Berman, G.N - Despre numere si studiul numerelor

zece), in sistemul zecimal, di restul I cind il impdrfim prin g.* Sd considerdm acum un numdr format din cifrele a, b,...,k,l;
In adevdr, il scriem:

100... 00: 10n :99... 9+ t. ab ...k|,

n zetoafi n cifre I avind grijd sd menliondm cd nu este produsul numerelor a,b,...,
ci numdrul care contine I unithli, k zeci etc. El mai poate fi pus
Primul termen, format in intregirne din cifre g, este divizibii
prin 9- sttb forma :
De aceea, restLrl impdrtirii rr-ri 10n prin gi ui ll ln moa,
a' 10" + b' 10"-t +. . .+k' 10+i.
necesar 1.

vrp4,uoa3^lrt5#rdud1uea.tm-ulrmenidigpeitvtdpluolaril{rrid3tnedi,dn_acusi4rdn-e3lcsc5pito1urzn)ieln.sc4iCidg.areTe,rrsiofmetiteuzcualualsctnratifentenclsm,uie;tmireomedbidarsi{dauirrartcrebmaeitiirm.rnaeerps,dutdrnttei.uteeAl\xi-pri-eaurmaminaparlud_-, Aranjdm in formd de coloand sirul de congruenle:

a . lon:a )

b.lo'-t:b I
I tmod e).
4351:(r_rn numdr divjzibjl prin 9)+,1+3+5+1. k.l.}:lk:l
I
in:,Dn'-suaslumiucmtdpla:aitrsuv'uc,alim.f-crsfaeeiclddocieiomrv"mripzeupaisnburtuiuntleirpiniupr4uirmn+imr-gdgrl+.rrgu1d.l5aD+dt aeeIrs)at('eceicasdritieveuizrramelbpreiilriaazezizdnpi.nirtictinioptngo;c,cilp;muiz9ani,aiu:?,m,stduLdanlrmccu6ial,
J

Sd adundm membru cu nembrLl aceste congruenic. In membrul
inlii vom avea
0'la'+b. l0'-r +...+k' 10+/,

rea,rel,sgptuserAerconmzusenrntsvastcoairmrteiebsxb.r?odnonredlilm,rpdeneaifunregetrhraaiutiveliemslsemc-earcliveeifcorrecoieeaunvasvuildenentnueaniidtlueunimnn,u,Sdssmumrdudmlrsuca. iiifScrceiesfolreenea,sldosdiudrpen,e,oudrdnparndeet:ucnmejpt,rreeucunriretfcnrrlduae*, adicd tocmai numdrul clat, iar in membrul al doilea vom ob{ine
silma cifrelor sale. Prin urmare, orice numlr ,si suma cifrelor sale
ci frel or " . sint congruente fald de modulul 9, ceea ce inseamnd cd ori sint
iirnbele divizibile prin 9, ori nu.

sd reludm rafionamentul, ojorcicCeinrsnitteururmicutdlivrd.dePerdo3ivpsiuzanibierilli4ituacnteiefri pepredinrsiso9atnisneecsfodtelos.scerCigete,erfed.s{riid-iinssdduvrpmdedramtroaurtuteel,

j'ii,iiImpirlind numarut l0.prin d cifrele in orice ordine vrea ; el va ob{ine atunci Lln noll numdr.
congruente fa{d de modirlr-r1 9: ;f;o;;r1os1in;-d;"n.oiifTiuln,"eraaidiae conp,ruentd-
io'.5i'
Spuneli apoi persoanei sd scadl numdrul mai mic din ce1 mai
I l0:l (mod 9).
mare pi sI taie o cifrd a diferen{ei ob{inute. In sfirpit, sd vd
comunice suma celorlalte cifre. Imediat veli putea sd-i spr-rne{i
care era cifra tdiala.
Si ridicdm la o putere arbitrard m ambii membri ai congruen{ei; ln adevdr, atit numdrr-rl ini{iai, cit si ce1 obiinut prin per-

oblinem: mutare, au aceeasi sumd a cifrelor ; cu aite cuvinte, la impdr-

l0'=l' (mod 9). {pirreina prin 9 ele dau acela;i rest, deci diferenla 1or este divizibild
aceasld diferenld
Inmulfim..apoi ambii membri ai acestei co-n-gbr-u-e-n";f"e cu un numdr- 9. Dacd insl este divizibill prin 9, in-
seamnd cd si suma cifrelor ei se imparte prin 9. Vi s-a spus
arbilrar ly'; avem : suma tuturor cifrelor, cu exceplia uneia. Prin urmare, cifra tdiatd
1r/. l0*:l/ (mod g).
trebuie sd completeze suma indicatd de partener, pind 1a cel mai
Rezultatul oblinut poate fi enun{at astfel: produsul dintre un nu*
imparlirea piin 9, ace- apropiat multiplu al hri 9. De exemphr dacd numlrul scris era
mdr arbitrar l/ pl o putere a lui'l0 dA,la 2365, iar dupd permutare s-a ob{inut 3652, diferenla 1or va fi
Iagl rest ca si impdrlirea numd.rului l/ prin 9.
1287. Aceastd diferen{d, deci gi suma cifrelor ei I *2*B*7:lB,

este divizibild prin 9. Dacd se taie citra 2, rdmin cifrele a cdror

98

99

silnri {'rs1c irr,!-r-'i :1?. ciricr p'i:'rrle.i"rlL' .,.ilii,,;\i;fs;;l)niir;e;ica*,a' obtinrit t6, {,..ircA;r1i1ncxgerumppelud:a505360335 0est3e5d(ivaiizciibipl rpimrian 11. In adcr:Ir, impzir-
iiu;i,, ,f,, g gnipd rlin sliirga are
,-on.rpialrli ;,r,..,r rrnrirr. l,i,ra
,'iri' ji.(afsmttm!il1lcioil:iiipit.'"brLceliarollLslmzVuuijlrpcl1_itt1ormacrrr0:d'rprmo1i0vnseal1ui.,cccrtrrci{t91i.elilibtiecril0rr,cal:,;rnalcr0zrcl:1,r'tet09l,e,,llra.t,li:(,atrcr.Ic1za1zicfiaa,r,.ioiA:sao.rllilsc-:lz0oiceizlnr'i/tir1r=,r.clr1.e1.)i1r(.i.,Df.ilJiva,'a).i,-ir:i])cilaclc{:crit,efrilic,ile0cro.i.o!cii.Li)i't:artt-trr,(i.jeSsj;;r.r]tgLirc':,'r,l;ti,irrr.s.nino,,or,oi,:iti;,iti,rrlrir,t.ri:,iriflr',,''ii.,i.'".lo.Ul1",,ii.:rlt,cit.,i."ii",r'u-"irJuiul1i,tl"jr-lt",,s'il,i,tii,rro,rncrir"r-a"igiiO.lraici,ulevrri;:tce"t.:rr;t.as,s"rtciili";irtizir.tifirtlaiiiciiai,i;1ei;tb.a$itco;"6rcbzt.i1r,lrtrlr.:ierr",;r.;tii-.r.s;r,1a.dcriiiitl!'iti",rclijiii:;rc;'tii;l-ir1ll"c,cr,ii;irr;illir,'a,irrri,i,rri)1ilip':'ic,es."ri.i,;.,d'rr,r,o1,rc,i_l_i":rr,i-r,.qir_t.r,rl;ii
cloirzi cifre). ..\drrrrdm grLrpele 56-f 30+35:121. SLrna giupelor
se iruparte plin 11, dcci pi 5630115 ria {i divizii.ril prin 1i.
Nu trebiiie si ne iirctiipuim cd exisli rmnai cile un
singur
critcriri cle clivi;:ibilitate peiitrrr liecare numdr. Iatd ir-icil un Cri-
teriu de dirrizibilitate prin 11. sa aciundm separ;ii 1oer1e cifrere
nunrdrului da1 carc ocriltd pozilii psarrrme l;imtoliafnelicjrcclepc(a.crcciolcirrrpiadi
pozilii intl';11',r, sc.rzrrrd al'oi dirr
mical). l)acd ciilcrcrrla es1e divizibild priii 1tr
(sau cile eg;r1d cir
zero dat fiiiid cI zero se imparte prii'r orice
nttnlrLrl rlat respectiv',ra fi diiizibil prin 11. rrum2ir), atrnti si

Sa lr.ianr nn excmplri. F'ie numlrLrl 82305.11. Pozi{iile inrpare
(socotincl cle 1a tlrcapta) sinl ocrrpatc de cifrelc 1, 5, ll, 8; ;idir-
tiincl aceste cifrc, oblincm i *5+3+B:1'1. In pozi{iile pare arem
100":=1 {nod 11). este 4+ 0+2:0. L)iferen{a
cilrelc 4, 0, 2; slrmit lor 17-6:11
f:,!l.lll{silill:lll-l)l:''i:J;J]l'li,rl.il--'li,pri1r,t:,rfli;ns,.r1'ra.1(:ntri.:lri:,Tis'pullfrrrll=ircr,.lr-rrT,1uolrjl1iillcr!ln't,,ne,os1rs;isiclsrliiirr,.ttrll(rlriiee.'lrli\\|zl,ltrp\r'5.(,e,'a|lnf;r\1r.icmtiari;iirlGiqr,srdilieiJ,l-cirrcrm,rri\ril:le'.rrrllronleai,r'n.rrirrprtrri,tcdioiririlnloirio;:scrirrrrclrtrldi;rr.rirtrtixii.rimcilcrrrtilircmc:strr:11,arrii:itcn'05trr1iorii0berlrgz0,ji1llmcrrT0.tr*rc]cii."rlt:ilpirrprtFrai,,.raii-i1cix,iic,eierzrrS.ocicm.iiiarir;rIetr.rsrinr*iclxni,iC'ri[ac\prrzotllrcqc;g,e;irr,refcrxpcrresP;,lrc,rfriprIriprrx.l,.ic,rcj5;:ti.lti.ii,r7zlr,;r.r:<criifl,r;llr";Jlrglir;ir.r.t;crrr't{ro'r-i.\.ii,c,.i't,,,:rsiriiptr'"1:il.t"rirriirii,i,r,rir\,r.i;c,,nm1,rnrrrsario"r,c,rI, sc inrpartc pr"in 11. Dcci ,si nunarul S2305.11 estc rlivizibil prirr 11"

Propuncm cititorirlLri sd se gincleasci singur cunl se poalc rlc-

monstra acest criterir-r de divizibilitate. Rationamentul ria li deo-

sebit dc simpiLr diicd va folosi no{rutrca ,1"'congrLrenfi.
In leg2itrrrd cL.r criteriile cle dir,izibilitale prin 11, r'orn striclia

urmitoarea problcmi.
Problend. Sci se scrie ceL rnai mic trtLtLliltlrL Lle ll cc,tntptts
clin sase cifre, prirna cifrit fiind 7 pi ioale celelalte tti,stincle.
Szi scricm dLrpi 7 palnr cifre, inccpincl cLr lln zero, in orciine
crescdtoare : 70 i23. In fclLrl acesta anr ob{inrrt ccl m;ri rnic nunrlr
rlin catcgoria cirr-rlati. Mai rzlntinc sd :rddrrgint cifril
'lrri s.I fie divizibil prin 1 1. rrllinta pen-
ca htregul nLirndr
:''i 385: (r;ri rrrrmz-rr rlivizibil pr.il i i ) _.i_5+73+g5,
Suma cifrelor din poziliile impar-c (socotim ctc 1a stinga) cste
:g:1ru1:p.1el,o:r:f". conrPrrs riinlr-un rirrmir divtzibii pr in 1 l plls J,srrrila
,;+tr+3:11; sLtma cifrelor din pozitiile parc csie 2. Penlrir ca
r;;-*f,:::t,.lc]',rL,sr,l,lr;eis.uiii.r)er;orr{e.lt.ii;:mcl.liri.rzt-ynneri-icrc.brDma1rtilr'ietltpzone,lhftltpr'j_pilrrrrrii,tirr'iirr,rorn'corsirni1srt1rrIcl1LiL.'irr,,iiTtD,t.r-vrlr:.n{L1i,alclieu1,^,atur^?fLrizO..triIltaf:d;..l:.gf;'1'ic.1I;ar,i,,.;l,rrlcri.liz.rll;r.r.rc-i;r9e-r6ig.';l-iairo-lrllrt.i1-'lreP'a';a:ca;r,:isil-r"cgtri'Celd;z1iir'btpctcrr_ri;iriliiC,,;i.,ir:,isJ,'?"sr[fr,i1ir1"iTifn,n,9in]'rr,i1aaredl'"lr:rfrig1,u;r,rtiljiut'jr,tiipp]5Sinll..c7c"s";tUllrro3lolrii;c:8r,rS.:,]_5i, IiltiiflcimrcanlcaiiarcietsrtcobrLsriucmseeisfdiciirerodrirv:iiz(ib7i+li l-plr-iinj':(1)1+s2;lri-r9c)g.;rlAeisacdrrar0",
v?:1'.i.9zl'_iHiY'b.i-i,,i:1i!lr,l(,,ji;3'ii.i"s:A";ii.irn:ii,,"rt'r:i,n-ii:an"1cc.li,e.1.s,g:lltrbJ:uv"irspJ1LeriU,r'f:ftel,iiajm:,;lrae,+;aligii1riirirrnrr:1iicir\ljrleaLLiui.r,l,^;r'Ji'.io,l[ritb?-.iiiili.Lii,it.nci.s#p"eoi",lil,,l,l')"rrlll',s,",li,iloi'Hir'ti,ti.l,,1,*[(i}]r,Lr"]ul"ppu"e'r;"'n'i nuniiiritl c:irrlat estc 701 239.
Cri lotLrl arralog cs.tc si critcrirri rlc tli,-izibiiitale
) trr*nem cititorulrii si clerronstreze aceasta. 1r r in ll 7. I'ilrmlnri I 0r0rr0m"aqitdtodactelnprrnterrlrilneiirsaciicc
(arciicd nrrnletele: il
t'oinrate dinlr-o rrnilate
zcrorrri mrrltiplu

r) l3ineir-rfe1es, in acesi caz estc incliiclent daci socoiirrr cifrele de 1a
clreapta 1a slinga sau dc 1a siinga 1a drcapta ; daci n'-rnrirul de cifre cste
cit gi din
intpar, atunci liccare cifri va avea aceea;i paritate atit din stinga
dreapta; daci numdnri de cilre este par, atLrnci luindu-le de 1a stinga sau
de la dreapta, paritatea cilrelor se va schimba, insii suma cifrelor pare va
rimine egald cu suma cifrelor impare sau va Ii diferiti de ca.

i00

101

9d9e93e)sdtcardr,ivliazibimil'ppdrrliinrcJa7_'p1Or!O1O8: 7i;,:u:7nyr_.estnefgi,aial ci,u,"l.LrIn', -a'devdr, In legdlurd cu proprieldIile nrrmdrului l00l existS utt inte-
"La"irit.urrenp,tfi,iiroanEudmsidsdt-rrlauvcltettiidvse. clPir.iisoC,pcntrrrnetem{it'idpcreuurlisvoiananrse*diisicn(r!i"ecaogurlzqicdme' sqndluumardliaarcuddgees,tcrreini-i
I 000: I (mod 37) .si 1 000,: l03n: I (mod 37).

vpas2dpp:1:eorol5li-rvut-"ma0"iibi1e1cnri12acCt11i5rlz2no,r',es:;0lbd:raaIlr=s1ais{.z0taiY2iu^cdnne0pmo,leice,mr1rpn,esairig'erttpn_ieercglaniidsle3r!adri7,uamtleeipipov.mlutdeis1uzdc.ldt0eorliairfbJrvrrccsejdnnidetdzte,iasunsiriarbmbdvltelc0einoiisneillurui0zr2sm^ri;5md'l.l!riicc2b+d-sds.cia;,paeinior;lttcriri'enii;n:dtnmti8da;prr;ue'"piiar/!tidrniila.ie.;ii-l,,viprnrD"iluzOeu;allpdat'm;rpbci_ms;relIrdr'rtii.arfn".neipd;,rs,;;l"g7i.ei7rrvc.;ets'idrgdlirips"i'i';v,pzriid,.i,'ir'dl'ii,piinbdpnperb.i#^.iIn'rpili"tlpolrii-r'tesnla*ialianal".i"nrce"ta*O3dgs1e_t7rta3*e"o,, srie'f siuei'rinf i'[piatiln1677., lvmapdavrfeiraeaacrllamd1e6c7ur1g6e7)i-nCbettrnecli-ci osni d- ri.m!iip' adrclS;i'reia-
prima vedere, un numdr luat 1a intimplare nu trebuie neapdrat
impartA prin 7. Propr-rne{i partenerului sd impartd' rezul'
;; ;;
iguritrtn,'ttusflpu"iniireai{riIa-i1;i';sfidahrriaamppi-iaeosrpttd,eiraauriftiiamrervz-aru1lftraietizunulculvtnaaut fnpiarntidnumd1ed3r;suuilmcscpecdsri..srl1iirnneiaslifaisrle-.
,,Secretul" jocului este cit se poate de simplu' Qepetlnd in
scris nu inseamnd nimic altceva
ar"u[ta nr-rmdrll pe care l-am
:.d-isu1n:e1c6.ci"76rliidii7usr1li96,n'117im6'a0uc7mu0moiv1nliidnros)er.emma.cIuunEnaltsfsiuivvtdtmeenpda1eurr0Lvmi1nir0d6dlu7e1r7itn=1r,ilt6n7l7cci1'lr1di:taft91lo1a0iic36t0re1-7.r130I,iPm,0i0alr0p-0ira+nh11marf6(upi{ro7reiimlm.ei:aelp-sraxed-1gma'6rguf7.i.igit(mdm1lcuppps0,drdfd0diranrfs0i!cun.itd+lrd0ap-1t0ar)piiminn:e'
sr3+3ai552m7t78iS0pi5dz0ine_ie0l:3r+,-m35r2ds8s7miei57:3.2suv5BinSa7S2dn.8:sua3FcImcshr0di7d-irm0re0n,a0b'1tmd0are_n..nse(tiid3xis-eii5iarim"5;7s.pf-cfl_+udipEZd,gein"iSSm;._7;'SEt2sergiissaS.ft;..;:"B.iAui;cSp;erv";si7iv'-'t;^'|"(n;ilt\i;uu.0iILmi;rv0.iwdot0Jrivn+icX'of.oanpitrit)r;uinr+i":e- ,bune concli{ii ;i ca rezultatul este tocmai numdrul ini{ia1'
mineddsTsdeiivamtpeimvlzPetimcdb:rididilaiiemvlardmn-eiuzll-iuri.lndbgpmutaiireindmcidrnfdrm,eudt7eleraeuxn,dtsiuneup,enriemrascinsttnireii_oiaersnepIsdlcrovrtieuiaindu.tdeu,eoipin",fv-rrilirrpi;rdi,in;nbnii;ivrtniliiii"r;zrn;riiIifbi'si'ini"\.nl1duupduejime*ra"iuacnrcdin.rtar"ui'rnrtttar0alu"imc0miaienrsad.las"ii.smuRuimlrgdrrp*imiu.lcdc"niAi)nul,iretrlae)leiru#Tcnedrni'trs:ei,Jot:,tcac,i,-i criteriile de divizibilitate pentru acelapi numdr diferd de 1a
un sistem de numeratie 1a altul. Astfel, in sistemul de numeralie
,tu baza 3, un nurndr care se termind printr-o cifrd impar5, poate
Ji divizibil prtn 2. s5 stabilim criteriul de divizibilitate prin 2,
,in sistemul de numera{ie ternar. La impdrlirea prin 2, numdntl 3
,dd restul l. Acelasi lucru se poate spune despre orice putere a
lui 3, deoarece fiecare putere a iui 3,-neconlinind un factor egal

,cu 2, va cia restul I 1a'impdrlirea prin 2. Relu?nd ralionamentele
pe care le-am folosil la'deducerea criterir-rlui de divizibilitale
.bbignLrit pentru 9, ne convingem cd in sistemill ternetr se impart
care au suma cilrelor ptin 2.;i numai
,*:mpdo:utni:ecnr,Tainct!iit,mSi:dttm'i7,d,.fasnn5ila;rcou25-iro1rrm5enpn3:ai?srdmr:iirn02drn-nqu]ei89llatcl.1rd89rld.3d.tfmg2n-,ieN2,4d,slum0pua-imm;srnr8iii3npnid:apgslure(l7rut:r2.i2,v.lnn.0sap0duNsaritmefjir8.nir..d-'uid'sar2.laniii;agv:ili2iralilg"zdi0'-it;.i;Bt--;-biii6i''Blitirn[ol*pt22',put-ma4g.irluiSaiginl"nd2,z),,rSr+mlsIe9u".lSdsF.etrql..e2l;auc-mSifubpldpmi.ar;"vmrnpiiiianii.lm.o.;cdfrlr_ieiapciu"ncdill2duldi.r-v0m.intni.8azn,rdc8ui*becr2rruesi."zll{ril prin 2 numerele De exemplu numdrul divizib-ild a cdrui sumd a
aceste numere. 10201 1),

.cnifuremlodrruelslt0e zegiiall5esctue 4, trebuie ls'3d4fi+e0d'i3vi3z+ib2il'3p2rin+02.'^31+n 1.a:d8e1vd+r,

egal cu
+ 18+ 1:100; evident 100 este divizibil ptin 2.
Vom cerceta acum problema general5 : sd se afle toate sis-
temele cle numeralie tn care criteriul de diuizibilitate aL unui nu-
mdr arbitrar printr-un
ntLmdr dat a este diuizibilitatea sumei

cilrelor sale prin numdrrrl a.

t) Nu este vorba despre ordine, ci despre olasa miilor gi despre clasa intr-u')n Ca gi in capitolele IV Ecai Vzu, lcdaeracfate{rdeliengsraissteemreuplrteezrinnatar. numere scrlse
sistern nezecimal, in
unitd{ilor simple.

102 103

;hc(carzcrpetsrli"troerlatrrr#slmaarlaeSicraIts;cdceltldz.lrooeere,edrlrsrn,rmsilspov1tsoiesjarrcctz)saridsr.rljraltebrlumrrce'rDmrzi"rirlJrirn\eaeldciceteidaausrbccagn?ltliueeiinannnrc-siaelrdlirdiee.c:,br,rsmmalgipc*ioia'usraar,ubeti,iatnllizIzsedrireurie,lraibaianrci*d:;tv.r-liuanidt.O*i-raiv"Amu";isiil-n"tiir_i"ue'lz;nt;r;,cmi;r,;rpi"iei,rdlbb;ra-en;Li.i-iritia;r'aaiciac;jilc"a";;"iiidc[';',onn.r,Ir;rse:ru',iAti;'].i.,ono'm,tc.;r!a,""r.rl.,^toailcu"sl;,overl.Hra;1ar,a;rirrilir;;ceiuelu,;i"rsr=otsuduclcdirniiliidr"flerraicnu;'"cre:)rt,mcru'r'ae:i'riii1'pimtilanrr.itirri0itio;lzCdafcis3c,;iraab.iidnl'rr5ai:sjrbieipn1ir,,ianr1lamrsrfz6neoeel:dx_ae,,i Din .lpurionbd.lecmaa.bparezcde.daenstdist;etmimulcudi prin-ra co'clilie poate fi satis-
lacuta de numeralie Lrn numdr de
Jorma 5m* 1 '
,t:sttt* r.

Sd trecem 1a a doua condi{ie. Dac/a divizibilitatea unui numdr
prin 7 este determinatl de divizibilitatea prin 7 a numd,rulr_ri for-
mat cle ultimele sale doud cifre, inseamnd cd unitatea de ordinul
ai lreilea lA0:n2 trebuie sd se impartl prin 71). Atr-rnci orice
numdr de r-rnitbti de ordinul a1 treilea se va impdr{i prir-r 7 si
problema se reduce 1a cercetarea primelor clor-ra 6rdin.i-apudr.,
n2 dtroeibleuaieasldafcieesdteivi iezgibaillitpar{iinsd9afpiet6 : n2:Tp.Pentru ca membrui
un pdtrat perfect, numdrul p
al
trebuie sd fie egal cu 7 inmullit cu Ltn pdlrat perfect p:7h2;
ci:mradpcidnl raiaicrceeelaaassryii,,rlrr:rr:c,ryor:r:rrce:as!otr;rri.l!.rlot.rn1ign,r,',ri;ou"nc"1rduaro,riceegapliulatelerae vom avea deci n2:491i2 sau n:7k.
Reciproc
tui n Pentru determinare a lui n, am oblinLrt doud ecua{ii liniare cu
ara rla la iroaslrd"
trei necunoscute
esprrma

rt: 1 (mod a); n:7k si n:sm*1.

ridicincl Ia o pr-rtere ft aceastd congruentd, obfinem : l_in.iaErgdacliunddomuedmnberciui ndoisncrd-rrteeapta, oblinem o ecuatie nedeterminald.
7k:5m* I sau 7k Snt:1.
nt': I (mod a).

iitDl:uivailiciziIdfibJiiainiilsji:lmSaiipti0*d',rr'iricpi;reei*iann'T'ro,t{e':aXr.ein.}rar,fm;f1fbalaT;rz;u;eiliti;,::is;ii;iisn'irtler'"r,rnn,:.u:di1.iu'nicru'd,ueein,,rrrir;utm;cmrr;eir;crargi'tv;aie,irn,aicrn"'dld-ee.ardezu.sah_* L1S'stiomr:sd rezolvd,m astfel de ecLralii in numere intregi. Gisim;
i'ii ;i'sc,tlsc(j'tclta1rreitlsmvllrn,smrrl7ezieeu1Fzc:A:memo2m,lielrolrbcSeru:doudtr;riaer,l'alacbri9|t0tlvtc"uciloepaa;t+adcJl:zcelrl,nudee,issn,mguIiureccuuo)mar'sairmummmidrrrmer;ealab.idbeadrpnivaitralrmlciaoSrlaiurtarizai/'aifzeprlrr,irllralcieeal.0femaccdovstrtapo.:sttce"recpeamrr,lided;rIcorutrrair,.tl'oud'vrifg"onlrtSrbiif"elziiicieli6-ra;ailitbi;i,;i,io;n'lliirt"i;;-fi,r";;";r"i^6',iu";t;iJzl."""ta.;:l;"livLl.s;i';"il"1"imeutiJ'i".bir'"""i1'ie,uv,;;i"l*'v,ri,"rirli&""rlzedtai'lu+piniin:adnaIqrfocir,it.o,lttir.,tirra,9uoan-Dsrirp_didrdtinuzs+eateii'immtt.vbnracveI:iitidd)tamzmafedrr9riiceba;uun,cimcptitlasrranreiicililiitniruecnnaunrcdmlurrrincStotiromabbtran,iaerraiaaaeuemirrrszzertiicuuaeudacansmsrtnsieliu:iediiceslceis-nne".g?.i-_it m:4*st" h:B+7t,

rl:ttordzeitivI desmteinuniminl tnre--g21arbseitroabr.tinPerinpeunrtmruar/e:0, n.:21 -f 49t. Y aloarea

Deci cea mai micd bazA a unui sistem de numeratie in care

au loc criteriile de divizibilitate enuntate este 21.
Dupd ce am analizat problema legdtr-rrii dintre criteriile de

divizibilitate gi dileritele sisteme de numera{ie, vom trece 1a teo-
reme despre divizibilitatea numerelor, care nu depind de sistemr-rl
de numeratie.

1) ,,\stlel, in sistemul zecimal, criteriul de 'dailvitzriebiilleitaate(sp,urtian) 4 sau 25 se
bazeazd pe divizibilitatea de ordinul prin aceste
unitifii

numere.

rc4

e-

Putcnr rationa .-si astfel : din moment ce ru este impar, prin ipo-

tezd, irrseamni cd i1 pLrtem scrie sub forma 2k+1, unde A este
un nundr arbitrar (natural sau zero). Obtinem:

tn2 | : (2k* l;z-t :4h2+4h+l-1 :44(ft+ 1).

UnLrl clintrc cele douZr nllmerc vecinc ft si ft*1 estc in mod rrece-
sar pilr. Deci, iir erpresi;r noastrd va intra, pe
lingd coeficientul 4,
inci ru-r 4fa'2ct:o8r ,cgaadlicciLrlo2c;mp;rri inceeuarmcaertercvborrniat avca aici un factor

egal cu sd demonstrdm.
Dirrcl numiruhi nt r,alorile 1,3,5,7, !1,... ob{incm urmltoa-
rele rtLtnrcre mLi1tr1,.1i c1c B :
CAPITOLUL X
Sh consirlerrzln acitrn chferenta dintre ci rbLrl unui numdr arbi-
IARA$T DESPTtE DIVIZIBILITATE. O TEOREMA,,MARE",
CUNOSCUTA SUB I{UMELE DE,,MICA TEOREMA.. trar si acerst numdr. DLipd cum se arati usor, aceastd cliferentd
estc divizibila prin 6. In ader,.ir, sei ludm rin nunidr arbrlrttr ni;
::i]cll1l:cT.oTs".e,ltbX"jirrle1';,;sr,"i."apt.?.U'ci.p.a".si''g.li.rqrlrea,amr*r,{t,;it]e!.rienltr7llerg'i,sn"ipenillrmrucdeenoczarnfJroil:nolitlersrLstlsdiil,ls'vr.t:n-.a:rci"!enezbnrlr"rimiir.t1llobtm.rrtiuraeuiteart_oiusrireflidi;i.r,e."lioarr*ip.rr,c"r"n'caac;.lgrlJl;irnnev;lrirg;iiil,ri,z;lcr,nm;'i.rm-lb,,'r3,-eti-iict',iIrl.orttla;er"alrr3ttsl,fi,r"carliil,lore;rir;pni"i,i'opi,nJipr"srz:sio''.ii,,ld{ap1'ljio,rigo,isa,oz:ocic?m,irra\ralaei*;-:i
difercrla dinlre cubul acestui numdr si numdrrrl insu,si este egald
ndn-;reticlrsn-cmccr.orsijnrrr.tirli'pmmrrrr'riiprrimch)rirrrci.rierrrN-str'dIecinmlicpnrIluloie.1lrrhcrrir1m:sicc.i,osausaldurrriicir,c,liigTlc"icmxiiiipiSdiraicoriscilfiaraic. nnpofrfrrii-r,crrrri6rnc,.lrriaeir,,r,'p,lri'coilrr*nrnulri(rrie,nr'srr"tpe,,n,rrrL,)r",,ir
rtt2-l: (trt - l) (tn I l). cLt rn3--nt. Descompunind in factori, aceastd exprcsie reztltd.:

ra1cpuddPrscoeoatntt,cJitier'udcree'l.rllilepllr)rr4erarrd2;lrniirocrr.rr'rcrl:'co,nDatiiraiir.rtrrrdcrca4lerennrcnI,4ivificrrjadrni-iprcrtncc+rr',saatust2doturraelr.ciielr,crtiignLeSmrmholrseu,rneuSstslidetn*rrte.nfleiu,ivirrrrrraIcoerdrrandorcr-lirnir1ir(vnrrapJ1iirlliiolrrrii5,rneiianbtpivi,n,anio4n'"_truin.llertm,-.e'i6rpjurt,err:eiii,'ir':lrp.s,'e.f;.r,L'a;oi"',uoni,rn+u.,uir",ri),i.t;1b,ii;rsrnir,"dieir,abir.,sia".,ir);Irndlnain_puaInpucrn'drra_rrilirniori,tc5rrt',laclrproriiliiZirrppv'rrcdcrecror:c;iisai'nri-diirtnju,,t4oc;di;mtl:,o'.r.'i2l,ccr0,+nl,iinut.ti]"ara,iicnnbrz-'jdoo'r-urc1raii-crmarlrearl;caoiccccsrzric_tdrr,,,l sf -11: nt (trt-l) :(m 1- I ) (m- 1 ) m(m * l) .
Cu alte cuvinte, dilerenta dintre cubill unui numlr natural si
106 numdrrtl insu.sr este intolcleaLrna produsul a trei lllmerc naturaie
consecutive. Din trci nllnrere natr rrale consecntive, ccl putiir unul
este rlivrzibil prin 2 ;i altrrl prin 31).
Prirr LLrmale, diicrei-i{a dintre cubrl rrnui numir natural ,si

nttmirul insusi este divizibilS prin 2.3:6, ceea cc voiam sd
demorrstrdm.
lreiicu ercnrltlLr il constitLrie o probleml propusl la olim-
pt.adAc1
;L corrcrrrsuri .scolare. Iatd enuntrrl acestei probleme: sd
:;e_ clemonstreze cci, penlrLt orice nttmcir natt.LraL' m, expresia
m5P-5ennfln*r1mm:1e.stFe idriutti:z2ib,ilddepmrionns1t2rAa.lia este imediatd, deoarece

pentrrr acestc rralori trinomul respectiv esle egal ct1 zcro, jar zero

pmruin.l1a3)renInLor arsidinleotvrmlpro,assihbi i:lc3conrd-r,cscioditreirrdkems:3tutrnreiileil,n0u,mo1er,tre2k.:c3oinnns-cFeac2zu,utildveheo::a3hren,ch,e+pl1aro,'ibmhleplm-d2ar.{'ierpsertaei-
pscilriarinErbit.3,.DcIia-nncdItohian:ts3eincA*a:2z3L,,rnrr-ilete-z1pu,.oltasaitbuftinl1cc,li:uk3n+2u2al :3d3i,nntrc+ea3rcee9clicsettesretdeieanauivsmelleml6reeitncepoanrisdneivc3uizt.iivbIeinl

este mu)tiplu dc 3.

107

1ac1ee1a9n\rsoidffet rcdonmsrid-reltriaplucaazluorilreicdcirnudi numdr, deci;i a lui 120. De spuiil"aSc,i.nicgi inpllmrinefe12n0a, taudriacdiepcroinnsel'c2u't3iv'e4"e5st.eRddivmizinibeilcanucintiutomruatl

m) 2.
Efectr,rdm urmdtoarele transformdri eviciente : dim"rpnaorrt,reirepzreincdI :p2r.o2d.u+s:Zulqa.-paIntrr-ci onnucml-erzreie,naatrueralolec cottsectttive
_t):r:n:\ tn-n5tl((nmmf34+_-144m)m2(:n) fm^ la ttrrndtoarea
((mma -2S-amil2 -t 4) : m ( m4 _4 :
m *rnz __ ntz 4) : se
: [m2(m2_4) _(mr_4)l teoremd generald : ProcJusul a m nLtmere natLLrale cofisecutiue

(m_2) (m_t)m(m+i11*+'i1. k(k+ t) (k+2). . . (,t+ m-I)

Iicv!f:lntlflI.oivloor^aaneTurgrtr"aemei:t:IrdsrsmO.iyn_mg,d1upcio(avrprcuuit:li)rtlcLic,ca.n,zaadc,p1laerznBiTbei2aibssvrdtllec1c,:uei:itiuSrzol,1lla'aaa3'idaelcepbccrzr,iparuneciepdil[iinrnlsijnoann'mcnrdlmoirrre5r-nidisct5tpvr,nac.aoofi.rl.icorivrrozrcn3uAiadaend..v"tecrislrco(uob.eiaeiadnipcsnmiilc-nrLiosre.isr-ercrulipuiraililn;riinomioarln"rlr,tro.dirLe.tf.spriii"-criufd,e.-.e.ere.iipaiii"an"-mrd"'ttriidnt;.ecteia"ri;e"einascii;lnc,ciftdn,in,a-j.oi.nii.,l'tirlurm"ipeurni"a'.rrumrie'orvd0uenl;lriera{;nerurul;iinsee1r,acr_veei;1vl,"ioera;a2ln;snr;ei0r;urnriaid-.s'rxor'.pel;t,eiiucrl";;ssrtc;iicr"tpttinua;ioedad"";rctnr"mirii,icivr"-vnesi.at."iriel'1ztu:ac,.i_rtuiiero-ltcubifrrirn^nlre,irraoitcs?ior"inlbrecrr.m,piiiuc"iiri"ii'ir;riu"pnrrieprrtilurfa,uirr."vuln'sis.,iieunn,B,_eda_..- se tmparte fdrti rest prin produsul primelor tn rr{tnlere naltffule
consecu'l ioe, adici prin
ml
| ' 2' 3" 4 ' . . .' (nt-I) n'1.
_-.==__-l
Demonstralia elementard a acestei tcoreme estc dcstul de larbo-
rioasd. De aceea nll ne vom ocllpa de ea. Penlrlr cititorii care
cunosc analiza combinatorie .si b'in(ko{mmu-ll)1'eusi iNceewiltiolLr],cLa1mlliiltmttiam-

urmdtoarele: citr-r1 k:rw+'tz\(fkfi+r2) ':
friucilednetr-crol mtebrimnderni ualu(ika-tlm1-m1)i elemente, lttate clte /71 siltl cLl coe-
(a+b)k+m-| . Prin urmare, l1-tea cltn clez-r'oltarea bitromulrli

intreg'; .d..e'(cmi f-tl()fnt*'1l .) ... (A+ acest cit trebLrie s:i fie t.ltl numdr
trebuie sd fie clivizibii piitr
l'2'3' m-l)

In exemplele studiate am cdutat divizorii concrefi.. ai rlnor
expresii p"ntru o valoare oarecaf.e (intreagd) a. numdruirii rz,
,caie inteivenea in aceste expresii. Adeseori problema se pune
ms- 5mz+4nt 120 720 2 520 altfel : se dd o expresie ;i se cere sd stabilim dacd ea poate. avea,

I

titaptdccooigti"iv.esav'iisLT!curlirIelzridranlz.cnyiurecibdier..lilb.izrilet.itiztrrv-ideiorr"tal,i,rrieiblnzlrgrprt-ipaicifrrltfbabrccinarliiop{ransnri:nairrrl1ice.5eitder0eiao.xrnxec:_e.rpcriririmbrr,F'pIrr'ornn,ipicczn2c.c^3i"rnirrp:n.bic.rnl1rrrunrTittrre4arnumtro,irl,m'pl.icrcu,,ar.ierNaalritii.{"rlnsrdevii""oiriinr.az;f.cru"ieiirdilalu;aorol*';tbr'air,pi;nre.oin"mii1r',"so-ri,e*,criciil.';mi'n,iou;i-,;i*,lini',rpman;sii.;o;a.cti;,aa,,i,r;rtictl;rriadn.ioi;grn.ti"emnifrrs;.cc;et-;fdj.idirri;arrrucrrnrcc,.;dnisi,urra'Iilii;ifstmranie";lupti.rr}nlreclreinrJie4tt"li.iprno-uavrfidtanr_ear[ioitl','rir".nmui'r'c+rm,sa^dtprudz.^_.:teuire2Snmst-rroourll"",e1dr- in general, tlivizoil (diferi!i de erpr.esia ins5'i si de unitate) pen;
r:c9ie'm1-eeI.s1nrtree"c,fneipraeeuatsutecrcam)e,lecpscpiroi,svnniesep;etcrueiurnmtaivd6edt,ooaeausdreatiecledtde:oipvri.ieizimnib"dvirl.FJ2;,;,z:;iu.r!Trt;.{;;a9l;'iJ"prrpiltourl"ciirr","er'pxui elio'mo?ap.ul"ter._lu.ei futi m arbitrar sau dacd este intoldeallna L1n numdr prim. Astfel
de expresii au fost stucliate in speranla cd se vor gdsi criteriile
cu." rd stabileascd dacd un numdr este prim sall nll, finincl scama
dc aspectul satl strtlctllra sa. Ca exempiu poatc set'vi o lcorcmd
foart" simpld descoperild de matcmrticrana Irancezb So|hie Ger-
mmaai*n4.,Aucned'aestdmt)eolr,eemsatesuenennuumn{dI ransetfPerli:m,",O' rice ntundr de lornm

Sd o demonstrdm. Avem:

nf + 4 : I7n+ I4m2 4-4m2 : (m2 + 2)2- (2m)2 :
: (m2 *2-2m) (m2 -t2*2m) : l(*-l)'+ 1l l(mi 1 )'z+ 1l .

nnPuiecrnnitaruu.nmuplriidmnitn.retPrgee,'neatirmLnbl uimi fea:scltteoraeifgisaairnletcnouumle,xecdreeepci{niietmr'e. gamil.4.aP+en4nlt:t1rvu4a+mf4i>--u5ln,

este numdr prim.

108 109

H

erac,foodFiee,ttcxm:nuomrrrij:nlrlanpivieLnrcctecariFmra'idlcisizDascaIiezntteNnari.e-rdiFricddeaarboe'clesrumi.eteeijclleicumenaeielamsmnrreananuoam):cersoprtta:iolcbrorelraeti2aofrieemonf.aiaa,sio.ilii,trr5nesmnprSAr"neneesitni0s;ocgeenrrmiurctti3u0raoape.rsircamluaornee,tntlltrfriredndlbsircocrdoescim;gliapertsLtriitsssrarad.u.rraLetrsmietttea_etcitarcrMatrrl^lalbeioarveF.ntccnubi-peiapuidtrraicoienirviezeor,sdr1aternoacriior.pctlremme{csoznmedslcdrviLdeilrieimir,aeaoipc.sLdratsrpoeeitcoe-crcatcctSc,:faxaraoua,orudrrsip,Ui"rari,uianlpiscarretr.i;sctrulpl"e,.ttano.m--tsp'eopdr,rnsvato,rtit{Jpr-ar-dprli-eioec;mranrufparsrn.r"cr'ursicectaribma;urcirdmLilltilit,rittlcamrrilie-'mailuo"r;cuorpiulponniracfildrbatsatrrsititr-c,pnic.nrliretseen-cnIaerdberr_r.b"c"rainsetsmireuiiarrmad5tsrrii,tLeigpei(miiait.c";ri"rrtifbodlnatildtto.aFeeicieariatpeicphintstlsi"e'oertemi",orottee;rn-irrr?araeci;oe'e,momnpF_.r;r,isfmtdmc;riru;.ieolu;casr,rrlpiisu,adrra";dtvcprlat;rimr'li.irrl"ieat;et',mizeadinsi"isr""pnan,;seairr,moi;r;b's.artrrahgi;,a.finacliolitr"ocl"ir"-rau"Irili'etmri-mnndienipm"rm"iaterrc"ra'_aeceiivaeatrr"t1litudsagiir.u.returc#6otdctnttrcispae4epr-s"_ei:'r-reta0_,lt--e, prim, cu cxcepfia lui 2. In tabela urmhtoare sint date valorile

Iui p, 2P-1, 2P-t -l gi se aratd ce zq-t -7 conline totdeauna

factorul p. m:2

A

3:3. 1

Dacd p nu este prim (de exemplli p:15:5'3), numdrul
i2J2sputt-f5.tca--ll1umo-ltnn:tlul/t41tsur-eealvb:a1puei6benntscrhuu3rsap8en4imte-oalpi:pa12irr6,tad3nt p8idrer3ianajcunpenu'agMssetdeemnpimlr1ionapplnranideritcteacitoepun.nrdiIinnlriaea1zd5mse'lvlT:ad2olr:,t'
22-1-l:1 nu este divizibil
prin 2. s-au luat pentru m si aite
Ddm labela urmdtoare,
it't cut"

valori :

tn:5

pezmescriiseobiotnen,{i'lirsndmtpdeprraruo-irtanlp-dtlri.eopppcltP.ererrafenudnvzrteeuianiamnpctae,iafasaitictemcntoctouporaemrorzimr,cetcaoairo,ermsm{erddeusun,t'cenu,;ai.nc,rrcvree"aiulc,zisi-rtpeeiclntnalds.ttz,ii.umnIsJilt1riumcn,'lieuurt'di'oampz-lnemri|air_aa".niila'plunt.r-'remeai*bsui"aitu"errl.aeri.drnr'ilctv1url_ei*,i-- b2-r -l = 4=2.2

p--3 1

P:5 J^5-1 /

irta'eorc-eIm'nn-,rnlliltmat sbtereancLpjiLrrrnnrrliprercrcrtsorratnreaglt.priedurie,endnFivpfeii,zloriambrlLirratalncrcep,i.arorisrnrtriampp.r-"et;c_vrtriulntaee.cs,e-tI;,esa,lnec: liiiDcgaoiaz'rpcr'isb'd)iic,l'nr,cp"rrraoipnt:iirr,pi_*s,,ld," P=7 :-71.:215236224= 1 o7-l:7-.114:9298957999 :

u::e:".m!o-ldi?tti:lti2tlilp,"p, rcinct.pa, mp-l -1=9 765624: -o oo0 0oo oqq-

= 1 i.BB7 784 - 1 1.909 090 909

inseamnd cd ;i 1 stnt congruente fald,
c(. sr. scric
: icscvnaoiadnlemocVvSroriaeinollsotegdvfaveiepnnaddsuai:eoei2namfacigredeb;utianrdrme'sficp.vitd:arniSa:zu3rii.bnna,tirgcl:eaput1pbec'emeruc0nistniteu:ttre2eiip,nsoc.'d*d5raDe:)zcf5mei.auea1raCicocvluotebuealeneloiilagldoreeFaiiplrmineteaeoeranarmcciteurnapausurta:pe.m5rrseIise,,n-m:ecc3pc,ei..o(teipimdnntneoeuftpimrrruuumeanlxm,.pdeems'rmecien:opslvntlaaue-a

mq-t=l (motJ p). consiclera sistemul complet a1 resturilor pozitive minime ale nu-
lln
In aceastzi formi Iigureazd teorema rui Fermat i' cursurire

moderne de teoria numerelor.

Sd analizdm citeva exemplc. Ludm rn:2; in accst caz vom
putea ltra drept p.i.'i.par,
p orice numA, adic| orice numdr

110

dmivderrusleuinplrm, eardeicpdrintopatei^i"re,slrlu?rji'lae "c?ajruqrsenupto;.t obline impirtind Inlocuind primr-ri membru al congruen{ei (I) prin mlrime.r
Acestea sint : '
l, 2, 3,..., p-2, p_l. egald cu el, din expresia aceasta rezultd:
(t)
fitr;#1tt'. fiecare clinrre ele cu nrrmdrul m, nedivizibil prin p. mp-' t-2-J,.. (p-t) = [t .2.J..... (p-1)] (mod p).
Toli lactorii prodr-rsului l'2'....(p-t) sint mai mici decit
lPfcrnfrqzTllrieei;t,iaaro,ne:neliscda^:nradliaa"rto9ecp:,,cnrara-;nrelr^uisatatm.un.nmi:neimlrS-airscamlberrprlpictrec,p.mer,ba(Iinlii:rdreatmrnnr{,:nei,i.s,;srcicnlic,da2,ili.n"ijam,nm'(r,r.bico,1u.o,l;(.'rep9a_Ti2Jbllnaliojma)irg!lni.;ln'ii)s,*ilii,rUslm;pi4;rrnr""ui,irnipatt.rml,ur,tidr;pd",,_ea;,pr.ri'i;rsil.frie'ed';..i"t,*,r',ni"'*n'eip)ic;trr!("crrao;pntid.rTt-;"-ier_"z;i,.rp'aii"""2ci.pi'rlr.:frila"s7eivif"rni,eni,si.n|o.1i1_p;mmirr1c;,iorerl.riaa;ar(,r:-;e,e.lfipii-eiunsimmdur_lqlr,'ri,ciraf{irllc'ccta)sr',iiilirml"a*u,uidbctt.il_ere",egf.ie.*t;obca.estrril.l"ttl[eercsI"pp,/sri)ea[rnollt.a,.gc:ir;e-Ca;i,sc,tjmv"ioila{tiiresii2carrr_u:._,-b),ir
numdrul inilial p si sint primi cu e1. Prin urmare putem simpli-

fica corrgruenla cu aceste numere. Oblinem :

mP-t:l (mod p).

ceea ce trebuia demonstrat.

Demonstra{ia se poate face fdrd a recurge la notiunea cle
congruenld, dar este foarte laborioasd. Aga a piocedat gi Fermat,
cu aproape 200 de ani inaintea ir-ii Gauss, inventato-
care a lrait
congrLr.'n{e1or. Existr o demonstratie interes antd, a
n tl teorici
teoremci ir-ri Feimat_(legatr de t(ansformarea unei fractii simple
intr-o fraclie zecimald periodicd), dar ea este Ir_rngd si riici nu se
potrivegte-prea.bine cu tema cdrtii caib se
numerele intregi t). noastre, ocupd dc

ifccrloum?nr:D;grjrnr'oauiu;rrel'l;riadri"lcitner^taar,tes!atran)dreirn^msml,eulolaerdm,t:rern*rdrrlr_irrr.icpr.dor)nifJielajli'cj-.al.'X*.rc"enrororrrnr;r'grauir,nrmrlreet,lsnrctctL)udrcctitnkitrtrzepsrrnr-ainurrumlAr'rl.dls,o(rai2rbcrnlte)irnlcremeonsmnuate--i cititorilor famllia'izati cu binomul 1r,ri Newton le putem cia
incd o demonstra{ie a teoiemei lui Fermat. Iatr in ce consistd ea.
Sd scriem dczvoltarea binomLrlui (m-ll)p
cL_rpd formula lr,rr
Newlorr, irnde m esle intreg, iar p prim :

"r'0"'.""erft|,1!','tt'"trr (m+t)p :m' * pmt-t * p tp *tl m'-' +... * pm+ 1.
hhkz::Jt-r)
To{i coeficienlii binomuh,ri 1r-ri Newton, adicd toate numerele
io-=i-'z
t o, de forma 'Jf+#=# sinr intregi. Mai mulr, ?n afard de

tT+;!=Pprirnul si de r,rltimul, ei_sint toli multipli de p. In adevir, stim cd
kp_t=p-l l,'"0 in fraclia numcrete cte ta numftor trebuie sb sc

Sd inmultim intre ele toate congruen{ele din acest gir, ceea ce simplifice in intregime cu factorii numdrdtorului. Insd p este
esle permis. Rezulla : prim cu toate numerele l, tre-
Z, 8,...,4; deci aceste numere
b'(upie-2s)d .s.e.(spimpA.liificIe);inlacinlotrreugl ipmreamcuinfea.cAtosraiidpirr,oadvucsmulueig(iinita-tt"1a.
ltrkr...kp_r.= [1.2.8. .... (p_t)] (mod p). (I)
(mtl)p :ntp+ (un numir divizibil prin p) * l,
'I'recem ia punctul central al c.lemonstra{iei.
o,I.ur.d,ri\r(lrT2ca)",fla"Iilc;ealot.erikloi1nr,t;rk-d2oe,.c.a.i,ta.tavFe'oom-ia,lisn''i-en' .l
dFcioafarpi.trttoGatie numereie siru- care exprim6. urmraloarele: dacl binomul mp-m este divizibil

"ri^i"pi,ra; o" prin p, pentru o valoare alui m, atunci va fi in mod necesar divi-

:htkz . . . kp-: ltn. 2m. Bm . . .(p-t) m: pf-l . | . 2 . g (,o-i 1. 1) Demonstra{ia respectivi este expusd ln interesanta carte a lui Rade-
macher gi Toeplitz ,,Von Zahlen und
Figuren", Ed. Julius Springer, 1933.

1,12

E - Despre numere $i studilll numerelor 113

H

muicatmazu:r1acinr-tbPaeub(.Jrissbjn-ilett-idmigrn-*nanu(oJpupurrme1ra|memi)snnenaptadJdestpdsr-rrlle)ued(y.opmgmi!davcDriediriy+neizaen1axcicddbpsdpaI)tiie,o)rr.lnee,tmrzpnF,seacedri:rrrduanii1eoinvienczpi(,azfdupmriiLiairbnmdr2rtd(irdp1uil,mvui,tncm-lialdaz),c2atriipiieicv€bn,p'aai,-nizsli.(vpt'iimcpbFsaetlcraeien_lidfsnv*otniipzcilLrn)adpterdrd:.iz.mnit*uevolbtdti_ruoczUaur.ialrzlu,blultae.rpiiil:ml.s'u0isbcntpinetiaitdtrFr,roi9a'einul"e-iarxrurarvstpp;mniioeiirrr.i;etatipaiuvrsemtiar)tiire;ee.-ippro'zaprpaaumeiom'rrrslntetiatdrnee,-,-i, ce direc{ie sd-pi facd cercetlrile. In capitolul urmdtor vom con-
pcdoroonvbIJe"lidenri-mdt,qadlit,lefiFaragedrrnemessasicttiodpca(eavrrei.etnpaus.dcnBe{faa0ies)t.tdonute,m,oteereoremredpmricdmd"re-ir.ntitRnederefeesxarpintrotedrstiiacacuareritei-sus-ad,
El a considerat stata cd numerele lui Fermat (numerele prime de forma 22" +l)
numerele de forma 22n +1, unde n este un
intreg arbiirar. s-au dovedit deosebit de remarcabile gi cd studiul lor a dus ulte-

. Lnind n egal cu 0, l, 2,8,4 a oblinut numerele din urmdtoarea rior la descoperiri importante. Mai departe, matematicianul lu-
creazd, ca orice cercetdtor al naturii : face presupuneri (ipoteze),
tabeld :
le verificd prin observaiie ;i printr-un fel de ,,experien{d" mate-

rnatic6., el cautd analogii etc. lnsd dupd ce a ob{inut un rezultat

in baza unei intuiiii sart a unei ,,experiente", matematicianul
este obligat sd-l demonstreze riguros. In caz con-
trar existd pericolul ca afirmalia enunlatd sd se dovedeascd

gregitd.

W

21+ I =3 2a 4l =I7 28 + I =287 216+ l:6b 537

e?r?FTreaszobertcYaer"mrm1t+oedajYa.li.ntvto^sugir"/azm.rl2eailb*eap?ecirrfl/serir,rceelpmezprruerpa)drt.rrticncimc6aid.lr1ieeenrg.s,inaliPca-p'aaeipeincrdmnitmoitrrauurn.,iauEn,fro(u:eu3r5ssei,olt,rScrini,aFp1mgesi7Srita,.ams2i.ri5aemt e2tinsa,tad6sr_aid51o5acb1da35ee{7risin4)i,cut2uiosii9tmin4nunpt9.uut,6pmf"n"7rirdam2urg.ueioan7.l,

tre_m-at:t,i"c?iettn?ii propozi{ie agureL;ii't,,iseimste{"fo.apr.t.eruilnsiutrui"c"tliv;;dr.GU;n;e;o'rrii"miran_
talentafi

pdcsti.rniieieffnrindb.cettuiurzlrd2iru)e)ci.5nnREtsdiudesei.metacipemmnemrueipungrlmdeatioinrmetlr'dioermdercmitemioapaairceumitemtneisn.ecptin)acdinusr,iuf-mtidffmtceieerlo4riiread2mtel9p"tae4rFrp'i9anna,6ifluiii'o76.rr..4pin2i.;r,a9re'''.'tm71rie"rreplu-a.nrniJ"itnurir.stadiie6t4odiinnmlae,urpmeptdb,areairb.mglcrietdtearulegrnsaodtiufnmci-out.sinrmtdnuaddilmn.ereadedniennuertotmreznapeearrrcctireenedi

t14

*?oooo fiecare al cincilea numar (numerele mr-rltipli de 5) etc. Ob{inem

_3.4 O (]oo rrrmdtoarea tabeld :

A 6Z W 2345'.1 61891{
1& 13 14 lS 16 17 l& '1t99
1,1 )e 23 24 25 26 17 :0
3? 3& 54 35 U8
X 36U3&3e44 3A

31

CAPITOLUL Xi Tn feh,rl acesta vom tdia toaie numereie neprime 9i vom ob{ine

CIURUL LUI ERATOSTENE ;mt;ine-a";-;rrG;r-al-aie;tttOli-"etl;"paml"n.;"nuartanum.st;u"ictmeifai"eraspeetplne"riieumcnip.llleoed"i"pigrn"utrrAprihep"bmtc.roeiiiren-mrdE,letdmicerin,anusajti(Lo.asdludsrpafnctpoeetc1dsenscnltdleindieun.r.lr(npeas,catresoaitptmtcadtcdr.eizmqirenIxuiIialcIstcd9uuulaiai.mbrrpuadesed.maftgneaim.raLndt);1rsi.uuulf'EfudmroDcliplitsruercetaiitodmaa,nsc,rcsc{aoudetirreiirei).eidsai'ceA"anutcaturuiodbaumnbetrde!ctelilta.e"e-'l

n capitolele precedente am intilnit deseori n u m e r c lui Eratostene".
se numeste prim un numdr
p r i rn e. Am spus cd s"salipin-r6ItoE0mptx0"iae9umrlep'teianrmximiinsiaudetidif:cr1Iei2ucl0,rv0nu3eu0ln,m.lt5ueAe,irsle7Eatf.renainTlet,ocnpsedrstipiem:cunhe1teiuma,cl botot,nabsbp-sieneeinctriervudedit.imvldnaeeu.ccm1diDt0,eandricuenedmlteeievlxnrpoeeirmmlmiempmpelpureai,9rmtg9rineeu7

t-J care se divide numai cu e1 insugi si cr-r unu. Numh_ rnai a"putt", uo'n intilni un 9ir de numere oricit de 1ung, lormat
nu are decit un singur divizor.;i nu face partc in intresime din numere neprime consecutive.
dintre rul I
D; elemplu si demonstrdm cd existd un gir de numere format
numerele prime. Numerele 2, J,"5,7, 1l sint evident pii*.. din o sutd de nllmere neprime consecutive. Pentru aceasta sd
Dimpotrivd, numerele 4, 6, B, g nr_r sini prine.
Inainte consideram numdrul repre)entat prin produsul tuturor numerelor
rele primc, de a considera problemele generale legate de nume_
naturale de la I pind la 101 :
si cercetim numerele prime de la 1 pina i, I 000 .si

sd observdm proprieta{ile lor cele mai simple.

in cum vom aflzr toate numerere primc pini ra r 000 ? procedirn
modul urmdtor: scriem toate numerele de la
I pind ra I 000.
Tdiem pe l.(care uu este numdr prim). Tiiem apoi
toate nume_
rele nrultipfi ae z (numerele pu.";; c'alte cuvinte tdiem toate
numerele din doLld in doLrd; ob{inem o tabelh de forma:

! '/,345{;79 l. 2. 3. 4. ....99' 100' l0l.
il 13 i4 Ls 16 17 18
1T 9 1Q Acesta este un numdr foarte mare. El este egal aproximativ
v) aa cu 95'10158, adicd este cu mult mai mare decit numerele ,,astro-
nomice" obignuite, insd neglijabil de mic in comparalie cu numd-
ru1 9ee, de care ne-am ocupat la p' 14. Sd notdm acest numdr ctl
Iilera A. Sd considerdm girul de numere

Apoi, subliniem urmitorul numdr netdiat dupd 2 (adic6 3) A+2, A+3, A+4, A+5,..-,A+99,1+100, A+101.
9l tdiem fiecare al treilea nqmdr (numerele care sint mr-ritipli
Acesta este un gir compus din o sr-rtd de numere. intreg^i consecu-
de 3); dupd aceea subliniem pe S (4 a fost tdiat inainte) 9i tdiem tive- Nici r,rnul diltre el'e nLr este se divide
prim. De exemplu A+2
116
ll?

ncnAqdpduglirr+v,itn-niv44z.s.la^i2iibrncpg.ioftrli.Iinlpnnna{rer.icn4nipanterdoein.merft2uaucve;.cmtd,,trd2oid,cner.re,uclesA.plicat-sri1srIcui0stmdecmilot..variT,rJoA4elioi+v,oaastirmazrtaeid0sbsareslitmlrfdevvpteroaacrnlai,erii4trmimet+"3dopin,n;irvausrtlvitaerzmrldaol.ibmiae'pifirr.iiic"r-;ericzi;6el'iii2,^;v",'pJiez-ir*tsiiia'biriiierii.rrl'-"Juipp"ivuoirietedioenne;+bt,r-ntLaZ3i-r,,, Deci, admilind cd p este ce1 mai mare numdr prim, am ajuns
la o contradic{ie; in acest caz, mtmArul format de noi nu se im-
parte prin nici un numdr prim.

Prin urmare, numlrul 2'3'5'7'll'...'p+1 ori estc prim
ori se imparte printr-un numdr prim distinct de 2, 3, 5, 7 , 11, . . . , p
md,eermIen)a, rafcocer(mclaaasritemncuoomdn{asiniecd,dinedranncuoamrrsvelrrrecemanz,edpocridmmeipe.utseamu
;i deci mai mare decit p. Agadar, pr.esupunind cii p este ce1 mai

rnare numdr prim, am demonstrat c:a existd lrn numdr prim mai
mare. Aceastd concluzie coniradictorie ne convinge c'a ipoteza
gdsi un sir oricit ini{iald este gregitd. Nu poatc exista Lrn numdr prim care sd fie
lln milion de nu_ cel mai mare: existd deci o rnfinitate de numere prime.

c1nueun1tm,AmaiaInp!aiulalium,rm:niinatsnrinuncmumt?mondCdedr perff,riinirfmteeoitsleacd*t?ecurpnnnuouuemammleleeedrirenrec.trae.repe'scrbtsixemdiinsraeiitca,:enisa;cpt"p'aorra.i?;m"t,fe.i"e;fc;lu;d'fp;,ir"oiln-ia"c.ue,t'Jp-.i"iuneiceil",edxp"eirisnrlta"li Toate numerele prime, incepind cu 3, pot fi imparlite in doud
nmcaounammtriAecpd.hslreitSt^fateiddntle'"fdit.dnree1iEmt,iuaonccntrlrsdieedtrunbha;umrirtsiestaiux-dcadiesudiatadesipmtudraeoncpon*rcansoustuprpicmoaaTzdtpi[friiigenop.5cbrdtniemprire.a."amil"lr-ar""tu-er^mpiJ-aruitiiit"'cr"'it.e'ri"unliitiiiiu-duii"rniii ciase. Unele (de exemplu 5, 13, 17) sint de forma 4rL+1, celclalte

(de exemplu 3,7, 11) sint de forma 4n-1. Un numir impar

(toate numerele prime, cr-r excep{ia lui 2, sint impare) nn poate
avea altd formd, deoarece 1a impdr{irea unui numdr impar prin 4,

resturile posibile sint numai I pi 3. Binein{eles, nu orice numhr

,de forma 4n-l-l este prim, insd orice numdr prim are Llna dintrc

aceste forme. Se pune problema : oare in fiecare din cele doud
clase existl o infinitate de nnmere prime? Nu cumva una dintre
A.vccsuouci vmediUaaenscjartuetmi.ajl,uuoinnannrgddeuae.mlvsrimitaanlfien{eailudolrordnA.dcemaldaemanieuccudxdmnnei.stodnitrpdrrruolnrnutlaeuruni{zl.iienaoeErnx-.dr,tiarmrseccrtdndill.iardu"rc,pictev"airiore-cemot"raauedmcreat"embpeosIosaurtnenrsoiiclt;r-ecaeilo;slmpnte'rtadoiagipurafoefriz,.aastiritiftrc"idae.,
,ele este finitd ? Bineinleles, ambele simultan nu pot fi finite.
Cercetdrile nu ardtat cd existd o inlinitate de numere prime

in ambeie clase. Pentru numerele de forma 4n+1, demonstra{ia
,{eimstee1ainnntpruurmecieatvrlaealbogirlretprorcaimbieuei;eddesedfoacrdmeeemaa o4vnonsmt-rlddmeemsutocrnminsdtfritnaoiatndrue.ma apirocpdomzi!uiel-
.ajutdtoare (lemd) : ,,ProclustLL mai multor numere de forma
-4n-y1 este ;i eL un numdr de fornta 'ln*l."
Aell,lu,sd,tldevrlr,uo9rgb,mo?iinndrednuni.o.n,rIl{raesm{ldaecesupar,rec.epcelsoo.LsrntrSpsiperuiudrnimceenormrdanerbs,c,.iiolidabemcd{rxiadinicsmiedtmdmnnanrr2urnemmj3ndddue:rrmSrcrrirltd'l.{rpot2.p.rt.mrJii.m.a..tS.cd'.e.lipln'.m'ittpa',t1.i.rou'.mf.r1a.1".r5e1p1.[. I si 4b+1.Inmultin-
Fie dor-rd numere din aceastd clasd: 4a*

,dLr-le, ob{inem:

(4a* l) (4b + l) : l6ab * 4a* 4b + | :

simpptdrrurrru-taiimumnsrteSna,agod.dnir,l2iainuciti.nrnuem3dcta.ueonda5lrriurid.coamt7pdoerr.dimrdri1nimemru1adaepm.e.tnr,eOii.eimml.rr,bm.e.pps.rdepreodndirrnr+vl(cipudlnimrnltuiuvmutmaremcer1dzm,dtdrea2eurerusron.rtl3eer.22)s.id5t..iu?tm8i.v.l7..iip.zt5l5.,uai1b..rt7d7i{1'tari..tc..11'pp.'dp1.1ri.iior...nn..ip.n.;'.o.ot"..'pr;lprii]cr,if+"re."t,."s;lnunlrtreurip-;imp*afro.ienur,,_r--i :4(4ab+a+b)*l:4h*1,

r) Actualmente existi ,;1llll;r.o.n'onstratii diferite care aratd ci mul{i- rrnde ft reprezintA numdrul intreg ab+a+b. Produsul are tot
forma 4n+1. Putem trage aceea;i concluzie despre produsul a
mea numerelor prime este trei factori, a patru factori etc., in general, a unui numdr oarecare

de factori de acest fel.

Acum putem demonstra cd mr-rlfimea numerelor prime de

forma 4n-l este infinitd; vom aplica metoda de demonstra{ie

a lLri Euclid. Admitem propozi\ia contrarie, cd ar exista un numdr

finil (m) de numere prime de forma 4n-1. Notdm aceste nLlmere

QLt pt, P2,...,pn.. SA considerlm numdrul:

A:4' pr' pz' , . .' p ^-1.

t18 119

rJc4tnc!lcDopa:olrxaii:Lroecncar,mr-s!otittet-e"erolaacue11zsrrnn.cai4dntucunAPdmuneifl.nmeires-cpdic1ianlelfs.iid:enourat.4elueatr.'lqrlmrrdene.,mdn.Rae-pupaulDrlmfrr4m:iocr,:e.z6p.rr,etmlcN+rrr:.ie,s,'radpl.rie.rnenrf..u4xait,rmrrlpJficnes-onr^t"tibrou-rcd,mil1rlm'r"picipiaoie"teu;',rrpr-e4n.:npie"rrb.sat-iuntrmuroea"urf-iisiGenilntr-p;ci.actsu"rataz,imuotal'pepnn,raec4rozuJci,nn,abm1ans.uelde.lt"idmar.;cr;rt,,;"edeu;iprr;rzrsle"u;^iudp!;g;pi;;rlarnt,;if,rliai4i',mfuarei;tn'i;,"ircripedd,uie,o'upeure"nbntrritulfi"iflr'zoo*a,ai'ee,.rpr,cnzmnmartia,siozoc,raad"dtrre. e9fe1i el6(dl3;evs7iin159to;i t57m3l)ia; i7inr;atrre1e1.nplnnimt1ree3re;Ile1l7i50911i01909is6;i0n20t9os;ipintt3p1neu;rme4calhii,sddioe4u3da;cpe5cs9-t
rechi (521 si 523; 569 ;i 571). Mai dcparte ele apar cu totr-rl
neuniform gi din ce in ce mai rar (considerabil mai rar decit
prime). altfe1 se cllnosc;i ,,perechi" cu totul impre-
numerele De intrebarea:
sionarrte, cilm ar 5971847 li 5971819. Se pune
Ii
existd oare printre aceste perechi llna care sd fie ultima ? Pini
in prezent aceasta nu s-a putut stabili. Mai mu1t, nu s-a conturat
nici mdcar o mctodd crr ajutonrl cdreia sd nc putem apropia

Nnmerele de forma 4rL_l Iorrneazd o progresie aritmetici, de soir-r!ie.
primul ei termen
fiind 3, iar raLia + : Ne vom referi acum la posibilitatea descompr,rnerii oricdrui
numir in factori primi, care constituie cea mai importantd pro-
-+ B,7,l l, lS,... bleml referitoare 1a numerele prime. Aceasta revine 1a a repre-
zenta in mod unic orice numdr sub forma unui produs de numere
'.eorema demonstratd pr-rtca fi prime, ceea ce ni se pare cu tofirl evident. In realitate, insd, pro-
meticd infinitd en'r-rfatei ,si astfer : progresia artt- pazilia referitoare la ilescompLinerea in factori primi este o teo-

--3,7,11, 15, 19,... rernd atit de importar-rtd in tcoria nrrmcrelor, incit estc deseori
clenumitd ,,teorema fundamentald a aritmeticii". Iatd enun{ul ei:
con{ine o infinttate cie numere prime.
,,Orice ntLmiir natural. se , descompune in mod unic ln factori
rpsvta=mccppcpras:-tAe.i,te-l-rFrair-ertaarcloicrrtiltmr^nlrn19utcv-rtpegn1crElrrP1lEuiior1t,lrder,el,1aslremtcirr,amtx,Lmicnt,5osssaclneccietitccri,p'biecsieLuidr1ecrc'jiucrmcs9llltmecrldumeiriPdotrmompul,'caeu.eenmcptnociarrelu1eerlorcoirouslnutc-apuerer3nnp-iacsgllmui,d:ruiclD,l"oriirmneriribipse,hcmci1eeercilriop-irtrear7iirlcsiniiaaeninmcuercelr,csrsoieoaeursdidi92hsiesn,Xgntpdege,lr^Ep.1irnn{er,aacr'laIcjaireerrrX,xLipnnrtdnaarr.t-s.plla.,sm.e-'.ptrl{.ciru(.;crrAeoeLl:cille;e-r^.na(aanroBi)s;r'aJrae9prepf.rdietm.du0m;ef."t.sr^rsi.iaecs"ronocosiieEp'dpcol;ciltba.tipge-aieirn1tlptnis'r'i.irorAedrii.iem;oreiiiei;irr;mpnnmets"-nr.r^slaeurJei;t,ssu1pde;in;;,tliiiipiin.tnnoi;ei^soo;l,inn.i.'c;ti;';umr;1rJialnrt"-'Lmn;"icri,;i".rl;.frnnnu,rrJlal"trrfrnei-r"duaitt",ica'nn"na,ri","irea.me,.rnmnc*nr.ln,nr"m.rs,uoeeaticittee,mr-tta.ierlo.is_a'ilc)(riri"v,sanil:reao5esdrsleireest,ssipcdrieclinseaataeiiirtrtIilrl.itrtonnaecfralpeedo"r.rsdrpfilerirune7ninienoseeiarrac,;issmral;psipz",rivlr'ml,pfmotrm"r,icr,eiosieiui;e,r""tirelrce1r.ecedv'iirlirxintrnriaD""r.marzrairace".i"reptr.ptil'rimcdt"rireralr*erIeaoi"*ni.lono'ci*ano1inunig|g(1ph;p?tLmioraanrndr"r;,inirrroceir,r;criaure.ic:etncAsiclnse_r"ririo;tccraaiczcmi*i"---:at1ce,_,",.,',. primi". Sd demonstrdm aceastd teoremd.

Vorn demonstra in prealabil urmdtoarea lemd : divizibilitatea
produsului hL prin numirul prim p conduce la concluzia cd cel
pu{in unul clintre factori (Iie k, fie / sau pi unul si celdlalt) se

imparte prin p.

In adevlr, numdrul ft san se divide prin p (si atr-rnci teorema,
este demonstratd) sau nu se divide. Dacd numdml /e nu este
divizibil prin p, atunci nunerele k pi p sint prime intre ele, deoa-
roce ft nu con{ine printre factorii sdi numdrul p,iar p (prim) nu
in afard I si ddeiveilziinbsilugpir.inlnp,caaztuttnl cciin/dtrpeb.suiieft
are a1{i factori de
produsul ft/ este
sint primi, iar
sd se imparl5 prin p (teorema a treia din cap. VI, p.50). Prin
urmare / se divide prin p.

Aceastd lemd se extinde fdrd dificultate 1a orice numdr de fac-

lori: dacd produsul ab...h este diuizibil prin numdrul print p,
atunci cel pulin unul dintre numerele e, b,...,h este diuizibil

prin p.

Trecern acum ia demonstrarea teoremei fundamentale a arit-

meticii. Vom demonstra cd orice numdr natural se descompune
in factori primi in mod unic. De fapt trebuie sd demonstrdn-r doud
a2f)irmunaifciiit:ateI a) posibilitatea descompunerii in factori primi
acestei descompuneri. si

120 t2I

Posibilitatea descompnnerii in factori cste evident:i. Irie clat Tot astfel gisim 4s:Ps, 4+:P+,...,'q s:p". Prin urmare avem
Itn numdr arbitrar A/. Pentru ,\/ prim, teorema estc demonstratd,
deo.arece el insusi poate fi considerat rinicul siu factor prirn. Daci 'tot atilia factori q,ci\i si p; liecare q este egal ctt citc.rtn p,.adicd'
ICni)nraisniccddddN1ey/'1ci/^rintneq/.ls/e.tsee_vs1pto9ermipmprr,ioimmba{,t,iuncaneltcuscinieNtcLidr:lpcivAlri./ds1Nec, rdlpme;ripianatseterrot-merueenpmnreanianrllemrms-ute/errnridipnnerrniircmrmocndipesrct,priatmrtirmaa/..i ale numdrltlui Ar in
'cele dbud descompuieri lactori primi sint

iclentice.

Cititorii isi aminlesc clin ;coala medie cllnl se clescompune

practic L1n numdr irr factori primi. De exemplu descompunerea
in factori primi a numlrului B 316 se e{ectueazi astfel:
p2, mai mic dccit l/1, .si sc obl,ine citr_rl l/2, ile asemenea nai'mic
decit //r. Numcrele lVr, Ne,... sint descrcscitoarc si numlrui
Nz, aceea vom ajrrnge la un rrltim cit, la 8llli; 2
lor nu poate fi infinit.
De 4 l5B 2

Itm, care va fi prim; vom obline reprezentarca numiirului ,\1 slrb 2\)79 3
forma unui produs de nunerc prime ppz...p^"
693
Toate consideratiilc acestea sint loarte simple ;i aproape evi-
2:lI o
dcnte. Esentiald estc partea a cloLra a leoremci : atirmdiia ia a"r-
compllnerea. in factori primi a lui A/ este unicd. Sd presupunem ,adicd 77 7

,od am reusit sd descompunem numdrul I/ in factori prinii prin 11 ll
B 316:2 . 2. 3. 3' 3' 7' ll :22' 33'7' ll.
cloud mclode: prima mctodd a dat descompunerea

lV: prpr. . .pr Prin urmare, orice numir l,/ poate fi reprezentat in mod unic

iar a doua descompunerea sub forma :

N:qtqt...q", N:p\pT... p!,'

,p,unde p1, pz, . . ., gi Qt, 42, . . .,4 sint numere prime. unde p1, Pz, . . .,po-' sint nurnere prime, iar a, P, . . ., I sint anumifi
Evident, avem :
exponenli. Aceastd reprezcntare a numdrului l/ este denumitd
citeodatd,,descompunere canonicd in factori".
PtPz. . . P, :4r42. ' .q (r) lnainte dc a incheia disculia referitoare la teorema funda-
".
I{embrr-rl intii al acestei egalitdti este divizibil prin py ; deci ,si
rnembrul mcntald a aritmcticii, mai facern o remarcA. Am definit numdrul
al doilca (produsLrl Qg2...4") va fi divizibil prin py prim ca numdrul care nL1 are alli divizori decit pe e1 insr-rgi gi
In virtutea lemei demonstralc, trebuie ca nnul dintre fzrctorii
4t,42,...,q{ sd se impartd prin pr. Sd admitem cd q1 se imparte unitatea. Xlai departe an ardtat cd dacd produsul mai multor
numere este divizibil prinlr-un numdr prim, atunci cel pulin unul
,dintre factori va fi divizibil prin acest numdr prim (1ema la teo-
prin pt. Deoarcce ql este prim, c1 se imparte nnmai prin I .si prin
rema fundamentali). Am fi putut demonstra teorema reciprocd
el insusi; dcci avcm a acestei leme: anrrme cd orice numdr prin care se imparte in mod

qL-yt. necesar cel pulin unul dintre factorii unui produs de mai multe

Impdr{ind ambii membri ai egalitd{ii (l) prin pt:4t, ob{inem: numere nu are a1!i factori in afarl de unitate gi de e1 insusi.

PzPe...Pr:4zQs..-qs, Aceastd ultimd proprietate poate fi adoptati ca definilie a nume-
rclor prime. Aga se procedeaz/a de multe ori : se numegte numdr
Qepetind ra{ionamentul, ajungem la concluzia cd, prim nr-rmirul cu care se poate impdrli un produs numai in cazul

Qz: Pz, in care cu el se imparte unul clin factori ; ttn numdr care nu are
alli factori in afarl dc el insrrgi gi de r-rnitate se numegte indecom-
iar dupl o noud simplificare , la relatia; pozabil. Folosind acegti termeni, putem enunla lema noastrd ast-

PsPs...Pr:Qeq+'..qs. fel : ,,Orice numdr indecompozabil este prim". Qeciproca cste:
,,Orice numdr prim este indecompozabil". Ambele enun{uri pot

\22 t23

fi reuritc: termcnii ,,numdr prim" si ,,numir inrtecompozabii,, este un numdr natural obignr-rit) va avea numai doi clivrzori. Din
ounctul de rieclere a1 sisternuini considerat, trumerele accstea vor
inseamnd acela.si lucni.
iiirni-_uir"lnJ2r"".roae.rlp"coBuz,ai"1bi 2i.1,loc1u.6,A(nninta',lorgiget-rrcigeurra.nl,udminvudizmrouerlre1(pledeindecglifrionr,rrsmlunagait)'t1.trr-zaI)nl,asnuftilrmmg5iat-,i
stdi-ircraetrciaecrso_bceriatriiirtnoioirncrealLserireelrfaar:omnbc,,,insd,pcdneaer-atc"rrei.cut eIacslnanif;oBiadsldi'utvBece'ev:rr1usicrc0c,?ls,ed"acaDsrlecuesicrsdpeeigrsxisuzeidresitncnlatiurtl,oic,teadoxarrm-iirtrsmiclttiemiseicsetniiio'ctritioice,t,ieiiacnrnrnditurcmeaanevirceia-,i
mrrlli dir izori.
ticd irr care nrmcrele prime sr nu fie inclecompozabile, iar cele.
inrlecompozabile sI nLr fie prime ? ... airflnit".tpc"D1,u"i,retritr."o"rucciaEalnermccf,eocuipilorarptnrLdotez"-apa,nobfarti4rllioi2cvgld0ieriai:sil6'ecco.lpzumrSo-rspdniu;crcsirto'r1lin4nnds2aied0ftacuv:1crerdat4domie'r3reien0sput'eacm1-Ncbdsrorriommstuttpleedir4eme2tclhue0d.iild'6tD.i i'fna.a1orca4stcmo'terlrausli0tit'
;a.,oi nZti0iopl,riiinditi'"iiu.luicriuelecl"roemnpp|o-azrrale,br)it.le.Pu(ininli2ciourr-mrin.ua1rfecalicnsit'oirnerticp'lccoasureiubiieire1s1tearopnrloa4dii.dstseinus-lt
Flste_ drept,.o astlel de aritn'reticd pare imposibild ! In adevdr,
c{toiarcrnmdiclaosicrolcdmmepaLplnraei1mrcca,isreiiniinsdfaeecnctsoormci-oppnosrziiamsbtditl,an?eho-rfaiocnpdcer1ur,mi'ir-rirmsicmsleddr-rdrteiefimsctaoerneusantridncmod-- .irn"ieolcs"tCortAm-ai"pr?cofozNnramuibtmiaiei.se2trepe,'guvrneodLr,reijtdptcenasctreod1dplmtr1irnsc1eie'aftllsarclmircsedroeabcipcgsrnitmetiaitcr(tiodnri'lsipisrnttrclrirmcnt'eu-ij-l
c1e al aritnieticli';irLilLri numerelor ttaturale). 1n sisternul
Sa lic oare posibile ,,aritmetici" in care;rcela;i numdr sd se poata. nos'etrrrlreorericc
clesconpune irr factori indecompozabili pe mai multe cdi diferite. numdr prim va fi lnclccompozabil. Insd nu orice
adici sd aibd mai nulte descompuneri'canonice? iiumir inclecompozabil va fi prim. Nttmerele 30, 42,70,
care sint
irrer'aflaSincstteofarpci otposrirbiimiilni!d_neEucxoiemsstapleosziisnattbeoimltideneuadueensnatuepmuoersriieicbiii,nli.iacTraorcec1mecslaecisocemolimpsutpei,un"n.t"eau-
indecompozabile, nu vor fi prime. I-cma care prccede-leorcma
acestor sistene a dus 1a necesitatea de':r clistinse nLrmerele prime filr-rdamentald a arilmeticii nu este veriiicrLta petltrrt clc. Dc aceea

eidaarxrcur,epecmdmocurlpetsplauoi1nrsraatdidbrestictiipaifotieabcmntiilepaitrorale,uzasastbiIemailncoepee.rlsinaFot,ocirrnrc_duarnpmrodienmteidunrodneeieailorveszraiil.,envsataiojsfuioclmteaia,mrtdcsecoedjcnc;.oisnl-eimepclprenoLlrrirraciimieaiitnterie-rtrdcmsgmciuialLntirlnaeun u* putut clescompune un numlr ln felctol'i indeccmpozabili pe

fonclr,rtr problemei. mai multe cdi.
Acest sistem cle.uumere preztnld.;i un alt parador: ntl orice
Fie sirul tuturor numerelor pozitive parc, adicd nunrerele :
nlrmir poate fi clcscompus in factori primi ; dcci t-tt-t orice nttmlr
, 2,4, 6, g, 10, 12, 14, 16, 18... 'upanocalpetuept'efieasdtfeeiscuroermi.pnpreLulzsmenpirteapi rrcliomaudipnrco5sdeiunisnsulof.-a1bclin;tnoourrii1lr.ilillNcmlLeercrmoemirdupelo4ztia2p0bL,irlilc, a2rrpreu,
poate fi descomptts itl factori primi.
pna(n5Assaatuccerrmpedecmrsdae.oteerdSen-srusecelioisriaadirrniselcniemnroaaaetnuomtarusltlidodrieurarueecrnlddaeuau,u.tsiipnaaD'nia[curcu)eim'aspbctxmsdoomctrursemalftimeiblipLn_mialllrmiirdu.tomielsntIetr"ntiuercpeiilloudsaap{c*ifnnireeeraoasfrrrpbeso-icrtrtgi,atneupaiitaalimdnrim{msiepin1eadtpdeaoiraamt{smJuirarneleailtdreaoraie,uitcncccneruauuussmtguaerreaimeerrcuusseal"etit
Fentru a inihcia capitol'1 consacrat ciurului 1ui Eratostene,
obisnr-ritd.
'vgira.ic"nr"olat;itnfmie;tle"d"t&rgrr*viisdtiiiepenntfuaeo,vsnlrueaateomcolacmoaucraereiltansteiecrusinvinam,md;i,tcriiriisdniitecdccip/ug'aeriinmnivppnaiiaude'"ui1trleie"icmnmiuanclarrpeilc-eaeirrleisnnopzndflerlu;c'mcininu'llnic.cpucarsfracEe'iidlunerixce,dpnrihcs.eeprddtii.meadlaran,"uiel,dt'etVeriD-nluipednu;eeredimointtenoeaetarxuarun-feegroemuadtrpoammspfra'io'i.limtiutsoleddlteeuefvivopnixapnardpcmelluoorciaeranurastsirrulrleideueea--
In acest sistem unelc numere alr numai cloi clivizori (se co'-

siderd, bineinteles, numai divizorii pari).
Astfel sint
prin 2 pi prin numerele 4,_6, 10, 14 etc., care se impart numai A:n2-79n+ I 60i
ele insele. Orice nLrmdr de
forma 4;;t irnA" n

124 125

dd,numere pfiqe pentru orice n mai mic decit 7g. pentru n:A, l-a condus totugi spre o problernd foarte importantd si interesantd"
inlsonnuibe:msi7{mdinn8,e4Aimcna:u-1v4p,eo4A1rmri4.nd,:_7s,in14te,o6e:c1ti0nai15unrt,er2vne3pesne,ri4nsunp0dttmer:t-nuositpiarrru7etzpe-n9=nr,tpimr:loru7ibam.g{nvMiene:a.em4avmIien0Amcals:eaclf,Spvei4raelse:2rmiattBIesp6,iA,'0p"vnp1:ea4.tn"rlnpt1ouretur,rnin.it.va:r.ai'alr,:e,g2lonp-iueor:ingibtagr,j}4luiue-,,- numerele de forma
insd, formuia ,,face nazuri" ! In acest caz ob{inem : S-a constat aI cd d.acd nu toate I22n + s?nt

4:802_79.80+ I 601:1 681:412, prim", in schimb cele dintre e1e care sint prime se bucurd de
ulIaennuasegdfloedscpdiereslotmupodraiiceaiuttidennfotiedsrreceeusmEtdauanrlpectrarro,ebbcizllaeeur.mletaAdatmdadeemfsogcaesoiotpmaoerbredifttirtnaigertr-er:tcgdcdeoeaanlacGsetalrsuuuteiscs{Fni.aeuErmmulneaosrtee.r
poiigoane regulate cu alutorr-rl riglei 9i al compasulLti'
patroualamteerneiipdi ipnenatangtiocahniteatreeggutilaart-er .sFdocloosninstdrupiaossciSbilittraiutenaghdiueria,
care nu este numdr prim. doui pirfi-egale orite unghi, se construiau cu r-rgurin{d
imparli in cu B, 16 9i, in general, cu 2' laturi; de asemenea
Iatd un alt exemplu interesant r). Dacd in expresia poiigoun" 2n"'3 laturi; cu 10' 20 ;i' in
cu 6, 12 9i, in general cu
t: t potigoane
g.n"-.ut, ctt 2' '5 laturi. Scdzind clintr-o gesime de cerc o zecime
'or*

vom substit'i ilnuilolc/r-vrlolrufiipgideifleeripterilme en.uDmdemre prime impare pinh gi"oa"il"er.c,usei5,obculin3e0a,6o0c9ini,ciisnprgeezneecriaml,ec, ta:2clnic'd1s5elactounrsi'trlunisa5u poli-
mai depaite tibera toate
Ia 31, valorile
valorilor lr-ri p si a valorilor corespunzdtoare ale iui lr/. incercdrile de a construi cu ilutorul riglei .si al compasului ltn

"I u=?P+t l Z# poiigon regulat cu 7 sau cu I I laturi s-au soldat prin epecuri'
-- 3
"= Mai mr-r1t de doud mii de ani toate incercdrile matematicieni-
5
7 43 691 lordeaconstruicrrajutorulrigleigiaicompasulr-ripoligoanele
j 174761 regulate pe care anticii nu gtiau sd 1e construiascd s-au terminat
I 1u 3 | J 17 2 796 203 prLtt-u.t-",sec. Abia in anul 1796, Gauss (pe atunci ?n virstd de
19 t7B 956 77 1 l9 ani; a gdsit, spre surprinderea tr-rturor matematicienilor, un
l1 23 715 827 BB3 procec.leu pentru construirla cu rigla si compasul a poligonului
43
to
26783 31
ll 31

ob{iPneenmtru,1pr-:s2"J-+flor:m45ulaBl2,,regIBu4zd4,gstrd, iegr_rlat.ri 17 lutu.i, iar dupd cinci ani e1 a publicat solu{ia pro-
blemei poligoanelor regulate in forma ei generaid'
funclioneze,, ; in acest caz " na'iettletGorraeuuglsursilgaatleeida;eilmcadol rncosortmrnaputamusrudmlrudidtseoealapreotuat rciteoeonsrsteetmru,,dLi tnnreunmmuamracdiarbppioldrliimg:ocaau-l
care nu este prim; acest

numdr sc dcscompLrne in doi lactori primi, .si anume :

:45812 984 491 I 777 . 25781 083. lui Fermat", adicd un numdr cle forma 22" +l (bineinleles, pen'
hu r.talorile lui n, cdrora le corespund in rezultat numere prime).
tepl.ruxdri.ipmdF\raeueets.rimpsaFfeaie2rt.2rF,somielte+uargmltlacaatedatspcidt'ireeteozu,ch,uevniliteunnaicdudipco.,ernaepracpe,eeraincpvletcreril.nemusttfe.ooarDrmvmicaaeuaclaldmenb,si'i,rniiinmtctaita{trirree-ceragei srmedagbafidirtrane.moemena,raeroiiiugieaca-ri,te"li_v.e"ata,r De exemplu pentru n:2, ob\inem poligonul regulat-cu 17 latuti,
pentru n':3,' poligonul cu 251 laturi. Dacd numdrul de laturi al
poligonului tbguiit este prim, insd
nu este un numdr al lui
herriat, construirea lui cu rigta 9i compasul este imposibild. Poli-
goaneleregulate cu7,1l pi 13 laturi nu se pot construi cu aju-
iorul rigleipi al compasului, pe cind cele cu 17 gi cn 257 laturi
r) Aeest exemplu mi-a fost indicat de prof. A. F. Bermant,
se pot construi !

126 t27

'a daInt sousmieGtoadudssc,ocmapreletae1leazboolvraatti problema in forma ei gencrald, to
10'oto
numai pentru .onstrui"u.-poti-
gdcggl1a.doo7oi ttvsnnurseeeuuridnillpHuittcaiiseu2atrJcr5meo6uf75isaetz1l;5seidd73(g.a76mlaaIt5ailartta5uindGt3riuuen7io.sr.iRct_,nt,raciiNo'icrsogudhfunomeeurssnllteotor)rcuctc.ereco-l(perll'nipearmisailnutoacroiuoicvLFirrcart-nr-rurrpcepinrlzarrila-oraernBrpsteadr0d,tde"amtdeesceetpouagtorbprreileaaiudgoa?eounmnirilvnlumrmeo_ii)'telreG,iui;atr;mtiaezi.u-uldcrio-n-su'rptos|o,2asrrpd-ssiad-eil
In semn de ornagiu lui GaLrss i s-a riclicai-tu cottingen
un
monlrment, al cd.-ri piedestal are forma unei prisme cn biru un

poligon regulat cu 17 laturi. CAPITOLUL XII

DES ORI RAR?

ffi -itnirvacemepsinuinitntidnmtceiciruvi,rauilnelsle1dudpi ieEntrmraetdosnsuutermdneecr,eeslieneapoirnbimts5eemrvcdior.nrcssedicrul1l-al
ttumerelor naturale ele devin, de reguld, din
nesc din ce mai mari, cu alte cr rvinte nLrmereie prime ce in ce
se intil-
in ce mai rar (v. tabela din Anexi).'Intre
zece nllmere naturale gdsim patru numere prime,'in primele

1001 ;i 1010 nu exisia decif r-rnul singur:'1009. scliimb intre

Euclid a demonstrat cd existd o infinitatc de numere prime:
oricit de departe am merge in sirr-rl numereior natnrale, totdeauna
vom gasr numere prime. Pe de altd parte, ,,insulele,, formate in
inln.uetrmgeegerlameleed.pdirsrnitmrnielbrmrs-eerr{eri/oenrie: pinnrimtuilemniveocrlriendlecovcreninpi, rdciemerneegi?iuildCr,au,mi,.mcasahi rlueanflgdeismt,e,,,
!1e00e010g0ry0plsu,i c?te numere prime sint cr_rpiinse in intervalr_rl dintre
una dintre le nr_rnidra direct? Aceasta este
10000000, fard a
nitiv pind cele mai dificile probleme .si nu a fost rezolvatd defi-
in.prezent. Dificultatea problemelor legate de cristri-
bbaulicah.inarr-rmatet raeulozr_itprdimeseprae ajilns provbrbiald pentru'matematicieni,
ea .si nematematicienii. pind si poetii o
amintesc; intr-o celebri poezie, Valerii Briusov scrie :
.. . Dar in fafa lr-ri Edip este taina Sfinxului :
Numerele prime tot nu au fost aflate incd ...
Sd studiem un exemplu care ne va permite sd inielegem pu-
nerea problemei. Fie progresia geornetficd infinitl

+1,2,4,8, 16,32,"..,

9 - Despre numere Si studiul numerelor ng

unde fiecare nLtnldr estc dr,rblul celLri precedent. Numirul terme- nesc, oricit de departe, percchi cle numcre primc vecinc, clesprc
tnaauc;ilateouzsrrtAeoe"rsntfnueolmraimnrctfcreienrcdit(lc.o1srC,:2nuia,mut4rrsir,na8etl)ecd.risvl;pa\Spulueonlivacecclcleeilnesltaceucs'nloiLnrllmaccedeir,0em1iasnaiiinnrractaepiJrpo.aurtAtrtL,scretufJ1eei;nli,r,t,ursineel care an-r vorbit si in capitolLri precedent. De aceea cxisten!a unor
paiinnalttrees.trrievrvuaaillnLluurlil.siddrineocrs1ltlaranula.l10tSu0le2raa5:a1l,r0papitrchuiasttucc1.ns-alougr2mc0isa2i,ii5cuunlnnauucdilncsmotcinrerjgirrng,uieejrlmoi(r3rirc2ilcei)i;st'ntiucnllencslufleuimrnsddgietr,-, imcnse,,insulc" care nu crrprinrl nilmere prime nrl ne a.iutd sd
,,o insuli", carc sd nu contind nici un lermen a1 progresiei r-roastre. rre faccnr o rdee asllpra frecventci lor printre toate uumcrelc natu-
Aceasla are o mart: asemdnarc cu propriclaf ile numerclor rale. $i tolr-r;i . . .

... $i lotLr;i inci Euler (1707-1783), cel mai de seami matc-
matician ai secolului al XVIII-leal), era de pdrerc cd nrrmercie
prime apar ,,inlinit mai rar decit niimcrele intregi". Cun'r sd inle-
legem aceste cuvinte alc lui ELrier ? Iatd ce semirifica{ie aL1. Sd
c.onsiderdm lin nnmdr natural rV, prim san neprim. Fic

prime. Dar c.lcinxisstidrLsrii o cliferentd eseniiala. I-egea de distribr_r{ic a 2,3,5,...,p
numerclor
l, Z, 4, B,'10,...,'in siru1"]rumereloi niiurat* loate nirmerele prime carc nli clepd;csc pc A . (JD:paca; ,'V este
esle foarte simpli. Putcm scrie o formuld, cu ajulorrrl cdreia si prirn, atunci ultimul nnndr din accst sir r,'it fi
in caz
conlrar p va fi nn numdr prim meri mic clecii rV). Sd presll-
afldm numlrul termenilor din acest sir, cuprinsi intre doud nu- putlcm ci obfinem in toterl // nlltrnere prime care IrLt tlepd;esc pe N.
mere natnrale' arbitrerre. 1n aclevdr, numdrui cle termeni rlin sirul
noslnr care nu Jcpi;esc numdrul A/ este egal cu caracteristica De exemplLt, considerdm rV:10 i;nattor,rtnaclipnzirlrtnrnerneuienrpcrricm; cclmecai inn:i4ic.i
logaritmulLti in baza doi al numdrului L/, ia care se adaugd o
dccit i0 r,or fi 2, 3,5,7, adicd
Citilorrrl se va convingc singur cd pentrn ,V: i9, ru:B; pentru
unitate (cilitorul obisnuit cu logaritmri va efectr_ra singui- de- N:30, n:10 etc.
monstra{iar).
Numdrul ru insu.si frri 1re oferd prea multe informa{ii asuprzr
Dimpotrivd, legea de distribr-r{ie a numerelor din sirul nume- problemei care lre itrtcrcseazd, insi raportul nfiV caracterizeazci
relor primc complet desimea sau, erprimat in limbaj ;tiin{ific, ,,ct c n s i t a-
te a" numcrclor prime printre cele nettttralc. 1n tabela urmdtoare
2,3,5,7,11,13,...
sint ciate nncle rralori a1e lrri l/ gi valorile corcspunzltoare pentrut
este extrem de complicatd : di-rp5 un gir lung c1e nLtmere neprimc, rt st nlY. Tn rrltirna linie sc iirtlicd raportul nllV in procentc:
poate urma rrn sir bogat in numerc
valrrl prime. Dc exemplu dupd inter*
,lc ll rrunrerc lrcprime

998,999, i000, I001, I002, i003,1004., I005,1006, I007,1009,. 000 u00 I 000 000 000

urmeazd in{ervaiul n4 25 I168 592 78 498 50847 478
0,25 0,078 498 0,050 847 478
1009, i010, 10i1, 1012, 1013, 1014, 1015, 1016, 1017, nlN 0,4 250/o 0,168 0,095 92
I 018, l 019, 40ol o t Bo/o = 5o/o
t7 = 170/0 = g$oZo
de asemenea din 11 numere, carc contine insd trei numere prime : in o/o
I 009, I 013 si I 0tr9. N'

Am vdzut cd interrraiele dintre numerele prime devin din ce Se observd cd ,,densita1ea" nrtmerelor prime itr sirul tt-ttltror
in ce mai mari pentru a ajungc, irr cele clin urmd, oricit de lrrngi . numerelor naturale clevinc diti ce in ce mai micd, clacl considerim
Dar se intilncsc iardsi, dcstLrl de departe, ,,aglomeralii" neastep- intervale rmmerice din ce in ce mai mari.
tate de numere prime. De exemplLr in vecindtatea lui I 000, dufd
un gir de I I numere neprimc, urmcazd un altul tot cle I I nrrnrere, Cuvinlele ir-ri E,u1er: ,,numercle prime apar inlinit mai rar
dintre care trei sint prirne. A;adar, la 22 de numere revin trei
lumere prime, adici peste 13|e, ceea ce nrl este chiar pulin ! rlecit cele intregi", trebuie inlelese astfel : clacd vom considera tln
in girul numerelor naturale se intll-
Existd motive sd credem cd r) Euler a trdit gi a lucrat peste 30 ani ln Rusia, ca membru al Acadc-

miei de $tiin{e din Petcrsburg.

130 131

numir lr/ foarte mare de nllmere naturaie consecutive, atunci ra- ,ro*n10
100 I fxl0 l0 Ofi)
portr-rl nf lV va li un numir foarte mic;mai exact, daci vorn alege
n (dupd Legendre) r*rB 28 t71 1 230 I
o vaioare foarte micl pentru nllV, de exemplu o milionime, o mi- I
liardime etc., r'om pr-rtea gdsi intotdeauna un numdr natural mare
astfel incit, pentru toate numerele inferioare lui A/ raportul n/,V n (observat) 4 25 168 1 229 e5e2
sd fie mai mic decit fraclia micl c1at5.
I
Euier nu a dat o demonstraiic pe deplin riguroasd pcntru
lncepind cu N:100[), r'alorile observate ale 1ui rz si celc ca1-
afirmalizr sa. Prima demonstra{ie ircprosabild a acestei teoreme culate sint foarte apropiate unele de aitele, abaterile fiincl atit
de o parte, cit si c1e cealaltl: pentru unele valori ale lrri 1r/ valoa-
se datore.ste matematicianului francez \. M. I-egcndre, care a rea obserrratd este cu pulin mai mare decit cca calculati, penlru
alte valori ea esle cr-r pulin rnai micd. Valabilitatea formr-ilei lr-ri
publicat-o in 1798.
Legendre nLr a, putr-rt fi demonstratd in formd gcnerali nici c1e
-'\gadar, s-a stabilit doar ci densitiltea nrlmerelor prime des-
el, nici dc alii matematicicni.
cre,ste indefinit cintj crestc numdrul /\,'.
Pe ia jumdtatea secolului trecut, interesul penlru problemele
Matematicicnii si-au pus nrmitoarea problemi : sd se calcLt- tjeuocraiet iluncurmdreilreelloLrriaLecjreers-crnLert-Dcoirincsl-irdleetra(blBil.0U5-n18ro59l )ir.rrDpiorirctahnlctt1-sa-ua
ocupat mai ales de analiza matematicd (capitolcle dirr rnalcma-
leze n, cind N este dat. Cu alte ctninte, se cere sd se gdseascd o licd in care se studiazd mdrimile cLr variatie continnd : calci,rlul
expresie analiticd (o formuld) ce dii ntLmdrttl de numere prirne diferen{ial, calculul integral etc.). Intre aiiele insa c1 s-a prco-
[nferir,tare unrti rLttrnair natursl dat. r:upat si de teoria numerelor. Aplicir-rd in mod consecvcnt mcto-
dele analizei la teoria numerelor (in accastd consisli marelc sir-r
Aceasld problcmi nrr a putLrt fi rezolvati nici cu ajuiorul apa- merit), Dirichlet a ob{inut o seamd de rczultate interesante. Am
ratulr,ri materuatic actual. Dc aceea a fost inlocuitd prin aite douh mai ardlat cd ez1:5a marii teoreme a lrri
Fermat pentru demonstrat valabilitatea
probleme: in primul rinrl, s-zr cdutat o lormuld pentm aflarea demonstrat existen{a
lui n dacd A/ este dat, insd astfel ca eroarea sd fie cu atit mai si n:14 gi cd tot e1 a
rtnei infinitaii de numere prime in orice progresie aritmeticd in
micd cu cit N este mai mare (formula fiir-rd aproximativd); in al care primul termen ;i ralia sint prime intre elc. Tot e1 a ob{irl,rt
doilea rind, s-au chutat legile cdrora 1i se sllplln abaterile accstei importante rezullate in teoria ecua{ii1or nedetermirrate de gradr.ri
fornntle, dc 1a legea aclevdratd a distr ibLr{iei numerelor prirne. a1 doilea. Dr-rpd ini{iativa 1ui Diricl'rletr), rnatematicienii dirr diie-
Acestc doua problcme all o vcchime r1e un secol si jumdtate si au rite ldri au inceput sd aplice metodelc analiticc in stucliul nllmc-
relor naturale.
preocupat pe cei nrai buni mertematicieni.
Tinind seama de ciurul lui Eratostene, matcmaticianul francez
Prima fornruld simpil, carc cxprimE aproximativ numdrul de Bertrand a emis ipoteza cd intre orice numdr .:i dr-rblul sdu exislZr
nllmere prime mai n'rici decit un numdr naturarl A/ dat, a fost obfi-
rtuta de Legcrrdrc; el a oblinut-o ,,prin incerclri". Aceastd for- cc1 pr,r{in ttn numdr prin. (Mai exact, dac:a 2x)7, atunci intrc
mula determind destrrl tie bine pc n, pentru orice lV mai mare x si 2x-2 existi intotdeauna un numdr prim.) Bertrand nu a
decit 1000,si mai nic dccit 400000 (in 1impu1 lrri Legendre tabe-
pt-ttut demonstra aceasld propozilie, insd pe baza ei a demonstrat
leie de numere prime ajr-rffgeau numai pind la 1v":400000;
in prezent ciurul lui Eratostene a fost prelungit pind 1a Ai:

:1) 000 000).

Iati lormr.rla lui Legenclre:

n: N mai multe teoreme importanle din aritmeticl si din algebrd. Ipo-

ZSOZ SG irr-t"OS3 66 ' teza cd intre numerele x gi 2x (pentru x) 1) cxista cel pu{in un

unde sc ia, bineir-rfeles, partea intreagd a fracliei supraunitare, numdr prim a fost denumita de matematicieni ,,postr-rlatul lui

care se ob{ine pe baza acestei formr,rle."Sd considerdm iabela care t) Dirichlet a fost primul care a aplicat sistematic metodele analizei
corespttnzdtoare diferitelor valori ale 1ui N, ca1-
di valorile iui rz, matematice la studiul numerelor naturale. Anumite rezultate fuseseri ob{inute

culate cluph iorruula lr-ri Legendre si cele observate direct. pe aceastd cale gi inainte, de citre Euler gi Gauss.

192 133

Bgltral{'"1). ,,Postulatul" hri Bertrand a putr,rt fi demonstrat clc In tabela de mai jos, in prima lir-rie slnt date valorile nllme-
cdtre Cebiserr, in 1852.
P. L. Cebi;ev ( 1821-1Bg'1) este corrsiderat pc bund dreptate rlhpietueilnornzra.dntAoaat;urriena,lesc,fainrlcpouittal,ateitneculdinr,lriitpaedraafotlrrrm/e, iLiar-lrlsaainldutodinaaCt,re:vbva?.alsoleorvilreigleiiLenrixorautcactteoereacslen-
ca o minilrie a .stiin{ei ruse. El a lr-rcrat timp cie o jumrtate de
mai vuiiat" donienii ale matem'aticri,-obllnina pr"-
secol in cele

tutindcni rezultate remarcabile. insd cel mai impoitani lucru'din
activitalea sa este faptul ch a pus probleme cir totur noi,
aatuena,{tiraase.lreevpielodre atenlia mullor matematicieni si, in primr-rl care .!t l zls]ro 100 l 000 r 0 0u0 I r00 u00 | I 0u0 001
a creat gcoala matematicr rr,rsd, ar .ti
sai. El rind, .l ;l;llA ,11; 29 r78 I i 246 e 63rr rs nz* 664 918 5 762 209
cirei 664 579
laraeslp|_oArc^azeertbz,eir.lansael,a,vodn!.esirnrrorsctairll_ardieIlcdiiu"pa;iinntn'idAsdzlairprgspcdtdirszretlirraruusccnrrddrnlrooilcle/focirrorrlmani 1duc.uredAcbdr''c:,tco.arrrm-erilnaisnid'sdstocli,irnrnerrsatcl.recrxairarclsti ti n 25 | 5 70i 455
i
,osl,z:ol ;,ozi zs+su

teo.riei nrmerclor, aceastd pioblema se consicler e' ir"zol'iiti (pri' lD_uei Se obscrvd cd diferen{a dintrc A si n crcste odatd cn cresterea
ddrneoimrjlaootaancsectlarea,t,.s\c1lit.riir,rrrIptaceirnaitrcrlulorrrvarralleul,oibrriirafroeai.nrr1{teei rsem_soa; rrceiszaleorelrvrlrcL)rai. rAirrir,irsrairlepCoot.rrbtitcrJ;ct.rvLinlNa- insd raportul dintre aceastl diferenti .si ly' scade rcpede.
l/,
exemplu pcntn-r A/:1 000, avem

ldcduuaifiuea.Arolili.tfApomrasertaitceeiizimpideuaeclrienfuocrcamulctuitcmleimti,risamviainelmtaabmatirlraeeli#-cnm-uu,amcriaitivsaaipplnorretrocimxliezimiaaciaofmtonivrsam,idriLierrsrvlcadiiltocIciriaainlrledee A-n: l78-168:10

(10 reprezintd lll00lo din 1000), iar pentru l/:1000000

A-n:7B OZB-78 498: 130

mdrimilor ce intervin in ele, se numesc formulc asimptotice. (mai mare decrt pentru L/:1000). Insd, in raport cu milionui
opPerfinontrrmuurmudlaedrnesa.,istapimutefepamto_dtiisscptdruinbpeue{nciedtriucnecubamislceeuvrclualol crnlapr,trrmiomhfcorr.r-mrTluuoi rtndeacls1aeimnopnblmlointeri_crerrt de numere consiclerate., p1u30fi.nredperceizt iinntdcadzoatlrl/0:,0I
xirnativ de 13%, adicd apro-
opt ori mai 000. prin urmare,
acest raport caracterizeaza calitatca unei rela{ii aprorimative.
pl-lmc care sint mai mici decit un numhr ,\, dat; dcoarece in Se. vede cd pentru formula 1ui Cebiscv saincet smt arai 'pmoarii:icnsutememriecle;
aceastd formuli intervine prin urmare,- formula este bund
semnul integrdrii, nu o vom cla aici. : cri cit
as.imPpetobtiucncat.lcclrcelpisttaribter_rc{ieebaisneu'meesrteelocronpsriimdeer.aEt cl raeaatvourut lL1lengpilroer- considerate, cu atit formula dd rezultate mai bune (lcge asimp-
toticd ) .
dccesor..carc a giisit pe Pe de altd parte, observdm cL4 este totdeauna mai rnare
t-ttt{ioasd a ciurului lrri lcraralctopstucrnee)m'paicricclaea(ipi rfionrmerualcm, irdaarrcra'mceis-t decit n, ceea ce cste valabil rru rrrrnrai pcrrtr.rr numercle grprinse
predecesor nu a putlrt sd le demonstreze valabilitatea si nu le-a ii;nni ttuoabntdenlea.anEouarnsaatri5ir,uecsnic.rsesi pzdeusnltetarutcironertaircduedcliyct'vdiadfro,u,rmimaduirilialc"o.1rre_prsiirp^-urCdLerbdinigseu1vn91d,,d14
publicat. Este vorba de Gauss.

smpLcaruernvlcDdeaiuazt.e.uipeD,diaeil.laoedraerrcsirr.ecusrosimrptarelcdlirrlmpieurrerglouraiIbil,olrnefriomm,rcmIpeaartrmrsrral-caagdllocuuermvcoeaaecrsllliureicmcpiedcaprazttroldiciCtuicacclnaebbgt,aie;letscev-zdra,rii-ler'HpUp'dvlaulasraJdlocpuverrriosslnotbierrliLeafmooilbsira---i s-au fdcut numeroase incercdri de a dcmonstra aceastd afirmatic,
.adicd de a demonstra cd A).-n pentru N arbitrar. lnsi, in lgi4,
I-ittlewood a ardtat cI existd numerc (vaiori ale lui N), pentru
tvcraaurloecrani r.estiremAba)uiienm,iancriitmasoleidvlunaeilocl/erisvaporemnstdirnuftieicinamrieaantiitm)v,a4ar.leoCrdi euaclaeitlt1Ieu;icNupvcipnnetternu,-
iewood. Problema abaterilor de 1a formulere 1'l cebisev 5-a clove- de la formula lui Cebiscv vor fi
relultate.
dit a fi extrem de dificiln. Dar ;i aici s-au ob{inut rrnele totodatd si un caracter complet

r) Cuvintul latin ,,posiulatum,, inseamnd,,cerere". In manualele vechi, abaterile nu numai infime, ci
intimplator, oscilind
enun{ul axiomelor incepea de obicei cu lormularea ,,vom cere ca...". vof avea
in jurul valorilor reale.

134 135

care cste cei mai mic nrimdr natural pentru care formuia lur
cebiscv clecit cei rear ? Matematicianul
cli un rezultar mai mic
Hardy, colaborator al lui Littlewood, a ardtat cd acest numdr
este enorm c1e mare ; el a putut sd precizeze cd este mai mic
decit 10rc0. Se pirea cd rra fi imposibil sd ne apropiem de acest
numdr' .\bia recent, in
1(d9a33c,dmsaetefamcaeticainaunmuliteen'filpeozt-eSzkcers,lvrpsleamreenlr--
.sit si clemonstreze cd
tare) se poate evalua numdrul pentru care formula lui cebisev
dd primLrl nrrmdr din .sirul numerelor naturaie mai mic crecit cel

reai. Acest numdr estc aproximativ egal cu l0to1o3a.
Numdrul lui Skews este considerabil mai mare decit fozrtc
numerele gigante menlionate pind acum .;i poate fi considerat, CAPITOLUL XIII
in acest sens, drcpt un,,numir recorrl". Numdrul gee, despre care
PROBLEMA LUI GOLDBACH

a fost vorba in primul capitol, _si chiar numirul imens 108.1016- n capitolul precedent am analizat problema distri-
din ,,Psammit", sint foarte foarte mict in comparatie cu gigarr-
tul lr,ri Skcrvs.
buliei numerelor prime printre toate numerele na-

turale. Am constatat cd numerele prime apar
relativ des 1a inceputr-rl giruh-ri numerelor naturale

valele dintre ;eiledseevinmdarpeosic.diInncaeceinsteceinmteravlarlaeree,xiasdtdicnduimneterer-
care sint suma a doud numere prime. Iatd de exempiu numerele

pin6 la zece; l (nu intrd in consideralie);2 (prim); 3 (prim);
4 (2+2, suma a doud numere prime); 5 (prim); 6 (3*3, suma
a doul numere prime);7 (prim); B (3*5, suma a doud numere
prime); 9 (2*7, suma a doui numere prime); 10 (3*7, suma
a doud numere prime). Prin urmare, toate numerele pind la 10
-qint sau prime sau sumd a doud numere prime. lnsd 27,
nu mai poate fi reprezentat sub forma unei sume de
exemplLr, de
clou6 numere prime, ci ca o sumd a trei numere prime:.27:3*
+ I I + 13. Pentru ce numlr natural nu vor mai fi suficiente tre{
ilumere prime ? Care este numdrul minim format din cel pulin

patru, cinci etc. numere prime ?
Astfel de probleme pot fi extinse. Matematicienii se intere-
seazd de mr-r1td vreme de felul in care se poate scrie un numdr
ca sumd a mai multor pdtrate. Dacd acest lucru este posibil,
atunci in cite moduri se realizeazd descompunerea respectivd ?
Aceleagi probleme se pot pune gi la descompunerea unui numhr
intr-o sumd de cuburi etc. Apare astfel un domeniu special al

teoriei numerelor, in care locul divizorilor gi al factorilor este
luat de termeni gi sume. Acest domeniu se numegte teoria
aditivi a numerelor, denumire care vine de la cuvintul

137

latinesc ,,additio" (adr-rnare). In ceea cc prive;te partca clin teo- pensie. L-r 19i2 E. Landau a emis ipotcza cI aceastd problemd
ria numerelor care se ocupd cu factori si divizori (teoria divizibi-
nri se poate rezolva cu mijloaccle ,,actuale" alc matematicii 1...
lit5{ii etc.), ea se numestc teoria multiplicativd a nu-
rm e r e 1 o (de 1a cuvintul latincsc ,,multiplicatio" care inseamnd In 1923 matematicienii englezi f Iardy ;i Littlewood au realizat
inmul{ire). iln oarecarc progres in incercdrile dc a gdsi o soh-rlie problcn'rei
lLri Goldbach. E,i arr rcusit sb lege problema lui Goldbach de ttna
Si revenim 1a problem a reprezentdrii oricdrui numdr sub I' .dintre ccle mai dificile si mai interesante probleme a1e leoriei
I

forma unei sume de nrai multe nllflere prime. E,a a preocupat func{ii1or analitice (rtn capitol special din matematica silpe-
acum mai bine de 200 de ani pe Chr. Goidbach, membrir al Aca- rioara). Nici aceastd problcmd nu este rezoIvald,, nu este dusd
demiei de $tiinle din Petersburg. Goldbach a consiclerat foarte II
multc nuntere, incercind sd le descompund intr-o sumd cle nu- pind 1a capdt, insd lcgiitrira descoperitl intre aceste doud ramuri
mere prime si a ajuns la convingerea cd trei termeni sint tot- {
ale ;tiinlei, in aparenli de naturi diferite, s-a dovedit fecundd ;i
cleauna suficien{i. Dcoarece nu a putr-rt si clemonstreze aceastd
rr dus la o serie de dcscoperiri.
propozi{ie, el i-a scris prietennlui sdu Errler, cLl carc era in O cotiturl hotdritoare s-a prodtts in 1930. Marele matemati-

coresponden{a sdceriasporaoracpdei1r57anjui n;iieca1r7e42s,eGaollradbaatuclnrciii in culmea cian sovietic L. G. Snirelman (1905-1938) a reusit sd modifice
astfel problema, incit a rezolvat-o prin mijloace in'u'entate tot de
glorici. Inlr-o comrrrrica el. Anume, constatind cd incercdrile anlerioare de a o demonstra

nJrurimEdurlemr acidmirardrerizrnleecsittecisndcieerrsrtrentesurmrrma dalotarrecianipiro-l"c.z"dp; r.i,norreic,,c. st-tb forma iniiiala nll au dat rezttltate, $nirelman ,,a slibit", cum
Ettler i-a rdspuns cd el considerd perfect spun matematicienii, condilii1e problemei 1ui Goldbach, ccea ce
splrne par este suma a adevdratd teorcma care
ci: orice numdr a dus 1a o problemd inruditi, considerabil mai simpld. Goldbach
aici, ca o consecinta simpld, se ob{ine doud numcre prime. De cerea sd sc demonslreze cd orice numdr natural este suma a cel
afirma{ia lLri Golclbach
(cititon-rl va rdspunde de ce). De artfer nici Euler ru a tlat o mr-rlt t r e i numere prime. Se poate cere ca orice nnmdr natural
clemonstra!ie.
sd fie suma a cel mr.tlt patru, cinci,..., o sutd de numere prime.
Eviclent, aceste condi{ii sint mai slabe decit cele a1e 1r,ri Gold-
"ltti..A,.G;gdogld,-..bs-aacphu)s: urmdtoarea problemd (numiti problema bach ; in adevdr, un numdr care se descompune intr-o sittd cle
sd se demonstreze sarl sd se nllmere prime ar putea sI nu se descompund intr-o sumi de trei.
pozi\ia ,,orice numdr mai mare decit unitatea infirme pro_
mLLlt trei numere prin1e". Nici contemporanii
este stLma a cel In sfirsit, se poate pune problenta cllm a procedat $nirelman :
lrri Goltlbach si
sEmrualtreeermz,onalvtiiceci,ie'pcnrhoiiabalreimmsaea.ctcoGmlu.alutciicaitenrentociiur,dt,iunansuealcvdbnilnut tirrdetrbecccleauirt,emanansidaourinigcpienr,rractuelit existd oare url numdr intreg pe deplin determirmt, insd necunos-
toate pare de 1a 2 pind la I 000, iar Ar-rbry cle 1a I 000
I_anu2m0e0r0el;e ei s-au convins cd cut (it r,tom nola ctt litera C), astfel inclt c.trice nttntdr natural sd
pini intre aceste limite- orice numdr poatd fi reprezenlat stLb fr:rnta a cel mLLLt C ternteni primi?

par este sllma a cloud numere prime. In lgll, E. Melet a arltaI Ctt altc cuvinte, oricare ar li numdrul natrtral A/, se poate

cI majoritatea covir;itoarc a numerclor pare cuprinse ?ntre 4 .si scrie toldeauna

9 000 000 sint sume a cite doud numere prime ; numdrul excep- ,V:Pr * Pz1- Pe|_. . .-l Pn,
mai mare de patrusprezece (cleci, pentru
{iiJ9i nu poate Ii pare, afirmalia lui Goldbach unde p1, pz,...,pn sint numcre prime, iar n este cu sigurar-ild mai
4 499 9Bo de numere sfir,sit, la inceputr,rl secolului mic decit C (cel mult egal cr,r e1). Dacd se va putea demonstr:r
este cLi sigu-
rantd adev{tratd). In a1 XX-1ca arr cA C -*3, afirma{ia lui Goldbach va fi demonstratd. $nirelman a
apdrut mai multe lucrdri care incercau sd traseze ciile pentrr_r
rezolvatea acestei probleme sau sd o lege dc alte probleme ale rer,r;it sd dcmonstreze complet aceastd fcoremd ,,atenuatd". Nu-
matematicii. Insd demonstrarea ei riguroasd a rdmas tot in sus- mdrul C, deocamdatd rrecunoscttt, se nunre;te, de atunci, ,,numd-

mrua1{1iaui1$r-nriiGreolmldbaanc"hsapuoa,t,ecofnisetannr-tranf1atudi $,sniiraes1tfmela:n"",,cAo;nasdtaarn,taafliur-i
Snireiman este egald cu trei". Insd aceasta esle prea pr-i{in.

138 139

salAadlttiiasnelmciezoapablre-ticimtr,erdaeaatiomcaicaefnvioiase(ltxuRraro"rcmeit*daaararcooivmi,nlepsLtlaoia;rdniredlepiaiuliLll,r;rrHiih$e$ninlbi6rir7eoe.lrmlnm,aaRnn,ic; eiilof)e,acarttuepaetmarmadrisee .aceasta, di-rpd Vinogradov, afirmalia lui Goldbach este valabild

toi_r'aiu.reDGnceuoaslmrdeigbc,uarcecrl_htmd.aeIrambarpiiftcoiriradtmaernaeetxi,eeesmsotetpreilicunfiost daarrctedfimadcueeaitmspfaairnsi.d-aDlaedsepnmrueomnuslntrruanltr_p3rmenad-rl pentru toate numerele impare destul de mari, adicd incepind cu
run numdr mare rhmas citva timp necunosct-tt.

In 1939 acest numdr a fost calculat de cdtre tindrul matema-

tician sovietic I(. G. Borozdkin:

,"rot'nu ,

835 042000 000 000 000 000 000 000, ,unde numdrul e este baza Iogaritmilor naturali (e:2,7182...).
Trebr-ria sI se micgoreze considerabil numdrul gasit de K. G. Bo-
rozdkit'r, dupd care sd se vcrifice direct toate numerele mai mici.
sau vechea noastrd cunostin{i 9ee, pentru a cdr';i scriere sint Aceastd lucrare a fost efectuald de Cantor ;i de Ar-rbry, insl
necesare 30 de voiume, putem afirma in egali mdsurd cd 67 de :numai pentru numerele pind 1a 2 000.
dpirfoebriltecmpeui nluctieGdoeldvbeadcherepegnitrpuecndtruesctde
termeni primi sint suficien{i pentru a-l reprezenta. chiar gigar-rtui Am insistat asupra
foarte interesantd din
tgtoro"" al lr-ri Skews poate fi.reprezentat, pe baza d,emonstra{iei
l(.uuin$ii.ndiri.neltmrcana,cseusbti forma unei sume
de cel mr_rlt 67 numefe prime stiin{a rusd are dreptul sd se mintireascd clt ea. Aceastd pro-
termeni vor Ii si .blemd ii aparline matematicianirlui Goldbach; primr,rl progres in
ei imens de mari, muli mai
mari decit gse;. Prin Llrmare, rczuliilatul 1ui Snirelman este o rea-
lizare r:riagi. Principalul este cd s-au cleschis cdi noi, s-au cles- rezolvarea- ei se datoregte lui L. G. $nirelman, iar solulia ci a
aborda rezolvarea unei vechi fost oblinr-rtd de acadernicianul I.
coperit noi posibilitili pentm a A{. Vinogradov.

probleme. Asadar, se puteau astepta gi rezultate noi. A;a s-a
intimplat in realitate.
S_ocIinalis1te93p7i,
academicianul L M. Vinogradov, Erou al Muncii
Stalin-, inci pe atunci celebru
Laureat al Premiuli-ri aditive.
in lumea intreagd prin h-rcrdrile sale din domeniul teoriei
a rrumerelor, a rezolvat
care fusese consideratd aproape complet p-craoblema lr-ri Goldbach,
inaccesibild.
cu pulin inainte

IG"jto.:ldR.bpcaezcrn-htrrltugastuttoel aocteboiminnupumlteetdrereelIez.oiMmlvp.aatV|r.ienS,oadguerasatdultoldvdfepoormmatauerlaif,irpber:noucbonlentmasttaaanlstuat-i,

lui Snirelman pentrl numere impare destul de marl nLr este mai

mare decit 3.

so.luD{9iecceonrnuppleotadt,ed_efi fcinointisvidde, raatdprsoobluletmiaeliuhi -Ir.i .\1. Vinogradov ca
am afirmat cI
Am viztrt cd GoldbuCfif D" .*
el a rezoluat ,,aproape" complet aceastd problemd ?

Euler gi Goldbach au afirmat cd orice numir par
este suma a doud numere prime (aceasta s-a confirmat exp6ri-
mental pentru numere relativ mici). De aici rezultase, ca o con-
secinld, ch orice numdr impar este suma a cel mult trei numere
prlmg. Vinogradov a demonstrat ultima afirmalie despre nume-
rele impare;.de aici urmeazd imediat cd pentru'orice numdr par
sint_suficien{i patru termeni primi (numere tperrimmeer)i.i. QIndmainfaerdinsdde
deschisd problema daci sint suficien{i doi

I40

i

Tabela numerelor prime mai rnici decit 6 000 ANEXA

2 331 '751 2n1a7 tgI 2t 221 2'ilg 3 299 803 4 943 5 503
3 301 821 4 363 4 951 5 507
699 t2a 2 729

5 761 225 709 2 239 2 731 3 307 823 4 373 4 957 5 519

7 349 769 231 721 2 74t 3 313 833 4 391 4 967 5 52t TABLA DE MATERII
l1 353 ttJ
2 251 2 749 3 319 84? 4 391 4 909 5 527
t3 359 787 219 /.1J 2 267
J JZJ 8bl 4 409 4 973 5 531
t7 sti I 757 741 2 269 t ;ot 3 329
2as 853 4 421 4 987 5 55?

l9 373 809 74V 2't77 3 331 803 4 4'23 4 99s 5 563 Din preiafa autorului la prima edi{ie 3
753 2 281 2 789 3 343 877 4 141 4 999 5 569 5
379 8ll 279
i
29 cdJ 821 283 759 2 287 2 7St 3 347 88r 4 447 5 003 5 573 Introduccre .
16
3l 389 823 289 777 2 2E3 2 797 3 359 889 4 4b1 5 C09 5 581 Capitolul I:
JI ldJ 2 297 2 8ol 3 3til 5 591 26
357 dzt 291 907 4 457 5 0ll 31
9il4t 401 829 257 787 2 309 2 803 39
23fi43 409 839 301 4 463 5 021 5 623 Sistemul nostru de numerafie. 48
61
789 2 819 J JIJ 917 4 48r 5 023 5 639 82
97
47 419 853 303 80r 2 833 3 s89 919 4 483 5 039 5 041 Capitolul II : Cum numdrau strimogii nogtri ?
81r 2335 2 837 3 39r Capitolul iiI : De ce a numirat Arhimede lirele de nisip gi cum 106
421 85? 307 923 4 453 5 051 5 647 116
le-a numlrat ? 129
59 431 859 319 823 2 34t 2 843 3 407 929 4 507 5 059 5 651 r37
433 863 831 2 347 2 851 3 413 931 4 513 5 077 Capitolul IV: Nu cite zece, ci. cite cinci sau cite dou[sprezece 142
61 439 877 JZt 847 2 351 2 857 3 433 943 4 b17 5 oat 5 653 Capitolul \' : O aritmeticl in care nu trebuie sd socotim
67 5 657 Capitolul VI : Misura comunl
Capitolul VII : Ecualiile pe care le studiazi aritmetica .
71 443 881 361 861 2 357 2 861 3 449 947 4 519 5 087 5 659

79 449 883 307 867 2 371 2 B7g 967 4 523 5 099 5 669
83 381 8?l aJtt 2 88i 3 461 989 4 517 5 l0r 5 683
457 887 873 2 38t 2 BS7 3 463 001 4 549 5 107
461 907 5 689
9ll89
5ilg97
?tl10r
463 399 877 2 383 2 903 3 4$7 003 4 561 5 113 5 693
409 879 2 389 2 909 3 469 5 T0l
4b7 9IJ 423 889 2 393 ?. gl7 3 491 007 4 567 5
013 4 583 5 147
479 925

il3103 48v 937 427 901 2 399 2 927 3 499 019 4 591 5 153 5 717
491 94l 125 907 2 939 3 511 5 737
107 499 947 433 2 4tl 021 't bs7 5 167 5 74t
109 027 4 603
913 2 417 2 953 3 517 5 l7l
439 931 2 423 2 957 3 527
503 953 049 4 621 5 179 5 743 Capitoiul VIII : O aritrneticl in care ,,trei ori trei fac patru" .
Capitolul IX : Divizibil sau nu ?
127 509 907 447 933 Z 437 2 903 3 529 051 4 637 5 r89 5 749 Capitolul X : IardEi despre divizibilitate, o teoremi ,,mare", cunoscute
13r 521 97r 451 949 2 44t 2 969 3 533 (]57 4 039 5 197 5 779
sub nurnele de ,,mica teoreml"
137 523 977 453 951 Z 447 2 971 3 539 073 4 643 5 209 5 ?83
Capitolul XI : Ciurul lui Eratostene
139 541 983 47t 973 2 155 2 999 3 b4l 079 4 649 5 227 5 ?91 Capitolul XIi : Des ori rar ?
149 547 99r 5 801
15r 481 97s 2 467 3 oot 3 517 091 4 051 5 231 Capitolul XtrII : Problema lui Goldbach
s97 987 3 557 093 4 657 5 233 5 807
2 173 30ll A n e x 5 : Tabela numerelor prime mai mici decit 6 000
483
157 563 009 993 2 477 3 019 3 559 099 4 663 b2S7 5 813
ilt163 509 013 487 997 2 503 3 023 3 571
107 571 019 489 999 2 521 3 037 3 581 4 673 5 261 5 821

577 021 493 2 003 2 531 3 041 3 583 t27 4 679 5 273 5 827
587 031 t2s 1 691 5 279
173 593 033 ,lU9 2 0ll 2 539 3 0/l9 3 593 5 839
179 2 543 3 061 3 e0? 133 4 703 5 281
5ll 2 017 139 4 721 5 257 5 843
l8l 5 849

191 599 039 2 02v Z 549 3 067 :l 013 153 4 723 5 303 5 851

193 001 019 531 2 029 2 551 3 079 3 017 157 4 725 5 309 5 857

197 007 051 543 2 039 2 557 3 083 3 623 159 4 733 5 323 5 861
199 613 001 549 2 053 2 579 3 089 3 631 't77 4 7bl 5JS 5 867

2lt 3l(9617 063
553 2 063 2 59t 3 637 201 4 759 5 317 5 869
3ll9223 6r9 069 559 2 069 2 553
3 643 211 4 783 5 351 5 879

t2t2o7 631 c87 5rt7 2 081 2 009 3 121 3 059 217 4 787 5 38r 5 881
611 091 571 2 083 2 6t7 3 137 3 671 2tg 4 789 5 387 5 897

233 643 093 579 2 087 2 62t 3 163 J O'J 225 4 793 5 393 5 903

235 647 097 583 2 069 2 633 3 167 3 677 231 47g9 5 399 5 923
24t 653 103 lll597 2 099 2 647 3 169 3 691
2bl 059 t09 60r 2 2 657 3 l8l 3 697 241 4 801 5 407 5 927

257 061 tt7 607 2 113 2 619 3 187 3 70r 243 4 813 5 413 5 939
253 4 817 5 417
263 673 't23 009 2 129 2 663 3 191 3 ?09 259 4 831 5 419 5 953
5 g8l

265 677 rzu 6t3 2 t3l 2 671 3 203 3 719 261 4 861 5 431 5 98?
271 683 l5r
619 2 137 2 677 3209 3 727 271 4 87t 5 437
277 69t 153 621 2 683 3 217 273 4 877 5 441
2 l4l
28t 701 r63
627 2 143 2 687 3 22t 3 739 283 4 889 b 443
n3 7C9 t7t 037 2 153 2 e89 3 229 8 761
n3 7tg t8l 657 2 r6l 2 693 3 251 3 767 289 4 903 5 449
297 4 909 5 471
3il307 727 187 603 2 179 2 699 3 253 3 769
4 919 S 477

193 667 2 203 2 707 3 257 3 779 .JJ/ 4 931 5 479

313 739 201 669 2 207 2 71t 3 259 3 793 339 4 g9333l 5 483
317 743 213 693 2 213 2 7t3 3 271 37W 349 4 5 501

t42