กฎการนับเบื้องต้น

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์

เร่อื งกฎการนบั เบื้องตน้

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

AB Chapter 1
C
0 3 กฎเกณฑเ์ บอ้ื งต้น
เกย่ี วกับการนบั

แผนภาพต้นไม้

1. รา้ นขายเสอื้ ผ้าต้องการจดั โชวช์ ุดโดยมีเสอื้ 3 ขนาด แต่ละขนาดมี 2 สี คือ สีดำ และสีขาว ร้านจะมีวธิ จี ัด

โชว์ชดุ ได้อย่างไร

ดำ

ขนาด 1 (S) ขาว

ดำ

ขนาด 2 (M) ขาว

ดำ

ขนาด 3 (L) ขาว

จำนวนวธิ ีจดั ชดุ ทัง้ หมด เท่ากับ 6 วธิ ี

2. ลิซา่ มีกางเกง 2 ตัว เสือ้ 3 ตวั และหมวก 2 ใบท่ีแตกตา่ งกนั จะแตง่ เพื่อเพื่อไปแสดงคอนเสริ ต์ โดยสวม

กางเกงเสอ้ื และหมวกได้กี่วิธี อย่างไรบ้าง

เส้ือตัวที่ 1 หมวกใบท่ี 1

หมวกใบที่ 2

กางเกงตวั ท่ี 1 เสื้อตัวท่ี 2 หมวกใบที่ 1

หมวกใบที่ 2

เสือ้ ตวั ท่ี 3 หมวกใบที่ 1

หมวกใบท่ี 2

กางเกงตัวที่ 2 เสือ้ ตวั ท่ี 1 หมวกใบท่ี 1

หมวกใบท่ี 2

เสื้อตัวท่ี 2 หมวกใบท่ี 1

หมวกใบที่ 2

เส้ือตัวที่ 3 หมวกใบท่ี 1

หมวกใบท่ี 2 ลิซา่ สามารถแตง่ ตวั ได้ 12 วธิ ี

2

3. โยนเหรยี ญหน่ึงเหรยี ญ จำนวน 2 คร้ัง จะไดผ้ ลต่างๆ กันก่วี ธิ ี

ครัง้ ท่ี 1 คร้งั ท่ี 2

H H HH

T HT

T H TH

T TT

จะไดผ้ ลต่างๆ กนั 4 วธิ ี

4. โยนเหรียญหนงึ่ เหรียญ จำนวน 3 ครั้ง จะไดผ้ ลตา่ งๆ กันกี่วธิ ี

ครงั้ ท่ี 1 ครัง้ ท่ี 2 ครงั้ ท่ี 3

HH H HHH

T HHT

T H HTH

T HTT

TH H THH

T THT

T H TTH

T TTT

จะได้ผลต่างๆ กนั 8 วธิ ี

5. โยนเหรยี ญบาทพรอ้ มกับลูกเตา๋ 1 ครั้ง จงหาจำนวนวิธที งั้ หมดในการโยนคร้งั นี้

เหรยี ญ ลูกเต๋า เหรยี ญ ลูกเตา๋

H 1 H1 T 1 T1
T2
2 H2 2 T3
T4
3 H3 3 T5
T6
4 H4 4

5 H5 5

6 H6 6

จำนวนวิธีท้งั หมดในการโยนครั้งน้ี เท่ากับ 12 วธิ ี

3

6. บัตรอกั ษร A, B, และ C อยา่ งละใบ นำบตั รอักษรดังกล่าวมาเรยี งสามใบ โดยไม่คำนงึ ถงึ ความหมายของ

คำท่เี รยี ง ไดท้ ัง้ หมดกแ่ี บบ อะไรบ้าง

บตั รใบที่ 1 บตั รใบท่ี 2 บัตรใบที3่

A B C ABC

C B ACB

B A C BAC

C A BCA

C A B CAB

B A CBA

เรียงบตั รอกั ษร ได้ทง้ั หมด เท่ากบั 6 แบบ

7. ในการเลน่ พนนั มีกตกิ าว่าเล่นได้ไมเ่ กิน 5 ครัง้ ถ้าเร่มิ เล่นมีเงินเพียง 1 บาท และจะเลิกเลน่ เมือ่ มกี ำไร 2
บาทหรอื หมดเงิน เขาจะมวี ธิ ีเลน่ ไดก้ ว่ี ิธี ถา้ ชนะจะได้เงิน 1 บาท และถ้าแพ้เสยี เงิน 1 บาท
ครง้ั ท่ี 1 คร้ังท่ี 2 ครั้งที่ 3 ครง้ั ที่ 4 ครง้ั ท่ี 5

23
123
012

00
มีวิธีเล่นได้ 6 วธิ ี

8. ในการโยนเหรียญ 4 คร้งั มกี ติกาวา่ ถ้าเหรยี ญออกหนา้ เดียวกันตดิ กันใหห้ ยุดโยน หรือโยนครบส่คี รง้ั จงึ หยดุ

จะมีจำนวนวธิ ีการโยนไดท้ ั้งหมดกวี่ ธิ ี

ครง้ั ท่ี 1 ครงั้ ท่ี 2 คร้งั ที่ 3 ครัง้ ท่ี 4

HH

T HH

TT

TH H

TH

T

T

จะมจี ำนวนวิธีการโยนได้ 8 วิธี

4

9. การแขง่ ขันเป่ายิ้งฉุบมกี ติกาว่าจะต้องแข่งขนั 3 ใน 5 เซต หากใครชนะ 3 ครงั้ ก่อน การแขง่ ขนั จะยุติลง

ทนั ที แลว้ วิธีในการแข่งขนั คร้ังน้ีมจี ำนวนเทา่ ไร

ครง้ั ท่ี 1 คร้งั ท่ี 2 ครง้ั ที่ 3 ครัง้ ที่ 4 คร้ังท5่ี

ชนะ ชนะ ชนะ

แพ้ ชนะ

แพ้ ชนะ

แพ้

แพ้ ชนะ ชนะ ชนะ

แพ้ แพ้

แพ้ ชนะ ชนะ

แพ้

แพ้

แพ้ ชนะ ชนะ ชนะ

แพ้ ชนะ

แพ้

แพ้ ชนะ ชนะ

แพ้ แพ้

แพ้ ชนะ ชนะ ชนะ

แพ้ แพ้

แพ้

มี 20 วิธี

10. การแขง่ ขันเปา่ ยงิ้ ฉบุ มกี ติกาวา่ ผูช้ นะคือผูท้ ช่ี นะติดต่อกนั 2 เกม หรือชนะรวมกัน 3 เกม การแข่งขนั ครัง้

นี้จะแข่งขันได้ท้งั หมดกวี่ ธิ ี

คร้งั ที่ 1 คร้ังท่ี 2 ครงั้ ท่ี 3 ครงั้ ที่ 4 คร้งั ท5่ี

ชนะ ชนะ

แพ้ ชนะ ชนะ ชนะ

แพ้ แพ้

แพ้ ชนะ ชนะ

แพ้ แพ้ ชนะ ชนะ

แพ้ แพ้

จะมจี ำนวนวิธีแข่งขนั ได้ 8 วธิ ี

5

11. ในการแข่งขันเปา่ ยิ้งฉุบมีกติกาวา่ ใครชนะ 2 คร้ังกอ่ นจะเป็นผชู้ นะ จงเขียนแผนภาพต้นไม้หาจำนวนวิธี

ทัง้ หมดในการแข่งขนั ครั้งน้ี

พิจารณาจาก 1 คน

คร้งั ที่ 1 ครัง้ ที่ 2 คร้ังท่ี 3

ชนะ ชนะ ชนะ

แพ้ แพ้

แพ้ ชนะ ชนะ

แพ้ แพ้

จำนวนวิธีการแขง่ ขัน้ ครั้งน้ีมี 6 วธิ ี

12. การแข่งขันฟุตบอล โดยมีผเู้ ขา้ แข่งขันทง้ั หมด 4 ทมี แข่งขันแบบพบกันทกุ ทีม แลว้ จำนวนวิธกี ารแข่งขัน
ฟตุ บอลคร้งั นม้ี ีไดท้ ง้ั หมดกี่วิธี

ทีมที่ 1 ทมี ท่ี 2
ทีมที่ 3
ทีมท่ี 4

ทมี ที่ 2 ทมี ท่ี 3
ทมี ท่ี 4

ทมี ท่ี 3 ทีมที่ 4
จะมจี ำนวนวธิ แี ข่งขันได้ 6 วิธี

13. สุ่มหยบิ สลาก 2 ใบ จากกล่องที่มีสลากหมายเลข 1 , 2 , 3 และ 4 จงหาผลลพั ธ์ทง้ั หมดเมอ่ื หยบิ สลาก
2 ใบพร้อมกนั
12

3
4
23
4
34
ดังน้นั จำนวนวธิ ีที่สมุ่ หยิบสลากพร้อมกนั 2 ใบ คือ 6 วธิ ี

6

หลกั การคูณ (multiplication principle)

ในการทำงานอยา่ งหนึง่ สามารถแบง่ ข้นั ตอนการทำงานออกเปน็ 2 ขนั้ ตอน ซึ่งต้องทำงานต่อเน่อื งกนั โดยที่
ขั้นตอนท่ี 1 สามารถทำได้ n1 วธิ ี
ในแตล่ ะวธิ ขี องข้นั ตอนท่ี 1 สามารถทำางานในข้ันตอนที่ 2 ตอ่ ไปได้ n2 วธิ ี จะสามารถทำางานนี้ได้

ท้งั หมด n1  n2 วธิ ี

1. ลซิ ่ามเี สื้อและกระโปรงสำหรบั สวมไปแสดงคอรน์ เสริ ต์ อยู่ 9 ตัว และ 4 ตัวตามลำ ลิซา่ จะมีวิธสี วมเสอ้ื และ

กระโปรงไปแสดงคอนเสริ ต์ เป็นชุดต่างๆกันไดท้ ้งั หมดก่ีชุด

เนอ่ื งจากงาน คือ การใสช่ ุดซึ่งประกอบด้วยเสอ้ื และกระโปรง ซง่ึ มี 2 ขนั้ ตอน

ขน้ั ตอนที่ 1 ใสเ่ ส้ือ เลอื กใสไ่ ด้ 9 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 2 ใส่กระโปรง เลอื กใส่ได้ 4 วธิ ี

ดังน้นั ลิซ่าจะสวมชุดแสดงคอร์นเสิรต์ ได้ท้ังหมด 94 = 36 วิธี

2. คมิ เบอรมี่ ีเสื้อท่ีแตกต่างกนั 5 ตัวและกางเกงท่ีแตกต่างกัน 6 ตัว จงหาวธิ กี ารแตง่ ตัวได้ท้งั หมดก่ีวิธี

ขนั้ ตอนที่ 1 ใสเ่ สื้อ เลือกใส่ได้ 5 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 2 ใส่กางเกง เลือกใสไ่ ด้ 6 วธิ ี

ดังน้นั คิมเบอร่ีจะสวมชดุ ได้ทั้งหมด 56 = 30 วิธี

3. ณ ฉตั ร มเี สอื้ 7 ตัว กางเกง 5 ตวั และรองเท้า 3 คู่ ถา้ การแต่งตัวของ ณ ฉัตร 1 ชดุ ประกอบด้วยเส้อื กางเกง

และรองเทา้ อยากทราบวา่ ณ ฉัตร จะแตง่ ตัวได้กช่ี ดุ

ขน้ั ตอนท่ี 1 ใสเ่ สื้อ เลือกใสไ่ ด้ 7 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 2 ใส่กางเกง เลอื กใสไ่ ด้ 5 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 ใส่รองเทา้ เลือกใสไ่ ด้ 3 วธิ ี

ดังนั้น ณ ฉตั ร จะสวมชุดได้ท้ังหมด 753 =105 วิธี

7

4. โยนเหรยี ญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง จงหาจำนวนผลลพั ธ์ท่จี ะเกดิ ขน้ึ

ขั้นตอนท่ี 1 เหรียญที่ 1 มีผลลัพธ์ได้ 2 วธิ ี

ขนั้ ตอนที่ 2 เหรยี ญที่ 2 มผี ลลัพธไ์ ด้ 2 วิธี

จำนวนผลลพั ธท์ จ่ี ะเกดิ ขึน้ 22 = 4วิธี

5. โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง จงหาจำนวนผลลัพธท์ จ่ี ะเกดิ ขึ้น

ขั้นตอนที่ 1 เหรียญท่ี 1 มีผลลพั ธไ์ ด้ 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 2 เหรียญที่ 2 มผี ลลพั ธไ์ ด้ 2 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 3 เหรียญที่ 3 มีผลลัพธ์ได้ 2 วิธี

จำนวนผลลัพธท์ จ่ี ะเกดิ ขน้ึ 222 = 8 วธิ ี

6. ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 2 ครั้ง จงหาจำนวนผลลพั ธ์ท่ีจะเกดิ ขึ้น

ขั้นตอนท่ี 1 ลูกเต๋าลูกที่ 1 มีผลลพั ธ์ได้ 6 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 2 ลูกเต๋าลกู ท่ี 2 มีผลลัพธไ์ ด้ 6 วธิ ี

จำนวนผลลัพธ์ที่จะเกิดขนึ้ 66 = 36 วธิ ี

7. ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 3 ครัง้ จงหาจำนวนผลลพั ธ์ที่จะเกดิ ข้ึน

ข้นั ตอนท่ี 1 ลูกเต๋าลูกที่ 1 มีผลลัพธ์ได้ 6 วธิ ี

ข้ันตอนที่ 2 ลกู เตา๋ ลูกที่ 2 มีผลลพั ธไ์ ด้ 6 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 3 ลูกเต๋าลกู ที่ 3 มีผลลัพธไ์ ด้ 6 วธิ ี

จำนวนผลลัพธ์ทจี่ ะเกิดขน้ึ 666 = 216 วธิ ี

8

8. โยนเหรียญ 1 เหรยี ญ และทอดลูกเตา๋ 1 ลูกพร้อมกนั จงหาจำนวนผลลัพธ์ทีจ่ ะเกิดขึน้

ขั้นตอนที่ 1 โยนเหรียญ มผี ลลัพธไ์ ด้ 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 ทอดลูกเต๋า มผี ลลพั ธ์ได้ 6 วิธี

จำนวนผลลัพธท์ ี่จะเกิดขึน้ 26 =12 วธิ ี

9. โยนเหรียญ 3 เหรยี ญ และทอดลูกเตา๋ 1 ลกู พร้อมกัน จงหาจำนวนผลลัพธท์ จี่ ะเกดิ ขน้ึ

ขน้ั ตอนที่ 1 โยนเหรียญ มผี ลลพั ธ์ได้ 2 วิธี

ขัน้ ตอนท่ี 2 โยนเหรยี ญ มผี ลลัพธ์ได้ 2 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 โยนเหรียญ มีผลลพั ธไ์ ด้ 2 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 4 ทอดลกู เตา๋ มผี ลลัพธไ์ ด้ 6 วธิ ี

จำนวนผลลพั ธท์ ่ีจะเกิดขน้ึ 2226 = 36 วิธี

10. โยนเหรียญ 1 เหรยี ญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูกพร้อมกนั จงหาจำนวนผลลพั ธ์ที่ลูกเตา๋ จะขน้ึ แต้มคู่

ขั้นตอนท่ี 1 โยนเหรียญ มีผลลัพธ์ได้ 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 2 ทอดลูกเต๋า มีผลลัพธ์ได้ 3 วิธี

จำนวนผลลพั ธท์ จี่ ะเกิดขน้ึ 23 = 6วธิ ี

11. โยนเหรียญ 1 เหรยี ญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูกพรอ้ มกัน จงหาจำนวนผลลัพธ์ที่เหรยี ญจะหงายหนา้ กอ้ ยและ

ลูกเตา๋ ข้ึนแต้มคู่

ขัน้ ตอนท่ี 1 โยนเหรยี ญ มีผลลัพธ์ได้ 1 วิธี

ขั้นตอนที่ 2 ทอดลูกเตา๋ มผี ลลัพธไ์ ด้ 3 วิธี

จำนวนผลลัพธท์ จ่ี ะเกิดข้นึ 13 = 3วธิ ี

9

12. โยนเหรยี ญ 2 เหรียญ และทอดลกู เต๋า 1 ลูกพร้อมกนั 1 ครั้ง จงหาจำนวนวธิ ที เี่ หรยี ญข้นึ หนา้ เหมือนกนั

ขน้ั ตอนที่ 1 โยนเหรียญที่1 มีผลลัพธ์ได้ 2 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 โยนเหรียญที่1 มีผลลัพธไ์ ด้ 1 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 2 ทอดลูกเตา๋ มีผลลัพธ์ได้ 6 วิธี

จำนวนผลลัพธ์ที่จะเกิดข้นึ 216 =12 วิธี

13. โยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญ และทอดลูกเตา๋ 1 ลกู พร้อมกัน 1 ครัง้ จงหาจำนวนวธิ ที ี่ลกู เต๋าขึน้ แต้มคู่

ขั้นตอนที่ 1 โยนเหรยี ญที่1 มีผลลพั ธ์ได้ 2 วธิ ี

ข้ันตอนที่ 2 โยนเหรียญท1่ี มีผลลัพธไ์ ด้ 2 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 2 ทอดลกู เต๋า มผี ลลัพธไ์ ด้ 3 วิธี

จำนวนผลลัพธ์ทีจ่ ะเกิดขึ้น 223 =12วธิ ี

14. โยนเหรียญ 2 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จงหาจำนวนวิธีที่เหรียญขึ้นหน้าเหมือนกัน

และลูกเตา๋ ข้นึ แตม้ คู่

ขน้ั ตอนท่ี 1 โยนเหรยี ญที1่ มีผลลัพธ์ได้ 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 โยนเหรยี ญท่ี1 มีผลลพั ธไ์ ด้ 1 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 ทอดลูกเตา๋ มผี ลลพั ธไ์ ด้ 3 วธิ ี

จำนวนผลลัพธท์ ่ีจะเกิดขึน้ 213 = 6 วิธี

15. จดหมาย 3 ฉบบั จะนำไปท้งิ ใส่ตูไ้ ปรษณีย์ 4 ตู้ ทแี่ ตกตา่ งกันไดท้ ง้ั หมดกว่ี ิธี

ขั้นตอนที่ 1 จดหมายฉบบั ท่ี1 สามารถท้งิ ได้ 4 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 2 จดหมายฉบับท่ี2 สามารถท้งิ ได้ 4 วิธี

ข้นั ตอนที่ 3 จดหมายฉบบั ที่3 สามารถทง้ิ ได้ 4 วิธี

จำนวนผลลัพธท์ จี่ ะเกดิ ขึ้น 444 = 64วธิ ี

10

16. มีจดหมาย 3 ฉบับท่แี ตกต่างกัน ตอ้ งการไปทิ้งใส่ตไู้ ปรษณียซ์ ึ่งมีอยู่ 4 ตู้จะมีวิธใี สจ่ ดหมายลงในตู้ไปรษณีย์

ไดแ้ ตกตา่ งกันทง้ั หมดกี่วธิ ีถา้

1) ไมม่ ีเงื่อนไขเพิ่มเตมิ

ขน้ั ตอนที่ 1 จดหมายฉบบั ท่ี1 สามารถทิ้งได้ 4 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 จดหมายฉบบั ที่2 สามารถทิง้ ได้ 4 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 3 จดหมายฉบบั ที่3 สามารถทงิ้ ได้ 4 วธิ ี

จำนวนผลลพั ธ์ที่จะเกดิ ข้นึ 444 = 64วธิ ี

2) จดหมายแต่ละฉบับใส่ต้ไู มซ่ ้ำกัน 4 วิธี
ขน้ั ตอนที่ 1 จดหมายฉบับท่ี1 สามารถท้งิ ได้ 3 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 2 จดหมายฉบบั ที่2 สามารถทง้ิ ได้ 2 วิธี
ขั้นตอนท่ี 3 จดหมายฉบบั ที่3 สามารถท้ิงได้ 432 = 24 วธิ ี
จำนวนผลลัพธท์ ี่จะเกดิ ขึ้น

3) จดหมายทกุ ฉบบั ใส่ตเู้ ดียวกนั 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 1 จดหมายฉบบั ที่1 สามารถทง้ิ ได้ 1 วิธี
ขนั้ ตอนท่ี 2 จดหมายฉบับที่2 สามารถทิ้งได้ 1 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 จดหมายฉบบั ท่ี3 สามารถทง้ิ ได้ 411= 4 วธิ ี
จำนวนผลลัพธท์ ี่จะเกดิ ขึ้น

4) มจี ดหมายซองสขี าวอย่หู นึ่งฉบับตอ้ งใส่ตทู้ ี่ 1 เทา่ นั้น

ขั้นตอนที่ 1 จดหมายฉบับท่ี1 สามารถทงิ้ ได้ 1 วธิ ี

ข้ันตอนท่ี 2 จดหมายฉบับท่ี2 สามารถทิ้งได้ 4 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 3 จดหมายฉบับท่ี3 สามารถทิ้งได้ 4 วธิ ี

จำนวนผลลพั ธ์ที่จะเกดิ ขึ้น 144 =16 วิธี

11

17. โรงเรยี นมหี อประชมุ ท่ีมีประตูเข้า – ออกได้ 6 ประตู จงหาจำนวนวิธีท่ีนักเรียนจะเข้าและออกจาก

หอประชมุ

ขน้ั ตอนท่ี 1 เขา้ หอประชุม เลือกได้ 6 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 2 ออกจากหอประชุม เลอื กได้ 6 วธิ ี

ดังนนั้ นกั เรียนสามารถเขา้ และออกจากหอประชมุ ไดท้ ั้งหมด 66 = 36 วิธี

18. สนามกีฬาแห่งหน่ึงมปี ระตอู ยู่ 8 ประตู ถ้าจะเข้าประตูหน่งึ แลว้ ออกอีกประตูหนึ่งไม่ให้ซ้ำกบั ประตูที่เข้ามา

จะมีวิธีเข้าและออกจากสนามกีฬาแห่งน้ีได้ทง้ั หมดกวี่ ิธี

ขน้ั ตอนที่ 1 เข้าสนามกีฬาได้ 8 วธิ ี

ขนั้ ตอนที่ 2 ออกจากสนามกีฬาได้ 7 วธิ ี

ดังนน้ั นกั เรียนสามารถเข้าและออกจากหอประชุมไดท้ ัง้ หมด 87 = 56 วธิ ี

19. โรงหนงั แหง่ หน่งึ มปี ระตูอยู่ 7 ประตู ถา้ จะเข้าประตูงแล้วออกประตูเดียวกัน จะมวี ธิ ีเข้าและออกจาก

โรงหนังแหง่ นีไ้ ด้ท้ังหมดกี่วิธี

ขั้นตอนท่ี 1 เขา้ โรงหนงั ได้ 7 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 ออกจากโรงหนงั ได้ 1 วธิ ี

ดงั น้นั นกั เรยี นสามารถเข้าและออกจากหอประชุมได้ทง้ั หมด 71 = 7 วธิ ี

20. ในการทอดลกู เต๋าสองลกู พร้อมๆ กนั จงหาจำนวนวธิ ีที่ไดผ้ ลลัพธเ์ หล่านี้

1) จำนวนผลลพั ธ์ของการทอดลกู เตา๋ 2 ลูก

ขั้นตอนท่ี 1 ลูกท่ี 1 6 วิธี

ขน้ั ตอนท่ี 2 ลกู ที่ 2 6 วธิ ี

ดงั นัน้ ผลลพั ธ์ท่ีเปน็ ไปได้ท้ังหมด 66 = 36 วิธี

2) จำนวนแตม้ ตรงกนั 6 วธิ ี
ขน้ั ตอนที่ 1 ลกู ที่ 1 1 วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 2 ลกู ที่ 2 61 = 6วธิ ี
ดงั นัน้ ผลลพั ธ์ท่ีเป็นไปไดท้ ้ังหมด

3) จำนวนแตม้ ตา่ งกัน
ผลลพั ธท์ เ่ี ป็นไปได้ท้งั หมด 36−6 = 30 วธิ ี

12

21. ข้อสอบประเภท ถูก - ผดิ ชุดหนึ่งมี 5 ขอ้ นักเรยี นท่ีทาํ ข้อสอบน้จี ะมีวิธี ทาํ ข้อสอบได้ตา่ งๆกนั กวี่ ธิ ี ถ้า

ต้องตอบคาํ ถามทกุ ข้อโดยไม่มกี ารเวน้

ขั้นตอนท่ี 1 คำถามท่ี 1 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 คำถามท่ี 2 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 3 คำถามที่ 3 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 4 คำถามที่ 4 2 วธิ ี

ข้ันตอนท่ี 5 คำถามที่ 5 2 วธิ ี

ดงั นน้ั ผลลพั ธ์ท่เี ป็นไปได้ทั้งหมด 22222 = 32 วิธี

22. มีข้อสอบประเภทเลอื กตอบ 4 ตวั เลือก คือ a, b, c และ d จำนวน 5 ขอ้ จะมวี ธิ ีเลอื กตอบข้อสอบได้กี่วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 1 คำถามท่ี 1 4 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 2 คำถามที่ 2 4 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 3 คำถามท่ี 3 4 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 4 คำถามที่ 4 4 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 5 คำถามท่ี 5 4 วธิ ี

ดังนน้ั ผลลัพธท์ ี่เป็นไปไดท้ ้งั หมด 44444 = 45 วิธี

23. มีข้อสอบประเภทเลือกตอบ 4 ตวั เลอื ก คือ a, b, c และ d จำนวน 5 ขอ้ จะมวี ธิ ีเลือกตอบข้อสอบได้กีว่ ิธี

ถ้า 2 ขอ้ แรกเลือกข้อ b และ c

ขั้นตอนท่ี 1 คำถามที่ 1 2 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 คำถามที่ 2 2 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 คำถามที่ 3 4 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 4 คำถามที่ 4 4 วธิ ี

ขนั้ ตอนที่ 5 คำถามท่ี 5 4 วธิ ี

ดงั นั้น ผลลัพธ์ท่เี ปน็ ไปได้ทั้งหมด 22444 = 256วิธี

13

24. ข้อสอบชุดหนึ่งประกอบด้วย ข้อสอบประเภทเขียนถูก-ผิด 3 ข้อ และข้อสอบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือกอีก 2

ขอ้ ให้หาจำนวนวธิ ที ่จี ะเลือกคำตอบของแลว้ สอบท้งั หมด

ขั้นตอนท่ี 1 คำถามท่ี 1 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 2 คำถามท่ี 2 2 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 3 คำถามท่ี 3 2 วธิ ี

ขนั้ ตอนที่ 4 คำถามท่ี 4 4 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 5 คำถามที่ 5 4 วธิ ี

ดงั นั้น ผลลพั ธท์ เ่ี ป็นไปได้ทงั้ หมด 22244 =128 วธิ ี

25. ตอ้ งการแจกหนังสือ 3 เลม่ ทแ่ี ตกตา่ งกันให้กับนักเรยี น ซง่ึ มี 4 คน จะมวี ิธแี จกหนงั สือได้ ท้ังหมดกว่ี ธิ ี

1) เมอื่ ไม่มีเง่ือนไขเพม่ิ เตมิ

ขั้นตอนที่ 1 หนงั สือเล่มที่ 1 4 วธิ ี

ขนั้ ตอนท่ี 2 หนังสือเลม่ ที่ 2 4 วิธี

ขน้ั ตอนท่ี 3 หนังสือเล่มที่ 3 4 วิธี

ดงั น้นั ผลลพั ธท์ เ่ี ป็นไปได้ทั้งหมด 444 = 64วิธี

2) แจกหนังสือไม่ซ้ำคน 4 วิธี
ขัน้ ตอนที่ 1 หนังสือเล่มที่ 1 3 วิธี
ขนั้ ตอนที่ 2 หนงั สือเล่มที่ 2 2 วิธี
ข้ันตอนที่ 3 หนงั สือเลม่ ท่ี 3 432 = 24 วธิ ี
ดงั นั้น ผลลพั ธ์ทเี่ ป็นไปได้ทง้ั หมด

3) มีการแจกหนงั สือใหเ้ ด็กเพียงคนเดยี ว 4 วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 1 หนังสือเล่มที่ 1 1 วธิ ี
ขั้นตอนที่ 2 หนงั สือเล่มท่ี 2 1 วิธี
ขนั้ ตอนที่ 3 หนังสือเลม่ ที่ 3 411= 4 วิธี
ดังนน้ั ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทง้ั หมด

14

26. ใหส้ รา้ งจำนวนท่มี ี 3 หลักจากเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ 5 ซึง่ มีขอ้ กำหนด ดังน้ี

2) ไมม่ เี งื่อนไขเพม่ิ เติม

ขน้ั ตอนท่ี 1 หลกั ท่ี 1 5 วิธี

ขั้นตอนที่ 2 หลกั ท่ี 2 5 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 หลกั ท่ี 3 5 วธิ ี

ดงั นนั้ ผลลพั ธ์ทีเ่ ป็นไปได้ทง้ั หมด 555 =125วธิ ี

2) ตัวเลขในแตล่ ะหลกั ต้องไมซ่ ้ำกนั 5 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 1 หลักที่ 1 4 วธิ ี
ขั้นตอนที่ 2 หลกั ที่ 2 3 วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 3 หลกั ที่ 3 543 = 60 วธิ ี
ดงั นัน้ ผลลพั ธท์ ่เี ปน็ ไปได้ท้งั หมด

3) ตวั เลขในแตล่ ะหลักซำ้ กันไดแ้ ละเปน็ เลขคู่ 5 วิธี
ข้ันตอนที่ 1 หลกั ที่ 1 5 วิธี
ข้นั ตอนท่ี 2 หลกั ท่ี 2 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 หลกั ที่ 3 542 = 40 วิธี
ดงั นั้น ผลลัพธ์ทีเ่ ป็นไปไดท้ งั้ หมด

27. สร้างจำนวนค่ีบวกซ่ึงมี 3 หลักไดท้ ั้งหมดกจี่ ำนวน

ขน้ั ตอนท่ี 1 หลักที่ 1 9 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 หลักท่ี 2 10 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 3 หลักท่ี 3 5 วิธี

ดงั นัน้ ผลลัพธท์ ่ีเปน็ ไปได้ทัง้ หมด 9105 = 450วิธี

15

28. กอล์ฟมีเพอ่ื นสนิท 4 คน ถา้ ตอ้ งการชวนเพอื่ นสนิทอยา่ งน้อย 1 คนไปเทยี่ วเชียงใหม่เขาชวนเพ่อื นสนิทไป

เที่ยวไดท้ ้งั หมดกว่ี ธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 1 เพือ่ นสนิทคนท่ี 1 2 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 เพอ่ื นสนิทคนท่ี 2 2 วิธี

ขน้ั ตอนท่ี 3 เพอ่ื นสนิทคนที่ 3 2 วธิ ี

ขนั้ ตอนที่ 4 เพ่ือนสนิทคนท่ี 4 2 วธิ ี

ดงั นน้ั กอล์ฟมวี ธิ ีชวนเพอื่ นสนิทอยา่ งน้อย 1 คนไปเที่ยวได้ทั้งหมด 2222−1=15 วิธี

29. กุญแจทมี่ ีรหัสมเี ลข 3 หลัก แตล่ ะหลักหมนุ ไดต้ ั้งแต่ 0 – 9 ถา้ ตง้ั รหสั กุญแจเปดิ ได้ไวเ้ พียงวธิ ีเดยี ว จำนวน

วธิ ตี ัง้ รหัสกุญแจ 3 หลกั ทท่ี ำให้กุญแจเปดิ ไมไ่ ด้เป็นเท่าใด

ขน้ั ตอนที่ 1 หลกั ที่ 1 10 วธิ ี

ข้นั ตอนที่ 2 หลกั ที่ 2 10 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 หลักที่ 3 10 วธิ ี

จำนวนรหัสท้ังหมด 101010 =1000 วธิ ี

ดังนั้น จำนวนรหัสที่กุญแจเปิดไม่ไดเ้ ปน็ ท้ังหมด 1000−1= 999 วิธี

30. ใหน้ ำเลขโดด 1 ถงึ 9 มาสรา้ งเป็นจำนวนทมี่ ีสามหลัก จะสรา้ งไดท้ ัง้ หมดก่จี ำนวน โดยที่

1) เป็นจำนวนคูแ่ ละแต่ละหลกั ตอ้ งไม่ซำ้ กนั

ข้นั ตอนท่ี 1 หลักท่ี 1 9 วิธี

ขั้นตอนที่ 2 หลกั ที่ 2 8 วิธี

ขนั้ ตอนท่ี 3 หลกั ท่ี 3 7 วธิ ี

ดังนน้ั จำนวนรหสั ท่ีกญุ แจเปิดไม่ได้เปน็ ทง้ั หมด 987 = 504 วธิ ี

3) มีค่าน้อยกวา่ 300 และแต่ละหลกั สามารถซ้ำกนั ได้

ขัน้ ตอนท่ี 1 หลกั ที่ 1 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 หลักที่ 2 9 วิธี

ข้ันตอนท่ี 3 หลกั ที่ 3 9 วธิ ี

ดังนัน้ จำนวนรหสั ที่กญุ แจเปิดไม่ได้เป็นทง้ั หมด 299 =162 วธิ ี

16

31. จงหาจำนวนวิธีสร้างจำนวนโดยใช้ 9 วิธี
1) สรา้ งจำนวนคท่ี ม่ี ี 3 หลัก จากเลขโดด 1 ถึง 9 9 วิธี
ขน้ั ตอนที่ 1 หลกั ที่ 1 4 วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 2 หลกั ท่ี 2
ขน้ั ตอนที่ 3 หลักท่ี 3
ดังน้นั จำนวนผลลัพธ์ทัง้ หมด 994 = 324 วิธี

2) สร้างจำนวนคทู่ มี่ ี 3 หลัก จากเลขโดด 1 ถึง 9 โดยท่แี ต่ละหลกั ไมซ่ ้ำกนั

เลขโดด 1 ถงึ 8 สร้างจำนวนคที่ ีม่ ี4 หลัก โดยที่แตล่ ะหลกั ไมซ่ ้ำกนั

ขั้นตอนท่ี 1 หลกั ท่ี 1 8 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 หลกั ที่ 2 7 วิธี

ข้นั ตอนท่ี 3 หลักท่ี 3 4 วิธี

ดังนัน้ จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด 874 = 224 วิธี

32. ทะเบียนรถยนต์ประกอบด้วยตัวแรกเป็นเลขโดดที่ไม่ใช่ 0 ตามด้วยพยัญชนะไทย 1 ตัว และ ตามด้วย

จำนวน 3 หลกั จงหาว่าจะทำทะเบียนรถยนต์ไดท้ ง้ั หมดกค่ี นั (พยัญชนะไทยมีท้งั หมด44 ตัว

ข้ันตอนท่ี 1 หลักที่ 1 ตวั เลข 9 วิธี

ขั้นตอนท่ี 2 หลักท่ี 2 พยัญชนะไทย 44 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 หลกั ท่ี 3 ตัวเลข 10 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 4 หลักท่ี 4 ตัวเลข 10 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 5 หลักที่ 5 ตวั เลข 10 วิธี

ดงั นั้น จำนวนผลลพั ธ์ทง้ั หมด 944101010 = 396000 วธิ ี

17

33. โรงเรยี นแห่งหน่งึ จดั อาหารกลางวันเป็นอาหารคาว 6 อยา่ ง เคร่ืองดื่ม 5 อยา่ งและขนม 7 อยา่ ง ใหน้ ักเรียน

เลอื กรับประทานชนิดละ 1 อย่าง อยากทราบวา่ นกั เรียนจะมีวิธเี ลือก อาหารคาว เครอ่ื งดม่ื และขนมไดท้ ้งั หมด

กว่ี ธิ ี

ขั้นตอนที่ 1 อาหารคาว 6 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 เคร่อื งด่ืม 5 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 3 ขนม 7 วธิ ี

ดงั นัน้ จำนวนผลลพั ธ์ทัง้ หมด 657 = 210 วิธี

34. จดั นกั เรยี น 5 คน มายืนเข้าแถวถา่ ยรูป จะสามารถจัดนักเรยี นไดท้ ้ังท้ังหมดก่ีวิธี

ขั้นตอนที่ 1 ตำแหน่งที่ 1 5 วธิ ี

ขัน้ ตอนที่ 2 ตำแหน่งที่ 2 4 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 ตำแหน่งท่ี 3 3 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 4 ตำแหนง่ ที่ 4 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 5 ตำแหนง่ ท่ี 5 1 วธิ ี

ดงั นน้ั จำนวนผลลัพธ์ท้งั หมด 54321=120 วิธี

35. ในการเลือกคณะกรรมการชุดหนึง่ ซ่ึงประกอบด้วย ประธาน รองประธาน เหรัญญกิ และเลขานกุ าร โดยให้

กรรมการแต่ละคนดำรงตำแหน่งไดเ้ พียงตำแหน่งเดยี ว ถ้ามี ผู้สมัครเลือกตัง้ 12 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการ

ชดุ น้ีอาจมแี ตกตา่ งได้ท้งั หมดกีว่ ธิ ี

ขั้นตอนที่ 1 ตำแหน่งประธาน 12 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 2 ตำแหนง่ รองประธาน 11 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 3 ตำแหนง่ เหรญั ญิก 10 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 4 ตำแหนง่ เลขานุการ 9 วธิ ี

ดงั น้นั จำนวนผลลพั ธ์ทงั้ หมด 1211109 =11880 วธิ ี

18

36. มีมีรถแทก็ ซ่ี 5 คัน อยากทราบว่านักท่องเทย่ี ว 3 คน จะเลือกขึ้นรถแท็กซ่ไี ดก้ วี่ ธิ ี โดย

1) ไมม่ เี งอ่ื นไขเพิม่ เติม

ขน้ั ตอนท่ี 1 นักท่องเทย่ี วคนที่ 1 5 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 นักท่องเที่ยวคนที่ 2 5 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 3 นักท่องเทยี่ วคนที่ 3 5 วธิ ี

ดังนัน้ จำนวนผลลัพธ์ท้ังหมด 555 =125 วธิ ี

2) นักทอ่ งเทย่ี วข้ึนรถไมซ่ ำ้ กนั เลย 5 วธิ ี
ขน้ั ตอนที่ 1 นักท่องเทย่ี วคนท่ี 1 4 วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 2 นักท่องเทย่ี วคนท่ี 2 3 วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 3 นักท่องเทีย่ วคนท่ี 3
ดังนน้ั จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด 543 = 60 วธิ ี

37. จงหาจำนวนวธิ ใี นการจดั นักเรียน 5 คน โดยมีก่งิ และแก้ว รวมอยู่ดว้ ยมายนื เรยี งในแนวเสน้ ตรง ถา้

1) ไมม่ เี งื่อนไข

ขน้ั ตอนท่ี 1 ตำแหน่งท่ี 1 5 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 ตำแหน่งที่ 2 4 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 ตำแหน่งที่ 3 3 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 4 ตำแหนง่ ที่ 4 2 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 5 ตำแหน่งที่ 5 1 วธิ ี

ดงั นน้ั จำนวนผลลัพธ์ทง้ั หมด 54321=120 วธิ ี

2) ให้กิง่ ยืนหวั แถว

ขนั้ ตอนท่ี 1 ตำแหนง่ ท่ี 1 1 วธิ ี

ข้ันตอนท่ี 2 ตำแหนง่ ท่ี 2 4 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 3 ตำแหนง่ ที่ 3 3 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 4 ตำแหนง่ ที่ 4 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 5 ตำแหนง่ ที่ 5 1 วธิ ี

ดังน้นั จำนวนผลลพั ธ์ทัง้ หมด 14321= 24 วิธี

19

3) ให้ก่ิงและแก้วยืนหัวแถว ทา้ ยแถว

ขั้นตอนท่ี 1 ตำแหน่งที่ 1 2 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 2 ตำแหนง่ ท่ี 2 4 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 3 ตำแหน่งท่ี 3 3 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 4 ตำแหนง่ ที่ 4 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 5 ตำแหน่งที่ 5 1 วธิ ี

ดังนน้ั จำนวนผลลพั ธ์ทั้งหมด 24321= 48 วธิ ี

4) ให้กง่ิ และแก้วยืนตดิ กันเสมอ

ขน้ั ตอนที่ 1 ตำแหน่งท่ี 1 4 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 ตำแหนง่ ที่ 2 3 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 3 ตำแหน่งที่ 3 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 4 ตำแหน่งที่ 4 1 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 5 กง่ิ และแก้วยืนสลับตำแหน่งกัน 2 วธิ ี

ดังน้นั จำนวนผลลัพธ์ทง้ั หมด 43212 = 48 วิธี

38. ต้องการจัดที่นั่งให้ผู้ใหญ่ 2 คนกับเด็ก 3 คน เดินทางด้วยรถยนต์ 5 ที่นั่ง โดยคนขับต้องเป็นผู้ใหญ่ จะมี

จำนวนวธิ กี ารจัดไดก้ ี่วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 1 คนขบั 2 วิธี

ขัน้ ตอนท่ี 2 ตำแหน่งที่ 2 4 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 3 ตำแหนง่ ที่ 3 3 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 4 ตำแหน่งที่ 4 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 5 ตำแหน่งที่ 5 1 วธิ ี

ดังนน้ั จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด 34321= 72 วธิ ี

20

39. พนาวางแผนมบี ตุ ร 3 คน จำนวนวิธที ่เี ขาจะมบี ุตรชาย-หญิงไดแ้ ตกต่างกนั ทัง้ หมดกว่ี ิธีถ้า

1) ไม่มเี ง่อื นไขเพิ่มเติม

ขน้ั ตอนท่ี 1 ลกู คนท่ี 1 2 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 2 ลกู คนท่ี 2 2 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 ลูกคนที่ 3 2 วธิ ี

ดงั นัน้ จำนวนผลลพั ธ์ทง้ั หมด 222 = 8 วธิ ี

2) ไมม่ บี ุตรเปน็ เพศเดยี วกันท้งั 3 คน
ดงั น้นั ไม่มบี ุตรเป็นเพศเดียวกนั ท้งั 3 คน เท่ากบั 8 – 2 = 6 วิธี

3) มีบุตรคนแรกเป็นชาย 1 วิธี
ขั้นตอนท่ี 1 ลูกคนที่ 1 2 วิธี
ขน้ั ตอนที่ 2 ลกู คนที่ 2 2 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 3 ลกู คนท่ี 3 122 = 4 วิธี
ดังน้ัน จำนวนผลลพั ธ์ทั้งหมด

40. กรรมการชุดหนึ่งมีผู้ชาย 5 คน ผู้หญิง 6 คนจะเลือกประธานซึ่งเป็นผู้ชาย 1 คนและรองประธานซึ่งเป็น

ผูห้ ญงิ 1 คน มวี ิธเี ลอื กได้กี่วิธี

ข้ันตอนที่ 1 ประธานซ่งึ เป็นผู้ชาย 5 วธิ ี

ข้ันตอนท่ี 2 รองประธานซ่ึงเป็นผู้หญงิ 6 วิธี

ดังนั้น จำนวนผลลพั ธ์ทั้งหมด 56 = 30 วธิ ี

41. กรรมการชุดหนึ่งมีผู้ชาย 5 คน ผู้หญิง 6 คนจะเลือกประธานซึ่งเป็นผู้ชาย 1 คนและรองประธานซึ่งเป็น

ผู้หญงิ 2 คนแต่ละคนทำหนา้ ท่ีได้ 1 ตำแหนง่ เท่านน้ั มีวิธเี ลอื กไดก้ ว่ี ธิ ี

ขนั้ ตอนท่ี 1 ประธานซ่งึ เปน็ ผู้ชาย 5 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 2 รองประธานซึ่งเป็นผหู้ ญงิ 6 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 รองประธานซึ่งเปน็ ผหู้ ญงิ 5 วธิ ี

ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ท้งั หมด 565 =150 วธิ ี

21

42. ในการรับสมัครพนักงาน 2 ตำแหน่ง เป็นพนักงานหญิง 1 ตำแหน่ง พนักงานชาย 1 ตำแหน่ง ถ้าผู้สมัคร

เปน็ หญงิ 9 คน เปน็ ชาย 6 คน จะมีจำนวนวิธีรบั พนกั งานแบบตา่ งๆ ได้กว่ี ิธี

ขน้ั ตอนท่ี 1 พนักงานชาย 9 วิธี

ขน้ั ตอนท่ี 2 พนกั งานหญงิ 6 วธิ ี

ดังนนั้ จำนวนผลลพั ธ์ทง้ั หมด 96 = 54 วธิ ี

43. มีเก้าอว้ี ่างอยู่ 7 ตวั จะจดั ใหน้ กั เรียน 3 คน น่งั เก้าอ้เี หล่านไ้ี ด้ก่ีวิธี

ขั้นตอนที่ 1 ตำแหนง่ ที่ 1 7 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 ตำแหน่งท่ี 2 6 วธิ ี

ข้ันตอนท่ี 3 ตำแหนง่ ท่ี 3 5 วธิ ี

ดงั นน้ั จำนวนผลลพั ธ์ทัง้ หมด 765 = 210 วธิ ี

44. จากเมือง A ไปเมอื ง B มีถนน 8 สาย จากเมือง B ไปเมอื ง C มีถนน 4 สาย จะมีวธิ กี ารเดินทางกว่ี ิธีทจี่ ะ

เดนิ ทางจากเมอื ง A ไปเมือง C และ โดยการเดินทางต้องผา่ นเมือง B

ขั้นตอนท่ี 1 จากเมือง A ไปเมอื ง B 8 วิธี

ขนั้ ตอนท่ี 2 จากเมือง B ไปเมือง C 4 วธิ ี

ดังน้ัน จำนวนผลลพั ธ์ทงั้ หมด 84 = 32 วิธี

45. เสาธงตน้ หน่งึ มีที่ผูกธงได้ 4 ผืน เรียงลำดบั จากบนลงลา่ ง ถ้ามีธงแตกตา่ งกนั อยู่ 8 ผืนจะผกู ธงได้ก่วี ธิ ี

ขั้นตอนท่ี 1 ตำแหนง่ ท่ี 1 8 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 ตำแหน่งที่ 2 7 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 ตำแหน่งที่ 3 6 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 4 ตำแหน่งที่ 4 5 วธิ ี

ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ท้งั หมด 8765 =1680 วธิ ี

46. ในการแข่งขันวิ่งมาราธอนของผู้เข้าแข่งขันจำนวน 9 คนจงหาวิธีที่ผู้เข้าแข่งขันแต่ละคนจะวิ่งเข้าเส้นชัย

เป็นลำดบั ท่ี 1, 2 และ 3 (ไม่มีใครวง่ิ เสมอกัน)

ขน้ั ตอนท่ี 1 ตำแหนง่ ที่ 1 9 วธิ ี

ข้นั ตอนท่ี 2 ตำแหนง่ ท่ี 2 8 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 3 ตำแหนง่ ที่ 3 7 วธิ ี

ดังน้นั จำนวนผลลพั ธ์ทง้ั หมด 987 = 504 วิธี

22

47. มีนก 2 ตวั และตน้ ไมใ้ หญ่ 4 ต้น จงหาจำนวนวิธที ี่นก 2 ตัว บนิ ไปเกาะตน้ ไม้ 4 ต้นน้ี

ขน้ั ตอนท่ี 1 นกตัวท่ี 1 4 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 นกตวั ที่ 2 4 วธิ ี

ดังนั้น จำนวนผลลพั ธ์ท้งั หมด 44 =16 วธิ ี

48. มนี ก 2 ตวั และต้นไม้ใหญ่ 5 ต้น จงหาจำนวนวธิ ที ี่นก 2 ตวั บินไปเกาะต้นไม้ 5 ตน้ นี้ไมซ่ ้ำกนั

ขัน้ ตอนที่ 1 นกตวั ที่ 1 5 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 2 นกตัวท่ี 2 4 วิธี

ดงั นน้ั จำนวนผลลัพธ์ทงั้ หมด 54 = 20 วธิ ี

49. จัดคน 3 คน จากคน 5 คน เข้าแถวตรงเพ่อื ถ่ายรปู ได้ทง้ั หมดก่ีวธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 1 ตำแหน่งท่ี 1 5 วธิ ี

ขัน้ ตอนที่ 2 ตำแหนง่ ท่ี 2 4 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 ตำแหน่งท่ี 3 3 วธิ ี

ดังนั้น จำนวนผลลพั ธ์ทงั้ หมด 543 = 60 วธิ ี

50. หนังสือตา่ งกนั 7 เล่ม เลอื กมา 3 เล่ม แล้ววางเรยี งบนช้ันได้ จะเรยี งได้กีว่ ธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 1 ตำแหนง่ ท่ี 1 7 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 ตำแหนง่ ท่ี 2 6 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 3 ตำแหนง่ ท่ี 3 5 วธิ ี

ดังนัน้ จำนวนผลลัพธ์ทัง้ หมด 765 = 210 วิธี

23

หลักการบวก (addition principle)

ในการทำงานอยา่ งหน่ึง แบ่งวิธกี ารทำงานเปน็ 2 แบบ โดยท่ี
แบบที่ 1 มวี ิธที ำได้ n1 วธิ ี
แบบท่ี 2 มวี ิธที ำได้ n2 วธิ ี

โดยวธิ กี ารทำงานท้งั สองกรณีไมซ่ ำ้ ซ้อนกนั และการทำงานจะเสรจ็ สมบูรณใ์ นแตล่ ะแบบจะสามารถทำงานน้ีได้
ทง้ั หมด n1 + n2 วิธี

1. ถ้าการเดินทางระหว่างเมือง A กับเมือง B สามารถทําได้ 2 ทาง คือ ทางบก ซึ่งมีถนน เชื่อมระหว่างกัน 5

เส้นและทางอากาศ ซึ่งมีสายการบินเชื่อมโยงที่สามารถใช้บริการได้ 8 สายการบิน อยากทราบว่าจะมีวิธีการ

เดินทางจากเมือง A ไปเมือง B ไดท้ งั้ หมดกวี่ ิธี

ขน้ั ตอนท่ี 1 ทางบกเลือกใส่ได้ 5 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 2 ทางอากาศเลือกใส่ได้ 8 วธิ ี

ดงั นน้ั จำนวนวธิ ีทั้งหมด 5+8 =13วธิ ี

2. ศนู ยอ์ าหารแห่งหน่ึง ซึง่ มรี ้านอาหารตามสั่ง 3 ร้าน ร้านฟาสตฟ์ ู้ต 2 รา้ น และร้านอาหารญ่ีปนุ่ 4 ร้าน จะมี

วิธีเลอื กรบั ประทานอาหารไดท้ ั้งหมด ก่วี ธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 1 ร้านอาหารตามส่งั 5 วธิ ี

ข้นั ตอนที่ 2 รา้ นฟาสตฟ์ ู้ต 2 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 3 ร้านอาหารญี่ปุ่น 4 วธิ ี

ดงั น้ัน จำนวนวธิ ีท้ังหมด 5+ 2 + 4 =11วธิ ี

3. โป้งต้องการเดินทางไปกรุงเทพฯ ซึ่งสามารถไปได้โดยขึ้นรถทัวร์ รถไฟ และเครื่องบิน ถ้าในวันหนึ่งๆ มี

รถทัวร์ไปกรุงเทพฯ 4 เที่ยว รถไฟ 5 เที่ยว และเครื่องบิน 6 เที่ยว โป้งมีวิธีในการเดินทางไปกรุงเทพฯได้

แตกตา่ งทั้งหมดกี่วิธี

ขั้นตอนท่ี 1 รถทัวร์ 4 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 รถไฟ 5 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 3 เคร่ืองบิน 6 วธิ ี

ดงั น้นั จำนวนวธิ ีทัง้ หมด 4 + 5+ 6 =15 วธิ ี

24

4. มีบัตรหมายเลขจำนวนสี่ใบ ได้แก่ หมายเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เขาสามารถนำบัตรหมายเลขมาสร้าง
จำนวนเลขค่สู ามหลกั ไดท้ ัง้ หมดกจี่ ำนวน (ใชเ้ ลขซำ้ ได้)
กรณี 1 ลงท้ายดว้ ย 0 มี 541= 20 วธิ ี
กรณี 2 ลงทา้ ยดว้ ย 2, 4 มี 442 = 32 วธิ ี
ดงั น้ัน จำนวนวธิ ีทง้ั หมด 20+32 = 52 วิธี

5. นักเรียนสองคนต้องการเข้าและออกห้องห้องหนึ่งที่มีประตู 5 บาน โดยนักเรียนคนท่ี 1 เข้าและออกโดยใช้

ประตูบานเดยี วกัน และนักเรียนคนท่ี 2 เขา้ และออกโดยไมใ่ ช้ประตบู านเดมิ จงหาจำนวนวิธีทัง้ หมดท่ีนักเรียน

ทั้งสองคนเขา้ และออกจากห้องนี้

นกั เรียนคนท่ี 1 มีวิธีเขา้ และออกได้ 51= 5 วธิ ี

นักเรียนคนที่ 2 มีวิธเี ข้าและออกได้ 54 = 20 วิธี

ดงั น้ัน จำนวนวิธีทง้ั หมด 5+ 20 = 25 วิธี

6. ร้านค้าแห่งหนึ่งมีเสื้อทำงาน 3 ขนาด คือขนาด S M L แต่ละขนาดมี 2 สี คือ สีแดง สีฟ้ากับสีขาว จงหา

จำนวนวธิ ที ้งั หมดทรี่ า้ นคา้ แห่งนีจ้ ะจดั โชว์เสือ้ ทำงานทุกขนาดและทกุ สี

เสอ้ื ขนาด S มีสีแดง สีฟ้ากบั สีขาว จะจัดได้ 3 วธิ ี

เส้อื ขนาด M มีสีแดง สฟี า้ กบั สีขาว จะจดั ได้ 3 วธิ ี

เสอื้ ขนาด L มสี ีแดง สฟี า้ กับสขี าว จะจัดได้ 3 วิธี

ดังน้ัน จำนวนวิธีทั้งหมด 3+ 3+ 3 = 9วธิ ี

7. ระหว่างท่าเรอื สองฝั่งแม่น้ำมีเรือยนต์ให้บริการข้ามฟากอยู่ 4 ลำ จงหาจำนวนวิธีทง้ั หมดที่ผู้โดยสารคนหน่ึง

จะโดยสารเรอื ข้ามฟากโดยท่ีเทยี่ วไปและเทยี่ วกลบั ลงเรอื คนละลำ

กรณที ี่ 1 ในเท่ยี วไปเลอื กลงเรือลำที่ 1 13 = 3 วธิ ี

กรณีที่ 2 ในเทย่ี วไปเลือกลงเรือลำท่ี 2 13 = 3 วิธี

กรณที ี่ 3 ในเที่ยวไปเลือกลงเรือลำท่ี 3 13 = 3 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีทงั้ หมด 3+ 3+ 3 = 9วิธี

25

8. จงหาจำนวนวธิ ีที่จะหยบิ ไพ่ 1 ใบ ใหไ้ ดแ้ ตม้ คิงหรือแจ๊ค จากไพ่สำรับหนึ่งทีม่ ี 52 ใบ

การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แตม้ คิง 4 วิธี

การหยบิ ไพ่ 1 ใบ ให้ได้แตม้ แจ๊ค 4 วิธี

ดงั นัน้ จำนวนวิธีท้ังหมด 4 + 4 = 8 วิธี

9. มีเสื้อ 9 ตัว เป็นสีแดง 5 ตัว และสีเขียว 4 ตัว มีกางเกง 11 ตัว เป็นสีแดง 7 ตัว และสีเขียว 4 ตัว จะมีวิธี

เลอื กชุด 1 ชดุ ท่มี เี สือ้ และกางกางสีเดยี วกันได้ทัง้ หมดกว่ี ธิ ี

ชดุ สีแดง 57 = 35 วิธี

ชดุ สีเขียว 44 =16 วิธี

ดงั นน้ั จำนวนวธิ ีท้งั หมด 35+16 = 51วธิ ี

10. มีหนังสือเรียนที่แตกต่างกันกองหนึ่ง เป็นหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ 5 เล่ม หนังสือเรียนภาษาอังกฤษ 4

เลม่ หนงั สือเรยี นภาษาไทย 2 เล่ม หาจำนวนวธิ ีทีห่ ยบิ หนงั สือเรียน 1 เลม่ จากกองน้ี

หนังสอื เรียนคณิตศาสตร์ 5 วธิ ี

หนังสือเรียนภาษาอังกฤษ 4 วิธี

หนงั สือเรียนภาษาไทย 2 วิธี

ดงั น้ัน จำนวนวิธีทง้ั หมด 5+ 4 + 2 =11วธิ ี

11. ถ้าใช้ตัวเลข 1, 2, 3 และ 4 ในการสร้างรหัส 1 หลัก หรือ 2 หลัก หรือ 3 หลัก หรือ 4 หลัก โดยที่แต่ละ
หลกั ไม่ใชต้ วั อกั ษรซ้ำกนั จะสรา้ งรหัสได้กีแ่ บบ
กรณที ่ี 1 สร้างรหสั 1 หลัก ดงั น้นั สรา้ งรหสั 1 ตวั ไดท้ ัง้ หมด 4 แบบ
กรณีที่ 2 สรา้ งรหัส 2 หลัก ดงั นั้นสร้างรหัส 2 ตวั ได้ทง้ั หมด 4 × 3 = 12 แบบ
กรณที ี่ 3 สรา้ งรหสั 3 หลกั ดงั นั้น สร้างรหัส 3 ตวั ไดท้ ั้งหมด 4 × 3 × 2 = 24 แบบ
กรณที ่ี 4 สรา้ งรหสั 4 หลัก ดังนั้นสร้างรหสั 4 ตัว ได้ทั้งหมด 4 × 3 × 2 × 1 = 24 แบ
สรา้ งรหสั โดยทแ่ี ต่ละหลกั ไม่ใช้ตวั เลขไมซ่ ำ้ กันได้ทั้งหมด 4 + 12 + 24 + 24 = 64 แบบ

26

12. นำตวั เลขโดด 0 – 9 มาสร้างเปน็ จำนวนคูท่ ีม่ ี 3 หลัก โดยทแ่ี ตล่ ะหลักไม่ซ้ำกนั ได้ทัง้ หมด กี่จำนวน
กรณีท่ี 1 จำนวนคทู่ ่ีหลกั หนว่ ยเปน็ 0
จำนวนวธิ ีสร้างจำนวนคทู่ ่ีหลักหน่วยเปน็ 0 ได้ 1×9×8 = 72 จำนวน
กรณีท่ี 2 จำนวนคู่ที่หลกั หน่วยไมเ่ ปน็ 0
จำนวนวิธีสร้างจำนวนค่ทู ่หี ลักหนว่ ยไม่เปน็ 0 ได้ 8×8×4 = 256 จำนวน
สรา้ งเปน็ จำนวนคูท่ มี่ ี 3 หลกั โดยทแ่ี ต่ละหลักไม่ซ้ำกนั ได้ 72+256=328 จำนวน

13. เสื้อ 5 ตัว ที่แตกต่างกัน นำไปแขวนบนราวโดยแขวนอย่างน้อย 3 ตัวให้หาจำนวนวิธีที่จะแขวนเสื้อได้
แตกต่างกนั ท้ังหมด
กรณี 3 ตวั มี 5 x 4 x 3 = 60 วธิ ี
กรณี 4 ตวั มี 5 x 4 x 3 x 2 = 120 วิธี
กรณี 5 ตวั มี 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 วธิ ี
จำนวนวธิ ีท่จี ะแขวนเสื้อได้แตกต่างกนั ทง้ั หมด 60+120+120=300 วธิ ี

14. ร้านอาหารแห่งหนึ่งมีโปรโมชั่นชุดอาหาร คือ ชุดไก่ทอดพร้อมเครื่องดื่ม และ=6fเฟรนซ์ฟรายพร้อมสลัด

ผกั โดยมไี ก่ทอด 3 อยา่ ง เคร่ืองดม่ื 4 อย่าง เฟรนซฟ์ ราย 2 ชนิด และสลดั ผกั 6 ชนดิ จะมวี ธิ เี ลอื กชดุ อาหารได้

ท้งั หมดก่ีวิธี

ชุดไก่ทอดพรอ้ มเครือ่ งด่ืม 3 x 4 = 12 วิธี

ชุดเฟรนซ์ฟรายพร้อมสลัดผัก 2 x 6 = 12 วธิ ี

วธิ เี ลอื กชุดอาหารได้ท้งั หมด 12 + 12 = 24 วธิ ี

15. จากกรุงเทพฯไปเชียงใหม่ มีเส้นทางไปได้ 4 เส้นทาง จากเชียงใหม่ไปเชียงรายมีเส้นทางไปได้ 2 เส้นทาง

และจากกรุงเทพฯไปเชยี งรายโดยตรงมีเส้นทางไปได้ 5 เส้นทาง ดังนั้นจากกรุงเทพฯ ไปเชียงรายจะมีเส้นทาง

ไปไดท้ ้งั หมดกีเ่ สน้ ทาง

จากกรงุ เทพฯไปเชียงใหม่ และ จากเชยี งใหม่ไปเชียงรายมี 4 x 2 = 8 วิธี

จากกรุงเทพฯไปเชยี งรายโดยตรงมี 5 วธิ ี

วธิ ที ้ังหมด 8 + 5 = 13 วธิ ี

27

16. นกั เรียน 5 คน ยืนเขา้ แถวถ่ายรูปลงหนงั สอื รนุ่ แบบต่างๆ กัน จะมวี ธิ ียืนถา่ ยรปู ทัง้ หมดกแี่ บบ

ถา่ ยรปู ครั้งละ 1 คน ได้ 5 วธิ ี

ถ่ายรูปคร้ังละ 2 คน ได้ 5x4=20 วิธี

ถ่ายรปู ครั้งละ 3 คนได้ 5x4x3=60 วิธี

ถา่ ยรปู ครั้งละ 4 คนได้ 5x4x3x2=120 วธิ ี

ถา่ ยรูปครง้ั ละ 5 คนได้ 5x4x3x2x1=120 วิธี

นัน่ คอื มวี ธิ ยี นื ถา่ ยรูปสลบั กันเปน็ แบบตา่ ง ๆ กันได้ทัง้ หมด 5+20+60+120+120 = 325 แบบ

17. ปัน้ ตอ้ งการเดนิ ทางจากพทั ยาไปเกาะล้าน ถา้ เรอื มีทัง้ หมด 3 ประเภทได้แก่
เร่อื หางยาว 7 ลำ
เรือสปีตโบต๊ 15 ลำ
เรือเฟอร่ี 8 ลำ

จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดท่ีปัน้ จะโดยสารเรือไปเที่ยวเกาะล้านและกลับพัทยาด้วยประเภทเดียวกัน แต่ไม่ใช่เรือ
ลำเดยี วกัน
แบบที่ 1 ไปเที่ยวและกลับดว้ ยเรอื หางยาว เท่ากับ 7x6 = 42 วิธี
แบบท่ี 2 ไปเท่ยี วและกลบั ดว้ ยเรือสปตี โบ๊ต เท่ากบั 15x14 = 210 วธิ ี
แบบที่ 3 ไปเที่ยวและกลบั ดว้ ยเรอื เฟอร่ี เทา่ กับ 8x7 = 56 วธิ ี
จะไดจ้ ำนวนวธิ ที ั้งหมด เทา่ กับ 42 + 210 + 56 = 308 วิธี

18. โป้งต้องการเดนิ ทางจากประเทศไทยไปสวิสเซอรแ์ ลนด์ โดยมีวิธกี ารเดนิ ทางดังนี้
วธิ ีท่ี 1 นงั่ เครอื่ งบนิ และต่อรถไฟ ซง่ึ เครอ่ื งบนิ มที ัง้ หมด 6 ลำ รถไฟมี 5 ขบวน
วิธีที่ 2 น่งั เรอื และตอ่ รถยนต์ โดยเรอื มที งั้ หมด 7 ลำ และรถยนต์มีทง้ั หมด 10 คนั
วธิ ที ี่ 3 นั่งรถไฟ และ ตอ่ เครอ่ื งบนิ โดยรถไฟมี 4 ขบวน และ เครื่องบินมี 8 ลำ

จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่โปง้ จะเดินทางไปสวิสเซอร์แลนดด์ ้วยวิธีต่างๆ
วิธีท่ี 1 มี 6 x 5 = 30 วิธี
วธิ ีท่ี 2 มี 7 x 10 = 70 วธิ ี
วิธีท่ี 3 มี 4 x 8 = 32 วิธี
จำนวนวธิ ที ัง้ หมดท่โี ปง้ จะเดินทางไปสวิสเซอร์แลนด์ 30 + 70 +32 = 132 วธิ ี

28

แฟกทอเรยี ล (Factorial)

ให้ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก กล่าววา่ แฟกทอเรียล n คือการคูณของจำนวนเตม็ บวกตั้งแต่ 1 ถึง n
เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n!

1. ใหห้ าคา่ ของจำนวนท่อี ยู่ในรปู ของแฟกทอเรียลตอ่ ไปนี้

1) 2!= 21 = 2
2) 6!= 654321 = 720
3) 5!=
4) 7!= 5 43 21 =120

5) 8! = 765 4321 = 5040
8 7  6 5 4 3! = 6720
3!
3!

6) 7! = 7! = 1
12111098 7! 95040
12! 98 7! = 72

7) 9! = 7!
21 2019! = 420
7!
19!
8) 21! = 98 7  6 5! = 504

19! 3 215!
6 5 4!10 98! = 1350
9) 9! =
21 4!8!
3!5! 15141312! = 455

10) 6!10! = 12! 3 21
7  65 4! = 105
2!4!8!
21 4!
11) 15! = 15141312! = 455
21 4 3 2112! 8
12!3!
43 213 21 =144
12) 7! =
98 7  6! = 504
2!4! 6!

13) 15! = 7 65! = 7
5! 3 21
2!4!12!
55 54! 4 3! = 220
14) 4!3!= 54! 3!

15) 9! = 17 1615! 7  65! = 11424
15! 5!
6!
9! 5! =1
16) 7! =
109! 7  65! 420
5!3!

17) 55!4! =

54!3!

18) 17!7! =

15!5!

19) 9!5! =

10!7!

29

20) ( n + 2)! = (n +1)(n +1)
(n)!

21) (n −1)! = (n −1)(n − 2)
(n − 3)!

22) (n n! = n (n −1)

− 2)!

23) (n n! = n (n −1)(n − 2)

− 3)!

24) (n + 2)! = (n + 2)(n +1) n
(n −1)!

25) ( n −1)(n + 2)! = (n −1)(n + 2)
( n − 2)(n +1)!

26) (n + 2)!(n +1)! (n + 2)(n +1)(n +1)
(n!)2 =

27) ( n!)2 (n n(n −1)!n! n! = n n 1
(n −1)!(n +1)! = −1)!(n +1) +

28) ( n +1)! = ( n +1) n(n −1)! = ( n + 1) n
( n −1)! (n −1)!

29) ( n!)2 ( n + 1) n!n! +1) n! = (n 1 +1)
(n +1)!(n +1)! =
n!( n + 1) ( n

30) (n +1)!(n + 2)! (n +1) n!(n + 2)(n +1) n! = (n +1)(n + 2)(n +1)
(n!)2 =
n!n!

31) ( n − 2)! = 1
( n + 2)!
(n + 2)(n +1) n(n −1)

32) ( n +1)! = ( n +1) n(n −1)! = ( n + 1) n
( n −1)! (n −1)!

33) (n + 2)! (n + 2)(n +1) n! = (n + 2)(n +1)

= n!
n!

34) ( n !)2 ( n + 1) n!n! +1) n! = (n 1 +1)
(n +1)!(n +1)!
n!( n + 1) ( n

35) ( n! = n(n −1)! = n
(n −1)!
n −1)!

36) n! = n ( n −1)(n − 2)! = n ( n −1)
(n − 2)!
(n − 2)!

37) ( n + k +1)! = (n + k +1)(n + k )
( n + k −1)!

30

2. ให้หาค่าของ 8
1) 2!+ 3!=
2) 7!− 5!= 4920
3) 6!− 5!=
4) 2!+ 3!+ 4!= 600

5) 6!+ 5! = 32
35
5!− 4! 4

6) 5! = 4

4!+ 3!

7) 4!+ 5! = 44

3!

8) 2! 6!− 5!  = 10
5! 

9) 5!− 6!− 7! = 165

5!− 4!

10) 2! 7!− 6!  = 3
7!+ 6!  2

11) (3!− 2!)(3!+ 2!) = (3!)2 − (2!)2 = 32

12) 6!− 5! = 25
6
4!3!
1
13) 0! = 24

4! 5

14)  5! 0! =
 4! 

31

3. ให้เขียนจำนวนตอ่ ไปน้ีในรูปแฟกทอเรียล

1) 29 = 29!

28!

2) 2221= 22!
20!

3) 515049 = 51!
48!

4) 1 = 14!
17!
33 32 31
14!
5) 1412101113 = 9!
6) 222324...70 =
7) (n + 2)(n +1) n(n −1) = 70!
21!

(n + 2)!
(n − 2)!

8) 171615 = 17!
9) 201917109 = 14!
10) 1511508382149 =
11) 262725161415 = 20!10!
12) 1514133 = 16!8!

151!83!
149!81!

27!16!
24!13!

15!3!
12!2!

13) 74728673 = 32
14) n(n −1)(n − 2) =
15) (n − 2)(n −1) n(n +1) = 86!74!
16) (n + 3)(n + 2)(n +1) = 85!72!

17) (n2 − 4)(n2 −1) n = n!

18) n3 − 3n2 + 2n = (n − 3)!
19) n(n +1)(n + 2) =
20) (n +1) n(n −1) = (n +1)!
(n − 3)!
21) (3n + 2)(3n +1)(3n) =
22) n2 − 5n + 6 = (n + 3)!

n!

(n − 2)(n + 2)(n +1)(n −1) n!
(n − 3)!

(n + 2)!
(n − 3)!

(n n2 − 3n + 2n) = n (n −1)(n − 2)(n − 3)!
(n − 3)!

n!

(n − 3)!

n(n +1)(n + 2)(n + 3)!
(n + 3)!

n!

(n + 3)!

(n +1) n(n −1)(n − 2)!
(n − 2)!

(n +1)!
(n − 2)!

(3n + 2)(3n +1)(3n)(3n −1)!
(3n −1)!

(3n + 2)!
(3n −1)!

(n − 2)(n − 3)(n − 4)!
(n − 4)!

(n − 2)!
(n − 4)!

33

สมการแฟกทอเรยี ล

1. จากสมการ (n n! = 20 จงหาค่า n

− 2)!

n ( n −1)(n − 2)! = 20
(n − 2)!

n (n −1) = 20

n (n −1) = 4 5

2. จากสมการ (n − 1)! = 42 จงหาค่า n
(n − 3)!

( n −1) (n − 2)( n − 3)! = 42
(n − 3)!

(n −1)(n − 2) = 7  6

n −1= 7

n=8

3. จากสมการ (n n! = 120 จงหาค่า n

− 3)!

n ( n −1)(n − 2)( n − 3)! = 120
(n − 3)!

n (n −1)(n − 2) = 4 5 6

n=4

4. จากสมการ (n + 1)! = 24 จงหาคา่ n
(n − 2)!

(n + 1) ( n)(n −1) ( n − 2)! = 24
(n − 2)!

(n +1) (n) (n −1) = 2  3 4

n=3

34

5. จากสมการ (n n! = 110 จงหาค่า n

− 2)!

n ( n −1)(n − 2)! = 110
(n − 2)!

(n)(n −1) = 1110

n = 11

6. จากสมการ 3!( n! 2)! = 420 จงหาค่า n
n−

n (n −1)(n − 2)! = 420
(n − 2)!

n (n −1) = 420

n (n −1) = 21 20

n = 21

7. จากสมการ (n n! = 90 จงหาคา่ n

− 2)!

n (n −1)(n − 2)! = 90
(n − 2)!

n (n −1) = 910

n = 10

8. จากสมการ ( n +1)! = 132 จงหาคา่ n
( n −1)!

( n +1) n (n −1)! = 132
(n −1)!

(n +1) n = 1112

n = 11

35

9. จากสมการ ( n n! = 420 จงหาคา่ n

− 2)!

n (n −1)(n − 2)! = 420
(n − 2)!

n (n −1) = 20 21

n = 21

10. จากสมการ ( n +1)! = 132 จงหาคา่ n
( n −1)!

(n +1) n(n −1)! = 1112
(n −1)!

(n +1) n = 1112

n = 11

11. จากสมการ (n −1)! = 110 จงหาคา่ n
(n − 3)!

(n −1) (n − 2)( n − 3)! = 110
(n − 3)!

(n −1) (n − 2) = 1110

n = 12

12. จากสมการ (n − 1)! = 42 จงหาคา่ n
(n − 3)!

(n −1) (n − 2)( n − 3)! = 42
(n − 3)!

(n −1) (n − 2) = 7  6

n=8

13. จากสมการ ( n + 4)! = 72 จงหาค่า n
( n + 2)!

(n + 4)(n + 3)( n + 2)! = 72
(n + 2)!

(n + 4)(n + 3) = 98

n =12

36

14. จากสมการ (n +1)! = 56 จงหาคา่ n
(n −1)!

( n +1) n (n −1)! = 56
(n −1)!

(n +1) n = 7 8

n=7

15. จากสมการ ( n +1)! = 110 จงหาค่า n
( n −1)!

( n +1) n (n −1)! = 110
(n −1)!

(n +1) n = 1011

n = 10

16. จากสมการ (n n! = 42 จงหาค่า n

− 2)!

n (n −1)(n − 2)! = 42
(n − 2)!

n (n −1) = 6 7

n=7

17. จากสมการ (n +1)! = 56 จงหาคา่ n
(n −1)!

( n +1) n (n −1)! = 56
(n −1)!

(n +1) n = 7 8

n=7

37

18. จากสมการ ( n n! = 120 จงหาค่า n

− 3)!

n ( n −1)(n − 2)( n − 3)! = 120
(n − 3)!

n (n −1)(n − 2) = 4 5 6

n=6

19. จากสมการ (n + 3)! = 120 จงหาค่า n
(n −1)!

( n + 3) (n + 2)(n +1) n ( n − 1)! = 120
(n −1)!

(n + 3) (n + 2) (n +1) n = 2 3 4 5

n=5

20. จากสมการ (n n! = 24 จงหาคา่ n

− 4)!

n ( n − 1) ( n − 2)(n − 3) (n − 4)! = 1 2  3 4
(n − 4)!

n (n −1) (n − 2) (n − 3) = 1 2 3 4

n=4

21. จากสมการ (n + 3)! = 3024 จงหาค่า n
(n − 1)!

(n + 3) ( n + 2)(n +1) n (n −1)! = 3024
(n −1)!

(n + 3) (n + 2) (n +1) n = 6 7 8 9

n=6

38

22. จากสมการ (n n! = ( n n! จงหาค่า n

− 5)!5! − 3)!3!

( n − 3)! = 5!
( n − 5)! 3!

( n − 3) (n − 4)( n − 5)! = 5 4 3!
(n − 5)! 3!

(n − 3)(n − 4) = 5 4

n=8

23. จากสมการ (n n! = (n n! จงหาคา่ n

− 8)!8! − 6)!6!

(n − 6)! = 8!
(n − 8)! 6!

( n − 6) (n − 7)(n − 8)! = 8 7 6!
(n − 8)! 6!

(n − 6)(n − 7) = 87

n = 14

24. จากสมการ ( n n! = 30 ( n n! จงหาค่า n

− 4)! − 5)!5!

(n ( n −5)! 5)! = 5 4 30 2 1
4)(n − 3
−

( n 1 4) = 1
− 4

n−4=4

n=8

25. จากสมการ (n −10)!10! = (n − 8)!8! จงหาคา่ n

(n −10)! = 8!
(n −8)! 10!

(n − 8) (n −10)! −10)! = 10 8!
(n − 9) (n  9  8!

10  9 = (n − 8) (n − 9)

n = 18

39

การเรียงสบั เปลยี่ น (Linear Permutation)

จำนวนวิธกี ารเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยนำมาจัดเรียงคราวละ n
สิ่ง เทา่ กับ n! วธิ ี

1. จงหาจำนวนวิธีที่แตกต่างกันที่จะจัดตัวอักษรจากคําว่า LINEAR มาจัดเป็นคําใหม่ โดยไม่คํานึงว่าจะมี
ความหมายหรอื ไม่
จะได้จาํ นวนวธิ ีท้ังหมดเท่ากบั 6! = 720 วิธี

2. จะสร้างคําโดยสลับตัวอักษรคําว่า POLYMER ได้ทั้งหมดกี่คํา โดยคําที่สร้างข้ึนไม่คํานึงถึงความหมาย และ
ต้องขน้ึ ต้นและลงท้ายด้วยสระเท่าน้ัน
จะสรา้ งคาํ ได้ท้ังหมด 2×1× 5! = 240 คำ

3. จะจัดเรียงหนังสอื คณิตศาสตร์ 5 เลม่ แตกต่างกนั บนชั้นหนังสอื ไดก้ ่ีวธิ ี
จะไดจ้ ํานวนวธิ ีทัง้ หมดเทา่ กับ 5! = 120 วิธี

4. มีหนังสือแตกต่างกัน 7 เล่ม ซึ่งมีหนังสือคณิตศาสตร์ 4 เล่ม จะจัดเรียงหนังสือทั้งหมดบนชั้นหนังสือ
เดยี วกันได้กว่ี ิธเี มือ่
1) ไมม่ เี งือ่ นไขเพ่มิ เติม
จํานวนวธิ จี ดั เรยี งหนังสอื ไดท้ ั้งหมด 7! = 5040วธิ ี

2) หนังสอื ทอ่ งเทย่ี วอยู่ติดกนั ท้ัง 3 เลม่
ดังน้ัน จํานวนวธิ จี ดั เรยี งหนงั สอื ท้งั หมดเท่ากับ 4! × 4! = 576 วิธี

3) หนังสือท่องเท่ยี วอยตู่ ดิ กันท้ัง 4 เลม่ ไม่ได้
ดังนนั้ จาํ นวนวิธจี ดั หนังสอื คณิตศาสตร์อยตู่ ิดกันทง้ั 4 เล่มไมไ่ ด้เทา่ กับ 5040 – 576 =4464 วิธี

40

5. หญิง 6 คน ชาย 6 คน นั่งสลับกันเป็นแถวได้กีว่ ธิ ีเม่ือ

1) สลับหญงิ 1 คน ชาย 1 คน

จดั หญิงยนื สลับกันได้ 6! วธิ ี

จัดชายยนื สลบั กันได้ 6! วิธี

สลับของสองชดุ คอื หญิงกับชายได้ 2! วิธี

ดังน้ัน จาํ นวนวิธจี ดั คนทงั้ หมด เทา่ กบั = 2! (6! 6!) = 2! (6!)2 วธิ ี

2) สลับหญิง 2 คน ชาย 2 คน

จัดหญิงยนื สลับกนั ได้ 6! วิธี

จัดชายยนื สลบั กนั ได้ 6! วธิ ี

สลบั ของสองชุดคอื หญิงกับชายได้ 2! วิธี

ดังน้ัน จำนวนวิธีจัดคนท้งั หมด เท่ากบั = 2! (6! 6!) = 2! (6!)2 วธิ ี

3) สลบั หญงิ 3 คน ชาย 3 คน

จดั หญิงยนื สลบั กันได้ 6! วิธี

จัดชายยืนสลับกนั ได้ 6! วิธี

สลบั ของสองชุดคอื หญิงกบั ชายได้ 2! วิธี

ดงั นัน้ จำนวนวิธจี ดั คนทง้ั หมด เทา่ กบั = 2! (6! 6!) = 2! (6!)2 วธิ ี

6. มนี ักเรียน 5 คน จะมีวิธจี ัดแถวนักเรียนเปน็ แนวตรงได้ก่วี ธิ ี
5! = 120 วธิ ี

7. นํานกั เรยี น 7 คน น่งั เกา้ อ้ีเปน็ แถว 7 ตวั จดั ได้ก่ีวิธี
7! = 5040 วธิ ี

8. สามภี รรยาคู่หนึง่ พรอ้ มด้วยลกู อกี 4 คน มายืนเรียงแถวเพอ่ื ถ่ายรปู จะมวี ิธีจดั ให้ยนื ถ่ายรปู ได้ท้งั หมดก่วี ิธี
6! = 720 วิธี

41

9. มีขวดนำ้ ขนมและเส้ืออยา่ งละ 6 ชิ้นแตกต่างกัน จะจดั วางเรียงเปน็ แนวเส้นตรงไดท้ ง้ั หมดกีว่ ิธเี มอื่

1) ไม่มีเงือ่ นไขเพิม่ เตมิ

จำนวนวิธีจัดวางเรยี ง เท่ากับ 18! วธิ ี

2) สลับทีละ 1 ช้นิ 6! วธิ ี
จดั ขวดนำ้ สลับกันได้ 6! วธิ ี
จัดขนมสลบั กันได้ 6! วธิ ี
จดั ไม้เสื้อสลับกันได้ 3! วธิ ี
สลับของสามชุดคือขวดน้ำ ขนมและเส้อื ได้ = 3! (6!)3 วธิ ี
ดังนน้ั จำนวนวธิ ีจดั วางเรยี งทั้งหมด เทา่ กับ = 3! (6! 6! 6!)

10. ใช้เลขโดด 1, 2, 3 และ 4 สร้างจำนวนเตม็ บวก 4 หลัก โดยท่ีตัวเลขแตล่ ะหลกั ไมซ่ ้ำกนั ได้ก่วี ธิ ี
4! = 24 วิธี

11. นาํ ลูกบอล 8 ลูกแตกตา่ งกัน ใสก่ ล่อง 8 ใบ โดยท่กี ล่องแต่ละใบใส่ลูกบอลได้เพียง 1 ลูก จะมีวธิ ีใส่ลูกบอล
ได้กี่วธิ ี
8! = 40320 วิธี

12. สีธงสีตา่ ง ๆ กนั 6 ผืน นำมาผูกเป็นแถวยาวเพ่ือทำเป็นสัญญาณธงจะทำสัญญาณธงได้แตกต่างกันทั้งหมด
ก่ีวธิ ี
6! = 720 วธิ ี

13. จัดตวั อักษรจากคำวา่ JULY เป็นคำใหม่ โดยไมค่ ำนึงวา่ จะมีความหมายหรอื ไม่ ไดแ้ ตกตา่ งกนั ทั้งหมดกีว่ ธิ ี
4! = 24 วิธี

42
14. จัดตวั อกั ษรจากคำว่า JUNE เปน็ คำใหม่ โดยไม่คำนงึ ว่าจะมคี วามหมายหรือไม่ ได้แตกต่างกันท้งั หมดก่วี ธิ ี
4! = 24 วธิ ี

15. จะสรา้ งคำโดยสลบั ตัวอักษร APRIL ได้กคี่ ำ โดยคำทีส่ รา้ งไมจ่ ำเป็นต้องมีความหมาย เมือ่
1) ไมม่ เี ง่อื นไขใด MONDAY
5! = 120 วิธี

2) ลงท้ายด้วยสระ
4! × 2 = 48 วิธี

3) ลงทา้ ยด้วยพยัญชนะ
4! × 4 = 96 วิธี

4) ข้นึ ตน้ ดว้ ยสระและลงทา้ ยด้วยพยัญชนะ
2 × 3! × 4 = 48 วธิ ี

16. เขยี นหมายเลข 0 ถงึ 9 ลงในแผน่ กระดาษ แล้วนำหมายเลขทั้งหมดมาเรียงไดแ้ ตกต่างกนั ท้งั หมดกว่ี ิธี
10! วิธี

17. มีหนังสือคณิตคศาสตร์ 2 เล่มแตกต่างกัน หนังสือฟิสิกส์ 3 เล่มแตกต่างกัน และหนังสือชีววิทยา 2 เล่ม
แตกตา่ งกนั นาํ หนังสือทง้ั หมดมาเรยี งบนช้ันได้ก่ีวธิ ี
7! = 5040 วิธี

43
18. บริษัทแห่งหนึ่งต้องการแต่งตั้งประธาน รองประธาน เลขานุการ กรรมการและเหรัญญิก ถ้ามีผู้มีสิทธิ์รับ
เลือก 5 คน จะมวี ิธกี ารเลอื กไดก้ ว่ี ธิ ี
5! = 120 วธิ ี

19. ในการเลือกคนเข้าทำงานในตำแหน่งตา่ งๆ ตำแหน่ง ถา้ มผี ู้หญิงมาสมัคร 3 คน ผชู้ าย 2 คน จะมีเลือกคน
เข้าทำงานไดก้ ี่วธิ ี
5! = 120 วิธี

20. มีนักเรยี น 5 คน ในจeนวนนี้มีโปง้ และปั้นรวมอยู่ด้วย ถ้าจดั นกั เรียนทง้ั หมดนัง่ บนเกา้ อี้ที่วางเรียงเป็นแถว
ยาว 5 ตวั จะมวี ิธกี ารนงั่ ไดท้ ัง้ หมดกี่วิธเี มอ่ื
1) ไม่มีเงอื่ นไขใดๆ
5! = 120 วธิ ี

2) ป้ันน่ังตรงกลางเสมอ
1 × 4! = 24 วิธี

3) โปง้ นั่งเก้าอีต้ ัวสดุ ท้ายเสมอ
1 × 4! = 24 วิธี

4) โปง้ และป้นั น่ังติดกนั เสมอ
4! × 2! = 48 วธิ ี

5) โปง้ และป้ันนงั่ แยกกนั
120 – 48 = 72 วิธี

44

6) โปง้ และปัน้ น่ังปลายแถว
2 x 3! x 1 = 12 วธิ ี

21. ตอ้ งการจัดนกั เรยี นหญงิ 4 คน นักเรียนชาย 5 คน ให้น่ังบนเกา้ อี้ทีว่ างเรยี งเปน็ แถวยาว 9 ตัว เมอ่ื
1) ไมม่ ีนักเรียนหญิง 2 คนใดเลยนง่ั ตดิ กัน
5! × 6 × 5 × 4 × 3 = 120 × 360 = 43,200 วิธี

2) ไม่มีนกั เรียนชาย 2 คนใดเลยนั่งติดกัน
4! × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 4! × 5! = 24 × 120 =2,880 วธิ ี

22. ตอ้ งการจดั หญงิ 3 คน และชาย 4 คน นงั่ เปน็ แถวตรงไดก้ วี่ ธิ ีเม่ือ
1) ไม่มีเงือ่ นไขเพมิ่ เติม
7! = 5,040 วิธี

2) โปง้ และปั้นอยู่ในกลมุ่ นี้ดว้ ยแต่ทั้งสองคนไมต่ ้องการนงั่ ตดิ กัน
5! × 6 × 5 = 120 × 30 = 3600 วธิ ี

3) หญงิ นงั่ ตดิ กันและชายนั่งติดกนั
3! 4! 2! = 6 × 24 × 2 = 288 วิธี

4) ผู้หญงิ นง่ั แยกกัน
4! × 5 × 4 × 3 = 24 × 60 = 1,440 วธิ ี

5) ผู้ชายนัง่ แยกกัน
3! × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 × 24 = 144 วิธี

45

6) ผู้หญิงนง่ั ติดกัน
5! 3! = 120 × 6 = 720 วธิ ี

22. มีหนังสือคณิตศาสตร์ 8 เล่มแตกต่างกัน และหนังสือภาษาไทย 8 เล่มแตกต่างกัน นำหนังสือทั้งหมดมา
จดั เรยี งบนชนั้ หนงั สือจะจัดได้ก่ีวธิ เี ม่ือ
1) ไม่มเี งอ่ื นไขเพิ่มเติม
16!

2) สลบั ทลี ะ 1 เลม่
2! 8! 8! หรอื 2! (8!)2

3) สลบั ทลี ะ 2 เลม่
2! 8! 8! หรือ 2! (8!)2

4) สลบั ทลี ะ 4 เลม่
2! 8! 8! หรือ 2! (8!)2

5) สลบั ทีละ 8 เล่ม
2! 8! 8! หรอื 2! (8!)2

23. จดั เด็กชาย 9 คน เด็กหญงิ 9 คน นั่งเปน็ แถวตรงได้ก่วี ธิ ีเมือ่
1) ไมม่ ีเงื่อนไขเพิม่ เติม
18!

46

2) สลบั ทีละ 1 คน
2! 9! 9! หรือ 2! (9!)2

3) สลบั ทลี ะ 3 คน
2! 9! 9! หรือ 2! (9!)2

4) สลับทีละ 9 คน
2! 9! 9! หรอื 2! (9!)2

23. มีดินสอ ยางลบ และไม้บรรทัดซึ่งแตกต่างกันอยา่ งละ 10 ช้นิ จะจดั วางเรยี งเปน็ แนวตรงได้ก่วี ธิ ี เมอื่
1) ไม่มเี ง่ือนไขเพิ่มเตมิ
30!

2) สลบั ทีละ 1 ชน้ิ
3! 10! 10! 10! หรือ 3! (10!)3

3) สลับทลี ะ 2 ช้นิ
3! 10! 10! 10! หรอื 3! (10!)3

4) สลบั ทลี ะ 5 ชิน้
3! 10! 10! 10! หรอื 3! (10!)3

5) สลบั ทลี ะ 10 ชิ้น
3! 10! 10! 10! หรอื 3! (10!)3

47

จำนวนวิธีการเรียงสับเปล่ียนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยนำมาจัดเรียงคราวละ r

สงิ่ ซ่งึ 0  r  n เท่ากับ Pn,r วธิ ี เมอื่ Pn,r = ( n n! )!
−r

1. จงหาค่าของ

1) P9,7

P9,2 = (9 9! = 9! = 72
− 2)! 7!

2) P19,17

P19,3 = 19! = 19! = 5814
(19 − 3)! 16!

3) P5,1

P5,1 = (5 5! = 5! = 5
−1)! 4!

4) P4,0

P4,0 = (4 4! = 1
− 0)!

5) P4,4

P4,4 = (4 4! = 4! = 24
− 4)! 0!

2. จงหาคา่ ของ P6,2  P5,4

P3,3
P6,2  P5,4 = 30 120 = 3600

P3,3 1

48

3. กำหนดให้ Pn,2 = 110 จงหาค่าของ n

n! = 1110
(n − 2)!
n(n −1)(n − 2)!= 1110

(n − 2)!
n(n −1 ) =1110

n = 11

4. กำหนดให้ P7, r = 210 จงหาคา่ ของ r

( 7 7! )! = 210
−r

7! = (7 − r)!

210

765 4! = (7 − r)!

210

4! = (7 − r)!

4=7−r
r =3

5. จงหาจำนวนเต็มบวก n ทที่ ำให้ Pn+3, 3 = 2Pn+5,3
7

(n + 3)! = 2 (n + 5)!

(n + 3 − 3)! 7 (n + 5 − 3)!

(n + 3)! = 2 (n + 5)!

(n)! 7 (n + 2)!

(n + 3) (n + 2)(n +1)n! = 2 (n + 5)(n + 4)(n + 3)(n + 2)!

(n)! 7 (n + 2)!

(n + 2)(n +1) = 2 (n + 5)(n + 4)
7

7(n + 2)(n +1) = 2(n + 5)(n + 4)

7 = n+5
n=2

49

6. มีหนังสือ 8 เล่ม จะจดั เรยี งบนช้ันหนงั สอื ซึง่ มที ว่ี ่าง 3 ท่ี ไดก้ ี่วธิ ี

P9,3 = (9 9! = 9! = 504 วิธี
6!
− 3)!

7. ในการแข่งขนั วชิ าการ มผี ู้สมัคร 7 คน แตม่ ีรางวลั ใหเ้ พียง 3 คนเทา่ นน้ั คือรางวลั ที่ 1, 2 และที่ 3 จะมี
วธิ กี ารให้รางวลั ที่แตกตา่ งกนั ท้ังหมดก่ีวิธี

P7,3 = (7 7! = 7! = 210 วิธี
4!
− 3)!

8. ถ้าต้องการสร้างคำซ่งึ ประกอบไปด้วยอักษร 2 ตัวที่ไม่ซ้ำกนั โดยเลือกอกั ษรจากคำวา่ MATHS จะสรา้ งได้

ทง้ั หมดกี่คำ โดยท่ีคำท่ีสร้างไมจ่ ำเปน็ ต้องมีความหมาย

1) ไม่มีเงือ่ นไข

P5,2 = (5 5! = 5! = 20 วธิ ี
3!
− 2)!

2) อักษรตัวแรกเปน็ พยัญชนะ
เขยี นอักษรตัวแรกเป็นพยญั ชนะ เลอื กได้ 4 วธิ ี

เลอื กตวั อักษรท่ีเหลือมาอกี 1 ตวั P4,1 = ( 4 4! = 4! = 4 วิธี
3!
−1)!

ดังน้นั จะสรา้ งคาํ ไดท้ ้ังหมด 4 x 4 = 16 วิธี

9. มกี ่วี ิธีท่ีชาย 6 คน หญงิ 3 คน ยนื เรียงกันเป็นแถวตรง โดยท่ีหญิงท้ัง 3 คนไม่ยนื ติดกัน
จดั ผู้ชาย 6 คนยนื เรยี งแถวเป็นแนวตรงได้ 6! = 720 วธิ ี

จัดผูห้ ญงิ ยนื ระหวา่ งผ้ชู ายได้ P7,3 = (7 7! = 7! = 210
4!
− 3)!

ดังนัน้ สามารถจัดได้ 720 x 210 =151200 วิธี