สถิติ_2_ ม.2

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 1

บทท่ี 1 สถติ (ิ 2)

1.1 แผนภาพจดุ
1.2 แผนภาพตน–ใบ
1.3 ฮิสโทแกรม
1.4 คา กลางของขอมลู

จุดประสงคข องบทเรยี น
เมอื่ เรียนจบบทนแ้ี ลว นกั เรยี นสามารถ
1. วิเคราะหและนําเสนอขอ มูลดวยแผนภาพจุด แผนภาพตน –ใบ และฮิสโทแกรม โดยใชเทคโนโลยที เ่ี หมาะสม

รวมทง้ั อา นและแปลความหมายขอ มลู ทน่ี ําเสนอดว ยรปู แบบเหลา น้ี
2. หาและเปรยี บเทียบคากลางขอมูล (คา เฉลย่ี เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม) โดยใชเทคโนโลยที เ่ี หมาะสม

รวมท้ังแปลความหมายผลลัพธและเลอื กใชค า กลางของขอ มลู ได
3. ใชขอมูลในการตัดสนิ ใจ คาดคะเน และสรปุ ผลไดอยางเหมาะสม

ทบทวนความรกู อนเรยี น
สถติ ิ เปนศาสตรและศิลปของการเรียนรจู ากขอ มลู ประกอบดว ยกระบวนการทสี่ ําคญั ไดแก
 การเกบ็ รวมรวมขอมูล
 การจดั การขอมูล
 การวิเคราะหข อมลู
 การแปลความหมายผลลพั ธ
 การนาํ เสนอขอ มลู

ขอ มูลเชงิ คณุ ภาพ เปน ขอมลู ทอี่ ธิบายลักษณะ ประเภท หรือคุณสมบัตใิ นเชงิ คุณภาพ เชน เพศ
หมายเลขโทรศพั ท วชิ า ยหี่ อ ภาษา

ขอมูลเชิงปรมิ าณ เปน ขอมลู ทเ่ี ปนตัวเลขท่ใี ชแสดงปรมิ าณ สามารถนาํ ไปคาํ นวณหรือเปรยี บเทยี บได
เชน อายุ นํ้าหนัก สว นสงู คะแนนสอบ

นกั เรยี นสามารถทําแบบทดสอบความรพู ้นื ฐานกอนเรยี นไดท ี่ http://ipst.me/9140

ขอ มูลจาํ นวนมากทเ่ี กบ็ รวบรวมมาเพอ่ื ตอบคําถามทางสถิติ อาจจาํ แนกไดห ลายลกั ษณะ เชน ขอ มลู เชิง
คุณภาพ ขอ มลู เชงิ ปริมาณ ขอมลู แบบตอเนอื่ ง หรือขอมลู แบบไมตอ เนอื่ ง ความเขา ใจเกี่ยวกบั ลกั ษณะของขอมลู
ผนวกกบั การเลอื กใชร ูปแบบในการวเิ คราะหและนาํ เสนอขอมลู ทสี่ อดคลอ งและเหมาะสมกบั ขอ มลู จะชวยใหได
ผลลัพธท ่ถี กู ตอง เพ่อื ใชประกอบการอธิบายขอมลู สรา งขอสรุป และแปลความหมายของขอมลู ใหน าเชอื่ ถอื

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 2
ในบทน้จี ะเนนเก่ียวกบั การนําเสนอขอ มลู ดว ยแผนภาพจดุ แผนภาพตน –ใบ ฮิสโทแกรม ตลอดจนการหา

คา กลางของขอ มลู

มุมคณิต
ขอมลู แบบไมตอเนอ่ื ง เปนขอ มลู เชิงปรมิ าณที่สามารถนับจาํ นวนของคา ที่เปน ไปไดข องขอ มูล เชน
จาํ นวนสัตวเล้ยี งในบา น จาํ นวนสมาชกิ ในครอบครัว
ขอ มลู แบบตอ เนือ่ ง เปนขอ มลู เชงิ ปรมิ าณทมี่ ีคา เปนไปไดท กุ คาในชว งๆหนึง่ อยไู มจ าํ กัด เชน
ความสูงของคน เวลาท่ีใชในการทาํ งาน

1.1 แผนภาพจดุ
แผนภาพจดุ (dot plot) เปนรูปแบบหนงึ่ ของการนาํ เสนอขอมลู เชงิ ปริมาณทท่ี าํ ไดไมยาก โดยจะเขยี น

จุดแทนขอมลู แตล ะตัวไวเ หนอื เสนแนวนอนท่ีมสี เกลใหต รงกับตําแหนง ท่แี สดงคาของขอมลู น้นั แผนภาพจดุ ชวยให
เหน็ ภาพรวมของขอมลู ไดรวดเรว็ กวาการพจิ ารณาจากขอ มลู โดยตรงโดยเฉพาะอยา งยงิ่ เมือ่ สนใจจะพจิ ารณา
ลกั ษณะของขอ มลู วา มีการกระจายมากนอยเพยี งใด

ตัวอยาง 1 กาํ หนกคะแนนสอบระหวา งภาคเรียนวิชาคณติ ศาสตรข องนกั เรยี นช้ัน ม.2 หองหนง่ึ จํานวน 30 คน
เปน ดงั น้ี

20 30 18 18 24 30 18 28 14 12
11 18 20 27 20 19 12 11 19 15
16 22 15 22 26 25 19 18 28 24

วธิ ที าํ

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

จากการนําเสนอแผนภาพจดุ ใหนกั เรยี น ชวยการแสดงความคิดเห็นเกีย่ วกับขอ มลู ท่ีกาํ หนด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 3
แบบฝก หัด 1.1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. กาํ หนดน้าํ หนกั ของนกั เรียนช้นั ม.2 หองหนง่ึ เปนดงั นี้

45 48 45 45 47 48 50 49 47 48
50 55 47 48 45 49 48 50 52 50
46 44 44 50 48 50 51 55 50 51

1) จงเขียนแผนภาพจุดแสดงน้าํ หนกั

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) น้ําหนกั สงู สดุ และตาํ่ สุดของนักเรียนหอ งนเ้ี ปนเทาใด

............................................................................................................................................

3) นักเรียนสวนมากหนกั เทาใด

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 4
2. คะแนนสอบปลายภาคเรียนวชิ าคณิตศาสตรข องนกั เรยี นชน้ั ม.2 หอ งหนง่ึ เปนดงั น้ี

21 25 15 28 25
35 16 35 38 30
35 29 31 34 16
17 39 22 35 28
31 31 30 39 19

1) จงเขียนแผนภาพจุดแสดงคะแนนสอบ

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) คะแนนสงู สดุ และตํ่าสุดของการสอบในครงั้ นีเ้ ปน เทา ใด

............................................................................................................................................

3) นกั เรยี นสวนมากไดคะแนนเทา ใด

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 5
3. ขอมลู เกี่ยวกบั ความสูง(เซนติเมตร) ของนักเรียนหอ งหนึง่ เปนดงั นี้

168 165 151 175 166 162 147 166 145 162
145 163 156 153 156 147 166 160 149 171
169 150 145 149 160 173 161 153 161 175

1) จงเขียนแผนภาพจุดแสดงความสงู ของนักเรียนหองนี้

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) นักเรียนคนทสี่ งู ที่สุด สูงกวานกั เรยี นคนทเี่ ตย้ี ทส่ี ดุ เทาใด

............................................................................................................................................

3) นกั เรยี นสว นมากสงู เทา ใด

............................................................................................................................................

4) โรงเรียนตองการนกั กีฬาบาสเกตบอลของโรงเรยี น โดยจะคดั เลอื กจากนักเรยี นทส่ี งู ตงั้ แต
160 เซนตเิ มตร ข้ึนไป นักเรยี นหอ งนมี้ ีโอกาสไดร บั คัดเลอื กทงั้ หมดกี่คน

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 6
4. ในคาบเรียนวิชาคณติ ศาสตร ครใู หน กั เรียนจบั ชพี จรของตนเอง เพ่อื หาอตั ราการเตน หัวใจ (ครัง้ ตอ นาท)ี

ไดผลดงั แผนภาพจุดตอไปนี้

    
   
     

56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92

อัตราการเตนของหวั ใจ (ครงั้ ตอ นาท)ี

1) ในคาบเรยี นน้ีมีนกั เรียนทง้ั หมดก่ีคน

............................................................................................................................................

2) พสิ ัยของอัตราการเตนของหัวใจของนกั เรียนเปนเทา ใด

............................................................................................................................................

3) นักเรียนสวนใหญม ีอตั ราการเตน ของหวั ใจเปน เทาใด

............................................................................................................................................

เกรด็ ความรู
อัตราการเตนของหวั ใจของคนปกตอิ ยูในชวง 60 – 100 คร้งั ตอ นาที อตั ราการเตน ของหวั ใจต่ํากวา 60

ครั้งตอนาที ไมไ ดบ ง ช้ถี งึ ปยหาดานสขุ ภาพเสมอไป เชน คนท่อี อกกําลงั กายสมาํ่ เสมอและรปู รา งดี อาจมอี ัตราการ
เตน ของหวั ใจต่าํ ถงึ 40 คร้งั ตอนาที

มุมคณิต
พสิ ัย(range) ของขอมลู เทา กบั คา สงู สุดของขอมูลลบดว ยคาตํ่าสุดของขอ มูล

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 7
4. ครสู นใจพฤติกรรมในการนอนของนกั เรยี นและตอ งการใหน ักเรียนตระหนกั ถึงความสําคญั ของจํานวนชัว่ โมง

ในการนอน จึงเก็บรวบรวมขอ มลู จํานวนช่ัวโมงในการนอนของนกั เรยี น โดยแบง ขอ มลู ทเ่ี กบ็ รวมรวมออกเปน
2 แบบ คอื จาํ นวนชัว่ โมงในการนอนเมอื่ วนั รุงขน้ึ ตองไปโรงเรียน และจาํ นวนชัว่ โมงในการนอนเมื่อวันรงุ ข้ึน
เปนวนั หยดุ แลว นาํ เสนอขอ มลู ท่ไี ดโดยใชแ ผนภาพจดุ ดงั นี้

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5

จํานวนชั่วโมงในการนอนเมือ่ วันรุง ขึ้นตอ งไปโรงเรยี น

8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5

จาํ นวนช่ัวโมงในการนอนเมอื่ วนั รุง ข้ึนเปนวันหยดุ
1) พสิ ัยของจาํ นวนช่ัวโมงท่ีนกั เรยี นใชในการนอนแตล ะแบบเปนเทา ใด

............................................................................................................................................

2) จํานวนชวั่ โมงในการนอนของนกั เรยี นสว นใหญใ นแตล ะแบบอยใู นชวงใด

............................................................................................................................................

3) ลกั ษณะแผนภาพจุดของจาํ นวนชว่ั โมงทน่ี ักเรียนใชในการนอนทั้งสองแบบแตกตางกันหรือไมอยางไร

............................................................................................................................................

4) นักเรยี นจะสรปุ เก่ยี วกบั จาํ นวนชวั่ โมงในการนอนของนกั เรียนหอ งนีไ้ ดว า อยางไร

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 8
5. การวงิ่ ระยะไกล (distance run) เปน หนง่ึ ในการทดสอบสมรรถภาพทางกายสําหรบั เดก็ ไทยอายุ 7–18 ป

เพ่อื วดั ความอดทนของระบบหัวใจและไหลเวยี นเลอื ด โดยใชร ะยะทาง 1,600 เมตร ในการทดสอบเดก็ อายุ
13–18 ป จากการทดสอบการวงิ่ ระยะไกลของนกั เรียนชายซึง่ มอี ายุ 14 ป ไดผ ลดงั แผนภาพจดุ ตอไปน้ี

7 8 9 10 11

เวลา(นาท)ี ที่ใชใ นการว่งิ ระยะไกลของนักเรียนชาย

เกณฑม าตรฐานในการประเมินสมรรถภาพทางกายดวยการวิง่ ระยะไกล (นาท)ี เปน ดังนี้

อายุ ดี ชาย ต่ํา ต่ํามาก ดมี าก ดี หญิง ตํา่ ต่ํามาก

ดมี าก 7:06– ปานกลาง 12:55– 15:48– 8:41 8:42– ปานกลาง 14:28– 17:15
9:35 15:47 11:35 17:14
14 ป 7:05 9:36– ขน้ึ ไป ลงมา 11:36– ขึน้ ไป
ลงมา 12:54 14:27

1) นกั เรียนทมี่ สี มรรถภาพทางกายอยูในระดบั ดีมากมกี ่ีคน

............................................................................................................................................

2) เราจะประเมินสมรรถภาพทางกายดวยการวง่ิ ระยะไกลของนกั เรยี นชายกลุม นไี้ ดวาอยา งไร

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

3) ใหนกั เรียนกําหนดขอมูลเวลาทใ่ี ชการว่ิงของนักเรยี นหญิง 30 คน ตามเกณฑมาตรฐานในการประเมิน
สมรรถภาพทางกาย แลว เขยี นแผนภาพจุด แสดงเวลาทใี่ ชในการวงิ่ ระยะไกล โดยใหแผนภาพจุด แสดง
เวลาทีใ่ ชใ นการวิง่ ระยะไกล โดยใหแ ผนภาพของขอ มลู ทกี่ ําหนด มลี ักษณะและผลประเมนิ สมรรถภาพ
ทางกายโดยรวมเปน ไปในทาํ นองเดียวกบั ของนกั เรียนชาย

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 9
1.2 แผนภาพตน–ใบ

แผนภาพตน–ใบ (stem–and–leaf plot) เปนอีกรูปแบบหนงึ่ ของการนาํ เสนอขอมลู เชงิ ปรมิ าณท่ีมกี าร
เรยี งลาํ ดับขอมลู และชว ยใหเหน็ ภาพรวมของขอ มลู ไดร วดเรว็ ยิ่งข้ึน หลักการงา ยๆในการนําเสนอขอ มลู ดว ย
แผนภาพตน –ใบ คอื การแบงตัวเลขท่แี สดงขอมลู เชงิ ปรมิ าณออกเปน สองสวนทเ่ี รยี กวา สว นลําตน และ สวนใบ
โดยในทีน่ ้ีสว นใบจะเปน ตวั เลขทอ่ี ยขู วาสุด สว นตวั เลขทเ่ี หลอื จะเปน สวนลาํ ตน เชน 159 จะมี 9 เปน สวนใบ และ
มี 15 เปนสวนลําตน

กิจกรรมท่ี 1
พิจารณาขอ มลู นํ้าหนกั เปนกิโลกรัมของนกั เรียนชน้ั ม.2 จาํ นวน 20 คน ดังตอ ไปนี้

51 41 41 52 39
49 57 41 48 46
59 57 43 52 41
44 60 45 46 72

จงเขียนแผนภาพตน–ใบ ของขอ มลู

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

ขอสงั เกต
1. ในกรณีทไ่ี มกําหนดสญั ลักษณกํากบั แผนภาพ ตัวเลขในสว นใบจะหมายถงึ เลขโดดในหลักหนวย
2. ในทางปฎบิ ัติอาจลาํ คําวา “ตน” และ “ใบ” ในแผนภาพได

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 10
กิจกรรมที่ 2

ในกรณีท่ขี อมลู เปน ทศนยิ มกส็ ามารถนาํ เสนอขอมลู ดวยแผนภาพตน–ใบ ได เชน ขอมูลนํ้าหนักเปน
กิโลกรัมของนกั เรยี นทบ่ี นั ทึกเปนทศนิยมหนง่ึ ตาํ แหนง

51.2 41.4 40.9 51.7 39.3
48.8 56.6 41.2 47.9 45.5
58.9 57.0 43.4 52.3 40.8
44.4 61.1 44.9 46.2 61.6

จงนาํ เสนอขอ มลู ดวยแผนภาพตน–ใบ ไดดงั น้ี

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

หมายเหตุ
แมวาแผนภาพตน –ใบจะใชนาํ เสนอขอมลู ทเี่ ปน ทศนิยมได แตม ักใชกับการนาํ เสนอขอ มลู ทเ่ี ปนจาํ นนเตม็ บวกและ
ศนู ยซง่ึ หากขอมูลเปน ทศนิยมกจ็ ะปด ใหเปนจาํ นวนเตม็ เสียกอ น

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 11
ตวั อยางที่ 1 พิจารณาขอมลู ท่ีไดจากการสอบถามจํานวนหนงั สอื (เลม ) ที่นักเรียนในหอ งหนง่ึ อานไดใ น

ระยะเวลา 1 ป แลวตอบคาํ ถาม

0 0 1 12 24 4 5 6 67 7 88
10 13 34 67 7 9 9 9
233445

สัญลกั ษณ 2 | 3 หมายถงึ 23
1) กลมุ ตัวอยางทเ่ี กบ็ รวบรวมขอ มลู มที งั้ หมดกี่คน
2) นกั เรยี นอานหนงั สอื ไดนอยทสี่ ดุ ก่ีเลม และมากทสี่ ุดกเ่ี ลม
3) จาํ นวนหนังสอื ที่นกั เรียนสวนใหญอา นไดอ ยูใ นชวงใด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 12
นอกจากแผนภาพตน–ใบ จะใชในการนาํ เสนอขอ มูล 1 มลู ดงั ทีไ่ ดกลา วมาแลว แผนภาพตน –ใบ ยงั

สามารถนําเสนอขอ มูล 2 ชุด พรอมกัน เพอ่ื เปรียบเทยี บขอมลู ทง้ั สองชุดได

ตวั อยา งท่ี 2 ความสูงเปนเซนตเิ มตรของนักเรยี นชายและนักเรียนหญิง ชน้ั ม.2 หอ งหนงึ่ เปน ดังนี้

ชาย 174 171 162 172 159 175 158 164 160 159 159

174 161 165 169 175 166 163 169 169 162 172
156 158 156 146 148 164 166 154 157 162 166

หญงิ 157 167 151 153 157 146 165 161 145 168 156

155 165 159 150 151 157

1) จงเขยี นแผนภาพตน –ใบ โดยใชส วนของลําตน รว มกนั เพื่อแสดงความสูงของนักเรียนชาย
และนกั เรียนหญงิ

2) พสิ ยั ของความสงู ของนักเรยี นชายเปน เทา ใด และของนกั เรยี นหญงิ เปน เทาใด
3) พิสัยของความสงู ของนกั เรยี นช้ัน ม.2 หอ งนเ้ี ปนเทา ใด
4) นกั เรียนชายสว นใหญมีความสงู อยใู นชวงใด และนักเรยี นหญิงสว นใหญม คี วามสงู อยใู นชว งใด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 13
แบบฝกหดั 1.2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรของนกั เรียนหองหนงึ่ จาํ นวน 45 คน จากคะแนนเต็ม 60 คะแนน เปน ดงั น้ี

42 31 47 37 38 36 44 30 52
37 56 58 53 59 59 32 58 30
51 42 33 32 59 51 37 38 33
56 52 58 38 57 48 32 60 31

1) จงนาํ เสนอคะแนนสอบขา งตน ดว ยแผนภาพตน–ใบ
2) พสิ ัยของคะแนนสอบของนกั เรียนหอ งนี้เปน เทาใด
3) คะแนนสอบทีน่ ักเรียนไดเทากนั มากที่สดุ เปนเทา ใด
4) นักเรยี นสว นใหญไ ดคะแนนอยใู นชวงใด
5) เมือ่ กาํ หนดใหเ กณฑในการผา นอยทู ี่ 40 คะแนนขน้ึ ไป จะมีนกั เรียนผา นเกณฑก เี่ ปอรเ ซ็นต

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 14
2. ศักด์ิเลยี้ งปลานลิ ไวในบอ หลายบอ หนง่ึ เดอื นกอ นครบกําหนดจบั ขาย เขาสมุ จบั ปลาข้นึ มา 40 ตวั

แลว ชงั่ น้ําหนกั ปลาแตล ะตวั เปนกรัม ไดผลดังนี้

466 436 326 382 441 420 409 468
463 468 400 461 466 457 466 441
471 459 414 453 470 414 470 455
339 407 473 476 433 392 334 401
479 427 417 455 318 385 452 400

1) จงเขยี นแผนภาพตน –ใบแสดงนํา้ หนกั ของปลานลิ
2) ปลานลิ ทหี่ นักมากทสี่ ุดและหนักนอยที่สดุ หนกั เทาใด
3) ถา ศักดิ์กาํ หนดเกณฑน ้ําหนักของปลานิลทจี่ บั ไดในชวงเวลาดังกลาววา จะตอ งมีนํ้าหนกั อยางนอ ย

350 กรัม ขึ้นไป ปลานลิ ทไ่ี มผานเกณฑค ดิ เปนรอ ยละเทา ใด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 15
3. โศภาวเิ คราะหห าปรมิ าณธาตเุ หลก็ (มลิ ลิกรมั ) .ในมะเขอื พวง โดยใชมะเขอื พวงปรมิ าณ 100 กรมั

จาก 20 แหลง ไดผลการวเิ คราะหด งั แผนภาพตน –ใบ ตอไปน้ี

12
2
3899
4 0 122 2 3 33 3 334 4 4 5 5

1) นกั เรยี นคิดวา ผลการวเิ คราะหหาปรมิ าณธาตเุ หล็กของโศภามขี อ ผิดพลาดหรือไม เพราะเหตใุ ด
2) ลักษณะของขอมลู ทโ่ี ศภารวบรวมไดเ ปน อยางไร
3) โศภาควรจะสรุปวา ในมะเขอื พวง 100 กรัม มปี รมิ าณธาตุเหลก็ อยูเ ทา ใด เพราะเหตใุ ด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 16
4. เพชรทาํ ฟารม เลี้ยงปลาสวยงาม ทุกเชาเขาวัดคา pH ของนา้ํ ในแตละบอ จาํ นวน 25 บอ

ขอมูลทไี่ ดเปนดงั แผนภาพตน –ใบ ตอ ไปน้ี

51
6 188 8 99 9
7 00 1 112 222 23 334 5
80
92

สญั ลักษณ 7 | 3 หมายถงึ ระดับคา pH 7.3

1) นักเรียนคิดวา บอ ปลา ทเ่ี พชรควรใหค วามสนใจเรง ดว นมีก่ีบอ เพราะเหตใุ ด
2) บอ ปลาสวนใหญม คี า pH ของนํา้ เทาใด
3) ถาตารางคา pH ของน้าํ กบั ผลตอการดาํ รงชวี ติ ของสัตวนํ้าสําหรบั ปลายสวยงามเปนดงั นี้

คา pH ของนาํ้ ผลตอ การดาํ รงชวี ิตของสัตวน ํา้
4.0 หรือตาํ่ กวา เปน อนั ตราย มักทําใหป ลาตาย
ปลาบางชนดิ ตาย
4.1 – 6.0 ปลาไมต ายจะมกี ารเจรญิ เตบิ โตชา ผลผลติ ต่าํ
ระบบสบื พันธุไมเ จรญิ
6.1 – 9.0 เหมาะสมตอ การดํารงชวี ติ ของสตั วน ้ํา
9.1 – 11.0 การเจรญิ เตบิ โตชา ผลผลิตตํา่
เปนอนั ตรายตอปลา
11.1 ขึ้นไป

นักเรียนจะสรปุ เก่ยี วกับสภาพนาํ้ ในบอ เลยี้ งปลาของฟารม ของเพชรไดวาอยา งไร

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 17
5. จากการสํารวจขอมลู เก่ียวกับอตั ราการเตนของหวั ใจ (ครัง้ /นาท)ี กอนออกกําลงั กายและขณะออกกําลังกาย

ไปแลว 5 นาที ของคน 30 คนไดผลดังน้ี

กอ นออกกาํ ลังกาย 81 85 85 78 84 81 82 75 80 87
90 86 77 79 82 81 81 84 86 84
ขณะออกกาํ ลังกาย 79 75 89 78 88 83 85 78 84 88
ไปแลว 5 นาที 117 114 128 115 112 113 113 130 115 127
117 116 130 111 123 125 123 118 130 116
110 110 127 122 113 110 119 113 120 120

1) จงเขียนแผนภาพตน –ใบ โดยใชส วนลาํ ตน รว มกนั เพอ่ื แสดงอตั ราการเตนของหัวใจกอ นออกกําลงั กาย
และขณะออกกาํ ลังกายไปแลว 5 นาที

2) ลักษณะการกระจายของขอ มลู เหมือนกนั หรอื ไม อยา งไร
3) สรุปขอ มลู ขา งตน ไดอยา งไร

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 18

6. การศึกษาพฤติกรรมการชารจ แบตเตอรี่โทรศพั ทมือถือผา นอุปกรณ USB หรอื เครอ่ื งแปลงไฟ AC
โดยพิจารณาจากจาํ นวนชว่ั โมงทใี่ ชใ นการชารจแตล ะครั้ง ไดผ ลเปน ดงั แผนภาพตน–ใบ ตอไปน้ี

USB AC

99888777666665554443332 1 0 2 2 2 3 3 34 4 4 4 55 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 9
8 7 7 54 3 1 122233344444555555566666667777 7788999
6532 2 0 1 1 12 2 2 3 34 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9
866 3 0 2 24 4 5
2 4 158
1 5 4779
6 056
4 7 35
8 267
6 5 54 3 3 3 32 9 58
10 49
สญั ลักษณ 5 | 4 หมายถงึ 5.4 11 17
12 66
13 48
14 00000 1111112222233333334444444 55555666678899

นักเรียนจะสรปุ ผลเกย่ี วกบั พฤติกรรมการชารจ แบตเตอรโ่ี ทรศัพทมอื ถอื ไดวาอยางไร

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 19
1.3 ฮิสโทแกรม

การนําเสนอขอ มลู เชิงปรมิ าณดวยแผนภาพจุดและแผนภาพตน –ใบ จะทาํ ใหเ หน็ ขอ มลู ทุกตัวที่เก็บ
รวบรวมไดและลกั ษณะการกระจายของขอมลู แตในกรณีทขี่ อมูลมจี ํานวนมาก ๆ การนําเสนอขอ มลู ดว ยรปู แบบ
ดงั กลาวนีไ้ มส ะดวกและไมเ ปน ทน่ี ยิ ม การนําเสนอขอ มลู ดว ยฮสิ โทแรกม(histogram)จึงเปน อีกรปู แบบหนง่ึ ท่ี
นิยมใช และชวยใหเ หน็ ลักษณะการกระจายของขอ มูลเชนกนั

ฮิสโทแกรมมีลกั ษณะคลายแผนภูมแิ ทง แตใ ชแทง ส่เี หล่ียมมมุ ฉากแสดงความถ่หี รอื ความถ่ีสมั พัทธของ
ขอ มูลเชงิ ปริมาณในแตละชว งในขณะทแ่ี ผนภูมิแทงใชส ําหรบั ขอมูลเชิงคุณภาพและใชแ ทง สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากแสดง
ปริมาณของขอ มลู ซึ่งมเี พยี งคา เดียว

มุมคณติ
ความถ่สี มั พัทธ (relative frequency) ของคา ท่ีเปน ไปไดค า ใดหรอื ชว งใด คอื อตั ราสวนระหวา งความถ่ี

ของคาน้ันหรอื ของชว งนัน้ กบั ผลรวมของความถท่ี ้ังหมด ความถีส่ มั พทั ธอาจแสดงในรปู เศษสว นหรือทศนยิ มหรือ
รอ ยละก็ได

การสรา งฮิสโทแกรม ทาํ ไดด ังน้ี
1. แบง ขอมลู ออกเปน ชวง ชว งละเทาๆกนั ในกรณีของขอมลู เชงิ ปรมิ าณแบบไมต อ เนื่องท่ีมจี ํานวน

ไมม ากใชข อ มลู แตละตัวในการสรา งไดเ ลย โดยไมจ าํ เปน ตองแบงเปนชวงก็ได
2. นบั จํานวนขอ มูลแตล ะตัวในแตล ะชวง จํานวนดังกลาวจะเปน ความถีข่ องขอ มลู ในชว งน้นั

แลวสรา งตารางระบุความถขี่ องขอ มลู ในชวงนน้ั ๆ ซง่ึ เรยี กวา ตารางแจกแจงความถี่
3. เขยี นแสดงคาของขอ มลู หรือจดุ ปลายของชวงบนแกนนอน แลว เขียนแทง สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากบนตําแหนง

ท่ีแสดงคาของขอ มลู โดยใหความสงู ของแทง เทากับความถห่ี รอื เปอรเ ซ็นตข องความถี่

กจิ กรรมที่ 1
พจิ ารณาผลการทดสอบวชิ าคณิตศาสตรจ ํานวน 10 ขอ ของนักเรยี นหองหนงึ่
จํานวนขอทนี่ ักเรียนตอบถูก เปนดงั นี้

5 4 7 8 5 9 10 10 7 9
10 7 5 5 7 4 6 3 8 4
534683869 3

จากขอ มลู สรางตารางแจกแจงความถี่ของจาํ นวนขอทีน่ ักเรยี นตอบถูก ไดดังนี้

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 20

จาํ นวนขอ ท่ีตอบถกู ความถี่

3 4
4 4
5 5
6 3
7 4
8 4
9 3
10 3

เขียนแสดงจาํ นวนขอท่นี ักเรียนตอบถูกบนแกนนอน และเขยี นแทง สเ่ี หลีย่ มมุมฉากแสดงความถ่ีของ
จาํ นวนขอ ทนี่ ักเรียนตอบถูก จะไดฮ ิสโทแกรมดงั รปู

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

จากฮสิ โทแกรม จะเหน็ ไดวา
 นกั เรยี นหองนี้ตอบถูก ต้งั แต ..... ถึง ..... ขอ
 นกั เรยี นสว นมากตอบถูก .......... ขอ
 นักเรียนทต่ี อบถกู ตง้ั แต 5 ขอ ขึ้นไปมี .................... คน
 ลักษณะของขอมูลโดยรวมมกี ารกระจายคอนขางสม่ําเสมอ

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 21
กจิ กรรมท่ี 2

ตารางแสดงความถขี่ องจาํ นวนชว่ั โมงในการทาํ งานแตล ะสปั ดาหข องพนกั งาน 36 คน

จํานวนช่ัวโมงในการทาํ งาน ความถ่ี
ตั้งแต 30 นอ ยกวา 35
ตงั้ แต 35 นอ ยกวา 40 4
ตั้งแต 40 นอ ยกวา 45 9
ตั้งแต 45 นอ ยกวา 50 10
ตงั้ แต 50 นอยกวา 55 8
5

สามารถเขียนฮิสโทแกรมแสดงจาํ นวนชัว่ โมงในการทาํ งานไดดงั นี้

จากฮสิ โทแกรม จะเห็นไดวา การกระจายของขอมลู มลี กั ษณะคอนขางสมมาตร ความถี่สูงสดุ ของขอ มลู อยู
ในชว งตรงกลาง คือ ตงั้ แต 40 ช่ัวโมงแตนอยกวา 45 ช่ัวโมง และความถี่ในชว งถดั มาจากตรงกลางไปทางซาย
และจากตรงกลางไปทางขวา ใกลเ คียงกนั ในแตล ะชว ง

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 22
แบบฝกหดั 1.3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. จากการจํานวนพนี่ อ งในครอบครัวของนักเรียนแตล ะคนในหอง จํานวน 32 คน ไดผ ลดังน้ี

41332343

23231123

11242121

2242411 3

1) จงสรา งฮสิ โทแกรม
2) นักเรียนสรปุ ขอ มลู ไดวาอยางไรจากฮสิ โทแกรมทสี่ รา งในขอ 1)

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 23
2. จากการสํารวจพฤตกิ รรมการดืม่ กาแฟของประชาชนในประเทศตาง ๆ 30 ประเทศ โดยเกบ็ รวบรวมขอมลู

นํา้ หนักของกาแฟ โดยเฉลีย่ ทีแ่ ตละคนบรโิ ภคในเวลา 1 ป ไดผ ลดงั นี้

ประเทศ น้าํ หนักของ ประเทศ นาํ้ หนักของ ประเทศ นํ้าหนกั ของ
กาแฟโดยเฉลี่ยท่ี กาแฟโดยเฉล่ียที่ กาแฟโดยเฉลยี่ ท่ี
ฟน แลนด แตล ะคนบริโภค แคนาดา แตละคนบรโิ ภค สวิตเซอรแ ลนด แตละคนบรโิ ภค
เอสโตเนีย (กโิ ลกรมั ตอป) เกาหลีใต (กิโลกรัมตอ ป) ออสเตรยี (กิโลกรัมตอป)
โปรตเุ กส บัลแกเรยี กรซี
สโลวเี นีย 9.6 นอรเวย 3.4 3.9
4.2 อสิ ราเอล 2.6 สหรัฐอเมรกิ า 5.5
ไทย 2.6 เยอรมนี 2.3 สงิ คโปร 2.4
ฝรงั่ เศส 6.1 คอสตาริกา 7.2 เดนมารก 3.1
สเปน 1.6 ออสเตรเลีย 1.8 โปแลนด 2.1
เซอรเบยี 3.2 กัวเตมาลา 5.2 โรมาเนีย 5.3
อติ าลี 3 ฮงั การี 3.7 3.1
บราซลิ 5.4 2.6 เนเธอรแลนด 1.9
3.4 2 เบลเย่ียม 6.7
4.8 3.1 4.9

ทม่ี า : http://www.caffeineinformer.com สบื คนเมือ่ 8 เมษายน 2561

1) จงสรา งตารางแจกแจงความถ่ี เมือ่ กําหนดชว งใหดงั น้ี
ตงั้ แต 0.7 แตน อ ยกวา 2.2
ตง้ั แต 2.2 แตนอ ยกวา 3.7
ต้ังแต 3.7 แตน อยกวา 5.2
ต้งั แต 5.2 แตน อยกวา 6.7
ต้งั แต 6.7 แตน อ ยกวา 8.2
ต้ังแต 8.2 แตน อ ยกวา 9.7

2) จงสรางฮิสโทแกรมจากตารางแจกแจงความถีท่ ่สี รา งไดในขอ 1)
3) นักเรยี นสรปุ ขอ มลู จากฮสิ โทแกรมไดว าอยางไร

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 24

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 25

3. จากการสาํ รวจของ General Social Survey ในป ค.ศ. 2016 เกี่ยวกับจํานวนชวั่ โมงเฉลีย่ ในแตละวัน

ท่ใี ชในการดทู ีวขี องชาวอเมริกนั โดยมผี ตู อบแบบสํารวจท้ังหมด 1,883 คน ไดผ ลดังน้ี

เวลาทใ่ี ชใ นการดูทวี ี จํานวนคน เวลาท่ีใชใ นการดทู วี ี จาํ นวนคน
(ชั่วโมงตอ วัน) (ชวั่ โมงตอ วนั )

0 162 13 1

1 370 14 1

2 486 15 4

3 297 16 2

4 221 17 0

5 113 18 1

6 92 19 0

7 22 20 5

8 46 21 0

96 22 0

10 23 23 0

11 1 24 5

12 25

1) จงสรา งฮสิ โทแกรมแสดงจาํ นวนชั่วโมงท่ใี ชในการดูทวี ี โดยใหแกนตง้ั แสดงเปอรเ ซ็นตของจํานวนคน
2) ขอมลู จากหนงั สือพมิ พ The Telegraph ประจําวันที่ 10 กรกฏาคม ค.ศ. 2012 อางวา

นักวิทยาศาสตรก ลาววา “การจํากัดเวลาในการดทู วี ีไมเกนิ สองช่วั โมงตอวัน สามารถยืดชวี ิตใหยืนยาวได
อกี หน่ึงปครงึ่ ” หากขอ มลู น้ียงั เชอ่ื ถือได กลุม ของผทู ตี่ อบแบบสํารวจทมี่ ีโอกาสมชี วี ิตยืนยาวไดอกี หนง่ึ
ปค รึ่ง จากการจาํ กัดเวลาในการดทู วี ีไมเกนิ สองชั่วโมงตอ วันคิดเปนรอ ยละเทา ใดของผทู ต่ี อบแบบสาํ รวจ
3) นกั เรียนจะสรปุ เก่ียวกบั ผลการสาํ รวจนไี้ ดอยา งไร

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 26
4. ออโอคน หาขอมลู ของรา นอาหารท่ชี ่นื ชอบแหง หน่งึ ไดข อมูลดงั นี้

เวลายอดนยิ ม วนั เสาร

9:00 น. 12:00 น. 15:00 น. 18:00 น. 21:00 น.

เวลายอดนิยม วันอาทิตย

9:00 น. 12:00 น. 15:00 น. 18:00 น. 21:00 น.

1) นักเรียนคิดวา เวลาเปดใหบรกิ ารของรานแหง น้คี อื ชว งเวลาใด
2) หากตองการจะรบั ประทานอาหารทร่ี า นแหงน้ใี นวันเสารห รอื วันอาทติ ย นกั เรยี นจะไปในชวงเวลาใด

เพราะเหตใุ ด
3) จํานวนลกู คา ทเ่ี ขามารบั ประทานอาหารทร่ี า นอาหารแหง น้ใี นวันเสารแ ละวันอาทติ ยแ ตกตา งกนั หรอื ไม

อยางไร

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 27
1.4 คากลางของขอมูล

ในหัวขอที่ผานมา นักเรียนไดเรียนรเู กย่ี วกบั การนาํ เสนอขอมลู และวเิ คราะหขอมลู เชงิ ปรมิ าณ ทชี่ วยให
เหน็ ภาพรวมครา ว ๆ ทง้ั หมดของขอ มลู วา มลี กั ษณะอยางไรมาแลว การวิเคราะหหาตวั แทนทด่ี ขี องขอ มลู ทเ่ี กบ็
รวบรวมไดเ ปน อีกหัวขอ หนง่ึ ทส่ี าํ คญั ที่ตองเรยี นรเู ชน

เม่อื ตองการทราบวา “นกั เรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 2 ของโรงเรยี น โดยทว่ั ๆ ไปแลว มคี วามสูงประมาณ
เทาใด” หลงั จากเกบ็ ขอ มลู ความสูงของนกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 2 ทุกคนมาแลว จะใชข อ มลู ใดเปน ตวั แทนที่
เหมาะสมในการตอบคําถามน้ี

คาํ ตอบของปยหานอี้ าจจะมไี ดห ลายแบบ ลองพจิ ารณาวาคสรจะใชวธิ ีการใดในการหาคําตอบน้ี
1. ใชค วามสงู ของนักเรยี นทสี่ งู นอยที่สุด
2. ใชความสูงของนกั เรยี นคนทสี่ ูงมากทสี่ ุด
3. รวมความสงู ของนกั เรียนทกุ คน แลว หารดว ยจาํ นวนนักเรยี นทงั้ หมด
ไดคาเทา ไรใชค านั้นเปนคําตอบ
4. เรยี งลําดบั ความสูงของนกั เรยี นจากนอ ยไปมาก แลวเลอื กเอาความสงู ทอ่ี ยตู รงกลาง
5. นกั เรียนสวนใหญม ีความสูงเทา ใด กใ็ ชค วามสงู นั้น

นักเรียนจะเหน็ ไดวา ถา ใชค วามสงู ตามขอ 1 และขอ 2 เปนคําตอบ เราจะไดตัวแทนทไ่ี มเ หมาะสม
เพราะเปนคา ที่นอ ยทสี่ ุดเมอื่ เทยี บกบั คา อ่นื ๆ อีกหลายคา และเปน คาที่มากท่ีสุดเมื่อเทียบกบั คาอน่ื ๆ อีกหลายคา
ตามลาํ ดับ การเลือกใชคา เหลานอ้ี าจทาํ ใหผ ูทนี่ าํ ไปใชเ ขาใจผดิ วา ขอมูลอ่ืน ๆ มีคาใกลเคียงกบั คาน้ี

ในทางปฏบิ ัติทั่วไปในวชิ าสถิติ การเลอื กตัวแทนท่บี ง บอกลกั ษณะทตี่ องการทราบของขอมลู ชดุ ใดชดุ หนึ่ง
จะทําไดโดยวิธใี นขอ 3 หรือขอ 4 หรอื ขอ 5 วธิ ใี ดวิธีหน งตามวตั ถุประสงคทจี่ ะนําขอมลู ไปใชห รอื ตามความ
เหมาะสมของขอ มลู คาทไี่ ดโดยวิธใี นขอ 3 หรอื ขอ 4 หรือขอ 5 เรยี กวา คา กลางของขอ มลู ซ่ึงมีช่อื เฉพาะวา
คาเฉลยี่ เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม

คา เฉลย่ี เลขคณิต
ใหพ จิ ารณาสถานการณตอไปน้ี
เมื่อฤดรู อนท่ีผานมา ต๊กิ และเพอ่ื น ๆ รวม 5 คน ไปเทีย่ วเกาะชา ง จงั หวัดตราด เปนเวลา 3 วัน 2 คืน

ระหวางที่เท่ยี วน้ัน มีคา ใชจ ายทแ่ี ตล ะคนทดรองจา ยกอน ดงั นี้
ต๊กิ จา ย 5,500 บาท
เพอ่ื นคนทห่ี นึง่ จา ย 5,000 บาท
คนที่สองจา ย 6,400 บาท
คนทีส่ ามจาย 4,300 บาท

และ คนทสี่ ่ีจา ย 5,800 บาท

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 28

เมือ่ นาํ คาใชจายของทกุ คนมารวมกนั จะไดเ ปน 5,500 + 5,000 + 6,400 + 4,300 + 5,800

เทากบั 27,000 บาท แลวคาเฉลีย่ เปน เงนิ ที่แตล ะคนจะตองจายเทา กบั 27, 000  5, 400 บาท
5

ในทางสถติ ิ เราเรยี กคาเฉลย่ี ดงั กลาววา คาเฉล่ียเลขคณิต(arithematic mean)

คา เฉลย่ี เลขคณติ คอื จาํ นวนท่ไี ดจ ากการหารผลบวกของขอ มูลทงั้ หมดดวยจาํ นวนขอมูล

คา เฉล่ยี เลขคณิตอาจเรยี กสน้ั ๆ วา คาเฉล่ยี

ตวั อยา งที่ 1 คะแนนวิชาคณติ ศาสตรข องนักเรียน 10 คน เปน ดงั นี้ 5, 7, 10, 6, 5, 4, 4, 8, 5 และ 6
จงหาคา เฉล่ียเลขคณติ ของคะแนนสอบของนกั เรียน 10 คนนี้

วธิ ที าํ

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

ตวั อยางที่ 2 พัชรีสาํ รวจเงินคา อาหารกลางวนั ของนักเรียนสองกลุม กลมุ A จํานวน 10 คน และ
กลมุ B จํานวน 15 คน พบวา นกั เรียนแตล ะกลุม ใชเงินเปน คา อาหารกลางวันโดยเฉลยี่ ดงั น้ี

 นกั เรียนกลุม A ใชเ งนิ เฉลย่ี คนละ 47.20 บาท
 นกั เรยี นกลุม B ใชเ งนิ เฉล่ยี คนละ 35.40 บาท
จงหาวานักเรียน 25 คนน้ี ใชเงนิ เฉลย่ี คนละเทา ไร

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 29
ชวนคดิ 1.1

หองเรียนหนงึ่ มีนักเรยี นชาย 15 คน มีนกั เรยี นหญงิ 25 คน ถา นา้ํ หนักของนักเรยี นชายและนกั เรยี นหญงิ
เปน 55 กโิ ลกรมั และ 45 กิโลกรมั ตามลําดบั นํา้ หนกั เฉลีย่ ของนกั เรยี นหอ งนจี้ ะเทากบั 55  45 กิโลกรมั

2

เพราะเหตใุ ด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

ตัวอยา งท่ี 3 นา้ํ หนกั เฉล่ยี ของนกั เรียนกลมุ หนงึ่ ซึ่งมี 7 คน เปน 52.7 กิโลกรมั เม่อื รวมนํา้ หนกั ของปรีชา
เพิ่มอีกคนจะทําใหน้าํ หนักเฉลี่ยของนักเรียนทง้ั แปดคนน้เี ปน 56.5 กโิ ลกรมั
จงหานํา้ หนักของปรชี า

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 30
แบบฝก หัด 1.4 ก

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. จงหาคาเฉล่ยี เลขคณิตของขอมลู ในแตละชดุ ตอไปนี้
1) 3, 2, 5, 8, 14, 14, 5, 3 และ 17

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) 2.8, 2.1, 5.7, 2.1, 3.3, 2.8, 2.8, 3.2, 2.1 และ 5.1

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

3) 72, 86, 90, 65, 72 และ 68

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4) 150, 86, 225, 345, 410, 330 และ 176

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2. จงหาจํานวนตาง ๆ ตามเงอื่ นไขในแตล ะขอ ตอไปนีม้ าขอ ละ 1 ชุด
1) จาํ นวน 4 จาํ นวน โดยทแี่ ตล ะจํานวนไมเ ทา กับ 25 แตมคี าเฉลี่ยเทา กบั 25

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) จํานวน 4 จํานวน ทมี่ ีพสิ ยั เทา กับ 21 และมีคาเฉลยี่ เทา กบั 32

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

3) จํานวน 5 จํานวน ซ่ึงมีคาตง้ั แต 90 ถงึ 120 โดยมีจาํ นวนหนง่ึ เปน 110 และมีคาเฉลีย่ เทา กบั 110

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4) จาํ นวน 5 จาํ นวน ซ่ึงมคี า เฉลีย่ เทา กบั 50 โดยมสี องจาํ นวนท่ีมคี า นอยกวา คาเฉลย่ี สว นอกี สาม
จาํ นวนมคี ามากกวาคา เฉลยี่

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 31
3. ในรอบหนงึ่ ปข องการผลิตสนิ คา ของบริษทั แหง หนง่ึ เมื่อเครื่องจกั รเสยี จาํ นวนชว่ั โมงทเ่ี ครอื่ งจักรไมส ามารถ

ผลิตสนิ คา ในแตละครั้งเปนดงั นี้ 2, 5, 1, 2, 14, 10, 11, 18, 14, 28, 26, 23, 31, 38 และ 40
จงตอบคําถามตอไปนี้

1) เครอื่ งจักรเสยี ท้ังหมดกค่ี รงั้

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) จํานวนชั่วโมงทน่ี อ ยทส่ี ุดทีเ่ ครอ่ื งจักรไมสามารถผลติ สนิ คาไดเ ปนเทา ใด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

3) จาํ นวนช่ัวโมงทีม่ ากทสี่ ดุ ทเี่ คร่อื งจักรไมส ามารถผลติ สนิ คา ไดเ ปน เทา ใด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4) จงหาคาเฉลย่ี ของจาํ นวนช่ัวโมงท่เี คร่อื งจักรไมส ามารถผลิตสินคา ได

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4. คาเฉลีย่ ของคะแนนสอบของนักเรยี นชาย 6 คน และนกั เรียนหญงิ 4 คน เปน 51 คะแนน
1) จงหาคะแนนรวมของคะแนนสอบของนกั เรียนทั้งสบิ คนน้ี

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) ถาคา เฉล่ยี ของคะแนนสอบของนกั เรยี นชายเปน 49 คะแนน
จงหาคาเฉล่ียของคะแนนสอบของนักเรียนหญงิ

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

5. ใน 6 วัน สมปองเกบ็ เงินใสกระปุกไดร วมท้ังสิน 120 บาท ในวันท่ี 7 สมปองจะตอ งเกบ็ เงินใหไดเ ทา ไร
คา เฉลีย่ จงึ จะเพม่ิ ข้นึ อกี 2 บาท

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 32
6. ดลิ กเรียนอยชู น้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 3 มีผลการเรียน 5 ภาคเรยี นทผี่ านมาเปนดังนี้

ผลการเรยี นเฉลยี่ จาํ นวนหนว ยกติ

ม.1 ภาคเรียนท่ี 1 3.20 15.0

ภาคเรียนท่ี 2 4.00 15.0

ม.2 ภาคเรยี นท่ี 1 3.50 14.5

ภาคเรยี นท่ี 2 3.00 16.5

ม.3 ภาคเรยี นที่ 1 3.65 16.0

จงหาผลการเรยี นเฉลีย่ ทงั้ หา ภาคเรียนของดลิ ก

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

ชวนคดิ 1.2
จากขอ 6 ถาดลิ กจะลงทะเบียนในภาคเรยี นที่ 2 ของชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 3 จาํ นวน 15 หนวยกติ และ

ตอ งการใหไ ดผ ลการเรยี นเฉลี่ยท้งั หกภาคเรยี นเปน 3.50 ดิลกจะตองไดผลการเรยี นเฉลย่ี ในภาคเรยี นท่ี 2 นี้
เทาใด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 33
ชวนคิด 1.3

งานกฬี าสีทโี่ รงเรียนแหง หน่ึง จดุ เดนของงานอยทู ี่การวง่ิ แขงขัน 100 เมตร ระบบทีม ทมี ละ 3 คน และสี
ละ 1 ทีม โรงเรยี นแหง นม้ี ี 4 คณะสี คือ สเี ขียว, สีมว ง, สเี หลือง และสแี ดง รวม 4 ทมี มีนกั วงิ่ 12 คน ทกุ คนเรม่ิ
ออกวิง่ จากจุดเรม่ิ ตน พรอมกนั และนกั วิง่ ของแตล ะสีวง่ิ เขา เสนชัยตามลาํ ดบั ดงั นี้

ลาํ ดบั ท่ี 1 นกั วง่ิ สเี ขียว 1 คน ใชเวลา 13 วินาที
ลาํ ดบั ที่ 2 นกั วิ่งสีมว ง 2 คน และสเี หลือง 2 คน ใชเวลาวงิ่ 14 วินาที
ลาํ ดับที่ 3 นักวิง่ สีเขียว 1 คน สมี วง 1 คน และสีแดง 2 คน ใชเวลาว่งิ 15 นาที
ลําดับท่ี 4 นกั วิง่ สีแดง 1 คน สเี ขยี ว 1 คน และสเี หลือง 1 คน ใชเ วลาวิง่ 16 นาที
ถา การตัดสนิ พิจารณาแพ– ชนะเปนทมี โดยดวู าทีมใดใชเ วลาว่ิงโดยเฉลยี่ นอ ยทสี่ ุด นักเรียนคิดวาทมี สใี ดจะ
เปนทมี ชนะเลิศ จงหอธบิ าย

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 34
มธั ยฐาน

การใชคาเฉลี่ยเลขคณิตเพ่ือเปน ตวั แทนของขอ มลู อาจไมใชทางเลือกทีเ่ หมาะสมเสมอไป ใหพ จิ ารณาการ
หาคากลางของขอ มลู โดยวิธีหาคา เฉลีย่ เลขคณิตจากสถานการณต อ ไปน้ี

พนกั งาน 7 คนของบรษิ ทั แหง หนง่ึ มรี ายไดตอเดือน ดงั นี้ 300,000 บาท 60,000 บาท 36,000 บาท
32,000 บาท 30,000 บาท 28,000 บาท และ 18,000 บาท

ผลบวกของรายไดข องพนักงาน 7 คน เทา กบั 300,000 + 60,000 + 36,000 + 32,000

+ 30,000 + 28,000 + 18,000

= 504,000 บาท

ดงั น้ัน คาเฉลยี่ เลขคณิตเทากบั 504, 000  72, 000 บาท
7

ถาเราใชค าเฉล่ียเลขคณิตน้ีตัวแทนแสดงรายไดตอเดอื นของพนักงานกลุมนี้ คา ดังกลาวจะไมเ หมาะสม
เพราะจากพนกั งานทงั้ หมด 7 คน มีพนกั งานถึง 6 คนทีแ่ ตล ะคนมีรายไดต่าํ กวา 72,000 บาท

ลองพจิ ารณาการหาคา กลางของขอ มลู อีกวิธหี น่งึ ซง่ึ ไดจากการเรยี งขอมลู จากนอยไปมาก แลวเลือก
ขอมูลอยตู รงกลางของขอ มลู ทง้ั หมด ดังน้ี

18,000 28,000 30,000 32,000 36,000 60,000 300,000

ขอมูลท่อี ยูตรงกลาง

จะเห็นวา ขอมูลทอ่ี ยตู รงกลางของขอมลู ทงั้ หมด คือ 32,000 ซึง่ เปนรายไดที่ใกลเ คยี งกบั รายไดของ
พนกั งานสว นใหญ ดังนน้ั คากลางที่เหมาะสมเปน ตัวแทนของขอ มูลชดุ น้ี คอื 32,000

ในทางสถิติ เราเรยี กคา กลางดงั กลาววา มธั ยฐาน(median)

มธั ยฐาน คือ คาคาหนึง่ ซ่ึงเมือ่ เรียงขอมลู จากนอยไปมากหรือจากมากไปนอ ยแลว
จํานวนของขอ มูลท่นี อยกวา หรอื เทา กบั คานนั้ จะเทากบั จํานวนของขอมลู
ท่ีมากกวา หรอื เทากับคาน้ัน

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 35
มธั ยฐานของขอมูลชุดหนงึ่ อาจเปนขอ มลู ที่อยตู รงกลาง หรอื คาเฉลีย่ ของขอมูลคูท อี่ ยตู รงกลาง ข้ึนอยกู ับ

จาํ นวนขอมูลในชุดนั้น ดังตวั อยาง
1. ถาจาํ นวนขอมูลทงั้ หมดเปนจาํ นวนคี่ มธั ยฐาน คอื ขอมูลทอี่ ยูต รงกลาง เชน
ขอมูล 10, 13, 14, 15, 17, 21, 25, 27, 32

4 จาํ นวน 4 จํานวน
ขอ มลู ท่อี ยตู รงกลาง

2. ถา จาํ นวนขอ มูลท้ังหมดเปนจาํ นวนคู จะใชคา เฉล่ียเลขคณิตของขอมูลคทู ีอ่ ยตู รงกลางเปนมัธยฐาน
เชน
ขอ มูล 5, 5, 7, 7, 14, 16, 20, 20

3 จาํ นวน 3 จาํ นวน

ขอ มูลคทู ่อี ยตู รงกลาง

มัธยฐาน เทา กบั 7  14  10.5
2

ตวั อยา งท่ี 4 จงหามธั ยฐานของคะแนนสอบของนักเรียน 20 คน ดังในตาราง

คะแนน 10 15 20 30

ความถ(ี่ คน) 4 6 5 5

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 36
ฐานนิยม

นอกจากคาเฉลีย่ เลขคณติ และมัธยฐานขะใชเปน คา กลางของขอ มลู แลว ยงั มคี ากลางของขอ มลู ท่ีเรียกวา
ฐานนยิ ม ซง่ึ สามารถใชเปน ตวั แทนของขอมลู โดยเฉพาะอยา งยิ่งขอ มลู เชิงคุณภาพ

ใหพจิ ารณาสถานการณต อ ไปน้ี

นักเรยี นกลมุ หนึง่ ตอ งการทราบวา เพอื่ น ๆ ทกุ คนในชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 2 ชอบกฬี าชนดิ ใดมากที่สุด จาก

กฬี าฟุตบอล บาสเกตบอล และเทนนสิ นักเรยี นกลมุ นีจ้ งึ เกบ็ รวบรวมขอมลู โดยการสอบถามนกั เรยี นชัน้

มัธยมศกึ ษาปท ี่ 2 ทกุ คน จาํ นวน 250 คน เมือ่ ไดขอมูลครบถวยแลว จงึ นาํ มาจําแนกความชอบมากทส่ี ุด ไดผล

ดังน้ี

ชอบฟตุ บอล 120 คน

ชอบบาสเกตบอล 90 คน

ชอบเทนนสิ 40 คน

นกั เรียนกลมุ นจี้ ึงไดข อสรปุ เพื่อน ๆ ของเขาชอบฟตุ บอลมากท่ีสดุ

ในทางสถิติ เราเรยี กขอ มลู ที่มคี นชอบมากทสี่ ดุ นว้ี า ฐานนยิ ม(mode)

ฐานนิยม คอื ขอ มูลทมี่ คี วามถสี่ งู สุดในขอ มูลชุดหนง่ึ ๆ

ฐานนยิ มของขอมลู ชดุ หนึง่ ขึ้นอยูกบั ความถขี่ องขอมลู ทีป่ รากฏในขอมูลชุดนน้ั ดังตวั อยา ง
1. ถา ขอ มูลชดุ หนง่ึ มีขอ มูลท่มี ีความถส่ี งู สุดเพียงขอ มูลเดียว ฐานนิยม คือ ขอ มูลท่มี คี วามถ่ีสงู สุดนัน้
เชน คะแนนสอบของนกั เรียนกลมุ หนง่ึ เปน 4, 3, 3, 7, 5, 8, 7, 9, 7, 3, 2, 2, 7 และ 5

เม่อื นําขอ มลู มาจําแนกจะไดดงั ตาราง

คะแนน 2345789

จํานวนนกั เรียน 2 3 1 2 4 1 1

จะเหน็ วานักเรียนทส่ี อบได 2 คะแนน มี 2 คน 3 คะแนน มี 3 คน 4 คะแนน มี 1 คน
5 คะแนน มี 2 คน 7 คะแนน มี 4 คน 8 คะแนน มี 1 คน และ 9 คะแนน มี 1 คน

คะแนนที่นกั เรียนสวนใหญท ําไดคอื 7 คะแนน
ดังนัน้ ฐานนยิ มของขอ มลู ชดุ น้คี อื 7 คะแนน
2. ถา ขอ มูลชดุ หนง่ึ มขี อ มลู แตละตัวมีความถ่เี ทา กนั หมด จะถือวาขอมูลชดุ น้นั ไมม ีฐานนิยม
3. ถา ขอ มูลชุดหน่งึ มีขอมลู ทม่ี คี วามสูงสดุ เทากนั มากกวาหนง่ึ ขอ มลู ในท่ีน้จี ะไมพจิ ารณาหาฐานนยิ ม
ของขอมลู ชดุ นัน้

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 37
ตัวอยางที่ 5 จากการสาํ รวจเบอรร องเทา ของคน 200 คน ปรากฏผลดงั น้ี

เบอรร องเทา 3 1 4 4 1 5 5 1

222

ความถ่ี (คน) 40 35 75 30 20

จงหาวา คนกลุม นส้ี วนใหญใ ชเบอรร องเทา เบอรใด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 38
แบบฝก หัด 1.4 ข

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. จงหามัธยฐานของขอมลู แตล ะชดุ ตอ ไปนี้
1) 15, 18, 17, 17, 29, 25, 37, 49 และ 62

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) 0.8, 5.1, 11.3, 7.2, 0.8, 6.5, 4.3 และ 10.2

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

3) 72, 56, 48, 72, 58, 90 และ 72

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4) 10, 20, 12, 12, 20, 16, 12, 15, 11 และ 12

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2. จงหาจาํ นวนตาง ๆ ตามเงอ่ื นไขในแตละขอตอไปนมี้ าขอ ละ 1 ชดุ
1) จํานวน 4 จาํ นวน โดยทแี่ ตละจํานวนไมเทากบั 25 แตม ัธยฐานเทากบั 25

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) จาํ นวน 4 จาํ นวน ทมี่ ีพิสัยเทากบั 21 และมัธยฐานเทา กับ 32

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

3) จาํ นวน 5 จํานวน ซงึ่ อยูร ะหวา ง 90 ถึง 120 โดยมคี า เฉลีย่ เลขคณติ เทา กบั 110
และมัธยฐานเทากบั 105

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4) จํานวน 5 จํานวน ซึ่งมีคา เฉลีย่ เทากบั 20 มัธยฐานเทา กับ 10 และพสิ ยั เทากบั 50

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 39
3. จงหาฐานนิยมของขอ มลู แตละชุดตอไปน้ี

1) 5, 7, 4, 8, 7, 11, 7, 4, 10 และ 8

............................................................................................................................................

2) 41.4, 38.5, 40.1, 37.3, 38.7, 35.2, 43.9 และ 39.3

............................................................................................................................................

3) 15, 18, 11, 11, 21, 15, 18, 17, 11, 15 และ 11

............................................................................................................................................

4. รานขายเสื้อผา สําเรจ็ รปู ของสตรแี หงหนงึ่ จาํ นวนเส้ือขนาดตามเบอรต าง ๆ ในหนง่ึ สปั ดาหไ ดด งั ตาราง

เบอรเ สอ้ื 9 10 11 12 13 14 15

จาํ นวนท่จี าํ หนา ยได (ตวั ) 7 5 6 10 18 7 3

จงตอบคาํ ถามตอไปน้ี
1) คนสวนใหญซ้ือเสอื้ เบอรอะไร

............................................................................................................................................

2) เฉลี่ยแลว ในแตล ะวันขายเสอื้ ไดกีต่ วั

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

5. จากการทดลองโยนลกู เตา สองลกู พรอมกนั ๆ กัน 100 คร้งั แลว บนั ทกึ ผลรวมของแตม ทปี่ รากฎ
ไดผลดงั ตารางตอ ไปนี้

ผลรวมของแตม ทีป่ รากฎ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ความถี่ 4 6 6 12 13 20 16 10 6 4 3

จงหาคา เฉล่ยี เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของผลรวมของแตม ทปี่ รากฏ

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 40
6. จงหาคา กลางใดทเ่ี หมาะสมกบั ขอ มลู ในแตล ะชดุ ตอ ไปน้ี

1) 70, 75, 72, 76, 79, 77, 65, 81, 73 และ 8,923

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2) 2, 2, 2, 2, 2, 2, 16, 18, 21 และ 28

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

3) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 18, 18 และ 200

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4) 1, 2, 3, 4, 5, 16, 19, 28, 29 และ 30

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

7. พนักงานในบริษทั ผลิตสอ่ื สง่ิ พมิ พแ หง หนึง่ มรี ายไดต อเดอื นเปนดงั ตารางตอไปน้ี

รายไดตอ เดอื น 120,000 50,000 15,000 12,000 10,000 8,500
(บาท) 1 3 10 12 16 8

จาํ นวนพนักงาน
(คน)

1) จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ มของรายไดต อเดอื นของพนกั งาน

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

2) ถา มกี ารเจรจาเพ่ือตกลงเรื่องการปรบั ขน้ึ เงนิ เดอื นของพนักงาน โดยมผี เู ก่ยี วของ 3 ฝายคือ เจาของ
บรษิ ัทตัวแทนพนกั งาน และคนกลางผไู กลเ กล่ีย นักเรยี นคิดวาแตล ะฝายนา จะเลือกคากลางใดเปน
ขอ อางในการเจรจา จงอธิบาย

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 41
สรุปทายบท

 แผนภาพจุด เปน รปู แบบหนงึ่ ของการนําเสนอขอ มลู เชงิ ปรมิ าณที่ทําไดไมย าก โดยจะเขยี นจดุ แทนขอมลู แต
ละตัวไวเหนอื เสน ในแนวนอนทีม่ สี เกลใหต รงกบั ตาํ แหนง ท่ีแสดงคาของขอมลู นัน้ แผนภาพจดุ ชวยใหเ ห็นภาพรวม
ของขอมูลไดร วดเรว็ กวา การพิจารณาจากขอมลู โดยตรง โดยเฉพาะอยางยงิ่ เมอื่ สนใจจะพิจารณาลกั ษณะของ
ขอมลู วา มกี ารกระจายมากนอยเพยี งใด แตเ หมาะสาํ หรบั ขอมูลทมี่ ีจาํ นวนไมมากนกั

 แผนภาพตน –ใบ เปน รปู แบบหนงึ่ ของการนําเสนอขอมูลเชิงปรมิ าณทีม่ กี ารเรยี งลาํ ดบั ขอมูลและชว ยใหเ ห็น
ภาพรวมของขอ มลู ไดร วดเรว็ ย่งิ ขนึ้ หลกั การงา ย ๆ ในการนาํ เสนอขอมูลดว ยแผนภาพตน–ใบ คือ การแบงตัวเลขที่
แสดงขอมลู เชิงปรมิ าณออกเปน สวนลําตนและสวนใบ โดยสว นใบจะเปน ตวั เลขทอี่ ยขู วาสุด สว นตัวเลขทเี่ หลือจะ
เปน สวนลาํ ตน

 ฮสิ โทแกรม ฮิสโทแกรมมลี กั ษณะคลา ยแผนภูมแิ ทง แตใชแทงส่เี หลย่ี มมมุ ฉากแสดงความถ่ีหรือความถี่
สมั พทั ธข องขอมลู เชงิ ปรมิ าณในขณะทแี่ ผนภูมิแทงใชสําหรบั ขอ มูลเชิงคุณภาพและใชแ ทง สี่เหล่ยี มมมุ ฉากแสดง
ปรมิ าณของขอ มูลซ่ึงมเี พียงคา เดียว

 คา กลางของขอมลู
คา เฉลยี่ เลขคณติ คือ จาํ นวนท่ีไดจากการหารผลบวกของขอมูลทัง้ หมดดว ยจาํ นวนขอ มลู
มธั ยฐาน คือ คาคา หนึ่งซ่งึ เมื่อเรียงขอมูลจากนอ ยไปมากหรอื จากมากไปนอยแลว จาํ นวนของขอมลู ที่
นอยกวาหรือเทา กบั คา นัน้ จะเทา กบั จาํ นวนของขอมลู ท่มี ากกวา หรอื เทากบั คา นนั้
ฐานนยิ ม คือ ขอ มลู ทีม่ ีความถ่ีสงู สุดในขอมูลชดุ หนงึ่ ๆ

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 42
แบบฝก หัดทา ยบท
1. จากการสาํ รวจปรมิ าณนาํ้ ตาล (กรมั ) ในเคร่ืองดม่ื ชาเขยี ว 10 ชนิด ไดผลดงั แผนภาพจดุ ตอไปน้ี







    

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56

1) จงเขยี นแผนภาพตน–ใบแสดงปรมิ าณนํ้าตาลทส่ี าํ รวจได
2) จงสรางฮสิ โทแกรมแสดงปรมิ าณนํ้าตาลทส่ี าํ รวจไดโ ดยแบงชว งขอ มูลออกเปน 6 ชว งเทา ๆ กัน
3) จงหาคาเฉล่ยี เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ ม ของปริมาณนํา้ ตาลทสี่ ํารวจได
4) นกั เรยี นคิดวาควรใชค ากลางใดเปนตวั แทนของขอมลู เกี่ยวกบั ปรมิ าณนํ้าตาลที่สํารวจได

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 43
2. คะแนนสอบของนักเรียนหอ งหน่ึงนาํ เสนอดวยแผนภาพตน –ใบ ไดด ังน้ี

55778
62344578
7 1122345667889
8 0 0 0 12 3 3 5 57
9 0 1 1 12 4

1) จงหาพสิ ัยของคะแนนสอบ
2) จงเขียนแผนภาพจุดแสดงคะแนนสอบ
3) จงสรา งฮสิ โทแกรมแสดงคะแนนสอบ โดยแบง เปน 5 ชวง เทา ๆ กนั
4) จงหาคา เฉลีย่ มัธยฐาน และฐานนยิ มของคะแนนสอบ
5) นักเรียนคิดวาจะเลือกใชค ะแนนใดเปน ตัวแทนของคะแนนสอบ เพราะเหตุใด

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 44
3. กาํ หนดฮสิ โทแกรมของขอ มลู 3 กลมุ ตัวอยาง ใหดังน้ี

10 12

9 10
10 8
6
8

78
6
56

4
44

3

222
1

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

รปู 1 รปู 2 รูป 3

1) ฮิสโทแกรมรปู ใดท่สี ามารถคาดการณไดว า คา เฉล่ียเลขคณติ และมธั ยฐานจะเทากนั หรอื ไกลเคยี งกนั
เพราะเหตดุ ใด

2) ฮิสโทแกรมรปู ใดท่ีสามารถคาดการณไ ดวาคาเฉลี่ยเลขคณติ และมธั ยฐานจะแตกตางกัน เพราะเหตใุ ด
และคากลางใดของขอ มลู ทม่ี ีคามากกวา

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 45
4. ขอมูลประเทศทป่ี ลอ ยกาซคารบ อนไดออกไซดท ่ีมากทส่ี ุดสบิ ันดบั แรกในโลก ใน ค.ศ. 2016 เปนดังน้ี

ลําดับที่ ประเทศ ปริมาณกาซคารบ อนไดออกไซด จํานวนประชากร
(เมตริกตนั ) (คน)
1 จนี
2 สหรัฐอเมรกิ า 10,151 1,403,500,365
3 5,312 322,179,605
4 อินเดีย 2,431 1,324,171,354
5 รสั เซีย 1,635 143,964,513
6 ญป่ี นุ 1,209 127,748,513
7 เยอรมนี 802 81,914,672
8 อิหราน 656 80,277,428
9 ซาอดุ ริ ะเบีย 634 32,275,678
10 เกาหลใี ต 595 50,791,919
แคนาดา 563 36,289,822

ทมี่ า : http://www.globalcarbonatlas.org สบื คน เมือ่ 13 เมษายน 2561

1) จงหาคาเฉลย่ี เลขคณติ และมัธยฐานของขอมลู ปรมิ าณกา ซคารบอนไดออกไซด
2) จากขอ มลู ปรมิ าณกาซคารบอนไดออกไซด ขอ มลู ใดทม่ี โี อกาสจะเปน คา ที่แตกตางไปจากขอ มลู อ่ืน ๆ มาก

และขอมูลดังกลาวสง ผลตอคาเฉลี่ยเลขคณติ หรอื มธั ยฐานหรือไม อยา งไร
3) นักเรยี นคดิ วา จะเลอื กใชคาเฉลย่ี เลขคณติ หรอื มัธยฐานเปน ตัวแทนของขอมลู
4) ถา พิจารณาปรมิ าณกา ซคารบอนไดออกไซดต อจาํ นวนประชากร แลว เรยี งลาํ ดับประเทศตามคา ดงั กลา ว

จากมากไปนอย ลําดบั ของประเทศจะเปล่ียนแปลงไปจากเดมิ หรอื ไม อยางไร
5) ในการนําเสนอตอ สาธารณะวาประเทศใดปลอยกา ซคารบ อนไดออกไซดมากนอ ยเพียงใด นักเรียนคดิ วา

เราควรพจิ ารณาจากปริมาณกา ซคารบอนไดออกไซดเ พยี งอยา งเดยี ว หรอื ควรพจิ ารณาจากปรมิ าณกา ซ
คารบ อนไดออกไซดต อจํานวนประชากร เพราะเหตใุ ด

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 46
แบบทดสอบทา ยบท

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. ในการสอบสมั ภาษณเพอ่ื รบั คนงานเขาทํางานของบรษิ ทั แหง หนึ่ง ผสู มคั รตอ งเขารับการประเมณิ 5 ดา น
แตละดา นมคี ะแนนเต็ม 60 คะแนน โดยบริษัทตงั้ เกณฑการผานการสมั ภาษณคือ ตองมคี ะแนนเฉล่ยี
ของคะแนนรวมทกุ ดานเกนิ 60% ถามนัสเขา สมั ภาษณกบั บริษัทนแ้ี ลว ไดค ะแนน 4 ดานแรกเปน
25, 40, 30 และ 35 คะแนน เขาตองทําคะแนนดา นสุดทา ยใหไ ดคะแนนเทา ใดจงึ ผา นการสมั ภาษณ
ก. 36 คะแนน
ข. มากกวา 36 คะแนน
ค. มากกวา 49 คะแนน
ง. มากกวา 50 คะแนน

2. ถา สวนสงู หนว ยเปนเซนติเมตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 2 จํานวน 8 คน เปนดงั น้ี
150, 160, 150, 148, 152, 150, 152, 158ขอใดตอ ไปนีถ้ ูกตอง
ก. คา เฉล่ยี เลขคณติ มคี ามากกวา มัธยฐาน
ข. คาเฉล่ียเลขคณิตมคี า นอ ยกวา มธั ยฐาน
ค. ฐานนิยมมคี า มากกวา คาเฉลยี่ เลขคณติ
ง. ฐานนยิ มมคี า มากกวา มัธยฐาน

3. ฟารม สนุ ขั แหง หนงึ่ มลี กู สุนัขเกดิ ใหมอ ยู 4 ครอก โดยแตล ะครอกมจี าํ นวนสนุ ัข 3, 4, 5 และ 3 ตัว
ตามลาํ ดบั เจาของฟารม คํานวณนาํ้ หนกั เฉล่ียของลูกสนุ ขั แตล ะครอกเปน ดังนี้ 2.5, 2.0, 1.5 และ
1.5 กโิ ลกรัม ตามลําดบั น้าํ หนักเฉลยี่ ของลกู สนุ ัขทั้งหมดท่ีเกดิ ในฟารม แหง นี้ประมาณไดเ ทา กับขอ ใด
ก. 1.50 กิโลกรัม
ข. 1.75 กโิ ลกรัม
ค. 1.83 กโิ ลกรมั
ง. 1.88 กโิ ลกรมั

4. โรงเรยี นแหง หน่งึ จําแนกคนงานออกเปน 2 กลุม คอื กลมุ คนสวนและกลมุ แมบ า น
โดยที่กลมุ คนสวนและกลมุ แมบ านจะไดรบั คาจางรายวันวนั ละ 380 และ 350 บาท ตามลําดับ
ถาโรงเรยี นจางคนสวน 5 คน และแมบ าน 10 คน อยากทราบวา คนงานของโรงเรียนแหง น้ี
มรี ายไดเฉล่ียวันละกบี่ าท
ก. 360 บาท
ข. 365 บาท
ค. 540 บาท
ง. 730 บาท

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 47
5. กําหนดใหขอ มลู 2 ชุด เปนดังนี้

ขอ มลู ชุด A : 3 18 15 10 7 11
ขอ มูลชดุ B : 12 7 15 14 3 10 18
อยากทราบวา มัธยฐานของขอมลู ชุด A และมัธยฐานของขอมลู ชดุ B มคี า ตางกันอยูเทาใด
ก. 1
ข. 1.5
ค. 2
ง. 2.5

6. ถาขอมูลชดุ หนึง่ มีคา เฉลย่ี เลขคณติ เทากับ 10 พจิ ารณาขอ ความตอ ไปน้ี
1) เมื่อขอมลู ในชดุ นีท้ กุ ขอมลู ถกู บวกดวย 2 คาเฉลี่ยเลขคณติ คาใหมข องขอมูลชดุ นีค้ อื 12
2) เมื่อขอ มลู ในชดุ นที้ ุกขอมลู ถูกคณู ดว ย 2 คา เฉลย่ี เลขคณิตคา ใหมของขอ มลู ชุดน้ีคือ 20

ขอ ใดสรปุ ไดถกู ตอง
ก. ขอ 1) เปน จรงิ เพียงขอเดียว
ข. ขอ 2) เปนจรงิ เพยี งขอเดียว
ค. ขอ 1) และขอ 2) เปน จรงิ
ง. ขอ 1) และขอ 2) ไมเปนจรงิ

จงใชขอ มลู ความสงู ของนกั เรียนชัน้ ม.2 ในตาราง ตอบคาํ ถามขอ 7-9

ความสงู (เซนติเมตร) 165 168 170 171 174 175 178
จํานวนนกั เรียน (คน) 5 5 7 9 8 4 2

7. มัธยฐานของขอ มูลชดุ นเ้ี ทา กบั เทา ใด
ก. 170 เซนตเิ มตร
ข. 170.5 เซนติเมตร
ค. 171 เซนตเิ มตร
ง. 172.5 เซนตเิ มตร

คณิตศาสตร์ชว่ งชนั ที 3 ......................................................................................................................... 48
8. คา เฉลยี่ คณติ ของขอมลู ชุดนเี้ ทา กบั ขอใด

ก. 5.71 เซนติเมตร
ข. 9 เซนตเิ มตร
ค. 171 เซนตเิ มตร
ง. 171.05 เซนติเมตร

9. ฐานนยิ มของขอ มลู ชุดนีเ้ ทา กบั ขอใด
ก. 170 เซนติเมตร
ข. 170.5 เซนตเิ มตร
ค. 171 เซนติเมตร
ง. 172.5 เซนตเิ มตร

จงใชข อ มูลจากฮสิ โทแกรมตอ ไปนี้ ตอบคาํ ถามขอ 10 – 11
ฮิสโทแกรมที่คน หาไดจากเวบ็ ไซตห นึง่ ซง่ึ แสดงจาํ นวนลกู คาในชวงเวลาตาง ๆ ของรานกาแฟแหงหน่งึ
เปนดงั น้ี

9:00 น. 12:00 น. 15:00 น. 18:00 น. 21:00 น.

โดยปกติลกู คา จะใชบ รกิ ารอยูใ นรานประมาณ 1 – 2 ชว่ั โมง

10. หาสม โอตองการไปดม่ื กาแฟทร่ี า นน้ีในวันเสารซ ง่ึ สม โอไมช อบการรอคอยนาน ๆ
สมโอไมค วรไปรา นนใ้ี นชว งเวลาใด
ก. 9:00-10:00 น.
ข. 11:00-12:00 น.
ค. 13:00-14:00 น.
ง. 14:00-15:00 น.

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ......................................................................................................................... 49
11. หากทางรานตอ งการเพม่ิ จํานวนลกู คา โดยการมอบสิทธปิ ระโยชนใหล กู คาแบบซอื้ 1 แถม 1

ทางรานควรนําเสนอสิทธปิ ระโยชนน้ี เมอ่ื ลกู คามาดื่มกาแฟในชว งเวลาใดจึงจะเหมาะสมทสี่ ดุ
ก. 9:00 – 10:00 น.
ข. 10:00 – 11:00 น.
ค. 16:00 – 17:00 น.
ง. 17:00 – 18:00 น.

12. จากแผนภาพจุดตอไปน้ี

  
  
  




9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

พจิ ารณาขอความตอไปนี้

1) การกระจายของขอมลู ชุดนี้มลี กั ษณะสมมาตร

2) คาเฉลยี่ เลขคณิตมีคา มากกวา มัธยฐานและฐานนยิ ม

ขอ ใดสรุปไดถ กู ตอง
ก. ขอ 1) เปนจรงิ เพยี งขอเดียว
ข. ขอ 2) เปนจรงิ เพยี งขอ เดยี ว
ค. ขอ 1) และขอ 2) เปน จริง
ง. ขอ 1) และขอ 2) ไมเปนจรงิ