ชุดที่ 3 เรื่อง รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ม่วง

ชุดท่ี 3 เร่ือง รูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลและเป็นนเิ สธกนั 0

Scan แบบฝกึ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้

ชุดท่ี 3 เรอ่ื ง รูปแบบของประพจน์ท่สี มมลู และเป็นนเิ สธกนั 1

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบอื้ งตน้ ประกอบการจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ
เทคนิค STAD ร่วมกับคำถามระดับสูง เพื่อส่งเสริมมโนทัศน์และความสามารถในการส่ือสารทาง
คณิตศาสตร์ ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม1 รหัสวิชา ค31201
จัดทำข้ึนเพ่ือส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน มีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒนา
ความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกิดความคิดรวบยอดในเรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น ปฏิบัติกิจกรรม
เพื่อสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง และประเมินตนเอง ตามสาระ
การเรียนรู้ ผลการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ของหลักสูตรกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง
พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ซึ่งมีท้ังหมด 7 ชุด เวลา
18 ชัว่ โมง ดังนี้

ชดุ ที่ 1 เร่อื ง ประพจนแ์ ละการเช่อื มประพจน์
ชุดท่ี 2 เรือ่ ง คา่ ความจริงของประพจน์และตารางคา่ ความจรงิ
ชุดที่ 3 เรอื่ ง รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมลู และเป็นนเิ สธกนั
ชดุ ท่ี 4 เรอื่ ง สจั นริ นั ดร์และการอ้างเหตุผล
ชุดที่ 5 เร่ือง ประโยคเปดิ และตวั บง่ ปรมิ าณ
ชุดที่ 6 เร่อื ง คา่ ความจริงของประโยคท่ีมีตัวบง่ ปริมาณ
ชดุ ท่ี 7 เรือ่ ง สมมลู และนิเสธของประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปรมิ าณ

โดยในชุดที่ 3 เรื่อง รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลและเป็นนเิ สธกนั ประกอบด้วย คำชแี้ จง
สำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ และ
จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก โดยเน้ือหา
แต่ละเรื่องมีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ตามลำดับ
ขั้นตอน พร้อมท้ังตรวจคำตอบท่ถี ูกต้องของแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ได้ด้วยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 3 เรื่อง รูปแบบของประพจน์
ที่สมมูลและเป็นนิเสธกัน จะช่วยพัฒนาความคิดรวบยอดในเรื่องรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลและ
เป็นนเิ สธกัน เหมาะสมกับผ้เู รยี นทุกคน และเหมาะสมสำหรบั ครูที่จะนำไปจดั การเรยี นการสอน

นางสาวชนธชิ า แก้ววิชัย
ตำแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครชู ำนาญการพเิ ศษ

โรงเรียนพงั งูพทิ ยาคม

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้

ชดุ ที่ 3 เรือ่ ง รปู แบบของประพจน์ที่สมมลู และเป็นนเิ สธกนั 2

คำชี้แจงสำหรบั ครู

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 3 เรื่อง รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลและเป็นนิเสธกัน
รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม1 รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น โดยในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 3 เร่ือง
รูปแบบของประพจน์ท่ีสมมูลกันและเป็นนิเสธกัน ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 5 ช่ัวโมง ประกอบด้วย
เน้อื หา ดงั นี้

3.1 ประพจนท์ ส่ี มมูลกนั (ตวั เชอื่ ม  กบั  ) (1 ชวั่ โมง)

3.2 ประพจนท์ สี่ มมลู กัน (ตัวเชอื่ ม → กับ ) (1 ชวั่ โมง)

3.3 การตรวจสอบสมมลู โดยใชร้ ูปแบบประพจน์ท่ีสมมลู กนั ( กบั ) (1 ช่ัวโมง)

3.4 การตรวจสอบสมมูลโดยใชร้ ูปแบบประพจน์ท่ีสมมูลกนั (→กบั ) (1 ชั่วโมง)
3.5 การตรวจสอบวา่ ประพจน์เปน็ นเิ สธกนั (1 ชว่ั โมง)
ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 3 เรอ่ื ง รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลและเป็นนิเสธกัน
ประกอบด้วยคำชี้แจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก ซ่ึง
ประกอบด้วย เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนน และเกณฑ์การ
ประเมนิ ในการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ชดุ น้ี ครูผสู้ อนควรปฏบิ ตั ิตามขั้นตอนต่อไปน้ี

ขข้นั นั้ ทท่ี ี่11 ชี้แจงขัน้ ตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะนใ้ี หน้ กั เรยี นเขา้ ใจ
ขข้นั ้ันทที่ ่ี22
ขข้นั น้ั ทที่ ่ี33 ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาเนอ้ื หาจากใบความรู้ ทำแบบฝกึ ทกั ษะ
ขข้นั ัน้ ทที่ ี่44 และตรวจคำตอบตามเฉลยทีละแบบฝึกทักษะ
ขข้นั นั้ ที่ 55
ขข้นั ั้นที่ 66 ดแู ลให้นกั เรยี นปฏิบัติตามขั้นตอนและให้คำแนะนำเมื่อนกั เรียนพบปัญหา

ประเมนิ ผลการเรียนของนักเรยี นอย่างตอ่ เน่ืองและให้แรงเสริม
ในการปฏิบัตกิ ิจกรรมของนักเรยี น

ใหน้ กั เรยี นทำแบบทดสอบหลังเรยี น เม่อื ศกึ ษาเนอ้ื หาจากใบความรู้
และทำแบบฝึกทกั ษะเสร็จสนิ้

บนั ทึกผลการประเมินหลงั การจัดการเรยี นร้โู ดยใช้แบบฝกึ ทกั ษะทกุ คร้ัง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้น

ชุดท่ี 3 เรอ่ื ง รปู แบบของประพจนท์ ่ีสมมลู และเป็นนิเสธกัน 3

คำแนะนำสำหรับนักเรียน

นักเรียนควรใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ชุดที่ 3 เร่ือง รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมลู และเปน็ นิเสธกนั ดังนี้

ขน้ั ท่ี 1 ศกึ ษาขั้นตอนการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ให้เข้าใจชดั เจน

ขน้ั ท่ี 2 ศกึ ษาผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ เวลาทใ่ี ช้ในการจัดการเรียนรู้

ขั้นที่ 3 ศกึ ษาและทำความเข้าใจเนื้อหาจากใบความรู้และทำแบบฝกึ ทักษะ
ด้วยตนเองและตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครูไปทีละแบบฝึกทกั ษะ

ตามลำดับ เมอื่ พบปญั หาให้ขอคำแนะนำจากครทู นั ที

ขั้นท่ี 4 ทำแบบทดสอบหลงั เรยี น ตรวจคำตอบจากเฉลยโดยครู
แลว้ บันทึกคะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

ประเมนิ ผลว่านักเรยี นผ่านเกณฑห์ รอื ไม่
ขั้นท่ี 5  “ผ่านเกณฑก์ ารประเมิน” ให้นกั เรยี นศึกษาแบบฝกึ ทกั ษะชดุ ต่อไป

 “ไมผ่ า่ นเกณฑก์ ารประเมนิ ” ใหน้ กั เรียนย้อนกลับไปศกึ ษาและ
ทำความเข้าใจเนื้อหาจากใบความรู้ และทำแบบฝกึ ทกั ษะดว้ ยตนเองอกี ครง้ั

อ่านคำแนะนำให้เข้าใจและปฏบิ ัตติ ามให้ถกู ต้อง

กอ่ นที่จะลงมอื ทำกจิ กรรมในแบบฝึกทักษะ
และทีส่ ำคญั ตอ้ งมคี วามซื่อสตั ยน์ ะจ๊ะ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบอื้ งตน้

ชุดที่ 3 เร่อื ง รูปแบบของประพจนท์ ่สี มมูลและเป็นนิเสธกนั 4

แผนผังการใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

ศึกษาขนั้ ตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ศกึ ษาผลการเรยี นรู้ และจุดประสงค์การเรียนรู้

ศกึ ษาเนือ้ หา ศึกษาใบความรู้ท่ี 3.1–3.5
และทำแบบฝึกทักษะ

คณิตศาสตร์

ศกึ ษาเนื้อหาสาระจากใบความรู้
ศกึ ษาตัวอยา่ งการหาคำตอบในแบบฝึก
ทกั ษะชุดท่ี 3 ให้ครบตามกำหนดไว้

ทำแบบฝึกทักษะที่ 3.1–3.5

ตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครู

ไม่ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80

ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 80

เกบ็ สถิติคะแนน
ทดสอบหลงั เรยี น

ไม่ผ่านเกณฑ์รอ้ ยละ 80 ผา่ นเกณฑ์รอ้ ยละ 80

จบชดุ ที่ 3

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองตน้

ชดุ ที่ 3 เรื่อง รปู แบบของประพจนท์ ส่ี มมูลและเป็นนเิ สธกัน 5

สารบัญ

เร่ือง หนา้

คำนำ 1
คำชแ้ี จงสำหรบั ครู 2
คำแนะนำสำหรบั นักเรียน 3
แผนผงั การใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
สารบัญ 5
ผลการเรยี นรู้ 7
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 7
8
ใบความรู้ท่ี 3.1 ประพจน์ทส่ี มมูลกัน (ตัวเชือ่ ม  กับ  ) 14
16
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.1 ประพจนท์ ่ีสมมูลกนั (ตวั เชื่อม  กบั  ) 21
23
ใบความรู้ที่ 3.2 ประพจนท์ สี่ มมูลกนั (ตัวเช่ือม → กบั )
26
แบบฝกึ ทักษะที่ 3.2 ประพจนท์ ส่ี มมูลกัน (ตัวเช่ือม → กบั )
ใบความรู้ที่ 3.3 การตรวจสอบสมมูลโดยใช้รูปแบบประพจน์ 27

ท่ีสมมูลกนั ( กับ ) 31
แบบฝกึ ทักษะที่ 3.3 การตรวจสอบสมมูลโดยใช้รูปแบบประพจน์

ทีส่ มมูลกนั ( กับ )
ใบความรู้ที่ 3.4 การตรวจสอบสมมูลโดยใชร้ ูปแบบประพจนท์ ีส่ มมลู กนั

ทีส่ มมูลกัน ( กบั )
แบบฝึกทักษะท่ี 3.4 การตรวจสอบสมมลู โดยใชร้ ูปแบบประพจน์ที่สมมูลกนั

(→ กบั )

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองตน้

ชุดที่ 3 เรอ่ื ง รปู แบบของประพจนท์ ี่สมมลู และเป็นนิเสธกัน 6

สารบัญ

เรอ่ื ง หนา้

ใบความรู้ท่ี 3.5 การตรวจสอบว่าประพจน์เปน็ นิเสธกัน 32
แบบฝึกทักษะที่ 3.5 การตรวจสอบว่าประพจน์เปน็ นเิ สธกนั 34
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3.3 การตรวจสอบสมมลู โดยใชร้ ูปแบบประพจน์
45
ที่สมมูลกัน ( กบั )
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.4 การตรวจสอบสมมูลโดยใชร้ ูปแบบประพจน์ 46
47
ทส่ี มมูลกัน (→ กับ ) 49
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.5 การตรวจสอบว่าประพจน์เป็นนิเสธกนั
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียนชดุ ที่ 3 รูปแบบของประพจนท์ ่ีสมมลู และ 50

เปน็ นิเสธกนั
บรรณานกุ รม

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตรเ์ บื้องตน้

ชดุ ท่ี 3 เรอื่ ง รูปแบบของประพจน์ท่ีสมมูลและเป็นนเิ สธกัน 7

ผลการเรียนรู้
และจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ผลการเรยี นรู้

สาระจำนวนและพีชคณติ
เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ

จำนวน ผลท่ีเกดิ ขึ้นจากการดำเนินการ สมบตั ิของการดำเนินการ และนำไปใช้
ผลการเรยี นรู้

เขา้ ใจและใช้ความรู้เก่ียวกับตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้ ในการสือ่ สาร ส่ือความหมาย
และอา้ งเหตผุ ล

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถ
1. ใช้ตารางคา่ ความจรงิ เพ่อื บอกว่าประพจน์ท่ีเชื่อมดว้ ยตวั เชอื่ ม “และ”กบั “หรือ”

คูใ่ ดสมมลู กนั
2. ใช้ตารางคา่ ความจริงเพือ่ บอกวา่ ประพจน์ท่ีเชื่อมดว้ ยตวั เช่อื ม “ถา้ …แล้ว”กับ

“...กต็ อ่ เมอ่ื ...”ค่ใู ดสมมูลกนั
3. ใชร้ ปู แบบของประพจน์สมมูลกันเพื่อบอกว่าประพจน์คู่ใดสมมลู กนั
4. บอกได้วา่ ประพจน์คู่ใดเป็นนิเสธกัน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตรเ์ บื้องตน้

ชุดที่ 3 เรอ่ื ง รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมูลและเป็นนิเสธกนั 8

เร่ือง ประพจน์ทีส่ มมูลกัน (ตัวเช่อื ม  กบั )

1) พิจารณาค่าความจริงของ p  q ตรงกบั q  p

P q pq ลองสลับท่ีดู q p qp

TT T TTT
TF F FTF
FT F TFF
FF F FFF

ตตรรงงกกันนั
จากตาราง p  q สมมูล q  p
แสดงว่า “  ” มีสมบตั ิการสลบั ที่
ดงั นั้น p  q  q  p จะต้องจำใหข้ ึน้ ใจและพร้อมนำไปใช้

2) พจิ ารณาค่าความจริงของ p  p

ใหล้ องแทนตวั แปร p เป็น T หรือ F ลงไปและดูความเป็นไปไดข้ องคา่ ความจรงิ ที่เกิดขนึ้
แล้วจึงนำค่าความจริงทีไ่ ดม้ าสรุป ( ลองสมมติในใจ )

1. ลองสมมติ p เป็น T จะได้ T  T  T

2. ลองสมมติ p เปน็ F จะได้ F  F  F
ลองนำมาเขยี นตารางเล่น ๆ ดไี หม

ลองสมมติ p เป็น T p p pp ผลสรุป p  p  p
ลองสมมติ p เป็น F
TT T
FF F

ตรงกนั
ส่งิ ท่ีควรเน้น นักเรียนจะตอ้ งพยายามทำความเข้าใจข้ันตอนการสมมติ p

เพ่ือนำมาเขยี นตารางหาผลสรุปและฝึกคิดในใจใหไ้ ด้

ดงั นน้ั p  p  p จะตอ้ งจำให้ขึน้ ใจและพร้อมนำไปใช้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบื้องตน้

ชุดท่ี 3 เรือ่ ง รูปแบบของประพจนท์ ่สี มมลู และเป็นนเิ สธกนั 9

3) พิจารณาค่าความจริงของ p   p  ?

ลองสมมติ p เป็น T p p p p
ลองสมมติ p เปน็ F
T F F ผลสรปุ p  p  F

FT F

สิ่งท่คี วรเน้น นักเรียนจะต้องพยายามทำความเข้าใจขั้นตอนการสมมติ p
เพ่อื นำมาเขียนตารางหาผลสรุปและฝกึ คิดในใจ

ดังน้นั p  p  F  p  p จะต้องจำให้ข้นึ ใจและพรอ้ มนำไปใช้

4) พิจารณาคา่ ความจริงของ p  T  ?

ลองสมมติ p เปน็ T p T p T ผลสรุป p  T  p
ลองสมมติ p เป็น F TT T

FT F

ตรงกนั

สิ่งทค่ี วรเน้น นกั เรียนจะตอ้ งพยายามทำความเข้าใจขั้นตอนการสมมติ p
เพอื่ นำมาเขยี นตารางหาผลสรุปและฝกึ คดิ ในใจใหไ้ ด้

ดังน้ัน p  T  T  T  p จะต้องจำให้ขนึ้ ใจและพรอ้ มนำไปใช้

5) พจิ ารณาค่าความจรงิ ของ p  F  ?

p F p^F

ลองสมมติ p เปน็ T TF F ผลสรุป p  F  F
ลองสมมติ p เปน็ F FF F

ตรงกนั
ส่ิงท่คี วรเนน้ นักเรยี นจะต้องพยายามทำความเข้าใจขัน้ ตอนการสมมติ p

เพ่อื นำมาเขยี นตารางหาผลสรปุ และฝกึ คดิ ในใจให้ได้

ดังนนั้ p  F  F  F  p จะต้องจำใหข้ น้ึ ใจและพรอ้ มนำไปใช้

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งต้น

ชดุ ท่ี 3 เร่ือง รปู แบบของประพจนท์ ี่สมมลู และเป็นนิเสธกัน 10

6) พจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของ p  q ตรงกับ q  p

P q pq ลองสลับที่ q p qp

TT T TTT
TF T FTT
FT T TFT
FF F FFF

ตรงกัน
จากตาราง p  q สมมูล q  p
แสดงว่า “  ” มีสมบัติการสลับที่
ดงั นั้น p  q  q  p จะตอ้ งจำให้ขึน้ ใจและพรอ้ มนำไปใช้

7) พจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของ p  p

ให้ลองแทนตัวแปร p เปน็ T หรอื F ลงไป และความเปน็ ไปไดข้ องค่าความจริงที่เกดิ ขึ้น
แล้วจึงนำคา่ ความจริงท่ีได้มาสรุป ( ลองสมมตใิ นใจ )

1. ลองสมมติ p เปน็ T จะได้ T  T  T

2. ลองสมมติ p เป็น F จะได้ F  F  F
ลองนำมาเขยี นตารางเลน่ ๆ ดไี หม

ลองสมมติ p เป็น T p p pp ผลสรุป p  p  p
ลองสมมติ p เปน็ F
TT T
FF F

ตรงกัน

ส่งิ ที่ควรเนน้ นักเรยี นจะต้องพยายามทำความเข้าใจข้ันตอนการสมมติ p
เพ่ือนำมาเขยี นตารางหาผลสรุปและฝกึ คิดในใจให้ได้

ดังนน้ั p  p  p จะตอ้ งจำให้ขึ้นใจและพรอ้ มนำไปใช้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชดุ ท่ี 3 เร่อื ง รปู แบบของประพจนท์ สี่ มมูลและเป็นนิเสธกัน 11

8) พจิ ารณาคา่ ความจริงของ p   p  ?

ลองสมมติ p เป็น T p p p p
ลองสมมติ p เปน็ F
TF T ผลสรปุ p p  T

FT T

ส่งิ ทค่ี วรเนน้ นักเรียนจะต้องพยายามทำความเข้าใจขั้นตอนการสมมติ p
เพ่อื นำมาเขียนตารางหาผลสรปุ และฝกึ คดิ ในใจ

ดงั นน้ั p  p  T  p  p จะตอ้ งจำให้ข้นึ ใจและพร้อมนำไปใช้

9) พจิ ารณาคา่ ความจริงของ p  T  ?

p T pT

ลองสมมติ p เป็น T TT T ผลสรปุ p  T  T
ลองสมมติ p เป็น F
FT T

สิง่ ท่คี วรเนน้ นักเรียนจะตอ้ งพยายามทำความเข้าใจข้นั ตอนการสมมติ p
เพื่อนำมาเขยี นตารางหาผลสรปุ และฝึกคดิ ในใจให้ได้

ดังน้นั p  T  T  T  p จะตอ้ งจำให้ข้ึนใจและพร้อมนำไปใช้

10) พิจารณาค่าความจริงของ p  F  ?

p F pF

ลองสมมติ p เปน็ T T F F ผลสรุป p F  p
ลองสมมติ p เป็น F
FF F

ตรงกนั

สง่ิ ทคี่ วรเน้น นักเรียนจะตอ้ งพยายามทำความเข้าใจขนั้ ตอนการสมมติ p
เพอ่ื นำมาเขยี นตารางหาผลสรปุ และฝกึ คดิ ในใจใหไ้ ด้

ดงั นัน้ p  F  p  F  p จะตอ้ งจำให้ข้นึ ใจและพรอ้ มนำไปใช้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งตน้

ชดุ ที่ 3 เรือ่ ง รปู แบบของประพจนท์ สี่ มมูลและเป็นนเิ สธกนั 12

11) พิจารณาคา่ ความจรงิ ของ ~ (p  q) ≡ ?

p q p  q ~(p  q) ~p ~q ~p~q

TT T F FF F

TF F T FT T

FT F T TF T

FF F T TT T

ตรงกนั
จากตาราง ~ (p  q) ≡ ~ p  ~ q

12) พจิ ารณาคา่ ความจริงของ ~ (p  q) ≡ ?

p q p  q ~(p  q) ~p ~q ~p~q

TT T F FF F

TF T F FT F

FT T F TF F

FF F T TT T

ตรงกัน

จากตาราง ~ (p  q) ≡ ~p~q ลุย ~ เข้าไปในวงเลบ็
สรุปไดว้ า่ ~ (p  q) ≡ ~p~q
และ ~ (p  q) ≡ ~p~q

บทกลบั กจ็ รงิ ดว้ ยนะ ดึง ~ ออกนอกวงเล็บ
~ p  ~ q ≡ ~ (p  q)

~ p  ~ q ≡ ~(p  q)

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

ชดุ ที่ 3 เรอื่ ง รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมูลและเป็นนิเสธกนั 13
ส่ิงที่นกั เรียนจะตอ้ งเชี่ยวชาญ

1. ถา้ เจอ p  q ควรอยากเปลี่ยนไปเป็น q  p
2. ถ้าเจอ p  p ก็ยุบเปน็ p ได้เลย หรือถา้ มี p ตัวเดยี วกส็ ามารถขยายเป็น p  p ได้อกี
3. ถา้ เจอ p  T กย็ ุบเป็น p ได้เลย หรือถ้ามี p ตัวเดยี วกส็ ามารถขยายเป็น p  T ไดอ้ กี
4. ประพจน์ เจอ p  F = F แน่ๆ เพราะมี F แน่
5. ถ้ามี p กับ ~p อยดู่ ว้ ยกนั ให้จับคกู่ ัน (p  ~p) แลว้ จะสามารถยุบให้เป็น F ได้
6. ถ้าประพจน์มี “ ” เช่ือมทงั้ หมดแลว้ สามารถถอดวงเลบ็ จับคู่ใหม่ได้

1. ถ้าเจอ p v q ควรอยากเปลยี่ นเปน็ q v p เล่นๆ สนุกดี
2. ถา้ เจอ p v p กย็ ุบเป็น p ได้เลย หรือ ถ้ามี p ตวั เดียวก็สามารถขยายไปเปน็ p v p ไดอ้ กี
3. ถา้ เจอ p v F ก็ยุบเปน็ p ไดเ้ ลย หรือ ถ้ามี p ตวั เดียวควรอยากขยายไปเป็น p v F ไดอ้ กี
4. ประพจน์ p v T ≡ T แน่ เพราะ “ v ” มี T ตรงไหนจะสรุปเป็น T เสมอ
5. ถ้ามี p กับ ~p อยู่ดว้ ยกนั ให้จับคกู่ ัน (p v ~p) แล้วจะสามารถยบุ ใหเ้ ปน็ T ได้
6. ถ้าประพจน์มี “ v ” เช่ือมทั้งหมดแล้วสามารถถอดวงเล็บจับค่ใู หมไ่ ด้

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้

ชดุ ที่ 3 เรือ่ ง รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมลู และเป็นนเิ สธกนั 14

เรือ่ ง ประพจน์ทสี่ มมูลกนั ( ตัวเชือ่ ม  กบั  )

ให้นกั เรยี นตรวจสอบวา่ ประพจน์ท่ีกำหนดใหต้ ่อไปน้ี สมมลู กันหรือไม่โดยใชต้ าราง
(ขอ้ ละ 2.5 คะแนน : 10 คะแนน)

1. (p  q)  r กับ p  (q  r)
p q r p  q (p  q)  r q  r p  (q  r)
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. p  (q  r) และ (p  q) ˄ (p  r)
p q r q  r p  (q r) p  q p  r (p  q) ˄ (pr)
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น

ชุดท่ี 3 เรื่อง รูปแบบของประพจนท์ ี่สมมลู และเป็นนิเสธกนั 15

3. p ˄ (q  r) และ (p ˄ q)  (p ˄ r)

pq r q  r p ˄ (q  r) p ˄ q p ˄ r (p ˄ q)  (p ˄ r)

TT T
TT F
TF T
TF F
FT T
FT F
FF T
FF F

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. (p ˄ q) ˄ r กับ p ˄ (q ˄ r)

pq r (p ˄ q) (p ˄ q) ˄ r (q ˄ r) p ˄ (q ˄ r)

TT T
TT F
TF T
TF F
FT T
FT F
FF T
FF F

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งตน้

ชุดที่ 3 เร่ือง รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมลู และเป็นนิเสธกัน 16

เรื่อง ประพจน์ท่ีสมมลู กนั (ตวั เชอื่ ม → กบั )

1) พจิ ารณาคา่ ความจริงของ p → q กับ ~p ∨ q

p q p → q ~p ~p  q

TT T F T

TF F F F

FT T T T

FF T T T

ตรงกนั
ดังน้นั p → q  ~p  q จะต้องจำให้ขน้ึ ใจและพรอ้ มนำไปใช้

2) พจิ ารณาคา่ ความจริงของ p → q กบั  q →  p

p q p → q ~p ~q  q →  p

TT T F F T
TF F F T F
FT T T F T

FF T T T T

ตรงกัน

ดงั นัน้ p → q   q →  p จะต้องจำให้ข้ึนใจและพรอ้ มนำไปใช้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งต้น

ชดุ ที่ 3 เรอ่ื ง รูปแบบของประพจนท์ ่สี มมลู และเป็นนเิ สธกนั 17

3) พิจารณาคา่ ความจริงของ p → p  ?

ลองสมมติ p เป็น T p p p→ p
ลองสมมติ p เปน็ F
TT T ผลสรปุ p→ p  T
FF T

ดงั นั้น p → p  T จะตอ้ งจำใหข้ น้ึ ใจและพร้อมนำไปใช้

4) พจิ ารณาค่าความจริงของ p → T  ?

p T pT

ลองสมมติ p เปน็ T T T T ผลสรปุ p → T  T
ลองสมมติ p เปน็ F F T T

ดังน้ัน p → T  T จะต้องจำให้ขึ้นใจและพร้อมนำไปใช้

5) พจิ ารณาค่าความจริงของ p → F  ?

p F pF

ลองสมมติ p เป็น T TF F ผลสรปุ p→ F  p
ลองสมมติ p เปน็ F FF T

ตรงกัน

ดงั นน้ั p → F  p จะต้องจำใหข้ ้นึ ใจและพรอ้ มนำไปใช้

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้

ชุดท่ี 3 เรื่อง รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมูลและเป็นนิเสธกนั 18

6) พจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของ p  q กับ ( p → q )  ( q → p )

p q p→q q→p pq (p→q)(q→p)

TT T T T T

TF F T F F

FT T F F F

FF T T T T

ตรงกัน
ดงั น้นั p  q  ( p → q )  ( q → p ) จะตอ้ งจำให้ข้ึนใจและพร้อมนำไปใช้

7) พจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของ p  q กับ q  p

p q pq q p qp
TT T TT T
TF F FT F
FT F TF F
FF T FF T

ตรงกัน

จากตาราง p  q  q  p จะตอ้ งจำใหข้ ้ึนใจและพรอ้ มนำไปใช้
แสดงว่า “” มสี มบัติการสลบั ที่

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชุดท่ี 3 เรือ่ ง รูปแบบของประพจนท์ ส่ี มมูลและเป็นนเิ สธกนั 19

8) พจิ ารณาค่าความจรงิ ของ p  q กับ  q   p

p q pq p q qp

TT T F F T
TF F F T F
FT F T F F
FF T T T T

ตรงกนั
ดังน้ัน p  q   q   p จะตอ้ งจำให้ขึ้นใจและพร้อมนำไปใช้

9) พจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของ p  p  ?

ลองสมมติ p เป็น T p p p→ p
ลองสมมติ p เปน็ F
TT T ผลสรปุ p  p  T
FF T

ดังนัน้ p  p  T จะต้องจำให้ข้ึนใจและพรอ้ มนำไปใช้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชดุ ท่ี 3 เรอ่ื ง รปู แบบของประพจนท์ สี่ มมูลและเป็นนิเสธกนั 20

10) พิจารณาค่าความจรงิ ของ p   p  ?

p  p p  p

ลองสมมติ p เป็น T TF F ผลสรปุ p  p  F
ลองสมมติ p เป็น F FT F

ดังน้นั p   p  F จะตอ้ งจำใหข้ นึ้ ใจและพร้อมนำไปใช้

11) พจิ ารณาคา่ ความจริงของ p → T  ?

p T pT

ลองสมมติ p เป็น T T T T ผลสรปุ p → T  T
ลองสมมติ p เปน็ F F T T

ดังน้ัน p → T  T จะตอ้ งจำใหข้ ้ึนใจและพรอ้ มนำไปใช้

12) พจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของ p  F  ?

ลองสมมติ p เปน็ T pF pF ผลสรุป p  F  p
ลองสมมติ p เปน็ F TF F
FF
T
สลบั กัน

ดงั น้ัน p  F   p จะต้องจำให้ข้นึ ใจและพรอ้ มนำไปใช้

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งตน้

ชุดท่ี 3 เร่อื ง รูปแบบของประพจนท์ ีส่ มมลู และเป็นนิเสธกนั 21

เรอื่ ง ประพจน์ท่ีสมมลู กัน (ตัวเช่ือม → กบั )

ให้นกั เรียนตรวจสอบว่าประพจน์ที่กำหนดใหต้ อ่ ไปนี้ สมมูลกนั หรอื ไม่ โดยใช้ตาราง
(ข้อละ 2.5 คะแนน : 10 คะแนน)
1. p → (q → r) และ (p → q) → r

p q r q → r P → (q → r) p → q (p → q) → r
T TT
T TF
T FT
T FF
F TT
F TF
F FT
F FF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. (p  q) → r กับ  p  (q → r)
P q r p  q (p  q)→r p q →r p ( q →r)
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งตน้

ชุดท่ี 3 เร่อื ง รปู แบบของประพจน์ท่ีสมมูลและเป็นนิเสธกัน 22

3. (p  q)  r กับ p  (q  r)

p q r p  q ( p  q )  r q  r p  (q  r)
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. (q  p) → r กบั (q → r)  (p → r)

p q r qvp (q p) → r q→ r p → r (q → r)  (q r)
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชุดท่ี 3 เรอื่ ง รปู แบบของประพจน์ท่สี มมลู และเป็นนิเสธกนั 23

เร่อื ง การตรวจสอบสมมูลโดยใชร้ ปู แบบประพจน์ทส่ี มมูลกนั ( กับ )

จากตวั อย่างและแบบฝึกหัดท่ผี า่ นมา นักเรียนจะพบวา่ มรี ูปแบบของประพจน์ทีส่ มมูลกัน
หลายแบบ ซ่งึ รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมูลกันน้ันมปี ระโยชนต์ ่อการศึกษาวิชาคณติ ศาสตร์เป็นอย่าง
มาก โดยทีเ่ ป็นเครื่องมือในการพสิ จู นท์ ฤษฎีบทตา่ งๆ หรือการแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตรใ์ นเรื่อง
เก่ยี วกบั การให้เหตุผล ดังนัน้ จึงควรทน่ี ักเรียนจะไดร้ จู้ ักรูปแบบของประพจน์ทส่ี มมลู กันบางรูปแบบ
ที่สำคัญ เพื่อนำไปใช้ในการอา้ งอิงตามตัวอยา่ งของรปู แบบของประพจน์ท่สี มมลู กนั ท่ีแจกนักเรยี นไป
แลว้

หลักการ ใหป้ ระพจนท์ มี่ คี ่าความจริงตรงกัน (เหมือนกนั ) ทุกกรณถี ูกเรยี กวา่ สมมูลกัน

โดยจะเขยี น “ ≡ ” คัน่ ระหว่างประพจน์ที่สมมูลกัน
เทคนิคการตรวจสอบการสมมูลกันของประพจน์ ใชก้ ารยุบและขยายประพจน์

1. การยบุ ประพจนย์ อ่ ยเพอื่ หาประพจนผ์ สม

หลกั การ 1. p  p ≡ p
2. p  T ≡ p ≡ T  p
1. p  p ≡ p 3. p  F ≡ F ≡ F  p
2. p  F ≡ p ≡ F  p 4. p ~p ≡ F ≡ ~p p
3. p  T ≡ T ≡ T  p 5. ถา้ เช่ือมกันด้วย “ ” สามารถ
4. p  ~ p ≡ T ≡ ~ p  p
1. ถา้ เชอ่ื มกนั ด้วย “  ” สามารถ ถอดวงเล็บและจับคใู่ หม่ได้

ถอดวงเลบ็ และจบั คู่ใหม่ได้

ตวั อย่างท่ี 1

ให้ p, r เปน็ ประพจนใ์ ดๆ p  (~ p  r ) ≡ ?

วิธที ำ p  (~p  r ) ≡ p  ~p  r “ ” ถอดวงเล็บและจบั คู่ใหม่
ดังนัน้ ≡ (p  ~ p)  r ยบุ p ~p เป็น F

≡ F r ยุบ F  r เป็น F

p  (~p  r ) ≡ F

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งต้น

ชุดท่ี 3 เรื่อง รูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลและเป็นนเิ สธกัน 24

2. ลุยนเิ สธเข้าไปใน  และ  (ดึงออกก็ไดน้ ะ)

หลกั การ เปลย่ี น  เป็น  ~p  ~q

1. ~ (p  q) ≡

เปลย่ี น  เป็น 

2. ~ (p  q) เปลี่ยน  เปน็ 
≡ ~p  ~q

เปล่ียน  เปน็ 

ตวั อย่างที่ 2

ให้ p, r เป็นประพจน์ใดๆ ~ (p  q)  q ≡ ?

วธิ ที ำ ~ (p  q)  q ≡ (~p  ~q)  q เปล่ยี น  เป็น 
≡ ~p  ~q  q “ ” ถอดวงเลบ็ และจบั คู่ใหม่
≡ ~p ( ~q  q) ยบุ ~q  q เป็น F
≡ ~p  F ยุบ ~p  F เปน็ F

ดงั น้นั ~ (p  q)  q ≡ F

3. p ( q r ) และ p ( q  r ) ใช้การแจกแจง

หลกั การ
1. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
2. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
3. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
4. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งต้น

ชุดท่ี 3 เรื่อง รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมูลและเป็นนเิ สธกนั 25

ตัวอยา่ งท่ี 3

จงพิจารณาวา่ ประพจน์ p  ( p  q) กบั (p  q) สมมลู กนั หรอื ไม่

วิธีทำ p  ( p  q)  (p   p)  (p  q)
 T  (p  q)
 (p  q)

ดงั น้ัน p  ( p  q)  (p  q)

ตวั อย่างที่ 4

จงพจิ ารณาวา่ ประพจน์ p  (q   p) กบั (p  q) สมมลู กนั หรือไม่

วธิ ีทำ p  (q   p)  (p  q)  (p   p)
 (p  q)  F
 (p  q)

ดังน้นั p  (q   p)  (p  q)

ตวั อย่างที่ 5

จงพจิ ารณาว่าประพจน์ ~ p  (q  p) สมมูลกับประพจน์ใด

วิธีทำ ~ p  (q  p)  ~ p  q  p ยบุ ~ p  p เป็น T
 ( ~ p  p)  q ยบุ T  q เปน็ T
 Tq
T

ดังนั้น ~ p  (q  p)  T

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น

ชุดที่ 3 เรื่อง รปู แบบของประพจน์ที่สมมูลและเป็นนิเสธกัน 26

เรือ่ ง การตรวจสอบสมมลู โดยใชร้ ูปแบบประพจน์ท่ีสมมูลกัน ( กบั )

ใหน้ กั เรียนตรวจสอบวา่ ประพจน์ตอ่ ไปน้ี สมมูลกันหรือไม่โดยใชร้ ปู แบบประพจนท์ ีส่ มมูลกนั
(ข้อละ 2.5 คะแนน: 10 คะแนน)

1. (p  q)  (r  s )  (k  (~r  z))  ?
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. ~(p  q)  (p  q)  ?
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. (~ (p  (~p  q))  ?
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. p  (q   p)  ?
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งต้น

ชดุ ที่ 3 เรื่อง รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมลู และเป็นนเิ สธกนั 27

เรือ่ ง การตรวจสอบสมมลู โดยใชร้ ปู แบบประพจน์ทสี่ มมลู กนั ( → กับ  )

รูปแบบประพจนท์ สี่ มมลู กนั ของตัวเชื่อมประพจน์ ถ้า....แล้ว (→)

1. การยบุ ประพจน์ยอ่ ยเพื่อหาประพจน์ผสม

หลกั การ 2. p → T  T
1. p → p  T 4. p → F   p
3. T → p  p 6. p →  p   p
5. F → p  T 8. p  q   p → q
7. p → q  p  q

ตวั อยา่ งท่ี 1

ประพจน์ p  (p → q) ≡ ?

วิธที ำ p  (p → q)  p  ( p  q) เนือ่ งจาก p → q   p  q
 (p   p)  q ยุบ p   p เปน็ T
 Tq ยุบ T  q เปน็ T
T

ดงั นนั้ p  (p → q)  T

ตัวอยา่ งท่ี 2

ประพจน์  (r → s)  s ≡ ?

วิธที ำ  (r → s)  s   ( r  s)  s เนือ่ งจาก r → s   r  s

 (r   s)  s ลยุ นเิ สธเข้าใน r  s จะได้ r 

 r  ( s  s) ยุบ s  s เป็น f

 rF ยุบ r  f เปน็ t

ดงั นั้น  (r → s)  s  F

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้

ชุดที่ 3 เรื่อง รูปแบบของประพจนท์ สี่ มมูลและเป็นนิเสธกนั 28

ตัวอย่างท่ี 3

ประพจน์  (r → s)  s ≡ ?

วิธที ำ ( r → s)   r  ( (  r)  s)   r ใช้ →    
 rsr สลับท่ีจับคู่ใหมไ่ ด้
 (r   r)  s ยุบ r   r เป็น T
 Ts ยบุ t  s เป็น T
T

ตัวอยา่ งท่ี 4

ประพจน์ p → (q → (r  p)) สมมูลกับประพจนใ์ นขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (p)  q  r 2. p  (q)  r

3. p  q  (r) 4. p  (q)  (r)

วธิ ที ำ ∼ p → ( q → ( r  p )) ≡ p  ( q → ( r  p ))

≡ p  (∼q  ( r  p ))

≡ p  (∼q)  r  p

≡ ( p  p )  (∼q )  r

≡ p  (∼q )  r ตอบ ตวั เลือก 2

ตัวอยา่ งที่ 5

ขอ้ ความ “ถา้ ปีน้ี สมชายไปทำงานทุกวัน แล้ว ปีหน้าเขาจะได้รับเงนิ เดือนเพิม่ 10%” สมมลู กบั
ขอ้ ความใดตอ่ ไปนี้
1. ปนี ี้ สมชายไปทำงานทกุ วนั และ ปีหนา้ เขาได้รบั เงินเดือนเพ่มิ 10 %
2. ถา้ ปนี ้ีสมชายไมไ่ ปทำงานอย่างนอ้ ย 1 วันแล้ว ปีหนา้ เขาจะไม่ได้รับเงนิ เดือนเพิม่ 10%
3. ถ้าปีหน้าสมชายไมไ่ ดร้ ับเงินเดือนเพ่ิม 10% แล้ว แสดงว่าปนี ีเ้ ขาไม่ไปทำงานอย่างนอ้ ย 1 วนั
4. ปีนส้ี มชายไมไ่ ปทำงานอย่างน้อย 1 วัน และ ปีหนา้ เขาจะไม่ไดร้ บั เงนิ เดอื นเพิ่ม 10%

วิธีทำ ลองสมมติประพจนย์ อ่ ยในใจดังน้ี

พบวา่ p →q ≡ ∼ p  q

≡ q  ∼p
จะได้ p →q ≡ ∼q → ∼p
ดงั นั้น “ถ้าปีนส้ี มชายไปทำงานทุกวนั แล้ว ปีหน้าเขาจะได้รับเงนิ เดอื นเพ่มิ 10%” สมมูลกบั
“ถ้าปหี นา้ สมชายไมไ่ ดร้ บั เงินเดือนเพมิ่ 10% แลว้ แสดงวา่ ปนี ้เี ขาไมไ่ ปทำงานอย่างน้อย 1 วัน”

ตอบ ตวั เลอื ก 3

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น

ชุดที่ 3 เร่ือง รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลและเป็นนเิ สธกนั 29

ตัวอย่างที่ 6

ประพจน์ p → (q  r) ≡ ?
วิธีทำ p → (q  r)  (p  p) → (q  r)

 (p  p)  (q  r)
 (p p)  (q  r)
 ppqr
 ( p  q)  ( p  r)
 (p → q)  (p → r)

ตวั อย่างที่ 7

ประพจน์ p→ (q  r) ≡ ?
วธิ ที ำ p→ (q  r)   p  (q  r)

 ( p  q)  ( p  r)
 (p → q)  (p → r)

ตวั อย่างท่ี 8

ประพจน์ (p  q) → r ≡ ?
วธิ ีทำ (p  q) → r   (p  q)  r

 ( p   q)  r
 ( p  r)  ( q  r)
 (p → r)  (q → r)

ตวั อยา่ งที่ 9

ให้ p, r เป็นประพจน์ใดๆ (p  q) → r ≡ ?
วธิ ีทำ (p  q)→r  (p  q)  r

 (p q)  r
 (p  r)  (q  r)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้

ชุดที่ 3 เรื่อง รูปแบบของประพจนท์ สี่ มมลู และเป็นนิเสธกนั 30

สรปุ “→” เข้าขา้ งหนา้ , ไม่เปล่ียน

1. p → (q  r)  (p →q) (p → r)
2. p → (q  r)  (p → q)  (p → r)

3. (p  q) → r  (p → r)  (q → r) “→” เขา้ ขา้ งหลงั
4. (p  q) → r  (p → r)  (q → r) “” เปลีย่ นเปน็ “”
“” เปลี่ยนเปน็ “”

รูปแบบประพจนท์ ี่สมมูลกันของตัวเชอื่ มประพจน์ ....ก็ต่อเมอ่ื ... ()

2. การยบุ ประพจน์ยอ่ ยเพ่อื หาประพจนผ์ สม

หลักการ
1. p  p  T
2. p  p  T   p  p
3. p  T   p  T  p
4. p  T  p  T  p

ตัวอยา่ งที่ 10

ประพจน์ p  (p → q) ≡ ?

วิธีทำ (p  q)  p  p  q  p
 (p  p)  q
 Tq
q

ดงั นน้ั (p  q)  p  q

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

ชุดที่ 3 เรอื่ ง รปู แบบของประพจน์ที่สมมูลและเป็นนเิ สธกัน 31

เรอ่ื ง การตรวจสอบสมมลู โดยใชร้ ปู แบบประพจน์ท่ีสมมลู กัน ( → กับ  )

ให้นักเรยี นตรวจสอบว่าประพจน์ตอ่ ไปนี้ สมมลู กันหรือไม่โดยใชร้ ปู แบบประพจนท์ ส่ี มมลู กนั
(ข้อละ 2.5 คะแนน: 10 คะแนน)

1. ( q  p) →  q  ?
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. (p  q) → (p  r)  ?
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ประพจน์ p ⟶ (q ⟶ r) กบั (p ˄ q) ⟶ r สมมูลกันหรอื ไม่
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. ประพจน์ p (q  p) กบั q สมมูลกันหรอื ไม่
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ชุดท่ี 3 เร่ือง รูปแบบของประพจน์ทส่ี มมูลและเป็นนเิ สธกนั 32

เรอ่ื ง การตรวจสอบวา่ ประพจน์เปน็ นเิ สธกัน

การพิจารณาและตรวจสอบวา่ ข้อความหรือรูปแบบทกี่ ำหนดให้
เปน็ นเิ สธหรือไม่สามารถตรวจสอบไดโ้ ดยการใช้ตารางคา่ ความจริง ดังตัวอย่าง

ตวั อย่างท่ี 1

จงพจิ ารณาและตรวจสอบวา่ p  q กบั  p   q เป็นนเิ สธกนั หรือไม่

วธิ ที ำ p q p  q  p  q p  q

TT T FF F
TF F FT T
FT F TF T
FF F TT T

จากตาราง พบวา่ p  q กบั  p   q มีค่าความจรงิ ตรงขา้ มกันทุกกรณี
ดงั นนั้ p   q กับ  p   q เปน็ นิเสธกัน

ตวั อยา่ งท่ี 2

จงพิจารณาและตรวจสอบว่า p  q กับ  p   q เปน็ นิเสธกันหรอื ไม่

วิธที ำ
p q p q p q pq

TT T FF F
TF T FT F
FT T TF F
FF F TT T

จากตาราง พบว่า p  q กับ  p   q มีค่าความจรงิ ตรงขา้ มกนั ทกุ กรณี
ดงั นนั้ p  q กบั  p   q เปน็ นเิ สธกนั

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชดุ ที่ 3 เรอื่ ง รปู แบบของประพจนท์ ส่ี มมลู และเป็นนเิ สธกนั 33

ตัวอยา่ งที่ 3

จงพิจารณาและตรวจสอบวา่ p → q กบั p   q เปน็ นเิ สธกันหรือไม่

วธิ ีทำ p q p → q  q p   q

TT T F F
TF F T T
FT T F F
FF T T F

จากตาราง พบว่า p → q กับ p   q มคี ่าความจริงตรงขา้ มกันทุกกรณี
ดังนน้ั p → q กบั p   q เปน็ นิเสธกนั

ตัวอยา่ งที่ 4

จงพจิ ารณาและตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นนิเสธกันหรือไม่

ก. ถา้ 4 + 3 = 7 แลว้ 7 เป็นจำนวนนบั ข. 7 ไมใ่ ชจ่ ำนวนนับ แต่ 4 + 3 = 7

วิธที ำ ให้ p แทน 4 + 3 = 7 q แทน 7 เป็นจำนวนนบั
นน่ั คือประโยค ก. แทนดว้ ย p → q และ ข. แทนดว้ ย  q  p

p q P→q q qp

TT T F F

TF F T T

FT T F F

FF T T F

จากตารางพบว่า p → q กบั  q  p มีคา่ ความจริงตรงข้ามกันทุกกรณี
ดังน้ัน ประโยคทงั้ สอง เป็นนิเสธกนั

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชดุ ท่ี 3 เร่อื ง รูปแบบของประพจน์ทสี่ มมลู และเป็นนิเสธกนั 34

เรอ่ื ง การตรวจสอบวา่ ประพจน์เป็นนเิ สธกัน

จงพิจารณาและตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปน้ี เป็นนเิ สธกนั หรือไม่ (ขอ้ ละ 2.5 คะแนน: 10 คะแนน)

1. ก. p → q ข.  q →  p
วิธีทำ

p q p →q p q q→p
TT
TF

FT
FF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ก. p  q ข. (p   q)  (q   p)

วิธีทำ

p q pq p q p q qp p q) (qp
TT
TF
FT
FF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งตน้

ชดุ ที่ 3 เรอ่ื ง รปู แบบของประพจนท์ ส่ี มมูลและเป็นนิเสธกัน 35

3. ก. x เปน็ จำนวนคูแ่ ละเป็นจำนวนเต็มบวก
ข. x เปน็ จำนวนค่หี รอื เป็นจำนวนเต็มลบ

วธิ ีทำ ให้ p แทนด้วย x เป็นจำนวนคู่ q แทนด้วย x เป็นจำนวนเตม็ บวก

นั่นคอื ประโยค ก. แทนดว้ ย p  q และ ข. แทนด้วย  p   q

p q p  q p  q p  q

TT T FF F

TF F FT T

FT F TF T

FF F TT T

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. ก. ถ้า 2 + 3 > 7 แลว้ 7 + 5 > 9

ข. 7 + 5  9 และ 2 + 3 > 7
วธิ ที ำ ให้ p แทน 2 + 3 > 7 q แทน 7 + 5 > 9

น่นั คอื ประโยค ก. แทนดว้ ย p → q และ ข. แทนด้วย  q  p

p q P→q q qp

TT T F F

TF F T T

FT T F F

FF T T F

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชดุ ที่ 3 เรอื่ ง รูปแบบของประพจน์ทสี่ มมลู และเป็นนิเสธกัน 36

เร่อื ง รูปแบบของประพจนท์ ส่ี มมูลและเป็นนเิ สธกนั

คำชี้แจง ให้เลือกข้อที่ถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน

1. ประพจน์ p  ( q ∼ q ) สมมูลกบั ข้อใด ข. ~ p  q
ง. p
ก. ~ p  q
ค. ~q → ~ p

2. ประพจนใ์ ดตอ่ ไปน้ีไม่สมมูลกัน ข. q  p กับ p  q
ง. p  p กับ p
ก. p → q กบั q → p
ค. p  q กบั q  p

3. นิเสธของประพจน์ (p  q) r ตรงกับประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

ก. ( p  q)   r ข. ( p   q)   r
ค. (p   q)   r ง. (q  p)   r

4. รปู ของประพจน์ T→ (S → W) สมมูลกบั รูปของประพจน์ในขอ้ ใด

ก. T → (W → S) ข. S → (T → W)
ค. (S ˄ W) → T ค. W → (S → T)

5. ถ้า p และ q เปน็ ประพจน์ แลว้ ประพจน์ p → ~ (q  p) สมมูลกับประพจน์ในขอ้ ใด

ก. ~ p  [(p  ~ q)  (q  ~ p)
ข. p  (~ q  p)
ค. ~ p  (~ p  q)
ง. ~ p  [( ~ q  p)  (~ q  p)]

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งตน้

ชดุ ท่ี 3 เรอื่ ง รปู แบบของประพจนท์ ส่ี มมลู และเป็นนิเสธกนั 37

6. ประพจน์ (p → r)  (q → r) สมมูลกับประพจนใ์ นข้อใด

ก. r  (~ p  ~ q) ข. r  ~ (p  q)
ค. ~ (p  q)  r ง. (~ p  ~ q)  r

7. ประพจน์ (p → r)  (q → r) ไม่สมมลู กับประพจนใ์ นข้อใด

ก. r  (~ p  ~ q) ข. r ~ (p  q)
ค. ~ (p  q)  r ง. (~ p  ~ q)  r

8. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

1) p → (q → r) สมมูลกับ ~ (p  q)  r

2) p → (q → r) สมมูลกบั (~ p  q) → r
ข้อใดต่อไปนถี้ กู

ก. 1 ถูก และ 2 ผดิ ข. 1 ถกู และ 2 ผิด
ค. 1 ผดิ และ 2 ถูก ง. 1 ผิดและ 2 ถกู

9. พิจารณาประพจน์ต่อไปน้ี ข. 1 สมมูลกบั 3
1) p → q ง. ไม่มขี ้อใดสมมูลกันเลย

2) p  (~ q)
3) p → ( p  q)
ข้อใดตอ่ ไปนเี้ ปน็ จรงิ

ก. 1 สมมูลกบั 3
ค. 1 สมมลู กบั 2

10. ประพจน์ ̴ p ⟶ (q ⟶ (r v p)) สมมูลกับประพจน์ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

ก. ( ̴p)  q  r ข. p  ( ̴ q) r
ค. p  q  ( ̴ r) ง. p  ( ̴ q)  ( ̴ r)

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้น

ชุดท่ี 3 เรื่อง รูปแบบของประพจนท์ สี่ มมูลและเป็นนเิ สธกนั 38

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลังเรียน

ชอื่ – นามสกุล ..................................................................... ชั้น ................. เลขที่ ...........
คำช้แี จง จงทำเครอ่ื งหมายกากบาท ( × ) ลงในกระดาษคำตอบ

ขอ้ ที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งต้น

ชดุ ที่ 3 เรื่อง รูปแบบของประพจน์ท่สี มมูลและเป็นนเิ สธกัน 39

แบบบนั ทึกคะแนน

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ ผลการประเมิน
แบบฝึกทักษะท่ี 3.1 10
แบบฝึกทักษะท่ี 3.2 10
แบบฝึกทักษะที่ 3.3 10
แบบฝึกทักษะท่ี 3.4 10
แบบฝึกทักษะที่ 3.5 10
10
แบบทดสอบหลังเรียน 60
รวม

เกณฑก์ ารประเมนิ ในแต่ละชุด นกั เรยี นตอ้ งทำแบบฝกึ ทักษะ ใหไ้ ดค้ ะแนน

ไม่นอ้ ยกว่ารอ้ ยละ 80 เช่น แบบฝกึ ท่มี ี 10 คะแนน นักเรียนตอ้ งทำ

ใหไ้ ด้ไมน่ อ้ ยกว่า 8 คะแนนจึงจะถือว่า “ผ่านเกณฑ์”

“ผา่ นเกณฑ์” “ไมผ่ ่านเกณฑ”์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบื้องตน้

ชุดท่ี 3 เร่ือง รปู แบบของประพจน์ที่สมมลู และเป็นนิเสธกนั 40

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน ชดุ ที่ 3

ชุดท่ี 2
แฟกทอเรยี ลและวิธีเรียงสับเปลยี่ น

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

ชุดที่ 3 เรื่อง รปู แบบของประพจนท์ ี่สมมูลและเป็นนิเสธกนั 41

เรื่อง ประพจนท์ ่ีสมมลู กัน (ตัวเชือ่ ม  กับ )

ให้นักเรียนตรวจสอบวา่ ประพจน์ทีก่ ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี สมมลู กนั หรือไม่โดยใช้ตาราง
(ขอ้ ละ 2.5 คะแนน : 10 คะแนน)

1. (p  q)  r กบั p  (q  r)

p q r p  q (p  q)  r q  r p  (q  r)

TTT T T T T

TTF T T T T

TFT T T T T

TFF T T F T

FTT T T T T

FTF T T T T

FFT F T T T

FFF F F F F

จากตาราง (p  q)  r  p  (q  r) ตรงกัน
แสดงว่า “” มสี มบัติการเปลย่ี นกลมุ่

2. p ˅ (q ˄ r) และ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

pq r q ˄ r p ˅ (q˄ r) p ˅ q p ˅ r (p ˅ q) ˄ (p˅ r)

TT TT T T T T
TT FF T T T T
TF TF T T T T
TF FF T T T T
FT TT T T T T
FT FF F T F F
FF TF F F T F
FF FF F F F F

ตรงกนั
จากตาราง p ˅ (q ˄ r) ≡ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองตน้

ชดุ ท่ี 3 เรื่อง รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมลู และเป็นนิเสธกัน 42

3. p ˄ (q ˅ r) และ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)

pq r q ˅ r p ˄ (q˅ r) p ˄ q p ˄ r (p ˄ q)˅ (p ˄ r)

TT TT T T T T
TT FT T T F T
TF TT T F T T
TF FF F F F F
FT TT F F F F
FT FT F F F F
FF TT F F F F
FF FF F F F F

ตรงกนั

จากตาราง p ˄ (q˅ r) ≡ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)

4. (p ˄ q) ˄ r กับ p ˄ (q ˄ r)

pq r (p ˄ q) (p ˄ q) ˄ r (q ˄ r) p ˄ (q ˄ r)
T
TT TT T F T
TT F F
TF FT F F F
TF T F
FT TF F F F
FT F F
FF FF F F F
FF F
TF F ตรงกนั

FF F

TF F

FF F

จากตาราง (p ˄ q) ˄ r ≡ p ˄ (q ˄ r)
แสดงว่า “˄” มีสมบตั ิการเปลี่ยนกลุม่ ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้

ชุดที่ 3 เรื่อง รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมูลและเป็นนเิ สธกนั 43

เร่อื ง ประพจน์ที่สมมูลกัน (ตัวเชือ่ ม → กบั )

ให้นักเรยี นตรวจสอบว่าประพจน์ทก่ี ำหนดให้ต่อไปน้ี สมมูลกันหรือไม่โดยใชต้ าราง
(ขอ้ ละ 2.5 คะแนน : 10 คะแนน)

1. p → (q → r) และ (p → q) → r

p q r q → r P → (q → r) p → q (p → q) → r

T TT T T TT

T TF F F TF

T FT T T FT

T FF T T FT

F TT T T TT

F TF F T TF

F FT T T TT

F FF T T TF

ไมต่ รงกัน

จากตารางp → (q → r)  (p → q) → r
ดงั น้นั “→” ไมม่ ีสมบตั ิการเปลยี่ นกลมุ่
2. (p  q) → r กับ  p  ( q → r)

P q r p  q (p  q)→r p q →r p ( q →r)
T
TTT T T FT F
T
TTF T F FF T
T
TFT F T FT T
T
TFF F T FT T

FTT F T TT

FTF F T TF

FFT F T TT

FFF F T TT

ตรงกัน

จะได้ว่า (p  q) → r  p  ( q → r)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องตน้

ชดุ ท่ี 3 เรอ่ื ง รูปแบบของประพจน์ทส่ี มมูลและเป็นนิเสธกนั 44

3. ( p  q )  r กบั p  (q  r)

p q r p  q ( p  q )  r q  r p  (q  r)
TTT T T T T
TTF T F F F
TFT F F F F
TFF F T T T
FTT F F T F
FTF F T F T
FFT T T F T
FFF T F T F

ตรงกัน

จากตาราง ( p  q )  r  p  (q  r)
แสดงวา่  มีสมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุ่ม

4. (q  p) → r กับ (q → r)  (p → r)

p q r qvp (q p) → r q→ r p → r (q → r)  (q r)
TTT T T
TTF T F TT T
TFT F T
TFF F T FF F
FTT F T
FTF F T TT T
FFT F T
FFF F T TF T

TT T

FT T

TT T

TT T

ตรงกัน

น่นั คอื (q  p) → r  (q → r)  (q →r)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งต้น

ชดุ ที่ 3 เรื่อง รูปแบบของประพจนท์ ส่ี มมูลและเป็นนิเสธกนั 45

เร่ือง การตรวจสอบสมมลู โดยใช้รปู แบบประพจนท์ ี่สมมลู กนั (  กบั  )
ใหน้ กั เรยี นตรวจสอบวา่ ประพจน์ต่อไปนี้ สมมลู กันหรอื ไม่โดยใช้รูปแบบประพจนท์ สี่ มมูลกนั
(ขอ้ ละ 2.5 คะแนน: 10 คะแนน)

1. (p  q)  (r  s )  (k  (~r  z))  ?
วธิ ีทำ (p  q)  (r  s )  (k  (~r  z))  p  q  r  sk  ~r  z

 ( r ~r ) ( p  q  r  s  k  z)
 F  ( p  q  r  s  k  z)
F

2. ~(p  q)  (p  q)  ?
วธิ ที ำ ~(p  q)  (p  q)  (~p  ~q)  (p  q)

 (~p  p)  (~q  q)
 TT
T

3. (~ (p  (~p  q))  ?
วธิ ีทำ ~(p  (~p ^ q))  ~p  ~(~p  q)

 ~p  [~(~p)  ~q)]
 ~p  (p  ~q)
 (~p  p)  (~p  ~q)
 F  (~p  ~q)
 (~p  ~q)  F
 ~p  ~ q

4. p  (q   p)  ?
วธิ ีทำ p  (q   p)  (p  q)  (p   p)

 (p  q)  F
 pq

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชดุ ท่ี 3 เรอ่ื ง รูปแบบของประพจนท์ ี่สมมูลและเป็นนิเสธกัน 46

เรื่อง การตรวจสอบสมมลู โดยใช้รปู แบบประพจนท์ ี่สมมลู กนั ( → กับ  )

ใหน้ ักเรียนตรวจสอบว่าประพจน์ตอ่ ไปนี้ สมมลู กันหรอื ไม่โดยใชร้ ูปแบบประพจนท์ ่สี มมูลกัน
(ขอ้ ละ 2.5 คะแนน: 10 คะแนน)

1. ( q  p) →  q  ?

วิธที ำ ( q  p) →  q   ( q  p)   q

 (q  p)  q สลับท่จี บั คูใ่ หม่

 (q   q)   p ยบุ q   q เป็น T

 Tp ยุบ T   p เป็น T

T

2. (p  q) → (p  r)  ?

วธิ ีทำ (p  q) → (p  r)   (p  q)  (p  r)

 ( p   q)  (p  r)

 ( p   q)  p  r

 ( p   q)  p  r

 ( p  p)  ( q  p)  r

 T  ( q  p)  r

 ( q  p)  r

 p  ( q  r)

 p  (q → r)

3. ประพจน์ p ⟶ (q ⟶ r) กบั (p ˄ q) ⟶ r สมมูลกันหรือไม่

วธิ ที ำ p ⟶ (q ⟶ r) ≡ ~ p ˅ (~ q ˅ r) ใช้ x ⟶ y ≡ x ˅ y

≡ (~ p ˅ ~ q ) ˅ r “˅” ถอดวงเลบ็ ไดจ้ ัดรูปใหม่

≡ ~ (p ˄ q) ˅ r ดงึ นิเสธออก

≡ (p ˄ q) ⟶ r ใช้ x˅y ≡ x ⟶ y

4. ประพจน์ p (q  p) กับ q สมมูลกันหรอื ไม่

วธิ ีทำ p  (q   p)  p  q   p

 (p   p)  q

 Fq

 q

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งตน้

ชดุ ท่ี 3 เรอ่ื ง รปู แบบของประพจนท์ ี่สมมลู และเป็นนเิ สธกัน 47

เรื่อง การตรวจสอบวา่ ประพจน์เปน็ นิเสธกนั

จงพจิ ารณาและตรวจสอบวา่ ประพจนต์ อ่ ไปนี้ เป็นนเิ สธกันหรือไม่ (ข้อละ 2.5 คะแนน: 10 คะแนน)

1. ก. p → q ข.  q →  p

วิธที ำ

p q p →q p q q→p

TT T FT T

TF F FT F

FT T TF T

FF T TF T

จากตาราง พบวา่ p → q กับ  q →  p มคี ่าความจรงิ ตรงขา้ มกันทกุ กรณี
ดังนนั้ กับ p → q กบั  q →  p ไม่เป็นนิเสธกนั

2. ก. p  q ข. (p   q)  (q   p)
วิธที ำ

p q p  q p q p q q p (p q) (q p)

TT T FT F F F

TF F FF T F T

FT F TT F T T

FF T TF F F F

จากตาราง พบว่า p  q กับ (p   q)  (q   p) มคี า่ ความจรงิ ตรงข้ามกนั ทกุ กรณี
ดงั น้นั p  q กับ (p   q)  (q   p) เปน็ นิเสธกนั

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น

ชุดที่ 3 เรือ่ ง รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมลู และเป็นนิเสธกัน 48

3. ก. x เป็นจำนวนคแู่ ละเปน็ จำนวนเตม็ บวก
ข. x เปน็ จำนวนคหี่ รือเปน็ จำนวนเตม็ ลบ

วธิ ที ำ ให้ p แทนด้วย x เปน็ จำนวนคู่ q แทนดว้ ย x เปน็ จำนวนเต็มบวก

นนั่ คือ ประโยค ก. แทนด้วย p  q และ ข. แทนดว้ ย  p   q

p q p  q p  q p  q

TT T FF F

TF F FT T

FT F TF T

FF F TT T

จากตารางพบวา่ p  q กบั  p   q มีค่าความจรงิ ตรงขา้ มกันทกุ กรณี
ดงั นัน้ ประโยคทั้งสอง เปน็ นเิ สธกนั

4. ก. ถา้ 2 + 3 > 7 แลว้ 7 + 5 > 9
ข. 7 + 5  9 และ 2 + 3 > 7

วิธที ำ ให้ p แทน 2 + 3 > 7 q แทน 7 + 5 > 9
นั่นคือประโยค ก. แทนดว้ ย p → q และ ข. แทนด้วย  q  p

p q P→q q qp

TT T F F

TF F T T

FT T F F

FF T T F

จากตารางพบวา่ p → q กับ  q  p มีค่าความจริงตรงขา้ มกันทุกกรณี
ดังนั้น ประโยคทัง้ สอง เป็นนเิ สธกนั

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชดุ ท่ี 3 เรอ่ื ง รปู แบบของประพจนท์ ่ีสมมูลและเป็นนิเสธกัน 49

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ชุดที่ 3

ขอ้ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชุดท่ี 3

1. ง. p ข้อ คำตอบ
6. ก. r  (~ p  ~ q)
2. ก. p → q กับ q → p 7. ข. r ~ (p  q)
3. ข. ( p   q)   r 8. ข. 1 ถูกและ 2 ผดิ
4. ข. S → (T → W)
5. ก. ~ p  [(p  ~ q)  (q  ~ p) 9. ก. 1 สมมูลกบั 3
10. ก. ( ̴p)  q  r

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบื้องตน้