I Aceasta este insd posibil numai in cazul cind u si / sint fie-
,care pdtrate, adicd dac6, u:c12,l:fi2. In adevdr, in produsui al
,:4(q2*q*p2+p)+2. (ega1 cu pdtratr-rl numdrului o) to{i factorii primi rntrd in pe-

Evident, aceastd sumd este divizrblld prin 2, dar nu gi prin 4.. rechi 1). Dacd ru ar cuprinde un Jactor nepereche, atunci -si / ar
InsI p5lratul oricdrui numdr par este divizibil prin 4, iar pdtratul trebui sd cuprindd un astfel de factor pentru ca sd avem o pereche
oricdrui numdr impar nu se imparte prin 2. Prin urmare, suma in produsul ut:u2. Aceasta este insd imposibil, deoarece nume-
rele a gi / sint prime intre e1e gi nu au factori comuni. Agadar,
pdlralelor a doud numere impare rttt poate fi nici pdtralul unrti in u |o\i factorii primi trebuie sd intre in perechi ; acelagi lucru
poate spune.si despre t. Prin ,usi (/:saint)t pdtrate.
numdr par, nici pltratul unui numdr impar, prin nrmare nu poate se Llrmare, zz
Mai observdm cd, deoarece numerele gi /(:b2)
fi pdtratLrl unui numdr intreg. sint
i prime intre ele ;i au paritatea diferitd, inse;i numerele a si b
vor fi tot prime intre ele gi de paritate diferita. Prin urmare
In conciuzie, dacd toate cele trei latr-rri ale triunghiului drept-
unghi se exprimd prin numere ?ntregi prime intre e1e, atunci este

posibild numai urmdtoarea ,,distribu{ie" a paritdlii: una dintre

r) Pitagora nu s-a ocupat de aceasti ecuafie, insd ea se leagi de teorema' z:t*u:b2+a2,

sa gi de aici ii provine denumirea. !/:t-u:b2-a2.
2) Trei astlel de numere se numesc prime intre e1e. Vedem cI aceastd
1) Ne vom ocupa mai amdnun{it de descompunerea in factori primi in
denumi're se aplici 'nu numai ,unei perechi de num,ere, ca la p. 54, ci qi mai; cap. XI (p. 121).

multor numere intregi.

76 77

aie Ajungem la urmdtoni rezurlat: intr-un triunghi dreptunghi, Sd considerdm citeva solu{ii numerice a1e ecualiei lui Pita-
cdrui lat'ri sint egale cu numere intregi prime intre ele, ipote-
gora. Dacd n:I (rddacini prime intre ele), obfinem urmdtorul
nuza iir de solu{ii:
inlre este egald cu suma pdtratelor uanadoculdintnruemcearteeteintreg'iiii,".p"n.l1_u"
e1e si de paritate diferitd, iar a=1 Q=2 Q=3
pdtratelor acelorasi nLlmere. Este varabild si reciproc"au: suma gi
diferenla pdtratelor a cloud numere i'trergi a gi b arbitrare dau o 'l'ltli'l' ,J'1,1"
solulic a ecr-ra{iei lui Pitagora, fiinclcd irr accst caz, a cloua catetd
este in mod necesar un nnmir intreg :
243 5 12 4 24 7 25
20
x2: z2-!/2: (b2 + a2)2 (b2_a2)2 : 4 B 15 l7 28 8 4B 55 73
: b4 +2a2b2 + a4-_b4 + 2a2b2__a4:1a2b2, 36
6 t2 35 37 44 10 60 91 109
14 B4 187 205
:B t1n6 63 65
99 ::16 ,.u: 285
de unde r0l

x:2ab,

adicd x este un numdr intreg. Mai departe, putem scric tabelele pentru a:1, a:5 etc.
Prin Lrrmare, cea mai generald solulie a ecualiei lr,ri pitagora
Inmul{ind oricare clintre liniile din {iecare tabeld de mai sus
formatd din rdddcini prime intre ele va fi clatd cle formuleie :
ctl L1n numdr natural arbitrar, obfinem noi ;iruri de solu{ii. De
x:2ab, exemplu, inmul{ind linia a treia a tabeler a doua ca 2, 3, 4,.. -

conseci.itir', ob{inem urmdtoarele solr,r{ii :

ll : 0z-Az, 'lz

z:b2 + a2 ;

tsoiacteelseoflour{miilea,teatditincerldeclfdocrminai tneedpirnimrcdcilndtcrieni prime intre ele, cit 28 45 53
formulele : 56 90 106
ele, vor fi datc de, B4 135 159
112 180 212
x:2abn, 140 225 265

I U: (bz-az)n,

z: (a2 + b2)n. ..r.s^ll,,,'l|id*ilr.rTlaqbcnlculcp-doeatrcnaaivierrarinailete. solr-riii, in afara celor obtinute

i.ar In acesle rela{ii rz este uoa' re'rcramred,rlanaa tcudrraoircauieg1eortne1saerbimitrpaurn,. 'xaslc^ie-d1sD.teearr"lpe:aaczuricna;cc{Lxieri4api*{nuiat!/nuaxul:2ms4zeeagrce2oe:lti2ucn.2lturMeiegaasittl,eeXminnVasaIdttIiuc-fririeearnadl isiasdduuiccncioncsnsces.eiccroclelaurdtl ms;rdl eXrceVuzaIoltlhiei,l,eae
numere intregi
a si b sint

numai urmdtoarele restric{ii: l) b este mai mare <lecit a;2) b si a
sint prime intrc e1e ; B) b s,i a sint de paritate cliferita.
vedem cd eristd mai murte posibirita{i cle aregere creclt in Abia in a doua jrrmitate a sccorului ar XVII-lea, matemati-
cazurile consirlerate pind acum. Este natural sd se intimple a;a,
cianul Irancez Fermat, considerind ccriatia generald ;; f*;;

dcoarece pind acum era vorba numai cle o singura ,.tr1i" cur* xn * Yn: zn,
lega doud necunoscrrie, Pc- cirrcr aici relalia reaga irei 'necunoscute-
Este Jimpede cd legitura (restric{ia) a sldbit in ultimul caz. unde nn)2es,tepruonbleinmtraegcsotearneecarerez,olavaabjuillnsinlanucmoenrceluizr-iartrcegdi.oricare

ar Ii

78 7g

Pentru n:1, x*!/:z gi orice absolr,ent a1 ,scolii elementare pi sLrbtile, cd teorema.lui Fermat ar putea fi falsd nunai pentrLr
ob{inem ec'-ra{ia anumite valori excep{ionale a1e lui n. Astfel, e1 a clemonstrat ca
poate rezolva aceastl ecua{ie ; penlru n:) aceastd teoremi este valabild pentru orice n mai mic cle 100 1).
x2*y2:72, pe care am rezolvat-o mai inainte.
Totugi, nici l(ummer nll completd
Picrre Fermat (1601-1665), remarcabii jurist si fruntas al bililStii ei. a dat demonstra{ia a vali-

oragului sdu natal Toulouse, s'a ocupat de matematicd in orele
libere. Se gtie prea pu{in despre viala sa; el n-a tiplrit cdrli. Teorema in sine nu are o importan{a principiald prea mare.
DupI moartea lr-ri Fermat, fiul sdu i-a editat manuscrisele. Fermat lnsd ea uangoernneorai tteoolriitiegrai tmuredtoidme-ednesdr,cazodlra.at rperiaie-lupir.ourtrp,r,ocblleesmcoe-
a ?ntrefirrr-rt coresponden{d aproape cL1 to{i marii matematicieni perirea

ai epocii. Pascal il considera cel mai bun matematician al timpu- ;i a jucat in general un rol atit de important in dez,,'oltarea mate-
lui. Concomitent cu Descartes, Fermat a plls bazele geometriei maticii, inclt i s-a dat denumirea
anaiitice, iar o datd cu Pascal, fundamentele teoriei probabilitd- Fcrmat. de marea teoremd a lui

{i1or. Cele mai de seamd dintre descoperirile sale se leagd insd de r) In prezent ea este demonstratd pentru orice n mai nric de 6i9 (precurn
teoria numerelor. :gi pentru anumite valori mai mari) .

Pe marginea carlii 1ui Diofant, Fermat a scris r-irmdtoarele (in "J)K"
limba latina): ,,Nici cubul in doud cuburi, nici pdtratr-r1 pdtratului

qi, in general, nici o putere in afard de pdtrat nu poate fi dcscom-

pusi in suma a doud pr-rteri de acelagi ;fe1 am gdsit pentru

aceasta o demonstrafie r-rimitoare. lnsd iirgin-rea marginii nu-mi

permite sd o scriu aici".

Fermat a ldsat aceastd teoremh nedernonstrati. Nr-i este sin-

gura ; Fermat a enuntat multe teoreme interesante, fdrd a ne ldsa

demonstra{ii1e 1or. Adeseori el trimitea intenfionat teoreme cu-
nosculilor sIi, Idrd demonstralie, propunindu-le astlel sd rezolve

probieme complicate. Deseori contemporanii sdi nr,r puteau face

fatd acestor probleme, insd in cursul secolelor a1 XVIII-Iea ;i al

XIX-lea e1e an fost dcmonstrate, in afard de doud ! Una dintre ele
(numai una singurd din intreaga mogtenire bogatd a lui Fermat)
s-a dovedit gregitit). O singurd datd, acest geniu a fost trldat de
sim{r-ri sdu matemalic. A doLla, aceea care a fost scrisd pe rnar-
ginile cdr{ii lui Diofant, nu a putut fi pinb astl.zi nici demonstratd,
nici infirmatd.

Cei mai buni matematicler-ri si-au incercat forlele cu ea. Euler
a demonstrat cd ecuaflll.e xt-y-yt:zs ;i xaly4:24 flLl au solulii
in numere intregi, adicd a demonstrat teorema 1ui Fermat pentru

n:3 ;i pentru n:42).Legendre si Dirichlet au demonstrat-o
pentru n:5, iar Lam6 pentru n:7. La jumdtatea secolului trecut,
I(ummer a reu.sit sd demonstreze, cLt ajutorr-rl unei teorii dificile

I) Ne vom ocupa de ea mai departe, la p. 114.
') De fapt, demonstra{ia teoremei pentru n:4 a tost dati chiar de Ferrnat.

180 6 - Despre numere gi studiul numerelor

DupI ce x a fost determinat, allarea lui y nu prezintd nici un
fel de dificultate; putem chiar sd nu-l considerdm de loc pe y.

Dar probiema afldrii lui x poate fi astfel pusd, ?ncit g nici sd nu

figureze in rezultat. De fapt, aici se cere sd se afle .r astiel incit
produsul ax, impArlit prin &, sd dea restul c.
nmuaimsiemrpelule, cixndcaa:r1e.,
Pentru ?nceput, ne ocupdm de cazul cel
Problerna
devine: sI se afle toate
impar{ite printr-un numdr dat b, dau restul c.Acest
enun{, simplu in aparenfd, s-a dovedit deosebit de fecund. E1 a
fost dezvoltat 9i transformat intr-un sistem armonios de cdtre
Gauss (1777-1855), care a reugit sd facd pe aceastd cale multe

CAPITOLUI, VIII descoperiri importante.

O ARITMETICA IN CARE,,TREI ORT TREI FAC PATRU" Agadar, ne intereseazd toate numerele care, impdr{ite printr-un

n capitolul IV (p. 35) am intilnit o aritmeticd in numdr determinat, dau un rest anumit. De exemplu, dacd numlrul

care 3X3:10. Acest rezultat este valabil in siste- prin care impdr{im (el se numegte modult) ) este egal cu 7,
mul ,de numeralie at baza 9. Bineinleles, atit in
iar restul cerut este egal cu 2, atunci numerele cdutate vor fi :
acest sistem cit Ei in oricare altul, numdrul trei
2, 9, 16, 23 etc.
repetat de trei ori va da noud ; insd in sistemul cu,
baza nors,E numdrul noud, fiin,d unitatea de ordinul al ,doilea, se Ele formeazd o progresie aritmeticd-infinitd, in care primul termen
scrie 10. Aga se explicd nota{ia paradoxali de mai sus. este 2, iar ra\ia 7.

N,u vom discuta insd modul de notare. Ceea ce vrem sd ard- Numerele care, impdr{ite prin modul, dau resturi egale se
tdm este cd ,,trei ori trei fac patru", conform unui anumit punct nlrmesc congruente fald de acest modr,rl. Prin urmare, nume-
re1e2,9, 16,23,... sint congruente Ia{d de modr-r1u1 7.Tot astfel,
de vedere pe deplin ra{iona1 Ei in unele cazuri util. Pentru a
numerele 1 ;i 27 sint congruente fald rle modulul 13, l03.si 3
in!'elege posibilitatea unui astfel de punct de vedere, sd revenim
la ecualiile nedeterminate liniare, de care ne-am o,cupat in capi- fa{d de modulul l0 etc.
tolul precedent.
No{ir-rnea de congrLlen{i, introdr-rsd de Gauss, are o loarle
Si co'nsiderdm ecua{ia
largd aplicare in matematicd,; a trebuit sb se introducd pentrir ea
ax+blJ:c, o notalie specialS (datd tot de Gauss). Dacd a si b, impdrfite

unde &, b, c sint numere intregi, tar ase.srie6duscinetlapriamflearienatreluei lex... prin m, dau resturi egale, cu alte cuvinte dacd a ;i b sint con-

In esen{d, rezolvar.ea acestei ecualii gruente fa{d c1e mocluiul m, scriem:

a:b (mod m).

Atunci y se determini imediat: cAocnegarsutaens{edc(it:es)tes: e,a,omeisntde congruent cu b moduio ni". Semnul de
cu semnul de egalitate, 1nl intimpldtor
Y: - gt;' ci pentru cd proprietdlile congruenlilor sint asemlndtoare cu pro-

ii.ta.ecduI,.nnonaxuce-mscaterecsinotetnreddgii{v.iiiAz;icrbetiarl espbtdruinieexbparsestsafeieul ales, incit expresia lui y sd priel5!i le egalitalilor.

va fi cu siguranld intreagd, t) Cuvintul ,,modul" provine de la latinescul modulus, care inseamni
ax impdrlit prin b da ,,unitate de mdsuri"; e1 se
dacd {itor". Unele constante care
credsstuxl :cb. m(In*ca;descvdirz,inddacdde. aaxiciimppeacrioitbfpinreinmbbdmd,reca'srteuiecs,tein, seevaidmenndt, foloseEte, de obicei, in sens de ,,divizor",
intri la numitorul anumitor formule din ,,imp5r-

fizic5 qi
din tehnicd se numesc cleseori moduli : de exemplu modulul de elasticitate din
divizibll prin b ). tregea lui Hooke etc.

82 83

In afard de congruen{e1e care con{in numere cLlrtoscLite, date, Prin urmare, diferenla rr-I'z este un multiph-r de n. Aceastd di-
clrm ar fi 2=5 (mod 3), 1000:1 (mod 37) etc., mai trebuie con- ferer-rtd este mai micd decit m, deoarece atit descdzr-itul cit gi scd-
zAtorul sint riumere pozitive mai mici clecit m; prin urmare dife-
siderate congruen{e care conlin necunoscute. Atunci sint posibile
lenfa nu poate fi decit nr-r1d, deci r1:rz. Insd sfcarpietulioccmd aai;ai :bb,
trei cazuri: 1) congrr-renta este valabili pentru orice valori in-
tregi ale literelor pe care elestecovna{ilnaeb;ild2)peenatreuslneircrai laubinld numai impdrlite prin modLrlul m, dau acela,si rest, se
f e1 de (,mod m).
peritru nnele; 3) ea nu c:bA.;a(mcl'aord, efig)alirteaptereazain-tdb:emxanct (sau a: b*mn) ;i congruen{a
valori ale acestor litere. De exenplu congruenla ax=2a (mod a)
este valabill pentru orice x ;i a intregi (ax si 2a clar ambele, acela;i lucru' Acolo unde este
ci:mo8np,gdirmrulietpendfrap{irt2inpxar:i3,nu5(nm, rdoeddstr5en)sutvula;l l3adb)eicnldiLsr-pietesit1nectronsnaxgtir:su4fednc(tuedt)ei.opaDerienmctrpetto2txr'i:4v5d:,, -pcuotenmgrusecrnie{eci.oAngmrubeenle{aeixnplroimcud1 egalitdlii saLr
ilecesar, aceea;i idee egalitatea
rlcoarec-e atLrnti 2x:10, iar 10 se imparte fdrd rest prin rnodil-
in locul ?n limbaj
lrrl 5. In sfirgit, congruen{a 2x:I (mod 2) nrt este verificatd pen-
d iferit. fa{d de acelasi modul pot fi adlttlate, scizttte
Congruenlele
;i lnmLii!ite (membru cu membrlt). Sd consiclerlm tloud cot-t-
trrr nici Ltn x intreg'; membrul intii 2x este divizibil prin modul, gruen{e :
a=b (mod m) ;i c=d (morl m).
pe cind membrul a1 doiiea nu.

A rezolva o congruenfl inseamnd a afla toate valorile necu- Dupd cum gtim, prima este echivalentd ct-t egalitatea a:ffi1t*b,
noscutelor care o satisfac (sau a demonstra imposibilitalea ei). egalitatea c:rnnz*d; adunind (sau scdzintl)
Valorile necunoscLttelor care ac congruen{a se iar^ a doua cu
satisf llLlmesc aceste egaiita{i, vom avea a-\-c:m(nr-lnz)+b!d' Trecind clirr
solrriiile ci.
Ca ;i ecuafiile, congruen{ele pot fi de gradui intii, al doilea nou la congmen{e, vom obline:

etc., pot con{ine una, dond sau mai mnlte nccttnoscrtte. iatd citeva arc=b+rl (mod m).

exemple de congruen{e: Acest rezultat ne aratd cd avem voie sd adundm (sau sd scdclemi
congruenlele membru cu membrn.
2x-l3tl:5 (mod 21) (congrucnli r1e gradul intii ctr
lnmul{inci egalita{i1e e:ffult*b pi c:mnz-fd, ob{inem:
doud necunoscute);
a'lT,'r2,',1,:'::r..T;ii:::
x2+5i-3:0 (mod 3) (congruer-rld de gradul a1 doi-

lea cu o necunosctttd).

Vom stuclia acilm proprietdfile cele mai simple a1e congruen- Dacd vom nota expresia din paranleze (care este evident urt
tfrealrorsr.pSunAe,luindmlimcboanjgr-rrui conblai;nar-:rbit al(megoadiit/a?{zi)1o;ir. sd incerchm ao
Aceasta se rrumdr intreg) cu litera n, vom avea :
face
destul de u.sor. In adcvdr, congruen{a a:b (mod m) inseamnd ac:mnlbd.
cd a-b este divizibil prin m, atlicd. a-b este egal crt prodr-rsul
ilnutir.erng,cuatuunncinuimmpdirrfrizn.dQepceiparopcr:inclancdsai -pbe:bmprrli,n ltnde ll este un Aceasta inseamnd c'a ec:bd (mod m) ; cu alte cuvinte, congrllen-
modul pot fi inmr-rl{ite membru cu membru. Bine-
m, vom obfine lele cr-r acelagi aduna ,si inmulli nu
acelea;i resturi. In adevdr, sI admitem cd nltmdrul a, implr\it in{eles, putem numai doud, ci tttt numdr

prin nt, dd restul 11, iar b, restul r2. Aceasta inseamnd cd au 1oc oarecare de congruen{e. De aici ob{inem imcdiat ltrmdtoarea con-

egalitS{iie a:Pm*rti b:Qm*rz, rtnde p, 4, rt Fi r'2 sit'tt numere secin{5: o congiuen!5 care nu conline necunoscLtte poate fi ridi-
catd la orice putere.l)
cinItr1e1g)i, iar r1 9i 12 sint totodatd mai mici decil m. Sd admitem Tot atit de simplr,r se poate demonstra cd putem adduga la
a doua egaiitale din prima, obfinem: ambii membri ai unei congruente (sau scddea din ei) acela;i
12. Scdzinrl

a b:(p-q)tn+rt-rz

sau. 1) Inmul{irea cu o expresie care con{ine necunoscute poate sd duci ia
solufii striine ca in cazul ecua{iilor obiqnuite.
rt-r'2: (a-b)-(p-q)m: -r-(p-q)m: m(n-p+ q).

8-l 85

zngurlyllmetd_dnafre;*ccdue:&aacs+eelcamgei.(nmneaoudmpdumtre.)r.r)n.I-nDineamdeuexvleldimra,pmsludbdiaiicnmlueanmd:mbbrci i(anmgi oruudneemniie)colerne;_- dau. restul- 1. S-ar pdrea cd totul este in perfectd ordine. Sd ludm
fn9d.u.n ait^exemplu: 14=-10 (mod a). impdr{ite prin 4, nume-
a=b (mod m) si c=s (mod m) rele 14 9i l0 dau resturl 2.Dacd vom impdr{i'ambii rircmbri prin2,
(mod {5),^imcepedarlcite este
(prima este dati, iar a doua este evidentd); oblinem: vom obfine 7=5 fa'ls, deoarece 7 imparfii
3, iar prin Ce de ?ir_
a*c:b*c (mod m), prtn.4 dd restul 4 dd restr_rl l.
timpl5 aici?

,cu In pr.imul exemplu, ambii membri ai congruenfei sint primi
modulul. In al doilea, insd, cei doi membri si modulul au un
ceea ce trebuia demonstrat. ditljVor cto).mun, anume 2, iar nu poate fi
plificatd congruenta mai sim-

Proprietalile congruenlelor ne permit sI efectulm asupra lor
aproape toate transformdrile la care supunem ecuafiile. Iri parti- Sd enunldm observaliile
cular_, putem trece termeni dintr-o -psachrtiemb(imndai bine zis, dintr-un sd le demonstrdm. noastre sub formd de teoreme si
membru) a congruen{ei in cea1a1t5, semnele. Impreund
cu reducerea termenilor asemenea, aceasta ne permite sh ,1a- Teorema int?i. Dacd ambii membri ai unei congruen{e
au un factor comun pi, tn afard de aceasta, stnt primi cu
tuturor congruenle1or forma : ,atunci congruenfa poate dod.ulul,
fi simplificatd cu acest factor.
(un polinom arbitrar):0 (mod rz). Sd presupunem ci in
congruenta

De exemplu, congruen!a ad: bd (mod m)

se reduce la: y2 - l-y (mod 4 ) ambii membri sint divizibili pdrinnuda;uacdeivstiznourmi cdorm;iumnioddri_ferlurlitisidnet
prime intre ele, adicd m gi
x2+t-l:0 (mod 4).
La fel congruenla ,unitate. Congruen{a noastri poate fi transformatd astfel :

3x-g a5: A + l0 (mod 7) qd-bd:O (mod m),

se reduce la congruenla: .adicd pro.dusul d(a-b) trebuie sd fie divizibil prin m. prin ipo-
tezd, d si n sint prime intre ele.
3x-2y-5:0 (mod 7). Prin urmare, treblrie ca a-b
css:Id6rfeiec(.umrdgoievdmizmllba),iltcepeoerraeinmcema ta,reatbrdeuiiiaaciddtiernembcoaunpiseittrosaldtu.lSaViibIadi(cpi1.5osci0n)tc.comng'nreuveoni{tai
in particular, orice congruenld de gradul intli, cu o necLl- Teorema a doua. Dacd cei doi membri ai unei congruenle
si modulul anouuudncofancgtrouer nclodn. l(uDne, cimi, pindraticnedsut -cl apzt,-inpuatecmeslsfimacptolir-
noscntd, ,se poate reduce la urmdtoarea : obfine o
:s-e
ax*b=0 (mod m ),

unde a, b qi m sintSrumere ?ntregi dale (m este pozitiv). .fica ambii membri ai congruenlei, dar totodatd pi ntoduLul.)

cu,teln"trd-eoc^i.taenguaqliitlga.l.igleri.vElnlfed,nuinpsoi1, congruen{ele sint,,mai nepld- Sd luim congruenta
cu un
fi si'mplitibale toldeauna
lactor comun. Sd studiem mai alent accasli problemd.
i^sDgraladcCcdreo{avinnosgt,ddmrucepiomnrnlianpgrl2ru5fJe,i n:aa1ldmt2itbe(nsiimtuemomadeddm5erv)bitdreirZsaptZtedrinci:nlct2.so,sinrIietIe1zsg2utai,kb6oeibliim{atin:dpOeedmvr{lir(iraemetsdopt;rJr-irnlS'25i;. ad=bd (mod md),

in care ambii membri si modulul se impart prin d. Transpunem
ideea exprimatd prin congruenfd in limbajul egalitdfilor :

ad:md'n+bd.

so.lut{i)i Inmullirea cu o expresie care confine necunoscute poate sd ducd la r) O intrebare pentru cititor: este posibil oare ca un membru al con-
striine, ca in cazul ecua{iilor obiqnuite.
gruenfei sd fie prim cu modulul, iar celdlalt nu ?

B6 u

Simplificarea acestei egalitafi cu cl ne dd.: Mai departe, scddem din membrul a1 doilea numlrui 14, de
asemenea multiplu al modr-rlului. Oblinem:
a:mn+b.
6x:2 (mod 7).
J'recind din nou la congruen{e, avem:
Simplificind cu 2 (modulul nu este divizibil prin 2), rezulld, con-
a:b (mod m), gruenla foarte simpld t
,r: r (mod 7). (2j
ceea ce trebuia demonstrat.
Din congruenla ( 1) am ob{inut congruen{a (2). F.a este vala-
f,A=iAes1masA0dbimcaiie(rpm,malrisferoiutcmdial.tbrt4eeros)ibriuaeamimiaodcdscuoalnsnui,geirurrirlune,aexcmnepu{e'lrceiacmdid,cas'rcdaiseunismrrciofnepid'rldierpflaixuicietttalml.r+=uiip,rSls*urel|apiaii-mirl'liZp[du]ilo,i'l.'ritrl"u-ei-rao,a,riit1nrt4,"2a-:.. bilS pentru aceleagi
mncpcI)..a:ouu^rolin?lI.me"dlug?:tudcd:]r-".:lrafuui.ierriecle-u:gan..illaor.{p?aeefletigo-trepS{imr9s,uir{ctlrgeitlalte,o,1rmlsmlers:d.1utmelslllatieceiptsdmddslidu.enubieerplsaaulu,ireimnnoamelr_premiomlucridfjneoiaurceraiannirruiroucmeerorm,u.p.nit;odrIeg-anrorrgutniaancessnlcnafiltooh{rdeeeirrr!imncidipeobedui,nsrrtm,eitte'edrmeitereimnemauaabpdulru.iuuuz"ltnnpbJiupacrb"olthiuopi,ep,lrrnriircedoi"nea-ei-l, valori ale necunoscutei x pentru care era
ini{iald (1). Astfel de congruenfe se nu-
mvaelasbcilehc.shi icvoanglerunetne{a. simpl6
Congruen{a (2) este insd mai

decit congruenla (1).

Vom str-rdia citeva probleme a cdror tezolvate va ilrtstra uti-

lizat ea congruenlelor.

Problema intii. Care este restul impdrlirii prin I a
numdrului I 5325-l ?
Pentru rezolvarea acestei probleme, nu este necesar sI efec-
tulm o inmullire obositoare gl o impdr{ire plicticoasa. Qa{iondm.

astfel :
1530 este divizibil prin 9 (suma cifrelor sale se imparte,
Sd le considerdm impreund. Adu'dm ra ambii membri ai con-. prin 9). In consecintit 1532 dd restr-il 2 Ia impd,r{irea prin 9;
gruen{ei aceasta se poate scrie sub forma congruen{ei:

a:b (mod m) 1532=2 (mod 9).

(sau sd scidem din ei) congruen{a evidentd, cm:Q (mod m); Dar congruen{ele pot fi inmul{ite membru cu membru pi, in
ob{inem:
( e*cm:b (mod m). particular, ambii membri ai congruenfei pot fi ridica{i 1a aceeagi

Analog, am pi_rtea ob{ine: putere. Sd ridicdm congruen{a noastrd 1a puterea a cincea; vom
avea:

15325=32 (mod 9)

a:b*cm (mod m). Scddem 27 din membrul al doilea (27 este multiplr-r al modu-
lului) 9i ob{inem:
Sd vedem ce folos putem trage de pe urma acestei proprieti{i"_
Fie datd congruenta: 15325:5 (mod 9).

. 13x:16 (mod 7). (l), Dacd scddem acum cite o unitate din ambii membri ai con-

Dacd scidem din primul membru Tx (acesl uumdr este un gruentei, rezulld:
multiplu al modulului), ob{inem:
15325-1:4 (mod 9).
6x:16 (mod 7).
Aceasta inseamnd cd 15325-l dd restul 4 ia impdrlirea prin 9.

Problema este rezolvatS.

Problema a doua. Care sint ultimele doud cifre ale

numdrului 9ss ?

88

Sd vedem mai intii care sint ultimele dour cifre ale primelor prin 10, cu alte cuvinte dacd N .pi q au ultimele doud cifre iden-
zece puteri ale lui g. Le gdsim usor: tice.t) Agadar, problema noastrd se simplificd: ultimele doul
cifre ale numlrului 9ee vor fi ne4pdrat aceleasi ca gi ultimele doud
9r: o cifre ale numdrului 9o, unde a este restul impdrlirii prin 10 a
02- .Bl exponentului ,,cu doud etaje", 9e. lnsd restul impdrlirii unui nu-
uo- .29 mdr prin 10 este egal cu ultima cifrd din scrierea zecimald, a
.61
g4: .49 acestui numdr. Pentru numdrul 9e ei cste egal cu 9 (v. tabeia

()5- puterilor iui nouI, datd mai inainte).

06- .4t Prin urmare, avem:
07- .69
()8- .21

c)9- .89
ol0 - .01 1) 9ee:ge (mocl 100),

Ultimul nLlmdr, care se terminl cu 01, dd restul I dacd il adicd 9ee Si 9e au uitimele doud cifre identice. Si examinlm din

impdr{im prin 100, ceea ce se scrie: nou tabela cu primele zece puteri al lui noud; vedem cd 9e se

910= I (mod 100). termind cu 89 ; deci 9ee se va termina tot cu 89.

Am discutat pind acum despre translormdrile congruenlelor pi
despre opera{iiie cu congrllen{e. Ar ii normal sI trecem Ia rezol-
DacI vom ridica ambii membri ai acestei congruen{e ia o pu_
tere intreagd arbitrard p, vom vedea ci orice putere a numdru- varea congruenlelor de gradul intii cu o necunoscutd; totu;i vom
lui 9r0, adicd orice numdr de forma 910p, va fi congruent cu l,
fa!d de modulul 100. proceda altfel. Qemarcdm doar cd rezolvarea oricdrei congruen{e

Fie o putere arbitrard a lui noud, gtr. Notem cu p nnmlrul poate fi redusl la rezolvarea unei ecua{ii nedeterminate. Fie de

,exemplu congruen{a 7x:3 (mod 9).

zecllor din 1/ 9i cu q numdrul unitd{ilor; cu alte cuvinte, ludm
Am ardtat cd
N:l]p*q. De aici rezultd cd diferen{a 7x-3 se imparte prin 9, deci este

grop-l (mod 100). egald cu produsul dintre 9 .si un numdr intreg y:

^ln Inmuliind ambii membri ai acestei congruente cll 9q, ob{inem 7x-3:gg sau 7x-gg:8.

prrmul .membru Am obiinut o ecua{ie nedeterminatd, pe care gtim s-o rezolvlm
numere intregi (v. capitolul precedent).
glol , gq:910p+q_gN 'in

iar in membrul al doilea gq , adicd, Sd cercetlm acum congruen{ele dintr-un punct de vedere cu

9N:9q (mod lo0). totr-rl diferit. Fie dat modulul m:5. Oricare ar fi numerele in-rpdr-
lite prin 5, nu putem obline decit urmdtoarele resturi 0, 1,2,3
ultima egalitate ne aratd, cd orice putere N a h,ri noud este .pi 4. Din acest punct de vedere putem clasifica toate numerele
congruenti, fafd de modulul 100, cu o putere q a acestui a, dacd
exponentul 4 este egal cu restul impdr{irii exponentului ini{ial naturale in cinci categorii, dupd restul pe care il dau la impir-
{irea prin 5. Nr-rmerele din fiecare categorie f.ormeazd, o progresie
I) Sint indicate numai ultimele cilre ale produselor. Celelalte nu ne
intereseazd, aga cd nu meriti si pierdem timp, calcuiin,du-1e. I) Daci doui numere sint congruente, adicd dau resturi egale fafi de
modulul 100, este evident c5, in sistemul zecimal, iiecare dintre ele are la

sfirqit aceleagi doui cifre.

90

91

arilnielici infinitd, a cjrei ra{ic esie ega ld crr moclulul (in exem- rlileritelor ciase. ln exemplul nostru acestea vor li numerele 1,2,
plLr noslru, crr cinci). Iata cel'e cinci pibgresii : iJ, 4,5. UltimLrl rest, egal c, ntodului, i1 irrlocuim prin nrrmdrui 0,
oblinenr r.rimdtorrrl sistcm
.1 ti, i 1, 16, 21,26,31,. . . congnrent crr el fafd de acest modul.
.a 7, 12,17,22,27,32, . . . rlc ttumere :

B, 13, 18, 23,28,33, . . . 1,2,3,4,0.

.(,t-a, tl 1,1, 19, 24,29,34, . . . CLr nrrmerele rrnui astfel de sistem clectudm adunarca, scd-
dcrea si inmultire:r conform rcgLrlilor obisnuitc, insd vom inrocui
10, 15,20,25,30,35, . . . ficcare rezultat obtinut prin ceL mai mic rest pozitiv ilin acccasi

ircreli,iearItlsnrn,eaaidtecufalrrirna{tq,tlreleideiencaacmcreelosatdnseueuplumfraioifg5rdr.sLdeI.sneviiao.nrpriiloccrcoealgc'aallerniatsaimlrnoloeegcalispucedls.rppaetoctitniivmeunpa.l"r'{gi,i rnnrrlutrmmr"ear.-i scgadiIilnriJclecrrIamerdctsrcdesulaeIaleL.nlacs{sareliDsplenueed4cedratririo,deid!vatfaxoa1oilenvcac{m.mLrianerDr3pn,ddsi,l3reucvme\c,oro''aoeaimabemcrcmleoeilrur3lcereeinlcnlar+.np'rmidlnVrlLv4oiedrcoolc6z:am2me5u3;n.im.castspFuaPcocc-eenrdear4iseLtiin1edtron3tl3nrubd2puunll*eiXrmnmI4cianea3adi:{mcr2a:rrueaestald7cprtp(ei-e;r(m,'maemrarezcoo{soeesaidndtdnstireuuctt5nel5el,')o-rpa).6cne.trmetTiigumilpeiolacmiseemtiimtriacsdrcpecitsiclrlditarmuorlienslaniZileucatt-,.
mai mare dir acceasi clas5, 8-4 :,1,
cfaaobnlsaTgorodluuaeettcntmol'araoudtrmeeuezlnr,o1erhrlemr5bec;ilardef.icelxccf:aa,asrceiltpi(.rlamucri1soctdn'dap5loiLr)ar.tPrcarol')sgerseres'iiinlecuamcoele'ssrcmicrleeenrastltiebue(rdrieric)ni ariume 8. Vom-obfine
lrtl tlc modrrlrrl 5,
Fie congruen{a cle gradul al cloilea

x,:a (mod 3); sau,

rxpinmnee=1tse^,itip21r,ucturf"teii((1,eemr1cmldeiaoecroteeclaofx3arnenef)ucmvaerminrpndgdlcreeorranr2nemcga)roistudouneaulrrunnla-rrf_ulafsirmiel.ixrs3iSrtt2leee. r:Pusenlp-nslelulm(nrrnmrtereneiso_rt:ecr.dA,cs3odo2n)e'gpnareoruuxeaeetnsemetdesldttlluteeuelmiida.oueA:rnr1slgt,trerraaecsnlisLcrnrrdt-ll 3 l:4.

Sd ludm clte un numdr din fiecare clasd: Sd verificdm; dacd 3 -4:4, atunci 3'1;+in4 (suma diferenlei .:i a
adevdll*,1:8, aclicd
scdzltorului) trebLiie sd lic cgald cu
t,tn numdr congrucnt cLr 3 fafi de modrrlul 5.
_ In aceste condi{ii, dacd vom efectua opera{ii cu numerele

dintr-rtn sistem de resturi minime, care nLl sint riegatire, lal5 cle
ttn modul oarecare, vom obtine intotdcauna rruneie din acelasi
din printa progresie sistem. Mai important este ldptLrl cd proprietd{ile opera{iiloi obi;-
clin a doua progrcsie 6 nuite (aclLrlrarea, scdclcrca si lnmrrltiren) se pastieazi in irrtre-
, din a treia progresie 2 gj-".r'comutativitatea .si asociativititca adru'rdrii ;i a inmr,rlfirii,
din a patra progresie 2B distributivitatea inmul{irii ir-r raport cu aclunarea, toate rcgr,rlile
14 de opera{ii cu parantezele. Mai mult, se constatl cd fiecare cclla-
din a cincea progresie 10

Nsloiusrm_te,cerelmelercaeosstmfterlprarleiletsfedasfeearnerclmsleetusmcriroecfpalurteliirzlce.5lne;tma"1no"dt'i^iLfaoiiiii-iJ-csrl).aas,e,,-, {ie de gradul intii cu o nccLlnoscirtd are o solu{ie care aparfine
aceluiasi sistem rle resturi. Sc obfine astfel o aritmetici special5,
lcv,llnl-ocl.'"-msmIrJc,r'oll1,ruspre:iuas,'ttper1drelmc^osp1at9rcur.oore:,im1llaie]ap!crrlpeeerpotermz.cme,ilztaeaievirrneceinasrattcbrnuriellrietiiill.voefadVr'{,omdcvmr odaamseceirour"-nneiisccrimdlrllre?o'girdoieaiu'iul"laTrncup,alo"aritndnistlioleln'n"rtribtrpdneucrsuuuienr.l.re"2_."i" foarte asemlndtoare cL1 cea obisniritI. Deosebirea eseniiald rlintre
ele consisti in laptr-rl cd prima hrr estc o aritmeticd cu o infinitate
de numere, oi numai cLr. . . cinci ! Irr afard de aceasta, arilmctica
cu cinci nunrere nu cunoaste impdriirea.

Se poate confcctiona uir fel de ,,sciot" care ilustre azd intuitiv
aceastd aritmetic5. Sa thiem doui cercuri din carlon, unul mai
r) Cuvintul ,,rest.,ne amintegte ci 1a studiul ele ?nscriem cite un
impdr{irca ca pe o mare gi altul mai mic. In fiecare dintre
rierim scidere repetat5. pcntagon regulat: r'irfurile lor le vom nota cu cifrele 1,2,8, 4,0.
numerelor intregi consi.- .Suprapunem cerctrl mic peste cel mare astfel, incit centrele 1or

92

93

Mcdsedoaruccrdrocrilninmumcmidaieanrrees.gsirIirraeratddtifriarxccduremmmJ"cviiLnoi;rmro,.l1'p;p"'rii1oL;c,T;trenr.tce""lzal[,a"ii:'.C(m'Iri"rgirr.co.rSCa,rm)lr.rdVpemr;ep*imce;,.ics;Ie;ni!r.cadudiuIenpmdtrirpcrru.l"" Tabla adundrii

0+0:0 1+0: I 2+0-2 3+0:3 4+0:4
l+l:2 2+l:3 3+1:4
0+l:l 1| ++23::34 2+2:4 3+2:0 4+ 1:0,
2+3:0 3+3: I
0+2:2 I +4:0 2+4:t 3+4:2 4+2:l
0+3:3
0+4:4 4+3:2
4+4:3

Tabla inmultirii

0x0:0 1x0:0 2x0:0 3x0:0 4x0:0
0x l:0 1x 1: I 2xt:2 3x t:3 4)<l:4
0x2:0 2x2:4 3x2: I 4X2:3
tx2:2 2x3:1 3x3:4 4x3:2
0x3:0 1x3:3 4x4:t.
0x4:0 tx4:4 2x4:3 3x4:2
Fig. 6

u,:l(1uri.mgi,4:.a9p.Jr1ee.n,.cafelauvr{eciaumailL:m{r2i a2+rpece4,le:cvp'eoIermc(cumetgoimcidsric-i5r)slii-.'ucurornr"aeu".oslp-)errancedluxeceefmlz"pe'lcuro.sfudl-crearrdc.u"u.nludipmmrii.c2, Din tabela ?nmr-rl{irii se vede cd 3X3:4. Am ajuns deci la
aritmetica pe_ care an-t promis-o in titlul capitolului.
'tdecTcpTnroegei:etir,arnn^pc./CrtJc1turrucliuium'dr'ulgidueaacrid)n7nlidc.reice)rnAui-uanspmnpitmVo,gcon,uezuuihinucl'iJirtrisicioeilneiatilmi4rnrdgiurmcai.l.m,.nilaHacicehita.i"unle8fcririii,ei,4t"n,"ir/p;-e5i4l.pcmii;Xairu;"u;li;ilr3ln;eAoiior;-:m;rr?;2t;piu_";;g.ir;f;i;l,al.','l;ci,'tcr,riirrCee";r'..',r"mstrr,,"i.,o.p,aitir:rittj"r,ruuu,mia;tr.niri.uisr,irg'ure"t-rojelrzi',lriani,2r.r,zmiir'."e.^il)rpri"iDo"an"ruc"ieirtre'"oririrceeiciuteaxl;uriiemr,rilcrnm!rb"uma,replarlutatel"*euii In exemplele menlionate am operat cu- sisteme de numere in
care sint stabilite numai trei opera{ii : adunarea, scdderea gi in_
t\/rAv @ \[ J).)J F,/-/z-*f-----\l-*r\-\\
n-rul{irea. In matematicd astfel'de sisteme de numere se numesc

tii.v"e",1i:m.pMreLurnl{dimceua tuturor numerelor intregi (pozitive gi nega-
zero) formeazd gi ele un-inbi, insa acest inel
are o infinitate de elemente. De asemenea, formeazd. un inel mul-
iime_a lrrluror polinoamelor cu coeficienii intregi, de toale gradele
pos.ibilc irr raport cu lilera x. Srrma, Oiferenl?'si protlusrli rno,
ftpoioaalcrinetoi;iaamdligemepdboeritcraeivc.edMs,tiumfelt1pimdvreofiarrefnai,um1dauecrrieenldoapuf rlno1aaopfure,ra-pilonelintnoouaatmeesecteaaszueunmrldliennedlal-,
deoarece diferen{a a doud numere naturale poate sd nu fie
3, iar ,,minus trei" este un
numdr natural; de exemplu 5-B: un
numdr intreg, insd nu natural.
In afari de sistemeie de numere in care sint definite trei ope-
ra{ii, pr-rtem considera si sisteme in care sint verificate
Pozi /ia Prina =yA doua patru opera\ii, rezultatLrl fiind ?ntotdeauna un numdr toate c'ele
nilia/d rola/ie A /rera mele respective. Dintre
rota.he ro/alte (adicd din siste-
reior ra_tionale acestea face parte mr_r1{imea tuturor nume-
Fig. Z
intregi si fraclionare): suma, diferenta,
p.rodusul si citul lor sint tot numere raiionale. Astfel de sisteme
Folosind ?anclcosctui,r,secaio1r,e, z(siartutaadt*ulr;ra.;r;eia; de numere" se numesc c o r p u r i. Toate numerele ra{ionale for-
;i irrmul{irea obisnuitd, mgaz! un corp. Toate numerele reale (ce1e ra{ionale impreunh cu
urmate de cele ir-afionale) formeazd de asemenea un corp; numerele com-
corespund fianmtarrdt{eirimi o(idarrtrtudresir","a"urjir"i"-,ifn reslurile minime care
adundrii si rrrmdtoarere table are plexe formeazd gi ele un corp. In studiul corplrilor, la fel ca pi
in aritn-retica obipnuitl, ?mpbrlirea prin zero esie ,,strict in1erzis6".
,

94

95,

H

ssnclusdmtedIenmerreuealauifna.i..IrcniAamdsreeLtfreislnfliinerdelteearesp!iaiis,l.tiicezTomaprbpbaiurserrieiinrsn*uelulmmcoacpnisosdciiodgouear,rudo"puip,nu'enerro"ra.ir"iiiis,#'io;sl;uiis;"tte#;m?r"ei, de
si

s;;;;;?ji.asu9scnipnreoLjsrelrc1m_n'jIsllsVoeunciiemnroeadl"rte'rersy.ebrermnopNiiunrnsrdumdredcrrrnlriiecanmrlrdorrruededecir.,osonaiInuePniaunrdrsnbumeeo,lslircltatlicruranmsialeronderslieureliiuesns,mstb,acseliiruuaaitmnaccmelpceo,exnmaartdapriolunaeerrmbLud,.rine{eei.iinouiif;conemnpt;t,ei;croetertlJrlJ;uiriaLnea."i!rm,i-nlinga,licirriesreieaiienb."gan"mo;driucrieeieism"idi;enig,tssiiert6tL,ea"ie,arrrimrp,nriot,neeeprTpdelieuooedl","arlleiiaondr,perboeto"io.iobiiae.'la"iiAmcenosrtcoetrerertcipa_leltueeer_-,r,- CAPITOLUL IX

cITalrgareisgan:l'etsraevooamcpuapordceu1dpneapoirsniembcuitai pdriietnodclelldaeeruiprrimrorp-ittroeieaolrrFeial.ilenr,r,mr*eJr.e"tloori^pArcimeea,sldde DIVIZIBIL SAU NU ?

d_ ldsdm corpurile si ineiele, ;i sd revenim la pro-
bleme apar{inind aritmeticii. Vom cerceta crite-
V
riiie de divizibilitate. Criteriile de divizi-
bilitate prin 2, 3, 6, 8, 9, 10,
cunoscute. Facem '1d,o5a,r 25 sint unaninr
observ aI,ia cd,
in diferitele
sistemc de numeratie, criteriile de divizibilitate au forme cliferite.
De exemplu criterir-il rle clivizibilitate prin 2, in sistemul zecimal, se
enunld astfel: ,,Se impart prin 2 toate numerele care au ultinra
cifrd pard". Sd presupunem cd folosin sistcmul c1e numeratie cu

baza trei. In acesta numdrul zece se scrie 101, aciicd se telmind
cu o cifrd impard ; totr-rgi, aici ca si in oricare alt sistem, numd-

ru| zece este divrzibil prur 2, pentru ca divizibilitatea prin 2 este
o.proprietate inlrinseci a nunjAr,rlui 10, cu totul indeplndentl de
sistemul in care i1 scriem. Prin rirmare, un criterir_r de divizibili-

tate valabil in sistemul zecimal ar putea fi gresit intr-i_rn alt

sistem. Desigur, existl 9i propozi{ii referitoare 1a divizibilitate,
valabile in orice sistem de numeratie, cum ar fi, de exemplu, ur-
mdtoarea: ,,diferen{a dintre cubul unui numdr impar si numdrul
insu;i este divizibila prin 6". De aceste propozi\ii- ne vom ocllpa
in capitolrrl rrrmilor.

Sd. ne oprim intii asupra regulii de divizibilitate prin 9, care
este bine cunosclr1d. Aceasta ne va ajuta sd in{elegem mai bine
metodele care se folosesc 1a deducerea dileritelor ciiterii de divi-

zibilitale.

criteriul de divizibilitate prin g se bazeazr pe faptul cd orice
numdr format din unu urmat de zerouri (adicd orice'pr-rtere a lui

? - Despre numere Si studiut numerelor 97