Matemática Básica - Moisés Lázaro

NUMEROS R€AL€5

11 Si a > 0 , b > 0 , c > 0 . Dem ostrar: \ b - c \ < a < b + c <==> \ a - c \ < b < a + c
Veamos:
La dem ostración consiste en aplicar sucesivamente la propiedad:
- k < x < k < = > k > 0 a |jc | < A:

(=>) Debo probar que: \ b - c \ < a <b + c im plica \ a - c \ < b < a + c .
1) De la hipótesis: \ b - c \ < a < b + c

2) => - a < b - c < a <b +c

=> - a < b - c a b - c < a a a<b +c
a a - c <*b
a>c-b a b < a +. c
a - c >* - b

y
-b < a-c < b < a+c

\a-c\ < b < a +c

(<=) Debo probar que \ a - c \ <b < a + c im plica \ b - c \ < a <b + c

Queda como ejercicio .........

12 D em ostrar que a , b , c e IR, se cum ple: (\a\ + \b\) (\a\ + \c\) (\b\ + \ c \ ) >y / $\ abc \
Prueba:
1) Según el problem a ( í ) : \x\ + \ y \ >2 y f \ x \ y [ y , V x , y e l R se obtendrá sucesi­
v am ente:
i) \a\ + \b\> 2 ^ \ 4 \b \
ii) \ a \ + \ c \ Z 2 y [ \ a \ J \ ¿ \
iii) \b\ + \ c \ > 2 j \ b \ j \ 7 \

2) M ultiplicar miembro a miembro estas desigualdades:
(|a | + |6 |)(|fl|+ J c |)(|¿ | + |c |) > 8 |a ||6 ||c | = 8|íí6c|

3) Luego: ( |a | + \b\) ( |a | + \c\) (|* | + |c |) > 8 |a é c |

389

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

13 D em ostrar que: | a | + | ^ f | + | c | ~ \a + b + c\ , V a , b , c e ¡ R - { 0 }
Prueba:
Teniendo com o referencia el problem a 8, en la consecuencia ii) obtuvim os:
1) 2 < | f | + | ¿ | por | c | => 2 | c | < | f | + | & |

2) 2 < | f | + | ¿ | por | b | => 2 | ¿ | < | ^ | + | ^ |

3) 2 < | ¿ | + k | por | a | => 2 | a | < | f | + | f I

4) Sumar: 2 ( |c | + \b\ + \a\ < l [ | f | + | f | + | f | )
|a|+|6| + |c|< f + f + *1

c I |6 | Ia I

5) Pero \a + b + c\ = \(a + b).+.c\ < \a + b\ + \c\ < \a\ + \b\ + \c\
6) P o r( 5 ) y (4): | a + 6 + c | < | f | + | f | + | ^ |

14 D em ostrar que V a,b e IR , se cum ple: \a + b\ = \a\ + \b\ < = > ab> 0
Prueba:
(=>)
1) Según la hipótesis: \a + b\ = \a\ + \b\

2) Elevar al cuadrado: \a + b \ 2 = (\a\ + \ b\ ) 2

=¿> (a + b)2 = \ a\ 2 + 2\a\ \b \ + \b\2 , pero \ a\ 2 = a2

=> a2 +2ab +b2 = a2 +2\a\\b\ + b2 \b\2 = b2

ab = \a\\b\

. =\ab\

3) Si \ a b \ - ab im plica ab> 0

( c= ) Queda como ejercicio...

390
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NUMEROS R€AL€S _

15 Dados los núm eros reales a, b, c, con abe * 0 y ¿7 + ¿?+ c = 0
D em ostrar qMue: II^- + bT + c- I| = J-na4_22r ++ _-bhL22t +4-J-eL22t
Prueba:

De |I1£7+ 1O+ 1CI| 2 = (\ 1¿7+ 10 + IC)) :

—-ay¿ + -i y2 + -y + 2 -ayb + 2 —ac + 2 -b~e

c2

-1,1,1. 2(c + b + a)
a2 b2 c2

= - y + -^- + - y + 0 , pues a + b + c = 0 y a b c ^ O

rr -L + -L + -L

a2 b2 e2

IB Probar que: a 4 + 64 + c4 + d 4 > 4\abcd\ , V a ,b ,c ,d e IR

Prueba:

1) Se cum ple: ( \ x \ - \ y \ ) 2 > 0 => \ x\ 2 + \ y \ 2 > 2\ x\ \ y\ , \ f x , y e I R

2) Haciendo: |x| = a 2 y \y\ = b2 => a 4 + b4 > l a 2b2

3) Igualmente: c4 + d 4 > 2 c2d 2 ,

4) Sumar: a 4 +b 4 +c 4 + d 4 > l { a 2b2 + c2d 2)

5) Si en 1) hacem os x - a b , y - c d obtenem os:

\ab\2 +\cd\2 > 2\ab\\cd\

< = > a 2b2 + c2d 2 > 2\abcd\

6) P o r2: 2 (a 2b2 + c 2d 2) > 4\abcd\

7) Comparando 4) con 6) y por transitividad: a4 + b4 + c 4 + d 4 > 4\abcd\

17 P robarque: a) máx { a, b) = ^ ( a + b) + ^ \ a - b \

b) mín {a,b) = ^ ( a +b ) - ^ \ a - b \

Prueba:
La dem ostración se hace en base a las siguientes definiciones:

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

Defunción 1 D ado un conjunto S de núm eros reales, se dice que “/w” es el m ínimo
de S , si verifica las siguientes condiciones:

i) m e S
ii) m < s , V s e S

Se denota: m = mín (S )

Definición 2 D ado un conjunto S de núm eros reales, se dice que “6” es el m áxim o
de S , si verifica las siguientes condiciones:

/) k e S
ii) s < k , V s e S
Veamos:
Sobre el conjunto {a,b) haremos 4 suposiciones:

1) Supongam os que a = min{ a, b} entonces:

/) a e { a, b} lo cual es verdadero.

ii) a < a a a < b

I es v e r d a d e r o (Prop. reflexiva)

Si a < b b - a > 0 , luego \ b - a \ = b - a

¥En consecuencia: m ín {¿7,6} = ^ ( a + b ) - ^ ( b - á) = a

2) Supongam os que b = mín {¿7,6}, entonces:
i) b e { ¿7,6}, lo cual es verdadero.

ii) b < a a 6 ^ 6

-es v e r d a d e r o (Prop. reflexiva)

Si 6 < ¿7 ¿7 -6 > 0 , luego \ a - b \ = a - b

En consecuencia máx{¿7,6} = ¥j ( a + b ) - ^ ( a - b ) = b

3) Supongam os que ¿7 = máx{ ¿7,6}, entonces:
i) a e { ¿7 ,6 }, lo cual es verdadero.
ii) ¿7 > ¿7 A ¿7 > 6

-es VERDADERO

392
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NÚMEROS REALES

Si a > b => a - b > O, luego \ a - b \ = a - b
En consecuencia: n\áx{a,b} = ^ ( a + b) +^ ( a - b ) = a

4) Suponer que b = máx{ a, b ) , entonces:
/) b e { a , b } , lo cual es verdadero.
//) b > a a b > b
I

1 es VERDADERO

Si b > a => a - b < 0 luego |a -¿ > | = - ( a - 6 ) = 6 - t f
En consecuencia máx { a, b } = ^ ( a + ^ (6 - a ) = b

4.13.2 D E M O ST R A C IO N E S T E O R IC A S SO B R E D ESIG U A LD A D ES

18 Si a y b son núm eros reales tales: que 0 < a < b 9dem ostrar que:

i) a < yfab < - y < ¿> ií) y¡b2 - a 2 < b

DEM OSTRACIÓN DE 0 a a <b
1) Com o: 0 < a < b < = > a > 0 a* a < ab
a2 < ab
M ultiplicar (1 *) por a:

^ 2 ) De a < b => a - b < 0 y (a-b)2 >0 O*)

a2 - 2ab +b2 > 0 (2 *)
(3*)
=> a2 + b2 > l a b
393
Sumar 2a b : :=> a 2 + b 2 + 2 ab > 4ab

=> (a + b)2 >4 ab

Como ab> 0 a + b > 2\[ab

a + b ^ f~7

~Y~ >

3) De a < b , al sumar “6” implica: a +b < b +b
a +b < 2b

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MOISÉS LÁZARO CARRAÓN

4) Por (1*), (2*) y (3*) implica: a < yfab < <b

D E M O S T R A C IÓ N D E ii) yjb2 - a 2 < b a2 > 0
Si ensayam os, al elevar al cuadrado, obtenem os: b2 - a 2 < b 2 => - a 2 < 0
Entonces para la demostración partimos de a2 > 0 .
Veamos:

1) Por hipótesis se tiene:* 0 < a < b \ luego a2 > 0

2) Pero a2 > 0 <=> -¿r < 0 a + b >0, porque a > 0
3) Sumará2 : => a b>0
•b
=>' b - a > 0 , porque a <b
4) ■ => b2 - a 2 <b2
(k>-a)(b + a ) < b 2
5) • =>
J ( b - a ) ( b + a) < b , pues

4b2 - a2 <b

19 Sean a, b e IR . D em ostrar que si a < l y b > l , entonces a + b > l + ab

Prueba:

.1) De « < 1 1- a > 0

2) De b > 1 => 1 - 6 > 0

3) Multiplicar: => (1 - a ) ( \ - b ) > 0

=> \ - b - a +ab>0
=> a +b -1 - ab < 0
=> a + b <\ + ab

V < d . Demostrar que: ac + bd bi e

o =-----<

O

Y

,-cs :

V

’úñ

Prueba: => b - a
1) De a < b < 0

Com o ~c> 0 , m ultiplicar => ( b - a ) c > 0

=> b c - a c > 0
=> a c - b c < 0 => a c < b c ................... (1*)

394
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NÚMEROS REA LES

2) De 0 < c < d => d - c > 0
Com o b < 0 => - b > 0 => ( d - c ) ( - b ) > 0

(c-d)b > 0
cb-db> 0
b d - b c < 0 => bd <bc .................. (2*)

3) Sumar: (1*) a (2*): ac + bd < 2bc => ac < be

21 Demostrar: s\ a <0 => a + -a < - 2 ’, a e IR
Prueba:
Si ensayam os a partir de a + j¡ < - 2 obtenem os: a + ^- + 2 < 0

a2 +1+ 2 a < 0

a

=> í ^ ± l ) i < 0 , donde J ( * + D2 * 0
[ a< 0

Luego, para la dem ostración conviene partir de ( a + 1) 2
Veamos:
1) ( a + 1)2 > 0 , V a e IR

2) Com o a < 0 => ^ < 0

3) Al m ultiplicar la desigualdad 1) por - < 0 , cam biará de sentido y obtenem os:

(*+i¿ < 0

a

=> -a-2--+--2--a---+- <\ .. n => va + 2.o +. -a 1^< a0
0
a

=> a + -a< - 2

22 Si a > 0 y b < 0, demostrar qae ^

Prueba: obtenemos: j- < , pues a > 0 .
Si ensayamos con j <

i1 , ’ í ~b > 0 , pues b < 0
Si m ultiplicam os por (-1 ) obtenemos: 4 - > - 4 - , donde <
FK ~b a ~ b [ a > 0 => a - b > 0

=>a - b > - b

=> a > 0

395

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

Por lo tanto, conviene em pezar la dem ostración de a > Q .
Veamos:

1) Por hipótesis se tiene: a > 0

-2) También se tiene: b < 0 -6 >0

3) En 1) sum ar - b => a + > 0 + (-¿?)

=> a -b -> - b

4^) TInverti*r: => —L1 - '< 1 pues Í - ¿ > 0
*‘ a ~b ~b [ a - b > 0 , ya que: a> 0
" -¿> 0

5) M ultiplicar por a => pues a > 0 a +(-b)> 0 + 0
6)J P o r - 1 => Thg-~a~ > %b a-b> 0

23 D em ostrar que - f — < ^ , V a € IR .

é l+1 A

Prueba:

Si ensayam os con ^ obtenemos: 2 a2 < a 4 +1 < => a4 - 2 a 2 +1 > 0
a+ \z

e= > (o2 -1 )2 ¿ 0

Luego, conviene partir de ( a 2 - 1)2 para llegar a la demostración.

Veamos: , V tf€ÍR
1) Se cum ple que: (a2 - \ ) 2

=> a 4 - 2 * 2 + ! £ 0
=> • a 4 +1 i 2 o 2

2) Multiplicar por ^ 1 a -42— , pues a 4 +1 > 0 , V a e j R
+1 . +1

3) M ultiplicar por 4-^ ==>> j- > — < = > -s f —-<<j4¡-

24 oS-i. p < 6i , a e I»Rr> y bi e ' IrRr» , dj em ost, rar que: a < 3 tf + b < b2 o +^—2 6 <^ ——Í7 + 3¿>,

Prueba: _ a+b

a c2 a 3a + b ct+ b a +3b
2 2 2
\b

I— punto medio entre a y b

1) Si a < b , 3 c = € ZR, tai que, a < ^ y ^ < 6 < = > a < ^ y ^ a y p < A

396
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NÚMEROS REA LES

2) De a < implica a < 1 <

punto medio entre a y fLLi

3a + b a + b x

a < 4 < —2~ .................................... (2 *)

a +h ,

a+b , . r <7+¿> T ” /
- y - < b im plica ~ y ~ < —^ — < b

punto medio entre £a±+£b y b.

a + b a + 3b i \
— ...................................... (3*)

4) De (2*) a (3*) se deduce:

3a+ b a + b a + 3b ,
a < — r~ < ~ < — T ~ <b

„^ 3a + b 2a + 2b a + 3b ¡ a + b 2(a + b)

< = > a < — 4 ~ < — T ~ < — — < b > Pues — = 4 '

25 D em ostrar que: ( a 2 + d 2)(b2 + c2) > A á b c d , V a ,b ,c ,d e IR

Prueba:

1) Se cum ple: ( a - d ) 2 > 0 <= > a2 -2 a d +d2 >0
a2 + d 2 > 2 a d ........................... (1*)

2) Se cumple: ( b - c ) 2 > 0 <=> b2 - 2bc + c2 > 0
b2 + c 2 >2bc ........................... (2*)

3) Multiplicar: (1*) por (2*): {a2 + d 2)(b2 +c2) > 4abcd

26 Si a , b e IR tal que a > b > 0 , entonces: f + ^ > \ + 3

Prueba: +3
Si ensayam os con la desigualdadb: j +~

Obtenemos: xab + 3b ¿? ~ 3o > 0a <>_=_>^ --a-^--+--3-a--b-2-a—=2-b-b-^--—--3-a--2-b--> 0A

a

<=> ^ ^ > 0 (*)

ab

La desigualdad (*) nos ayuda a deducir, como debemos em pezar la demostración.

397

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

Veamos:

1) Por hipótesisse tiene: a > b

2) De a > bimplica : a-b> 0

3) => ( a - b ) 3 > 0 ..(3 * )

4) Como a > 0=> a2 > 0
5) Como b > 0=> a2b > 0 y - 4 - > 0 ......................... (5*)

ab

6) Si m ultiplicam os (5*) por (3*) obtenem os: - ~ 2b^ ■> 0

ab
_ a 3 - ' i a 1b + ' iab2 - é 3 > Q

a2b

=> fb - 3 + 3 a^ - 4a 2> 0

=> f + — > -^ - + 3

b a a2

27 D em ostrar que si 0 < a <b entonces x + — < ^ + 3

M ° a2

D em ostración:
Es idéntico al problem a anterior. Deberá partir de ( b - a ) > 0 ya que b > a > 0 , además
que a > 0 y b > 0 .
Queda como ejercicio..........

28 Sean a , b , m , n e IR tales que b > 0 y n > 0 .

Si fb < —n entonces fb< Tb —+ n <mn-

- Prueba:

Previamente ensayemos con las desigualdades:

q a+ m m ,s a_< l ± ü A a+ m < m
b b+n n b b+n b +n n

<==> a b + a n < b a + b m a an + mn < bm +nm

<=> an<bm a an < bm

Tb <n — A bn

398
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NUMGROS RGALGS

En el ensayo, podem os apreciar que se han sum ado los térm inos ab y mn. Ahora, ya es­
tamos preparados para la demostración pedida.

Veamos:
1) Por hipótesis se tiene: - ~ < - ^ y ¿ > 0 , « > 0

2) => an < mb (el sentido no cambia porque b> 0 a a > 0 )

3) En (2) sum ar ab: 4) En (2) sum ar mn:
ab + an < ab + mb an + mn < mb + mn

=> a{b + ri) < b ( a + m ) => n(a-\-m ) < m (b + n)

Por tb • ib“+—n en am bos m iem bros: Por ~br+\—n • -n en am bos m iem bros:

a a+m b> 0 b + n < fn , pues n >0
b +n> 0 A b +n> 0
I < 7 7 7 ’ Pues

A

5) Por tanto: j < ab+™< ^ (Propiedad transitiva)

29 D em ostrar que V a , b e I R + se cumple: ( y p ) 3 ~3 +¿ z>3

Demostración:
Antes de proceder a la demostración, conviene ensayar con la desigualdad dada, para
darnos cuenta cómo y de dónde empezar.

De ( y ) 3 ~3 +Z>3 a3 +3a2b + 3ab2 + b3 . a3 + b3

8 '2

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - 4 a 3 - 4 b 3 < 0

- 3 a 3 - 3b3 + 3a2b + 3ab2 < 0

a2b + ab2 < a 3 + b3
ab(jj^fH>) < (jj-^f1>)(a2 - a b + b2) , ( a + b ) e J R

ab < a 2 - a b + b2
0 <(a-b)2
Entonces la demostración debe empezar por ( a - b )

399

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

Veamos:
1) Porhipótesis se tiene que a > 0 a b > 0

2) Pero { a - b ) 2 > 0

3) a 2 - 2 a b + b2 > 0

4) => a2 - a b + b2 > ab a> O
¿►>0
5) Por{a -f b) => (a +b)(a2 - a b +b2) > ab(a +b) pues •a + 6 > 0
i ^y

a3 +¿>3 £ a2b +ab2

6) Por 3 3o3 + 363 > 3 a 2b +3ab2

7) 4a3 - a3 + 463 - ¿>3 > 3a26 + 3<j/>2
4(a3 + ¿>3) > a3 + 3q2¿ + 2a¿>2 + ¿3

8) Por 1

SO Demostrar que si a , b y c están en progresión geométrica, se cumple:
(a +b +c ){ a -b + c) = a2 +b2 +<?

Demostración:

1) Desarrollar ei producto: {a +b +e ) { a -b +c ) - { { a + c) +b){{a + c ) - b )

= {a +c)2 - b 2

2) Como a, by c están en Progresión Geométrica, consideremos:

“2 ' mayor
medio
menor y sustituir en *1):

(a +b +c ) ( a - b +c) = (mr 2 +m)2 - m 2r 2

- m2r4 + 2m2r2+ m2- m2r2

= m2r 4 +m2r 2 +m2
= (mr2 )2 + (m r)2 + m 2

=a2 +b2 +c2

400
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NÚMEROS REALES

A. PROBLEMAS SOBRE OPERACIÓN BINARIA

01 Sea A = IR - . Definim os la siguiente operación binaria en A

* : A x A ----- > A

(a,b) > a * b = a +b +2ab

donde x + y , xy representan las usuales “suma” y “producto” de números reales x e y.
Admitamos que * es una operación conmutativa y asociativa.
Según esto:

a) Hallar el elemento NEUTRO o identidad respecto de * .
b) D iscutir la existencia de a ~] , el elem ento inverso de a e A , respecto de *.
c) Resolver ( ^ * ) * 2 = ((-jc ) *■-) * 2 donde - x es el opuesto de jc, con respecto a la

adición de números reales.

Solución: c) Si admitimos que * es conm utativa y
asociativa, entonces:
a) Por definición de elemento neutro
se tiene: (±*x->)*2 = ((-*)*§)*2
a * e t - a , \/ a e A
*(l*2) =(-x)*[f*2]
a +e+2 ae = a
e(l + 2a) = 0 ,

e=0 l +2 +2(l)(2) f +2+ 2(f)(2)
9 J9.

b) Por definición de a , se tiene: x"1 * f = ( -x ) * f ' 2

a *a = e si existe e 19

a + a~] + 2aa~] = 0
a-i (\ + 2a) = - a

a ' 1 = ---1--+*2 a *=+
02 Sean M = {1,2,3} y E = { X / X a M a X*<f>}
2 f2

%

Definamos en E la operación binaria * siguiente:
*: E x E ----- > E

(A,B) i > ^ * 5 = {sup/l,supB }

401

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

Dar y justificar el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes:

a) Sup(A kj B) = Sup{A * B) , ( A , B ) e E x E
b) Sup(A*B) = { S upA} *{ SupB} , V ( A , B ) e E x E
c) 3 X e E , tal que V A e E , {sup(,4 * A")} = X
d) 3 Y e E , tal que V A e E , A* Y = A

Solución: E je m p lo s.-

£ = {{1M 2},{3},{1,2},{1,3},{2,3M } {1} * { 2 } = { sup{ 1}, sup{ 2 } } = {'1,2}
{1} *{1.2} = {su p {l},su p {l,2 }} = {1 ,2 }
a) V b) F {!}*{!.3} ={1.3}
{2}* A ={2,3}
c) F d) F {3 }* { 3 }= {3}

B. PROBLEMAS PROPUESTOS

01 D em ostrar que si a * 0 y b * 0 , entonces: -2. <<_-!y_ ++ _-!L_

“b ~ a 2 b2

02 Si abe * 0 ; dem ostrar que: t-L + J_ + -L <

M 1*1 M " \ a b c \ 2

03 Si a 5,b5,c 6 1R+’, dem ostrar: a') a— b e a + b—+ c

bt - 2 _ + - ¿ - + __£_ > 1

UJ b + c a + c a + b - 2

c)v o—+ br—+ c > \¡/ ab7 ~c

94 Probar: a 4 +Z?4 > a 3b + ab3 , a , b e IR

85 Si: a 2 -KZ?2 = 1 a w 2 + n 2 = 1 => |a w + Zw| < 1
08 S i a , Z ? , c , t f + Z ? - c , a + c-Z>.Z? + c - a , s o n núm eros positivos, probar:

abe > (a + b - c)(a + c - Z?)(Z? + c - a)

87 Para núm eros reales a, Z?, c dem uestre que: a 2 +b 2 +c 2 = ab + ac +be => a = b - c

402
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NÚMEROS REALES
08 Si: a + b = 1, dem ostrar que a 4 + 6 4 > |

09 Sean a , b f c , d e I R , tal que b * 0 , * 0 . D em ostrar que: f —¿ ¿ d

10 Dem ostrar que si 0 < a < b < c , entonces -ca7(3—a-- ¿>r3r >a - c

n 7 b)

Rpta.: xe ¡a +b a- b
\b -a 7a +b

12 Si el conjunto solución de la inecuación \ x - a \ < 2 -(< ? + l) es jc < . Hallar el valor

de á.
Rpta.: a - 4

19 Sean a, c, d núm eros reales tales que a * c , a > 0 , c > 0 y que x > —| , x < ~ .
Hallar la solución de | a x + 6 | = |cx + c/|.

4.14. ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO

4.14.1 E C U A C IO N E S C O N V A L O R A B SO L U T O

Las ecuaciones con valor absoluto se pueden presentar de diversas formas: unos serán
de fácil e inmediata solución, otros necesitarán un análisis cuidadoso para encontrar la so­
lución.

Algunas sugerencias que se pueden dar para resolver una ecuación con valor(es) absolu­
to ^ ) son:

1ro. Tener siempre presente la definición de valor absoluto,

a,si a> 0 [\a\ = a , s i t f > Q ] v [\a\ = - a , s i a < 0 ]
ó

- a , si a < 0

403

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

2do. Tener en cuenta la propiedad: \ a\ > 0 , que nos indica que el valor absoluto siempe
es positivo o cero, pero nunca es negativo.

3ro. Tener presentes las siguientes propiedades:
PO \a\ = O <=> a = O
P2) \a\ = b <==> b > O a [ a - b v a = - b ]
P3) | a\ = \b\ < => a - b v a = - b

4to. Si una ecuación tiene dos o m ás valores absolutos, aplicar el CRITERIO DE LOS PUN­

TOS REFERENCIALES.

4.14.1.1. E JE M P L O S
011Resolver: 2 | 2 x - l | - 3 = 0

Solución:

Para resolver aplicaremos la definición de valor absoluto, así:

Si 2x - J > 0 => 2(2jc —1) —3 = 0 v si 2 x - l < 0 => 2 ( - 2 x + l ) - 3 = 0

x> \ => 4 x - 2 - 3 = 0 v si x < ^ => - 4 x + 2 - 3 = 0

x > 42 ' = > ' j c = 44 v s0\1 x^ <^ \2 => x = --jr4

V------------------------------------- y -------------------------------------J---------------v-------------------------------------------- "

Como 5/4 es mayor que 1/2 Como -1 /4 es menor que 1/2
entonces la solución es 5/4 entonces la solución es -1 /4

Luego, el conjunto solución es: Cs = j }

Otra forma de resolver es aplicando la propiedad P2 :

Así: 2 12 jc —1 ¡ - 3 = 0 < = > | 2 x - l | = | , aplicar: \a\ = b < = > a = b v a = - b

<=> 2 x - l = -| v 2x -1 = - - |

<=> 2x = l+ -| v 2x = 1-

Luego: Cs = { f , - { }

404
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NÚMEROS REA LES

02] R esolver V x e IR , ||. x - l ¡ - 2x + l | = 0
Solución:
| | x - l - 2x +1 | = 0 < = > |x —11 - 2 x + l = 0

Aplicar definición de valor absoluto. v x - 1 < 0 => - x + l - 2 x + l = 0
<=> x - 1 > 0 => x - l - 2 x + l = =0 v
<=> x > 1 => - x = 0 x < 1 => - 3 x + 2 = 0

<=> V,x > 1 => x = 0 j v. x <1 => vx--=---45-----------------j
V C om ax = 2/3 es menor
que 1, entonces 2/3
Pero x =0 no es mayor
es solución
ni igual a 1, luego x = 0

no es solución

Luego: Cs = { f }
f
j OTRA FORMA: De |x - l | - 2x + l = 0

; A plicar P2 : c = > |x —11= 2 x - l c = > 2 x - 1 > 0 a [ x - 1 = 2 x - 1 v x —1 = - 2 x + l]

Al

H
i <=> A j^x = 0 V * = § ]

i\ <=> [L H X M H fl
j Luego: Cs = { f }
V ................„ ______

03i Resolver V x e IR : |2 x 2 + 2 x | = |- 3 x + 3|

Solución: V -
Aplicar P3 : 2x2 + 2 x = -3 x + 3 2*2 +2;c = - ( - 3 * + 3)

2x2 + 5 x-3 = 0 V = 3x-3

( 2 x - l) ( x + 3) = 0 V 2x3 - x + 3 = 0
[ x = -^ v x ——3 J V l± ^ l-4 (2 )(3 )
2 (2 )

x = —1 ±>4/—-23 <= es imaginari•o.

IL -3 ) u </>

u ’ - 3}

405

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Luego: C5 = { ^ , - 3 }

04] R esolver V x s IR: |5jc —1j — 5jc +1 = 0
Solución:
Aplicando la definición de valor absoluto:

A) 5 x - l > 0 a 5x-l-5x4-l = 0 v B) 5 x - l < 0 => - 5 x 4 - 1 - 5 x 4 - 1 = 0

jc> j a 0-=0 v x < ~5 A -10x + 2 = 0

[ s >+:*[ esta identidad, se j_ _1
cumple V x e IR X<T A X ~ 5.

Al in tersectar.^ij+ Q0^ con IR es j^ I)+ 0o^ 0

Luego se tendrá: Cs = [ ^ »+ °°[ u $ = [■5 >+ °°[

OTRA FORMA: |5jc —1| - 5 x 4-1 = 0
Aplicando P2 :

|5x-l| = 5x-l

5x-l > 0 a [ 5 x - l = 5 x - l v 5 x - l = —(5x —1)]

X> j A 0 = 0 V X= y J

[ i , +00) n [ m u {!}]

x e ^ , + o°) = Cs

05J Resolver V x g /í ? ; | 3 —| x —111 = | 2 x - l |

Solución: v 3 —|x —1| = - ( 2 x - l )
1) A plicar P 2 : 3 —|x —11—2x —1 v 2 4- 2 x - | x - l | = 0

4—2x —|jc —11= 0 B'
A/

406
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2} Resolver la ecuación A: => 4 - 2 x - ( - x + l) = 0
Si x - l > 0 => 4 - 2 x - ( x - l ) = 0 v Si x - l < 0 =í> x = J

x > \ => x = |. x<1 4>

3} Resolver la ecuación B:

Si x - 1 > Q => 2 + 2x - ( x - 1) = 0 v Si x - l < 0 2 - f 2 x - { - x - f 1) = 0
x =~í
x>l => 2 + 2 x - x + l = 0 v x < l
,lj,p u e s _ i< i
x = -3 '

<¡), pues -3 no es mayor o iguaf que 1. \ J

Luego: B = 0 u { - * ¡ = { -

4) Conclusión: Cs = 1j

OSj Resolver V x e IR : a x - b = c|x| ; a yb , c son positivos.

Solución:

Aplicando la definición de valor absoluto:

ax-b~c\x\ v Si x < 0 => a x ~ b ~ c(-x)
< = > Si x > 0 a x - b = ex v x < 0 => a x -b ~ ~ ~ € x
x{a + c ) - b
x > 0 (a-c)x~b
==> X = -
x = -a^- c-
El número: _A_ no es solución, porque
Ei número: _J__ será solución
a +c
a~c
no es negativo, pues a > 0 ,4>> 0 , c > 0
siempre q u ea - c > 0 <=> a > c ^ ... > o Luego NO existe solución

con < 3 > 0 ,ú > 0 ,c > 0 . a +c

Luego: C s = { ^ 7 } , si a > c. en esta ecuación

407

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07j Resolver V x e IR : | 2 \ x - a \ - bx | = | 2b - \ x - a \ | , b < 0 , - 2 < a <2

Solución:

1) <=> 2 | x - a\ - bx = 2b - \ x - a \ v 2 \ x - a \ - bx = - 2 b + \ x - a \

<=> 3 \ x - a \ = bx + 2b v \x-a\ =b(x-2)

i i b( x + 2) ^

A * í£ ± 2 )> 0 A [ x _ a = *ii±2) v x_a =_^±2)j
2) Resolver A:

\x - a \ = k il± ll ^

x <-2 a [ 3 x - 3 a = bx + 2b v 3 x - 3 a = - b x - 2 b ]

iA 3# +26 3í7 - 2 b
x = ~3— v x = ~ b T r
Pues b <0

Ahora, nos toca analizar qué valores de x es solución:

/) Supongam os que:

< - 2 c = > 3 a + 26 < - 6 + 26 <==> 3a < - 6 < = > a< - 2

I______ t se puede multiplicar, porque 6 < 0 => -6 > 0 y 3 - 6 > 0

Luego: x = j <no es solución, porque a < - 2 . En datos se tiene ^ ° < 2

//) Supongamos que:

^ ¿>^+ 3< - 2* < = > 3 a - 2 b < - 2 b - 6 < = > 3 a < - 6 <=> a <-2

I I se multiplica, sin cambiar el sentido,
siempre que 6 + 3 > 0 <=> 6 > - 3, como -3 < b < 0

Luego: x = no es solución, porque a < - 2 , Si - 3 < b < 0

67) En ii) si 6 + 3 < 0 < = > 3^ ~ ^ < - 2 implica: 3 a - 2 b > - 2 b - 6 < = > a > - 2

Luego: 3a-2b es solución, si - 2 < a < 2 a b < -3

x =~bTY

408
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3) Solución de B: b ( x - 2 ) > 0 a [ x - a = b x - 2 b v x - a - - b x + 2b\
\ x - a \ = b ( x - 2)

x<2 a [x(\ - b ) = a - 2 b v x(l + b) = a + 2b\

pues b < 0 a -2b V X= a + 2b
■
1- b 1 + b

(0 (ü)

Analicemos qué valores de x es solución de la ecuación.

0 Supongamos que <2 o a - 2 b < 2 - 2 b , siempre que 1 - 6 > 0 a | ^ < 0 < 2
a <2 .
Luego: a-2b
l-b es solución para - 2 < a < 2 a b < 0

//) Suponer que -~c ^2 a + 2 b < 2 + 2b siempre que
a <2
i+¿>

l-f¿>>0 A b<0
b> -1 -2<a<2

Luego x = -a1++266 es solución para - 2 < a < 2 a - 1 < ó < 0

üiyS'i \ + b < 0 entonces ^ ¿ - < 2 im plica a + 2¿? >2 + 2¿?
a>2
. b< 0
Siempre que

1 -2<a<2

Luego x = es solución si a = 2 a b < - \

08j Resolver V x e IR : ( | x - 2 | + 3 | x - l | + 2(jr + 5)2 X 2 | * - 3 | - x) = 0
Solución:
1) El factor | x - 2 | + 3 | x - l | + 2 (x + 5)2 nunca será cero, porque es una sum a de núm e­
ros positivos V x e IR.
Lo único que puede ser igual a cero es: 2 |x - 3 | - x

2) Resolver: 2 1x - 3 1- x - 0

409

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Si x - 3 > 0 => 2 ( x - 3 ) - x = 0 'Si x - 3 < 0 2 (-x + 3) - x - 0
x > 3 => x = 6 x <3 x =2

Luego: x = 6 es solución porque Luego, x = 2 es solución porque

6>3 2 < 3 es verdadero
=> 5, = {6 } u => S2 = { 2 }

3) Conclusión: Cs = Sj u S 2 = { 6 } u{2-} = {6, 2}

4.14.1.2 ECUACIÓN CON DOS O MÁS VALORES ABSOLUTOS
(CRITERIO DE LOS PUNTOS REFERENCIALES)

El criterio de los puntos referenciales es muy sencillo de aplicarse para resolver ecua­
ciones o inecuaciones con dos o más valores absolutos y su procedimiento se explicará con
algunos ejemplos.

Ejemplo 01 R esolver V x e I R : 2 1x —2 1- |x + 3| = - 5 (*)

Solución:

PASO 1. Los puntos referenciales son los números reales que hacen cero cada valor absoluto.
Así tendremos que:
D e |x —2| se obtiene el punto referencial x = 2
De |x + 3| se obtiene el punto referencial x = -3

PASO 2 Analizar si algunos puntos referenciales son soluciones de la ecuación dada.
En el presente ejemplo observamos que:

i) Si x = 2 => la ecuación se convierte en: 0 - | 2 + 3| = - 5 , l o cual es VERDA­

DERO luego afirm am os que [ x - 2\ es solución de la ecuación.

ií) Si x = - 3 => la ecuación se convierte en: 2 1—3 —2 1- 0 = - 5 , lo cual es FAL­
SO. Por tanto x = -3 no es solución de la ecuación.

PASO 3 Particionar (partir, dividir) la recta real por los puntos referenciales:

x < -3 -3 < x < 2 x>3

-3

410
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NÚMEROS REALES

PASO 4 Analizar el “signo” de cada valor absoluto en cada intervalo que ha quedado par-
ticionado la recta real.

Veamos: Sum ar- 2 : x - 2 < - 5 => | x - 2 | = - ( x - 2 )
A : Si x < -3

Sumar 3 x+3<0 |x + 3| = _ ( x + 3)

Luego, la ecuación dada en (*) se convierte en:
2 ( - x + 2) - ( - x - 3) = -5
-2x + 4 + x + 3 = - 5

x = 121 n o e s solución, porque 42 < - 3 es f a l s o .

Por tanto: A = 0 -5<x-2<Ü |x-2| = -(x-2)
O< x + 3 < 5 => |x + 3 1= x + 3
<ü u m ar-2 :
Sumar 3 :

Luego, la ecuación-dada en ( * ) s e convierte en:

-2x+*-x-3=~5
x = 2 n é e s solución, porque - 3 < 2 < 2 es f a l s o .

Por tanto: B - 0 Sum ar- 2 : x - 2 > l => | x - 2| = x - 2
C : Si x > 3

Sumar3 x + 3 > 6 => |x + 3| = x + 3

Luego, la ecuación dada en (*) se convierte en:
2 ( x - 2 ) - ( x + 3') = - 5
2 x - 4 - x-3 = -5
x = 2| no es solución,porque 2 > 3 es FALSO.

Por tanto: C = 0

PASOS Conclusión: Cs = { 2 } u A v B u C
C = ( 2 } u 0 u 0 u 0 = {2}

411

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E jem p lo02 Resolver V x e R : | x: - x | + 2| x + l| - x2 = 3

Solución:
PASO 1 Factorizar el 1er. valor absoluto: | x | | x - l | + 2 | x + l | - x = 3

PASO 2 Los puntos referenciales son: { 0 , 1 , - i }

El punto referencial: | jc= l| es solución de la ecuación, los otros puntos referen­

ciales no lo son:

PASO 3 A BcD

—QO«...........x..<...-..l. O--------—-1--<-■-j-c-<---0----- O-------0--<--jc--<--1-------“O----- ---x--> \ »4-00

-1 O 1

REGLA PRÁCTICA: Io) Escoger un punto arbitrario en cada conjunto: A,.B9C, D

2o) Con el punto escogido arbitrariamente, se analiza el signo
de cada valor absoluto.

3o) Por ejemplo en A elegir x = -5 ; en 2?, x = -4^; en C, x = ^ ;
en D, x —5 .

> (-x X -* + l) + 2 ( - x - l ) - x 2 =3

x2 - x - 2 x - 2 - x 2 = 3

s \* \ =- x -3x-2 = 3
-3x = 5
A : c o n jc = - 5 e A |jc-1| = -(x -1 ) La e c u a c ió n
o rig in a l se
\ | j t + l| = - ( * + l) co nvierte
e n : ................
x = —— GA

3

x = es solución, porque < - 1 <Gs verdadero.

Luego: M - l l

B : Con x = —^ e B , la ecuación es: (-;cX -x + l) + 2(* + l ) - * =3
\x\=-x x2 - x + 2x + 2 - x2 =3
\x = \ \ k B
|*-l|-=-(x-l)
[|jc+l| =jr+l. - N o es so lu ció n , porque:
—1 < 1 < O es FALSO.
Luego: SB = 0

412
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NUM€ROS R €A l€S

C : Si O < x < 1, la ecuación es: x(-x + l) +2(x +l ) - x 2 =3
con x =^ e C
\x\ = x - x 2 +x +2x + 2 - x2 = 3
\x-\\ = -( x- \)
-2x2+3x-l =0
[|x + l| = X + l
2x2 -3 x + 1= 0
Luego: (2x-\)(x-]) =0

X =4 V X = 1

es «solución J L no es solución

D : Si x > 1, la ecuación es: x ( x - l ) + 2(x + l ) - x =3
con x = 5 x 2 - x + 2 x + 22- xx 2 = 3
x +2 =3
Luego: SD = 0
|x = 1| g D

I— NO es solución
porque 1 > 1 es f a l s o

PASO 4 Conclusión: Cs = {1} u S A u S B kjSc u 5 d

C5 = { l } u { - f } u 0 u { l } u 0
1 3 *2 /
<N
II

X

II
o5
[Ejemplo 03 Si 4 < a < 6 , resolver V x e IR : \ x - a \ + \ x - 2 a \ + | x -

Solución:
x=a

PASO 1 Puntos referenciales <
x = 3a

PASO 2 A nalizar si algún punto referencial es solución de la ecuación?
Si x = a , la ecuación se hace: \ a - a \ + \ a - 2 a \ + \ a - 3 a \ = 12 ; V # e [ 4, 6] es

FALSO.

Si x = 2 a , la ecuación se hace: \ 2 a - a \ + \ 2 a - 2 a \ + \ 2 a - 3 a \ = 12 ; V a e [ 4 , 6 ]
es FALSO.

413

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Si x = 3 a , la ecuación se hace: | 3 a - a | + | 3 a - 2 a | + | 3 a - 3 a | = 12 ; V a e [ 4 , 6 ]
es FALSO.

Por tanto, ningún punto referencial es solución de la ecuación.

PASO 3 Particionar la recta real por los puntos referenciales:

ABC D

a <x < 2a 2a <x < 3a x>3a

2a 3a (*)
- a \ + | x - 2 a | + | x - 3 a | = 12 ......

A) Si x < a => - x + a - x - f - 2 a - x + 3a = 12
- 3 x + 6a = 12
\x-a\ =-(x-a) 3 x -6 a = -12
\x-r2a\ = - ( x - 2 a ) x-2a = -4
\x- 3a\ = —(jc —3a)

x = 2a-4

¿Será x = 2 a - 4 solución de la ecuación?

Para ser solución, debe cumplir dos condiciones:
i) Que sea m enor que ua ” .
ií) y que “a ” esté en [4,6].

Veamos: 2a-4 < a A 4 < a <6
a <4 A 4 < a < 6

0

Por tanto, no existe solución en el intervalo x < a .

Es decir S ¿ = 0

B) Si a < x < 2 a => (* ): x - a - x + 2 a - x - f 3 a = 12

\x-a\ = x -a = 40-12
\x-2a\ =-(x-2a)
\x-3a\ =-{x-3a)

Analizar: ¿Es a < 4 a - 1 2 < 2 a a 4<a<6?
=> ( a < 4 a - 12 a 4 a - 1 2 < 2 a )
a 4<a<6?
4 < a a a<6 a 4<a<6

4 <a<6

414
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NÚMEROS REA LES

Afirm am os que: x = 4 a - 1 2 es solución V a e ] 4 ,6 [
Luego S B = { 4 a - \ 2 } , V a e ]4 ,6 [

C) Si 2 a < x < 3 a => (* ): x - a + x - 2 a - x + 3 a = 12
x = 12
|x -a | = x - a
\x-2a\~x-2a
\x-3a\ =-(x-3a)

Analizar: ¿Es 2 a < 12 < 3a A 4<a <6

Veamos: (2a <12 a 12< 3a) A 4<a <6
a<6 a 4<a

4<a <6 4<a <6

4<a <6

Afirmamos que x = 12, es solución, siempre que 4 < a <6

Por tanto $c = (12} ; V a e ]4 ,6 [

D) Si x > 3 a ==> (* ): x - a + x - 2 a + x - 3 a = 12

\x-a\ =x -a x = 2a + 4
\x-2a\ - x-2a

\x-3a\ = x-3a

Analizar: ¿ 2 a + 4 > 3 a a 4<a<6?

V eam os: a<4 a 4<a<6

0

Afirmamos que: x = 2 a + 4 no es solución

Luego, SD = 0

PASO 4 Conclusión: Cs = S A r \S B n S c n S D
Cs = 0 u { 4 a - 1 2 } u { 1 2 } u 0
Cs = { 4 a -1 2 ,1 2 }

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4.14.2 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

4.14.2.1 INECUACIONES CON VALOR ABSO LUTO QUE SE RESUELVEN
APLICANDO LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:

p ,) |w (x)| < a <=> [ a > 0 a - a <u ( x ) < a]

p 2) | h (x )| > a < = > [ u ( x ) > a v u ( x ) < - a ]

P3) l« (x )| < a <í=> [ a > 0 a - a < u ( x ) < a ]

P4) |m(jc)¡ > a [u(x)>a v w(x)<-a]

Al VIP5) < = > \ a\ 2 >\ b\ 2 < = > a 2 > b2 < = > ( a - b ) ( a + b ) > 0 , \ / a , b e I R
"o" "o*
p 6) c = > \ a\ 2 <\ b\ 2 < = > a 2 < b2 < = > (a - b)(a + b) < 0 a, b e IR

P7) | fl| > | 6 | \ a\ 2 >\ b\ 2 < = > a2 > b2 < = > ( a - b ) ( a + b) > 0 a, b e IR

Ps) \a\ < \b\ < = > \a\2 <\b\2 < = > a 2 < b2 < = > ( a - b ) ( a + b ) < 0 a , b e IR

Ejemplos:
Aplicaciones de Pi

| 2 jc —1j < 5 <=> -5<2x-l<5
por \ -5 +\<2x<5 +\
<x=>
<=> -4<2x<6

-2 < x < 3
x e [ - 2 , 3]

\3x-2\ < x +\

<=> x + l > 0 a [ —( jc +1) < 3 x - 2 < x + 1]
a [ - x -1 < 3x - 2 a 3 x - 2 < x + l]
<=> X>-1 a [ - x - 3 x < l - - 2 a 3 x - x < l + 2]
a [-4 x < -l a 2x<3]
<=> X > -1 a [4x>l a x<3/2]
a [x>l/4 a x<3/2]
•£=> X > -1

<=> x > - l

c=> x > - l

Os “ * G[ 4 ’ 2 ] -1 iá 3/2

416
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NÚMEROS REA LES

Aplicaciones d e P2 1

(§ ) |3jc—5| > 7 v 3 x -5 < -7 - 2/3
3x-5 >1 3x < -2
3jc > 12 V x<-4
x>4 V
]
x.e[4,oo[ u ]

0 \2x-l¡ > x +3 V 2 x - \ < - ( x + 3)
<=> 2 x - \ > x +3 2 x -l< -x -3
x>4
3x < -2
x>4 V x < ——

ex [ 4 , q o ■[ U [ - 0 0
■ -i[

> 1-x V X x)- 1 < - ( 1 -

x-\>\- X

2x>2 V x -l< -l+ x
x>\
X>1 V , OSO

[l.+ ° ° [ V [Ó < 0 v 0 = 0 ]

0 m

u
•es

11

as

Cs e l R Nota: La inecuación dada |x - 1 1>
particular de la propiedad: \ a \ > - a , \ / a e I R

N ota: Si x - 1 = a , tendrem os: \a\ £ - a , V xze IR .
Lo cual ratifica que la solución del problem a (05) es todo IR .

417

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Aplicaciones de Ps JC - 1 < 1

x +l

(06; x —Ix —11 < 1

-1 < x - |x - l| < 1

- 1 < X - |X — 1 1 A X - |X — 1 1 < 1

| X — 11 < X + l A x - l < IX —11

AB Solución de A :
Solución de A : -1 < x - l

| x —11 < x + l x +\
x + l > 0 a [ —(x + l ) < X ~ 1 < X + 1]
0 < +X +í1 + 1

x > - 1 a [ - x - 1 < x - 1 a x - 1 < x + 1] o < x -1 + X + 1

JC+ 1

x > —1 a [ 0 < 2 x a —2 < 0 ]

<=> X > - 1 A [x > 0 A - 2 < 0]

IR o<
X+ ]

x>0

<=> X > —1 A x >0

/! = ]0,+oo[

<=> A = x e ] - o o , - l [ u ] 0 ,+ oo[

+ ■<

Solución de B: Solución de B:
x - l < |x —1j c |x —11> x - l
x-\ < 1
Aplicar P4 :
x -l > x -l v x -l < -(x -l) x +\
0 > 0 v 2x < 2
0 v x<1 x-l -1 < 0
X< 1
x +l
Luego la solución de B es: B = ] - oo, 1[
x-l-x-l <0
x+l

+X T+ 1 < 0

=> Com o - 2 < 0 , entonces x +1 > 0 ;
para que la fracción sea menor que
cero (negativa).

Conclusión: Cs = A n B
Cs = ]0 , + oo[ n ] - o o ,l[
C5 =]0,1[ De : x + l > 0 => x > -1
Luego : B = x e ]-l,<x>[

4 mmm í

416
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NUMGROS RGALGS

Conclusión: 09) |x —3 1 > 2x + 5 , aplicar P4

-1 c= > x - 3 > 2 x + 5 v x - 3 < - ( 2 x + 5)
-x > 8 v x-3 < -2x-5
Cs = A n B x < -8 v 3x< -2
x < -8 v x < -2/3
c s £= X ] 0 , c o [ _

0 12x —11 < x + 2

Solución: Luego: C s = x e ] - g o , - 8 [
Aplicar P3 .
< = > x + 2 > 0 a [ - ( x + 2) < 2 x - l < x + 2] (10) 13 - 1x - 2 1 > 5 , aplicar P4 .

<==> x > - 2 a [ - x - 2 < 2 x - 1 a 2 x - 1 < x + 2 ] <=> 3 - |x —2 1 > 5 v 3 - |x —2 1 < - 5

x > -2 a [-3 x < l a x< 3] <= > —|x —2 1> 2 v —|x —2 1< —8
x > -2 a [x > -l/3 a x<3]

|x —2| < —2 v |x —2 1> 8

'0 ,

0 v (x -2 > 8 v x -2 < -8)

-2 -fc 3 0 v (x>10 v x < -6 )

Luego: Q = x e [ - j , 3 ]

-6 10
Luego: Cs = x e ] - o o , - 6 [ u ] 1 0 , + oo[

Ap l ic a c io n e s d e p 5 , p 6 , p 7 , p 8

Las aplicaciones d é la s pixjpriedades P5 , P6 , P 7 , P8 consiste en elevar al cuadrado am bos
miembros de la desigualdad y factorizar, para luego aplicar la regla de los signos.

\\) 13 —2x| > ¡x —11 <----- A plicar P5
Solución:

1) Elevar ai cuadrado am bos m iem bros:
t= > |3 - 2 x |2 > lx-,112 .
(3 -2 x f > (x-\)r
(3-2jc)2 -< jc -1 )2 > 0

419

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

2) Factorizar:
<=> [(3 -2 x )-(x -l)][(3 -2 x ) + (x -l) ] > 0

[ 4 - 3 x ] [ 2 - x ] > 0 <= al multiplicar por (-1) cada factor, el
(3x-4) (x -2 ) > 0 sentido no cambia.

3) Resolvemos por el m étodo de los puntos referenciales:

Cs = x e ] - ° ° > y ] ^ [2 , + °°[

(Í2) 12 - |x | I < |x -
1) Elevar al cuadrado:

, !2 < X -J

(2 - |x |)2 < (x-1)2
(2 —|x |)2 —(x l) 2 < 0

2) Factorizar: •(*)
[(2 -|x |)-(x -l)][(2 -|x |) + (* -l)] < 0

■ <=> ( 2 - | x | - x + 1) ( 2 - | x | + x - 1 ) < 0
<=> ( —|x | - x + 3) ( —|x | + x + 1) < 0 ..................

x , si x > 0
3) Porque |x | =

[ - x , si x < 0

Entonces la iñoem tién (*) u va a desdoblar en dos inecuaciones (Mdtwtíes.

420

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NÚMEROS REA LES

A) Si x > 0 , entonces la inecuación (*) se B) Si x < 0 , entonces la inecuación (*) se
convierte en: convierte en:
(-x - x + 3)(-x + x +1) < 0 ( x - x + 3)(x + x + l) < 0
<=> (-2 x + 3)(l) < 0 => 3 (2 x + l) < 0
<==> 2 x - 3 > 0 => 2x + l < 0
<==> 2x > 3 => 2x < - 1

<=> x > -| X< ~2
Luego, la solución para B es:
Luego, la solución para A es:

0 3A -Vi

A = x e ] L +00[

4) Conclusión

Cs = A u B
—B u A

C5 = ] - c0 > - i [ ^ ] f ’+ 00[

4.14.2.2 INECUACIONES CON DOS O MÁS VALORES ABSOLUTOS
Recom endaciones para resoLvér desigualdades con dos o más valores absolutos:

1ro) A nalizar cada valor absoluto, teniendo en cuenta la definición,

{ a , si a> 0
- a , si a < 0

2do) Hallar los puntos referenciales de cada valor absoluto.
3ro) Con los puntos referenciales PARTICIONAR la recata real.
4to) En cada intervalo de la recta particionada, analizar el signo de cada valor absoluto.

421

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

5to) Resolver cada inecuación particular que se obtiene en cada uno de los intervalos que
forman la partición de la recta real.

6to) El conjunto solución es la unión de todas las soluciones particulares.'

*

Ejemplos:

Ol] Resolver V x e / f l : 3 |x - 2 | - 2\x\ < 5

PASO 1 H allar los puntos referenciales. donde: \ x - 2 \ x - 2 , si x > 2
De | x —2 1= 0 ==> x = 2 - x + 2 , si x < 2

De Ixl = 0 x =0 x , si x > 0
- x , si x < 0

-p u n to s referenciales

PASO 2 Ubicar los puntos referenciales en la recta real.

x< 0 0 <x < 2 x>2

—oo --------------------------- c« ■ cm-

O2

La recta real ha quedado p a r t i c i o n a d a por los intervalos:

7i=]-oo,0[

/2 =[ 0 ,2 [

h ~ [ 2 ,+°°[

Donde: / 1u / 2 u / 3 = /R

PASO 3 Ahora, analicem os el signo de cada valor absoluto en eada intervalo: I ] , I 2 , ¡3 .
La forma más sencilla de hallar el signo de cada valor absoluto: | x - 2 ¡ , |x | es
eligiendo un núm ero real arbitrario (ud. lo elige) en cada intervalo /] , l 2 , I 3 .

Por ejemplo: ►el signo de |jc—2| es: - ( x - 2 )
En /, , al elegir x = -2 porque |—2 —2|

v~ n -e s n egativo.

-^►el signo de |jc¡ es: - x

' porque |- 2 | -e s n egativo.
t _____

422

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NÚMEROS REA LES

►el signo de |jc—2| es: - ( x - 2 ) ,
porque |- 1 - 2 |

En I2 , al elegir x = 1 "n i - es negativo.

►el signo de |x| es: jc,

porque |1| es positivo.
t ____

En / 3 , al elegir x = 3 ►el signo de | jc- 2 | es: (x - 2 ),
porque |3 - 2 |

- es positivo.

►el signo de |x| es: jc,
porque | 3 |

- es positivo.

Todo esto, se puede resumir haciendo el siguiente cuadro:
3 |x - 2 | - 2 |jc| < 5

x <0 0 0<x<2 2 h
-q * -
x = -2 1x = -q*- x>2
|jc —2| = - x + 2
|jc — 2| = - x + 2 x= 3
|x| = - x |x| = X |x-2| = x-2

|x| = x

3 (-x + 2) - 2(-x ) < 5 3(-x + 2)-2(x) < 5 3(x-2)-2(x) < 5
-x +6 < 5 -5x+6 < 5 x-6 < 5
-x < -1 -5x < -1 x < 11
X>1
x > 4-

1 ......X m m m \—... mmmmm
0H
Sj = 0 íi
^3 = [2 ,11]

423

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

Conclusión: S — 5*2 $ 3

-[i-" ]'

02¡ R esolver V x e IR : JC- 3

* - 4* + 8 l* -3 |

Solución:
1) A nalizando el denom inador de la fracción del prim er m iem bro obtenem os:

x2 -4 x + 8 = x2 -4 x + 4 - 4 + 8

= ( j c — 2 ) + 4 — i es p o s it iv o w r <= ir . p o r q u e la s u m a

de n úm e ro s reales p o s itiv o s , es p o s itiv o .

P ortanto: lx2 - 4 x + 8| = x 2 - 4 x + 8

2) I^ -3.1 I* -3 | | jc —3 12 < x 2 - 4 x + 8 , si x ^ 3
-2 - 4 x + 8 .
(x -3 )2 < x2 -4 x + 8
í} x2 - 6x + 9 < x2 - 4x +1

los d e n o m in a ­ - 2 x < -1
2x > 1 <=> x >
dores son p o si­

t i v o s , si jc * 3

3) Luego: Cs = x e +oo £ - {3}

El— I R esolver V x e IR: I|x +12 | x2 + 4x + 4

Solución: i _L
1) El 1er. m iembro: \x + 2\
\\x + 2\\

2) El 2do. miembro: - —l£ i_ ? pUes |(x + 2 ) 2 | = |x H- 2 12 • = (x + 2 ) 2

(x + 2) \x + 2\~

3) Luego la inecuación se convierte:

424

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NÚMEROS REA LES

772I ^ < i ÍT ^ lx + 2 l2 < W I * + 2 | , si x * - i
|x 4 -2 |< |x |
=> (x +2)2 < x2

=> (x + 2)2 - x 2 < 0
(x 4 -2 -x )(x 4 -2 4-x) < 0
=í> 2(2x + 2) < 0
=>
=> 2x 4-2<0

=> X4-1 < 0
X< -1
=>
=>

4) El conjunto solución es: C s = ] - o o , - l [ - { - 2 }

jÜ] Resolver en IR: x 2 - 6 > ( | x - l | 4 - |x - 2 |) (| 1—x| - |2 - x [ )

Solución:
\ 11—x| = |x —1|

1) A plicar las propiedades <
1 ¡2 —x | = |x —2 1

la inecuación se convierte en:

x2 - 6 > ( |x - l¡ + |x - 2 ¡ ) ( |x - l|- |x - 2 |)

2) => x2 - 6 > ( |x —111j2 —i|x —o2||2 \ ), Pdero: \ \ x ~ = ( * - 1 )

7 77 |x - 2 |2 = ( x - 2)2
L
=í> x - 6 > [ (x - 1) - (x - 2 ) ]

=> x 2 - 6 > [ x 2 - 2x +1 - x 2 + 4x - 4 ]

=> x 2 - 6 > 2 x - 3 1

=> x 2 - 2 x - 3 > 0
=> ( x - 3 ) ( x 4 - l) > 0

'

.© -©

3) Conclusión: Cs = x e ] -o o ,- 1 ] u [3 ,+ 00]

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OÜ] Resolver: — -*x ' ^ x - \ 0 x + 25
— 1 1*1-1 x+3

Solución:

1) Los num eradores de las fracciones del prim er y segundo m iem bro son factorizables,
de m odo que la inecuación se convierte en:

(* - 5 )(* + l) iO -5 )2|

1*1-1 l* + 3|

=> | x —5 1|l x + l| |x + 3¡ < | jc —5 12 11x| - 11 , si x ^ 3 , x ^ ± l

2 ) Sim plificar el térm ino | x - 5 | porque es factor com ún y positivo si x ^ 5 .

3) => |x + l| |x + 3| < |x —5 111x | - 1 1 , si x ^ 5

4) Al definir | x | , la inecuación (3) se subdivide en la unión de S\ y S 2 :
S] ) Si x > 0 => (3) se convierte en: |x + l ||x + 3| < |x —5 11x —11
=> (x + l)3 (x + 3)2 - ( x - 5 ) 2 ( x - 1 ) 2 <0
=> [(x + l)(x + 3 ) - ( x - 5 ) ( x - l ) ] [ ( x + l)(x +3) + ( x - 5 ) ( x - l ) ] < 0
=> [x2 +4x +3 - ( x2 - 6 x + 5 )ftx 2 +4 x +3 + x 2 - 6 x +5] < 0
=> ( 1 0 x - 2 ) ( 2 x 2 - 2 x + 8 ) < 0
=> 2 ( 5 x - l ) 2 ( x 2 - x + 4) < 0 , m ultiplicar por j
=> ( 5 x - l ) ( x 2 - x + - ^ “ + 4 j < 0

Si x > 0 e s p o sitiv o V jc e J R 0

=> 5x - 1 < 0
=>x<|

Luego: 5, = [ o , | [

426
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NÚMEROS REA LES

S 2 ) Si x < 0 => (3) se convierte en: |x + l| |x + 3| < | x - 5 | | - x - l |
=> |x + l ||x + 3| < | x - 5 | |x + l¡, pues | - x - l | = |x + l|
=> l* + 3| < | x - 5 | , si x ^ - 1 , al sim plificar |x + l

- (x + 3) 2 < ( x - 5 ) 2

=> x 2 + 6 x + 9 < x 2 - 1 0 x + 25

=> 16x < 16

Si x < 0 => x <1 mmmmm

Luego: S2 = ]~oo,0 [

5) Conclusión: S = S } u S 2 = ] - ° ° >5 [ , x * - 3 , x ^ -1

06] R esolver V x e IR : 14 ~|^ I_+|I>2_JC1+31 < 2 <2

Solución:
1) Com o 14 —x| = | x - 4 ¡ , entonces la inecuación es equivalente a:

2) Los puntos referenciales son j - j , 1 ,4 } que se han obtenido al igualar a cero cada va­

lor absoluto. Además, tener en cuenta que el denom inador no debe ser cero, es decir:
|x —11- 1 ^ 0 < = > | x - l | * l < = > x ^ {2 , 0 }

3) Los puntos referenciales JPARTICIONAN a la recta real en cuatro intervalos.
Cada intervalo es cerrado por derecha y abierto por izquierda. En +oo y en -oo los in­
tervalos siempre son abiertos.
Luego, en cada intervalo se analiza el signo de cada valor absoluto, eligiendo un punto
arbitrario
Resum iendo obtenem os lo siguiente:

x< _2 - j <X <1 1 1<x<4 x>4
2 x =0 x =2 4
2 -Qt-
-cm -
►+00

x = —3 x —5
¡x —4 1= - x + 4
2x + 3¡ = - 2 x - 3 '|x-4| = - x +4 |x - 4 | = - x + 4' i
|x —11= —X+ 1 II
1

12x + 31= 2x + 3 12x + 31= 2x + 3 12x + 31= 2x + 3

|x —1¡ ——X+ 1 | x —11—x —1 |x —11= x - l

427

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

> - 4 |+ . |2 , + 3| ?

l * - 1M “

_2

-oo ----------------------- 2 --------------------------------------- 1 ------------------------- :--------------04• +00
o• ------------------------------------- >
<------------- o•

- x + 4 - 2 x - 3 ^ o, - x + 4 + 2x + 3 ^ -jc + 4 + 2jc + 3 0 jc- 4 + 2 jc + 3 ^
- X 4-1 —1 jc -1-1 “ 1
-jc + 1 - 1 .....j.c...—,1 —,1 — ^

-3 x +1 2 < 0 • i± I _ 2<0 ijc±- 2I - 2 < 0 3; _ 2' - 2 < o
-JC
-x jc + 7 - 2 j c + 4 ^ q 3jc - 1 - 2jc + 4 ^ q
x + 1 + 2x ^ q
~3x + 1+ 2x ^ q -X ~ x —2 ~ jc- 2 -
—x

- - x- x+ ' < 0 3x x+7 < 0 ~jxc -+2]' < 0 jc - 2
£ -iI<0
- ,-ii 0

3i +1 >0 x- 2

-i 0 1 -i -i 0 1 12 4 11 -3 2 4
S{= 0 S 2 = ] 0, 1[ S4 = 0
S3 =[l,2[

Conclusión.- El conjunto solución es:
S — S] S j ^ *^3 ^ <^4

= ]0 , 2 [

m} 11jc —2| —3 | < 4 - x

Solución:
Esta desigualdad se puede resolver por puntos referenciales o aplicando la propiedad:
\a\ < b < = > b> O a [*-b < a < b ]

1) Si aplicam os la propiedad, obtenem os:

c = í> 4 -x > 0 a [- ( 4 - x ) < |x -2 | - 3< 4 -x ]
<=> -x > -4 a [ - 4 + x < | x —2 1- 3 < 4 - x ]
x<4

<=> x<4 a [ - 1 + x < | x —2 1< 7 - x ]

428

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NUMGROS R€AL€S

2) x < 4 [ - 1 + x < | x - 2 | A | x - 2 | < 7 - x ]
AB

3) Resolviendo A: |x - 2 |> x -l => x - 2 > x - 1 V x - 2 < —(x —1)
=> V x - 2 < -x +1
=> 2 < 1 V 2x < 3
i
Al
<N

1

=> 0 V xx _< —2

==> xx -< 2
2

Luego: A = ¿J

4) Resolviendo B: |x —2 1 < 7 - x

7 -x > 0 A [-(7 -jt)< x -2 < 7 -x ]

x<7 A -7 + x < x - 2 A x -2 < 7 -x ]
x <7 A -7 < -2 A 2x<9 ]
*<§ i
x<7 A 7>2 A
IR

xx <_ -2

Luego:
5) Sustituir en 2):

Luego:

08} | 3 x + -¡2-| < | 2 x + y | + I x + 2 - 1

Solución:
Porque: |3x+-¡2-| = j^ 2 x + j j + ( * + ^ ) j < |2 x + ^ | + | x -h^ | (Propiedad triangular)

429

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN
afirm am os que el conjunto solución es todo IR
Es decir CS = IR

09] Resolver \ / x e I R : I |3 x -1 2 | - 6 I + |x| < 3

Solución:
Factorizar el núm ero 3.
c = > | 3 1jc —4 1- 6 | + |x | < 3

c = > 3 11x —4 1—2 | + |x | < 3 ■0 )

Los puntos referenciales de | x - 4 | = 0 => jc = 4
|x —4| y |x |, se obtienen así: |x | = 0 => x = 0

Ahora, resolver la inecuación:

3 ||x - 4 |. - 2 | + |x| < 3 ... •(O

x<0 0 x < 0 <4 4 x>4
x=2 -Q®- x=5
con x = - 2 -Q*-
obtenemos: con con

|x —4| = - x + 4 obtenemos: obtenemos:
|x| = - x
|x —4 1 = - x + 4 | x —4 1 = x - 4
|x | = x |x| = x

Ahora; la inecuación (1) es: Ahora; la inecuación (1) es: Ahora; la inecuación (1) es:

3 |-x + 4 - 2 | -x < 3 3 |-x + 4 - 2 | + x < 3 3 1x —4 —2| + x < 3
3 1—x -h2| - x < 3 3 1—x -+2 1 + x < 3 3 1x —6 1 + x < 3
3 |x —2| - x < 3 3 1x —2| + x < 3
Punto referencial:
Punto referencial: Punto referencial: x=6
x=2 x=2

430

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NÚM€ROS R€AL€5

x<O ~ O<x <4 . x>4

-o®---------------------------------------------------- o®-

El punto referen- El punto referencial x = 2 se El punto referencial x = 6 se
cial x —2 no per­ encuentra en el conjunto encuentra en el conjunto
tenece al conjunto 0 < x < 4 , entonces debemos x > 4 , entonces debemos par­
x < 0 , entonces no particionar el conjunto: ticionar el conjunto: x > 4 .
existe solución. 0<x<4

Esto es: 0 2 44 6
Sl = 0 ‘

con x = 1 con x = 3 con x = 5 con x = 7

Obtenemos: Obtenemos: Obtenemos: Obtenemos:

|x -2 | = -X + -2 |x -2 | = x - 2 |x -6 | = -x + 6 |x -6 | = x + 6

La inecuación es: La inecuación es: La inecuación es: La inecuación es:
3 (-x + 6) + x < 3 3(x-6) +x < 3
3(-x + 2) + x < 3 3 (x -2 ) + x < 3 -3 x + 18 + x < 3 3x - 1J8+ x < 3
4x < 21
-3x + 6 + x < 3 3x - 6 + x < 3 -2x <-15
2x > 15
-2x < -3 4x < 9 x>&

2x> 3 i jf < 2.
4^
3 •'
*>2

W-//T///f/T///P///V////T/yA7 l^J j ¡ . 1...:. ZLi '
2 14 4 6 is
0 12 2 H6
A -]í.2[ 4 2
B2 = 0
^2=]2,|[ B\ = 0

s2 =A ^ = ] f ! [ S3 = Bxu B2 = 0

Conclusión: El conjunto solución es: S = u S2 u S3

- ] í -í [

Jlo] Resolver: 2 | x - l | + x 2 + 9 | < | | x - 2 | + |x 2 + 9 | 1

Solución:
1) Si observam os los térm inos dentro de los valores absolutos externos del prim er y se­

gundo miembro notaremos que son sumas de térm inos positivos, por tanto la in­
ecuación dada es equivalente a:
< => 2 1x —1| + x 2 + 9 < | x —2| + | x2 + 9 |

431

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

2) Como: |x +9\ = x 2 +9 , V x e IR ; entonces se reduce la inecuación a;
<=> 2|jc —II < Ijc —21

3) Ahora, podem os elevar al cuadrado ambos miembros y factorizar:

4 (x -l)2 -(x -2 )2 <0

[ 2(x -1 ) - (x - 2) ] {2(x -1 ) + (x - 2)^ < 0

x (3 x -4 )^ 0 %
o

+©
Cs = x s [ 0 , i ]

4,14.2.3 SE RESUELVEN CON SIMPLES ANALISIS

B] 0 0®: - liigditSI 2o

S4t.. «. y V----- u '

fifairir r * a=~ *^ A — 11* + ^1
a jÍ^ fj + 2 ’ b
****** ■ |2 x - l| + 3

La sigu ien tep rep o sició n es una inferencia: Si [ a - b > 0 a h > 0] => a > 0

A rriba tanemos^que b > 0 V x e IR
Entonces, bastaré ira! lar la solución de a> 0 , porque la solución de a - b >0 estará
contenido en la solución de a > 0 .

Re#e,v#r: wwn *0

<=> x - |* - 1 | > 0 , porque | x +1| + 2 > 0 V x e IR

<==> ¡ x —11 < x

X >0 A [-x < X- 1< X] A x-l<x]
X>0 A f-x < x - 1

X> 0 A [ x > | A - 1< 0]
IR
—

432

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NÚMEROS REA LES

Luego, A = £ , +00 £ es la solución de la inecuación.
Sobre el universo A , resolver a - b > O

X - 1 * - 1 | 11* + 2 |- 1 * + 311

|jc + 1| + 2 \ 2x —11+ 3 “ U

De cada valor absoluto, se obtiene los puntos referenciales:
1 1 , - 1 , - 2 , - 3 , “ | . De éstos sólo x = l particiona al conjunto A.

12 J2r < X < l ¡| x > 1

con x = 0.7 obtenemos: con x = 2 , obtenemos:
|x _ l | = —x + 1 |x —11 = x —1
\x + \\ = X+ l |x + 11 = x + 1
|x + 2¡ = x + 2 |x + 2| = x + 2
|x + 3| = x + 3 |x + 31= x + 3

|2 x -l| = 2 x -l 12x —11 = 2 x - l

La inecuación es: La inecuación es:
x - ( x - \ ) |x + 2 -(* + 3)| ^ 0
* -(-* + 1) \x +2 —(x + 3)| ^ ^ x +l +2 2x-\+3

x +]+2 2x-\+3 x +3 2x +2 ~®

2; a - 2X\ 2 >-°

Simplificar: ^ + 3J(;( + 1! > 0 Simplificar: 2(jt + 3)(j( + 1) > 0

-3 "7 -1 2 1 -3 -1 1
©
©-© - ©- ©

El intervalo no se intersecta La intersección de [l,+oo[ con el
conjunto solución es:
con el conjunto solución.
S2 = [i,+ °°[
Luego: S} = 0

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

Por tanto, la solución de a - b > 0 , es B = Sx k j S 2 = [l,+ °° [

Conclusión: Se cum ple que B a A , por lo tanto el conjunto solución es:
Cs = A n B
= [l,+°o[

ñ\ \x\x\-4\ | jx + 3| - 1 1 ;

1*1+ 2

Solución:

1) En esta ecuación podem os apreciar que:
a) El num erador del prim er m iem bro es positivo o cero V x e IR , es cero para
x =2 .
.b) El denom inador del prim er m iem bro es positivo V x e IR
C) El denom inador del segundo m iem bro es > 0 , es ceropara x = - 2 , x = - 4 .

; Por'tartto,' la inecuación se puede escribir de la forma:

•-;t* W -4 |||* +3|-i|
; ;; <2 < x ............................................................................. (A)

2) I,a sólúción de ésta desigualdad depende de x > 0 .

3) Ahora, analicem os los signos de cada valor absoluto en lainecuación A cuando
x>0 .

Veamos:
Si x > 0 , entonces: |x | = x , |x + 3| = x + 3 , |x + 2| = x + 2

Luego, la inecuación se hace:

|'i 2 ^- 4\ \ x + 2\ _ _ | x - 2||* + 2||* + 2|

. 772 x +2

<=> | x - 2 | (x + 2) < x .................................(B)

4) Ahora, resolver B sobre el universo x > 0 .
De |x —2| obtenem os el punto referencial x = 2 , que va a particionar el conjunto
x > 0 en dos conjuntos.

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NÚMEROS REA LES

0 <x < 2 \ x - 2 \(x + 2) < x x >2
| x —2 1 = - ( x + 2) 2 |x —2 1 = x - 2
cm-

La inecuación es: La inecuación es:
- (x - 2 )( x + 2) < x (x - 2)(x + 2) < x
x2 - 4 < x
-(x2 - 4 ) < x x2 - x < 4
*2 - * + l < 4 + {
x2 - 4 > -x
x2 + x > 4 M ) 2<^
x2 +x +± > 4 +\

v x + - < - V2Í7 2 < X~2 < 2

V¡7-i -V i7-i 1-VÍ7 1+ VT7
X> v X <
< X<

-Ví7-i -V Í7+i íW n
Solución: =
Solución: Z?2 = 1+ VÍ7

5) Conclusión: El conjunto solución de la inecuación será:

B = B} u B2 con x 2
V¡7-1 VÍ7 +1

U] Sean a y c números reales, tales que a ^ c , a >0 , c > 0 y que x > , x < —j
H allar el conjunto solución de la inecuación: | óx + b\ < \cx + d\

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Solución: MOISÉS LÁZARO CARRIÓN
1) De
ax> - b , pues a > 0
&
ax + b > 0 => \ax +b\ = ax + b

2) De x < — => ex < - d , pues c > 0
cx + d < 0 => | ex + d | = - (ex + d)

3) Luego la inecuación dada se hace: x < b+d pues a + c > 0
ax +b < - e x - d ya que a > 0, c > 0 .

=£> ax + cx < - b —d
(a +c)x < - b - d

4.15 POT]E^íCIA E N É SIM 4 U N NÚMERO REAL
4.15.1 INTRODUCCIÓN

Tanto en Álgpbra como en Aritmética, se presentan las potencias enteras no negativas
de números realeo lales como: 23 , 5o , ( T ) *(~3)7 , ... , etc. donde: •

•5 "y

2 : es la tercera potencia del número real 2 e indica 2 = 2 - 2 - 2
( j- ) : es la potencia cinco del número real Vi e indica ^ • ^ , 2 ’ 2 ’ 2 = ( 2 )

an : Se lee “potencia «-ésima del término real n”
En seguida formalicemos la definición de potencia entera no negativa.

4.15.2 D E FIN IC IÓ N
Para todd número real a ^ 0 y n g IN se cumplen:

ía°= l a , si n > 1
an = a • a • a

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NÚMEROS REA LES

D onde la expresión an es la potencia «-ésim a del núm ero real a.
El número real “a ” que se repite “ a? ” veces como factor se llama b a se
El núm ero real “a7” se llam a EXPONENTE e indica las veces que la base “ a ” se repite
como factor.

4.15.3 D EFINICIÓ N

Si m y n son núm eros naturales y a ^ O , definim os:
0a

2) 4a = a=

4.15.4 PROPIEDADES

Si m, n son números enteros positivos y “ a” es número real diferente de cero, se

cumplen las siguientes propiedades:

P ,) (am)(an) = am+n
P 2 ) (am)n = amn

4.15.5 APLICACIONES

(Ol) Probar que (a + b \ a - b ) = a2 - b 2

Demostración:

(a + b)[a-b] = (a + b)a + (a + b)(-b)
V : > ' = a(a + b) + (-b)(a + b)
= a . a+ab-ba-b
= a2 + jrf) - - b 2
= a2 - b 2

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

(02) Probar que ( a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
Demostración:
( a + b) 2 = {a + b) {a 4-b)

= (a + b)(a) +(a +b)(b)
, = a ( a + b) + (b)(a + b)

= a • a + ab +ba + bb
= a + ab + ab + b2
= a2 + 2 ab + b2

(03) D em ostrar que a 2 = b2 c = > a - b v a = - b

Demostración:

(=>) 1) a 2 = b 2

2) Sumar - b 2 : a2 + {-b2) = b2 + {-b2)
=> a2 - b 2 = 0

3) Por el problem a 1 se cum ple que a2 - b 2 =( a + b)(a - b)

4) Luego: (a +b)(a-b) = 0

5) => a + b = 0 Vi a - b = 0 .......... según Teo. 4.9

a--b v a=6

(<=) Queda como ejercicio.................

4.16 RADICALES

4.16.1 IN T R O D U C C IÓ N
En Á lgebra y A ritm ética frecuentem ente nos encontram os con núm eros de la forma:
etc. que las llamamos RADICALES y proceden, generalm ente de re­
solver una ecuación de la forma: x n = a donde a> 0 y n e 1N +

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