กฎการนับเบื้องต้น

50

10. ป้อมปราการตอ้ งการส่งสัญญาณโดยการใช้พลุสีทแี่ ตกต่างกัน 4 สี ในการส่งสัญญาณแต่ละสัญญาณ

จะต้องใช้พลุอย่างนอ้ ย 1 ลูก จงหาว่าปอ้ มปราการนีส้ ามารถส่งสัญญาณได้ท้งั หมดกี่สัญญาณ

กรณี 1 ใชพ้ ลุ 1 ลกู P4,1 = 4! = 4! = 4 สญั ญาณ
3!
(4 −1)!

กรณี 2 ใช้พลุ 2 ลูก P4,2 = (4 4! = 4! = 12 สัญญาณ
2!
− 2)!

กรณี 3 ใช้พลุ 3 ลกู P4,3 = (4 4! = 4! = 4 สัญญาณ
1!
− 3)!

กรณี 4 ใช้พลุ 4 ลกู P4,4 = (4 4! = 4! = 24 สญั ญาณ
0!
− 4)!

ปอ้ มปราการนีส้ ามารถส่งสญั ญาณได้ท้งั หมด 4 + 12 + 4 + 24 = 44 สัญญาณ

11. จัดนกั เรยี น 4 คน ยืนเรียงเป็นแถวตรงเพ่ือถา่ ยรูป โดยการถา่ ยแตล่ ะครั้งสามารถถ่ายกคี่ นก็ได้ จะสามารถ

จัดรปู แบบการถ่ายทแ่ี ตกต่างกันทง้ั หมดกีภ่ าพ

กรณที ่ี 1 ถา่ ย 1 คน สามารถจดั ได้ P4,1 = 4! = 4! = 4 วธิ ี
3!
(4 −1)!

กรณที ี่ 2 ถา่ ย 2 คน สามารถจดั ได้ P4,2 = (4 4! = 4! = 12 วิธี
2!
− 2)!

กรณที ี่ 3 ถา่ ย 3 คน สามารถจัดได้ P4,3 = (4 4! = 4! = 4 วธิ ี
1!
− 3)!

กรณที ี่ 4 ถ่าย 4 คน สามารถจัดได้ P4,4 = (4 4! = 4! = 24 วธิ ี
0!
− 4)!

ดังนนั้ จะสามารถจัดรปู แบบการถา่ ยที่แตกต่างกันท้ังหมด 4 + 12 + 4 + 24 = 44 วิธี

12. มีหนังสือคณติ ศาสตร์ 4 เล่มตา่ งกนั หนงั สอื ภาษาไทย 4 เล่มต่างกัน หนังสือสังคม 3 เลม่ ตา่ งกัน นำ

หนังสือทัง้ หมดมาจดั เรยี งบนช้นั หนงั สอื เปน็ แถวยาวจะจดั ได้กวี่ ิธีเม่ือ

1) วชิ าเดียวกันอยตู่ ดิ กัน

กรณี หนงั สอื คณิตศาสตร์สลบั ได้ 4! วธิ ี

กรณี หนังสือภาษาไทยสลบั ได้ 4! วธิ ี

กรณี หนงั สอื สงั คมสลบั ได้ 3! วธิ ี

กรณี หนังสือคณติ ศาสตร์ หนงั สือภาษาไทย และ หนงั สือสงั คม สลับได้ 3! วธิ ี

ดังนนั้ นำหนังสือท้ังหมดมาจัดเรยี งบนชนั้ หนงั สือเป็นแถวยาวจะจัดได้ 4!4!3!3! ก่วี ิธี

51

2) วิชาเดยี วกนั อยู่ติดกนั และสงั คมตอ้ งอยู่ตรงกลาง

กรณี หนังสอื คณติ ศาสตร์สลับได้ 4! วิธี

กรณี หนังสือภาษาไทยสลับได้ 4! วธิ ี

กรณี หนังสือสงั คมสลับได้ 3! วธิ ี

กรณี หนังสอื คณิตศาสตร์ และหนังสือภาษาไทย สลบั ได้ 2! วธิ ี

ดงั นั้นนำหนงั สอื ทั้งหมดมาจัดเรียงบนชั้นหนังสอื เป็นแถวยาวจะจัดได้ 4!4!3!2! กีว่ ิธี

3) หนงั สอื สังคมอยู่แยกกันท้ัง 3 เล่ม
กรณี หนงั สอื คณติ ศาสตร์ และ หนงั สอื ภาษาไทย สลับกันได้ 8! = 40320 วธิ ี

กรณี หนังสือสงั คมมาแทรก P9,3 = (9 9! = 9! = 504 วิธี
6!
− 3)!

ดังนนั้ สามารถจดั ได้ 40320 x 504 = 2177280 วิธี

4) หนงั สือคณติ ศาสตร์อยู่แยกกนั ทัง้ 4 เล่ม
กรณี หนังสือสังคมและ หนังสือภาษาไทย สลบั กนั ได้ 7! = 5040 วิธี

กรณี หนังสือคณิตศาสตร์ มาแทรก P8,4 = (8 8! = 8! = 1680 วิธี
4!
− 4)!

ดงั นัน้ สามารถจดั ได้ 5040 x 1680 = 8467200 วิธี

13. มหี นังสอื 6 เล่ม คือหนงั สือคณติ ศาสตร์ ภาษาไทย สังคม แกรมมา เคมี และฟิสิกส์จงหาจำนวนวิธีเรียง
สับเปล่ยี นหนังสือเหลา่ นบ้ี นช้นั หนงั สือ

1) คร้ังละ 2 เล่ม

P6,2 = (6 6! = 6! = 30 วิธี
4!
− 2)!

52

2) ครั้งละ 3 เลม่

P6,3 = (6 6! = 6! = 120 วธิ ี
3!
− 3)!

14. มีตำแหนง่ งานว่าง 4 ตำแหน่ง ตำแหน่งละ 1 คน ถา้ มีผู้สมคั ร 8 คน จะมวี ธิ รี บั คนเข้าทำงานในตำแหน่ง

วา่ งไดก้ ่ีวิธี

P8,4 = 8! = 8! = 1680 วิธี
4!
(8− 4)!

15. ในการเลอื กคณะกรรมการชดุ หนงึ่ ประกอบดว้ ยประธาน รองประธาน และเหรัญญิก โดยใหก้ รรมการแต่

ละคนดำรงตำแหน่งได้เพยี งตำแหนง่ เดียว ถา้ มผี ้สู มคั ร 8 คน
1) จะมวี ธิ เี ลือกคณะกรรมการดงั กล่าวได้ก่วี ธิ ี

P8,3 = (8 8! = 8! = 336 วธิ ี
5!
− 3)!

2) ถา้ มีผู้สมัครคนหนึ่งไมส่ มัครใจเป็นประธานจะมีวิธเี ลือกได้กี่วธิ ี

เลือกประธาน P7,1 = (7 7! = 7! = 7 วิธี
6!
−1)!

เลือกรองประธาน และเหรญั ญกิ P7,2 = (7 7! = 7! = 42 วิธี
5!
− 2)!

ดังน้ันสามารถเลือกได้ 7 x 42 =294 วธิ ี

53

วิธีจิ ดัหมู่ (Combination)

วธิ ีจัดหม่ตู ่างกบั วธิ ีการเรยี งสับเดปล่ยี นตรงที่ วิธีการจดั หมู่นั้นเราไมย่ ึดถือเร่ืองอนั ดบั เป็นเร่อื งสำคญั

ถา้ มีสิ่งของ n ส่ิงตา่ งๆกนั เราเลอื กมา r สงิ่ แบบจดั หมู่ จำนวนวิธที ่ีเลือกได้คือ

Cn,r = n = n!
 
 r  (n − r)r!

1. จงหาคา่ ของ

1) C8,2

C8,2 = (8 8! = 28
− 2)!2!

2) C9,3

C9,3 = (9 9! = 84
− 3)!3!

3) C15,2

C15,2 = 15! = 105
(15 − 2)!2!

4) C5,3 + C4,1

C5,3 + C4,1 = (5 5! + (4 4! = 10 + 4 = 14
− 3)!3! −1)!1!

54

3. จงหาคา่ n เมื่อกำหนดให้
1) Cn,4 = 35

n! = 35
(n − 4)!4!

n! = 35 4!
(n − 4)!
n(n −1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)! = 35 43 21

(n − 4)!
n(n −1)(n − 2)(n − 3) = 7654
n=7

2) Cn,5 = 126

n! = 126
(n − 5)!5!

n! = 126 5!
(n − 5)!
n(n −1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5)! = 9 7  25 43 21

(n − 5)!
n(n −1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) = 98765
n=9

3) Cn,6 = Cn,7

n! = n!
(n − 6)!6! (n − 7)!7!
7! = (n − 6)!!
6! (n − 7)!
7  6! = (n − 6)(n − 7)!

6! (n − 7)!
7 = n−6
n =13

55

4) Cn,9 = Cn,12

n! = n!
(n − 9)!9! (n −12)!12!
12! = (n − 9)!!
9! (n −12)!
121110 9! = (n − 9)(n −10)(n −11)(n −12)!

9! (n −12)!
121110 = (n −9)(n −10)(n −11)

12 = n −9
n = 21

5) C = C26, r+4 26, r −8

จาก Cn, r = Cn, n−r

r + 4 = 28 − (r − 8)

r + 4 = 28 − r +8
2r = 32
r =16

6) C = C33, r−333, r −2

จาก Cn, r = Cn, n−r

r − 3 = 33 − (r − 2)

r −3 = 33− r + 2
2r = 38
r =19

56

1. ปั้นมีหนังสอื การ์ตนู อยู่ 10 เลม่ โปง้ ต้องการยืมไปอา่ น 4 เล่ม โป้งสามารถเลือกยืมได้ทั้งหมดกีว่ ิธี

C10,4 = 10!
(10 − 4)!4!

= 10!
6!4!

= 10!
6!4!

= 210

2. ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีเขียวแตกต่างกนั 10 ลูก ลกู บอลสีแดงแตกตา่ งกัน 7 ลกู จะมกี ีว่ ิธีที่จะหยิบลกู บอล
ออกจากถงุ 6 ลกู โดยให้มีสีเขยี ว 4 ลูก และสีแดง 2 ลกู
หยบิ สีเขยี ว 4 ลกู จาก 10 ลูก

C10,4 = (10 10!
− 4)!4!

= 10!
6!4!

= 210

หยิบสีแดง 2 ลูกจาก 7 ลกู

C7,2 = (7 7!
− 2)!2!

= 7!
5!2!

= 21

จะมวี ิธกี ารหยบิ ลกู บอล = 21021= 4410 วิธี

3. ทางโรงเรยี นตอ้ งการเลอื กตัวแทนนักเรียนม.4 จำนวน 5 คน จากนักเรยี น 20 คน ไปตอบแข่งขนั
คณติ ศาสตร์เพชรยอดมงกฎุ โรงเรียนสามารถเลอื กได้กวี่ ิธี

C20,5 = 20!
(20 − 5)!5!

= 20!
15!5!

= 15504

โรงเรยี นสามารถเลอื กได้ 15504 วิธี

57

4. มดี อกไม้ 5 ชนิด ต้องการซอื้ ดอกไม้ 2 ชนิดไปให้แฟน สามารถเลือกซ้อื ได้ทั้งหมดกี่วิธี

C5,2 = (5 5
− 2)!2!

= 5!
3!2!

= 10

สามารถเลือกซอ้ื ได้ทงั้ หมด 10 วิธี

5. ตอ้ งการเลอื กคระกรรมการหมบู่ า้ น 5 คน จากผู้สมัครผ้ชู ายชาย 6 คน และผู้หญิง 5 คน โดยกรรมการชุดน้ี
จะตอ้ งเปน็ ผ้ชู าย 3 คน และผู้หญิง 2 คน จะมีวธิ ีเลือกคณะทำงานไดท้ ง้ั หมดกว่ี ิธี
เลอื กคณะกรรมการผชู้ าย

C6,3 = (6 6
− 3)!3!

= 6!
3!3!

= 20

เลอื กคณะกรรมการผู้หญิง

C5,2 = (5 5!
− 2)!2!

= 5!
3!2!

= 10

จะมีวธิ เี ลือกคณะทำงานได้ทั้งหมด = 2010 = 200 วิธี

6. ห้างสรรพสินค้ามีโปรโมชันแจกของแถม 2 ชิ้นจากทั้งหมด 5 ชิ้น เมื่อซื้อสินค้าครบ 1000 บาท ถ้าปั้นซื้อ
สินคา้ ครบ 1000 บาท จะมีวธิ ีเลือกของแถมได้ทง้ั หมดกวี่ ิธี

C5,2 = (5 5!
− 2)!2!

= 5!
3!2!

= 10

จะมวี ิธีเลอื กของแถมไดท้ ั้งหมด 10 วธิ ี

58

7. จำนวนนวิธที จี่ ะเลอื กตัวแทนนักเรยี นถือพาน 2 คน จากนักเรยี นในหอ้ ง 20 คน มกี ีว่ ิธี

C20,2 = 20!
(20 − 2)!2!

= 20!
18!2!

= 190

มี 190 วธิ ี

8. ไพส่ ำรบั หนึง่ มี 4 ชดุ คือ โพดำ โพแดง ดอกจิก ขา้ วหลามตัด โดยแตล่ ะชดุ มี 13 ใบ คือ A ,K ,Q , J

และ 2 ถงึ 10 จงหาจำนวนวิธีท่จี ะหยิบไพ่ตามเงื่อนไขตอ่ ไปนี้
1) ได้ไพด่ อกละ 1 ใบ

โพดำ C13,1 = 13! = 13! = 13
(13 −1)!1! 12!

โพแดง C13,1 = 13! = 13! = 13
(13 −1)!1! 12!

ดอกจิก C13,1 = 13! = 13! = 13
(13 −1)!1! 12!

ข้าวหลามตดั C13,1 = 13! = 13! = 13
(13 −1)!1! 12!

จำนวน 13131313 =134 วธิ ที ี่

2) 4 ใบ ซ่ึงเปน็ ไพช่ ุดเดียวกัน

โพดำ C13,4 = (13 13! = 13! = 715
− 4)!4! 9!4!

โพแดง C13,4 = 13! = 13! = 715
(13 − 4)!4! 9!4!

ดอกจิก C13,4 = (13 13! = 13! = 715
− 4)!4! 9!4!

ขา้ วหลามตดั C13,4 = 13! = 13! = 715
(13 − 4)!4! 9!4!

จำนวน 715+ 715+ 715+ 715 = 2860 วธิ ี