สัมมนา สมบัติของพื้นที่วงกลมเก้าจุด

บทนยิ าม 5

วงกลมเก้าจุดของรูปสามเหลี่ยม (NinePoint Circle of
Triangle) หมายถึง วงกลมท่ีมีเส้นรอบวง ลากผ่านจุดกึ่งกลาง
ของดา้ นท้งั สาม จดุ ที่เกิดจากเสน้ ตรงซง่ึ ลากจากจดุ ยอดมุมมาตัง้ ฉาก
กับด้านตรงข้ามท้งั สามและจุดกึง่ กลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กบั
จุดยอดมมุ ทั้งสามของรปู สามเหล่ยี มทีก่ าหนดให้

บทนยิ าม 6

วงกลมเก้าจุดของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส (Nine-Point
Circle of Archimedes’ Triangle) หมายถึง วงกลมท่ีมี
เส้นรอบวงลากผ่านจุดกึ่งกลางของดา้ นทั้งสาม จุดท่ีเกิดจากเส้นตรงซ่ึง
ลากจากจุดยอดมุมมาต้ังฉาก กับด้านตรงข้ามท้ังสามและจุดกึ่งกลาง
ระหวา่ งจดุ ออร์โทเซนเตอร์กับจดุ ยอดมุมท้ังสามของรปู สามเหลี่ยมของ
อารค์ มิ ดี ีส

บทนิยาม 7

รปู สามเหล่ียมของออยเลอร์ (Euler Triangle)
หมายถึง รูปสามเหล่ียมท่ีมีจุดยอดมุมอยู่บนจุด ก่ึงกลาง
ระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับจุดยอดมุมท้ังสามของรูป
สามเหลี่ยมของอาร์คมิ ีดสี

พน้ื ท่ีรูปสามเหลีย่ มของออยเลอร์

วงกลมเก้าจุดของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ABC มีเส้นรอบวงผ่านจุด
D, L, R, M, E, P, F, N และ Q ตามลาดับ ให้รูปสามเหล่ียม
PQR เป็นรูปสามเหล่ียมของออยเลอร์ที่มีจุดยอดอยู่ท่ีจุด P, Q และ R
ซ่ึงเป็นจุดก่ึงกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับจุดยอดมุมทั้งสามของรูป
สามเหล่ยี ม ABC

ให้  แทน พ้นื ที่รปู สามเหล่ียมของออยเลอร์ PQR สามารถหาพื้นทีจ่ าก

พิกดั ของจุดยอดมมุ ทัง้ สามได้ ดงั น้ี

3m − m2 + 4ac − 4acm m2 − m m2 + 4ac + 4ac − 1

4a 4a

1 3m + m2 + 4ac − 4acm m2 + m m2 + 4ac + 4ac − 1

 =  2  4a 1 4a
  3m − 4acm 4a
−
4a

3m − m2 + 4ac − 4acm m2 − m m2 + 4ac + 4ac − 1

4a 4a

 3 

( )
5m − 9m + 32acm − 8acm 3 − 32a 2c2m2 − m2 + 4ac m2 + 4ac

1  16a 2 
2  
− 8acm 3 − 32a2c2m2
16a 2
( )=
 5m 3 − 9m + 32acm − + m2 + 4ac m2 + 4ac 
 
 
 

 ( )−2 m2 + 4ac m2 + 4ac ตารางหนว่ ย
= 16a2

นัน่ คือ พน้ื ทร่ี ปู สามเหลีย่ มของออยเลอร์ PQR

( )m2 + 4ac m2 + 4ac ตารางหน่วย
16a2

พื้นที่วงกลมเก้าจดุ ของรปู สามเหลี่ยมของอารค์ มิ ีดสี

การหาพิกดั ของจดุ ศนู ย์กลางและรัศมวี งกลมเก้าจุดของรูปสามเหลยี่ มของอารค์ ิมดี สี

วงกลมเก้าจดุ ของรูปสามเหล่ียมของอาร์คิมีดสี ABC มีเส้นรอบวงผ่านจดุ D, L, R, M, E,
P, N, F และ Q ตามลาดับ เม่อื จดุ L,M และ N เป็นจุดกึง่ กลางของดา้ น BC,AC และ AB

โดยที่จดุ D,E และ F เปน็ จดุ ที่เกิดจากเส้นตรงซึ่งลากจากจุดยอดมุมของรูปสามเหล่ียม ABC
มาต้ังฉากกับด้าน BC,AC และ AB มีจดุ O เป็นจุดออร์โทเซนเตอร์ และให้จดุ P, Q และ R
เป็นจุดกึ่งกลางของระยะ AO, BO และ CO ตามลาดับ

การหาพิกัดของจุดศูนย์กลางวงกลมเก้าจดุ ของรูปสามเหล่ียม

ของอาร์คมิ ดี ีส ABC

สรา้ งรูปสามเหลี่ยม PQR แนบในวงกลมเก้าจุด ลากเส้นต้งั ฉากจาก
จุด H และ K ซง่ึ เปน็ จดุ กง่ึ กลางของด้าน QR และ PR ตามลาดับให้
ตัดกนั ทจ่ี ดุ J (Figure 8.2)

พกิ ดั ของจดุ H ซึ่งเปน็ จดุ ก่ึงกลางระหวา่ งจดุ Q และ R หาไดจ้ าก

3m − m2 + 4ac − 4acm + 3m + m2 + 4ac − 4acm
4a 2 4a
x =
3m − 4acm
x = 4a

m2 − m m2 + 4ac + 4ac −1 + m2 + m m2 + 4ac + 4ac − 1
y= 4a 4a

2

y= m2 + 4ac − 1 H คือ  3m − 4acm , m2 + 4ac −1
 4a 4a 
ดงั น้นั พกิ ดั 4ขaองจุด  

ความชนั ของเส้นตรง QR

 m 2 − m m2 + 4ac + 4ac − 1   m 2 + m m2 + 4ac + 4ac − 1 
 4a   
=   −  4a 

 3m − m2 + 4ac − 4acm  −  3m + m2 + 4ac − 4acm 
 4a   4a 
   

QR = m

เนื่องจาก เส้นตรง HJ ตั้งฉากกบั เส้นตรง QR
1
ดังนั้น ความชนั ของเสน้ ตรง HJ = − m

จะได้ สมการเสน้ ตรง HJ คือ y −  m2 + 4ac − 1 = − 1 x −  3m − 4acm 
 4a  m   4a 
   

y = − x + m2 + 2 − − −(7)
m  
 4a 

พิกัดของจดุ K ซึ่งเปน็ จดุ กง่ึ กลางระหวา่ งจดุ P และ R หาไดจ้ าก

3m + m2 + 4ac − 4acm + 3m − 4acm m2 +m m2 + 4ac + 4ac −1 +  − 1 
x= 4a 2 4a 4a  4a 
 
y =
2

x = 6m + m2 + 4ac − 8acm y = m2 + m m2 + 4ac + 4ac − 2
8a 8a

ดงั นนั้ พกิ ัดของจุด K คือ  6m + m2 + 4ac − 8acm , m2 + m m2 + 4ac + 4ac − 2 
 
 8a 8a 

 m 2 + m m2 + 4ac + 4ac − 1   1 
 4a   4a 
  − − 

ความชนั ของเส้นตรง PR = 

 3m + m2 + 4ac − 4acm  −  3m − 4acm 
 4a   4a 
   

เน่อื งจาก เส้นตรง KJ ตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง PR

ดังนั้น ความชนั ของเส้นตรง KJ  m2 + 4ac 
 m2 + 4ac 
= −  m2 m 4ac 

+ +

สมการเสน้ ตรง KJ คือ

y −  m2 + m m2 + 4ac + 4ac − 2  =  m2 + 4ac  −  6m + m2 + 4ac − 8acm 
 8a  − m2 + 4ac  x  
     8a 
 m2 + m + 4ac

 m2 + 4ac 
y = − x
 m2 + m m2 + 4ac + 4ac 


 4m m2 + 4ac − m2 − 4ac + 2m 4 + 2m 3 m2 + 4ac + 12acm2 + 16a2c2 
+   − − −(8)
( ) 
8a m2 + m m2 + 4ac + 4ac

พกิ ดั ของจุด J ซ่ึงเป็นจดุ ตัดของเส้นตรง HJ และ KJ

หาไดจ้ าก (7) – (8)

 m2 + 4ac  = 16a2c2 − 5m2 + 4acm2 − 20ac
m m2 + m m2 + 4ac  x 8a m2 + m m2 + 4ac + 4ac
( ) ( )−
+ 4ac 

16a2c2 − 5m2 + 4acm2 − 20ac
8a m2 + m m2 + 4ac + 4ac
( ) ( ) ( )− m2 + 4ac m m2 
x = m2 + m + 4ac + 4ac 

( )− m2 16a 2c 2m − 5m 3 + 4acm3 − 20acm
+ 4ac x = 8a

x = 5m − 4acm
8a

แทนค่า x ใน (7) จะได้

 5m − 4acm  m2 + 2
( )y= −   +  
 8a m   4a 

y = 2m2 + 4ac −1
8a

ดงั นน้ั พิกัดของจดุ ศนู ย์กลางวงกลมเก้าจดุ ของรูปสามเหล่ยี ม
ของอาร์คิมดี ีส ABC อยู่ท่ี
J  5m − 4acm , 2m 2 + 4ac − 1
 8a 8a 
 

การหาความยาวของรัศมวี งกลมเกา้ จดุ ของรูปสามเหล่ยี ม
ของอารค์ มิ ดี ีส ABC

เนือ่ งจากเสน้ ตรง PJ เป็นรศั มวี งกลมเก้าจุดของรูปสามเหลย่ี มของอารค์ มิ ี
ดสี ABC (Figure 8.3)

ความยาวของรศั มี PJ สามารถหาได้ ดังน้ี

PJ =  5m − 4acm  −  3m − 4acn 2 +  2m 2 + 4ac − 1 −  − 1 2 
 8a   4a  8a   4a  
       

= 4m4 + 5m2 + 8acm2 + 8ac + 16a2c2 + 16a2c2m2 + 1
64a 2

การหาพนื้ ที่วงกลมลอ้ มรอบรปู สามเหล่ียมของอารค์ ิมดี สี ABC

ให้ T แทนพื้นทวี่ งกลมเกา้ จดุ ของรูปสามเหลย่ี มของอาร์คมิ ดี สี

ABC ตารางหนว่ ย 2
 4m4 + 5m2 + 8acm2 + 8ac + 16a2c2 + 16a2c2m2 + 1
( )T =   
 64a 2 

( )=  4m4 + 5m2 + 8acm2 + 8ac + 16a2c2 + 16a2c2m2 + 1 
 
 64a 2 

นัน่ คอื พน้ื ท่ีวงกลมเก้าจดุ ของรปู สามเหล่ยี มของอารค์ ิมีดสี ABC

เท่ากับ ตารางหนว่ ย( )
 4m4 + 5m2 + 8acm2 + 8ac + 16a2c2 + 16a2c2m2 +1
 64a 2 
 

ผลการวิจัย

ผลการวิจัยแสดงถึงสมบัตแิ ละความสัมพันธ์เกี่ยวกับพื้นที่วงกลมเก้าจุด
ของรูปสามเหล่ียมของอาร์คิมีดีส พ้ืนท่ีวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมของ
อาร์คิมีดีส พ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยม ของอาร์คิมีดีสและพื้นท่ีรูปสามเหล่ียมของ
ออยเลอร์ ดังตอ่ ไปนี้

ความสัมพันธ์ของพ้ืนที่วงกลมเก้าจุดกับพื้นท่ีวงกลมล้อมรอบรูป
สามเหลีย่ มของอาร์คมิ ีดสี

พิจารณา Figure 9.1

ให้ T แทน พ้ืนทีว่ งกลมเก้าจุดของรปู สามเหลยี่ มของอารค์ ิมีดีส ABC

G แทน พื้นที่วงกลมลอ้ มรอบรูปสามเหลย่ี มของอาร์คมิ ีดีส ABC

( )T  4m2 + 5m2 + 8ac + 16a2c2 + 16a2c2m2 +1
 64a 2 
=  

( )G  4m2 + 5m2 + 8ac + 16a2c2 + 16a2c2m2 +1
1  16a 2 
 
=4

น่ันคอื พ้นื ทวี่ งกลมเกา้ จุดของรปู สามเหลยี่ มของอาร์คิมีดสี
เท่ากับ 1 เทา่ ของพนื้ ทว่ี งกลมลอ้ มรูปสามเหลี่ยมของอาร์คมิ ดี สี
4

ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหล่ียมของออยเลอร์กับพ้ืนที่รูป
สามเหลีย่ มของอาร์คมิ ดี ีส

พจิ ารณา Figure 9.2

ให้ δ แทน พ้นื ทรี่ ปู สามเหลี่ยมของออยเลอร์

Ω แทน พื้นทร่ี ปู สามเหลย่ี มของอารค์ มิ ดี ีส

 ( )m2 + 4ac m2 + 4ac
=
16a 2

( ) m2 + 4ac m2 + 4ac

1 4a2
=4
1 เทา่
นั่นคือ พน้ื ท่รี ูปสามเหล่ยี มของออยเลอรเ์ ท่ากบั 4

ของพนื้ ท่ีรูปสามเหลยี่ มของอารค์ มิ ีดสี

หมายเหตุ ในการวจิ ัยคร้ังน้ไี ด้แสดงการพิสจู น์เฉพาะกรณีทกี่ าหนด
เส้นตรง y = mx + c และ โคง้ พาราโบลา y = ax2

ในกรณที ่ี m, c และ a มีค่าเปน็ บวกเท่านนั้
แตผ่ ลวจิ ยั น้มี คี วามครอบคลมุ ถงึ กรณีที่ m, c และ a มคี ่าเป็นลบ
ด้วยเชน่ กัน

วิจารณ์และสรุปผล 1

ผลจากการศกึ ษาครง้ั น้ีพบวา่ พ้นื ท่วี งกลมเกา้ จุดของรูปสามเหลย่ี มของอารค์ ิมดี ีสเทา่ กับ 4

เทา่ ของพน้ื ท่ีวงกลมลอ้ มรอบรปู สามเหล่ยี มของอารค์ ิมีดสี ซึง่ ผลวจิ ยั ดงั กลา่ วแม้จะยงั เปน็ ประเดน็ ทยี่ งั ไม่พบ

การอ้างองิ โดยตรงจากนกั วชิ าการท่านอื่น มาก่อนแต่ก็อาจเทียบเคียงและกลา่ วไดว้ ่ามีความสอดคลอ้ งกบั

ผลสรปุ ของ Coxeter. and Greitzer.2 และ Hofstadter.7 ทไ่ี ด้อธบิ ายคุณลกั ษณะเชิง

ทฤษฎขี องรัศมขี องวงกลมเก้าจดุ และรัศมีของวงกลมลอ้ มรอบรปู สามเหล่ียมในกรณีทัว่ ไปใน หนงั สอื
Geometry Revisited และ From Euler to Ulam Discovery and

Dissection of a Geometric Gem ไวว้ ่า รัศมีของวงกลมเก้าจดุ ของรูปสามเหลี่ยม
1
จะยาวเปน็ 2 เทา่ ของ รัศมขี องวงกลมล้อมรอบรปู สามเหลี่ยมรปู น้ัน

จากผลสรุป ดังกลา่ วจะพบวา่ หากนารศั มขี องวงกลมมาคานวณเพื่อหา พ้ืนท่ีของวงกลมทั้ง
สองแล้วก็จะพบความจรงิ ทตี่ รงกบั ผลการ ศึกษาวจิ ยั ในครัง้ นก้ี ลา่ วคือพน้ื ที่วงกลมเก้าจดุ เทา่ กบั

1 ของพ้นื ทว่ี งกลมลอ้ มรอบรปู สามเหลย่ี มของอารค์ มิ ีดสี นัน่ เอง

4

สาหรับผลวจิ ัยประเดน็ ตอ่ มาซงึ่ พบว่า พ้ืนท่ีรูปสามเหลย่ี มของออยเลอร์เท่ากับ 1
เท่าของพน้ื ท่ีรปู สามเหลีย่ มของอาร์คิมดี ีส ข้อค้นพบดงั กลา่ วถอื เป็นผลสรปุ ใหมท่ ี่ 4
เป็นจรงิ ในกรณีเฉพาะ กับรปู สามเหลยี่ มของออยเลอร์ท่ีเกดิ ขนึ้ ภายใต้โครงสรา้ งที่
เกีย่ วข้องกบั รปู สามเหลี่ยมของอาร์คมิ ีดสี ถึงแมว้ า่ ยงั ไม่พบ ความสอดคลอ้ งกบั
ผลการศึกษาของนกั วิชาการอนื่ ๆ ก่อนหน้า นีแ้ ต่ผลวิจัยดังกลา่ วก็ได้รบั การพสิ ูจน์
ตามกระบวนการทาง คณติ ศาสตรด์ ังทแ่ี สดงไว้แล้วในเบือ้ งต้น

จบการนาเสนอ