แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ จำนวนเชิงซ้อน

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 จำนวนเชิงซอ้ น 17 ชัว่ โมง
แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 1/1 จำนวนเชิงซ้อนและสมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซ้อน 4 ชวั่ โมง
แผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 1/2 จำนวนเชิงซ้อนในรปู เชิงขวั้ 4 ชัว่ โมง
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 1/3 รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซ้อน เมอ่ื n เปน็ จำนวนนบั ที่มากกวา่ 1 5 ชั่วโมง
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1/4 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

สาระการเรยี นรู้

1. จำนวนจนิ ตภาพและจำนวนเชงิ ซ้อน
2. วิธีการบวก ลบ คูณ หารจำนวนเชงิ ซอ้ น
3. สมบตั เิ ก่ียวกับการบวกและการคณู ของจำนวนเชิงซ้อน
4. ตัวผกผนั การบวก ตวั ผกผันการคณู และสงั ยคุ ของจำนวนเชิงซ้อน
5. รากท่ีสองของจำนวนเชงิ ซ้อน
6. กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน
7. การเขียนจำนวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชงิ ขั้ว
8. การหารากท่ี n ของจำนวนเชิงซ้อน เมือ่ n เป็นจำนวนนับท่มี ากกวา่ 1
9. การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดียว

สมรรถนะสำคัญ/ทักษะแหง่ ศตวรรษท่ี 21

1. สมรรถนะสำคญั 2. ทกั ษะแหง่ ศตวรรษท่ี 21

- ความสามารถในการสื่อสาร - ทักษะการแก้ปัญหา

- ความสามารถในการคิดวิเคราะห์ - ทกั ษะการเชือ่ มโยง

- ทกั ษะการให้เหตุผล

- ทกั ษะการคิดสรา้ งสรรค์

คุณลกั ษณะอันพึงประสงค์

1. ทำความเข้าใจหรือสร้างกรณที ั่วไปโดยใช้ความรูท้ ไี่ ดจ้ ากการศึกษากรณีตวั อยา่ งหลายๆ กรณี
2. มีความมมุ านะในการทำความเขา้ ใจปญั หาและแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์
3. ค้นหาลักษณะที่เกิดขึ้นซ้ำๆ และประยุกต์ใช้ลักษณะดังกล่าวเพื่อทำความเข้าใจหรือแก้ปัญหาในสถานการณ์

ตา่ งๆ

ชิ้นงาน/ภาระงาน

1. ผลงานตามแบบฝกึ หดั ที่ 1-4
2. ผลงานตามใบงานที่ 1-6
3. ผลงานตามแบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธิ์
4. ผลงานตามการเขียน Mind Mapping

การออกแบบการจัดการเรียนรแู้ บบ Active Learning

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 จำนวนเชิงซอ้ น

ผลการเรยี นรู้

1. เขา้ ใจจำนวนเชิงซ้อนและใชส้ มบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซ้อนในการแกป้ ัญหา

2. หารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน เมอื่ n เป็นจำนวนนบั ท่ีมากกวา่ 1

3. แกส้ มการพหนุ ามตัวแปรเดียวดกี รีไมเ่ กนิ ส่ที ม่ี ีสมั ประสิทธ์เิ ป็นจำนวนเต็ม และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

แนวคดิ สำคญั คำถามสำคญั

1. จำนวนเชิงซ้อน คือ จำนวนที่เขียนในรูป a + bi หรือ 1. จงบอกความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

(a, b) โดยเรยี ก a ว่าสว่ นจรงิ และเรียก b วา่ สว่ นจินตภาพ 2. การบวกและการลบจำนวนเชงิ ซ้อนมีวธิ ีการอยา่ งไร

2. z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน สามารถเขียนจำนวน 3. การหาตัวผกผันการบวกและตัวผกผันการคูณของจำนวน

เชิงซ้อนในรูป z = r (cos  + i sin ) โดยเรียก เชิงซอ้ นทีก่ ำหนดให้มีวธิ ีการอย่างไร

รปู แบบ นี้ว่ารูปเชิงขั้วของ z และเรียก  ว่าอาร์กิวเมนต์ 4. การคณู และการหารจำนวนเชงิ ซอ้ นทก่ี ำหนดใหม้ ีวิธกี ารอย่างไร
5. การหาสงั ยุคของจำนวนเชงิ ซ้อนท่ีกำหนดให้มีวิธีการอยา่ งไร
ของ z 6. การหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนท่กี ำหนดใหม้ ีวิธกี ารอย่างไร
7. การหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้มีวิธีการ
3. ถ้า z = r (cos  + i sin ) แล้วรากที่ n ของ z มี
อย่างไร
ท้งั หมด n รากที่แตกต่างกนั คือ 8. การเขียนกราฟของจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซ่ึง

zk = n r cos θ + 2kπ  + i sin  θ + 2kπ  สอดคล้องกับสมการท่ีกำหนดใหม้ ีวิธกี ารอยา่ งไร
n   n 9. การเขียนจำนวนเชิงซอ้ นในรปู เชงิ ขั้วมีวิธกี ารอย่างไร
10.การหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้มีวิธีการ
เมื่อ k  {0, 1, 2, …, n – 1}
อยา่ งไร
4. สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือสมการที่อยู่ในรูป 11. ก า ร แ ก ้ สม ก า ร พ ห ุ น า ม ต ั ว แ ป ร เ ด ี ย ว ด ี ก ร ี ไ ม ่ เ ก ิ น ส ี ่ ท ี ่ มี

anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n เป็นจำนวน สัมประสิทธ์เิ ปน็ จำนวนเตม็ มวี ิธีการอยา่ งไร
เต็มบวก และ a0, a1, …, an เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยท่ี

an  0

กจิ กรรมการเรยี นรู้ การวัดและประเมินผล

1. ศึกษาค้นคว้าข้อมูลจากหนังสือเรียนและเว็บไซต์ต่างๆ 1. การทำแบบทดสอบกอ่ นเรียนและหลังเรียน

ในเรือ่ งจำนวนเชงิ ซ้อน 2. การประเมินผลงานตามแบบฝกึ หัดท่ี 1-4

2. การร่วมแสดงความคิดเห็นและซักถามเกี่ยวกับการทำ 3. การประเมนิ ผลงานตามใบงานท่ี 1-6

โจทยต์ วั อย่างและแบบฝึกหัดในหนงั สอื เรียน 4. การประเมินผลงานตามการเขยี น Mind Mapping

3. การอาสาสมัครหรือมีส่วนร่วมในการออกมาแสดงวิธที ำ 5. การประเมินผลงานตามการเขยี นสมุดบนั ทกึ ความรู้

โจทย์ทค่ี รกู ำหนดบนกระดาน 6. การประเมินผลงานตามแบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธิ์

7. การสังเกตพฤตกิ รรมการเรยี นรู้ของนักเรยี น

4. ทำแบบฝึกหัด กิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้ ใบงาน 8. การสังเกตพฤติกรรมนักเรยี นดา้ นการทำงานกลุ่ม

และแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธิ์ 9. การประเมินการนำเสนอผลงานหนา้ ชน้ั เรยี น

5. รว่ มกิจกรรมท่ีครูกำหนด

6. สรปุ ข้อมลู /สาระสำคญั และจดบนั ทกึ

แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 1/1 เวลา 17 ช่วั โมง
เรอื่ งจำนวนเชงิ ซอ้ นและสมบตั ขิ องจำนวนเชิงซอ้ น

1. ผลการเรยี นรู้

เขา้ ใจจำนวนเชิงซ้อนและใช้สมบตั ขิ องจำนวนเชิงซอ้ นในการแกป้ ญั หา

2. แนวคดิ สำคัญ

จำนวนเชิงซ้อน คือ จำนวนที่เขียนในรูป a + bi หรือ (a, b) โดยเรียก a ว่าส่วนจริง และเรียก b ว่า
ส่วนจนิ ตภาพ

3. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

3.1 มีความคดิ รวบยอดเก่ยี วกับจำนวนเชิงซ้อน
3.2 นำสมบตั ติ า่ งๆ เกี่ยวกับจำนวนเชงิ ซอ้ น และการดำเนินการไปใช้แกป้ ญั หาได้
3.3 หารากทีส่ องของจำนวนเชงิ ซ้อนได้
3.4 เขยี นกราฟและหาค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ นได้

4. สาระการเรยี นรู้

4.1 จำนวนจนิ ตภาพและจำนวนเชิงซ้อน
4.2 วธิ กี ารบวก ลบ คูณ หารจำนวนเชงิ ซ้อน
4.3 สมบตั ิเก่ยี วกับการบวกและการคณู ของจำนวนเชิงซอ้ น
4.4 ตัวผกผนั การบวก ตัวผกผันการคณู และสังยคุ ของจำนวนเชิงซ้อน
4.5 รากทส่ี องของจำนวนเชิงซ้อน

4.6 กราฟและคา่ สมั บรู ณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน
5. ช้นิ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการทำแบบทดสอบก่อนเรยี น
5.2 ผลการปฏิบตั ิงานตามใบงานที่ 1
5.3 ผลการปฏบิ ตั งิ านตามใบงานที่ 2
5.4 ผลการปฏบิ ตั ิงานตามแบบฝกึ หัดที่ 1

6. คำถามสำคัญ

6.1 จงบอกความหมายของจำนวนเชงิ ซอ้ น
6.2 การบวกและการลบจำนวนเชิงซอ้ นมีวธิ ีการอย่างไร
6.3 การหาตวั ผกผนั การบวกและตัวผกผนั การคูณของจำนวนเชิงซอ้ นทก่ี ำหนดให้มีวิธกี ารอย่างไร
6.4 การคณู และการหารจำนวนเชงิ ซอ้ นท่ีกำหนดใหม้ ีวธิ กี ารอย่างไร
6.5 การหาสงั ยคุ ของจำนวนเชิงซ้อนท่ีกำหนดให้มีวิธีการอยา่ งไร
6.6 การหารากทีส่ องของจำนวนเชิงซอ้ นท่ีกำหนดให้มีวธิ ีการอยา่ งไร
6.7 การหาคา่ สัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ นท่ีกำหนดให้มวี ิธกี ารอย่างไร
6.8 การเขียนกราฟของจดุ z ทง้ั หมดในระนาบเชิงซ้อนซง่ึ สอดคลอ้ งกบั สมการท่ีกำหนดให้มีวิธกี ารอยา่ งไร

7. กิจกรรมการจัดการเรียนรู้

7.1 ขั้นนำ
1. ครูใหน้ กั เรยี นทำแบบทดสอบก่อนเรียน ตรวจแล้วบอกคะแนนแกน่ กั เรียนเพื่อให้นกั เรยี นทราบวา่ ตนเอง

มีพน้ื ฐานความรเู้ ร่ืองจำนวนเชิงซ้อนในระดับใด จะไดว้ างแผนการเรียนไดอ้ ย่างเหมาะสม ซง่ึ ครูควรช่วยแนะนำ
2. ครใู หน้ กั เรยี นพิจารณาสมการกำลังสอง x2 + 1 = 0
จะได้ x2 = –1

ครูถามนักเรียนว่ามีจำนวนจรงิ ใดท่ียกกำลงั สองแลว้ ได้ –1 หรือไม่ (นักเรียนควรตอบไดว้ ่าไม่มี เน่ืองจาก
ไม่มีจำนวนจริงใดทย่ี กกำลังสองแลว้ นอ้ ยกว่าศูนย์)

ครอู ธบิ ายตอ่ ไปว่า นกั คณติ ศาสตร์จึงได้สร้างระบบจำนวนชนิดใหม่ เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้หา
คา่ ของ x จากสมการ x2 = –1 ได้ โดยได้เสนอความคดิ เห็นให้ i แทนจำนวนเหล่านีซ้ ง่ึ

i2 + 1 = 0

i2 = –1

สามารถเขียนในรูป i = −1

และเรยี ก i ว่ารากท่ีสองของ –1

7.2 ข้นั สอน

1. ครใู หน้ กั เรียนอา่ นบทนยิ ามในเอกสารประกอบการเรียน

บทนยิ าม เมือ่ a เป็นจำนวนจริงทม่ี ากกว่า 0 แล้ว − a = a −1 = a i

ใช้สญั ลักษณ์ i แทน −1 น่ันคือ i = −1

i2 = –1 เรยี ก i วา่ จำนวนจนิ ตภาพ เช่น

−3 = 3i

− 4 = 4 i = 2i

แลว้ ใหน้ กั เรียนออกมาหาค่าของ in เมื่อ n เป็นจำนวนเตม็ บวกใดๆ โดยนำ n หารด้วย 4 แล้วพิจารณา

วา่ เป็นการหารลงตัวหรือเป็นการหารท่เี หลือเศษเป็น 1, 2 และ 3 โดยใชห้ ลกั เกณฑ์ตอ่ ไปน้ี

คา่ ของ in จะมีคา่ แตกต่างกันได้ 4 ค่า คือ i, –1, –i และ 1

ถ้า n หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 1 แลว้ in มีค่า i

ถา้ n หารด้วย 4 เหลือเศษ 2 แลว้ in มคี า่ –1

ถา้ n หารด้วย 4 เหลือเศษ 3 แล้ว in มีคา่ –i

ถ้า n หารดว้ ย 4 ลงตวั แลว้ in มคี า่ 1

2. ครูและนักเรยี นร่วมกันทำโจทย์ตัวอย่างที่ 1 ในหนงั สือเรยี นบนกระดาน โดยใช้วิธีการถาม-ตอบ จากน้ัน

แนะนำว่าคา่ ทค่ี วรจำ ได้แก่ i2 = –1, i3 = –i, i4 = 1

3. ครูให้นักเรียนอ่านบทนยิ ามในเอกสารประกอบการเรียน ซึ่งเกี่ยวกับการเท่ากัน การบวก การคูณของ
จำนวนเชงิ ซอ้ น

บทนยิ าม จำนวนเชงิ ซ้อน คือ ค่อู นั ดบั (a, b) เม่ือ a, b เปน็ จำนวนจริงใดๆ ถา้ ให้ (a, b) และ (c, d)
เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น จะนิยามการเทา่ กัน การบวกและการคณู ของจำนวนเชิงซ้อนดังน้ี

1. การเทา่ กนั (a, b) = (c, d) กต็ ่อเมอ่ื a = c และ b = d
2. การบวก (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
3. การคูณ (a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc)
4. ครูอธิบายวา่ จำนวนเชิงซ้อน ได้แก่ คอู่ นั ดับของจำนวนจรงิ (a, b) สามารถเขียนใหอ้ ยู่ในรูป a + bi น่ัน
คอื (a, b) = a + bi
เช่น (2, 3) = 2 + 3i
(–5, 1) = –5 + i
(4, –7) = 4 + (–7i)
(6, 0) = 6 + 0i = 6
(0, 6) = 0 + 6i = 6i
5. ครูกล่าวสรปุ อีกคร้งั วา่
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi
(a, 0) หรอื a เรียกวา่ สว่ นจรงิ (real part)
(0, b) หรอื b เรยี กวา่ ส่วนจินตภาพ (imaginary part)

6. ครยู กตวั อย่างจำนวนเชิงซ้อนหลายๆ จำนวน แล้วใหน้ กั เรียนบอกว่าจำนวนใดคือสว่ นจรงิ จำนวนใดคือ
สว่ นจนิ ตภาพ เช่น

(1) (–1, 5) → สว่ นจริงคอื –1
สว่ นจินตภาพ คอื 5

(2) –2 –3i → ส่วนจรงิ คือ –2
สว่ นจนิ ตภาพ คือ –3

(3) 4i = 0 + 4i → สว่ นจรงิ คือ 0
สว่ นจินตภาพ คอื 4

(ครูแนะนำว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่าจำนวน
จนิ ตภาพแท้)

(4) 2 + 0i = 2 → สว่ นจรงิ คือ 2
ส่วนจนิ ตภาพ คือ 0

(ครูแนะนำวา่ จำนวนเชิงซ้อนทมี่ ีสว่ นจนิ ตภาพเปน็ ศูนยก์ ค็ ือจำนวนจริงนั่นเอง)
7. ครูอธิบายการเท่ากนั การบวก การลบ การคูณ ของจำนวนเชงิ ซ้อนทีอ่ ยู่ในรปู a + bi ดงั น้ี

ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง
(1) a + bi = c + di กต็ ่อเมอื่ a = c และ b = d
(2) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(3) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
(4) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
8. ครยู กตวั อยา่ งต่อไปนบ้ี นกระดาน ให้นกั เรยี นชว่ ยกนั แสดงความคิดเห็นในการหาคำตอบ
กำหนด z1 = 5 – i และ z2 = 6 + 3i จงหาสว่ นจริงและสว่ นจินตภาพของ
(1) z1 + z2
(2) z1z2
วธิ ที ำ (1) z1 + z2 = (5 – i) + (6 + 3i)

= (5 + 6) + (–1 + 3)i
= 11 + 2i
ส่วนจริงคือ 11
สว่ นจนิ ตภาพคอื 2
(2) z1z2 = (5 – i)(6 + 3i)
= (5)(6) + (5)(3i) + (–i)(6) + (–i)(3i)
= 30 + 15i + (–6i) + (–3i2)
= 30 + 9i + 3 (i2 = –1)
= 33 + 9i
หรอื ใช้สูตร (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

(5 – i)(6 + 3i) = [(5)(6) – (–1)(3)] + [(5)(3) + (–1)(6)]i
= (30 + 3) + (15 – 6)i
= 33 + 9i

ส่วนจรงิ คอื 33
สว่ นจนิ ตภาพคอื 9

9. ครูเขียนโจทย์ตัวอย่างที่ 2, 3 และ 4 ในเอกสารประกอบการเรียนบนกระดาน ให้นักเรียนอาสาสมัคร
ออกมาแสดงวิธีหาคำตอบ

10. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุม่ ศึกษาหัวข้อที่ 1.3 สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซอ้ น โดย
ให้เวลา 20 นาที จากนั้นครูสุ่มเรียกนักเรียนในแต่ละกลุ่มออกมาอธิบายสมบัติต่างๆ หน้าชั้นเรียนคนละ
1 สมบตั ิ

11. ครูทบทวนความรู้เดิมที่ว่า ตัวผกผันการบวกของจำนวนจริงใดๆ คือจำนวนที่นำมาบวกกับจำนวนนนั้
แลว้ ได้เอกลักษณ์การบวก แลว้ ถามนักเรียนว่าตัวผกผันการบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน (a, b) หมายถึงจำนวนใด ให้
นกั เรยี นร่วมกันแสดงความคดิ เห็น

ครูสรุปวา่ ตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซอ้ น (a, b) หมายถึง จำนวนเชิงซ้อนท่ีบวกกับ (a, b) แล้ว
ไดเ้ อกลกั ษณ์การบวกในระบบจำนวนเชงิ ซ้อน คอื (0, 0)

พจิ ารณา (a, b) + (–a, –b) = (a – a, b – b) = (0, 0)
(–a, –b) + (a, b) = (–a + a, –b + b) = (0, 0)

เรากลา่ วว่า (–a, –b) เปน็ ตัวผกผนั การบวกของ (a, b)
หรือ –a – bi เป็นตวั ผกผันการบวกของ a + bi
ตัวผกผนั การบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน z เขียนแทนด้วย –z
12. ครูให้นักเรียนหาตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อนหลายๆ จำนวน เช่น ตัวผกผันการบวกของ
(4, –3) คือ (–4, 3)
ตัวผกผันการบวกของ 2 + 6i คอื –2 – 6i
ตัวผกผนั การบวกของ –5 + 7i คอื 5 – 7i
ตัวผกผันการบวกของ –3 – 4i คือ 3 + 4i
13. ครูทบทวนความรู้เดิมท่ีวา่ 1 เป็นเอกลักษณก์ ารคูณในระบบจำนวนจริง แล้วใหน้ ักเรยี นแสดงความเห็น
ว่า เอกลกั ษณก์ ารคูณในระบบจำนวนเชิงซอ้ นควรเป็นจำนวนใด
ให้นักเรยี นพจิ ารณาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปน้ี
(2, 4)(1, 0) = (1, 0)(2, 4) = (2, 4)
(–3, 5)(1, 0) = (1, 0)(–3, 5) = (–3, 5)
(–1, –6)(1, 0) = (1, 0)(–1, –6) = (–1, –6)
สรปุ ไดว้ า่ (1, 0) เปน็ เอกลกั ษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซอ้ น
14. ครูทบทวนความร้เู ดิมทวี่ ่า ตัวผกผนั การคูณของจำนวนจริงใดๆ คือจำนวนท่นี ำมาคูณกับจำนวนน้ันแล้ว
ได้เอกลักษณ์การคูณ แล้วถามนักเรียนว่า ตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อน (a, b) หมายถึงจำนวนใด ให้
นกั เรยี นรว่ มกันแสดงความคิดเห็น

ครูสรุปวา่ ตัวผกผันการคณู ของจำนวนเชิงซ้อน (a, b) หมายถงึ จำนวนเชิงซ้อนทีค่ ณู กบั (a, b) แล้วได้

เอกลกั ษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน คอื (1, 0)

ถา้ (a, b) เป็นจำนวนเชงิ ซ้อนที่ไม่เท่ากับ (0, 0)

ให้ (x, y) เป็นตัวผกผันการคูณของ (a, b)

จะได้ (a, b)(x, y) = (x, y)(a, b) = (1, 0)

ตวั ผกผันการคูณของ (a, b) คือ  a2 a , −b 
+ b2 a2 + b2

ตัวผกผนั การคณู ของ a + bi คือ a2 a − a2 b i = a − bi
+ b2 + b2 a2 + b2

15. ครใู ห้นกั เรียนศกึ ษาตัวอยา่ งที่ 5-8 ในเอกสารประกอบการเรยี น โดยให้เวลา 15 นาที จากนั้นครูเขียน

โจทย์ต่อไปน้บี นกระดาน ให้นักเรยี นอาสาสมคั รออกมาแสดงวธิ ีหาคำตอบ

จงหาตัวผกผนั การบวกและตวั ผกผันการคณู ของจำนวนเชิงซอ้ น

1. (5, –12) 2. (–7, 2)

3. 4 + 3i 4. –4 – 3i

วิธที ำ 1. ตวั ผกผนั การบวกของ (5, –12) คือ (–5, 12)

ตัวผกผันการคูณของ (5, –12) คือ  52 5 , − (−12)  =  5 , 12 
 (−12)2 52 + (−12)2   169 169 
+

2. ตัวผกผันการบวกของ (–7, 2) คอื (7, –2)

ตวั ผกผนั การคณู ของ (–7, 2) คือ  − 7 22 , − 2  =  − 7 , − 2 
 (−7)2 + 22   53 53 
(−7)2 +

3. ตัวผกผันการบวกของ 4 + 3i คือ –4 – 3i

ตวั ผกผนั การคณู ของ 4 + 3i คือ  4  −  42 3  i = 4−3i
+ 32   + 32 25 25
 42 

4. ตัวผกผันการบวกของ –4 – 3i คือ 4 + 3i

ตัวผกผนั การคูณของ –4 – 3 i คอื  −4  −  −3  i = − 4 + 3i
 (−42 ) + (−32 )   (−42 ) + (−32 )  25 25
  

16. ครูให้นักเรียนอ่านนิยามสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนและสมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนในเอกสาร

ประกอบการเรยี น จากนั้นให้นกั เรยี นหาสงั ยุคของจำนวนเชงิ ซ้อนที่กำหนดให้

เช่น สงั ยคุ ของ 5 + 2i คอื 5 – 2i

สงั ยุคของ –5 – 2i คือ –5 + 2i

สังยคุ ของ –5 + 2i คือ –5 – 2i

สงั ยคุ ของ 2i คือ –2i

สังยุคของ 2 คอื 2

ครูให้ข้อสังเกตว่า จำนวนเชิงซ้อนทีส่ ่วนจินตภาพไมเ่ ท่ากับศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนและสังยุคของจำนวน

เชงิ ซ้อนจะต่างกันตรงที่เครื่องหมายของส่วนจนิ ตภาพเทา่ นั้น หรอื กลา่ วอกี อยา่ งหนึง่ ว่ามีส่วนจนิ ตภาพเป็นจำนวน

ตรงข้ามกัน

17. ครอู ธิบายวา่ ถ้าเรานำจำนวนเชิงซ้อนกับสงั ยคุ ของจำนวนเชิงซ้อนมาคณู กัน ผลคณู จะเปน็ จำนวนจรงิ

กลา่ วคือ (a + bi)(a – bi) = a2 – (bi)2

= a2 – b2i2

= a2 + b2 (i2 = –1)

จากข้อสรปุ ดงั กล่าว เราสามารถนำไปใช้ในการหาผลหารของจำนวนเชงิ ซอ้ นได้ เช่น ต้องการหาค่าของ

(3 + 2i)  (4 – 3i) ใช้สังยคุ ของตวั หารมาคณู ท้ังตวั ต้ังและตัวหาร

นัน่ คอื 3 + 2i = 3 + 2i 4 + 3i
4 − 3i


4 − 3i 4 + 3i
12 + 9i + 8i − 6
= 42 − (3i)2

= 6 +17i
16 − (−9)
6 +17i
= 25

= 6 + 17 i
25 25

18. ครูให้นักเรียนศึกษาหัวข้อการหารจำนวนเชิงซอ้ นในเอกสารประกอบการเรียน จากนั้นครูและนักเรียน

รว่ มกนั สรปุ วธิ กี ารหารจำนวนเชิงซอ้ นบนกระดาน ดงั นี้

วิธที ่ี 1 ใช้ตัวผกผันการคณู

กำหนดจำนวนเชิงซอ้ น z1 และ z2 โดยที่ z2  0
จะนิยามวา่ z1  z2 = z1  z2−1

วิธที ี่ 2 ใชส้ งั ยุค
โดยนำสังยคุ ของจำนวนเชงิ ซอ้ นทีเ่ ป็นตวั หารมาคูณทั้งตัวเศษและตัวสว่ น

สำหรับวธิ ีท่ี 1 ครูขยายความบนกระดานดังน้ี
ถา้ z1 = a + bi และ z2 = c + di

z1  z2 = z1z2−1

= (a + bi)  c − di 
 c2 + d2 

= ac + bd +  bc − ad  i
c2 + d2  c2 + d2 

จากนั้นครูและนกั เรยี นร่วมกันทำโจทยต์ ัวอยา่ งที่ 9-10 ในเอกสารประกอบการเรียนบนกระดานโดยใชว้ ิธี

ถาม-ตอบ

19. ครทู บทวนความรูเ้ ก่ียวกับการหารากท่ีสองของจำนวนจรงิ บวกใดๆ คอื การหาจำนวนท่ยี กกำลังสองแล้ว

ไดจ้ ำนวนจริงบวกจำนวนนัน้

เชน่ 2 และ –2 เปน็ รากทสี่ องของ 4

เนอ่ื งจาก 22 = (–2)2 = 4

5 และ –5 เปน็ รากทสี่ องของ 25

เน่ืองจาก 52 = (–5)2 = 25

ในทำนองเดียวกัน เมื่อ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่สองของ z คือจำนวนเชิงซ้อนที่ยกกำลังสอง

แลว้ เทา่ กับ z

เชน่ ถ้า w เปน็ รากท่สี องของ z แล้ว w2 = z

ถา้ –w เปน็ รากที่สองของ z แล้ว (–w)2 = z

20. ครูเขียนทฤษฎีบทต่อไปนบี้ นกระดาน

ทฤษฎบี ท กำหนดจำนวนเชงิ ซอ้ น z = x + yi และให้ r = x2 + y2 รากท่ีสองของ z คือ

  r +x + r − x i  เมือ่ y  0
 2 
2

  r +x − r − x i  เมอื่ y < 0
 2
2

โดยใหน้ กั เรียนศึกษาที่มาของทฤษฎบี ทจากเอกสารประกอบการเรียน

21. ครูเขียนโจทย์ตัวอย่างที่ 11 ในเอกสารประกอบการเรียนบนกระดาน ให้นักเรียนช่วยกันแสดงความ

คดิ เหน็ ในการหาคำตอบ

22. ครใู ห้ขอ้ สงั เกตวา่ กรณีที่จำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจรงิ ลบ คอื z = –a เมอ่ื a > 0 จะได้ว่า รากท่ีสองของ

z คอื a i และ − a i

เช่น รากที่สองของ –16 คือ 4i และ –4i

รากทส่ี องของ –25 คอื 5i และ –5i

รากท่ีสองของ –3 คือ 3 i และ − 3 i
น่ันคอื ค่ารากทส่ี องของ z = –a เม่ือ a > 0 เป็นจำนวนจนิ ตภาพสองค่า
23. ครูอธิบายว่า นกั เรยี นเคยเรียนมาแล้วว่า คำตอบของสมการพหนุ าม ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a, b และ

c เปน็ จำนวนจรงิ โดยท่ี a  0 คอื −b  b2 − 4ac และจะมคี ำตอบเป็นจำนวนจริงเมอ่ื b2 – 4ac  0
2a
แตใ่ นกรณที ่ี b2 – 4ac < 0 จะไม่มคี ำตอบเป็นจำนวนจรงิ นน่ั คือ คำตอบของสมการเปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน ซงึ่ จะหา

คำตอบของสมการท่ีเปน็ จำนวนเชงิ ซ้อนได้จาก − b  b2 − 4ac i เมอื่ b2 – 4ac < 0
2a

24. ครูอธิบายวิธีหาเซตคำตอบของสมการพหุนามกำลังสอง โดยใช้ตัวอย่างที่ 12 ในเอกสารประกอบการ

เรียน เมอื่ นกั เรียนเขา้ ใจแลว้ ให้นกั เรยี นทำโจทยต์ ่อไปนี้เพ่ิมเตมิ

จงหาเซตคำตอบของสมการ x2 + 3x + 5 = 0

วิธที ำ x2 + 3x + 5 = 0 เทียบกับ ax2 + bx + c = 0 จะได้ a = 1, b = 3, c = 5

จากสตู ร x= − b  b2 − 4ac
2a

= − 3  32 − 4(1)(5)
2(1)

= − 3  −11
2

= − 3  11i
2

= 3 11 i
−2 2

ตรวจสอบ  − 3 + 11 i 2 + 3  − 3 + 11 i  + 5 =  9 − 141 − 3 11 i− 9 + 3 11 i+5
 2 2   2 2   4 2 2 2

=0

 − 3 − 11 i 2 + 3  − 3 − 11 i  + 5 =  9 − 141  + 3 11 i− 9 − 3 11 i+ 5
 2 2  2 2  4 2 2 2

=0

ดังนนั้ เซตคำตอบคอื − 3 + 11 i, − 3 − 11 i
 2 2 2 2


25. ครูอธิบายว่า เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปคู่อันดับ (a, b) โดยที่ a เป็นส่วนจริง และ b เป็น
ส่วนจินตภาพ เราจึงสามารถแทนจำนวนเชิงซ้อน (a, b) ใดๆ ด้วยจุดบนระนาบในระบบแกนมุมฉากได้ เรียก
แกนนอนว่า แกนจริง (real axis) เรียกแกนตั้งว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis) ระนาบท่ีเกิดจากแกนจริงและ
แกนจนิ ตภาพจะเรยี กวา่ ระนาบเชงิ ซ้อน (complex plane)

26. ครอู ธบิ ายหลักการเขยี นจดุ และเวกเตอร์บนระนาบเชงิ ซอ้ น ดังน้ี
เราแบ่งกราฟของจำนวนเชงิ ซ้อนเป็น 2 ลกั ษณะ คือ
1. ถ้า z = a + bi ซึ่งเขียนแทน z ในรูป (a, b) ได้อีกแบบหนึ่ง ดังนั้น กราฟของ z ก็คือจุดในระนาบ

เชิงซอ้ นซง่ึ
(1) ถา้ a เป็นจำนวนจรงิ บวก จำนวนเชิงซอ้ น z คือ จดุ (a, b) ในระนาบซ่ึงหา่ งจากแกน Y ไป

ทางขวามือ a หนว่ ย
(2) ถา้ a เปน็ จำนวนจรงิ ลบ จำนวนเชิงซ้อน z คือ จดุ (a, b) ในระนาบซ่ึงห่างจากแกน Y ไป

ทางซ้ายมือ a หนว่ ย
(3) ถ้า b เป็นจำนวนจริงบวก จำนวนเชิงซ้อน z คือ จุด (a, b) ในระนาบซึ่งอยู่เหนือแกน X

b หนว่ ย
(4) ถ้า b เป็นจำนวนจริงลบ จำนวนเชิงซ้อน z คือ จุด (a, b) ในระนาบซึ่งอยู่ต่ำกว่าแกน X

b หนว่ ย
แทนจำนวนเชงิ ซ้อน z = a + bi ดว้ ยเวกเตอรท์ ่ีมจี ุดเริม่ ต้นที่ (0, 0) และจุดส้ินสดุ ท่ี (a, b)
27. ครใู ห้นักเรียนอ่านบทนยิ ามคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน z ในเอกสารประกอบการเรียน

บทนิยาม คา่ สมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซ้อน z เขยี นแทนด้วย z หรือ a + bi โดยที่
z = a2 + b2

จากนั้นครูเขียนโจทย์ตัวอย่างที่ 13 ในเอกสารประกอบการเรียนบนกระดาน ให้นักเรียนช่วยกันแสดง
ความคิดเหน็ ในการหาคำตอบ

28. ครใู หน้ ักเรยี นศึกษาสมบัตขิ องคา่ สมั บรู ณ์ในเอกสารประกอบการเรยี น
29. ให้นกั เรยี นตัวอยา่ งท่ี 14-15 ในเอกสารประกอบการเรียน
30. ครูให้นักเรียนช่วยกันหาคำตอบของโจทย์ในแบบฝึกหัดที่ 1 โดยทำเป็นกลุ่มเพื่อจะไดป้ รึกษาหารอื กัน
จากนนั้ ใหแ้ ต่ละกลุ่มแลกเปลี่ยนกนั ตรวจสอบความถูกต้อง
31. ให้นักเรยี นนำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวียนไปจนครบทกุ ข้อ
7.3 ข้ันสรปุ
ครแู ละนักเรียนร่วมกนั สรุปในประเด็นตอ่ ไปนี้

1. วิธีการบวก ลบ คูณ หารจำนวนเชิงซ้อน
2. วธิ กี ารหาตวั ผกผนั การบวกและตวั ผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อน
3. วิธีการหาสงั ยุคและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน
4. วิธีการหารากท่ีสองของจำนวนเชงิ ซอ้ น

8. สื่อการเรยี นรแู้ ละแหลง่ การเรียนรู้

8.1 สือ่ การเรียนรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 ของสถาบันส่งเสริมการสอน

วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร
2. เอกสารประกอบการเรยี น เร่อื ง จำนวนเชิงซอ้ น
3. แบบทดสอบกอ่ นเรียน
4. ใบงานที่ 1
5. ใบงานที่ 2
6. แบบฝึกหดั ที่ 1

8.2 แหล่งการเรยี นรู้
1. ห้องสมดุ ของโรงเรยี น
2. ห้องปฏิบัติการกลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
3. อนิ เทอร์เนต็ จากเวบ็ ไซต์ตา่ งๆ

9. การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

9.1 แบบทดสอบกอ่ นเรยี นแบบเลอื กตอบ (4 ตัวเลอื ก) จำนวน 15 ข้อ
9.2 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝกึ หัดท่ี 1
9.3 ตรวจผลงานจากการทำใบงานท่ี 1
9.4 ตรวจผลงานจากการทำใบงานท่ี 2
9.5 ตรวจผลงานจากสมดุ บันทึกความรู้
9.6 การสังเกตพฤติกรรมการเรยี นรขู้ องนักเรียน

9.7 การสังเกตพฤตกิ รรมนกั เรียนด้านการทำงานกลุ่ม
9.8 การประเมินการนำเสนอผลงานหน้าชน้ั เรยี น

เกณฑ์การประเมนิ เอกสารประกอบการเรยี นรู้

การใหค้ ะแนน/ระดบั คะแนน

ปรับปรุง (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดมี าก (4)
บันทกึ ข้อมลู ไมถ่ กู ต้อง บนั ทึกมีความถกู ตอ้ ง
บนั ทกึ มขี อ้ มูลแต่ยงั ไม่ บันทกึ มคี วามถกู ต้อง ชัดเจนครบถว้ นสมบรู ณ์

ครบถ้วนสมบูรณ์ สมบรู ณพ์ อสมควร

เกณฑ์คุณภาพการสงั เกตพฤตกิ รรมนักเรียนดา้ นการทำงานกลมุ่

ท่ี รายการประเมนิ ระดบั คณุ ภาพ 3
1 การทำงานร่วมกนั 12 - ยอมรับมติของกลุ่ม
2 ความกระตือรือรน้ ยอมรับมติการทำงาน ยอมรับมติของกลมุ่ - รบั ผิดชอบงานทีร่ ับ
ของกลุม่ แตป่ ฏบิ ัตติ าม
3 การตอบคำถาม นอ้ ยครัง้ มอบหมายจากกลมุ่
4 ความคิดริเรมิ่ สร้างสรรค์ ชว่ ยเหลืองานภายใน - ชว่ ยเหลืองานในกล่มุ - ชว่ ยเหลืองานภายในกลุ่ม
กล่มุ เมื่อมีการร้องขอ - ร่วมแสดงความ - รว่ มแสดงความคิดเห็น
- ใฝ่รู้ใฝเ่ รยี น
คิดเหน็ - ศกึ ษาคน้ คว้า
ใหค้ วามรว่ มมอื ในการตอบ
มสี ่วนรว่ มในการตอบ มีส่วนรว่ มในการตอบ คำถามเป็นอย่างดี
คำถามนอ้ ยมาก คำถามบางคร้ัง รว่ มรับฟังและแสดงความ
รว่ มกจิ กรรมตามทกี่ ลุ่ม รับฟงั แตแ่ สดงความ คดิ เหน็ ทแี่ ตกตา่ ง แตม่ ี
ขอร้อง คิดเหน็ ท่ีคล้อยตาม ประโยชน์
เพื่อนๆ

แบบประเมนิ พฤตกิ รรมการเรียนรู้
วิชาคณิตศาสตร์เน้นวทิ ย์ 4 เร่อื ง ............................................... ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5/........

ลำดับ ชอ่ื -นามสกลุ ความตั้งใจ การตัง้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ
ท่ี มงุ่ ม่ัน คำถาม กจิ กรรม ในเวลา สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ตอบ
(4) คำถาม กลุ่ม ท่ี (4) (20) (10)
(4) กำหนด
(4)
(4)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมนิ นใ้ี ช้ได้ตลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมิน

ลงชือ่ .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

แบบการประเมนิ การสงั เกตพฤตกิ รรมนกั เรยี นด้านการทำงานกลุ่ม

รายการประเมนิ สรุปผล

ท่ี ช่ือ-สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคิด รวม ผา่ น ไมผ่ ่าน
รว่ มกนั กระตอื รอื ร้ คำถาม ริเริ่ม (12)

(3) น (3) (3) สร้างสรรค์

(3)

1

2

3

4

5

6

7

8

เกณฑ์การประเมิน
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดบั 2 = พอใช้
ต่ำกวา่ 5 คะแนน ระดับ 1 = ควรปรับปรุง

สรุปผลการประเมนิ
 ดี  พอใช้  ปรับปรงุ

เกณฑก์ ารตัดสินใจ
 ผ่าน  ไมผ่ ่าน

หมายเหตุ : เกณฑเ์ ป็นไปตามทโี่ รงเรยี นกำหนด

ลงชือ่ .................................................... ผปู้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าชน้ั เรียน
กลมุ่ ที่ ......... เรอ่ื ง ..................................................... ชั้น ....... /........

คำชี้แจง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขีด ✓ ลงในชอ่ งวา่ ง
ที่ตรงกบั ระดบั คะแนน

ลำดับที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 ความถูกต้องของเนื้อหา
2 ความคดิ สรา้ งสรรค์

3 วธิ กี ารนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใช้ประโยชน์
5 การตรงต่อเวลา

รวม

ลงช่อื .................................................... ผูป้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑก์ ารให้คะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบูรณ์ชัดเจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ปฏิบตั ิหรอื แสดงผลงานมขี ้อบกพรอ่ งเปน็ สว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานมขี อ้ บกพรอ่ งมาก

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 1/2 เวลา 4 ช่วั โมง
เรอ่ื งจำนวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชิงขัว้

1. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจจำนวนเชงิ ซ้อนและใช้สมบตั ิของจำนวนเชงิ ซ้อนในการแก้ปญั หา

2. แนวคดิ สำคญั

z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน สามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูป z = r (cos  + i sin ) โดยเรียก
รปู แบบนีว้ ่ารูปเชงิ ขว้ั ของ z และเรยี ก  วา่ อาร์กิวเมนตข์ อง z

3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

เม่ือกำหนดจำนวนเชิงซอ้ นในรปู z = a + bi ให้ สามารถเขียนในรปู เชงิ ขว้ั ได้

4. สาระการเรียนรู้

การเขยี นจำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชิงข้ัว

5. ชิน้ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏบิ ตั งิ านตามแบบฝึกหัดท่ี 2
5.2 ผลการปฏิบัติงานตามใบงานท่ี 3
5.3 ผลการปฏบิ ัติงานตามใบงานท่ี 4
5.4 ผลการเขยี น Mind Mapping

6. คำถามสำคัญ

การเขยี นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ข้ัวมวี ิธีการอย่างไร

7. กจิ กรรมการจัดการเรียนรู้

7.1 ข้ันนำ

ครูทบทวนความรใู้ นการวาดกราฟของจำนวนเชิงซ้อน โดยใหน้ ักเรียนทำโจทย์ต่อไปน้ี

จงเขยี นกราฟของ i (3 + 4i) และ 3 + 4i
i
Y
วิธีทำ i (3 + 4i) = 3i + 4i2

= –4 + 3i (–4, 3•)
O
= (–4, 3)

3 + 4i = 3 + 4i  − i X
i − i •(4, –3)
i

= − 3i − 4i2
− i2
− 3i + 4
= 1

= 4 – 3i

= (4, –3)

จากนั้นครูเขียนว่า “จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว” บนกระดาน แล้วให้นักเรียนช่วยกันตอบว่า จำนวน

เชงิ ซอ้ นในรปู เชิงขั้วมลี ักษณะอย่างไร และมีวิธีการเขยี นในรูปเชงิ ข้ัวไดอ้ ย่างไร

7.2 ข้ันสอน

1. ครอู ธบิ ายว่า สำหรบั z = x + yi เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น โดยที่ z  0 เขยี นแทน z ด้วยเวกเตอรบ์ นระนาบ

ดังนี้ Y

เม่ือ  เปน็ มุมบวกทีเ่ ล็กที่สุดที่เกดิ จากการหมุน zyOiP=P x+ จากแกน X ทางดา้ นบวกไปยงั OP

ทวนเขม็ นาฬกิ า

ให้ r = OP r
y

 D X

Ox

2. จากรูปสามเหลย่ี ม OPD ครูใหน้ ักเรียนบอกคา่ ของ cos , sin  และ tan  นักเรียนควรตอบได้ว่า

cos  = OD = x
OP r
PD y
sin  = OP = r

tan  = PD = y เม่ือ x  0
OD x
แล้วให้นักเรยี นหาค่า x, y และ r

จะได้ x = r cos 

y = r sin 

r = x2 + y2 = z

3. ครูอธิบายต่อไปว่า เมื่อเราแทนค่า x = r cos , y = r sin  ใน z = x + yi จะได้ z = x + yi ในรูป
ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ ดงั นี้

z = x + yi

z = r cos  + (r sin ) i

ดังนัน้ z = r (cos  + i sin )

เรียกรูปแบบการเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูป z = r (cos  + i sin ) ว่ารูปเชิงขั้ว (polar form) และ

เรยี ก  ว่าอารก์ วิ เมนต์ (argument) ของ z
4. ครูใหน้ กั เรียนพิจารณาวา่ เมื่อ n เป็นจำนวนใดๆ

cos ( + 2n) = cos 

และ sin ( + 2n) = sin 

ดังนั้น cos ( + 2n) + i (sin ( + 2n)) = cos  + i sin 

สรุปได้ว่า เมื่อ  เป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z แล้ว  + 2n เป็นอาร์กิวเมนต์ของ z ด้วย
สำหรับทกุ จำนวนเตม็ n

5. ครูใหน้ กั เรียนแบ่งกลมุ่ ศึกษาตัวอย่างที่ 1 ในเอกสารประกอบการเรียน จากน้นั ครูสุ่มเรียกนักเรียนออกมา
แสดงวิธีทำบนกระดานจนครบทกุ ขอ้

6. ครูให้นักเรียนสร้างโจทย์การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว โดยใช้โจทย์ตัวอย่างที่ 1 ในเอกสาร
ประกอบการเรียนเป็นแนวทาง กลุ่มละ 2 ข้อ โดยตัวแทนกลุ่มออกมาเขยี นโจทย์บนกระดาน ให้นักเรียนกลุ่มอ่ืน
แขง่ กนั หาคำตอบ

7. ครูใหข้ อ้ สรุปวิธเี ขียนจำนวนเชงิ ซ้อนในรูปเชงิ ขว้ั ว่าเราสามารถหาคา่ r และ  ได้จากความสัมพนั ธ์

r = z = x2 + y2

tan  = y เม่อื x  0
x

จากนนั้ แทนคา่ r และ  ในรูปเชงิ ขั้ว z = r (cos  + i sin )

8. ครใู ห้นักเรียนกลุ่มเดมิ ศึกษาทฤษฎบี ทที่ 1 ในเอกสารประกอบการเรยี น

ทฤษฎบี ทท่ี 1 ให้ z1 และ z2 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน โดยท่ี

z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) และ z2 = r2 (cos 2 + i sin 2) โดยท่ี z2  0

จะได้ 1. z1z2 = r1r2 [cos (1 + 2) + i sin (1 + 2)]

2. z1 = r1 [cos (1 – 2) + i sin (1 – 2)]
z2 r2

จากนั้นครูสุ่มเรยี กนักเรียนออกมาแสดงวิธีพิสจู น์ทฤษฎีบทข้างต้นบนกระดานคนละ 1 บรรทัด โดยครู

ให้ข้อสรุปว่าทฤษฎีบทดงั กลา่ วจะนำไปใชใ้ นการหาผลคูณและผลหารของจำนวนเชิงซ้อนได้รวดเรว็ และงา่ ยขึ้น โดยครู

และนักเรียนรว่ มกนั ทำโจทย์ตวั อยา่ งท่ี 2 บนกระดานโดยใช้วิธีถาม-ตอบ

9. ครแู จกใบงานที่ 3 ใหน้ ักเรียนแตล่ ะกลุ่ม เมื่อทกุ กลมุ่ ทำเสรจ็ แล้ว ครูและนักเรยี นรว่ มกันเฉลยคำตอบ

10. ครูแสดงการคูณจำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชิงข้วั ตอ่ ไปน้ีบนกระดาน

ถ้า z = r (cos  + i sin ) แลว้

z2 = zz = r2 (cos 2 + i sin 2)

z3 = z2z = r3 (cos (2 + ) + i sin (2 + )) = r3 (cos 3 + i sin 3)
แลว้ จงึ เขยี นสรปุ เปน็ ทฤษฎีบทดังนี้

ทฤษฎีบทเดอมวั ฟวร์

ถา้ z = r (cos  + i sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ข้วั และ n  I+ จะได้

zn = rn (cos n + i sin n)

11. ครแู ละนักเรียนร่วมกนั ทำโจทย์ตวั อย่างท่ี 3 ในเอกสารประกอบการเรยี นบนกระดานโดยใชว้ ิธีถาม-ตอบ

12. ครูให้นักเรยี นทำใบงานที่ 4 พรอ้ มท้งั ตรวจสอบความถูกต้องในการทำกิจกรรมของนักเรยี น

13. ครูให้นักเรียนช่วยกันหาคำตอบของโจทย์ในแบบฝึกหัดที่ 2 โดยทำเป็นกลุ่ม จากนั้นแต่ละกลุ่ม

แลกเปล่ียนกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

14. ใหน้ ักเรยี นแตล่ ะกลมุ่ ออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวียนไปจนครบทกุ ข้อ

7.3 ขั้นสรปุ

ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปความคิดรวบยอดเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว โดยเขียนเป็นแผนผัง

ความคดิ (Mind Mapping) เช่น

r = z = รูปเชิงขว้ั ของ z = x + yi คอื sin  =
cos  =
z = r (cos  + i sin ) tan  =

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงข้วั

ทฤษฎบี ทเดอมวั ฟวร์

zn = rn (cos n + i sin n)

กำรดำเนนิ กำรของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ขว้ั
กำรคณู : z1z2 = r1r2 [cos (1 + 2) + i sin (1 + 2)]
กำรหำร : = [cos (1 – 2) + i sin (1 – 2)]

8. สื่อการเรยี นรแู้ ละแหลง่ การเรียนรู้

8.1 สอ่ื การเรียนรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 ของสถาบันส่งเสริมการสอน

วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร
2. เอกสารประกอบการเรยี น เร่อื ง จำนวนเชงิ ซ้อน
3. แบบฝกึ หัดท่ี 2
4. ใบงานที่ 3
5. ใบงานท่ี 4

8.2 แหล่งการเรยี นรู้

1. หอ้ งสมุดของโรงเรียน
2. หอ้ งสมุดกลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์
3. อินเทอร์เนต็ จากเว็บไซต์ตา่ งๆ

9. การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

9.1 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝกึ หดั ที่ 2
9.2 ตรวจผลงานจากการทำใบงานท่ี 3
9.3 ตรวจผลงานจากการทำใบงานที่ 4
9.4 ตรวจผลงานจาก Mind Mapping
9.5 ตรวจผลงานจากสมดุ บันทึกความรู้
9.6 การสังเกตพฤติกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน
9.7 การสงั เกตพฤตกิ รรมนกั เรียนด้านการทำงานกลุ่ม
9.8 การประเมินการนำเสนอผลงานหนา้ ชน้ั เรยี น

เกณฑก์ ารประเมนิ การเขยี น Mind Mapping

ประเดน็ 4 ระดบั คุณภาพ 1
การประเมนิ (ดมี าก) 32 (ปรบั ปรุง)
การนำเสนอมกี าร (ด)ี (พอใช้) การนำเสนอมีการ
พ้ืนฐานเบ้ืองต้น เรียง การนำเสนอมกี าร การนำเสนอมกี าร เรียงลำดบั เนอ้ื หา
ของเซต ลำดบั เน้อื หาได้ดมี าก เรยี งลำดับเน้ือหาได้ เรยี งลำดับเน้อื หาได้ ทคี่ วรปรบั ปรุง ไม่
มคี วามตอ่ เน่ือง มี ดี มคี วามต่อเนื่อง พอใช้ มคี วาม มีความตอ่ เนอ่ื งมี
ประโยชน์ ให้แง่คดิ ที่ มีประโยชน์ ใหแ้ ง่ ตอ่ เนอื่ ง มีประโยชน์ ประโยชน์ นอ้ ย ให้
ดี คดิ น้อย ให้แงค่ ดิ น้อย แง่คิดนอ้ ย

เกณฑ์การประเมิน คุณภาพดมี าก
ระดบั คะแนน 10 คะแนน คณุ ภาพดี
ระดบั คะแนน 9 คะแนน คณุ ภาพพอใช้
ระดับคะแนน 7-8 คะแนน คณุ ภาพควรปรับปรุง
ระดบั คะแนน 5-6 คะแนน

เกณฑก์ ารประเมนิ สมุดบนั ทึกความรู้

เฉลยใบงำนท่ี 1

การใหค้ ะแนน/ระดับคะแนน

ปรบั ปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมาก (4)
บันทกึ ข้อมลู ไมถ่ ูกตอ้ ง บันทึกมีความถูกต้อง
บนั ทกึ มขี ้อมลู แตย่ งั ไม่ บนั ทกึ มคี วามถูกตอ้ ง ชัดเจนครบถ้วนสมบรู ณ์

ครบถ้วนสมบูรณ์ สมบูรณพ์ อสมควร

เกณฑ์คณุ ภาพการสงั เกตพฤตกิ รรมนกั เรยี นดา้ นการทำงานกลมุ่

ท่ี รายการประเมนิ ระดับคณุ ภาพ 3
1 การทำงานร่วมกนั 12 - ยอมรบั มตขิ องกลมุ่
2 ความกระตือรอื รน้ ยอมรับมติการทำงาน ยอมรับมติของกลมุ่ - รบั ผดิ ชอบงานที่รบั
ของกลุ่ม แต่ปฏิบัตติ าม
3 การตอบคำถาม นอ้ ยครงั้ มอบหมายจากกลุ่ม
4 ความคิดรเิ รม่ิ สร้างสรรค์ ช่วยเหลอื งานภายใน - ชว่ ยเหลอื งานในกลุ่ม - ช่วยเหลืองานภายในกลุม่
กลมุ่ เม่อื มีการร้องขอ - ร่วมแสดงความ - ร่วมแสดงความคดิ เหน็
- ใฝ่รู้ใฝ่เรยี น
คดิ เห็น - ศึกษาค้นควา้
ใหค้ วามรว่ มมือในการตอบ
มีสว่ นรว่ มในการตอบ มีส่วนรว่ มในการตอบ คำถามเปน็ อยา่ งดี
คำถามนอ้ ยมาก คำถามบางครั้ง ร่วมรับฟงั และแสดงความ
รว่ มกจิ กรรมตามทกี่ ล่มุ รบั ฟังแตแ่ สดงความ คิดเห็นทีแ่ ตกตา่ ง แต่มี
ขอรอ้ ง คิดเหน็ ท่ีคล้อยตาม ประโยชน์
เพือ่ นๆ

แบบประเมนิ พฤตกิ รรมการเรียนรู้
วิชาคณิตศาสตร์เน้นวทิ ย์ 4 เร่อื ง ............................................... ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5/........

ลำดับ ชอ่ื -นามสกลุ ความตั้งใจ การตัง้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ
ท่ี มงุ่ ม่ัน คำถาม กจิ กรรม ในเวลา สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ตอบ
(4) คำถาม กลุ่ม ท่ี (4) (20) (10)
(4) กำหนด
(4)
(4)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมนิ นใ้ี ช้ได้ตลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมิน

ลงชือ่ .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

แบบการประเมนิ การสังเกตพฤตกิ รรมนักเรยี นด้านการทำงานกล่มุ

รายการประเมนิ สรุปผล

ท่ี ช่ือ-สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคดิ รวม ผา่ น ไมผ่ า่ น
รว่ มกัน กระตือรอื ร้ คำถาม ริเริ่ม (12)

(3) น (3) (3) สร้างสรรค์

(3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑ์การประเมิน
9-12 คะแนน ระดบั 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ต่ำกว่า 5 คะแนน ระดับ 1 = ควรปรับปรงุ

สรุปผลการประเมิน
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑก์ ารตัดสนิ ใจ
 ผ่าน  ไม่ผ่าน

หมายเหตุ : เกณฑ์เปน็ ไปตามทีโ่ รงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผูป้ ระเมิน
(.............................................................................)

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหนา้ ชน้ั เรียน
กลมุ่ ที่ ......... เรอ่ื ง ..................................................... ชั้น ....... /........

คำชี้แจง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แลว้ ขดี ✓ ลงในชอ่ งวา่ ง
ที่ตรงกบั ระดบั คะแนน

ลำดับที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 ความถูกต้องของเนื้อหา
2 ความคดิ สรา้ งสรรค์

3 วธิ กี ารนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใช้ประโยชน์
5 การตรงต่อเวลา

รวม

ลงช่อื .................................................... ผูป้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑก์ ารให้คะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบูรณ์ชัดเจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ปฏิบตั ิหรอื แสดงผลงานมขี ้อบกพรอ่ งเปน็ สว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานมขี อ้ บกพรอ่ งมาก

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 1/3 เวลา 4 ช่วั โมง
เรื่องรากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซอ้ น เมอ่ื n เปน็ จำนวนนับทีม่ ากกวา่ 1

1. ผลการเรียนรู้

หารากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น เมอื่ n เป็นจำนวนนับทม่ี ากกว่า 1

2. แนวคิดสำคัญ

ถา้ z = r(cos  + i sin ) แลว้ รากที่ n ของ z มีท้งั หมด n รากที่แตกตา่ งกนั คือ

zk = n r cos θ + 2kπ  + i sin θ + 2kπ  เมอ่ื k  {0, 1, 2, …, n – 1}
n  n


3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

หารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ นทก่ี ำหนดให้ได้ เมอ่ื n เป็นจำนวนนับทีม่ ากกวา่ 1

4. สาระการเรยี นรู้

การหารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน เม่อื n เปน็ จำนวนนบั ทีม่ ากกวา่ 1

5. ชนิ้ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏบิ ตั งิ านตามแบบฝกึ หดั ที่ 3
5.2 ผลการปฏิบตั งิ านตามใบงานท่ี 5

5.3 ผลการเขยี น Mind Mapping

6. คำถามสำคัญ

การหารากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซ้อนท่ีกำหนดใหม้ ีวธิ กี ารอยา่ งไร

7. กจิ กรรมการจดั การเรียนรู้

7.1 ข้นั นำ
ครทู บทวนเกย่ี วกับความรู้เรอ่ื ง “รากที่ n ของจำนวนจริง” โดยซกั ถามนักเรียนวา่
(1) รากท่ี 3 ของ 8 คือจำนวนใด และเพราะอะไร
(นักเรียนควรตอบได้ว่า 2 เปน็ รากท่ี 3 ของ 8 เพราะ 23 = 8)
(2) รากที่ 5 ของ –32 คือจำนวนใด และเพราะอะไร
(นกั เรียนควรตอบไดว้ า่ –2 เป็นรากท่ี 5 ของ –32 เพราะ (–2)5 = –32)
(3) รากที่ 4 ของ 16 คือจำนวนใด และเพราะอะไร
(นักเรียนควรตอบได้วา่ 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16
และ –2 เป็นรากท่ี 4 ของ 16 เพราะ (–2)4 = 16)
(4) ถา้ 2i เป็นรากท่ี 3 ของ 2 + 11i แล้วจะหมายความวา่ อยา่ งไร
(นักเรียนควรตอบไดว้ า่ ถ้า 2 + i เป็นรากที่ 3 ของ 2 + 11i แลว้ (2 + i)3 = 2 + 11i)

7.2 ขน้ั สอน
1. ครเู ขียนโจทย์ตวั อย่างที่ 1 ในเอกสารประกอบการเรียนบนกระดาน เพื่อใหน้ กั เรียนแสดงว่า 2 + i เป็น

รากท่ี 3 ของ 2 + 11i ดังน้ี
(2 + i)3 = 8 + 12i + 6i2 + i3
= 8 + 12i – 6 – i
= 2 + 11i

แสดงว่า 2 + i เปน็ รากที่ 3 ของ 2 + 11i
2. ครูทบทวนทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์ แล้วให้นกั เรยี นทำโจทย์ตอ่ ไปน้ี

จงเขยี น (–1 + i)4 ในรูป x + yi
วธิ ที ำ ให้ r (cos  + i sin ) เปน็ รูปเชงิ ขั้วของ –1 + i

r = (−1)2 +12 = 2

tan  = 1 = –1
−1
π 3π
จะได้  =  – = 4 เน่อื งจากจุด (–1, 1) อยูใ่ นจตภุ าคที่ 2
4
3π 3π
ดังนั้น –1 + i = 2  cos 4 + i sin 4 
 

(–1 + i)4 =  2  cos 3π + i sin 3π 4
  4 4


= ( 2 )4 cos(4) 3π + i sin(4) 3π 
4 4 

= 4 (cos3π + isin3π)

= 4(cosπ + isinπ)

= 4(−1+ 0i)

= –4

3. ครูอธิบายว่าเราสามารถนำทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ มาใช้ประโยชน์ในการหาคำตอบของสมการ

xn = z เมอื่ z เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นท่กี ำหนดให้ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซงึ่ คำตอบของสมการ xn = z ก็คือราก

ท่ี n ของจำนวนเชิงซ้อน z นนั่ เอง

4. ครเู ขียนทฤษฎบี ทท่ี 2 ในเอกสารประกอบการเรียนบนกระดาน

ทฤษฎีบทท่ี 2 ถา้ z = n (cos  + i sin ) แล้วรากท่ี n ของ z มีทง้ั หมด n รากท่แี ตกต่างกัน

คอื zk = n r cos θ + 2kπ  + i sin θ + 2kπ  เมอ่ื k  {0, 1, 2, …, n – 1}
n  n


โดยครูแนะนำว่าเราจะนำทฤษฎีบทที่ 2 นี้มาช่วยในการหารากที่ n ทั้งหมดของจำนวนเชิงซ้อนท่ี

กำหนดใหน้ นั่ เอง

5. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม ศึกษาตัวอย่างที่ 2-4 แล้วสุ่มเรียกนักเรียนออกมาแสดงวิธีทำบนกระดาน

คนละ 1 บรรทดั

6. ครแู จกใบงานท่ี 5 ใหน้ กั เรยี นแต่ละกลมุ่ เมื่อทกุ กลุ่มทำเสรจ็ แลว้ ครูและนกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

7. ครูให้นักเรียนช่วยกันหาคำตอบของโจทย์ในแบบฝึกหัดที่ 3 โดยทำเป็นกลุ่ม จากนั้นแต่ละกลุ่ม

แลกเปลีย่ นกันตรวจสอบความถกู ต้อง

8. ใหน้ กั เรียนแตล่ ะกล่มุ ออกมานำเสนอแนวคิดในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทุกขอ้

7.3 ข้นั สรปุ
ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปความคิดรวบยอดเกี่ยวกับรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน โดยเขียนเป็นแผนผัง

ความคิด (Mind Mapping) เช่น

ข้นั ตอนกำรหำรำกท่ี n ของจำนวนเชงิ ซอ้ น z

ขน้ั ที่ 1
เขียน z ในรูปเชงิ ขวั้

ขน้ั ท่ี 2
ขยายมมุ  ในรูปมมุ ท่วั ไป คือเปล่ยี น 
เป็น  + 2k เม่อื k  0, 1, 2, …, n – 1

ขั้นท่ี 3
ใชท้ ฤษฎบี ทที่ 2 ในการหารากท่ี n ของจานวนเชิงซอ้ น z ดงั นี้

zk =

เม่อื k  {0, 1, 2, …, n – 1}

8. สอ่ื การเรยี นรู้และแหล่งการเรยี นรู้

8.1 ส่อื การเรยี นรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 ของสถาบันส่งเสริมการสอน

วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร
2. เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน
3. แบบฝึกหัดที่ 3

4. ใบงานที่ 5
8.2 แหลง่ การเรยี นรู้

1. หอ้ งสมุดของโรงเรยี น
2. ห้องสมดุ กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
3. อนิ เทอรเ์ นต็ จากเว็บไซต์ต่างๆ

9. การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

9.1 ตรวจผลงานจากการทำแบบฝึกหัดท่ี 3
9.2 ตรวจผลงานจากการทำใบงานที่ 5
9.3 ตรวจผลงานจาก Mind Mapping
9.4 ตรวจผลงานจากสมดุ บนั ทกึ ความรู้
9.5 การสังเกตพฤติกรรมการเรยี นรู้ของนกั เรียน
9.6 การสังเกตพฤติกรรมนกั เรียนด้านการทำงานกลมุ่
9.7 การประเมนิ การนำเสนอผลงานหน้าช้นั เรยี น

เกณฑก์ ารประเมนิ การเขยี น Mind Mapping

ประเดน็ 4 ระดบั คุณภาพ 1
การประเมนิ (ดมี าก) 32 (ปรบั ปรุง)
การนำเสนอมกี าร (ด)ี (พอใช้) การนำเสนอมีการ
พ้ืนฐานเบ้ืองต้น เรียง การนำเสนอมกี าร การนำเสนอมกี าร เรียงลำดบั เนอ้ื หา
ของเซต ลำดบั เน้อื หาได้ดมี าก เรยี งลำดับเน้ือหาได้ เรยี งลำดับเน้อื หาได้ ทคี่ วรปรบั ปรุง ไม่
มคี วามตอ่ เน่ือง มี ดี มคี วามต่อเนื่อง พอใช้ มคี วาม มีความตอ่ เนอ่ื งมี
ประโยชน์ ให้แง่คดิ ที่ มีประโยชน์ ใหแ้ ง่ ตอ่ เนอื่ ง มีประโยชน์ ประโยชน์ นอ้ ย ให้
ดี คดิ น้อย ให้แงค่ ดิ น้อย แง่คิดนอ้ ย

เกณฑ์การประเมิน คุณภาพดมี าก
ระดบั คะแนน 10 คะแนน คณุ ภาพดี
ระดบั คะแนน 9 คะแนน คณุ ภาพพอใช้
ระดับคะแนน 7-8 คะแนน คณุ ภาพควรปรับปรุง
ระดบั คะแนน 5-6 คะแนน

เกณฑก์ ารประเมนิ สมุดบนั ทึกความรู้

เฉลยใบงำนท่ี 1

การใหค้ ะแนน/ระดับคะแนน

ปรบั ปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมาก (4)
บันทกึ ข้อมลู ไมถ่ ูกตอ้ ง บันทึกมีความถูกต้อง
บนั ทกึ มขี ้อมลู แตย่ งั ไม่ บนั ทกึ มคี วามถูกตอ้ ง ชัดเจนครบถ้วนสมบรู ณ์

ครบถ้วนสมบูรณ์ สมบูรณพ์ อสมควร

เกณฑ์คณุ ภาพการสงั เกตพฤตกิ รรมนกั เรยี นดา้ นการทำงานกลมุ่

ท่ี รายการประเมนิ ระดับคณุ ภาพ 3
1 การทำงานร่วมกนั 12 - ยอมรบั มตขิ องกลมุ่
2 ความกระตือรอื รน้ ยอมรับมติการทำงาน ยอมรับมติของกลมุ่ - รบั ผดิ ชอบงานที่รบั
ของกลุ่ม แต่ปฏิบัตติ าม
3 การตอบคำถาม นอ้ ยครงั้ มอบหมายจากกลุ่ม
4 ความคิดรเิ รม่ิ สร้างสรรค์ ช่วยเหลอื งานภายใน - ชว่ ยเหลอื งานในกลุ่ม - ช่วยเหลืองานภายในกลุม่
กลมุ่ เม่อื มีการร้องขอ - ร่วมแสดงความ - ร่วมแสดงความคดิ เหน็
- ใฝ่รู้ใฝ่เรยี น
คดิ เห็น - ศึกษาค้นควา้
ใหค้ วามรว่ มมือในการตอบ
มีสว่ นรว่ มในการตอบ มีส่วนรว่ มในการตอบ คำถามเปน็ อยา่ งดี
คำถามนอ้ ยมาก คำถามบางครั้ง ร่วมรับฟงั และแสดงความ
รว่ มกจิ กรรมตามทกี่ ล่มุ รบั ฟังแตแ่ สดงความ คิดเห็นทีแ่ ตกตา่ ง แต่มี
ขอรอ้ ง คิดเหน็ ท่ีคล้อยตาม ประโยชน์
เพือ่ นๆ

แบบประเมนิ พฤตกิ รรมการเรียนรู้
วิชาคณิตศาสตร์เน้นวทิ ย์ 4 เร่อื ง ............................................... ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5/........

ลำดับ ชอ่ื -นามสกลุ ความตั้งใจ การตัง้ การทำ ส่งงาน มาเรียน รวม ปรับ
ท่ี มงุ่ ม่ัน คำถาม กจิ กรรม ในเวลา สม่ำเสมอ คะแนน คะแนน
ตอบ
(4) คำถาม กลุ่ม ท่ี (4) (20) (10)
(4) กำหนด
(4)
(4)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

....

หมายเหตุ 1. แบบประเมนิ นใ้ี ช้ได้ตลอดภาคเรยี น
2. เกณฑ์การประเมิน

ลงชือ่ .................................................... ผ้ปู ระเมนิ
(.............................................................................)

แบบการประเมนิ การสังเกตพฤตกิ รรมนักเรยี นด้านการทำงานกล่มุ

รายการประเมนิ สรุปผล

ท่ี ช่ือ-สกลุ การทำงาน ความ การตอบ ความคดิ รวม ผา่ น ไมผ่ า่ น
รว่ มกัน กระตือรอื ร้ คำถาม ริเริ่ม (12)

(3) น (3) (3) สร้างสรรค์

(3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

เกณฑ์การประเมิน
9-12 คะแนน ระดบั 3 = ดี
5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช้
ต่ำกว่า 5 คะแนน ระดับ 1 = ควรปรับปรงุ

สรุปผลการประเมิน
 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

เกณฑก์ ารตัดสนิ ใจ
 ผ่าน  ไม่ผ่าน

หมายเหตุ : เกณฑ์เปน็ ไปตามทีโ่ รงเรยี นกำหนด

ลงชอ่ื .................................................... ผูป้ ระเมิน
(.............................................................................)

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงานหนา้ ชน้ั เรียน
กลมุ่ ที่ ......... เรอ่ื ง ..................................................... ชั้น ....... /........

คำชี้แจง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขีด ✓ ลงในชอ่ งวา่ ง
ที่ตรงกบั ระดบั คะแนน

ลำดับที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 ความถูกต้องของเนื้อหา
2 ความคดิ สรา้ งสรรค์

3 วธิ กี ารนำเสนอผลงาน
4 การนำไปใช้ประโยชน์
5 การตรงต่อเวลา

รวม

ลงช่อื .................................................... ผูป้ ระเมนิ
(.............................................................................)

............./.................../................

เกณฑก์ ารให้คะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานสมบูรณ์ชัดเจน ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องบางสว่ น ให้ 2 คะแนน
ปฏิบตั ิหรอื แสดงผลงานมขี ้อบกพรอ่ งเปน็ สว่ นใหญ่ ให้ 1 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงผลงานมขี อ้ บกพรอ่ งมาก

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 1/4 เวลา 5 ชวั่ โมง
เร่อื งสมการพหุนามตัวแปรเดียว

1. ผลการเรยี นรู้

แก้สมการพหุนามตัวแปรเดยี วดกี รีไม่เกนิ สี่ทม่ี ีสัมประสิทธ์เิ ป็นจำนวนเต็ม และนำไปใช้ในการแกป้ ัญหา

2. แนวคดิ สำคญั

สมการพหุนามตัวแปรเดียว คอื สมการที่อยู่ในรปู anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 = 0 เม่อื n เป็นจำนวน
เตม็ บวก และ a0, a1, …, an เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน โดยท่ี an  0

3. จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นำความรูเ้ รื่องจำนวนเชิงซ้อนไปแก้สมการพหนุ ามตัวแปรเดียวดีกรไี ม่เกนิ สีท่ ่ีมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
ได้

4. สาระการเรยี นรู้

การแกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดียว

5. ชนิ้ งาน/ภาระงาน

5.1 ผลการปฏิบตั ิงานตามแบบฝึกหดั ที่ 4
5.2 ผลการปฏบิ ัตงิ านตามใบงานที่ 6

5.3 ผลการทำแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์ิ
5.4 ผลการทำแบบทดสอบหลังเรียน

6. คำถามสำคญั

การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรไี มเ่ กินสท่ี ี่มีสัมประสิทธ์ิเป็นจำนวนเต็มมวี ธิ ีการอย่างไร

7. กิจกรรมการจดั การเรยี นรู้

7.1 ขั้นนำ
ครทู บทวนความหมายเดิมของนกั เรยี นโดยใหน้ กั เรยี นบอกความหมายของ
(1) พหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
(พหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหนุ ามทเี่ ขียนได้ในรปู ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นคา่ คงท่ี โดย

ที่ a  0 และ x เป็นตัวแปร)
(2) สมการกำลงั สองตวั แปรเดยี วและรปู ทั่วไปของสมการกำลงั สอง
(สมการกำลังสองตัวแปรเดียว คือ สมการของพหนุ ามตวั แปรเดยี วทีม่ ดี กี รีเท่ากับ 2)

ครูแนะนำเพิ่มเติมว่า สมการกำลังสองในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงที่ และ a  0

จะมีคำตอบคือ −b b2 − 4ac เมื่อ b2 – 4ac  0
2a

และมีคำตอบคอื −b  b2 − 4ac i เม่ือ b2 – 4ac <0
2a

ครูให้แนวคดิ ว่าการแก้สมการพหนุ ามท่ีนกั เรยี นเคยศึกษามาแล้วสนใจเฉพาะคำตอบท่ีเป็นจำนวนจรงิ แตใ่ น

หวั ข้อน้ีเราจะศกึ ษาการแกส้ มการพหนุ ามซึ่งคำตอบอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อน

7.2 ขน้ั สอน

1. จากขั้นนำ ครูให้นักเรียนหาคำตอบของสมการ x2 – 4x + 5 = 0

นักเรยี นควรหาคำตอบไดด้ ังน้ี

จาก x2 – 4x + 5 = 0

จะได้ b2 – 4ac = (–4)2 – 4(1)(5) = 16 – 20 = –4

x = −b b2 − 4ac i
2a

= 4 −4 i
2
4  2i
= 2

= 2i

ดงั นั้น คำตอบของสมการคอื 2 + i และ 2 – i

จากตัวอย่างข้างต้น ครูให้นักเรียนสังเกตว่า สมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง อาจไม่มี

คำตอบทเ่ี ปน็ จำนวนจรงิ กไ็ ด้

2. ครูอธบิ ายวา่ ถา้ p(x) เป็นพหนุ ามดกี รี n โดยที่ n  1 แล้วเราจะเรียกสมการ p(x) = 0 ว่าเป็นสมการ
พหุนามดกี รี n หรอื สมการพหุนามกำลงั n โดยสมการพหุนามดีกรี n จะอยู่ในรูป

anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ a0, a1, …, an เป็นจำนวน

เชิงซ้อน โดยที่ an  0 จำนวนเชิงซอ้ น a จะเป็นคำตอบของสมการ p(x) = 0 ก็ต่อเมื่อ p(a) = 0 เรียก p(a) = 0
วา่ คำตอบเชงิ ซอ้ นของสมการ p(x) = 0

3. ครูเขยี นทฤษฎีบทหลกั มลู ของพชี คณติ บนกระดานดงั น้ี

ทฤษฎบี ทหลักมลู ของพีชคณติ

ถ้า p(x) เป็นพหุนามทีม่ ีดกี รมี ากกวา่ ศูนย์ และมสี ัมประสิทธิเ์ ป็นจำนวนเชงิ ซอ้ นแล้ว สมการ p(x)

= 0 จะมคี ำตอบท่เี ปน็ จำนวนเชงิ ซ้อนอย่างน้อยหน่งึ คำตอบ

จากทฤษฎีบท ครูกลา่ วยำ้ ว่า สมการพหุนามจะมีคำตอบเปน็ จำนวนเชิงซอ้ นเสมอ

4. ครยู กตวั อยา่ งโจทยต์ ่อไปน้ีบนกระดาน ใหน้ ักเรียนช่วยกนั แสดงความคดิ เห็นในการหาคำตอบ

จงหาคำตอบทัง้ หมดของสมการ x4 + 2x – 15 = 0

วธิ ที ำ x4 + 2x – 15 = (x2 + 5)(x2 – 3)

= (x2 + 5)(x − 3)(x + 3)

= (x − 5 i)(x + 5 i)(x − 3)(x + 3)

ดงั นัน้ คำตอบทั้งหมดของสมการ x4 + 2x – 15 = 0 คือ 5 i, − 5 i, 3, − 3
จากโจทย์ ครใู หน้ กั เรียนสังเกตว่าสมการ x4 + 2x – 15 = 0 เปน็ สมการพหนุ ามทม่ี ีดีกรี 4 และมีคำตอบ

ทัง้ หมด 4 คำตอบ จากนนั้ ครใู หน้ กั เรียนศึกษาทฤษฎบี ทท่ี 3 และการพสิ ูจน์ทฤษฎีบทตามรายละเอียดในเอกสาร

ประกอบการเรียน

ทฤษฎบี ทท่ี 3 ถ้า p(x) = 0 เปน็ สมการพหุนามดีกรี n โดยที่ n  1 และมสี ัมประสทิ ธิเ์ ป็นจำนวน
เชงิ ซ้อนแล้ว สมการน้จี ะมคี ำตอบทัง้ หมด n คำตอบ เมื่อนับคำตอบที่ซ้ำกนั ด้วย

5. ครแู ละนกั เรียนร่วมกนั ทำโจทย์ตวั อยา่ งที่ 1 ในเอกสารประกอบการเรยี นบนกระดานโดยใช้วธิ ีถาม-ตอบ

6. ครเู ขียนทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตวั ประกอบจำนวนตรรกยะบนกระดาน

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

กำหนด p(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 จะได้ว่าพหุนาม p(x) มี x – a เป็นตัว

ประกอบ กต็ อ่ เมื่อ p(a) = 0

ทฤษฎบี ทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

กำหนด p(x) เป็นพหุนามในรูป anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 = 0 โดยที่ n  I+ และ an,

an–1, …, a1, a0 เป็นจำนวนเตม็ ซงึ่ an  0

ถ้าจำนวนตรรกยะ k เป็นคำตอบของสมการ p(x) โดยท่ี ห.ร.ม. ของ k และ m เท่ากับ 1 แล้ว
m

m จะเป็นตัวประกอบของ an และ k เป็นตวั ประกอบของ a0

ครูแนะนำว่าเราจะใช้ทฤษฎีบทท้ังสองมาชว่ ยในการแกส้ มการพหนุ าม โดยครเู ขยี นโจทยต์ ัวอย่างที่ 2 ใน

เอกสารประกอบการเรียนบนกระดาน และอภิปรายร่วมกันว่ามีการใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัว

ประกอบจำนวนตรรกยะมาชว่ ยในการแก้สมการพหนุ ามอย่างไรบา้ งในวธิ ที ำ

7. ครเู ขียนทฤษฎีบทที่ 4 บนกระดาน

ทฤษฎีบทที่ 4 ถา้ จำนวนเชิงซ้อน z เป็นคำตอบของสมการพหนุ าม

p(x) = xn + a1xn–1 + … + an–1x + an = 0
โดยท่ีสมั ประสิทธ์ิ a1, …, an เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ สงั ยุค z จะเปน็ คำตอบของสมการ
พหุนามนน้ั ด้วย

จากทฤษฎีบทที่ 4 ครูให้ข้อสังเกตกับนักเรียนว่าถ้าสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง มี

a + bi เปน็ รากหนงึ่ (a และ b เป็นจำนวนจริง ซึ่ง b  0) แลว้ a – bi จะเปน็ อีกรากหน่งึ ของสมการดว้ ย

8. ครูใชต้ วั อย่างตอ่ ไปนปี้ ระกอบการอธิบายทฤษฎีบทท่ี 4

สมการกำลังสามมีรากเป็น 3 และ 1 – 2i จงหาว่าอีกรากหนึ่งควรเป็นอะไร และจงหาสมการที่มีราก

ดงั กลา่ ว

วิธีทำ ถ้า 1 – 2i เปน็ รากหน่งึ ของสมการ

จากทฤษฎีบทจะได้ว่า 1 + 2i จะเป็นรากของสมการด้วย

ดงั น้ัน รากของสมการดงั กล่าว คือ 3, 1 – 2i และ 1 + 2i

สมการคือ (x – 3)[x – (1 – 2i)][x – (1 + 2i)] = 0

(x – 3)[x2 – (1 – 2i)x – (1 + 2i)x + (1 – 2i)(1 + 2i)] = 0
(x – 3)[x2 – x + 2xi – x – 2xi + 5] = 0
(x – 3)(x2 – 2x + 5) = 0

ดงั นัน้ สมการท่ีต้องการคือ x3 – 5x2 + 11x – 15 = 0
9. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาตัวอย่างที่ 3 ในเอกสารประกอบการเรียน จากนั้นครูสุ่มเรียกนักเรียน
ออกมาแสดงวธิ ีทำคนละ 1 บรรทัด
10. ครแู จกใบงานท่ี 5 “การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว” ให้นกั เรียนแต่ละกลุ่ม เมือ่ ทกุ กลุ่มทำเสร็จแล้ว
ครใู ห้นกั เรียนรว่ มกันเฉลยคำตอบ
11. ครใู ห้นกั เรยี นทำใบงานท่ี 6 พร้อมท้ังตรวจสอบความถกู ตอ้ งในการทำกจิ กรรมของนักเรียน
12. ครูให้นักเรียนช่วยกันหาคำตอบของโจทย์ในแบบฝึกหัดที่ 4 โดยทำเป็นกลุ่ม จากนั้นให้แต่ละกลุ่ม
แลกเปลีย่ นกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง
13. ใหน้ ักเรยี นแต่ละกลุม่ ออกมานำเสนอแนวคดิ ในการหาคำตอบ เวยี นไปจนครบทกุ ขอ้
7.3 ขั้นสรปุ
1. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั สรปุ วิธีการแกส้ มการพหนุ ามตัวแปรเดยี วและทฤษฎีบทท่เี กี่ยวข้อง
2. ให้นกั เรยี นทำแบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธิ์
3. ให้นกั เรยี นทำแบบทดสอบหลงั เรียนและชว่ ยกนั เฉลยคำตอบ

8. สือ่ การเรียนรแู้ ละแหล่งการเรียนรู้

8.1 สื่อการเรยี นรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 ของสถาบันส่งเสริมการสอน

วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร
2. เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น
3. แบบฝกึ หัดที่ 4
4. ใบงานท่ี 6
5. แบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิ
6. แบบทดสอบหลังเรียน

8.2 แหล่งการเรียนรู้
1. หอ้ งสมดุ ของโรงเรียน
2. ห้องสมดุ กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์
3. อนิ เทอร์เนต็ จากเวบ็ ไซต์ตา่ งๆ

9. การวดั และประเมินผลการเรยี นรู้

9.1 แบบทดสอบหลงั เรยี นแบบเลือกตอบ (4 ตัวเลือก) จำนวน 15 ขอ้
9.2 ตรวจผลงานจากการทำใบงานที่ 6
9.3 ตรวจผลการทำแบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิ
9.4 ตรวจผลงานจากสมดุ บันทกึ ความรู้
9.5 การสังเกตพฤตกิ รรมการเรียนรู้ของนักเรียน
9.6 การสงั เกตพฤตกิ รรมนักเรียนด้านการทำงานกล่มุ
9.7 การประเมินการนำเสนอผลงานหน้าชน้ั เรยี น

เกณฑ์การประเมินสมุดบันทึกความรู้

การให้คะแนน/ระดับคะแนน

ปรบั ปรงุ (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมาก (4)
บันทึกขอ้ มลู ไมถ่ ูกตอ้ ง บนั ทกึ มีความถูกตอ้ ง
บันทกึ มีขอ้ มูลแตย่ ังไม่ บนั ทึกมคี วามถกู ตอ้ ง ชัดเจนครบถว้ นสมบรู ณ์

ครบถว้ นสมบรู ณ์ สมบรู ณ์พอสมควร

เกณฑ์คุณภาพการสังเกตพฤตกิ รรมนกั เรียนด้านการทำงานกลุม่

ท่ี รายการประเมนิ ระดับคณุ ภาพ 3
1 การทำงานร่วมกัน 12 - ยอมรับมติของกลุ่ม
2 ความกระตอื รือรน้ ยอมรับมตกิ ารทำงาน ยอมรับมตขิ องกลุ่ม - รับผดิ ชอบงานท่ีรับ
ของกล่มุ แตป่ ฏิบัตติ าม
3 การตอบคำถาม นอ้ ยคร้งั มอบหมายจากกลมุ่
4 ความคดิ ริเร่มิ สร้างสรรค์ ชว่ ยเหลอื งานภายใน - ช่วยเหลอื งานในกลุม่ - ชว่ ยเหลอื งานภายในกลุ่ม
กลมุ่ เม่ือมกี ารรอ้ งขอ - รว่ มแสดงความ - ร่วมแสดงความคิดเห็น
- ใฝ่รู้ใฝเ่ รียน
คิดเหน็ - ศกึ ษาคน้ ควา้
ใหค้ วามรว่ มมอื ในการตอบ
มีส่วนรว่ มในการตอบ มีส่วนรว่ มในการตอบ คำถามเป็นอยา่ งดี
คำถามน้อยมาก คำถามบางครั้ง ร่วมรบั ฟังและแสดงความ
ร่วมกจิ กรรมตามท่กี ล่มุ รบั ฟงั แต่แสดงความ คิดเหน็ ท่แี ตกตา่ ง แตม่ ี
ขอรอ้ ง คดิ เหน็ ท่ีคลอ้ ยตาม ประโยชน์
เพ่อื นๆ