สัมมนา สมบัติของพื้นที่วงกลมเก้าจุด

สมบัตขิ องพืน้ ทีว่ งกลมเก้าจุด
ของรูปสามเหลย่ี มของอารค์ ิมีดสี

The properties of area of
a Nine-Point Circle of an
Archimedes’ Triangle

นายฟิ กรยี ์ ตาเห
405904025

ความรู้พื้นฐาน หนา้ หลกั
บทคดั ยอ่
บทนา วัตถุประสงค์
วิธีการวิจัย
ผลการวจิ ัย

ความร้พู ้ืนฐาน

ทฤษฎบี ท
รัศมขี องวงกลมแนบในรูปสามเหล่ยี มทีม่ ีดา้ นท้งั

สามยาว a , b และ c คือ

พสิ จู น์ พื้นท่ีรปู ABC = BOC + AOC + AOB

เนอื่ งจาก = 1 ar + 1 br + 1 cr
ดังนั้น 2 2 2

= 1 r (a + b + c)
2
2
r = a +b +c

s = a +b + c
r 2
2 หรือ r s (s − a)(s − b)(s − c)
= s
=s

ทฤษฎบี ท

ส่วนของเสน้ ตรงซง่ึ ลากจากจดุ กง่ึ กลาง และตงั้ ฉากกบั ดา้ นของรูป
สามเหลย่ี มจะจวบกนั (concurrence แปลวา่ จวบกนั )

บทคดั ยอ่

บทความฉบบั น้มี วี ตั ถปุ ระสงคเ์ พอ่ื ศึกษาความสมั พนั ธข์ องพ้นื ทว่ี งกลมเกา้ จดุ

กบั พ้นื ทว่ี งกลมลอ้ มรอบรูปสามเหลย่ี มของอารค์ ิมดี สี และความสมั พนั ธข์ องพ้นื ท่ี

รูปสามเหลย่ี มของออยเ์ ลอรก์ บั พ้นื ทร่ี ูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี ผลจากการศึกษา

1

พบวา่ พ้นื ทว่ี งกลมเกา้ จดุ ของรูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี เทา่ กบั 4 เทา่ ของพ้นื ท่ี
วงกลมลอ้ มรอบรูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี และพ้นื ทร่ี ูปสามเหลย่ี มของออยเลอร์

1

เท่ากบั 4 เทา่ ของพ้นื ทร่ี ูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี

บทนา
วงกลมเกา้ จดุ ของรูปสามเหลย่ี มถกู คน้ พบโดย Leonhard Euler (1707-1783)

ในปี ค.ศ. 1765 และไดถ้ กู ศึกษาเพม่ิ เตมิ โดย Karl Feuerbach (1800-1834)
เป็นวงกลมทมี่ี เี สน้ รอบวงลากผา่ นจดุ เกา้ จดุ คอื จดุ ก่งึ กลางของดา้ นของรูปสามเหลย่ี มสาม

จดุ จดุ ทเ่ี กดิ จากเสน้ ตรงซง่ึ ลากจากจดุ ยอดมมุ มาตง้ั ฉาก กบั ดา้ นตรงขา้ มของรูปสามเหลย่ี ม

สามจดุ และจดุ ก่งึ กลาง ระหวา่ งจดุ ออรโ์ ทเซนเตอรถ์ งึ จดุ ยอดมมุ ของรูปสามเหลย่ี มอกี สาม

จดุ

Archimedes (287-212 ปีก่อนครสิ ตศ์ กั ราช) ไดส้ รา้ ง
เซกเมนตพ์ าราโบลาอนั เป็นอาณาบรเิ วณซง่ึ ถกู ปิดลอ้ มดว้ ย โคง้
พาราโบลาและคอรด์ ทล่ี ากเชอ่ื มจดุ สองจดุ บนโคง้ พาราโบลานน้ั อกี ทง้ั
ไดก้ าหนดรูปสามเหลย่ี มของอารค์ ิมดี สี ข้นึ โดยเป็นรูปสามเหลย่ี มทม่ี ี
ฐานเป็นคอรด์ ของเซกเมนตพ์ าราโบลา และมดี า้ นสองดา้ นเป็นเสน้
สมั ผสั โคง้ พาราโบลาทจ่ี ดุ ปลายทง้ั สองของคอรด์ เรยี กช่ือวงกลม
ซง่ึ มเี สน้ รอบวงผ่านจดุ ทงั้ เกา้ ของรูปสามเหลย่ี มน้วี ่า วงกลมเกา้ จดุ ของ
รูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี

รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ABC ฐานเป็นคอร์ด BC ของ
เซกเมนต์พาราโบลา โดยที่ด้าน AB และ AC เป็นเส้นสัมผัสโค้ง
พาราโบลาที่จุด B และ C (Figure 2.1)

วงกลมเกา้ จดุ ของรูปสามเหลย่ี มของอารค์ ิมดี สี คอื
วงกลมซง่ึ มเี สน้ รอบวง ผ่านจดุ D, L, R, M, E, P, F,
N และ Q (Figure 2.2)

วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ABC
และรูปสามเหลี่ยมของออยเลอร์ PQR

การอย่รู ว่ มกนั ของจดุ ทงั้ เกา้ บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน
ด้วยเหตุท่ีวงกลมเกา้ จดุ และรปู สามเหลยี่ มของอารค์ ิมดี ีส มี
โครงสร้างที่สมั พนั ธ์กนั

ดงั นน้ั การศึกษาครัง้ นี้จงึ มุง่ คน้ หาข้อเทจ็ จรงิ เกยี่ วกบั สมบัติ
เชงิ พน้ื ท่ีระหว่างวงกลมเก้าจุด วงกลมล้อมรอบรปู สามเหลีย่ มของ
อารค์ มิ ีดีส และรปู สามเหลยี่ มของออยเลอร์ ท้งั นีเ้ พือ่ เปน็ การขยาย
ขอบเขตความรูใ้ หก้ ว้างขวางและลกึ ซึ้งยง่ิ ขึ้น

วัตถปุ ระสงค์
เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ของพ้ืนที่วงกลมเก้าจุดกับพ้ืนที่

วงกลมล้อมรอบรูปสามเหล่ียมของอาร์คิมีดีส และความสัมพันธ์
ของพืน้ ที่รปู สามเหล่ยี มของออยเลอร์กับพื้นที่รูปสามเหล่ียมของ
อารค์ มิ ดี ีส

วิธีการวิจัย
การวจิ ัยครง้ั นีม้ งุ่ ศึกษาถึงสมบัตเิ กีย่ วกบั พน้ื ท่ีวงกลม

เกา้ จดุ ของรปู สามเหลย่ี มของอารค์ มิ ีดีส วงกลมลอ้ มรอบรูป
สามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี รปู สามเหล่ยี มของออยเลอร์ และ
รูปสามเหลย่ี มของอาร์คมิ ดี ีส โดยศกึ ษาเชิงเรขาคณิต
วเิ คราะหใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก

พ้นื ท่รี ูปสามเหลี่ยมของอาร์คมิ ดี สี

บทนิยาม 1
เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส (Archimedes’

Parabolic Segment) หมายถึงอาณาบรเิ วณท่ีถูกปดิ ลอ้ ม
ด้วยโค้งพาราโบลาและคอร์ดที่ลากเชื่อมจุดสองจุด ซ่ึงอยู่บนโค้ง
พาราโบลานั้น

บทนิยาม 2
รูปสามเหลี่ยมของอารค์ ิมีดสี (Archimedes’ Triangle)

หมายถึง รูปสามเหลี่ยมท่ีมีฐานเป็นคอร์ดของเซกเมนต์พาราโบลาของ
อาร์คิมีดีส และมีด้านสองด้านเป็นเส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุดปลายทั้ง
สองของคอรด์

เซกเมนตพ์ าราโบลา ABC เกดิ จาก เสน้ ตรง y = mx+c
ตดั กบั โคง้ พาราโบลา ทจ่ี ดุ B และ C ตามลาดบั รูปสามเหลย่ี มของ
อารค์ ิมดี สี ABC มคี อรด์ BC เป็นฐาน มดี า้ น AB และ AC ซง่ึ เกดิ
จากเสน้ สมั ผสั โคง้ พาราโบลาทจ่ี ดุ B และ C ตามลาดบั ลากมาตดั กนั ทจ่ี ดุ A

การหาพกิ ดั ของจุดยอดมมุ ทง้ั สามของรูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ีดสี ABC

เน่อื งจาก จดุ B และ C เป็นจดุ ตดั ของพาราโบลา y = ax2 และเสน้ ตรง
y = mx + c

จะได้ พกิ ดั ของจดุ C คอื

พกิ ดั ของจดุ B คือ

เน่ืองจากเสน้ ตรง AB และ AC เป็นเสน้ สมั ผสั กบั พาราโบลา y = ax2

ทจ่ี ดุ B และ C d (y) = 2ax
ความชนั ของเสน้ สมั ผสั โคง้ พาราโบลา คือ
 dx 
 
ความชนั ของเสน้ ตรง AB = 2a m − m2 + 4ac

 2a 
= m − m2 + 4ac

ความชนั ของเสน้ ตรง AC = 2a  m + m2 + 4ac 
 
 2a 

= m + m2 + 4ac

ดงั น้นั สมการของเสน้ ตรง AB คอื

 m 2 m m2 + 4ac 2ac   m m2 4ac 
( )y − 2a +  x − + 
−  = m− m2 + 4ac −
  2a 

2

m2 + 4ac
2a
( )( ) ( )y
−  m2 − m m2 + 4ac + 2ac  = m− m2 + 4ac m−
 2a  x−
 

( )( )y = m − + −m2 + 2m m2 + 4ac − m2 − 4ac + m2 − m m2 + 4ac + 2ac
m2 + 4ac x 2a

 m m2 4ac m2 2ac 
( ) ( )y = m −  + − − 
m2 + 4ac x + −−− 1
 2a 

ดงั นน้ั สมการของเสน้ ตรง AC คือ

 m 2 m m2 + 4ac 2ac   m m2 4ac 
( ) + 2a +  x + + 
y −  = m+ m2 + 4ac −
 2a 

2

m2 + 4ac
2a
( )( ) ( )y
 m 2 + m m2 + 4ac + 2ac  m2 + 4ac m2 −
 2a  x−
−   = m+

( )( )y = m + m2 − m2 − 4ac + m2 + m m2 + 4ac + 2ac
m2 + 4ac x − 2a

 m m2 4ac m2 2ac 
( ) ( )y = m +  + + + 
m2 + 4ac x − −−− 2
 2a 

พกิ ดั จดุ A ซงึ่ เป็นจดุ ตดั ของเสน้ ตรง AB และ AC หาได้จาก (1)-(2) ดงั น้ี

( )2 m2 + 4ac x =  m m2 + 4ac − m2 − 2ac  +  m m2 + 4ac + m2 + 2ac 
 2a   
   2a 

( )2 m2 + 4ac x =m m2 + 4ac − m2 − 2ac + m m2 + 4ac + m2 + 2ac
2a

x = m
2a

แทนค่า x ใน (1) จะได้

( )y  m   m m2 + 4ac − m2 − 2ac 
= m− m2 + 4ac  2a  +  
   2a 

y = m2 − m m2 + 4ac + m m2 + 4ac − m2 − 2ac
2a

y = −c

จะได้วา่ พิกัดของจุด A คือ  m , −c 
 2a 
 

การหาพ้นื ทร่ี ูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี ABC

ให้ แทน พ้นื ทร่ี ูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี ABC

สามารถหาพ้นื ทไ่ี ดจ้ ากพกิ ดั ของจดุ ยอดมมุ ทงั้ สาม ดงั น้ี

m − m2 + 4ac m2 − m m2 + 4ac + 2ac

2a 2a

1 m + m2 + 4ac m2 + m m2 + 4ac + 2ac
2a
 =  2  2a
  m −c

2a

m − m2 + 4ac m2 − m m2 + 4ac + 2ac

2a 2a

( ) ( )= 3   m 3 m2 
1  m − 2acm − m2 + 4ac m2 + 4ac   − 2acm + m2 + 4ac + 4ac 
2 4a 2  − 4a 2
 
   

( ) ( )= 3
1  m − 2acm + m2 + 4ac m2 + 4ac − m3 + 2acm − m2 + 4ac m2 + 4ac
2 4a 2



= ( )m2 + 4ac m2 + 4ac

4a 2

นนั่ คอื พ้นื ทร่ี ูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี ABC เท่ากบั (m2 + )4ac m2 + 4ac ตารางหน่วย

4a 2

พ้นื ทว่ี งกลมลอ้ มรอบรูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี

การหาพกิ ดั ของจดุ ศูนยก์ ลางวงลอ้ ม
รูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี สี ABC

ลากเสน้ ตั้งฉากจากจุด V และ U ตัดกนั ท่จี ุด W ซงึ่ เปน็ จุด

ศูนย์กลางวงลอ้ มรูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ีดีส ABC สามารถหาพิกดั ได้

ดังนี้  m m2 + 4ac , m2 − m m2 4ac 2ac 
 2a 
เน่ืองจาก พกิ ดั ของจดุ B คอื − + +

 m 2a 
 2a 
พกิ ดั ของจดุ A คอื  , −c 
 

พกิ ดั ของจดุ V ซง่ึ เป็นจดุ กง่ึ กลางของดา้ น AB หาไดจ้ าก

m− m2 + 4ac m m2 − m m2 + 4ac + 2ac
2a 2a = 2a
x= + ( )y + −c

2 2

= 2m − m2 + 4ac = m2 − m m2 + 4ac
4a 4a

ดงั นนั้ พิกดั ของจดุ V คือ  2m − m2 + 4ac , m2 − m m2 + 4ac 
 
 4a 4a 

( )m2 − mm2 + 4ac + 2ac − −c
2a
จะได้ ความชันของเส้นตรง AB =
m− m2 + 4ac m
2a − 2a

= m − m2 + 4ac

เพราะวา่ เสน้ ตรง VW ตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง AB จะได้

ความชนั ของเสน้ ตรง VW  1
= −  m − m2 + 4ac 

ดงั นน้ั สมการของเสน้ ตรง VW คอื

y −  m2 − m m2 + 4ac  =  1   −  2m − m2 + 4ac 
 4a  − m2  x  
    4a 
 m − + 4ac

 2 m2  
 m − m 4a + 4ac   x   2m − m2 + 4ac 
  m2   m − m2 + 4ac 4a
m   −−−


( )( ) ( )y= − 4ac + 3

− +

พกิ ดั ของจดุ U ซงึ่ เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC หาได้จาก

m+ m2 + 4ac + m ( )m2 + m m2 + 4ac + 2ac + −c
x= 2a 2a 2a
y=
2 2

= 2m + m2 + 4ac = m2 + m m2 + 4ac
4a 4a

ดังนั้น พิกัดของจุด U คอื  2m + m2 + 4ac , m2 + m m2 + 4ac 
 
 4a 4a 

เนอ่ื งจาก พกิ ดั ของจดุ C คือ  m + m2 + 4ac , m2 + m m2 + 4ac + 2ac 
 
 2a 2a 
 m 
พกิ ัดของจุด A คือ  2a , −c 
 
( )m2 + m m2 + 4ac 2ac
2a + − −c
=
จะได้ ความชนั ขอเสน้ ตรง AC m+ m2 + 4ac m
2a 2a
−

=m A+C m 2 + 4ac

เนอื่ งจาก เสน้ ตรง UW ตั้งฉากกบั เส้นตรง

จะไดค้ วามชันของเสน้ ตรง UW  1
= −  m m2 + 4ac 
+

ดังนั้นสมการเสน้ ตรง UW คือ

y −  m2 + m m2 + 4ac  = −  1   −  2m + m2 + 4ac 
 4a   m2  x  
 m    4a 
 + + 4ac

 2 m2  
 m + m 4a + 4ac   x   2m + m2 + 4ac 
  m2   m + m2 + 4ac 4a 
( )( ) ( )y= − m 4ac  +  − − − 4

+ + 

พกิ ัดจดุ W ซง่ึ เป็นจุดตดั ของเสน้ ตรง VW และ UW หาได้จาก (3) − (4)

 −2 m2 + 4ac  =  2m m2 + 4ac  +  −4m m2 + 4ac + 2m m2 + 4ac 
 x  4a   m2 − m2 − 4ac 
( )( ) −4ac     
 4a 

( )2 =m m2 + 4ac − m2 − 2ac + m m2 + 4ac + m2 + 2ac
m2 + 4ac x 2a

x = 4acm + m
4a

แทนคา่ x ใน (3) จะได้

 m 2 − m m2 + 4ac   4acm + m   2m − m2 + 4ac 
 4a   4a   m − m2 + 4ac 4ac 
    
m − m2 + 4ac   
( )( )y= −   +

y = 2m2 + 1
4a

จะได้วา่ พิกดั ของจุด W คือ  4acm + m , 2m2 + 1
 4a 4a 
 

การหาความยาวของรศั มวี งกลมล้อมรอบรปู
สามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ABC

เนอ่ื งจากเสน้ ตรง AW เป็นรัศมีวงกลมลอ้ มรอบรูปสามเหลี่ยมของ
อารค์ มิ ดี ีส ABC ความยาวของรศั มี AW สามารถหาได้ ดังนี้

 4acm + m   m 2  2m2 + 1 2
 4a   2a   4a  0
( )AW =  −   +   − −c


= 4m4 + 5m2 + 8acm2 + 8ac + 16a2c2 + 16a2c2m2 + 1 หนว่ ย
16a 2

การหาพน้ื ท่วี งกลมล้อมรอบรูปสามเหล่ียมของอาร์คิมดี สี ABC

ให้ G พ้ืนท่ีวงกลมลอ้ มรอบรูปสามเหลี่ยมของอารค์ ิมีดสี ABC

( )G =  4m 4 + 5m 2 + 8acm 2 + 8ac + 16a 2c 2 + 16a 2c 2m 2 + 1 2
 16a 2 



( )=  4m4 + 5m2 + 8acm2 + 8ac + 16a2c2 + 16a2c2m2 +1
 16a 2 
 

นนั่ คือ พน้ื ที่วงกลมล้อมรอบรปู สามเหลย่ี มของอารค์ ิมดี สี ABC

เท่ากบั ตารางหนว่ ย( )
 4m4 + 5m2 + 8acm2 + 8ac + 16a2c2 + 16a 2c2m2 +1
 16a 2 
 

จุดออร์โทเซนเตอร์ของรูปสามเหลีย่ ม

บทนิยาม 4

จดุ ออรโ์ ทเซนเตอรข์ องรูป
สามเหลย่ี ม (Orthocenter
of Triangle) หมายถงึ จดุ ตดั

ของเสน้ ตรงทล่ี าก จากจดุ ยอดมมุ มาตงั้
ฉากกบั ดา้ นตรงขา้ ม (Altitude)

ทงั้ สามของรูปสามเหลย่ี ม

การหาพิกดั ของจุดออรโ์ ทเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส

รูปสามเหล่ียมของอารค์ มิ ีดสี ABC เกิดจาก
เส้นตรง y = mx+c ตัดโคง้ พาราโบลา
ทจ่ี ดุ B และ C โดยมี คอร์ด BC เปน็ ฐานและจดุ A เป็น
จุดยอด ให้จดุ O เปน็ จดุ ออร์โทเซนเตอรข์ องรปู สามเหลีย่ มท่ี
เกดิ จากการตดั กนั ของเสน้ ตรง AD, BE และ CF ซง่ึ เป็น
เสน้ ทล่ี ากจากมุมยอดมาต้ังฉากกบั ดา้ น AB , AC และ
AB ท่ีจดุ D,E และ F ตามลาดับ

พกิ ดั ของจุดออรโ์ ทเซนเตอรข์ องรปู สามเหล่ียมของอาร์คิมีดีส ABC

เน่ืองจาก เสน้ ตรง AC มคี วามชนั เทา่ กบั m + m2 + 4ac

ดงั นั้น ความชนั ของเสน้ ตรง BE ซ่ึงตงั้ ฉากกบั เส้นตรง AC

เท่ากับ  1 
−  m + m2 + 4ac 

เน่ืองจาก พิกดั ของจุด B คอื  m − m2 + 4ac , m2 − m m2 + 4ac 
 
 2a 2a 

จะได้ สมการเส้นตรง BE คือ y − m2 − m m2 + 4ac + 2ac  =  1   −  m − m2 + 4ac 
 2a  − m2  x  
   2a 
  m + + 4ac

m2  
 −m m2 + 4ac + 2ac   x   m − m2 + 4ac 
2a  m2   2a m + m2 + 4ac 
( )( ) ( ) m   
y =  − 4ac + −−− 5

+ +

เน่ืองจาก เส้นตรง AB มีความชันเท่ากบั m − m2 + 4ac

ดังนั้น ความชนั ของเส้นตรง CF ซง่ึ ตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง AB
1

เทา่ กบั −  m − m2 + 4ac 

เนอ่ื งจาก พิกัดของจดุ C CคือFคmือ+ m2 + 4ac , m + m2 + 4ac + 2ac 
จะได้ สมการของเสน้ ตรง 2a 
2a 

y − m2 + m m2 + 4ac + 2ac  = −  1   −  m + m2 + 4ac 
 2a    x  
m2 + 4ac    2a 
 m2 + 4ac  m − 
2a 
( )y = m2 + m  
 
( )( )
+ 2ac −  x  +  m + m2 + 4ac −−− 6
 m2  
 m − + 4ac   2a m − m2 + 4ac

พกิ ดั ของจดุ O ซ่ึงเปน็ จุดตดั ของเสน้ ตรง BE และ CF
หาได้จาก(6) – (5)ดังน้ี

 −2 m2 + 4ac  =  −2m m2 + 4ac  +  −4m m2 + 4ac 
 −4ac x  2a   −8a 2c 
( )    
  

x = m − 2acm
a

แทนคา่ x ใน (6) จะได้

m2   m − 2ac   
 m2 +     m2 + 4ac 
y = + m 2a 4ac + 2ac −  a  +  m + − m + 4ac 
m  2a m 
( )( ) 
 − m2 + 4ac 


( ) ( ) ( )( )= m2 + m m2 + 4ac + 2ac m − m2 + 4ac − 2 m − 2acm + m + m2 + 4ac

( )=
y 2ac − 1 ( )2a m − m2 + 4ac
2a
จะได้ พกิ ัดของจดุ O คือ m − 2acm , 2ac − 1
 a 2a 
น่นั คือ   ABC
พกิ ดั ของจุดออรโ์ ทเซนเตอรข์ องรปู สามเหล่ียมของอารค์ มิ ีดีส

อยทู่ ่ี O  m − 2acm , 2ac − 1
 a 2a 
 

การหาพกิ ดั ของจดุ ก่ึงกลางระหว่างจุดออรโ์ ทเซนเตอร์
กบั จุดยอดมุมท้ังสามของรูปสามเหลีย่ มของอาร์คิมดี สี

เส้นตรง y = mx + c ตัดโคง้ พาราโบลาy = ax2 ทจ่ี ดุ B

และ C ทาใหเ้ กดิ รปู สามเหล่ียมของอารค์ ิมดี ีส ABC ซึง่ มคี อรด์ BC
เป็นฐานและมีจุด A เป็นจดุ ยอด โดยมจี ดุ O เปน็ จุดออรโ์ ทเซนเตอร์ ให้
จดุ P, Q และ R เปน็ จุดกง่ึ กลางระหว่าง เสน้ ตรง AO,BO และ
CO ตามลาดบั

พิกดั จดุ ก่งึ กลางระหวา่ งจุดออรโ์ ทเซนเตอรก์ บั จดุ ยอดมุมทง้ั สาม

ของรูปสามเหลยี่ มของอารค์ มิ ีดสี ABC เนอ่ื งจาก พกิ ัดของจุดออร์

โทเซนเตอรข์ องรูปสามเหล่ยี มของอาร์คิมดี ีส ABC คอื O  m − 2acm , 2ac − 1 
พิกดั ของจุด P ซึ่งเป็นจุดกงึ่ กลางระหวา่ งจดุ A และ  a 2a 
O 
หาไดจ้ าก

m + m − 2acm ( )y = −c + 2ac −
2a 1 2a
x = a
2 2

= 3m − 4acm = − 4a
4a

ดังนน้ั พกิ ดั ของ จุด P คือ  3m − 4acm , − 1 
 4a 4a 
 

พิกัดของจุด Q ซึ่งเป็นจดุ กึ่งกลางระหว่างจดุ B และ O คือ

 3m − m2 + 4ac − 4acm , m2 − m m2 + 4ac + 4ac − 1 
 
 4a 4a 

พกิ ัดของจดุ R ซ่ึงเป็นจุดก่ึงกลางระหวา่ งจุด C และ O คือ

 3m + m2 + 4ac − 4acm , m2 + m m2 + 4ac + 4ac − 1 
 
 4a 4a 

นน่ั คือ พกิ ดั ของจุดก่ึงกลางระหวา่ งจดุ ออรโ์ ทเซนเตอร์กบั จดุ ยอดมุมทง้ั สาม
ของรูปสามเหล่ียมของอารค์ ิมดี ีส ABC อยู่ที่

P  3m − 4acm , − 1 
 4a 4a 
 

Q  3m − m2 + 4ac − 4acm , m2 − m m2 + 4ac + 4ac − 1 
 
 4a 4a 

R  3m + m2 + 4ac − 4acm , m2 + m m2 + 4ac + 4ac − 1 
 
 4a 4a 

วงกลมเกา้ จดุ ของรปู สามเหลีย่ มของอารค์ มิ ดี สี กบั
รปู สามเหลีย่ มของออยเลอร์