“HANDOUT TENTANG PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA”
DOSEN PENGAMPU :
Tiur Malasari Siregar S. Pd., M. Si.
Disusun Oleh
Kelompok 9 :
1. Auliani Daulay (4201111020)
2. Dian Vira Syahfitri (4203311018)
3. Kristina Monalisa (4203111015)
4. Nazurah Fahrani (4202411003)
5. Nurul Aulia Siregar (4203311064)
Mata Kuliah : Matematika Ekonomi
PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2022
PENERAPAN EKONOMI
Teori diferensial amat lazim diterapkan dalam konsep elastisitas dan konsep nilai
marjinal. Dalam kaitannya dengan konsep elastisitas, pada bab ini secara berurutan akan
dibahas penerapan diferensial dalam penghitungan elastisitas berbagai variabel ekonomi
dan juga akan membahas penghitungan elastisitas permintaan, elastisitas penawaran dan
elastisitas produksi.
A. ELASTISITAS
Elastisitas suatu fungsi = ( ) berkenaan dengan x dapat didefenisikan sebagai rumus:
ƞ = = (∆ ) = .
∆ → (∆ )
Ini berarti bahwa elastisitas = ( ) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative
dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau
mendekati nol.
1. Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price
elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan
dengan = ( ), maka elastisitas permintaannya:
ƞ = %∆ = = (∆ ) = .
%∆ ∆ → (∆ )
Contoh:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh = 25 − 3 2. Tentukan elastisitas
permintaannya pada P = 5.
Jawab:
= 25 − 3 2
= −6
ƞ = . = −6 . 25 − 3 2
ƞ = −6(5). 5 = 5 = 3 (elastis)
25−3.52 25−75
ƞd = 3 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1% maka
jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3%.
2. Elastisitas Penawaran
Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price
elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga.
ƞ = %∆ = = (∆ ) = .
%∆ ∆ → (∆ )
Contoh :
Fungsi penawaran suatu barang Qs =−200 + 7 2. Berapa elastisitas penawaran pada
tingkat harga P = 10 dan P = 15?
Jawab:
= −200 + 7 2
′ = = 14
ƞ = . = 14 . −200 + 7 2
Pada = 10, = 140. 10 = 10 = 2,8
−200+7.102 −200+700
3. Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah keluaran (ouput) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan
(input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan
X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi
dinyatakan dengan P = f (x), maka elastisitas produksinya :
ƞ = %∆ = = (∆ ) = .
%∆ ∆ → (∆ )
Contoh:
Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksI = 5 2 − 3pada tingkat faktor
produksisebanyak 2 unit!
Jawab:
= 5 2 − 5 3
′ = 10 − 15 2
= 2
= %∆ = = 0 = ′.
%∆ ∆ →
= (10 − 15 2). 5 2 5 3
−
= (10(2) − 15(2)2). 5(2)2 5(2)3
−
= −40. −0,1 = 4
Jadi, dari kedudukan X = 2, faktor produksi yang digunakan naik sebesar 1% sehingga
produk yang dihasilkan bertambah sebanyak 4%.
B. BIAYA MARJINAL
Biaya marjinal (Marginal Cost, MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk
menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematika, fungsi biaya marjinal
merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan
dengan C = f (Q) di mana C adalah biaya total dan Q melambangkah jumlah produk, maka
biaya marjinalnya :
= ′ =
C. PENERIMAAN MARJINAL
Penerimaan marjinal (Marginal Revenue, MR) ialah penerimaan tambahan yang
diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Jika
fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f (Q) di mana R melambangkan
penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :
= ′ =
D. UTILITAS MARJINAL
Utilitas marjinal (Marginal Utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh
konsumen berkenan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Jika fungsi utilitas
total dinyatakan dengan U = f (Q) di mana U melembangkan utilitas total dan Q adalah
barang yang dikonsumi, maka utilitas marjinalnya:
= ′ =
E. PRODUK MARJINAL
Produk marjinal (Marginal Product, MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari
satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematika, fungsi produk
marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produksi total
dinyatakan dengan P= f (X) di mana P melambangkan jumlah produk total dan X adalah
jumlah masukan, maka produk marjinal :
= ′ =
F. ANALISIS KEUNTUNGAN MAKSIMUM
Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum, atau menimbulkan
kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan diferensial. Karena baik
penerimaan total (R) maupun biaya total (C) sama–sama merupakan fungsi dari jumlah
keluaran yang dihasilkan / terjual (Q), maka dari sini dapat dibentuk suatu fungsi baru
yaitu fungsi keuntungan (π).
∶ = . = ( )
= =
− " < → ( Keuntungan Maksimum )
− " > → ( Keuntungan Minimum )
G. PENERIMAAN PAJAK MAKSIMUM
Misalkan fungsi permintaan suatu barang adalah P = c – dQ dan fungsi penawaran P
= a+bQ . Jika pemerintah mengenakan pajak spesifik sebesar t atas setiap unit barang
yang dijual, maka pajak per unit (t) dan total Pajak (T) dapat dihitung dengan tahapan
berikut:
1. Cari persamaan Penawaran sesudah pajak : = + +
2. Rubah dalam bentuk fungsi pajak spesifik per unit barang yaitu : = − −
3. Subtitusikan P dengan fungsi permintaan kedalam persamaan fungsi t, sbb; =
( − ) − − = ( − ) − ( + )
4. Cari Persamaan pajak total/total pajak: = . = ( − ) − ( + )
5. Cari berapa jumlah unit barang (Q) pada kondisi pemerintah akan memperoleh
penerimaan maksimum ( Tmax) dengan syarat T’ = 0.
T maksimum jika T’ =0 , yakni pada = ( − )/ ( + )
6. Hitung berapa Tmax (penerimaan total pajak maksimum pemerintah)
H. EFEK PEMAJAKAN BAGI PENUNGGAL
Pajak, di samping merupakan sumber penting pendapat negara, dapat pula fungsi
sebagai instrumen kendali atas keuntungan ”berlebihan” yang dapat dikeduk oleh
penunggal (monopolist). Pengenaan pajak sebesar t per unit barang yang diproduksi atau
dijual oleh penunggal akan mengakibatkan biaya rata-ratanya meningkat sebesar t, dan
biaya totalnya meningkat sebesar tQ. Akibatnya bukan saja harga barang menjadi lebih
mahal, tetapi juga keuntungan yang diperoleh penunggal menjadi berkurang.
Penerimaan total : R = r(Q)
Keuntungan :π=R-C
Biaya total : C = c(Q) π = r(Q) - c(Q)
Biaya total sesudah pengenaan pajak : Ct = c(Q) + tQ
Keuntungan sesudah pengenaan pajak : πt = r(Q) – c(Q) – tQ
Pajak perunit :t
Pajak total : T = t.Q = f(t,Q)