TUGAS AKHIR MTK

d. Diagram Garis

C. Ukuran Pemusatan Data
1. Rata-rata (Mean)

2. Modus (Mo)
Modus adalah data yang paling sering muncul atau data yang mempunyai frekuensi terbesar.

3. Median (Me) dan Quartil
a. Median adalah nilai tengah data setelah diurutkan

b. Quartil
Quartil adalah aturan yang membagi data menjadi 4 bagian
Q1 = Quartil pertama (bawah)
Q2 = Quartil kedua (Median)
Q3 = Quartil ketiga (atas)
contoh:

D. Ukuran Penyebaran data
Jenis penyebaran data dibagi menjadi 3 :
1. Jangkauan (range)
Selisih antara data yang terbesar dengan yang terkecil.
Jangkauan(range) = xmaks – xmin = data terbesar – data terkecil
2. Jangkauan Kuartil (Hamparan)
H = Q3 – Q1
3. Jangkauan Semi Kuartil/ Simpangan kuartil
SK = 1/2(Q3 – Q1)

BAB 10 STATISKA

pengertian dan Rumus Peluang Matematika - Jika kalian pernah bermain ular tangga tentu
kalian akan menggunakan dadu untuk menentukan jumlah langkah yang harus kalian ambil.
Pada proses pelemparan dadu, hasil atau angka yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.
Nah, kemungkinan munculnya angka pada saat melempar dadu adalah salah satu contoh Peluang
Matematika.

Contoh lain dari peluang matematika adalah pelemparan koin. Pada saat melempar koin ada dua
buah kemungkinan sisi yang muncul. Sisi yang pertama adalah angka (A) dan sisi yang kedua
adalah gambar (A). Materi kali ini akan membahas mengenai pengertian dan rumus peluang
dalam matematika. Perhatikan baik - baik pembahasan berikut ini:
Definisi Peluang
Peluang didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan
terjadinya sebuah peristiwa.
Di dalam materi mengenai peluang, dikenal beberapa istilah yang sering digunakan, seperti ;
Ruang Sampel
Merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.
Titik Sampel
Merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel.
Kejadian :
Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

RUMUS PELUANG MATEMATIKA

Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan
banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi bisa diketahui dengan menggunakan rumus :

Apabila setiap titik sampel dari anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama, maka

peluang kejadian K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K) bisa diketahui dengan
rumus :

Peluang Munculnya kejadian bisa diperkirakan melalui notasi berikut ini :

Jika nilai P(K) = 0 maka kejadian K tersebut sangat mustahil untuk terjadi
Jika nilai P(K) = 1 maka kejadian K tersebut pasti akan terjadi

Perhatikan baik - baik contoh soal di bawah ini :
Contoh Soal :
Pada proses pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berangka
ganjil
Penyelesaian :
Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
Mata dadu ganjil = {1, 3, 5}
n(S) = 3
maka P(K) = 3/6 = 1/2

Kejadian Majemuk
Kejadian Majemuk merupakan dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah
sebuah kejadian yang baru.
Suatu kejadian K dan kejadian Komplemen berupa K' memenuhi persamaan :
P(K) + P(K') = 1 atau P(K') = 1 - P(K)

Contoh Soal :
Dari seperangkat kartu bridge, diambillah satu buah kartu secara acak. Tentukan peluang
terambilnya kartu yang bukan As!
Penyelesaian :
Jumlah kartu bidge = n(S) = 52
Jumlah kartu As = n(K) = 4
P(K) = 4/52 = 1/13
Peluang yang terambilnya bukan kartu As = P(K') = 1-P(K) = 1 - 1/13 = 12/13

PENJUMLAHAN PELUANG
Kejadian Saling Lepas
Dua buah kejadia A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada satupun elemen pada kejadian A
yang sama dengan elemen yang ada pada kejadian B. Untuk dua buah kejadian yang saling lepas,
maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya adalah :
P(A u B) = P(A) + P(B)
Contoh Soal :
Dua buah dadu masing - masing berwarna merah dan putih dilempar secara bersamaan sebanyak
satu kali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 3 atau 10!
Penyelesaian :
Hasil pelemparan dadu tersebut bisa digambarkan dengan tabel berikut ini :

Kejadian mata dadu berjumlah 3 ditandai dengan warna kuning
A = {(1, 2), (2, 1)}

n(A) = 2

Kejadian mata dadu berjumlah 10 ditandai dengan warna biru
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}

Karena tidak ada elemen yang sama pada A dan B digunakan rumus :

P(A u B) = P(A) + P(B)
= 2/36 + 3/36
= 5/36

Kejadian Tidak Saling Lepas
Artinya ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya adalah sebagai berikut :

P(A u B) = (P(A) + P(B) - P(A n B)

Contoh Soal :
Sebuah kartu diambil dari tumpukkan kartu bridge secara acak. Tentukan peluang dari kartu
yang terambil adalah kartu hati dan kartu bergambar (K, Q, J)!

Penyelesaian :
Jumlah kartu bridge = n(S) = 52
Jumlah kartu hati = n(A) = 13
Jumlah kartu bergambar = n(B) = 12

Karena ada kartu bergambar yang merupakan kelompok kartu hati (J hati, Q hati, dan K hati)
maka A dan B tidak saling lepas sehingga digunakan rumus :

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
= 13/52 + 12/52 - 3/52
= 22/52
= 11/26

Kejadian Saling Bebas
Dua buah kejadian bisa disebut saling bebas bila munculnya kejadian A tidak berpengaruh pada
munculnya kejadian B sehingga peluang kejadian A dan B terjadi bersamaan bisa dituliskan
menjadi :

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal :
Dalam percobaan pelemparan dua buah dadu, tentukan peluang munculnya angka genap pada
dadu pertama dan angka ganjil prima pada dadu kedua!

Penyelesaian :
Misalkan A = Kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama = {2,4,6} maka P(A) =
3/6

Misalkan B = Kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu kedua = {3,5} maka P(B)
= 2/6

Karena kejadian A tidak berpengaruh pada kejadian B maka digunakan rumus :

P(A n B) = P(A) x P(B)
= 3/6 x 2/6
= 1/6

Kejadian Bersyarat
Kejadian bersyarat terjadi jika kejadian A mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya.
Maka bisa dituliskan menjadi :

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)

Contoh Soal :
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola hijau. Jika diambil dua buah bola satu persatu tanpa
adanya pengembalian, tentukanlah peluang bola yang terambil adalah bola merah pada
pengembalian pertama dan bola hijau pada pengembalian kedua!

Penyelesaian :
Pada pengembalian pertama tersedia 5 bola merah dari 9 bola yang ada. Maka :
P(M) = 5/9

Pada pengembalian kedua ada 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa (dengan syarat bola merah
telah terambil). Maka :
P(H/M) = 4/8

Karena kejadiannya saling berpengaruh, maka menggunakan rumus :
P(M n H) = P(M) x P(H/M)

= 5/9 x 4/8
= 5/18

Bilagan berpangkat
Materi pertama adalah mengenai bilangan berpangkat. Apakah teman-teman tahu apa itu
bilangan berpangkat?
Bilangan berpangkat adalah bilangan yang berfungsi untuk menyederhanakan penulisan dan
penyebutan suatu bilangan yang memiliki faktor-faktor atau angka-angka perkalian yang sama.
Contohnya, operasi penghitungan 2x2x2x2x2 atau 8x8x8x8x8 yang penulisannya bisa
disederhanakan dengan menggunakan pangkat.
Untuk mengubah suatu bilangan menjadi bilangan berpangkat, maka dibutuhkan rumus berupa
an = a x a x a x a x… sebanyak n kali. dalam rumus ini, 'a' adalah bilangan pokok, sedangkan 'n'
adalah pangkat atau eksponen.
Sehingga dari rumus ini, diketahui bahwa 2x2x2x2x2 dapat diubah menjadi bilangan berpangkat
yaitu 25 = 32.
Selain bilangan positif, bilangan negatif juga bisa dipangkatkan. Namun perlu diingat, kalau
bilangan negatif dipangkat dengan bilangan ganjil, maka hasilnya akan negatif.
Kalau bilangan negatif dipangkat dengan bilangan genap, maka hasilnya adalah bilangan positif.
Contohnya adalah (-2)6 = -2 x -2 x -2 x -2 x -2 x -2 = 64.
Ada juga bilangan berpangkat -26 = -64. Mengapa hasilnya minus, padahal memiliki angka yang
sama seperti sebelumnya, ya?

Ternyata ini disebabkan karena penghitungannya yang berbeda, yaitu -2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2.
Angka yang minus hanya satu, sehingga saat dikalikan dengan bilangan positif lainnya menjadi
minus.
Am.An=Am.n
Bentuk akar
Kalau bilangan berpangkat berguna untuk menyederhanakan bilangan, maka berbeda dengan
bilangan akar, teman-teman.
Bilangan akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya adalah bilangan irasional.
Penulisan bentuk akar dan pangkat ini juga bisa disederhanakan dalam penghitungan.
Sama seperti penulisan bilangan berpangkat, penulisan bentuk akar juga memerlukan bilangan
pokok dan bilangan eksponen atau pangkat.
1.90a5b6c2.12a2c3
60a5b3c-3
Dari soal di atas, maka penyelesaiannya adalah 18a5+2 b6-3 c2+3+2 = 18a2b3c7.
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Bentuk umum:

ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 0.
Ada tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu

Memfaktorkan
Melengkapkan kuadrat sempurna
Rumus ABC yaitu x =
Rumus diskriminan pada persamaan kuadrat:

D = b² – 4ac
Fungsi diskriminan dari persamaan kuadrat yaitu:

D ≥ 0 memiliki 2 akar real

D > 0 memiliki 2 akar real yang berbeda
D = 0 memiliki 2 akar real yang sama (akarnya kembar/sama)
D < 0 tidak memiliki akar real (akarnya imajiner/khayal)
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat maka

x₁ + x₂ =
x₁ . x₂ =
Operasi hitung akar lainnya adalah

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁.x₂
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁.x₂(x₁ + x₂)
|x₁ – x₂| = , dengan D = b² – 4ac
Menentukan persamaan kuadrat

Cara 1: (x – x₁)(x – x₂) = 0
Cara 2: x² – (x₁ + x₂)x + x₁ . x₂ = 0
Tanda pada akar-akar persamaan kuadrat

Keduanya positif jika

x₁ + x₂ > 0
x₁ . x₂ > 0
D≥0
Kedua akarnya negatif

x₁ + x₂ < 0
x₁ . x₂ > 0
D≥0

Kedua akar berlainan tanda

x₁ . x₂ < 0
D>0
Fungsi kuadrat
Bentuk umum:

f(x) = ax² + bx + c dengan a ≠ 0.
Beberapa langkah dalam membuat grafik fungsi kuadrat

1. Menentukan bentuk kurva yaitu

jika a > 0, maka kurvanya terbuka ke atas
jika a < 0 maka kurvanya terbuka ke bawah
2. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y, yaitu

Titik potong terhadap sumbu x jika y = 0
Titik potong terhadap sumbu y jika x = 0
3. Menentukan koordinat titik puncak/titik balik yaitu (xp, yp)

xp = ⇒ biasanya disebut sumbu simetri
yp = atau yp = f(xp), dengan D = b² – 4ac (D = diskriminan) atau yp = f(xp)
Fungsi diskriminan dalam fungsi kuadrat

Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu x di dua titik
Jika D = 0 maka grafik memotong sumbu x di satu titik (menyinggung sumbu)
Jika D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu x (definit)

- Grafik selalu di atas sumbu x (definit positif): D < 0 dan a > 0

- Grafik selalu di bawah sumbu x (definit negatif): D < 0 dan a < 0
Menentukan persamaan fungsi kuadrat, yaitu
Jika diketahui titik puncak (xp, yp) dan melalui titik (x, y)

y = a(x – xp)² + yp
Jika diketahui titik potong terhadap sumbu x di titik (x₁, 0) dan (x₂, 0) serta melalui titik (x, y)

y = a(x – x₁)(x – x₂)
Jika melalui tiga titik
TRANSFORMASI
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah salah satu jenis transformasi yang berguna untuk memindahkan suatu titik
sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak.
Yang berarti, translasi tersebut hanya akan mengalami perpindahan titik ya guys.
Penentuan hasil objek lewat translasi cukup mudah. Caranya hanya dengan cara menambahkan
absis serta ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan tertentu.

2. Refleksi (Pencerminan)

Kalian tahu refleksi? Refleksi dalam transformasi geometri berbeda lho dengan refleksi di bidang
kesehatan. Sama-sama berfokus pada titik sih, hanya saja kalau refleksi di bidang kesehatan itu
ada titik-titik tertentu yang dipijat di bagian telapak kaki.
Bukan titik refleksi pada telapak kaki ya. Refleksi dalam transformasi geometri ini dapat
dikatakan pencerminan. Kamu tahu cermin kan? Pasti di rumah kalian ada, buat ngaca pastinya.
Nah, refleksi ini memindahkan semua titik dengan menggunakan sifat pencerminan pada cermin
datar.

3. Rotasi
Kalian pernah ke pasar malam nggak? Bukan pergi ke pasar pada malam hari lho, ya.
Maksudnya pasar malam itu, pasar yang ada di malam hari tapi lokasinya di sekitar pemukiman
rumah warga, misalnya di lapangan gitu. Kalau pernah, coba perhatikan salah saatu permainan
yang ada di pasar malam deh. Seperti ini.
Bianglala tersebut merupakan contoh rotasi dalam transformasi geometri lho. Rotasi dalam hal
ini dapat dipahami sebagai memindahkan suatu titik ke titik yang lain. Prinsipnya, yakni
memutar terhadap sudut dan titik pusat tertentu yang memiliki jarak sama dengan setiap titik
yang diputar. Perlu diingat ya bahwa rotasi itu tidak mengubah ukuran.
Coba lihat bianglala di gambar tadi. Ada gambar kotak bianglala Donald Bebek kan? Ketika
berputar (turun) ke posisi kotak bianglala SpongeBob, kotak bianglala Donald Bebek tidak
berubah kan ukurannya? Begitu pula dengan kotak bianglala yang lainnya. Nah itu yang
dinamakan rotasi, memindahkan titik kotak bianglala, tapi tidak mengubah ukurannya.

4. Dilatasi

Bab 4
Kekongruenan dan Kesebangunan

1. 2 buah bangunan datar dikatakan sama (ukuran) dan sebangun (bentuk) atau
kongruen, jika :
a. Sudut yang bersesuaian sama besar.
b. Sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama.
Contoh :

2. 2 buah bangun datar dikatakan sebangun, jika :
a. Sudut yang bersesuaian sama besar.
b. Sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.
Contoh :

3 cm 6 cm 8 cm : 12 cm = 2 : 3 Tidak sebangun
8 cm 3 cm : 6 cm = 1 : 2 Sebangun

12 cm

6 cm 10 cm 9 cm : 15 cm = 3 : 5
9 cm 6 cm ; 10 cm = 3 : 5

15 cm

3. Foto dan Gambar Berskala

vPanjang model : Lebar model : Tinggi model
Lebar sebenarnya Tinggi sebenarnya
Panjang sebenarnya

4. Syarat Dua Segitiga

a. Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar, sudah pasti sebangun

Contoh : Jika ketiga sudut yang bersesuaian pada dua segitiga
besarnya sama, kedua segitiga tersebut sudah pasti
sebangun, namun belum tentu kongruen.

5. Segitiga Sama dan Sebangun (kongruen)
a. Dua buah segitiga yang dikatakan pasti kongruen jika memenuhi syarat
berikut :
 Memiliki 3 buah sisi yang sama panjang (ss,ss,ss)

Contoh : AD = BC => ss,ss,ss
=> DC = AB
DB = DB

 Memiliki 2 buah sudut yang sama besar mengapit sebuah sisi yang sama

panjang (sd,ss,sd) ∠DAB = ∠ABC => sd,ss,sd
Contoh :
AB = AB
∠ABD = ∠BAC

=>

 Memiliki 2 buah sisi yang sama panjang meengapit sebuah sudut yang

sama besar (ss,sd,ss)

Contoh : AB = AB => ss,sd,ss
=> ∠DAB = ∠ABC

DA = BC

6. Kesebangunan pada Segitiga

=>

Contoh :

7. Segitiga Sebangun pada Segitiga Siku-siku dengan Garis Tinggi
8. Segitiga Sebangun pada Segitiga dengan 2 Sisi Sejajar



Bab 5
Bangun Ruang Sisi Lengkung

1. Tabung :
a. Gambar :

b. Jaring-Jaring :

c. Luas Selimut :
 Ls = p.l
 Ls = 2πr.t

d. Luas Permukaan :
 Lp = 2t.lingkaran + Ls
 Lp = 2πr² + 2πrt
 Lp = 2πr(r + t)

e. Volume :
 V = La.t
 V = πr²t

f. Contoh Soal :
 Diketahui sebuah tabung memiliki diameter alas 4 cm dan tinggi 10 cm,
tentukan :
a. Luas Selimut :

Ls = 2πr.t
= 2.3,14.2.10
= 628/5

= 125,6 cm²

b. Luas Permukaan :

Lp = 2πr(r + t)
= 2.3,14.2(2+10)
= 12,56 (12)
= 150,72 cm²

c. Volume :

V = πr²t
= 3,14.2x2.10
= 125,6 cm³

2. Kerucut :
a. Gambar :

b. Jarring-Jaring :

c. Luas Selimut :
 Ls = πrs

d. Luas Permukaan :
 Lp = La + Ls
 Lp = πr² + πrs
 Lp = πr(r + s)

e. Volume :
 V = ⅓ La.t
 V = ⅓ πr².t

f. Contoh Soal :

 Sebuah kerucut mempunyai jari-jari alas 7 cm dan tinggi 24 cm. Hitunglah

:

a. Luas Selimut :

Ls = πrs s² = t² + r²
= 22/7.7.25 = 24² + 7²
= 576 + 49
= 550 cm² = √625
= 25 cm

b. Luas Permukaan :

Lp = πr(r + s)
= 22/7.7 (7+25)
= 22 (32)
= 704 cm²

c. Volume :

V = ⅓ πr².t
= 1/3 . 22/7.7x7.24
= 22.7.8
= 1232 cm³

3. Kerucut Terpancung :
a. Gambar :

b. Jaring-Jaring : -
c. Luas Selimut :

 Ls = π(r1 + r2).h

d. Luas Permukaan :
-

e. Volume :
 V = ⅓ π(r1² + r2² + r1.r2).h

f. Contoh Soal :
 Jika diketahui sebuah kerucut terpancung memiliki jari-jari tutup 8 cm,
jari-jari alas 13 cm, dan garis pelukisnya 10 cm. Hitunglah :
a. Luas Selimut :

Ls = π(r1 + r2).h
= 22/7(8 +13).10
= 22/7(21).10
= 22.30
= 660 cm²

b. Volume :

V = ⅓ π(r1² + r2² + r1.r2).h
= 1/3.3,14(8² + 13² + (8x13).10
= 1/3.314/10 (337)
= 105818/30
= 3527,27 cm³

4. Bola :
a. Gambar :

b. Jarring-Jaring :
-

c. Luas Selimut :
-

d. Luas Permukaan :
 Lp = 4.πr²
L belahan bola berongga :
 L = 2πr³
L belahan bola pejal :
 L = 3πr²

e. Volume :
V = 4/3 πr³

f. Contoh Soal :
 Hitunglah luas sebuah bola yang berdiameter 28 cm!

Lp = 4.πr²
= 4.22/7.14x14
= 88x28
= 2464 cm²

 Diketahui volume sebuah bola 288π cm³. Hitunglah jari-jari bola tersebut!

V = 4/3 πr³
288π = 4/3 π.r³
288.3/4 = r³

216 = r³
√216 = r

R = 6 cm.