แผนการจัดการเรียนรู้

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรยี นรู้ ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ 20 ชว่ั โมง
แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 2 5 ช่วั โมง
แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 3 ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ 5 ชว่ั โมง
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 4 ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตผิ กผัน 5 ชวั่ โมง
เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ
กฎของโคไซน์และกฎของไซน์

สาระการเรียนรู้

1. วงกลมหนงึ่ หนว่ ย
2. ฟงั ก์ชันไซน์และฟงั ก์ชันโคไซน์
3. คา่ ของฟงั กช์ ันไซน์และฟังก์ชนั โคไซน์
4. ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติอ่ืนๆ
5. ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิของมมุ
6. การใชต้ ารางค่าฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ
7. กราฟของฟังก์ชันตรโี กณมิติ
8. ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรอื มุม
9. การหาคา่ ฟงั กช์ นั ผกผันของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ
10. เอกลักษณ์
11. สมการตรีโกณมิติ
12. กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์

สมรรถนะสำคัญ/ทักษะแห่งศตวรรษที่ 21

1. สมรรถนะสำคญั 2. ทกั ษะแห่งศตวรรษที่ 21
- ความสามารถในการส่ือสาร - ทกั ษะการแก้ปญั หา
- ความสามารถในการคิดวิเคราะห์ - ทกั ษะการเช่ือมโยง

- ทกั ษะการให้เหตุผล

- ทักษะการคดิ สรา้ งสรรค์

คุณลักษณะอันพึงประสงค์

1. ทำความเขา้ ใจหรอื สร้างกรณที ั่วไปโดยใชค้ วามรทู้ ่ไี ด้จากการศึกษากรณีตัวอยา่ งหลายๆ กรณี
2. มองเหน็ ว่าสามารถใชค้ ณติ ศาสตร์แก้ปญั หาในชีวติ จริงได้
3. มีความมุมานะในการทำความเข้าใจปญั หาและแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์
4. ค้นหาลกั ษณะที่เกดิ ขึน้ ซ้ำๆ และประยุกตใ์ ช้ลักษณะดงั กล่าวเพื่อทำความเขา้ ใจหรือแกป้ ญั หาในสถานการณ์

ต่างๆ

ช้นิ งาน/ภาระงาน

1. ผลงานตามแบบฝกึ หดั ที่ 1-11
2. ผลงานตามกจิ กรรมสะเตม็ ศึกษา “ไคลโนมิเตอรอ์ ย่างง่าย”
3. ผลงานตามแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์ิ
4. ผลงานตามใบงานที่ 1-4

การออกแบบการจดั การเรยี นรแู้ บบ Active Learning

หนว่ ยการเรียนรู้ ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ

ผลการเรียนรู้

1. เข้าใจฟังก์ชนั ตรโี กณมิตแิ ละลักษณะกราฟของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ และนำไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

2. แก้สมการตรีโกณมิติ และนำไปใช้ในการแกป้ ญั หา

3. ใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซนใ์ นการแกป้ ญั หา

แนวคิดสำคญั คำถามสำคญั

1. การกำหนดค่าของฟังกช์ ันตรีโกณมิตทิ ำไดโ้ ดยใช้วงกลม 1. การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุมที่

หน่ึงหน่วย ฟังก์ชันตรโี กณมิตปิ ระกอบด้วยฟังก์ชนั ไซน์ กำหนดใหม้ วี ิธกี ารอยา่ งไร

ฟังก์ชันโคไซน์ ฟังก์ชันแทนเจนต์ ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ 2. การใช้ตารางค่าฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิตมิ ีวิธกี ารอย่างไร

ฟังก์ชันเซแคนต์ และฟังก์ชันโคเซแคนต์ ซ่ึงกราฟของ 3. การเขียนกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติท่ีกำหนดให้มีวิธีการ

ฟังกช์ ันตรีโกณมติ มิ ลี ักษณะเปน็ คาบ อยา่ งไร

2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชันหน่ึงต่อหนึ่ง ดังน้ัน 4. การใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างหาค่าของ

ตวั ผกผันของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติจึงไมเ่ ป็นฟงั ก์ชัน แต่เม่อื ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ทิ กี่ ำหนดใหม้ ีวิธีการอย่างไร

จำกัดโดเมนของฟังก์ชันเพ่ือให้เป็นฟังก์ชันหน่ึงต่อหน่ึง 5. การหาค่าฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติท่ีกำหนดให้

แล้ว จะเรียกตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ว่า มีวิธกี ารอยา่ งไร

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ผิ กผัน 6. การพิสจู นเ์ อกลักษณต์ รโี กณมิติมวี ธิ กี ารอย่างไร

3. สมการท่ีมฟี ังกช์ ันตรีโกณมิติ เรยี กว่า สมการตรีโกณมิติ 7. การแก้สมการตรโี กณมิติมีวธิ ีการอย่างไร

สมการตรีโกณมิติที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าของ  เมื่อ  8. การใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซนม์ าช่วยในการแก้ปัญหา

เป็นจำนวนจริงหรือมมุ ใดๆ เรียกว่า เอกลกั ษณ์ เกีย่ วกบั รปู สามเหลี่ยมมีวธิ กี ารอยา่ งไร

4. กฎของโคไซน์และกฎของไซน์ เป็นสมการแสดง

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านและขนาดของ

มุมของรปู สามเหล่ียมใดๆ เมื่อทราบความยาวของด้าน

หรือขนาดของมุมบางส่วน จะสามารถคำนวณหาขนาด

ของมุมและความยาวของดา้ นท่เี หลอื ได้

กจิ กรรมการเรียนรู้ การวดั และประเมินผล

1. ศึกษาค้นคว้าข้อมูลจากหนังสือเรียนและเว็บไซต์ต่างๆ 1. การทำแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลังเรียน

ในเร่อื งฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ 2. การประเมนิ ผลงานตามแบบฝกึ หัดที่ 1-11

2. การร่วมแสดงความคิดเห็นและซักถามเกี่ยวกับการทำ 3. การประเมนิ ผลงานตามใบงานท่ี 1-4

โจทย์ตัวอย่างและแบบฝกึ หัดในหนงั สอื เรียน 4. การประเมินผลงานตามกิจกรรมสะเต็มศึกษา “ไคลโน

3. การอาสาสมัครหรือมีส่วนร่วมในการออกมาแสดงวิธีทำ มิเตอร์อย่างงา่ ย”

โจทยท์ ่คี รูกำหนดบนกระดาน 5. การประเมนิ ผลงานตามการเขียนสมุดบันทึกความรู้

4. ทำแบบฝกึ หดั ใบงาน และแบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธ์ิ 6. การประเมนิ ผลงานตามแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิ
5. รว่ มกิจกรรมที่ครกู ำหนด 7. การสงั เกตพฤติกรรมการเรียนร้ขู องนกั เรียน
6. สรุปข้อมูล/สาระสำคัญ และจดบันทึก 8. การสังเกตพฤตกิ รรมนักเรยี นด้านการทำงานกลุม่
9. การประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าชน้ั เรียน

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 1

เรอื่ ง ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ เวลา 20 ชวั่ โมง

1. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจฟังก์ชนั ตรีโกณมิติและลักษณะกราฟของฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ และนำไปใชใ้ นการแก้ปญั หา

2. แนวคดิ สำคญั

การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทำได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วย
ฟังก์ชันไซน์ ฟังก์ชันโคไซน์ ฟังก์ชันแทนเจนต์ ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ ฟังก์ชันเซแคนต์ และฟังก์ชันโคเซแคนต์
ซึ่งกราฟของฟงั ก์ชันตรโี กณมิตมิ ีลกั ษณะเปน็ คาบ

3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

3.1 หาคา่ ของฟงั กช์ ันไซน์ ฟงั กช์ ันโคไซน์ของจำนวนจรงิ ที่กำหนดให้ได้
3.2 หาคา่ ของฟงั ก์ชันตรโี กณมิติอืน่ ๆ ของจำนวนจริงท่ีกำหนดให้ได้
3.3 หาคา่ ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติของมุมท่ีกำหนดให้ได้
3.4 ใชต้ ารางค่าฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติในการหาค่าฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิของจำนวนจรงิ หรอื มุมที่กำหนดใหไ้ ด้
3.5 เขยี นกราฟของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิที่กำหนดให้ได้
3.6 ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุมหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่
กำหนดใหไ้ ด้

4. สาระการเรยี นรู้

4.1 วงกลมหนง่ึ หน่วย
4.2 ฟงั กช์ ันไซนแ์ ละฟงั ก์ชนั โคไซน์
4.3 ค่าของฟังก์ชนั ไซนแ์ ละฟังก์ชนั โคไซน์
4.4 ฟงั ก์ชันตรโี กณมิติอืน่ ๆ
4.5 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตขิ องมุม
4.6 การใชต้ ารางค่าฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ
4.7 กราฟของฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ
4.8 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมมุ

5. ช้นิ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการทำแบบทดสอบก่อนเรยี น
5.2 ผลการปฏิบตั งิ านตามแบบฝกึ หัดท่ี 1-7
5.3 ผลการปฏบิ ัตงิ านตามใบงานที่ 1 “ฟังกช์ ันตรีโกณมิตขิ องผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรือมมุ ”

6. คำถามสำคญั

6.1 การหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิตขิ องจำนวนจรงิ หรอื มมุ ที่กำหนดให้มวี ิธีการอย่างไร
6.2 การใช้ตารางค่าฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิมีวธิ ีการอยา่ งไร
6.3 การเขียนกราฟของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติท่กี ำหนดให้มวี ิธีการอยา่ งไร
6.4 การใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนดให้มีวิธีการ
อยา่ งไร

7. กจิ กรรมการจัดการเรยี นรู้

7.1 ขั้นนำ
1. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน ตรวจแล้วบอกคะแนนแกน่ ักเรียนเพื่อให้นักเรียนทราบว่าตนเองมี

พ้ืนฐานความรู้เร่ืองฟังก์ชันตรีโกณมิติในระดับใด จะได้วางแผนการเรียนได้อย่างเหมาะสม ซ่ึงครูควรช่วย
แนะนำ

2. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนความรู้เร่ืองสมการวงกลม โดยนักเรียนช่วยกันบอกรูปแบบมาตรฐาน
ของสมการวงกลม [(x – h)2 + (y – k)2 = r2] จากนั้นครูเขียนสมการ x2 + y2 = 1 บนกระดาน นักเรียน
อาสาสมัครออกมาเขียนกราฟของสมการ x2 + y2 = 1 บนกระดาน จากนั้นนักเรียนช่วยกันบอกว่ากราฟของ
สมการ x2 + y2 = 1 มีลักษณะอย่างไร (นักเรียนควรตอบได้ว่าเป็นวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางท่ีจุด (0, 0) และมี
รัศมยี าว 1 หนว่ ย)
7.2 ข้นั สอน

1. จากขั้นนำ ครอู ธิบายว่าวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางท่จี ุด (0, 0) และมรี ัศมียาว 1 หนว่ ย เรียกว่า วงกลม
หนง่ึ หน่วย ซ่งึ วงกลมนี้เป็นกราฟของความสมั พันธ์ {(x, y)  R  R  x2 + y2 = 1} วงกลมหน่ึงหน่วยมีเส้นรอบวง
ยาว 2r = 2(1) = 2 หนว่ ย

2. นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาหัวข้อท่ี 1.1 วงกลมหนึง่ หน่วย ในเอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง ฟังก์ชัน
ตรีโกณมิติและการประยุกต์แล้วส่งตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาสรุปสาระสำคัญที่ได้ จากน้ันครูย้ำสรุปประเด็น
สำคญั ดังนี้

เมื่อกำหนดจำนวนจริง  (ทีตา) วดั ระยะจากจุด (1, 0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหนว่ ยยาว 
หน่วย ถึงจดุ (x, y) ซึง่ อยู่บนวงกลมหน่งึ หน่วย โดยท่ี

 > 0 วัดส่วนโคง้ จากจดุ (1, 0) ไปในทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า
 < 0 วดั ส่วนโคง้ จากจดุ (1, 0) ไปในทิศตามเข็มนาฬิกา
 = 0 จุดปลายส่วนโคง้ คอื จุด (1, 0)
3. นกั เรียนแตล่ ะกลุ่มทำแบบฝึกหดั ที่ 1 จากนัน้ ให้แต่ละกล่มุ แลกเปลี่ยนกนั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง
4. นักเรยี นแตล่ ะกลุ่มส่งตัวแทนออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทกุ ขอ้
5. นักเรียนแต่ละกลุ่มศึกษาหัวข้อท่ี 1.2 ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ ในเอกสารประกอบการเรียน
เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์ แล้วส่งตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาสรุปสาระสำคัญที่ได้ จากน้ันครูย้ำ
สรุปประเด็นสำคัญดงั นี้

(1) กำหนดฟังก์ชัน f : R → R และ g : R → R โดยท่ีสำหรับแต่ละจำนวนจริง  ใดๆ f() = x

และ g() = y เมื่อ (x, y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยที่วัดจากจดุ (1, 0) ยาว

 เรียกฟังก์ชนั g ว่าฟังกช์ ันไซน์ (sine) และเรียกฟงั ก์ชัน f ว่า ฟงั ก์ชนั โคไซน์ (cosine) เขียน

แทน g ด้วย sin และเขยี นแทน f ดว้ ย cos

จะได้ y = sin  อา่ นว่า วายเท่ากับไซน์ทีตา

x = cos  อา่ นว่า เอกซเ์ ท่ากบั คอสทตี า

(2) จากกราฟของความสัมพันธ์ {(x, y)  R  R  x2 + y2 = 1} จะเห็นว่า –1  y  1 และ

–1  x  1 ดังนั้นค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์เป็นจำนวนจริงตั้งแต่ –1 ถึง 1 เรนจ์

ของฟังก์ชันไซนแ์ ละฟังก์ชนั โคไซนค์ อื เซตของจำนวนจริงตงั้ แต่ –1 ถึง 1 โดเมนของฟงั กช์ ันไซน์

และฟงั กช์ ันโคไซน์คือเซตของจำนวนจรงิ

6. นักเรียนแต่ละกล่มุ ศึกษาหัวข้อที่ 1.3 ค่าของฟังก์ชนั ไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ ในเอกสารประกอบการ

เรียน เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์ โดยให้สมาชิกในแต่ละกลุ่มร่วมกันอภิปรายเนื้อหา โจทย์

ตัวอย่างที่ 1-5 และสรุปสาระสำคัญตามความเข้าใจของนักเรียน จากน้ันส่งตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาอธิบาย

เนอ้ื หาตามหมายเลขหน้าในเอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติและการประยกุ ต์ ทค่ี รกู ำหนด

7. ครูอธิบายสรุปโดยใช้รูปวงกลมหนึ่งหน่วยอธิบายการหาค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ โดย

อภิปรายถึงความยาวส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1, 0) ไปที่จุดต่างๆ 4 จุด คือ (0, 1), (–1, 0), (0, –1), (1, 0)

ตามลำดับ (ท้ังแบบทวนเขม็ นาฬิกาและตามเข็มนาฬิกา) หลังจากนั้นครูแสดงวิธีการหาค่าของฟังก์ชันไซน์และ

ฟงั กช์ นั โคไซน์ของจำนวนจริงบางจำนวนพรอ้ มวาดรูปประกอบ เชน่

ค่าของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องจำนวนจรงิ 0 , π , π, 3π , 2π
2
2

 0 π π 3π 2π – π –π – 3π – 2π
ฟังก์ชัน 2 2
2 2

sin 0 1 0 –1 0 –1 0 1 0

cos 1 0 –1 0 1 0 –1 0 1

8. ครูแสดงวิธหี าค่าของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติของจำนวนใน 3 กลุ่มต่อไปนี้

คา่ ของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ขิ องจำนวนจรงิ π , 3π , 5π , 7π
4 4 4
4 5π 7π 11π
6 6 6
ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจรงิ π , , ,

6

คา่ ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องจำนวนจริง π , 2π , 4π , 5π
3 3 3
3

โดยเขียนกราฟบนกระดานประกอบการอธิบาย และในการหาค่าของฟังก์ชันแต่ละกลุ่ม ครูแสดง

วิธกี ารหาคา่ ให้บางสว่ น และส่วนทีเ่ หลือให้นกั เรียนช่วยกันหาคา่ ต่อใหค้ รบถ้วน

9. นกั เรยี นแต่ละกลมุ่ รว่ มกนั ทำแบบฝึกหัดที่ 2 จากนั้นใหแ้ ต่ละกล่มุ แลกเปลยี่ นกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง

10. นกั เรียนแต่ละกลมุ่ สง่ ตัวแทนออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวียนไปจนครบทุกขอ้

11. นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันศึกษาหัวข้อที่ 1.4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติอ่ืนๆ ในเอกสารประกอบการเรียน

เรือ่ ง ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติและการประยุกต์ จากน้ันส่งตัวแทนแตล่ ะกลุ่มออกมาสรุปสาระสำคัญตามความเข้าใจ

ของนกั เรียน

12. ครูสรปุ ความรเู้ กี่ยวกบั บทนยิ ามของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติอืน่ ๆ ดงั น้ี

บทนยิ าม สำหรบั จำนวนจริง  ใด ๆ

tan  = sin θ เมื่อ cos   0
cos θ

cot  = cos θ เม่ือ sin   0
sin θ

cosec  = 1 เมือ่ sin   0

sin θ

sec  = 1 เม่อื cos   0

cos θ

13. ครใู ชก้ ารถาม-ตอบประกอบการอธิบายเกยี่ วกบั โดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชันตรีโกณมติ ทิ กุ ฟังก์ชนั

14. ครแู สดงใหน้ กั เรียนเห็นความสัมพันธ์ของฟงั ก์ชันตรีโกณมิตติ ่างๆ เพอื่ ให้ไดข้ ้อสรปุ ดงั นี้

cot  = 1 เมื่อ tan   0 หรอื sin   0

tan θ

1 + tan2  = sec2  เมือ่ cos   0

1 + cot2  = cosec2  เมื่อ sin   0

15. ครูอธิบายตัวอย่างที่ 6 บนกระดานโดยใชว้ ธิ ีถาม-ตอบ จากนั้นครูสุ่มเรยี กนักเรียนออกมาแสดงวิธที ำ

โจทย์ตัวอย่างท่ี 7-9 บนกระดาน ครใู หค้ ำแนะนำและตรวจสอบความถกู ต้อง

16. นักเรียนแตล่ ะกลมุ่ รว่ มกนั ทำแบบฝึกหัดที่ 3 จากนั้นแต่ละกลุ่มแลกเปลี่ยนกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง

17. นักเรียนแตล่ ะกลุม่ ส่งตวั แทนออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทกุ ขอ้

18. นักเรียนแต่ละกล่มุ ร่วมกันศึกษาหัวข้อท่ี 1.5 ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติของมุม ในเอกสารประกอบการเรียน

เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์ โดยให้สมาชิกในแต่ละกลุ่มร่วมกันอภิปรายเน้ือหาโจทย์ตัวอย่างท่ี

10-15 และสรุปสาระสำคัญตามความเข้าใจของนักเรียน จากน้ันส่งตัวแทนกลุ่มออกมาอธิบายเนื้อหาตาม

หมายเลขหนา้ ในเอกสารประกอบการเรยี น เร่อื ง ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติและการประยกุ ตท์ คี่ รกู ำหนด

19. ครอู ธิบายสรปุ เนือ้ หาเพื่อให้นักเรียนเห็นความสมั พันธ์ของมมุ ท่ีจุดศูนย์กลางของวงกลมรศั มี r หนว่ ย

ซึง่ รองรบั ดว้ ยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาว a หน่วย จะมขี นาด a เรเดยี น
r

a จากรูป จะได้  = a
r

• r 180 องศา =  เรเดียน

  3.1416

1 องศา = π เรเดียน  0.01745 เรเดยี น

180
180
1 เรเดียน = องศา  57 18
π

20. นักเรียนสังเกตแล้วร่วมกันสรุปว่า ส่วนโค้งของวงกลมหน่งึ หนว่ ยท่ีรองรบั มุมท่ีจุดศูนย์กลางขนาด 1

เรเดียน จะยาว 1 หน่วย ดังน้ัน ส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยท่ีรองรับมุมที่จุดศูนยก์ ลางขนาด  เรเดียน จึง

ยาว  หน่วย

21. ครูวาดรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก 1 รูป โดยให้ความยาวด้านของรูปสามเหล่ยี มเป็น a, b และ c และให้

นกั เรียนชว่ ยกนั หาค่าฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ติ ่างๆ ของมุม A, B และ C

22. จากค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติท่ีหาได้ในข้อ 21 ให้นักเรียนพิจารณาว่ามีค่าใดบ้างที่เท่ากัน หลังจาก

นน้ั ครูสรุปเป็นข้อสงั เกตใหน้ ักเรียนทราบ

23. นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันทำแบบฝึกหัดท่ี 4 จากน้ันให้สมาชิกภายในกลุ่มแลกเปลี่ยนกันตรวจสอบ

ความถูกตอ้ ง

24. นักเรียนแต่ละกลุ่มส่งตัวแทนที่ใช่คนเดิมที่เคยออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวียนไปจน

ครบทกุ ข้อ

25. นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันศึกษาหัวข้อท่ี 1.6 การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในเอกสาร

ประกอบการเรียน เรอ่ื ง ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิและการประยุกต์

26. ส่งตัวแทนของแต่ละกลุ่มออกมานำเสนอวิธีการใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติตามความเข้าใจของ

นักเรยี น โดยยกตวั อยา่ งการหาคา่ ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิคนละ 2 ฟังก์ชัน

27. ครูกำหนดฟังก์ชันตรโี กณมิติของจำนวนจริง 15 ฟังก์ชัน แลว้ ใหน้ ักเรียนแข่งกันเปิดตารางหาค่าของ
ฟงั ก์ชัน

28. ครูและนักเรียนรว่ มกนั ทำโจทย์ตัวอย่างที่ 16 ในเอกสารประกอบการเรียน เร่ือง ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ
และการประยุกต์บนกระดานโดยใชก้ ารถาม-ตอบประกอบการอธบิ าย

29. ครใู ห้นกั เรียนแตล่ ะกลุม่ ทำแบบฝึกหัดที่ 5 จากนนั้ ใหแ้ ตล่ ะกลุ่มแลกเปล่ยี นกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
30. ให้นักเรยี นแตล่ ะกลุ่มออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวียนไปจนครบทกุ ข้อ
31. ครูทบทวนการเขยี นกราฟของฟังก์ชันต่างๆ ท่ีนักเรียนเคยเรียนมาแล้ว โดยยกตัวอย่างโจทย์แล้วให้
นักเรยี นชว่ ยกันเขียนกราฟ เชน่ y = x2 จะไดก้ ราฟ ดังน้ี

Y

0X

32. ครูยกตัวอย่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ แล้วถามนักเรียนว่าสามารถเขียนกราฟได้หรือไม่ หลังจากนั้นครู
แจกใบความรู้ที่ 1 “กราฟของฟังกช์ ันตรโี กณมิติ” ใหน้ ักเรียนแต่ละกลุ่ม โดยแนะนำนักเรียนว่าสามารถศกึ ษา
รายละเอยี ดได้จากเอกสารประกอบการเรยี น เรือ่ ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิและการประยกุ ต์ หวั ข้อที่ 1.7

33. ครูให้นักเรยี นแต่ละกลุ่มศึกษารายละเอียดกราฟของฟังก์ชันชนิดต่างๆ โดยให้สมาชิกในแต่ละกลุ่ม
รว่ มกันอภิปรายเนื้อหาโจทย์ตวั อย่างที่ 17-20 และสรุปสาระสำคัญตามความเข้าใจของนักเรียน จากน้ันครใู ห้
ตวั แทนกลมุ่ ออกมาอธิบายเน้อื หาตามหมายเลขหนา้ ในหนงั สือเรียนทีค่ รูกำหนด

34. ครใู หน้ ักเรยี นแต่ละกลมุ่ ทำแบบฝึกหัดท่ี 6 จากน้ันใหแ้ ต่ละกล่มุ แลกเปลย่ี นกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง
35. ให้นักเรยี นแต่ละกลุม่ ออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทุกข้อ
36. ครูแจกใบความรูท้ ี่ 2 “ฟังกช์ ันตรโี กณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม” ให้นกั เรียน
แต่ละกลุ่ม โดยแนะนำนักเรียนว่าสามารถศึกษารายละเอียดได้จากเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟังก์ชัน
ตรีโกณมติ ิและการประยกุ ต์ หัวขอ้ ท่ี 1.8
37. ครใู ห้นักเรียนแต่ละกลุ่มศึกษาหัวข้อท่ี 1.8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจริง
หรือมมุ จากน้ันครูเขียนโจทย์ตัวอย่างท่ี 21-30 บนกระดาน สมุ่ เรียกนักเรียนออกมาแสดงวธิ ีทำทลี ะบรรทดั หรือ
แสดงวิธีทำเป็นชว่ งๆ ตามความเหมาะสมกับความยาวของวิธีทำในตวั อยา่ ง
38. ครูแจกใบงานที่ 1 “ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม” ให้นักเรียน
แต่ละกลมุ่ เม่ือทุกกลุ่มทำเสร็จแล้ว ครูและนักเรยี นรว่ มกันเฉลยคำตอบ

39. ครูใหน้ กั เรยี นแต่ละกลุ่มทำแบบฝึกหัดท่ี 7 จากนน้ั ใหแ้ ตล่ ะกลุ่มแลกเปลยี่ นกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
40. ให้นักเรียนแต่ละกลมุ่ ออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทกุ ขอ้

7.3 ขั้นสรุป
ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันสรุปความรเู้ ร่ืองฟงั กช์ ันตรีโกณมิตใิ นประเดน็ ต่อไปน้ี
1. วธิ กี ารหาคา่ ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิของจำนวนจริงหรือมุมทุกฟังกช์ นั
2. วิธีการใชต้ ารางค่าฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ
3. กราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติชนิดตา่ งๆ
4. ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรอื มุม

8. สื่อการเรียนรูแ้ ละแหล่งการเรียนรู้

8.1 สอ่ื การเรียนรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 เล่ม 1 ขององคก์ ารค้า สกสค.
2. เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ แิ ละการประยกุ ต์
2. แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
3. แบบฝกึ หัดท่ี 1-7
4. ใบงานที่ 1 “ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรือมุม”
5. ใบความรู้ท่ี 1 “กราฟของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ”
6. ใบความรู้ท่ี 2 “ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรอื มมุ ”

8.2 แหลง่ การเรยี นรู้
1. หอ้ งสมุดของโรงเรยี น
2. ห้องสมุดกลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
3. อินเทอรเ์ นต็ จากเวบ็ ไซต์ตา่ งๆ

9. การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

9.1 แบบทดสอบกอ่ นเรียนแบบเลอื กตอบ (4 ตัวเลอื ก) จำนวน 15 ข้อ
9.2 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝกึ หัดท่ี 1-7
9.3 ตรวจผลงานจากการทำใบงานที่ 1
9.4 ตรวจผลงานจากสมุดบันทกึ ความรู้
9.5 การสังเกตพฤตกิ รรมการเรยี นรู้ของนักเรยี น
9.6 การสงั เกตพฤตกิ รรมนักเรยี นด้านการทำงานกลุม่
9.7 การประเมินการนำเสนอผลงานหน้าชั้นเรยี น

ใบงานที่ 1
เรอ่ื ง ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิของผลบวกหรือผลต่างของจำนวนจริงหรอื มุม

ชื่อ ............................................................................................ เลขที่ ................ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5/ ........

วชิ าคณิตศาสตร์เนน้ วิทย์ 3 วนั /เดือน/ปี ...........................................

1. กำหนดให้ cos(A + B) = 3−4 3 และ cos(A – B) = 3+4 3 จงหาค่าของ sin 2A sin 2B
10 10

วธิ ีทำ

2. กำหนดให้ cos(A −B) = 6 จงหาค่าของ tan A tan B
cos(A + B) 5

วิธีทำ

เฉลยใบงานที่ 1
เรอ่ื ง ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกหรือผลต่างของจำนวนจริงหรอื มุม

ชอื่ ............................................................................................ เลขท่ี ................ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5/ ........

วชิ าคณติ ศาสตรเ์ นน้ วทิ ย์ 3 วนั /เดือน/ปี ...........................................

1. กำหนดให้ cos(A + B) = 3−4 3 และ cos(A – B) = 3+4 3 จงหาค่าของ sin 2A sin 2B
10 10

วธิ ีทำ sin 2A sin 2B = (2 sin A cos A)(2 sin B cos B)
= (2 sin A sin B)(2 cos A cos B)
= [cos(A – B) – cos(A + B)][cos(A + B) + cos(A – B)]

=  3 +4 3 −  3 −4 3   3 −4 3 + 3 +4 3
 10  10   10 10
   


= 3+4 3 −3+4 3 3−4 3 +3+4 3 
 10  10 
   

=  83  6 
 10 10 

= 48 3
100

= 12 3
25

2. กำหนดให้ cos(A −B) = 6 จงหาค่าของ tan A tan B
cos(A + B) 5

วิธีทำ cos(A −B) = 6
cos(A + B) 5

cos A cos B + sin A sin B = 6
cos A cos B − sin A sin B 5

5 cos A cos B + 5 sin A sin B = 6 cos A cos B – 6 sin A sin B

11 sin A sin B = cos A cos B

sin A sin B = 1
cos A cos B 11

tan A tan B = 1
11

ใความรู้ท่ี 1

y = sin x เรอ่ื ง “กราฟของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ” y = tan x

y = cos x

Dsin = R Dcos = R Dtan = R–  π  nπ
Rsin = [–1, 1] Rcos = [–1, 1] 
คาบ = 2 คาบ = 2  2 
แอมพลิจดู = 1 แอมพลิจูด = 1
Rtan = R
y = cosec x y = sec x
คาบ = 

y = cot x

Dcosec = R – {n} Dsec = R–  π  nπ Dcot = R – {n}
Rcosec = R – (–1, 1)  Rcot = R
คาบ = 2  2  คาบ = 

Rsec = R – (–1, 1)

คาบ = 2

คาบของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่มีคาบ กล่าวคือ สามารถแบ่ง x ออกเป็นช่วงย่อยโดยท่ี

ความยาวของแต่ละช่วงย่อยเทา่ กัน และในแตล่ ะช่วงย่อยมีลกั ษณะเหมอื นกัน ความยาวของช่วงย่อยท่สี นั้ ทสี่ ุด
เรียกวา่ คาบของฟังกช์ ัน

แอมพลจิ ูด

แอมพลิจูด คอื ค่าสงู สดุ ของฟังก์ชนั −ค่าต่าสดุ ของฟงั ก์ชนั
2

ใบความรู้ที่ 2

เร่อื ง “ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจรงิ หรอื มมุ ”

ให้ A และ B เปน็ จำนวนจรงิ หรือมมุ ใดๆ
1. สูตรผลบวกและผลตา่ ง

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

tan (A + B) = tan A + tan B
1− tan A tan B

tan (A – B) = tan A − tan B
1+ tan A tan B

cot (A + B) = cot A cot B −1
cot B + cot A

cot (A – B) = cot A cot B +1
cot B − cot A

2. สตู รมมุ 2A, 3A

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos2 A – sin2 A

= 2 cos2 A – 1

= 1 – 2 sin2 A

tan 2A = 2 tan A
1− tan2A

cot 2A = cot2 A −1
2 cot A

cos A = 2 cos2 A –1
2
A
= 1 – 2 sin2 2

sin 3A = 3 sin A – 4 sin3 A

cos 3A = 4 cos3 A – 3 cos A

tan 3A = 3 tan A − tan3A
1− 3 tan2A

cot 3A = cot3A − 3 cot A
3 cot2A −1

3. สตู รผลคูณ ผลบวก และผลต่าง

sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B
sin (A + B) – sin (A – B) = 2 cos A sin B
cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B
cos (A + B) – cos (A – B) = –2 sin A sin B

sin A + sin B = 2 sin A+B cos A −B
2 2
A+B A −B
sin A – sin B = 2 cos 2 sin 2

cos A + cos B = 2 cos A+B cos A −B
2 2
A+B A −B
cos A – cos B = –2 sin 2 sin 2

เกณฑก์ ารประเมินสมดุ บนั ทึกความรู้

การใหค้ ะแนน/ระดบั คะแนน

ปรบั ปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมาก (4)
บนั ทึกขอ้ มลู ไมถ่ กู ตอ้ ง บนั ทกึ มีความถูกตอ้ ง
บันทึกมขี ้อมลู แตย่ ังไม่ บนั ทกึ มีความถกู ต้อง ชดั เจนครบถว้ นสมบรู ณ์

ครบถ้วนสมบรู ณ์ สมบูรณ์พอสมควร

เกณฑ์คณุ ภาพการสังเกตพฤติกรรมนกั เรียนด้านการทำงานกลมุ่

ท่ี รายการประเมิน ระดับคุณภาพ 3
1 การทำงานร่วมกัน 12 - ยอมรับมติของกลุ่ม
2 ความกระตอื รือรน้ ยอมรับมตกิ ารทำงาน ยอมรบั มตขิ องกล่มุ - รับผิดชอบงานท่ีรับ
ของกลมุ่ แตป่ ฏิบัตติ าม มอบหมายจากกลมุ่
3 การตอบคำถาม น้อยคร้ัง - ช่วยเหลอื งานภายในกลุ่ม
4 ความคดิ ริเร่ิมสร้างสรรค์ ชว่ ยเหลืองานภายใน - ช่วยเหลอื งานในกลุ่ม - รว่ มแสดงความคิดเห็น
กลมุ่ เม่ือมกี ารร้องขอ - รว่ มแสดงความ - ใฝร่ ู้ใฝ่เรยี น
- ศึกษาคน้ ควา้
คิดเหน็ ใหค้ วามร่วมมอื ในการตอบ
คำถามเปน็ อย่างดี
มีสว่ นร่วมในการตอบ มสี ว่ นรว่ มในการตอบ ร่วมรับฟังและแสดงความ
คิดเห็นทีแ่ ตกตา่ ง แตม่ ี
คำถามนอ้ ยมาก คำถามบางครง้ั ประโยชน์

ร่วมกจิ กรรมตามทก่ี ลุ่ม รับฟงั แตแ่ สดงความ

ขอรอ้ ง คดิ เห็นที่คลอ้ ยตาม

เพือ่ นๆ

แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้

วิชาคณติ ศาสตรเ์ น้นวทิ ย์ 3 เรอื่ ง ............................................................ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5/........

ความตัง้ ใจ การตงั้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ

ลำดบั ชอ่ื -นามสกลุ มุ่งมน่ั คำถาม กจิ กรรม ในเวลาท่ี สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ท่ี ตอบคำถาม กลมุ่ กำหนด

(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมินน้ีใช้ไดต้ ลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมนิ

ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบการประเมินการสงั เกตพฤติกรรมนักเรียนดา้ นการทำงานกลุม่

รายการประเมนิ สรปุ ผล

ที่ ชอ่ื -สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคิดรเิ รม่ิ รวม
ร่วมกัน กระตอื รือร้น คำถาม สร้างสรรค์ (12) ผา่ น ไม่ผ่าน

(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑก์ ารประเมนิ
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ตำ่ กวา่ 5 คะแนน ระดบั 1 = ควรปรบั ปรุง

สรุปผลการประเมนิ
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑ์การตัดสนิ ใจ
 ผ่าน  ไมผ่ ่าน

หมายเหตุ : เกณฑเ์ ปน็ ไปตามที่โรงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าชน้ั เรยี น

กลมุ่ ที่ ......... เร่อื ง ..................................................... ช้นั ....... /........

คำชแ้ี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ✓ ลงในช่องวา่ ง
ทีต่ รงกบั ระดบั คะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 ความถูกตอ้ งของเนื้อหา
2 ความคิดสรา้ งสรรค์

3 วิธีการนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใชป้ ระโยชน์
5 การตรงตอ่ เวลา

รวม

ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบรู ณ์ชดั เจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รือแสดงผลงานมขี ้อบกพร่องบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมีขอ้ บกพร่องเป็นสว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องมาก

แผนการจดั การเรียนรูท้ ี่ 2 เวลา 5 ช่ัวโมง

เรือ่ ง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตผิ กผนั

1. ผลการเรยี นรู้
เข้าใจฟังกช์ ันตรโี กณมติ แิ ละลกั ษณะกราฟของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ และนำไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

2. แนวคดิ สำคญั
ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิไม่เปน็ ฟังกช์ ันหนง่ึ ต่อหนึง่ ดงั นนั้ ตวั ผกผนั ของฟงั ก์ชันตรีโกณมิตจิ ึงไม่เป็นฟงั กช์ นั แต่

เม่ือจำกัดโดเมนของฟังก์ชันเพ่ือให้เป็นฟังก์ชันหน่ึงต่อหนึ่งแล้ว จะเรียกตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติน้ีว่า
ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิผกผัน

3. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
หาค่าฟงั ก์ชันผกผันของฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติได้

4. สาระการเรยี นรู้
การหาคา่ ฟงั ก์ชนั ผกผนั ของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

5. ช้นิ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏิบัตงิ านตามแบบฝกึ หัดที่ 8
5.2 ผลการปฏิบตั งิ านตามใบงานที่ 2 “ฟงั ก์ชันผกผันของฟังก์ชนั ตรโี กณมิต”ิ

6. คำถามสำคัญ

การหาค่าฟังกช์ นั ผกผนั ของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติทีก่ ำหนดใหม้ วี ิธีการอยา่ งไร

7. กิจกรรมการจัดการเรยี นรู้

7.1 ข้นั นำ

ครูทบทวนเร่ืองตัวผกผันของฟังก์ชันทั่วๆ ไป โดยใช้การถาม-ตอบเพื่อให้นกั เรยี นทราบว่า ฟงั ก์ชันท่มี ีตัวผกผัน

เปน็ ฟงั ก์ชัน ฟงั ก์ชันน้ันตอ้ งเปน็ ฟงั กช์ นั 1-1 เทา่ น้นั ครยู กตัวอย่าง เช่น

ตัวอย่าง ฟังก์ชัน f ทก่ี ำหนดโดย f(x) = 3x + 1 มีฟังก์ชันผกผันหรือไม่

วธิ ีทำ เน่ืองจาก f(x) = 3x + 1 เปน็ ฟงั กช์ นั 1-1 จงึ มีฟังก์ชนั ผกผนั

f = {(x, y)  y = 3x + 1}

f–1 = {(x, y)  x = 3y + 1}

หรอื f–1 = {(x, y)  y = x − 1 }
7.2 ขน้ั สอน
3

1. ครูยกตัวอย่างฟังก์ชันไซน์ แล้วถามนักเรียนว่า “{(x, y)  y = sin x} โดย – < x < , –1  y  1

เปน็ ฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่” ครูให้นักเรียนสังเกตว่า ฟังก์ชันไซน์ไม่เปน็ ฟงั ก์ชัน 1-1 ดงั นั้น ตวั ผกผนั ของฟังก์ชันไซน์

คอื {(x, y)  x = sin y} จึงไม่เป็นฟังกช์ นั แตถ่ ้ากำหนดโดเมนของฟงั กช์ นั ไซน์เปน็ x − π  x  π ฟงั ก์ชัน

 2 2 

{(x, y)  y = sin x, − π  x  π } เป็นฟังก์ชัน 1-1 จะมีตัวผกผันเป็นฟังก์ชัน คือ {(x, y)  x = sin y, − π  y  π }

2 2 2 2

ซง่ึ เรียกว่า arcsine

2. ครเู ขียนบทนิยามของฟงั กช์ ัน arcsine บนกระดาน ดงั นี้

บทนยิ าม ฟังก์ชนั arcsine คอื เซตของค่อู ันดับ (x, y) โดยท่ี x = sin y และ − π  y  π

2 2

โดเมนของฟังกช์ นั arcsine คอื [–1, 1] และเรนจ์ของฟงั กช์ ัน arcsine คือ − π , π

2 2 

3. ครใู หน้ ักเรยี นศึกษาหวั ข้อท่ี 2.1 ตวั ผกผนั ชองฟงั กช์ ันไซน์ ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟงั ก์ชัน

ตรีโกณมิติและการประยุกต์ โดยให้เวลา 20 นาที จากน้ันครูเขียนโจทย์ตัวอย่างท่ี 1 บนกระดาน แล้วสุ่มเรียก

นักเรยี นออกมาแสดงวิธที ำ

4. ครูเขียนโจทยอ์ ีก 2-3 ข้อ ให้นกั เรียนอาสาสมคั รออกมาแสดงวิธหี าคำตอบบนกระดาน เชน่

จงหาคา่ ของ arcsin 2 (เฉลย π )
2
4

arcsin  − 1  (เฉลย − π )
 2 
6

arcsin  3  (เฉลย π )
 2 
3

5. ครูให้ความรู้เร่ืองตัวผกผันของฟังก์ชันโคไซน์ โดยอธิบายทำนองเดียวกับฟังก์ชันไซน์ แล้วเขียนบทนิยาม

บนกระดาน ดังน้ี

บทนิยาม ฟังก์ชัน arccosine คอื เซตของคอู่ นั ดับ (x, y) โดยที่ x = cos y และ 0  y  

โดเมนของฟงั ก์ชัน arccosine คือ [–1, 1] และเรนจข์ องฟงั กช์ นั arccosine คอื [0, ]

6. ครูให้นักเรียนศึกษาหัวข้อท่ี 2.2 ตัวผกผันของฟังก์ชันโคไซน์ ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง

ฟังกช์ ันตรโี กณมิตแิ ละการประยุกต์ โดยให้เวลา 20 นาที จากน้นั ครูเขียนโจทย์ตัวอย่างที่ 2 บนกระดาน แล้วสุ่ม

เรียกนักเรยี นออกมาแสดงวิธีทำ

7. ครเู ขียนโจทยอ์ ีก 2-3 ข้อ ใหน้ ักเรียนอาสาสมคั รออกมาแสดงวิธีหาคำตอบบนกระดาน เช่น

จงหาคา่ ของ arccos  − 3  (เฉลย 5π )
 2  6

arccos 1 (เฉลย π )
2
3

arccos  − 1  (เฉลย 2π )
 2  3

8. ครูให้ความรู้เรือ่ งตวั ผกผันของฟงั ก์ชันแทนเจนต์ โดยอธิบายทำนองเดียวกบั ฟังก์ชนั ไซน์ แลว้ เขยี น

บทนยิ ามบนกระดาน ดังนี้

บทนยิ าม ฟงั ก์ชัน arctangent คอื เซตของคอู่ นั ดบั (x, y) โดยที่ x = tan y และ − π  y  π

2 2

โดเมนของฟังก์ชนั arctangent คอื R และเรนจข์ องฟังก์ชัน arctangent คือ

 − π , π 
 
2 2

9. ครูให้นักเรียนศึกษาหัวข้อที่ 2.3 ผกผันของฟังก์ชันแทนเจนต์ ในเอกสารประกอบการเรียน เร่ือง

ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิและการประยกุ ต์ โดยให้เวลา 20 นาที จากนัน้ ครูเขยี นโจทยต์ ัวอยา่ งที่ 3 บนกระดาน แล้วสุ่ม

เรียกนกั เรยี นออกมาแสดงวิธที ำ

10. ครเู ขียนโจทยอ์ กี 2-3 ข้อ ใหน้ ักเรียนอาสาสมคั รออกมาแสดงวธิ หี าคำตอบบนกระดาน เชน่

จงหาคา่ ของ arctan 1 (เฉลย π )
3
6

arctan 1 (เฉลย π )

4

arctan (− 3) (เฉลย − π )

3

11. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาตัวอย่างท่ี 4-7 ในเอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

และการประยกุ ต์ จากนัน้ ครูสุ่มเรยี กนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ หี าคำตอบบนกระดานจนครบทุกข้อ

12. ครูแจกใบงานท่ี 2 “ฟังกช์ ันผกผันของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ” ใหน้ ักเรียนแต่ละกลุ่ม เมือ่ ทุกกลุม่ ทำเสร็จ

แลว้ ครแู ละนกั เรียนร่วมกันเฉลยคำตอบ

13. ครูให้นักเรียนช่วยกันหาคำตอบของโจทย์ในแบบฝึกหัดท่ี 8 โดยทำเป็นกลุ่ม จากน้ันให้แต่ละกลุ่ม

แลกเปลีย่ นกันตรวจสอบความถูกต้อง

14. ให้นักเรียนแตล่ ะกลมุ่ ออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวียนไปจนครบทกุ ข้อ

7.3 ข้ันสรปุ

ครูและนกั เรียนร่วมกันทบทวนบทนยิ ามของตัวผกผนั ของฟังก์ชันไซน์ ตัวผกผันของฟังก์ชนั โคไซน์ ตัวผกผัน

ของฟงั ก์ชันแทนเจนต์ รวมถงึ โดเมนและเรนจ์ของตวั ผกผันของฟงั กช์ ัน

8. ส่อื การเรยี นรู้และแหลง่ การเรยี นรู้

8.1 สื่อการเรียนรู้
1. หนงั สือเรียนรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 5 เลม่ 1 ขององค์การค้า สกสค.
2. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิและการประยกุ ต์
3. แบบฝกึ หัดท่ี 8
4. กิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้ท่ี 2
5. ใบงานท่ี 2 “ฟังก์ชันผกผันของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ”ิ

8.2 แหลง่ การเรยี นรู้
1. ห้องสมุดของโรงเรยี น
2. ห้องสมดุ กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์
3. อนิ เทอร์เน็ตจากเวบ็ ไซต์ตา่ งๆ

9. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

9.1 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝกึ หัดที่ 8
9.2 ตรวจผลงานจากการทำใบงานท่ี 2 “ฟังก์ชันผกผนั ของฟังกช์ ันตรีโกณมิติ”
9.3 ตรวจผลงานจากสมุดบันทึกความรู้
9.4 การสังเกตพฤตกิ รรมการเรียนรูข้ องนกั เรียน
9.5 การสังเกตพฤตกิ รรมนักเรียนด้านการทำงานกลมุ่
9.6 การประเมนิ การนำเสนอผลงานหนา้ ช้ันเรยี น

ใบงานท่ี 2
เรื่อง ฟงั ก์ชนั ผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ชอื่ ............................................................................................ เลขท่ี ................ ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5/ ........

วิชาคณิตศาสตรเ์ น้นวทิ ย์ 3 วนั /เดือน/ปี ...........................................

จงหาค่าของ sin  2 arctan 1  + cot2  arcsin 1 
2   3 


วธิ ที ำ

เฉลยใบงานที่ 2
เรอ่ื ง ฟงั กช์ ันผกผันของฟังกช์ ันตรโี กณมิติ

ช่ือ ............................................................................................ เลขที่ ................ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5/ ........

วิชาคณิตศาสตร์เน้นวิทย์ 3 วนั /เดอื น/ปี ...........................................

จงหาคา่ ของ sin  2 arctan 1  + cot2  arcsin 1 
2   3 


วธิ ที ำ ให้ arctan 1 = A จะได้ tan A = 1
2 2

เขยี นรูปได้ดังนี้

15 จะได้ sin A = 1
5

A และ cos A = 2
2 5

ให้ arcsin 1 = B จะได้ sin B = 1
3 3

เขยี นรปู ได้ดงั นี้

13 จะได้ cot B = 8
B

8

sin  2 arctan 1  + cot2  arcsin 1 
 2   3 

= 2 sin  arctan 1  cos  arctan 1  + cot2  arcsin 1 
 2   2   3 

= 2 sin A cos A + cot2 B

= 2  1  2  + ( 8)2
5 5

= 4 + 8
5
44
= 5

เกณฑ์การประเมนิ สมุดบันทึกความรู้
เฉลยใบงานท่ี 1

การให้คะแนน/ระดบั คะแนน

ปรับปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมาก (4)
บันทกึ ขอ้ มลู ไม่ถูกตอ้ ง บนั ทกึ มคี วามถูกตอ้ ง
บันทึกมขี อ้ มูลแต่ยังไม่ บนั ทกึ มีความถูกต้อง ชัดเจนครบถว้ นสมบรู ณ์

ครบถว้ นสมบรู ณ์ สมบูรณพ์ อสมควร

เกณฑค์ ุณภาพการสังเกตพฤติกรรมนกั เรียนดา้ นการทำงานกล่มุ

ท่ี รายการประเมิน ระดบั คุณภาพ 3
1 การทำงานรว่ มกนั 12 - ยอมรบั มตขิ องกล่มุ
2 ความกระตือรือรน้ ยอมรับมติการทำงาน ยอมรับมตขิ องกลุ่ม - รับผิดชอบงานทร่ี ับ
ของกลุม่ แต่ปฏิบัตติ าม มอบหมายจากกลมุ่
3 การตอบคำถาม น้อยครง้ั - ชว่ ยเหลืองานภายในกลุ่ม
4 ความคดิ ริเริ่มสร้างสรรค์ ช่วยเหลอื งานภายใน - ชว่ ยเหลืองานในกลุ่ม - รว่ มแสดงความคิดเห็น
กลมุ่ เมอ่ื มกี ารร้องขอ - รว่ มแสดงความ - ใฝ่รู้ใฝ่เรียน
- ศึกษาค้นคว้า
คิดเหน็ ใหค้ วามร่วมมอื ในการตอบ
คำถามเป็นอย่างดี
มีส่วนรว่ มในการตอบ มสี ่วนรว่ มในการตอบ ร่วมรับฟงั และแสดงความ
คดิ เห็นทแ่ี ตกต่าง แต่มี
คำถามน้อยมาก คำถามบางครง้ั ประโยชน์

รว่ มกิจกรรมตามท่ีกลมุ่ รับฟงั แต่แสดงความ

ขอร้อง คิดเห็นท่ีคลอ้ ยตาม

เพอ่ื นๆ

แบบประเมินพฤตกิ รรมการเรียนรู้

วิชาคณติ ศาสตรเ์ น้นวทิ ย์ 3 เรอื่ ง ............................................................ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5/........

ความตัง้ ใจ การตงั้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ

ลำดบั ชอ่ื -นามสกลุ มุ่งมน่ั คำถาม กิจกรรม ในเวลาท่ี สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ท่ี ตอบคำถาม กลมุ่ กำหนด

(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมินน้ีใช้ไดต้ ลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมนิ

ลงชื่อ .................................................... ผปู้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบการประเมินการสงั เกตพฤติกรรมนักเรียนด้านการทำงานกลุม่

รายการประเมนิ สรปุ ผล

ที่ ชอ่ื -สกุล การทำงาน ความ การตอบ ความคดิ รเิ รมิ่ รวม
ร่วมกัน กระตอื รือร้น คำถาม สรา้ งสรรค์ (12) ผา่ น ไมผ่ ่าน

(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑก์ ารประเมนิ
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ตำ่ กวา่ 5 คะแนน ระดบั 1 = ควรปรบั ปรุง

สรุปผลการประเมนิ
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑก์ ารตัดสินใจ
 ผ่าน  ไมผ่ ่าน

หมายเหตุ : เกณฑเ์ ปน็ ไปตามที่โรงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผปู้ ระเมิน
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบประเมินการนำเสนอผลงานหน้าชน้ั เรยี น

กลมุ่ ที่ ......... เร่ือง ..................................................... ช้นั ....... /........

คำชแ้ี จง : ให้ผู้สอนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ✓ ลงในชอ่ งวา่ ง
ทีต่ รงกบั ระดบั คะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมนิ ระดับคะแนน
4321

1 ความถูกตอ้ งของเนื้อหา
2 ความคิดสรา้ งสรรค์

3 วิธีการนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใชป้ ระโยชน์
5 การตรงตอ่ เวลา

รวม

ลงช่ือ .................................................... ผู้ประเมิน
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบรู ณ์ชดั เจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รือแสดงผลงานมีข้อบกพรอ่ งบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมขี อ้ บกพร่องเปน็ สว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องมาก

แผนการจัดการเรยี นรูท้ ่ี 3 เวลา 5 ชว่ั โมง

เรื่อง เอกลักษณแ์ ละสมการตรโี กณมิติ

1. ผลการเรียนรู้

แกส้ มการตรีโกณมติ ิ และนำไปใชใ้ นการแก้ปญั หา

2. แนวคดิ สำคญั

สมการทีม่ ีฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ เรียกว่า สมการตรีโกณมิติ สมการตรโี กณมติ ทิ ่ีเป็นจรงิ สำหรับทุกค่าของ 
เมือ่  เป็นจำนวนจรงิ หรอื มมุ ใดๆ เรียกว่า เอกลกั ษณ์

3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

3.1 พสิ ูจนเ์ อกลกั ษณต์ รีโกณมติ ิได้
3.2 แกส้ มการตรโี กณมติ ทิ กี่ ำหนดให้ได้

4. สาระการเรียนรู้

4.1 เอกลักษณ์
4.2 สมการตรโี กณมิติ

5. ชิ้นงาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏบิ ตั งิ านตามแบบฝึกหดั ที่ 9-10
5.2 ผลการปฏบิ ตั งิ านตามใบงานท่ี 3 “สมการตรีโกณมติ ิ”

6. คำถามสำคัญ

6.1 การพสิ ูจน์เอกลกั ษณ์ตรโี กณมิติมวี ิธีการอยา่ งไร
6.2 การแกส้ มการตรโี กณมิติมวี ธิ ีการอยา่ งไร

7. กจิ กรรมการจัดการเรียนรู้

7.1 ข้ันนำ
ครูทบทวนเรื่องเอกลกั ษณ์พนื้ ฐานของฟงั ก์ชันตรโี กณมิตโิ ดยใหน้ ักเรยี นตอบคำถามตอ่ ไปน้ี

ใหน้ ักเรยี นเติมช่องวา่ งใหส้ มบูรณ์

1. sin θ = 1 2. cos  = 1
cosec θ ........

3. tan θ = 1 4. tan θ = sin θ
........ ........
........
5. cot θ = sin θ 6. sin2 θ + .............. = 1

7. ...........− tan2 θ = 1 8. cosec2 θ − cot2 θ = ............

7.2 ขน้ั สอน

1. ครูยกตัวอย่างการนำเอกลักษณ์พื้นฐานไปใช้ในการพิสูจน์ฟังก์ชันตรีโกณมิติบนกระดาน โดยใช้

ตัวอยา่ งท่ี 1 ในเอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติและการประยกุ ต์ดงั นี้

ตัวอยา่ งที่ 1 จงพสิ จู น์ว่า tan x cosec2 x = cot x
1+ tan2 x

tan x cosec2 x sin x  1 x
1+ tan2 x cos x sin2
วธิ ีทำ =
sec2 x

1 sin x
sinx cosx cos x
= 1 tan x =

cos2 x cosec x = 1 x
sin
= cos2 x
sinx cosx 1+ tan2 x = sec2 x

cos x = cot x
sin x

= cos x
sin x

= cot x

2. ครูทบทวนเรือ่ งเอกลักษณ์ ผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม โดยให้นักเรยี นออกมาเขียน

บนกระดานคนละ 1 ขอ้ จนครบท้ังหมด

3. ครูให้นกั เรียนศกึ ษาตัวอยา่ งที่ 2-3 ในเอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิและการ

ประยกุ ต์โดยให้เวลา 15 นาที จากนั้นครูสุ่มเรียกนกั เรียนออกมาแสดงวธิ ที ำบนกระดาน

4. ครูยกตวั อย่างการพสิ จู นเ์ อกลักษณอ์ ีก 2-3 ตวั อย่าง เชน่

1+ sinθ =  cos θ + sin θ 2
 
2 2

วธิ ีทำ 1+ sinθ =  cos2 θ + sin2 θ  + sin θ (ใช้ cos2 A + sin2 A = 1)

 2 2

=  cos2 θ + sin2 θ  + 2 sin θ cos θ (ใช้ sin 2A = 2 sin A cos A)
 
2 2 2 2

=  cos θ + sin θ 2 (ใช้ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 )
 
2 2

5. ครูใหน้ ักเรยี นช่วยกันทำแบบฝกึ หัดที่ 9 โดยทำเป็นกลุ่ม จากน้ันแต่ละกลุ่มแลกเปล่ียนกันตรวจสอบ

ความถูกต้อง

6. ใหน้ กั เรยี นแต่ละกล่มุ ออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทุกข้อ

7. ครูทบทวนเกี่ยวกับวิธกี ารแก้สมการพีชคณิต แล้วยกตวั อย่างสมการตรโี กณมิติ ซักถามนักเรียนว่า

จะแก้สมการได้อยา่ งไร หลังจากนั้นครูใช้การถาม-ตอบและยกตวั อยา่ งเพ่ืออธิบายวิธีการแก้สมการตรีโกณมติ ิ

เพอ่ื ใหไ้ ดข้ ้อสรปุ ดงั น้ี

“การแก้สมการตรีโกณมิติใช้วิธีเดียวกับการแก้สมการพีชคณิต สมการลอการิทึมหรือสมการ

เอกซ์โพเนนเชียล โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกบั ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ไม่เปน็ ฟังก์ชัน

1-1 ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุมใดๆ อาจจะซ้ำกัน ถ้าโจทย์ไม่ได้กำหนดให้คำตอบอยู่

ในช่วงใดช่วงหนึง่ ควรตอบในรูปของค่าทั่วไป”

8. ครูให้นกั เรียนแบ่งกลุ่มศึกษาตัวอย่างท่ี 4-7 ในเอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

และการประยุกตจ์ ากนั้นครูสุม่ เรียกนักเรียนออกมาแสดงวิธหี าคำตอบบนกระดานจนครบทุกข้อ

9. ครูให้นักเรียนช่วยกันทำแบบฝึกหัดท่ี 10 โดยทำเป็นกลุ่ม จากน้ันให้แต่ละกลุ่มแลกเปล่ียนกัน

ตรวจสอบความถูกต้อง

10. ให้นักเรยี นแต่ละกลุ่มออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวียนไปจนครบทุกขอ้

7.3 ขัน้ สรุป
ครูและนกั เรยี นรว่ มกนั สรปุ ความรู้เรือ่ งเอกลักษณ์และสมการตรโี กณมติ ิอกี คร้ัง

8. ส่ือการเรียนรู้และแหลง่ การเรยี นรู้

8.1 ส่อื การเรยี นรู้
1. หนังสอื เรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 ขององคก์ ารคา้ สกสค.
2. เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง ฟังก์ชันตรโี กณมิติและการประยุกต์
3. แบบฝึกหัดที่ 9-10
4. กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรู้ที่ 3
5. ใบงานท่ี 3 “สมการตรีโกณมติ ”ิ

8.2 แหลง่ การเรยี นรู้
1. ห้องสมดุ ของโรงเรยี น
2. ห้องสมดุ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
3. อนิ เทอร์เนต็ จากเว็บไซต์ตา่ งๆ

9. การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

9.1 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝกึ หดั ท่ี 9-10
9.2 ตรวจผลงานจากการทำใบงานที่ 3 “สมการตรีโกณมิติ”
9.3 ตรวจผลงานจากสมุดบันทกึ ความรู้
9.4 การสงั เกตพฤติกรรมการเรียนร้ขู องนกั เรียน
9.5 การสังเกตพฤตกิ รรมนักเรียนด้านการทำงานกลมุ่
9.6 การประเมนิ การนำเสนอผลงานหนา้ ชน้ั เรียน

ใบงานที่ 3
เรือ่ ง สมการตรีโกณมิติ

ชอื่ ............................................................................................ เลขท่ี ................ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5/ ........

วิชาคณิตศาสตร์เน้นวทิ ย์ 3 วัน/เดอื น/ปี ...........................................

กำหนดให้ 0 < x < 2 จงหาผลบวกของเซตคำตอบของสมการ
4 sin2 x + (1− 3 ) sin x cos x + ( 3 − 3 ) cos2 x = 3

วิธที ำ

เฉลยใบงานที่ 3
เรอื่ ง สมการตรีโกณมิติ

ชอื่ ............................................................................................ เลขท่ี ................ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5/ ........

วิชาคณติ ศาสตร์เนน้ วิทย์ 3 วนั /เดือน/ปี ...........................................

กำหนดให้ 0 < x < 2 จงหาผลบวกของเซตคำตอบของสมการ
4 sin2 x + (1− 3 ) sin x cos x + ( 3 − 3 ) cos2 x = 3

วธิ ที ำ 4 sin2 x + (1− 3 ) sin x cos x + ( 3 − 3 ) cos2 x = 3

4(1 – cos2 x) + sin x cos x – 3 sin x cos x + 3 cos2 x – 3 cos2 x – 3 = 0

4 – 4cos2 x + sin x cos x – 3 sin x cos x + 3 cos2 x – 3 cos2 x – 3 = 0

1 – cos2 x + sin x cos x – 3 cos x (sin x + cos x) = 0

sin2 x + sin x cos x – 3 cos x (sin x + cos x) = 0

sin x (sin x + cos x) – 3 cos x (sin x + cos x) = 0

(sin x + cos x)(sin x – 3 cos x) = 0

จะได้ sin x = –cos x หรือ sin x = 3 cos x

tan x = –1 tan x = 3

x= 3π , 7π x= π , 4π
4 4 3
3

ดังน้นั ผลบวกของคำตอบของสมการ เท่ากับ 3π + 7π + π + 4π = 25π
4 4 3 6
3

เกณฑก์ ารประเมินสมุดบนั ทึกความรู้

การให้คะแนน/ระดบั คะแนน

ปรบั ปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดมี าก (4)
บันทกึ ขอ้ มูลไมถ่ กู ตอ้ ง บันทกึ มคี วามถกู ต้อง
บันทกึ มีข้อมลู แต่ยังไม่ บันทกึ มคี วามถกู ต้อง ชัดเจนครบถว้ นสมบรู ณ์

ครบถ้วนสมบรู ณ์ สมบูรณ์พอสมควร

เกณฑค์ ณุ ภาพการสงั เกตพฤตกิ รรมนักเรียนดา้ นการทำงานกลุ่ม

ท่ี รายการประเมนิ ระดับคณุ ภาพ 3
1 การทำงานร่วมกัน 12 - ยอมรับมตขิ องกลุ่ม
2 ความกระตอื รือรน้ ยอมรบั มตกิ ารทำงาน ยอมรบั มตขิ องกลุ่ม - รบั ผดิ ชอบงานท่ีรับ
ของกลุ่ม แต่ปฏิบัตติ าม มอบหมายจากกลมุ่
3 การตอบคำถาม นอ้ ยครง้ั - ชว่ ยเหลืองานภายในกลุ่ม
4 ความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ช่วยเหลืองานภายใน - ช่วยเหลืองานในกลุม่ - ร่วมแสดงความคิดเห็น
กลมุ่ เม่อื มีการรอ้ งขอ - รว่ มแสดงความ - ใฝ่รู้ใฝ่เรยี น
- ศึกษาค้นคว้า
คดิ เหน็ ให้ความร่วมมือในการตอบ
คำถามเปน็ อย่างดี
มสี ว่ นรว่ มในการตอบ มีสว่ นร่วมในการตอบ รว่ มรับฟังและแสดงความ
คิดเห็นทีแ่ ตกต่าง แตม่ ี
คำถามน้อยมาก คำถามบางครง้ั ประโยชน์

รว่ มกิจกรรมตามที่กลมุ่ รบั ฟงั แต่แสดงความ

ขอร้อง คดิ เหน็ ท่ีคล้อยตาม

เพ่อื นๆ

แบบประเมินพฤตกิ รรมการเรียนรู้

วิชาคณติ ศาสตรเ์ น้นวทิ ย์ 3 เรอื่ ง ............................................................ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5/........

ความตัง้ ใจ การตงั้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ

ลำดบั ชอ่ื -นามสกลุ มุ่งมน่ั คำถาม กิจกรรม ในเวลาท่ี สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ท่ี ตอบคำถาม กลมุ่ กำหนด

(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมินน้ีใช้ไดต้ ลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมนิ

ลงชื่อ .................................................... ผปู้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบการประเมินการสงั เกตพฤติกรรมนักเรียนดา้ นการทำงานกลุม่

รายการประเมิน สรปุ ผล

ที่ ช่ือ-สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคิดรเิ รม่ิ รวม
ร่วมกัน กระตอื รือร้น คำถาม สร้างสรรค์ (12) ผา่ น ไมผ่ ่าน

(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑ์การประเมิน
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ตำ่ กวา่ 5 คะแนน ระดบั 1 = ควรปรบั ปรุง

สรุปผลการประเมนิ
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑก์ ารตัดสนิ ใจ
 ผ่าน  ไมผ่ ่าน

หมายเหตุ : เกณฑเ์ ปน็ ไปตามที่โรงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผู้ประเมิน
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าช้ันเรยี น

กลมุ่ ที่ ......... เร่ือง ..................................................... ช้นั ....... /........

คำชแ้ี จง : ให้ผู้สอนสังเกตพฤติกรรมของนกั เรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ✓ ลงในช่องวา่ ง
ทีต่ รงกบั ระดับคะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 ความถกู ต้องของเนื้อหา
2 ความคิดสรา้ งสรรค์

3 วิธีการนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใชป้ ระโยชน์
5 การตรงตอ่ เวลา

รวม

ลงชื่อ .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบรู ณ์ชดั เจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รือแสดงผลงานมขี ้อบกพรอ่ งบางส่วน ให้ 2 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมีขอ้ บกพร่องเป็นสว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องมาก

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 4 เวลา 5 ช่ัวโมง

เรือ่ ง กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์

1. ผลการเรียนรู้

ใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซนใ์ นการแก้ปญั หา
2. แนวคดิ สำคัญ

กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซนเ์ ป็นสมการแสดงความสมั พันธ์ระหวา่ งความยาวของด้านและขนาดของมุม
ของรูปสามเหล่ียมใดๆ เมอ่ื ทราบความยาวของด้านหรือขนาดของมมุ บางส่วน จะสามารถคำนวณหาขนาดของ
มมุ และความยาวของด้านทเี่ หลอื ได้

3. จุดประสงค์การเรียนรู้

ใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซน์แก้ปัญหาเกยี่ วกับรูปสามเหล่ยี มได้

4. สาระการเรยี นรู้

กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์

5. ช้ินงาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏิบัตงิ านตามแบบฝกึ หัดที่ 11
5.2 ผลการปฏบิ ัตงิ านตามใบงานท่ี 4 “กฎของไซน์”
5.3 ผลการปฏิบตั ิงานตามกิจกรรมสะเต็มศกึ ษา “ไคลโนมิเตอร์อย่างง่าย”

5.4 ผลการทำแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์ิ
5.5 ผลการทำแบบทดสอบหลงั เรียน

6. คำถามสำคัญ

การใชก้ ฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์มาชว่ ยในการแกป้ ญั หาเกี่ยวกับรูปสามเหลยี่ มมวี ิธกี ารอยา่ งไร

7. กจิ กรรมการจดั การเรียนรู้

7.1 ขนั้ นำ
ครูสมุ่ ใหน้ ักเรียนออกมาวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC บนกระดาน 1 รูป โดยกำหนด ABˆC เป็นมุมฉาก

เช่น

A

BC

สมมุติให้ด้านตรงขา้ มมมุ A ยาว 3 เซนตเิ มตร และด้านตรงขา้ มมุม B ยาว 5 เซนติเมตร ครถู ามนกั เรยี น
ว่าด้านตรงขา้ มมมุ C จะยาวเทา่ ไร

(ครูแนะนำให้นกั เรียนหาความยาวด้านโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรสั )
ครูวาดรูปสามเหล่ยี มใดๆ ที่ไมใ่ ช่รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก แล้วถามนักเรยี นว่า ถา้ ครูกำหนดความยาวด้าน
ให้ 2 ด้าน จะหาด้านท่เี หลือได้อย่างไร เชน่

A

cb

Ba C

7.2 ขั้นสอน

1. ครูแนะนำว่าในการหาความยาวของด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมใดๆ นั้นสามารถใช้ความรู้เร่ือง

ตรโี กณมติ โิ ดยใชก้ ฎของโคไซนแ์ ละไซน์

2. ครูให้นกั เรียนแบ่งกลุ่มศึกษาหัวขอ้ ที่ 4.1 กฎของโคไซน์ ในเอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟังก์ชัน

ตรีโกณมิตแิ ละการประยกุ ต์แล้วใหต้ ัวแทนกลมุ่ ออกมาสรุปสาระสำคญั ตามความเข้าใจของนักเรยี น

3. ครูสรุปความรูเ้ กี่ยวกับกฎของโคไซน์ ดงั น้ี

กฎของโคไซน์ ในรปู สามเหล่ียม ABC ใดๆ ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A, B

และ C ตามลำดับ

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

b2 = c2 + a2 – 2ca cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

ครูให้คำแนะนำเพิ่มเติมวา่ จากกฎของโคไซน์เราอาจเขยี นอกี แบบได้เปน็

cos A = b2 + c2 − a2
2bc

cos B = c2 + a2 − b2
2ca

cos C = a2 + b2 − c2
2ab

4. ครูเขียนโจทยต์ วั อยา่ งที่ 1-2 บนกระดาน แล้วสมุ่ เรียกนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ีหาคำตอบบนกระดาน

5. ครูให้นักเรียนกลุ่มเดิมศึกษาหัวข้อท่ี 4.2 กฎของไซน์ ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟังก์ชัน

ตรโี กณมติ ิและการประยุกต์แล้วให้ตัวแทนกลุ่มออกมาสรุปสาระสำคัญตามความเขา้ ใจของนักเรยี น

6. ครูสรปุ ความรู้เกี่ยวกับกฎของไซน์ ดังนี้

กฎของไซน์ ในรูปสามเหล่ียม ABC ใดๆ ถ้า a, b และ c เปน็ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B

และ C ตามลำดบั

sin A = sin B = sin C
a b c
1
พ้ืนทข่ี องรูปสามเหล่ียม ABC = 2 ab sin C

= 1 bc sin A
2
1
= 2 ac sin B