TUGAS AKHIR MTK

Gambar diagram lingkaran:

Ulasan materi penyajian data selanjutnya adalah penyajian data dalam bentuk diagram batang.
Diagram Batang
Penyajian data ke dalam bentuk diagram batang cukup mudah dilakukan dibanding diagaram
lingkaran. Sobat idschool hanya perlu menyesuaikan keterangan data dan banyak data pada
masing-masing sumbu x dan y. Selanjutnya, sobat idschool hanya perlu menggambar batangnya
sesuai data yang diketahui.
Penyajian data dalam bentuk diagram batang dapat dilihat pada gambar di bawah.

Diagram Garis
Cara menyajikan data dalam bentuk diagram garis hampir sama dengan diagram batang.
Bedanya terletak pada langkah akhirnya.Pada diagram batang hasil akhinya adalah menggambar
batangnya. Pada diagram garis, sobat idschool hanya perlu menarik garis dari titik-titik yang
telah disesuaikan dengan data yang diketahui.
Hasil penyajian data dalam bentuk diagram garis dapat dilihat pada gambar di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1
Diagram lingkaran berikut menunjukkan kegemaran 300 siswa dalam mengikuti kegiatan
ekstrakurikuler di suatu sekolah.

Banyak siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler drama adalah ….
A. 30 orang
B. 35 orang
C. 40 orang
D. 45 orang

Pembahasan:
Persentase siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler drama adalah

Banyak siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler drama adalah

Jadi, banyak siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler drama adalah 45 orang.
Jawaban: D
Contoh Soal Penyajian Data 2 (SOAL UN Matematika SMP 2016)
“Pengunjung Perpustakaan”
Suatu hari Ani menemukan sobekan koran yang memuat data pengunjung perpustakaan berupa
gambar diagram batang sebagai berikut.

Rata-rata Pengunjung 41 Orang Selama Lima Hari.
Informasi yang ada pada koran tersebut menunjukkan data pengunjung perpustakaan selama 5
hari. Ani penasaran ingin tahu tentang banyak pengunjung pada hari Rabu. Tolong bantu Ani,
berapa banyak pengunjung pada hari Rabu?
A. 55 orang
B. 60 orang
C. 65 orang
D. 70 orang

Pembahasan:
Banyak pengunjung:
Senin = 45 orang
Selasa = 40 orang
Rabu = x orang
Kamis = 30 orang
Jumat = 20 orang

Rata-rata pengunjung 41 orang selama lima hari.

Jadi, banyak pengunjung pada hari Rabu adalah 70 orang.
Jawaban: D

BAB I. POLA BILANGAN

A. Macam – Macam Pola Bilangan
Macam – macam pola bilngan meliputi beberapa jenis berikut ini :

1. Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan
ganjil . Sedangkan pengertian dari bilangan ganjil sendiri memiliki arti suatu
bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya .

 pola bilangan ganjil adalah : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . .
 Gambar Pola bilangan ganjil :

 Rumus Pola Bilangan ganjil
1,3,5,7,...,n,
maka rumus pola bilangan ganjil ke n adalah :
Un = 2n – 1
Contoh :
1 , 3 , 5 , 7 , . . . , ke 10

Berapakah pola bilangan ganjil ke 10 ?
Jawab :
Un = 2n – 1
U10 = 2 . 10 – 1

= 20 – 1 = 19
2. Pola Bilangan Genap
pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan
genap . Bilangan genap yaitu bilangan asli yaitu bilangan asli yang habis dibagi dua
atau kelipatannya .

 Pola bilangan genap adalah : 2 , 4 , 6 , 8 , . . .

 Gambar pola bilangan genap :

 Rumus Pola bilangan genap
2,4,6,8,....,n
maka rumus pola bilangan genap ke n adalah :
Un = 2n
Contoh :
2 , 4 , 6 , 8 , . . . ke 10 .berapakah pola bilangan genap ke 10 ?
jawab :
Un = 2n
U10 = 2 x 10

= 20

3. Pola bilangan Persegi
Pola bilangan persegi , yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk suatu pola
persegi .

 Pola bilangan persegi adalah 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . .
 Gambar Pola bilangan persegi :

 Rumus Pola bilangan persegi
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . , n
maka rumus untuk mencari pola bilangan persegi ke n adalah :
Un = n2
Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 1 , 2 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . ,ke 10 . Berapakah pola
bilangan ke 10 dalam pola bilangan persegi ?
Jawab :
Un = n2
U10 = 102 = 100
4. Pola Bilangan Persegi Panjang
Pola bilangan persegi panjang yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk pola
persegi panjang .

 Pola persegi panjang adalah 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . .
 Gambar Pola Bilangan persegi panjang :

 Rumus pola bilangan persegi panjang

2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . . n ,
maka Rumus Pola bilangan Persegi panjang ke n adalah :
Un = n . n + 1

Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan
persegi ke 10 ?
Jawab :
Un = n . n+ 1
U10 = 10 . 10 + 1

= 10 . 11
= 110
5. Pola Bilangan Segitiga
Pola bilangan segitiga yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk sebuah pola
bilangan segitiga .

 Pola bilangan segitiga adalah : 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , . . .
 Gambar Pola bilangan segitiga :

 Rumus Pola Bilangan Segitiga :
1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke n .
Maka rumus pola bilangan segitiga ke n adalah :
Un = 1 / 2 n ( n + 1 )
Contoh Soal :
Dari suatu barisan bilangan 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke 10 . Berapakah
pola bilangan segitiga ke 10 ?
Jawab :
Un = 1/2 n ( n + 1 )
U 10 = 1/2 .10 ( 10 + 1 )

= 5 ( 11 ) = 55

6. Pola Bilangan Pascal
Pola bilangan Pascal yaitu sebuah pola bilangan yang ditemukan oleh seorang
ilmuwan asal Prancis yang bernama Blaise Pascal. Pola bilangan ini mempunyai
bentuk menyerupai segitiga , dan dikenal dengan nama segitiga Pascal.

Perlu sobat ingat, ada beberapa aturan dan ketentuan yang berlaku pada pola
bilangan Pascal yakni diantaranya;

 Pada Baris Paling atas / baris ke-1 diisi oleh angka 1,
 Setiap baris selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1,
 Setiap bilangan yang tertulis dibaris ke-2 hingga baris ke-n adalah hasil

dari penjumlahan dua bilangan diagonal diatasnya, (selain angka 1
pada baris ke-1).

 Setiap baris mempunyai bentuk simetris
 Jumlah bilangan untuk setiap baris merupakan kelipatan dua dari

jumlah angka bilangan pada baris sebelumnya. Seperti contoh, baris
ke-1 jumlah bilangan = 1, maka baris ke-2 jumlah bilangan = 2, dan
seterusnya..

Bentuk dari pola bilangan Pascal yakni sebagai berikut;

B. BARISAN DAN DERET
1. Rumus Baris Aritmatika

Keterangan :
Un = Suku ke n
a = Suku pertama
b = Beda
Un-1= Suku sebelum n
Contoh Baris Aritmatika
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, … dan seterusnya
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 21, … dan seterusnya
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … dan seterusnya

Contoh Soal Dan Pembahasan Baris Aritmatika
Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut
7, 10, 13, 16, 19, 21, …
Tentukan :

1. Beda
2. Jenis barisan aritmatika

3. Suku ke sebelas barisan tersebut
Jawab 1:

b = U2 –U1

= 10 – 7
=3

Jawab 2:

beda lebih dari 0 b > 0, maka barisan aritmatika tersebut merupakan barisan
aritmatika naik.

Jawab 3:

Un = a + (n – 1) b

U11 = 7 + (11- 1) 3
= 7 + 10 . 3
= 7 + 30
= 37

Jadi suku ke sebelas dari barisan tersebut adalah 37

2. Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah jumlah suku ke n pada barisan aritmatika. Deret aritmatika
merupakan pembahsan mengenai jumlah suku – suku berurutan tersebut.

Rumus Deret Aritmatika

Un = Suku ke n
a = Suku pertama
b = Beda
Sn = Jumlah suku ke n
Contoh Deret Aritmatika
Contoh Deret Aritmatika bentuk umum yaitu :
U1+ U2+ U3+ U4+ U5+ U6+ U7+ … + Un
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + … + Un
6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + … + Un
Contoh Soal Dan Pembahasan Deret Aritmatika
Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 5, 7, 9, 11, 13, 15, …. adalah
Jawab :
a =3
b = U2 – U1
=7–5
=2
Un = n / 2 ( 2a + ( n-1 ) b)
U10 = 10 / 2 ( 2.5 + (10 – 1 ) 2)

= 5 ( 10 + 9 .2 )
= 5 ( 10 + 18 )
= 5 ( 28 )
= 140

3. Barisan Geometri
Baris Geometri adalah barisan yang mempunyai perbandingan tetap pada setiap
dua suku yang berurutan Perbedaan dengan barisan aritmatika yaitu barisan
aritmatika memiliki pertambahan dan pengurangan yang tetap, sedangkan barisan
geometri memiliki perbandingan tetap berupa perkalian atau pembagian.
Rumus Baris Geometri

Un = Suku ke n
Un-1 = Suku ke n – 1
r = Rasio
a = Suku pertama
Contoh Baris Geometri
3, 6, 12, 24, 48, 96, … dan seterusnya
1, 3, 9, 27, 81, 243, … dan seterusnya
2, 6, 18, 54, 162, 486, … dan seterusnya

Contoh Soal Dan Pembahasan Baris Geometri

1. Diketahui barisan geometri 1, 4, 16, 64, … Tentukan suku ke 7 dari barisan
geometri tersebut

Jawab :

a =1

r = Un / Un-1
=4/1

=4

Un = arn-1
U11 = 1 . 4 7- 1

=1.46
= 1 . 4096
= 4.096

Jadi suku ke 7 dari barisan geometri tersebut yaitu 4.096

2. Tentukan rasio dan suku ke 6 dari barisan deret geometri 2, 8, 32, 148, …

Jawab :

r = Un/ Un-1
=8/2

=4

U6 = 2 . 4 6- 1
=2.45
= 2. 1204

= 2.048
Jadi rasio dari barisan geometri adalah 4 dan suku keenam adalah 2.048.

4. Deret Geometri

Deret Geometri sama halnya dengan deret aritmatika, perbedaannya yaitu deret
geometri dengan perbandingan perkalian atau pembagian, sedangkan aritmatika
dengan pertambahan atau pengurangan.
Deret Geometri Adalah jumlah suku dari barisan geometri yang mempunyai
perbandingan atau rasio yang tetap.
Contoh Deret Geometri

2, 6, 12, 24, 48, 96, …, Un
Maka deret Geometri yaitu :
2 + 6 + 12 + 48 + 96 + …+ Un
1, 5, 25, 125, 625, …, Un
Maka deret Geometri yaitu :
1 + 5 + 25 + 125 + 625 + …+ Un

Rumus Deret Geometri

rumus deret geometri
Sn = Jumlah suku ke n
r = Rasio
a = Suku pertama
Contoh Soal Dan Pembahasan Deret Geometri
Diketahui barisan geometri memiliki suku pertama atau a yaitu 8 dan rasio 2.
Tuliskan barisan dan deret geometri
Jawab :
Barisan Geometri yaitu 8, 16, 32, 64, 128, 256, …, Un
Deret Geometri yaitu 8 + 16 + 3 + 64 + 128 + 256 + … + Un
Soal2: Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan 2, 4, 6, 8, …
Jawab :
a =2
r = Un / Un-1

=4/2
=2
Sn = a ( rn – 1 ) / ( r – 1 )

S7 = 2 ( 27 – 1 ) / (2 – 1)
= 2 ( 128- 1 ) / 1
= 2 . 127
= 254

BAB II. KOORDINAT KARTESIUS

A. Posisi Titik Terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y

B. Posisi Titik terhadap Titik Asal (0, 0) dan Titik Tertentu (a, b)





C. Memahami Posisi Garis terhadap Sumbu-X dan Sumbu-X

BAB III. RELASI DAN FUNGSI

A. Relasi
1. Diagram Panah
Misalnya, ada 4 orang anak yaitu Ali, Siti, Amir dan Rizki. Mereka diminta untuk
menyebutkan warna favorit mereka. Ali menyukai warna merah, Siti menyukai
warna ungu, Amir menyukai warna hitam, dan Rizki menyukai warna merah. Dari
hasil uraian tersebut, terdapat dua buah himpunan. Himpunan pertama adalah
himpunan anak, kita sebut himpunan A dan himpunan yang kedua adalah himpunan
warna, kita sebut himpunan B. Hubungan antara himpunan A dan himpunan B dapat
di ilustrasikan dengan diagram panah seperti berikut:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa diagram panah di atas merupakan relasi antara anak
dengan warna yang mereka sukai. Relasi antara kedua himpunan tersebut dapat

dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota himpunan A dengan
anggota himpunan B.

2. Himpunan Pasangan Berurutan

Selain dengan diagram panah, suatu relasi juga dapat dinyatakan dengan
menggunakan himpunan pasangan berurutan. Caranya dengan memasangkan
himpunan A dengan himpunan B secara berurutan. Kita dapat mengambil
contoh dari contoh diagram panah tadi.

Ali menyukai warna merah

Siti menyukai warna ungu

Amir menyukai warna hitam

Rizki menyukai warna merah

Dari uraian di atas kita dapat menyatakan relasinya dengan himpunan pasangan
berurutan seperti berikut:

(Ali, merah), (Siti, ungu), (Amir, hitam), (Rizki, merah).

Jadi, relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan sebagai
himpunan pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.

3. Diagram Cartesius

Menyatakan relasi antara dua himpunan dari pasangan berurutan yang
kemudian dituliskan dalam bentuk dot (titik-titik). Contoh dari relasi antara anak
dengan warna kesukaannya yaitu himpunan A = {Ali, Siti, Amir, Rizki} dan
himpunan B = {merah, ungu, hitam}, dapat digambarkan dalam bentuk diagram
Cartesius seperti di bawah ini:

B. Fungsi

Fungsi (pemetaan) merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, jika
setiap anggota himpunan A berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan
B.

Jadi, dari diagram panah di atas dapat disimpukan:

Domain adalah A = {1,2,3}

Kodomain adalah B = {1,2,3,4}

Range fungsi = {2,3,4}

Sebuah fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil sepeti f, g, h. Misal, fungsi f
memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan f(x) dengan aturan f : x →
3x+3. Artinya fungsi f memetakan x ke 3x+3. Jadi daerah bayangan x oleh fungsi f
adalah 3x+3 sehingga dapat dinotasikan dengan f(x) = 3x+3. Dari uraian ini dapat
dirumuskan:

Contoh Soal menentukan nilai fungsi

 Diketahui fungsi f : x → 3x + 3 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan:

1. f(3)
2. bayangan (-2) oleh f
3. nilai f untuk x = -4
4. nilai x untuk f(x) = 6
5. nilai a jika f(a) = 12

Jawab:

Fungsi f : x → 3x + 3

Rumus fungsi: f(x) = 3x+3

1. f(3) = 3(3)+3 = 12
2. bayangan (-2) oleh f sama dengan f (-2), jadi f(-2) = 3(-2)+3 = -3
3. nilai f untuk x = -4 adalah f (-4) = 3(-4)+3 = -9
4. nilai x untuk f(x) = 6 adalah

3x + 3 = 6

3x = 6-3

3x = 3

x=1

5. nilai a jika f(a) = 12

3a + 3 = 12

3a = 12 – 3

3a = 9

a=3

BAB IV. PERSAMAAN GARIS LURUS

A. Menentukan Gradien (Kemiringan garis)

Gradien = Ordinat / Absis m =

1. Mencari Gradien Persamaan Garis y = mx
Gradien = m
koefisien x dalam persamaan y = mx

2. Mencari Gradien Persamaan Garis y = mx + c

Gradien = m
koefisien x dalam persamaan y = mx

Contoh soal :
Tentukan gradien dari persamaan garis
2y = x + 6
y = 1/2 x + 3
jadi gradiennya adalah 1/2

3. Mencari Gradien Persamaan Garis ax + by + c = 0
a. gradien dalam persamaan garis lurus berbentuk ax + by + c dapat dicari dengan
terlebih dahulu mengubahnya ke bentuk y = mx + c. Koefisien dari variabel x (m)
merupakan gradien dari garis tersebut.
Contoh soal :
3x + 2y – 8 = 0
2y = -3x + 8
y = -3/2 x + 4
gradien = -3/2
b. gradien dalam persamaan garis lurus berbentuk ax + by + c dapat dicari dengan
rumus

m=

Contoh soal :
3x + 2y – 8 = 0
a= 3, b=2, c= -8
m=

4. Mencari Gradien Garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)

rumus : m =

Contoh soal :
Sebuah garis lurus melewati titik A(3,4) dan B (5,8). Tentukan gradien dari garis
tersebut.

m=

=

=

=4
C. Sifat-sifat Gradien Garis Lurus

 Garis yang sejajar dengan sumbu x gradiennya adalah nol.
 Garis yang sejajar dengan sumbu y tidak memiliki gradien (tidak memiliki

kemiringan).
 Gradien dua garis yang sejajar adalah sama, m1 = m2
 Hasil kali gradien dua buah garis yang saling tegak lurus adalah = -1

Gradien dua garis yang sejajar adalah sama, m1 = m2

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan
garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :
m1 = m2

jika garis k sejajar garis l

Contoh soal :
gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8

a=3,b=6

m = -a/b = -3/6 = -1/2
dua garis yg sejajar :
m1=m2 , maka
m2 = -1/2

2. gradien dua buah garis yang saling tegak lurus adalah :

m1 . m2 = -1
Contoh soal :
Gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8

a=3,b=6
m = -a/b = -3/6 = -1/2
dua garis yg tegak lurus :
m1 . m2 = -1 ,
maka m2 = 2

D. Membentuk Persamaan Garis Lurus

1. Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah

y – y1 = m (x – x1)
Contoh soal :
Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.

jawab :

Titik A(-3,4),
berarti x1 = -3 , y1 = 4 dan
bergradien -2, berarti m = -2

Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :

y – y1 = m ( x – x1 )

y – 4 = -2 {x – (-3)}
y – 4 = -2 (x + 3 )
y – 4 = -2 x – 6
y = -2x – 6 + 4
y = -2x – 2

Contoh soal :
Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan
sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)
jawab :
Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)
P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5
Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3
Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah
m (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1
maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), berarti x1 = 6 , y1 = 2
Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 2 = -1 (x – 6)
y – 2 = -x + 6
y = -x + 6 + 2
y = -x + 8

2. Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui
sebuah titik
(x1 , y1), dapat diperoleh rumus berikut :

− 1 = −1
2− 1 2− 1

Contoh soal :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)
jawab :
Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).
A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4
B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8
Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :
(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)
(y-4) / 4 = (x-3) / 2
2(y – 4) = 4(x – 3)
2y – 8 = 4x – 12
2y – 4x = 8 – 12
2y – 4x = -4
y – 2x = -2

Hubungan 2 Garis Lurus :

1. Persamaan garis yang saling sejajar

Contoh soal :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x –
5

jawab :
y = 2x – 5 maka
m=2
m1 = m2 = 2 (karena sejajar)

maka :

y – y1 = m (x-x1)

y – 3 = 2 (x-2)

y = 2x-4+3

y = 2x -1

2. Persamaan garis yang tegak lurus

Contoh soal :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y =
2x – 5

jawab : y = 2x – 5
maka m = 2 ,
karna tegak lurus : m1.m2 = -1
m2 = -1/2

maka persamaan garisnya :

y – y1 = m (x-x1)

y – 3 = -1/2 (x-2)

y = -1/2 x + 1 + 3

y = -1/2 x + 4

kali 2

2y = -x + 4

2y + x – 4 = 0

3. Persamaan garis yang berhimpit

Garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan
hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan

ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing”
merupakan kelipatan dari a, b, c…

4. Persamaan garis yang berpotongan
Dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien
dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan
konstanta persamaan garis lainnya.

BAB V. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian Soal-soal SLPV
A. Metode Substitusi

Pada metode ini, kita harus mensubstitusikan atau mengganti salah satu variabel
untuk dimasukan ke persamaan yang lain. Contoh:

x – 6y = 18 ... ( I )
2x + 8y = 4 ... ( II )

Tentukan nilai x dan y.

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah dengan mengubah salah satu
persamaan diatas seperti, x – 6y = 18 maka, x = 18 + 6y .... ( I )

Nah, jika kita sudah mendapatkan salah satu persamaan, maka kita substitusikan
persamaan ( I) ke dalam persamaan ( II ). Caranya yaitu:

Karena kita sudah mendapatkan x nya maka,
2(18 + 6y) + 8y = 4
36 + 12y + 8y = 4
20y = 40
Y=2
Begitu juga untuk mencari nilai x, kita masukan saja nilai y tadi ke salah satu
persamaan diatas. Seperti:
2x + 8y = 4
2x + 8(2) = 4
2x + 16 = 4
2x = 4 – 16
X = -12 / 2
X = -6

Penyelesaian persamaan diatas adalah X = -6 dan Y = 2.
Maka himpunan pentelesaiannya adalah HP : { -6, 2 }.

B. Metode Eliminasi

Pada metode ini, kita hanya meng – eliminasi salah satu variabel x atau y dengan
cara sebagai berikut:

2x + y = 3
x + 2y = 3

Jika kita ingin menghilangkan variabel y, kita lihat perbandingannya terlebih dahulu,
perbandingannya adalah 1 : 2 oleh karena itu agar sama kita kalikan 1 dan 2:

2x + y = 3 | x [2] => 4x + 2y = 6
x + 2y = 3 | x [1] => x + 2y = 3 –

3x = 3
X=1

Jika kita sudah mendapatkan x nya, maka untuk mencari nilai y kita masukan saja
nilai x nya ke salah satu persamaan diatas. Misal:

2x + y = 3
2(1) + y = 3
2+y=3
Y=3–2
Y=1

Jadi penyelesaian dari persamaan diatas adalah X = 1 dan Y = 1
Himpunan penyelesaiannya adalah HP : { 1, 1 }

C. Metode Gabungan (Soal cerita)
Harga dua baju dan satu kaos Rp 170.000,00, sedangkan harga satu baju dan tiga
kaos Rp 185.000,00. Harga tiga baju dan dua kaos adalah…..
A. Rp 275.000,00
B. Rp 285.000,00
C. Rp 305.000,00
D. Rp 320.000,00

(Dari soal UN Matematika SMP / MTs Tahun 2007)

Pembahasan
Baju = x
Kaos = y

Harga dua baju dan satu kaos Rp 170000
2x + y = 170000

Harga satu baju dan tiga kaos Rp 185000
x + 3y = 185000

Susun kedua persamaan:
2x + y = 170000 |× 3|
x + 3y = 185000 |× 1|

menjadi
6x + 3y = 510000
x + 3y = 185000
___________________ −
5x = 325000
x = 325000/5 = 65000

Substitusikan nilai x
x + 3y = 185000
65000 + 3y = 185000
3y = 185000 − 65000
3y = 120000
y = 120000/3 = 40000

Jadi harga satu baju adalah 65000
harga satu kaos adalah 400000

Untuk 3 baju dan 2 kaos
Harga = 3(65000) + 2(40000) = 195000 + 80000 = 275000 rupiah

D. Metode Grafik

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV:
x + y = 5 dan x − y = 1 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.
Penyelesaian

Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan
sumbu-Y

■x+y=5

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0
⇔x+0=5
⇔x=5
Titik potong (5, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0
⇔0+y=5
⇔y=5
Titik potong (0, 5)

■x−y=1

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0
⇔x−0=1
⇔x=1
Titik potong (1, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0
⇔0−y=1
⇔ y = −1
Titik potong (0, -1)

Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang
Cartesius seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Dari gambar grafik di atas, titik potong kedua grafik tersebut adalah di titik (3, 2).
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan
x – y = 1 untuk x, y ∈ R adalah {(3, 2)}.

BAB 7 TEOREMA PHYTAGORAS

A. Teorema Pythagoras

Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi

miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”

jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku.

Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:

c2 = a2 + b2

Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:

a2 = c2 – b2

b2 = c2 – a2

Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang

berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.

Contoh :

Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan

sisi siku-sikunya b dan c.

Rumus Pythagoras : a2 = b2 + c2

Turunannya : b2 = a2 – c2

c2 = a2 – b2

B. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku

Contoh :

1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm. Hitunglah

panjang BC!

Jawab:

BC2 = AC2 + AB2
BC2 = 32 + 42
BC2 = 9 + 16
BC2 = 25

BC = 5 cm

2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi

hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC2 = AB2 + BC2
202 = (4x)2 + (3x)2
400 = 16x2 + 9x2\
400 = 25x2
16 = x2

=x

3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km.

Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.

jawab:
OU2 = OB2 + UB2
OU2 = 802 + 602
OU2 = 6.400 + 3.600
OU2 = 10.000

OU = 100 km

C. Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras
1. Kebalikan Dalil Pythagoras

Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku
a2= b2 + c2.

Dalam ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah

sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a2 = b2 + c2 maka ABC siku-siku di A.
Jika b2 = a2 +c2 maka ABC siku-siku di B.
Jika c2 = a2 + b2 maka ABC siku-siku di C.

Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu

segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a2 = b2 + c2 maka ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika a2 > b2 + c2 maka ABC adalah segitiga tumpul.
Jika a2 < b2 + c2 maka ABC adalah segitiga lancip.

Contoh :

Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi

1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.

Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm
a2 = 82 = 64
b2 + c2 = 72 + 52
b2 + c2 = 49 + 25
b2 + c2 = 74
karena a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci

2. 8cm, 7cm dan 12 cm

Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm
a2 = 122 = 144
b2 + c2 = 72 + 82
b2 + c2 = 49 + 64
b2 + c2 = 113
karena a2 > b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul
2. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar
sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 52 = 42 + 32

A. Unsur-unsur Lingkaran

Keterangan:
1. Titik O = pusat lingkaran
2. Garis OA =OB = OD = jari-jari lingkaran
3. AB = diameter lingkaran
4. Garis lurus BD = tali busur
5. Garis lengkung AD dab BD = busur
6. Garis OE = apotema
7. Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur = juring ⇨ misal AOD
6. Daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan dua jari-jari = tembereng (yang diarsir)

B. Keliling dan Luas lingkaran

 Keliling lingkaran = 2πr = πd
 Luas lingkaran = πr2 = π ( 1/2 d )2 = 1/4 π d2

Keterangan:
r = jari-jari lingkaran
d = diameter lingkaran
π = 22/7 atau 3,14

C. Panjang Busur dan Luas Juring

Luas tembereng = luas juring AOD – luas segitiga AOD

D. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Perhatikan gambar di atas
∠AOB = sudut pusat
∠ACB = sudut keliling
Sudut pusat dan sudut keliling saling berhubungan jika sama-sama menghadap busur yang sama.
Terlihat bahwa ∠AOB menghadap busur AB, ∠ACB juga menghadap busur AB,
sehingga : ∠AOB = 2 x ∠ACB

E. Segiempat Tali Busur

Segiempat Tali Busur adalah segiempat yang dibatasi oleh empat tali busur dimana keempat titik
sudutnya menyinggung sisi lingkaran. Jumlah dua sudut yang berhadapan adalah 180o.

∠A + ∠C = 180o
∠B + ∠D = 180o

F. Sudut Antara Dua Tali Busur

∠ AEC = 1/2 ( ∠ BOD + ∠ AOC )

Pada gambar di atas: BC dan AD diperpanjang sehingga berpotongan di P, maka:
∠ APC = ∠ BPD = 1/2 ( ∠ BOD - ∠ AOC )

G. Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus
dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya. Garis a adalah garis singgung lingkaran yang
menyinggung lingkaran di titik A. Garis a tegak lurus OA.
Maka panjang AB = √ OB2 - OA2
1. Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran

R = jari-jari lingkaran; P dan r = jari-jari lingkaran Q; Panjang AB = CQ.
Panjang garis singgung persekutuan dalam AB adalah: AB = √PQ2 − (R + r)2
2. Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

AB disebut garis singgung persekutuan luar dua lingkaran P dan Q.
R = jari-jari lingkaran; P dan r = jari-jari lingkaran Q; Panjang AB = CQ.
Panjang garis singgung persekutuan luar AB adalah: AB = √PQ2 − (R - r)2

H. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

1. Lingkaran Dalam Segitiga

2. Lingkaran Luar Segitiga

BAB 8 Bangun Ruang

Prisma
Rumus volume luas alas * tinggi
[sunting]Balok
Rumus Volume Balok = panjang x lebar x tinggi
luas permukaan balok = 2(pl)+2(lt)+2(pt)
[sunting]Tabung
Rumus Volume = luas alas * tinggi

= π * r2 * tinggi
Prisma segitiga
Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 × (alas segitiga × tinggi segitiga) × tinggi prisma
Kubus
Rumus = sisi pangkat 3
[sunting]Limas (piramida)
Rumus = 1/3 * volume prisma

= 1/3 * luas alas * tinggi
[sunting]Limas persegi
Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * luas persegi * tinggi
Limas segitiga
Rumus = 1/3 luas alas tinggi

= 1/3 1/2 alas segitiga tinggi segitiga tinggi prisma
[sunting]Kerucut
Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * π * r2 * tinggi
Prisma
Rumus volume = luas alas * tinggi
Balok
Rumus = luas alas * tinggi

= panjang * lebar * tinggi
Tabung
Rumus = luas alas * tinggi Teks miring

= π * r2 * tinggi
Prisma segitiga
Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma
Kubus
Rumus = sisi * sisi * sisi

= s3
Limas (piramida)
Rumus = 1/3 * volume prisma

= 1/3 * luas alas * tinggi
Limas persegi
Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * luas persegi * tinggi
Limas segitiga
Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma
Prisma
Rumus volume = luas alas * tinggi
Balok
Rumus = luas alas * tinggi

= panjang * lebar * tinggi
[sunting] Tabung
Rumus = luas alas * tinggi

= π * r2 * tinggi
[sunting] Prisma segitiga
Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma
[sunting] Kubus
Rumus = sisi * sisi * sisi

= s3
Limas (piramida)
Rumus = 1/3 * volume prisma

= 1/3 * luas alas * tinggi
Limas persegi
Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * luas persegi * tinggi
Limas segitiga
Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma
Kerucut
Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * phi * r2 * tinggi
Kerucut
Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * phi * r2 * tinggi

Macam bangun datar
Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar
genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.
Nama-nama Bangun Datar
Persegi Panjang, yaitu bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan yang sama panjang, dan
memiliki empat buah titik sudut siku-siku.
Persegi, yaitu persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.
Segitiga, yaitu bangun datar yang terbentuk oleh tiga buah titik yang tidak segaris
Jajar Genjang, yaitu segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar.
Trapesium, yaitu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar.
Layang-layang, yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu
diagonal lainnya.
Belah Ketupat, yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling
berpotongan tegak lurus.
Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang
mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau
radius, atau jari-jari.
[sunting]Rumus bangun datar
Rumus Bangun Datar
Rumus Persegi
Luas = s x s = s2
Keliling = 4 x s
dengan s = panjang sisi persegi

Rumus Persegi Panjang
Luas = p x l
Keliling = 2p + 2l = 2 x (p + l)
dengan p = panjang persegi panjang, dan l = lebar persegi panjang

Rumus Segitiga
Luas = ½ x a x t
dengan a = panjang alas segitiga, dan t = tinggi segitiga
Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Rumus Jajar Genjang
Luas = a x t
dengan a = panjang alas jajargenjang, dan t = tinggi jajargenjang

Rumus Trapesium
Luas = ½ x (s1 + s2) x t
dengan s1 dan s2 = sisi-sisi sejajar pada trapesium, dan t = tinggi trapezium

Rumus Layang-layang
Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat
Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Lingkaran
Luas = π (pi) x jari-jari (r)
Sifat-sifat bangun datar

Layang-layang= terbagi atas 2 digonal yang berbeda ukurannya

BAB 9 STATISKA

A. Pengertian

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data,
pengolahan data, penyajian data, penganalisaan data serta penyimpulan data. Data adalah suatu
informasi yang diperoleh dari pengamatan atau penelitian.

Macam-macam data:
1. Data kuantitatif yaitu data berupa angka.
contoh: data-data nilai ujian
2. Data kualitatif yaitu data yang berupa kata-kata (bukan angka).
contoh: data tentang hobi seseorang
Populasi adalah kumpulan dari seluruh objek yang mempunyai sifat atau karakteristik yang
sama yang menjadi objek/sasasan pengamatan.
Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil sebagai objek pengamatan langsung dan dapat
dijadikan dasar dalam penarikan kesimpulan.

B. Penyajian Data
Penyajian data dapat disajikan dalam beberapa bentuk:
1. Tabel
Contoh : data-data nilai ulangan matematika dari siswa kelas IX suatu SMP

2. Dalam bentuk diagram
a. Diagram batang

Garis mendatar menunjukkan nilai ulangan Matematika dan garis tegak menunjukkan jumlah
siswa
b. Diagram lingkaran
jumlah siswa yang mengikuti ulangan adalah: 5 + 15 + 20 + 10 + 10 + 5 = 60 siswa
Menentukan besarnya sudut:

Diagram lingkarannya sbb:

c. Diagram gambar (Piktogram)
Penyajian data dengan diagram gambar sbb: