l'. l)eteuninali locutr geometric al intersecliei notati cu P a dreptelor -c[ Mi-a ajuns atit si n-am rnai citit nirnic. Notafia aceea am conside-
nu trebuie sl rirninX un secret.
O'M 1i O.4' {t'czi {ig' 52)' rat Ved c5-!i face plicere si umbli prin
si le'divulgi ideile. M[ intreb de ce
.aiid,pu,lt"r;lertui;rrt*ic;<":rSEt;.Eiril.:r,i*ilertc.lble*ri.,rIor:il;,ucl;i'r-nr1:ptrl"ei,-.e'srAu;u'4,1li.t,i:.it1'tap''1rteIldcleinr.,ili'.qe,t"tnc!u-<3iir:r,o:s'rril&'relctnicp,,ri0rrrbn9is'eeulioit;'ltttlrnc!t?i,uogilee.cliF'lti-,/f:tlte'ii"pucxaL:i'prl.ul'ei(sroOfn:nriur:c,.''.i,O{clPr:li,pe,ri:c"t'ueuri-'lcitcri0tienteA.se='liOccicni-:t;ril1ereut."tA'''ru!ilr;el/u1{;l<Otiis€Orrui"eiriOra'"ininti{@(:lr'cAicJiur9.,ieAbe,ei"liil'hiutOplflr,r'i;tmsailaurt,pui:lpntin"rolocrofatemLcrpOtrz'.rrteui'"oor:iPIrsill2lnatct"ec/luu1Pp:3oimt:2sii"u6uaucon=r1"riut.becrl@3l9\icitl9uOeuce''(*M'O"leuOlgAl'i.u9h'r=AAsini)lu.i?dt)''xe'ie0!u-p3D9sZAtAuuc'e.9AAnr1"iccs4AMa,ttd.uid'9c'oe'e!lli chia-r caietele ce conlin secrete gi
secretele tale, s[ zicem profesionale? gi cite ceva din
nu divulgi
rien-!T[ aemi,ndtraerbei adesecren?aPi guirsgei;tseimqpi lpue pentru c5" nu prea arn. Cevaexpe-
este intere-
la al]ii. Dac[ crezi ci
csrehiscicareur tlmedaneiuasiprmno5ps.elr5de,p-detaacr,bcaraferirzemonlvudairnseeaerxeopdrie'c:crSiee.rneIfai5pr-ruotbdinoleain,rep|io-daaetmemosafpteeurs-i
sant, cu
ci alte
matic5",
ceva din tensiunea gi triumful unei descoperi.ri.
tratd*-mIDarcreuepuot grlit-ai, Profesore. Pentru acest moti.v i{i propun s5 ne
pauzi, ce zicr, se pare c5. tensiunea discufiei o cere?
tfi propun ca lnainte de pauzi s5" ne tratd.m cu ceva lnti-
ritoare. Cum rezolvi problema?
* S5. lncerc, deci, urmi"regte-m5.: Mama, cum se poate pregi.ti o
cafea bun5", cu mult caimac, pentru tata gi un sirop rece pentru rnine,
care si miroase a zmeuri, mure gi lS.miie?
pot-deEsci,hcideetruetbauiceamsiergetiiivtoua.satsrtea?sl-Ernui abia am agteptat un motiv sX
mai miroase gi mie a pulini
matematic5., d,oar !i-am spus ci prin liceu rni-a plS"cut rnateinatica,
poate, tot atit cit filologia.
5 in-tr-Vo asiindgeumriinoor5,"cduemmpaotelimcarteicdde, c5. am uitat? Ai luat chiar doi de
care abia de un 10 ($tiu, ltiu
fac
sistemul vechi !): unul c[ ai flcut o problemi. avut6 ca tem6 ;i atr doilea,
c5. ai gtiut pe de rost o folmuli trigonometricS. pe care ceilalfi din clasX
nu gi-o arninteau. Este exact, da? Nu m5" ingali. memoria, dar refine;
la noi la gcoal6, nimeni nu prime4te noto- 10 pentru probleme din tema
de cas5" gi nici pentru c5. a memorat formule matematice.
lig.52 mele- V[d eu ce nu mi mai pot liuda cu matematica gtiutl in vremurile
de liceeani., dar cu siropelul preg5iit pentru tine, din zrneura gi
murele culese de noi trei din Crucrri
tata, imi dai voie si m5 laud? - gi cu cafeiufa preg5.tit5. pentru
.dlmsii'"1"uleuft5,r"i:pi'rf1.nri"rii.,-"Ju'i.lr.irrAAiargr,pl-:!,t9.e1etil,",;1io,,g"*J1,,,;in*ttt;;"c;ie.,nlitz,i,rrs.r1;*r;e"r,prlI,rstlupaiiernt.r.rrlr-.rru":i-e;rl.proit;,:ir'lrtiiaolrefir}npinctiif""a.oe*'urnStla"ii,iri.""iise'.,t-"ti*ir"5'fnvttat*"nea,'t"cr1ir,ntdL,kr"oro,ie:lt*.t"e;"blc'ricnt'pioc:riilrairiihait'io;tni'rrrairbiieifirrloli-etiLcrtdcm'tts:leiiliirtntrctedcni^tritr;r'iipta"e'ct:-,'e,toel,Lea'aA-,.anSr'itmAtr{aEpiiuii;t".rrrCurn's-ltcinDReu'''botlc'rei'z.Eiiiiges#sadTesiTeafro'irien:"amen'biztai^'adA!nu-ileJmPdinqe-aTetae.dctsrul'iit*aet5'inniavnz'!vtitabstcaoicrri:finotaqto"euntz"irtat'-il'i' prob-lemSa'a? va, maman, s'a va... Ei, bltrine, !i-a plicut curn am pus
aghtuian-!c5i.Bngin-iaecrupmucsaeeil,eenxd-ia.somtuad.cacecaez{aeicslueti1,. edt5ac.varitid5d"ea,ccuianbs-iaru-rorpfinui ladaveruo.tmcainteq' is-roecreezdoelvela,
* Haidefi, dragilor, nu-mi mai aducefi la-i;de cu expresii ca-n pro*
cu
orc:larrcmnitiiindid'iiqscccrar-eiett,.u;si iin)mmeuii(:ruoRgse,cdreaatcceeltlt bleme iar ,e,Duancu5"m9aii,a,Amtucnucic"ecf5i.cfliastairtoSp.;udl esef-anpc5t,Lzueigtete, c;ii cafelutele se
{ rlcesc, rni-am f5.cut
-*ilestui, riestul., EP)fl-r,{.e{,s,,o:.r.era. lETsctii gi eu parte... vorbele sint de prisos.
srirnir c'-iri,rzit,'tea. ;;..iil,;i., ol o
;i-a
ii!l 108
r{re
il
PROBLEI4E r-ev$itiaaliqzur!rin,, aremcosnif-ofritaplrio;piu, ndecitceevanuexecmhipalre, a) m(AoB) i m( BOC)
PROPUSE
care in plus au si misiunezr si bitS.toreasc[
trasecle pasilor no;tri plarinca,.rlaebmiri-natuml f, l b) rn(zioB) J- m( BOD
geome-
trici". Iati excurplele c) Comparaf i ungliiurile:
gindit: t) A,A0.B;1
-^*
Exemphtl 7. Fie M,I{ gi P, trei puncte ce aparlin uirei drepte d. I)
TJO
Stabilili vzrloarea logicS" a propoziliiior: 2) AO!: si COD
l) P tntre Pil4gi9lilfl,/,iaira.rNNesteestientilnetr.e41 ,Lf
2) l/ este intre ;i P, il 3) A)C ;i D)E
este ;i Cum se nllmssc unghiurile de Ia punctele 1, 2 ;i 3? Dar unghiurile
3) P P. l/.
este inlre ly' gi ,44, iar ,'ltl estc intre P gi
4) .44 este intre P gi 1{, iar ltf este intre A' gi P.
toc.AOC ;i COD, ;i unghitrrile Il)C OSDi CiOnD?pr
minEixeenlet,?pluN,Io2m. iFnaieliz.4a4f,i-.l\et.9i P trei p',rncte necoliniare" Cite drepte deter- Exewplwl elungirea segnrcrrtultrt OA $
7. F\e scg,mentul
Exentpl.ul .1. Fie A, B ;i C trei puncte distincte. Ce putem spune Bo Si se demonstreze ce utrghiur ile AOB ;i EOC sint comple-
mentare (fig. J)).
despre ele cind.:
o
ba))AABB ++BBCC>:A,4CC
Exenot'hrl y'. Procura{i-vh o bucati. s[
I-npovziirffieulfiaxsic:utit de placaj. lncercali linefi
intr-o al trntti creiori.
a)
b) ?n virfurile ascrifite a d.orrX creioane.
c) Determina{i numirul minitn de cleioa.ne cu ca.l-e puteli realiza
acesl lrrcnr. trg. 5.5
Enrinfafi pentru fiecare din cele trej siiu:rtii cite o propozifie afir- Demonstralie. (Completali jtistific5"rile care iipsesc)
matir,S (consider':im cl:r bucata de placiLj reprezint.l rrn plan).
_
5. Completali propozitia: intersec!ia a doui drepte dis- AI.-IRIIATiI JUSl'rFrCARr
Exer,ci5lu,l
tincte este.. ...., iar intersecfia a dcui plaitc este " I . Punctele A, O ,si E sint coli- l^
E,xenr,.Jtlu.l 6. ln figur-a 53 tlr:1 erminati: nlafe
a) rn(,-4-\88) + n(Iri1B-D) * rn(DBC) :,m . 2. AO B este suplernentul lui BOE 2. Definifia tinghiurilor suplemen-
bEc))xemmm((pBl-L/EBw\Dl.C7)).{-Imnn((fDiBg.R-uE-rEaA- ))5--4mdm.e.t.e.rmina.ii:.. *l-m :3. m(,4O8,1 a m( BOE ) 180' tare.
4. OB t*OC J.
4,
:5. m(BOC) q0'
\ Din definilia dreptelor perpen"
6. n(l3./a_o"\\E) :in(,L/O^\C') + 90" -
7. diculare
m(BOA) * m( L,OC ) -{- 90'
6.
:1800
7.
8. rr.(-A4O. B) * m(EOC) :90"
8.
9. AOts este co mplementarul un- 9.
Iig. 53 fig. trt ghiului EOC
104
108
_- ExamN>hll,8. Considerdm ci" triunghiurile dirr figurile 56 a, 56 b, 6. Fie ABCD r:n dreptunghi. s5 se construiasci un pS"trat echivalent
(vg't"criaa-uir7-p"iEaaer.xcpzb-eebi.egmi[.a;'itcp;sluiak"ilntart'ieligr/i1h.et3r)iueS.cci"Feue;aieJsdpecricrleudiie,nplpreict,t"ut4ue"anr"'igili;lsreihitotrirtaOusaeplic,eele'do;iz'liLacuctuOi.cuul],inb.gsuoeeasoccoaiinnnaedtretlrricicanezarac'l4t-mcr;reiiiijrelc{oiu,cnluu;pliiuuininnsscsecteegrclriesnaenMlnnt-l
56 c au clte dou5. elemente corespond.ente congruenteie slnt identificate
de semnele de. pe fiecare {jgur5-. completali clementul necesar pentru
a se.putea aplica axlo_qa de coirgruenlr pentru fiecare caz meniionat.
a) Pentru cazui U.L.U. .. ...
b) Pentm cazul L.IJ.L
a) Pentru cazul !..U.L
b) Pentru cazul L.L.L.
a) Pentru cazul L.U.L. . .. . tului Mll.
b) Fentru cazul U.L.U" tencAtrAiuBngIhAi C-oa:.reItI{Dl.ei SD!C4.DA. cbeieseac;itoparorebaleumn-l
Exewplttl, 74. Fie ABC
ghi;;i ,ai 5n .. demon"trez
ii"a en esie l-ri..ectoaic exteritrarS.
Exentplwl /5. Deterninali distania Jittre doui puncte M ;ri l/ aflate
pe cloul insule la care nu existi posibilitate de acr:es'
Exe'mpl'ul 16. Fie ABC un triunghi dreptun'ghic ('? :90')' iar D
u-n 3ip.euOnsn.eI.eccelAeanDP,zraronrfrDiinreeBre.iPD'doCatec,neiuizpieurio.ttpiio-z4ifDiileesuterminiitloliamrees(irnetciapdroevcSa"rtaeteo:-
fig 56 a fig 56 b
-re-mei indllimii). atrinci AD este ini"lfime (reciproca teo-
Z. no.i Abr*EC"BD
remei catetei).
Exent"plu,l t7" S'd se calculeze a-pojernl arr;i lapeturriatru1,n,' *a unui poligon
t"g"ful iiscris in 3' 4' 6'
cercul c$ raza di lungime z,
Exem.ptwl /B. Trei clrepte ccoitnecuurnenttreiriirnrtgehrsi.eic)ttelmazolntsretriapfiiacn[e paralelo
aeterrnirrfna cele trei
in fiecare pian
triunghiuri sint asemenea.
fig 56 c
Exemplwl9. Fie ABCD un patrulater in care AD > BC, DE > AE Exetn,ptrul /9. Fie o dreapti d pelpendicrdari pe diametrul AB al
unui cerc, iar AM o coaldi- variabill' Se noteazi' cu:
ffiqi .B.0 > EC. Ar[ta]i ,e , ft. Z:i{iCi)P;'StSSt**ieldrsdsn"ee'ndAa,ulrMeAa*motBe,on{n0csitsdit1t""rtte'Pi:czdCe{cn'ClcdtBtQi}-plIaiBer,rt',lrcctrPpostn,eesrNi{tralranl std.'Winin8i|tJrceoPliAneipasrtee;'iincsecrcri' ptibil.
E xemplul, /0. Fie P qi Q dCouBi :plaAnDe ,cCareAset intersectea zS" dupl dreapta
demon-
sAtBra. fDi accibCCA€aQD, BD. e P, AB 9i DB L AB
CInOdNEicSxateTfriUnitpMolwa: tlEe/D/t.rLiuFnieAghqAiBu@rCileEunaBsterCmiu)en,ngEehFaicJcira-erpAetuBsneg9fhioirDcmFe1afI,zI5E-.O.GO"(G;, ln care pxemplul 20. Fie paralelogramul ABCD circumscris cercului de
E AB).
razd" r.
Exernplwl /?. Constmifi cu rigla gi compasul: falr1a;tenac5 paralelogramul este un rorab' cn existh relalia:
1. Bisectoarea unei unghi. 1) S[ se se ar"ate
hi"gon"i*l" rornbului si
;i AZ;i
' Z. Un unghi congruent cu un unghi dat. r-* BIDz: i
3. O dreapt[ paralelf, la o dreaptl dati care s5. treacS. printr-un punct ACz
4.yz
exterior dat.
4. Mediatoarea unui segment.
5. Perpendiculara pe o dreaptS. dat5" dintr-un punct dat. ***Eii"xoatmi putnwgl,ili2dl.iFedieript idtreattneelseoA.aBCegDal"hgcid*B9€0F" a;ileacviirnodr,dPrleapntemfoucr-hio
106 10?
latura caosmtfuenlSi"nAcBit.YASM_di:a"g_BoAnta. ia AC Si BF se iau punctele lf, respec- este inscriptibil, gtiind ci punctul C este sirnetricul punctului M fa!5
de l/.
tiv, N Exetnplul 29. Se consideri punctul fix A(a, O) qi punctul mobil
C^,D_l,)E-,SFj. se arate ci Ml{ este paraleli cu planul ce trece prir-r punctele
B(0, btr)i.uSngi hsieuldAetBerCnrinsel locul geornetric diseossccriesl,dBe CpuancBtuAl . C astfel
lrrcit
2) Ce condifie trebuic si indeplineasci segmentul Mll pentru a fi fic dreptunghic
Exernjslul 30. Fie cercul @ de centru fix O, doui puncte lixe A, ts
paralel cu DE-? ci o dreapti d, c4re trece prin .4 gi intersecteazi cercul @ ln punctele
3) S5. se determine locul geometric al mijlocului segmentului MIV. C ;i D.
Si se determine locul geometric al mijlocului segmentului ce unegte
Exemflu,l Z!. Fje trei dreptc, d.1, d2, d, paralele gi fixate. SI se con- punctul fix B cu mijlocul coardei CD, clnd dreapta d se rotegte in jurul
punctr rlui f ix A.
struiascr un triunghi ecbilatcrirl cu virfurile respectiv pe fiecare din ele.
Obser",tatie: a) Daci existir unul atunci prin translatie de-a lungul Am -seSsizinatt foarte interesante problemele piopuse, si ingenios dese.
dreptelo'put9m ob ine o infinita.te de triunghiuri care vor fi congruente
;j yo1 inclcplini conlifiile date. [)acd triunghiului oblinut in condiliite cl exemplele tncep prin a edi{ica cele mai simple si caracte-
ristice elernente ale geometriei pe care le-am numit notiuni gi elemente
date ii.apii,;;im.r, tr,nsformare p1i1tr;o simetrie Sd, sau pr-intr-o rotitrie fundanientale 9i anume: punct, dreapti, plan, axiorne, pcstulate,
R((i, a), s:ru prinlr-o omotetie h), obfinem triungiriuri ale georaetriei constituindu-se, piin
nesc ccnCiiiile ' in problcma !I(,C, .lu,stificare. ce tndepli- gi cutreier[ plaiurile ademenitoare
dat/a? !udecili, in propozili matematice ;i teorerne aplicabitre problemetror
d-ouE5xveitir-,{ttu'hr,ta'%li.tuSrAatsee ccustruiascl. un p5l.rat cu un virf clat, iar cele proplrse, probleme ce pun la grele incerclri spiritul de observalie, inge-
niozitatea, capacitatea de cercetare gi descoperire ir rlivergilor cititori.
s5. fie situate po doui cercuri date.
Exem.f:lu,l 24. Pe latr:rile p5tratuiui convex ,ABCD, spre exterior, se fecrfiiialcneilrgutot*Au'atrnplm-.PtoegcrcA.norotigtvsmmnroitut(aiccictaanrrimclitefesai,oimIt,tn.inri-fancnaaaaijsgtcrioccrzesuripccisdg;ertItoier.nizuhNaciatplrz-csccar,mtrdmirs:ccaic[itatriii9nvcri]iudeetpgtisixcacrtnraresmi:icfiuuiapiielneltprcueinetiaice-;ddeeidereparaeplcatvdjpauirrfctauiteangsidAj€aleaa.'scslsecf[giiaoin[cspstptrielreorreidiinanptseclooslnXaoivtubiloetaliii---.ii
acestor pitrate,
scceougnrsIrtrreu,n:iele.s!lcomrpi'ij:tl1orOaact,eey.ieldOrt,rr,aOoogti."omnaciuclo0r1,AoCz,$OsBsDi ,oniacrecnutre"lHe
9i K mijloacele
a) !i s"ee arate ci O1O3 e OrOu Si OrO" 1OrOn.
b)
Sn indice natura patrulaterular II{J[1.
f"a{. iP- yt"Pltll 25. SI se amtr cd simetricele ortocentruliri unui rriunghi Cir le.am lisat flrd iriclicajii, gesintediareileavSc.irtaitto;mi rlunlirtsu[risceasucte,c[sIamcerfc5e.tceuzte-o,
de rnijloa.cele laturilcr se g5sesc pe cercul circumscris triunghiuiui din dorinfa de a l[sa liberl
gi sint diametlal opuse virfurilor.
sd descopere soluliile problemetror pe cont propriu, f5.r5 influenfe din
Exempl,ul 26. S', se inscrie *n pitrat intr-un sector circttlar AOB
dat, astfel incit doul ilin virfuri afar-ii.
sd ".e afle pe razele care rni"rginesc a-ltelrhnaiinpelascperecia egti priceput, Profesore, ln
sectorul, iar celelalte doui vlrfuri pe arcul de cerc tr[mB alsectorului ln a tmbrS.ca clLe o expresie
da iinpresia cl nr-r inf.ap5", dar oricum ai
ascunde-c
dat. virful rlmine iot ascufit. Te temi de cuvtntul provocare?
Aici !i-am ctr" nri e cazul s[ se creadl ''
Exeonplu,I 27.^Fig triunghiurile ABC g ArB1C1 congruente, ;i rrn ceva-. Xo m5. tem deklc. vorba, am spus
Dar fiindc5 a ?enit s5-fi istorisesc un exemplu rnerri'-
punct exterior O.. Sd se cleterrnine:
rpootz.iraifni)aLtrAgiu'cnBug'lhpgieu:aolrrna.'1e,e8tlrCiicciuna..4ljurpBruurn,lcnatuocclu.siaitu0piopczuai{nrieectaBpre'ianpi prcoufpnnrdcietu,t4alut8ei aaEjcusn[giadeafcilnii ld-itesI-plarea"csecpurpolrt\o/sovlocncatarcereh, imeasratetfeotra'iorrartbetiaccS,u,griisosesp'litnceiule
LA REVEDERE, fie vre-o legendS.
pe tlrcapta OC. ietlrile
LABIRINT '
conbd)il.iLiloecrdrreileiagepcui'retciriic.,c', descrise de p'nctele A' , B'gi C' ce tndeplinesc Cu ani in urm5. imi pltrceau legendele. Recunosc, c5. pentru'
acea geoae-
a. reJleleamuorr5ai..Drmvlarisr fermecS-toare. Acum vreau -qi-nli istoriseg' ti
:.tegrel.
l.n pEiauxrnecnBJtp,eluilae,lr12E13e'p. QiSl":f.ncoT,n'{as..igdeSeirrndtcslceeerddcueusmreioleinns@tiperuz(Oen{cctt)du.}l1pMa@t-riznu(Oileazrt,sererzuc}lteMsaezAcdaCnpBtee ntr:^^
istorisirca nu-i deloc legend5ic;i"ij;i
81 asta-treTbeuiaesisgf,umr, idcraregzui,l mcu, ci. obliga si-!i dcmonstrez, ciL in".
firi a mi
108 ' 118
este intnitotul adevlrati. IatS tlespre ce este vorba: Renumitul mate- pgai truti.ci.pFAarnet"iilnsdinotiailn6vicnigtitoofri.iarmrraai mvuutltgsi aauventriadi epucfiigntiglaautr,ecaic{1i. aici toli
matician Blaise Pascal, prins intr-o noa.pte (anr:l 1658) de o durere gl'oaz-
Este, dc
asernenea,-foarte. irnportant. ci reviste ca ,,Gazeta matenraticl" gi alte
nici de dinli, spre a uita de ea s-a gindit la cicloiclir, descoper-indu-i o sute de pu$licafii de specialitate iomAnesti gi stri"ine reutesc cum nu se
adresat celorlal!i matenaticieni sub forml
serie cle prcprietS"fi pe care le-a poate mai bine si ne lin5 la curent cu tot ce e mai nou gi modern in gin-
pr<.rvocarea lui, i s*a r5,spuns cu alte proprietdfi ale
de provocaie. La direatlte;;l::1"?
cicloidei, proprietili care ne sint bine cunoscute. I)in acest motiv cicloida
a fost numita El,cna geometriei, acest rizboi malcrnatic asertl[nindu-se i'Jyrlt* dmeoasreebgitedoerniemtrpuoirttaalniatndcinar'eltainpiuisalnai
ceiui troian provocat de frurnoasa Elen[" yi1![ ai lui <te
Vincenzio Vivianir,
ln-
doialx faptul ci gindirea georrietrilor greci poate fi dep[;itir vreodatd..
gC1a8ef9"i-e5:i,,ltcpaFeemruvaamdieodcssedco.crrdpietzei borfioorinpnrduuoarulitt-oeoacriaai:irsseeitnmoegersin.steeLiat,,,rlPGoirranzozbefeeosstacaoiuere,m.ppauDrtoreatmfac.5taeG"t.iadchSem. "T"mf'ai*faceaetipec5ano",ariintu"icvtg5iee".snJttiir.-. T.a vlrsta de aproape 70 de ani, cind multi din prietenii *trimjauuL,t
chiar dac5" nu mai avea contact cu matematicieni ai Lui nu mai
timpului
prea.tineri faf5" daozei al t-lt,eaadpinucbiliiciantisi tguidpiiodseibgiiietSomti edtreieaefui cilnidicaonn6tagcitnceu-
Cristescu gi ing. A.G. Ioachin:iescu,.ctt recunogtin![ se cuvine s5-i elo- existlnd precrlm
noutilile matematice, Viviani si-a dat seama ci tinerii matematicieni nu
giem? Prin provocirile lansate in ea de cirtre rrrritematicieni romAni de se mai entuaiasmau de frumusefea operelor antice ci elau atra;i de pro-
ientime, de ciitre elevi, studenfi gi aili specialigti s-a creat bleme noderne, ca infinilii mici, prin care sustineau c5. pot rezolva chiar
o ernulalie
implesiona.nti in gindirea. matematicS. romAr-rea.sc1, iar gazeta ;i-a cigti-
gaf un renurait plestigiti na.fional ;i iirternalional. Preluind gtafeta tncre' gi probleme de geornetrie. Astfel constatb. Viviani c5 acegtia vorbeau o
dinqatn cie predc, eloii, pei:sonalit[!i rernarcabile precum Traian Lalescul limb5 matematicd. nelnteleas6 de el gi ln ca.r'e nu avea tncredere. De aceea,
pi in prezent Nicol:re Teodorescul, au lntrelinut gi continui" s[ intrelini
plaoorn)to,riirvloeirtvmoisbetiitcogeditueiilnugfieiftoiicmmnpeeturdilcuiteiatpS-r,oidpneu,n,LAeeci-btanaiEzclmgsqdtroirtrmodrduetomlian"rd,etao(Jrpui rraonibaalleurtnledsi :asevcarneftie-
ipiritul de intrecere cre.rtiv;i ln rindurile sper:iali;tilor ;i al virfrrdlor
tineretului ncistLu, dind astfel g?ldirii maternatice romsnegti un renume
de prestigiu international.
* $tiu q5" egti colabor;rtor al ,,Gazetei inateruatice" ,,Printre anticele monumente ale Greciei, templul consa.clat geomb-
c[ gi-mi place triei avea formI circularS" gi era incorona-t cu o cupolii ernisfericd.. AceastS.
r'orbegte cu atita pa.siune despre ea. Conlitrutul fieclrui nurrrir plo-
cupol[ era stribltut5. de patru ferestre egale (vezi fig. 57) gi construite
voaci sau, mai bine zis, indeamnf, la cercetare, la creativitate iar con-
etiinserientut ludi ancoistpmutennmatsepinuanteic,ai;aar-prninictrierilzubpotaitioeriatlee gindirii ln aga fel, lnclt restul suprafefei si fie absolut cvadrabiiz. Cum au pro-
cursurile numeri
vlrfurilor cedat geometrii antici?"
G II:alescu, Traian (1882-1929), renumlt matematlcian rom8"n, doctor ln Curba care mS.rgineqte ferestrele cupolei sferice clin problema adre-
matematici (1908, Sorl;bna) profesor la_$coaia de pod',rri 9i losele Bucureqti.gi
s_-_e' apoi rector si prnlesor la Politelrnica din Timipoara, Fste uunl din cei nrai renumili sat[ poarti mrmele de ,,curba lui Viviani" ln semn de omagiu adus lui
airimatori ai,tsazetei matematice" gi fondatoiul publicatiei,,Revista maternaticS."
Viviani. Cercetarea ei a dus la rezultate deosebit de interesante, fiind
cunosautS" ln istoria rnatematicii drept o prablctnd celchrd.
dar6lo Timigoara. Are preocupir,ri (peste 120) originale in toate dorneniile matemaicii -ucEinlleinrmndtearnVurteelulsealiadlnsmufi,eiirrVaEitiunodccreeliandczlu.igorAblna{c1da6idrl2eici2uig-nl1eat7eot 0mrpl3eee)ct,crliiamelolearntgesurmimencatiiettiiac,tiicla,,inc{ei(r1iieet6aai9lsin2ati)invaea,llruaiiciltrereVadcdielveuaitsaecnrlmdni"in.intraaArltrienaJ.in-ur--F
zi.a:aGliteicobmeettrcia. triunghiului, Introducerea ln teoria ecualiilor integrale, Geometria
puncl romAn de mare
a) -LscT'ieuodc,uaresstuczdl,ii Nicolae (1908, Bucuregti). I\latematician depdgit.tA solufionat multe probleme de geometrie euclidian5, din tirnpr
superioare la Paris, doctor (Sorbona, 1931),
in nratcmatici
rvrpOr"en"tz'di\mi'r"leioatrp";iU.it,'afruat.ni"rlc^uftisiiaadenreidoareallPd.AorademzlgLeeUdndeiinmnuitlineeeinacRiulioaSBmlaoiiAllcconiereelntl,iiilzcsiieiecdciaeifiragmntaiadintteeefemmqaamtttiiiiaccnteiefe,emntieamlootrzirc.riee.tAeidmeiancadutiulacLsefoi.icmloIonArndntceiraiu--
I Leibniz, Wilhelyn Gottfried (1646- 1716), renumit matematician si^, c^ e-,re-
german. A pus bazele calcuiului riiferenlial-infinitezinral, acesta deveniiia
mentul cel mai fecund pentru noi descoperiri. A clasificat curbele in algetSrile
transcendente. A studidt problema h:i Viviani, astroida gi tractoarea. Ei
b) Locruparfiale, geometrizi,rii ecualiilor cu der:ivate parfiale liniare etc. evdaxeelroamaItrpSpelurueg,pcrtauairirfnsiaaoffdridfuierlce.ilrpo.atgduircnaigibhimliiuo-ltulei,arntrceldu.,rnOeglpaheriiuiaelu1slueiemetciss.toe)a. rgCHrea, nrpcdruilonl,anssdfuemrpaeirnier:uerassftliinstrlircgte,eu,o[gl4umrilaesul_a.i
condi{iile d'a Metode
. = de Stat. uector,iale tn fizica ntatematicd. (2 votrume) a fost distinsd cu
^ln :pn:utr!n:cpl-J,te',:letdrmrllibecalnictiielaetinemapi,tCeesamtzeaet2tiac0ii0.mdaetcmineamtoicrii"i,, lucrdrl didactice, monografii (in atara cvadrabile, deoa.rece intervine num6rul transcendent n.
al cirei redactor ;ef oiiorific este) ln
(21
10s 113
16 Din r5.spunsurile mparirmii imtea, lVemivaiatinciie-ni recunoscut inc5. de la virsta de
ani de citre toli cel
drept un geometru inlscut,
abil minuitor al teoremelor din geometria ngi-rrecaucnSo. a-stecoancsetleatm[ cetiodneu
mai
mai posediL cu ade'u'5rat geometria, deoarece el
noi, subtile qi viabile, prin care se ajunge repede ia soh:!ie. El nu b[nuia
ci noul val de matematicieni analisti ar fi in stare si fS.ureasci instru-
men're noi cle cercetaie a matematiili n;lumi.rasi pinecciaitlevaag. ecolirpneetrreiezir:pitraetceumla
attaliza l"ui Lebrilz, cu care a stabilit
care el, Viviani, nu a fost in stare si ajungi decit dup5" ani de rnunci gi
intlelungi calcrile. Beinouili care a.vea nuiirai 40 cle ani i-a triinis dintr-o
llg 57 datii cinci schrlii ale pro'bieinei, iar el incir nu Ie vizuse pe toate acestea.
Si'-a dat seam.a ci s-a ld"sat vrS"jit de frumusefea. gindirii geornetrilor greci,
pii-eir*zie-mimin--*uuatlnF$"l'trtii"u5ar,clst.a^agdfruLiee.entseisaib.mrn.m:f.opiztislniiuntaa,irriaaVeei"cpizive*iuiaeicflartaaainittaltiioupraarleedaYnslrucuitimrgespuastraiattpesf-e,riif.umpepIrl.laeuooterivoato.accccarDeiiltrireeeimd?aeclte]ie'ftrpeo?acdsLu1gaen'i.ntcdiblapenllcacaiaznuprelaeua.r_ieucpoiauninbnfailfnilicinezaaai-t
ivnrasju5.li,cesli-reanaetrcaasre9i l-a linu'r in loc prer:,rm fi:urno:isele sirene din renumita
mea infinitezimalS". lui uiise. pi:irideau
ln mrejeie 1or pe n:r."'i.qlitcrii din vremurile
mveeriBidlueicriintVaotiuveli"lailntupi,ru.pbrellti"cctaei rleionra,ancleue-emaa.igai-icorceeevnpiistgitntitauciifnhlocirtiesgnoltils'uneldiii.n..Vt4riieviebiarainteicuaamlceoapnrsuotabfotiaest-t
Viviani gi-a nai dat seama cii stiinfa rnatemalicir ncuii, bazatir pe
stabilite? Tot atit c1e uimit a rimaJqi la ri"spurtsul prornpt al mai multor
tileri matematicieui, analigti ai timlului, tot atit de celebri ca 9i Leibniz observatie;i expelientli, proinov;rtl de analigti, are nevoie de o geometlie
q'rniieteBdee-l-atrRenDrpoimmeruolilonbllicnal.e.tSmEg.a,xi aectuculetironcVaiirrnievaccitiaecsnouoi?mlupNfodiiuer,fpil1unelnpeneultertuugsftcecgIurilmpisdrioeBeb.xpeleaormncsoaitbrc:ipllv,luiansc<iuirnl-rdciaeiubsnvito-ilpvlupaiaforianiadditeoiefexrfa-ii nou5., care nu trebuie s5" fie altceva decit o ccnl.inuale a geornetriei
d:c6-a-,ati..mmit"itrinio6""e,trrrigvtu.l-i"n"pmAietva[nlrazt<erulumeatva.ccutualinctrlebiuseeannl,idfrioianifsesnuftraininstleie'iasg.ttiui,ilmrndgfceeeeehn{lieisnupg,lritoidolvucarofiri,cVataVnriieivv,aai,aiacanlernitileaivnilcaiusuLenraiecorndrpcsputetcce;fie'ar"'rz'o1_uCuaato.c[ctePlacnsrreto--eralbuealc-efiormspusaea,t euclidiene, continuarea obselvatiilor ;i juderiliicr f5.cute de bu,nul, bd-
r'p-ou"tn1imct*ft-rrln.u"o^iraisteeizmraimpiraolltefroi,vav6ra-tie.dJgVvrieevnaiai, nucin[rnesuiiam';pid-lauaciemlxieargiceiinfi.auvt,orc9.diacpp[lriocaabsltc"femmleavtoapd-epulre:Iimadniealealizl ee9a1i ty|n, unlt il numea. Segredo pe Euclid.
pozi{ia z{'r i nenurntrrate.
Dar sturliul geometr-riei nu s-a oprit aici. El a contini,ra-t cu o serie de
i#';,'iri:n,n,ir;'fi.i_---aicp'no;enpbEdcux)rlnieetcLiaritlubpei:cbtlaerl4:rtijii,lt,,eer".reaimn!rt"oci.teniniui.tlJlicOia,rleesiJ'rtq'a(iitenciidqcitreuergicee"aslimta"ciilr(el1in.dci6n"ea5Pti1nr,taoiiicp-rrd1iiisu,7lci"a;c0iionsl5rl.trrj)irelo,aotsuelnmiilrlolmansi)mtbe,oeutmiioacrrag,1Ll.ta.opiocApdniiaoett-ielcuniiblnia."9Ltbe*eir"otigtcrlriia.zlzaatioArcelpifuauaienncnr-frdiierti,arrlilcarnvmitectrdec!Jicenliioalctotanrrerc'r,,oecrartam<iA'aJfiereoctsemnacccaolbucaplreuareue.---
noi. de:;coperiri dintre cal'e arr si-!i enunirr r,urnai c?teva.:
108 De:icar-tes p'ablic6 in 1537 Discitrs asu,t'ra metodei., st;ibilind o noud-
cale in tratale a probleneior geemetrice, p;in corespondenla dintre cel
mai simplu eiement geometric - pi:actr-rl - crr ceie :.ai sinpie elemente
ale pu.nctului prin-
algebrei, traducind r:-ltiona-m.err1.11 ge:;metric a:upra
tr-un calcul alge'orlc iis'lpra coorclcaa.l-cior punctului tlin pian sau din
spafi:r cu trei ori inai rnuli.e dimen,;iuni. Exernple,le pot continua.
- Un nagistral exelr-riu de coltiirui.tate in ceri:etarea rnetodelor
motierne ni-L ofeliL Fermat. El
georneNr ei a"ni:i',:c cr-r melocieLe a incercat
si reconsliLuie -ncuunilr)u. uLlot ctiimPplain-rri;aiinnteua.si-ua ioVpirridt anuuim-aoi opeiX pierduti
la aceastS" tncer-
a lui Apo.lloniu,
care de reconstituire. Iieunatl a dus nai clel;arte irleile lui Apolioniu
ajungind ia priirele r:ofiuni de geometrie anaiitici.
Exernple asemXni-toare se mai pot da, si inc5" multe, <iar cred c5" cele
prezeniate sint suricient.e spre a ne convinge cit tlc.t'ertile sint cercetirile
, Fet-'trat, Pi.erye (1601- 1665), matetua.tician tranccz. .A pus bazele georrle-
triei analitice, a lost un promotor erl descopcririi calculului integral.
De la el teoremii a dluifei rFenefrimalasti" gi ,,Mica
ne-au r5,rnas tec,renelc celebre ,,},I;Lrea de Pascal, precursor al calculului
teoremd, alS,turi
alui Fermat". Este considerat,
probabilitifilor.
A dat lucriri capitale ce stau Tabaza fondirii raatematicilor iaoderne.
113
8 - Prin labirintul geomtric
SISTEMUL AXIO- Sistemul axiomatic (<letiuctiv) al iui David
:fuIATIC AL l.UI HIL- Is{iimlb^eprlitficeasrteeausncrsiiesrtiei ri:i
n,idadc.mdnt#'uec,sesestiic,lei.slrteon,csiaos*ucgngtii;rrp.eidtAp;p-agevirtetuc-:,redueA-ioe,i1nmu.ala'.lcnLbl;muilArlsgtdmsrc'eilHIttapeDea*.pp'{er,ciilipIsce,eec;ul"lauEiltrddeoaiarlitd,llelenicfnrpai1cannrmtcXienv-ptieseercrurtbvfretiueecucleilepI"aptiemnitccsinfOnrvn,lr,loipiiteuilet,ri:igiiLaenirsintrrra,i"gnaR]aniue,irer,c!zotg,"ent,,te<L"dt"rrgBll"un-tAc*rnd'auedrlup.aL*i5"ra:tluieacrcdjeaTarri..bAesinrgh--j'i,s-ut;besOii;,;is.*ia"ei;trr""ef""ci,tls"t.il'.e;i'"'a*."iiirmR:pnotltir:it*iJrir;ii;;rfs;tnc"iisiatC;tr'r"ru"t;ipb"eil"i,tta]tti;"rit"li]pirlei',;i;oaJn;iattJriiiei"';arltcirnitg"rggtiiisa;btf*tri;liu"aol-tiet"leuc'*;'i"tii,p'itJ,raittl;to'n"pouri'gimnt"eodpn"ne"cm"icp,ttnpreial"uea"tretciieerdl"r.;palilteaui;e-isii"J'costalecrenesli"iarrticlttri"iuiime5arlu,fiiJrtebnricionnturnnilep''rnieica"ipfen;ail"nernucu"ivauatirl'.t,cuti,i-ei;Lt".'nit-ic'i,br'usatcmcmiI*-looltrPiei!tiadFiiiier"rh*im[rrp*lertira'miiibitdtnmeoau'liiiin"e,nitnairtgsz,iri{ixtis'tmntlra'eicieuiocriar"-oui'rinidl-o-ciralmlnse,c.ecnaslricietuircru]irei,ntri'iomnaceauanli.aillifap;l',rfascLbreIl;pspcrie,Iieeitcii"i"eaieracile[ac"rcatvla;c;deh"ueord_raopii-Sgieo'nrdibusiraazievr"rranan"fanieti.cet:siiisitlrieomuir,rrlae,ieldeccigL^ai"s"9cin"cotnairnraulcrdr-oi"tmeuaicre5zn:siuaii-rleumn'ivttciibiup'cvlmdri"'ubmrpeut^is-aiutlrenaliddfr;nenl-!,tmpiciliridnei'izceeurrnpnuamd'iiilutclrciesaitne'dnaedeapL"ipine;etcitt'lascailistiialolnuru:n'encoestAipse.nasl'!se]orru"iremcrria^n:iiecatvennrnairaia-astoi"ea;icc-icnivd1setcin-tnacgertlaioa,t-rintetdldilriana-il-ar[: ISERT AL GEOi,IE- serni{ormalizat. Pentru
i;*i;t'r;G";j#ec"outmrpiercintilsiausl eEaeterct.tlrirf'iiinctieilrl.d'o"rrteehpiti<,,lEeteuDocarliviedic'"si'eHCmuilnibfooearrmsltieanm|iczcaai'ift\eoCaaatsraaf]raeGcrcu0onrn)dselatrrg.utecn- vom nota cu. SF{.
TRIEI EUCLIDIE|,IE in formularea da.t5. axiomelor, Hilbert
tlerGeametn,e.Construcliaaxiomatic5'ageorrletrieirealizatiLdeD'Ilil- e','iti compiot teoria mullirnilor, imprirnind
bert are avantaje importante si anume: sistemului un continut ;rvantajos
expunere avind un scop didactic din pimunpcrrL-rmdeutra,'err:lneerele;tniiontfaifitcii.;i Actuatra
_elirninidefinitivinttrilia(canefiirrdintotctreaunadcmnl'deincre. vom
formu-
IILri din teoria rnultimiloi, care nu alter*az,vr continiltril stiintific al siste-
mului.
h.1.Nof iunile primare fr:trositc sin1.: punctul, dreapta si
pianul.
Punctele sint notair-'r;u maju,scule latinc Ce tipar, A. B, C ..., ia.r
multimea pnnr;teior cu r:tajuscula de rnina' fft.
Dreptcle vor fi nota.te cu niterr: rnici ale atrfabetului latin, a, b, c, ...,
iar rnutrlimea tuturor drepteior cu majuscula de mini, @.
Flanele vor fi notate cu litere grece;ti, e, {1,.1 ,..., iar multirnea tutu-
ror plane).cr cr"r majuscula de minl", fp.
h.2.ReIa!iile prirnare folositc sint in numlr de cinci gi
vor fi introduse pe parcl,lrsul expunerii teoriei axiomaticc.
Primele dou5. relalii toreiopsreitzeenstiantpnruinmsitiemrbeoilaufriiiledei;i,,inic,idiaenr fp5e" nstaruu
,,apartenentl" gi le vom
ambele vom folosi notafia,,E" notalie ce o vom utitriza tn enuntarea
axiornelor din grupa intii.
F'olosind noliunile prirl.a.re ;i cele douir relalii prirnare introduse,
considerirn urmS"toaretre foimule ca fiind corect csnstituite
Ata ;i Aj " (1)
pentru care folosim urmiLtoarele propozifii:
,,Punctul ,4 este inci<ient dreptei a"
,,Fuqctul :J este incident planului a"
siili,
,,Punctul I aparfine dreptei ;r"
,,Punctul ,4 apartine planului a"
silu
clere); nu {c;Iose;te elemente extcrioare gcornetriei; ,,Functui ,4 este sitr:at pe di-eapta a"
axiomele sint grupate in rnod natural; ,,Punctul zl este situat in planul a."
-
- teoria este prezentatl gradat ;i sistematic; Fropoziliile mai sus menfionate sint coni'entionale. Eie au scop
- didactic, ficind mai accesibili intelegerea constructiei sistemului axio-
nraiic SH.
corn--psluestaripttuisrdifnalrcdreeep;.oiancr,atleit1eaigitto"**ri"dc'i:et'aamtgeee' tactmeoerietri'iionreecuocnltirdaidaicnlii;eih' mipienrirbroaliitcalt;e' Am folosit simboiurile i ;i j pentru a pune in evidenti ambele relafii
de incidentS..
115
714
De reguli, utilizimnotalia ,, €" pentru ambele relalii de incidenlir 3. Dreapta a este inclusl" (sau este confinuti) in planul a daci orice
punct al <ireptei a apartine gi planului oc;
gi fomrulele (1) se vor scrre:
N4o.4t5.mAxciaocmt Ced.idinecianzccoidnetranrfnoittrm(grauGpaoc.I)
AEa si AEa, rat
negaliile lor se vor scrie, 11. Pentru orice doui. pnncte existi o dreapti unici, cireia ele ii
apartin.
Aea ;i Aea
adxeio,o,mo.aradlttiinceera"elglgaleltioeorpntureitmtr.li";ait;tr;ilf:to:ii'l;oAi-;s_;'i;etBld-e_escHCtSeirirebeielfaorftriiarnnc"uaolinficsointrreturcect"t'ciaonsnuissmttieittuimirteui llaeuslQiitee) Ir. Pentru orice douir puncte distincte existi cel mult o dreapti
pentru care folosim urmitoarele plopozilii: incident[.
nurn,U,i8riems'erietoaiaafltr[iei liden*trde,o,.uy"5';.;g'rie;Cl;a;"fgrsi iapIu^ri,im,iB"a"retes"tie("airn.l.it,credri.*'"4LPo;itiulCttl",,s=i :a"
cincry)' ambele Is. a) Fieclrei drepte ii aparlin cel pulin Coud. puncte.
r-or: fi introduse b) ExistS. trei puncte lncit nici-o dreaptX nu poate fi incidentd.
tuturor acestor puncte.
74. a) Fiind date trei puncte existi cel puiin un plair incident lor.
b) Oriciimi plan ii apartine cel pulin ul punci.
trr. Fiind date trei puncte necoliniare, existl cel mult un plarr inci-
dent lor-.
{ffi :ffi'tio"l.ieCputi'iJn-oo".lti;euunfpiiiea"trc"ul"etri9i"vi?ac1tein",c,dsiLecrgoivmn'aestnetitt"ude.ilrin""sueugnrmrsnehinrji,1o.1r"lle;:iile:""uft.'c:gil'lhn1ri"u,l'l;e=; " Iu. Dac[ doui puircte distincte aie unei drepte apartin -lrnui pLan,
atunci dreapta este continuti in pian.
relalii- Ir. DacX doui plane sint incidente uni.ri punct, eitunci ele mai sint
"1 incidente cel pulin inci unui punct.
AB: Cn I' ExistS. patru puncte incit nici un plan nu este incident tuturor
'pA'd*exe'nPio,,4itG,,mnrSUt.uri3ucneul;gcgii.ped*Aaha"rierluex;u,a,nttitif*ouo!chHL:mllooioi.Aulks"bai.deBereend;lss:eeeitucess'racitneieosxurnitrlcictesgoomimtlntauaeegerfperinri<uitltnreieeel'inscudtpctuee1rrioceui"'upl.nirnrogesciczrLheiinidaigc{urcli:miiileeat:-eh*gd"fn'rrOa^'ut";up'chflr9gi:'tiC''i-i.'nv-eDit"iv-.'-eo^".m(.a;.ixinilrtoenlmrnv1aot"miacx)nlosumHme'r acestor puncte.
Cbservi.m ci- axiomele 11, I, ;i punctul a) iin I, constituie grupa I
a axiornelor geornetriei pe dreaptl.
Axiomele Ir, I, ;i tr, reprezinti axiornele de incidenlir ale geometriei
planului.
Punctul b) din axior:ra I, postuleaz[ dimensiulea planului, iar axio-
ma Iz a::atil c5" geometria spafiuiui nu .se reduce la geometria planului.
4.5.Consecinf e ale axiomelor cle inciden!i
Proltozl!,ie 7. Peniru orice clreapti a, existl cel pufin un punct ,4
,"nn,<*auo'xEmtSTiGaGpo;ieteImr;rIu;onuact6p>rtuplriiaaouadSsme;aue,Hsciop*nimrrr.lau"deodrptiirlprc"nlnrriafrer.eicedc.*"vt9.azoo"ai"rii.inlca,J;;"ia1t;xo;tia;ini;oigeiT:floni'c;i:l*^r.eoclr"r)'neennduue;e.a!lcr5odxsnlic.i'"o,adriririi.iiinileag,eeanlir1lurexe'ric.i-tn,orilirtado:"cnLlciila'aeiiluaxecltioonosdridrf-i-e.seIrrii-.trlar!eeire"-'liclfgnl-iuo:siuurr'n"tiilirtinigrrui-carrcc'iuxiotrnueiimoirnElmaifaar''aim"lptlaca;cirittaeeclleerevniaeavl-lootanirmcmo'.[- neinciclent ei, notat Aeo. Spunem ch punctul ,4 este exterior dreptei a"
Propozilia 2. Pt-'ntru orice plan a, existi celpulin un prulct ,4 neinci-
dent lui, notat ,4 6 a. Spuncrn c5. punctul z1 este exterior planrrlui oc.
Propozilia 3. Fiind date dreptele distincte a $ b, existS cel. mult un
punct ,4 incident fieclrei drepte, numit punct comun al dreptelc,r. Spo-
nem cd- dreptele a si b se intersecteazi in punctul ,r1.
Propozilia /. Pentru
fnncte A;i B incidente o dreapt[ a ;i un plan a existii cel putin doul
atit dreptei
cit si planuiui, ,4 ea., B€a, Aqu,
B €u, Spunem c5" dreapta a este inclusir in planul oc.
liuni gi relafii derivate' se nurnesc coliniare dacl cxi.'ti o dreaPti a u6rn.eaPp.ruo:n.pco{t,z4i,lz},i.laiSn5pc.uidPneeenmnttrcuaitoitdrdderreaeapppttaiSe.iacainit;fie;aui pnpirlpapinalanunlauu,il;da,a4. c€.lee,xAis6tiocce, laptuurfricni
adtottunPicrpiolefaoxnziesiltiAiai €o6o.d,DraeAca5ep" \tel,xAais€cteiauc,rolnap',tcuuinnneccit.po,u4(nnicnptcu:ild,e4{nat;ii.l:rSespdtueonuienincpridlcaeinnietddr.aecagepitrtoBar,
1. Punctele A, B, C
astfel inclt A, B, C 6 a
oc daci'
:ecaxzi2sc.tolDnurtcnraappi utaanvceatm,in'iat{ee-liss"telec:tlei{anzAcliiti'('s4a€r't4es;tic
incidenti cu) Piar:-ul {l}. ln
,,i"=";"""te*' nlnc
116 117
a. este dreapta comurlf, planelor e ?i p' Dacii dou[ plane au trei puncte Propazili.a 3. Daci pentru patru p-unDcte* A, B, C, D incidente dreptei
i"u-c"i^rl-ei;nrtee,rriit;u; ni.cli"eieorcicoeinpcXida'n s- existl cel pufin trei puncte necoliniare. r, au loc rela{iile A C, atunci nu are Ioc relatia
A_D_8. - D - C li B
6 : ,4r, Az, ...,,4* inciclente
aAp,o-fr4It,Irl1?.o.B6T.i.fCDO-A"t.arx"Clc.li^io,l'drite*pm"l-s,iunLPenicre"cu"cfdt",tiui4veddi iogBCsoiutibn-lerp-cdsuatt3eeinsn;^t,f-ce,eailnlveAeti.nrd)r(e.*c:igs;i;ttirpinupB$cupte,*e,aicJnt;teutre.all'."Bl!-pI8uIs;,-nei9c,"9at:)e't{":lienti1,t,Clcitnt,,Itetrile.Ap"-upA(unnlcoingtteii"uClmeni Propozil'ia l. Functele distincte tiin girul
dreptei a sint in ordinea A1- A2 A,,-z- An, dac|:
Ar- Ar- A, /:, A, - A"- A, A .... A An-z- An-t - Aa.
A*B-C. trei puncte distincte dou5. clte doui, unul nrrmai unu! Proltozigia 5. Fie c o dreaptd" gi un punct fixat O, incidentdreptei a. '
II". Dintre Existl douir gi numai douir semidrepte de or:igine 0 pe dreapta a, ta
pr<lprietatea ci reuniunea lor' gi a originii O ne dir rnulfiurea punctelor
9i ilu"pt"i a, iar intersecfia lor estb rnulliirea {Ol.
"s-e a-G{ti";,;,intreir"occ,rlctiltairit.c*zdJor:nao. fiunile. dcrivate numite ,,segmeut" 9i ,,tri- Pro,pozitri* d. Fe o clreapti a, existii exact douii ordonlri tota]e in
u-ng""hii'"SpiencuamreEtien prealabil le. definim: sensul relaliei ,,a fi fntle". Una din aceste ordenir"ri este opusE celeilalte.
iegmettt de.'chi:: detci-rninat rie punclele '4 9i B' mul- Alegerea unei orient[ri pe clreapta a este echivalenti cu orientarea drep-
tei rz.
lirnea (AB) : {I{'a AE\, A - M - tsI' Prapozilia 7" Fie cr un plan ;i a o dreaptii continutS. in plan. E-xistir
dou[ gi nuruai douI. semiplane deterurinate de dreapta a in p]anul oc, cu
proprietatea c[ reuniunea celor douri. semiplane ,.i a dreptei a ne d[ muL-
oricepunctllf6\A8;sen'umcltepunctintericrrlLlsegmentului.4B' fdimreepatepiuan.ctelor planutrui a, iar interseclia 1':r este muilimea p'nnc'ielor
Biint capetcle scgrnentului A13'
ia-r punctile ,4 ;i uog*."i inchi.;lietcrminat de pu'ctele A $ B rnulfi-
i;i. s, Axiorna riglei. Fie ao dreapti.;i A,B, € a doui puncte
nrea not"autnfa,d;te
lABt :(,48)u 'rA, B', distincte.
ln care A;i B sint ca.petele segineutulu ' Un puntt P 'se numelte extericr Iiieclrui punct M e a putem face si.-i corespundi. uu numSr r-eal
segrnentului ,48 dacl avem unic, Xjr, a;tfei incit sri fie satisficute urml"toarele condilii:
A-B *Fsau P*A*B i) Pentru fiecare nulri.rr real r existi un singur punct P Ea cv Xp : r.
ii) rn: A, xn ) 0
c) Daci A, B, C sint trei prlrrcte ilecoli:ri:rre atl'tnci rnultiniea notatf,
iii) Orir:are ar fi punctele P, QEa avern:
LABC :iAB': U [Eti U ICA)
PQ:lno- xpl
;foBr-m4e,-a;z;g[ tu"nentrti*u1n"g"h,4i.bP, uBnCcte, ieCAA-,sBe,nCl-insieenscurtnreastucrvillerfrt-rriruilen'girhiuinugluhii,uiiuair ci funcfia f : a-'
p'ts-'hi--aipirnfrriulul.li'f(c.aiiBar"cC;*an)po,utt.^ptT"rlnealin.tete'i.lrr"plsntrergiiircfirnntie"igAcahiSziuuCinrtiu'io,ii..dAloaiB*tduCrrr''eiiriafuaprtiti,rtic,c,:1nsg,it6Bui,auCltui iai,nlcaptturlaniuncniu"giehtairuimulunai-'i prinF/(r,itnr,fa) .c:eansxtirr,aexsiotemd5.etseormruainiaptrleriu:izr-neaozr'al R, definitit
unt:i cie condifiile
r), ii) ;i iii).
!-unc!ia f : a--- d se nume;te sistem cXe coordonate pentru dreapta
a, punctul ,4 originea sisternului, ial numirul r,1o abscisa punctului .r14.
4.8. Axiome de congruenIr"-r (grupe a III-a]
id*n"at'ebc4iriisri:.1pei,.o4lcrzte:i;C,r.a18izoil,i,aitiitela2..1et.uptDpnui'cef,niicn"ti(teAiui",nB'aog)ai(i,:cIAOee-cddo,amoD-'a'-rrl,l.iupioniumtnPpcaeutsencIochAt)te' , de Aol*oIBn,tl{AB) III.1. Pentru orice segment nenul ,4.B si orice semidreapti 1.4'X'
existi urr prlnct unic -B'€. lA'X' astfel incit AB -: A'B'.
B, * oi I1I.2. Dacii segnrientele AB: CD Ei,4'B''= CD, atunci AB: A'B'.
coliniare incidente unei IIL3. Dacir grupele cle puncte AA,BB=, Ctl'EBi 'A',;iE',ffCQ' -veBrif'i(c'i, relaliine
A'- atunci
drepte d, atunci avem -A B -C, B'-C',
!'A1r\-:l-lU. trt-t
AA--BB-C-CA A AE --CC--DD+=B+-AC- D - B /" AA --BC--DD li III.4. Fie kOkun unghi neal',lngit, c o dreaptl" si <r un semipian deter-
rninat de clreapta a qi de /7' :10''Y'.
--trtA
roI lo 119
.!.
ln se.,mip. lanul o exist[ o semidreaptS" unic5. k' :\O'y' astfel incit Propozili.a 17. Doud. triunghiuri slnt congruente dacl laturile csres-
punzStoare sint congruente.
h,Oh: k'O'h'. pentru triunghiurile ABC qi A',B',C', au loc relaliile Propozili,a /2. Relafia de congruenlir a triunghiurilor este o rcla{ie
III.5.Dac6
4-.9.AC'Bo',nAseCc:inAf'Ce',r'-en,zq-'ut -ltaEt-e4A.'ed'ina{.trgncrru- LpAeBleC : de echivalenfi.
I,
AB AA'B'C'' Propozil'ia 13. Dacil doui triunghiuri ,4BC Ei A'B'C' au'.
A'B', AC : atunci //BC :
d- e axiorne. II ;i III a) AB: A'C', A - i', 1..A'B'C'
Flropizit,ia 1 . congruenll ,,-" o relalie de echivalen!5. (L.u.L.).
Relalia de este b) BC : B'C', B: B',C : C', atunci AABC - AA'B'C' (U.L.U.).
p'-e mullime:r se3'r'nentelor. seg'''entelor-,esic conpa1,ibil.l cu rel?iia^de c) AB: A'B', BC: B'C', CA: C'A', atunci LABC -o[A'B'C'
eri$riipiu-ii na""area date segrneuteie AB, CD' (L.L.L.).
ordine strict;. notatl ,r, ,,<'Y, adici, fiind
A'R' Si C'D' a.vem,
<C'D'> -I A'B' <CD + C'D'. Propozi{ia 74. DacYa in triunghivl ABC aven AB: AC, atunci
AB <CD A A'B' AB
B: C.
Pro/tozitia.3. Peirtrrr orice segment l'1'11/, drcl '48 <CD, atrrnci il 4.10. Axiorne de continuitate (grupa a IV-a).
AB 1- ltf,\r < CD +- XILY.
rz3il si un segrireut '1B ce ap:lrfine unei \r IVr. (Axioma lui Arhimede) Oricare ar fi segrrentele AaB6N$ *CDastnfeel-
P:ropozii,ia ri. Fie nu,'li::-ri nuie, dac5. AB < CD, atunci existi un nur:n5.r natural
clase de segl-irc'rrte. Prin defrnifie avein: J'
incit nAB > CD.
l
Ir
nAB:AB + AB +...... + AB IVr. (Axiorna. lui Cantor). Pe o dreapti oarecare a se considera un gir
infinit de segrnente AnBn, raQNx crr urrnStoarele proprietili:
D n rclalia ro ' AB : de 4 ori ru segmente
(i) daci A,Bn) An-yrB*n, VzEN*, gi
CD rezultS. c:-i clr.cir consiCel:i-n dreaptl-su-
congruer.ite c'-i segmeltvl Ats si le p-.rne'n cap^!1 ?OPpilpaefi.ao a,;tfel defi-
lrori'o, voln obliie u-n *eg*eni coagruent cs^CD. (ii) nu existi nici un segrnent inchis in toate segrnentele ;irul:ni AnBn
considerat, atunci
niti.r ere ririnir-toarele proprielili :
a) re,{AB + CD) : n,AB { nCD (iii) pe dreapta a existl rin punct unic r'1,1 care aparfine interiorului
b) AI'i < CD +'nAlj < nCD.
Pro'po:itia 5. Rr:lalia de t:ongnie,rfi a unghiuriLor este o relalie de fiecdrui segment ArrB,,.
er'hiva[e*{;-r 5. Fic 6-,-l\i- : gr.A/\'-b' , n Irrl 6-r.'l\d. ' :i D' [tl B-'A,^'C.. '' 4.11. Consecinf e ale axiomelor de continuitate
I)r',t,ht :;titt /^. D74Ar C: D_'t=\'t|'C' si reciproc. = Propozilia /. Fie a o dreaptii. orientatii. Se nurnegte sistem cartezian
Dacit"l\.'8,4?::
BrA'nJ', atunci de coordonate pe dreerpta a, o aplicalie f : a-'- R care are proprietirlile:
(i) numerele 0 ;i 1 sint in Im /;
Froloziiia 7. Srplcile:rtele a d.r,li unghiui-i, congrueirte sint congruen- (ii)/ este monoton crcscltoare;
te. Itrofoziiia 8. Unghirl cougruea'r l;u suple:re.ti:ul si,r e;t"e i-rq ulghi (iii) doul segrnente odentate ,41J ;i CD ale dreptei a sint congruente
drept. ;i la fel orientate dacii;i nurnai dacn/(B) -JU) -JP) -f(C).
a) Lill,Lirile unLri unghi drept sict perpc'adii:ulirre. Propozi,lta2. Dacil _/ : a-*R este un sistem de ccordonate pe dreapta
Lr) Tollie unghiu'ile d:cpl"c s?nt congruenie. existir un pu19t orientatd" a, atunci / este injectivi..
a9:.;tfF,:lii\l,dnc.irlaAt lvu[trr=setWgilne,irnt roma.iric'ml:treijio'4:B*l, sc;mentului AB'
Propozilt,t Profozilia,3. Fie J mullimea tuturor segmentelor. Existl o aplicafie
m : g--+R*U {0} caie are proprietltile:
unir. Iri648
(i) t em($);
Propozilin 70. triild dl"i.ceix''-.r:niou.n4gl,hnirf'ntit:ibeisxei.s;t'ci rsreernuidn3iehriupitgalhuOn,ic4S.' (ii) AB: CD+wAB : rnCD
(iii) m(AB + BC) :mAB { mBC, BeAC.
IOxeInt.kA-hastfetrincit :DacI un segment OU 1, atunci segrnentul OUse numeste unitate de
mdsuri a segrnentelor, iar mAB se numegte m6sura segrnentului AB.
120 121
P ropailia 4. \-ie Ql mallimea tuturor unghiurilor nenule. Existi o ln al doilea caz, dacv.t la SHru adiugirin negatia axiornei paralelelor
(notatii aici cu 1V), oblineur sisteraul axiomatic al lui Lobacevski-Bo-
aplicalie 6 1 Ql*+ryD,Zn1 cr-r proprietl"lile: lay ciruia ii acloptim urn-ll"toarea r)xprimare forrnal5.:
(ii) kh - k'h' +n(kk) :m(k'h')l :sI_13 <Jft,.D,(/)!€, ._.__., ; i_lv).
(iii) n(hh t h'k') : m(hh) Y n(h'lt'):
Teoria a>;ion-,atici T (SLts) se nl:rne;te gecinetrie hiperboiicl.
(iiii) kh < h'h' + n{hk) q n(h'h') Georretriile in care nu intrir axioma paralelelor V se nurnesc geolne-
trii. neeuclicliene. Geon-ietda hiperboiicir este una din geometriiie neeu-
Ob serva t ie.'leoriil axiomaticir scrniformilliz.at.a constituitir
I clidiene.
diri nofiunile, i'elafiile primare si gmpele de axiorne I-IV, este denLunitd.
ii Aparilia geometr:iitror r.reeucliciiene a r-erroiutir:nai ;tiinfa ;i c.dati cu
gcorrletrie absolrrtir. Ea ccnstituie partea comttni iI geome- ea, I^ninctreepaugatuflilaazfooliset a stiinlelor.
i, mlucat de
triiXor eucliclianS. gi hiperbolir:ir. nenunrirrateie iircerciiri ale rrrmasilor
rl lui Eur:lid cle a derrrcnstril :rxicsra par-aielricf ,,\i" (cunoscutir sub nu-
1.1? Relaf ii dc paralelisrn J[, rnele <ie Pcstulatul iui Euclid), coirsiderinrl-o ca pe o teoreml de geo-
Prcpa;ifict /. Dorii dreptc a y b se numesc paralclc, cliicir r:ic aparlin mgteimtri,esaisbtesmoliurlti,dlencae.xricolmriec<arroor-:ls-ia,:ulersaot leclsatte{q[rriiiiri"iq:uraccie, srndeootiavrepcee,rratsrua
aceluia;i plan ;i nu a.rl nici i.in punct comul1. {l cr]rn
Not1m paraleiismul cu ailli ;i nega{ia lui cu a$.&. cale
Profo:ilirt 2. ln planul clcterminat de o <ireaptir a ;i un p'.rnct ,4, fi in pretinsele dcmonstiiitii, intei-;c)nc3, suh ciiversc forme echivalente,
A *:r, existir o para.lelil 1.rt-in i:nnctri A la drcirpta a. exact propozitia ce trel;uie clcrnonsti:atii. Prublema a fost rezolvatir in
fi secolrrl trecut cle c5.tre ir:ater:ra"ticienii Nicolai fvanovici l-obacei'ski
Pentru a trece de la geometria al-rsolutl ia geornctrilr r,:uclidiani este i\n18G26e)rminaalitau,sdiae, {1832) in Transilvania ;i C.}-r.
J6no; Botr.,'r,"i Gatrss
neccsarS. o singuri a,xitrml numitiL axioma paralelelor a liri Euclicl, for- nurneie ciirora se leagi. <lescoperirea geometriilor neeu-
inutrat;'r. cu aju.torutr rcia{iei cierivate numitri ,,relatie de paralelisrn".
clidiene.
4.13. \ra) Axioma paralelor a lui Euclicl (Grupa a \La) Fropozitiile care au fost c;l;tinute in lncerr-Liile de a demonstra Fos-
Olit:ale ar fi o drclpti. qi un punct c.ttciior acc:,;tei drcplc, in pkinul tulatui lui Euclid, echivalente r:u a-rioma p:rralelelor, prezinti interes
deterrrinat de punct ;i c|'clptii existir cr:l rnult r.r paraleliL la dreapta" datri atit pentm geornctria euiijdiani, cii :;i peltru geornetria hiperbolici:i,
motiv pentru care consideri"r:r utii si rrrr:zeiillui citeva cjin i'"cestea, ca
care s5, continiL princtti.l r1al. fiind consicleratc tle rioi rnr! rr,l:rr'zt.nlrrlive.
Vb) \cga!ia nriut:te i pai'alclcl.rr ('r lrrttim cul V). 1. Orjcc seca.nt5" r/ forr:rcazi cu dcir.rir tlrcpte paralr:le a,b, unghiLrri
alterne iltcrne cong:uenie.
n,ilEcxieistetirlrnoindartearlpctipi u9inutinqiirirrlnrcetapc:ttitiesiiirrrcrxaisctc-cstrc.:ielcipr-tu--fililen,t:lrxsrtflelpc:lalailnelcplala- 2. Dacii douil. cireptc coplana.r'e s,D s:int inteisectate cL: o secanlir r/,
d-(':!Dta cla'rtl,, care sh conf iitii punr,'i.il cl:rt. gi dacl suma unqhiurilor interne si de aceeasi parte a secantei este nai
rnici decij, 2 clr in s,trmiplarml o deten::Linat Ce secarfta d,, atr-rnci
{,a sistemul axiornri'tic a.l lLri i-Iiibert SFIru(gr',rpcle de axiomc I-IV) s.fib:{X'tl,MEa.
s?ntern libr:i i si" adop',irl cir axionra slrpliinoiltarir" fie axioma a V-a a
peraielelor" (nntati a.ici ci-r \ra), fie nel1ulia axiomci paralelr-r1or (notai:i 3. Pentru odce tliunghi, suma rrnghi'.rrilor este 2 dr.
4. ExistiL douir tritu:ghniri asenreneii. rjonsnrente (J. Wallis).
cu 1 V). 5. Linia mijlocie a unui triungiii piiralclir cu baza este congruenti
ln primr-rl cr.z obtiiieln sisteinul a-xiom:rtic SH, ciluia ii 2al rptiLm cu j5u.rn'Iei;aortecma abaluzri'i. Fitagora rr:fcriioarc la triunghiuri dreptunghice.
urm:r"toarea exprimare {orrralir: 7. E;<isti un p;rtruiater IECD cu unghiu.ri'r" A: A :t dr pentru
sH : <-//!,.D,./);=,.-_.**., -, - ; I_\') care unghirrrile :AA y') : J cir.
umit sistcrnui axiodret;,c :ri Irri IIitbert. C
Teoria axiornatici T (SI{) se nirrnestc geornetric errr:lidian:i. B. Exist5 un patruiater AECD in plan, r.'u toate unghiurile drepte.
Nlulfimea puncteLor -01 ,:rrye satisfac axiomele din grupele I-Vse nu- Patrulaterele plane ABCD per:tru .... i : h :t : t <1r. se nun:esc
mepte spafiu-euctridjan. noiat adesea cu Er.
,,patrulaterc" Lanll-rert.
t22 1?3
9. Exist5. un patrulater in care suma unghiurilor este 4 dr. Ne allturim multor matematicieni de renume din lara noastrS. 9i,
10. O perpendiculard ;i o oblic5. pe aceea;i dreaptd sint concurente convin;i de experienla didactic[, considerS"m c5. este in beneficiul maxim
isscarceetloigire=nail,pe'tcuipvfdririi"crlladiauimicdssdeaid[acpitpiu,itcrlnesee;df,tme5iic.rnmiuIfaSembgtcaea.noz)ruemefloeetprotmrugtiaetuaeo;tmadirnxlaeiinonttremuipegraraiaatiinccnet,tiiiucc9ianiiiliitcadmuIeipiteeleiusavntrielda,feorodl-aeafairrrgtooenuamirruceluitl-dinu(letiui-ripnupaenutnguterthSrmiu,.
(F. Eolyai). Miterialul faptic intuitiv nu poate fi prins in concepte matematice
11. Locul geometric i"l p'r,inrtelor confinute in planul oc egal dep5"r-
tate de o dreapt[ a qi aftate in unul din semiplanele determinate de
dreapta lz, este o dreapti.
\2. Daul, chepte paiaLele cu a treia dreaptS, sint paralele intre ele.
Cu aceastS" :;curti enu:nerare putem afirma c5. sisiemul axiomatic ,decit intr-un sistem logico-deductiv formalizat.
al lui Hilbeit (SH) este in intregime definit.
Dar ce sistem axiot-natic aiegem? T,a noi in !ar[ pini in anul 1978
T)iu notive didactice, care lin de o m'ai clari tnlelegere a sistemului geometria a fost preclatl neaxiomatic. ln anii I91Bll9S0 s-a utitrizat sis-
ariiomatic: ai lui tr{ilbelt, privire general5. retro- femul axiomatic at tui l{ilbert care, probabil din motivele menlionate
el;.ie rlecesar si fi.cem o anterior, a fost aba:rdonat. lncepind cu anul 1981 a fost adoptat siste-
spectivl" asupra Elentente-lor lui Euclid. In Elaneu,tc c.ste prezentat un
sisteln ariomatic intr,ritii' in care notiunile ;i relatiile primare se presu- mul axiomatic al iui Birkhoff (matematician american 1884-L974) intr-o
varianti dup5. M.M.NIoise, la'care s-au adS.ugat cantribufii ale ;colii
purl cunoscutc d.educti',', i;rr axiomile sint' consid*r"t" p.opozifii e;i- maternatice ioninegti, realizindu-se astfel o axiornatizare mai ,,atenuati.",
dentc, mr;tiv pentru cai:e riLl se demc,nstreazS-.
dar care pistreazS'intacte ploprietS.liie de necontradicfie, i11inimaii-
Acesi"t:i consl-rr-rctii loiqicc-dc'dr-rctive i-au fost aduse unele critici. ;'i
Davirl Hiiirerl,. in consii-uctia sisternului axiomatic ce-i poartd nu- tate, completitudine categoricitate. argumente ne fac si consi-
mele (SI{), a plclu:it critic axiornaticri 1ui Euclid" a complctal si defini-
Aceste ultirne
taivcea:ttolirsltpadrnrotrf-iuunnilsoirsiesrinr-ceielaati-irloiirr):iptei:idmisatrreib, u;iiteadeuxppirliccritiatetrpiiropprer-cieist5e-,fiilen rdeearlsmis'cderrneuptrtuirratxiliiot;niadtieccai IoipuoirlBtnir1k-hopif-fe. zenta-
SISTEMUL
cinci 54r upe. Ccea ce clecsctieste iu<iomatica trui Hilbert de il;tioinalica lui AXIOMATIC AL LUI
Euciid clin cartea Elernentc esle inodul in cale Lliibert concepe constru- BIRKHOFF AL In prezentarea de fafS- nu ne propunem o
tia axiom;rticn (SH). Hilbcrt face irn prim pas foirnalizin<1 parteir,,spe- GEOMETRIEI analizl detaliatS. care si cuprindir forrnularea
cificii" a sisterilrtriri axiomatic in sen:iul ciL nofiunilesi relafi:le primare isxtiioinmEtiaUfitciCc- LallIaDlufIioErBmIirVutrlrEih.roilfeosf -ptderriisicdmtteac;-iitniiicnfecitr,oiflndicseaeioi'nansareecaciuxnedicoseiupplelSt:ilu"aorcntraeelsuadtieapBscepiorenkncthlif,uionsfuifss,tttuuecldrinkinturlerll'
g*eometliei in lara noastrir.
silrt sinboluri abstracte cxprirnate in formuie constituite dupi reguli relaliile si propozi!iit^"_ts.tigi (naive)
Presrrpunem cunoscute notiunile,
plecise, iili'rr-xiomeie sint prcpczit-ii c;rre expriml oroprietirfiie care dorim aforrnmuatifiizinaitlovr.aSiinsctelrundulea;ixiloorngaitcicaBilukhzouffa(lill vorn nota SB), fiind
s[ ]c aibir sirnbol,.rrilc. Parie:r ,,iogicir" a consti'uctiei teririei, adic:i rnodali- cilroscutl. semi-
tatell in care sint ciedusc notiLrnile si rela"liile sistern'.ilui a:iiomatic SH
estc le:lizatd" la fei ca 9i in Elcynente-\e lui Euclid, ulilizind reguliie de Relaliile primare specifice sint punc'iul, dreapta, planu! distanfa
definire si deductie cuiroscute din logica clasici.
I,loutatea sistemului axiomatic al lui Hilbert constI in caracteristicile mqiumlSlieimscneoiaans.ildoFerru'lcnducaJttee'd(sfoeium5.bsfoaelriznneioliatiezdalezmis,uu_lbfpimmriunella-ci.mopni uvaenlencltmieeluoclrulismAp,i.iBaif,isCuil,ua.'ni.,uEui.ra)e.t
ce-i cieterniini structura de sistem axiomatic -cemifoi-iitaliz.ttt.
Deci constmctia sistemuiui axiomatic al lui t{ilbert face trecerea de .sau, bbm, cu,l.f'.i.m;eiasAubCrn3u,i{aimleeacirrpeigeJle,inaenletecilreeinuelmemimendter-lee p t e., notate cu
la sistemul axiomatic intuitiv, la sistemul axiometic semiformalizat ca ntrmim p I a n e,
care, de a.itfel, se identificS., ceea ce a impus analiza metateoretici a sis- notate cu a, p, y...
ProprietS"liie rel.aliei de incidenli sint descrise de axiomele de inci-
nftoeurmrmnea'lilotizir:mratexciioa(fmmoramattiaeclmee),a.ctoicnastsitui incrdeuin-sdeu-asestfuellteorinoorusdistt:eammeulre5""*sitoiin-triftici.S". dupd- cum urmeazS':
d.enfi (apartenen!1)
Predarea geometi'iei euclidiene in ciaseie gimnaziale si liceale dup5. de inciden!5"
I. Axiomele
monumentala operi a lui D. Hilbert, recunoscutS. ca fiind de inaximS. ciari- Br. Dou[ puncte distincte determinS. o dreapti unicX.
tate, nu-i g5.se9te pe eievi preg;"tifi pentru a suporta rigorile unei axio-
Br. Trei pirncte distincte necoliniare determini un plan unic'
rnatici de o asemenea anvergurd, coplesitoare prin rigoare, Br. Oaca doud. puncte dinistainccetlepllaPna. rlin unui plan, atunci dreapta
logica gi prin gradul inalt de abstractizare. concizie ;i confine este inclusi
rationamentelor care Ie
124 125
Ete A,ts,C trei puncie necoliniate' Se nume;te tliunghi ABC ns'
dc Puncte
Bu. Dac[ dou[ plane distincte se intersectea.zS., atunci interscr':tia tat cu 71'ABC, mui{irnca
este o dleapt5.
'lc'l- 85. Oricc dreaptS. conline cel pufin doui pr'rncte distincte. Olice LAqtJiBClu lcAl: LABC"
plan con{ir:e ce} pu.9in trei punite necoliniare' J conline ce}. pu}in patm iB11,CiPRiJ"u",;.n,-tJic;'-i;tx'le:;if.aleolr-AnIiora,tBit.il"f",C",g,,is'*ireip'"Jn""rruSo"m"ihtpeitas;i lcl.,l1vtaiiinn,r,{u'huilarursriail"'er'^(itrAFrriBripc"lCnaung) nrh-rlipuolcalpurrrriica,asinne'tu'pgidulncntrrcrreiltuicnrLntcceguhlAepiu'AtBrlnuB'Cci'-
p- unicntecnoentoinli,nrairtlelc.s,.: iirtl'oduce o nou:-r notiune piimari numit[ funcfie
,,distanti", carc este o aplicaJ.ie d:3 x. J-,R notate pdun@c,t]e3le-).Apri;.cia1I"}e" tul C.
zr fi A,'B {a 3, d (,4,-B} se numqte ciintre
distanta
Fu;icti:r,,disl":rntir" d (A,B) sati:;facr: condifiile:
t,l. ilI'n),"apccuoirtnd:t!ritnerpa,rlpanr[ce'a,tedelsesct'e,p8ancr;icirepCsiaL'rn'(Ascixtrcioilueul-'rJlao,dtlsru;rciinePurnasscncpohal')irr'r:ni'4ea'Cd'aetruivnactildrncr-arrpri-itir
{1) vA,E e 3, d(t1,8) > a; dQl,B) : o +> '4 : ts;
(ii) V'4,.8e J, d(.1,8) -d{8,4,\;
,,urrf,hi".
(iii) vA,E,cE5;, d(A,B) + d.(B,C) 2 d(ACi unghi r: pcreche dc scnlidi-epte It' \ r:ltre au ;i"ceca'?l.
Se nume;te
Introcirlce::n riotiuilea derivati- ntrrniti ,,sistem de coortio-
n a t e" L,crii"{i o dreaptti oarecare a. oonn"erisuisi.-gttto!ie*sDcironn3rocuoae**inn."zcunEOiigLFitiirih;r.iaie.lc/ienolUr.unl.nx.i=nrnniirnurgig.:./Lgl;thl,rif(h+tnti!;u,irrs.uri:llc,"enirici.]ftigootl,lfrlqtah-rrlf'',/i'mili,l;il\r-ot.l;il1tlilt'qOuti'"nt'.iii-i"t)icicrcle":l1k,p-l;tt:fiolu;Or;uc1;ilklliS;n!)csuhrh0l)rlcst'l]i:g[te:ctf0ilfaaaicv,'r'aestlrcriuriittttrlnpuc'l.agr1,o:linct,,,itito,itaiitnr'i'irnlnraih5[r'ei:ttic}rnsrk:n:icurruiofrnrtifncniulr.t9gaiarn"6icnj.u1iifhr1dta('i1't'rr1.tsrern-1cieginiauhtu*xiitsilniigrleog'huc*lhtiers"oiiudt,lhceti(el'Le'pdit:co;ztiLenfieit
Tlacva" ct';{p este o cireaptii, a-tunci o functie bijectivi jf : a-'R r:art:
sanatir;ts'.ivctscs*{ius1paa,4ec,(e8Adpgrcxucoi:aoarirmc,pcttl"aaui.tfil(aura'1:ii;g)f!l(e--./.i(4)1l)nOJsr)e/i.cinao:rteed.ar(..rzAif,icBup)u,xns1cetseiirleus:cndneisustrtinenccssteitsctAec:o,nBolddaeopnacarotf.iotnrdisnaodu-
unei drepte d, fieclrui pilnct A,l ed, putern face s[-i corespundi un nu--
miLr real unic r,,1 astfel inclt si fie indeplinitc condiiiile:
(i) Fent::u fiecale nur.riir t'ea.I n, e-risll un singr:r punct P€ rl cu urr;:hi aiur,gii.
-tP. r!. Iiro. Axioma c1e ,'r:custntclic" li, u:1tn8]g:0lht')ti'uticri'iLrniosririrrp' ourouspesrmciiii'rciilO,pl,'e.ll:aaicnira|pitrcrc'lalatlrisrli{i;rii::-l
-
x,1 : A, :r n}tt I ta;rr*t,Jrtpret.a,n,siuIi:n,r,'-|rnoi,,i,ttl',;t'p' tr;e;itnl nt'l't€i'(i'0I''
{.tt}
I
(iii) Oricare ar fi puri,:rie\e P,Qed, avt:rt
i
itQ: irp - rel i iric'ii. i cQU d :;i ttq,ti. ":tt' rlf un p.ur|l intc-
;rr-A'"i"*o ,nil-rniLrii rin;:,hiruil,.rr",,.
trteIa!ia ,,a f i intr';". Irie A.B,C ti:ei-punqte-disijncte. Spu- 1)iir:i,, este
neirr cI fJi;ste intie,4 si C <l-icl d(A,81-l-
d(B,C) :d(A,C,\ 9i sc ncl- f ir,1 g:,-lhiill'i hA /;, 1i1'1nr'i
teazNito'4{ir-neBa- C. Pun'^t,tlc ,4, B, C spunern cI" slnt coliniare.
deiiv:rtii nLrrnitL,,segme_nt". e:,teDp'inI'tr{c4i'\-)A'irr'L.;'r,iiroB",.-r!"a,tl1ilucion-mA.cir1i:l1ftri:t;IrJ-1ur-tiiu,"i..o.'/L^lr\1llraloec,irip)o.-i'r,ri,i:rl(.i/iil^itcil}':i1r)'6' O(-1;6r )ntalg-r'heillrolcui
Fre itrouir puncte A,13EJ" Se n*me;te segment (desr:his) determi-
n;ii cie "puncteie '.X ;i 8, r:.-ruLfimca
{,1.&) - tLi\'Ie AIJ'i, A --}''I - B\J AOB
i'o.r1af ia
iar mtl{iruea ,'.i,;6-i, ; 'u1^t6)1 := l8o"'
'i.4Bj == (.,48)u {A,B vcrn irrLri.,ducc in ic"col:l-l't-'itnii t'a'1.*r:secrriseciad!iicLrp,:iodpco,;,liclioat"gnrul'enI lisl"i a scijftlcn-
t"t", ;i a unghiurilor, 14 din 4.9.
se numeste segment inchis cletermina.t cle punc'\ tele ,4,8.
127
1.}e
i'
L]
Brr. (Axioma L.U.L.). Dzc\ A,B,C, gi D,E,F sint triplete de punc- carene-vor permite s5 stabilirn echivalenla celor doui sisteme, SH gi SB.
1. In baza axiomelor Br_-Bu se pot demonstra cu ugurin!5 axiomele
tBeCn{*ieitcioEmlFina,iaA-ar-Bxe\ iCogmi-SA.BD-a.AE-s.Fis,DtA-e-Em\C,BuAlu*iCBDz:i4rFk.DEhF,o,gfffir,reBza1lotv-,acoEciiDncLFidAeaBtcuCunc:aixaAicvDmerEanFV;.i
Ir-I, din SH, demonstralii pe care le ldsdm ln seama cititorului.
Din axioma Bn a riglei rezulti urm5.toarea caracteristici a relaliei ,,a
fi intre".
Propozi!,ict l. Fiind dat un segment AB;i un punct M incident seg-
,,a paralelelor" din sistemuL axiornatic al trui Hilbert.
men.tuiui avem:
Bto. I'iind date o dreaptS" a, un punct A ce nu' aparline dreptei a,
atunci in pianutr determinat de dreapta a ;i punctul .4, existS, cel mult
(t) Me@B)exe 1xa <rasau
o dreaptl' b care ccntine punctul ,4 gi este paraleli cu dreapta a. (i1) M 6 (AB) e x4 ) xylx6, unde xa , xgali rp sint abscisele punc-
aAxniosammelbeluBl rn:oliBtinrailofor rpmrieranza[reg,eroemlaetlriiialoar;bispolruot5p.liNetollti5lo.mr
in cuprinse telor A, M, B ale unui sistem de coordonate pe dreapta AB.
sisternul axioOmbasteicrvSlmH,cede(ai)se;mi e(ini)ease(iid);ein(tiiif)icfa[ ccucateporroepmoezleiliaII2r-dIIins din sisternul
axiornatic ai lui Birkhoff astfel cu: 4.7 sh. devini
SBot, : (3,A,Q; d,m; B, - Brr)" banali.
2. Axiorna riglei, axiornl cornunl celor doui sisterne axiomatice,
Este ugor de dovedit c[ sistemul axiornatic al lui Ifilbert notat SIJIy face ca propdet5.file de congruenli din sistemui axiomatic SB si se re-
este echirralent cu sisternul axiomatic al iui Birkhoff notat SBoo.. ducl ia proprieti{ile algebrice si de ordine ale numerelor.
Exemplu,. Dac'a" AB este un segment;ilA'X' o semidreapt5, atunci
Rezultl ci'i putem nurni teoria axiomatici T(SBobr) geometrie ab- exist[ un punct unic B'€lA'X'astfetr incit (AB):(A'B').
\cA,D:0emo9nisrtr1a{>ie0. .Alegem pe lA'X' un sisterc de coordonate astfel incit
solutl, deci axioma parale]e1or Z (notatl in SB cu Btr) este indepen- Abscisa rs, satisface condifiile:
denti in sistemul axiomatic SBoo,. Flin adiugarea ei obfinem siste-
rnul. axiornatic al lui Birkho{f al gJeometriei euclidiene, clruia ii adoptirn
urm.ltoarea scriere forii:al5. :
SB : (S,O,e; d, t:t; R, _ Brr) ((ii)i)B(,'4g,B)I A:'X('A,'Bde')c,i xu, >0 0l :
Rezulti cYa xs, :cl
pentru care tecria axioroaticS" l'(SB) este geometria euclidia.n5. deci I r", - d (AB)
D'rrp5" aceastS" prezentare a celor dou5- sisteme axiomatice decluctive (AB).
SFI 9i SE, se pot observa avantajele de naturd" didacticii ale sistem.ului Enunfr-ri de mai sus coincide cu axiorna IIII din sistemutr axiornatic al
axiomatic rnanuale- lui Hilbert.
SB, avanLaje ce justificiL a.legerea lui in alciituirea
Ior de geoncetrie euclidi;r"ni. in inv5"!5.rniritu1 romAnesc, precun"r ;i in
alte liri ca-, U.R.S.S., S.U.A., Folonia etc. 3. Axior',ra III, din T (SH) este o propozilie trivial5. ln T (SB).
Axiomele III* gi III, se dedi-rc din axiomele Bu, Bs, Bn gi tsno. Folosin-
Erruinerl-rn citeva avantaje mai reprezentative ale sistemul.uli S1l. du-ne ;i de axioma ts12 (L.[I.I-.) deciucern axiomele de congruenli ale
1. Sistemul axicmatic Sil ave axiorne neai puline fapii de SH"
?,. Muiliraea nun:ierelor reale R, cunoscuti incii din clasele gimnazi- triringhiuriior (U.L.U. gi I-.L.i,.).
Cu aceasta am aritat c5. nofiunile gi reialiile primare din T(SHru)
ale, intervine de la inceputul consti:ucfiei sistemului axiome'-tic SB, f:i- asxiniotrnneolfeiudniin;iTre(Slaflliriyp) rsirinnat laexisoamuedienrivTat(e58doin6,)T;i(SreBc"irp,"r)o9c.i reciproc, iar
clnd s5. fie eiiminate dificuLltllitre iegate de axiomele de continuitate, difi-
cult5.!i intiinite in sistemul axic,ruatic SH. Rezultl ci:
3. Axioma rigtrei (Bu) gi axioma 1ui Pasch (Br) reduc propriet5lile
de ordine ale dreptei Ia propriet5lile de ordine, in general mai accesibile, T (SI{ry)<+T(SB,b-).
ale lui R.
Adiugind la ambele sisteme axiorna palalelelor obtinem:
Motivaliiie de mai sus nu atrag dupi sine abandonarea sisLeryrului
I!aa5x.irboiarpznvraain,ti.tcsretarulcclautruieraHFiarlbaxineolrrant ,aintBiceSall.cgiia.atulieur-teica.Hciralnbraeenriut;.ai leallocritu;cieoslac,rem.aEnxuiasltebleclaesvtiunlde r(sH)+T(sB).
Pentru a ne convinge c5" avem cu tofii un limbaj geornetric colnun" A;a curn am menfionat, inv[ldmintul nostru matematic a adoptat
prezentS.m citeva consecinfe ale sistemului axiomatic al lui Birkhoff" sistemul axiornatic al lui Birkhoff, allturi de care scoala geometrici ro-
mAneascS. gi-a adus contribufii de naturl. didactici menite sI faciliteze
gradul de accesibiiitate al geornetriei.
128
,11
{I
*
LE
Urniirintl progralna scolari, conliluS"rn rnemoratorul cu enunfarea' 13. Un unghi exterir:r al unui triunglJ este mAi mare decit o;-ic311-'
teoruurelor gzuale"clin gerimetria er-lclidianS' studiati in culsul gimnazial
ciin unghiurile triun5triului, neadiacentc cu acel unghi (teorema ungiriii-
;i liceal.
irii e-xterior).
l?e2lc".DFI;i'aeicsAtpfcIu)lncncantuAsl cbBgren-eAncCt P;ig(citcDBo'roEcrsAnea'rCndi'd'erIe)caaocpnLtls.trEuxcilsieti.auunnsuini gsuergrpnuennct)..t 14. Surna lun5limilor er d.ouii laturi ale urnLi triunghi esie mai ::rar c
(tco;3tli\i'.):rOnAAal{iCtcde-:e,s4acA'cgC'lunI}nc',';n,rtt,I'cJ!A1CsB3i-:sacrBAierd''CIueJrn'e',asataiuntnsguccungircmtirlenCBnijCtl.:oel-corA)I.BI'C'C;' i' J'I2AB'
limitart de drcapta clecit lungirnea celei de a treia.
4. !)aI:iOA csle o senr.idrc.aptiL, .S 'ln semiplarr semiclreaptit unici O.4
+: (,r,,?j un ,rnghi proprir 15. !'ie rJ o dreapti ;i0=d. Prin punctul0 trcce o singur!, dreapti
oar'"*iri i."tnnci r:.xisti o OB porpendiculari. pe d (teorema de erii:ilcnti ;i tinir:itate a perpendic',iia-
:inclu,,iL in 5, irstf,:i ,,n ^lOtj (nn) (teor,irna cle c'onstmcfie a unrri unghi). rci ridicate pe o cireaptS- intr-un punct al i,i).
16. Fiincl daii dreairta d;i punctui -ii, -iif gr/, existi o singuri cirr.ll,4l-
5. Fir:0C€Int 6h, ,ri o'C'1\nt -(6>,,'.
ti rl' a.stfel incit tr{ Ad' ;i tl'-Yti.
[);yr:4.. : .--' : A/':o>'I:i'
17. Se consideril clreapta d, puirctul lJ, ]'I ed s-.i l,['piciorul per:i:eirji-
^l --1^4.o4ir4^ rtoi', fod io'-s' .turtci Aori fu'
,, crrlarei. din It4 pe l. At:inr:i, oricare ar fi nunctul{ , A 6cl', Ar l{', arc:lc'c
Gs-: ,16.i)", ft == Gc' atirnci G- (tcorerna
relalia A'IA4'<MA.
18. Orice punct r:ie pe nediatoarea u:rui scqmr:nt cste cgai de1;irr-
tat de cirpetcle sei;rncntuiui ,ri lecipror'.
19. Ilisectoa.rea ui-nr.ri uirghi plolrii,r e,,tc L.,r':rl y-iciinetric a.l ptruciciot'
din interiorul -;nghiuir.:i c,sal clepirrl.atL: ilc latlrrile unghiului rcutrii t'i.t
virful unghiuir;i.
20. Bi-sectoalt:1e unghiurilor unui tlii-lnt,lii sint concurL.nlc.
2i. I)aci dor.l:i cl.iutre niedialoa"reit: liilirilcr ur:rLii ti-irir:ghi sini r:cir.i-
curente, ai,unci crtrc 1.lr,ri mediatoare alr: 1:r1-uriior: triung-hiulu.i ::int coll:l.l-
d-c zidult:Lic g'oi sciLcicrc a urrgirinrilor). . AOC, !
semiclre;rpl:.|'OB este iiugilitrlui aittnci rcni c.
$. Dac:t inttr:iLrarrir" \
22, Pentru orice dieapt:iL d gi tin Tu-inct l,f *d e:tisii o dreaptl"r d',
--,/t\o" i) -.4-,04.c. as't{cl incit h'[ Ed' gi il.ft tl'
ll"ii pLrnctelc B ;i C sint situatr: tlc lir:cca;i pirrtc a senridrel>tei O'4 23. DaciL pentru d-rcfflrt.e 1*t|. rl, c-"ristl {r se:in'.i cl; carc for-
cloul
atnrrr:i semitlrcapta OP,t sc afli in intcliolul r'rrrghir'rlui l-ncazi o pereche de ringhir-iii a-l'Lerr-r.e internc corti;ruen]"e, aturl.ci rJi-cptelc
ri, ,2si4d.,Ilsaicnitt
,4OC {lar:rana senridrcplci inlcrioale rrnglriuirri). paralele. sili trciil, aiun:i
rjou6 circrrtc distinctc pa.ra.lele ci1 o a sirii
7. {)r:ita uugiri plr-,pi-irr arr: o siniltiri- iriscctoiit'c' paraiele intie ele.
25. Printr-un punct :1 exteriar drcpi:ci d trcce o singur-ii paralel.ii ci.r
8. I):i.cii punr:tele 13 $ B'sint clt llceclt;i p0rte a sernitltep tei OA".04/B\1'i
-,.\- d.
<-lar:ri.08 este ilr-:iclentiL cu O-R' (IJIJ ccnicir'ic r:li atunci : 26. In{;r-un D,a::aieioglr;rru A}3(.:D cu .,4Bilrll}, fJCi\,,4D sint verifi-
O13') '4OR
qi tl9i:",'ii;ta^q(,rliOtrqiLr-nghni(u!i}'i1ie'i'A).BC ',:\ ,7'l"'C' aa '1 Il: t!'B', '4C: "7'C' caie unnitoarele proprlctzlti :
;i rAi: ,1i' atunci L,,1BC "=-' IA'Ii'C' (L'LI'L')' ai DADD-aal^rcAc\5-i"Br {{O:COD}D}--...C=:".BB\A'Cl,CC/,-4n\n:FlDJ.llDDD{:,,,:
-,-\- 0''1n=.OC, O}}:OD, zri DaLr;-
ii). i).rci irirrrr3hi:rt;i,' .lfiC ;i '!'R'C' au A!'i - 'l'l<" 'l: 'tr" lt)
;"Bi(:,1:1ii.'fl)l:'r{r.)i:u',,rttttct+ii,'tittA.ttgcAihAIi*"I1rCilBc:ClLl:B'ACL'l]-:';(li':B',!('ttl'I-'''il'''[C"{Ur''']aL't''L''4)'Il : A'B', ^4C : '1'L'' c) ,48C, O es,tr: t:':ntrul de simetiie
arunci
12. l)a{j:i pcntr'.t ,-tn 11is;1giri ABC ;:'t'ctrt '4tri: AC' 1161r:i BA :C d)
atunr.:i
si rcr-ipr,:c (tJor"cma triLlnghillui iscsr:el) '
latertrlui ABCD.
21. \)aca in pa.trula'Lcr',i\ .4 BCD se vcrifici una din proprictirlile c)-
d, atunci prtlulatcitrl esrc':rt'ai1l1-11-;rn1.
23. lnir-rrn triunghi -rXEC sum:L mii:;rtrilr.rr unghiurilor e:;te 180'.
29. fntr-un triun;1hi, ;nisll-t .,iicr','ui urigir.i erterior e:;te egaLl cir
suma ml.suriior r.tnglii.llrilo;: interioarc neadiar:ente cu e1.
30. Surna miisurii rii :-lh;lii'ilcr t.iaui patrulater convex este 3 68""
r30 .tJl
9*
31. Linia mijlocie a unui triunghideterminati de mijioacele a doul 43. Dac5" in triunghiul ,4BC avem DEIIBC (D EAB, E eAC ) "
ca lungime t/z atunci
f"turi. *1" puroi*t: .,t .L^ de a trEia traturf, ;i are din lun-
usbgd"iia-mi"ua"zg"e\r3eo;qea3.;rl..r.uac'iFnIleienrolgelaiiiJolmiienrd.iecnerteriaeraaa"rtper"teirdgu.ezi;anni"ualglltc"hi"linuai "is"t"mrue"t"emr"lnidi'i"ijiis!a.oufttt-oraacmapiere.aenzalleu.eutnrsl"aag*tpetiimoeuzipriiiufl.lo.aolturerriac'nlescefilaunlollptrucdrcnuioon,gbnusaicriezuneibrnileleaotn_rzretee_c..tcerealolperedzduooluuui[l A'4D:'l! AE lteorema lui Ta1es).
AB AC
AD44. Fie trsira-rungfAhfiiDul :ABAECCE-jq: isDaueA,AUBB,: EEAC astfel inctt (reciproca
AB AE DEIIBC
AC
AC
Ed,atunci
35. In orice tliunghi in5-llimiie sint concurente' teoremei lui Tales). 1i punctele distincte DnuEqi tEpdeifleartiuteriledeunA-
45. Fie triunghiul ABC D gt E se pct afla nu
36.Medianeleunuitriunghisintconcurente.Functuldecorrcurenl;,
u""r-t"lri""aiij.i""a"ipvoitrefn9uizleai. 1/3 de- bazd pe fiecare medianit' {DEAB, EeAC; punctele
unui triunghi clreptr-rnghic are lungirnea
jum5"tate ghiului BAC, cigi pc prclungirile acestor:-at)". 'A--tu""nci +A:IBSdaAcCl ;i
d*"in3l;u.n'"gfi;ml;e;af iPotenuzei. isoscel bisectoarea, media'a, mediatoarea ;i ,n,uo$nur.e"gAm4rhnD5eai.uEiiFllu*udi.eii,4at.Tecr8aarCiuiegiDsgis(,Ehtineciud\cuILrlBeprA-umC9rneiaccm(ifaeuu;cleniletdDiDapaEsimestl'ietlatEnetsptoCaraleliif(cmlDaaaStea.faAipesi)eesB.mtep,irnE_eoSlEu.raAnii)Cgl.tilr,ilAeva+larDitau)nr.itlAol truanttrceii--
tr*ffiri
t,nrollsl3ihm8i,.eiBmaisp.euacrt.tootr"""t."tp,urotri"r""-dto"pilia**ttiuleriniiigrn-ieuceno"ntrJgartrpi-oloearntrtlee'agcaoul incnuuciidrau' pnogrhtuiLdilnettru-ruilnortrcie-
ps 'f"o"r;m;3i9e.atDrzEiacu;M[tnM"ogiB"hCaiura'"lUrtn"'(ip'tcpeei-tio.'-"ril"^cPl.nBuAaC",b:"lCseiAt+c",t.o'"4a1r8pe(\trrer)ie'nosrpenemiccaituivnluuinil
din virfurile unui tri- a) Dac5. A:A/\AA A' ;i B == B', atunci LABC-5II'B'C'
M' 'l/' P' atunci -b) Dac5" A A' ,i,44'*B' :4*, atunci LABC-6A'B'C
Menelaos) AB A'C'
A'B' AC BC , atunci /.ABC-[A'B'C
l)CAia"c-,e-4oa0i"n.satDtliiattacceoi-.rfDeCcrine*istrrntetee"iu-id"pin5.u.'tpnpiiiunocuntsnccibgttsiilntniitreaigttsteb9ictal,uocaib'siitan:a;cipaieBm"r-e;DIai\z.'gitt,ciNun',.tiprtrnC.^sAdoini;nmti eCpd^trDuoendpccitteeupli"ereAinABdeBcaa,inrtueBtneCscr5,-'i c,) Dacl - A'C' -
B'C'
a"'v"e.fml":""rp"ltirr" "t"
,,rio4n7a.llLiunntrgeimluenaSciranteeateiipuonteuniutzrieuiaggihai dpreropiteucnfgiehiiccaetsetetemi peedieipportsepnourz-l
,,{teorema ca.tetei). dreptunghic, lungimea ln5"lfirnii drrs5" din virful
4g. intr-u.r tliueghi
unghiului drept esie rnedie proporfionaii intre lungirnile proiecfiilor
caGtelor pe ipotenuzl (te,rrema in61!imii)-
MB A'C PA 1(It)e,orema lui Ceva) 49. inir-un triu'ghi drepiunghic pltratul iungimii ipotenuzei este
MC' .^ *:-tr egal cu surna pltrateLor lungimilor
piaSt.eLrieatleolror(tleuonrgei.mrrailolruai Pditaogucirala).-
50. Dac5" inir-un triuniJhi surna
turi este egali cu pLtratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este
(Aceastlteoreml'necilposibixitateaslinagin5"mometodldeadernon-
dreptunghic
Ita*'"g"ritti"lrrCo;i,a4"*-n4q.i;igc"'rztat,.ihe..".aiDi"d.trart-("reettcelaetvnip",oa#"itMdcrfe,uel;,teCm,eAupuatr(ha"erteeetttp,f"."ois,a'r;"rr]"i,i-;en.a"a",iim'rt"ill.-edl;c;ae-;;oira;tlnlou;h",pctaari1uroe,Ser4""iiecct'te.n"hAi-w"tr-ii7edmrMial)tits'rAieztnltd)ar"T.['ii'-nsoeApBttreieaaunC)'lc-o"t:le'ra'ictAADu-eoBrasi'Ai2ccA[a'c'M'*d'ac',nr4C,A-lt1nldl31tr"'ds-iAe,reAlp*gld-^Cmrd.-QAe"e''l)pnnl tBtl("eeu?'Mlle€tlctrouddy-n1"'i-''
51. Dac5. in triunghiul ABC,C^este un unghi ascufit 9i punctul D
este proiectia lui ,4 pe BC atunci:
ABz :ACz lui Pitagora
''t + BCz - zBC. DC (teorema gi punctul D generalizatl).
52. Daci in ABC,6 este obtuz este proieclia
triunghiul
lui ,4 pe BC atunci:
ABz : AC, + BC, + 2BC . DC (teorema lui Fitagora generalizati).
13f,
132
5J. Fiind clate trei;runcte necoliniiire, existd" rln ceIC unic cc le cr;n-' 64. h[5.sura unui unghi cu virfirl pe cerc, una din laturi fiind secanta
tirle. .;ercului, iar cealiilti tangenti ccrcului, este -!l din misura arcului de
54. Intericrul unui celc estc o rnuitiine crJ;l\-erlit' 'ccic inclus in interiorui unghiului (intre li.iturile sale).
5li5.Utru-i.eecie9r,cau\l 2Qr.,{O,ar\t,urn>r:0i ci;iieadpretaapata;i
e. A't1,r) a"r exact d.r;'ii 65. S{iisura unui utrglti cu virful in interic'rul unui cerc este 1
Z
cercul
;tr_a,-.,nrur2n3sJc1e)tt.ncD[-otcliaelorcclim,aIJi nt,,llct;nc(c(p0rOci,(c)'t.i.J,o,$rrr'eLt-)rr'p;i'rt,pa,eenratpi:;e:ts''n:::ed:irnic:dur-drnrtlri'accarg;ef:'tiPte:clsoriircn..cr:ifao..'cinpti"'ileitc':il-lta'1uiCcdl.er0Qelr1::')rO'ptt)'ar)icl;r"lsirer'cun'\upamrciertrs'\1tIe1t' .iii n suma m5.surilor arcului criprins intre latur:ile ungiriuh,ri 9i a arcului
cuprins lntre prelungirile laturilor unghiului.
6,6. ilfirsura unui unghi cu virful in cxtcriorul unui cerc este egalir
este elteric'arii ccrcului)' ,-,,., I valc-.arca absolutilt a difercntei m:rsurilor arcelor cuprinse intre
.o",,'.irro, (dreiipta. r; (t",,,Or, y), Q.z(Oz, rr),0, '.- di,,
56. Ii]e ceicurile 2
fi',:.i cl :!ft,
7- ,illti.r i':li.c s:rle.
1) DLrcl d)r, -l- r,r, cercliritc-ilrn au ltrntlc ccllxune {lc sil*r:itrn cer-
curi exterioare). 57. Uii poligon convex poa.te fi insct'is itrtr-';n cerc dlrcir rnediatoa-
,reLe latuiiloi suie sinl concurente ;i rci'iProc.
2) Ilac:i ti,': r't -'f- i2, ctlLcurile alr cr:ac; i-tlt prinit comlxn sit';ari poirte fi circurnscris tinui ccrc
-reic6iil"nLgihniuprcilliogronsacleons\.inext daciL l,risectoa-
'p.oerOn3')ir*OD", .({r|ice: lssi1:aup-rllini,:ccmr-n,ecrte,iclcsituitir.ri>l>tca'cnlrt-gl,roli'c-li;tetr',,re-lxt,'rtc.eFertiar';c;cr.lie.reil)ut'n';e''1S1tsr:'11c;'r..,1le- concurcnte qi rccipir,c.
d+ii[ punci''"
piln{'tr:' 69. fJrice poligon regLrlat poatc fi insr:ris intl'-un cerc si poate fi
dilu;'t
circrrmsr:ris ttttui r:erc"
c,:o--i.Fr,x1.u*j.n1icta)e*n.s1gtce-ipln"ei:re\p'\cinnct-clicrriu?zll:a,a,lLrcti.:u):;ipi:prr:uui0lne,O.r:irilu)L'
exaci ult pllnrt collrilil (lenuurin'r i ?0. DaciL un patrul;r-tcr cstc inscriptitril atunci suma mitsurilor a
,douil unghiuri opuse estc 1[i0" si rer:iproc.
cie tarrgcn[:i se af][ pe dre.pta,
O-'r"O!;,-bLa..ienierser:lia r:u cele xLalli'1 { siui-lri' cotnu^e (lc nunrirn i I ^ DaciL un patmlater cste inscriptibii atunci orice unghi determinat
tl,<.'l11 - jd rrn pulr:t (di{t:ri't: <ir: o di:;.gonilll ;i o lltur5. esle t:ongruent cLr un5;iriul dctcrmin;rt cL:cc:i'
criolrr':). vzl., r:c'i-cttiiie Ilrl au pillictc diiLgonaii. cu lal.ura opttsi't pr-irnei latrrri ;i reciproc.
c-*clrtc.uri in f r),,,18 trn iir-c t:i cgri:r:l';i;i 'lalt[
ni*...o,,tt'Ap, f,l. Fl'in orir:c punct extcrior unui cerc se pot duce doui taltgente
rle, gi B) al .icuiuilB'Atunci av,:rrr:m1f''ftii'; ':nt('414) -r*(ffij"
c{.jrlgi.jente la a,.-el cerc.
, 'i-i. Lciair:rececrocrn,tilitrAeQp,iinr)cti'i.rMl il€f,
,'tri -: , R-l /. Ats Ittt Q-{O, rt)l.'\IA.tuBujc''Ii pcntlu orice coar-
ilu,air .f-rt -= t'onstant (pLrte-
-ErT'fSlll-gllI. puncte distilctc a.le unui 61'1r-', iiunci ciiamtrtli;L ,r\i" proclusttl
,4 ;i,B slnt rnijloiicele'
I.;te.ir'ploe.irrIlicBlla(raiprrertccna:rir'lal.i ,{/i ccnliire n,ijlocul co;rrdei :{8, 9i r'r::i unui punr:t fatiL <le ccrrc).
74. Fie r:cr"crrl (t,(0fl;i .ill{:
arcul tnar-u) . r,!rB, Aq- fi.(f),rj, B€ @,(O,r) cEaxLieQc{0o,nt'}t.inArt:Lipnrc-irpiicctnirtllul'tr-,:riccprsocdcuansuiSl
59. llac.l douir r:oarde ,4]3 si CD ciiir acela:i ccrc €iO' r). sint cq;n-
gruente, ;iLunci alcetre rnici;,[,B .;i cD sin{ ct'nSrueiiig, S1 lccrpfoc' f{,"x, - fIB este cor,rstitnt (pulerca punctului ,i/ fail rle ccrc).
r;rzei lui
60. DacX. clou5. coa.rde;rle unili cerc sint congJr''rente, atunci. dist;rr:l- 75. ftapcrtul c]intt',: lungirnca uulii ccrrr ;i hrngirnea cste
"acclirsi penfru toa,.le cer<:urilc (z
tele de tra centrtl cercuiui tr:i cca.rde -'int ei{atre' : 3, 1415...).
i-;o,;{ta;sr"6idi1"Ce.;l,elf;li;aitnAc.roiClroscsiiltao,ut'u"aBf,,teOc{l}nasariandic*etencl,ca4ogifni}agsr,rcc'i;:icrenCl,niepDteina' anicl'r:i.rc';ledCr'cl'i'$eilrdliiBrQrrDn.(cOrs',ri'rrni\t-tr siiri paralcJe' 75. Pcnii'u o::ice arc cfc: r:ei-c Tbor-,',o, trt, :+ lt'''r ur1ffi).
perpendicili:rr ,7i. O supraf:rliL poligon;:1i'i coiryexi cil o laturi (n'>,3) sc dcscoinpune
'in'to-Z sr-rpra{e}c tri.unghiularer.
cr,ngruenie *i
62. fn acelaqi cerc sau in cercuri congrue;i1-e, la coarde egale corr:s- 751. Ijentru mul.tirrea J a s';pra{cfr:1or" poligonal,:, aria se dcfinegte
pund arce egale ;i reciProc'
,,prin urmirtoarea tcorenrir nuinii.i ,,teorcma cle existen!X a funcfiei arie":
63. M5"s'ra unui u*ghi inscris in c'.crc ".to { din rnirsura arcr"luir
Erisii" o funclir: o : J*R+ care arc' ttrmlLtoal'i:le prc'prietifi.
2
1) Dac5. trirlrigfriurile 'I1 ;;i T, s?nt congruente, atunci o[7-rl -: oifsl,
cuprins iiltre lat-"lrile sale.
I J;l
134
2) Daci Sr gi 5, sint suprafefe poligcnale cu inteiioarele disjuncte, g5. Dac[ doul drepte distiircte d' }i d" sint paralele cu o a treia
<-irea4ip6t.iiDda,cai.tuc1nocui5 drep,ele d'.9i d" sint^para1e1e intre ele'
atunci : fo(S1U Sr) o(S1) o(Sr) c* gip, sint p_araleie cu un al treilea
plane distincte,
paralele intre ele'
o[A8873B109)C...DADDDaaar'cficcaI5":S.(uA/ALnBeB'u1sCCi.teDtDroiueeunsstngteeihtuaiutneensddptreeSep"lsttlruuLanpt grEdahiiifnaA;lipiBra,o1:td1"u8un,sc==uiaioftui,(untinlac)gri-iauBli1CAii. Bu:nCeIDiallat:u1tun2rci"i, "ptrangl'1.', atunci planele apl;iinpasi;nit un punct A€,a, exisiS rrn singlrr plan
cu plailul cr'.' congruente sau
cu lnlltimea coresprJnzltoare. Fiind date uir respective pal'alele sint
care trece prin ,4 ;i este pirriilt-l
g8. Dotii ungiriuri cu iatuiile
s-u'pgltgm.eDnt.arrcei. o c6-eaptX rJ este perpe'diculari dpeesdteopueirpdernedpicteuia-crdon" cup-e
intrjun plan e, iluir,-j. dreapta
rente con.iinute
otrreicci1ei0n00dtdr..rpeForeriiiinpc'datJiir'4desia;;truitreapttoSei .ippdieinranendprdiirltau[uinad.ur;.li9pcpire.uunndc-ptu*ni,4c- t/,
82. Aria unui roinb este , din produsul diagonaielor saie. M, existi:L un singur plan
existii o singuri" rlreapti
-
83. Aria unui trapez este produsul dintre semisuma bazelor gi ini.l--
(distanfa dintre baze).
limea trapezului poligon regulat este egal5 cu semiprodusul clintrtr pe- .-c-are-1t0re2c. e prin M ;i este perpendicularl pe oc' a.iA.6a), do dreap-
84. Aria unui
rimetru gi apoterna lur. FS P-4 o dreapti. perira'iiicuint:- pe plant'-!
t; co:;i,rutiL in pl:.r';I i tii',18:-'C, B 3rt. 'q'tunci P!35-d' (teoi:eina celor
85. Sectorul de cerc deterrninat cle arcul AB al cercului Q.(O, rj, I rei pr'r,Deudi c i riare).
este o suprafali misurabitr[ gi aria lui,este e8aL5. cu
tb3."niac;i A €;, dEx !) * a, ABLd, {J P13)-d, PA tAB, atunci
1t --rli;:36tr v^(AB) .PA-l-n (recip';ss2 teoresrei celor tlei pel=pcdi:,rdiculare) '
lO+. biu irn pi;rn o{, u11 eigralr-nJ-cir"Tc' uAc#iiasi.asn;ita' iuyI'./7l:yf'"' Atrrnci Cistan}a de
A ia. c* ecle mii *ic5 sau
86. Prin orice trei puncte necoliniare A,B,C trece un singur plan, la pJete-piteendp.eiiLrpliaerlFn,dipcueiaurrlppelapnl:iaryt"r-laat'unci orir:e plan
care va fi notat cu (AtsC). 1t]5. ile.r::r d e:.i;e B
{are cL}nline dicapta
87. Dac5" o dreaptzi d are douzi puncto clistincte situate intr-un plan aria S, proiecfia
a, atunci dreapta d este inclusi in pianul u (dca). l"i 165. ilacd. triurghiul ,rlBtl rrcsituat inpia'irui"eta-re. celor cloui plaue
88. Dac5. d este o dreaptii si ,4 un punct nesituat pe d, atunci existi ZfC pi pienrl u are rrri;. 5'ilir i'iisuia. un5;irinlui
un singur plan care contiue dreapta zl gi punctul A. F''I va fi notat cu esr,: i,, atunci 5' :5 oo, ,L
(dA). 1g.7. r")rir:c muiflrmc poliedi:alir se poate clcscon1p':r;ile it'r tctraedre.
89. Dac5. d Ei d,' sint dcui drepte distincte ;i au un punct comun O, i08. Orlce pr:isrn5. se descc;ripune ln prisme triungltj'ulare'
lE"rulelgcri)9.r.i.iltfiaoci-iiu,ni;,irtinj,:ifriirecipoiaezciloil*i!v,erxe,sipiuecntciri.""niu) n-5"?runtr+v/:i2rfnrilo(rr,eimaluiachluii-i
atunci exist[ un singur plan care conline aceste drepte. El se noteazi cir
(dd').
90. Oricare ar fi planul a, mul{imea punctelor si mr:ltimea drepte-
lor situate in el satisfa.c axicrneele de incidenfS" a1e geometriei in plan"
91. Oricare ar fi pianul a, existi exact doui" semispalii o1 si o, li- 110. ll,ristiL nu.nai ciirci tipu.ri c1e poiiedre regulate;i iinui-ne: tetra-
rnitate de ptranui c. Dac5"
pu.nctele PD,Qaceiop"u"nac.utuPl,QP6€oorr,;ai tu0necios,La.gtmun(nc*i. *a*ii- iro**,:',.* (cubul), cctaledru.i, r;odecacdrul- 9i ico,laedrui reguiat-
tul FQ nu intersr:cteaz5" plilnul. cr. Erp,r,lsrtr:irid,Ifrfnutneac}iiielei;c:-(l-cle-ircRlerr.necnateresviertr.:igficLii{,irr-nirimlerltpoo;tlticeldereplroor-
segmentul P0 ;i plzinul o{ au un sirrgur punct cotnun. ,din i11. Irie
spa{i;.
"priei)tl{'Di: aci te'craecltele 7''r',:; f, sint congruente, atunci v(Tt) :v(TJ'
92. Dacl o elreapt[ d, este paraleli cu o dreaptS. a confinutni" in
xa, atnnci d ',1, sau d s;a
:rtu:231rc))1i2DD.vaa(D"cPc5:ar,.cPU[ir/itP;esirs)etePs:toe,ru'rs(-n1iun'r;cit)tra-iltltbr1e"c,\diu-l.(eLiliau'vrr)tci.u;rpluacmtrli,,cadarttuualntercccii urvz((inLPlf)c::rli*o'at"relc disjuncte,
93. Daci" o dreapti d, esie paralelii cu un plan a, iar un plan p trece"
prin d;i intersecteazi pLanul cn, atunci aO p este o dreaptl paralell cu d.
94. Dac5. o dreaptir d este paraleii cu un plan a qi,4Ea, atunci pa*-
ralela la dreapta d dus5, prin ,4 este confinuti in planul or.
13?
136
_invariazlcgr.cu.|Carenutrecep;.iripolr-rldein.r.ersitlneclacS";i
T,1:il1iar:e:r-ui.;:,r[lu*orcrt-_pn--n:."'el*c'ar:narciit:tpitJzr.:r;r,cr-li)a;aeiar:alt:'a;ris.nttnl-cln1'it.o[iXss;f:fau;:acrif.f;rlojoer-ezr;etr1i-cgirrnirsLtiernat;-tplalcireilLuc.erc"ncocoipe"d:fgepare'"ri,tttrrrctior.lcrif;unrronicg;rii,liul;i4e:i*lo]lidpr;tpal'cnrpti-lortalt"ia.:lriptl"lrsiriul-oel'o't.lctcracri"l-n;b<e"eoe;t.iuliicrte-"ctctciir"la"dtiel'*nnrplr:t'lcic-xtsurlrei'cietitrctinlc'rsrirtipdn'-sl"lr'pt:r:r'pcii:llionsict:i1nriu'liirtu:ii:.rr-rnrr':t::rliniri'::it"i':col'dirpociirk"lncorJrrn:srlrLiiteon'crurpppevlenrutcdeeiisprcue;sel'stlinuaji-cn:'{n1tutlvorerc::ed"{':'9ir1ruisn1eirs)l'tr-rgurllc1:-tTllotesld!cl;ciu1iuanl1rigretigrioPa'-nlpitnlnaontui---
113. Douf, pir:rmicle tritrngliiulare cu lLazele ctrc arii egale;i inllfi*
mile egale au volurnele egaie.
114. Secliunea intr-o piralniell cu_tll1 p]an paralel cu- p]anul irt'zei
este un poligon asernenea cu poligonulbazei, i:rr ariile br:lzelor: celcr ritiuii
piranride (a:;tfel {ormate) sint propr:rtionale cu pitratele inlltinirlor
Ior.
115. Secliurlea intr-un con circlrlar printr-un plan paralel cu f,'l;r.*
nutr irazci este un cerc.
116. Conul c:irculat' si r:onul fortnat sectionin.du-i printr-un p):in
paralel cu planul bazei au:
1) razele bazelor propor{iona.le cu inallimiie '",lit.r:iJ';.lriliilti.tcrtnr;,elsnd.rcireili;,[il.tiZih332alcie)1fs'8ii1gp,se,ie.ri,t*t:*.**a.rgs.,..c.s:i*1r0iiritSiin]nrr:.auliiricg,rittist'e.ljagrerrEisn-c-imuelo,6urereetoinnlnncng,rnct:tlnS"oercttt)rtrrut.mi'liiie'*'.uir;ci:r-un'HeozniLiiepuCilEn'friltg*st;riirllrr.iihitl:rJi,,ir:.-i"1ri't"i,':c"o:1isr.cpmea,itic.hi,*:rnjpeii'eiiiljri.''lr'c::'r,l,icl.r':a,;;altei"tuactts),frel.-ir$cc,tai.;i,irh,c-it11li:i,cccltitt"nilceAcris'h;(Ecre:EtJ'rrr'ritl.rrocrCit-.rluuts/ti'l'ir1iilrrn1f|'liiy:,i*cu"l,'r''o-rtr'irfl':r"u,Ci'ri,llLc,'nu{e:ttupiep.t*itrliciuc'rnFr;Etiilnrrioi'etuu;ica;1ncmcltnrtr'i{ecrr:i::hricrLt.aatecisllllrurl:citnltn",i'.rru{iscintlPunici:ircnirorrrl'"igiorumsilihflpi,iitpinmorullaaeciirtauitrcrntl*:ouur'n]-1uelr)r----li'
2) raporttrl aiiilor bazelor egal cu raportul pitratelor lnilfimilr'r"
I17. Planul tangent Ia sfcri este pelrpendicular pe raza corEspuv,2fi-
toale punctului de contact.
i 18. Dacii un plan are dou;r puucte conlii;le c-rr sf€.)ra, atunci eJ ale:'
un cerc Comun cu sfera al cl|lui ccntru este piciorlrl perpenrJic.uiilrt:i;
dusc tlin centrul sferei pe plan.
119*. Or-ice iz<.rrnetrie ?- a unui plan ericlidien consei:vl rdaliiie
pcrpendicularitate, coljniaritate uun.iurieslea6lfif-ar'tjx,r,ir;.:
cle incidenlzr, paralelism,
7'a unei drepte, seniidrepte, a
fi intre"; imagirrea. prin
de dreapt:l, a-'unui ierc, arc de cerc, pia.n, semiplart, t'sie l:cs,p'ci {iv 6-1'
rnullime cariicterizati prin at:ceasi denumirc'.
120*. Orice tr:lnslafie t stc o izelmeirie" 'l',jflrenla l :i li'eiLcrl' i"h).
i32*. Ila.cir prl* .",l;'^itiil1;riit9r;a*cl alriuutrd;'illlihiuiul'rtrririABE,Ccasipe' duc clouir drepLe
121*. Orice transla.lie l--+ clc vcctor uer-,rrtr / nu are puncte fi-it', in* si*-retricc i:r ra-poit fr qi E, attrnii rire loc rr:latiit: i'ter::r:cteazit la-
-irrt:"lEC l" pnr*t*n.-
v:rriazir cirepte si planr: p;rraleie cu i'
122'r. Orice lotalie esie o izoruetrie. RC2 {)D.C:[' (ieili cr:rr:r- i'lli St*incri
123*. Rotatia R(0, A,;:0oadmite un singur punct {i;r, centrr'r}' i) A2 Ti;:Att
0; nu i.clnLite'clreptr: fcicxie<,,upl icr.lestrceeanztiiruluCnl3s,iiurlailtz:asreSqmi;ceJni tseiiclrilr;ni':;rrli!r",dr;l.r,lti.-riL *,rg,:i'''\,i;.rlrnLrrtc',*gii,,r'rpr;1tl1Liihititrl3oiti133di?r*l3oi5,C';,,i5irt;o*ltL.:1.t'.,.;r.;r-i{;'j't"ict-p,i;rnr".a;i;xeotL'";'{i.srrrr;rro:t,c";i'"e";ii*ii"r"it-l-.in'"Ltc'-ip.riiro.nl;cnn"c,c;urrc*liitrl'tr*-r;,l:r'i'ani'.irit:,.'il:,.rtir"i1r,r1rn'*a.Jr,,:rr;grjirJ-'i,i"iir.ihh,ii,*-:liiarr'it1(c'*":tilae,tord'ir,i.iplsei-fit:'ruectl*{t,c*g*rcn'.ttacisr''nB'rceti{ralcut.,i'lu.tr'ritlt-'racr'iapcurifp;tir'{;'leir'lil:):nerp'nsiil(liao{\(inul.:rten"ltecrri*1i,lirxoai',.c-'ta8erce:'xcl.,Clctv,-itmn9Li::.:i*sn-'a'g1t*rat.d:;,e.thio*"l^1,i:aurm19::ic19t"i:-1cia1.1}fiii!.ti'e1i?-T-}bf-ay;;-:imjir::.1.s.iap:;5-11"cipic"t1::cure11^litil,srdo-xi'ful!")s,*.tea'",l.eir..ln*rc.ecg-e:-:imm.i:"t+l:,ieI1xt,epiE3+Xtr1eiu:alfrClirtrn?lu:i-i--il
rrnglriurilor", ir*tan"azla
C:A,
124*. Cilte -.irnetric {a!ir cir: un punct, rcslicclti\r o clrcapt'i, un P-l;;1,
este o izon.retri,:.
: ,Ji', ,si f/(}:i - 1'"
125*. Frin orir:e cirntttr:tir: I{t0, /a), din t{\i})
rezultl c[ 'lCr1i ll IJ'I/' Fi M',\/' ='= ft'-llJ]r. /;) cle i;cl 0;i puter* A:
iZfi*. Orice inversiune coresX,ntnzirtoal'er /{O,
dreptele ce trec prin pc1
- invaria;rl ; cu punct ln invu:,i- -'-!.tr"'"'1-itt. Un fescicui ,:1c rL'eptc collcitrtnte deterrninli pe doiil drepte
une-a inversir;ne este invalia.nt,
cercul cie plinrt
-f;
* Teoreinele cr: steluli nu sirtt pre 'r5.zute iir progr;ima- ;cotral[, r]ar sirit :Frralei r:, segmcntc pronortiln;rlc'
{recvent Iolosite la
in rezoi-.rarea probLemelor Cate c..rr1c"rit-:uri1e ;coXtile. '
138
X38x. Locul geometric al punctelor care au aceea;i putere in raport
cu dcuS. cercuri date este o dreaptl perpendiculari pe dreapta centre-
1or (axa rldicalS" a celor doul cercuri).
139x. Daci irnplrtim un cerc intr-un numi.r oarecare m de pdrlt
egale atunci:
1) Punctele de divizir-lne sint virfr-rrile unui poligon regulat inscris,
in cerc.
2) Tangentele in aceste puncte sint laturile unui al doiiea poligon
regulat circumscris cercului.
140*. Fentru orice hexa.gon inscris in cerc, punctele de intersecfie.
ale laturilor opuse sint coliniare.
141*. in oiice hexagon circumscris unui cerc, d.iagonalele care unesc
virfuritre opuse sint concurente. Cuvint lnainte I
142*. Raportul ariilor a doui" poligoane asemenea este egal cu p6-
tratul raportuiui de asem[nare. Primii pa;i prin labirint 13
Despre intuifie gi ralionament in geometria euclidiane '"' - 22
143*. Fie triunghiul ABC $ uri punct oal'ecare X,I aflat pe circurn- Fagi prin labirint cb.tre lrumosul geornetriei ."' '- "' 28
ferinta cercului circriniscris Punct, dreaptd, Plan ... .1J
triunghiuiui. Proiecliile punctutui E pe Cifiva pagi in afari gi apoi din nou prin labirint 64
laturile triunghiului ABC sint ccliniale (tecrema lui Simson). 70
Linia curbi perfectS (cercul)
Despre defini$ii, axiome si teoreme 75
Redactarea dernonstrafiilor .tnt
Teoreme prezentate sub forma ipotezd-concluzie si recipro- 90
cele acest6ra 104
Probleme rezolvate model 109
114
Frobleme propuse
La revedere, labirint
Memorator cuprinzind axiome si teoreme
!
t'
,l
I
I
T
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Duican, Laurentiu - Prin labirintul Geometriei (pag. 109-112 sunt rupte jos)
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search