DLJICAN
LAI,JREP^m{ftfm
&&BtRtIuT'u&
..Autorul lucrdrii. i-crlrentil: Fruirisctnr,'r,ri*9i--orgpoienri-,.
iut din nefericiie +ictu in
so!,,.TtruirnodFtnre-.sunfEontruntlcnrncuAcrreiidF5geutfnciltro;lilmlconfsc'tlt++jrl;ftrcirt'f'i'lsie::++i 'r'y5inAt'tqrr'"r:'tit'*rc!ir{o!nii'nbuoeuttrizosc'etdtEelurogq-
crdri stiintifice si litersre,
i$iPdnoeirUtiigpniiurtr;elnlieuntooulepfigarnEeeicorreeeutoucnmqrrt,urjTeetlultrir&ceii"eqsF{;tas'*' fl{'lc''sr'1tF'ii;Vi;e?l1di-fhl'nr1ti:e4vtinr3irnxq'4't"etr;:trrit':,''rr:*neipirr'e'neei'dtsnrucigeic$ns,t,9t"eFevrclgi-enllt'l '
tol"-- a* o .lc!inci 4"r"1;1utqri 5r strnnifirutiile
ioliu^ilo, si euceri 'ri':
ln orezen(o du11611g .ir,o ;+<:'*e 'rl" i euelidiene'
t:3,6g1t
q,e rincl teme
dilicile de filozodi* si {u','.rrtlrani"le intrtevnG'
tLcieouircie,ioinSreis.ooPeeiucsitnedleve.rng!el:*-.Enr:,e'^-r',,"l"i.r.c"!.t^n,i+ii6ip' ,rirr.t:fniiarir"i;irnn,?e5oflbF|e-
rJioiioenrittnu,clo6pfE;roi"se-eiv"oo6msessxeitr{itie"rn:i?ei",'iiipnernt,,sar+lI{QirlCtritie#irer'.r3"."e1*:lr!r"'t,r: nIr:r,':5i;ng!'{'i"siennsn*+it,nriuntion|etloerre:rnprsn' euiirl-
'1. i,r'r' Acac{. f.?lu4'}i.$H'{€$E0R€$fu
: ':i
{"qFrir.$l $?3 .t4 {}1$9-$
LAURIII\TIU DUICAN
PRIN LAtsERNNTU!-
GHOMETRIEI
edifie ingrijitd gi prefa{at[ de ILIE DUICAN
fl
#
I;t
rsBN 973-24-0169-9 @
EDITU RA ALB ATROS
BUCUREFTI r 19e0
cuvINr lwerNTE
ccrvedaDriteogcria,iirfeacoaiinrtteecro,atnipnfiordtrn.ardn, .iLdaaoinncrsedtionamlinuetnaDitneuln'itcgsattliti,cti,ndlseedloeironsseecxbariitcedt.e.pClr>wirnilenirgeecregeleadncsidcteituTwarai|hngr-i'
sfor-miri geometrice, potblica{d prin Ed,ikr,ra $tiinlificd. 9i Encicloped'icd,
7987, este rod.ail stud.'iuloti sdu. organizat, suslinul de ailettd.rata pasiu,ne,
carte apreciatd. I'a aparilic de cd,tre special'i,gti ile rn,are exigero{d, precum
proJ. d,r. docent Salowon, Mat'mrs cq.le o consid,era ,,...exemplerd prin w-
rietatea gi bogd|ia rnqterialulwi," (Preuniaers'itaria,tnr. 6130,:7987, P.30)-
Nd.scut la Bragov,6n 4 iulie /964, wnic fiu al, unei famili,i ile frofe'
peniru stuiliul m,atematic
sori, Laurenliot, Du'ican t;i aa cristaliza ot'iiwnea
tncd. d.t)n pri,mii ani ai cu,rswh'ti gi,mnazial (Scoala generald. nr.5, Bra;ou),
de cdnil nu,nr,ele sd.n, este frecaent intiln,i.t €n Ga.zeta matentaticd., Jie ea rezol'
a'itor, fie ca propund.tor de prabl,enze. Particif,tnd la sesiuni de comunicdrl'
Stiin[ifice, la cercul d.e n'ratenraticd gi olimpiad.e, gi-a format foarte ileavente
runnat%e'xnoodastiucipi,e, raioprtidteudainshi ,tetltifa,r,edcreataegdtnedpi.r;oifeeslaobroiiraghi tccordl'e.rgiiic,es!d'i.ni de
cmualttuer'drn.adti.cind-fcizwicadtn. tu,,lD, cr.drLoranlesgpotid,m':' Btirmago: a ctt;i d.om,enitil,
de
,,Era unsnirn, afreciat ft:ntru cuno;tinlele sale la Liceul
ile de oam.eni de gti'in{d
Si rnatematice... il,{
La ta-
bld eta realmettte si,gotr pe el, aaea un bagaj solid de cuu,o;linle, fract'ic,
la ovele ile cuvs etala o odet:dratd. rntnd,rie a speci,alistul,ui. Preocwpdrile
Ini Laurenliu Dwican s-aw canalizat spre rnatematicd. gi fizicd, dar scest
Ittcrtt, nu l-a impiedi.cat sd-gi dezaolte;i al'te laturi al,e personal'i,td.ldl..."
(Drago; Rahotd., Limba;i l'iteralura, rom,dnd' nr. 3j7966).
iirliC'itea, cu o aie au'iozitate, di,n diferite d,oynen'ii al,e cwnoa;terii, abarda
ule aie,s,ti'i'ti,r,aptartien pretentioase, tncercind, sd pd.trunild 6n maritre nednfel'esurl
d.ezbateri'interesante g'i prin l,ecturi ile aacanld., ahernate
r,u,lnexccwwgrseiliufl'reacct'ecns,ttuei
iro rnu,n,li, '1s9auasnpi,osrttuudrei tpcrteafelFraatceu,ltcda.ltiiedneisAwrld' $omi sactblcl-rd'f-i.
mtine. $C, de;i excef
t(.nd.r ile
noicrot'rocesoarelor, el
liu,curegti, euea loc d.ezbaterea cu sine a omwlw'i ile
pentru o lunae a
lional, de |nzestrat ;i ile pregdtit
l,iirea sd. fie tra fel, de pregdtit sd trdiascd tn hlmea dtaeloserialordr"saenl slCudbilLea" w- -
uf.raci,azd C. Naica irt, ,,Cu,aint inainte" tra ,,Caietul
'*'*'*'rb;es"|d"e;ruy;'inr;":"bri;n;i{trfi5i;TdeLi;r;i;r,t;ii"ti;,e"oii;i;ir"i"D;i;"'a;iai;;rr,oa':;u:;dn;r1;i,'ri.ic*""";raooii',',ii"sn;,,"ti*;,idr-.';iii'lnp)i'"oli.-tio,,iuei"uid,ib,a,rt"",i,,t,l*'"i;iu^icr;,ntiitii-a,;n,rii";rtttri";aiiiiit'';;iiitiin-,";ria'eri';"e.:'i;n"lcTi9;ii;ct,A;t;iBirtdti|,z,'E'.i,4ioc-aari'ntg,:it-"tn;ti,ilcf;rrn;idt--a.rs,p.,'n-iith;e;,i',nyrtiaf;teytara.reniw,nl,.7.;ct*nc+uocc,ooi,ibor.1tctnitidda't:;tsli!':tLitead,br,-simritiaaraenlftotd,ldec.dy'aam,,rurbsiei:siic;xfoiopsrtoctnittrnsltweeetabtI'l':nbettli.d'ntarneir;c'ccetxteigF.hattesard:allatnpe,pac.eotrtw;iierfricdrc"dteuta'"6oiaitnmbtnt;td'lteaie_tots:arir.'atp,da(oa_,sad;lbptt'dt!ee,de!'' fii,nd, o tnldnlwire de definilii gi ralionamente d.edu,ctiae cale nu. este alt-
rigwroasd. a lui. Euclid,, insd. awtoroil, nw negl,ijeazd sd
iu7dfT;bMtt',lirn,nn,:;a;duieit;d;tcf;itylaawl;;r.;iees,c"esSt"iA;,tgdea,{nLitb;;1's.t'rsbr;;ifad"c;bnee,l;,!rtadi'd6ra)l"{f"nr;,sineeen,a;i;;ddn"hspuax;rti.s.c;;"eaemtr;"icitirc)?,z;t:iorcrlo,ec,,;iaatr,ui)r,i;iaenanocab,i:,;"uasrcpni."Z;Ontei.Ltoe''el.trrrsrn;;'ulana)nt;*r;tt;lat,;'n"yT:"td$ioa"iiSd;;;ind*pit,i;;rta'c.t;k"i,:,,;ti,ii.eaig,i;"i;i'tirl'i";r;L'rb"te:iii"t'i'i)iie.t",;tiiwoii'iir':;";iii;"ii"';i.iiliidi,;lr""i1','todt;'t;tieoii.,,iils;"ior,,tii""r;id'uolri''t,ooii-;ltaa'"y,taiiJ-r'ct"cnSiiorot"ailad'o',',sirr'iD,ni:Q.'t,'"ed.k,eliygttel'rwaaudraetairynnff!,'dioiaf!tip'edrci'aatneir,ett't1'at''',ortl.lrenpnpandfi"ttnstm,.ti,i'ot',i"'e,iiici'cbgnair,ta"P;,eqaiiatrtut)t(i,rtrarrri-tiildtec-idnils''ctncdudA,ircaef,;cattnsuitdttltdtacia'ta'e'-tirr1,'t;a,satt6tdiB-iitt.'lii'aian*|'i,ideevitrl.riardt'i;udeeialttuitret,g'n:a)nwednbtotx-oifubsrtlntwdoaadale'prit't,ilatrd'c:nratrrd,t:t'uctt.nglitf:dciii,amfrdn:t''.eudd"l^ot'drl"'oit'cdrbl:ercdiSai'dwim:i;a'ecai)grdtmeon'l,er'bfti'o'eelabnreit,inlgd:isrte'ltcoc;''idt'seneiie"atucu'G'iptfi;itrfwlit.f/inatdttcenntoiaeeicarcnn,iaataetltewttLlit'oba-tr"ealdaw'i'w'{nrrit' exempl,e ingenioase cd rnat.ematica in genaral,, geome-
jiicleemaaondsetrcetzt e;tipinrilna
ifir,alioii,cam7uiclrp4le-ngereedlu"tcewioeauazau;rirnDtucsesduar.;Dlacci,ocrtleu,l;iAioh,e&r,wrenecidaelt;uei,gatlc/.airisildwefteetuf,e;raedaausr6r,nlace,its,'r.ptn,,oeauioceennlruesr,p.diewognnxcdiae,pxe.nospAcae,traopiofreobeslimi,pse,,,mnrrnyocd,ifnuticpatreum.a,eae*ai.at,tzIeaute,iloerpa,aaml,n,ectc,rono'bilutrttxetpea,prett,rwon;rca'iiarlitis"Ziroinitvefiri'iiaiiii-itr,;;nr"nia7o;';'''rilii;i;ii,;"rr.*t\dgnrna;i;'eir''[ni;T;intitiitac""-it'afAtii,-;!'i;oei^titii"fil'tr;sienootgii"sio;n;"g;i""';iu*t;riiauf-iaeiwt1e;o*6i;dit;rltiri;a*rena.tti'ilrna'irg;,A\igia-witn,;nit"tteiou-"trl'l;lintAeli,l1i-iberdi,a,ttntaoe.ct[i'.iSiiauwfmti.ixa*ieaetlstto,ri.ibciittcr'ec",iqtgnottpm'gytnti:awltt;ltvaniuu*e*;nutrluwoyist9nii,ddcciai,rcicle,eptt'l,tei'i.a'ee>li,r:.t-e;Ireoicilnarli,lai,niie'Lciioieili,ittn.xtcreiaiutcrtrmi'"D;icscrseieo,p",cwe,c'etucra'oep'ri;e1caa!lst'loPt',oi'eertednr,riapauondbtiacIr,t.re;,c.othne,aigioa'ne;tlotectrz'agrni-te'ceet1cciitdcficii'la'.aila,ddi'eiahc'tnoc,zdrc.petIigd;t,riuestnliger'ltterns'da.ee'actiai.rdwtenaoaierpairl'pghar,cic6tnicaep'tnaiorftpt.ptuitir'ieJstt,rtn'retu,'i'rttlaaetm'r,1co,eilarip'itlzt'rciaeialnlrniarpctordlpt,cireoacltueatrag-tteilcurn,tnoiicuanrclfllt,tie(itiotecteocrpldoii'pietmtnra,tulonun€tauaLetbneletdfpant',an'todfalectnrhalllartc't'etse'riainnetsreetdic-'e-'-eial'a' tria 4n special, se prezintd 0n procesul, credri,i, ei ca o gtiinld. experimentali
in
6 ind,wctiad. Acest al, d,ci.les a;pryt mr, este deloc negli.jat Luciarea de fa-
ld., am pwtea sptr,ne chiay cd. el este predominant.
Awtorul, este preom,fat ile a ne expune cdi gi ruijloace c6rle duc la in-
uenlii-_pi la descoperir_i,, ah,dgtndu-ne atentia cd u,n grdu,nte d,e d.escoperire
s2 afld &sclrns tn sol,ulia oricdre,i probl,etne sau teoietne. Prin conlinutul
ei,, cartea aine 6n sprijinwl, cel,orinteresali spre a l,e u;ura tnl,el,egerea l,ogicd
a l>ropoziliilor gi ralionamentelar rnatetnat'ice, il,ustrtnd.w-le prin exetnpl,e
ctt mai aiabile, wrm,dre;te atl,tiaayea simlwl,ui pentru, rigoire, creind,u-le
in acel,ag'i ti,mp entolii cinil reugesc sd, d,escopere frwmwsetea umod raliona-
rnent geornetyic, a u,nei teorem,e sau probl,eme, fru,mctsele ce ild. acel, senti-
rnent un'ic cd. p|nd. l& el n,irneni nu a pdtrwns 6n trabirintwl,
aceste'i ;ti'in!e,
din care se iese uictorios.
In unele cazwyi, ar.tlorul recuyge la exemple solutioruate mod,el, aatnd
d,rept scop httdrirea ;i cortsolidarea d,i.aerselor prol>rietdli gi. afirmafi.i.
Din raliuni ce fac corp comun cu mesajwl intreg'ii lucrd.r,i, au,torwl nu a
negli.jat sd trateze;i ex,em,t'>Ie de interes,istoric, exernple ce posedd. o ade.td-
raid frwrnusele malematich, clt ;'i exempl,e ca|e itrustreazd.-airtwlile georue-
tyiei 6n cooperare cu alte gtii.nle sa,w i,n a'iala d.e toate zil,ele. Cartea se tn-
ckeie cu u??, ,fi1,emorator" ce cont'ine axiorne si teoreme s,isternatizate tn
ordinea gi fornaa Lnilicatd d.e progratn,a ;colar'd., mer,"torator ce ailuce um
;ireal spriji,tr, in proceswl LIe as'im,i,l,are gi fixare a bazelor geometriei.
Cartea preintd. interes se face foarte utild eleuil,or d,in tnad.ld.mintul
gimnazial
gi l,iceal, cit;,i u,nui cerc l,arg de citi,toyi interesali sd. pdtnmdd
l>rin aceste por{i, ce I,i se d,esckid spre inlel,egerea matematicilor 6n general
Si al geometriei 4n mod speci.al.
I[uQwmi,nt, Ed,,iturii Albatros petttru publicarea lu,crdrii de fafd. prin
nobi,lq misiune cle a;tiinfei.
care aedenl incd. o contribu,lie la transrn'itere
Si ru.lturii tn rtndurile tineyei generali.i.
Rrasoa' 1985 ILIE DUICAN
PRIN t,Affi[ffiIIWTLJI- GEOMHTRSffiN
Urc grd.unte, de descoperi,re se ofld st;drrrla
in solulia oricdrei probleme.
PRPINIIMLIAI BtAIRySIII{T iRrnupnosrotasnitliuiltism-aeridsa5,.npt-lomminiadi eiagucolanlhsloeraimci6t*"
i-nc,hNeuia-tmi, iiaproavatecaandtaucrenanriemeicstenoauc.il
taloagelor este ca;i Misiupea ea*
deci, rel,Eche.
Aud un ciocinit anemic in u;5. Intoic lene; privirea, cereia ii aso-
ciez un DA!! hotirit.
Surprizi; Profesoi.ul, amicul meui. amic printr-o vcche {n$etre6ere,
nu insl-un profesor oarecare ci, Profesorul, firi de fel
entnziastX'gi iolu-
bbniuelet-ui -li,ndsoatrlrtdetinoaetu,a;ppirrorouabppaebliinnl iel;itmneuaigt.caatmlenaclaadarucel augoiri,i.dtinrndi
impresia ci ceva
zfrn-
piere qi mie
ncar-61H;ai i,niPcriomfesiroirae, indr5.zneste pcoiadteoafri in fa!5. nu-I ai -pSeylHveesnterirzP"oEi"
voastrS" nu James Joseph
posibil sir. se asernene aceastl intilnire a
noastrS" cu a 1or, dar noi nn;ri
va. Sper c.i. stii povestea. Eu chiar o citeam.
la s-tudTieu.reNluaxteezir,ecaumniocsec,gmi caitiea;lteispaocvuemgticcininddt,edaegftaepatp,titraetbitueiaa sL fii
c iili.
lncer.-
ccoaltnci-iltaeecsnLhcoaiapsd--asionttr5bsa.ia.cnelItta)Xass,trSi,g.P"uircaoiafcesrdispeouarnsieea,i-numntuifi.li-nm;oittiais;ipipfuoamnvc5eeets5upt.?1eeua1m'c1eo, lrepab"lriesaitcuiil;ptceiilcnuiinrddiudppvfeia,.,ccuvarrnu'ol-
t Foincart, AIIerenrvialJouroleasse(1c8o5n4t-r1ib9u12lii),incetloeabtreu matematician, flzielan p!
lilozo{ francez. domeniile matematlcli.
modcl al geometriei neeuclidiene de tip rl
llr)ip-(o)lpougsierni hiperbolic si a pus
combinatoiii. A scris remarca-bile opere d-e Iilbzo{ie gtiintificE,. bazetre
Opera
l;l.nrl.scrsteitne2scS4uuym0nlu,eodeasseztceduar,ct.ai.ap.td,a,remmomxe.eiitimosfdraJaatonivScyeJ3pz'0lhveeds(se1it8evs1ro4"trli-uiinnm1ee8te9pq7orii)rn5,iat0rre0eenmcuiiammermeiitnos'dmririiaiA.itec-nmdaedcfaoeutnmsicotiisaamcnuRetoreenrlnnobAgriln.ueSzra"..[
;rrius lcaonfutnridbaumtiieonrtaigrienaaleteporriiveini dstrinutcrotudruilcoerreaalgmebartircicee. loAr si a calcululul matri-
publicat rnai malte
. i;rl
Irrr:riri privind teoria {ormelor (quantics) ;i a invarianfilbr etc.
ceea- Slnt sigur c[ fiind vorba de cei doi titani ai ;tiinlelor exacte, :lt[liffiT:"i:;:&,i fidf i#":l:.#;ffTfrt:|" *;mtcusds1:ireh.igi:mrnnloiitv-ui,etligvufntacleoriAzJs,ldcscc'pirr#eutea2osut,cosuttl-o"dio.lc,lzrna?dfidoil;ro;ij.elt;d"nir',i."e;-grc.oz.plia:Jcir.gv.r-rasrreiu1am.ruuen"'^rt""r"uapaoslp--au]ic*eottrgr*inst,fniihur,i-eiz-ieorc-triaiaif"iilimn..o"r;tr,.i1'r;..iiir-;i,e_;":.'iFbeisot;_g";",;t;.^"'ei"aoi.5;"a.i"*;i-rIf;ia'i*r;.i."iocr1-i"ingspei0'T;.gie^t".,1ijer'rrgrglt,v,ieai,i"a.,iic.cie.q"u.tici.runbd1r;cJt"d'rixe3,";p"rs;l"regigerI'-[oit;.i,e#"fcu.r;"ed"g-l,;rrosat;5treuuo;iprigiirr,iie.i*u.;srutl!"g-f;er1.;et;l,trc."msum".f*teair.auuriamhcviiriruaerinnpidqprpta'eraeeidtsgpse5csaaig"fcooipr.nialdntrrgrouemieu_"--il
nu-i poveste, ci adevir strict exact. I)e aceea, nu
ce-i scris acolo Jagadim-emevislrd,Jlocosi csdpiLeh-omSsieyrblevidteiasstieaprti,assfcaafc,jufniel u.cmu apiriac;ianai;ei xpa5c,st-, ,ccpuin.,ei.m-,a"za*dEg'.iJ'nAaie:mran"Scec$ihrepila-uz'r.'r;bail,'ir1cipri1,rcip#*""tr.o;;*t;f";e';_rs;rJ.o;"ride.*.,ia,"cc"iuiir";r.if,ialeit."a"u,revlcaredecssltipdeeudcii?roveneasztiasrsriitrtaeu,c;aicrdaecmmi srdeimpfaaoss_r
doresc s5"-mi spui acel rad, execut, doar ne cunoa;tem noi cr[ctmctsoclilrii;r,r'ecniiferdisiacv_tr_J-iuteeegrso-erp,ziipDriicat::iPheigoe"eec;irtpecieno:is'iateoem*cfsiirvertrmntmc:besaudca*,ozof.taitlgti.:itrrier,iicci:icnos.edgic'leritc,.".ii'vi'foa,.ncaalrdiminur'r:.ciitdarmxiracelpor.oi,pir:u.irrpoc.r.rtpreri.icr,nco*;"ens,Jec,0a,c*cl.s.,ii.r;t"uz;.:e"e'.opi.r_;i;,.""i'c"';i"-LviI"do;;a;*irh;ni#""i;prl.siaJ'i;-i,ac;"i;;-;:i-,.cui;t-,i'i;.i.ri'rtpt;b'hii*"agi;iearo'"n".;ta"ie".,"*o.nact';',.'."rel;""c"enrii-air.ir,ete."ripite":.rt..irur..iig..c:uoaiirl;reegi'pnif,b"tu.iivug".-su;i"ni";itriirgi;,;zdri"r.,;;iuia"ul";m;'""e;1i;c#r.';i,euiite,,r,r;i]?,riii.;;urcj;"rd;(utr.iJlfi.ec"t?riin,:ng;oise-".,fipdr.1"uarr1rireia.iaa)gm;id,_ttdc.ntepcbdd.zmayoeiibonentenniurnartuaztrriir,tnrcaeii_sc"ri_i,i
ciL te vXd tare nerlbditor. Ascult[
folosind cuvintele lui ntoetv-aomtDitrmadgeuutJcaifmricaeirurii',ei.vte1o1iien; apdi.cr.eipcatuemi'ie-n;rriae"r'e*;;s*.c.a,ozait"i",ssit-tc,ued_xigutr;ieilmi'i^nd;'bielii'srdipu"it_litotia.aucrea, scd;x"i
treazS. izul de autentic
S[ v-edReigmoadrees,pnre-acme-ci evozribcea, bine.
rela-
mnntIaaeuara-eOtlsiacccx.eiuefonMpnoreiadlgortH-eer-alepev,nerm;eriimaaPattiuoleie.inmnccPcaai[lrteriiu6ncaiica-vnlniulrpmaseeetnPirgaoadltaeuerszinse7c,Ji1algui.dinmsceeer.ris;airtrniesJitso5c-ts.ilrelnCdpsieiserhee3hrSa5loy.dtulalverndeid$amsetnteeiirlra-o,sfciaplu-prlioeamifnecaHasttieeorie---r
nri Poirrcar6, urc5. cu greu trei etaje, ajunge la apeliauentul acestuia,
bate la uge gi i se rS"spunde cu un I)a ! foarte hotd"rit. Ii apare imediat
tn fali un tinir blond ce-l fi,-<eaz5" cu o privire biindl. Er:a Henri Poin-
acaccrestuJai mpuetserJnoiscerpehzeSryvlovresdteerfoavrelia si mirturiseascl:
ca'r,6,,I-ndesfaprlae nu
intelectuall, lirnba
amm-aambsaoi rabsitcuinltarnt.inAebtiarispietustreilceitetiviralrmuliuniu,telir,ndbuaprlncies-l-aamdezelxeagrantignai tam;i
fost in stare s6-i vorbesc".
fidnireccuim-ntteaoImltImiorstrauiarrbreiesilmaepslaliccnrecticrlcern.5li.rdee;ami.rto,Fuflicneqrracnt5cii.teeuoi-anrm;iiaidtdisemeLcvpalitrfelailritmorfr:aiecczSoe.;riaav.sommcrSuidn.ltrettinuriirdnmisufoi-rirmenmai-afoacfis5em"c.isni-ianatti
vveesnt-iet;r,EzrLie,tctlaucsLn-ooe;gtbit,ai lctb5eiu.,lepPvuroefifnneistl;oarseftf,ig,tceu5ar.aiatlmn. Dugai;[ruipcteare-ticsucImu-feiJcafahmcipeuasrnaJeroensateupdlhelsSbtauy?ln-
am spus eu cl miroase a vacanti"; cum e afar5"?
judq-clnEd o vreme numai bun[ sd,-!i azonezi capul 5"sta ai t5.u pe care,
dupl cartea ce-o citqti, s-ar pirea ci, ai intenlia s5"-1 umpli
cu antichitS"li;,,\[ens sana"....,,l\{ens sars in corpcre sano" amice, a;a
c5- sus gi pe cai ! Am refinr-rt teren de tenis la. arena Olirnpia pentru ora
15oo; ei, ce zici de asta?
pica-t Adevirrat? Ai relinut terel? Ce crezi c-a; inai putea zice? Ai
ziu a;a.
ca o ,,mani cereascl-",
Las-o mai moale cu ,,mana cereasci" fiindci despre ea numai
biblia pomene;te gi nu cred ca vre-o fiin!5. terestr5 s5. fi avut realmente i;;il;-,*',""ro."i:
rn.rrumenrara
parte de biblica ,,rnan[". Grlbegte rnai tare echiparea ci" in doulzeci de i1:t#i"!:n'i!,,;llilqJ,,1,i-i,itj*i"t",?*'o,'l,f;;3;f1rei*ni,'"!:ti:.:;"egrr|,ifiHrjzi'i"c.ia1nJ$iliHaislrlrloi?no;mil
:;;il*J,TTJ':?"::?li: rcstuiiroi pii."ti.""ii.n,ere prtirl;;; il;;; si ternare
minute trebuie si fim acolo La aren5.; eu ain pornit, haide, urmeaz6-m[.
Ajungem la vreme, intrim in cocheta aren5" unde intilnim figuri
cunoscute cu care ne schi![m strlngeri de miini in semn de salut de la f"l"'iJ!;;llit3:* de. seamd .in dorne r ri
distanll. Terenul e proasplt marcat, iar peste momentul de fncllzire l"r,',, t"o,i".'.,;i;i:i:l'1'."-T'"t": ,Sil;"Tfly:l ul- teori ei egc"u"a,tiilil'iloi,r di fc renfial e. A
i.#,"JJ"r ili?.,,pi"a,-u*
trecem repede. Servesc eu gi cittig primul ghem, dar pierd setul, motiv
pentru care, Profesorul, tmi repro;eazi lipsa de concentrare. ,,ei,iutiT,",iii'uitf,i}it:T,i;:';;|;r;it:ffi,'":"n,1ucrarea reoiia misadrii
10 11
DESPRF'^ TNTUITIE -lucoi nacreeprtddded,rceinpriieszteonritcaere;.i intuitivr. a spaliu-
SI ci. de_a lungul'sdco_
RATGIOE,N0AMI,IEETNTRIiNA lelor a cunoscut o evorutiesurprinzb.toareincc-
pbiendinctuui.laieccjepifeiari(eiaplfiielotiio;f;ii"iailn;ftiicdi)
EUCI-IDIAI'IA originard.
cu unele
zenrarea.spa!1urui.pent,."ji'""i:,'ji"-.1x"11;;;lTJ,?#:i:JlT?:.1;f;1.t
El trebuie sd. fie din capul loculrri o intuifie; cd.ci dintr-un simplo corr-
cep^t,Tu ..? pot scoate propozitii care depi;esc conceptul, doar
se lnumpla tn geometrle. ceea^ce,
Dar acedstS. intuifie trebuie sd. se gd.seascd in noi aprioril, prin ur-
rnare, trebuie si fie intuifie purd. nu empiricl"'..
jig. I Acest caracter invariabii (ia timpul respectiv) ar intuifiei de tip
i;d'tn;iiliuabo"iz;,i],icnii,u";ll,rtei"iu.;tac;iioIa""refl"mlir_lbtf,i"ii';neiiiatiucaial"ctnidci;idu'lt;ni,lie;t"i.n.;^n;ti";anTtriao;ciititas"uei;aalao,ic*rpiemcmi-r.guririibgi1JntciniaelIprdslil'iiiitombe^e'tep",.d,ru",rllup,ofeii,arnfbt;anot'aUio;'e;ietonu-.tifpm.."ri"te1e,5"tiidrl,i;i"1".t.-c,oe;.Jipsii1.;D"soe.pUfr;r';hp";e.ii;u-",a-;l;a"silsini"i;;"b.;"crnuit;*;s*;oit;f.;ie";tpu"ie;,,,ic;"-,l;putrt'ld""it;.ifimln9lmrt'ue,ivifiice"is-;i*,coi.riiloacfipia1'au-in;v""ui'mpnirl.i'or,o;gecemrdoisurbii"isecbio;*iil"IriDncSni.ie"bestuirtitVdo.ucsaltloi*igirudbc"ocu*arsetrcceuoncteri-pg'ecseegere"is.siureiiuucuaioaoncotcrloreortpvercLc,rtmeniSemgiietd['dmnoiaaaie'npeels.migrsmcauqnsdtttitctt'iilpiriuruceiau'cierbr'[nmmiadperer'pipiregprbc-sieoeitdno:.llibl,iCissai:itrccaoJ-oiu'ccctcs.ioittuanl.-ie:o-:iel;l.e:itaraiti9ac'i"5i'n'r.bfnle.ti"i"ac.ailieieouzo,';'alci;dratrvedpa'uf;iniiuiipgnlzc.carrdttneriAitiinoccl.inbevebriucigtldreuaieioaeenminabjpaar-stueelio-dietu--e,-l' lcantian r. f9_.t puternic zdruncinatd. dc progiesul cunoasterii';tiinfifice'.
fpnllp*tnnerroceigmesetitirtpeb[iirieJnilnloaieuiitrea"es,tn5less"eKap.seeaaeuoinnlcmictytli2ougdln]liiriefdtuiunecil,nre.fieinpzmtareeuaoaptddiigdnigfseside.oeinicnanatmaelcletdeeiicgi.t,srecig;iainueaf-oticcpoemaeat-aue,r,gtutigriinicteialiiuecoinlipmt"satrle,liitnoetr"ratciiea",ig.,riarreeDetdou,eermiedsivqc"evitroiteaa"ipirinteete,itkr''ii.ianlrnpendguet-iilenugipnetm.rieouco.-ii-
scopurile sale gtiinfifice.
totu-gi Este adevirat ci ideile prezentate anterior nu sint inedite, dar
a;ezare a lor in scara evolutivi. a istoriei
incadrarea;i ingenioasa
"oi'"icb-;"r'proii^"suclrr"js[:epo"fi[toiufr.srpolria;l;pilar;i;""na:gtaeJl*eusiS"a'o"orn-l-fimieiupri-"lsnie;ttraciitici;ar";mu-ar;irtc;let.a.;ee"""ribit*it.lt-ii-"'siii";il*c"'-iie;ta-i"l,ulirtr5"-"vvi"tp"t'irf+i"ie;r"d"";"*a;i'-tf"tipa"u;*;"";;t"ts'a"ill1iat,t;*,'r""oii.in;:n3ircNofitceigti.lui.al"imcodc-irlci,'emp'i,ieetparLxarijbosrncuanfpleuizcaruaa.sf;plniliiauteft;'scirl,isrcai[nimi]rLmdd'cefSn"ioada;erntiiijurg'iucaiiliietnaa;nrbepsctdiaz,en'tsez5il<Ctpoeli-lonerrioircjfspicignip9grieoucituaoplracrmmtuiielivoilae?s;ieriii-t :Isrrr.trlItrclipu<l.lnrrriror,.r,rillr<v,r;prun:cfrrr'cen,r(r{cx(:.ic.eoirtrnrJj,L)cmr'tuupr]mnree"nnZc-alaoocoe.ltubuiil.'sttr-ro(zjacntreaa1a'ar.isa.netardleltlasloFlliKL-1lorcieaa,iSaAl-itcrnririitlrclane.vaasrele3atai.ctpiu'ctbsrmrla]tnatereatc1telaSrrdittaoFitli_xarueistSiajm,'o.o,osrlirv?pdleoeeal,rrrresrcmvisleI€s-_c_ciairtnpnii;slnrsisdtizanieeozre,xavrsatiiptiicaelfseignnccteeutiigie.dromnbaivdcmxaadcqttectecenofzatmcilnivaPelelrcpliraddtgeerslaiw.ld.mrrotoatili,ariieoilv,ioeulierr-atergbdaataxmpiiimmdc,i-f,snit.llfeLteia3ncbioifudiideuiidncutaatixo(a._i)nicnaj-ic,1.ai!d(antp.sl.trnp,t.uiesartlpu7ctie3eLdce1i(iri,npm.vitcr2odudogb!eoibte.o.ocaepip4eis;pientiarmvr,laenafC.uas-uirierrpu,it.beirupta;xigIrdit1ltaeoemecea"ieeicrdpilt.lieendnaet-8iteifbailfti;oedcxcg(,tilriiaa0irrilanicceipce;-rr.ioi4iatl[tmxiuutliaccedoip.ze)t;icdli;rmprmn,ilalarasroeoco:etiiiKooeticoe.itinntffaaiidipegnirainfia;ngssateetccvli,urrnfuoiactnti"ifeelepliaerdnniieilatc.lfisntiisi,)ofaimilrttdruiKiia!acliec-umgdidn:emcrnnlpleriti)aetieigdnieie.aaoniipecnomineaa,iecvaw-sontlldtpbteta,ugiulorlioetiensiiihetseonla(ber,danrirtmseclii'lionouiecielailndatiaeiiexlinaasirflir.ruueirittiruu:r,lped;e.aiiejn'unteteInafucn"i'cesflieitezeaanictiabiladuiniic.ooir..er,ievoio"tieeCfluntn-a2peo-tueipuprr,Lacua-raztamonripru-luitdupr"ituiiliaefi'oXrmioi"rraftsci-uicssoiieseer"l'.unlsriralm"-.igaev-nicursiitaunfd"_i,ouTiicttiipurnincb."st*ai"eeinmionszwlillteii""pm.iatueednJeatnecd;"itrrtnrcscirm;eaieenstg-rtiipe;oduntiid"lr'izbidlcuf.aeliz'rLidciripa"s"oenilnrieitaasur".pdhrrd,ga?d,eexuiefuzug"-irpr)toaptclnpnIrittdrioejiri,noeicarevcoiietacifrrif*"ruiddfuert'mubtrztioelnjtiiieipeeiLeinpcleeoniolcbatae"eoacxaaniduidana,inr-gnimreralztaandttltiieoiaiadea)deicdi"eis_a-,;a.a-le,ri-i"it
d,e seard', de Laurenfiu Duican' Editura Litera' 1$84' (n'n ');
-*;Gzoiet
12 r3
pii;d*;re."oetgairte"i_lsaruail;ucr"ciri"elcipputnra"otolaingn;ortteriu-rr-i"iliiriienigiidi.t"i'piktneatl"infd"itcei.atepnrseabspctetaei-c.lgiaiuinnlesuddoiiricetnSiau"al'-ipLsreot'oEparrtie'ecJzi,'feiBandntraouetmufoiwneieptcirr5vletleieiogronnarioistae-l strabile, iar altele sint riguros deduse din acestea, gi mai trebuie sd.
finem seama ca de-a lungul timpului au mai apirut si diverse contro-
tr"cbc;ncam;"e";a;aub[itfp"ea;trersi*en"eteen;roeit;eJae-llotgduadplt-.,erieteeian;iernnaarz"faemsiibiaccrtskraparaieieacnttiumleeEiroanai"rarieadnticildnii,adair9li,aeeertrte,niiuar.t,rpie"corla.ropaieionaini"c,ili"uitiitktoie-A."t"r"=.ra"rr*c.p1eubpi""una.siiitifid""t""ntaiioit.u""lianee1oettirt,natnm-zinepMa[tcoiduearaiifiisiebi;u,mnilqipr^iugBteeifsaornioni-rio'ulgrauariuidupcJumitn-iniilutuuavu[tud"rirgircile,mtiiiqiaeae[9tdriottpaopiaieia,rmti,aa,s;iitrm1i,oicpcetn9isielanatmpt8priseirlc2iunitiatruapu,le;mlotluiclieiuiaurtaeiispau.nlrittunleaieolOu9atei;ly'dFioneimtctcituige:tn.ai.a.ilmceiriom"errnltreiszt.pdetegapoiuiumoBoeifiincilrlnnrapuiuiuoodeatrpgielnen,utuiraooectiwef-rs9inaiwlezsnsmeii;eebsaentrtgeauitunritelres[zlliatils,ieeiii--il'i verse care pe parcurs au fost eliminate prin reconstruirea geometriei
pe baze pur logice, eliminindu-se astfel orice impediment de naturb.
sus Pe ultimul raft' intuitivS", dar acestea trrate trebuiesc bine limurite c5.ci altfei trd"im
chia_rVdeazcild,a.crll*a.vrertm" l-arriundi-eamminvliazcuetgntiipciroiedtaetnl,ialagenzeal'o}iieinbeiibnlieotseinctl,cle cu o fa1s5" imagine despre formarea conceptelor fundamentale ale
gecrnetriei.
triei-. Profesore, mi simt in elementul meu in aceastS. zond, a geome-
Imi face plS.cere si aduc eu completarea sint sigur cd. o
pe care
stS"pinegti bine, ;i anume c5. o asemenea construclie monurnentali a
gcometriei euclidiene care are la bazl" citeva noliuni gi concepte fun-
damentale a fost realizatS" de David Hilbertl. in cons'rrucfia logic5. rea-
lizatl., David Hiibert nu face apel la nici un fel de descrieri intuitive
ale elementelor cu care opereazS., ins5. pentru a-!i pritea reda fidel ra-
lionamentul 1ui, eu voi face apel 1a biblioteci; gi iati ci am ;i gisit
volumul Grund,l,angen der Geometroe; esle edilia a VII-a Leipzig-Berlin,
a-g'j-tui-nto_larN. .u,_mo ia"atron'din"tmescbisb[liotetef:iil:c,o,tn:1tria-"z1isecsinda ai pledat pentru recuno- 1 Hilbert, Dauid. (1862- 1943), renumit matematician german. Are con-
numelor ce o constituie' tribufii originale ln diferite ramuri ale matematicii gi fizicii-matematice. A
publicat in 1896 monumentala lucrare Teoria corpurilor algebrice de nuntere.
J1di0u._raicmiunmcreelpratuloitraarrtseercatucmodblnsieie-cmatiaivmll.lmcMue6riemscoca,niivnnianstgtur,rualnilciapecrteiuseltto_ercn*ci.o;lninaccteel,ptcuteo],ngcisiluealgtdllnteu-vrai- A cercetat axiomele geometriei euclidiene in scopul de a reduce pe ctt posibit
numirul lor aducindu-si una din cele mai valoroase contribulii la axiomatizarea
rurilegeom"t,i."s"ot,finpecliintuitivra}iona}e,indtrctivegideduc- geometriei prin publicarea in 1899 a celebrei lucrS,ri Fwndamentele geowe-
lriei, 1a Leipzig, i,ntr-un volum comemorativ, cu ocazia inauguririi monu-
t-i-v.e_.l,,continuareadisculieinutrebuiesiuitlmsifacvem. precizarea nrentului iui Gauss ia Gottingen.
.:, ot"l" adevaruri joaci roi fund'amental' de adevS"ruri prime' nedemon- Hiibert a studiat in profunzime cele mai recente probleme de mate-
matic6. gi fizicS, ale timpului siu. Din ideile lucrdrilor sale asupra ecuafiilor
:#"emsn-naof:iiixrte#pleecorptceae:n*mrzru#rdeioet'eotaleesi;trBfcluJiiciidpeaecavr;r.,r,ti;ta"irmion;ac,u'"t;frrce-ooinuu;ri-rrrtla,l,rlrpmilrenilr"r"dm"atod;artl,;"toriEiltrc,pliia*cotsiiuroaui"trumoii1t'tr.i'zir""i"fiJJ'lCiii'"ie,8rrili!uno-,*","fi.i.r*i"-n.ii"CEr*"*H"rp..s'igp"iri"iri.i"i.ba1lrrriab*'.i,eul"'ormuue"rudtrttra.rua,s'{tt"m,"i,saiats'""e"df!coat"i6eiJloiar'.t"lnopeaaarsndziimtsctntoKeileacto'faeairr.icp1g(i.otisnmd1iinAric,gmc,it8inori,iIifceg8nulicolneSesotl1icg-upa,sczng-oituiiheclo1e{iiintriimofmlo9eaiitipellnrna65ebiei,m,isbSt6tsanuouuBari)hjdipbnu'sllrmaiiarouiaalamugepulnaitejnor'wammfxeradotiegr'Esaoeeareoermitlmamt'epemoeMeamarmeameuislatnsitaiezlstcinatutecttwemebirnticii,ni,aeiuoc5",foti,ncnuio,iin.ccuantroaedypoBonicsps.elnotrmadmtoiosesvaMneliouutmidltciodatdwhiaeengeiit'ustertezrizle'terdii'o-r-'i'i
integrale s-a dezvoltat studiul unui spafiu metric construit pe baza produsu-
74 rri scaiar, cunoscut sub numele de ,,spafiu Hilbert".
Hilbert a enuntat cu perspicacitate cele mai importante probleme nere-
zolvate in rnatematici, 1a Congresul matematicienilor, din paris, ln 1900. Timp
<le circa ju metate de secol, matematicile s-au dezvoltat, in parte, pe linia
rezolvirii celor 23 <ie probleme ale lui }Iilbert.
Hilbert este continuatorul puternicei gcoli matematice de la Gdttingen,
rrrmind 1ui Gn,rr., Dirichlet;i I{iein. Ca elevi ai lui Hilbert, la Gottingen au
:;tudiat lnumerogi matematicieni romAni: Alexandru Myller, Vera Myller,
Victor VAlcovici, Dan Barbilian s.a,
I'r.:' iAite opere remarcabile ale lui Hiibert: Uber die Grwndlagen der l:.ogih
rrnd der Alil,htneilh (Despre bazeTe logicii gi aritmeticii), publicatila Leipzig in
1905; Grundzuge einer allgemeines Theorie der Integralgleichungen (Bazele
{coriei generale a ecuafiilor integrale), apdrut5, in I9i0. Operele complete
;LIc lui D. Hilbert (Gesammelte Abhandlungen), in trei volume, au apS,rut
ll Berlin, in anii 1932-1935.
It
T1;;Csth"tei;i^ei";"tln";eiui';";";?it;"b;ii.siin;i;iln;i";a;;nu;eto#it""m...r'";*?,-inJ1;"i*"tul#;1"tge"imil;*3tin1;r"ii0;etu"ete;,"iim".*a;{s"r;"9i.ufeitsir"iet"at*,,o1er,i!ier.r"m""r]lp|ei;"Dr""mtti"ir"ea"ras-'revS;;'i"pinfici"ld""ttr1eatiuo"liaelntH;e!*u'ineJidiiigilpot'b"dtt;ettteiipeeeliomerlerlmeeieotin,lbcenec;diptlioeupi'iA"iecetpntlltii,mldletanleicBr:enn'reacee,oarieu-lbl-lCesepre*,lpii.p.tetsa.rlae.r6;pec,;irltlmiupeboi-uanenul,b'efie.lcmnlic.e,erm-tc..eca.pti^:.t,.elnireeppil"olme'realib,endu;niseirlfui.uceics.nrdri.ttpn;neeristei'llmpetieiinepsauluttetneseelriumclelsI;eei-'--i care este o ope-rl glandioa_s5" a minlii ornene;ti, decantare care i-a per-
s,,""an.eizri""-ieusi"'ur*-t"jutmt".p6rlbeiC"t"A-rari.aar""nior.;tr"niav;l,iiira;lidncc.i"."tdalrc"u"ui"fp"5-tumant",.aHi"rpacn'eie;aic""ec",ouilieil'femeilbroisariaeso*s,etnanaet"ctapr"u.'truritts"p,knt"e.m,*tr-atip,tr"sot"l,,i;ueat'.icir;ile;"l..gic;r;o"u-ncciirittil"pona;iti."iccrti;i"nlrg,a;"-i"utos-{fmT"r-totcipiiiuara.n."tuc"r[ape,so-iin,*ee'einrtsol"li'qioiemtpfttuoibt[tloti'"lfeitniinnoacite.d."ai,ticlfcdi-,Sasiei-tecpictilio'eseialai;riatatintll.eoerriiotn.egetamril*butana"uabllidoxunteetlttuiiuaielbseicolnitesiiiitdmiilenedidil"eriteacletai"neeiocnnt''ofa{crilEnt_viec"rrrloriieueultmie'teenntamcxalcnattiepilsiee:iiedeltnegte','glrrdu.mmlaisrieeuu;nAveeanisp"ee'cnpii!eaenm[.tr,eeaue.isEcdlsietda-ieetiieanercnnn-aponuatcucxeniuatoirslofemnmlaiiimsrdsnlcetiaeiesee-e-'i' mis s5. nu apeleze la intuilie.
"ra"tre;,;;g;;i[a;;rl-u.m"te":r'^.iriii"
ni.f.i.c-a.Plia",intaugiativeSs.t-'ea; David Hilbert gi-a putut permite si neglijeze sem_
a) Ont axiome de inciden!5 propozifiilor in'realiznr""'".ot.l op.i"?d axioma-
tizare a geometriei, numai dupi ce geometria euclidiani. i fost construiti.
ui Pitru axiome de ordonare prin mijloace intuitive. Fiecare termen folosit de ci.tre David Hilbert
ci Cinci axiome de congruenll ln axiome aduce cu sine o imens5. practicd. cristalizati. cele dou[zeci de
caoxironmbeinainftiir.odDueseacineemaasg-ianaaljougisicilia--pcoot ndcalunzaiJgtecrie
d) O axiomi a Paralelelor unui. numd.r imens de
misiunea geometrului
iE* i"-eP;iilje"Dil;nozDucan"ovnaaisdxctieorHsurtniotiefr!U-"ado]xeri-lccelm'otntet-itoi"nin;,uiii-mctaiieotead'*{p!iiutnuratdeatodcauetcaetsivtpl'romfpiruo[znicf-n'i.iilcedie-gucdnoerncaapen9t1tra.ierl.eia' rS"mine aceea de a incerca, de a ciuta, de a construi noi fenornene mate-
-:"cco"scAiii_aIi;-eu"5ii,;l;arei;i;t-spreleirl"nxE,iterfi';rajtauioui;a;'annp"l;p"sc"ted:;lcefot;it";idrfc;ridiiliie;bs|iaaa;c:'ltieti;i;ierei-t;"daa[:,;,ae"iirtJ,og5m",pc1nf.r;"iito";,,*'iooi,jt;5ciirtr'rrtni"aiSaEeir-v;r,m.isr;b.ulz"F"pitppciJaame?situie*it'in"nre;"t;undsoii{sT,m.;,stm"fi:,-rr..*tfia;ua:;.e,ie.i;;i-","t;^;n1J;i.;ceii;cN-n;,a'eo5,;;or6lgi";,aeieosui";.tedi-;''ttt"sp(;o;tr"eiae;"el"m;A;{sobI.fi:-pcta'ip,tunrgct"rouraiongfi-eHnaoerriboie^etostoeli-,asngc'lmimib.du'me'idacn'eaiaeldcesedu#tzt'rlc-t'mrtviui;e;,Emmuiti'?nobalanfee'da.to,gi;ei{soi;le;ato"rg-r{'eJrea-et;civmiianul;'iolcop-;rrdlsarSe,iufm'eri;otnmiGsEpi.sD:cdeaostatedseeucunttscmsre[-lifaiiitpuhuluaee'ruarinenesrne,irimdmintttecoueeSvlScedarn"-.'oi.cmlitsptean?picoreeflaiaeu-ieasscnreiutep'oe"'1spl,emusptuirnPepdrcnoeiautoiorsrfn,rtieemreanc"uais'supm'crecomenaicstetpra.gfa-soesiaitatriulAstlia"ueaea-,-. rnatice in baza ralionamentelor logice inductive intr-o strinsr" interdepen-
gpdeeesrnitri!ii1lleecursearalaeliltiSsoi.nnliait.msdueeptnuetsremeleidnleaoogtepicoaettriditvelddeaupcetaxivrpaeet.rui-,lceudni.'truaitg5au"rrnioletsegrlaoiomiarerait,lrioucnliutair;ngi ei dndeetuslcsuoui--
16 logic inductiv gi deductiv.
urmS: .tAoa;rae:essjies,te;imlau-l
menliunile ce le faci vreau. si rnai adaug remarea
de deduclii,;i judeci.li logice, degi estJinzestrat
cu o perfectS. coerenfi- inte-rn5, el apare ca o punte suipendati in gol
dac5" nu serve;te la..a face leg5tura fntre o seri^e de cundgtinfe fundite
pc realitate si o alt5. serie de cuno;tinfe verificabile in realitate.
Aparatul logic utilizat in construcfia de axiomatizare a geornetriei
rlste corect in structura sa jnternS. pentru acbl"ereaslpfiescutirsie5-gdielecig:terneearalitlaetaelae
rlcducliei iogice. corectitudinea logic5" nu
tc.ll:r)l.>lsrueetifeemmi-ncTpertzionrvoenstitreaiu.bct-d.ieu$lgemu.iucm,.iaannaet-dcixic.oeiiansparttrr:ipieitnurcseadnaimtrceiuenoi-azeargefdir;iru.aaitclrddfndienniidvnzdvieatrerapteitirsnemea.-cmspeu$barilt.zttriiiieaptnsutteufcedaleoinerlboiiex6n,gtelin-pcmsgxo-p;ea'ticrnueo,reaenocdracaibmlnliultfdiaizt*netidieuiagnpatidoocaaeaobs'vtuniteeifrcreanclrlunttiefidzavee.iiii
:r<.lev5.rate.
(.h.-cFeutaterema exernplifica aceasta cercetind aparilia unui fenomen oarecare.
fenomenului in studiu trebuie da implice toate circumstantele
.r:r,i;lr,rltiircrg:rigracustaarfr,ati.rinebvfciieseclae,iofand5ldctue.ereaa[cl.teidtii"vme.ceeilIprlzncanoiuarbgmte;aitenxesnnpertefeaedr.cnra,if_imle,aDetetuaosnprintntdoacte-s9ciaieife-5buax.iirnsnldpcta.aeaiarmcinciplrpetuireeosevtnsrmeatetauinszdiln|eiibtinteu.ii?nmaa'acSlpDpititrllftaiieecclcrdleaisefezisicirieic5dtciiEunrrca.ctcioprmuienu-lpoa#tieiircrdimcri.nr'osltciae?reau-i
It'rlu'bzaii bcielirttierf.ilDoarrinda.c;txiinnuf?nA, inciicsiceuvmederorloulul laicmepliorretacnret acteiv-,ljo.aaculncajolcculcuul
lrilc sau cu zamri, etc. cum ne las:i uneori impresia in
orc acest obiect pulinele
(ie stucliu ce-i slnt acordate ln liceu.
lr un astfel de exempl* in rnatematicl este posturatul cinci din georne-
irt euclidianS. adrnis firi demonstrafie, a cirui incertitudine a chinuit
',rrle de matematicieni ce au incercat ladarnic s5.-l demonstreze. Georne-
17
-tsttadcirOcr*rfomiridclPediieidaepmuIcnnndicetaosctdolen..coeorolcmoieurotiaaliase!enenternpsoimune,reatmt'satc'cmzts,saierftrauncubn.emap[o,tet-raelePtbeciceuui,erirteaUcdiaroL,lnPgleaiapzpeaIoiecenEitdecatadiarnnitseerdmritr,sircsetimidirm.noaiteleaauoaim.baoldiiarseflcarrpldfpmxmcpuilaoe,r(nre,aapNnciaaferiacatuzrsuSlrlgoaisecetpaet*iirinsooaocuiit.hr6rrfr*pptt"rs".,mnic,r,frir.,,"cpittociieuo-aalton-r^aeodioaPeooosr"vtsuidt,"ort.nol,"*nroa-tiotcftrio,[,taeo*.terdieerr"",tr"r"il'oare"-ee"i;to'*i*"r"ititfrurtr,.t"alt"nlc-.rpt,T'""rlrsit"";li:i;tg.i;riiguu-ih-ti-"c;iiP-''iri";;^t"lgcli;iri."'n;:oiri;ndlidl"i'.';J;riu":t-c;e"""Pauio-.io;iia;"Tr"t].a''J]ng"iipdJ;o;6";"ica?ii,a"i;*;'i;"setir""S.i;itmo";"";;;if:i;;"-"i"a"a.u;lgt;;e"ti";';f:f:;;u'et.Aediii;.ft"t"eti'i;;;qi"iiiirtru[;'ei;tr;#op1;;,"c.;**tii^e-ri;pr"c.nt-t"rrtficlo;era*ir"""aii*Fe."fec"fpiili-;etir"r*.'ff"Mi"orq'bv"i""itu"'att.ii;id.;Dteia,fu"l."Jrtd.o""c;ti;gSaI-itn^islu;"rrlee;uiri'refi'lpriiuzmt'ttrtirf;rim"i"le'sl;a"nein.tttrfi"otj,ri."p"t-'ta;icuu"ipi"t'on*itt'uolt-'"';lteirot-adtooettr.t"iint!e-i^^.tt"trxnisc"i9Jpn-etad'd"r.1a9urJ-tueipt1""dai.rfct;*d;-u"-mui"n;iiurP'it;i"uuf*ard"t*ti*seiit-menitmi'e*io;u"'osp;tcttti"p""v*.i"tini9guirLute"f"!iitl'"a.;iipSt*eHli.a"iiu.J"i"i'tssnn-tvapriat"iinarjtjcsurit;rointAeo.aui"iitaiinn1intnoitgeenap.'uicf$acenidei?ttitd1tao.uieil"ueaatnre"ercDnltcera.nt:iioertseral!ill"ftoaean-ecaegt?PsiAii!:rqipagiPcdine[tcecb-teail;,mfeid's'paiiecei"*,bo.iirulotc-rndS-itea"niiir1"oitaa5dniepamiacKitnoniaeessTta'nsamupgsuimriurctccsptaen{tvtraiautat1srcie'hneieaairetrnuiitniulsctpinrdtuomriii1tcoicaantieial-lett6easu!iv'c.ronrecoi5"lnl'eratesicioist'dttu?usuai"c'inuiscilrnilr,ceccdvD'dnz',sdg[tuilaemaePne[iaaieatbiteeaPuaanrLiattteoninct9emareouctxriebna'jeaseei'aciuauo"nmiinieIuepc;opdxlnblnrsoae[tcdslaiuudncemeoeuraaepa'utccaapvicearlimtssdriourrcucu'hfsareurlrlersutuiiicei6ioaitsnrclp-eecniini-p'eaeania'nL'irg5c?iiatl'leauruei' Nu cumva Henri Poincar6 lSmurqte ;i problerna dac5. axiomele
geometrice sint adeviruri ale experienfei?
punc-teAz cceltaesvtai probleml este destul de complexS., ins6 voi incerca si
idei care ne vor conduce mai
Ia teza cea accept'at5, tez5.
ce apartine exact lui Henri Poincar-6, suslinuti ulterior gi de a1!i titani
ai ;tiinlelor exacte.
Descoperirea geometriilor neeuclidiene au scos in evidenll adevirata
naturd. a axiomelor geometriei ;i in general a axiornelor unei siiinfe
matematice. A;a cum este bine cunoscut, maternaticienii au acceptat
la- tet,irpnrpindceipaiip) rocaapfeiinddouelvimdeiintdee. aEnviid-eiralanusrn-ae adevlruri (axiome, postu-
dovedit a fi in inaterraticS.
un adevir ;ubred. Oprindu-se asupra postulatului lui Euclid ,,printr-un
punct exterior unei drepte se poate duce o singurS" apdarreasiaetSli .;liuniuFm.aiBuoniyaa",i
scrisoare
rnarele matematician Gauss, printr-o
(stiamtli [luini dJo.ieBsoclydaeil)aidi emviirrtuulrigseeosmteetariceei setuuical:id,i,eSninet"
curind Lobacevschi2 prin epocala sa lucrare ,,Pydcis condus mai curind
foarte
sur une th|orie gdu,6ral'e et rigoureuse des paral,l,i:les pentru ca
de g1ometrie fondde
rezolve
(1826), si
aceastS. probleml ;i odatl cu ea sii enriti teze acceptabile care au. pus ln
cvidenli adev[rata naturi a axiomeior pe care sint fondate gecmetriiie.
Pentru a desprinde o concluzie mai clar5. privind natura axiomelor,
voi enurnera trei teze principale ce-;i disputa.u intiietaiea.
1) Teza etnpiristd, conform cS"reia entitirlile matematice ;i relafiile
gisesc fundamentul in reaiitatea material5 ;i deci in expe-
tlintre eie i;i
rienla noastr[.
Z) Teza idealistd., conform cS.reia entitllile maiematice, ca gi
rclaliiie dintre ele, fac
parte din lumi supersensibile, piatonicieae,
unde au o existenll in sine, dar in acelagi timp le corespunde firav gi
lumea sensibilitS"!ii noastre.
3) Teza kantiand., conforrn cireia adevlrurile matematice qi rela{iile
rlintre e1e se bazeazd" pe juclecili sintetice apriori.
Niciuna din aceste teze nu a putut explica aparilia geometriilor
nceuclidiene, rnotiv pentru care filozofii ;i matematicienii au ciutat
daacedemeDaovsatnlcarsS:at'rilaotppecrnaotrpeuoaz;ei,lsie;t;e"etasdteevaeidLaeravvtaiirapttitS""'taipotetn'netrt+u"tni1upcemunltrcruuolntuodaniftiuae' dacl s-a rrlt5. justificare pentru,,adevlrul
axiomelor".
ca s[ fie
r,llr:rorrecseatuttdl,Biaonotudulleiypalpuaei,irnaJEdldeeunlencoltisldad(ec1auc8Le0aoa2xbs-iato1acm8"e.6avA0:s)c,,ph,puimrbpianiritctierma-mutaanatcgipceeiauaosnntmSc,emt dteraeixegstchenoiraepioreerurdicruielnnideciTaai nrdaoSrne,a,spniitlneevxlaodsnceuiianpin,todia-t
numerele ttiatd Appendi,x,la tratatul Tentamen (1832) al tatdlui s5u.
*t1?tril1ti:]." gqei odme aetfruiancnlae,enuecgliidndia.na1ce' ansuts"seprvoapopzuiltieea' 2 Lobacetschi., Nicolai laanotici (1792-1856), matematician rus, creatorul
de a ocori grrimei geornetrii neeuclidiene ale cirei idei le-a expus in lucrarea Prdais de
o {alsi. aritmetic"l,na"n, aloag1 cu
c;t";i*;ti;{t;'."trAomr""suorumrealro,iitat;ipi;ruJo"arl;peaicidgieteininiccleuiins9u-iaflgmeitnurdleilsarpiigirfauilotr[zi,nof"fiiitcnoedt caalcoeamsicteitsnimerriunp'frcuint tai:.i; li13rrllroi-nmofteersteroierclafaorneUdndsieiveas_ulrrsSiutoancteeieathtdiifoiinirierKegagazdlanednr,damlieneemGt broigrttuoinugareelmuns.aei des paralliles, 1B26. A fost
multor societifi ;tiintifice
19
18
c;dFceid'ios;ltariaere;mAntriieaTrpxmf.iieaoaaa"Fztxrml,iiiaiboiuoieencnimills-eedi,etaa"elnfcedmruc1o"i9caa,n-s0tI1i,iv2agn,)un"cs.tt"e*criaf.icpietdilo,fprJnndft".iates;"ireltac;.iliediti.nlsu;ccP"ttto'rieoe"o-n1torilertve1trzeti1.'e"atntotte6fplriiim,eesaLiifcdsniaaimltndrsimedesceHc'iaseieepfnsnecafienrnodiJtnPeerdatvouddel-i'knmeraayvczoptxaietoriravtt6dehtee,eeoc.scdroceiieatno, facnPsool5dtarme"mirlffioeisiae-,, toriu, ceea ce este caracteristic nu nurlai geometriei euqlidiene, dar gi
Re{erindu-s e la natura axiome!,0r, Henri Poincar6 face urmltoarele geometriiior neeuclidiene. Este bine s5. ne learnintim c[ avern, in mod
p^,rneNciozs[rei:experirnenteazf,pedrepteSaupe.circurnferinleideale.Nuse
general, trei categorii de geometrii qi toate trei la fel de adevirate, adicl
grupul de.axiome pe care se fondeazS" fiecare din ele este compatibil gi
necontradictoriu, condifii dernonstiate de cltre fondatorii iieclreia.
Aceste geometrii sint:
pri.n1tr)-uGneopmunetcrtiaeextuecrliiodriaunnleic. udreppotestuselaptuolaltue idEucuecolidpavraaliealbd.il
(adic[,
la acea
ddroeuap[tSu"ng;ih-insurimdarieputnea. ), gi cu suma unghiurilor unui friunghi egal5 cu
tipul Lobacevsthi-Bclyai, cu postula-
*;ffi;; .,ii"ili;' "'n5;f"s;iii'ler"icfn.)#ilrr;oiea""aar,riogiilca;riehros'";fnj*;ui1"a.iiifitm'pAittlei"i;:,ir"nerJrr;|"itotxaei"T;d;*;sfides.;oelfgi;'iitr"i;t.n;x'imrxiiiTis;;;c*1iiciipbecn;"a;J;ueeta;i"e'"mt:c",v,lppteecgr".rt;'iaic,uaie.pa";tn;.im-oirits;=;isill"gAit",s$n.;laltiedu,ei;'";9ftsorbnpoi;liuoeii""fii.,;itiumfi.fxtlaoaitc".e,;"""np-"e;9;iJ,*cl.,ciie"t;,'*ai-tpor"itt.L"aiiJile'i;"*""por;uerctv";i'ro';ie",ln.1-iriiet;irrUini"n$,;"-ot:svu-;.i.ap,ilu;iuit"etiri^ari.;;'u.n1b1seid""ditiileiozt"Ji"ie;aaep"oionliiifttrmoes-r"tt.e"lopiirfiiidltat,u"idearsa"apuip"t,i'.nianineaii"irolredn.t;liidcimi'dtea"clteiiteoiecua,etarcraea.^ditranlrfn,coagurmn."i!nieiinidic.p'teflaesamtiteouiaiiaonensodlvt;e^e*puopitjpte"nleewreineiud,iiidtigrl,gdadrlataigrmence;i3roeei.l"rergtzoeleicleioioiap;oauulcAndn."tummsrLepTriinsilrP'5ioePpmitsodeetua'i.Csagiere!rtettt$sttdranreneatiplaini^icteleiercntrputee!"duieeiait:!virnaf?cfceetoa(ici-p-sesnac?tvvp1.:odiirRli-ms1deaavo:noaq-e.:r,g'ririrTa:tiiirsidg,eauic1tafjC.idepeiasrn"ec[nd"eceupcouptstte'tiaigccm5Sxntrrmrvnvecheeiii.it'etjosssiroaeioiftnaaes.geuiartlaptmrgeixiirterpplarr'ugaiu,tooeeasodsroduneecdrrpootcrtaterasi*rridfiielagtixciccetuceietiia"e'da5e-i:rei,'-lil-. trrl..l2u)i. ESu*c"+lid"trnieilverlanebeilu(cirlildoiecnueii de propczifia vaiabili cd prinir-rin puirct
cu
cxterior ulei drepte s.e d.uc do.u[ drepte paralele la acea dreaptl)-gi cu
sum-a unghiurilo,r unui. triunghi mai mici decit dou5" unghiuri drept6.
3) Geometriile de tipul lui Riernannl cu postulatul lui Euclid ievala-
bil {inlocuit cu propozifia valabili, c5. piintr-un puncl exterior unei
drepte nu. se poate duce,nici-o paralelS. la acea dreaptd") gi cu suna unghiu-
rilor, unui tliunghi rnai mare decit doui unghiuii drepte.
Geometria euclidiani isi giseste realizarea in plan.
Belirami a arS"tat ci. gecrnetria lui Lobacevsciri-Brivai pcate fi reali-
znti pe o pseudosJerS., care este o suprafaf5. reaii de iota^.tie, generati
prin rotirea.curbei.numite tractrice. Dreptele din plan devin geodezicele
pseudcsferci.
rlrcpGteeloemdeintriapdlaentsipinRt iienmloacnunitei;idegSc"seergctuerrileealmizaareri'.ap-e o sferireald., unde
suprafefe, plangl, pseudosfera si sfera
l.1uil.ianAGca(eyusst:se constantS.. Notind curbura lui'Gauss sint suprafele cu curbura
0, geometria plan.l euclidianS.), este cu y, da este nuli. pentru
negativi pentru pieudo-
r;ieri (y<O, geometria pseudosfericS., I.obacevschi-tsrlyii)
irr cazul sferei (y>0, geometria sferic5., Riernann). ;i pozitivd.
Descoperirea gecrnetriilor neeuctridiene a condr.rs la revizuirea intregii
l:l;tiri:nr-frect,urdi oa-vmedaintedmlnatiaccileolar,gilatimrepvicz5u.irscpaafaiuilnssei g'pirfoupnrideternifeilneteluloir
meuactil-vicelA.iatnu5i.lc?Ci ceusmpuir?-[rmofienseo, rceu,nelnrt[rsepbuanrdeeap: rEiestetenualndoesvtriura"lta[agceeoamstei"tria acestii
nu sint
r:Jruizate de o singurS. geornetrie. Daci geomelriile neeuclidiene ar fi
lr:;t descoperi.te ln timpul lui Kant, probabil c5 ei 9i-ar fi schimbat tezele
r r:fcritoare la formarea coneeptelor matematice. Brunschwcgl afirma cb.,
intreb;re ?
sigur cl da' De al"tfel' in parte ne-a-;i rS"spuns'
rDisapr u-rnnsNii ee"xiriaspcpftgucin"udae.,i;a;attmJJo;icte", rlrirrrr:rrrnti aRgneineormma aecntomrnie,s.indBeeeerraumtcklsindi rioCang(5e.1.o8Gm?eo6nb-1eri3;e::5rrl5i,z)si,npd.miti.."rgi,loeteroirnmna.:t:titrcriiaiacneinlmgrise'.errlctlilcdinl,iii.peneAsisou'ncparr1aeefaa'dttde,o
sioigi'iUse,rsnctipeaoglnincaa9i6i.;amiastla-if[lrel-parmodu9ci incl un
glsit. r rn buri, variabili. rmportanle ideilor cupiiise in aceasti geornctrie riemanianl
*'il.;fii^fiil;;;;cmrracurratl,et,retznrrifeetirnt"rmbeicaasr*ieinruatt"dlale"tOArveJair"ore.e,t'train.r"i.dltci*lcioU;iurliiitn."'-,a:os"s.l5etfta.ranifrosi;ce'nemEaaadtec*peaulovelaisriatipbtscSouinnl.amutermesftateaelfs-aiacelssai;elidng.fatrireuOce5pbm.ugacleaoodidoemcardocaeom[xtnrisoiaocimstdetneiel"eu-,' rlir,'lrcLoaratl5e,oarieiei ;rite_liant.eivviitdSefnii!dgeanteurna.l:izi actien.dREie;.mnsrtnenin le-a foloiit pentru fundamen-
lrrrtt;tiiLor analitice, dind acesteia o formii intuitivi este unul din creatorii teoriei
prin
introducerea suprafetelor
,lcr'oiliparoYagertszSri,..Inr:1.u5mBreaulneins. ctSeh-gwarcaoglce,uipLdaeets-fdidnetiatepp.erosbdleeml.aaprheilporseozpehnietirmiloartkceownafotiqrrunee,l gi a, dat
de principii, p" "url*.; t""A""'e si fie cornpatibitr' adicl necontradic-
20 2l
desi fitozofia matematicl a lui Kant constituie ,,un g6nial coup de sonde Deo-caml1di amtiaartmuricsiegsticgastinncuemr acii te aprob, dar ia searna cum te exprimi.
dais ]e sch6rnatisme" prin descoperirea rolului creator o b5t5"lie, nu inseamnS. c5. ain cig-
al imaginaliei, ;i asta
acist cowp d,e sontJe nu e^ste impins pinl la planul logic, ci numai la nivelul tigat victoria..Ne,vom bombarda inc5., reciproc, cu multe intreblri plnd.
o' sihAonlouemicitealiiompieteraatilielocroinncteelpelicetiulluuii nostru.
matematic.S silt expli- la o victorie finail; lntre timp arn sI-!i amintesc c5. Henri Poincai6 a
Kant despre fimospt rcoinvdizvaatpdreezennoti.- imaginar bineinleles - chiar pe un teren de tenis
cabile in condiliile in care la i6ea d.atl nu erau cunoscute decit aritmetica
pitagorician[, geornetria euclidiani. Ei rnecanica newtonianZr.
l,eclRiiedaemtiennteis;.teA-lii cind aveam numai pceitiavsafaalnt ila;isaailainscpeop]utut rsii5o.-rm, iIed-aaii
d.e asemenea mullumesc amical, Profesore, 9i acum cred ci- est-e opcrtun doul careuri
flcut
despirlit printr-o linie groas[ pe care ai trasat-o cu o c5.r1mid5", ai flcut
s[ menlion[rn ce;i Psihologia geneticla infiimat conceplialui hamanuel un punct mare, tot cu cffi,rc[mutidtua.,Ainnmr5ij.lmoacsulmciararetuslui inmu eaum;istmiu-taci einstfr,erbisa-t
Kant cire suslinea c[ jude-a1ile sintetice sint a priori. Conform acesteia, daci pot s5" spun ce ai
toate structuril" ittteiiAenf ei,'inclusiv intuiliile spaliale, se constituie evo-
lutiv ln contactul activ cu realitatea. I.{imic nu este a priori, preformat, purd..Atunci ai zis: A-m desenat un punct in acest careu; cum ii spui
tu in iimba francezS,? Hai ci faci parte din clasa a II-a franc ez\,.Eu m-am
in afara unui numir limitat de reflexe elernentare. carn bilbiit gi_atunci tu ai scris pe asfalt Po,int en carr6, ai pronunlat
li-setrdnetaerivnetenilpiarettaaraea{ocsat rbeineestveecneitaSm. uani carpiaosatpfeel de probleme trebuie
sd. de apoi Pointcar6, dupi care silabisind ai scris corect pe asfaft cu litere
adevir ;i aceasta rnari:POINCARE. Mi-aimai spus c5. pin5. inv[! bine tenissS. nurni deplrtez
ne-a oferit-o iniliai Henri Poincar6, iar in zilele noastre r-amaugraacaursntiainrn- prea mult pd!gieu-i anecmci5. tD.a-ee,trcnaditnsareurasat5ti"mennneuolimbaesu[emsrdvtie-napattiirmct5se.ipzcauutnsulunPcpcdori-ei,ncaicinnaadrm6aacpfieirsiilnccmredispocumal tiea-onmmtp,izsrsoeplcbieteaecbirlaaaill
nmuemnliiotlnPatsi-honloeg-ioacgoennfeirtmicll. aceastl surprinzatoaie
mai c5" de acel
lei l, ;i cind
natuagl-iai tFDaetritati"xgd6eKPlmeroiunfelltsddoeersepe, rleeinnatcucizetisaatsmmmuaslrle-c!eigaminmdi-iilitiotienrs,scucfaclSurevHianetencllroeirnPminoaaintte-cmasraf6itri;cniit-aiar-l
ai f[cut-o
rnatematic[. De data aceasta rrr-am sirntit incurcat de-a binelea, lns5. tot
tu ai sipraustecm5.aatidceiavniraatIuiluPmoiniic.aAr6;asemnui-maei g'stepuHse. nMriuPltoitnicmaprd,
vdi"eofam"c-e"un"lutiu"i lttuirrie.mcuAatstecgruiniitanf,tc-iceleipi u,slCtiu*al l,arcc"ee-luosir*umifviaefialdcceu, dtseensaopmireifiaaiicpcliscptar:eiLiiz"eapnliel"aealiubisni oH;luteitinnar-il mare ;hi uepstle ce1 mai
aceasti
Xntlneplare, cincl intram pe terdnul de tenis, involuntai rosteam ac,est
Poincar6 in ;tiinla noastr5"" ? rrume, dqi gtiam c5. marele matematician nu avea nimic comun cu jo-
cui, de tenis. Totqi, poate c5. asta m-a lmpins s5. caut ;i sd. a{Iu clt mai
rlspu- ndEei,. arnice, la aceastS. intrebare nu cred c5 existl cineva care poate mplt.lruruelcit-{nuertmai{lEgenJissilarpteegmre.iefaeMsvmniiJaorotpfmuasoreeirpgsnnhiiairtoelS,paayedglravrtaaaecgsaortucnenel-rtasmoltnputeriiafutaitn,iltpsaarpeenulaucsl5iam"HpIiieesienntmnitlierniilralaaePclmcoouoilrnonrca5teaos-xrpme6aicraeatlsaeale.irnnmcueuermnda.oorcramau;buteeirlirutia,il
eu pe tine: ce ne'am fi ficut noi doi in aceasti
Dar te intreb disculie dac[ nu apelam la bibliotecS. 9i 1a
PASI PRIN Henri Poincar6?
LABIRiNT CATRE g-reuVadei de mine Profesore, ce intrebare, e a*a
FIIUMOSUL rispuns? de care spiritul tdu este mereu insetat. M-am trezit acum si mi gindesc
Cred c[ atra;i de frumuse!-ea t:lte asemlenea mici create sau preluatb
GEOMETRIEX gi eleganla lenisului mai jucam incb o partidi, improvizatii pot fi dio iirr.r."
o ciqtigam eu, mai jucam inci una, o ci;tigarn lucriri, impro-vizaf iipe care dac5. noi arn sti sd. le sS.dirn la rnomentul priel-
tot eu gi scorul ar fi fosi nic ln sufletul copiilor, acegtia cu siguran{i cd. ar face multe minuiri in
3 -i pentru mine. Deci meci ci;tigat. Ili place
rviLics^tpou-rniosAguf1li?5amciinnculopi rceaa.aTcuemnisnaumgmtiuaisj[umcaatinfoi if,oisntv. ins am mai fost, insl rrcest' miraculos univers inc5" necunoscut.
r:red-c5"Voorricbeegmtii.cb5i"nefa,ptPd.robfeinseorgei,ndsiitnSt. convins c5. la fel gi ginde;ti; vezi,
liciu la in[lfarea c5"ruia o contribujie ;iiitredealmizaictii poate ii baza unui edi-
Aat,i,.iPleucort-lraooatsrg"uKirafanaiclrelumaifiuitdnung,rglio,rieFurdoipe.elmtulIideacretgrrE(ii"Lritrlroiel8aa*d4nnn"e9gletfor-eoe1isunar9emc"b2,lniddi5ute,'in)dere,idneueme(igimiaaiierdtsipoeitamomeanrlbeaitpialttlrtiincgiitactiraecdu5enpr9ugeuigetflheleuoiidrrmpiimtietoearraatanbrnrinoaei,lsicecdlfoasSoetrer,et.mersaseoptlnu{ruroiudilnsaomi.dutregelinprirnmrigr}ovpiroiaraeurntcrrpodiitlauiorivalunruel,-l.i' vreo idee. ionteazi. Poate rnai ai
automorfe). lrl,rplnuei-mtuIddee- iaccleorerddpuact5se.umaprrapmuloanrie.sfii,adproaigsuit meu, ins5. mai intli va tretrui sd. ne
vedem labaza cum
c5.rui edificiu -
lrrta-t Desigur, eu cred c5, bazd, pentru ecdreifziciiuciesmtei;cpilien5.vaicctuornriin-daempdinisi-
noi despre geometrie? Sper s5 nu
22
acum ne indreptifesc si spunem cd. am cigtigat rlzboiul. Si auzim icleile, doza ei de aproximafie, de banalitate. Referindu-ne la frumosul din mate-
gi vei vedea ce iese din ele.
Curn s[ fati nurnai citeva: matici il arvneirranraeicci5p. eseHiennvroicPd.oienmcaor6ti,vi$tattiienalda.;lib-mtuertiodde,d.dIaetm[ ocnesstipautniilee:
a-) Emotia nu fie idei, amice?
unei teoreme; ,,Pare de
in fala frumusefii
b) Cultivarea simtirlui pentru rigoare; rstrienemalronteernnamgtiase5ftso"ictrseerenticcuealioptreeer,,scaseaelnreeptilmaetorgeefani,-tnanufudel ief-rgpvueoimrotamuifnsiieteetmfiriieeiasitm.eapmadteaevrtcaoiciartiuetiinacneit,e,ii"ll.i--gc."-lu"ea-nn"ioa-dso"c"..brbise;";iri,atnot;u'cisrm;ne:ean--i
c) Matematica, ;tiinta celei mai generale si profunde cunoa;teri nsaatrieiitnccrzitiibesdaoueissimcpasiu"ffolsaline.rcteeainnsmroteoai,ctroapimvriaiaottnracnuuttieeenmarzei.dnineeodarrfn;r,auot'ocfmfeitaeoturrdesecaesastttleie"nst-ipt;t9id'iieirii?inleatufsgrenrialo;ien.t[nfmurui"na..ts"6teeiplieic"tna.;.a;lrdA;teicci;iseea;ia;noc;stlitradiedn.llertanarsnrt,maennroofetnleirisleleiei.
umane etc., deci, lupta merit[ continuatl.
a, b,- Sint de acord cu ideile ce le prezinii ;i inci enumerate pe puncte,
emolionafi in fafa frurnu-
c..., dar nu prea am v[zut matematicieni
selii unor teorerne, sau a eleganlei solujiilor unor probleme; drept este
c5. am citit in
in diverse ludcinr5c"riitede;tsiupr,epeexiesiteiinliante-ruensoear zaSs.emsoelnuelaii nlatema- etosrtepicnnatrcuetsap;iiriliolulpl poe.scaatries-fal csfuiesfipneenstiruconnedvuociele. ;al;-
ticieni, insl general,
rapide ;i punind
ingenioase, rigoarea demonstratiilor, gi acestea pentru dezvoltarel gin- snioainstareccersat;ei tticime p$,i
dirii, inteiigenfei, spirituiui de observalie si orientare: s-ar pirea c[ nici
timp nu au se se emolioneze sub ochii.lo;tri un tot bine ordonat, ea nc face si presimf lm o i?:ge rnate-
matic5...."
conc-luzSiaprien a nu te decepfiona, nu te contrazic. Te las s5. tragi singur pdraeenhpt-lri5ru-tciAeecaca.;urvie.mrsencouirmdieapitrfdeid:.aateumrxiiirtn-neadmapidplbo[acirnsauecit.llsmA;etaialitimelsamacacrcitesaic?-rameAilpavroeeacfletireordnnfooiuum?ui.ne,z,tuserculcodis'aidinte,ne1ri'cnimiooitcnifvoiu-eatmeliee;i
privinla emoliei pe care sint sigur c5. si desco-
tu ai triit-o mil'irmuamipaossviue-clfuiaicucifneic-sli opmoluainlritiuSti.depe,radoleboluesmiaumasina[turdrtcnesc;cijoocpisnerdci rde9iiimosnIt"iutrce"r.oencneotrunczerieetrzsuim,l rebnzlaitiiinnedxfuaistjattii
perind o solufie ingenioasi la p problemS" sau gisind o alt5 demonstralie
a unei teorerne. parcd. in.-T.*i"I.? unii aprolpe c5. nu.pot gi"si in intregime nici solufia iel
Este suficient s'5"-ti amintegti de sutele de idnedmemonnsatrtaili[i
ale teorernei lui Pitagoral. Crezi t5" pe matematicieni i-a
descopere noi demonstratii ale acestei teoreme doar sirnpla curiozitate
sau alte ambifir? l.tru recuno;ti ci acea curiozitate era menfinutS. de fru-
muselea noilor demonstratii ale teoremei gi c5" in asemenea situalii sint
fire;ti sentimentele de admiralie ;i ernofie? O legendl spune c5. senti-
mentul de bucurie gi emolie a pus -dsetiipbniitnvroi-ralei.titpedePmitauglot rianc-it cind a desco- mai banal5".. $i olimpiadele pS"cituiesc, cred eu, toi ldninscahciemabs,tic'rceadvzdc.i,
peiit teorema ce-i poartS. numele drept mulfu- se pare'c5.
mire a adus zeiloi dar-ce s1-i faci, ati nu existb. alt sistem.
o jertfi. de 100
f i-ai dat seama cit de interesante sint iucrS.rile la cercurile de comuniciri
f;iirfiiutienrnf'viofiisacuebl,i-l;eiin-pdmaerqcdd6erindfoei notssreetrzbaeiltgietle,asnftaoizmievurelierntauaztliii.oim.nteaaolegt.io"Aaai,iectii.*,sA'spmirirriatauirvl"u"a,tl'erJngoue"lttieenmvrpicomie-
Exernpiele pdt continua gi se pot g5si cu u;urin!5. In favoarea ideii nlente cind arn simfit existenta frumosului ;i emoliei gi parc5. rni-a dat
de frumos in rnatematicS. subscriu muIli gtnditori, matematicieni gi filo-
zofi, pentru ci" acest frumos cu siguranfl c[ l-au sim]it in contactul
direct cu maternatica, aga cum c;ii noi l-am sim{it deseori ;i poate nu gtiam arlpr.
ce este, pentru c5., s-ar p5rea nici acum nu o definilie
s-a'dat ideali cctiercnidaoCenfisriue,c.ldgo. ipcea[r'sim.tafar.ituiemamopasrotuiplciideainnduenlaaprttoauarltuieiT;feituoc;toqr5'cnfa!pmas5raa.-gtl arcesudeeupaenitnrpepiiceintoz;ire.ccupeem-iratnrtefe,zsmeuasr5c-
a frumosului din matematicS" gi nici chiar a frumosului din acest rnisterios
univers. El-e greu de definit dar de sim{it se simtel vorba aceea:,,}nTu-i
frurnos ce e fr*urnos, ci e frumos, ce-mi place mie"; desigur expresia are
l Pi.tagora (569-500 l.e.n.), filozof si matematician grec niscut in Samos. iiic5. d_4in;a este. ornul a fost atras de frumosul din natura inconjurd.toaro
A intemeiat la Crotona (in sudul ltaliei) o gcoald in care studiul matematicii timpuri imemorabile"
dzoeffiieneaapliotacguol repircinilocripasel, bdaezoaapreeceteopreialinngum5.ecreelrocretidnrtirleeg;it,ii{niilnifdicper,ivlnitetrecaagease{inlo}a- . Impresionat de fenomenele naturii, el le=a reprodus. Ne stau mirturie
tuturor lucrurilor din Univers. I-:ui i se atribuie alcdtuirea tablei de inmultire a perelii pe;teriior f5cute
<lcsenele. d* p*- din liriii crrepte, curbe, desene
{ {}ncepute.sub forma unor figuri geometrice unde se paie cd. el a respectat
nurnerelor cunoscutd sub numele de ,,Tabla lui Pitagora", cit gi reialia ce exprimb :riirieiria gi proporlia; ne stau miirturie unelteie de vinetoare c}.rofa le-a
md,sura celor trei laturi ale unui triunghi dreptunghic cunoscutS, sub numEle de
,,leorema lui Pitagora". Pitagora;i discipolii sdi au {ost primii care au fr:losit rlat forme geometrice, de asemenea ne stau mb.rturie construcfiile inge-
cuvintul matematicb cu infeles de aritmetici si geometrie, punindu-i bazele
ca rrioase in care a lmbirrat utilul cu frurnosui. Am putea spune ctrmateria-
disciplind, gtiinfifici de sine stS,tdtoare.
{iLra s-o dezvoltat concomitent cu artele frumoale, incit dezvoltarea lor
24 AR
ulterioarl impresioneazS, prin frumuselea ce le-o d5" proporlia elementelor trIuaartc5at,edrdiesrataigcuuirl"smcegexrunp,errinnmtaeirleomar aismtueprmpdarritzliicdte. flainnpterucafu,pacolii.artiun(i2tr,)e,triediecoutuun6orialiu'sdnteegmiamurire's"la.et,is,ait:a"cbia"i---
componente, simetria lor, cit qi {olma. Incl din cele mai vechi timpuri, leste un aselnene3 rapolt, incit lungimea cea rnai mici sa fL tate de cea
oam-enii au flcut in acelagi timp gtiinli ;i art5". Ce altceva sint piramidele rnai rnare,in acelagi r;rpor t in care lungimea cea rnai mare se *n'e rrle a"
din Egipt decit ;tiin![ ;i art5.? Piramida lui Keops de 150 metri lnilfime
ch realizarea ei este suma ambelor.
este o frumusele solernni tocmai pentru motivul
fi.cuti. cu gtiinfii pur rnaternatici (vezi fig. 2)..Din scrierile lui Herodotl
1ii\' gidAfrgHeaigliidae,"o,gSbTuncr5raig".pci.sle,rotoairrnnrer,cvazs5caoe.arllrdtvoeraae;ai irvraedeaduaelerfoo"{ea.traocraereausctteatfeeeitsiiaelftenpoeigrrucroa1rnept,nei6_iietaltera8xtdi,].pec,..serdiaecmedsurieelnva"rroaliaeslvloucnciea.ieuardatFes.itarinddbne.ob,a,pnnpiernareos:cn*mptcet*oali'."4rgrlioluo"ielu(nuZd5uideil1dj,p,,r,eone3nrugal"uZimuguir,olriea_"aSrtrnusul;;ei.lli,
irIrdni8n-cnaasr/ep5ele5ctc-rpc"aa'ir..uct)rrdueD.tti.uean_r.eAt,laugescsgrheLiaerlxiu'eamgeucsrmnacnuet}utoc.pepcem_mlphaauubrtsr,anrroacea"d;oScttiiadtcor.ecce'rorOdoliiirseienuntgs(itnfcGpietourieorlauleeicsqtisrtuedela,iacrpm,elnsfeisipaaetiuemlrtcaud,n(fp2in,tudul)agenpirlcnn,ir"aiiiuetinrrndvrciedrnsiee.neaiectioua1:amsnr9umrea3.erb'"er1ri.ccai),.cerzr\u-as[Ieadot,'t,ronesirlsboaaepcttiicehnrct"aieeip.irzimrrdxdnGiie.eienhptrj"jdylegtnp'k"n[iooatua"6grs.gt]s6uurot-o.nel.-i
/ Ii ll\l
CT
/ nl
02 -o -1 :0 (3)
,Ll T
h
n
' Iig. 2 :pe care rezolvlnd-o gii.sim solufia A :-tI:: t,b 18...
cunoa;tem secretul armoniei degajat de piramid[. Propor]iile stabilite Concluzia este c5. in triunghiul meridiarr al piramidei lui Keops, ipo-
pentru Marea Piramidi, intre latura bazei ;i in5"l!ime, erau de a;a fel tenttza se af15.ln ,,tiietura de aur" cu cea mai mici dintre catete. vi:zi nine
incit aria p[tratului ce aarIeunderei pfetlelaltauter5railnedallipmireaamipdierai.mAiddeici lekszte: egall
cu aria oric5"rui triunghi a'c gaec5sxu.cermurcunirrpderleuainltiieanm.;Scai a-taearremrdnsaooitnvnicte_idadp,ireteaizcta5eri..bnfaoutcesteetaecsmcatealocttusriaetl5a,b.tumii.nie5ms"t'rcawettfceeiaimrue, taaaatritotceam.,tgDic,li,leewfcsri,uiciimoapurtenisraietnteeluemm;aiaactdiieceiusasni-e-
sau. lnlc:alk(t) (fig.2). RezultS" cilatura pitratului, adic5. inlllimea pira-
rnidei din figura 2, este medie proporlionali intre doui laturi ale triun- mrl'u'i.
gPhitaiuglouriaAiOc2M: carefiind ddereupntduengk2hi:c (6 *: 90), putern scrie teorema lui oc:rA.titnr.puurlseufT'it.rric_i.^autttIrGiu"Fdnaspth-itouab?yrdploshLeonepVamra_o,ii1.enaocl.i.rnotgcnc.e_ni5fu.,h?isunl"ltsMl.e9iit'icausgasGiratteti4irtu,l.rimliMdi'd1raleili.eniolp(etcR:,li_ac8(pola1nii_8micr1,ttiealso8i-aan;caIi0tiugieeiii-nz;16iiii9tin2r5iiinoao5tu)dt0c,ndiuee)iio,,dvfsl-eicielmtioetiirmoonzsaaraoizottaeidaEflt,mm,r,uuetmlraeareoritidninivptctci,aiesliahaaitmunrpacredi,iaffp-dairttrt,eeilaciielliriaeiesaiaatsnlaB;ente,rera.liueiutnb;iAxicsme;oeaie.,rlia;ilties1..,dz,ts"Stuo,,*si'snpreiidn.Uceeepot1rs-nrn"g"tiaiien0tl"or.t9ae.ii--.-.
a2. Inlocuind pe hz cu I'aloarea svnaaor.i.scrpsttsehte,uit.'lqocTewlrtghaeerdto,gtmusre,rroaeialnncmeecrstoirrtyemrpaobdotJrepeoaocrdritpru'ocaalrnur,sdtlaeiElf'icsifdeeFtih.n-nilnttaiuoaqf.ipuaicoeenrnnedaoyleelatsi:sisp9taairroldeifnpb., tosepyt ret;niiomanufsneiolednnaeaamoglbius,orsliamli; tan"cna;o;itf;laeili;ebsotiensrat-datdoasnrittdsaastltecor-uers-t,-
*&2 h2, 52
hz : d.'c din relatia (1) obfinem : cz * :6t2 c'a sau a"',-2::-+a. 1 (2)
I HAercodd,ol5!,.to(aripl rmoxu.lt4, 8s4tr-E4b2d5.tii.ned.nO.),rieisntoturlicAgprreocpsiautp,raEnguipmtuitl,,,pL5i,briinate,leSicisiltioa-,
riei".
sudul ItaLiei si litoralul I!{5,rii Negre. A avut idEi democratiie. Opera sa Istori'i
(ln 9 volume)' este izvorui principal pentru istoria Greciei, a pontice
gi a Orientului Apropiat mileniului lIiniu"etu.nr.iloEra
din prima jumitate a este in
acelagi timp un prelios izvor pentru istoria geto-dacilor gi a scifilor. Este prima
lnceriare de a uni intr-un tof datele istorice si geografice cunoscute pind. la el.
26 ?'1
cu aceste atribute trebuie s5 se intilneasci crinciicrerlle;ciIovlaorr chiar din rno- pe figuri imaginate prin desen. Adevlrurile stabilite pe baza unui rafio-
face nament logic se aplicS" f5.r[ nici-o restriclie -ilaargtdoiaaicn5te.goecbnosereprarulvrlairlelmcrauetaealmteean;--i
-;;";*;";if; i" .are intri in contact cu geometria, i'epre.sia cd" sl simt5.
pinl la el ni- astfel se explicS. larga apiicalie a geometriei c5. chiar si cei care deciarS.
ie_i inund[ i'tr**g, fii'!5, ]tsindu-i ticilor
o*"i*R""ecatinpuotsuctcsiepap;,iii'rflrcutnrlililcliennlaobiti'rriinnttualbai,crei,sllttewi gl,tgiienfoem' etrieisintr:rt fie tot -celena toate domeniile gtiinlei ;i tehnicii,
ce ne inconjoari., ne ci5rn seama
ci nu gtiu geometrie, folosesc totu;i, firir sir-;i dea seana, multe concepte
J;naiip'l;oud;ii;ilUem;n'lmiiiaa;r;;eri;ei.la;nh;;lei;Std..spse.Jtr"eiaJrmtle.ei.,npg,i"leit"rere;cneidcud'9erunma"roi"rinla,iicig,"i"u,llriio*igrfal,tr.i"lt;nji.t'oiifd"in-ri.srte,s,ui-rF;1e*.,i5rilaa"r",6.rtr"ru*li,-o"ubaceirl.ita'qoitteitdil"i.gicin*noatalct'ctnl>iitlcomriituarottccdltlroeeori,e;g'ddtiiiravacfn,ir-tanaa9gtrjieiiutrcmdsaheaearc.mviatiiorctca'eceii"cielavpoa;.ri*r,rltejececl'olaironvrrub,tedeisnvd,lt-.deritailsiect-i- cu care opereazl geometria, ins5. niciodati nu s-au gintiit cel pulin si le
td.;;iirai";"au";,iil.r-lipe"1rr;;"lif;;Sc"l-o*"ip"'StpJgit.ii;pc"nl"iil*ln;r"iic"airirionp,.e'tliadont.ipi-iots'lld*rin.ipeir'i,.rrcci,iircsrceirleretciotsgiat,nmai't"-tviici:otir,pr{in'eiraio;.d-fmcer;erer-ai.rei.s;iitiicil,c-d"ieoan.,raoa,.1ntoirlprtaciEik;cc;"risgticser"iipreetea.pner(rpaeior.nerrpirsrtDn.ic3"rieibnttuzet.-fcritini"i,)nria)dietav'"atircscs,lvcrtcncireiigfiicgujoi*lacueia'atrlttrr;.im,tsire'aoici;1;drneiir5nieillsobde'pbe1f'rinarringa'ruFacsireescbmettporri:s'mutrcl"c.ilf"sa''d-iec.geers.i-n"e:t-luiietrr:'ii.atraacqg["liet-'rlri*tre5ogtN*ja:bienmlol:uceoiji^bm'J,umnmse5cfstose"caoep:ert:nriilrrnap:e;-rtca:'e*u;aritlrIitle-i expriine in propozilii logice, ca sir nu mai rrorbirn tle faptul de a :,e fi
intrebat daci sint adevirate.
trie,-agalgciuamauamperrnfeaci tslpdusre-op,taintsei,r Profesore. lntreaga naturi. este geon-re-
puline adc,.,iruri sint evidente. Tot ceea
ce nu este evident in geometrie trebuie Cedus din afirrnalii simple care
pot fi consiclerate evidente. Ctnd introducern o nofiune noui o clefinirn
utilizind nofiuni deja definite, dar procerlc:ul nu-l putcm aplica rnei:eu,
deoarece pentru definirea unei ptime notirini nil mai existS" nici o ei.ofi-.lr-.,e
deja- definiti ce arn putea-o utiliza. In acea-.tir sitrralie, trebuie si utilizirn
:roliunile geometrice fundd:mentale cele r.rai simple, eviclente, pe (.'are nu
lc putern defini in modul cel mai riguros, rnulfurnindu-ne in general cu o
cit mai compietS. descriere a lor, descriere care tineori pare c5. se identifici
cu definifia. Aceste nofiuni le nurnim notiu,ni fu,ndaruerilal,e. Cele de care
ne vom ocupa sint: purtctwl', dreapta ;\ planu.l.
Nofiunile de punct, dreaptS. ;i plan sint sugerarte cle obiecte sau feno-
mene fizice din natura inconjur5.toare. Poate c5. pa.r noiiuni simple, insir
igi.gir"!.ri_r,or,;i.;is,'",li,-Dmqc;riPirR.ei'Prl,:i,nUrbgEL.cieiaf:NlAAo1ae,m'C,eIrP1;'eiiI'ae'r'tItIrtc.tai'"e;A*eci,t'si*oijtr"ue"t-c,r=r,i"ili,lii.ti,nia,:"pn't',r#;rteoitrjiatd"rip"i"-"ccltrtna,e*u1ernuiipidniius"rneueal":ciittera.arlooeonerrcretAtb.pen,*u^u.auh"uldpnfiiiemncciafcqogi$taiuviierncrnilnlrilu-larnefiuaetere,nusecoeilgrdactnraiSoarlilbliuait(ttniicurloesciee;riR'etit,t^ars;ecaoiacrsp.nited.rc'le'i&oai;tnfmtoi'letiaelaeoaRc'anlsicclreast|'s:'i{isirfsrue't|mutccnccnrpi:ieier'e{tr!iiixe'a'-r-
[ecclauiirrner'rn.rt.i1"ns1ite.edigaiet"sni.endAnesa;saitcn-coeida.,.er.*,cA'.rit'c'"eeplzastituebc"ieanfiliegi.aSiclrotiie;gnsfeilni"ogitmuipnreei,tnrsictianrauefroeesioinisnnuenu;pilenoaasrti:uatnpitiiro;caineoadnriicranen.egpancugt;tunienlail,ldeoeidg;rcaiecirt imi arnintesc c5. ne-a ridicat multe diticultifi inlelegerea lor corectf,
chiar de cind am lirceput studiul geometriei.
ln cazul noliunii de punct inii amintesc fr:arle bine cl reiatia clintre
concept;i imagine a r;inias multir vreme o nebulc,asl. in mintea toastri" a.
incepiitorilor.
ln m-S.sEusrateinnocramreapl usnl cftieul a;a. Aceastir relalieesre deoscbit dc cornplexl.
este intuit senzoiial, el nu este punct maienra-
tic, deoarece punctul matematic nu posediL atribute perceptibile senzc-
rial; el nu are dimensiuni precum au celelalte figilri gcometrice, si tctrrsi
vorbim despre punct cum vorbim despre un cbiect oarecare. Dificrrltatea
provine din faptul cI- avem tendinta sI. sul.rstanfiaLizirr:r figririle geomc-
trice, sit le considerlrn imagini schenatizate ale uncrr obiecte concrete,
insi gtii bine c5, de fapt, ele reflectS. doar proprietiti spafiale ale obieete-
Ior din realitate. Proprietatea spafial5. ce o lefiecti. punctul este pczitil
gseAipiPgnmisrrtelipeltae<copeenttamlo.Ieaiarra'nna,teePbcautnelsra-Snieuloua.ortftpemoocipdiiiutrtetoaipltS.cti(i'nie,mro.i4eout,cgta2cpercteairs,gona"sittgeer-e.tadt,r3r,rarueep4ortrf,mr,lr,;i':',iii;ir"nracli;ii,'abc.;iti,eli;id",#p"..'ll.inn"ia.ir"".iil")iti,1u,r""-.n;itAlfipiiiil.c;i;iloni"cai;a;rz[-t-d;."eo;t"iec";if*rl-"mielt"g?olj:ii'o;ar"lJceiislgiuci""{n;e"ti;ti-llo;aen-l"t'piolire'"e-lsn"e'pac;";r'ts"-uiiatc-1titip;tnleo1'tiu-it;a.]nelsnopAi"tztau"Jtiocest'a;lsfie;ln:tivta:"auls:i{''nl'tti1i:upAntAp-":et-d:Je:i-calflioru'ololliil:rd'inn:sm'cgd"r*tAn(ruiIrr'dcas'ilcr:iita"'sl'ersc<ilpcm'tc'clteri.ocplrraniar'amlo'trlielilartacole'ti;igclrirdltruisitrtriiit9e;rrnrr'eiriii
s'a. ln calitate de coricept figuril,'punctul este o e"iit"t",:.::,: eipiim;r
o rea.litate ce poate fi intuitS rnental. El poate fi -.ituat la iiil.ersectia a
tloul cireptc, poate fi situat pe o dreapti, poate fi deplasirt etc.
prim-iloEr iavneizdi,e5s.sctoaael5r.a, necazul. Altfel l-arn prir,'it noi chiar clin perilailir
ohiir spre sfir;itul ginnazirrlui.
Noi ii spuneam punct chiar gi u.nei mici pete c1e cernealii, unei a;ezXri
tle pe hartii, semnului ortografic de la sfir;itul frazei. serrnului inmtillirii
28 29
etc. gi cred c5. nu gindeam r5.u fiindcS" in aceste cantri punctul este o tn:f1reel1reien"iD.a!'ez;talider"csii.iingnptuoimrabiftenaegtcetseedam.danipanoacaerfxsrau.tsrmctrd.r,"utJsipreoerefdecco,i5zmdarairmienr ,imindadalcicalaea;repezlisinuatdntimi.ieleivpeinrudaeerrpeame,-eracrdi-ineifsdoicub. issuuelnsrvegaae,itnoecmtienderde--
realitate, nicicum o ficfiune. paf5rl.teru5z-l.inpdeitPeicrriiednt cetpeirzureaenarscetcaeuoslsmtgeepepooimumnnepecnturttinuce,eli pLinnvretiuivnaiitpdtivi.c_craasaptruaafncd!itacecloureins.tcit.iecpDilteefaigfmaupirnatt,li,tpecuagnrie,ctdnueulsicgeausrtree,
;i ln-muVlotei aveali perfectl dreptate, cici in situafiiie enumerate de tine, l:ltf;;p#.r,e#"cR-;3izieilif;Emii.niso;ltn'ceiiddf;.:i#nefid'l,]oe.e:re,:sd:a"tilen#tcer[e:,"zilpp:",'uu"r"o1lnt9facett{suuo,ll,reiign},et?eo;:ir'm"smJe1eectar1liipiceua!ilieoeu"scstttedcTilnooa,grt"e,e,tnn:";;t;;ei"""tra1pa.trei;,;.#ipf-ipulr^i"ti.e-.rm"d""i1mcdoe:en*nsps;idui.ueJnnrcai;,i
altele, punctul este o realitate dac6-i dim atenlie substanfei.
"-iodegsstimialaplpg.mnrdmasrti;tenroliruttrealcu|iiecpnuuaenmamDltciieaertlvt?dic-elelenesufdmaarcaniu,icosnelc'adftidneiecfcuEaAmaiarocili.noeuhllm'jtrecppinruiaunpan;iiicluaooriantiumanu-erdi,mmpsrmstea,acamn-tepmalifcdaaiaueopembseieepidconsldrnisieltmeemsgdsaeieacesfttsccineratsgu.ierotraurduide.retuadrpnnra.r'.r,rgm$lt'uaztnos.iatsretntsraartoceo,faic9rasiid"iidmfencl.Jtag;m-iaeiirpeo_suntsn"tpiidc.gmn'cpfntinetatiei.ris'treeeuina.t;oe$en"en-in,a"pi-inlraspi"ceiitfidcoceia"cli,miit.dicatd1ur"rogra"Eie.".aaui"r;at""e"cgoi.ipa.onftiL.nrdr"i-;gt"if"ufmp;'ccioep.j:;pf.l'ii""ufhJii,,i""."urbv"r"uiLcn";iria.,ti.lu.io"il"o"tii"tiato'te*""ie.lspii"fiipr,rmLrr"rio"iao."s,ae--"'".r.liici,ufarco.-"ico.riaiii"ian6"nisit."nrrh^pc;r9od-iJ-t-eun;miJiafailieru;a;*rros"oir"iz;gitgl,rr*d;leniol_i"aici-ip;"ut;ueu"u.a-bist;"m';mrin,Hi.inmrc;"iut";a6;taoo;ic;r;r_;c;di;.d;ni:l'ut;nd_ti;;lpeeii-iro"i;v"le"i-ao,meGa;";,5Irni;i.-pdi'n'p;iso.i'"l;i;l"mon;;;clr;i'ttt;;#airi,;u.pi;cJi?ri.aaiz"p;e,toiltn""pnat#';uerunsM.etd{;titieana;tr;pirm.*lr!uiurete"enriiuriserm,as".beradtdte,aeitaian.pd-ppidcmc_rc9drdtseruouceldi;eatdeaeui?.einair;i.r.ncgatcctcete,adoeedriororpIsIpmu.c-onutrmnnvtn_ctiiea_s_e__i_-traa.ueii
efsTicturaeacnbfliifudeiaieialcintoaablt-iset,ae, rtsnviviautuit,aacrC5feiaianmisdceaiessesicl,thaenirmeuvbooiinrLbts.eaerEemdIsenenaiufzpicSuaa"nrleinceitdcuciilmacngeuteniltooasamituri-ene"a'iti,.ri;dcline-cchci aindaduerrouaplrusepenumscnutnucbi--l-
tuini matematic, aceste atribute nu existl. Cu toate acestea, eI expiirnS. o of.mdieeadurrpllie-nuncauisepelivltmilmld'5.dnr"raeAtseuaidavprsiticiitdcssddufe"a,.rnac.tclerd.ad,rritn.dnfo:is.ettioearneromrd-.rndpiDn,oo,gcedruearfcuiireuiemep?.purucp.rnreielcizinpt-eeetlier,ltn.urdtmeatocisraadeteriaigaasutiice.ifn,duir.t.r."uct"Inrugidt.tri*iivan".di.*ftarriat!"rciiduao*denonie,e"tdru"iearrdcepcernaeduao.ppns,lcttt,iaediuternnuss,u.ei-i,i
realitate mentall, nL1 senzoriali. Dac[ n-ar exprima o realitate mentalS.
3l
obiectivi, atunci nici distanla dintre dou[ puncte nu ar fi o realitate,
nici pozitia relativl a dlu5. sau mai multe puncte nu ar exprirna o reali-
tate.
riti -proEbsletemeax.act a;a cum spui, Profesore, insl. cred c5, trebuie bine l[mu-
Mai intii am se relllez cum arn lnceput noi prima lecfie de geometrie
al cirui titlu era:,,Punctul;i dreapta". Voi s5"ri peste introdlrcerea ce
ni s-a f5.cut pi voi trece direct Ia subiect. S-a inceput prin a ne intreba
ce este punctul. Am dat tot felul de definifii gi exemple, dar nici una nu a
prirnit verdictul ,,adevlrat". S-a desenat pe tabil un punct cu creta
albi, apoi unul cu cret5" colorat[. Ni s-a cerut ;i nou5. s5. deseulm cite
un punct pe caiete. Au urmat lntreblri:
1) Care punct e mai mare, cel desenat cu creta albf, sau cel colorat?
2) Care punct e mai greu, cel desenat cu creta albl sau cel desenat
cu cret5. coloratS"?
Comparafi punctul desenat de voi cu cel colorat de pe tabl5. gi spunefi
care e mai mare. Intreb5.rile au continuat considerind puncte din cartea
de gI+fe,i,oi^gnrcahfiiepu;ii cea de geometrie etc.
ci, au urmat o serie de
rispunsuri, lnsi nici unul nu a fost
acceptat.
Profesorul nostru s-a amuzat de fiecare rispuns, iar spre sflrgitul orei
ne-a pus s5. scriem in caiete:
,,Punctul nu are nici masi, nici substanfialitate gi nici dimensiuni.
Deci toate punctele sint la fel". Ne-am conformat cu tolii, ins5. se vedea
bine c5. nici unul nu credeam cele scrise in caiete, deoarece noi vedeam bine
nebuloas[ a plutit mult timp
lpnunmcitnetleea9inmoaasitraSlescumtloraimteeac5.l0mr.omAceenatasnt[ am acceplat-o. A;a cum
spu-
neai: anumite puncte semnific[ ceva, ;i de aceea ele apar rnai mari sau
mai mici, sau colorate etc. Exemplificim punctele de pe harti ce repre-
zinii localitS.fi mai rnari sau mai mici, cele din cirlile de pove;ti si cele
din cirfile de matematici etc. De aceea trebuie precizat c[ punctul fir5
dimensiuni, fir[ masi, firi substanlialitate este punctul geometric, sau
cum ne place sl-i mai spunem, punctul euclidian.
30
mibvueitaige.tte5s.5,;.iifnicefoidnntrirutaim,di9ucilfipacreefllzamegnaralianstc5ceu. lriotn.rtrde.opurioppurinectateteiantdrerecpaterei de a fi neli- prnlaetnrie-i. la copii de clasa a Vf-a, noliuni cu care se lncepe studiul geo-
si-f'-i Pentru propun sd. dai copiilor un test. Dac5. nu
dreapta tre- aceasta lti vrei
E xist5. uneori pericolul de a se confunda proprietatea dreptei de lncarci memoria, e mai comod s[-1 notezi. pentru 2-3 sip-
gtii ce? Ifi propun s[ aminbm discufia noastrl
tirnini, timp in care eu imi inchei obiigaliile ce se impun la sfirgit
bainfieincfiiniotSri"cecusepgromperinettad.teeadrdeeaaptai vaerae o infinitate de puncte, insi gtim ;coiar gi imi predau lucrarea pentru o sesiune de comuniciri, iar de an
tot o infinitate
de puncte, indife- tu ili
rent c ir are lungirnea de un metru sau de 100 metri, dar ele nu pot fi susfii examenul de admitere la mult visata facultate, Automatica bucu-
rtaci;nteea".niI,tiexrdammeinnepdeecsaigruera, btiima pil a;tepfi ci doar te-ai exprimat ci,,n-ai
drepte pentru cI- au aceastl proprietate, ci vor rS.mine mai departe liber cit sl-mi notezi gi testul cu care
segmente de dreaptl.
vinrceei psEin"-drnci hiniacur rccui ';ecol,lan"erii.v-Momi-l'icnomnitnineuzai ceremonios cind ne intilnim si
,,def-inifAiai" dreptate, dra.gul rneu. t\{ulfi elevi ;i nu numai ei confundl ,,labirint". Accepfi
dreptei cu definilia segrnentului dreapti. De fapt, geo- pagii prin
de
mdcareeiptnrtieal,ooicnpsdeireecasuzedgtomdaeetenrteadgceeusldltercaeuasipsnettlegmmsietnsetpneutndaeelimd-rdearineptaSmp.ot;ld.i destul de rar propunerea ?
cu
gregit desigur CITIVA P$$I ven-itiS. iDntadreteacaovrderctiuz6pzroipeuneeure,an,ue chiar bine
s-i AIPNOAI FDAIIRIAN$OIU
Totu;i e bine PttIN LABIRINT voi mai fi
fix5.m corect nofiunea de dreapt[;i s-o delinitlm de noliunea de seg- eu, cel de acuma. cl
ment de dreapti. voi -avNeiacidneu mi-ar surlde ideea. Se infelege in
Pentru aceasta consider c5. trebuie plecat de Ia imaginea intuitivi infruntat un viitor speiialist
aga cum ni-s aorini"t"licroprocesoare' succes' 9i s[ ne vedern
a dreptei. Aceasta poate fi foarte sugestiv datl de imaginea unei raze Frofesorul ne relateazS. c5. dorinlele s-au lmplinit. El a g5.sit gi
tirnp s5-gi insofeascl amicul la fiecare examen. Concurenli mare,
de soare ce se strecoari pind. ia noi prin sp5"rtura unui nor, razd la al subiecte dificile, seleclionate parci pentru ,,lumea bun5" a matematicii"
c[rei capit nu se va ajunge niciodatl;i deci nu-i putem limita lungimea, ce se iudreapt5. sigurS" spre a deveni speranle ale ;tiinlei gi tehnicii de
de unde;i concluzia c5. dreapta este infinit5; de asemenea, dreapta este virf ale mileniului trei. Profesorui s-a purtat ca un psihoiog desivtrgit,
dat5" de interseclia a doul plane etc., urmind ca acestor imagini s5" ii
'se pun5. in evidenli o serie de proprietlli geometrice caracteristice
dreptei. rnenlinlnd astfel la parametri optimali capacitatea intelectuaii a bunului
In general, existS mari dificultS"fi in definirea noliunilor de punct,
dreap ti ;i plan, utilizate in prccesul didactic. Ele sint considerate ca siu amic, care, a;a cum afirmase, ,,nu a avut taine". A fost admis cu
rnedie maxim5 (adicl 10) din care lipseau doar citeva zecimi, Profesorul
noliuni geometrice fundarnentale, elaborate pe baza unei indelungate l;i continuS. truda la lucrarea llsatS. nelncheiati, iar proaspitul student
practici sociale. De aceea, le ppuotet mdeffoinloisriigf5u.rr5o.ste, ademolarienceraefiolena*meinnitleialel tarcpSanacetruouterdlmdeidecenpexnaoacClniriitnriiualneoertnoaluedpgl.aettlePrluuiaifnicnneiEirleb.[rrtulraloaiunctrioriepIesssIriutcnieebt-ntiplebenrnoeilinrsl-ett-caraealausafptlnideuxluaedacinaedtezcnlrlet,teorvrPt.ii;ncrritfor.sumasfte-eli.aes-l,uaic,osOttrtao,urdpnrlairinuinibnlau"icsapa(air2srnrie5cne0dddcl4paiisnaudmcitngusdi)tvlte,ieeeeurlupesmnluldtn-alie.-li
geometrice, chiar dacd. nu se
imagini nemijlocite ale unor forme materiale investigabile experimen-
ntaenl t-e
s-au purificat, s-au concaptualizat gi au devenit elemente compo-
ale unor operafii mentale logice.
volta-reaNu;ticinrefedloc5r., cineva ar incerca s5, nege rolul practicii sociale in dez- ce nrf, rezolvS. subiectele date la admitere la proba de geometrie, pe care
chiar daci procesul de asimilare trebuie sb realizeze
cu ainabilitate le expune:
pe baze ferrri riguroase;i cu concepte riguros definite, sau, dac5. nu defi- in
1. Fie ABC w triunghi inscris intr-un cerc. Perpendiculara B
n ite, atunci exemplificate cu multi rigoare. Geometria pretinde oricui pe AB taie cercul ln P, iar pe AC in M. Dreapta CP taie pe AB ln l/.
si opereze cu entitlli abstmcte, s[ le cerceteze proprietlfile sau sf, aplice a) Sl se arate ci AP LMN, b) SA se gd.seascS. locul geometric
proprietifi cunoscute la combinalii noi. Daci aceste entitifi nu sint a,l Lai M clnd baza BC este fixl gi punctul .4 descrie cercul.
riguros cunoscute, aiunci intre progresul dobindit prin intermediul cu-
noagterii gi exigenlele acestui domeniu de cunoagtere apare un conflict L Eratostene (275- 195 t.e.n.), ilustru astronom, geograf si rnatematician.
A determinat inclinarea eclipticii. I:-a preocupat misurarea meridianului p5,.
destui de greu de depb.;it. Se poate constata acest fenomen daci studiem mintesc. A descoperit o metodS pentru determinarea numerelor prime (Ciurul
lrri Eratostene) gi alte descoperiri in astronomie gi geometrie,
forrnarea noliunilor in discufie - adici a noliunilor de punct, dreapt[,
ao
3 - Prin labirintul geomFic
l3gAluniinPN.agS*cti9lto_edlsw,stUpdllcineioaent.zuialign()ifniiilngDlpfpI.iCilmn,l3imL)eiP. siBintAeeCtstart.euADntorgiBernthio,aMicureielBnnzAiutlrLltMutidml,NAtcerN,iLucanAglegilpcrhIii/uiCupenlsuugLtneihcAdAituuiMaMllmuNpier,eAtdruzdMeaurciNlnteAtiercpc9rust,iteluiBcpeifrMciese_ii Beci:
8A.Qts -PC'PD: P02 -Q0': Pfz deoarece triunghid POQ
este drcptunghi.c {fig. a).
3. lntr-un tetr.ae<1ru regulat se considerS" patru sfere congruente,
t;tngc'nte lntre ele 9i tangente ia
S[ se deterrnine raaa sferelor felcle tetraedrului. muchiei I a
irr funclie de lungirnea
tetr aedr'.riui.
Sokgie. Considerirm tetri:edrul reguiat ,4tsCD pi sferele cu centlele
in O1, O2, Or, On congruente, tangente intre elc ;i tangt':nte la {e}e}e te-
tr.irr:.d.iulLii. Frcsupuriem ci mcdul de dispruere a sferelor este cel din
fig. 3
b)-/D\ in trDiuanrgmh(iuB-iA/\ACB) :M i6: SO1 rezultd c5. m IJX4C lI:)u- n/,o
-m(BlC). ccnstanti gi deci nr( BMC) : constant5". ln
aceasti. condi,tie dac[ punctul .4 se deplascazir pe arcul f,-] c, lccut ]ui
M este arcul de cerc capabii de ungldul dc rnlsuri g0o - *qdXtl ;i
de extremitlli A gi C. Lf'
I)acir prnctul y' se cleplascazir pe a.rcui aJ,b, t".nt iui ,,l1 este arcul fig. 5
cie cReerzcuctrc'i.ipcaLbiliccceuul negs'hieiurinauelfirmne1aiilpbuync-t9el0or";cieldoer extremitirli B gi c.
doui arce.
fig. 5, adicir princtul O, este centrui sferei talgenli i;: felele tetr-aedrului
2. lntr-un semicerc cle cliametru lB se inscrie un patrulater c,erecare ,rc au vir{ul in,4 eic. Notlnd raza sfereLoi ctLv avern:
4SB5.CsDc .aFraieicPcdu: n punct arbitrar pe latura CD r;i Q pro;ectia sa pe ,4_8. or,oz - o2o3 : oso4: ()Los : o1o4 -= o2oa:2 r.
Q,i .QB - PC , FD - pgz
Sotrul,ie. trie @ (0;;t) ;i un punct f ast{el ci OI =- cl; cbse;.r.irnr cii IJ;r-cI- ru:irrr 01 cu,{, A2ct 8,0.r cu C, Oat:u D se formeazf, un tetra-
puterea punctului 1 fafii de cercul €(O:R) este p.f : ilz _ fiz :.,i ri,,,em:
edrr-r rcgrdat t)1OzOBO4 avind rrr,:chia de lungiine ?r 9i iratru tiunchiuri
*covncglriu:ien:'i,rltio.telilriaiccdi -nruolutiinOir{c.1t3tOYtsO4-
QA . {}B = pQ : 8O' * R2 - Rz -QOt ;i ,:1e pirar.Liidi reiiuiatir r.c1umul'teira-
CP'PD: pP : POa - R2 .="ii* - PA2
rrirulLti AilCD, cu u ;i cu u' - i'olu-
rit*i ",-lnuia din cele L-,atru ti'uncltiuri de pirernid5. avern egalitatea:
V : a { 4u':
34 35
ln tetraedrul ABCD de muchie I avem: repe-deD. Naricci en-ui -cmui voi, birefi? Nu mi agteptam si vl lntoarcefi aga dc
vine a crede cb
BBa:'4 i A,B:I uuo:rY! j AA, :tV+. ali cutreierat Bucegii gi ali ajuns plnl
la virful ,,Omul".
Aria [BCD] :n{t;i trz :'ry pen-truDaecceestsaidneuvicrreozid, eFmrqofnesstorraeli.eDpouarr nu vei fi vrlnd si-!i fac gi
Inlocuind I cu 2r, obfinem: matematic[.
gisit-'cuHaluic, rlaarse-ao balti, c-am zis gi eu a;a o vorb5. Nu vezi ci m.-ati
Sint ins6
inc5. neterminati? mullumit ci am rezolvat
subiectul de geometrie ce l-ai avut la admitere gi am oblinut rezultate
^' -zrsl/1 asem5.nitoare cu ale tale. Verifici., lucrarea este pe brrou.
,' :;(aria fTBCDJ arialOrOrOnl a pr@'l: .-Pentru asta rnerili felicitiri, iar cit privegte faptul c[ nu !i-ai
terminat lucrarea, [sta nu-i bai. Arn si te ajut eu, gi-!i promit cd-i fac
gi corectura cdci tirnp mai este pind ce trebuie si o depui gi dupi curn
'""")
vezi amlndoi sintern liberi.
:'Ht rr' *"4r' 4 2Ir), iar relalia dintre cele trei volurne devine - Ce bine c-ai venit. Vezi, acum tu ai picat ca o ,,mand. cereasci,";
Bucegi? Ce fac Babele, Caraimanul, Piatra
spune:mi culn a fost in
tuvz _=ztr-rVz+. r-lf/7 Arsi., ce fac ciririle pe care le-am cilcat de atttea ori, d"ar rnai ales
2Ir) ce face ,,Omul", stipinul Bucegilor; hai, zii, ci sint nertrbd5.tor si a{lu
rz {(,l,',2 4rz 4 sau cit mai multe.
V2 (t, - Brt) : 4r W(t, + 4r, f Ztr) adicd. intreb-dL.rai nuarcneasitemiunntrfiei blliiripnotur-i!sippuontderi.sEpui nddaeu,rPisrpoufenssourrei . La aceste
VZtt -zr)(t, tztr * :4rz) tr l/Tqtz { ztr f 4rz)
pentru fie-
deducem cd,:
care turist care gtie si-i asculte, dar pentru fiecare, rbspunsul este altul.
VZ(t -zr) = arl/E adic[ I -zr : zr l/ 6 ;i r : nh, Important este s5 ;tie si"-i priveascl ;i si-i asculte; iar toate astea nn
cred c[ se inva!5. Se gisesc undeva in interiorul acestei miraculoase
fiinle umane. Are fieeare sanctuarul ei cu nesternate de mare pre!.
4. Sn se arate cd. ln orice triunghi avind lungimile laturilor 6., b, c, fn acel laborator, fiecare trebuie si descoperim ;i si scoatem la lumini
avem R(b + c) > aVT;, unde ,R este raza cercului circurnscris cele mai prelioase nestemate spre a face s[ str5.luceasc5. fiinla urnanl in
In ce caz are loc egalitatea?
toat5. splendoarea ce i-a hirizit-o natura. Deci, cind egti liber, sus la
munte, Profesore ! Masivul Postivarul e aproape. Nici cind nu vei fi
singur cd.ci inci de jos, de acolo din dreapta stincii Pietreior lui Solo-
Sol,wlie. Inegalitatea din enun! rezulti din inegalitifile:
mon ,,IZVORUL MEU SIMPATIC" ili ureazS, ili va ura mereu, drunr
t')2b*tDbcsi drum bun gi buni s6-!i fie inima precum rnolcomele poteci ;i sennelele
virfuri care te agteapti... ,,Omul"? Nu ne-a ldsat si plecirncu mina goal5.
udceanlcu-eZei d)t-bgrZiuu:Rlngci?n.hecaigenaapulietdp5eocli-aaadtreeedcofluiueradgieenincmdeitgiulnaelflliiitnmametegumalateli-temraagttbdear.aluicic(.c&uluu-lnumgicgiem)i,mme>baer0auu.cndupeiarimeiirglnetauatiriurtadilutienai Cerul unei nopli feerice ne-a oferit spectacolul lui. Ana red.escnperit, lnn-
cercului circumscris acestuia. Aceastl egalitate are loc daci triunghiul preuni cu prietenul meu, majoritatea constelaliilor ;i planetelor pe care
e dreptunghic. Avem egalitate in condifia: mi le-ai ar[tat in iarna trecutd sus in Cristianul Mare, cind am rSrnas
b : c gi A :2R, adici triunghiul este dreptunghic isoscel (2 : 90'). singuri pe pirtie gi am schiat pini noaptea tlrziu in compania celor trei
ciini ciobSnegti ai stinei, ;i a unui cer senin, despre care ai spus cl este
cea mai buni carte de astronomie. Dar asta nu-i totul. Am privit stele
aga-zise cdz[toare. In nici-o noapte n-am vdzut mai multe. Picau precun
numerele neprirne din ,,Ciurul lui Eratostene". Prietenul meu a avut ideea
36
s[ trasS.m traiectoriile ace{or stele clz[toare gi s5. vecieni ce figr.rri ne vor I. INTRESANI
apare. Iati o mostrl (fig. 6), fi-am adus-o sh o interpretezi, sau pentru
a o contempla.
voi. 1-. Desenafi cu creionul pe coala voastrd" cje hirtie un -punct, iar eu
desena un punct cu creta pe tabld. RSspundeli in scris:
tab" .l1l?)" Care punct este mai urare, cel de p6 coati vcastrE sau cel de pe
pl" Care punct este mai greu, cel de pe coala vcastri sau cci de pe
tat"'iri?
o.bt'.di!n))utDIn?ecsecrncaal.ili dou5. liniulc care se iu{crsectcizd si rhspundcli rr: a}i
s5 cala.cterizafi punctul in gencral.
Iig. 6 e) Ce este punctul? triLcercali s5-l definifi.
ade-vlrallt,l,intcoitnr-rillteosrt.eVsapiieanndaidli.zall'oattecnetsr;rcceesitnei-fnigi nsrpirr-ins ig*riei.s',aiilr'lue.ifi e'sie cu pc-eusn?ecn.taeDfli_ccas,.e4ItneagifliuipnBcc.tceoainiairvcoapsrrtrndc{d'eolucd,4pquirLBci,e si notatilc cu l ;i B, apoi
ptreien,t-rau,sStierionsnttaoarmepaireo.,i?lpinae'u,'siimi5gcaueiri;lcotdir"uvdere,irumscc:leoie.arFitevion{aiin:iatretenl,ericivlir,rtcirta;uc'.linxioiiisbitk-f:r"lrtc.irrutliliidu:reirrre.qillel'flo,-ril{ilrlteell-
in{eles la <lespiiriirea noastr[. dar toatc sr {ie aiinia.ie'cu
JO a) Cite puncte pute{i desena intre punctele l Ei B? aceste puncie"
b) Dali cie
b denuriire'desen*iui.sau {igurii fr:rnraii.
t.af,ic-i)e ipluonbctleinleel,i<d;riubm.ulNcoe-l
Con.strirti u_cnloiufiir puncte, mai depdrtate decit
iele cloui puncfe astfer incit
cu c* ;i D.
niai sciirt dintre ele; crim ii rlai putem spune eicestui drirmi
di Prclungili in anbele plrfi acest drurn. Cit fl prircli pr-eJungi?
. e) cu ce
s,e aseijn:5,niL imaginca de la punctul d? Llefinili aceasti.
irn;:.gine, -sau daci nr.r o putefi defini, ponefi in cvicienfi cit mai rnulte
pitiprictif i.
f) Cite puncte putefi ccnstnri intre A;i B? Ilar inlre C;i D?
Cp$iD){?Jr:de 3;uteii cons'i.rtii inai multe puncte; intie ,4 ;i B sau intre
h) Denrorrstrati cir afn:n;rfia de la punctul g este acleviratii.
0. Pregi.tifi a coe"i5" de hirtie dirr caietui dc matematicr ri d_esenati
pc ea lxrncte ptnir ce I'eti umple toat5. eoala.
a) Cfte pirnctr,: F${cli desena?
h) Dach ;;':6lija!i grcsir::ea coalei c,:r'r ce se asearnHnl ea?
c) Crrm cltc sui:rafaia pi.nlfuttuLlli inir',o zonti cle deal?
39
g) lntre fiecare pereche de puncte se construiesc cito o in{initate
de puricie. Deci arnbele^segmente cbnlin cite o infinitate de puncte, chiar
d) Cum este suprafafa unui lac liniEtit? Dar suprafala catedrei, dar dacl rnisura lor nu este aceeagi.
suprifal" tavanulu^i? lnbercali si definili aceste suprafefe, iar daci nu h) Unim printr'o dreaptl'punctul zin{.t-cilunipiunnpcutunlcCtu-lqOi-pu(nvcetzuil--f.i"gB.
reugili da le definili gisifi-le blt rnai multe proprietdli caracteristice. cu D. jdurreupi tpeulencCt,u,alu;ii BD se vor AC. Ea va parcurge deodatl
9). p-Rutorctitmul ln O dreapta
c) Flanul are margini?
0
f) Gite drepte puteli duce intr-un plan?
tig. I
g; lttt.tr.dtali'doui plane oarecar6 gi spunefi ce este interseclia lor?
[) o"p definifia dreftei, folosindu-v[ de observafia ce v-o sugereazi
-puni)ctuClttg;. puncte puteli construi pe o dreapt[?
j) Cit de latl este o dreaptS.?
k) Ctt de lungl este o dreaPtS.?
segmentele AB gi CD intilnind in mod simultan citgun punct de pe seg-
nlninri6teanttsueelgdAmeBenpSiauilnccAftteeB.utnotp- uantitcetadevapecosnelginmeengtiusl eCgDm.eDnteucl ic-cDite, puncte con-
adici o
infi-
II. RASPUNSURI B. a) OOCnudinoufiiarsrtuidtpa, rtieaafadfloel rimnPtuainncsdt6ee.a, lunleuti.edi,
b)
c) pland.
1. a) Punctele nu au dimensiung. d) Sint suprafele lntinse, netede, plane.
b) Punctele nu au greutate.
c) Am oblinut un Punct. Se nur4eqte suprafali planS partea comuni ce posedi o aceeaqi pro-
d) Functdt, indifertent unde prietate a dou5" refiuni veCine ate spaliului lnconjuritor. Exgmplele de ]a
lndiferent cu ce instrument este este folosit (-carree.ioons,emcenrinfiecaallile, precisll ' |'unctuel)dPnlaendualuesoteidoeesuapprrao{ax!i6maalteivcl idreesipdrgimoenssuipurnai.fsal!n[ tPiJnafpina.ite. Pre-
construit carioca,
cret5. etc.) punctul euclidian nu are dimensiune, nici greutate.l nu existd. cum dreapta nu are ca;aeie, ni'ci planul nu are margini. Noi putem re-
tabl[ sau pe caiet numai porliuni
nici un ci'iteriu de clasificare a punctelor in puncte foarte importante prezenta Oie infinitate de drepte. de plan (vezi fig' 10).
sau mai pulin importante indiferent de semnificalia lor.
f)
e) Inter'secfia- a doul drepte determin[ punctul. g) Interseclia a doui plane este o dreaptl (vezi fig. 11)'
2. a) O infinitate de Puncte.
(r'ezi fig' 7).
U) S-a format un gi? de puncte
cj Segment de dreaptd. sau distanla dintre cele doul puncte (vezi
fig- . 8')d. ) Drumul se poate prelungi la infinit in ambele sensuri. El nu
are capete.
e) Imaginea obfinutl la punctul d este o ljnie dreaptl.. Aceeagi *, A, rr 'r
imagine ne-o Jugereazi ;i o razl.de soare pi"trunde spre noi prin cripi-
ce ' *t' lo t^
tura unui nor.
f) lntre punctele A gi B putem construi o infinitate de puncte,
iar intre punctele C qi D putem construi tot o infinitate de puncte.
ffirs-s B-.' fig, 10
fig. 7 fig, 8
,41
40
h) Linia dreaptS. este intersecfia a doui plane rtnni-uia'tciii;oCilaanpi:rescnrzliainma.tial arc.ncieuifcliterccvgirrereemuvttirSir:i{sict1i.a;elr;enitaranvreecaeuniescvaporiircleitlunelcieaspspcesuctfuiiftid,cieuGlde-eeori.ncteCi.terr,ieeadtalrcuei'i
tr g"rr"r.,l rrrri vizut c5. ceea ce pai'e evident unri lnccpdtql, nu satisface
i) O infinitate de puncte. rnate.matiel,-c11 capcancle latririn-
j) Dreapta nlr are lifime.
1ui il scoate }a trumin5, nicicurnle-
k) Lungimea dreptei este infinitl. Ea nu are capete. ipiiit"i tinui crn de1,,rins cu glfdirea
diu care nuriiai ir*gcnic,zitatea
Sper si nu te superi, Profesore, ci am at gi rispunsuriie la lntrebiri. tiilui ei
Unele rispunsuri nu pot fi concepute 9i exprimate mai riguros deoarece ger:clarul {ir aL Ariadnei.
I)aci in vcdr;rea inuu;irii nofirrnilor {nnd.anentale se g5st.-sc metode
elementele la care se referS. sint elenente ce le numim primare. Consider si ingcnioase de sesizare a llnol subtilitifi dc demcnstrafie, Geo-
vistr:iie ftccesibiid, clreia' orice cititor ii poate
cd esLe foarte interesant sir urmire$ti evolufia elevilor care au dat r[s- mctria fui Euclid devine o c,per5.
punsuri foarte bune, cit mai riguroJ forrnulate, ;i a celor ce au dat r5.s-
rlescoucri ceie mai ai( ltilse taine.
pdnsuri aproximative sau parlial corecte. Vei sesiza deca,laje privind
lnsugirea obiectului geometrie inc5" din startul procesului de invLfare,
decalaje pentru care arn auzit c5. posedali mr.rltiple metode spre a le in- rfiinetoiotiomisrterr"'ttartiqeniiii.1i'"uv"lta'eredlr:cu"s,ieeccoa*pcic"l'ilir'iiu,Iga'cai1ntaerfalneputruiiiulcifcicu[inefebnjrtsiittuiIinn'e{ncct.frcuIrnl clai,rci'c:rvcs''soctpnseacrlnirseq,ai 'astamuinsinefitlnceu'srrtc,
uaisacicinosaccntttcl t,iatrtrrrera-xcimfo-crtut al l'cel,cpculasclEsi iinnitrireptgic;ari.dlcu,).podtesatasilr;inliiloarceolaeispfioenedllcuniati
lltura. Si acum mirturisegte, Profesore, consideri cI" este demn de ana-
dintrc noi,
llaiizaoalebt i;e-icdtupeluulnui cact,toridin<r;erseaetpaptmiin,i5pa.lcaleanstfionprcrroencaperlsnedaaldiicenoalangcifneoiprimtiunaatuliinzitiiirvliiieai,rlnlpadugerinesixlpoisartefsinapfal5i,-. a) Audiind expuuel-ea verbalii a reeoh'f,rii rlnci probleme, ve,i infe-
imagine controlatii conceptual ;i inserabill depiin intr-un rafionarnent
le'g- ebd) e"s!'pizrierr,c,ler(rr:zsotch'av.cil{L,:.arap. e tab15, voi reline pentru un timp modul de
logico-propozi!ional ?
cea m- aDi ogrreeagtpi esdde.-a!ipdsa[ udauc5n" respllns la aceasti intrebare? Iatir-l: Ar fi rezolYafe"
m-ai pune sir caut a g[si micar o persoanf,
c) E{ectriirid grers;onal rczclt'atea, r'oi lnr'[!a
din breasla noastr6 care te-ar contrazice. Vorbc;ti ca urtul care ai pirtimit. acelagi {ip sau a:,Fnlultoarc cu ccff. i"czolr'atl 9i, s[ rezol.n' problenre de
in final, voi reugi si re-
S-ar piirea ci ai fost rinul din subieclii testS.rilor despre care nii-ai vor-
bit gi despre care vom mai vorbi, irrsi, spirit iscoditor curn qti, sint sigur zoh, noi liptiri rie piobj'ln e-
cd te-ai l5.sat singur supus propriilor intrebiri care te-au friimintat si lnvifarea presu|irne ef,tr+" pmtru a. infeltlge, rcline si.destcrperi
aie"*5rul p'e bazl de fir!-ir,Duuicnte logi_cc incluctive. gi deductive, ,si un
cS"rora le-ai glsit cele rnai riguroasc rbspunsuri. Ct' s5.-!i mai spun eu decit mare efort pr"r:"tru e'.;lir:iircl,. adevii'urilor descopelite'
* ei tre-
pcc5ari.rm,efiadr5eav,;iasn5e"-nfoeoadgrte[eronmneesaetgraireSm"anp,uerpnnicatrSiup.tecrieifmiocaafiadrecdinendohiiurntnineeno;eiripf-aecterdarandciifniiofrenndlae. l;pai.otBtaabezix5a-. sLIlerrc{t'l!i:leozlirIna1d-,cc:a;cncu,pne:iiliereaacaic<viierrvu[rriuplurci,ciIz)eatsecaarrtnctsr:lr-iosrr.slinca
buie
intuitiv[ constituitl uneori din citeva exemplificlri cu referii'i 1a obiectele
din clasir {fafa tablei, a mesei, forrna sobei, uruchia dupir care se imbinl
doi pei'eli etc.) este ;-r,rbredi gi neconvrngl.toare pentru lncepS.tori. Se Perrtru aceaslii eL a fixat patr:rr reguli pe ca.re, cu vcia ta, le reproduc:
trece apoi cu u;rrrin{l la clc.sen spre a rir.mine aproape exclusiv la acesta, ,,Si r:tl accop{i piciodatii un lucru a.devlrat, dac5 nu ]-;ri cunoscut
Axarea insqirii geometriei aproape in exctru:;ivitate pe desen face ca cei ?n n,ud evidcr,t,'riclicii:i nu existe nici tiii plilej ca. s5 tc indoiesti ele el.
interesali si ajungS" {carte greu s5. st[pineascS. ;i si" opereze cu conceptele inrperli ciriirriitiiilc ir,L nirlr rnuile pirJi, rtitea citt'.s$nt ca
$:\ s:l po.ti {i re;z+lvaic. S5-ti condu.ci gfndurile in oicline, i^nl]ceecepstnalde de
ei fundarnentale. el*
telo-r Recunoagte, Profesore, cir cu cit inainllm ln studiul fundamen- r .llesoait;t,I?ery' (i59G'*1650), nraterriat.ician si filozof Iraneez. Cerc,etirile
geornetriei cdlitoria noastrf, prin labirintul
este tot mai captivantS.. geometriei euclidiene 'rhn;lnui;iaai,;cd;ttrr;dacau;D.o;r"cflntcicn'aatlDiad-iroolptiet,.er"oiirriztmzinei.iii1c,ti{jiii,clv'ior"ucrreitniiiier.'LJrs.Dtlit,'ieits,riiroA,ntc,cce';'a!rldg:r:v'rdtheaelen!n,tsitulucitevlorretse'ljcdiitonfleiieninntnirlrtetritiidti6nrrueeiladtonaeltcri'e,rt1cetiir'relanoetdid.raqtenfbt.orgtmirerrlaeio$mui f.srigaiiirctetc'eiluocuzd"enpoe.trrlg'hveAiVvCtatir.itorrii-sneeev(ttieiacroloaasadednarelcunciusmuscliaFctaii{taocleatexiuelre,or,nrblnteareca.imso.ndd4're.dreeArrcdmuog{laodonralrrlodecdseodpui--e:t'tl;l'
n-am- Este amice, cum si nu ,,fie". Este ;i grea aceasti cliS"torie, de ce poartil nrimele, c!t';;i s, sirie dc alte ccrcctdriienn.arcab'ile ciin domeniul matema*
recunoagte, numai cI" pentru asta
s-ar p5.rea c5., mornentan, sin- iicitrc'r qi lurriri .le iilczr,{rc a gtirntei
tem bine echipafi, mai departe vom vedea. Geometria lui Euclid nu este
,chiar a;a simplS. cum pare la prima vedere. Ea rezumi activitatea mate-
matici a zeci de inv[!a1i ai timpului s5"u, iar opera ce a creat-o este rodul
muncii lui de o via!5.. Probabil c5. din cauzL c5, a fost scrisil pentru anu-
43
42
la cele s.iry{e. c[tre c-ele compLexe. si faci enumerlri cit mai complete urmlrim structura strategiei mintale implicatS. de procesul de glndire
;'i recapitullri generale ca sd.-nu uifi nimic".
rimlne surprins dacd la cele p-daetloruc ln rez,olvarea unei probleme, se constatd. urmltoarele etape logice care
-;- Sint siqrir. Profesore, c5. nu riei ernisi de Eminescu,
reguli ernise de Descartes adaug pe a cincea conduc la glsirea solufiei:
a) selectarea muilimii cupiajelor, respectiv, a perechilor de date 9i
rnatematician, dar cu certitudine, u,n,otmrautal dt edpeiignimanlacsuticitdu.,riicirofimclnAdnee"x:e-r- relafii pe care le impune raliunea rezolvirii problemei.
,,Nici un om nu se lntlre.gte citind
cifii;.nici un.om nu.inva{l a jud,eca citind judec[file scrise gatade alfii, cnd' eefrruUeccco)i;hmcd$iuel.eepdprbu.ls*azcptijeafeirebietneiaiciataseorcr.peebe-/psurutalaltfabieeinlvietae-glitu'ecaierciloeiorgreeiisimzpduopelntlacdicnoeltnmeflaiipe, 6ordeazesrilepileaecc-utcipvuc,lpaa-lreujela-ls-abeforiaereapczraeluircalteia,lfendiegtiani-i
ci judecind singur gi dtnduqi singur seama-de natura lucruiiloi-".
- Ged c5- imbinind cele trei idei despre care am afirmat c[ statrilesc
corespondenfa lntre efort pi asimilare, cu cele patru reguli emise de Des-
cartes, neuitindtr-i nici pe Eminescu, putem spune c[. sintem pregi.tili lui, pentru fiecare din perechile stabilite.
si desbatem in csntinuare citeva probleme apiitative, care si. contr.lreze
gi s5" fixeze cu certitudine adeviruriie referito#e la elernentele fundamen- dJ ordonarea cuplajelor tntr-o succesiune convergentl spre rispunsul
tale cu ca.re operreazl Geoqretria lui Euclid, nofiuni pe care le lntilnim la latrebarea problemei.
Acest ansambiu de strategii logice la care este angajat orice subiect
ln manualele noastre de geometrie. Totodati, cred c[ ir fi foarte necesar tn rezoLvarea unei probleme solicit[ gindirea, angajeazi imaginafia crea-
s[ lncercSrn sa^trndm unele nnetod.e care sx ne ajute sd. depipim greuttrlile toare, care este solicitatl s[ reflecteze succesiv -- tn prima etap5. asll-
cu care ne confruntim in asirnilarea cunogtinfelor de geomedrie previ.zirte
de p*rogSraeranaprpoebnl,trudecsiicgluurl, gimnazial gi liceal. pra tdturor datelor din enun!, ca apoi revenind asupra uneil-din ele sl-i
iaute nnulfimea restului de date, sh-i caute perechea, stabilind in acest
cd doar nu intimplS.tor arnlnd.oi arn fost de
acord cu dictonul : ,,rezolv, iavf,!", deci, s[ rezolvSm. Ce anume ? probleme; fel datele primului cuplu, din sisternul de rer,olvare.
clRrucemen6grteDldzeoslccv.aEur-tmceesl.oe_bpseriorn1bpcleoielnrdd_.,c?5S-.dtCr.erueczecole.levllnm"mcaepipercomobrnlerpemlzeoexl.ev,IaJrage9baar?dcFellrrla!i.pirnroectreainte,vtadapiferl Grt eite c5. ln prima etap5. de angajare a subiectului ln procesul de
trecem problema ln procesul de rezolvarel cred ci trebuie conceputt'o rezolvare a unei prbbleme, infelegerea corectS. a conlinutului problemei
gi experienfa ajutl s[ ssttaabbiilliereaascci udpalatejelelocr ugpi lduelusic.oPpeeri-rmealsruerziuclteanse-
se
acumuleazi' experienfd.
in
telor lor, rezolvitorul trece pe un alt plan de gindire, angajtndu-se in
sctremi., poate chiar un ghid general valabil, care s5. vind. in sprijinui celor etapa ururitoare, prin care lncearc5. s[ determine gi str elaboreze-opera-
interesafi.
liile rezolvitoare gi, ln final, legile ce urmeazl si fie aplicate fieclrui
cDeavra-parosPebrorlenpmSu.enalefelrteosartn-imt acitaiptraedreesdiinivtneeerrseessapinnrctilji.itnSceui ipnrezreenztdo.lmvaroeascphreomtrlei m- elsoaru. iuplu pentru oblinerea rezultantei. Aici, analiza qi sinteza sint de neln-
locuit. ?rin sintel[, sensul opera]iei de gtndire oste orientat de la cuplu
toati. stridania-noastri, nu spre reeultanti, iar prin analizi, de la rezultantl spre cuplul care o de-
crezi c6, ar retuza s5. intre in gablonul schernei?
t6rmind. Daci rezol',ritorul nu aplici sistematie gi intr-un echilibru logic
Ectaoarrernra-iulngNttcrneuudbcdiurreiieeizdvl,sno5Pl.tgraaoerifebneasieoragraellltn,l-dfisiintr9riduiiccma6tul"atcrutSeen.rvandaaeetescicstieettea;aicsnebcehlsoaepnmdeuecaliaal-la,in;cciavarlnreleaicnmiupdcea.ucrgeedlniendizinemvstoecilc.-- cele douir forme de examinare a problemei, nu se realizeazi nici dezvol-
tarea flexibrilitetii gindirii, nici ?eprinderea unui sistem organizat de
rezoivarc. a problornei implicl in
la cuplu
resafi sd, stea de asybd cw orice problemd,;i nu cred ci exagerez-dacf, afirm Altcrnarea celor doul forme de examinare sensuri: de li
ci problema de rgzolvat poate fi chiar pi de alt5. naturd. decit matematicl. acelaqi timp pendularea tn gindire a
celor doul
rezultanti !i de la rezultanti Ia cuplu, gi astfel scopul pentru care rezol-
Am constatat c5, daci gtim sri std.on d,e wrbd. cu probl,erna, ea ne spune cwm
vim probleme va fi rnai bine slujit, iar fiecare problemi oriclt-de modesti
osd. rczolud.m. se va transforma lntr-o incifrat5. tainl"; aceea a profundei gtndiri mate-
* M1rturisesc cu sinceritate cd. slnt pllcut su.rprins de ideea ce o
Lansezi: ,d.acd. Stim xrt std.w de vorbd. cw piobl,oma, ai ne spwne cemt, sd, o rnatice.
dragul meu, decit ci n-a mai
arczt-oitlv-dt..inmoS"pu,scefislnttecn5cu.uesasltdneetevfxiixraaacttteoaqisdater;uedciantuceridilievthrep;irioidctieesamerglnouirrdnloeegnrietceelzin.au$lte.tisi tbrainteegiceii. sau,-rmC.aei bsini-6!ziiss,pudne rlmas nimic de spus
ad[ugat. Un puternic impuls
m[ indeamni si fac
ceva s[ rnl reabilitez lntr-un fel, poate, incercind s[ prezint rezolvarea
unei probleme dup[ modelul expus de tine, model ce-mi pare extrem de
mintale ce- angajeazl gindirea ln procesul rezolvf,rii unei probleme, nu orgariizat, gi caref in rnod sigur ne introduce in intimitatea problemei gi
s€ vor glsi nici cele mai adecvatg solufii gi metode de rezblvare. Dac[
cu adevlrat ne tndeamne - a9a cum te exprimi - sd std,m d,c oorbd cu
41 45
prablerna. Sfnt sigur ci. nu gre+esc daci fac afirmalia c5" marele nostiu steozlulD.licaebci,lnipcsoeuzppi{eriailpesuicnaeeplmorrrftiirgedueiropaaur1neZccetceuasfmitgnuot rbdaiain1teu3t--ufanocbnefioninuempmuefnnigcliuturnDaea1:4d9dininidBipeCeoa,-
rraternatician gi poet Dan Barbilianr (icn tsarbu) avea talentul de a
sintaodri,ceevopvrbodblcewmpSrr.fila,ecneol eglelir"Eurirnteumaiami aasritifegl iinmdiirierxnpalitcenrieauti;cieta. lrri d,e a pirne punct care este de o impcrtanfS. fundamentall. Pentru ca distanla BB'
ili recomanC o apanlie editoriali. rie uitimi si fie egall cu clistanf a CC' va trebui ca triunghir\ule BB'D;i CC'D s[ fie
Ba"rbilian -- Iori Ba.ibu editura Ill atest se:;s congruente. Condifia este indeplinitS. cind dreapta d trece prin mijlocul
Aibatrcs, icnaerdeit,eirdieplil*asn"
arva: Pag'it't,i segmentului BC.
1981, carte Froblema fiind rezolvatl cu rnijloacele noastre proprii, putem spune
c5. am flcut o desccperire. Dupi ce am rezolvat o problemi, deci am fdcut
tscci5atee..rer5ega",i.czstiialn"[ ssvlenpljnclirraeniatruficinaliumteci"d;ae-rsiavaorgclius$5slmi.aiinptgceirh-eaaezviiicneantxctupeprairaionsbtirainilctar,n,irisl:zLaSeo"lrratasgpcftia}iermriet*e-iclsrclei-niaictvnii,o;,llSir'nobtenrltctdarici:l,irmi-'.;rrf('.i';:r,l,ret.;i"'r--;
l. Fie A, B, C, trei puncte necoliniare ak: planrilui. Sii sc ccns'.'.:
iascS o dreaptl tl prin punct-*tr A care s[ treacir irrintre pilnctele E ;i C
ia distanff, egaiir de eie.
R-ezolvsre
a) Care sint datele problernei? Pu.nctele A"B,C irecoliniere .
b) Care este necunoscuta? Dreapta d.
c) Ce ccndilie i se pune dre;rtei d? tr)reapi.a dtrebuie sir teraci. p:-in
p-crnctul :1 gi prinire punctele A gi C le r-listaniS egirli de aceste dcu[
'DunInctcee. rcXm sti r-eprezentini ncei:criunnfeciscpuicthale9:ineclrat{e..t'rcezipfri'grb. iei2:)r.rei, de,:e- fig
ca.re si rX"spuncli
nind o figurl
Figura are ihept surs5" rie insixr::iit: deiinilia cli:riirrilei etre la ua p',rnci o descoperire - chiar gi una miri modcsti - rlu trebuie si omitern si
la o d.:"1:r.lti- ;i obscrvX.rn ci sirt- Sruse in eviden{ri u*ghiurile dreptc ce st indiriiui ei. Trebuie
cercetim dac5 nu cumva se mai ascunde gi altceva
s5. ne punem cel pulin intrcbarea:
Putem folosi metoda s:ru rezultatul la o alti problernS"? Nu trebuie
-q pierduti ;ansa de a exploata succesul obfinut, fie el cit de mic.
\*'*ut ciipa- Si3ur c5. da. Nu trebuie pierdut5" Fansa. ,,S5. nu pierdern clipa"'
ln care fi-a aplrut ideea ce-!i ofer; o gansl ce poate fi unicl. ],Iu tre-
Iis. ii.i buie pierduti gansa, sau posibilitllile ce ni le deschide noul rezultat al
forrleazir. Probleina lncl nu este rezolvat5, ia.r figura nu" spiine ri:.ar"e unei probleme. Putem crea u;or probleme noi, dacl sinteur familiarizali
cu'met,odele principale ce
ne pot permite s[ modificdm o problemi
lucru, dar ceva totugi spune. I)eci uil pas cit dc rnic tot;rrn fiir:rrt. Obser- adicl: analogia, generalizalea, particulartzarea, descompunerea 9i re-
compunerea etc. Nu este ugor si compunem o pr,)bLeml noui care s5" fie
r.'5m c5. cireapta ce trece prin C ilu e-"i.q: suficienj: lega-tir *dedc.elarteciee probk:-
adicf, de punctele A, B gi C. Trebrrie adlugat cevir. anu;r't? ;i accesibil5 ;i interesantl, si. fie intr-un cuvint o problemi bunf,.
mei,
d) Ce s-ar rirai putea deduce din dzrtele problemei? Se pale ei nu am
ainmgr-rmupiAtuiirsdi.preeDcpaiteact[-ea. rcUnongmdleesvsitatibuainimea,cdteirtesitbigucuiierp-sroi bacleui.muoteimlternbsauittneuenrlfgi,iicncoiujmpuerurncci55ie.: de o
fclosit suficient punctele 13 $ C ^ ?n generai, Ce pu.tem face cu dcuir punctc?
cresc
I-e pttern rini ii astfel oblinem figura 13. avem
L Barbilian, Dan c(u1f3p9r5eo-cu1p9S6,1ri),rermenaurcnaiibtiirencaate;msatuticdiiai nasguippraoemterborirzr;S"u.n'i ,sanse foarte mari s[ mai g5.sim ;i altele.
doctor in rnatematici maximS" cu plobleme ;i ciupelci' Slnt sigur
unor mulfimi (spafii Barbilian),-teor:ia grupurilor si a structurilor ;rlgebr.lce, a-i Interesantl aceastl tot aga de sigur c5. ai;i gisit; desigur in pri-
teoria aritmetici, a idealelor etc. Opera sa cuprinde peste tr00 do lucriri public:tte' ci
citit aFa ceva, qi sint
Este eunsscat ;i sub psendoninrril lon lJarbn (ca poet). urul rind probleme gi apoi dece nu ;i ciupo.rci.
{16 47
tor -al mPoeactaencis[mnu-alumi mfoasttempraetaicecxaprleicipt.oMat-eamfi referit la elementul crea- de agefgi fel, ce foloase ne adue ? una ne este suficient[. rmportant este
la dispozilia imaginaliei
noastre. De exemplu, plecind de la teorema lui Pitagora se pot scoate s5."ciut[m gi vom gisi pr.obleme de alt gen. S-ar pd.rea ci eiemplul dat
referitor la teorema lui Pitagora nu prea a adus noutd{i, ci numii
o serie de variante noi ale acestei teoreme, adic[: varie-
tate pe aceeagi temd. Bunili ea, dir nu foarte.
:c.2 b2 f c2 (notafiile sint cele cunoscute). Imi place c5" epti pretenlios gi e drcpt si fii. pe
vom- gisi ca gi ptni acuma destule nout5"!1. parcurs cred cd.
Imaginlndu-ne pitrate construite pe iaturile triunghiului dreptunghic, _ De aceea ili propun si mai analizdm citeva probleme, fns[ nu inainte
teorema se interpreteazl geometric astfel: suprafala pS.tratului construit de a-face o prJv-rre retrospectivS. asupra modafita1ii de rezorvare a unei
pe ipotenuzir este egal[ cu suma suprafelelor p[tratelor construite pe probleme, modalitate care ta stim
catete (notafiile slnt cele cunoscute). Teorema enunfatl ln acest fel nu dac5. linem seama de ideea inedit5,,si"
oste prezentatd in toati generalitatea ei, deoarece orice figuri plane ase- de vorbi cu problema" ea s-ar prezenta astfel:
menea, construite pe laturile unui triunghi dreptunghic, se comportS. ln a) Ng plrlduim si infelegem
C^e problema. Ce spune problema?
acelagi mod. este dat? Ce trcbuie aflat?
f-olobsi)ndCuiu-ntnemdecarelelaaliidlee-ladn]netcruenoascceusttleala. dsaintetlespurfoicbielenmteeid-a,tpelneaplieznyt/ru-,a
De exemplu: determina necunoscuta? Se poate da problemei o a1t[ formuftre? Ce
1) Suprafala triunghiului echilateral constrpit pe ipotenuzd este propozifii,maternatice apereazl. cu datele problemei?
c) Realizlm ideea solufiei *,,sintez|"
egald. cu suma suprafelelor triu.nghiurilor echilaterale construite pe ca- ce Aamplicciomncecpuuct ocreucctiltaur{iitnaetepflgiepcoazreiliipleas..gi rela}iile matematice dupi
d) Verificlm rezultatul. Este el plauzibil? Mai existl altl catre care
tete. si ducl la acelagi rezultat? Ce aite rezuitate se mai pot obfine pe aceeagi
cale? Putem deduce ceva util din rezultatul oblinuti Acest'ea fiind spus6,
2) Suprafafa poligonului regulat, ar4ind n Iatrri, construit pe ipote- iatH. problemele la care m-am glndit:
nuzl este. egalil cu suma suprafelelor poligoanetror regulate, avind *r'la- 2. S[ se construiasc5. un patrulat-er clnd se dau cele patru laturi,
turi, construite pe catete b, c, d gi unghirll oc format de laturile opuse a ;i
d., c.
B) La limiti putem spune ci: suprafala cercului construit pe ipo- Citeva llmuriri slnt necesare gi anumellaturile
a, b, c si d se succed
tenuzi, ca diarnetru, este egall cu suma suprafefelor cercurilor coastruitc
pe catete, ca diametru.
Sd construim, de exemplu, trei sfere respectiv pe laturile triunghiu-
lui dreptunghic avlndu-le drept diametru;i s5. calculim suprafelele aces-
tor sfere. Yom avea:
S, : 4 "(\!2l' ) : rcitz; So :Tcbzi Sc: rc2. una dupl alta, iar unghiut ot nu este unghi al patrulaterului.
Si evaludm:
Rezolaara. 1) slnt su{iciente datele pentru determinarea necunoscutei?
So : Sa * S"J :r,sz : fibz + nczi naz : ra(b'* c2) ; Este evident cl cele patru laturi articulate formeazd" un patrulater
de unde rezultl cd.; So: Sa * S.. deformabil deci nu aarteunfocrimp5a.trduelatetermruinl aatr5.fiDdaectei rumniunal td. in iele
patru
unghiuri ar fi fixat
2) Cum g5"sim acest un$hi?
Deci: Suprafala sferei construiti pe ipotenuz[ ca diametru este egald Desen5m..{igura 15 a, dar nu este destul de edificatoare, gine ajuti
cu $lma suprafelelor sferelor construite pe catete, ca diametru. prea pulin. Totugi este un pas.
Putem imagina lucruri ;i mai complicate ca elipsoizi construili pe d-atePleozpilirao-bulnegmhelui lugii dIepc.ai"Jterenbeufeiericfiot,loasleit.asl. Acest unghi face parte din
laturile triunghiului dreptunghic etc. Cum il folosim? Unde ii construim spre a ne fi de folos? Construim
Dar-nicEi smteaxinimtearescaunctiuEpieerxceilempgliunl icdiaet xreemfepriltuol rnlua teorema lui Pitagora' figura 15 b, in _care unghiul a este formalt de latura a gi de o paralel5 la
mi satisfac pe deplin. opus[ printr-o extremitate a laturii a. Figura par-e mai pro-
Iati. de ce: Spui ci problemele bune gi ciupercile au o tr5.s5.tur5. comuni: 1"1]1I." c dusn
cresc ln ggreuspim. Dlnacjui ar;mi gisit una, trebuie si ciutim Dcda. acvieamm;agn[sseit foarte mi![toare, deoarece datele problemei incep si se imbine ma'i bine. De^ce?
o ciu- Str vedem:
mari si altele. Este foarte adevirat.
percl, ciutind ln jur'vom gdsi in mod sigur gi aite- ciuperci; dar-atentie pcrein--Bls)pinuUttneregmhei,lueclo(rnf.isgat.rreu1i5g,abdn)se.aoSadereevcaaefcaaocvneespmtrauriltaetrtiudurinnilgterh-uiaunl triunghi convenabil
gi c
i5. ele vor fi de acelagi fel. Ciupercile ne vor fi de folos, dar problemelor Adieulantguhriiudl acteu:-
PNQ
48 49
.s'Poil"{ciCu.tetb.atiscmitie,acali's,dtd(aecifapieczali,lttlsrupeLalaJlset'e.eaL-sgr,tuie.lvcdeooezbsinlifsignitguiuur'tc,tir'5leiIacIc'ep)Pr.adQTararRidlu,eenlionIgagdhrcfiaiupgmlluindrueailnuqltif5eidgaceuo1rlaaanftd1iugi5rfuiiic.rl,cabodldE5aai t.tebcf,,.' Sigur c5" din idei oricit de mici este posibil sd. construim una rnare,
<ieci riu.trebuie. neglijate, tnsi trebuie .i pierderr
Aceast[ trecere re-prezintl momentul descoperirii 9i exact ;rcc.sl inoment pri.ntre idei de insenrn5-ta.te ininorli. ".'"* grije ii ;;;.
*rt" lA mai important. Aga cum i!i spuncam, descoper-ir'il.c r-iricit de mici l;^ndioaSrnouglrtu:iiilniitaefer.rdneAes9icaporpc-oei"lid.nieruir:d:eeesptfeaeapcttheeiapmruanlitepesuinriatiteidcvieecicasndafiui:Lvdfiac--rlpe'-tiaefcirucmeraostiltaairuncpeiaoortbaafanzact:.i
ar fi, rimin totugi descoperiri. Referilor la variantcle oir!inute Irr teorema c5. tncepind prin a descoperi sclulii iun,r,iriliiepuatseemlnean.ejuang1e,*::ier.nCipclsec.c-perim
trui pitagora, chiir dac[ nu sint d.escoperiri mari, ele au importanli mare fa,pte
p.trtto lncepltori gi poate chiirr pen^tru cei ce sint ceva mai avansafi. inari. Istoria rnatemati,.:ii ne d[
Probleran airtei-ioari este cu. acievilra.t o crcblem:i interesantd, o
b nrcblem5. r]e d.escopeiire a; puiiea zice. In acee:rEi idee sint neri,bcil-tc,r
c sd.-!i ascult iir ccntinrralc exempleie ce ic-ai pregitit.
d 3J. AnIIrr ;l-ieclziz,,?r,.ti caL p:rr-rintil;:'e tiicotiriunirliee fundiaammeennttaale cu care cpereazi
gecmetria intiLniinmr purunrcitluull., dcirreeaa';p,1l-;a1 qi plangui. Alegelti din fqr:;rrrnlnii.Irile cee
r:rmeazd., pe acelca cmna: ruec-hcia-rpuin'ireni iscciitnddinuuarriii clar no!fuiile r:reniir;nate :
(trasf, la riudea) cii rnai lungir-
a) il,{arginesa o;q.ar.u
b) Virfi.ii unui ac.
c) Fa[a unei plan;ete fo;rrte mari.
ri) Col1ul asculit a.l catedrei.
e) O siruruli!5. foaite bine lntinsl.
f) O ctmpie intinsl cri ctreniveLlri.
g) Fafa unrli lac linigtit.
h) Raza de iuminl ce ajunge la noi prin spiriura unui nor"
. i) Traiectoria unei pietre arirncati. orizontal dintr-un punct fix de pr
1) rrr\lhf
j) Fala tablei.
k) Virf*i unrii creion bine asculit.
7-- a/ -/ I) -'lcopc,'i;ul ut-i"i cnpf'lc.
,/\'/\ \MZ-P=----!- pe *-- f-niri:i;::ie:i esie bine p''ril*r*Xt-:c,l,aArte..gi e' li clin fci:mul.irile ce urrneaz6,
eielea care e-xpr.ir-i'ii. tif
Iaii-lc;
b a.);eilu);nhc)tu; lpel:lsn':i--erl-rie:ry,cr',erzzei:nitialet ,ir;)l; si;r.rr{iiie b); k); dreapta in situa{iiXe
S); i).
frg. 15 liispiln:,ru.rile sirrt desirgr"li ccreiie ;i exorirnatr: clar. Am gisit
variantele oblinute sint a;a curn spui ,,ci.ipelci de aceea;i speci.e"., i.rtercsantii ;i nrrn5.toarea problenili:
4. Sc da:l punciele A, E, C;i D. ptiind cL sint
dar faptul c[ le-ai gisit este foarte irnportani, ;i in plus, nu toate stnt iitlevi".iate simultan prr:przi{iiie: }i A l--f1.I,:liil+zrtCi u, 'Cr ric_;ce 2) Prin doriX
la fei. iJnele sint mii mici, aiiele mai mari, poate mai frumoase mai or- == D.
tpriiin:u:err.l-cccteLnInrcpitnlrii-csi.atipaiC:o:leiez:tvievf5ioirtit,r'eCpcfriec:biorlreDtsi:ln:ilragi:a{.u-sere5es"qatii:rcnLsineLlitaiib..:pcr,de:t;isie-apl9nrn;'i.ln,rniiii.LrtcerCrlaneraedCiCeucnlpiaiu.cDnc.l-tcleioucicnoscinirdfii,rreniadamarti,e1;.r.n-
donate, etc" ln matematic[ nu se ;tie cind ;i cll.ln, c, idee de interes mai
bazr unui erlificiu
rnic sau mai rnare, poate deveni un monument, sau
rnire!. l)ese:rril. qe se re.lUzeazl es'c i'rdicat tie i.igilra 16. Cbuvelfia <1in t]ese;:
rplArerp--tticaitcOea,blsneeuurvlrueicg.5rS.eptte.u-Mnamapiiroctibacsmicerasv,ucfpi[iinraadi tca, vlPuartmogfeirnsijdeooreis,[s-id!niateiremif,iiccnoudnmcv.[isn-mqairi-csaipiupdnaaert,- rte araiii ci punctele A, !1 , C,I-,t silt puncte rrr:irsiyrlix1.. I)esellitr jnchi:ie
o poiJiune diri 6r]611.
tca leului, vrei ori nu, ea este Ia minc.
50 l'r l.
6. I\[, ]/, P sint puncte. Aritafi cite drepte d--if-e--r-it-e- -s-e r@t construi
care s5. indcplineascf, condilia W Q ar. Wel
n'C.ua.mtse.ei Rlpmueanztcuetletlcoccondls.in.tpriuagrineoc. tseilneghul,ri_Nd,repa^patpi acrafilne
trece prin cele trei puncte
aceleel.gi d;;pt" Fi
l: ;;
7. A'B'c'D,E sint punctedistinctece rndeplinesccondifia cd ori-
care trei nu sint cohnrare.
Enumerafi dreptele distincte determinate de cele cinci puncte.
fig. 16 *urndR"dr5s'fnm, trse.splbemctindincoearcnaums1i,lt_ieorrcdpinreezceenstiimmplii.fiqctdr.-uonpudei"sgei"n (g"i.raipriogi.siislle.
Vom avea:
formA-mAa.tiidgdraien;'iptt,rtelptire,di,nref-ipugtreumracaareere,stcleneaecxomancdatiilicislueimmdp'asldpte.ufliie,gucgrelSsa.immcoagniilsismiumbrtp[d.teii,nnugm.ipeiirasentea.
l. dr. AB, dr. AC, dr. AD, dr. AE; total 4 dr.
de laturi.
In unele lucrlri, figura este menfionatl sub numele de trilater (trei 2. dr. BC, dr. BD, dr. BE; total3 dr.
laturi), ciruia ii corespunde prin dualitate triunghiul. 8. dt. CD, dr. CE; rotal 2 dr.
5. Consider1m c[ M gi li sint puncte iar d', a dreapti'
4. dr. DE; una dr.
1) Scrieli valoarea lo'gicX. a propoziliilor care indeplinesc simultan
condifiile: Avena tn totai 4 + 3t Z + 1 : 10 drepte. Observlm cd. asociind
a)M#N,A,[ed,Ned convenabil. termenii acestei sume avem:
b)M:N,Med,Ned
| +2 +3 +4 :(l + 4) + (z* 8) : 2. 5 :10 dr.
2) Realizali (daci e posibil) clte un desen pentru fiecare din pro-
poziliile a) 9i b). rtrlcencltnlp,dccnaa"glzcaduglutenl pscueanrvceatevfoaccmaereaaivsnetdfeaefp:sri[nedsectecromnidnigimritenauimnirpurlodbreilputeprorercece-
logicd. pentru afl,eud.rat se noteizi cu simbolul A, iar val,oarea logic5. :2-.56t t3:4 3 +-z + 1:1+ 2+ 3+ 4*5: (1+s)+(2+{).+s :
p-entru fals se noteaz5. cu simbolul F. dac5. M : N. ({gci snn} plncte + rs.
F, deoarece,
Rns-puns: 1) a) A; b) t5 +z* : :In cazul trn care avem gapte puncte surna incepe cu-*gase, adici:
confunrlate), atunii ambele puncte trebuie si ;LparfinS' ln rnod obliga-
toriu dreptei d,
pinocn2a.)zl"ac'o\(anYitceraizriMf,ir"g.siuiirdaN.rl,'.7t.rnanrr,lIdinaMdcilb.)aedvt eednteeturfaimgluilnirnai eo1m7dbsree.aa6pm)tSaN'du(ensfcoapptiotfuaalttelc5rceudaloi-zcula1l) ,,:!3'7:2t_14:dFr. 3 I (1 +6) + (z+ s) + (3 * 4)
un desen ln condiliile impuse de propozifia de la punctul b).
fig. 17, 53
52
Procer'lelil este loarl e in'ieresant deoarece el ne pelmitr: sii enulne.- Fiind 201 paranteze aveln:
rI;n cu upriniS ni:.rnlriil <lreirtelor ciistincte ce trec printt-un nurnlr 2s : Z0l . ZAZ, de unde rezulti. ci
o;rrecare r1e puncte ca:e indeplines,: cordilia ca trei s5. nr.i fie ccliniare.
Dupi cum a.::r vtizilt, fiecS"rrr-i purlct i-iun. rrsocial un nurniir natu-
r:r1, fcrrrtir:d" ;iill iir-tr.!:Lerelor iltiiui-ale in o:'cline ciesciitoare, incepind
: 201 . -7.'0-) 201 101 sau pentru cazul generai
cr-r nirnrirul rlnu. )
'-l'r'a!:enr r:oncluzia cri acest prccetleu p5r peirLite si calcu}S"nt sjurnil
"nriaritrulurianl u<nl:ite.Lelo, riii.turrlc., ii'.ci:pind cu nrinXrul unu pinS- la un nrrmiii' n(n + t\
11P99-8rir)tj1c-,.ir.ri.g.,eFi'.j+r(.1-;'10:'r0ar),l0-<;:'ri:O(e1xl)e-tF:r:p21l,cC.t{,S}s')2u0m1 ip(i.:2e+n1 i+n1i 29c9i))-s-?ir.'i--''.l-(lC43O+i"d1.e..9p!-).l;-;ain9t1(r:4z+it---
:/r
')
i- ,ll- .,);Lir'-8A:a''m.rl:nAli:nf,::fieBctluer,estci.so,rtr,u"oon,s1r,ri"n.:1p:t,i;1e..1orfc:,l1ir,n(.'<inialllcrt'ocelpr.ricpiEcla.c'u.;rnoc"r-i"ieg?iriiasrrriLtici,;aj:.Pr;e"Lin'r;atn.crq:rrl,u.sc;cldssea;dnn;iTri"ij tr;d,iilicii.msf.ie,a'.icrdoaeanlseldiisgtiifu.ci:ard-.
+
a cile 2t0j, oh!rirc',''r deci, cli siJma nuil:crelci-iirit',iirrie la unit
iri 200 esir:201C:J. !ri1 iril-r.i cle
Dacir 11;i;g0:iil-,rcifiiiiriircnrr,rslrcceiraesflilo;l:riiianiaortnri,i:rrlial0c]ue0Ledsseiieru;rjltiueriiilrsa,ci zn1eul,alrd-n2a'0enr1-.,io;rrr,.-,:o:riri-1uL!,i,;c,-:,'v.aie-a'x.siiou1cgSiaa0t,.: a) ppS*SuueennaccatfteuflillleicFlc.ei"e(avca"eecpzeei"aerf;ar1i.sti:iprpaii,a;r".tr_ier^ei"pa"af'd,'L,irJ"err,pe',riptrrctiei,uti.te4,.4s8ru8..tl.ir.s
'zCZ -i- b)
c)
rri;:tirii.rrrl
C.$i
Ileci iii;:agen aierrii;r ci-r ii..'c:it <jcriii ciztLri; cind a-i-liniirt; i-r ,'r nutilirr cleterrtninat d( e drea.ota
par de flimrel'e nailraie si <:irid iLrluriim un nrlmit i;lpar il" r.ir:;:rere 'i
naturale. Riispuns:
mriAflnceca-ieaLdcaD-gre::'ci,ia-t-fTzniifrltaililalt;ae.pe3t.tirPii.enl;rrror:;"ir,:i1tcli:ii-ril,irnui-$.itelilil'iatiblic.ecisllliciegiri'rl,relc.eccccaez1:isLrrc.fi,ec.a::gcLi;:er*r[lt:a;ecrair''';nl:iifrir-:i;eriaIr<ia,.lrari.rniiuliliocl:rilglceteiilui-gif;is;cerer,rarit;rti-rli:rltrsaeelii.iill:altnofr.car:sinLeecttiti'aim.tgilciaaeIlliil..lncili,'rcrer:nd;'lp,rte:,'ii.l't,..i,i-i;;rsfi:ieit,l:uril,,,Jn.s-l"':erili's.::airc:.:i.ii,nt:rl:;Lrniuten:riiinifnijccce-ua5tapin"tcoiieniitlrra{r^-.ii t.':ot,,tng"{9,rc'-,1ju.tsC:cr,rC4ce9earon::rprSntSntea,srnStricid'fnnr"ieen;t,tr'rsir_tnica-)Lc*ddntinrutic.ldeo:dsnpiteneirujnepffnilog,nte(ebu..rti.ls1rl_,e,;ip.ii,Xrr;uv;e';i;ancj;;'tc,ioillct;:i.*iiii.litFi"ifd;n"l:nnc;i,c:s2;ir;eetI;,amr'':lirnrstu.c*'t'rir_en':pd^seruei'{n,i]i*epdu-pripleicen,upi.a,ttieec..ivncuirdif,reea.n4xfr,diiss;ttipriueiorniusndiunererft*iepnclteic-:
:ril fl(joinetricri i*a f;'Lcut T-)ii,fanil r,lin liLex:,nclria :ri :,pui i;r -secclul al
XX/II-l::rr" a-lgr:b:ii;tii. il,la frinri,;ir.i. gilr-hii si fac o raicl. conpicia"rc flu- , ,,r:ifr:tt, ol*,|t0,.".," dt:f crriiirrare ,1" ..1r,.r1,t,, tl, iri c;rrt: se poi rtfla
:un:isei ta-le pi-ezcirtiLri L:r plcL.'lerr:L ?n <i.jlcu,tie. iatii dcspre ce c:.te rr.;lrlii.
,'t ' ,i;-lr ii;.ii',trii:ar c:, irii:on.,'ei.rielr-iillii ce apafe citrd se arlur-lir, utr 1:,D[Jirir.:/0/l:ql-L'Pltu/"eFc.gospIJiJ;::aoroi.vzsppire'i1tLufrzi1,nr_-f;ic1rliicgrla-'tfrftr,iiru'.rl1qrli.,/rs.-l,el]z0Igitl,a.mr,;,'i,_,eipt2;nirnu;0.t;eirni.i,ll;p,ieic;tZiti;;Arrr')li;icB-,;ti's."rs,."'i^",4Zi"tr,'C]).d,;,.i ei ; ti;strnte :
A,\.{ f:Lt:-r dr:
n', :-':.r-r s,tril lt-",];ai do ri,:rlclre 11?ltiiiile Pr-rtern procecla asi.fel:
i.:.:,.llril it-Lc' dc e:icjftl-11[j1g {].::.1r1 an-r erior a\rcnt,
(l -. : ii'-|.i--.j ." F 19s r"'l-.7-.ajii++220-11)3-lt--i2..0.-ll--12-02A0+ij i i99 zIid.i.c.-iFsr3xm+il
12,-l
)s, rirtle 281),
ae L\ t:.r.'r'i,r iie , l:il.,ti'.r1-. dre:pta d?
.l'ti;,l-i zr \t{)A :
/\n i -ri-rJI\ .". 1L,s.,
\A!,'
l Diofani dir Alaxa.."tit,la (3i5--409), rnaternai,iciiu grec care a scris prirnul
i:rata'; de algt:br:I, ca)r-nfris din i.3 ciirfi,.din ca.re s-au p}.strat numa.i gase. Ele
conlin problei-ne rtr1czI i,r.i:iu'l.tdeopurdinrloecc\rlrna(f]isirc<llelteg,r';rrec1zuo1lvI a:;lieIIinplencru:nmier1li ecualii riodeter'
minal.e de gra,ri iri.regi, numitg
ecuafii diofrntioe.
it fig. tg
54
55
'dreaptl cit gi distanfa dintre doul puncte, numite uneori ;i drumul cel
mai scurt, au pus deseori in incurcS.turd pe mulfi gcolari.
De ce crezi c5. se intimpli acest fenomen, fiindci la prima vedere
s-ar p5rea cX. problema este destul de simpl[.
Se poate. constata cu ugurinfS" eroarea atunci cind elevul e pus tn
situafia si facl construc]ia.
ipsfeui rnmii-lo5s.rAirtdufiaerdicseereelmsepcvtuiac5nate"ceaeAcxaecpseset[tsrItiemeLxcepufeincerrt.uimdIsaeiennt[itncetlailrxrnepfpaelvcSroi"mdmfeernetfritceuavclg:eaenrcetoc.nodDsnatectr5ulau.ieczcseiiicen.adDpieepfirtefapadbrpaoletu,-
o dreapti paralel5. cu baza tablei ;i un punct situat deasupra dreptei.
Cu ajutorul echerului construiesc distanfa (vezi fig. 22 a) de la punct
Iig. 22 a
Iig. 20 {a dreapt5", Demonstrez elevilor c5" distanla este reprezentatS. de m5su-
ra sogrnentului ce_pleac5. din punct gi este perpendicular pe dreapti.
ddAt'*;"d""er;"teoe"MdJ"ldaRa^o1t-*ir'.p).c[E)l#ezrFsitAaDFiilPl\i.*i;p;,^ap"uiaiM;tnic-rsca:nn;etaei*i;srttiiamald.abte:iuaritt'sm",)lipoa'sri"t.iiaaaa*;r"Aiepnn.rf.luiB.{f.mt.asrrirri.oep"c,"drplagrit).,n#e."l,trion{i."rnJr;CmllaJ^ti""."".ci,;ieltl"-"e;tiul"d.inri".l5r;"l)idltapi'it"ed-ouiulrp-;inisUSf;n";iu!e;a"iec9np;"nltpigidi;.ciilc;m"l.etoi;an"i*,[e"de:t"toxrapni-itcbte;euete"aerlrsniAe.ipillcrtoealeeaulrpg'A'ndlmi-u,rAlde9ialdsnuaBsiirctcmnitsoaeeuta-lnaaldc;pi-edlpraiiaprrxiotzeenap'lt4uaddrade-plpCe.ardp.eeidncuo.ltnerosagirde'ldsi,aanelat'iua9rctpuo,inp'uot-aoiplscbapcue.irdludooigncnnprrmceuescetetlataflndppaaltataeut!r9iirole"lo-i lIaelii.lrde.aimningteeosmc e;itrifaapetuucllicd5ia" ndiis. tPanlnf5a. o proprietate geometric5.-va-
este totul e clar. Pe aceeagi tabld
aici
cc:xotnesrtirouire-fsieccdx.rreepi tdereinptpeodziinfiiclanrcelincearteelfeav!5il.odr esbi adzuactiadbilsetia;nifacitdeeulna
la dreapta corespunzS"toare. punct
punct
i"a-i
fig. 21 tie. 22 b
56 51
,i,navteAltiao',r,tot;lagite.ZieZic'.rtbimiicqitai fptierut.efdirniioinavreoeliedlvueicfrgaaecocmcooreentcreitetrcuacccilnici sfgitgree.g2aic2teec,c,acacouceptoleearptmeeencdniifciaouu*- printr-o serie de etape intermeclia"re. llezolvarec ccrcctil pres-iliili, e
prezenfa a.ctivi. a unor procedee logico-iutiriii'zc carc se' iniprim;i
laLe pe o tir-eapt[ datl ;i cunt se construieste ea. Arn incercat s6 gd.sesc
trcptat.
c.;e";ai;icu.;vzi;eili"os-r'aapu-ricrarbnc*leuasnmr.c,ei.tsAeiitn'u*t"niaic,apiii'ca.itnirtneitoien-'fp*cdiiueretfuoaalapisrtttacteiuretsilstiueitmellu-iippi aiginiieatielimearl,pjf,.tEi[ntcraciueltteieb-vac-azlienacmtoraaenbjzcoollreulivtizaai(tirfeeolaaaii
:,p;rlllreiu,v.i-ieBcssdecicnicce_hiirinn'ttqure-iu-eaadliisenie"vfx5icpr.orin-hinsrSnturaalmtitai,iasnccie5Sia.n. ,,cpatenepieaG:rrt,-er.cpee:l:raiti:'tilineanei"tlslduri-"eirr-pi'usioiairbanilierepirulnuin.angA::ehirsnituirieirlrui.tfreiongacgtrahe-rit.-eefiCsecoismtdtel-i-
"VYV^ r1rrrran-eraa.iez,iSl csui baz'"t" tablei (dacd" triunghii:l loimai-sseelnpenoe.iiiipieorz,irl.ieN) -;ai mcinsdi
construiascS. celelaiie tlcu5. are
t::i1
,.rit c5. a;oroape o orii intreagi iie-am cilriuit, in{.r.eagi cla.si, ertu.nci cind
p':ofescrul. nostr1r ne-r- cerut si r:onsiruim inil|ilnJa ului roni'3,
N-arn rerr;it si-i r:cnstriliin iLil"i!ii-:le.,r decir :ii_rrii:i ciriri i*a;1 a.5ezat
nr!,iriiriuLpriincirxi,'e1t-pdInr-Juocieslnapzntcz;iaaeltuicaolrGeifi;ataerreaeaeood,t(_rmceiice?ndoel,n-antcrdtrcsariaeui-asrrbnlirpe1n:uir,tcpl;ie,reicuardEic.ifriiucrsaxtprtctceaiulrlc-iigtnd.rs;mil,cta'uiatclrat:,d)roctspiiilentiticnltaiuueli"rlpparner,ci..fprzd:iiiia;:iloilr;;ii.urundaaa6erdrrlct,cid:a.li),;tife{cclcvgrcpo.,eri,rln.zef'iicrsnioctadrcri'-siucliigipi;niiLL:i:"tiidrjiuprl'fneaiiilsl_,ear2tc,ran3ioiosnr)irsii{rnamcaiiituepirnmislseitpeuneae1laea---
t'levuLli.
tlg. 22"a t.lrea-ptS|l...gEp.bi ignien'Js5r..;stci,, sFrriarr{te'isa:icce,asdtli'-Lepni;;rtiaun;ei clista,nfa clc la. pu-nct la
l-i,- ure,-cupir pr-om inci.
cie irirtie), eicvui :c aiiir. intr-o situalie.prii'ilegiatir care deiivS. dintr-o riin tirnp;rri iinemoralriic, fii'i'-lci cl;',-a clat gea:i,r- oie i:rpolianla cn-
coeeoilx-enit,ev:d:i,liuriootiietrls"ipeotapri,!aliic.tcctgiircl.,icd.eePcvei eripniieicanacdeiiac"cu,tlda{iriirazeccstociablucrldiitaeS.ccpSoedreeocretciraeaapcapcltreapuadrpiinllootarr-pufeaniniaPilia9trc"'5.f!i' ;rui:-iterii ei 9i ma.i a.l.es dcl-plicabilliilie:i pr;r"i:iicd, a r.ioiiirirji clu distanl:ii.
n
LJ
ccrCsiicn'der,irrcdIaaptr;Lciecsr'e,ezltnlvcalitncaptliofallileiimdllc baza tablei-({oiicie hirtie), elevii
noriiL (care de fapt i::u este ncui),
i:;11i.i., "au-tf*u*iin"^riitu;ir"nriotrrli"rf'i"lnureijlcnrtft:erulidnic1-i"a,;cr.'rtC,ic.,cei.lirrFurc)eluen4ctil'luitirr.,eil-1l,e1t;r',eitccpc.irir"negsi-ica:rrlno{ornrrnima,a,tfltoliru1_n.coeoacpoilllot"r-,l
i,fieiueit,ntprriiiluiia.laou"rr'rtt.u;nc*iilli;piipaCerce;plJtip;tt1,icielrgleldtu-rubienclt"icln.mi:tpciiEe,cec1Ieu:ltil,L1iicrcso:-v:iie.teic:iapiiultpie.etCiirintttreectiea:u;lctCttralceisiu,ati-"frp;smJg,ii1i-cLos;rust[tze-ric1virarneseeuacc-lsdcinl:cpecpitca:laeu;.plsrrnaurc,:uccin.eticunaIa)tlrdrusueeeltiiiLcpeedapixxpttatllaeecrt:trrlaeiaioc'ozvir"ii'i,nndpcdrvueeeopdpeteirelneeriev,--
dJceie*nsr:pioifm:i',.,..Ll.unseictaainrdidiepcerliisFctelairsrpr{ealini.-;'!LadiceurLliauaraer.rr;cr:,litrpittrsi"ni;:'arpcrtcitleei,c'asiiti,-ecorlicpp:rrLcunpicrrieieillaartierce;lpiegtaeepot1a*a.eadt.lca:e1tai
gr'niaeSismtceiruriillmiali irciiiiornt;;|:rieecdteci oippu'i-illicscititar9cpitledcireetlactip-lela5c.li'lnl'.:pllrtr.r*noctselarl.c'c
rlreapt)' apare tra cei f9. :3
de ta-'itrslli sncccsive,
$s 5g
pc-arerenntoeastitauesnuaispi ordaceiavtpdiee. lr-ipi eolnnmdcuiacluzuuilalprdri.eisiUstatromnrlieeci.ledPearcoleabsaptbeuiilnncco5t.liludaenoiagdtuir-eraracupi,tpndues$chalmnnd)- -Ji']i*"iidaccjddAar:Idcogirdcueoetdal?iiu,poeemrceennn'lumuteandcacolsuoocieiuoccdlin,at'i?aaregatc"-'etsiaeiu'nc'grtmtllcisrane-toerstrettueulcrsCa.mzeicfrariscectiim-lesccdtaa;tAtaheaoIcfiau'uiirasletmahinmmcuntlpccenstretsrra*ravecoeiLauiitaeoe,cttdteliwagrfeziotiaztta'.tiiDneacaiisoJaxii,tiarv'st,oursetarttataloeieilir-iirinpautrmstteoetnacoutt-ureienatrxmaaooautafrreurotgglerefeeItauit..iua-ereeXcuihilea?ms"paicmiicgmimrrp_nocrvJi'Neuo*ni,anape';odf_iir..a;ic"o.i-ert.i-.adnap;i,,-ireslnei,tsc,ea-;rmidio-"si't9ic'.i','aiognis1"eve*ie,-pl:iauli'a;eillot-it*azaal;sit;;ae;fi*,i;i;iiai"e;lle.irI;i;ir'm;tr".i-]id;r;,a*"ie;.v"^;.i;d*";o;L'i;biui-;siii;;;i.rue;d#"ilci"i:ir;i#oiiilf'i-"i'p;.iieii'"*.-i,iini;"lio.igi;r"i"f;i'",S'#\"r;a;r."it;'iu;i"iJr;ii.';vr"Il""i-'.rg1e-*'maii,-ir,a"e.o;t"""ici-tsnto"t;r.1igid.i,i"n,e"t.a"'i.rsJ'erteaaAf.ic"ieie'riiiatpr,c-ir;e-grcre";noe;"tgoa;uut;ip*uterse^filiavlmaeao-;uluaa;r;',rfd;itmitl;_l-ti;nmr6,fviu;n;a;co*d9ii.ta^a"mn;itreituep;frem.Htoracii_;#red^rnamr;sroiiar__fdeecite;i.triabi,ai,re.u;s"os"-.ilrr.;ui'uimrair.eajinfcr.i;iA";gLgecniir'omrdnesrf"pemsfoh'grLeeettig"Luuioriststuo.i,cruait,ii!Nniatmnlu-'f"le.'eiE,t,sttcts_c.t'.d,-rarmstrrduoN,omaea_utifiitrcret'nieelagnnc..ilnooactu.cgidvigssav.ruMnsoi;nrim"ldb.itmreitamd"rtigmtilamiutrehctarliimiurtcutet,rorrnhsdaaeicaittdiileatd_n_i-.'ii_i-i.
omul se necljea s5.-gi tnjghebeze un adipost, o colibi, a bigat de seam[
c5. daci stllpii sint drept tnfipfi ln pimlnt numai atunci perefii colibei
suprafala plmintu-
nu se surpau. A sesizat unghiul dcruepctardeinstrievsetrilipfic;ei
perpendicularitatea
lui. $i-a construit instrumente
stilpilor, a perefilor, gi a altor componente ale colibei lui, instrumente
care se asem[nau cu echerul nostru de azi, nMi.suclot csi-nodfiascthfeinl utriituenlgphiinul[
cu un unghi drept care i-a fost de mare folos.
ca-d.ruetrnuiuggnhitgiushl6iudclreonpnutstdsreuinilandscochluidtireiruagrm"igua.hrtiui,unliacdirrgecipi-natdudnogahtpiucsne. eaCmaoapnecstairuatiraetri-ae,ipaorbolasbetaurvbrXail
trebuie si aibi o anumiti lungime. A inleles astfel, ci intre mS.rimea
celor trei laturi ale unui triunghi dreptunghic trebuie si existe o re-
lalie. Pentru a o stabili a ciutat timp de secole, cine poate si gtie citq
gi a gisit metoda de misurare a segmentelor de dreapt5. (ramurilor)
folosite.
Dupl ce a invi!.at sd. m5.soare lungimile, a aflat 9i reialia dintre
segmentele folosite de el pentru a construi echerul (triunghiul dreptun-
prin
ghic) gi a exprimat-o (a;a cum ;tirn din istoria matematicii) funia
cu 12 noduri.
Funia ca 12 noduri egal distanlate reprezintS" una dintre cele mai
de seaml descoperiri ale omului primitiv. De ea s-a ajutat si-;i con-
colibi, iar mai tlrziu tot felul ci v-porre$astiiulftinevdueacfueearspidria-'l!aitesipm"u"na;r,ttLi;iaii:;uei'ri:ei;"n;"'f;ri;u";l"rer"edraccgidtic,faducanicrrienrct.eogamarp,inrdoabremadcteerornr
struiascf, prima de instrurnente ;i obiecte
traiului, pinl la uimitoarele piramide gi temple care ce
strict necesare
psltaacu-eg, $iaatltifzeitlamnreuir,ttuaerm-aieigceffr,iimign[insisittitrocrriuilaoermagaiintiemmrnaaigntiifnc,aiai.liceAuimdluecvi idcterreuvalateozsaTtreele.cciln-!di,
gi
in
glumil desigur, te-ai exprimat ci intilnirea noastri vrea si semene cu
intilnirea celor doul ilustre personalitifi; dar sI revenim la ceea ce ai
deptr"nat mai inainte, fiindci. gtiu cl nu sint fantezii de ale tale ci ade-
v5.ruri trbite de oameni care s-au ridicat din bezna timpurilor preisto-
l5slnd urmapilor inviliminte practice ;i teoretice pe care gi azi le
rice folosim. Ai amintit de funia E sigur tig. 24
mai cu 12 noduri egal distanfate.
c5. gi azi se mai folosegte in lucririle de tra.sare a unghiurilor drepte in ('sr.;re:v:ec;r:ols,;meMW:pldiih"ueofdnlameieltieetendanmeiininru,aa,aHrfeoiNecrioo.i.nieNxroiim,.cmihia(ibl,t..itr\gvrliig.!""?i7i,r"_-'iO+1;_;9,1o;79;;';3)i;l,tt.)l:m,u.,amrt,ea"mtLecaqmtuiacmEtiiacsnitase-nraocrnmgidned.osrnmscucactunutnacaptareecmrdoearcmutuiiacpreolcrpaimebiorni6r_
teren, exact cum au folosit-o descoperitorii ei, adici: in locul unde tre- sltIcirrLruopcbleiali2irctidePoaidntrrro,apAcdeelldsuemtesxeoas-n7nDe0sdioatrdmrdiareone.c?dtharreiede-ome.sdip.io"it1rl'aig"iarlu9l1{ii"c;{-rrF"+1"e"i"b-"jlt"t;r.aos"irli'lt!#piit'tr#'Uiii."la1'."aii"?uei"^l"$lmtr'i"r,ili.e.r"ar..rti.9ati-it1tcrtiie,c"fe..iii-iag+9rnr<in,eIsi"nxfti_iuc,tuBiedsoiunt"izoactr"routii"creic.ee-iius.;"mirrtbji..'aecasrtaeetrmdopnearootiocmferiid..oianA,l
bfpuuaniteireusil,e5.aafpieaoliufsnuegnihineituii,nl ddderueppfuitnasiceaefegixaiessaeezf[niiepuraminztilir'l-cuuinnuclnlirucagilndcuoinilnueoal ddlulinrruitrg,e.i nodurile 6!
nodul aI
dupd ce
cIguu,n4ipa,ri5em.buTinlr.eiuAinnptgianhrseiui raislseetffdeixrleeppaetzuintegarhceiocnleotricinuelncdgaehr-eiaulllutnrdegrieilmepateualnirgluahgtiuc rccieluocrloasitneucrieidlxee-
prim5. prin aceste numere naturale, ptim cu tolii ci azi le numim triun-
ghiuri pitagoreice.
60
b) Dreapta t}fl/ este n-iecliatoare pentru esgeaglmdeenptiurrlta'4te8 ;i este cle-
filitl ca fiind caoetele
locul geomctric al ptlncteior de
unui segrlent a;istpfe.rlinncctirtrls0[ mijlccutr siu Prin punctul
12. Se dir segmentul ,48 r"vem d-l-cir. AB. Fie Me,t
0
se ci-rnstluiegte o dre:rptri d
,qi N€d puncte in serniplane difer-ite determinate de dreaipia AB (:'ezi
fig. 26). Aflali valoarea lc5:'i,-:ir a propozrtiilor:
a) circap'ra ,l{.&' es'.c meiliatoarca scgrnentnlui AI}.
b) <lreapta ,48 este perpeiliii:ullid. pc d.
c) clrcapia ,,i /J este ii'recliatoa,rea sieginentr.ririi iiflrl"
J.:1.;tj
fl c; ',,5 : Rc!s-frr;s. Iad)r"C. iriirf:ilpciniczCii,';ze,Lzr,li:lril:'!;,c!=! rd!rr9,ira'YptEit r:/i.; ie:zuitii cili.-i:'. -l-r5'---
este rrrctiiaill.iee :rc!l-
l. ein ri
r,re;rtrtl-ri .iB, rieci irciipi:t ,,ilf c:,,e riteiti.,'.ir.-re;i. serrnre;rilriui -ll iJ"
A-..c-er rieci ploitczi'Lie a,..tcv:ilaiil.
b) Ilcr;a;:ccc c1;.-..,i8__l_il:.'ezL:iir"i. r:ir 1r ii l,-1r. 11ril.,,\1'o.. ;i uici plo-
poz:itie a cler.riraLir,.
l r:) Punclcie,tlt;i N a{Lrtr: l"lritci:t'uinltl;;-i;lacrlien
ttriiirrarc ,1,., ,ii-ei,:-rta ;iB rt. fiecale il1 ser;:ripla.nele ile-
l fcsL ji:,rie
Fc cj'i::rp",ii rl:
i r',:=,'r;:,ir1e"ri--i1.il.i:l.r.c:2l]-.,ii:pJioriir'a-:leyi'tl'lit,c)rca'dn:.eitrfeiercai;ai{nlcllis:oii.i,c:s:1gici.rtilaj,.le;ccllertOosi.lrcllritr:.:^i-::1c'.rr1,:i1l:t.lc1IrNegitii,ri,"tli''riii-i'i'ji,iil:,o\tricrecld:aiiila'1eil.irir.'{:iitiLor-1rlriri:ri.ltcf,)4,le.ltat9sisiill_iliiirrr:icri:g'i.i.r',ri;irl1rir-l.;lsc/,,..)1-FjDB-ioieirracuirii
rt ji,--'-,=Iil -ra L
-tl.
rr,:1,.,1;, :iri a{i.r:il.'1i.. ,,tlcr','t;'. r.rll. -lfi_t_,, ;r-.;:r:iili c,, si ,/_;'lr.,l/.i",
ii'rriLr,.iirLsIiil.i.{il:c;cs::r:-utci:llsicl1i irp,'erl;e'sreizf.:ii.lr-:i'ldiitiilcaleri)sc'olci'.i1;r-isiic:-;)it,eel.ell rchlii le vctit intih:i
63
ort
i6iRcniisiaasvt;snhaiiitirzafa"izndonmauitIee-esat;f-eatt;itIPl,ug,rtaNR;aiedieimi*cnueEameInbtldcAp.rllafdauuRriiasrzeetiunm"itCiiacsvoum-Fvatiesioe"anUi.ceEna-nrnl"tiiafSortrRuaa,Ceit.rira.omm."i"dB#anpT;"Jiil;i'i"i;;ii;"ii"^Air.aAi';at";i1"f"."i'"fapf,;'"p",iati'',9ti'-ii;i;el;.,l""fi";";ti;s"-r"iit;rJ.i;tii;;""*ieii";*"*""m!i;;i"i"-l;pit"So."";rieper;oc-l'of^iiir-fa'roipdi"l.,enatrt-e;rtl""et'-tte"!ol,di;ttnia""tsui;idd"iyf.tlsevi-protiri*eb-cue"ieui"ittuittmt"rtiolapfi'aslipiaiim",znr"eiur"cfieileeic"eitintimennn."np"tPaicli.ttseueirptrima1dgtcm'el"tri.eei'uicgb[tnemi$snsium-'onmueniioautlugnelrirteedvnfaenonluueepr.iitfilrrsaevuulrerucitsienalsdl.sece-u.dlrpeetierDsamafnlalee,oimilmiceoa-id;ardnntamtmispeieeuivuuecrdnfueereadiarritn'un,lcneamerfpuft;uudiutlliaeudaemzratrmmm,rpeirulcibaareact9emueieolrtetl-i,l;l''- fdSl.eiaqgcmii,evnrientuic,lluonsoicvsutr!iub5e.rAu.B';iini.cvhCaiesfivicip5e.drneetisarucvrigeJrc!i5dh"iirniuaggrur.el scmfiooai.-braaiui itnzstilisnUsi.ni".idrlioeanlcdecwisrdabuod,i.
Lr,li>geo'rcfaeecretrdca, )siiniiaardfrecn,foiinai,ilcvfoeasg'ntnoibcloiiuitnenizeloarnrtlurclnfuuamtneuimlim,aegtilciecc,duenp-careimrtceullifmsiaafetc5rni"n.iic]niitr(-dcoeidrcufiwcn.lie,luimas
"dc;rn'lsd.ei"aeneoir"iifcruri,*fDeervtamtifiaaaiDica.p;uicnu;ern;ule;[sraruin"ctb;lIedmiipec;[J'eL.tl;"ris"dtu.;,o.m,c-T-inpnpo',,ia;i;e;ptprrir;'.i#irseiere-rttArreiti;."rt"scri;"r9"fei-e;;iui"lJi;|si;.ri;T;-'t;a-;""ie;a^i?';""i9[;ii";;iiiil;";,i"e;i;i11n,;iii;''rt?ii1citTiiftr"ril***rifJit-:cnli.d"d;..ecutei"C;r'ui"roeri,b-ri"unb"ua,eftei"ptu,e-r^1,tfIrl;eisariu-uiina"orb"natieui_ncu"*ecis5'cniidiltpti"antte*edrrioitiitaiees'eldli*rioragmacreinuli,oieptperdt'"ntmrec'ttleraca5eh;iutcouilf.pei"oalutlrsfriricrimoercm[:depseead"elcatrr.lareiemaigveepnccue,clarliiao[ntceaoesitnnhacpe]s.uithdla!riucim'iirnedugraepduitarraaaeetrloeiupotcdteassitbciiluiuaecaunSlaitpsubnrtodlrrbtcuiraiaeeeledt'l--l-' celcului in vechiul ei tipal qi am zis: ,,Se numegte cetc I'ocul geometric
al mullimii punctelor din pian ce au proprietatea cI- se afli. la aceea;i
ficp"nateoc'-rtarcTitpuaeedlun-aiinl"lt,-inlc' eoilalmoe feiferirnilane;oi;l.ifeadfit;tlslrt-;liaklll"utiii;,"p;a;e;atredlec.r'sue*ttep""atfetiadlii'posGimfplualncapddnr'auevmlccuuecimnh-ti'aillegeo-raeaidcl'eeiisoatgsoueeroaibsmciitotel'rtidrmniaeut-i distan!6 de un punct fix al planuiui".
espleeuleacgenAlridn,cmieee[nngAsteaue.ltssudiiziea8Apt ,B'c.r5t^a. pciine'aitfpid""ri"oi';b;;i{"l"ep;-m"tte"tad""-J1;i-liV';silla;.;li;np"Euu;;ns.ac"ilnteutlasabtefi'gmcmaeuvie'dalnleitmdufierliu'ciriiittp'4umdno8euc'datieSapletoouralnnrdce!etiaen- -coEnslitneeeexlaecmt.eDnteefiinni'lpialuesstcearriegua.rroafascl,e-ao; putea spune c5" estecuratl.
fttiuuieil Df,i4cxae,cA[ga,iPaabmcm,arl.rinAoet""Pt"t"ltalfi*i"n'Giiurt*iltu""Jiui'".m^.tiaile,i"rurontla"1LglUineg"sug"rJsoD;meunenttucritlcufiaixlA'pBduenicnetxujuelumriupBllu?pupnucltcu-- )du ele.mente ln
greoaie 9i nici
icnAec-elei_nllaiIov.latsa,icni.anttrpfiei"gitb,eavaiarne"liaepigaim;acfeflanial;tts*u!t"6an"riul!i!gvt[raic"udit;r."'au*ri"lTs-"p"i";fuie.ln]i--qs"ruti-.ilecec"oim'.roelncpst.uolfonorrcciactuueldlg6pmruiaodnIbcinctiull.ralBeur.ii ririnus spte cleveni incorrrpletS. 9i confuz[. R.igoarea, dragul meu, i-a
fost gi "fi strict lecesari rnatematicii.
64 ii va
cAgvcaitecCaldebsraretclcaue-pnletaecasf.lit-uealnnuceedilneemdsfirtaneiriirgfseaiitanmiypcielteiracurhrcS;iuii.lgucoriereiifcocmSilc.tarsouiitmireaggaetuizotliardnnteeodtmlroiuumun, eledtnaapiurtdeetccouuI'rmtobqc.giaPeucorrroinenbedtdayibrcci-5i-.l.
este bine s[ l[rnurim de tra inceput con]inututr ei.
vrbuelo!'i'ie"_ur-ngiAe.eaoigm'peesoeetertrrrfieefLatc.rmtlNli isldui5arm.eindpau.tiaapitrleeitcr|ecrf:5rro"Lanitritgeilise'bipo.uimcilenieutsirsui-istuliclnmaoslliujlai rnliunumoi aoPsbri1ticrna5uet,iopncdaoosrrnacelrgfirnitaaeu:zt.t,un1,Cldiiu"en--ei'l
ni[eeuootionsecnui.reiec-Pipliaotaot"tne-nas*ml "iinpiruttrtreccar*;pisptnu9;n.ieit-:einCriongieriesve5rae"-afci fcs, oicniinntiecnevuariceindees5eu.arimlvdSee.fsreepgrepteul.fo.iIncmfu,.il
geometric. multi
-dePsctrreiedoeaxriaacttalomcui1 face sf,. rn[ concentrez cu atenlie. Am pu-
astfel:
tea geomeLric
Locul geometric este o mullime de puncte ale planului (spaliului)
caracteriza-'tf, de o aceeagi proprietate geornetricS.,
D-eexpexriemmaptl[u,Inmebdaiaza-
unei axiorne Sau. a uno1 consecinle a.le unor axiome,
toarea untii segment este locui geometric aI muilimii p-unctetror planutrui
aflate la aaclerenau';illdimisitiapnu![ncdteelcoirp-deitneieplsaengmeegnatludluei.p_6Artaltt,eexdeemopldar:eal,poctSul"'
geo.noetric
?inactil,uensetexeomrplrleua:'pbtisaeccetoanrueavauanvueiaupiguhnci tecstceolf,iorcuunl,eg-ceuondr,eretriacpat-Iamaau-ltlaimr; !iii
punctelor c"r'e se af15. la aceea;i distanll de laturile unghiului. Locuri
.i;neroeCmeiegrticriuiccleheipsmtoebtre{niadptiucrenriccaltlieiaz,ailntindiaeic, ooslautgpriirnamiefeocledurlsnbafufiiecncoafripreeucalpi.ruenpitu.ancl.teai.l
ei, linie
ln.plus,
linia iurb5" ce reprezintl celcul nu posedl nici o extremitate, deci este
o curbir fird" marlini qi de aceca, ca gi drerpta, cercul are. proprietatea de
,, l,ineca peste el"tnsLiSi. ln interiorul circ'imferinfei (prin circum{erinfl
t*i*i"g""t'toat5. lungirieea liniei curbe care se midoari pornind dintr-un
65
5 - Prin labirintul geometriei
I
punct pini ne tntoarcen tnapoi ln aceia;i punct) se a{i5" punctul numit astfel: Segmentul ,.{B fiind un diametru rezult[ cd la rnijl,ocid lui se
centrfl, care este tra egal5 dista.n!5. de toate p'.rnctele de pe cerc. Mai avem af15. celrtrul cercului pe care il notirn cg O. Dacd unina pe O cu v,lrf.ul 6 a.i
nr:lehiului lnscris vom alrea":
in plus de considerat segraentul cie ctreapt;'r cel mai lung care unegte dou[
pr:"ncte de pe cerc" Acest segment se nunie;te ciiarnctru gi toate diametrcle O6:04:OB -: r'. Se oirlin rloud triunghiuri isoscele AdOC Ei
:;e intersectsrz5. in pr:lctul ce l-arn m::'nit cenl-ru.
j'rrnS.tatea diarnetruhii se nuine;te raz5. Tc,ate llzele silit egale ;i :frt:i ft -66b:6dbAtsOC (fis.
In trinngiriwl
reprezintb distanla de la rm punct de pe circurnferinll la centmtr cercu- zei, in care Z"frl '-u.1-*2F: ;i
lui. Vc.rn ncta cu l' r&za,;i cu O ceutrril cercuh-ri. Segrnen'iul car.e dnegte
doufl puncte de pe circurnferin]5 se ir;-ine5te coarcli. Daci coarda nre AF)C aveni iE0', cie unde rezultl c[ il + 6:
i"a"r" *ii rnare luirlirne posibili, ia va trece irin centlu gi va fi diametru, : I 8:0-0 :90". D:r oc -j- I reprezintS. unghiul fnscris in semicerc, a
se considerX. coarde din ce in care ie limi- 2
daci ce rnai mici, punctele
teaz5 pe cerc se apropie din ce in ce rnai nult u.n':l de altul pinl ctnd
se redue la uilul singur 9i atunci drea.pta nun'ritl sccanti {coard4 pie-
lungitl ?n ambele seusuri in afara cercuLui) are coi:rlln cu cercul un singirr
punct rri:rnit punct Co langen!5., ea numindu-se t;rngent5". Unind punctul
de tangenfii cu centrul cercuLui oblinem raza corespi"rnzltoa.re tangentei
care, riup:i. cum vom vedea, este perpendiculari pe tangenti. I\{ai avem
ln pliis de considerat porfiunea de circurnferinfir delirlitat[ de o r:oarrl"!",
poi'giune ce o numim arc de cerc. Cind. se d[ numai coarda, nu se gti':
despre care anume arc cle cerc este'vciba ;i. cle aceea cind nu se {tce
nici-o specificafie vom ln{elege c5. esie vorba cle a.rcu1 de ceir: in.-ti rnic
{vezi fig. Z1).
pioprietate decsebit de irnpcriantir a doul coaiile
care-auS5citoebsuenrvciamplto intr-',rn punct osrecafe C, ailat pe cerc, iar celelaite Itg. 29
dou[ capeie in puncte ocpeuoseai{-veepzui nfigci.u2l 8G), lctale tn figurl
diametral cirui misirri r:ste iutotdeauna egal[ cu 90'.i deci cele dor:[ coarr]c sint
cu ,4 gi 8. Indi{erent cle pozifia pe ciir:ui.rferinfa
tt *
cercrilui iC + B), cele doui coardc rror fi perpendicula.re, i:,d.ir,'[ perpendicuiare. Prcplietatca este deosebit Ce importantS. gi in practicd.
unghi 90o cu virf,:l !n punc';ul C, (E-.*Gr-A:90'),
vcrr forma un dre nuuiit lit:L rrn e-xt.mplu: I)ar:ir considerim rampa unei scene de teatru ca o
coardil-de cerc (diarletru) gi agezSrn scaullele spectatorilor pe arbul rtrc
uughi lnscris i:rtr'-un senicerc. rl,cest lucir.r se l:i.-r;.te dovetLi cu u;u.dn{i cerc subintins de coarctl, atunci fiecale spectator, indiferent-de scaur:.ul
ce'-i ocup5, vede sr:ena sub acelasi ringtri deoarece unghiurile vizuaie stnt
rrr:giriuri i:rscrise in cerr;i crrprind intre latui acela;i alc rie cerc, -
a;:cul subintins de coard5.
c$-tcian-is-tcrSiu.icgIl-uiei,ro:inncaia.rdraho9itadeacetuslitrien5,,r:piilnroadperfoimelctoasntites*atoraapfiri*en;tiorur:i<me,lxspttroraurgct'aetinireg{ilerad"nie<.cclistrr:eiicnbciiithepl.iic,n-.
trate? Iati. ca;e esfe procedeul:
saHsAtt,eic,-icn-iesila5erL;,isedespoir{inirie.,ig:jrticirirtndaeeorplmpldoiecoattd,cVeirtrlaieicanleittca1ireoinr(nli.1rlse:4cUidr5gnier2e.raa-oAitdr5l;e1irsn.tr9ur'iiba)ec,ieiio,nglies'eeotrnmifpiniartatoiiScil*'.pi.rri1ei,iclpetaro>ecnrrzo,apentesonsrcritimnutaleilfeepir.nitri,ocetudre,l-puxpai'epir.ilncehstriooticemnlucrdneat,onltaitrotl'sinemftbedi uraedi?l,e,e:n
enunlind ideea unitSlii dintre teorie si practici. Elogia matematlca qi mecanic:i,
ccoipntsiriideinrinadpu.-cieapsetiitroit'ealtee cele miii desdvirsite. A laniat vatroroase spt"u.dr"ii"isfiiIoanl*t,i-
tig" 1]7 fig. 28 rarnurile multiiaterala sa
gtiinfei.' Prin
011 este o trntrichip:rre a idealuiui ren'ascehtist al ,,or:rulni uni,rersafi
6?
(.f-oi_oRseinpdrue-zneentddme num[rul din care dorirn si. extragem riddcina pltrati ciyfpiiheea&icucl#acalr,remufetatl:cr.?riueuTnaiinej"uiocrriox,rt;Ju;$rer'e"spteventoruoeebnrmcc"gfsnhintrsciecei.idmrneerxifi.cto,r1pra(o}gAe;seJ.,t;msi"c;c"iiicr;i;ibui"nt;iBpi"'cDor;ionC;i,aA-;)r,.9;e"j;is-;dat;"e'""i"laI.Js,",!e"";i_rgi'nali-*e;"..-n0..et{a"rsrn,u"cebpuirnrnfoctordepiruuprrnnsuinde_t
o unitate aleas[ arbitrar)
printr-o dreapti.la care-se mai ;;;'.;ff;;;;i;i;egp]:5:p3er;,:co'iu;"ii'rrrrsr'"iiirc.e-i.irefrtrr:.l:rd-{ssurnmr-:atscnao::.isli"tanrsrmm^rreedopiitaa;nc6strIcrrnicpgau,useip.rrafesleazzinuidoet.nuYilluaca,csf'arstonritracldgipAapefafeatcairiea,aleccteittucrntnre"crilairruu',"rra.iriretgrtiir,elraeeptn'attecc,rcfltntcStennrdefjciaasi,etnrcczunaaflridif#ieeaeoci'eir'aiidieuaprczefientnderuncl:epcb,ctrieRalriptiddvae;eg"tddecaoocucip;rretoocei"uiecpzccenJuie"iltrladcteeiicicuucira,e"rft'czan'rp'e'ene.scnlvrrr-catliciitcd-hfefvuesrtnlrrcluoioterircriioaia*mglufxcuriccp.sonoieccmnasrtcciue_.ei"mlrnnuscesisculrctluiitiiiiirmoajnrtssud.euiiriezeniiud"r;ftui.rblcmpculis#,_ricx.:eLtect{uroi'npie1eioaitanclinotcdilcirenui,i".n*e:":ilccrlrrt-qraerlic!oiuorrlio1icrnas-d,ru,od"ai_b"rorl.rrrc;,baa,unr1a-ueerss'i:tn;.,fur"lsoi_c";1.eai;,rni1fi.r;g:sr-eip"iriemir;i:laijcerrp;rlir"rlionct"i1"ir;";tgudledq*'n*.rruei0orrplR'XiIi.piiu..mirom.euionaatf;"nia"iiel.aralp."u.aee;:id1"T"iea;.r;i"u",r;cridp;bi;iiuotun"t;"d";;.".;*ii.'..;io;;a."beu;"ir;-tu.rmp;"lJ"m;o;""i;;e.p:i;iFf."inis.;p;rr.g;icJ;.iiT,ir.vr-t,;t;n;c";1:",;*J;i*rTt.ii;i;.?e;.ai;iiiJi,;"rs"a"-;p;itonr:""i*i'ri;;igr:":tr;o.atr;i;.i;,'i;.iii"Ji^c,ir;igaqe;:rlf*t;"ii;v";";;uco,*ial"-"'ri"iiiril'i;,oileuE'il."rc;'r"x.rlu,i.';o".;l""&,,c'"ug.ur:i'rd"ii,"r'n;irarxii:at.r_u?i.'_.iei.i"r"r.i;ix.i-t'upi;"r.s..,artur*el*rfu"l;.i,"iue..i-;,e#acri."Jl;i;s.rt"atn.;Ne;f;nrtrrcujo.riotai,ist..:sp,"u.c.1fx*i._;;.Aeraf;oit*rgctlrii,fo.ccd.icactaair;;:aolrci.i;*rlJaaic;iu;rin*rr.;;"b"nE'e,i;;ris".Ace;-cm'ltl;line,iirjiiaomtisop"o,i,tf.,l;i;;,tpc"sfis;taiiinsfbi'.i*^ae;1's;*act;ie;;ii;uiT.'cdira;iciri;io;rf;i"b.piii;r..";n;di;cnsc;i#;"i;;;nn;gicf,;;,lr;e,eca.."il;,'efai;l.es;roii;;;iJ'r;p;ccf;;os;pr.d.f;,;lfJ&tj;,'..aer:i:#Cioo;;a.ci';rra.r,rt;;erp.si"elrf.,tcssir..1pa".n"criii;abria.;irdo'taert*ie*i,.izpja\,uc"i;r.m";oa?eep,,r"'uiiai"Hrt1ioajpdese.p,reir"jnirt.,ciSiiraaurviecc.p.ic"c.,raare.d;rt:ricroerautf.rdti:tnie..iasriaa;itifreuiaorrmiflerstamieufci:eecnrieiucnurieieaiard"iitihuuendned{ntefriicngr_picecpunurise,naite"feiulmugamb.eecgictoxesrJidsrr,isrrrseslee;aogi"ihtstaDeebucts{eavultjislliraciaiieianainrctirr;arrdeten,p,erimueqlitaranrir"itiiretren.-eei.ii
aciaugi 1nc5" o unitate (de exemplu, dacl dorim s5. eitragem rld5cinb
p5"trat5, din numS"rul B pui't5m unitaiea aleasi arbitrar de opt ori pe un "r,rfif;1ie exen-.pte sti pot da gi in atte domenii ale qtiinlei nu numai in
segment, dup.i care mai adbugira inc5" o unitate). Construim pe segmen-
tul ifaolrm(eagtadl icnun8ouuinuitn[!ii)tit'di uu.cnemsemoicpeerrcp,einadricp]urilanric" appiintuaLsinEtg"rmr eenctteualzuvia 69
inif
semicercul (vezi frg. 80).-Punctul c in iar-e pelpendicuiara interesecleazra
semicercul este capitul ,,segmentului r'id5.cini p5.trat5.". Originea acestui
segment este in punctul D ;i este FerDendicuia.r pe diametru, deci la
capS.tul segmentului a cirui 8 unit5.!i. Segrnentul
rnirime este egalii cu
CD este ri.C[cina clutatE. S5. doveclim aceastl- afirmafie.
Triunghiurile ADC si ,tsDC sint asemenea, lucru u;or <ie arltat. Scriem
proporlio"nalitatea latu'rilor omoloage ;i pentru simflificare rrot[m
seg-
mentul (rS.dicina) CD cu X;i avem:
ADX
X BD. 8X
;i avem: X1
sauX2-8
Deci X:VB ceea ce era de demonstrat. Pentru a afla valoalea
ridS,cinii trebuie s[ mlsurirm ,,segmentul rb.dircin5," cu aceeagi unitate
cu care am mSsurat baza.
c[ nu
acea-stFi omaertteodinltesrieosag-nSt,dse. sscoinLug!eien.ioLa,{slri tudreiosaerseccesisneceiar am cuu.oscut
drept
rldlcinl toc-
mai inillimea triunghiului dusl din unghiul drept, care (in afara caiete-
lor) este singura inillirne intr-un triunghi dreptunghic. Se observl cl
daci notlm cu a gi b cateteie, iar cu c ipotenuza unui astfel de triunghi,
cu D inS.llimea, iar m;i n segmentele determinate pe ipotenuzi vom puted
scrie: a:h,:h,:b, /r2:ab sau k: tn:h:h:u,;i
: :deci h,2 ?j1lt0 de unde p l/rwr. Se V6; avemapoi
relafii, deoarece
pot obline si aite
6B
Ball-, Am citit ln cartea Rdcrdatisns matkewoati,qares (autor W. Reusse fcaepatevalensgfe,morni;er tniicr"ecc,p':;orrrl.dfi.eacu"ano,a'r;ete'r;e;.;.rI';ni"a'clie,:r,;i rfet;r;r;-,c';n;ri#co'jn.'sJtapta, ci toate
Herrnann) cL a existat un lnvilat grec care s-a ocupai nlecarc cit..va_ a firn: alii r;", r;; ;,, l;;;;":
Paris, ed. bazij cre
de curbe de genul elipsel Se numegte Apolloniusl gi este bine cunoscut rn.:r3:r:i1ti'cu-!1ei(rffc.nQe]r1r,s.r:!=tr-coti'tt*ieDelacnelcafsie,aei;-dtifxistlr.sa^eceeil"acgp)na.a.uplttzxficgtiiorisri"lo;,oir,s:imn;trinlsdbf.eai1oia,i.inigi'i"lrtidre'c-ms-ccrriirialiefr_rareii,.ire,'ria-t-'rcriai,orsniillrai3rr;e-tttrc'si-n.i.i.tcit'reitieeEr1'fera.s,,nir,;lblcdin.ouccri.rlill*ieerif.iii""e-a,rnoc","],,{trot,r-.rtrl,,,'nc;..irirl.i.n1,;r"t1r(c"n.:tt:Lirfl,ec.:*citn-tfe;ii.r.iicr,i]"",,ry,,:;irrt:...:,tj.;t,;c,i;,l;iii.r,s,,"ct-,-p.#cii;r",lA'-c'cc*iiin.;i;ticg,.t.nr,;.;er,'g:#li,soo.a.ieicpo,;ri,'nirusio,*c,ceslnrntc,asr,fticar,arcie.narc"icer,rsrgeagr(isirseef#uicrosr_.nu_ie-t
chiar gi de liceenii no;tri de azi. Ei a descoperit cele rrrai cie seami pro-
prietifi ale elipselor, dar cercetirile sale erau hulite de gtiinla vrernii.
Dup'i moartea lui Apollonius, toate cercetS.rile lui s-au scufundat tn
negur5", timp de aproape doui mii Ce ani, cind intr-o noui epoc[ a dez-
voltS.rii omenirii s-a sirnfit nevoia 9i utilitatea lor. Dupi cum se gtie,
Apollonius ..r toi.t" p.optietifile ei $i nu a fost're-
pd.reismcoitpeinrisceur"eiinptruni ai gtiinlei antice, deoarece descs-
pcuenriorsiiceultu;ii cel mare
se refereau ia cu.rbe care se depirtau de perfecfia cercului,
deci nu se apropiau rie perfecfiunea gtiinlei visati. de filozofii vremii.
tNinoztEc'.'rei,ol;iriirtrc;{er"t,ifel-itn--a-tsppnn?inieDier.oE':Polaciinafa*1ia.rmit,crreir.rnc'tceacrarn-iecituns(lce,sbjntt'smaciar,iilr.n.nrsh;-r"r1ti-ei:nIec-s,ir:,0a?;beim,jenpir:isoenFr'r3t'ract,riiiirt.r-ncc-.eec'11ni,frrit3c'ccrau';dts-siris0.rtircro,t-ci.r,,ao$ii-.rap:i;il,elii1'tt1ebl"f,acieunr,c'i.itrdiiciefe*zaa1io,".alnr-nrgsA,r;ipn*"a;.iicr,"*rt;;"lei,i,"li;is'zir;a","irt;it;i.i",n-*.ic.rt",,i;itn-s:.tit;n,",e,*pie,r:l,ipto*rt]ra',a,e,c,nn,i*i,rns'lr"epre"dl"*.rtsr1t"rarcr*rei"ij.!ee-alr',r*iirr|;a^inionrdcn;.ac,ou;iriis7z"igiue;fem,er;cirxt,iii.,/ar"ricri'ati'r-rx,,.n.e;i".'nii"p,i;,'.iu'iirfrt"it,ct;,e''o.s,ii,r,oeloirie;nnf,x;:r;rf,"fioiJti'e;;iij.irlnn)r;t'tsitLli.ii"ui,0cttt,r;luei5r;1,,au.tait,aiac;,inen,scs0coi<eucurnl..rrr.niioee.up;rrrrpaftfj.tricirnidi'ui,iarctasc*tn'ul.eaitf;iuier_'i___-...
d*ocimu-mi Cepnlfa,tceleluec;itriummripieleurliugsoi-,aadurae-apr em;tir,ierdtcueurictseeansguca, ne-o mlitrrr-isesc cu exactitate
pce[rfe-cffiulrnleaa.
sincer avea iclei fixe
chiar
R[minind, desigur, tot in dcmeniul geometriei, vom intllni de la
lnceput situalii in care nr,r se pcate aplica cu strictele rigoarea..
DESPRE Vom intilni, de exeniplu, idei geometrice ce Le
folcsira {5"ri" a Ie Ii definil in prealabil destul
DEFINITII, de rigrrros. De asemenea, vorn |ace afi,rm,al'ii
AXIOUIE 9r ., ce Le vorn utiliza in demonstrarea unor fapte
TEOREI\{E qecmcirice (teoreme) firi a avea posibilitatea si
le dernorrstrim. Pe acestea le vom n'Jmi axio'nxe"
orici-neSalrnutnicnetrirur totul de acorci, ;i inleleg ce vrei s5" spui. Desigur cii ir:ic-iirri'ilcr:tiilctee,I'li)ccffeeiD,tnuerefilcll,aeinrecnic,rPaiadacossiraeieenpsocecsarpecairceoi6tfenisiscsescii6aibliaers.intssce-ia,fz.lscer"1D;afda-ir.-":La..rr,F,iii',ji,iliooanir.u'l-a;.ipic;.:nre.;.:tr;.ac;;s;;rr-f.;e.i:ior'ifbi.pi*;ci"r,r"hierlvrFctre.zlaaiiceiruaeisprste:tie,rv.;al;i1uor9g3ugcoe3nlrra)t.si.u,srarii,fz,trir'oictsi"a,fii/ar^n7eci*.is,rgerpEinteralrce,i isiaF.aetogpDviaannarz_c:riii
jurul slu igi va da seama
o privire ci gtie multe lncruri.
csetni rtnaatiitsdceuretrd.icinLetrneted-oupiripnutrn-cutne
despre geometrie. IJn.-:le ciintr-e Luclnri
trec mai rnulte cirepte, rirlrmul
punct
este linia dreapt5, fo:-ma peretilor ciiirierei sau a ecranului televizorului
este dreptunghiulalii etc. -- incii aproape nimeni nu se gindegte sir ie
defineasci, si 16 cxpiime in propczilii sau siinbci.uri. I)ar existi in jurni
nostru gi, iir general, in acest rinivers infinit, ciestule el.ernente;i fapte
adescduinisire:u-itirlicicarientniuuipisnian-ttecistutrqei - Da. Farci simt ci, s-a {.-,cut ccr.a lnai nrrilt.-r lurnini in proble-
geometrice -nvuizmiabiilveorbsaimu cle Dulin e.,'i- ia discufie, dar pe alcrl:i;ri ari i::li,i rimas ;i '.,-t,r".-Cc zici dacir
dente, ca s5- rncle p*se
a ie clescoperi,
gduSenfsiviinmeirs;oiargclelaa.nsiDizfiacetaea,pcieeancratrc,ulfaaacpiIetleupie,uttgereeabofr:rrl:iiiceclsr5iic[ien]sp_r-cciqcregisanun,u.ilzmfnunruinlscriainiig;uai rccis,u:sninto'c:aae;p-teinr1diei Elico;n:;r.eltlrli:al;cjiiir:i;:.:ri:d.e::I^a:,b1a.'z':eile1'e"i',^s"e,"irtice:rr'cnair iiincciat:c'ep',li.J;, '";,;i-r;*;;lirt.J1r,s";:;i;n"r;.e;:le
ll:$iri:All|r|isrtlod!eeril(e534s-a3lc2s2ti)r,nifliiii.c7ce.n[ *{f"s,6i,;.rrt'ni,,utmn\tirgi"inridiiito. r
cu afirmaliiie sirnplc care conrlrc La alirnra.tli mai complic:-lt.e pe rnirsuri. rr .nr dc stiinfi al
, ,ru..",,-Ln, tecrcricd
Oper1aAspaocll:oLnpiituaslirtlcitsotePterragtaat(u3l6i2n-t.1it8u0l;rit.eC-no..i)t.:creilat,tesmcraistiicri.lL8nca5Lirtiaisntrcoenrroeinsegarelcil, i;'s:a:rg'c;eipoJt'utnr:u1-dnia1lu$luvns{ie'3,oisrr"sdssc"trrjo,tlripaaio1,rltiajoJeit:{:arnieen|s'o;umo:atur;ruic;tmrr6;.uririiait,ii,r'-L..i{,i1.r:,i:e-,,t\-curxir.s?auli1*fzn,1"ed:ni*r":r;:,uri;,-"ui;"-'}arilI'i.a,'";ifcjr;.oie;ti'xs.rodiit'opin".nirir'inr.;o,"itgr"ee,timier.coa,e"iruiriisrac,cistiai5itp-_ruc9'cdictfriiieri.a,elnuii-ie""dpirii""itprn.nir;^-aiibi"#Jt'iibo,j"ii"r,n*,io,or.atrrAut.re,;tscs"ir,cna"oopgittade"iilat'idinae,.t
+tiO Oe teoreiae si proprietdti (cea mai maie parte cJescopcrite de el) aie curbelot: 71
pe care le-a nr:mit eiipsi, hiperbolS. si parabolir. Aite lucriri trateazl despre
rcsioerencsafiidrf:eanriiimr cco<i.a.rnsAiccpeiocielalogrneiiuaasug;jiluacnvariattai 't.lriirneziriour1rnl(<ie,'.epieicsol:,sr,er1rbe:i.taiunpCreegsici.otipt ecr;:rilreilae:pisetrnotnruorndiecsec.opSee-
?0
*,.irilriii.'il;di;"fs^td;tn;Ini,;l"eafio;liiteri"uied;;tl;.i;lrtlief1n;;l;e.i-l'*cni-T;"i;earCie8f';.iJ.lblat,t;l.i"Jieeren.l.B"aUiesb"ir""dnnl.srul;;,.;didii"uau;:g;.n'edde;;iu.;;msd;s";true;ei.ai"nieidi1iannm.;"tonv.u"e;.oti;"naepuim;no;nr"sp;fs.1niu=ntai,ins.tocamrroercs,t,alleatrrnru*itl"p.liisinit"ri.noeedsttilmtlreuetemoJnt"n'"i.)iei^drpv"i".pi'taLgosee1oop"ottsi,dtoui"raseiid"ctietiitreriir*dnmea.rnbibcr-ao"*ecseeeneiainfulprloniee.iip.taucfiilaepaeliaisfnl"Sefarircra,immJmtim5ernpdreeari.macilasence9iamcndccetpa,iiealoeielui$l"a'rneplnsadccfalrilr"aaet5ttseivC"iniriednnr"uilcndtndrn_timeepimeaaraeoeumpctreepmlf'e5irildaisooaibitcpri.uciomexdtmrnries'oai.ruenifinirseinnsrlisaremiemi:ntenlolitetaqltblr-sieirpiaaaaaiioi.riberc[lpflintnmcceeeiiniTngfaaiiuersz,acnedfel.ctoa.rraucpeedctecinl.tieIec"xleasraaliemtreirmaamc[d[lm:pnepr-.ascescP;,lxtdeoroeoitiig6otc,er.nenilTmiognxnibaev,nnssitstrillieprcccelteet'niaJdutercrn{prlaa"diaien-idb,emJelntrzbtijtvmeaecituea.lcniroaidl-desi-ooD!eedtrmzisiettr'rxlcEeeiairaiilso,f.*nsccuaociiflrlrvlefecatie.tertrreegepdcamaispmdtpasenmiieeo-ftoenliiocaie:iin{cei;..reardi-ilro-!c-----' R.cn-6 Eu imi arnintesc ccca ce s*sfii, gi nu te car\trazic, dar nu uita c[
rezulti
rd;itl;r^:;eif;""a;i;l;oi;'Tta.J.fa";.'";u';p'[t1.Ui*;ac;;*r;sti;tiie;rpirii-iiu^ipnirperncniii-rsiipetse.*eDiptaaitoclu"5tn-. apcifiiirtciiannimnidi9inaeitrednegeutitn,ae!c-n*eanicemiaacxeeo'ilxonercp"setr'epiinn'tetCalcctinoddsnctsnd.ipdctucmdnraooclnate,-r Descartes a E,rccizat ci ,,adevdrurile cu asernenea calit[!i
;;([di*.;:riteciiiira;;.-llliu1";|m*"r"otuir;;i\d[*lbio;;\to.!;"i;eiidn-;,i"ntd;)"*;ttoa;;iest;;-idnsamt.ft;tdtitrti;,r-urap"riie;da'c[,ltt;nai1"Itt;a";int'-ilvdtau""iiert;a"fe*i,r"a*'imr,"Rilulini.tt.t*.ooucr*ttrilaci*rnn"il*i;iretoilr;.stt6i9i.r,o^".-"tfAinro*i"norDacrr*J'arpA'ifceu.sti*miie"sain"art*u,oc,veie!rfntuaie'ia.;aneicerirlurtmetttuiuare^ecrr"alcsel,a"ufulp-ccpJeilfl"iiiinenao.rniiormetots5ctrpaptizmr.teaa"erledeitubtanrceeecilecuttunntlamiceeeaiiutrerlsx,neceaatlruruia.nnroiteslsaiivceeemcb{riacir.tinnnuaonecrsiei!eEide'r'iie.eeciuai1plarrenb;nrnsnraitnait-pa.iirczempdeutaneosI.icaiseezArnispaDtzei.tipitfe-cavineaarnrbfpeoleinctu.st1ieepniriattapcAt^e'ct1a'5rdueiDcazea";l,nut,riep'eedlrcaiipsarinrnntrrcoraeiruer!nea'n1p,dime.pdnrtacoedtrl1ote-cieetzatrav1diiseeblriJar-trslrpuaeitXenlauiftlilrna1luee"r9te'i-;rt'-,iili dtn i'nh.d!|'i'l,e ra!.iunii ci asernenea intuifii nu-gi au originea
Eie sint riescoperite d-e;i rnii=rtea ollului in mod nemijlocit"firl iri simfuri.
precizzte anterior, numite adevh'uri certe 9i' autentice' si
necesite
Vdciiiairn"erdaip,i'tRse:5Oue-Rjnsbtcc6snpae6D"prtievD'tds,erdec"sracascratiagergtisendPsqisrnio-tda"efuelceipnseistorl[creeeipb-na,,eacrrtaln1tet-lclia-nadasdleeciarducusanpczcdteiua?eltpvlAseslrdrpucaurerei.piineonptlancRol;ottt.eereaf-niib-lla6irletb'.fr.mo)-!euseitnsrocccyasaactmra:ut:tetu-gensTr'e'-ci'1ua: cerronstralii, printr-o cunoagtere intuitivi" ca.re are Iabaz6 ratiunea nu.
experienfa, deoarece expedenia poilte sb. ne clucd. in eroareil.
s[ decidd. iute ntto*e sinl acele adevlruri' Tot in susfincrea accstci id;i L.TJ.Brouwer, intemeietorul intuiti-
l Erpresia de termen prirnitiv trebuie luatd cu sensul de termerr primar onismului ma1cmatic, in lucrar,.a ..h:tuitionisrn ancl Formalism,, aratl ii
,,rntLrifia gste 9li.na:cb_ta.iviotafetei.indde, a rninf ii urnane. Ea este indepen<ien-
sau nof:rine priinari, adici prima' ;Jinciiiie o repioducere incornpleti a gincirii
t5 de limb:1,
72 nuruai
Iiirrc'. exat'te. Irrtuiiia nu pcate fi descrisir adecvat prin nici^un fel d6 regulr
plrcise; r-lemonstraiia este validi nunr,ai dac[ esie o construc-iie ai cXrei
p,rsi ii:.iir"icii-rali :.irrt ci !J.nir. Intrr^'!ia
raiiunii csle independentii qle
y:)pcricnli,-cial are oAr;eaacliLla,'.iveeariil-b'iicncet,ir"i.rttuiriilisaenfsiiunldcioefsatccualtcaiteear'rialalioJnoarrltie,
f iinlele- ginclitoare".
r'sr"ul. suiie-iencaszap,u;mt.l':to"ia4nricsneiiei.lre.ircliiirinuaictauErriiurtlticridlmiiceci-lta.eracfafaiiriitprtrerurruasiiao-liuriidii[iinr:nueeutplmitnaittanXgxeeinoEotnalmerleeme,t-ercinestcte-eaplreejrnieaieacsstauutercrnaup-mrtb.irisnnI-naea
vi.zut
acest
stii -
peaiutdpcc;a;a:actn-r1riuvracncInr(rdterllr"erlcnro6urol'ecc_nitconeanrrocconrvutolase61Esi:mumctrimnnia,ctnu(ba1"udtllseiuldp3i1iiupreraipltattovcr,eira.ere,rrini.tod!aoylivls,pr{ulr-nsevuioFtdLeerlud*erlarn'ecc.erc-v:clsalrrluill.s.rrmxudrueedilcl'cddaua3i:otmeadFrferedas.rrcici1ndieepiutilirrlrcea-edneloueiniseltcfotenomriiuormiaurvnelplremnida.iUdErtse-darriouontuteoion*unteel.trsrpiponziinnnaacrae.tipedeeitarcEaelsld.tareiiennieu..lidre!t-inrrrr.eredlsrrteiidetaaaascpnznr-cosenirlahiuf'e!ri_ueioti{ivatiaceuEe'faoppdpnsi)outnlercE.lits,aieuceec.ul-otgconoeltersrpntdterfadiDdsunrtorpitEemeallacriecieels.stojroouuunmxleaneicaaaprctrpiIcngctne,tsemulleitrurteutleneaoedeilnrecrndda,ascroxmni,tfaeree,reldteimiciitjceeaarxecJsdl'xldeftelpieplencdlort_uatieoa{{utdesieteiasrnziiro-ernutcgganiiaEtdcjaateiescgiruir.,iiersna-eeareuuueroirscuerp6mndttbeincinriisoerulnrnadjelesomesaamti-focnti,ievneemir.nnsblrea,rd.lprseuauagsti9iilcipre,i,Ei,erlltige,icituiaGiuirrtanc;;irtlueeurtaolrpiedid'ci,aecg-mvficladierren"ii'ltenprpndliierreneape6cfdpatf"irp-coce-nicnrarieoet;.^sea.lpaaidaii-iatlvnearr."tloqie.ieisb;d,d;ciEulfdEil;nt,;aleidodlea.eriel'iadp.oc;eeiu,nle"{;tnotenrcncceiniffitnaseroci;uiniillde^.n,cesi;]eir"dn;ot;"iJiiscimu1,*io-i[tt.ipndeuia;enr;il.ipriio,o,"1rEietcrrnlaa.oereigrildnn.niilpieirm.bet"aperletta.frrJtliltitl.uir.;ena{"lou.a1onanir.icslumincum;ueclt{;oloporiia;rajtin;n_ce.a;rntsifrc'l-geaaoanretrcitil*atiei.ilrsaainrntssiaf*eta.-tiitiii,
tlt ---
easse1npd-zlotulczrerlirin1.vim',cig.uler-dit.dei.nIdnt-leaeroeal,rn-odmmtz"itarir,ieuDedi:o.rpodogttianrnii"rueaiozeegseat-xm._t1s1irlmgieoAaeomuem.glcaiiopnaieiPtecmreiiai.drrrl-roeeiqst,dnit.gt5trredi.z0tiace{eo0iicerudnpeldeepiastfe.irloitnadieccacp,nsre5mtvrreeion,laeiasojpdslamxojgotoiddaaotazuiecrniiedsnfsve{iseeieii,,tmcrr,e,uEvio.pEirifruentiolfluecettisrirccrlneci-nlddcigoialadoile,riratl,oeeoiea,mipazdndcaxeeebeiuinr_troulriedamitatc1aimretue3sti,nastculcidjodadi.iun.dsu1t"rrrtn""tiealiio-fnvsdriposc".sir-rrrrtiaferiiiuoir?"uipern"rreimtitap'-;""cau"lruieaer9penttruiigilec'-E,r*ten.umoa'dli"racrnue"a"n,lniddinec.df"u.uaotg--rcarsi,sleeao"ltl
n.)
'J
aaite iil care ge,oln{jilir sc prtzii:ti iiltr-iln urrid ol51a'rrizat^logic' E"uclid le,gic joac5. in maternatici acelagi rol pe care-l au experienfetre in fizic5,
p,_,r.ircgtc dc li citci,,, arieviruri stabilitt'Pre is chimie, biologie. Cred c5. eqti de acord, Frofesore, ce in-rnatematic5,
cr iiintl fur;damentale ainctloecvEmraait,S.cqIn;i in f.izic5, in chimie etc. ifi poate veni o idee care ifi pare
5i;.;;it;;gte pc ele geornetria, folosin,li-:e tie raficnarnente logiee fizic'a, mergi
in laborator s-o verifici; in matematicS.-tre-
tvuie sd te retragi in lafuratorwl, gindi,rii, s[ mai gindeqti si si incerci sA
;ic;clrasa;iid.lii;lr;tl;lo-eetu1,e.e#";#',*cttprrulefl,"o.au;t;aoo;f-ser#ulil;r;ieTe.lioEt'i";cec,ttiaovig;e"-i;iola"ciitili'emv;"tined,;;ai!c;ei.i;*;i;vlii"e;lrr.ceno.m;i,.af.cntn;nie"lritl,ntn.pcciac.ato:ucodci"tedignicnnlb"ieaie.uaapianclccculnicvrriecito*tofc]iiLdipec;lc"rtpnr-,eit-runisscneu!rrs.cist-rreae":uapialnoii"trcetpido.-uui"yuircsssetite'eiipet"Etst'rauini.aver*'aun"naeretdlfbxa.r.r[,nepl'c*tlr.nenesrilruiiiiaaudiJa'nrrCturnsz:ro!nf,,e.v,l,niucir:lul,,puine_,citec;:n;p'ldrri,,d,uilcociitcr'iri=l-liiresiir:lFt.,rtonaiirr!'i';iu,,irc'oirt;nitnclec.itolsedlli'i:i"ic*.i;eft{.ea"'reipe*r-i(att';nr;ecvalislrcr.uao)etaer:c<ntsan,pGcocr1.lrifliite,-caiel.ei:er-:':iui-ficazpjiat.o"olufegcl,miebilntt.iuntAe:riongwseiblnarg.,>lcntfetoiirriefatrlodfa$raiccc'ecm1r'aalfeci.i:lu,1anen:]stscddio;awirm:ii:ntlztec,uitrcarn'letraeicetdiicst'apajcl'rl,clccn[pt;ecmgacci:slE<stcait^rrziace,ceEet..omi-:rt:lcnrct'r:uae'infitituc.titeasaiapitascssrf-ckt'iix.tLtr-gilnrc'rl:ailruietrlguilliaimt.uit'dieer'u-ntrunlceJcr;l-rogIiDei,<is;a.epmta'm,mi-uriae'aoli:h:nipaFroltealicsiitnnmirucc.tedltoeteaeictrLtsaliucrtiT"e-rgtiif:b-letlrl*tdctilraosullin-eircan-iie'r--t:rtt-, gisqti acelei idei o dernonstrafie.
! Ce poate fi
aces-t,,iSndeetme nreotrraiggiininallacbeo-rlalatonrsuelr:;g.?inSdiirmii"t mai sublim dec?t
parcd" acest indemn chiar in
pagii flculi pin5. acurn de ncii pr-ir: a;a nurnitul lqbiriaet al, geonoetriei" Aa
lirsat urme sigure acegti pagi, iar tu ai cernut intr-attt fiecare notiune,
iiecare idee sau teorie pu.s5. in rliscugie incit ai reu;it chiar s5. b[ti"tbregti
ci.ile parcuise. Se pare c5. te-ai retras deseori in labaratorwl, gtndirii,.
GindirsL r:rateinaticl" este o art5.. Ceea ce constituie nerml matematicilor
este tocrnai aceastl putere creatoare neiimitati a inteligenlei omenEti,
care introduce pe in1:reg parcr-rrsutr prccesnlui gindirii maternatice ele-
mente noi, prin definilii ;i a.'iiorne, posedlnd rnagistral arta de a le conr.-
trrina, creind astfei noi idei, teorji sau propozifii matenatice.
-fapNteulonrurmnaatiegminad.tiirceea. pur rna.tematicS. cste o art5., ci insisi elabora-
rea
Ralionamentul rnatematic, in afar|'de faptul
e5" este constructiv, el este o aclc-;i"rat5 arti. Accste afirmalii se pot
$liioari"."uir"rrr,ta19to21.,-A.ilib"erat cEeainsstaiecinelcsiepguanjel atr:o,g,iFcruol gdr,eesourilcercacloiznal"it*udte axioma-
justifica daci urmirim rafionamentul aplicat ln redactarea Cemonstrati-
intuitiv:
ei oricS.rei teoieme sau probtreme. Firi . rttnl
REDACTARtrA insista asllpra notiuniloi fundamentaie sau
TEIdONSTRATIILOR asupia clifei'itelor ixiorne din geornetria plani
n;ili;.ror"6";iu."rifto;raa*;tarFa;";r"uidea"i"t"te.i;;niuni";oc'it"*i"iiriu",tJinieilrr"c.irielltcce[iog'i,iintic.rtraiiooecu"otmroou.-riiriomucg.agiien-i"pi'-I.;t1actit't*ceieiltuietioctbEircrovdil1ilil.een'ie.matilaaiafilnePf.ritcii"eeni.ieiiti.rttialir;reeieeimfI-lailcsi:edliaoieiusaelingat*itliseeuctecioenmeiri.irtDasiufnsnotinulrenruroartcmniisegtlteisiei1:tdumlep.,tenrcraziaineul[aet9dborixiocietufuiarbioriucnteiuimeeceaunci-aiei-ttllivlcuisveucacliutso{am'tuactnrtrerieiesaetmedbtgtprergauurianmim1diijredae[ncaee-.u\crtazirpnsicxtueaeoiiltboclosnaearucrttnrz"r6uui;e.a-'ti
euctridianl culn ar fi notiunea de punct, linie
linie curbl, plan, spaliu;i altele, sau cum ar fi
dreaptS, dleptei, a planului, axioma paraleleJ.or etc., ialxi iopnrioapduinstas5n"f'enei,
;ixioraa
oprim asupra teoiemei ce se referi la surna unghiuriloi' unui triunghi,
a;a cum esie prezentatS" iir manuatre, gi s[-i urn:5.rim rationarnentul ce
intervine pe parcursul intregii clemonstrafii.
a.--l^iomt'lc sint luate aql; culll siitt dair:' sesizeazl principiitre gtiinfei' Teorenzd.. Sunia. unghiuriior unui triunghi este egali cu doul unghiuri
drepte.
f,itJ".tol activ, piiir iniuitie dir"ect5,
.*""pt*;tpti ulnt ir.iugi concliliile gindirii. Cbservdm c5' ra{ionamentul 1. Se d[; t.riutghiui oarccale -.,]ilC
z. Se cere' ,? l- h -r C: i. dr.
iir6I.i;;'o";r"e';;e;i';;iir;-iot";;;.icaJ;,ii,in''or,i;;1;ttir'i;;n;ig,lt'.;itiiu:cEli;i-i'iiief;;ri.iiit,,,''"io:rtis'"'.r*ci';l;t,lileiirrineele"iii'ozi;i"niiisi"v"riaOie.*r,r*io'rrieiLsApo;-il-ltt;,iep,oac:t;,;itirb;i-fnrrral,;;roe.r;;u"r";tara",'lr,-tr:t,t'uiro(e.;iu'.l?l,i.rue'r,',";tt,*JiiL.l\iliet-"*"i;"i:n!Jir1*l,u-uip,iii"s*n"t",i1.ioiiml,1u,'iiu,it,'r9i.t",eti\iituF5ririir,r"d5Etfll"teui)nrria-l,:t"')int"i'nr."Ijic1iainoiuzcil^tn"riz"l;iCc,r'iprr<c'jnie"'rraul;r;ll'irii'tcr:nttireir5ieu!aiitlcreit!lsi6l.risecai.tir,ftgput'm'ii{isrlct'cirteicit1u'5piiitlcme'lilrl'rr{tt:lzisuuliripvjrctrTinpiurifnrExrd.toh,rc"iacgailccr)eelr.tpimttrv^n'iitr.i,aerr1jpcics!mi.ofcanoei:odfo1it-rrl:rapilean:lnmlatlr-'ee;init1r1rrrtcyir"ie[rb1te:{i!rluna:uuacillpme'rei_tr-ncaiIa-.la-ioasdtlzu:ttpaeerieiiimul'tln'mti:.adccirlfo:naa'ilEiiddtittioltcc'i:ceecrjiornltcG-SocorCnt]lirar'rou"eairo6srar}i--iri' Dunon,strc,lit:
}}lin virfiil C al tri::ngitiuiui,4rJC se clucr: r;araleie rJ la latura lB
ifis.31).
ln jurril purrctului C. cle acceai;i partr: ;r rircpti:i rl, s-au {orniat ungldu-
iiie trir.:nghiuiui dat care flc impreilnl rloul rirghiuli drepte. Dreaptal
d, este ri;ricii (postul:Ltul lui iiuciitl).
:-"'*\ A-r'C\ l{ (alterne inter-ne, Lf 6t{.1
tsAC
A.r'^B'. C: l-3"/C'\ N (aIl-erne interne, -l/6rll
74 T&
uungeolredseumgeesrstiui ipleocgaicreaelxupneorirendtearnleo-nasatrraiittiai,taurtiflei ,bpineentvruenaitien,lecleeglepumliani
peirtru inceput.
r\cestea ar fi:.
I. Delimitarea ipotezei de concluzie gi scrierea corectS. a fiecSreia.
2. Efe:tuarea figurii cit mai ccrect gi cit mai lngrijil esie totdeauna
un ajutor pentru o gin'lire mai c1ar5 ;i poate da sugestii de felul cuxa s-ax
rezolva probierna.
considel c[ simpiifici
fis.31 3. Redactarea demonstraiiei pe cloul coloane la inceputul invillrii.
organizarea lucruLui cel pufin pentiu. cei ce sint
Suma r:nghiurilor formate in jurul unlri. punct 9i situate de aceea;i 4. Fentru inceput, relactarea demonstraliilor sii se facl exersind
parte a unei drepte ce conline punctul este: pe probleme simple.
A-rC\.*[ B-^C\I/ ,'\ :2 5. Este foarte impcrtant ca pe in'ireg pa.icursul demonstraliei s5" fie
+ ACB expiicat clar ;i corect rafionamentul, rl:roiivlild fiecarc etap5. a lui.
-'r c7t.
Inlocuind fiecare unghi cu congruentul slu avenr: ;i tn citeva dceireleclvieom* da v-a flrri a fi consid"erate ghicluri unice
im',rabile in"xaecerrarspiiSe
se pui*L observa cum sint combina{i
i + A ,r t :2 dr. q.e.d. pa;ii care fac trecerea de la o afirmalie la aita.
Am c14t acest exemplu nu pentru a unnlri demonstralia in sirre, clci Oricd' tecremi este o propozifie afirmatir.'5, actric[, dacd' un al]urnit
ralionamehtril fciiosit nu adi-rce nimic nou. fapt este aCevlrat, atu,vtci a1t fapt nateinatic este aclevlrat.
Ceea ce atrage atenlia este faptul cL nici o reguii maternaticl nu 1le Parte:r dac'i a teoreillei se nume;te i'potezi';
TEOREME PREZEI\T- ea aaun!5" cee:I ce este dat. Partea atuttci a
nifnanipedrtiiugcmeein. clseolin,csplt*ricteuJgimelti-ptenrsieninn'lvfaaibrfoduyelamtCooyanuistttrrgiauintniedgiii.r.ri,iTri.orfalcucrie,npacaiaraaracii:,eltaioansdatlriani.enianifttiuuair,taicveASsB. ta,i TATE SUB FOR}IA te:remei se n'cme;te c'ttt'cl,wzie; ea en,rnfi ceea
IPOTEZi-CONCLU- ce trebu.ie demonstrat pe baza a ceeir ce este
ZIE $I RECIPRCCE- dat.*Li{tJtincmitco"m'a een-ttc,mPprloef,en:ootrcc,lzsi-ulen:i telefonul.
Ia balza dernonsTraliei s[ devin[ o adevirratS" artS'. Firl'aceasti inter* - Tetrefonul tiu parc[-i soneria ;colii. Mi-a
venfie (constructivi) a gindirii, echivalenla dintre. propczitia ,,luTa t-E ACESTOR{
,rr-,gi,iutilnt rmui triunghi; cu propozitia ,,surna unghiurilor formatc in sunal in cap tot anul. Simt ci fac alergle'daci nu ridici mai repede
pjuuinucituuni',o,-rtitp'o,u.nrctf;ii psuittuuat tefi de aceeaEi I_apat[rtedeac,iucne[ i ddermepotnesctrea.licaonulinneei
ceptoru1....
stabiiiti.
ieot**e sau a unei iroblerne nu este un procedeu rnecanic'
trn cursul oricS.rti deinonstralii intelvine inifiativa liber[ a inteiigen- Cprroist--teiACasnlieoeuii?i MsilC-iaairnpeerl?eensztCtiiernrnitisp'ittriloa.iuaanutlte,lm?'ctstdars,raoiavnrcuestileeuCrti'itsrrFitsiioc'ttisiailtetnui"?dviuaiaAri;n!gti,rgCrov[rlgoifsirrmtabialieecn;eut1ilp8cM5lu4uasrrmaetr!.ausDnelaeiicl?ei
.o"struie;te elemente ioi, cteeazi propozilii echivatrente iriter-
rfn.ie,d"iaur.eu final5' c[utati'
care cond'ac la echivalenla
Observisn cleci c[ ln rrratematicl, practica lnvifirii bazatd. pe merno*
rarea lqlec?r:tcl nri-gi afiir locul. Ea ae momentan falsa iiuzie c5. gtiru iuristice;i pirtiite d,e schi, pe fiecaie cu graclul ei cie dificultate.
eC.uaVsli-i--ct".uciet,nn,v,orpirr."rfiiinmia,rtrad-m.ai$raii,snMiudvauictrliheugi,iaitrarFtslonatsaitseiretlvreiaogforaant.elct-aEiatlapaaloopvuguen*cs1aatemt9,'1icAP{r;sd.occifnueeslagto-.eo,rnce:eo?reranIrl{Sapa.ml;ei ctvllrrnoii;sr'ctbdiiaaaesntsaac.
matematicir, insl l.l p;:irrra testare igi arati neputinfa'
gfn{i-reoabmseatrevm, adtrraJSg.ugl imrneilr1a,cuclo[ aasia idei valoroase despre
adunat multe in dernonstrarea teore-
ei iltervenlie
Sfaipntte.inrntrautetmoittuicied,,eidaeciorpd-ecc[arnq:uleexofisertli
iil*r*l"gt.,u- Jptroorbltlaemteecioerlogri atltor alte nasterii. loiul naslerii eic. Pentlu o mai sigari exactitate ne chestiona
interesali. \rine rfndul Cir-rliisCtiraisntiiraln].'{alnriere".bDatiriugnindetas-ia;inclsi:ct uotc,heellarirrsiip.jucnsde;i
mianediiiaaetrmerirocnnasst[itcrpaSol"iial-otri g|Jiolmensacidia.areelreassc.ilnIlegsetmioeernmmcaotrtreieemza-er'cncicein5t.ea. vdDaee;iidaecoeadeleaa,dticeomrneesdliladlocertraarctee[ o. ttloor". serios: ,,1n
lrr;ria a"i
nedumeriii ii zice:,,Mai spune odat[, biriefele, unde zici ci te-ai ndscut?"
?6 77
El r5sprinde: ,,lvrama mi-a spus c{ ur_-ryn. niscut acolo sus in Cristianul rant, ,,lar frun:,oasa Floreirtin* il stinge aruncindu-l ln apd. Ne c:rescrrse
Mare ;i.tie ar:eea mi-a pus 9i numele Cristian". Ne relaxfun si totul
Ne-am amuzat cu totii numele: ,,cristianul ri :iouri tenperatura. a;a ci il urmlm pe Crisiian.
$i cle atunti a;a i-a rilras i'L lost O.K. I-,a Cespiirfire ar-.:r stabiiit ca tn prirna'zi cu soare rJin siptir-
telefonui'primit de la ,,Cristian';L Mare" a sunat exact cum
Mare", Ei vezi, ,,r:a ioneiia scolii". I)eci pa*zil !! Ei rnd. in.,"itti rltilla viitoa.ie si ne reved.e-t tot la piscinl. Am intuit ci., ,,rnarele" Cri-
te,ai exprimat le piscina ",ii;,1;: ar fi fcsl in sptraiurerasiesi ealns1;:rtpetsir5"naitluiin. gOed;ait5n.ocruii pentru
..r,.alr-.1.e chiar clil soalele a face s6 aparb.
,,Cristalt' clin Poiani. Nu l-en refuzat. spera apar-.1
dern-onBstirnaere, adaurnotrreib.iptiuarisd[etiteezobream{.eem. lmpreunl citeva exeinple p|ivincl sl
l"iulmi Vine sI- creJ. ci. ai renunf at" ;;irrrsrlei-l:c-crCe:nutmairrdaso.t.uaaiIiczrui tlaitr.inmcprupaturfilxca,e.trSnsa,etges,nCcrBuartl-iice"sla,e"P,bPriorrofoeufseloslrueoi?r,uilnLtruecrhaisrrt:ii.inten:.. Il
,*i Nici vcrbi de renunfat. tr"1i fac *rrnito:iea piopu]lel e: nu mi pofi
refuza pr:ecun nici eu n-am fircut-o anterior.
oderdsopPnreian.ctieam,regi iv-inr!oitoiparrcicsmdieictlalci:5;p-iiusIetclimnVlo"'-i tsepfuerodngiai;stcei utlcoaot'tc-Ie'zncii1ecielhe,tiariattriiear ,icclaaici:crririlsevi.atefioelirefnrmreinre.:oo-ies 1-!rl De fapi nr1 este vorba de ,,iir:p rnaternatic*. Sincel sE-{i spaln nici
rril cullosc exa{i aceastl ncfiune de timp. Tiu m-arn re.ferit tra tiu:pul
,e treJruie s5"-1 folcsim ziinrc pcntiu preocupl.ri rna.ten:atice gi i-arn zis
,,iin-rp loa.tematii:". Notiuirea cie tirnp se poate defini, desigur. Crecl c[
vcm purta'si'un.-ie clis,:*!ii, F-.epet: nici ntmiL gindesc c5 ini" vei refpza.. irirrorlalrtS" ilu estfl de{inilia iilrpului, ci cit si curh rlistrit'uim timpui-*
Sper ii," rr-ai uitat ci gi eu fi-arrr redactat testele cLl ce"re spuneai c5. !i-:.in
incurcat;rolarii. tL:-. cd&inreedl iaslpoucnfuenmu-n rliverselor rroastre activitdli cotidienei, gi rnai ales
irrrOeof'i-tcaDs" de<atrcinaf,tcoa,na.idtien, ta-ernneilcsiatee,stddi*"aet,-rpetttdle.etndaaivcteeirrl;yitzti,aienlizcfe.ciF:oiertiamecxepascultael .esi pletios; cel cit studiului ;i p"reocup,.lrilor matematice"
n1-l pierzi
rnui De exer:plti, in cartea Gt%,dit'ea algari,tmicri {Edit. Tehnic6, 1982),
rrici- iutclul ei, Snl"osr.on M;Lrcusl, acorCl un spa{iu }arg timpului cornputa-
-- lirnpul uraternatic? N-ain auait de el. Cilrd mi. tnapciez vreau tional. Ti-o recornand. Este interesantl" ;i mai ales uiii5 pentru un vii.tor
tehnicii microprocesoarelor, calcuLatoaretror elec-
spreciaiist in dorneniul
tronice etc. Acolo vei intiini multe irlei;i teorii care pri-resc nofiunea de
s[-mi spui ce este acest tirnp. Acum arn plecat. Te ias cu bine si ne ::ever
denr rnline la ora 9,0C. r in:p.
tntilnirea a {ost fixatir chiar ia priscira ,,Ctistal.", una ciin piscineie pent-rMrr -aareidian.tcrteabaacteXceucmitesvLaauecxuemtipmlepucal rme actoenrtninatsicu?geOstpiiarrrtreivii-nadrnrlefornloors;.i-t
Poieniimai pulin aglomerat5., dotatSlu toate anexele unei piscine inoder- striirea unor teoreme. Iati.-le, cerceteazd^-le gi, cind ai ob:ervalii sau
tbrasl imensS. sclldata, aprroape intreaga zi lumini, de razele sugestii sau mai gtiu eir ce id,ei, te ascult. Intre ti-rnp mi retrag in blroul
ne $i cu o soarelui de rnunte, d.ar biindul scale nir ni
lrlinde ale care, din plcate n-reu s5-ffri rnai pun ordine fur hirtii.
s-a ;rr5,tat delcc in ziua re;pectivi, ba rnai mult, o ploaie mf,runtl ;i rece
ne-a obligat si nu. plr'Isirrrinleriorul piscinei. I-a un rnt,rnent dat observ Exern,plnl /. Suplernentele unghiuriior ccngruente sint congruente.
ci il,ire bazinul de inot apale ca o siien.l a ruf,rilor, Florertina - fost:r 1 Maycws, Solontan (n. 1925), pro{esor 1a catedra de analizd a Facult5.tii de
studentir la Intj.ustria cu
mea colegd. clin gene.calir, acum proaspi't1 Len:Lnu- maternatici, Univelsitaiea Euiurbgti, rloctor in ;tiinfe ma,terratice (i956)
lui. Noi lispuneim Tina. Dep5nim toli trei amintiri gco]iirelti. CristianuL t{jza: Notiunea de rnonotonie la funcfii. <L: doud variabile, doctor docent ln stiinte
(ri?in9,io6ten7tA)e.rlorIi'ris-pdae.enatrcreoudrdaluacctlriieanraea1anei-rGml ria9a6,rir4crtnpicii:eil,tmogir'ui,lrae,u,vTtoisimmteaotteineitfeiCnrniiptaaotri.oiuEn"asdtleee c5tre Aca'rlernia
M;rr:e, inclnlat de noua cturoftinli vrea si..i intre iu gratii ;r se dI ,,ma.re""
Prelinde c5" e;ecul lui de la bxaraenul de ad$ritere la T.C.lf. este o bine- menbru al co-
ii place natura, nunteie, dar ptaret5f"i-1nds9inccl i".niincgi ifnaceurJi.i*, lilg'ristici 9i poetic5,. de maternaticd
pentru'el. Lui nu l-al
facere de siiviculturi fi ipcintat. Stie de la . tu,t;p!llReit.tc.ilriioguirno,oasAscenuatredlzir:reirpltratt,lcuc'Cnienrre'ndni,rrraFrr.ctctevnb{ituinlitca',nn[claeolLriisecti,rJnSuaonlleot{tmniilaootnirciMdi,taLrucianurgsicuebiss'iitlitecidurennaackteie,rwcTeaet.toii..'crtoi,eir.i
tatea de sint silvici, stau rnai mult ln birou dectt tn pidure. Visui itti
chiar
este si se {aci p.ldurar-r,in5.tcr sau vlnitol-pidurar. De.acee3 ;i-a ales
exact gi uude v^a face armat:l: La VinS.torii <1e rnurrte. Discullm despre Solomon Marcus este plrniul. cerr:ctitor care a studiat tipologia algebric5, a
limbii romAne. A realizat lucr5ri de sintezd ca: Lingui,stica
fogtii profesori, lndeosebi cie cei din general5. cale ne-au fost cr:muni. tnatemalicd,, Modele
';natewatice in li,n,etisti.cd elc.
Intr*o siiualie vi.ne disculia despre Profesorul, an:iicul meu, care i-a Cu o remarcabili acuitate cie an:ilist, Solonon Ma,rcus ne descifreazd., lntr-uo
preCat lui Cristian timp de vre-o lunl rnateinatica. Lipsea profesoru] rltrn impresionant, probieme de ana1iz5, modernd., gram;r.tici si automate finite,
iui pe motiv de boal5. tn disculie Cristian se ,,aprincle" ;i clevine intole*
{unc}ii integrabile iu sens Riemann, Filozolia stiin}elor etc., avlnrl aprcxi.mativ
!l0C de lucri.ri, mernorii si articotre publicate in limba romAni, gi in limbi de cir-
rulalie . interna,tionalS .
t'6 rya
a) Desenlm o figuri cit mai corecti. qi sugestivi pentru a o folosi dluc5" spre concluzie. Nu trebure si rd.minem cu ideea c:a pozif,ia figurii
ln aceastS. demonstratie (vezi fig. 82). geometrice sau chiar figura in sine care ilustreazS. o teoremi sau o
b). Redactim teorema sub forma ipotezl-concluzie. problemS. este unic5" ;di eanfaumfleaamceedaespeencaatruenagmhiduerisleensaut-polenronei nsataureauintotriu-ol
1. Daci; I,/iOi-{ - /4. ,rnei c5.r!i. In cazul
PQR pczilie convenabili pentru noi, insS- ele pot fi desenate in altir pozifie
;i vgr r5.nine, evident, sup'lementare (r'ezi fig. 33).
2. MON gi tlAC sint supicneentare
Exemflul 2. Segmentul care unerrts mijioacele a doul laturi ale unui
iriunghi este paralel cu cea de a trein laturl gi egal cu jumltatea mirsurii
PQR $ DIiF siirt suplenteni-are
z^r. ./^\
Atunci: 1. RAC:= DEF
/lrc Yo'If
c) DernonstrctLie , jusTIriICARI / tI ._,
AFIRMATII !
.--'--'' r;
,4 este suplementul lui o 1. Ilat ';rin ipotez[ i J*',*-'
b-_--;_*Av
m(;1) fm(0) :180" 2. De{i:iifia siiplenicntului rinui
ringhi {:s.3il
E este suplementutr lui o 3. Dat prin ipotezl a) Ipotezd.: 1) ABC, triunghi o:areEcBare
2)
A +rn(Q) :180' 4. Definifia suplementului unui DA: Dts, EC
b) Conciuzie: 1) DE li AC
m(E) unghi
Rezrrlti c[: 5. Proprietatea de tranzitivitate z) DE: lntz
n /\ *m (o) : /\A a egalitililor c) Construclia figurii (vezi fig. 34).
(A) m (E) +m (9) 6. I)at prin ipotezi
7. Rezultir din scirderea egalitl-
Dar m(O) : m(0) B
liior 6 din 5
Rezulti c;:m(i) :*1i;
8. Conform definifiei unghiudlor
Atunci AAA: E -7F
congiueirte
Atragem atenfia c[ figura folositi in aceastS deiironstralie a fcst fie Q-j-
desenatS. intr-o astfel de pozilie incit si. sligcreze cel putin o idee care sa a:.tfPerl einlucnitgiDmEse:gmEeF:riuJ O.L. Fie Ji Lln pirnct ce apariine dreptei DE
/c Demonstrafie
_* _/ I '{. Ji AFIRMA TII JUSTIFICARI
1. Teorema de existenlir a punctelor
Cl{J 11. DE: EF 2. Definifia mijlocului unui segment
2. EB-.ECD.::EBC-.EF-
J AECF - AEDB 3. Definilia unghiurilor opuse la virf
4. L.V.L.
81,
s. 6cJ!- _ EBn Din definilia ccngrrim!c,,i t;iun* Exe;+tpl'ul, d. Dacir doul unghiui:i ale unui triunghi shrt congruente
unci litLiriir: opllse lor sirrt (
ghiurilor a 1 orrgruel11e.
a) trpotez).: 1)-AtsC tri':nghi
6. AB li cf: {:r. 'icclcrna: IiC5-F si ESD alle:ne (r'tzi fig' '15)"
i ntrrrre -2) A:Alrl.C /t'\
7. Definilia mijiccului irnu-i segurent ACB
8. Congruenfa triunghiurilor
7. AD ,= DE 9. Proprietatea rle tranzitivitat*: b) Cc'ncluzie: AB =: AC
1{,1. Teori:rna; i.aturile op}nse paraleLe
oa . .AD4.DlBDF==C=' ,C{,pF'Iaraielcgran 11. Definilia p:Lrirlr:logramrLlui . 1 Dernc'nst:a{ ;e BC u= CB ;i errident A-/C"\{3: A-/R-\C,
9. :t2. tr)eiini$ia aciur,S.rii a dsn5 segriiente I)eoarece .l\ =- A-/^A\ B, cazr.rlni U.L.U. IJe a.ici rezuliirc.i AB :atluAnCci
i1c rr iu:r3hi.ilui.
i0. 11," "Ieot erna intr-'cn p:rraleiogiam .AIJC
latuiiie opuse iiint corgrueritc"
1,1 . DE :1i "qOc ii 4IJi: ?116 =LABC tx"4.CB, cc'rnfc;rm
PF
17, fiind iaturi corespott,.lente
tJ" A{- - }t}Ti
Obseivlur c:i teci:ern;'lc 3 5i 4 rint intr-o relalie cicr:;sebitir" Relafia
dinlre ele este i1iai usor de sc'sizet ri;lci ]e reforir-lulilnr astfel:
ilE 1 fit -tr\"Teareyna,-?. Se diL AABC. Dacit ,1i].=,'1C, aiunci
14. =- 1{. Opcra}ii c:r segmente.
--,16'
L
E:uent,t''itii..,?" DacX" dou5 latu;j ale unui tiinrgtrri sini ccr.igruente, Ace"1.^1e.eoyteenorare4lr.cSese,lniulrAteAs]c)Cu. tiaflrre; i.p,'r1ofttct=ce=l,ef'ril,ba!!,e' atutlci AB': '4C.
atunci un;;hiuiili: opuse a"cestol laturi sitii conglue;rter.
lltragenr atcn{i;:. c5, atr:.nci cind demoltstr[rn o teoreni prezentatS.
a) IpotezX.; tr'i A!3C, trirlrgiii sr.1"b fsvpa r!.t:tt:ri...,' ahtnc'i..., este rerotrrandabil sir studien ;i reciproca sa"
Aru observal cli ip.;i:eza de la tec,r'ernit 3 devine ccncluzie iri teorema 4,
2i AR _lC
b) Conciuzi"t i}i. ==.fr) 9i coiiciuzia tj.irr teorena 3 cievinc ipo-tg1[ in teorema 4, rnotiv peutru
,l'.,,r0, up.t,r*rr. cI- ttna esie ieleilalte. S-e poate iniihpia-destul
c) Construciia figu'ii (vczi f;;. 35). reciprocr.
cle cies {:i} r'ecipr:oca unci t.eol'etne ad.evlrate sl fie {als['
d) D6munstrafi6 Clriil o teoilernir ;i reci.prlca ei sinr: ambele adev[rate, ]e putem com-
AF-IIr"l/iA] iI Lrina ini,r-o sil.?tr['1-eoreini, iirilizirrd expresir- d,a,:d. 9i rcitri,ai' dard'. ln
cazul n.istru, putcnr ccrlrb;ina teo:erncle 3 qi a in ururirtoarca:
JiisTrFicAilr
1" "t-s4^"84\C==: iO s;i. AC * AfJ 1. Dat prin iputeza 'j'cctre tn.7
2. Proprietati:a dc reflexii,Lirrtr:
Z. {-:/J^H\ *Se Adrin As,t4rid;3iaC.l.. Alrriici rtie :frn daci;i nutiai clacA AC: AB"
3. Cazul L.U.L. ;rieezxretlmt|pcleirletrseibrltu.iinetesd-
A ABC: [:{Cil .resante, rj.ar mai ateni; telretnele clernsnstrate,
A-AB*C y-\ 4. Deirnigia corgr;e:nfei in triunghiuli ales piai.rzibile.
ln concluzie,
tiCR t.rctnsfarm,dll, Catele en*niate de ibatczir. in a.;a fel incit s[ desplinciem din
I ==.
etre pe acelea c;.re fr-,rureaz'a can,cluzitv.
Am obsc'rvu.t c,l aii pus acce-nt pe ceea ce este foai'te irnportant, ;i
anufite. pe reforrnr,i.l';;-ea-tcorernci in r.;a fei incit sI" se vaclii foarte exact
frclenJe,aKtzrreeeuargs]"eatimfs,,pitero6tlntti",iwl;erpecrorii.ta:ledil$zf,.iiao.iciop;iantic,acrtc.meierazercateo!e.trbv,el1ilsci.-gLvoieTLanctrcicoeoniinrb;iuczuu!i,iauen1.ze-rrs,r-a,eia',cbrcruf-aefipeocuteirorteneesrbisriupcflaieaiecf,otnidafroieriri*tmnre,ruo:9iacinai sstsact5dln.a.ufatiinS"rfrnti.ierL.errnuD:niinsie.cmdeia, vui0icannmi
ipotJzi. cX. un fapt are lac dac'a ace.l afirmalie nu ar fi foiositi in rafio-
fig. 35 ii:"in*enMi.ii bucur cir ai sesizat aspectc interesante ;i c5. chiar le-ai formulat
in ts::riresri irccesibiii. Am omis i:rs[ formulalaa unei cerinfe aproape
$q
ffi
analoage asi-1pla cS.ieia trebuie si airagern ln mod. deosebit atenfia, 'etric-t Dragi Pr,rfesore, consid.er c[ in definirea locatlu'C geom,etric esta
necesar si nu ornitem nici cel mai neinsemnat element. Forrou-
{ijnd, Ce reguli, cie cele mai deoseoli uitat5.. Esie vorba de ctincaqterea larea lui, dac5. nu indeptrinegte anumite condi!.ii, poate deveni confuzd
ea definirea cii mai riguroasl a noliuniLor folosite eronat5". Si nu ne lisim deci p[c5"lifi de capcane].e iabirintului.
Si in redactar-ea demon- '.qi Atenlie:In flgura 38 orice-punct al lui-pC este egal depirtat
itraliilor gi rezclva,rea probtrernelbr' cle
Aceasti cerinll deritir ditr reatritatea evidentl, anume aceea c.1 nu se punctele ,4 ;i resuectiv B, dar segmentutr fC nu este calacterizat de
:iiiona cu noliuni. a clror descriere sa': definiliq ng o P8, deoarece conriilia este sa'"isf5-cutiL rle rnulte
poate opcra 9i clrci lceici noliuni srit defriii!ii ii sc;izl:-n-ircccsjtatea' cLinriilia sPeAa-fi,i epeC"nse,gmPenEtuCl QDC, gi anume de toate puncteie puncte
itipi,ri,,r, chir;i dreptei
$Tr-onn-arrnlascititiaoesnandaturemCcceiteiqenstvcorintci;elrueie'eneatoxcci'sl.ilttctlrmlein:braici'riliiiecroi;gisrid::a"reocooausnsecoib'..atirnigcot.eaon;rtreiciidnrraedrieaniaotiliiuiiruondiefafpeinecilsciada" rrienigtoruo- ci,:.!:e nu A,f ECD, C e CD).
de loc
AD|D €CD, Q motivul pentru ca!:e o teorernl sau o problemi
Acesta'este,
5{eoaretric se irnparte cie obicei in dcui p1rli:
einsttielALirooiicm.liioe,dfd9goii<r"eosirs["ecrao"stpt5ftla.o:..acd,*et"frmo.1p*csi"tu[ai;iirtn.beiieiosxreeivcriJntn,g;palulrulren',daeirlutananlunioginanfli.iaitnuemdiuediuen(rvtml'ae-itzt,uoi rafiilrege'au3n6tue)'icurenmghli:
va trebui, c1e la incepirt, s[ ne punem urrnStoarcle intreblri:
1. Ce lnfelegem pr:in loc geomelr-ic? Iig. 5E
Fentru a'rli"puncl-e 1a aceaslS, intrebare s5. ne rearnintirn de teorem:r.
i. Orice punct ai rnullimii ce determinS, iocul georrretric satisface
mediatoarei un,-ri segment.
condilia dat5..
pinI",IJer"liiaetogaarleadepuSn.ir.Lriastee';dJemecnatpedLienlter-snengrpnleanntuelsutie(.vmezuillifmige'a3*7p)u' ncteLOr
"o"aPAlie'e,arsn,ceuenr,et'i,aZscponingnceiiienliicchi5niv.dipieleupnnlticinrtietcelue dcinoeena'dJ-iialniatuo'.Qa'irtAeei-mdupsiBfiinmstaicuadcreuacpRtcu'r{nizc:ateteReBCtc'ei; 2.'Recipr:oc, ori.ce punct care satisface condifla da.ti este in rnullimea
ce determinl locul geometric c5.utat.
Iati deci. c5. nurna.i respectind" conctrifiile tr gi 2 putein spune c5. arn
ln$eies exact ce este un loc geornetric.
nu apar nurnai in teoreme, ci 9i in Cefinifii. acurn s5" ved,em a doua intrebare.
De exemplu, siera cu centrul,O,.;i raz5' r prin definifie iocul inleLegem prin distanla de ia punctul
e*'e rl oSi il{ la laturile O'4 Ots atre
Ce 9i
bgenoim-etrr"icS*pfrt-orrte.rnrot''.lep..,ui nc:c,-terliocr.ra,"{edci:hLrascpiaeilriiuzl.ci.a'1red-et'dceopnlindei\siac O^coIIn:di}iat';
unghirilui ACB? lLrngimea perpendiculart:i dusi din punctul M la
Rdspuns. Este
laturiie Oz{ respectiv OB ale unghiului. liiind clare rispunsurile Ia aceste
intreb5ri, defir-rirea noliunilor ce intrE" in enunlul teoremei sint ;i ele
,cia.re, ;i atunci enunlul teorernei se reformuleaiS. astfel:
/'\- : M-2"\olly (vezi fig' 36)
IpotezS.: t)
lrfoiW'
2\ x|]l' J-OAI'
Ccncluzia3: )1-)11M-'t1I'", tL' O: -Wh'I,Xf"
Futern spune cL avinrl odrpeupntemlaobdaeziaeoxreircn[preluil.id-ecli-ast,auamteocrliai rioifigciacet
sensul reguiii pe care
PascaL
-'rl anume: ,,s[ substituiin definiliiie in locutr obiectelor definite", la
Trebuie
care am mai putea adluga ci este chiar necesar si folosi:n toate pirlile
fig, l'i? rlefiniliei clnd aceasta se compune din mai neulte pi"r!i. Trebuie, de
B5
oU{A
&
asemenea, si fim atenfi, deoarece definilia aceleiagi nofiuni poate, Am aj ur:s dcci la rczulir"t piistr-un ;ir rie transforrnil.ri.
.[n accst sir ca nici o
adeseori, si ia mai multe fotme, iar noi trebuie s5" o alegem pe cea mai p;,Lrt-e a ipotezei'si de l.ransfornr.i.:i este nevoie si firn atenfi
nu s;ru ::ii fie p5.r[lit5. Ne putent
comodi pentru scopul ce-I urmSrim. rilninir nefolositir
Aqa curn ne-am exprimat referitor la ipotezd., trebuie sl_t_ransformfun
r:onvinge de aceasta, analizinci dai:i noua ipotezi este ecirivalenti cu cea
datele ei ln apa fel incit sL punern in evidenli concluzia. Uneori gS.sirn
imediai teorelna care s[ ne perrnit[ s[ efectuim aceastS. transfortnare. anterioar ii.
Alteori, din:potr:iv5, tiebuie s5" trecem prin rnai multe trepte interme* In teore;lra noastri observl-rn ci foima i?) a ipctezei esie ecliiva-
cjiare. ln exemplul ce urrneazE vom cbserva fazele prin care trece ipoteza !ci;tit cti forn,:r il).
sFrc er se apropia cit mai mult de concluzie. Singula <1er-i:rebj,le es';e c[ rela{ia ,4D == AC tiiost inlocuiti" cu rel;rlia
,/r.
Vc"rnr demonstra teoren:a : ACD ''= A-f"D* C, dar: esle cunosc.;.t cl tLr acela;i t::iLrnglii cele douir reia{ii
ln orice triunghi, rrnei laturi rnai rnt:i i se opune un unp;hi mai mare se iurplicS, unl- pe cealalti. Ipotez:r i2) pcaie fi deci sr:bstituiti ipotezei
{l) gi deci a o utilizrL pe oricare din ele este acelagi lucru.
{vezi fi.g. 39). ]l >- :iC" I-"'i;i;l vom a.fl.j.
pe AtrS,lungimea lD -: .4C e.stfel Ca o reccnir.uldare, se poate a.firsla c:i" llri r1e cite ori ile
ci. pPurroi,s;rni.prlurlelm:;lci ifrie,li intre ,'1 9i "8. oprili ?n troc, ln ci:.r'sui unei ileilronstralii, va treLir-ri si ne intrebS.rr dac:i
aceastS" siiria.",tir: llir rje datoregi.e ia.pt'nI'*i cii" a^n tietdr:t pe parcuis o
piil Le din ipoiezi sau ci'tra,nsiorrnirile fi.cute ar-i rri.1s la reiatii neechi-
vaL-nte. ce s-a" afiimat pini acnma este bine v,::lit. Am analizat-
toate pirfile, iar ccnciuzia;rm dat-o uiiir.rli. l'.iu crezi, drag';|
ipote-zTaopte
meu, ci 9i
t1e ajutor concluzia atr avea uii cuvint de spu.s, clindu-ne asttel o rntnri
putea descoperi mai u;or?
spre a o
conc-luDziaac:i"nsuuhs'ltirinas;faorrcneavfai ,ipinosteeazraulpiLe,cntiruaiaaouzaipi rnoup;ror datX cum strigi
de mine, e prea
gi'eu, m5. plictisesc agteptind pin5" ce ajungef i la minr'. De cc nrr obserl'afi
c[ este mu].L mai avantajos si opera]i asupra rnea. lnlocuiii-mn cu altir
concluzie echivalentS. cu rnine, care mir i;rplici" pe mine, concluzie care
fig. 39 ve{i vedea c[ se cXeduce ma-i ugor din ipoteza dai5". Po]i s[ demonstrezi,
Ipotez[: ]) segmentril ll4 se afl5. in prrtrungirea. segnientului BC Profesore, c5. !i s-a lntlmplat a;;a ceva? Dac[ nu, eu nu sint dispus s[ te
{1) 2\ AD: AC creC nici dacl-fi dai cuvintul de cnoare, cdci nr-am ars odat5". Erarn
mppariui-naz5rc.il.adssepeulIenasru:nicarriecrdoneliec-giin..fNLp-uae-m:cnuiivnfiStnr"tecubcs5ae"tma: ;Eategrentsiates.i9gPiuarromcfelrscoeorpubilainmi-eo-?irrea-psecidua.lertaiert.rl
Am gtiut destul de bine La ascultare, clar ctnd s5.-uri pund notir, iuri ce; e
gi caietul de temi in care verie probiema cu pricina rezotrvatd. grqit.
Concluzic: 1i A-/\C" B > -,A{E\ C Cscroesz-tnodiaci.cna-opi,to.tiuD, mac55..pounfleces:irmo refac la tabli.
Cbser.,im cL noutr triunghi ADC in care l:.D : AC este isosct'i gi acas:i ru era Cu citeva. poti.cneli arn
cieci are unghiui'ile de Ia bazir ccingluente. Aceasta ne per-mite siL dirm rncd sig",rr o
bai, cir in
rezoXvam corect. Ar.;l truat o notir rnai mici dar am inv[]at ceva:
ipotezei o nouir foim!..
IpoteziL: 1) segnientui D,4 se afii ln preLtingirea segmentuiui $l} l In mateinaticS,, nu r.rai crede pe nirireni pe cun,int, fli-fi limp ;i
7) tzt-C-\ D: l*\ convinge-te singur, cI" nurnai aga. vei fi signr qi responsabil de ce ai ficut.
l)eci denionstreazi.'fi afirmafia, ProfLlsore,
:ADA/C^D.C ,l
{z) -/\. +D/CGB- , A-DC- : A-rB'\C + BCD, adev-ZrrSiinnctosni'gieusrtacblil.ii'-IearnparinnsL1bsienecoipnitaimzlp.,lacriesee..faAcie invifat Ce mic un
Conclnzie: 1) ACIS dzr Ei pe baza pr:opriuiui
aceasta eonforrn teoremei. referit oare la unghiul exterior al unrri triungiri. efort, ci"ci irltfel nirnic nu ai cle ci;tigat, ira rnai mult, te pirc5Je;ti sir;gur-,
qi apoi, aga cum spui, te-ai convins la vreme c), nici o :r{!r'r:rafie n}ate-
:Din arnbele relafii dedrrcern: ACIS A^\BC + z/tsC-D > -Ar^\BC, q.e.d"
inatici nu trehuie crezuti firi a fi dernonstratS."
d,t) of7
resp-ecBtiinviesminic-aerpsriirnfsiu-nucervnai-ma apiritnirszdiuelo*c nu pot s[ neg. dar in ziua Concluzie: l) ffi: @
bine. \'reau sd vi"d acum,
Profesore, cit de b,ine ifi prinde ci nu te crcd pe cuvint. Desigur, si in aceasti situalie va trebui s5 ne convingem c5" norla
cmaofaanircalsuizcmiaepzlur5el,irpinrulenznicneaticreearcneeolsaui;ai daceodmnecovlnlurszctieraime;ismtceeamai rianniiufciluat pldlrein;cizitLc5tca"eaeatae,ddadtee5;c"i im-t cueinlat
prob-lerNnau m[ crezi? Atunci, convinge-te, urmirind cu atenlie cunr. ilr
foarte ava"ntajcas5" dati, ins5. tot atit de exact5".
ce urmeaz5-, transforrnarea concluziei esle
Daci dintr-un punct 1,4, situat pe cercul ci::cumscris urlui triLrnghi
lBC, cobor?rn perpenciicu.lareie X,IP, IIQ si iyfli pe cele trei laturi,
picioarele acestor perperidicutrare sint cotriniare (vezi fig. 40). Este important s5. sesiz5"m cS.multe teoreme pot fi enunlate in forme
diferite. De asemenea, intilnim cazari cind propozilia conttari unei
propozifii oarecare este echivalentS. cu reciproca aceieiagi propozilii.
Aci amintim nurnitl prrn redu,cere la ab-
A s';trd., care ccnsti ;i metoda de demonstrare adevlratS. gi in ace-
presupunind ipoteza
! !iIt/t'/al.,/'".,1,*,,,\-.r-\-I.4;i.r_i---'.'--r*-'l_;',*r{'"1:"',lia--r,*,,\.,-:'.' '-" in a arita ci
lagi timp concluzia fals5, ajungem la o contradicfie. Deci concluzia nu
poate fi fatrs1, ci a"Jeviratir.
Indiferent de tipul propozifiei de dern'rnstra.t, va trebui s5" ajungern
pi-in rafionament la gisirea diferiielor forme echivalente pe c:ire le poate
;i, evident, este necesar s[ le analizirm spre a o
?.ua acee4;i propozifie
care convine cel mai bine demonstratiei, adici
putea alege pe aceea
,,Tretruie si dim problemei o formi care s[ fac5" lntotdearrnaposibil].
--..'.t"'
+,-^.'.-- .*. d'-- !q,. rezolvarea eil".
l-; ''.--*....---..-/ .."\,..14 t! Acurn te cred, iar in citatul s5"u, Abell a spus un adevir.
reugim
fig. 40 Dac-i s5. g5.sim cu ugurin{5. diferite forme sub care urare fi pusl
poate
probLema'ce urrieazS. sn fie' rezoivatL, atunci vorn reuli si'rezolvim cu
Dentonsira{ie. llentru ca punctele P, Q, R s5. fie coliniare va trebui aceeapi u;urin!5. o intreagS" varietate de probleme sau. se demonstrS.rn
d"iverse tipuri de teoreme din dorneniul geornetriei eLementare, bazindu-
s5. aritirn ci unghiuritre opuse la virf 6ln gi @ sint congruente".
Ipotez6: 1) Punctele A, B, C, M sint conciclice ne pe rafionamentutr logic deductiv.
Se tntilnesc totugi destule teoreme sau problerne care la prirna vedere
Z) MP, XIQ, MR sint respectiv perpendiculare pe par inaccesibile sau foarte grele, de;i in reaiitate ele ilot a'zea soluiii
RC, CA, AB -/\ foarte simple. Soluliite lor nu depind numai de ralionarnentul deductiv
Concluzie: l) /,jPf.i : pE care l-arn analizat gi aplicat pin5" acum, ci impun folosirea unor mij-
C:'8 loace speciale de transforrnare ciire nu rnai consta.u in locuirea unei
propozilii cu una echivalenti mai ccrhodS, ci in a tlece de la anumite
Din B-^Rr. IM : :./\. 90" rezuLtS. ci patrulaterul BRMP este in- proprietili a1e unei figuri la proprietS.li ccrespunzS.tc,are atre unei alle
BPll,I
-ft - 6fr.seriptibil gi avern .e tiguri in care rationarnenteie sint mult mai accesibiJ.e, nai pulin sofistica
te comparativ cu cele apiicabile figurii iniliale.
-4. -.A"
CPQ Cx{Q"
:La fel, patrulaterulQCX,f
P este inscriptitil si avem cd
Ya fi deci sorfocienl s5 stabilim c5. fut: GMQ ei problema este t Abel, Ni,els Henrik (1802-1829), matematician norvegian cu contribulii
originale in teoria general5, a ecualiilor si teoria grupurilor (grup abelian).
rezolvatS..
A descoperit diferite tipuri de ecualii rezolvabile prin radicali, numite ecualii
in-loOcbusitei rcvuimalct5a., prin rafionamentul anterior cancluzia inilialn a fost
a c5"rei deinonstralie este, evident, muit mai simpll, abeliene. A dat celebra teoremi asupia unor integ-rale de forma \" 7 1r, y1 ao
pi r.lspunde exact acelorasi cerinle solicitate de problemS, conceputS" ln numite integraie abeliene. A ardta.t cd ecuafiile algebrice
Ja superior lui
de grad
varianta datii inifial. Deci voni avea: patru nu admit, in general, solulii exprimate prin radicali etc. A muri.t tind,r, la
27 de ani, rdpus de o boal6 datoratd, condifiilor rnateriale precare in care a trdit.
Ipotezi: 1) Punctele A, B, C, M sint conciclice Contribufii.le sale sint cuprinse in citeva memorii ,unele apdrrite postum: IVIC'ynoiye
su.y les dquations algd.briqwes ow on, ditnorire l'impossibilitd de la risoluti,on de
2) IvIP, MQ Ai MR sint respectiv perpendiculare pe "B0, I'l.qaatian ghtdrale dw cinquiime degrd, Recherches swr les fonctions elli.ptiques.
CA ;i AB,
B8 B9
A defini transfot'ntarec despre ca.re este l'orba inseaninX a face s5"
figuri oar€care dr:aJteege*-acroiunmstitriu, ita[scifoelncfoirrfmiiiridpdcatetXzeice-a
rorespuntl5 unei confoin:.itate cu
r, aitri. figurS, in
r,lintii, a doua si fie aeLerrniuati|, ;i. invers. Din aiice pi'oprietaie a uneia,
tiuf.em deduce c p:oprieta.tr: a ceieilatrte. Nu totclea,rna este necesi:r s.l
iipliclm transformarea asupra inLregii. figlui consiclcra're. Deseori este
a.i.an1,ajos si tralsformXm nrimai c pllrte din ea. Aceasta. se intimpil-r in
cirzul transforrrrS.rilcr nur:rite t:r:ar:La',cie, rotalie, sirletrie, oncteti.e gi
in general r:rice asernirnare.
-- La tipuriie cie transforu-r-)lri errumera-trl 1/rearf sir raai a"dau51 tlnal
iw:ersi'u,wec,-care i^n ai-rurnitc conditii schirnbi o irc;rptir a figurii clattl
i,:il-::-un cerc in figura transfr.rmat5. ctc. Frin aceste i.tan:;':-'trrtiri se sirn-
psleiiiLc'Sr "prrnoublllerdncem.oTa*rcatnras.fiioarrurnrlodrlea.ncr1-ielntitieputeicrter:.rinnes,iacliiet ,g'isrieinzre,itvraiere, arodtaiv!eier,-
omotelic (;L"renrina.re), itl'e:rsiui:e sint airnite ,,translorriril'i geometricei""
llleuiio:rez cL nu trebuie sir- rfect:iiinr -'iratis'iclt-l-rarea decit daci dift+-
riiele care i',i;ure:rzi'" in ipct,:z[ sint rnr--ciificate prir: tr:-tilsfor-
i:roprietitl suficieirt dc siiilpi',:, fari,i r:a acestea si su{ere schimbiiri fig. 4t
Iriare
lntr-r,rnnli;,.l fi .lirn fornrula,rca:
e*u, 1;oliivit exprresiei co;lsaci:atr--, r:le s:i riim!;rit 'itoz:tsiau,ie prin transfcr-
nrai{i. in a,cesie concJi{ii vorn considei"a c5 SX se g[seascii drurnul cel miri scurt dintre punctele 3d' gi .Itr' care s5.
lig;tril a fost transfotma.ti. intr-o fonirl rerltl:ii1." intersecteze laturile unghir;lui,40,8.
PROF-,I-EME n:,ai-aLLe'.sr:cudticli.saiLrcfoiiicnrue.iilzlri:i.rranaid-icciireol-elvrpinugsie.toar,litre:i-t
2. Afi,rmalir.' Drrlrnul cel ru"ai scurt dintre doui puncte esie linia
RtrZCL\TATE li,.'i. it{-am gindit ia urrnS"toaretrc excrnple: <ireaptl cale le une;te.
I\'IODEL
Deci, unind punctele A4' ;i l,l' glsirn pozilia prrnctelor P ST p acolo
Il xeno|Slu,l 1 . Fie it'I ;i IV dcui pnncte cJ- stincte ll interioru.l unghiuiui
h-tiriil: C,+ Ei OA pozitia. punctelor f ;i respcctiv uride dreapta IL'L[' va intersecta laturi]"e unghiuiui dat.
-4O8. SIL-se giseascir pe
P astfei incit lini::" friuti..i Ii'i.,-y rir {ie ure }uni4ime minirrrl. 3'ri,stificfui:
X,XP: &f'.P, simetrice fafI" de axa OB
1e:letnr:l1-e.mnCeteatrnicsalt1rCeerCic;irc+oogbr.elcC;:rponricinsidi,'ei-aletdelianicreulpi;arroIplb,r:l"ecemlbiclame;rr:r::reni.tzetI'nl.n"ccaeitrilcais;'irt{:leclac'-nirpsrotLii':uislti-l-sir-?[li ns- lefoigcputirsrirl-ll
PO : Pf, proprietatea de reflexirzitatc
0N : p-ly'', sirnetrice fa!5. de a".ra O,i.
Rezulti. c5":
trrzc tlist.ur;elc cic {i',i'r' J', cr,t nc..-oie
I-,niFaici:-p.:rinintirr:t:el{leF.Pf}E/Otr,Beir:;.iliQi Esi-rOf,i4r.:;Driuncimenit',..c.IiFccigsi 'Jh,Lo{it1rat naspioci't-tirna[smirn:irntPr-fo. tuIP 1 I'Q + 0l/: Id'F 1- PQ + QI{' == 3['l{'
Deci linia frintl A,f PQN este cea mai sri;rr;r.
cin[ter<s]e:rcc'::-er ic-.o:rXlis- tlpuei.r0rr8si.-nqiicOtrilceelexa"c11t '{i'n.;i SZr presupunen]. cA mai existi gi anie puncte care lndeplinesc ccnditia
cii:eapii cr't- mai icul'li. Obserr;i"r-ir cerrrti de problerli. Fie acestea P,EOts 9i 590;1. Daloritii" siwretrici
,\" ;i ie rli:irn obiiser.n jl,J'lr' cir.re p';tern scrir::
punctele cil-utaie ir''ezi fig. 41). iUi6t 4- ItS + 5 : ;if'.R + RS + Slf'
Lini.r iire;ipif, itrf'.t/ elte ruit;imir si, din conciilii de simetrie, esie
rrgljil ct1 linia frintir, n{Irt.l/. Ace;rstil ].i;iie frilci ccn-u'ex} ne dirn sealrlir"
c1-;rn s-o niliil:alizirn irlinil .'1{'cir J'9i ol;{inirid puncteie I};i I ca'in Dar in patrulaterul ilf'rV'l?S ,rcgrnerrtr:l ,4f'N' este mai scurl d.ecli
linia frirri.i cr-r aceieaqi capete .i,if'1i5rv*', dtci:
ligure "i1; il{'N' < 14'nSN' aclicii,
r \rez1 r'r:lumvl Trt,nsjori,t,iri g,eor:ttlriaa, Cuiegere de probleme, de Lauren{iu MP + P8 + pN <.1{.R n nS + Stf ;i
c:re t,rr:ililiii ceri-iti" sinr unice s! anritre FE(s13
Duicarr si Ilie Duiciru, E<iitura litiinfil:rd ;i Enciclopedicd,, Bucure;ti, 1987. 'i,e: cQi punctele indeptrinesc
sfi EoA.
fi
d,;iEdxeeeancpelweatrg2i .pFarieteAa gt B dcul puncte distincte exterioare unei dreptr*
ei. Si se giseasci de lungiine
linia frintS. AMNB
nrinimi" gtiind c:il LIN Ed si are o lungime datl.
Sotwlie. Se aplicl punctului,4 transtralia T-+ de vectcr?r : frfr qi
se obline punctul A';ffi.' :ffW. Problema se re duce la a gd.si punctul
-0f astfel ca linia friut6 /'N + l/B Considerirn probienia
si fie minirn.l.
rezoir,atl gi facern constructia ca ln fig. 42.
fig. 43
iar A' igi va gdsi pozilia ,4, cerutd" de ipotezl. Observi.m cX noua figurX
este omoteticl cu prirna avfnd raportul de omotetie t,t .: BA,
BA'
Omoteticul l:ui M va f.i h[1 aflat pe dreapta BM . Deparece el treb--.uie si.
fie gi.pe ,4C il lu5n: iirtii pe C1 la interse-qia lui Bn{
Duc?nd apoi din C, perpendicul.ara pe 9i AC gi refacem in
sens invers. tsC obtinem B,.
apoi pe ,41. ;i
14rb.,o A-r9 n(R.*I^ei.g.;tS.EDeaixecaenso)enc.aoodrndpeselmutler,oal,nlP4ise.QtF.reiC1ezaiecFnecXs5ri.dc.[ uedirrlldeempa{upOntsa,ciurtder)eustsdsiicricc,p.eo:Lrtairnrictdree1-il{refmpa"Pe!g5rQhpdieuEenhipdMiuiclniNulc?latQucrail rpRfeae.slOel RtdaeiineOtiilRn-
Drumul cel mai scurt de 1z A' 7a d este segmentul A'A)-d, deci ft"
trebuie sI fie cit mai tr.proape de p'lnctul O. Unind ,4" sirnetricul
h.li
bcAaii'rietf.epasultletedpmeungdclrsetuialcpcutSar"u:d;tuactruidnepfo.au;rneiccpeiuuOlncrAlta"uItl'{Bjl:f observS.m cva. A"Bfld:
-lu'.
OA'I{. Punctul Iv" fiind sta-
gi d.eci linia frlnt[ cirutatd
este ,4I.I4NB.
Exew,plul S. !-ie AEC un triunghi ascufrt ung,hic. Si se arate c5. exist&
punctel.e Ar. Br, C1 care incieplinesc simultan condiliile
1) A,EAB; B.6BCi CrqCA.
2i ArBrlAB; BrCrl_tsC) C#.LCA.
Demonstralas. Considerim c[ punctul ,4, se af15" pe ,48 undeva
ln A'; iar ,B1 pe BC, Xn pozifia .B'astfetr imcit A'B' _L.AB (r'ezi fig. 43).
Ducem B'IILBC ;i
condiliile lui C1G af"ii A']IILAC $i gdsirn punctul Lf r.are indeplinegte
cle condiiia. cli a fi ituat pe latura.4C ionfoim
ipotezei" Hligcim punctul ,4'pe latura AI) aqa incit llf sH. ajungS, pe AC
c9 OE
Fie A : MPnN'}'. Fatrulaterul AR.lx,i}' este inscriptibil
(f-u/I\WP -A.,gaF.- .a==tuRn-/cf\i'l/a'v)e. mReRs,u4l:tOi cRd.^QD.'Retc|.i :R,4Q-:1'M\ .4
iar R,{ - P qpi" :
90' ;i QQ'4,
ll RB=, adicl punctele
,4 g'Ei xBewsi,npttus!i,m5.etFriicee fa!5" de R, q.g.d" ca!:_indepline-;te contl"itiile:
trinnghiul .48C,
iscscel,
AB:.4C, punctul D este mijlocul laturii BC, pu*ctui E_esfe picio-
rul perpendicularei ctin D W AC;i i; mijlocul sr:"gurentului -EE.
Sii se demonstreze cL A: F )-BE
ci triunghi.al ADC este drept-
Detnonstralie. Din AB AC rez;ilfva
unghic 16: OO';. IJnind punctul D cv fu|, rnijlc,:ril lui EC (fig'as)
avem Dll,f llB&-.
Problema revine la a clemonstra c5" AFLilI$. Dar obser'"'i1rp c5" -4F
gi D.&/ sinl meCiane ornoloage tn ceie cloul triun5;]rirlri dreptunghice ase-
rtnrieurnlegahEiuAriDleEa:EduDcCe.hRroptao.z|irapadedeccan{triuoEm:o;rteutincgch, idlc:ci 90" a-unuia din
omoloage vor fi pelpendicul.are. toate laturile
tror
f:ig,4€i
, {erlc_ f:it:c.dr-r'.ryit:''z: urelttartriit,ir,.l,.dde. t,.-r:otetie, cleci egelle intrc elc. Oirr I"i, : R:d,: d,
;ir li'
Ewx+blotl, o^. fntr-lui p.rtr-ulater co;rvex inscris in-oc1eiroc,.,p"'rlot*coiurs"u*al dia-
latu;,iior loi
r:orialeio/,,esie r:g;ll .u iorno prcdr;selor
iri.oiernei-ri) .
-.!'r.ian1.pCi:oiiictti;uitL,lutJijje.d"uTcreismciideinairni*ecte::urcl uBl MeQs,} r) patrulaterul oarecare AtsCD"
pe pr,:-
consideriin punctril r/
.lungirea acmi ui <irameiru {r.'ezi frg. 47). coustruim pr-in N dreaFi.a ,lj-ili,t.
L\ ipttlc:-ti:
Obseraalie. Din rezolvaie oitstrviim cX. i:ratarea problemei piin rinetor{a ]i Se d5. cercrrL A{O, r}
o:notetiei prezintir avantaje simplificlnd rnult calculeie. Proprnem citito-
rului sI rezolve aceeagi problemii ;i pe caLe sinteticl 9i aturlci singur -,'a. 2si.)lrEatDru;lai t.e.{rCu\ciAiaXgIoCnIatleiir.;cril ?:r ceic.
sesiza avantajul omr:tetiei. c'1 C orucilraie :
Esetnplwl,5. S",lno trei cercuri, Q;, @t,.Cs, tangente doui ciie dotir I
qi avind aceea;i iinie a centreLor (vezi f iil. 16). Se se c1':monstr eze (rv;- cercul \;1 1) AC. BD "-- AE.ilC .i- .i]] . lic
sdeetipao:rsl fBcinslii.rip!unlecrreeaApt-a
{!a, targerrt celor trei cercuri are rnisrrra diametrului egalva' c'-r distanfa i d) Ilem*nstra,l,it. Consirlcr-:i'ri iil.,'ersiunea J
Ce la centrul s,':u ia diamel.::ul celor irei c;plc)orclCuIeril.c9ui lpu@te3rseoAtrtasn' sAlaAru:ri 4 ;'" C'.
De'nr,ansira,lie. Aplicind invelsiunea de fi, l ..= El{" /v"F. F.rin acenstii- inr''ci'siur:ri:, cel:cul I)'
,'r, ii:.r prlrctele l, D;r C in'invelscit ior -/r',
vor avea. loc"urmiloarele transforrrri,.ri: in I
'i
el insrili; bi CercuJ @2 se transforrni in clreapta dt perpi:nd.iciil;'ri pe t ' rrl'6.r1Ict;P1:o,t'al:.c1lam.tmsc:.rci,<ttt,,epCe-irldpa,cunaduriturdn_i(ni'9iu{An}-.li1;yl6e.a8.g)A.,e.smt!r.i(ar\Ijt,tearmienaa.tEcli'gacrinpmtp9loiirzraglis:aict,L\;).oe1i>r.u:,;,m:.rr,.rrlg"riir:r1::rc.p,r-8cd,sec;rsrncrrcr_rpr:'lesncriui3_t
AC in p6ncLrii @; c) Cercu.lt Qt, se tr;:.nsforuLI- in dreapta d, perpeniicuiar-I-
ili r
pe,4Bin pi;i"lctul .B; d) Cercun Co ?ntr-un cert Q tangeni cerr:ulni @s gi
* ije asi:rorlorrrie" tri3lonometrie pland. si slericd si geometrie . ht .flotmsthigiielisaf la {nst
gi te:reura transver:sakri"(ivleneiau) atri-
cireptelor d,,s;idr. Acest cerc are diametruiegaictidiarnetri.:IAC9idistanla I 1lrla';siti.ild, ca.re din'acest moti.r r*
lul Ftolerneu.
cenlrului la diarnetrul .z{C egali tol cu fJC" .',ir;r'tlc'.criIcr:urt.apcAruree.asngeaQtii1etge.wgio'tenliaaasipiaporicg:pFtiiieuntarzenpiliorsi6,;f.!e.rsi-te.i;rucar.lewriirl,ltseiltPrizioetlorcilieoihmscimiqieioruiclridair.to.rdnAaleteionl,rLriroacgpicnro:otgire"aucf!ffqi"egini, o.ig\rrt"ogiunocOnsapritreiclcai.l,
Q sint ornotetice fntr,-g cmotciie cl,e centrn {
Obscqvlin ci-i. cercuriie @a $
,4. Rapr:r-iul razeiol ior cii 9i rapcrtiil ,:listanlelor centrelor la z1C sinL ,(
lt
a4
duce aproape anaiog dupi o investigale prealabil5 a noii cr'ndilii pus&
ipotezei.
poat-e Exemplele alese sint foarle interesa.iite 9i ele ilustreazl cum nu se
mai t-lar, cd o rnclodi de rezolvare sar.r denronstrare este perfecti,
--cd aplicind acea metodl
cnleacviopmutaetmiirgperervnencltlenaa--i gui;oervisCceqrprtuid, odveecditi
folcsind alte nietode.
Referitor lai obseruat'inr ce o faci 9i anume; Dac[ patrulaterul nu este
convex, egalitatea din enun! devine inegalitaic', arjlci:
AC' BD < AE . DC + t)D. BC,
vreau s5. fac urenliunea ci daci era foi::ruia.t5 a.ltfel adici, de exernplu:
Daci. patrulaterul nu este convex ce devine egalitatea din enun!? Intre-
barea, dac5" este pusS in acest fei,-cred cii teorerna ne siimeste crlriozita-
tea, ;i devine rnrj inleres:int5.. lntrcirlLca rie obtigl Ia ci investiga.re,
care ne indreaptir pagii spre ciescopt:i'irea rel:lfiei de inegalitate. Tu ai
oferit-o ca pe un clar, ir-sl, in matelnetir;i iot t-ecll ce :re c{eri \n dn.o nu
care se gisesc la interseclia dreptei d' cu razele vectoare Ai E6 qi,$ este de pre!, chiar,,-hc;i lnii in inomcntLrl lespt:cli','ii pr-t-fiiiesc. Totul
Inlre se'gmentele trebuie dobtndit cur trur.Li ruinfii gi cu eft-,it de uroinfi. Atrrnci simfi ade-
A'C', A'D';ib'C'd"t"ttttinaie de punctele A', D', C'
pe dreapta d., vom scrie reialia: virata izbindS. De ase,ne;re:r satis{acfia este tot ;l-iL c1e rnai-e atunci cinci
ai re*;it si de.::'rprli cu usurinti inetoda cea mili simpli gi rapidi cle
:A',C', A'D' + D',C'. (1) rez;lvare. In afara fapt*lui ci. ea
la tirnpui dc'iezr;iv"r'c) cste flu.moasi, este ;i economicoasd
Deoarece A' : g(A), gi D' : J(D), vom avea: (mi refer ;i iicest iuciu este foarte important
tsA-BA':la9i cind p:LrLicipi ia difel'ile concursuri. Tt-'1tr.,{i convinge singur dacl vei
rezolva exemplul 5 aplit:lnd relafiile rnetrice sau netoda analiticir. Vei
BD. BD':h vedea dezavancajul acestol' metode in {avoarea inversiunii cornbinati
Deci: cu omotctia.
BA'BA' : BD'BD' ;i deoarece LABD-LA'BD'va rezulta c[ conff)ierm{aatpti,ne)n.eugl;trne}ati9piuraripcidieitaprtec)ablseotniue.fiiAlorrn date prin transformi"ri s-a
observat
BBDA': AD A--'-D*':!p-:BED/--dar BA' :L 9i atunci ci. in re;:olvarea
A'D' d--.r.-i BA problernelor de lcc gec;metric ilplicarea aresi;ol nrei-ode este deosebit de
fertil5.
Reamintirn cd numini Loc geomeiric mulfirnea punctelor din plan
A'D,: k. ,4D (2) sau.din spafiu care au o aceeagi proprietate. Rezoiva.rea problei'neJ.or
de loc geomel,ric constir in ururS"toa.relc:
BD. BA
gi in mod aserninltor n.xc a) Stabilirea existen,tei unui punct care pose,Ji propi'ietatea datir.
D,c, : BD. BC si (3) b) Se considerii punctul care posedi proprietatea dati gi se stabi-
legte apir,rteuenfa acestui punct la o mullirne de puncte F cu aceeagi
A'c' : J:-*-- plopr ietate.
c) Se verifici clac[ orice punct ai muL;imi f, posedi proprietatea dat[.
BA.BC (4) hlullimea de puncte F este locul ciiritat cicciarece:
lnlocuind reia{iilc {Z), (3), gi (a) in (1) ;i efectuind calculele obfinem mul-linorriiicie'"princt care po:ed1 Xlroprictatea datl apa-rfine in mod necesar
prop-rieetsatteeasudficctieii.nt ca un ptlilct sL aparlini nulfimii F pentru a avea
relalia din enun!, adic5: Uneori vorn constata cit nu este acceptatir intreaga rnulfine F ci
AC,BD:4D.BC + DC.AB. numai o parte F a acesteia. In continuare, iatiL clLeva exernple de loc
observalie. Dac5. patrulaterul nu este_conv,ex, egalitatea tlin enua,t geornetric.
devine inegalitaie, dAi.l ,lC ' BD < AB' DC '+ AD' BC care se de-
96 97
? * Frin lakririntuL geomtric
Consicler c.l dac.l ne-am ins.isit modelul ce l-ai dat este suficient i(ill1v..i.e,tfiz.irlz.j-r:i,.lf,^.Ji.tlg^"T_.."_-i_l5l"rl_,,.li:)3i'. :uv:g.^rlrtd,l"^rcu:,.ril:nnru:cii:nll:edur'rvredqopa,rl:dlpu.trl;"[?rrt"rr2*B,'1;e''ct,:rr;.e:'i;.sf"Oi;mIaC;I#Sepl"rriioc;i'eui;rl:ir,4iiuc,i''ao.1l11par,rfnpi,lrirtlrrrlrcil;trriir,li)rr4i
gindirn drrpd el firi a nr;ri fece menfiunea scri-.d referitoare la grupar
clin motjve de ei:ononie de timp gi spafiu. I)up5 acc'lz :,;llf ;lril::ia:i.,Tre,O1:,l*[,r:b-?,e,.s-:+ipeo^"nriij'e'r,l,';5zo*{Jmitn?y)t,;,,ci;;1Ld,1:Tios.Ttsrt]ela:i:r':^n"n"of.cjr:t,J,r1ic"1'd,:.:e-ii,l"n-ei:it,-1rpi efj*u,',i11nd,,c,t"t.t*,.trr,;rrpl;,l";iu;,j.r,iuil'ri;,';-.;4pf;i,;,fi-,'a*r;;a:tUil;eril;e,d',i;eflidiHgp:. .L1''':riei,n'-1aTc. at;,?uin,y,l^l;m:lii,'io,#:bn,"ii.j",:.iAt',r:'.e$ic:L,:e
meleomdeelnet-eril.or rsi- prezint gt er,r citeva pr:obierrre dc loc geometric in rezolva
rea cirrora rintervvrin traannsstfoorrrnnairrtillee Sgeeoonntreetttl.ilccee.. Le gaisseesc linterreessaannt
dar mai ales cred cd d:rcir am abt.,r'dat at'est tip de probleme 9i urmiri
rezolvareil lor prin tran.,forinii-i geonretrite gise,sc necesa.r sii cons;olidim
cel pufin in parte rnetotla :ri:ljcati. lati exemplele:
9. Se dI trinngiriul <lieptunghic ABC ru A :90". Pe laturile .4
dp(vei elteCz:ri-mfmsiigeinnece5oClno)s.ctm$utliieignsecroi pmriiretrptariitrcrn:lrae'tlu.lplGu,4FnBe<.s'itsre1ilum,4i oEI'bDIiCl:,Ii;ianGGreBxUteqirDiCoEr.uslinttrifuixneg,hsiuiil'
Unin, pun.tril ,4 t'u &/ si dccltcern cl triungli,l ,4G14 este r^ongnt
cu trirr.nghiul ABBCC9(iGl(::190: ",BCAB. C:a eAleGme;inteACm-obiiileIGa)v.erRnePzuulnticit
dr:eapta i4A t
A, M gi segnrentul z1M. Illeilerrtele fixt: sir.rt: purrt:1ele B, C 9i segmentu
BC. Elernenteie r'r;n:it;r:r1e :iiiil BC : AM
fig. 50
Locul geometric al punctului ,4 este, evident, semicercul de di.ametr
BC gi simetricul acelui semicerc fafn de .tsC.
Locul geometric al punctului M, cerut de problerni, se obline di fig. nt
locul geornetric aLl punctului ,4 printr-o miscare de translalie de vectr
BC dupir direclia perpendicular5. pe BC 5i in sensul ron','exitl"tii semi 'rr'',r,/1,,,';;l:olECriilmi.:=lloe:eld:n:,cn.Pu[esurpereln]:uOrr,crtna.iee'm::,crzlgctgfle"riTsixttiZlei:sera:@,ril.:mirIti'cI(f'p0elt,ru,*ii,rcAn:A;i).uc,;,cr,u_;lst,uipre;;i,lrp;rt,cLi,n.a4:otrc'rinr,stiscr:gdtri]ridilrnuteo1rftiirpra*-r*tO:i:er.d'il1J'pi(en1,ar:fis\,pnri:1rnenic,.,ttrp,atra"rdtr'li.rd,elIlei;Jeffpice.,iMrJ'll:.;dMyl,i,:6l;"r;1d";1';i';1';,it.1":psJei;);Aril;rfcj:rriAdiru1tri"r.l.it..,rc"!rdlEEI;;e,;e0vil;ee.catumA:"er:r;i^neeartn(hrsittui,ie_e]l
cerctrltri BAC.. Decti el va fili tot u11t1r] semilct'ircc <dloe dclil::rlmuiertrl-ull Jt'Vp cdopllglu'l eq
cu tsC gi paralei cu acesta, ;i simeiricul acestui de dia l0l
scmicerc fall
tlul P8.
10. trie e, distanla dintr:e clrcpiele paralcle d:;i d' ;i un punct {i
,4 @aeoda.tPpruinnc.t4seselidduicciepoerdterenadpictiui laval'ar"ipaetritl|h.,4d'tcaasretlictritcinrsccit" d1 nd,':A
Iu
teaz5" drea
100
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Duican, Laurentiu - Prin labirintul Geometriei (pag. 109-112 sunt rupte jos)
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search