แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ เวกเตอร์

6. ครใู ห้นักเรียนแต่ละกล่มุ ทำแบบฝกึ หดั ที่ 4 จากนั้นให้แต่ละกลมุ่ แลกเปลย่ี นกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

7. ใหน้ กั เรียนแต่ละกลุ่มออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทกุ ข้อ

8. ครูทบทวนการหาผลคูณเชงิ สเกลาร์ โดยยกตัวอยา่ งใหน้ กั เรยี นช่วยกนั หาคำตอบ เช่น

 4 2
กำหนดให้ u = −1 และ v = 3 จงหา u  v
 2 4


 4 2
 1 3
วิธที ำ uv = −
 2 4


= (4)(2) + (–1)(3) + (2)(4)

= 13

ครูใช้การถามตอบเพ่ือให้นักเรียนเข้าใจว่า นอกจากผลคูณเชิงสเกลาร์แล้ว ยังมีผลคูณอีกแบบหนึ่ง

คือผลคณู เชงิ เวกเตอร์ ซง่ึ หมายถงึ ผลคูณของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ทไี่ ด้ผลลัพธเ์ ป็นเวกเตอร์

9. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาหัวข้อท่ี 3.3 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง

เวกเตอร์ โดยให้ตัวแทนกลุ่มออกมาสรปุ สาระสำคัญตามความเข้าใจของนกั เรยี น

10. ครูสรปุ ความรู้เร่ืองผลคูณเชงิ เวกเตอร์ ดังนี้

a1  b1  a2b3 − a3b2 
a2  b2   
ผลคณู เชงิ เวกเตอรข์ อง u =  และ v =  คอื เวกเตอร์  a3b1 − a1b3 
   
a3  b3  a1b2 − a2b1 

หรือ a2 a3 i − a1 a3 j+ a1 a2 k
b2 b3 b1 b3 b1 b2

เขียนแทนด้วย u  v อา่ นว่า เวกเตอรย์ ูครอสเวกเตอร์วี

i jk

ในทางปฏิบัตนิ ิยมใช้ u  v = a1 a2 a3
b1 b2 b2

11. ครเู ขยี นโจทย์ตอ่ ไปน้ีบนกระดาน ใหน้ ักเรียนแข่งกันหาคำตอบเพือ่ ตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียน

− 4  6
 2  3
กำหนด u =  และ v = − 0 จงหา u v
 4 
 

i jk

วิธที ำ u  v = − 4 2 4

6 −3 0

= 2 4 i − −4 4 j + −4 2 k
−3 0 6 0 6 −3

= ((2)(0)− (−3)(4)) i − ((−4)(0) − (4)(6)) j + ((−4)(−3) − (2)(6)) k

= 12i + 24j + 0k

= 12i + 24j

12. ครูสรปุ สมบัติที่สำคัญของผลคูณเชิงเวกเตอร์ให้นักเรียนทราบ (ตามรายละเอียดในเอกสารประกอบการ

เรียน เรอื่ ง เวกเตอร์ )

13. ครูเขียนโจทย์ตัวอยา่ งท่ี 25-28 บนกระดาน แลว้ สมุ่ เรียกนักเรยี นแต่ละกลุ่มออกมาแสดงวิธหี าคำตอบ

14. ครูสรุปความรู้เกี่ยวกับการใชเ้ วกเตอร์ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และการหาปริมาตร

ของทรงสี่เหล่ียมด้านขนาน โดยจดั ทำสื่อการสอนเป็นแผนภาพรูปสี่เหล่ียมด้านขนานและทรงส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน

โดยกำหนดเวกเตอร์และมมุ ให้ แลว้ สรุปสตู รการหาพนื้ ท่ีและการหาปรมิ าตร พร้อมทงั้ บอกข้อสงั เกตท่คี วรทราบ

แผนภาพรูปสเี่ หล่ียมด้านขนาน

v  v  sin 



u

สูตร พืน้ ท่รี ปู ส่ีเหลย่ี มด้านขนาน คอื u  v = u v sinθ (พื้นที่ฐาน  ความสงู )

แผนภาพทรงสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน

h
vr u

r
v

กำหนด u, v และ r เป็นดา้ นของทรงส่ีเหลีย่ มด้านขนาน
h เป็นความยาวของเสน้ ตง้ั ฉากจากจดุ ส้ินสดุ ของ u มายังระนาบทก่ี ำหนดด้วย v และ r

 เป็นมมุ ระหวา่ ง u และ v  r
ดังนั้น h =  u  cos 

 v  r  คือ พื้นทข่ี องรปู ส่ีเหลย่ี มด้านขนานท่ีมดี ้านประกอบมมุ เปน็ v และ r

ปรมิ าตรของทรงสเี่ หล่ยี มด้านขนาน = พื้นท่ฐี าน  ความสูง
=  v  r  u  cos 
=  u  v  r  cos 
=  u (v r) 

15. ครูเขียนโจทยต์ ัวอย่างที่ 29-32 บนกระดาน แล้วสมุ่ เรียกนกั เรียนแต่ละกลุ่มออกมาแสดงวธิ ีหาคำตอบ
16. ครูแจกใบงานท่ี 3 “ผลคูณเชิงสเกลาร์และผลคูณเชิงเวกเตอร์” ให้นักเรียนแต่ละกลุ่ม เมื่อทุกกลุ่ม
ทำเสร็จแลว้ ครแู ละนกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ
17. ครูใหน้ ักเรยี นแตล่ ะกลุ่มทำแบบฝึกหัดที่ 5 จากน้นั ใหแ้ ตล่ ะกล่มุ แลกเปลยี่ นกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
18. ใหน้ กั เรียนแตล่ ะกลุ่มออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทุกขอ้
7.3 ขั้นสรปุ
1. ครูให้นักเรียนสรุปความคิดรวบยอดเกย่ี วกับผลคูณเชิงสเกลาร์และผลคูณเชงิ เวกเตอร์ โดยเขียนเป็น
แผนผงั ความคิด (Mind Mapping) เชน่

ถ้า u = x1i + y1j และ v = x2i + y2j
ผลคูณเชงิ สเกลาร์ของ u และ v คอื x1x2 + y1y2
ถ้า u = x1i + y1j + z1k และ v = x2i + y2j + z2k
ผลคูณเชงิ สเกลาร์ของ u และ v คือ x1x2 + y1y2 + z1z2
ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u และ v เขียนแทนดว้ ย u  v

บทนิยาม

ผลคณู เชิงสเกลาร์

สมบัตทิ ี่สำคัญ

1. ให้ u, v และ w เปน็ เวกเตอรใ์ ดๆ ในสองมิตหิ รอื สามมติ ิ และ a เป็นสเกลารจ์ ะได้ว่า
(1) u  v = v  u (การสลบั ท่ี)
(2) u (v + w) = u v + u w (การแจกแจง)
(3) a(u  v) = (au)  v = u (av)
(4) 0  u = 0
(5) u  u = u 2
(6) i  i = j j = k k = 1
ij = ik = jk = 0

2. ถ้า  เปน็ ขนาดของมุมระหวา่ ง u และ v และ 0    180 แล้ว u  v =  u  v  cos 
(มุมระหวา่ งเวกเตอรม์ แี ขนของมมุ เป็นรงั สีและมที ศิ ทางเดยี วกบั เวกเตอร์ท้ังสอง)

3. ถา้ u และ v เป็นเวกเตอรท์ ่ไี มใ่ ชเ่ วกเตอรศ์ ูนย์ u ต้งั ฉากกบั v กต็ ่อเมอื่ u  v = 0

a1  b1 
a2  b2 
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ u =  และ v =  คือเวกเตอร์
 
a3  b3 

a2b3 − a3b2  a2 a3 a1 a3 a1 a2
  b2 b3 b1 b3 b1 b2
 a3b1 − a1b3  หรอื i − j+ k
 
a1b2 − a2b1 

เขียนแทนดว้ ย u  v อา่ นวา่ เวกเตอรย์ คู รอสเวกเตอร์วี

ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ สมบตั ทิ ่ีสำคัญของผลคูณเชิงเวกเตอร์
1. ให้ u, v, w เปน็ เวกเตอร์ใดๆ ในสามมติ ิ
สูตร การหาพ้นื ท่รี ปู สเ่ี หลีย่ มดา้ นขนาน คือ
u  v = u v sinθ และ k เปน็ จำนวนจริงใดๆ
(1) u  v = − (v u)
ปริมาตรของทรงสเ่ี หลยี่ มด้านขนาน (2) (u + v) w = (u w) + (v w)
= พื้นที่ฐาน  ความสงู (3) u(v+w) = (u  v) + (u  w)
=  v  r  u  cos  (4) u (kv) = k(u  v)
=  u  v  r  cos  (5) (ku)v = k(u  v)
=  u (v r)  (6) u u = 0
(7) i  j = k, jk = i, k  i = j
2. ให้ u, v, w เปน็ เวกเตอร์ใดๆ ในสามมิติ
จะไดว้ า่ u (v  w) = (u  v) w
3. ถา้ u  0 และ v  0 จะไดว้ ่า
 u  v  =  u  v  sin  เมื่อ  เป็นมุม
ระหว่าง u และ v และ 0    180
4. ให้ u และ v เปน็ เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ ซึง่
ไมใ่ ช่เวกเตอรศ์ ูนย์ และไมข่ นานกัน จะได้
ว่า u  v ตง้ั ฉากกับ u และ v

2. ให้นักเรยี นทำกิจกรรมสะเต็มศึกษา “เครอ่ื งวัดทิศทางและความเรว็ ลมอย่างง่าย”
3. ให้นกั เรยี นทำแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์ิ
4. ใหน้ กั เรียนทำแบบทดสอบหลังเรยี นและชว่ ยกันเฉลยคำตอบ

8. สอื่ การเรียนรแู้ ละแหลง่ การเรียนรู้

8.1 ส่อื การเรียนรู้
1. หนังสือเรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 เล่ม 1 ขององค์การค้า สกสค.
2. แบบฝกึ หดั ที่ 4-5
3. ใบงานที่ 3 “ผลคณู เชงิ สเกลารแ์ ละผลคณู เชงิ เวกเตอร์”
4. กิจกรรมสะเตม็ ศกึ ษา “เครื่องวัดทิศทางและความเรว็ ลมอย่างงา่ ย”
5. แบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธิ์
6. แบบทดสอบหลังเรียน

8.2 แหลง่ การเรียนรู้
1. หอ้ งสมุดของโรงเรียน
2. ห้องสมดุ กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
3. อนิ เทอรเ์ นต็ จากเว็บไซต์ตา่ งๆ

9. การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

9.1 แบบทดสอบหลังเรียนแบบเลือกตอบ (4 ตวั เลือก) จำนวน 15 ขอ้
9.2 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝึกหัดท่ี 4-5
9.3 ตรวจผลงานจากการทำใบงานท่ี 3 “ผลคูณเชงิ สเกลารแ์ ละผลคูณเชิงเวกเตอร์”
9.4 ตรวจผลงานจากการทำกิจกรรมสะเต็มศกึ ษา “เคร่ืองวัดทิศทางและความเรว็ ลมอยา่ งง่าย”
9.5 ตรวจผลการทำแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิ
9.6 ตรวจผลการทำ mind mapping
9.7 ตรวจผลงานจากสมุดบนั ทึกความรู้
9.8 การสงั เกตพฤตกิ รรมการเรียนรูข้ องนักเรยี น
9.9 การสังเกตพฤติกรรมนักเรียนดา้ นการทำงานกล่มุ
9.10 การประเมินการนำเสนอผลงานหน้าช้ันเรยี น

ใบงานท่ี 3
เร่ือง “ผลคณู เชิงสเกลาร์และผลคณู เชิงเวกเตอร์”

ชอื่ ............................................................................................ เลขที่ ................ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5/ ........

วิชาคณติ ศาสตรเ์ น้นวิทย์ 3 วัน/เดือน/ปี ...........................................

1. กำหนดให้ u = i − 2j − k , v = −2i −5j + 3k และ w = 2i + 7j −4k จงหาค่าของ
(u  v) + (u  w) 2

วธิ ีทำ

2. กำหนดให้ u = i + j + 2k , v = i + 3j + 3k และ w = mi + 2j + k เมอ่ื m > 0
ถา้ ทรงส่ีเหลย่ี มด้านขนานรปู หนึง่ มี u , v และ w เป็นด้าน และมีปรมิ าตรเท่ากบั
9 ลกู บาศก์หน่วย จงหาคา่ ของ 15m

วธิ ที ำ

เฉลยใบงานที่ 3
เรื่อง “ผลคณู เชิงสเกลาร์และผลคูณเชิงเวกเตอร์”

ชือ่ ............................................................................................ เลขที่ ................ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5/ ........

วิชาคณติ ศาสตร์เนน้ วทิ ย์ 3 วนั /เดือน/ปี ...........................................

1. กำหนดให้ u = i − 2j − k , v = −2i −5j + 3k และ w = 2i + 7j −4k จงหาค่าของ
(u  v) + (u  w) 2

วธิ ีทำ เนือ่ งจาก (u  v) + (u  w) = u (v + w)
พิจารณา v + w = 2j − k
i jk
จะได้ u (v + w) = 1 − 2 −1
0 2 −1
= 4i + j + 2k

จะได้ u  (v + w) = 42 +12 + 22
= 16 +1+ 4
= 21

ดงั นั้น u  (v + w) 2 = ( 21)2 = 21

2. กำหนดให้ u = i + j + 2k , v = i + 3j + 3k และ w = mi + 2j + k เมื่อ m > 0
ถ้าทรงสี่เหล่ยี มดา้ นขนานรูปหนึง่ มี u , v และ w เป็นด้าน และมีปริมาตรเท่ากับ
9 ลกู บาศก์หน่วย จงหาค่าของ 15m

วิธีทำ เนื่องจากปรมิ าตรของทรงส่ีเหล่ียมดา้ นขนานเท่ากบั u  (v  w)

i jk
vw = 1 3 3

m2 1

= − 3i − (1− 3m) j + (2 − 3m)k

u (v  w) = (1)(–3) + (1)(3m – 1) + (2)(2 – 3m)

= –3 + 3m – 1 + 4 – 6m

= –3m

นน่ั คอื u (v  w) = − 3m

9 = 3m ( − 3m = 3m )

จะได้ 3m = 9 หรอื 3m = –9

m=3 หรอื m = –3

แต่โจทยก์ ำหนด m > 0 จะได้ m = 3

ดังนัน้ 15m = 15  3 = 45

เกณฑก์ ารประเมนิ การเขียน Mind Mapping

ประเดน็ ระดบั คณุ ภาพ 1
การประเมิน 4 32 (ปรบั ปรุง)
(ดมี าก) (ดี) (พอใช)้ การนำเสนอมกี าร
พ้ืนฐานเบื้องต้น การนำเสนอมกี ารเรยี ง การนำเสนอมกี าร การนำเสนอมกี าร เรยี งลำดบั เนื้อหาท่ี
ของเซต ลำดบั เนอื้ หาได้ดมี าก เรียงลำดบั เน้อื หาได้ เรียงลำดับเนื้อหาได้ ควรปรับปรุง ไมม่ ี
มีความต่อเนอ่ื ง มี ดี มีความต่อเนอื่ ง มี พอใช้ มีความ ความตอ่ เนือ่ งมี
ประโยชน์ ใหแ้ งค่ ดิ ทด่ี ี ประโยชน์ ให้แงค่ ดิ ต่อเนือ่ ง มีประโยชน์ ประโยชน์ น้อย ให้
แงค่ ดิ น้อย
นอ้ ย ให้แงค่ ิดน้อย

เกณฑ์การประเมนิ คุณภาพดมี าก
ระดบั คะแนน 10 คะแนน คณุ ภาพดี
ระดบั คะแนน 9 คะแนน คุณภาพพอใช้
ระดบั คะแนน 7-8 คะแนน คณุ ภาพควรปรับปรุง
ระดบั คะแนน 5-6 คะแนน

เกณฑ์การประเมินสมดุ บันทกึ ความรู้

การให้คะแนน/ระดบั คะแนน

ปรบั ปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดมี าก (4)
บันทกึ ขอ้ มูลไมถ่ กู ตอ้ ง บนั ทึกมคี วามถกู ต้อง
บันทกึ มีข้อมลู แต่ยังไม่ บันทกึ มคี วามถกู ตอ้ ง ชัดเจนครบถว้ นสมบรู ณ์

ครบถ้วนสมบรู ณ์ สมบูรณพ์ อสมควร

เกณฑค์ ณุ ภาพการสังเกตพฤตกิ รรมนักเรียนด้านการทำงานกลมุ่

ท่ี รายการประเมนิ ระดับคณุ ภาพ 3
1 การทำงานร่วมกัน 12 - ยอมรับมตขิ องกลุ่ม
2 ความกระตอื รือรน้ ยอมรบั มตกิ ารทำงาน ยอมรับมตขิ องกลุ่ม - รับผดิ ชอบงานท่ีรับ
ของกลุ่ม แต่ปฏิบัตติ าม มอบหมายจากกลมุ่
3 การตอบคำถาม นอ้ ยคร้ัง - ชว่ ยเหลอื งานภายในกลุ่ม
4 ความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ช่วยเหลืองานภายใน - ชว่ ยเหลืองานในกล่มุ - ร่วมแสดงความคิดเห็น
กลุ่มเม่อื มีการรอ้ งขอ - รว่ มแสดงความ - ใฝร่ ู้ใฝเ่ รยี น
- ศกึ ษาคน้ คว้า
คิดเหน็ ใหค้ วามร่วมมือในการตอบ
คำถามเป็นอย่างดี
มสี ว่ นรว่ มในการตอบ มีส่วนรว่ มในการตอบ รว่ มรับฟงั และแสดงความ
คิดเหน็ ท่ีแตกต่าง แตม่ ี
คำถามน้อยมาก คำถามบางครัง้ ประโยชน์

รว่ มกิจกรรมตามที่กลมุ่ รบั ฟังแตแ่ สดงความ

ขอร้อง คดิ เหน็ ที่คล้อยตาม

เพือ่ นๆ

แบบประเมินพฤตกิ รรมการเรียนรู้

วิชาคณติ ศาสตรเ์ น้นวทิ ย์ 3 เรอื่ ง ............................................................ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5/........

ความตัง้ ใจ การตงั้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ

ลำดบั ชอ่ื -นามสกลุ มุ่งมน่ั คำถาม กิจกรรม ในเวลาท่ี สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ท่ี ตอบคำถาม กลุ่ม กำหนด

(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมินน้ีใช้ไดต้ ลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมนิ

ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบการประเมินการสงั เกตพฤติกรรมนักเรียนด้านการทำงานกลุม่

รายการประเมนิ สรปุ ผล

ที่ ชอ่ื -สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคดิ รเิ รมิ่ รวม
ร่วมกัน กระตอื รือร้น คำถาม สรา้ งสรรค์ (12) ผา่ น ไมผ่ ่าน

(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑก์ ารประเมนิ
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ตำ่ กวา่ 5 คะแนน ระดบั 1 = ควรปรบั ปรุง

สรุปผลการประเมนิ
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑ์การตัดสนิ ใจ
 ผ่าน  ไมผ่ ่าน

หมายเหตุ : เกณฑ์เปน็ ไปตามที่โรงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผปู้ ระเมิน
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าชน้ั เรยี น

กลมุ่ ที่ ......... เร่ือง ..................................................... ช้นั ....... /........

คำชแ้ี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ✓ ลงในช่องวา่ ง
ทีต่ รงกบั ระดบั คะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 ความถูกตอ้ งของเนื้อหา
2 ความคิดสรา้ งสรรค์

3 วิธีการนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใชป้ ระโยชน์
5 การตรงตอ่ เวลา

รวม

ลงชื่อ .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบรู ณ์ชดั เจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมขี อ้ บกพร่องเป็นสว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องมาก

แบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธ์ิ

1. จากรปู จงหาเวกเตอร์ทั้งหมดที่ขนานกบั AB ในทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั AB

H G E
JI F

KL CD
A B

2. กำหนดให้ PQRS เปน็ รปู สีเ่ หล่ียมด้านขนาน จดุ T เป็นจุดบนดา้ น PS ซึง่ PT = 1 PS และจุด K เป็น
5
1
จุดบนเส้นทแยงมมุ PR ซง่ึ PK = 6 PR ถ้า TK = mPQ + nPS แลว้ m – n เท่ากับเทา่ ไร

3. กำหนดใหจ้ ดุ J มีพกิ ดั เปน็ (–1, 4, 8) และจดุ K มีพิกัดเป็น (0, 3, 10) จงหา

(1) JK (2) JK

4. ถา้ u = v โดยที่ u = (x +1) i + 4j , v = 2i + (x + y) j และ w = xi − yj แล้ว  w  เท่ากับเทา่ ไร

5. กำหนดจดุ P(1, 2) และจุด Q(–3, –1) จงหาเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยทีม่ ีทิศทางตรงกันขา้ มกับ PQ

6. กำหนดให้ u = xi + 3j และ v = 5i − 2 j ถา้ u ต้ังฉากกับ v แล้วค่าของ x เทา่ กับเท่าไร

7. กำหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้า 3u + 2v  = 7 แล้วมุมระหว่าง u และ v

มขี นาดเทา่ กับเท่าไร

8. ถา้  u  = 4,  v  = 3 และ  u + v  = 1 แล้ว  u – v  เทา่ กบั เท่าไร

9. กำหนดให้ u = 3i + 4j + 3k และ v = 2i + j + 2k จงหา sine ของมุมระหว่าง u และ v (ตอบเป็น

ค่าประมาณใกล้เคยี งทศนยิ ม 2 ตำแหนง่ )

10. กำหนดให้ A(1, –1, 4), B(2, 0, 1) และ C(0, 2, 3) พน้ื ที่ของรูปสามเหลีย่ ม ABC เท่ากับเทา่ ไร

เฉลยแบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธ์ิ

แบบทดสอบก่อนเรียน

หนว่ ยการเรียนรู้ เวกเตอรใ์ นสามมิติ

จงเลือกคำตอบทถี่ กู ตอ้ งที่สุดเพียงคำตอบเดียว

1. ข้อใดคือระยะทางระหว่างจดุ P(3, –1, 4) กบั จุดกำเนิด

1. 8 2. 16

3. 26 4. 10

2. ถา้ เสน้ ตรง L ผ่านจดุ A(4, –2, 3), B(x, 0, 9) และมรี ะยะห่างระหวา่ งจุด A และ B เปน็ 7 ขอ้ ใดคอื

ค่าของ x

1. 3, 4 2. 4, 5

3. 1, 7 4. 6, 2

3. ข้อใดคอื พน้ื ท่ีของรปู สามเหลยี่ ม ABC เมื่อ A(3, 4, 0), B(3, 4, 12) และ C(6, 8, 0)

1. 12 ตารางหนว่ ย 2. 30 ตารางหนว่ ย

3. 144 ตารางหน่วย 4. 169 ตารางหนว่ ย

4. กำหนดให้ OPRQ เป็นรปู ส่ีเหล่ยี มด้านขนาน

O PP
S

Q R

ข้อใดคือเวกเตอร์ที่ขนานกับ OP 2. RQ
1. OR 4. PQ
3. QS

5. กำหนดให้ ABCD เปน็ รปู ส่ีเหล่ียมมุมฉาก มีเสน้ ทแยงมมุ ตัดกนั ทจ่ี ดุ X ให้ BX = u และ XD = v

AB
u

X

v
CD

ขอ้ ใดกลา่ วถกู ตอ้ ง 2. AB = – v + u
1. CD = – u + v 4. BD = u – v
3. AC = v – u
6. กำหนดให้ B

Eu C

3u

A vD

ขอ้ ใดกลา่ วไม่ถูกตอ้ ง

1. CD = –4u + v 2. BC = 2u +4v

3. ED = – 3u + v 4. DC = 4u – v

7. กำหนด A(–1, 0, 4), B(5, 2, –3) ขอ้ ใดคอื AB

4 6
1. 2 2. 2

1 1

 4  6
 2  2
3. − 4. 
 7  7
− −

 2  −1
 3  5
8. กำหนดให้ a = − และ b =  ข้อใดคอื 2a − 3b
 
 4 − 2

 1  7
1. −21  21
2. −
 14  14
 

 7  1
 9  9
3. − 4. −
 2  2
 

9. กำหนด u = 4i −2j + 5k และ v = 2i + 4j ขอ้ ใดคอื u + v และ  u + v 

1. 6i −2j + 5k , 89 2. 6i + 2j , 80

3. 6i + 2j + 5k , 65 4. 6i −2j , 128

10. ขอ้ ใดคอื พน้ื ทขี่ องรปู สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เม่อื AB = 3i + j − 4k และ AD = − i + 2j + 3k

AB

CD

1. 11 ตารางหน่วย 2. 121 ตารางหน่วย

3. 195 ตารางหนว่ ย 4. 211 ตารางหนว่ ย

 1  2
 1  5
11. กำหนดให้ u = − , v =  จงหาว่า 3u + v ตรงกับขอ้ ใด
 3  6
 −

5 − 3
1. 2  5
2.  2
3 


− 5  3
 3  5
3.  4. 
 2  3
 −

 2
 3
12. เวกเตอรใ์ ดไม่ขนานกบั 
 1
−

− 2  6
 3  9
1. − 2. 
 1  3
 −

 4 − 6
 6  9
3.  4. −
 3  3
− 

13. กำหนดให้ w = 2i − j+2k เวกเตอรห์ นึง่ หน่วยท่ีมีทศิ ทางเดยี วกับ w คือขอ้ ใด

1. 1 i + 2 j + 2 k 2. 2 i − 1 j + 2 k
3 3 3 3 3 3
1 2 1 2 1 2
3. − 3 i + 3 j − 3 k 4. − 3 i + 3 j − 3 k

14. กำหนดให้ u = 3i + 4j −2k และ v = − i + 3j −5k จงหาวา่ u v ตรงกบั ข้อใด

1. 16 2. 17

3. 18 4. 19

15. กำหนดให้ u v = –5,  u  = 5 ,  v  = 5 แล้วขนาดของมมุ ระหว่าง u กับ v ตรงกบั ขอ้ ใด

1. 45 2. 60

3. 90 4. 180

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

1. 3 2. 3 3. 2 4. 2 5. 1
6. 2 7. 4 8. 2 9. 3 10. 3
11. 1 12. 3 13. 2 14. 4 15. 4

แบบทดสอบหลังเรยี น

หน่วยการเรียนรู้ เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ

จงเลือกคำตอบที่ถกู ต้องทสี่ ดุ เพยี งคำตอบเดยี ว PP
1. กำหนดให้ OPRQ เปน็ รปู สี่เหลีย่ มด้านขนาน

O

S

QR

ข้อใดคือเวกเตอร์ท่ขี นานกับ OP
1. OR 2. RQ
3. QS 4. PQ
2. กำหนดให้ ABCD เปน็ รปู ส่เี หลี่ยมมุมฉาก มีเส้นทแยงมุมตดั กนั ทจ่ี ุด X ให้ BX = u และ XD = v

AB
u

X

C v
D
ขอ้ ใดกล่าวถกู ต้อง
1. CD = – u + v 2. AB = – v + u
3. AC = v – u 4. BD = u – v
3. กำหนดให้
B

A Eu C
3u D
ขอ้ ใดกลา่ วไม่ถูกตอ้ ง
1. CD = –4u + v v
3. ED = – 3u + v
2. BC = 2u +4v
4. DC = 4u – v

4. ขอ้ ใดคือระยะทางระหวา่ งจดุ P(3, –1, 4) กับจุดกำเนิด

1. 8 2. 16

3. 26 4. 10

5. ถา้ เส้นตรง L ผ่านจดุ A(4, –2, 3), B(x, 0, 9) และมรี ะยะห่างระหว่างจุด A และ B เปน็ 7 ขอ้ ใดคือ

คา่ ของ x

1. 3, 4 2. 4, 5

3. 1, 7 4. 6, 2

6. กำหนด A(–1, 0, 4), B(5, 2, –3) ข้อใดคือ AB

4 6
1. 2 2. 2

 

1 1

 4  6
 2  2
3. − 4. 
 7  7
− −

 1  2
 1  5
7. กำหนดให้ u = − , v =  จงหาว่า 3u + v ตรงกับขอ้ ใด
 3  6
 −

5 − 3
1. 2  5
2. 
3  2


− 5  3
 3  5
3.  4. 
 2  3
 −

 2  −1
 3  5
8. กำหนดให้ a = − และ b =  ขอ้ ใดคอื 2a − 3b
 
 4 − 2

 1  7
1. −21  21
2. −
 14  14
 

 7  1
 9  9
3. − 4. −
 2  2
 

9. กำหนด u = 4i −2j + 5k และ v = 2i + 4j ข้อใดคือ u + v และ  u + v 

1. 6i −2j + 5k , 89 2. 6i + 2j , 80

3. 6i + 2j + 5k , 65 4. 6i −2j , 128

 2
 3
10. เวกเตอรใ์ ดไม่ขนานกบั 
 1
−

− 2  6
 3  9
1. − 2. 
 1  3
 −

 4 − 6
 6  9
3.  4. −
 3  3
− 

11. กำหนดให้ w = 2i − j+2k เวกเตอร์หนงึ่ หน่วยท่มี ที ิศทางเดยี วกับ w คือข้อใด

1. 1 i + 2 j + 2 k 2. 2 i − 1 j + 2 k
3 3 3 3 3 3
1 2 1 2 1 2
3. − 3 i + 3 j − 3 k 4. − 3 i + 3 j − 3 k

12. กำหนดให้ u = 3i + 4j −2k และ v = − i + 3j −5k จงหาว่า u v ตรงกบั ขอ้ ใด

1. 16 2. 17

3. 18 4. 19

13. กำหนดให้ u v = –5,  u  = 5 ,  v  = 5 แล้วขนาดของมมุ ระหว่าง u กบั v ตรงกบั ข้อใด

1. 45 2. 60

3. 90 4. 180

14. ขอ้ ใดคือพน้ื ที่ของรูปสีเ่ หลย่ี มด้านขนาน ABCD เม่อื AB = 3i + j − 4k และ AD = − i + 2j + 3k

AB

CD

1. 11 ตารางหนว่ ย 2. 121 ตารางหนว่ ย

3. 195 ตารางหน่วย 4. 211 ตารางหนว่ ย

15. ขอ้ ใดคอื พ้นื ท่ขี องรูปสามเหล่ียม ABC เมื่อ A(3, 4, 0), B(3, 4, 12) และ C(6, 8, 0)

1. 12 ตารางหนว่ ย 2. 30 ตารางหนว่ ย

3. 144 ตารางหนว่ ย 4. 169 ตารางหน่วย

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

1. 2 2. 1 3. 2 4. 3 5. 3
6. 4 7. 1 8. 2 9. 3 10. 3
11. 2 12. 4 13. 4 14. 3 15. 2