แบบฝึกทักษะการแก้โจทย์ปัญหาการประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เล่ม 8

5y  22  9
3y 16 5

จดั ทาโดย... ต้องจติ ต์ ทศั นแจม่ สุข

ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะครชู านาญการ โรงเรยี นวชั รวทิ ยา
สานกั งานเขตพนื้ ทีก่ ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 41

จดั ทาโดย... ต้องจติ ต์ ทศั นแจม่ สขุ

ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะครชู านาญการ โรงเรียนวชั รวทิ ยา
สานกั งานเขตพนื้ ทีก่ ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 41

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกี่ยวกบั อัตราส่วนและรอ้ ยละ

ก

แบบฝึกทกั ษะการแกโ้ จทย์ปญั หา การประยุกตข์ องสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว
ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 2 จดั ทาขน้ึ เพ่ือเปน็ ส่ือประกอบการจัดกจิ กรรมการเรยี นการสอน
โดยใช้ควบคกู่ ับแผนการจัดการเรยี นรู้ รายวชิ า ค 22102 คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 ไดจ้ ดั ทาข้นึ ท้งั หมด จานวน 9 เลม่ ไดแ้ ก่

เล่มท่ี 1 สมบตั ิของการเท่ากนั
เล่มที่ 2 การแก้สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว
เล่มท่ี 3 ประโยคภาษา ประโยคสญั ลกั ษณ์
เล่มท่ี 4 การแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใช้สมการ
เล่มท่ี 5 การแก้โจทยป์ ัญหาเก่ียวกับจานวน
เล่มท่ี 6 การแก้โจทย์ปัญหาเกย่ี วกบั อายุ
เล่มที่ 7 การแกโ้ จทย์ปัญหาเกยี่ วกับเงิน
เล่มท่ี 8 การแกโ้ จทย์ปัญหาเก่ียวกบั อตั ราสว่ นและร้อยละ
เล่มที่ 9 การแกโ้ จทยป์ ัญหาเกย่ี วกบั อัตราเรว็
ผู้จัดทาหวงั เป็นอย่างย่ิงว่าแบบฝึกทักษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยกุ ตข์ อง
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี วนี้ คงจะเป็นประโยชนต์ ่อการจดั กจิ กรรมการเรียนการสอน
ได้เป็นอยา่ งดี และช่วยยกระดับผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนในวชิ าคณติ ศาสตรใ์ ห้สูงขนึ้
ในที่สดุ

ตอ้ งจิตต์ ทศั นแจม่ สุข

แบบฝึกทกั ษะการแก้โจทยป์ ญั หา การประยกุ ต์ของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั อตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

ข

เร่อื ง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาแนะนาสาหรบั ครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 3
แบบทดสอบก่อนเรียน 4
เน้ือหาบทเรียน 7
แบบฝึกทักษะที่ 1 19
แบบฝึกทักษะท่ี 2 23
แบบฝกึ ทักษะที่ 3 25
แบบฝกึ ทักษะที่ 4 29
แบบทดสอบหลงั เรียน 31
แบบบนั ทึกคะแนน 34
บรรณานกุ รม 35
ภาคผนวก 36
37
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1 41
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 2 43
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 3 47
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 4 49
เกณฑก์ ารตรวจแบบฝึกทักษะ 50
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น – หลงั เรยี น 51
คารับรองของผ้บู ังคบั บัญชา
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 2
แบบฝกึ ทักษะการแกโ้ จทย์ปญั หา การประยุกต์ของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกี่ยวกบั อัตราส่วนและรอ้ ยละ

1

แบบฝึกทกั ษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกตข์ องสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว

ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เล่มท่ี 8 การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกยี่ วกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

ใหค้ รอู ่านคาแนะนาและปฏบิ ัติตามข้ันตอน ดงั น้ี

1. ใช้แบบฝึกทักษะการแก้โจทย์ปัญหา ประกอบแผนการจดั การเรียนรู้ท่ี

10 และ 11 จานวน 2 ชั่วโมง

2. ศึกษาเน้ือหา การแกโ้ จทย์ปัญหาเกี่ยวกับอตั ราส่วนและร้อยละ และ

แบบฝกึ ทักษะตง้ั แต่แบบฝึกทกั ษะแรกจนถึงแบบฝึกทกั ษะสุดทา้ ย ใหเ้ ข้าใจก่อน

3. แจง้ จดุ ประสงค์การเรยี นร้ใู ห้นักเรยี นทราบ และใหน้ ักเรยี นอา่ น

คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะ และปฏิบัตติ ามคาแนะนาทกุ ขั้นตอน

4. ดาเนนิ การสอนตามกิจกรรมท่ีกาหนดไวใ้ นแผนการจดั การเรียนรู้

5. สงั เกต ดแู ล ให้คาช้แี นะแกน่ กั เรียนเมื่อมีปญั หา ไมเ่ ขา้ ใจ หรือทา

แบบฝกึ ทักษะไม่ไดค้ รคู วรอธิบายเพมิ่ เติม สาหรับนกั เรยี นทเี่ รียนไม่ทนั เพอ่ื น

อาจมอบหมายงานหรือใหศ้ ึกษาเพ่ิมเตมิ ในเวลาว่าง

6. เมื่อนกั เรยี นทากิจกรรมทุกกิจกรรมตามข้ันตอนเสร็จเรยี บร้อยแลว้

ใหน้ ักเรียนบนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบกอ่ นเรียน-หลังเรียน

ลงในแบบบนั ทกึ คะแนนของแต่ละคน เพ่อื ประเมนิ การพฒั นาและความก้าวหน้า

หากมีนกั เรียนไมผ่ ่านเกณฑค์ รูควรจัดสอนซอ่ มเสรมิ ให้

7. ครคู วรให้กาลังใจนักเรยี น แม้ว่าจะทากจิ กรรมหรอื แบบฝึกทักษะ

ไมถ่ กู ต้องก็ตาม คุณครจู ะเปน็ กาลงั ใจ

ให้นกั เรียนนะคะ

แบบฝกึ ทักษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยกุ ต์ของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั อัตราสว่ นและรอ้ ยละ

2

แบบฝึกทักษะการแก้โจทยป์ ญั หา การประยุกตข์ องสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว
ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2 มที ้ังหมด 9 เล่ม และเล่มนี้เป็น เล่มท่ี 8 การแกโ้ จทย์ปญั หา
เก่ยี วกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ ใช้เวลาเรียน 2 ชว่ั โมง ใชป้ ระกอบการเรยี นการสอน
โดยใหน้ กั เรยี นฝึกทักษะ หลงั จากทไ่ี ดเ้ รียนเนอ้ื หาในบทเรียน ใหน้ ักเรยี นอา่ นคาแนะนา
และปฏบิ ตั ติ ามขน้ั ตอน ดงั นี้

1. ศึกษาและทาความเข้าใจจดุ ประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝกึ ทกั ษะ
การแกโ้ จทย์ปญั หา

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรยี น จานวน 10 ขอ้ เพื่อวดั ความร้พู ้นื ฐาน
3. ศกึ ษาเนอื้ หาบทเรียนและตัวอยา่ งก่อนทาแบบฝกึ ทกั ษะแต่ละชดุ
4. นกั เรยี นลงมอื ทาแบบฝึกทกั ษะ โดยในชว่ั โมงท่ี 1 ทาแบบฝึกทักษะที่ 1
จานวน 2 ข้อ แบบฝึกทักษะที่ 2 จานวน 2 ขอ้ และในชั่วโมงท่ี 2 ทาแบบฝึกทักษะที่ 3
จานวน 2 ขอ้ และแบบฝึกทักษะท่ี 4 จานวน 2 ขอ้
5. เมื่อทาแบบฝึกทกั ษะเสรจ็ แล้ว นักเรยี นสามารถตรวจคาตอบไดท้ ันที
จากเฉลยในภาคผนวก
6. เมื่อทาแบบฝึกทกั ษะครบแล้ว ใหท้ าแบบทดสอบหลังเรียน จานวน
10 ข้อ และตรวจคาตอบจากเฉลยในภาคผนวก
7. ให้นกั เรียนบันทกึ คะแนนจากการทาแบบฝกึ ทักษะ แบบทดสอบ
ก่อนเรยี น-หลังเรยี น ลงในแบบบันทกึ คะแนนของแตล่ ะคน เพ่ือประเมินการพัฒนา
และความก้าวหนา้
8. ในการปฏิบัติกิจกรรมทุกคร้งั นักเรียนควรมีความซือ่ สตั ย์ตอ่ ตนเอง
โดยไมเ่ ปดิ ดูเฉลยก่อน เราไปศกึ ษาจดุ ประสงค์

การเรียนรู้กนั กอ่ นนะครับ

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

3

นักเรยี นสามารถ
1. วเิ คราะหโ์ จทย์ปัญหาเกีย่ วกบั อตั ราส่วนและรอ้ ยละได้
2. เขียนสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวแทนสถานการณ์ได้
3. แก้โจทย์ปัญหาเก่ียวกบั อตั ราสว่ นและรอ้ ยละได้
4. ตรวจคาตอบและแสดงถงึ ความสมเหตุสมผลของคาตอบทไ่ี ด้

นกั เรยี นมีความสามารถในดา้ นทกั ษะกระบวนการ ดังนี้
1. การแก้ปัญหา
2. การให้เหตผุ ล
3. การสื่อสารตามช่วงวยั
4. การเชอื่ มโยง

ปลกู ฝังให้นกั เรียนมคี ุณลักษณะอนั พึงประสงค์ ดังน้ี
1. มวี นิ ัย
2. ใฝเุ รยี นรู้
3. มคี วามมงุ่ มนั่ ในการทางาน

แบบฝกึ ทกั ษะการแกโ้ จทยป์ ญั หา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกับอตั ราส่วนและรอ้ ยละ

4

ลองทาแบบทดสอบ
กนั หน่อยนะครับ

คาชี้แจง 1. ให้นกั เรยี นอ่านคาถามตอ่ ไปน้ี แลว้ เลือกคาตอบท่ถี กู ตอ้ งที่สดุ
แลว้ ทาเครอ่ื งหมาย X ลงในกระดาษคาตอบของนกั เรียน

2. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัย 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้
ข้อละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

1. รา้ นขายเคร่ืองใชไ้ ฟฟาู แหง่ หนงึ่ ตงั้ ราคาขายพดั ลมไวส้ องแบบ แบบแรกขาย

เอากาไร 952 บาท แบบที่สองขายเอากาไร 214 บาท และทาใหอ้ ัตราสว่ น

ของราคาขายแบบทหี่ นึง่ ต่อแบบท่ีสองเปน็ 4 : 3 จงหาว่าเดิมพัดลมราคาเท่าใด

ก. 1,300 บาท ข. 1,400 บาท

ค. 1,500 บาท ง. 1,600 บาท

2. ซอื้ ทด่ี ิน 200 ตารางวา เป็นเงิน 600,000 บาท แบง่ ขายท่ีดินไปคร่ึงหน่ึงเปน็ เงนิ

350,000 บาท จะต้องขายท่ีที่เหลอื ไปเป็นเงนิ เท่าใดจึงจะไดก้ าไรทั้งหมด

คดิ เปน็ รอ้ ยละ 20

ก. 370,000 บาท ข. 360,000 บาท

ค. 350,000 บาท ง. 340,000 บาท

3. ร้านขายกาแฟบดสูตรพิเศษจากกาแฟสองชนิด กาแฟชนิดแรกราคากิโลกรมั ละ

240 บาท กาแฟชนดิ ที่ 2 ราคากโิ ลกรัมละ 300 บาท ขายกาแฟสูตรบดพิเศษน้ี

ในราคากโิ ลกรัมละ 360 บาท ไดก้ าไร 25% จงหาวา่ อตั ราส่วนของกาแฟ

ชนดิ ที่ 1 ต่อชนดิ ที่ 2 โดยน้าหนัก

ก. 1 : 6 ข. 1 : 4

ค. 3 : 4 ง. 4 : 5

แบบฝกึ ทักษะการแกโ้ จทยป์ ญั หา การประยกุ ต์ของสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกบั อัตราส่วนและรอ้ ยละ

5

4. นมผสมน้ามนี มและนา้ เปน็ อตั ราส่วนโดยน้าหนกั 8 : 5 ต่อมาเติมน้าลงไป

22 กโิ ลกรัม ทาใหอ้ ตั ราส่วนกลายเป็น 12 : 13 จงหาน้าหนกั ของนม

ก. 52 กโิ ลกรมั ข. 50 กโิ ลกรมั

ค. 48 กิโลกรัม ง. 46 กิโลกรัม

5. ปัจจุบนั อายุของนดิ และโต้งมอี ตั ราสว่ นเปน็ 1 : 3 เมื่อ 4 ปีทแี่ ลว้ อายขุ องนิด

กับโต้งมอี ตั ราส่วนเป็น 1 : 5 ปัจจุบนั นิดมอี ายุก่ีปี

ก. 3 ปี ข. 6 ปี

ค. 8 ปี ง. 10 ปี

6. สนามรปู สี่เหล่ียมผืนผา้ แปลงหนึง่ กว้าง 20 เมตร ยาว 30 เมตร ถา้ ด้านกว้าง

เพมิ่ ข้นึ 10% และด้านยาวลดลง 10% พน้ื ทใ่ี หมข่ องสเี่ หลยี่ มผืนผา้ รูปนี้

เพ่ิมขึน้ หรอื ลดลงกเี่ ปอรเ์ ซน็ ต์

ก. ลดลง 1% ข. ลดลง 2%

ค. เพ่ิมข้ึน 1% ง. เพ่ิมขึ้น 2%

7. พอ่ ค้าซ้อื ผ้าลูกไม้ 20 หลา และผา้ ไหม 25 หลา เปน็ เงิน 4,500 บาท ถ้าเขาขาย
ผ้าลูกไม้ไปได้กาไร 15% เขาขายผ้าไหมได้กาไร 20% ทาใหเ้ ขาไดก้ าไรทัง้ หมด
750 บาท เขาซื้อผ้าลูกไมแ้ ละผา้ ไหมมาหลาละเทา่ ไร
ก. ผ้าลูกไม้หลาละ 100 บาท ผ้าไหมหลาละ 130 บาท
ข. ผา้ ลกู ไม้หลาละ 120 บาท ผา้ ไหมหลาละ 100 บาท
ค. ผ้าลกู ไมห้ ลาละ 140 บาท ผ้าไหมหลาละ 80 บาท
ง. ผ้าลูกไม้หลาละ 150 บาท ผ้าไหมหลาละ 60 บาท

แบบฝกึ ทกั ษะการแกโ้ จทย์ปัญหา การประยกุ ตข์ องสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกับอตั ราส่วนและรอ้ ยละ

6

8. ผสมสาร 2 ชนิด เพอ่ื เป็นปยุ๋ รดรอ่ งผักกาด โดยใช้อตั ราส่วนสาร A ต่อสาร B
เปน็ 2 : 5 ถา้ ตอ้ งการปุย๋ ท่ไี ด้จากการผสมสาร 2 ชนิดนจี้ านวน 56 ถัง จะตอ้ งใช้
สาร A และสาร B อย่างละก่ถี งั
ก. ใช้สาร A 12 ถงั ใช้สาร B 20 ถัง
ข. ใช้สาร A 14 ถัง ใชส้ าร B 20 ถัง
ค. ใชส้ าร A 16 ถงั ใช้สาร B 40 ถัง
ง. ใช้สาร A 18 ถงั ใช้สาร B 40 ถัง

9. น้าปลา 150 แกลลอน มีนา้ ปลาแท้ 65% นอกน้ันเป็นนา้ จะตอ้ งเอานา้ ปลาแท้

เติมลงไปก่แี กลลอนจึงจะเป็นน้าปลาแท้ 85%

ก. 150 แกลลอน ข. 200 แกลลอน

ค. 220 แกลลอน ง. 240 แกลลอน

10. แมค่ รวั หงุ ขา้ วผสมกับลกู เดือย โดยใชอ้ ตั ราส่วนลูกเดือย 3 กระป๋อง
4
ข้าวสาร 2 กระป๋อง สาหรบั รับประทาน 5 คน ถา้ ตอ้ งการหงุ ข้าวผสมลูกเดือย

สาหรบั รบั ประทาน 30 คน แม่ครัวจะต้องใช้ข้าวสารและลกู เดอื ยอย่างละเท่าใด

ก. ใช้ขา้ วสาร 12 กระปอ๋ ง ใชล้ ูกเดือย 4 1 กระปอ๋ ง
2
1
ข. ใชข้ ้าวสาร 12 กระป๋อง ใช้ลูกเดือย 5 2 กระป๋อง

ค. ใชข้ ้าวสาร 10 กระป๋อง ใช้ลูกเดือย 4 1 กระป๋อง
2
ง. ใช้ข้าวสาร 10 กระปอ๋ ง ใช้ลูกเดอื ย 1 กระป๋อง
5 2

แบบฝึกทักษะการแก้โจทยป์ ัญหา การประยกุ ตข์ องสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกบั อตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

7

การแก้โจทยป์ ัญหาเกย่ี วกบั อัตราส่วน

1. กาหนดตัวแปรแทนส่ิงที่โจทย์ตอ้ งการใหห้ า
2. เขียนอัตราสว่ นแทนอัตราทีโ่ จทย์กาหนด
3. เขยี นสดั ส่วนแสดงการเท่ากนั ของอตั ราส่วน โดยระวังใหล้ าดับ

ของสิง่ ที่นามาเปรยี บเทยี บของท้ังสองอตั ราสว่ นจะต้องเป็นลาดับเดียวกัน
4. หาคาตอบโดยใช้ผลคูณไขว้ และการแก้สมการ

ตัวอย่าง อาหารกระปอ๋ ง 3 กระป๋อง ราคา 42 บาท ตอ้ งการซื้ออาหารกระปอ๋ ง

10 กระปอ๋ ง จะต้องจา่ ยเงินเท่าไร

วิธที า สมมติ ตอ้ งจ่ายเงนิ a บาท

ดงั นัน้ ซ้ืออาหารกระปอ๋ ง 10 กระปอ๋ งตอ้ งจา่ ยเงิน a บาท
10
เขียนเป็นอัตราสว่ นได้ a

อเขาียหนาเรปก็นรอะัตปรอ๋ างส3ว่ นกไรดะ้ ป43๋อ2ง ราคา 42 บาท

จานวนกระปอ๋ ง

เขียนสดั ส่วน 10 = 3
a 42
ราคา

ใชก้ ารคูณไขว้ ได้สมการ 10 x 42 = 3 x a

จะได้ a = 140

ดงั นน้ั ตอ้ งการซอ้ื อาหารกระปอ๋ ง 10 กระปอ๋ ง จะต้องจา่ ยเงนิ 140 บาท

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ 8

การแกโ้ จทยป์ ัญหา
เกีย่ วกบั อัตราส่วน

ตัวอยา่ งที่ 1 อีก 5 ปีขา้ งหนา้ อัตราสว่ นระหวา่ งอายขุ องบดิ ากับบุตรจะเป็น
4 : 1 ถ้าปัจจุบนั บดิ ามีอายุมากกว่าบตุ ร 30 ปี ปัจจบุ ันบุตรมีอายุกี่ปี

วธิ ีทา ขน้ั ท่ี 1 ทาความเข้าใจโจทย์ปัญหา
1) สงิ่ ทโ่ี จทย์กาหนดมาให้ คือ
- อกี 5 ปีขา้ งหน้า อัตราสว่ นระหว่างอายุของบดิ ากบั บตุ รจะเป็น 4 : 1
- ปจั จุบันบิดามีอายมุ ากกว่าบตุ ร 30 ปี
2) สงิ่ ที่โจทย์ตอ้ งการให้หา คือ อายปุ จั จุบันของบุตร

ขัน้ ท่ี 2 วางแผนแก้โจทยป์ ญั หา

กาหนดให้ ปจั จุบันบุตรมอี ายุ m ปี

ปจั จุบนั บิดามีอายุ m + 30 ปี

อีก 5 ปขี ้างหนา้ บุตรจะมีอายุ m + 5 ปี

อกี 5 ปขี า้ งหน้า บดิ าจะมีอายุ m + 35 ปี

ขนั้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน

อกี 5 ปีข้างหน้า อตั ราสว่ นระหวา่ งอายุของบิดากับบตุ รจะเป็น 4 : 1
4
เขยี นสัดส่วน m 35
m5 

1
ใชก้ ารคูณไขวไ้ ด้ สมการ m + 35 = 4(m + 5)

m + 35 = 4m + 20

35 – 20 = 4m – m

15 = 3m

ขนั้ ท่ี 4 อยใู่ นหนา้ ตอ่ ไปคะ m=5

แบบฝกึ ทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกีย่ วกบั อตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

9

ตวั อย่างท่ี 1 (ต่อ)

ข้ันที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ
แทนค่า m = 5 ในสมการ m + 35 = 4(m + 5) จะได้

5 + 35 = 4(5 + 5)
40 = 4 x 10
40 = 40 เป็นจรงิ

พิจารณาความสมเหตุสมผล

ปจั จุบันบุตรมอี ายุ 5 ปี

ปัจจบุ นั บิดามอี ายุ 5 + 30 = 35 ปี

อีก 5 ปขี ้างหน้า บตุ รจะมีอายุ 5 + 5 = 10 ปี

อีก 5 ปขี า้ งหน้า บิดาจะมอี ายุ 5 + 35 = 40 ปี 40 4
อกี 5 ปขี ้างหนา้ อัตราส่วนระหวา่ งอายุของบิดากับบุตรจะเปน็ 10  1

ดงั นัน้ ปจั จบุ ันบตุ รมีอายุ 5 ปี

ศึกษาตวั อยา่ งใหม้ าก ๆ นะคะ
จะไดม้ คี วามเขา้ ใจในการทาแบบฝึก

แบบฝกึ ทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกต์ของสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

10

ดารงมตี น้ ชวนชมและตน้ เฟือ่ งฟูาอยจู่ านวนหนึง่ อตั ราสว่ นของ
ตัวอย่างที่ 2 จานวนตน้ ชวนชมตอ่ จานวนตน้ เฟือ่ งฟาู เปน็ 5 : 3 เม่ือเขา

จาหนา่ ยตน้ ชวนชมไป 22 ตน้ และตน้ เฟื่องฟูาไป 16 ตน้ แลว้
อตั ราสว่ นของจานวนตน้ ชวนชมที่เหลือต่อจานวนต้นเฟ่ืองฟูา เป็น 9 : 5 จงหาวา่
เดมิ ดารงมีตน้ ชวนชมและต้นเฟอ่ื งฟาู อยู่ชนิดละก่ีตน้

วธิ ีทา ข้นั ท่ี 1 ทาความเข้าใจโจทย์ปัญหา
1) ส่ิงทโ่ี จทย์กาหนดมาให้ คอื
- เดมิ อตั ราสว่ นของจานวนตน้ ชวนชมตอ่ จานวนต้นเฟ่ืองฟูา เป็น 5 : 3
- เม่ือจาหนา่ ยตน้ ชวนชมไป 22 ต้น และต้นเฟอ่ื งฟูาไป 16 ต้น แลว้ อตั ราสว่ น
ของจานวนตน้ ชวนชมทเี่ หลอื ตอ่ จานวนตน้ เฟอ่ื งฟาู เป็น 9 : 5
2) ส่ิงทีโ่ จทย์ต้องการใหห้ า
คอื เดิมดารงมตี ้นชวนชมและตน้ เฟ่อื งฟาู อยู่ชนิดละก่ีตน้

ขนั้ ที่ 2 วางแผนแกโ้ จทย์ปญั หา
เนือ่ งจาก อัตราส่วนของจานวนตน้ ชวนชมตอ่ จานวนต้นเฟ่อื งฟูา เป็น 5 : 3

ถ้าเดิมดารงมีตน้ ชวนชม 5y ต้น เม่ือ y เปน็ จานวนเตม็ บวก
แล้วจะมีตน้ เฟอ่ื งฟาู 3y ตน้
หลังจาหน่ายต้นชวนชมไป 22 ต้น และตน้ เฟอ่ื งฟูาไป 16 ตน้
เหลอื ตน้ ชวนชม 5y – 22 ต้น
เหลือตน้ เฟ่อื งฟูา 3y – 16 ตน้

ขนั้ ที่ 3 และ ขนั้ ที่ 4 อยู่ในหนา้ ตอ่ ไปคะ

แบบฝึกทกั ษะการแก้โจทยป์ ัญหา การประยุกตข์ องสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกีย่ วกับอตั ราส่วนและรอ้ ยละ

11

ตวั อยา่ งที่ 2 (ตอ่ )

ขั้นที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน

อัตราส่วนของจานวนตน้ ชวนชมท่เี หลอื ต่อจานวนตน้ เฟื่องฟาู เปน็ 9 : 5
5y 22 9
เขยี นสดั สว่ น 3y  16  5


ใชก้ ารคณู ไขว้ได้ สมการ 5(5y - 22) = 9(3y - 16)
25y – 110 = 27y – 144
144 – 110 = 27y – 25y

34 = 2y
y = 17

ข้ันท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทนค่า y = 17 ในสมการ 5(5y - 22) = 9(3y - 16) จะได้

5[(5 x 17) - 22] = 9[(3 x 17) - 16]

5(63) = 9(35)

315 = 315 เป็นจริง

พิจารณาความสมเหตุสมผล

เนือ่ งจาก เดมิ อัตราส่วนของจานวนตน้ ชวนชมต่อจานวนต้นเฟอ่ื งฟาู เป็น 5 : 3

ถา้ เดมิ ดารงมตี ้นชวนชม 5(17) = 85 ตน้

แลว้ จะมีตน้ เฟื่องฟาู 3(17) = 51 ตน้

หลังจาหนา่ ยตน้ ชวนชมไป 22 ต้น และตน้ เฟอ่ื งฟาู ไป 16 ตน้

เหลือตน้ ชวนชม 5(17) – 22 = 63 ต้น

เหลอื ต้นเฟอ่ื งฟูา 3(17) – 16 = 35 ตน้ 63  9
อตั ราสว่ นของจานวนตน้ ชวนชมท่ีเหลือต่อจานวนตน้ เฟื่องฟูา เป็น 35 5

ดังนัน้ เดิมดารงมีตน้ ชวนชม 85 ต้น และต้นเฟื่องฟูา 51 ตน้

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกต์ของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ 12

จากตัวอย่างที่ 1 – 2 เปน็ การแสดงการแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกับ
อัตราสว่ นตามลาดบั ขัน้ ตอน เมื่อนกั เรยี นฝึกจนชานาญแล้ว
อาจแสดงวิธีทาโดยไมต่ ้องแสดงรายละเอียดของแตล่ ะขัน้ ตอนก็ได้

ดงั ตวั อยา่ งข้างล่างนะคะ

เดอื นทแี่ ล้วอัตราสว่ นยอดเงนิ ฝากของหม่อนต่อยอดเงินฝากของไหม

เป็น 7 : 5 เดือนนไ้ี หมฝากเงินเพมิ่ อกี 500 บาท ทาให้อัตราสว่ น

ตวั อยา่ งที่ 3 ยอดเงินฝากของหม่อนต่อยอดเงนิ ฝากของไหม เปน็ 6 : 5
จงหาว่าเดอื นน้ีแตล่ ะคนมยี อดเงนิ ฝากคนละกีบ่ าท

วธิ ีทา

เนอ่ื งจากอัตราส่วนยอดเงินฝากของหม่อนต่อยอดเงินฝากของไหมเดือนทแี่ ลว้ เปน็ 7 : 5

ถ้าใหเ้ ดือนท่ีแล้วยอดเงนิ ฝากของหม่อนเป็น 7t บาท เมื่อ t เปน็ จานวนบวก

จะได้ ยอดเงินฝากของไหมเป็น 5t บาท

เดอื นนไ้ี หมฝากเงินเพ่ิมอกี เปน็ เงิน 5t + 500 บาท

เนอ่ื งจากอัตราส่วนยอดเงินฝากของหมอ่ นต่อยอดเงนิ ฝากของไหมเดอื นน้ีเปน็ 6 : 5
7t 6
เขียนสดั สว่ น 5t 500  5

ใชก้ ารคณู ไขวไ้ ด้ สมการ 5(7t) = 6(5t + 500)

35t = 30t + 3,000

35t – 30t = 3,000

5t = 3,000

t = 600

ตรวจสอบคาตอบ แทนค่า t = 600 ในสมการ 5(7t) = 6(5t + 500) จะได้

5(7 x 600) = 6(5 x 600 + 500)

21,000 = 21,000 เปน็ จริง

พจิ ารณาความสมเหตสุ มผล

ยอดเงินฝากของหมอ่ นเป็น 7(600) = 4,200 บาท

ยอดเงนิ ฝากของไหมเปน็ 5(600) + 500 = 3,500 บาท 4,200 6
อัตราส่วนยอดเงนิ ฝากของหมอ่ นต่อยอดเงินฝากของไหมเดอื นนเ้ี ปน็ 3,500  5

ดงั น้นั เดือนนี้หมอ่ นมีเงินฝาก 4,200 บาท และไหมมเี งนิ ฝาก 3,500 บาท

แบบฝกึ ทักษะการแกโ้ จทยป์ ญั หา การประยุกตข์ องสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกี่ยวกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

13

การแก้โจทย์ปัญหาเกีย่ วกับรอ้ ยละ

การคานวณเก่ียวกับรอ้ ยละ

วิธีการคานวณ มี 2 วธิ ีคือ

1. เขยี นเปน็ สัดส่วนแล้วแก้สมการ

2. เขียนใหอ้ ยู่ในรูปสมการแล้วแก้สมการ

ตวั อยา่ ง 20% ของ 80 เท่ากับเท่าไร

วิธีท่ี 1 เขียนเปน็ สดั สว่ น ไดด้ ังน้ี
20 a
100  80
20 x 80 = 100 x a

1,600 = 100a

a = 16

วิธีท่ี 2 เขียนให้อยู่ในรูปสมการ ไดด้ งั น้ี

20% ของ 80 = a
20
100  80 a
a = 16

ดังน้ัน 20% ของ 80 เท่ากับ 16

การใชร้ อ้ ยละที่สามารถพบไดใ้ นชีวิตประจาวนั

- นา้ ปลาแท้ 100% หมายถึง น้าปลาบริสุทธ์ิที่ไดจ้ ากการหมกั นา้ ปลา
ไม่มกี ารเตมิ น้าหรอื สิ่งเจอื ปนุ อืน่ ๆ

- นา้ ปลาแท้ 80% หมายถึง น้าปลา 100 ลบ.ซม. จะมนี า้ ปลาบริสุทธิ์
ทีไ่ ดจ้ ากการหมักน้าปลา 80 ลบ.ซม. อีก 20 ลบ.ซม. เปน็ น้าหรือ
สว่ นผสมอืน่ ๆ

- พมิ เสนน้า 40% โดยน้าหนกั หมายถึงของผสม 100 กรมั จะมีพมิ เสน
อยู่ 40 กรัม อีก 60 กรัม เปน็ ส่วนประกอบอืน่ ๆ

แบบฝกึ ทักษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยกุ ต์ของสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกบั อตั ราส่วนและรอ้ ยละ

14

หนอ่ ยนานา้ สม้ แท้ 100% ที่มีปรมิ าตร 700 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
ตวั อย่างท่ี 1 มาทาให้เจือจางเปน็ 28% โดยเตมิ นา้ ดมื่ ทีม่ ีปรมิ าตรสทุ ธิขวดละ

600 ลกู บาศก์เซนตเิ มตรลงไป จงหาวา่ ตอ้ งเตมิ นา้ ดื่มก่ขี วด

วิธที า ขนั้ ที่ 1 ทาความเขา้ ใจโจทย์ปญั หา
1) สิง่ ท่โี จทยก์ าหนดมาให้ คือ
- นาน้าส้มแท้ 100% ที่มปี ริมาตร 700 ลกู บาศก์เซนติเมตร มาทาให้
เจือจางเปน็ 28%
- เติมน้าด่ืมที่มปี ริมาตรสุทธิขวดละ 600 ลูกบาศก์เซนติเมตรลงไป
2) สิ่งทีโ่ จทยต์ ้องการให้หา คอื จานวนขวดของนา้ ด่มื ทตี่ ้องเติมลงไป

ขัน้ ที่ 2 วางแผนแก้โจทย์ปญั หา a ขวด
กาหนดให้ เตมิ นา้ ดืม่ ลงไป 600a ลบ.ซม.
700 ลบ.ซม.
ได้นา้ ด่มื ทเ่ี ติมลงไป
มนี ้าส้มแท้ 100% อยู่

ข้ันที่ 3 ดาเนินการตามแผน

น้าส้มเจือจาง 28% หมายความว่า ใน 100 ลบ.ซม. มนี า้ ส้มแท้ 28 ลบ.ซม.

มนี า้ 72 ลบ.ซม. 28 700
เขียนสัดส่วน 72  600a
28 x 600a = 72 x 700
ใชก้ ารคณู ไขวไ้ ด้ สมการ

16,800a = 50,400

a = 50,400
16,800
a=3
ขนั้ ที่ 4 อยใู่ นหนา้ ต่อไปคะ

แบบฝึกทักษะการแก้โจทย์ปัญหา การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

15

ตวั อย่างที่ 1 (ต่อ)

ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ
แทนค่า a = 3 ในสมการ 28 x 600a = 72 x 700 จะได้

28 x (600 x 3) = 72 x 700
50,400 = 50,400 เป็นจริง

พจิ ารณาความสมเหตุสมผล

เติมน้าด่มื ลงไป 3 ขวด

ไดน้ ้าดม่ื ท่ีเตมิ ลงไป 600 x 3 = 1,800 ลบ.ซม.

มนี ้าส้มแท้ 100% อยู่ 700 ลบ.ซม.

สัดส่วน นา้ สม้ แท้ คือ 28 700
นา้ 72  600x3

28 700


72 1,800

ดงั นั้น ตอ้ งเตมิ นา้ ดมื่ ลงไป 3 ขวด 77



18 18

ศึกษาตวั อยา่ งให้มาก ๆ นะคะ
จะไดม้ คี วามเขา้ ใจในการทาแบบฝึก

แบบฝึกทักษะการแก้โจทยป์ ัญหา การประยุกตข์ องสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกี่ยวกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

16

ตัวอยา่ งที่ 2 แบง่ เงนิ 72,000 บาท ฝากธนาคารสองแหง่ แหง่ แรกให้ดอกเบย้ี
3.5% ต่อปี แห่งทส่ี องใหด้ อกเบ้ยี 5% ตอ่ ปี เม่อื ครบปีไดด้ อกเบี้ย
เฉลยี่ 4.5% ตอ่ ปี จงหาจานวนเงินฝากธนาคารแหง่ แรก

วิธีทา ข้นั ท่ี 1 ทาความเข้าใจโจทยป์ ัญหา
1) ส่งิ ที่โจทย์กาหนดมาให้ คือ
- แบ่งเงิน 72,000 บาท ฝากธนาคารสองแห่ง แหง่ แรกใหด้ อกเบี้ย
3.5% ต่อปี แห่งทีส่ องให้ดอกเบี้ย 5% ต่อปี
- ครบปีไดด้ อกเบี้ยเฉล่ีย 4.5% ต่อปี
2) สงิ่ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการใหห้ า คอื จานวนเงนิ ฝากธนาคารแหง่ แรก

ขนั้ ที่ 2 วางแผนแกโ้ จทยป์ ญั หา

กาหนดให้ เงินฝากธนาคารแหง่ แรกเปน็ b บาท

เงินฝากธนาคารแห่งทส่ี องเป็น 72,000 – b บาท

ธนาคารแห่งแรกใหด้ อกเบ้ีย 3.5% ตอ่ ปี หมายความว่า

เงินต้น 100 บาท ได้ดอกเบ้ีย 3.50 บาท

เงินต้น b บาท ไดด้ อกเบย้ี 3.50b บาท

100
ธนาคารแหง่ ท่สี องใหด้ อกเบ้ีย 5% ต่อปี หมายความว่า

เงนิ ต้น 100 บาท ไดด้ อกเบ้ยี 5 บาท

เงินตน้ 72,000 - b บาท ไดด้ อกเบ้ยี 5(72,000 - b) บาท

ครบปีได้ดอกเบ้ียเฉลย่ี 4.5% ตอ่ ปี หมายความว่า 100

เงนิ ต้น 100 บาท ได้ดอกเบีย้ 4.5 บาท
เงินต้น 72,000 บาท ไดด้ อกเบ้ีย 4.572,000 บาท

ขน้ั ท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน 100

ครบปีได้ดอกเบ้ยี เฉลย่ี 4.5% ตอ่ ปี หมายความว่า

เงินต้น 100 บาท ไดด้ อกเบ้ีย 4.5 บาท
เงินตน้ 72,000 บาท ได้ดอกเบ้ีย 4.572,000 บาท

100

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทย์ปัญหา การประยกุ ต์ของสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกี่ยวกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

17

ตวั อยา่ งท่ี 2 (ต่อ)

สมการ 3.50b 5(72,000b) 4.572,000


100 100 100
นา 100 มาหารท้ังสองข้าง

3.5b + 360,000 – 5b = 324,000

3.5b – 5b = 324,000 – 360,000

- 1.5b = -36,000

b = 24,000

ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทนค่า b = 24,000 ในสมการ 3.50b 5(72,000b) 4.572,000

100 100 100
3.5024,000 5(72,00024,000) 4.572,000



100 100 100

พจิ ารณาความสมเหตสุ มผล 840 + 2,400 = 3,240
เงนิ ฝากธนาคารแหง่ แรกเป็น 3,240 = 3,240 เป็นจรงิ
เงนิ ฝากธนาคารแหง่ ท่สี องเปน็
24,000 บาท
72,000 – 24,000 = 48,000 บาท

ธนาคารแหง่ แรกให้ดอกเบยี้ 3.5024,000  840 บาท
100 บาท
ธนาคารแห่งทสี่ องไดด้ อกเบี้ย 5(72,00024,000)  2,400 บาท
100
4.572,000  3,240
ครบปไี ดด้ อกเบยี้ เฉลยี่ 100

ดอกเบี้ยจากธนาคารสองแห่ง 840 + 2,400 = 3,240 บาท

ดังนนั้ ฝากเงินธนาคารแหง่ แรก 24,000 บาท

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยุกต์ของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกีย่ วกับอัตราสว่ นและรอ้ ยละ 18

จากตวั อย่างที่ 1 – 2 เปน็ การแสดงการแกโ้ จทย์ปญั หาเกยี่ วกบั ร้อยละ
ตามลาดบั ขั้นตอน เม่ือนกั เรียนฝึกจนชานาญแล้ว อาจแสดงวธิ ที าโดยไม่ต้องแสดง

รายละเอียดของแตล่ ะข้ันตอนกไ็ ด้ ดังตัวอยา่ งขา้ งลา่ งนะคะ

นา้ นม 60 ลติ ร มนี า้ นมแทอ้ ยู่ 60% ทีเ่ หลือเป็นนา้ จะตอ้ งผสม
ตวั อย่างที่ 3 นา้ นมแทล้ งไปอีกกีล่ ติ ร จงึ จะทาใหส้ ่วนผสมมนี า้ นมแท้ 88%

วิธที า กาหนดให้ ผสมนา้ นมแทล้ งไปอกี y ลิตร

นา้ นม 60 ลติ ร มนี า้ นมแทอ้ ยู่ 60% หมายความว่า

นา้ นม 100 ลติ ร มนี า้ นมแท้ 60 ลติ ร
6060  36
นา้ นม 60 ลติ ร มนี า้ นมแท้ 100 ลติ ร มนี ้าอยู่ 60 – 36 = 24 ลิตร

ตอ้ งการใหส้ ่วนผสมมนี ้านมแท้ 88% หมายความว่า

นา้ นม 100 ลติ ร มีนา้ นมแท้ 88 ลิตร มีนา้ อยู่ 100 – 88 = 12 ลติ ร

แสดงวา่ สว่ นผสมใหม่ มนี า้ นมแท้ 36 + y ลติ ร มนี ้าอยู่ 24 ลิตร
88 36  y
เขียนสดั สว่ น
สมการ 

12 24
24 x 88 = 12(36 + y)

2,112 = 432 + 12y

1,680 = 12y

y = 140

ตรวจสอบคาตอบ แทนค่า y = 140 ในสมการ 24 x 88 = 12(36 + y) จะได้

24 x 88 = 12(36 + 140)

2,112 = 2,112 เปน็ จรงิ

พจิ ารณาความสมเหตุสมผล

ผสมนา้ นมแท้ลงไปอีก 140 ลติ ร เดมิ มนี า้ นมแท้ 36 ลติ ร มนี ้า 24 ลติ ร

จะมนี า้ นมแท้ 36 + 140 = 176 ลติ ร น้านมทั้งหมด 176 + 24 = 200 ลิตร

นา้ นมผสมใหม่ 200 ลิตร มนี ้านมแทอ้ ยู่ 176 ลิตร

น้านมผสมใหม่ 100 ลิตร มนี ้านมแทอ้ ยู่ 176100  88 ลติ ร
200

ดงั นน้ั ต้องผสมน้านมแท้ลงไปอกี 140 ลติ ร

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้โจทย์ปัญหา การประยกุ ตข์ องสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกีย่ วกับอตั ราส่วนและรอ้ ยละ 19

ศึกษาตวั อยา่ งแลว้ มาทา
แบบฝึกทักษะกนั ต่อเลยครับ

คาช้ีแจง จงแสดงการแกโ้ จทย์ปญั หาเกยี่ วกับอตั ราสว่ นตามลาดับข้นั ตอน
คะแนนเต็ม ขอ้ ละ 5 คะแนน

1น.ุชซ้อื เงาะและมงั คดุ มาขายจานวนหนงึ่ โดยทีอ่ ัตราสว่ นนา้ หนัก
ของเงาะตอ่ นา้ หนกั ของมังคดุ เป็น 4 : 5 เมอื่ ขายเงาะไป

15 กโิ ลกรมั และมงั คุดไป 42 กิโลกรัม นชุ สัง่ ซอ้ื มงั คุดมาเพิม่ อีก 30 กโิ ลกรมั
ทาให้อัตราสว่ นนา้ หนกั ของเงาะท่ีเหลือตอ่ น้าหนักของมังคดุ ที่มอี ยู่ทั้งหมด
เปน็ 5 : 7 จงหาว่าเดมิ นุชมีเงาะและมังคุดอยู่ชนดิ ละก่ีกิโลกรัม

วธิ ีทา ขนั้ ที่ 1 ทาความเข้าใจโจทย์ปญั หา
1) สิง่ ท่โี จทย์กาหนดมาให้ .......................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
2) สิง่ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการให้หา ......................................................................
..............................................................................................................
ขน้ั ท่ี 2 วางแผนแก้โจทยป์ ญั หา
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

แบบฝึกทกั ษะการแกโ้ จทยป์ ญั หา การประยกุ ตข์ องสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

20

ขัน้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
ขัน้ ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
พิจารณาความสมเหตุสมผล ....................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
..................................................................................................................

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

21

ป2จั. จุบนั อนาดิ ยกขุ บั อนงนอ้ ดิยกมับอี านยอ้ ุเยปม็นีออตั ัตรราาสสว่ ่วนนเป2น็ : 7 : เม่ือ 2 ปีท่แี ลว้
1 6 ปจั จุบันนิดกบั น้อย

มอี ายุรวมกนั กปี่ ี

วิธที า ขนั้ ท่ี 1 ทาความเขา้ ใจโจทย์ปญั หา
1) สง่ิ ทโ่ี จทยก์ าหนดมาให้ .......................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
2) สิง่ ท่โี จทย์ตอ้ งการให้หา ......................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
ขนั้ ท่ี 2 วางแผนแก้โจทยป์ ญั หา
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

แบบฝกึ ทักษะการแก้โจทยป์ ัญหา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

22

ขัน้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
ขัน้ ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
พิจารณาความสมเหตุสมผล ....................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
..................................................................................................................

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

23

คาชแ้ี จง จงแสดงการแก้โจทยป์ ัญหาเก่ยี วกับอัตราส่วน
คะแนนเต็ม ขอ้ ละ 5 คะแนน

ด1ว.งใจและไพจติ รมเี งนิ เป็นอัตราสว่ น 7 : 11 ถา้ ไพจติ รได้เงนิ เพ่มิ
อีก 85 บาท เงนิ ของไพจติ รจะเป็น 4 เท่าของดวงใจ ดวงใจมีเงนิ ก่บี าท

วธิ ที า ....................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................
........................................................................................................................................

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกต์ของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกับอตั ราส่วนและรอ้ ยละ

24

2ส.เี่ หลีย่ มจัตุรสั สองรูปมอี ัตราสว่ นของด้านเป็น 4 : 5 ถ้าส่ีเหล่ยี ม
จัตุรัสใหญ่ มดี า้ นยาวยาวกว่าสี่เหลย่ี มจัตุรสั เลก็ อยู่ 5 นว้ิ จงหาพื้นท่ี
ของสเี่ หลยี่ มจัตุรสั รปู เล็ก

วิธีทา ....................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................
........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
....................................................................................................................................

แบบฝึกทักษะการแก้โจทยป์ ญั หา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกีย่ วกับอตั ราส่วนและรอ้ ยละ

25

คาชแี้ จง จงแสดงการแกโ้ จทยป์ ัญหาเกี่ยวกับรอ้ ยละตามลาดบั ขน้ั ตอน
คะแนนเตม็ ข้อละ 5 คะแนน

1จ.ะต้องปดิ ราคาสินคา้ ไว้เท่าใด เมอ่ื ลดราคาให้ผ้ซู ้อื 10%
แลว้ ยงั จะไดก้ าไร 20% ถ้าราคาตน้ ทนุ ของสินค้า 150 บาท

วิธีทา ข้นั ท่ี 1 ทาความเข้าใจโจทย์ปัญหา
1) สิ่งที่โจทยก์ าหนดมาให้ .......................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
2) สิง่ ที่โจทย์ต้องการใหห้ า ......................................................................
..............................................................................................................
ข้นั ที่ 2 วางแผนแกโ้ จทย์ปญั หา
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

แบบฝึกทกั ษะการแก้โจทยป์ ัญหา การประยกุ ต์ของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

26

ขัน้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
ขัน้ ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
พิจารณาความสมเหตุสมผล ....................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
..................................................................................................................

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกบั อตั ราส่วนและรอ้ ยละ

27

2น.้านมจจานะตวน้อง2ผ0ส0มนลมิตแรทมล้ เี นงไือ้ ปนอมีกแกทล่ี ้ ติ 7ร0%จึงจนะอทกานใน้ัหมเ้ ปีนน็ ้านปมนแท้ 80%

วธิ ที า ข้ันที่ 1 ทาความเข้าใจโจทย์ปัญหา
1) สิ่งทโี่ จทย์กาหนดมาให้ .......................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
2) ส่ิงท่ีโจทยต์ ้องการใหห้ า ......................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
ขั้นที่ 2 วางแผนแก้โจทยป์ ญั หา
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................

แบบฝกึ ทักษะการแก้โจทยป์ ญั หา การประยกุ ต์ของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

28

ขัน้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
ขัน้ ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
พิจารณาความสมเหตุสมผล ....................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
..................................................................................................................

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั อัตราส่วนและรอ้ ยละ

29

คาช้ีแจง จงแสดงการแกโ้ จทยป์ ัญหาเกยี่ วกับร้อยละ
คะแนนเตม็ ขอ้ ละ 5 คะแนน

1ฐ.ิติทาเลขการบ้านผดิ ไป 6 ขอ้ ซงึ่ คดิ เป็นร้อยละ 30 ของจานวน
เลขการบา้ นทคี่ รใู ห้ จงหาวา่ ครใู ห้เลขการบ้านกขี่ อ้

วิธที า ....................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................
........................................................................................................................................

แบบฝึกทกั ษะการแก้โจทยป์ ญั หา การประยุกต์ของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

30

2น.า้ ปลา 150 แกลลอน มีน้าปลาแท้ 65% นอกน้นั เป็นนา้ จะตอ้ งเอา
น้าปลาแท้เติมลงไปกแ่ี กลลอนจงึ จะเปน็ นา้ ปลาแท้ 85%

วธิ ที า ....................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................
........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
....................................................................................................................................
........................................................................................................................................

แบบฝึกทกั ษะการแก้โจทย์ปัญหา การประยกุ ตข์ องสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

31

มาตรวจสอบความเขา้ ใจ
ด้วยการทาแบบทดสอบ

หลงั เรยี นนะครับ

คาช้ีแจง 1. ใหน้ กั เรยี นอ่านคาถามต่อไปน้ี แล้วเลือกคาตอบท่ถี ูกต้องทีส่ ุด
แลว้ ทาเครื่องหมาย X ลงในกระดาษคาตอบของนักเรยี น

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตัวเลอื ก จานวน 10 ข้อ
ข้อละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

1. ผสมสาร 2 ชนิด เพอ่ื เปน็ ปยุ๋ รดรอ่ งผกั กาด โดยใช้อตั ราสว่ นสาร A ต่อสาร B
เปน็ 2 : 5 ถา้ ตอ้ งการปยุ๋ ทีไ่ ดจ้ ากการผสมสาร 2 ชนิดนจ้ี านวน 56 ถัง จะตอ้ งใช้
สาร A และสาร B อย่างละก่ีถงั
ก. ใชส้ าร A 12 ถัง ใชส้ าร B 20 ถงั
ข. ใช้สาร A 14 ถัง ใชส้ าร B 20 ถงั
ค. ใช้สาร A 16 ถงั ใชส้ าร B 40 ถัง
ง. ใช้สาร A 18 ถงั ใช้สาร B 40 ถงั

2. สนามรูปส่เี หล่ียมผืนผา้ แปลงหน่ึงกวา้ ง 20 เมตร ยาว 30 เมตร ถ้าดา้ นกว้าง

เพิม่ ขึน้ 10% และดา้ นยาวลดลง 10% พื้นทใ่ี หม่ของสเ่ี หล่ียมผืนผ้ารูปนี้

เพ่มิ ขึ้นหรอื ลดลงก่ีเปอร์เซน็ ต์

ก. ลดลง 1% ข. ลดลง 2%

ค. เพ่มิ ข้ึน 1% ง. เพมิ่ ข้นึ 2%

3. นมผสมนา้ มนี มและน้าเป็นอัตราส่วนโดยนา้ หนกั 8 : 5 ต่อมาเตมิ น้าลงไป

22 กโิ ลกรัม ทาให้อตั ราส่วนกลายเป็น 12 : 13 จงหานา้ หนกั ของนม

ก. 52 กโิ ลกรัม ข. 50 กโิ ลกรมั

ค. 48 กิโลกรมั ง. 46 กิโลกรมั

แบบฝึกทกั ษะการแกโ้ จทย์ปญั หา การประยุกตข์ องสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

32

4. รา้ นขายเครอื่ งใช้ไฟฟาู แห่งหนงึ่ ตง้ั ราคาขายพัดลมไว้สองแบบ แบบแรกขาย

เอากาไร 952 บาท แบบท่ีสองขายเอากาไร 214 บาท และทาใหอ้ ัตราส่วน

ของราคาขายแบบทห่ี นง่ึ ต่อแบบทีส่ องเปน็ 4 : 3 จงหาว่าเดิมพดั ลมราคาเทา่ ใด

ก. 1,300 บาท ข. 1,400 บาท

ค. 1,500 บาท ง. 1,600 บาท

5. แมค่ รวั หงุ ข้าวผสมกับลูกเดอื ย โดยใช้อตั ราส่วนลกู เดือย 3 กระป๋อง
4
ข้าวสาร 2 กระปอ๋ ง สาหรบั รับประทาน 5 คน ถา้ ต้องการหงุ ข้าวผสมลูกเดอื ย

สาหรับรบั ประทาน 30 คน แม่ครวั จะตอ้ งใชข้ า้ วสารและลกู เดือยอย่างละเท่าใด

ก. ใชข้ ้าวสาร 12 กระปอ๋ ง ใชล้ ูกเดอื ย 4 1 กระปอ๋ ง
2
1
ข. ใช้ขา้ วสาร 12 กระป๋อง ใชล้ ูกเดือย 5 2 กระป๋อง

ค. ใชข้ ้าวสาร 10 กระป๋อง ใชล้ ูกเดอื ย 4 1 กระป๋อง
2
ง. ใชข้ ้าวสาร 10 กระป๋อง ใชล้ ูกเดือย 1 กระป๋อง
5 2

6. น้าปลา 150 แกลลอน มีนา้ ปลาแท้ 65% นอกนั้นเปน็ นา้ จะต้องเอานา้ ปลาแท้

เตมิ ลงไปก่ีแกลลอนจงึ จะเป็นน้าปลาแท้ 85%

ก. 150 แกลลอน ข. 200 แกลลอน

ค. 220 แกลลอน ง. 240 แกลลอน

7. ซอ้ื ท่ดี นิ 200 ตารางวา เปน็ เงิน 600,000 บาท แบง่ ขายที่ดนิ ไปคร่ึงหน่ึงเปน็ เงนิ

350,000 บาท จะต้องขายท่ีทเ่ี หลอื ไปเปน็ เงนิ เท่าใดจงึ จะได้กาไรทั้งหมด

คิดเป็นร้อยละ 20

ก. 370,000 บาท ข. 360,000 บาท

ค. 350,000 บาท ง. 340,000 บาท

แบบฝกึ ทกั ษะการแกโ้ จทย์ปัญหา การประยุกต์ของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกี่ยวกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

33

8. ร้านขายกาแฟบดสูตรพิเศษจากกาแฟสองชนิด กาแฟชนดิ แรกราคากิโลกรมั ละ

240 บาท กาแฟชนดิ ที่ 2 ราคากโิ ลกรัมละ 300 บาท ขายกาแฟสตู รบดพเิ ศษน้ี

ในราคากิโลกรมั ละ 360 บาท ได้กาไร 25% จงหาว่าอตั ราสว่ นของกาแฟ

ชนิดที่ 1 ตอ่ ชนดิ ท่ี 2 โดยน้าหนกั

ก. 1 : 6 ข. 1 : 4

ค. 3 : 4 ง. 4 : 5

9. ปัจจุบันอายุของนดิ และโตง้ มีอตั ราสว่ นเป็น 1 : 3 เมื่อ 4 ปีท่แี ล้วอายขุ องนิด

กบั โต้งมอี ัตราส่วนเปน็ 1 : 5 ปัจจุบันนดิ มีอายุกี่ปี

ก. 3 ปี ข. 6 ปี

ค. 8 ปี ง. 10 ปี

10. พอ่ ค้าซื้อผ้าลกู ไม้ 20 หลา และผ้าไหม 25 หลา เป็นเงิน 4,500 บาท ถ้าเขาขาย
ผ้าลกู ไมไ้ ปไดก้ าไร 15% เขาขายผ้าไหมไดก้ าไร 20% ทาให้เขาได้กาไรทง้ั หมด
750 บาท เขาซอื้ ผ้าลูกไม้และผา้ ไหมมาหลาละเทา่ ไร
ก. ผ้าลกู ไม้หลาละ 100 บาท ผา้ ไหมหลาละ 130 บาท
ข. ผา้ ลกู ไมห้ ลาละ 120 บาท ผา้ ไหมหลาละ 100 บาท
ค. ผ้าลกู ไมห้ ลาละ 140 บาท ผา้ ไหมหลาละ 80 บาท
ง. ผ้าลูกไมห้ ลาละ 150 บาท ผ้าไหมหลาละ 60 บาท

เอ! เราจะทา
แบบทดสอบ
ไดถ้ กู กข่ี อ้ นะ

แบบฝกึ ทักษะการแก้โจทยป์ ญั หา การประยุกตข์ องสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

34

คาชี้แจง 1. ใหน้ กั เรียนบนั ทึกคะแนนจากการทาแบบฝึกทักษะ แบบทดสอบ
กอ่ นเรยี นและหลงั เรียน

2. ให้ทาเครอื่ งหมาย ที่ช่องสรปุ ผล เมือ่ นกั เรียนผ่านเกณฑ์
หรอื ไม่ผ่านเกณฑ์ จากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
และหลงั เรยี น

ท่ี รายการ คะแนน คะแนน สรปุ ผล

เต็ม ท่ีได้ ผา่ น ไมผ่ ่าน

1 แบบทดสอบก่อนเรยี น 10

2 แบบฝกึ ทักษะที่ 1 10

3 แบบฝกึ ทักษะที่ 2 10

3 แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 10

3 แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4 10

4 แบบทดสอบหลังเรยี น 10

เกณฑก์ ารประเมนิ

การผา่ นเกณฑก์ ารประเมนิ
คะแนนเต็ม 10 ไดค้ ะแนนตั้งแต่ 8 คะแนนขน้ึ ไป

แบบฝึกทกั ษะการแกโ้ จทยป์ ญั หา การประยุกต์ของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกี่ยวกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

35

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และคณะ. สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ ม.2 เลม่ 2. กรงุ เทพฯ :
ภูมบิ ณั ฑิต, 2552.

โชคชัย สริ หิ าญอุดม. แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ม.2. กรงุ เทพฯ : เดอะบุคส์, 2553.
เทพฤทธ์ิ ยอดใส และอุดมศักด์ิ ลูกเสอื . ตะลยุ โจทย์ คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ม.2.

กรงุ เทพฯ : รุ่งเรอื งสาส์นการพิมพ์, 2550.
ประวตั ิ เพียรเจริญ. คณิต ม.ตน้ ทบทวนได้งา่ ย ๆ ใน 8 วนั . กรุงเทพฯ : เยลโล่

การพมิ พ,์ 2553.
รังสรรค์ มณีเล็ก และคณะ. คณิตศาสตร์ ม.2 สมบูรณ์แบบ เล่ม 2. กรุงเทพฯ :

วัฒนาพานชิ , 2548.
เลศิ เกสรคา. คสู่ ร้างคณิตศาสตร์ ม.2 เลม่ 2. กรงุ เทพฯ :ไทยร่มเกล้า, 2550.
วัชรพงศ์ โกมุทธรรมวบิ ูลย์ และคณะ. แผนการจัดการเรยี นรู้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้

คณิตศาสตร.์ รุ่งเรอื งสาสน์ การพมิ พ์, 2550.
เสนห่ ์ ผดุงญาติ. คมู่ อื คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ม.2 เลม่ 2. กรงุ เทพฯ : SCIENCE

CENTER, 2550.
ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. คูม่ อื ครสู าระการเรียนรู้พนื้ ฐาน

คณิตศาสตร์ เลม่ 2 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 2.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรสุ ภา ลาดพรา้ ว, 2551.
. หนังสอื เรียนสาระการเรยี นร้พู ืน้ ฐานคณติ ศาสตร์ เลม่ 2 กลมุ่ สาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2. พมิ พ์ครง้ั ที่ 5. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ รุ ุสภา
ลาดพรา้ ว, 2551.

แบบฝกึ ทักษะการแกโ้ จทย์ปัญหา การประยกุ ต์ของสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกีย่ วกับอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

36

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกีย่ วกบั อัตราสว่ นและรอ้ ยละ

37

น1ุช. ซือ้ เงาะและมงั คดุ มาขายจานวนหนง่ึ โดยท่อี ตั ราสว่ นน้าหนกั

ของเงาะตอ่ นา้ หนกั ของมังคุด เป็น 4 : 5 เม่อื ขายเงาะไป
15 กิโลกรมั และมังคุดไป 42 กโิ ลกรมั นชุ สง่ั ซอ้ื มังคุดมาเพิ่มอีก 30 กโิ ลกรมั
ทาให้อตั ราส่วนน้าหนักของเงาะที่เหลอื ตอ่ น้าหนักของมังคดุ ทม่ี ีอยู่ทั้งหมด
เป็น 5 : 7 จงหาวา่ เดิมนชุ มีเงาะและมงั คุดอยชู่ นิดละก่กี โิ ลกรัม

วิธที า ข้นั ที่ 1 ทาความเขา้ ใจโจทยป์ ัญหา

1) สิ่งทโ่ี จทยก์ าหนดมาให้

คอื - นุชซือ้ เงาะและมังคุดมาขายจานวนหนง่ึ โดยทอ่ี ตั ราส่วนนา้ หนัก

ของเงาะต่อนา้ หนักของมงั คดุ เป็น 4 : 5

- เม่ือขายเงาะไป 15 กโิ ลกรมั และมังคดุ ไป 42 กิโลกรัม

นชุ สัง่ ซื้อมงั คดุ มาเพม่ิ อีก 30 กโิ ลกรัม ทาให้อัตราสว่ นน้าหนกั

ของเงาะทีเ่ หลือต่อนา้ หนักของมงั คุดที่มีอยู่ทั้งหมด เปน็ 5 : 7

2) สิ่งท่โี จทย์ตอ้ งการใหห้ า

คือ เดิมนชุ มเี งาะและมังคดุ อยชู่ นดิ ละกีก่ ิโลกรมั

ขัน้ ที่ 2 วางแผนแกโ้ จทย์ปญั หา

เน่อื งจากอัตราส่วนน้าหนักของเงาะต่อน้าหนกั ของมังคดุ เปน็ 4 : 5

ถ้าเดิมให้น้าหนกั ของเงาะเปน็ 4a กิโลกรัม เมอ่ื a เปน็ จานวนเต็มบวก

แลว้ น้าหนกั ของมังคดุ เป็น 5a กิโลกรมั

ขายเงาะไป 15 กิโลกรัม และมังคุด 42 กิโลกรมั และซอื้ มังคุดมาเพมิ่ อีก 30 กิโลกรมั

เหลือเงาะอยู่ 4a – 15 กิโลกรมั

เหลือมังคดุ อยู่ 5a – 42 + 30 = 5a - 12 กิโลกรัม

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกตข์ องสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกีย่ วกับอัตราสว่ นและรอ้ ยละ

38

ขนั้ ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน

เนื่องจากอตั ราสว่ นน้าหนักเงาะทเ่ี หลือตอ่ น้าหนกั มงั คดุ ท่ีมีอยู่ทงั้ หมด เป็น 5 : 7
4a 15 5
เขียนสัดสว่ น 5a 12  7

ใช้การคณู ไขวไ้ ด้ สมการ 7(4a - 15) = 5(5a - 12)

28a – 105 = 25a – 60

28a – 25a = -60 + 105

3a = 45

a = 15

ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทนค่า a = 15 ในสมการ 7(4a - 15) = 5(5a - 12) จะได้

7(4 x 15 - 15) = 5(5 x 15 - 12)

7(45) = 5(63)

315 = 315 เป็นจรงิ

พิจารณาความสมเหตุสมผล

เนอ่ื งจากอัตราส่วนนา้ หนกั ของเงาะต่อนา้ หนักของมงั คุด เปน็ 4 : 5

ถา้ เดิมให้นา้ หนักของเงาะเป็น 4 x 15 = 60 กิโลกรมั

แล้วนา้ หนกั ของมังคดุ เป็น 5 x 15 = 75 กิโลกรัม

ขายเงาะไป 15 กิโลกรมั และมงั คดุ 42 กิโลกรัม และซ้ือมงั คดุ มาเพิ่มอีก 30 กโิ ลกรมั

เหลือเงาะอยู่ 4 x 15 – 15 = 45 กโิ ลกรมั

เหลือมงั คุดอยู่ 5 x 15 – 12 = 63 กิโลกรัม

อัตราส่วนนา้ หนักเงาะทเ่ี หลือตอ่ น้าหนกั มงั คุดทีม่ อี ยู่ท้งั หมด เปน็ 45 5
63  7

ดังนั้น เดิมนชุ มีเงาะ 60 กิโลกรัม และมมี งั คุด 75 กิโลกรมั

แบบฝกึ ทักษะการแก้โจทยป์ ัญหา การประยุกตข์ องสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกบั อัตราสว่ นและรอ้ ยละ

39

ป2ัจ. จุบันอนาดิ ยกุขบั อนงนอ้ ดิยกมบัีอานย้อุเยปมน็ อี อัตตั รราาสสว่ ว่ นนเป2น็ : 7 : เมอ่ื 2 ปีที่แล้ว
1 6 ปจั จุบนั นดิ กับนอ้ ย

มีอายุรวมกันกี่ปี

วิธที า ขั้นท่ี 1 ทาความเขา้ ใจโจทยป์ ัญหา
1) สงิ่ ที่โจทย์กาหนดมาให้
คือ - ปัจจุบนั นดิ กบั น้อยมอี ายุเปน็ อตั ราส่วน 2 : 7
- เมอ่ื 2 ปีทีแ่ ล้วอายุของนิดกบั น้อยมอี ัตราสว่ นเป็น 1 : 6

2) สิง่ ทโี่ จทยต์ อ้ งการให้หา
คือ อายรุ วมกันของนดิ กบั น้อยในปัจจบุ ัน

ข้ันท่ี 2 วางแผนแกโ้ จทย์ปญั หา

เนอ่ื งจากปัจจุบันนดิ กับนอ้ ยมีอายเุ ปน็ อัตราสว่ น 2 : 7

ถ้าให้ปจั จุบนั นิดมีอายุ 2m ปี เมื่อ m เปน็ จานวนเตม็ บวก

แล้วปัจจบุ นั นอ้ ยมีอายุ 7m ปี

เมอื่ 2 ปีที่แลว้

นิดมอี ายุ 2m – 2 ปี

น้อยมีอายุ 7m – 2 ปี

แบบฝกึ ทักษะการแกโ้ จทย์ปญั หา การประยุกตข์ องสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั อตั ราส่วนและรอ้ ยละ

40

ข้นั ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน
เม่ือ 2 ปที ่ีแลว้ อายขุ องนิดกบั นอ้ ยมอี ตั ราสว่ นเป็น 1 : 6

เขยี นสัดสว่ น 2m  2  1
7m  2 6

ใช้การคูณไขวไ้ ด้ สมการ 6(2m - 2) = 7m – 2

12m – 12 = 7m – 2

12m – 7m = -2 + 12

5m = 10

m=2

ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทนค่า m = 2 ในสมการ 6(2m - 2) = 7m – 2 จะได้

6(2 x 2 - 2) = 7 x 2 – 2

6(2) = 12

12 = 12 เป็นจรงิ

พจิ ารณาความสมเหตสุ มผล

เนอื่ งจากปัจจุบนั นิดกับน้อยมอี ายเุ ปน็ อัตราสว่ น 2 : 7

ถา้ ใหป้ ัจจุบนั นิดมีอายุ 2 x 2 = 4 ปี

แล้วปัจจุบันนอ้ ยมอี ายุ 7 x 2 = 14 ปี

เมื่อ 2 ปีทแ่ี ลว้

นดิ มีอายุ 2 x 2 – 2 = 2 ปี

นอ้ ยมอี ายุ 7 x 2 – 2 = 12 ปี

เม่ือ 2 ปีท่แี ลว้ อายุของนดิ กบั นอ้ ยมีอตั ราส่วนเป็น 21
12  6

ดงั นนั้ ปัจจุบันนิดกบั น้อยมีอายุรวมกนั 4 + 14 = 18 ปี

แบบฝกึ ทักษะการแก้โจทย์ปัญหา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกบั อตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

41

1. ดวงใจและไพจิตรมเี งนิ เป็นอตั ราส่วน 7 : 11 ถ้าไพจติ รได้เงนิ เพมิ่
อีก 85 บาท เงินของไพจติ รจะเปน็ 4 เท่าของดวงใจ ดวงใจมเี งินกบี่ าท

วธิ ีทา กาหนดให้ ดวงใจมเี งิน y บาท

เนือ่ งจากดวงใจและไพจติ รมเี งนิ เป็นอัตราส่วน 7 : 11

ดวงใจมเี งิน 7y บาท

ไพจติ รมีเงนิ 11y บาท

ไพจติ รได้เงนิ เพ่มิ อกี 85 บาท รวมเปน็ เงิน 11y + 85 บาท

เงินของไพจติ รจะเปน็ 4 เท่าของดวงใจ
7y 1

เขียนสดั ส่วน 11y  85  4

ใช้การคณู ไขว้ได้ สมการ 4(7y) = 11y + 85

28y = 11y + 85

28y – 11y = 85

17y = 85

y=5

ตรวจสอบคาตอบ แทนค่า y = 5 ในสมการ 4(7y) = 11y + 85 จะได้

4(7 x 5) = 11 x 5 + 85

140 = 140 เปน็ จริง

พิจารณาความสมเหตสุ มผล ดวงใจและไพจิตรมเี งนิ เป็นอตั ราสว่ น 7 : 11

ดวงใจมีเงิน 7 x 5 = 35 บาท

ไพจติ รมีเงิน 11 x 5 = 55 บาท

ไพจติ รไดเ้ งนิ เพ่ิมอกี 85 บาท เป็นเงิน 55 + 85 = 140 บาท
35 1
เงนิ ของไพจติ รจะเป็น 140  4 เท่าของดวงใจ

ดังน้ัน ดวงใจมีเงนิ 35 บาท

แบบฝกึ ทักษะการแกโ้ จทยป์ ญั หา การประยุกตข์ องสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 2

เลม่ ท่ี 8 : การแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกบั อัตราส่วนและรอ้ ยละ

42

2ส.ี่เหลี่ยมจตั ุรสั สองรปู มอี ตั ราสว่ นของดา้ นเปน็ 4 : 5 ถ้าสีเ่ หล่ียม
จัตรุ ัสใหญ่ มีดา้ นยาวยาวกว่าส่ีเหลี่ยมจัตุรสั เลก็ อยู่ 5 นิ้ว จงหาพื้นท่ี

ของส่เี หลีย่ มจตั ุรัสรูปเล็ก

วธิ ีทา กาหนดให้ สเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสรูปเลก็ มีดา้ นยาวยาว n น้ิว

สเ่ี หลี่ยมจัตุรสั ใหญ่ มีด้านยาวยาวกว่าส่ีเหลยี่ มจตั รุ สั เลก็ อยู่ 5 นิว้

แสดงวา่ สีเ่ หลย่ี มจตั รุ ัสรปู ใหญม่ ีดา้ นยาวยาว n + 5 น้ิว

เนื่องจากสเี่ หล่ยี มจัตุรสั สองรูปมีอตั ราส่วนของด้านเป็น 4 : 5

เขียนสัดส่วน n n 5  4
5


ใช้การคณู ไขวไ้ ด้ สมการ 5n = 4(n + 5)

5n = 4n + 20

5n – 4n = 20

n = 20

ตรวจสอบคาตอบ แทนค่า n = 20 ในสมการ 5n = 4(n + 5) จะได้

5n = 4(n + 5)

5 x 20 = 4(20 + 5)

100 = 100 เปน็ จรงิ

พิจารณาความสมเหตสุ มผล

ส่เี หล่ียมจตั รุ สั รปู เล็กมีดา้ นยาวยาว 20 น้วิ

ส่เี หลยี่ มจัตุรสั ใหญ่ มดี ้านยาวยาวกว่าส่ีเหลยี่ มจตั ุรัสเล็กอยู่ 5 นว้ิ

แสดงวา่ สเี่ หล่ียมจัตรุ สั รปู ใหญม่ ดี า้ นยาวยาว 20 + 5 = 25 นวิ้

สี่เหลี่ยมจตั รุ ัสสองรปู มีอัตราสว่ นของด้านเป็น 20 4
25  5
ดงั น้นั สเี่ หล่ียมจัตุรัสรปู เล็กมพี ้นื ท่ี 20 x 20 = 400 ตารางนิว้

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้โจทย์ปัญหา การประยกุ ต์ของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกี่ยวกบั อัตราสว่ นและรอ้ ยละ

43

จ1ะ.ต้องปดิ ราคาสนิ คา้ ไว้เท่าใด เมอื่ ลดราคาให้ผูซ้ อื้ 10%
แล้วยังจะได้กาไร 20% ถา้ ราคาต้นทนุ ของสินค้า 150 บาท

วธิ ีทา ข้นั ที่ 1 ทาความเขา้ ใจโจทยป์ ญั หา
1) สิง่ ท่โี จทย์กาหนดมาให้
คือ - ลดราคาสนิ ค้าให้ผู้ซือ้ 10% แล้วยงั จะได้กาไร 20%
- ราคาต้นทนุ ของสนิ ค้า 150 บาท

2) สง่ิ ที่โจทย์ต้องการใหห้ า
คือ ราคาสินคา้ ท่ปี ดิ ราคาไว้

ข้นั ท่ี 2 วางแผนแกโ้ จทย์ปญั หา
ลดราคา 10% หมายความว่า

สินค้าปิดราคาไว้ 100 บาท ลดราคาให้ 10 บาท
ถ้าสนิ ค้าปิดราคาไว้ t บาท ราคาขาย t – 10 บาท
กาไร 20% หมายความว่า
ราคาต้นทุนสนิ คา้ 100 บาท ราคาขาย 120 บาท

แบบฝึกทกั ษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยกุ ต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั อตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

44

ขนั้ ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน
ลดราคาสินค้า 10% แล้วยังได้กาไร 20% จากราคาตน้ ทนุ 150 บาท

เขยี นสัดส่วน ราคาขาย t -10 120
ราคาทุน 150  100

ใชก้ ารคณู ไขว้ได้ สมการ 100(t - 10) = 150 x 120
100t – 1,000 = 18,000
100t = 18,000 + 1,000
100t = 19,000
t = 190

ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทนค่า t = 190 ในสมการ 100(t - 10) = 150 x 120 จะได้
100(190 - 10) = 150 x 120
18,000 = 18,000 เปน็ จริง

พิจารณาความสมเหตสุ มผล

ราคาขาย 190 บาท หลังลดราคาให้ 10

แสดงว่าปิดราคาขายไว้ 190 + 10 = 200 บาท

ลดราคา 10% สนิ ค้าปดิ ราคาไว้ 100 บาท ลดราคาให้ 10 บาท

ถ้าสินค้าปิดราคาไว้ 200 บาท ลดราคาให้ 20010  20 บาท
100
ราคาขาย 200 – 20 =180 บาท จากราคาทุน 150 บาท

กาไร 20% ราคาขาย 120 บาท จากราคาทุน 100 บาท

ราคาขาย 180 120
ราคาทุน คือ 150  100
66
55

ดังนน้ั ปิดราคาสนิ ค้าไว้ 200 บาท

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้โจทย์ปญั หา การประยกุ ตข์ องสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทย์ปญั หาเกี่ยวกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ

45

น2า้ .นมจจานะตวนอ้ ง2ผ0ส0มนลมิตแรทม้ลเี นงไอ้ื ปนอมีกแกทลี่ ้ ิต7ร0%จึงจนะอทกานใัน้หมเ้ ปนี ็นา้ นปมนแท้ 80%

วิธีทา ขั้นท่ี 1 ทาความเขา้ ใจโจทยป์ ัญหา
1) ส่งิ ท่โี จทยก์ าหนดมาให้
คือ น้านมจานวน 200 ลติ ร มเี นื้อนมแท้ 70% นอกนนั้ มนี า้ ปน
ต้องการทาให้เป็นนมแท้ 80%

2) สง่ิ ที่โจทยต์ อ้ งการใหห้ า
คอื ปริมาณนมแทท้ ีต่ ้องผสมลงไป

ข้ันท่ี 2 วางแผนแก้โจทย์ปญั หา
กาหนดให้ ผสมน้านมแทล้ งไปอีก b ลิตร

นา้ นม 200 ลิตร มีนา้ นมแท้อยู่ 70% นอกนน้ั เป็นนา้ หมายความว่า
น้านม 100 ลติ ร มีนา้ นมแท้อยู่ 70 ลิตร
นา้ นม 200 ลิตร มนี า้ นมแท้ 70200 140 ลิตร เป็นน้า 200 – 140 = 60 ลติ ร

100
ตอ้ งการใหส้ ว่ นผสมมีน้านมแท้ 80% หมายความว่า
น้านม 100 ลิตร มีน้านมแท้ 80 ลิตร มนี า้ อยู่ 100 – 80 = 20 ลิตร

แสดงวา่ สว่ นผสมใหม่ มนี ้านมแท้ 140 + b ลติ ร มีนา้ อยู่ 60 ลิตร

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทย์ปัญหา การประยุกตข์ องสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 2

เล่มท่ี 8 : การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั อัตราสว่ นและรอ้ ยละ

46

ขนั้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน

ต้องการทาให้เป็นนมแท้ 80% 140  b 80
60 20
เขียนสัดสว่ น 

ใชก้ ารคูณไขว้ได้ สมการ 20(140 + b) = 60(80)

2,800 + 20b = 4,800

20b = 4,800 – 2,800

20b = 2,000

b = 100

ข้ันท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทนค่า b = 100 ในสมการ 20(140 + b) = 60(80) จะได้

20(140 + 100) = 60(80)

4,800 = 4,800 เป็นจรงิ

พิจารณาความสมเหตุสมผล
ผสมน้านมแท้ลงไปอกี 100 ลติ ร เดิมมีน้านมแท้ 140 ลิตร มนี ้า 60 ลติ ร
จะมนี ้านมแท้ 140 + 100 = 240 ลติ ร น้านมท้ังหมด 240 + 60 = 300 ลิตร
ต้องการให้สว่ นผสมมีน้านมแท้ 80%

นา้ นมผสมใหม่ 300 ลติ ร มนี ้านมแท้อยู่ 240 ลิตร

น้านมผสมใหม่ 100 ลิตร มีน้านมแท้อยู่ 240100  80 ลติ ร
300

ดงั น้นั ต้องผสมนา้ นมแทล้ งไปอีก 100 ลิตร

แบบฝึกทักษะการแกโ้ จทยป์ ัญหา การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2