Matemática Básica - Moisés Lázaro

INDUCCIÓN M ATEM ÁTICA

PROBLEMAS PROPUESTOS • GRUPO X

Hallar el valor de las siguientes sumas y demostrar por inducción la validez de la suma.

a) M o n Í H 2 + - - + ^ u ■• y/ - 1_
* = 2 n+1

b) t; = ( T ) + 2 ( ; ) + 3 ( ; ) + .........+ « ( ; ) * «2-

c) Pn = ( o ) + *^( l\ ) + ^( 2 ) + h-(2ah- 1)( ” ) 0 + 1)2"

d) R: n(n + 1)2"“ 2
k=i v 1

S u g e re n c ia A p lic a r las propiedades:

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

PROBLEMAS PROPUESTOS - GRUPO 3

P l Demostrar por inducción las siguientes proposiciones:

01. ¿ ( 2 / 1)2 —”(2« - I) (2»'+ 1) ^ ( 2 j ) 2 = 2»(« + II(2); + l)
/=l ,=|

03. ¿ ( 2 / ) 3 = 2 « ? ( « + l ) 2 04, ¿ ( 2 / - l ) W ( 2 « 2 - 1 )
/=l /=i

n n
05. ^ / ( / + 1 ) = j r t ( « + l) (n + 2) OS. ^ 2 /( 2 / + 2) = ^ n(2n + 2) (2/? + 4)

í =I ;=i

07. Si l + / ? > 0 y « > 1 , (1 + /?)" > 1+ «/? (desigualdad de Bemoulli)

08. Si a > 6 y « > 1, < a"-b n <n(a-b)a"~]

09. 1• 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + ... + «(/7 + l) = ',(n + '^(” + 2)

10. I • 2 - 3 + 2 - 3 - 4 + 3 - 4 - 5 + ... + « (n + l ) ( « + 2) = - ^ i l O ± 2li2±21

11. 1*22 + 2 - 32 + 3 • 4 2 + ( « - l ) / 7 2 = ZLÍ2Íd¡^L+2)

12. 3 + 32 + 3 3 +. . . +3 " = l í 2l=I>

13. 2 • 2o +3 • 2 1+ 4 • 22 +. . . + (a?+1) • 2" + 1 = n - 2"

14- TT3+ J i l ' + 4^I + "' + (« + l)l(n + 2) = 2(n + 2)

15. ±2 + ^22+ ^2 + ... + ^ 21 = 3 - 2^

ir 1 i 1 . 1 | i______ L,_____ —: n

10* i . 4 4 • 7 7 • 10 (3/? - 2) (3/7 + 1) 3n + 1

17 . .1—-i 1____ i ! [- -|---------J----------- —11—
11 ’ 1-10 10-19 1 9 - 2 8 ( 9 / 7 - 8 ) (9/7 + 1) 9/7 + 1

18. T^ + TT^ + TTi^T+ . . . + ---- : L
5-11 1 1 - 1 7 1 7 -23 ( 6/7- l ) ( 6 / ? + 5) 5 (6/7 + 5)

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INDUCCION MATEMÁTICA

19 —!— i— 1— 1 1 l _i________! —n
l-3 3-5 5-7 (2n- l )( 2n + l) 2« + l

on _ i _ 4._2L 4._3L 4- 2, n _ n{n + \)

*w' 1 ' 3 3 - 5 5 * 7 (2/7 —1 ) ( 2 /?h-1) 2 ( 2 * + 1 )

21. 1 4------1------ 1------1------ (_ 4----------- 1—-------- —-L / J_ . !______ \

1*2‘3 2*3*4 3*4*5 ai( « + ! ) ( « + 2) 2 \ 2 ( n + \ ) ( n + 2 ) J

22 1 . 2 . 3 .____ 1____________ n__________ _ n{n + \)

üe“ 1 • 3 • 5 ^ 3 • 5 • 7 ^ 5 • 7 • 9 ^ ‘ ^ ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) ( 2 n + 3.) “ 2 { 2 n + 1) { 2 n + 3)

11 Demuéstrese (por el método de inducción matemática) que para cualquier n natural
se verifican las siguientes desigualdades (23 al 25).

23. I + J - + - L + . . . + — J— ^ 2 — L-

l2 2 in + 1) "+ 1

24. 2 yj tí +1 > - L 4— \=r 4— L + ... 4— .....i . > y j tí 4 -1
VI V2 V3 Jn +\

25. ( /» ! ) > ( j ) n

26. Demuéstrese que para todo n > 5 (n es un número natural) se verifica la desigualdad
2n >n2 ,

27. Demuéstrese que para todo n natural (n > 3) se verifica la desigualdad n\ > 2n ~ 1 .

111 Demuéstrese que para cualquier n natural: 591
28. El número r? + 5 n es divisible por 6 .
29. El número r? + (/? + l ) 3 +(/? + 2 ) 3 es divisible por 9.
30. El número 4 " + 1 5 /7 -1 es divisible por 9.
31. El número 32n - 1 se divide por 2n+ 2 y no se divide por 2n
32. El número n5 - n se divide por 30.
33. El número 4 2n- 3 2n- 1 se divide por 84.

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34. El número 62" +19" - 2 " + 1 se divide por 17.
35. El número 42w+ 1+ 3" + 2 se divide por 13.
36. El número n2(n4 - 1 ) se divide por 60.
37. El número 6n5 + 15/?4 +\0r? - n se divide por 30.
38. El número 20^ +] + 16” + J - 3 rt + 1- 1 se divide por 323.
39. El número (2n)3 +20(2n) se divide por 48.
40. Demostrar que *jc+ y es un factor de jc2n ” 1+ y 2n “ 1, para cualquier entero positivo n.

IV Demostrar por inducción matemática:

41. 2 + 9 + 16 + . * * + { l n - 5 ) = , pera toda n e W + .

42. I2 + 3 2 + 5 3 +. . . + ( 2 « - l ) 2 = -j(4 « 2 - 1 ) , para toda n e JV+ .

43. 2n > n , para toda n e IN+ .
44. nn > « ! , para toda « g .

n(n - 1) a2
45. (1 + a) > 1+ na + 2-~— , para toda n e I N , para toda a e IR, a > 0 .

46. x2n - y 2n es divisible por x - y , para toda n e I N + , para todo x , y e IR .

47‘ (3) +( 3 ) +(3) + --- +^ 3 3) = ( W3 4) ’ p ar at 0da, í6W+-

48- To + 20 +l V •••+TT^TT) = TT^TT) ’Paratoda « e m+ •

49. n3 + (« + 1)3 + (n + 2 )3 es siempre divisible por 9, para toda n e I N + .

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INDUCCIÓN M ATEM ÁTICA

PROBLEMAS PROPUESTOS - GRUPO 4

Determinar una expresión simplificada para cada una de las siguientes sumatorias.

•1. K. 13. ¿ l o g ( i f i )

k=\ 0 k=1 k=1 V 7

A lk +l nk « ,' JL
05- Y k x 0G‘ Z - T —
M- Z ^ Ü TT
*=. . * = > 4*2 - '
*=> 2 1

07. ¿ ( 2 ¿ - 6 / f c 2 + l ) 08. ¿ (Á3 - 3 Á 2 + 3A :-1) '
k=1
A= 1

[ í t + (>-i)] u - i, t j ¡ k2 n- i Z < e i * )
A= 1 A= 1 *=1

12- ( 1+ T ¿ - 7 ^ + ? * 3 ] 13‘ Z ( 2 « 2 - 3^ ) 14 É ( H * )

A: = 1 ' J ¿= 1 *=1

11 Z 1[ U« - I * T* 2]-1 «• íK[_ (1» +' ) - í * ]

I. _

PROBLEMAS PROPUESTOS - GRUPO 5
01. Simplificar y calcular las siguientes sumatorias:

a) Z 3 * b) ¿ ( * 2 + 2 ) c) ¿ ( 2 ; y , - 5 )
JC= 1 X= 1 1=1

4 5 2> n
d> ± x, o Z u - 3 )2
e) Z ( / - 3 ^
i- 1 >- = 2 i=i

02. Simplificar y calcular las siguientes sumatorias:

a) b) Z !(* 2 + 2 /) c) Z ( x + xy 2 ) d) Z
/•=! x =1
y=] i =1

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

e) ¿ 6 f) ¿ ( * 2 + / ) g) ¿ U - 0 h)

y= 1 >- = 0 i= l /' = 1

03. Calcular las sumas de los ejercicios desde (a) hasta ( /) usando las siguientes conjuntos
de observaciones:

i i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
y¡ 3 12 10 - 6 0 11 2 - 9 - 5 8 - 7 4 - 5

13 10 13
C) X u - 2 ) 2
a) Z 2yr b)
i=3 <=i
i=1
10 0 Z y 2 - -113 I y-
13
e) • ? + y / )
d) 2 ( 2Vi - 5 )
1= 1 /=!

04. Sean los conjuntos A ■= { xxp#2fyx3 } y B = { y x,y 2 } definimos:

n. w

Z *,• Z yi

x = , y = . Verificar las siguientes identidades

a) I ( y , - y ) 2= I y ? - ^ V
/=1
1= 1

2>/ 2>/

1= 1 \i =] /

b) Z ( * ¡ _ * ) ( y < ~ y ) = Z * / y ¿ _
/=1 i= l

Z (.v/ - V)2

c) izi__________ i
n- 1 S y ? -i Zy»-
n- 1 ¿=i í= i

i =1 Z*#
d) í=l / =1

Z (*/ - * ) »Z A- /Z=1* /
/ =1
1= 1

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BIBLIOGRAFÍA

I. LIBROS
• Allendoerfer & Carley. Fundamentos de Matemática Universitaria
Ediciones Del Castillo S.A.
• Alien, Douglas. School Mathematics Studv Groups (SMGS)
Mathematics for High School
Yale University Press.
• Carranza C. & Kong M. Teoría de Conjuntos v Números Reales
Perú Offset.
• Ferrater Mora José & Hugues Leblan. Lógica Matemática
Fondo de Cultura Económica - M éxico
• Potapov M. Algebra
Editorial Mir - Moscú

• P. Suppes & S. Hill. Introducción a la Lógica Matemática
Editorial Reverté S.A.

II INTERNET
• Glosario de Carlos Von der Becke
Lógica Dicotómica.
• José Alfredo Jiménez Murillo y María Aeida
Lógica Matemática.
• Wikipedia, La Enciclopedia Libre
Teoría de Conjuntos.
• Ejercicios Resueltos de Matemática,
giamath.sytes.net/ejercicios resueltos
Axiomas de los Números Reales.

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