PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI

Modul Matematika Peminatan Kelas XI

Disusun Oleh: Lilik Mindarti, S.Pd

Jaring – Jaring Tema My Project

(Identitas Trigonometri)
Konsep Sudut Istimewa

(Persamaan Trigonometri)
Persamaan Trigonometri
bentuk 2 + + = 0

Kata Pengantar

Segala puji senantiasa disampaikan kepada Allah SWT yang telah memberikan kekuatan dan
rahmat-Nya sehingga penyusunan Modul Matematika Peminatan Kelas XI ini dapat berjalan
lancar. Modul Matematikan Peminatan Kelas XI ini disusun sebagai pegangan peserta didik dan
pendidik dalam melaksanakan proses pembelajaran.
Modul Pembelajaran Matematika Peminatan Kelas XI disusun dengan kerja keras penulis dan
tentu saja pihak-pihak yang turut berperan di dalamnya. Karena itu, secara khusus penulis
mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut membantu dalam menyelesaikan
penyusunan laporan ini.

1. Bapak Luqman, S.Pd, M.Pd selaku Kepala Sekolah SMA Islam Sabilillah Malang
Boarding School.

2. Ibu Anisa Rahma, S.Pd selaku Waka Kurikulum SMA Islam Sabilillah Malang
Boarding School.

3. Bapak Ghulam Nurul Wildan, S.Pd.I selaku PLT Kurikulum
4. Teman sejawat Ibu Rani Kusuma Wardhani, S.Pd, Ibu Nurul Trisnawati, S.Pd dan Ibu

Muchibatus Sa’adah S,Pd yang selalu memberikan saran
5. Seluruh Bapak/Ibu guru SMA Islam Sabilillah Malang Boarding School
Modul ini memberikan kontribusi dalam proses pembelajaran matematika peminatan pada
jenjang kelas XI MIPA di SMA Islam Sabilillah Malamg Boarding School. Tidak ada manusia
yang sempurna, karena itu penulis senantiasa memohon maaf kepada pembaca apabila masih
menemukan kesalahan dalam penulisan.
Penulis juga mengharap akan adanya kritik dan saran membangun dari pembaca, dengan begitu
dapat meningkatkan dan membantu penulis untuk terus berkembang di masa depan.
Akhir kata, semoga modul yang tersusun ini dapat menambah wawasan bagi pembaca secara
umum dan penulis secara khusus. Semoga dari modul ini dapat memberikan manfaat bagi
penulis lain.

Malang, 7 Oktober 2021

Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar
Daftar Isi
Pejuntuk Penggunanan Modul
Tujuan Pembelajaran Modul
Pengantar Modul
BAB I IDENTITAS TRIGONOMETRI

UNIT 1 Perbandingan Sisi Segitiga
UNIT 2 Identitas Trigonometri Jumlah dan Selisih 2 sudut
UNIT 3 Sudut Rangkap
UNIT 4 Identitas Perkalian, Penjulahan/Selisih Fungsi
EVALUASI
BAB II PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
UNIT 1 Persamaan Dasar Trigonometri
UNIT 2 Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat
UNIT 3 Persamaan Trigonometri Bentuk cos + sin =
UNIT 4 Pertidaksamaan Trigonometri
EVALUASI
GLOSARIUM
DAFTAR PUSTAKA

Petunjuk Penggunaan Modul

Modul ini berisi tentang konsep dan operasi matematika menggunakan aturan sinus dan
cosinus, fungsi trigonometeri serta penerapan, penggunaan dan penyelesaian masalah kontektual
yang melibatkan trigonomteri dalam kehidupan sehari – hari. Sebelum mempelajari modul ini
Ananda harus mengenal materi prasyarat yaitu tentang konsep pengukuran dan satuan sudut,
sifat – sifat dari sudut dan perbandingan dari sisi – sisi pada segitiga.

Untuk memastikan tingkat penguasaan Ananda terhadap materi yang telah diberikan,
Ananda dapat mengerjakan Latihan operasi hitung yang melibatkan fungsi aljabar yang di
kenalkan pada awan modul ini. Cara belajar dengan menggunakan modul ini bisa dilakukan
secara mandiri meskipun tidak dalam pendampigan pendidik/guru. Tata cara penggunaan modul
ini adalah sebagai berikut:
a. Mengikuti jadwal kontrak belajar yang telah disepakati dengan guru
b. Membaca dan memahami uraian pembelajaran
c. Mengidentifikasi materi pembelajaran yang sulit atau perlu bantuan konsultasi dengan guru,

sedangkan materi yang dirasa mudah bisa di pelajari secara mandiri.
d. Melaksanakan tugas – tugas yang terdapat dalam modul dengan benar untuk bisa lebih

memahami materi pembelajaran.
e. Mengerjakan soal penialaian akhir modul untuk lebih memahami materi pembelajaran dengan

benar.
f. Apabilan mengalami kesulitan bisa berkonsultasi dengan guru atau teman sejawat yang dirasa

bisa merancang akternatif penyelesaian.
g. Apabila mengalami kesulitan dan ingin mendalami lebih lanjut tentang uaraian materi,

melaksanakan tugas pembelajaran, latihan dan soal yang diberikan dirasa belum cukup, maka
Ananda bisa mencari dan mempelajari referensi yang lain lebih lanjut.

Tujuan Pembelajaran Modul

Tujuan dari pembelajaran modul ini, adalah agar:
1.Memahami konsep perbandingan trigonomteri, aturan sinus dan cosinus, dan penggunaannya

dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari.
2.Terampil melakukan operasi matematika yang melibatkan aturan sinus dan cosinus serta

penggunaannya dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari hari
3.Terbentuk dan memiliki sikap kemandirian, berfikir dan bertindak secara logis, tidak mudah

menyerah, percaya diri menggunakan matematika dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan
teknologi dalam kehidupan sehari – hari.

Pengantar Modul

Dalam kehidupan sehari – hari banyak sekali benda atau bangunan yang memiliki sudut atau
pojok tertentu. Bentuk dari sudut – sudut yang berada di alam semesta terbentuk dengan
sendirinya, seperti sudut dahan dengan ranting pohon, lekukan bebatuan, bayangan benda karena
sinar matahari yang membentuk sudut dan lain sebagainya. Akan tetapi dalam kehidupan sehari-
hari juga terdapat bentuk sudut yang sengaja di rancang, seperti penggaris yang berbentuk
segitiga, sudut antara dua sisi tembok, sudut antara dua ruas jalan yang bersilangan, sudut yang
terbentuk antara jarum pendek dan jarum panjang pada jam, model atap rumah dan masih banyak
lagi yang lainnya.

Ilmu ukur terhadap sudut secara khusus dipelajari dalam trigonomteri yang mengkaji hubungan
anatara sisi dan sudut dalam suatu segitiga dan sifat – sifat serta aplikasinya dalam berbagai
bidang seperti penaksiran tinggi gedung, jarak mendatar puncak gunung terhadap lembahnya,
dan sebagainya. Pada mulanya trigonomteri di terapkan dalam navigasi, survei dan pemetaan
serta astronomi, yang hanya menekankan pada penentuan jarak secara langsung dan secara tidak
langsung. Aplikasi lainnya di terapkan pada fisika, kimia, engineering, topografi dan lain
sebagainya. Satuan sudut yang bisa digunakan adalah derajat (menggunakan simbol ° ) atau
radian (tanpa simbol). Perhatikan perbandingan segitiga siku – siku berikut

B


AC

Gambar 1. Segitiga siku - siku

Besar sudut C atau < adalah , maka perbandingan sisi yang di hadapi oleh sudut  terhadap
sisi miring disebut denan sinus (disingkat sin) dan perbandingan sisi samping  terhadap sisi miring
disebut dengan cosinus (disingkat cos) dan perbandingan sisi depan sudut  terhadap samping
disebut dengan tangen (disingkat tan). Perbandingan lainnya yang berkebalikan dari tiga sudut
tersebut adalah cosecan (disingkat csc), secan (disingkat sec) dan cotangen (disingkat cot) yang
disedinisikan sebagai berikut:

= ; ∝ = ∝ = dan ∝=
∝ ∝

BAB I
IDENTITAS TRIGONOMETRI

Capaian Pembelajaran

Berikut ini adalah capaian pembelajaran pada BAB I materi Identitas Trigonometri

Domain Capaian Pembelajaran Tabel 1.1

Geometri Menentukan Perbandingan Sub Capaian Pembelajaran
Trigonomteri dan memecahkan
masalah yang melibatkan segitiga Siswa mampu menentukan Jumlah dan Selisih dua sudut pada
siku siku. Trigonomteri

Siswa mampu menentuka perkalian sudut rangkap dan perkalian
trigonometri
Siswa mampu memecahkan masalah sehari – hari yang berkaitan
dengan trigonometri
Siswa mampu Menyusun masalah sehari – hari yang berkaitan
dengan trigonomteri

Peran Guru dan Siswa

Dalam pelaksanaan proses pembelajaran, tidak hanya guru yang berperan aktif akan tetapi siswa dan
orang tua memiliki peran penting selama proses pembelajaran berlangsung.

Teacher Parents Students

Guru memiliki peran dalam Orang tua memiliki peran Siswa memiliki peran dalam
proses pembelajaran ini dalam proses pembelajaran ini proses pembelajaran ini

sebagai: sebagai: sebagai:

➢ Fasilitaor dalam proses ➢ Memotivasi peserta didik ➢ Memotivasi diri sendiri
pembelajaran. untuk tetap rajin belajar untuk terus semangat
belajar
➢ Menyediakan bahan ajar ➢ Selalu mendo’akan
untuk peserta didik kebaikan Ananda ➢ Mencari sumber belajar
lain selain yang di
➢ Menyediakan media untuk ➢ Berkomunikasi dengan berikan oleh guru
pembelajaran peserta didik
➢ Menggali informasi
➢ Memotivasi peserta didik sebanyak mungkin dari
materi

Unit I

Perbandingan Sisi – sisi Pada Segitiga
Siku-siku

TimeWondering
TimePerhatikan gambar berikut ini, sebelum kita mempelajari materi inti dari trigonomteri !!

m

B1

o A1 I

Gambar 2: Ketinggian Pohon dan Tongkat Kayu Gambar 3: Perbandingan ketinggian tongkat

Ilustrasi Permasalahan:

Ketika hari minggu Ali penasaran dengan ketinggian pohon cemara yang berada di area
taman tempatnya berolahraga. Dia menancapkan tongkat yang dia bawa di atas tanah
hingga panjang bayangan dari tongkat dan pohon sama. Seketika itu Ali teringat dengan
konsep dasar trigonometri yang dia pelajari di sekolah dan sebagai pekerjaan rumah !

Investigasi Time

Permasalahan yang diberikan oleh guru Ali adalah:
Garis I dam m sama sama berpotongan di O dan membentuk sudut sebasar  dan garis B1A1 ,
B2A2 , B3A3 adalah tegak lurus dengan garis I.

a. Jiplaklah gambar gambar 3 diatas dan ukurlah panjang OB1, OB2, OB3, serta panjang
garis dari OA1, OA2, OA3.

b. Ukurlah besar sudut . Tentukan perbandingan dari A1B1: OB1, A2B2: OB2, dan A3B3:
OB3. Apakah kesimpulan kalian? Jelaskan !

c. Apabila nilai dari  berubah apakah perbandingan sisi-sisi tersebut juga akan berubah?
Jelaskan !

Lembar Jawaban
Hasil Investigasi

Dari kegiatan investigasi tersebut dapat ditarik sebuh kesimpulan bahwa perbandingan sisi – sisi
segitiga siku – siku yang dihadapi suatu sudut adalah tertentu.
Perhatikan gambar berikut.

Gambar 4: Segitiga Siku - siku

Disimpulkan:
1. Perbandingan sisi yang di hadapi oleh < terhadap sisi miring disebut……
2. Perbandingan sisi yang dekat dengan < terhadap sisi miring disebut…….

MateriRangkuman
Materi

A. PENGERTIAN TRIGONOMTERI
Arti terigonometri adalah ilmu ukur segitiga atau pengukuran segitiga. Trigonometri
merupakan ilmu yang mempelajari tentang sudut dan fungsinya. Aplikasi matematikanya
salah satunya adalah dalam bidang keteknikan banyak menggunakan hubungan antara sudut –
sudut dan sisi – sisi segitiga. Hubungan tersebut disebut dengan fungsi trigonometri.

C Jika semua sisi pada segitiga tersebut kita bandingkan seperti
Gambar 5: Setigita siku -siku
, , , dan seterusnya. Maka dalam perbandingan sudut – sudut



pada segitiga siku – siku ada istilah trigonometri yang menyatakan

hal-hal berikut ini:

B. PERBANDINGAN TRIGONOMTERI PADA SISTEM KOORDINAT

Prinsip trigonometri pada segitiga siku – siku juga diterapkan dalam sistem koordinat

kartesius. Perbedaanya, pada sistem koordinat, terdapat 4 kuadran/ruang dan perbandingan

trigonomteri dapat negatif, 90°
Sin  (+)
Sin  (+) Cos (+)
Cos (-)
Tan  (-) Tan  (+)

Sin(+) Semua (+)

180° Kuadran II Kuadran I 0°/360°

Sin  (-) Sin  (-)
Cos (-) Cos (+)
Tan  (+) Tan  (-)

tan (+) cos (+)
Kuadran III Kuadran IV

270°

REFERENCE ANGLE (SUDUT PATOKAN)
Kegunaan dari RA ini adalah untuk menentukan perbandingan trigonometri:
a.Pada segitiga
b.Pada sistem koordinat
Dalam segitiga, rentang sudut adalah 0° − 180°, akan tetapi dalam sistem koordinat, rentang
sudutnya adalah 0° − 360°. Reference Angel merupakan suatu sudut antara 0° − 90° (sudut
lancip) yang digunakan untuk mengkonversi/mengubah besar sudut dalam sistem koordinat.
Jadi berapapun besar sudut dalam sistem koordinat, pasti bisa dinyatakan dengan RA.
Mengapa RA sangat dibutuhkan ? Karena tidak semua ananda mampu mengingat semua
besaran nilai yang terdapat di dalam sudut istimewa.

Tabel 1. Tabel Sudut Istimewa

Untuk mencegah agar yang tidak hafal terhadap rumus – rumus tersebut, maka digunakanlah

prinsip RA yang lebih sederhana. Kita cukup menghafal nilai perbandingan dari trigonomteri

(sin,cos dan tan) yang berada di kuadran I saja. Sehingga dapat disimpulkan prinsip menentukan

RA adalah:

1. RA selalu dibentuk terhadap sumbu x.

2. Ukuran sudut yang diminta ke sumbu x.

3. Gunakan prinsip nilai trigonometri di berbagai kuadran.

Misalnya: ° = ( ° − °) = ° = √


1. Suatu ABC siku – siku di C. Apabila sin A = 0,5, tentukan:
a. cos A dan tan A
b. sec A dan cot A

2. Seseorang melihat puncak pohon dengan sudut . Apabila cos  = 0,5 dan jarak orang
tersebut ke pohon adalah 20 meter. Tentukan:
a. Sketsa kedudukan pohon dan orang yang mengamati
b. Tinggi pohon tesebut

3. Suatu ABC siku – siku di B dan sudut BAC = 30°. Apabila AC=20 cm. Tentukan panjang
AB dan BC.

4. Seorang anak memandang sebuah pohon dengan sudut 60°. Apabila jarak anak tesebut 60
meter dari pohon, tentukan tinggi pohon tersebut.

5. Segitiga ABC siku – siku di C. Nilai dari sin A= t, tentukan nilai trigonometri berikut yang di
nyatakan dalam t, untuk cos A, tan A, sec B, sin B.

Refleksi Pembelajaran

Setelah Ananda mengikuti proses pembelajaran dalam memahami prissip dasar trigonomteri,
isilah kegaiatan refleksi hari ini sesuai dengan apa yang Ananda rasakan dan dapatkan selama
proses pembelajaran.
What I know ?

Bagaimana cara Ananda memahami prinsip dasar trigonometri?

Hal apa saja yang sudah Ananda peroleh selama proses pembelajaran ?

TTD Guru:
____________________

Rubrik
Penilaian

Panduan Penskoran

No Kunci Jawaban Skor
3
Diketahui : sin A = . 5
6
6
3
Ditanya: nilai cos A dan tan A
5
nilai sec A dan cot A
5
Penyelesaian:
B

2 = √22 − 12 = √4 − 1 = √3
1

C A

1. = √


= √


= √

= √

Diketahui: = .
Jarak = 20 meter

Ditanya: sketsa
Tinggi pohon

Penyelesaian:

2. 20 m

 = .
0,5 =

( )

=
= √ −

No Kunci Jawaban Skor
= √ − 7
5
= √ −
5
= √ 5
5
= , 7

Jadi tinggi pohon yang di amati oleh anak tersebut adalah 34,64 m

Diketahui: ABC siku – siku di B

BAC = °.

AC=20 cm

Ditanya: AB dan BC

Penyelesaian: C

B A


3. =


° =

. =
=

= √ −

= √ −

= √ −

= √
= ,
Jadi panjang BC adalah 10 cm dan AB 17,32 cm

Diketahui : = °
Jarak = 60 m

Dintanya : tinggi pohon
4 Penyelesaian:

60 m

No Kunci Jawaban Skor
5
4
 = 4

5
=
7
√ . =

, =

Ketinggian pohon yang di amati oleh anak tersebut adalah 103,92 m

Diketahui : =


Ditanya :

Penyelesaian:

= √52 − 32 = √25 − 9 = √16 = 4
5
c

5.
3

4
=
4
100
=

Skor Total

Penugasan 1 Penilaian Diri

Jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut dengan penuh kejujuran.

No Pertanyaan Jawaban
1. Apakah Ananda dapat menentukan perbandingan trigonometri pada segitiga?
o Iya o Tidak

2. Apakah Ananda dapat menentukan sudut patokan tanpa melihat table sudut
istimewa?

3. Apakah Ananda dapat menerapkan dasar trigonometri dalam kehidupan
sehari- hari?

❖ Bila ada jawaban “Tidak” maka segera lakukan riview pembelajaran, terutama pada bagian yang
masih “Tidak”

Unit II

Identitas Trigonometri Penjumlahan dan
Selisih Dua Sudut

Wondering

Pada uji coba peluncuran rudal, area jatuhnya rudal

sudah ditentukan, sehingga tidak menimbulkan

kerusakan. Salah satu caranya dengan mengatur sudut

luncuran rudal. Misalkan sudut luncuran sudah di

tentukan °.

Misalkan peluncuran rudal tersebut menggunakan

rumus = dipeloleh:


rumus = = ° °



Bagaimana cara menentukan besar sudut ° tanpa sumber:https://akcdn.detik.net.id/visual/2016/04/13/f229
e509-7443-4308-9513-63b55a1fe4dc_169.jpg?w=650
menggunakan alat bantu hitung?

Investigasi Time

Pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut.

C Diketahui jika = +

  a = . .
b
:
t

A = . . ( + ) =
Dc

B =

Pembuktian Rumus sin ( + )

= +
=

= . . + . (… … )
. . ( + )

. ( + ) = . + . Semua ruas dibagi ab

( + ) = . + .
…

( + ) = . … . + … . . Terbukti

Pembuktian Rumus sin ( − )

( + ) = . + . Jika sudut negatif, diperoleh:
(− ) =
(− ) = −

( − ) = . − . Terbukti

Pembuktian Rumus cos ( + )

( − ) = . − . Jika sudut negatif, diperoleh:
( − ) =
( − ) =

( + ) = .  − . Terbukti

Pembuktian Rumus cos ( − )

( + ) =  .  − .  Jika sudut negatif, diperoleh:
( − ) =
( − ) =

( − ) = .  + . Terbukti

Pembuktian Rumus tan ( + )

( + ) ( + )
= ( + )

Buktikan:

( + ) = + Terbukti
− .

Pembuktian Rumus tan ( − )

+ Jika sudut  negatif
− .
( + ) =

Buktikan:

− Terbukti
( − ) = + .

Synthesiziny Time

( + ) =
( − ) =
( + ) =
( − ) =
( + ) =
( − ) =

Rangkuman

Pada kegiatan pembelajaran pertama, untuk menentukan rumus jumlah dan selisih dua sudut dari

sinus cosinus dan tangen. Dapat menggunakan aturan trigonometri dasar pada segitiga

1. Rumus untuk ( + ) dan ( − ).

Cara menemukan rumus sin( + )

Coba Ananda perhatikan gamabar  ABC di samping.

Diperoleh:

= cos , sehingga = . cos … (1)


= sin , sehingga = . sin  … (2)


= cos , sehingga = . sin  … (3)


= sin , sehingga = . sin … (4)


Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2),

Diperoleh:

Luas  ADC = 1 . . = 1 . . sin . cos = 1 . . sin  . cos … (5)
2 2 2

Dengan menggunakan persamaan (3) dan (4) diperoleh:

Luas  BDC = 1 . . = 1 . . sin . cos  = 1 . . cos  . sin … (6)

2 2 2

Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh Luas  ABC:

Luas  ABC= Luas  ADC + Luas  BDC

= 1 . . sin  . cos  + 1 . . cos  . sin 
2 2

= 1 . (sin  . cos  + cos  . sin )…. (7)

2

Dengan menggunakan rumus umum pada luas segitiga, maka dperoleh:

Luas  ABC = 1 . . . sin( + )……(8)
2

Diperoleh sebuah kesamaan dari persamaan (7) dan (8) yakni:

1 . . . sin( + ) = 1 . (sin  . cos  + cos  . sin )
2 2

( + ) =  .  +  . 

Persamaan yang telah Ananda peroleh diatas, merupakan rumus sinus jumlah dua sudut.
Adapun rumus selisih sinus dua sudut diperoleh dengan mensubstitusikan - ke dalam 
sehingga diperoleh:

sin( − ) = sin( + (− )) = sin . cos(− ) + cos . sin(− )
Karena cos(− ) = cos dan sin (− ) = − sin , maka:

( − ) =  .  −  . 

2. Rumus untuk ( + ) dan ( − ).
Dengan menggunakan rumus sudut berelasi ( trigonometri kelas X), kita dapat menemukan
rumus cosinus jumlah dan selisih sebagai berikut:
cos = sin(90° − ), sehingga cos( + ) = sin (90° − ( + ))
= sin(90° − ) −
= sin(90° − ) cos − cos(90° − ).
= .  − . 
Jadi ( + ) = = .  − . 
Rumus cosinus selisih dua sudut dapat diperoleh dengan mensubstitusikan − ke dalam 
pada pembuktian yang sudah di peroleh, sehingga:
cos( + (− )) = cos  . cos(−) − sin . sin(−)
Karena cos(− ) = cos dan sin(− ) = − sin maka:
( − ) = = .  + . 

3. Rumus untuk ( + ) dan ( − ).

Dengan menggunakan rumus sinus dan kosinus untuk jumlah dan silisih dari dua sudut,

dapat menunjukkan bahwa:

( + ) = ( +) sehingga di peroleh:
( + )

( + ) = + dan ( − ) = −
− ∝. + .

Kerjakan tugas ini setelah Ananda mendalami materi jumlah dan selisih sudut sinus dan

cosinus, kerjakan penugasan ini dengan penuh kejujuran !

1. Tentukan nilai dari sin 75° sin 15°

2. Jika dalam suatu segitiga diketahuin sin  = 4 dan cos = 5 ( dan merupakan
5 13

suatu sudut lancip). Tentukan nilai dari sin( + )!

3. Diketahui cos ∝= 3 dan cos = 12 ( dan merupakan sudut lancip).
5 13

Tentukan nilai dari cos( + )!

4. Buktikan identitas : cos( + ) = 1 − tan . tan
cos .cos

5. Diketahui cos = 4 dan sin = − 1175, dengan A adalah sudut di kuadran I dan B
5

adalah sudut yang terletak di kuadran III. Tentukan nilai dari tan( + )!

Refleksi Pembelajaran

Setelah Ananda mengikuti proses pembelajaran dalam memahami rumus jumlah dan dan selisih
sinus dan cosinus, isilah kegiatan refleksi hari ini sesuai dengan apa yang Ananda rasakan dan
dapatkan selama proses pembelajaran.

What I know ?

Bagaimana cara Ananda memahami rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus?
Hal apa saja yang sudah Ananda peroleh selama proses pembelajaran ?

Kunci Jawaban TTD Guru:
____________________

Penugasan 1

Penugasan 1

1. 1 (√6 + √2) dan 1 (√6 − √2)
4 4

2. 56
65

3. 16
65

4. Terbukti

5. − 84

13

Rubrik Penilaian Keterampilan

Lembar penilaian Keterampilan

Kelas/Semester :MIPA 1A, 1B, 2A, 2B

Topik/Subtopik :Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Indikator :Peserta didik menunjukkan perilaku Kerjasama, proaktif dan responsive

dalam diskusi kelompok.

No Nama Siswa Indikator Jumlah Pedikat

Kerjasama Proaktif Responsif Skor

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

 Pedoman Penskoran

Petunjuk Penskoran :
Skor akhir menggunakan skala 1 sampai 4
Skor maksimal = 12
Perhitungan skor akhir menggunakan rumus : (skor perolehan/skor maksimal) X 100

Keterangan predikat:
Sangat Baik (A) : 86-100
Baik (B) : 71-85
Cukup (C) : 56-70
Kurang (D) : ≤ 55

Penilaian Diri

SynthesizinyDiriJawablah pertanyaan – pertanyaan berikut dengan penuh kejujuran.

No Time Pertanyaan Jawaban

o Iya o Tidak

1. Apakah Ananda dapat menentukan rumus jumlah dan slisih sinus serta

cosinus?

2. Apakah Ananda dapat menentukan sudut tertentu tanpa harus melihat pada

sudut istimewa?

3. Apakah Ananda dapat menerapkan rumus jumlah dan silisih sinus dan

sosinus kehidupan sehari- hari?

❖ Bila ada jawaban “Tidak” maka segera lakukan riview pembelajaran, terutama pada bagian yang
masih “Tidak”

Unit III

Sudut Rangkap

Wondering Time

Simaklah video dan perhatikan gambar berikut !

Uji coba peluncuran rudal yang

dilakukan oleh korut secara teori untuk

menentukan jarak terjauhnya dapat

menggunakan rumus jarak terjauh

maksimum yaitu = . .


Jika diperhatikan maka rumus tersebut

memuat bentuk trigonomteri yaitu

sin 2 . Dengan menggunakan rumus

sinus penjumlahan coba, temukan rumus

sudut rangkap !

Sumber video: https://www.youtube.com/watch?v=IG4fZptCCEY

Investigasi

Tujuan: Kegiatan investigasi yang dilakukan kali ini bertujuan untuk menemukan rumus
sudut rangkap.
a. Identitas Sinus Sudut Rangkap

Maksud dari sudut rangkap adalah 2α. Sin 2α dapat dinyatakan sebagai sin (α + α). Menggunakan
identitas sinus jumlah dua sudut, temukan penjabaran dari sin 2α. Dimana = .

Buktikan:
 = ( + ) lanjutkan

= . Terbukti

b. Identitas Kosinus Sudut Rangkap
Dalam pembuktian sudut rangkap pada kosinus, akan di peroleh 3 rumus. Dan perlu diingat
rumus identitas + = .
Pembuktian menggunakan rumus jumlah kosinus

Buktikan:
 = ( + ) lanjutkan

= − Terbukti

Pembuktian menggunakan identitas = −

Buktikan:
= − lanjutkan

= − Terbukti

Pembuktian menggunakan identitas = −

Buktikan:
= − lanjutkan

= − Terbukti

c. Identitas Tangen Sudut Rangkap
Menggunakan identitas tangen jumlah dua sudut akan diperoleh sudut rangkap tangen.

Buktikan:
= ( +  ) lanjutkan

Terbukti
= −

Synthesiziny Time

Dari kegiatan pembuktian terseut di peroleh rumus sudut rangkap sebagai berikut !
Rumus sudut rangkap diperoleh:
=
= 1.

2.
3.
=

Rangkuman Materi

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap (Ganda)
Sudut ganda dari  dinyatakan dengan 2 . Rumus trigonometri sudut rangkap dapat diperoleh
dengan menggunakan rumus trigonometri jumlah dua susut.

❖ Rumus sinus sudut rangkap
sin 2 = sin( + )
= sin . cos + cos . sin
= .

❖ Rumus kosinus sudut rangkap
cos 2 = cos( + )
= cos . cos − sin . sin
= −
dengan menggunakan identitas 2 + 2 = 1,
dapat menemukan bentuk lain dari cos 2α:
cos 2 = 2 − 2
= 2 − (1 − 2 )
= −

❖ Contoh soal
cos 2 = 2 − 2
Sederhanakan bentuk di bawah ini !
= (1 − 2 ) − 2 2 22,5°. 22,5°
= − ∝
Penyelesaian:
❖ Rumus tangen sudut rangkap = 2si 22,5°. co s 22 , 5°
tan 2 = tan( + ) = si n 2 (22,5°)
+ = si n 45 °
= 1 − .
. 1
= − = 2 √2

Kerjakanlah soal – soal di bawah ini dengan penuh kejujuran sesuai dengan kemampuan Ananda

sendiri !

1. Sederhanakanlah bentuk- bentuk di bawah ini!

a. 1 − 2 25

b. 23 − 23

c. 2 tan 3
1− 23

2. Diketahui sin = 35, dengan ℎ . Tentuka nilai dari 2 tan 2A dan

2 !

3. Jika tan = 3 , ℎ sin 2 , cos 2 dan 2 !

4. Tunjukkan bahwa:

a. (sin + cos )2 = 1 + sin 2

b. sin 3 = 3 sin − 4 3 (petunjuk: nyatakan bahwa 3 = 2 + )

5. Diketahui cos = 12 dengan A adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari sin 2A, cos 2A dan
13

tan 2A !

Refleksi Pembelajaran

Setelah Ananda mengikuti proses pembelajaran dalam memahami rumus sudut rangkap sinus
dan cosinus, isilah kegiatan refleksi hari ini sesuai dengan apa yang Ananda rasakan dan
dapatkan selama proses pembelajaran.

What I know ?

Bagaimana cara Ananda memahami rumus sudut rangkap ?

Hal apa saja yang sudah Ananda peroleh selama proses pembelajaran ?

TTD Guru:
____________________

Kunci Jawaban
Penugasan 2
Penugasan 1

1. a.

b.

c.

2. = , = =



3. = , = − dan = −


4. a. Terbukti

b. Terbukti

5. = , = =


Rubrik Penilaian Penilaian

Lembar penilaian Keterampilan

Kelas/Semester :MIPA 1A, 1B, 2A, 2B

Topik/Subtopik :Sudut Rangkap

Indikator :Peserta didik menunjukkan perilaku mandiri, terampil dan aktif dalam

proses pembelajaran

No Nama Siswa Indikator Aktif Jumlah Pedikat
Mandiri Terampil Skor

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 Pedoman Penskoran

Petunjuk Penskoran :
Skor akhir menggunakan skala 1 sampai 4
Skor maksimal = 12
Perhitungan skor akhir menggunakan rumus : (skor perolehan/skor maksimal) X 100

Keterangan predikat:
Sangat Baik (A) : 86-100
Baik (B) : 71-85
Cukup (C) : 56-70
Kurang (D) : ≤ 55

Penilaian Diri

Jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut dengan penuh kejujuran.

No Pertanyaan Jawaban
1. Apakah Ananda dapat menentukan rumus sudut rangkap sinus serta cosinus?
o Iya o Tidak

2. Apakah Ananda dapat penyelesaian sudut rangkap pada masalah
konmelakukan pembuktian trigonometri menggunakan sudut rangkap?

3. Apakah Ananda dapat menerapkan rumus sudut rangkap pada masalah
konseptual ?

❖ Bila ada jawaban “Tidak” maka segera lakukan riview pembelajaran, terutama pada bagian yang
masih “Tidak”

Unit IV

Identitas Perkalian dan Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus

Wondering Time

Interferensi gelombang air terjadi jika dua gelombang Sumber:https://www.kompasiana.com/
permukaan air berpadu di suatu tempat. Akibat interferensi ekohariyanto1975/550046caa333112f7
antara dua gelombang permukaan air, tampak alur – alur di 5510460/terjemahan-bab-ketiga-the-
permukaan air yang bergelombang, tetapi ada juga alur –
alur yang tenang. grand-design-what-is-reality-full-
Misalkan y adalah interferensi gelombang air, y dapat version
dinyatakan dengan rumus:
= 0. sin 2 1 + 0. sin 2 2 ↔
= 0(sin 2 1 + sin 2 2
Misalkan = 2 1 = 2 2 ↔ = 0 (sin +
cos )
Perhatikan bentuk sin + cos . Bagaimana cara
pembuktiannya ?

1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus
Sebelum membahas tentang pembuktian rumus identitas penjumlahan selisih sinus dan
kosinus, terlebih dahulu Ananda harus membuktikan rumus identitas perkalian sinus dan
kosinus. Coba lakukan kegiatan berikut !
Five Minutes Mathemathics

Mengingat kembali rumus jumlah dan selisih dua sudut:
( + ) =
( − ) =
( + ) =
( − ) =

Investigasi Time

❖ Perkalian .

Lakukan eliminasi pada rumus penjumlahan dan selisih dua sudut kosinus !
cos( + ) =
cos( − ) =
cos( + ) − cos( − ) =

( + ) − ( − ) = − . . Terbukti

❖ Perkalian .

Lakukan eliminasi pada rumus penjumlahan dan selisih dua sudut kosinus !

cos( + ) =

cos( − ) = +
cos( + ) + cos( − ) =

( + ) + ( − ) = . . Terbukti

❖ Perkalian .

Lakukan eliminasi pada rumus penjumlahan dan selisih dua sudut kosinus !
sin ( + ) =
sin ( − ) =
sin ( + ) − sin ( − ) =

( + ) − ( − ) = . . Terbukti

❖ Perkalian .

Lakukan eliminasi pada rumus penjumlahan dan selisih dua sudut kosinus !

sin ( + ) =

sin ( − ) = +
sin ( + ) + sin ( − ) =

( + ) + ( − ) = . . Terbukti

Synthesiziny Time

Dari kegiatan pembuktian terseut di peroleh rumus perkalian sinus dan kosinus sebagai
berikut !

Rumus perkalian sinus dan kosinus:
1. − . . =
2. . . =
3. . . =
4. . . =

2. Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus
Setelah Ananda melakukan pembuktian terhadap identitas perkalian sinus dan kosinus, baru
Ananda dapat melakukan pembuktian terhadap rumus identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan
Kosinus.

Wondering Time

Sumber: LKPD guru belajar dan berbagi kemdikbud

Agar mampu menjawab permasalahan tersebut maka Ananda perlu untuk membuktikan
identitas rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus !

Investigasi Time

a. Rumus Penjumlahan Sinus
Ikutilah langkah-langkah pembuktian rumus sinus dan kosinus:
2 sin . cos = sin( + ) + sin( − ).
Misalkan ∝ + = − = lakukan eliminasi pada

∝ + = ∝ + =

∝ − = + ∝ − = -
…………………….. ……………………..

Selanjutnya kedua persamaan itu disubstitusikan kedalam rumus perkalian:

2 sin . cos = sin ( ⋯ ⋯ + ⋯ ⋯ ) + sin (⋯ ⋯ − ⋯ ⋯ )

Sehingga diperoleh rumus penjumlahan sinus:

1 + 1 )=
2 sin 2 ( ) cos 2 ( −

atau

sin + sin =

b. Rumus Selisih Sinus
2 cos . sin = sin( + ) − sin( − ).
Misalkan ∝ + = − = lakukan eliminasi pada

∝ + = ∝ + =

∝ − = + ∝ − = -
…………………….. ……………………..

Selanjutnya kedua persamaan itu disubstitusikan kedalam rumus perkalian:

2 cos . sin = sin ( ⋯ ⋯ + ⋯ ⋯ ) − sin (⋯ ⋯ − ⋯ ⋯ )

Sehingga diperoleh rumus penjumlahan sinus:

1 + 1 )=
2 cos 2 ( ) sin 2 ( −

atau

sin − sin =

c. Rumus Penjumlahan cosinus
2 cos . cos = cos ( + ) + cos ( − ).
Misalkan ∝ + = − = lakukan eliminasi pada

∝ + = ∝ + =

∝ − = + ∝ − = -
…………………….. ……………………..

Selanjutnya kedua persamaan itu disubstitusikan kedalam rumus perkalian:

2 cos . cos = cos ( ⋯ ⋯ + ⋯ ⋯ ) + cos (⋯ ⋯ − ⋯ ⋯ )

Sehingga diperoleh rumus penjumlahan sinus:

1 + 1 )=
2 cos 2 ( ) cos 2 ( −

atau

cos + cos =

d. Rumus Selisih cosinus
−2 sin . sin = cos ( + ) − cos ( − ).
Misalkan ∝ + = − = lakukan eliminasi pada

∝ + = ∝ + =

∝ − = + ∝ − = -
…………………….. ……………………..

Selanjutnya kedua persamaan itu disubstitusikan kedalam rumus perkalian:

−2 sin . sin = cos ( ⋯ ⋯ + ⋯ ⋯ ) − cos (⋯ ⋯ − ⋯ ⋯ )

Sehingga diperoleh rumus penjumlahan sinus:

1 + 1 ( − )=
−2 sin 2 ( ) sin 2

atau

cos − cos =

Synthesiziny Time

Dari kegiatan pembuktian terseut di peroleh rumus penjumlahan/selisih sinus dan cosinus
sebagai berikut !

Rumus perkalian sinus dan kosinus:
. + =

. − =

. + =

. − =

Rangkuman Materi

1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus
Identitas perkalian sinus dan kosinus dapat di temukan dengan cara menjumlahkan atau
mengurangkan identitas sinus penjumlahan dan selisih dari dua sudut. Sehingga dari
pembuktian – pembuktian yang telah di lakukan dapat di peroleh identitas perkalian sinus dan
kosinus yaitu:

2. Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus
Identitas penjumlahan/selisih sinus dan kosinus, di dapatkan dari pensubstitusian permisalan
dan pada identitas perkalian sinus dan kosinus. Sehingga berdasarkan pembuktian yang
telah di lakukan dapat disimpulkan identitas penjumlahan/selisih sinus dan kosinus yaitu:

Cara mudah untuk mengingat:
+ = 2
− = 2
+ = 2
− = −2

Tentukan nilai dari °. ° !

Penyelesaian:

. = ( + ) + ( − )


°. ° = ( ( ° + °) + ( ° − °))

°. ° = ( ° + °)



°. ° = ( + √ )

Kerjakan dengan penuh kejujuran !
1. Nyatakan bentuk perkalian berikut sebagai penjumlahan/pengurangan !

a. 2 sin 3 . cos 2
b. cos . sin 5
2. Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nila eksak dari:
a. sin 75°. cos 15°
b. 3 cos 105°. cos 15°
3. Buktikan identitas dari sin( + ). sin( − ) = 2 − 2
4. Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai eksak dari:
sin 75° − sin 15°
cos 75° + cos 15°
5. Buktikan bahwa sin 5 +sin 3 = tan 4

cos 5 +cos 3 =

Refleksi Pembelajaran

Setelah Ananda mengikuti proses pembelajaran dalam memahami identitas perkalian,
penjumlahan/pengurangan sudut sinus dan kosinus isilah kegiatan refleksi hari ini sesuai dengan
apa yang Ananda rasakan dan dapatkan selama proses pembelajaran.

What I know ?

Bagaimana cara Ananda memahami perkalian serta penjumlahan/selisih sinus dan cosinus ?

Hal apa saja yang sudah Ananda peroleh selama proses pembelajaran ?

TTD Guru:
____________________

Kunci Jawaban
Penugasan 3
Penugasan 1

1. a. +

b. [ + ]


2. . + √


b. −


3. Terbukti

4. √


5. Terbukti

Rubrik Penilaian Kognitif

No Pembahasan Skor
10
1. 10

2. 10
10

No Pembahasan Skor
3. 20

4. 20

5. 20
Skor total 100

Penilaian Diri

Jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut dengan penuh kejujuran.

No Pertanyaan Jawaban
1. Apakah Ananda dapat menentukan pembuktian rumus perkalian sinus dan
o Iya o Tidak

cosinus?

2. Apakah Ananda dapat menentukan penyelesaian masalah konseptual terkait

rumus perkalian sinus dan cosinus?

3. Apakah Ananda dapat melakukan pembuktian terhadap soal terkait perkalian

sinus dan cosinus ?

4. Apakah Ananda dapat menentukan pembuktian rumus penjumlahan/selisih

sinus dan cosinus?

5. Apakah Ananda dapat menentukan penyelesaian masalah konseptual terkait

rumus penjumlahan/selisih sinus dan cosinus?

6. Apakah Ananda dapat melakukan pembuktian terhadap soal terkait

penjumlahan/selisih sinus dan cosinus ?
❖ Bila ada jawaban “Tidak” maka segera lakukan riview pembelajaran, terutama pada bagian yang

masih “Tidak”