แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ เวกเตอร์

หน่วยการเรยี นรู้ เวกเตอร์ในสามมิติ 4 ชัว่ โมง
8 ชัว่ โมง
แผนการจดั การเรียนรูท้ ี่ 1 เวกเตอร์และนเิ สธของเวกเตอร์ 3 ชั่วโมง
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 การบวก การลบเวกเตอร์ การคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์ 5 ชั่วโมง
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 3 เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 4 ผลคูณเชงิ สเกลาร์และผลคูณเชงิ เวกเตอร์

สาระการเรยี นรู้
1. เวกเตอร์และนิเสธของเวกเตอร์
2. วธิ กี ารบวก การลบเวกเตอร์ วิธีการคูณเวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์
3. เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมิตแิ ละสามมิติ
4. ขนาดของเวกเตอรใ์ นสองมิตแิ ละสามมิติ
5. เวกเตอร์หนึ่งหนว่ ยในระบบพิกดั ฉากสองมิติและสามมติ ิ
6. โคไซน์แสดงทิศทาง
7. การหาผลคณู เชงิ สเกลาร์
8. การหาผลคณู เชิงเวกเตอร์

สมรรถนะสำคัญ/ทักษะแห่งศตวรรษที่ 21

1. สมรรถนะสำคัญ 2. ทักษะแห่งศตวรรษท่ี 21

- ความสามารถในการสื่อสาร - ทักษะการแกป้ ญั หา

- ความสามารถในการคิดวิเคราะห์ - ทักษะการเชื่อมโยง

- ทักษะการให้เหตุผล

- ทักษะการคดิ สรา้ งสรรค์

คณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์
1. ทำความเข้าใจหรอื สร้างกรณที ั่วไปโดยใช้ความรทู้ ไี่ ด้จากการศึกษากรณีตวั อยา่ งหลายๆ กรณี
2. มองเหน็ ว่าสามารถใชค้ ณติ ศาสตร์แก้ปญั หาในชวี ิตจรงิ ได้
3. มีความมุมานะในการทำความเขา้ ใจปญั หาและแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์
4. สร้างเหตผุ ลเพื่อสนบั สนุนแนวคดิ ของตนเองหรือโตแ้ ยง้ แนวความคิดของผ้อู ่ืนอยา่ งสมเหตสุ มผล

ชิน้ งาน/ภาระงาน
1. ผลงานตามแบบฝกึ หดั ที่ 1-5
2. ผลงานตามกิจกรรมสะเตม็ ศึกษา “เคร่ืองวัดทศิ ทางและความเร็วลมอย่างง่าย”
3. ผลงานตามแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิ
4. ผลงานตามใบงานท่ี 1-3

การออกแบบการจดั การเรียนรู้แบบ Active Learning

หนว่ ยการเรยี นรู้ เวกเตอรใ์ นสามมิติ

ผลการเรยี นรู้

1. หาผลลัพธข์ องการบวก การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ หาผลคูณเชิงสเกลาร์ และผลคูณเชิงเวกเตอร์

2. นำความรเู้ กย่ี วกบั เวกเตอรใ์ นสามมติ ไิ ปใชใ้ นการแกป้ ญั หา

แนวคดิ สำคญั คำถามสำคัญ

1. เวกเตอร์ คอื ปริมาณซง่ึ มที ั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง 1. การหาเวกเตอร์ที่เท่ากับเวกเตอร์ท่ีกำหนดให้มีวิธีการ

ความเร็ว และความเร่ง เวกเตอร์ u กบั เวกเตอร์ v เป็น อย่างไร

นิเสธกันเมื่อขนาดของเวกเตอร์ u และเวกเตอร์ v 2. การหาเวกเตอร์ที่ขนานกับเวกเตอร์ท่ีกำหนดให้มีวิธีการ

เทา่ กัน แตม่ ีทิศทางตรงกนั ขา้ ม อย่างไร

2. ผลบวกของ u และ v เขียนแทนด้วย u + v คือ 3. การหานเิ สธของเวกเตอรท์ ่กี ำหนดใหม้ วี ธิ ีการอยา่ งไร

เวกเตอร์ท่ีมีจดุ เร่มิ ต้นที่จุดเร่ิมต้นของ u และจดุ สิ้นสุด 4. การบวกและการลบเวกเตอรม์ วี ธิ กี ารอย่างไร

อยทู่ จ่ี ุดสิ้นสุดของ v ผลลบของ u และ v เขยี นแทน 5. การคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลารม์ วี ธิ ีการอย่างไร

ด้วย u – v หมายถึง ผลบวกของ u และนิเสธของ 6. การหาเวกเตอร์เมื่อกำหนดพิกัดของจุด 2 จุดให้มีวิธีการ

v การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์เหมือนกับการคูณ อยา่ งไร

ในทางพีชคณิต กล่าวคือ u คูณด้วยสเกลาร์ a จะเป็น 7. การหาผลบวกของเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากมีวิธกี ารอยา่ งไร

เวกเตอร์ เขียนแทนด้วย au ซง่ึ au จะมขี นาดเท่ากับ 8. การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากมี

a u  มีทิศทางเดียวกับ u เมื่อ a > 0 มีทิศทาง วธิ กี ารอยา่ งไร

ตรงกันข้ามกับ u เมื่อ a < 0 และ au จะเท่ากับ 0 9. การหาผลคณู เชงิ สเกลารม์ วี ธิ กี ารอย่างไร

เมอื่ a = 0 10.การหาผลคูณเชงิ เวกเตอรม์ วี ธิ ีการอยา่ งไร

3. ผลคูณเชิงสเกลาร์ระหว่าง u กับ v เขียนแทนด้วย

u  v ถ้า u ต้ังฉากกับ v แล้ว u  v = 0 ผลคูณเชิง

เวกเตอร์ระหว่าง u กับ v เขียนแทนด้วย u  v ซึ่ง

เวกเตอร์ผลลัพธ์ท่ีได้จะมีทิศทางตั้งฉากกับทิศทางของ

เวกเตอร์ทนี่ ำมาหาผลคูณเชงิ เวกเตอร์ทัง้ สอง

กจิ กรรมการเรยี นรู้ การวดั และประเมนิ ผล

1. ศึกษาค้นคว้าข้อมูลจากหนังสือเรียนและเว็บไซต์ต่างๆ 1. การทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลังเรยี น

ในเรอ่ื งเวกเตอรใ์ นสามมิติ 2. การประเมนิ ผลงานตามแบบฝกึ หัดที่ 1-5

2. การร่วมแสดงความคิดเห็นและซักถามเก่ียวกับการทำ 3. การประเมนิ ผลงานตามใบงานที่ 1-3

โจทย์ตวั อย่างและแบบฝึกหัดในหนังสอื เรยี น 4. การประเมินผลงานตามกิจกรรมสะเต็มศึกษา “เครื่องวัด

3. การอาสาสมัครหรือมีส่วนร่วมในการออกมาแสดงวิธที ำ ทิศทางและความเรว็ ลมอย่างงา่ ย”

โจทย์ท่คี รกู ำหนดบนกระดาน 5. การประเมินผลงานตามการเขยี นสมุดบนั ทกึ ความรู้

4. ทำแบบฝึกหดั ใบงาน และแบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิ 6. การประเมินผลงานตามแบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิ

5. รว่ มกจิ กรรมท่คี รูกำหนด 7. การสังเกตพฤตกิ รรมการเรียนรู้ของนกั เรยี น

6. สรปุ ข้อมลู /สาระสำคญั และจดบันทึก 8. การสังเกตพฤตกิ รรมนกั เรยี นดา้ นการทำงานกลุ่ม

9. การประเมนิ การนำเสนอผลงานหนา้ ชั้นเรียน

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 1 เวลา 4 ชั่วโมง

เรอ่ื ง เวกเตอร์และนิเสธของเวกเตอร์

1. ผลการเรียนรู้
นำความร้เู กยี่ วกับเวกเตอรใ์ นสามมิติไปใช้ในการแก้ปัญหา

2. แนวคิดสำคญั
เวกเตอร์ คอื ปรมิ าณซ่ึงมีทั้งขนาดและทศิ ทาง เช่น แรง ความเรว็ และความเร่ง เวกเตอร์ u กบั เวกเตอร์ v

เปน็ นเิ สธกนั เมือ่ ขนาดของเวกเตอร์ u และเวกเตอร์ v เทา่ กัน แตม่ ีทศิ ทางตรงกันข้าม
3. จุดประสงค์การเรยี นรู้

หาเวกเตอรท์ ี่ขนานกัน เวกเตอรท์ ี่เทา่ กนั และนเิ สธของเวกเตอร์ได้

4. สาระการเรยี นรู้
เวกเตอรแ์ ละนเิ สธของเวกเตอร์

5. ช้ินงาน/ภาระงาน
5.1 ผลการทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน
5.2 ผลการปฏบิ ตั งิ านตามแบบฝกึ หดั ท่ี 1

6. คำถามสำคัญ

6.1 การหาเวกเตอร์ท่ีเทา่ กับเวกเตอรท์ ่ีกำหนดใหม้ ีวิธีการอย่างไร
6.2 การหาเวกเตอร์ทข่ี นานกับเวกเตอร์ท่กี ำหนดให้มวี ธิ กี ารอย่างไร
6.3 การหานเิ สธของเวกเตอรท์ ี่กำหนดให้มวี ิธกี ารอยา่ งไร

7. กิจกรรมการจดั การเรียนรู้

7.1 ขั้นนำ
1. ครูให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน ตรวจแล้วบอกคะแนนแก่นักเรียนเพ่ือให้นักเรียนทราบว่า

ตนเองมีพ้ืนฐานความรูเ้ รือ่ งเวกเตอร์ในสามมิติในระดบั ใด จะได้วางแผนการเรียนได้อย่างเหมาะสม ซึ่งครคู วร
ชว่ ยแนะนำ

2. ครูเขียนคำวา่ “ปริมาณสเกลาร์” และ “ปริมาณเวกเตอร์” บนกระดาน ให้นักเรียนช่วยกันตอบว่า
แต่ละปริมาณหมายความว่าอย่างไร พร้อมท้ังให้นักเรียนช่วยกันยกตัวอย่างปริมาณสเกลาร์และปริมาณ
เวกเตอรท์ ีน่ กั เรยี นรู้จัก (ปริมาณสเกลาร์ เชน่ ปรมิ าตร นำ้ หนัก อณุ หภมู ิ พื้นที่ ระยะทาง ปริมาณเวกเตอร์ เช่น
ความเรว็ ความเร่ง การกระจัด แรง โมเมนตมั )
7.2 ขน้ั สอน

1. ครอู ธิบายใหน้ กั เรยี นทราบเก่ยี วกบั บทนิยามของเวกเตอร์ โดยวาดภาพประกอบดังนี้
บทนิยาม ปริมาณท่ีมีแต่ขนาดเพียงอย่างเดียว เรียกว่า ปริมาณสเกลาร์ ส่วนปริมาณที่มีทั้งขนาด
และทิศทางเรียกวา่ ปริมาณเวกเตอร์ เรียกสน้ั ๆ ว่า เวกเตอร์

จากรปู เวกเตอร์ A ไป B อ่านว่า เวกเตอรเ์ อบี

B เขยี นแทนด้วย AB หรือ AB

A เป็นจุดเรมิ่ ตน้ ของเวกเตอร์

A B เป็นจุดสิน้ สดุ ของเวกเตอร์
ความยาวของสว่ นของเส้นตรง AB หรอื BA

จากรปู |AB| = 8 หน่วย คือขนาดของเวกเตอร์ AB เขยี นแทนด้วย |AB|

ในกรณีท่ไี มไ่ ดร้ ะบุจุดเร่ิมต้นและจดุ สิ้นสุด จะใช้ตัวอักษรตวั เดียว เช่น u แทนเวกเตอรจ์ าก A ไป B

จะเขียน u = AB และ u = |AB|

2. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาหัวข้อท่ี 1.1 เวกเตอร์ และหัวข้อท่ี 1.2 นิเสธของเวกเตอร์ในเอกสาร
ประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ จากนน้ั ให้ตวั แทนกลุ่มออกมาสรปุ สาระสำคัญตามความเข้าใจของนกั เรียน

3. ครสู รุปความรู้เร่อื งเวกเตอร์อีกครัง้ ดังนี้
ให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ในระนาบ
(1) u และ v ขนานกัน กต็ ่อเมอ่ื เวกเตอรท์ ง้ั สองมีทศิ ทางเดยี วกันหรอื ทิศทางตรงข้ามกนั
(2) u = v ก็ต่อเมอื่ เวกเตอร์ทง้ั สองมขี นาดเทา่ กนั และมีทิศทางเดียวกัน
(3) นิเสธของ u คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ u แตม่ ีทิศทางตรงกันข้ามกับทิศทางของ
u เขียนแทนด้วย – u

4. ครวู าดรปู เวกเตอรห์ ลายๆ แบบบนกระดาน เช่น

w

rv

u

ใหน้ ักเรยี นบอกเวกเตอร์ทข่ี นานกนั เวกเตอร์ท่ีเท่ากนั และนเิ สธของเวกเตอร์ที่กำหนดให้
5. ครูเขียนโจทย์ตัวอย่างที่ 1-2 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เวกเตอร์ บนกระดาน แล้วสุ่ม
เรียกนักเรยี นออกมาแสดงวธิ ีทำ
6. ให้นักเรียนแตล่ ะกลุ่มทำแบบฝกึ หดั ที่ 1 จากนัน้ ใหแ้ ตล่ ะกลมุ่ แลกเปล่ียนกันตรวจสอบความถกู ต้อง
7. ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวียนไปจนครบทุกขอ้
7.3 ขัน้ สรปุ
ครูและนักเรียนสรุปความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเวกเตอร์และนิเสธของเวกเตอร์ โดยเขียนเป็นแผนผัง
ความคดิ (Mind Mapping) เชน่

เวกเตอร์ คอื ปรมิ าณซ่ึงมที ้งั ขนาดและทศิ ทาง

เวกเตอร์

u = v ก็ต่อเมอื่ นิเสธของ u คอื เวกเตอร์ทม่ี ขี นาด
1.  u  =  v  เท่ากับขนาดของ u แตม่ ีทิศทางตรงกันขา้ ม
2. u และ v มีทศิ ทางเดียวกนั
กบั u เขียนแทนด้วย – u

8. สื่อการเรยี นรู้และแหล่งการเรียนรู้

8.1 สื่อการเรียนรู้
1. หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5 เล่ม 1 ขององค์การคา้ สกสค.
2. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เวกเตอร์
3. แบบทดสอบกอ่ นเรียน
4. แบบฝึกหัดที่ 1

8.2 แหล่งการเรียนรู้
1. ห้องสมุดของโรงเรยี น
2. ห้องสมดุ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
3. อินเทอร์เน็ตจากเว็บไซต์ตา่ งๆ

9. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

9.1 แบบทดสอบก่อนเรียนแบบเลือกตอบ (4 ตัวเลอื ก) จำนวน 15 ข้อ
9.2 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝึกหดั ท่ี 1
9.3 ตรวจผลงานจาก Mind Mapping
9.4 ตรวจผลงานจากสมดุ บันทกึ ความรู้
9.5 การสงั เกตพฤติกรรมการเรียนรูข้ องนกั เรยี น
9.6 การสงั เกตพฤตกิ รรมนักเรียนด้านการทำงานกลุ่ม
9.7 การประเมนิ การนำเสนอผลงานหนา้ ชัน้ เรยี น

เกณฑก์ ารประเมนิ การเขียน Mind Mapping

ประเด็น ระดบั คณุ ภาพ 1
การประเมนิ 4 32 (ปรบั ปรงุ )
(ดมี าก) (ดี) (พอใช)้ การนำเสนอมีการ
พน้ื ฐานเบอื้ งต้น การนำเสนอมกี ารเรยี ง การนำเสนอมกี าร การนำเสนอมกี าร เรยี งลำดบั เนือ้ หาท่ี
ของเซต ลำดบั เนอื้ หาได้ดีมาก เรียงลำดบั เน้อื หาได้ เรียงลำดบั เน้ือหาได้ ควรปรับปรงุ ไมม่ ี
มีความต่อเนือ่ ง มี ดี มีความต่อเนอื่ ง มี พอใช้ มีความ ความตอ่ เนอื่ งมี
ประโยชน์ ใหแ้ งค่ ดิ ทด่ี ี ประโยชน์ ให้แงค่ ดิ ต่อเนือ่ ง มีประโยชน์ ประโยชน์ นอ้ ย ให้
แงค่ ดิ น้อย
นอ้ ย ให้แง่คิดน้อย

เกณฑก์ ารประเมนิ คณุ ภาพดมี าก
ระดบั คะแนน 10 คะแนน คณุ ภาพดี
ระดบั คะแนน 9 คะแนน คุณภาพพอใช้
ระดับคะแนน 7-8 คะแนน คุณภาพควรปรับปรุง
ระดบั คะแนน 5-6 คะแนน

เกณฑก์ ารประเมินสมดุ บนั ทึกความรู้

การใหค้ ะแนน/ระดบั คะแนน

ปรบั ปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมาก (4)
บนั ทึกขอ้ มลู ไมถ่ กู ตอ้ ง บนั ทึกมีความถูกตอ้ ง
บันทกึ มขี ้อมลู แตย่ ังไม่ บนั ทกึ มีความถกู ตอ้ ง ชัดเจนครบถว้ นสมบรู ณ์

ครบถ้วนสมบรู ณ์ สมบูรณ์พอสมควร

เกณฑ์คณุ ภาพการสังเกตพฤติกรรมนกั เรียนด้านการทำงานกลุ่ม

ท่ี รายการประเมิน ระดับคณุ ภาพ 3
1 การทำงานร่วมกัน 12 - ยอมรับมติของกลุ่ม
2 ความกระตอื รือรน้ ยอมรับมตกิ ารทำงาน ยอมรบั มติของกลมุ่ - รบั ผดิ ชอบงานท่ีรับ
ของกลมุ่ แตป่ ฏิบัตติ าม มอบหมายจากกลมุ่
3 การตอบคำถาม น้อยคร้ัง - ช่วยเหลอื งานภายในกลุ่ม
4 ความคดิ ริเร่ิมสร้างสรรค์ ชว่ ยเหลืองานภายใน - ช่วยเหลืองานในกลมุ่ - รว่ มแสดงความคิดเห็น
กลุ่มเม่ือมกี ารร้องขอ - รว่ มแสดงความ - ใฝ่รู้ใฝเ่ รยี น
- ศึกษาค้นควา้
คิดเหน็ ให้ความรว่ มมอื ในการตอบ
คำถามเปน็ อย่างดี
มีสว่ นร่วมในการตอบ มสี ว่ นรว่ มในการตอบ ร่วมรับฟังและแสดงความ
คดิ เห็นทแี่ ตกตา่ ง แตม่ ี
คำถามนอ้ ยมาก คำถามบางคร้ัง ประโยชน์

ร่วมกจิ กรรมตามทก่ี ลุ่ม รับฟงั แตแ่ สดงความ

ขอรอ้ ง คดิ เห็นที่คลอ้ ยตาม

เพือ่ นๆ

แบบประเมินพฤตกิ รรมการเรียนรู้

วิชาคณติ ศาสตรเ์ น้นวทิ ย์ 3 เรอื่ ง ............................................................ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5/........

ความตัง้ ใจ การตงั้ การทำ สง่ งาน มาเรียน รวม ปรับ

ลำดบั ชอ่ื -นามสกลุ มุ่งมน่ั คำถาม กิจกรรม ในเวลาท่ี สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ท่ี ตอบคำถาม กลมุ่ กำหนด

(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมินน้ีใช้ไดต้ ลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมนิ

ลงชอื่ .................................................... ผปู้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบการประเมินการสงั เกตพฤติกรรมนักเรียนดา้ นการทำงานกลุม่

รายการประเมนิ สรปุ ผล

ที่ ชอ่ื -สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคิดรเิ รม่ิ รวม
ร่วมกัน กระตอื รือร้น คำถาม สร้างสรรค์ (12) ผา่ น ไมผ่ ่าน

(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑก์ ารประเมนิ
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ตำ่ กวา่ 5 คะแนน ระดบั 1 = ควรปรบั ปรุง

สรุปผลการประเมนิ
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑ์การตัดสนิ ใจ
 ผ่าน  ไมผ่ ่าน

หมายเหตุ : เกณฑเ์ ปน็ ไปตามที่โรงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผู้ประเมิน
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าชั้นเรยี น

กลมุ่ ที่ ......... เร่อื ง ..................................................... ช้นั ....... /........

คำชแ้ี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤติกรรมของนกั เรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ✓ ลงในช่องวา่ ง
ทีต่ รงกบั ระดบั คะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 ความถกู ตอ้ งของเนื้อหา
2 ความคิดสรา้ งสรรค์

3 วิธกี ารนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใชป้ ระโยชน์
5 การตรงตอ่ เวลา

รวม

ลงชื่อ .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบรู ณ์ชดั เจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รือแสดงผลงานมขี ้อบกพรอ่ งบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องเปน็ สว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องมาก

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 2 เวลา 8 ชั่วโมง

เรือ่ ง การบวก การลบเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์

1. ผลการเรยี นรู้

หาผลลัพธ์ของการบวก การลบเวกเตอร์ การคูณเวกแตอร์ด้วยสเกลาร์

2. แนวคดิ สำคัญ

ผลบวกของ u และ v เขียนแทนด้วย u + v คือเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเร่ิมต้นของ u และ
จดุ ส้ินสุดอยู่ที่จุดส้ินสุดของ v ผลลบของ u และ v เขยี นแทนด้วย u – v หมายถึง ผลบวกของ u และ
นิเสธของ v การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์เหมือนกับการคูณในทางพีชคณิต กล่าวคือ u คูณด้วยสเกลาร์ a
จะเป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย au ซึ่ง au จะมีขนาดเท่ากับ a u  มีทิศทางเดียวกับ u เม่ือ a > 0 มี
ทิศทางตรงกันขา้ มกับ u เมอ่ื a < 0 และ au จะเท่ากับ 0 เมื่อ a = 0

3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
หาผลบวกและผลลบของเวกเตอร์ และหาผลคูณของเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์ได้

4. สาระการเรยี นรู้
วธิ ีการบวก การลบเวกเตอร์ วิธกี ารคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์

5. ชนิ้ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏบิ ัติงานตามแบบฝึกหัดที่ 2
5.2 ผลการปฏบิ ตั ิงานตามใบงานท่ี 1 “การบวก การลบเวกเตอร์ และการคณู เวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์”
5.3 ผลการเขียน Mind Mapping

6. คำถามสำคัญ

6.1 การบวกและการลบเวกเตอรม์ วี ธิ กี ารอยา่ งไร
6.2 การคณู เวกเตอรด์ ว้ ยสเกลารม์ ีวิธกี ารอย่างไร

7. กิจกรรมการจดั การเรียนรู้

7.1 ขน้ั นำ
ครูทบทวนความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ว่านักเรียนได้เรียนมาแล้วว่าเราแสดงปริมาณเวกเตอร์ทางเรขาคณิตด้วย

สว่ นของเส้นตรงท่ีบ่งบอกทิศทาง โดยท่ีความยาวของส่วนของเส้นตรงจะบ่งบอกถึงขนาดและหัวลูกศรจะบ่งบอกถึง
ทิศทาง เช่น

A 5 ซม. B

โดย AB มี A เป็นจุดเร่มิ ตน้ และ B เป็นจดุ สน้ิ สดุ จากน้นั ครูเขยี น u และ v บนกระดาน ดังรปู

v

u

ถา้ เราตอ้ งการหา u + v และ u – v นกั เรยี นคิดวา่ เราจะต้องใชว้ ิธกี ารอย่างไร

7.2 ขั้นสอน
1. ครใู ห้แนวคิดในการหา u + v ดงั น้ี

ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ เลื่อน v ให้จุดเริ่มต้นของ v อยู่ท่ีจุดส้ินสุดของ u ผลบวกของ
u และ v เขยี นแทนด้วย u + v คือ เวกเตอร์ท่ีมจี ุดเริม่ ต้นท่ีจุดเร่ิมต้นของ u และจุดส้ินสุดอยู่ที่จุดสน้ิ สุด
ของ v

v v u+v

uu

ครูให้คำแนะนำเพิ่มเติมวา่ อาจหา u + v ไดโ้ ดยใช้กฎของรูปส่เี หล่ียมดา้ นขนาน ดังน้ี

v u+v
v

uu

u + v มีจุดเริ่มต้นเดียวกับ u และ v และมีจุดส้ินสุดท่ีมุมตรงข้ามกับจุดเร่ิมต้นในรูปส่ีเหลี่ยม
ดา้ นขนาน

2. ครูใหแ้ นวคิดในการหา u – v ดังนี้
ให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ใดๆ ผลลบของ u ลบดว้ ย v หมายถึง ผลบวกของ u และนิเสธของ v

เขียนแทนดว้ ย u – v นั่นคอื u – v = u + (– v )

vv
u –v

u u + (– v )

3. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษารายละเอยี ดการบวกและการลบเวกเตอร์ในเอกสารประกอบการเรียน
เรื่อง เวกเตอร์ หัวข้อ 2.1 การบวกเวกเตอร์ และหัวข้อ 2.2 การลบเวกเตอร์ จากนนั้ ให้ตวั แทนของแตล่ ะกลุ่ม
ออกมาสรปุ สาระสำคญั ตามความเข้าใจของนกั เรียน

4. ครเู ขียนโจทยต์ ัวอยา่ งท่ี 1-2 บนกระดาน สุ่มเรยี กนักเรียนออกมาแสดงวิธีหาคำตอบ
5. ครูเขยี นบทนิยามตอ่ ไปนบ้ี นกระดาน

บทนิยาม ให้ k เป็นสเกลาร์ และ u เป็นเวกเตอร์
ผลคณู ของเวกเตอร์ u ดว้ ยสเกลาร์ k เป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย ku โดยท่ี
1. ถ้า k = 0 แลว้ ku = 0

2. ถ้า k > 0 แล้ว ku จะมีขนาดเทา่ กับ k u  และมที ศิ ทางเดยี วกบั u
3. ถ้า k < 0 แล้ว ku จะมีขนาดเทา่ กับ k u  แต่มที ิศทางตรงกนั ข้ามกบั u
ครแู นะนำวา่ บทนยิ ามขา้ งตน้ จะนำมาใช้ในการหาผลคณู ของเวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์ จากนั้นให้นักเรียน
กลุ่มเดิมศึกษารายละเอียดในหัวข้อท่ี 2.3 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ โดยให้นักเรียนสรุปสาระสำคัญตาม
ความเขา้ ใจของนักเรยี น โดยใหต้ วั แทนกล่มุ ออกมานำเสนอหนา้ ชัน้ เรียน
6. ครูเขยี นโจทย์ตวั อย่างที่ 3-5 บนกระดาน แล้วส่มุ เรยี กนักเรียนออกมาแสดงวธิ ที ำ
7. ครูอธิบายเพิ่มเติมว่ามีทฤษฎีบทท่ีสำคัญเกี่ยวกับการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่สามารถนำไปประยุกต์
ใช้กับเรขาคณติ ได้ 2 ทฤษฎีบท คือ
ทฤษฎบี ทที่ 1 สำหรับ u และ v ท่ีต่างไม่เทา่ กับ 0 , u ขนานกับ v กต็ ่อเมือ่ มีจำนวนจริง a

ทไี่ มเ่ ท่ากับศนู ยท์ ่ีทำให้ u = av
ทฤษฎีบทที่ 2 สำหรับ u และ v ที่ต่างไมเ่ ท่ากบั 0 และ u ไมข่ นานกับ v ถา้ au +bv = 0

แล้วจะได้ a = 0 และ b = 0
8. ครูแนะนำว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทหรือพิสูจน์โจทย์ปัญหาในเรขาคณิต อาจพิสูจน์โดยใช้ความรู้เร่ือง
เวกเตอร์ได้ โดยครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างจากใบความรู้เร่ือง “การพิสูจน์โดยใช้เวกเตอร์” จากนั้นครูนำ
ตัวอยา่ งโจทยใ์ นใบความรูม้ าอภิปรายร่วมกันในชัน้ เรียน
9. ครูแจกใบงานที่ 1 “การบวก การลบเวกเตอร์ และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์” ให้นักเรยี นแต่ละ
กลมุ่ เมื่อทุกกลมุ่ ทำเสร็จแล้ว ครูและนกั เรียนร่วมกันเฉลยคำตอบ
10. ครูให้นักเรยี นแตล่ ะกลุม่ ทำแบบฝกึ หดั ที่ 2 จากนั้นใหแ้ ตล่ ะกลมุ่ แลกเปล่ียนกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง
11. ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวียนไปจนครบทกุ ขอ้

7.3 ขน้ั สรุป
ครูให้นักเรียนช่วยกันสรุปความรู้เรื่องเวกเตอร์เป็นแผนผังความคิด (Mind Mapping) ตามประเด็นที่

กำหนดใหต้ อ่ ไปนี้ แล้วให้นักเรียนไปขยายขอ้ สรปุ ตอ่ ในแผนผงั ความคิดดงั กล่าว

บทนิยามของเวกเตอร์ เวกเตอร์ท่ขี นานกัน เวกเตอร์ที่เท่ากนั
และนิเสธของเวกเตอร์

เวกเตอร์

การบวกและการลบเวกเตอร์ การใช้เวกเตอรใ์ นการพิสจู น์ทฤษฎีบท
หรอื พสิ ูจน์โจทย์ปญั หาในเรขาคณิต

การคณู เวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์

บทนิยาม สมบัติการคูณเวกเตอร์
ด้วยสเกลาร์

8. สือ่ การเรยี นร้แู ละแหล่งการเรยี นรู้

8.1 สอื่ การเรยี นรู้
1. หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5 เล่ม 1 ขององคก์ ารค้า สกสค.
2. เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง เวกเตอร์
3. แบบฝึกหดั ที่ 2
4. ใบงานท่ี 1 “การบวก การลบเวกเตอร์ และการคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร”์
5. ใบความรู้ “การพิสูจนโ์ ดยใชเ้ วกเตอร์”

8.2 แหล่งการเรยี นรู้
1. ห้องสมุดของโรงเรยี น
2. หอ้ งสมดุ กลุม่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์
3. อนิ เทอรเ์ น็ตจากเวบ็ ไซต์ต่างๆ

9. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

9.1 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝึกหัดท่ี 2
9.2 ตรวจผลงานจากการทำใบงานท่ี 1 “การบวก การลบเวกเตอร์ และการคณู เวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร”์
9.3 ตรวจผลงานจาก Mind Mapping
9.4 ตรวจผลงานจากสมดุ บนั ทกึ ความรู้
9.5 การสงั เกตพฤติกรรมการเรียนรขู้ องนักเรียน
9.6 การสังเกตพฤตกิ รรมนักเรยี นดา้ นการทำงานกล่มุ
9.7 การประเมนิ การนำเสนอผลงานหนา้ ช้ันเรยี น

ใบงานท่ี 1
เรือ่ ง การบวก การลบเวกเตอร์ และการคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์

ชอื่ ............................................................................................ เลขท่ี ................ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5/ ........

วิชาคณิตศาสตร์เนน้ วิทย์ 3 วนั /เดอื น/ปี ...........................................

1. จากรูป กำหนดให้ MC = 2MA และ MD = 2MB จงใชเ้ วกเตอรแ์ สดงวา่ DC = 2AB

C
B

M

A
D

วธิ ที ำ

2. จากรูป กำหนดให้ OA และ OB แทนด้วย a และ b ตามลำดับ โดย AB และ OC ตัดกันท่จี ดุ D และ

BC = 3 a ให้ OD = pOC และ DB = qAB
2
C

A
D

OB

(1) จงเขยี น OD ในรปู ของ p, a และ b
(2) จงเขียน OD ในรปู ของ q, a และ b พรอ้ มทง้ั หาคา่ ของ p และ q

วธิ ีทำ

เฉลยใบงานท่ี 1
เรือ่ ง การบวก การลบเวกเตอร์ และการคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์

ชือ่ ............................................................................................ เลขที่ ................ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5/ ........

วชิ าคณติ ศาสตร์เน้นวิทย์ 3 วัน/เดอื น/ปี ...........................................

1. จากรูป กำหนดให้ MC = 2MA และ MD = 2MB จงใช้เวกเตอร์แสดงว่า DC = 2AB

C

B
M

A
D

วธิ ีทำ DC = DM + MC
= 2MB + 2AM
= 2(MB + AM)
= 2(AM + MB)
= 2AB

2. จากรูป กำหนดให้ OA และ OB แทนดว้ ย a และ b ตามลำดับ โดย AB และ OC ตัดกนั ท่ีจดุ D และ

BC = 3 a ให้ OD = pOC และ DB = qAB
2
C

A
D

O B

(1) จงเขียน OD ในรูปของ p, a และ b

(2) จงเขยี น OD ในรปู ของ q, a และ b พรอ้ มทง้ั หาค่าของ p และ q

วธิ ที ำ (1) OD = pOC
(2)
= p(OB + BC)

= p( b + 3 a)
2

ดังนั้น OD = p b + 3p a …..(1)
2

DB = qAB

OB – OD = q(OB – OA)

b – OD = q( b – a )

OD = q a + b – q b

ดังนั้น OD = q a + (1 – q) b …..(2)

จาก (1) และ (2) จะได้

3p a + p b = q a + (1 – q) b
2

จะได้ 3p = q และ p = 1 – q
2

 q = 1–p

จาก 3p = q
2

3p = 1–p
2

5p = 1
2

p = 2
5

และ q = 1–p = 1– 2 = 3
5 5

ใบความรู้

เรอื่ ง “การพสิ ูจนโ์ ดยใชเ้ วกเตอร์”

ตวั อย่างท่ี 1 ให้ ABCD เป็นรูปสีเ่ หลีย่ มดา้ นขนาน P และ Q เป็นจดุ กึ่งกลางของ AB และ AD ตามลำดบั

จงพิสูจน์วา่ AP + AQ = 1 AC
2

วิธีทำ D C

Q•

A P• B

AP + AQ = 1 AB + 1 AD
= 2 2
= 1
2 (AB + AD)

1 AC
2

ตัวอย่างท่ี 2 ให้ ABC เป็นรูปสามเหลีย่ ม D และ E เปน็ จดุ บน AB และ AC ตามลำดบั ทำให้ AD = 2BD,

AE = 2EC ถ้า AB = u , AC = v แล้ว

(1) จงเขยี น DE ในรปู ของ u และ v

(2) จงแสดงวา่ BC = 3 DE
2

วิธีทำ จากโจทยเ์ ขยี นรูปได้ดังนี้

A จาก AD = 2BD จะได้ AD = 2 AB
3
E 2
D C และ AD = 3 AB .....(1)
B
จาก AE = 2EC จะได้ AE = 2 AC
3
2
และ AE = 3 AC .....(2)

ใน ADE จะได้ DE = AE – AD

= 2 AC – 2 AB (จาก (1) และ (2))
3 3
2
= 3 (AC –AB)

(1) ดังน้ัน DE = 2 (v– u)
3

(2) ใน ABC จะได้ BC = AC – AB

BC = v – u (นำไปแทนค่าในขอ้ (1))

จะได้ DE = 2 BC
3
3
ดังนน้ั BC = 2 DE

ตวั อยา่ งท่ี 3 A

Q

B PC

จากรปู ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี ม ซ่งึ BP = PC และ CQ = 1 CA
3

จงพิสูจนว์ า่ 2BC + CA + BA = 6PQ

วธิ ีทำ 2BC + CA + BA = 2BC + CA + BC + CA

= 3BC + 2CA

= 6PC + 6CQ

= 6(PC + CQ)

ดงั นนั้ 2BC + CA + BA = 6PQ

ตัวอยา่ งที่ 4 จงพิสูจนว์ า่ ถ้าเสน้ ทแยงมมุ ของรูปสีเ่ หล่ียมใดๆ แบ่งคร่งึ ซึ่งกนั และกันแล้ว รปู ส่ีเหลี่ยมดงั กลา่ ว
เปน็ รูปสี่เหลย่ี มด้านขนาน

วธิ ีทำ D C

O
O

AB

ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลีย่ ม AC ตัดและแบง่ คร่งึ DB ทจี่ ดุ O …..(1)
จะได้ AB = AO + OB …..(2)

= OC + DO
= DO + OC
= DC
น่ันคอื AB = DC และ AB//DC
และ AD = AO + OD
= OC + BO
= BC
น่ันคือ AD = BC และ AD //BC
จาก (1) และ (2) จะไดว้ ่า ABCD เปน็ รูปสี่เหลีย่ มด้านขนาน

เกณฑก์ ารประเมนิ การเขยี น Mind Mapping

ประเด็น ระดบั คณุ ภาพ 1
การประเมนิ 4 32 (ปรบั ปรงุ )
(ดมี าก) (ดี) (พอใช)้ การนำเสนอมกี าร
พน้ื ฐานเบอื้ งต้น การนำเสนอมกี ารเรยี ง การนำเสนอมีการ การนำเสนอมกี าร เรยี งลำดบั เนื้อหาท่ี
ของเซต ลำดบั เนอื้ หาได้ดมี าก เรียงลำดบั เน้อื หาได้ เรียงลำดับเนื้อหาได้ ควรปรับปรุง ไมม่ ี
มีความต่อเนอ่ื ง มี ดี มีความตอ่ เนอื่ ง มี พอใช้ มีความ ความตอ่ เนือ่ งมี
ประโยชน์ ใหแ้ งค่ ดิ ทด่ี ี ประโยชน์ ให้แงค่ ดิ ต่อเนือ่ ง มีประโยชน์ ประโยชน์ น้อย ให้
แงค่ ดิ น้อย
นอ้ ย ให้แงค่ ิดน้อย

เกณฑก์ ารประเมิน คณุ ภาพดมี าก
ระดบั คะแนน 10 คะแนน คณุ ภาพดี
ระดบั คะแนน 9 คะแนน คณุ ภาพพอใช้
ระดับคะแนน 7-8 คะแนน คณุ ภาพควรปรับปรุง
ระดบั คะแนน 5-6 คะแนน

เกณฑก์ ารประเมินสมดุ บนั ทึกความรู้

การใหค้ ะแนน/ระดบั คะแนน

ปรับปรุง (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมาก (4)
บนั ทกึ ขอ้ มลู ไม่ถูกตอ้ ง บนั ทึกมีความถูกตอ้ ง
บันทกึ มขี ้อมลู แตย่ ังไม่ บนั ทกึ มีความถกู ต้อง ชัดเจนครบถว้ นสมบรู ณ์

ครบถ้วนสมบรู ณ์ สมบูรณ์พอสมควร

เกณฑ์คณุ ภาพการสังเกตพฤติกรรมนกั เรียนด้านการทำงานกลุม่

ท่ี รายการประเมิน ระดับคณุ ภาพ 3
1 การทำงานรว่ มกัน 12 - ยอมรับมติของกลุ่ม
2 ความกระตือรือรน้ ยอมรับมตกิ ารทำงาน ยอมรบั มติของกลมุ่ - รบั ผดิ ชอบงานท่ีรับ
ของกลมุ่ แตป่ ฏิบัตติ าม มอบหมายจากกลมุ่
3 การตอบคำถาม น้อยคร้ัง - ช่วยเหลอื งานภายในกลุ่ม
4 ความคดิ ริเร่ิมสร้างสรรค์ ชว่ ยเหลืองานภายใน - ช่วยเหลอื งานในกลมุ่ - รว่ มแสดงความคิดเห็น
กลุ่มเม่ือมกี ารร้องขอ - รว่ มแสดงความ - ใฝ่รู้ใฝเ่ รยี น
- ศึกษาค้นควา้
คิดเหน็ ให้ความรว่ มมอื ในการตอบ
คำถามเปน็ อย่างดี
มีสว่ นร่วมในการตอบ มสี ว่ นรว่ มในการตอบ ร่วมรับฟังและแสดงความ
คดิ เห็นทแี่ ตกตา่ ง แตม่ ี
คำถามนอ้ ยมาก คำถามบางคร้ัง ประโยชน์

ร่วมกจิ กรรมตามทก่ี ลุ่ม รับฟงั แตแ่ สดงความ

ขอรอ้ ง คดิ เห็นที่คลอ้ ยตาม

เพือ่ นๆ

แบบประเมินพฤตกิ รรมการเรียนรู้

วชิ าคณติ ศาสตร์เนน้ วิทย์ 3 เรอ่ื ง ............................................................ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5/........

ความตัง้ ใจ การตงั้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ

ลำดับ ชอ่ื -นามสกลุ มงุ่ มั่น คำถาม กิจกรรม ในเวลาท่ี สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ท่ี ตอบคำถาม กลมุ่ กำหนด

(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมินน้ีใช้ได้ตลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมนิ

ลงชื่อ .................................................... ผปู้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบการประเมินการสงั เกตพฤติกรรมนักเรียนด้านการทำงานกลุม่

รายการประเมนิ สรปุ ผล

ที่ ชอ่ื -สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคิดรเิ รม่ิ รวม
ร่วมกัน กระตอื รือร้น คำถาม สร้างสรรค์ (12) ผา่ น ไม่ผ่าน

(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑก์ ารประเมนิ
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ตำ่ กวา่ 5 คะแนน ระดบั 1 = ควรปรบั ปรุง

สรุปผลการประเมนิ
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑ์การตัดสนิ ใจ
 ผ่าน  ไมผ่ ่าน

หมายเหตุ : เกณฑ์เปน็ ไปตามที่โรงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าชั้นเรยี น

กลมุ่ ที่ ......... เรื่อง ..................................................... ชัน้ ....... /........

คำชแ้ี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรยี น แล้วขีด ✓ ลงในชอ่ งวา่ ง
ทีต่ รงกบั ระดบั คะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมนิ ระดับคะแนน
4321

1 ความถกู ต้องของเนื้อหา
2 ความคิดสรา้ งสรรค์

3 วิธกี ารนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใชป้ ระโยชน์
5 การตรงตอ่ เวลา

รวม

ลงช่ือ .................................................... ผู้ประเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบรู ณ์ชดั เจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รอื แสดงผลงานมขี อ้ บกพร่องบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมขี อ้ บกพร่องเปน็ สว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมขี อ้ บกพร่องมาก

แผนการจัดการเรียนรูท้ ่ี 3 เวลา 3 ชว่ั โมง

เรอื่ ง เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

1. ผลการเรียนรู้

หาผลลัพธ์ของการบวก การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ หาผลคูณเชงิ สเกลาร์ และผลคูณ
เชิงเวกเตอร์

2. แนวคดิ สำคัญ

ผลคูณเชงิ สเกลารร์ ะหว่าง u กับ v เขียนแทนด้วย u  v ถ้า u ตั้งฉากกับ v แล้ว u  v = 0 ผลคูณ
เชิงเวกเตอร์ระหว่าง u กับ v เขียนแทนด้วย u  v ซึ่งเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้จะมีทิศทางตั้งฉากกับทิศทาง
ของเวกเตอรท์ ่นี ำมาหาผลคูณเชงิ เวกเตอรท์ งั้ สอง

3. จุดประสงค์การเรยี นรู้

3.1 หาผลบวกของเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากได้
3.2 หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากทกี่ ำหนดใหไ้ ด้

4. สาระการเรยี นรู้

4.1 เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิและสามมติ ิ
4.2 ขนาดของเวกเตอรใ์ นสองมิตแิ ละสามมิติ
4.3 เวกเตอรห์ นึ่งหน่วยในระบบพิกดั ฉากสองมติ แิ ละสามมติ ิ
4.4 โคไซน์แสดงทศิ ทาง

5. ช้นิ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏบิ ตั งิ านตามแบบฝกึ หัดท่ี 3
5.2 ผลการปฏบิ ัติงานตามใบงานท่ี 2 “เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก”

6. คำถามสำคัญ

6.1 การหาเวกเตอร์เมอ่ื กำหนดพิกดั ของจดุ 2 จดุ ใหม้ ีวธิ กี ารอย่างไร
6.2 การหาผลบวกของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉากมีวิธีการอย่างไร
6.3 การหาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากมีวธิ ีการอย่างไร

7. กจิ กรรมการจัดการเรยี นรู้

7.1 ขนั้ นำ
ครูทบทวนเกี่ยวกับระบบพิกัดฉากสองมิติ โดยกำหนดจุด p1 และ p2 บนระนาบ XY แล้วให้นักเรียน

ช่วยกันหาระยะห่างระหวา่ งจดุ ทั้งสอง เชน่

Y
• p1(1, 4)

• p2(–3, 1) X
0

จาก p1p2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
ดงั นน้ั p1p2 = (−3 −1)2 + (1− 4)2

= 16 + 9
=5

7.2 ขนั้ สอน

1. ครทู บทวนการเขยี นเวกเตอร์ โดยใหน้ กั เรยี นออกมาเขียนเวกเตอร์และสญั ลักษณ์แทนเวกเตอร์บน

กระดาน หลงั จากนัน้ ครูอธบิ ายเพิม่ เติมวา่ ถ้า AB มจี ุดเร่มิ ต้นที่ A(x1, y1) และจดุ ส้ินสุดที่ B(x2, y2) จะเขยี น

แทน AB ด้วย x2 − x1 ถ้า x2 – x1 = a และ y2 – y1 = b จะเขยี นแทน AB ด้วย a
y2  b
− y1 

Y
B(x2, y2)

• A(x1, y1) X
0

2. ครูอธิบายเพิ่มเติมว่าตัวอย่างการเขียนเวกเตอร์แบบนี้เรียกวา่ เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมิติ
แลว้ ใหน้ กั เรียนช่วยกนั เขยี นเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากสองมติ อิ น่ื ๆ เชน่

Y

• P(2, 4)

Q(6, 1)
0X

จาก PQ = x2 − x1
y2 
− y1 

ดังนัน้ PQ = 6 − 2 =  4
1 − 4  3
−

3. ครูเขยี นโจทย์ตัวอยา่ งท่ี 1 บนกระดาน ให้นักเรียนอาสาสมัครออกมาแสดงวธิ หี าคำตอบ

4. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาหัวข้อย่อย “เวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสามมิติ” โดยให้นักเรยี นศึกษา

ความหมายของคำศัพท์ตอ่ ไปน้ี

- จดุ กำเนิด

- ระนาบอ้างอิง

- อัฐภาค

- สามสง่ิ อันดบั ในรูป (x, y, z)

- ภาพฉายของจดุ P ใดๆ บนระนาบ XY, YZ และ XZ

- ระยะทางระหวา่ งจุดสองจุดในปรภิ ูมิสามมิติ

- เวกเตอร์ในสามมิติ

5. ครูให้ตัวแทนของแต่ละกลุ่มออกมาอธิบายความหมายของคำศัพท์ต่างๆ ท่ีให้ศึกษาจากเอกสาร

ประกอบการเรียน เร่ือง เวกเตอร์ จากน้ันครูและนักเรียนร่วมกันทำโจทย์ตัวอย่างท่ี 2 ในเอกสาร

ประกอบการเรียน เร่ือง เวกเตอร์ โดยใช้วิธถี าม-ตอบ

6. ครูสรุปความรู้เก่ียวกับเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสามมิติ โดยบอกบทนิยามและยกตวั อย่างประกอบ

2-3 ตัวอยา่ ง ดังนี้

x
บทนิยาม กำหนดให้ x, y, z เปน็ จำนวนจริง เรยี ก y ว่าเวกเตอรใ์ นปรภิ ูมิสามมิติ หรือเวกเตอร์
z 


ในสามมติ ิ หรอื เรียกสั้นๆ ว่าเวกเตอร์

x
y 
ข้อสังเกต ในทางเรขาคณิตจะแทนเวกตอร์ z  ดว้ ยสว่ นของเสน้ ตรงท่ีกำหนดทศิ ทางซงึ่ มีจดุ เริ่มต้น



ทจี่ ดุ กำเนิด (O) และมีจดุ สนิ้ สุดท่ี (x, y, z) แตถ่ ้าเวกเตอรม์ ีจุดเรมิ่ ต้นท่ี P(x1, y1, z1)

x2 − x1
และมีจุดสิ้นสุดที่ Q(x2, y2, z2) จะเขียนแทน PQ ดว้ ย yz22 y1 
− z1 
− 

ตวั อยา่ ง

(1) เวกเตอร์ทม่ี จี ดุ เรมิ่ ตน้ ทจี่ ดุ กำเนิด O และจุดส้นิ สดุ ท่ี P(3, 3, –1) คือ

 3 − 0  3
 3 − 0  3
OP =  = 
   1
 −1 − 0  −

(2) กำหนด P(4, 5, 6) และ Q(–2, 0, 8) จงหา PQ

ครูสุ่มใหน้ ักเรียนออกมาแสดงวิธีทำบนกระดานโดยครูเปน็ ผ้ชู ี้แนะ

− 2 − 4 − 6
 0 − 5  5
PQ =  = − 2
 8 − 6 
 

7. ครูและนักเรียนร่วมกันทำโจทย์ตัวอย่างท่ี 3 ในเอกสารประกอบการเรียน เร่ือง เวกเตอร์ บน

กระดานโดยใชว้ ธิ ถี าม-ตอบ

8. ครูให้นกั เรยี นกลุม่ เดิมศกึ ษาบทนยิ ามการเท่ากนั ของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ เวกเตอร์ศูนย์ นิเสธ

ของเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ จากนั้นให้ตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาอธบิ ายบทนิยาม

พร้อมท้งั ยกตัวอย่างประกอบ

9. ครูยกตวั อย่างเก่ียวกับการบวก ลบ และคณู เวกเตอร์ ใหน้ กั เรียนไดม้ สี ว่ นร่วมในการหาคำตอบ

ตวั อย่าง กำหนดให้ u =  4 , v = 2 จงหา u + v, u – v, 3u , 2u + 3v
−1 7

วธิ ที ำ u+v =  4 + 2 = 6
−1+ 7 6

u–v =  4 − 2 =  2
 7  8
− 1 − −

3u = 3  4 =  3(4) =  12
 1 3(−1)  3
− −

2u + 3v = 2  4 + 3 2
− 1 7

=  8  6 
 2 + 21
−

=  8 + 6
 21
− 2 +

= 14
19

10. ครใู หน้ กั เรียนแตล่ ะกลุ่มศกึ ษาตวั อย่างท่ี 4-8 ในเอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง เวกเตอร์ จากน้ัน

ครสู มุ่ เรียกนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ีทำบนกระดาน

11. ครูให้นักเรียนศึกษาหัวข้อย่อย “ขนาดของเวกเตอร์ในสองมิติและสามมิติ” และ “เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

ในระบบพิกดั ฉากสองมิตแิ ละสามมิติ” แล้วใหต้ วั แทนกลมุ่ ออกมาสรุปสาระสำคญั ตามความเขา้ ใจของนักเรียน

12. ครูใช้วิธีถาม-ตอบเพื่อสรุปความรู้เก่ียวกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในสองมิติและสามมิติ โดยมีประเด็น

สำคญั ดงั นี้

บทนยิ าม เวกเตอร์ที่มขี นาดหนึ่งหน่วย เรียกว่า เวกเตอรห์ นึ่งหน่วยขนาดของเวกเตอร์หน่ึงหน่วย

ทั้งในสองมติ ิและสามมติ ิ คือ

(1) เวกเตอร์ a มีขนาด a2 + b2
b

(2) เวกเตอร์ท่ีมขี นาดหน่งึ หน่วยและมที ศิ ทางเดียวกบั เวกเตอร์ a ใดๆ ทไ่ี มใ่ ช่
b

เวกเตอรศ์ นู ย์ คือ 1 a
a2 + b2 b

a
(3) เวกเตอร์ b มีขนาด a2 + b2 + c2
c 
a
(4) เวกเตอรท์ ี่มีขนาดหนง่ึ หน่วยและมที ศิ ทางเดยี วกบั เวกเตอร์ b ใดๆ ทไี่ ม่ใช่
c 


a
1 b
เวกเตอรศ์ นู ย์ คือ a2 + b2 + c2 c 


(5) ขนาดของเวกเตอร์ PQ เขียนแทนดว้ ย PQ

13. ครูเขียนโจทย์ตัวอย่างที่ 9-11 ในเอกสารประกอบการเรียน เร่ือง เวกเตอร์ บนกระดาน แล้วสุ่ม

เรียกนกั เรยี นออกมาแสดงวิธีทำบนกระดาน

14. ครูให้นักเรียนศึกษาหัวข้อย่อย “โคไซน์แสดงทิศทาง” แล้วให้ตัวแทนกลุ่มออกมาสรุปสาระสำคัญ

ตามความเข้าใจของนกั เรยี น

15. ครูสรุปความรเู้ กย่ี วกบั โคไซน์แสดงทศิ ทาง พร้อมยกตวั อย่างประกอบ เช่น

บทนิยาม โคไซน์แสดงทศิ ทางของ u เมอ่ื

a1 
a2 
u =  ซงึ่ u  0 เทียบกับแกน X, Y และ Z ตามลำดับ

a3 

คอื จำนวนสามจำนวน a1 , a2 , a3 ตามลำดบั
u u u

ตวั อยา่ ง จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์ทม่ี จี ุดเริม่ ตน้ ท่ี P(–1, 2, 3) และจดุ สิ้นสุดที่

Q(2, 3, –5)

2 − (−1)  3
   1
วิธีทำ PQ =  3−2  = 
   8
 − 5 − 3  −

PQ = 32 +12 + (−8)2 = 74

โคไซน์แสดงทิศทางของ PQ คือ 3 , 1 , −8
74 74 74

16. ครูสรุปใหน้ กั เรยี นทราบเพ่ิมเติมเกยี่ วกับบทนยิ ามของโคไซน์แสดงทศิ ทาง ดังน้ี

เวกเตอร์สองเวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน ก็ต่อเม่ือ มีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน และจะมีทิศทาง

ตรงข้ามกัน ก็ต่อเม่ือ โคไซน์แสดงทิศทางเทียบแต่ละแกนของเวกเตอร์หนึ่งเป็นจำนวนตรงกันข้ามกับโคไซน์

แสดงทิศทางของอีกเวกเตอร์หน่งึ

17. ครูเขียนโจทย์ตัวอย่างที่ 12-13 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เวกเตอร์ บนกระดาน แลว้ สุ่ม

เรยี กนักเรียนออกมาแสดงวิธที ำบนกระดาน

18. ครูแจกใบงานที่ 2 “เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก” ให้นกั เรียนแต่ละกลุ่ม เมื่อทุกกลุ่มทำเสร็จแล้ว ครู

และนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

19. ครูใหน้ ักเรียนแต่ละกลมุ่ ทำแบบฝึกหัดที่ 3 จากนนั้ ใหแ้ ต่ละกล่มุ แลกเปลี่ยนกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

20. ใหน้ กั เรียนแตล่ ะกลุ่มออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทกุ ข้อ

7.3 ขั้นสรุป

ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั สรปุ ความรู้ในประเดน็ ตอ่ ไปนี้

(1) ระยะทางระหวา่ งจุดสองจดุ ในปริภูมิสามมติ ิ

(2) ขนาดของเวกเตอร์ในสองมิตแิ ละสามมติ ิ

(3) เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในระบบพิกดั ฉากสองมติ แิ ละสามมิติ

(4) โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง

8. สื่อการเรยี นรู้และแหล่งการเรียนรู้

8.1 สอ่ื การเรยี นรู้
1. หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 เลม่ 1 ขององค์การค้า สกสค.
2. แบบฝึกหัดที่ 3
3. ใบงานที่ 2 “เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก”

8.2 แหล่งการเรยี นรู้
1. หอ้ งสมุดของโรงเรยี น
2. หอ้ งสมดุ กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์
3. อินเทอร์เนต็ จากเว็บไซตต์ ่างๆ

9. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

9.1 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝกึ หัดท่ี 3
9.2 ตรวจผลงานจากการทำใบงานที่ 2 “เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉาก”
9.3 ตรวจผลงานจากสมุดบันทึกความรู้
9.4 การสังเกตพฤติกรรมการเรียนร้ขู องนกั เรียน
9.5 การสงั เกตพฤติกรรมนกั เรยี นดา้ นการทำงานกล่มุ
9.6 การประเมินการนำเสนอผลงานหน้าช้นั เรยี น

ใบงานท่ี 2
เรอ่ื ง เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

ชอ่ื ............................................................................................ เลขท่ี ................ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5/ ........

วชิ าคณติ ศาสตรเ์ น้นวิทย์ 3 วนั /เดอื น/ปี ...........................................

1. ให้ u = 2i − j + 2k และ v = −3i − j + 6 k จงหาเวกเตอร์ w ซ่ึงมีทิศทางเดียวกับ v และ
มีขนาดเทา่ กับ u

วิธที ำ

2. จงตรวจสอบวา่ เวกเตอรต์ อ่ ไปนม้ี ีเวกเตอรใ์ ดบา้ งทข่ี นานกัน
(1) MN โดยมจี ุด M อย่ทู ี่ (1, 2, 3) และจุด N อย่ทู ่ี (2, –3, 5)
(2) w = − 2i +10j − 4k
(3) OR เมื่อ O เปน็ จุดกำเนิด และจดุ R คือ (–3, 15, –6)

วิธีทำ

เฉลยใบงานที่ 2
เร่อื ง เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก

ชอื่ ............................................................................................ เลขท่ี ................ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 5/ ........

วิชาคณิตศาสตรเ์ นน้ วทิ ย์ 3 วนั /เดอื น/ปี ...........................................

1. ให้ u = 2i − j + 2k และ v = −3i − j + 6 k จงหาเวกเตอร์ w ซึ่งมีทิศทางเดียวกับ v และ
มขี นาดเท่ากับ u

วธิ ที ำ  u  = 22 + (−1)2 + 22 = 9 = 3

ให้ w เป็นเวกเตอร์ที่มขี นาด 3 หนว่ ย และมีทศิ ทางเดียวกับ v

จะได้ w = 3v
v

= 3(−3i − j + 6 k)
(−3)2 + (−1)2 + ( 6)2

= 3 (−3i − j + 6 k)
4

2. จงตรวจสอบวา่ เวกเตอรต์ ่อไปนมี้ เี วกเตอรใ์ ดบ้างทข่ี นานกนั
(1) MN โดยมีจดุ M อยู่ท่ี (1, 2, 3) และจุด N อย่ทู ี่ (2, –3, 5)
(2) w = − 2i +10j − 4k
(3) OR เม่อื O เปน็ จุดกำเนดิ และจุด R คือ (–3, 15, –6)

วิธีทำ (1) MN = i −5j + 2k , MN = 12 + (−5)2 + 22 = 30

โคไซน์แสดงทิศทางของ MN คือ 1 , −5 , 2
30 30 30

(2) w = − 2i +10j − 4k ,  w  = (−2)2 +102 + (−4)2 = 2 30

โคไซน์แสดงทิศทางของ w คอื −2 , 10 , −4
2 30 2 30 2 30

หรอื −1 , 5 , −2
30 30 30

(3) OR = −3i +15j −6k , OR = (−3)2 +152 + (−6)2 = 3 30

โคไซน์แสดงทศิ ทางของ OR คือ −3 , 3 15 , −6
3 30 30 3 30

หรือ −1 , 5 , −2
30 30 30

ดงั น้ัน MN, w และ OR เป็นเวกเตอร์ทขี่ นานกันโดย w และ OR มีทิศทางเดียวกนั

แต่มที ิศทางตรงข้ามกับ MN

เกณฑก์ ารประเมินสมดุ บนั ทึกความรู้

การใหค้ ะแนน/ระดบั คะแนน

ปรบั ปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมาก (4)
บนั ทึกขอ้ มลู ไมถ่ กู ตอ้ ง บนั ทึกมีความถูกต้อง
บันทกึ มขี ้อมลู แตย่ ังไม่ บนั ทกึ มคี วามถกู ต้อง ชัดเจนครบถ้วนสมบูรณ์

ครบถ้วนสมบรู ณ์ สมบูรณพ์ อสมควร

เกณฑ์คณุ ภาพการสังเกตพฤติกรรมนกั เรียนด้านการทำงานกลุม่

ท่ี รายการประเมิน ระดับคณุ ภาพ 3
1 การทำงานร่วมกัน 12 - ยอมรับมติของกล่มุ
2 ความกระตอื รือรน้ ยอมรับมตกิ ารทำงาน ยอมรบั มติของกลมุ่ - รบั ผดิ ชอบงานท่ีรับ
ของกลมุ่ แตป่ ฏิบัตติ าม มอบหมายจากกลุม่
3 การตอบคำถาม น้อยคร้ัง - ช่วยเหลืองานภายในกลมุ่
4 ความคดิ ริเร่ิมสร้างสรรค์ ชว่ ยเหลืองานภายใน - ช่วยเหลอื งานในกลมุ่ - รว่ มแสดงความคดิ เหน็
กลุ่มเม่ือมกี ารร้องขอ - รว่ มแสดงความ - ใฝ่รู้ใฝเ่ รยี น
- ศึกษาค้นควา้
คิดเห็น ให้ความรว่ มมอื ในการตอบ
คำถามเปน็ อย่างดี
มีสว่ นร่วมในการตอบ มสี ว่ นร่วมในการตอบ ร่วมรับฟังและแสดงความ
คดิ เห็นทแี่ ตกต่าง แต่มี
คำถามนอ้ ยมาก คำถามบางคร้ัง ประโยชน์

ร่วมกจิ กรรมตามทก่ี ลุ่ม รับฟงั แตแ่ สดงความ

ขอรอ้ ง คดิ เห็นที่คล้อยตาม

เพือ่ นๆ

แบบประเมินพฤตกิ รรมการเรียนรู้

วิชาคณติ ศาสตรเ์ น้นวทิ ย์ 3 เรอื่ ง ............................................................ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5/........

ความตัง้ ใจ การตงั้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ

ลำดบั ชอ่ื -นามสกลุ มุ่งมน่ั คำถาม กิจกรรม ในเวลาท่ี สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ท่ี ตอบคำถาม กลมุ่ กำหนด

(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมินน้ีใช้ได้ตลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมนิ

ลงชื่อ .................................................... ผปู้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบการประเมินการสงั เกตพฤติกรรมนักเรียนดา้ นการทำงานกลุม่

รายการประเมนิ สรปุ ผล

ที่ ชอ่ื -สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคิดรเิ รม่ิ รวม
ร่วมกัน กระตอื รือร้น คำถาม สร้างสรรค์ (12) ผ่าน ไม่ผ่าน

(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑ์การประเมนิ
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ต่ำกวา่ 5 คะแนน ระดบั 1 = ควรปรบั ปรุง

สรุปผลการประเมนิ
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑก์ ารตัดสนิ ใจ
 ผ่าน  ไมผ่ ่าน

หมายเหตุ : เกณฑ์เปน็ ไปตามที่โรงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าชน้ั เรยี น

กล่มุ ที่ ......... เร่อื ง ..................................................... ช้นั ....... /........

คำชแ้ี จง : ให้ผูส้ อนสงั เกตพฤติกรรมของนกั เรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ✓ ลงในชอ่ งวา่ ง
ทีต่ รงกับระดบั คะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 ความถกู ตอ้ งของเนื้อหา
2 ความคิดสรา้ งสรรค์

3 วธิ ีการนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใชป้ ระโยชน์
5 การตรงตอ่ เวลา

รวม

ลงช่ือ .................................................... ผู้ประเมิน
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบูรณ์ชัดเจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รอื แสดงผลงานมขี อ้ บกพร่องบางส่วน ให้ 2 คะแนน
ปฏบิ ัติหรอื แสดงผลงานมีขอ้ บกพร่องเปน็ สว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องมาก

แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 4 เวลา 5 ชว่ั โมง

เร่อื ง ผลคณู เชิงสเกลาร์และผลคณู เชิงเวกเตอร์

1. ผลการเรยี นรู้

หาผลลพั ธ์ของการบวก การลบเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ หาผลคูณเชิงสเกลาร์ และผลคูณ
เชิงเวกเตอร์

2. แนวคิดสำคัญ

ผลคูณเชิงสเกลารร์ ะหว่าง u กับ v เขียนแทนด้วย u  v ถ้า u ตั้งฉากกับ v แล้ว u  v = 0 ผลคูณ
เชิงเวกเตอร์ระหว่าง u กับ v เขียนแทนด้วย u  v ซึ่งเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้จะมีทิศทางต้ังฉากกับทิศทาง
ของเวกเตอรท์ ีน่ ำมาหาผลคูณเชิงเวกเตอรท์ ั้งสอง

3. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

3.1 หาผลคูณเชงิ สเกลารแ์ ละผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้
3.2 นำสมบตั ขิ องผลคณู เชิงสเกลารแ์ ละสมบตั ขิ องผลคูณเชงิ เวกเตอร์ไปใช้ได้

4. สาระการเรียนรู้

4.1 การหาผลคูณเชงิ สเกลาร์
4.2 การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์

5. ชนิ้ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏิบตั งิ านตามแบบฝึกหัดที่ 4-5
5.2 ผลการปฏิบัติงานตามใบงานท่ี 3 “ผลคูณเชิงสเกลาร์และผลคูณเชงิ เวกเตอร์”
5.3 ผลการเขียน Mind Mapping
5.4 ผลการปฏบิ ตั ิงานตามกิจกรรมสะเตม็ ศึกษา “เครื่องวัดทศิ ทางและความเร็วลมอยา่ งงา่ ย”
5.5 ผลการทำแบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิ
5.6 ผลการทำแบบทดสอบหลงั เรียน

6. คำถามสำคัญ

6.1 การหาผลคณู เชิงสเกลาร์มีวิธกี ารอย่างไร
6.2 การหาผลคณู เชงิ เวกเตอรม์ ีวธิ ีการอย่างไร

7. กิจกรรมการจดั การเรยี นรู้

7.1 ข้นั นำ

ครทู บทวนการคณู เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ โดยกำหนดโจทยใ์ หน้ ักเรยี นช่วยกันหาคำตอบ เช่น

 4
 1
กำหนดให้ u = − จงหา 3u
 2


 4  3(4)  12
3 −1 3(−1)  3
3u = = = −
 2  3(2)  6
  

จากนั้นครเู ขียนคำวา่ “ผลคูณเชิงสเกลาร์” และ “ผลคูณเชิงเวกเตอร์” บนกระดาน ใหน้ ักเรียนช่วยกัน

บอกความหมาย (ผลคูณเชงิ สเกลาร์ หมายถงึ ผลคูณของเวกเตอร์ท่ีได้ผลลพั ธ์เป็นสเกลาร,์ ผลคูณเชิงเวกเตอร์

หมายถึง ผลคูณของเวกเตอร์ท่ีไดผ้ ลลพั ธ์เป็นเวกเตอร์)

7.2 ข้นั สอน

1. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาหัวข้อท่ี 3.2 ผลคูณเชิงสเกลาร์ในเอกสารประกอบการเรียน เร่ือง

เวกเตอร์ โดยใหต้ ัวแทนกล่มุ ออกมาสรุปสาระสำคัญตามความเขา้ ใจของนักเรยี น

2. ครูสรุปความรู้เร่ืองผลคณู เชงิ สเกลาร์ ดงั น้ี

ถ้า u = x1i + y1j และ v = x2i + y2j ผลคูณเชงิ สเกลารข์ อง u และ v คือ x1x2 + y1y2
ถ้า u = x1i + y1j + z1k และ v = x2i + y2j + z2k ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u และ v คือ

x1x2 + y1y2 + z1z2
ผลคูณเชงิ สเกลารข์ อง u และ v เขยี นแทนดว้ ย u  v

3. ครเู ขยี นโจทย์ต่อไปนบี้ นกระดาน ให้นกั เรียนแข่งกันหาคำตอบเพือ่ ตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียน

(1) กำหนด u = 2i + 3j และ v = 4i − j จงหา u  v และ v  u

วิธีทำ u  v = (2i + 3j) (4i − j)

= (2)(4) + (3)(–1)

= 8–3

=5

v  u = (4i − j)(2i + 3j)

= (4)(2) + (–1)(3)

= 8–3

=5

 3 1
 1 2
(2) u = − และ v = จงหา uv
 4 3


 3 1
 1 2
วธิ ที ำ uv = −
 4 3


= (3)(1) + (–1)(2) + (4)(3)

= 13

4. ครูสรปุ สมบัติที่สำคัญของผลคูณเชิงสเกลาร์ให้นักเรียนทราบ (ตามรายละเอียดในเอกสารประกอบการ

เรียน เร่ือง เวกเตอร์ )

5. ครเู ขียนโจทยต์ ัวอย่างที่ 14-24 บนกระดาน แล้วส่มุ เรยี กนักเรยี นแต่ละกลุ่มออกมาแสดงวิธีหาคำตอบ