เซต

วชิ า คณิตศาสตร์

ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

เอกสารประกอบการเรยี น

SETS

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 1 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

เอกสารประกอบการเรยี น
รายวชิ า คณิตศาสตร์

เรอ่ื งเซต

ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4
กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ Chapter คณิตศาสตร์ 1
1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4
AB
C 0 1 เซต

ทบทวนก่อนเรยี น

จำนวนจรงิ
คือ: จำนวนที่มีอยใู่ น เซตท่เี กิดจากการยูเนยี นกัน
ธรรมชาติ จำนวนจรงิ (R) ของเซตของจำนวนตรรกยะ
(Real Number) กบั เซตของจำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ (Q) จำนวนท่ไี ม่สามารถเขยี นให้อย่ใู นรูป จำนวนตรรกยะ (Q) จำนวนทส่ี ามารถเขยี นใหอ้ ยู่ใน
(Irrational Number) เศษสว่ นของจำนวนเตม็ ได้ เชน่ (Rational Number) รูปเศษสว่ นของจำนวนเต็มได้

2, , e, 0.125478... โดยส่วนไมเ่ ท่ากับศูนย์

เซตทีป่ ระกอบดว้ ย จำนวนเตม็ (I) จำนวนท่มี ใ่ ช่จำนวนเต็ม เศษส่วน (Fraction)
–2,-1, 0, 1, 2 (Integer) 1 g
เชน่ , 0.1278..., 0. ทศนิยม (Decimal)
6 5

จำนวนเต็มลบ (I− ) จำนวนเตม็ ศนู ย์ (I0 ) จำนวนเต็มบวก (I+ )

เซตทปี่ ระกอบด้วย เซตท่ปี ระกอบดว้ ย เซตที่ประกอบดว้ ย
-1, -2, -3, … 0 1, 2, 3, …

1. เซต

ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 หรือในราว 100 กว่าปีที่ล่วงมาแล้วนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันซึ่งมีชื่อว่า
ยอร์จ แคนเตอร์ (George Cantor) เป็นผู้ริเริ่มใช้คำว่า “เซต” ต่อจากนั้นนักคณิตศาสตร์ก็ใช้คำนี้กันทั่วไป
จากนัน้ กม็ ีการพฒั นาคณิตศาสตร์ทีเ่ กยี่ วกบั ทฤษฎเี ซตขึ้น ถงึ แมว้ า่ ทฤษฎเี ซตจะเปน็ เรื่องทเ่ี รยี นในคณิตศาสตร์
ระดับสูงก็ตามแต่ความรูใ้ นเรื่องทฤษฎีเซตบางเรื่องสามารถนำมาอธิบายเนือ้ หาคณิตศาสตร์หลายๆพื้นฐานใน
การทำความเข้าใจเร่อื งตา่ งๆในคณิตศาสตรด์ ว้ ย

กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 2 คณิตศาสตร์ 1
ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

เซต เปน็ กลมุ่ ของสงิ่ ต่างที่เราสามารถบอกได้วา่ อะไรอยใู่ นกล่มุ อะไรไม่อยูใ่ นกลุ่ม เชน่

- เซตของสระในภาษาองั กฤษ - เซตทีป่ ระกอบดว้ ยจำนวน 1, 5, 8, 13

- เซตของจังหวดั ในประเทศไทย - เซตของจำนวนที่ยกกำลังสองแลว้ ได้ 25

- เซตของเดือนในหนึ่งปี - เซตของวนั ในหนึ่งสัปดาห์

แบบฝึกหดั ชุดที่ 1

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ขี ้อความใดเป็นเซต ข้อความใดไมเ่ ป็นเซต
1) กลุ่มของโรงเรยี นในจังหวดั กรงุ เทพฯ
เป็นเซต

2) กลุ่มของสัตว์เล้ยี งลูกดว้ ยนม
เปน็ เซต

3) กลมุ่ ของนักรอ้ งเสยี งเพราะ
ไมเ่ ปน็ เซต

4) กลมุ่ ของนักเรียนขยัน
ไมเ่ ป็นเซต

5) กลมุ่ ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 20
เป็นเซต

6) กล่มุ ของอาหารอร่อย
ไมเ่ ปน็ เซต

7) กลมุ่ คำตอบของสมการ x + 3 = 7
เป็นเซต

8) กลุ่มของธนาคารในประเทศไทย
เปน็ เซต

9) กลมุ่ ของยหี่ ้อเคร่ืองด่ืมท่มี ีแอลกอฮอร์ 5% ในประเทศไทย
เป็นเซต

10) กลุ่มของส่ิงไม่มชี ีวิต
เป็นเซต

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 3 คณติ ศาสตร์ 1
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

แบบฝกึ หัดเสรมิ 1

1) กลุ่มของจำนวนนบั ที่มากกว่า 11 แตน่ อ้ ยกวา่ 50
เป็นเซต

2) กลุ่มของตัวอกั ษรท่เี ปน็ สระในภาษาองั กฤษ
เป็นเซต

3) กลมุ่ ของวนั ในหนงึ่ สัปดาห์
เป็นเซต

4) กลุ่มของสตั วท์ ่ีนา่ รัก
ไม่เปน็ เซต

5) กลุม่ ของคนสวย
ไม่เปน็ เซต

6) กลมุ่ ของเลขโดด

เปน็ เซต

7) กลมุ่ ของสง่ิ ไมม่ ีชวี ิต

เปน็ เซต

8) กลุ่มของคนที่ที่มี 5 ขา
เป็นเซต

9) กลมุ่ ของย่หี อ้ โทรศพั ทม์ อื ถือ

เปน็ เซต

10) กล่มุ ของนักรอ้ งเสียงเพ้ียน

ไมเ่ ปน็ เซต

11) กลุ่มคำตอบของสมการ x2 + 6x + 5 = 0
เปน็ เซต

12) กลุ่มของจังหวดั ในประเทศไทย

เปน็ เซต

กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 4 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4

1.1 วธิ กี ารเขยี นเซต

โดยทัว่ ไปจะแทนเซตด้วยตวั อักษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พใ์ หญ่ เช่น A,B,Cเปน็ ตน้ และแทนสมาชิก
ของเซตด้วยตวั อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมเลก็ เชน่ a,b,c เป็นต้น

การเขยี นเซตในรปู แบบสญั ลักษณ์ มวี ธิ กี ารเขยี นได้ 2 แบบ คือ
1) แบบแจกแจงสมาชิก เป็นการเขยี นสมาชิกทกุ ตวั ของเซตลงในเคร่อื งหมายวงเล็บปกี กา “  ” และใช้
เครอื่ งหมายจลุ ภาค “,” คนั่ ระหว่างสมาชิกแตล่ ะตวั เชน่

ให้ A แทนเซตของสระในภาษาอังกฤษ
ดงั นั้น A = a,e,i,o,u

ให้ B แทนเซตของวันในหน่ึงสัปดาห์
ดงั นน้ั B =  จันทร์, องั คาร, พธุ , พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์, อาทิตย์ 

ให้ C แทนเซตของจำนวนเฉพาะทเี่ ปน็ บวก
ดงั น้ัน C = 2,3,5,7,...

ให้ D แทนเซตของจำนวนเต็มที่ยกกำลงั สองแลว้ ได้ 49
ดงั น้นั D = −7,7

แบบฝกึ หัดชดุ ท่ี 2

1. จงเขยี นเซตตอ่ ไปน้แี บบแจกแจงสมาชกิ
1) เซตของสีธงชาตไิ ทย

A = แดง, ขาว, น้ำเงิน 

2) เซตของพยญั ชนะในคำวา่ “mathematic”
A =m,t, h

3) เซตของพยญั ชนะในคำวา่ “โควดิ ”
A = ค,ว,ด 

4) เซตของจำนวนเต็มบวกทน่ี ้อยกวา่ 10
A =9,8, 7,...1

5) เซตของจำนวนค่บู วกท่ีน้อยกว่า 10
{2, 4, 6, 8}

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 5 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

6) เซตของจำนวนเตม็ บวกที่มีสองหลกั
{10, 11, 12, …, 99}

7) x x เป็นจำนวนเต็มท่ีมากกว่า 3 และ น้อยยกวา่ 10}

{4, 5, 6, 7, 8, 9}

8) x x เป็นจำนวนเต็มที่อยูร่ ะหว่าง 0 กบั 1 }



9) เซตของจำนวนเตม็ ลบท่ีมากกว่า -1



10) เซตของจำนวนเต็มที่ยกกำลงั สองแล้วได้ 196
{-14, 14}

11) เซตของจำนวนนับท่ีเป็นพหคุ ณู ของ 3
{3, 6, 9, ...}

12) เซตของจำนวนเต็มที่หารดว้ ย 10 ลงตวั
...,-20,-10,0,10,20,...

13) เซตของจำนวนเต็มท่สี อดคลอ้ งกับสมการ x2 −5x = 0
0,5

14) เซตของจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกบั สมการ x2 − 4x = 45
9

15) เซตของจำนวนเต็มทส่ี อดคล้องกับสมการ 6x2 +11x −10 = 0

 2 , − 5 
 3 2 
 

16) เซตของจำนวนเต็มท่ีสอดคล้องกับอสมการ 3x +14  8
-2, -3, -4,...

17) เซตของจำนวนเต็มบวกท่ีสอดคลอ้ งกับสมการ x2 − 4 = 0
2

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 6 คณติ ศาสตร์ 1
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4

18) เซตของจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ x2 −5x −6 = 0
6

19) เซตของจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ x + 2 = 5
3

20) เซตของจำนวนเต็มบวกที่สอดคลอ้ งกับสมการ x2 − x − 2 = 0
2

21) เซตของจำนวนเต็มทีม่ ากกว่า 100
{101, 102, 103,… }

22) เซตของจำนวนเต็มลบที่มากกว่า -100
{-99, -98, -97, … }

23) N เปน็ เซตของจำนวนนบั
N=1, 2,3,...

24) เซตของพยญั ชนะในคำว่า real number
r,l, n, m,b

25) A เป็นเซตของจำนวนค่บู วก
A=2, 4, 6,...

2. จงพจิ าณาข้อความตอ่ ไปนี้ว่า ถกู หรือ ผดิ

  1) A = x  R x2 = 25 เขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ้ ปน็ A = −5, −4, −3,...,5

 2) B = x  R x2 − 3x + 2 = 0 เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไดเ้ ปน็ B = 1, 2

  3) C = ( )x  R x 2x2 − 7x −15 = 0 เขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ ได้เปน็ C = − 3 ,5
2 

  4) D = x  I ( )x 7x2 − 54x −16 = 0 เขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ ได้เป็น D = 2 , −8
7 

 5) E = x  I + x( x − 2) = 0 เขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ ได้เปน็ E = 2

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 7 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

แบบฝึกหดั เสรมิ 2

1) เซตของจำนวนเตม็ บวกท่ีน้อยกว่า 2
A = 1 

2) P เป็นเซตของจำนวนเฉพาะท่ีเปน็ บวก
P=2,3,5, 7,9,11,...

3) I เป็นเซตของจำนวนเตม็
I=..., −2, −1, 0,1, 2,...

4) B เปน็ เซตของจำนวนเตม็ ที่นอ้ ยกว่า 20
B= 19,18,17,16, ...

5) A แทนเซตของพยญั ชนะ 5 ตัวแรกในภาษาไทย
A= ก, ข, ฃ, ค, ฅ 

6) B เป็นเซตของจำนวนเตม็ บวกที่น้อยกวา่ 5
B=4,3, 2,1

7) C เป็นเซตของตัวอักษรในภาษาองั กฤษ
C= A,B,C,...,Z

8) เซตของเดือนท่ีมี 30 วัน
 เมษายน, พฤศจกิ ายน, มิถุนายน, กันยายน 

9) เซตของจำนวนเตม็ บวกท่ีเปน็ จำนวนคู่
2,4,6,8,...

10) เซตของจำนวนเฉพาะท่ีอยรู่ ะหว่าง 0 ถึง 60
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59

11) เซตของเดือนในภาษาอังกฤษขึ้นตน้ ดว้ ยตวั A
{ April, August }

12) เซตของเดือนในภาษาอังกฤษขึ้นต้นดว้ ยตัว D
{ December }

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 8 คณิตศาสตร์ 1
ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4

13) เซตของสระที่มาจากคำว่า youtube ในภาษาองั กฤษ
{ o, u, e }

14) เซตของสระที่มาจากคำว่า liter ในภาษาองั กฤษ
{ i, e }

15) เซตของพยัญชนะที่มาจากคำว่า sine ในภาษาอังกฤษ
{ s,n }

16) เซตของพยัญชนะท่ีมาจากคำวา่ buddy ในภาษาอังกฤษ
{ b,d,y }

17) เซตของจังหวัดในประเทศไทยท่ีติดกับประเทศเยอรมันนี
{}

18) เซตของจำนวนเต็มบวกท่ีมีค่าระหว่าง -10 ถงึ 3
{ 1, 2 }

19) เซตของจำนวนเต็มคี่บวก
{ 1, 3, 5, … }

20) เซตของจำนวนจรงิ บวกที่สอดคลอ้ งกบั สมการ x2 − 4x −5 = 0
{5}

21) เซตของจำนวนเฉพาะระหวา่ ง 0 และ 9
{ 2,3,5,7 }

22) เซตของพยัญชนะในคำว่า “คณิตศาสตร”์
{ ค,ณ,ต,ศ,ส,ร }

23) เซตของจำนวนคู่
{ ...,-4,-2,0,2,4,… }

24) เซตของเดือนในรอบปีที่ลงทา้ ยดว้ ย “คม”
{มกราคม, ,มนี าคม, พฤษภาคม, กรกฎาคม, สงิ หาคม, ตลุ าคม, ธันวาคม}

25) เซตของเลขโดด
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 9 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

26) เซตของสระในคำว่า “MATHEMATICS”
{A, E, I}

27) เซตของจำนวนคู่
0, 2, 4, 6,...

28) เซตของจำนวนนบั ท่ีเปน็ พหุคูณของ 5
{5, 10, 15, ...}

29) เซตของเดือนในภาษาอังกฤษทขี่ ึน้ ตน้ ด้วย “J”
{JANUARY, JUNE, JULY}

30) เซตของจำนวนเต็มลบท่ีมากกวา่ 25
{4, 3, 2, 1}

31) เซตของจำนวนเฉพาะท่ีเปน็ จำนวนคู่
{2}

32) เซตของจำนวนนับท่ีหารด้วย 3 ลงตวั
{3, 6, 9, ...}

33)เซตของจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 และ 9
{2, 3, 5, 7}

34) เซตของจำนวนเฉพาะระหว่าง 5 และ 8
{7}

35) เซตของ x โดยที่ (x −1)(x −3) = 0
{1, 3}

36) เซตของจำนวนนบั ที่มากกว่า 1 แต่นอ้ ยกวา่ 5
{2, 3, 4}

37) เซตของจำนวนเต็มลบทม่ี ากกว่า 1 แตน่ ้อยกวา่ 5
{}

38) เซตของจังหวัดในประเทศไทยทีข่ ึน้ ต้นต้นพยัญชนะ “จ”
{จนั ทบรุ ี}

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 10 คณิตศาสตร์ 1
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

2) แบบบอกเงอื่ นไขของสมาชกิ ใช้ตัวแทนสมาชิกแลว้ บรรยายสมบตั ิของสมาชกิ ที่อยูใ่ นรปู แบบของตัวแปร
มเี คร่อื งหมาย “ | ” แทนคำวา่ โดยท่ี แลว้ ตามดว้ ยการบอกสมบัติของสมาชกิ เชน่

 A= จนั ทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศกุ ร์, เสาร์, อาทติ ย์ 

A=x x เป็นชือ่ วนั ในหนง่ึ สัปดาห์ 

 B เปน็ เซตของจำนวนเต็มท่ีน้อยกว่า 10

B=x x  I , x  10

 C เป็นเซตของจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับสมการ x2 − 4 = 0

 C= x x  I , x2 − 4 = 0

 D=2, 4, 6,8,10,12

D=x x เป็นจำนวนเตม็ คู่ตั้งแต่ 2 ถึง 12 

แบบฝึกหดั ชดุ ท่ี 3

1. จงเขยี นเซตต่อไปนต้ี ่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ

1) x x เปน็ จำนวนเตม็ ตัง้ แต่ 0 ถึง 5 

0,1, 2,3, 4,5

2) x x เปน็ จำนวนเต็มลบที่อยูร่ ะหว่าง -4 กบั 2 

−3, −2, −1

3) x x เป็นจำนวนเต็มและ 3x = x −18

−9

4) x x เป็นจำนวนเตม็ และ 1  0
x 

1, 2,3,...

5) x x เปน็ จำนวนเต็มและ x2  1

..., −3, −2, 0, 2,3,...

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 11 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

2. จงเขยี นเซตต่อไปน้แี บบบอกเง่อื นไขของสมาชิก
1) A=1,3,5,...

A=2n +1 n = 0,1, 2,...

2) B=..., −2, −1, 0,1, 2,...

B=x x  I

3) C=1, 4,9,16, 25,36

 C= x2 x = 1, 2,3, 4,5, 6

4) D=1, 2,3,...

D=x x  N

5) E=a,b,c,..., z

E=x x เปน็ ตัวอักษรภาษาอังกฤษ 

6) F=0,5, −5,10, −10,..., −100

F=x  I 5 หาร x ลงตัวและ −100  x  100

7) G= 1, 1 , 1 , 1 ,..., 1 
 2 3 4 100 


G=  1 xI+ และ x  100
 x

8) H=  1 , 2 , 3 ,..., 100 
 2 3 4 101 
 

 x= n โดยที่ nN และ n  100
H= x n +1



9) I=2, 4, 6,8,10

I=x x เป็นจำนวนเตม็ คู่บวกตั้งแต่ 2 ถงึ 10 

10) J=..., −5, −3, −1,1,3,5,...

J=x x เปน็ จำนวนเต็มคี่ 

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 12 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

แบบฝกึ หัดเสริม 3

1. จงเขยี นเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกตอ่ ไปนีเ้ ปน็ แบบแจกแจงสมาชิก

1) x x = n2 และ n = 1, 2,3,...

1, 4,9,16, 25,36, 49, 64,81,100,...

2) x x เปน็ จำนวนเต็มที่มากกว่า 3 และน้อยกว่า 10 

4,5, 6, 7,8,9

3) x x เปน็ จำนวนเตม็ คบู่ วกและ 3x  32

2, 4, 6,8,10

4) x x เป็นจำนวนเตม็ และ 2x = x + 5

5

5) x x เปน็ จำนวนเต็มและ x = 2k −1;k เป็นจำนวนนบั 

1, 3, 5, ...

6)x x = 2n, n เปน็ จำนวนธรรมชาติ}

{2, 4, 6, ...}

7) x x เป็นรปู สเ่ี หลย่ี มที่มีด้านยาวเท่ากนั ทุกดา้ น}

{รูปสเี่ หลยี่ มจตั รุ สั , รูปส่เี หลีย่ มขนมเปยี กปูน}

8) x x  I + และ x  −5

{1, 2, 3, 4, 5}

9) x x  I และ x  6

{-4, -3, -2, ...}

10) x x I

0, 1, 2, 3,...

11) x x เปน็ จำนวนนับที่มีสองหลกั 

{10, 11, 12, ..., 99}

12) x x  I และ −3  x  2

{-3, -2, -1, 0, 1}

13) x x  N และ −5  x  5

{1, 2, 3, 4, 5}

14) x x  I และ x  −2

{-2, -1, 0, 1, ...}

15) x x เป็นจำนวนทส่ี อดคล้องกับสมการ x2 − 2x − 3 = 0

{-1, 3}

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 13 คณติ ศาสตร์ 1
ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4

16) x  I − 2x + 3  0

{-2, -3, -4, ...}

 17) x  I + x2 + 5x − 6 = 0

{1}

18) x x = 2y −1 และ y = 1, 2,3,...

{1, 3, 5, ...}

19) x x เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่อี ยู่ระหวา่ ง 7 กบั 8 

{}

20) x x เป็นจำนวนเต็มทเ่ี ป็นพหุคูณของ 5 

{ 5, 10, 15, … }

21) x x เป็นจำนวนจริง x2 + 2 = 0

{}

22) x x  2 และ x2 − 25 = 0

{ -5 }

23) x x  I, −3  x  3

{-2, -1, 0, 1, 2, 3}

24) x x เปน็ จำานวนเฉพาะท่เี ปน็ จำานวนคู่ 

{2}

25) x x = 2n, n = 1, 2,3

{2, 4, 6}

26) x x เปน็ จำนวนเต็มบวกท่นี ้อยกวา่ 10

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

 27) ( )x  R x x2 − 4x − 5 = 0

{0, 5, -1}

 28) x  I ( x +1)(2x + 3)(4x2 − 5x +1) = 0

{-1, 1}

2. จงเขยี นเซตตอ่ ไปนี้แบบบอกเงือ่ นไขของสมาชิก
1) K=1,8, 27, 64,125

K= x x = n3 , n = 1, 2,3, 4,5 โดยท่ี n N และ n  100

2) L=2,3,5, 7,11,13,17,19

L=x x เปน็ จำนวนเฉพาะ ตง้ั แต่ 2 ถึง 19 

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 14 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4

3) M=..., −12, −8, −4, 0, 4,8,12,...

M=x x เปน็ จำนวนเต็มที่หารดว้ ย 4 ลงตัว 

4) N =  สแี ดง, สีเหลือง, สนี ้ำเงิน 

N=x x เปน็ แม่สี 

5) N=1,3,5

N=x x เปน็ จำนวนเฉพาะตงั้ แต่ 1 ถึง 5 

6) P=..., −2, −1, 0,1, 2,3,...

P=x x  I

7) R=1, 4,9,16, 25,36,...

 R= x x = n2, n  I

8) T=10, 20,30, 40,...

 T= x x = 10n, n  I +

9) T=4,8,12,16,...

T=x x เปน็ จำนวนเต็มบวกและเปน็ พหุคณู ของ 4 

10) T=1, 2,3, 4,...

T=x x เปน็ จำนวนเตม็ บวก 

11) T=−1, −2, −3,...

T=x x เป็นจำนวนเตม็ ลบ 

12) K=1, 4,8,16,32

K=x x = n3 เมือ่ n เป็นจำนวนนบั ทนี่ ้อยกวา่ 6 

13) K=−3,3

K=x x เปน็ จำนวนจรงิ และ x2 − 9 = 0

14) K=−1,5

K=x x เปน็ จำนวนจริง และ x2 − 4x − 5 = 0

15) K= 1, 1 , 1 , 1 , ...
 2 3 4 

K=x x = 1 เมื่อ n เป็นจำนวนนบั 

n

16) K=  2 , 3 , 4 ...
 3 4 5 


K=x x = n +1 เมือ่ n เป็นจำนวนนบั 

n+2

กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 15 คณติ ศาสตร์ 1
ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

17) {-2, -1}

x | ( x + 2)( x +1) = 0หรือ x  I | −3 <x  0

18) {2, 4, 6, ...}

x x เปน็ จํานวนคู่ และ x  0

19) {2, 3, 5, 7}
เป็นจํานวนเฉพาะบวก และ x  8

20) {7, 14, 21, ..., 98}

x x เป็นจํานวนนบั ท่เี ป็นพหูคูณของ 7 ที่ไม่เกนิ 98

21) {1, 2, 4, 8}

x x = 2y−1; y เปน็ จาํ นวนเตม็ และ 0  y  5

22) {-2}

x x + 2 = 0

23) {0, 1, 2}

x  I −1  x  3

24) {10, 11, 12, ..., 99}

x  I 9  x  100

25) {..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...}

x x I

26) {กมุ ภาพันธ์}

x x เป็นช่อื เดอื นที่มีจาํ นวนวันนอ้ ยกวา่ 30 วนั 

27) {19, 20, 21}

x  I 18  x  22

28) {-1, -8}

x ( x +1)( x + 8) = 0

29) {2, -5}

{x | (x − 2)(x + 5) = 0}

30) {3, 6, 9, ...}

x x เปน็ จำานวนเต็มบวกท่หี ารดว้ ย 3 ลงตวั 

31) {11, 13, 15, ..., 99}

x x เปน็ จำานวนค่ีบวกทมี่ ีสองหลัก 

32) {3, 5, 7}

x x เป็นจำานวนเฉพาะ และ 2  x  9

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 16 คณิตศาสตร์ 1
ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4
1.2 จำนวนสมาชิก
n(A) =1
จำนวนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ คอื n (A) n(B) = 7
n(C) = 9
ตวั อยา่ ง จงบอกจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้ n(D) = 0
1. A=1234
n(A) = 3
2. B=a,b, c, de, f , gh,ijk n (B) = 51
n(C) = 0
3. C=x x เปน็ จำนวนเตม็ บวกทอี่ ยูร่ ะหว่าง 10 และ 20  n(D) = 6
n(E) =1
4. D=x x เปน็ จำนวนเต็มบวกและน้อยกวา่ 0  n(F) = 5
n(F) = 9
แบบฝึกหัดชดุ ท่ี 4 n(H) =1
n(I) =1
1. จงบอกจำนวนสมาชกิ ของเซตต่อไปน้ี

1) A=0, 2,4

2) B=x  I 50  x  100

3) C=x  I 60  x  61

4) D=a,b, c, de, fi, gh

5) E=x x  I + และ x2 − x −12 = 0

6) F=5, 6, 7,8,,

7) G=,, a,b, c,a,b,b, c,a, c,a,b, c

8) H=1234

9) I=a,a,b,a,b,c

กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 17 คณติ ศาสตร์ 1
ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4

แบบฝกึ หัดเสรมิ 4

1.จงเขยี นจำนวนสมาชกิ ของเซตตอ่ ไปนี้ 3
1) {3, 5, 7} นบั จํานวนสมาชกิ ไม่ได้เพราะเป็นเซตอนนั ต์
2) {2, 4, 6, ...}
3) {x | x เป็นจำนวนเต็มบวกท่นี ้อยกวา่ 10} 9

4) {x | x เป็นเลขโดด} 10

5) ,1,a,b,c,b,a,1,a,b, c 7

6) {{0}} 1
นบั จาํ นวนสมาชิกไม่ไดเ้ พราะเปน็ เซตอนันต์
7) x  R 0  x  1

8) x  I 0  x  1 0

9) {x | x เป็นชือ่ เดือนในรอบปี} 12

10) {x | x เป็นจำนวนเฉพาะระหว่าง 0 และ 5} 2

11) เซตของวันใน 1 สปั ดาห์ 7
12) เซตของจำานวนเต็ม นบั จาํ นวนสมาชิกไม่ได้เพราะเปน็ เซตอนนั ต์
13) เซตของชื่อจังหวัดในประเทศไทยทขี่ น้ึ ต้นดว้ ย “นคร”
14) เซตของจำานวนเต็มบวกที่นอ้ ยกวา่ 100 6
15) เซตของจำานวนตรรกยะระหวา่ ง 2 และ 3 99
16) {2564} นบั จาํ นวนสมาชิกไม่ไดเ้ พราะเป็นเซตอนนั ต์
1
17) x x  N, x  5 4

18) x x  N,7  x  8 0

19) {x | x = y และ y = 1, 2,3 3

20) x x(2x +1) = 0 2

21) {x | x เป็นตัวอักษรภาษาองั กฤษในคำาว่า “netflix”  7

22) a,b,a,b,1, 2,3 4

23) 1,2,1, 2,1, 2,3,2,1 4

24) 1,2,1, 2,1, 2,3,2,1 1

25)  , 2

26)  , 1

27)  1

28) 0, 2

 29) x x  I + , −1  x  3 2

 30) x x2 − 4x − 21 = 0 2

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 18 คณติ ศาสตร์ 1
1.3 การเปน็ สมาชกิ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

เรียกสิง่ ทีอ่ ยู่ในเซตว่า “สมาชิก” (element)
ใช้สญั ลกั ษณ์ “” แทนคำว่า “เปน็ สมาชิก” หรือ “อยูใ่ น”
ใช้สญั ลักษณ์ “” แทนคำวา่ “ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ” หรอื “ไม่อย่ใู น”

เช่น

A=1, 2,3, 4

1 เป็นสมาชกิ ของ A เขยี นแทนดว้ ย 1A
5 ไม่เปน็ สมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ย 5A

ตัวอยา่ ง จงเตมิ , ลงใน ...... แตล่ ะข้อให้ถูกต้อง

1) 8  2, 4, 6,8,10 2) 3  x 3  x  5
4,5
3) -1  x −7  x  −1 4) 5  x  I 2x + 7  1
0,2
5) 7  1,3,5,7 6) -4 

 7) -3  8) 2
x x2 − 4x − 21 = 0 

แบบฝึกหัดชุดท่ี 5

1. กำหนด A= 1234 B=1,1, 2,2 และ
1) 3
C=, a,a,b,a,b,a,b,a,b, c

A 2) a,b  C
B
3) a,a C 4) 1  C
C
5) 132 A 6)  

7) 1,1 B 8) a,b 

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 19 คณติ ศาสตร์ 1
 2) 0 0,1 ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4
2. จงพจิ ารณาข้อความต่อไปน้วี ่า ถกู หรอื ผดิ
 1) 00,1

 3) m m, n, p  4) mm, n, p

 5) 52,4,5, 4  6) 4,52,4,5, 4

 7) 52,4,5, 4  8) 

 9) 44  10) 44

 11) 0  12) 3x x  I, −1  x  3

 13)   ,  14) 93,9,3,9

 15)  1,1,,1,  16)   

 17)  1,2,1, 2,1, 2,3  18) 1, 21,2,1, 2,1, 2,3

. 19) 1,21,2,1, 2,1, 2,3

 20) 1, 2,31,2,1, 2,1, 2,3

 21)  ,, a,b,c,a,b,b, c,a, c,a,b, c

 22),, a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c

 23)a,b,, a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c

 24)a,b,c,, a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 20 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4

แบบฝึกหัดเสริม 5

1. ใหเ้ ตมิ สัญลักษณ์ “” หรือ “” เพื่อทำให้ข้อความในแตล่ ะข้อเปน็ จริง

1) a  2, a,b,8 7) 3  2,3, 4,5

2) 6  a,3,b, 7 8)   a,6, 7,8,,
 5,8,9,10
3) 0  ,1, 2,3 9) 5,8  3,5,6,3, 7,8
 a,b, c, d,b, a
4)   0,1, 2,3 10) 3,6

5) 2, 4  0, 2, 4, 6,8 11) a,b

6) 5,7  1, 2,3, 4,5 12)  

2. กำหนด A=, a,a,b,b, a,b, a,a,b,c

1)  A 2) b A
A 4) a A
3) a A 6) a,b A
5) c A A
8) a,b,c
7) a,b

3. กำหนด A=,,,1, 2,3,1, 2,1,1,3,3,3, 2,1, 2,3 จงพิจารณาข้อต่อไปนี้ถกู หรือผิด

 1) A  2) 1, 2 A
 3)  A  4) 0A

4.กำหนดให้ A เป็นเซตของจำนวนนบั ทีน่ ้อยกวา่ หรือเทา่ กับ 16 ขอ้ ความใดเปน็ จรงิ และข้อความใดเปน็ เทจ็

T 1) 10A F 2) 16A

T 3) 4A T 4) 1  A

2

F 5) −2A F 6) 0A

F 7) 61A T 8) 5A

5.ข้อใดต่อไปนเ้ี ปน็ จรงิ หรอื เป็นเทจ็

1) สแี ดง {x | x เปน็ สขี องธงชาติไทย} T

2) แมว {x | x เป็นสตั ว์ปีก} T

3) เสน้ ผา่ นศนู ย์กลาง {x | x เป็นคอรด์ ของวงกลม} T

4) 2{x | xเป็นจำนวนเฉพาะ} F

5) 1{x | x เป็นตวั ประกอบของ 3} F

 6) −3 x x2 − 9 = 0 T

7) 9 {x | x เปน็ จำนวนอตรรกยะ} F
8) 0{x | x เปน็ จำนวนเต็ม} F

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 21 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4
6. จงเติม  หรือ ลงในช่องวา่ งแลว้ ทำให้ประโยคเปน็ จรงิ
ผดิ
1) 129  {x | x เปน็ จำนวนนบั } 

2) 7  {x | x เป็นตวั ประกอบของ 10} 

3) c  {x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ} 

4) a  {x | x เป็นสระในคำว่า “may” }

5) 3  x | x − 4 = 0

6) 2  2, 000

7) 1  200, 102, 222

8) 0   x |1  x  2

9) (−5)4   x | x  I +

10) 8  {x | x เป็นจำนวนนับระหว่าง 5 กบั 10}

7.กำาหนดข้อความในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ จงเขยี นเครื่องหมาย  ลงในช่องจรงิ หรอื เท็จ

ขอ้ เซต ถกู

1. 22, 3, 5, 6 

2. 40, 2, 4, 6 

3. table{t, a, b,l,e} 
4. v {v, i, d,e,o}
5. 6{1, 2, 3, 4} 

6. 0x x เป็นจำานวนคู่ 

7. 11 109x x เปน็ จำนวนนบั 

8. 1 + 3 x x เปน็ จำนวนเต็ม 

44

9. {b,u,d,d, y}{x | x เป็นตัวอกั ษรในคำว่า “buddy” 

10. zebra {z, e, b, r, a}
11. { }

12.  0, 

8. กำหนดให้ (ก) a (ข) {a} (ค) {{a}} (ง) {a, {a}}

พิจารณาขอ้ ความต่อไปนีแ้ ล้วเลือก (ก), (ข), (ค) หรอื (ง) ให้ตรงกบั ขอ้ ความดังกล่าว

1) เปน็ เซต (ข), (ค), (ง)

2) ไม่เป็นเซต (ก)

3) a เปน็ สมาชิกของ (ข), (ง)

4) {a} เปน็ สมาชกิ ของ (ค), (ง)

5) เปน็ เซตท่ีมีสมาชิก 1 ตัว (ข), (ค)

6) เปน็ เซตที่มสี มาชิก 2 ตวั (ง)

กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 22 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

1.4 เซตจำกัดและและเซตอนันต์

เซตจำกดั (finite set)
เซตจำกดั คือ เซตที่มจี ำนวนสมาชิกกบั จำนวนเต็มบวกใดๆ หรอื ศนู ย์ กล่าวคือ สามารถนับจำนวน

สมาชกิ ของเซตไดค้ รบถว้ น
ตัวอย่าง

1. เซตของวันในหนงึ่ สปั ดาห์

 2. A = x x2 = 25

3. B = 1, 2,3,...,100

*** ขอ้ สังเกต เซตว่างเป็นเซตจำกดั เนอื่ งจากเซตว่างไมม่ จี ำนวนสมาชิก (จำนวนสมาชิกเทา่ กบั ศนู ย์)

เซตอนนั ต์ (infinite set)
เซตอนนั ต์ คือเซตที่ไมจ่ ำกดั กลา่ วคือ เซตอนันต์เป็นเซตท่ีมีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถว้ น หรอื ไม่

สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ครบถว้ น
ตัวอยา่ ง

1. A = 1, 2,3,...

2. เซตของจดุ บนเส้นตรง

3. x x เปน็ จำนวนตรรกยะ 

แบบฝกึ หัดชดุ ท่ี 6

1. เซตตอ่ ไปนเ้ี ซตใดเป็นเซตจำกัด เซตใดเปน็ เซตอนนั ต์ โดยทำเคร่อื งหมาย  ลงในช่องว่าง

เซต เซตจำกัด เซตอนนั ต์

1) x x เป็นจำนวนเตม็ คู่   

2) x x = 1 โดยที่ n เป็นจำนวนนบั   

n 

3) x x เป็นจำนวนเต็มที่หารดว้ ย 4 ลงตวั  

4) x x เป็นจำนวนเต็มที่หารดว้ ย 4 ลงตวั และมีคา่ ไม่เกิน 200 

5) 1, 2,3,...,100

6) เซตของเลขโดด
7) เซตของจำนวนจรงิ

 8) x x2 − 5x − 6 = 0

9) เซตของวชิ าท่เี ปดิ สอนในโรงเรยี นจริ านัน
10) เซตของจงั หวดั ในประเทศไทย
2. จงพิจาณาข้อความต่อไปนี้ว่า ถกู หรือ ผิด

กล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 23 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

 1) x x เป็นจำนวนเต็มและ 3 x + 5 = 2 เปน็ เซตจำกัด

 2) x x เป็นจำนวนเต็มคี่  เปน็ เซตจำกัด

 3) x x = 1 โดยที่ n เป็นจำนวนนบั  เป็นเซตจำกัด

n

 4) x x = 1 โดยท่ี n เป็นจำนวนนับที่นอ้ ยกวา่ 100  เปน็ เซตอนนั ต์

n

 5) x x เป็นจำนวนเต็มที่หารดว้ ย 5 ลงตวั  เปน็ เซตจำกัด

 6) x x เป็นจำนวนเตม็ ท่ีหารด้วย 5 ลงตวั และมีคา่ ไมเ่ กนิ 200  เปน็ เซตจำกัด
 7) ถ้า B = a,b,c,... แลว้ B เปน็ เซตจำกัด

8) ถา้ C = 1 , 1 , 1 ,... แลว้ C เป็นเซตอนนั ต์
 3 4 
  2

3. เซตตอ่ ไปนเ้ี ซตใดเป็นเซตจำกัด เซตใดเปน็ เซตอนนั ต์

เซตจำกดั 1) x x เปน็ จำนวนเต็ม และ x2 − 9 = 0

เซตจำกัด 2) x x เปน็ จำนวนเต็ม และ x2 − 5x + 6 = 0

เซตจำกดั 3) 1, 2,3,...,10

เซตจำกัด 4) x x เปน็ จำนวนเต็มบวก และนอ้ ยกวา่ -5 

เซตจำกัด 5) x x เป็นจำนวนเต็ม และ x2 − 5 = 0

เซตอนันต์ 6) 1, 2,3,...

เซตอนนั ต์ 7) 1, 1, 1 , 1 , ...
2 4 8

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 24 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4

แบบฝึกหดั เสริม 6

1. จงพิจาณาข้อความต่อไปน้ีวา่ ถูก หรอื ผิด

 1) ถ้า D = x x  I + และ 20x  x2 แลว้ D เป็นเซตอนนั ต์

 2) ถ้า E = x x  I และ x  10 แลว้ E เปน็ เซตจำกัด
 3) ถ้า F = x x  R และ x  100 แล้ว F เป็นเซตจำกัด
 4) ถา้ G = x x Q และ 0  x 1 แล้ว G เป็นเซตอนนั ต์

 5) ถ้า A = 2, 4,6,8,10 แลว้ A เปน็ เซตจำกัด

 6) ถา้ B = x  I − x  −5 แลว้ B เปน็ เซตอนันต์

 7) ถา้ C = x  I 0  x  5 แล้ว C เป็นเซตอนันต์

 8) ถา้ D = x  I + x  1,000,000 แล้ว D เปน็ เซตอนันต์

 9) ถา้ E = x  I x  4,000,000 แลว้ E เป็นเซตอนนั ต์

 10) I และ R เปน็ เซตอนนั ต์

2. เซตต่อไปน้เี ซตใดเปน็ เซตจำกัด เซตใดเป็นเซตอนันต์
เซตจำกัด 1) เซตท่มี ี 10 ขา
เซตอนนั ต์ 2) ..., −2, −1,01, 2,...

เซตอนันต์ 3) x x เป็นจำนวนจริง และ 7  x  8

เซตอนนั ต์ 4) เซตของจำนวนเต็มที่หารด้วย 7 ลงตวั

เซตจำกัด 5) x x  I − และ x  −50
เซตจำกดั 6) x x  I และ 0  x  100
เซตอนนั ต์ 7) x x  R และ 0  x  100
เซตอนนั ต์ 8) x x เป็นจำนวนเต็มคู่ 

เซตอนันต์ 9) x x เปน็ จำนวนเต็มท่หี ารด้วย 6 ลงตัว 

เซตจำกัด 10) 1, 2,3,...,99,999

เซตอนนั ต์ 11) x x เปน็ จำนวนที่มากกว่าศนู ย์ 

เซตจำกดั 12)1234
เซตจำกดั 13) a,b,c, de, f , gh,ijk

เซตจำกัด 14) x x เป็นจำนวนเต็มบวกท่ีอยู่ระหวา่ ง 10 และ 11 
เซตจำกดั 15) x x เปน็ จำนวนเต็มบวกและน้อยกวา่ 0 

เซตอนันต์ 16) ..., −3, −2, −1,01, 2,3,...

กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 25 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

เซตอนันต์ 17) x  I x  0
18) 2,2,2
เซตจำกัด 19) x  I 0  x  1
เซตจำกัด
20) x  R 60  x  61
เซตอนันต์
22) a,b,c, de, fi, gh
เซตจำกัด
เซตจำกดั 21) x x  I + และ x2 − x −12 = 0

เซตจำกดั 23) a,a,b,a,b,c
เซตจำกดั 24)x  I 1  x  2

เซตจำกัด 25) x x  I และ 0  x  10

เซตอนนั ต์ 26) x x Q และ 0  x  10

เซตจำกัด 27) เซตของประชากรในประเทศไทย ณ เวลา 10.00 น.
เซตอนนั ต์ 28) เซตของวงกลมท่ีมจี ุดศูนยก์ ลางรว่ มกนั
เซตจำกดั 29) 0.252525...
เซตจำกดั
30) x x  I − และ x2 = x

2. กำหนดเซตในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ จงเขียนเครอ่ื งหมาย  ในชอ่ งเซตจำกัดหรือเซตอนันต์

ขอ้ เซต เซตจำกัด เซตอนนั ต์
1.) {1, 2, 3, ..., 100}  
 
2.) x x  N และ x  10 

3.) x x เปน็ ตัวอักษรในภาษาอังกฤษ} 

4.) x x เป็นจำนวนเฉพาะ} 

5.) x x2 = 100 

6.) x x เปน็ ช่อื เดือนท่มี ี 31 วัน}

7.) x 2 + 2x +1 = 0

x

8.) x x เปน็ จำนวนค่บู วก}

9.) x x  I และ x2 = −1

10.) x x  I และ 4  x  5

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 26 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

3. กำหนดเซตในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ จงเขยี นเคร่อื งหมาย  ในชอ่ งเซตจำกัดหรือเซตอนันต์

ขอ้ เซต เซตว่าง ไม่เป็นเซต
ว่าง
1.) เซตของจำนวนนับท่เี ป็นจำนวนคู่ 

2.) เซตของจงั หวัดในประเทศไทย  
 
3.) เซตของเศษสว่ นท่ีมตี วั สว่ นเปน็ 2 
 
4.) เซตของจำนวนนับที่หารด้วย 3 ลงตวั  

5.) เซตของประเทศในโลก 

6.) เซตของจำนวนจรงิ  
 
7.) เซตของจำนวนตรรกยะ  

8.) เซตของเลขโดด 

9.) เซตของพยัญชนะไทย 

10.) x 2 = 9 

x

11.) x x = 2n,n เป็นจำนวนนบั 

12.) x x เป็นชอื่ จังหวดั ในประเทศไทย 

13.) x x  5

14.) x x  5 

15.) x 1  x  2

16.) {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }
17.) {x | x  I −}

18.) x x  R และ 1  x  10

19.) x x เปน็ จำานวนจริงท่ีหารด้วย 5 ลงตวั 

20.) {x | x2 + 4 x− 5 = 0}

21.) {x | x  6}
22.) {x  I + | x  −7}

23.) {x  I + | x  −7}

24.) {x  R | x  −7}
25.) {2,3, 4}
26.) {x  I −9  x  9}

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 27 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

4.กำหนดเซตในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงเขียนเคร่อื งหมาย  ในชอ่ งเป็นเซตว่างหรือไม่เป็นเซตว่าง

ข้อ เซต เซตว่าง ไมเ่ ป็นเซตว่าง

1) x x เปน็ เดอื นท่ีมี 28 วัน หรือ 29 วัน} 
 
2.) x x  N และ x  0 

3.) x x  I และ x2 +1 = 0  

4.) x  N 2x −1 = 0  

5.) x  N 3x − 2  0  

 6.) x  I + x2 = 0 
 
7.) 0  

8.)  
 
9.) 

10.) 0 

11.) เซตของจำนวนเฉพาะที่อยูร่ ะหวา่ ง 15 กบั 20 
12.) เซตของจำนวนนับทีอ่ ยู่ระหว่าง 7 กับ 8
13.) เซตของแมวท่ีมเี ขา
14.) เซตของจำนวนตรรกยะ
15.) เซตของจำนวนคบู่ วกซึง่ ไม่มากกว่า 2

16.) x x เป็นเดือนทีม่ ี 32 วนั 

17.) {x | x  R, x2 = −2}
18.) {x | x  R, x2 =16}
19.) {x | x N, x  0}
20.) {x | x  0}
21.) {x | x = 0}
22.) {x I | 0  x 1}
23.) {x R | x = x +1}

24.) x x เป็นช่ือเดอื นท่ีไม่ได้ลงทา้ ยดว้ ยคำวา่ “คม” หรอื “ยน” 

25.) {x  R | x2 + 7 = 0}
26.) {x  R | x2  x}

27.) x  I | (5x − 2)(6x + 7) = 0

28.) x x เปน็ จำนวนนับท่ีนอ้ ยกวา่ 1

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 28 คณิตศาสตร์ 1
ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

1.5 เซตท่เี ทา่ กนั

เซตท่ีเท่ากนั (equal sets or identical sets)
เซต A เทา่ กับ เซต B หมายถงึ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B และสมาชิกทุกตัว

ของเซต เซต B เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย A=B

เซต A ไมเ่ ท่ากบั เซต B หมายถึง มสี มาชกิ อย่างน้อยหนง่ึ ตัวของเซต A ท่ีไม่เปน็ สมาชิกของเซต
B และมีสมาชกิ อย่างน้อยหนึ่งตวั ของเซต เซต B ทไ่ี ม่เป็นสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว้ ย A  B
ตัวอยา่ ง

A=1, 2,3

B= x x  I + และ x  3

ดังนั้น A=B

A=x x แทนพยัญชนะในคำ “กรรมกร” 

B=x x แทนพยัญชนะในคำ “รากไม้” 

ดงั น้นั A=B

แบบฝึกหดั ชุดท่ี 7

1. ข้อใดเปน็ เซตท่ีเท่ากนั ให้เติมเครื่องหมาย = ขอ้ ใดเปน็ เซตทไี่ ม่เทา่ กันให้เติมเครอ่ื งหมาย 

1) 0,1, 2,3, 4 = 2, 4, 0,3,1

2) 5, 6, 6, 7, 7 = 7,5, 6

3) x x เปน็ จำนวนคี่ทนี่ ้อยกวา่ 10   2, 4, 0,3,1

 4) x  I x2 = 49  7

5) x  I x −1 = 0   x x2 − x = 0

6) x  I 2x = −10 = x x + 5 = 0

7) x x  I และ 3x = x2  −3,3

8) x x  I และ x − x = 1 = 

กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 29 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

2. เซตตอ่ ไปนี้มีเซตใดบา้ งที่เทา่ กนั

1) A=9, 7,5,3,1
ดงั น้นั
B=x x เป็นจำนวนคบ่ี วกท่นี ้อยกว่า 10 
C = x x = 2n −1 และ n  I +

A=B

2) C=1, 2
ดงั นัน้
 D = x  I x2 − 3x + 2 = 0

C=D

3) A=0,1,3, 7
ดังนน้ั
B=x x เปน็ จำนวนเต็มบวกท่นี ้อยกว่า 10 

AB

4) M=x x เปน็ จำนวนเตม็ และ x2 = 36
ดงั นนั้
N= 6

MN

3. จงพจิ ารณาข้อความข้างลา่ งนี้ว่า ถกู หรือ ผิด
. 1)  = 0
. 2)  = 0
. 3)  = 

.  4) ถา้ A = 1 และ B = x x2 =1 แล้ว A = B

. 5) ถ้า A = x x  และ B = x x = แล้ว A = B

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 30 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

แบบฝึกหัดเสริม 7

1.ขอ้ ใดเป็นเซตท่ีเท่ากันใหเ้ ติมเครื่องหมาย = , ข้อใดเปน็ เซตทไี่ มเ่ ทา่ กนั ให้เตมิ เคร่อื งหมาย 

1.) x  I x2  0 . 1, 4,9,16, 25,36, 49,...

2.)  . 
3.) {1, 2, 3
4.) N, E, O  1, 2, 3
5.) 1, 2, 3, 3
6.)   =. O, N, E
7.)   =
8.) 1, 2, 3 . 1, 1, 2, 2, 3
.
9.) A, U . 
= 0
10.) 6 .
. x x  N และ x  2
11.) x x + 5 = 9 . x x เป็นสระในคำวา่ “ADUM” 
.
12.) {สุนทรภู่} . x x เป็นจำนวนเตม็ และ x2 = 36
13.) {TOTOTA, HONDA, VOLVO}
14.) {สุชัย, สกุ ิจ, สรุ ศักดิ์} {x | x2 =16}

{กวเี อกของไทย}
{ย่หี อ้ รถยนต์}
{ช่อื ของคนท่ีขึน้ ต้นด้วย “สุ”}

2. เซตต่อไปนี้มเี ซตใดบ้างท่เี ทา่ กัน
1) K=2, 4, 6,8

L=x x เปน็ จำนวนคบู่ วกทน่ี ้อยกวา่ 10 

ดังนั้น K=L

2) A เปน็ เซตของตัวอักษรในคำว่า “rational”
B เปน็ เซตของตัวอกั ษรในคำวา่ “irrational”
C เปน็ เซตของตวั อักษรในคำว่า “national”

ดังนน้ั A=B

3) A=x x แทนพยัญชนะในคำว่า “กรรมกร” 
B=x x แทนพยัญชนะในคำว่า “มรรคคา” 
C = x x แทนพยัญชนะในคำวา่ “มกราคม” 
D = x x แทนพยัญชนะในคำวา่ “รากไม”้ 

ดงั นน้ั A=D

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 31 คณิตศาสตร์ 1
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

4 ) E=5,10,15, 20,...,100

F=x x = 7n และ n เป็นจำนวนนับท่ีมคี ่าน้อยกว่า 20 

ดังนน้ั E=F

5) E= 0, 1 , 2 , 3 ,...
2 3 4

 x =1− 1 และ n เปน็ จำนวนนบั 
F= x n



ดังนน้ั E=F

6) A=1, 2,3

B=x x เป็นจำนวนเตม็ บวก และ x นอ้ ยกว่าหรือเทา่ กับ 3 

ดังนน้ั A=B

7) C=1,3,5

D=x x เป็นจำนวนคีบ่ วกและน้อยกว่า13 

ดังนั้น C  D

8) A=n  I n  25
B = m  I m  25

ดังนั้น A  B

9) A=1, 2,3,3, 4, 4, 4, 4,5
B = 5, 4,3, 2,1

ดงั นั้น A=B

10) A=1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9

B=x x  R และ x  10

ดงั น้ัน A  B

11) C=x x สอดคลอ้ งกับสมการ x2 − x = 0
D=x x สอดคลอ้ งกับสมการ x −1 = 0

ดังนั้น C  D

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 32 คณิตศาสตร์ 1
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

12) A=3

B=x x  I และ 3x = x2

ดงั นั้น A  B

13) A=a,a,b

B = a,b,a

ดงั นนั้ A  B

3. เซต A และเซต B ท่ีกำหนดใหใ้ นแต่ละข้อเปน็ เซตทเี่ ทา่ กนั หรอื เทยี บเทา่ กัน จงเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ =
หรอื 
1) A=a,b,b, c, d, d และ B = d, c,b, a

A=B

2) A=0, 1 และ B = x | x2 − x =0

A=B

3) A=x | x = 2n; n = 0, 1 และ B = 0, 1

AB

4) A = (a, b), (b, c) และ B = (a, c), (c, d )

AB

5) A = 0, 1, 2, ... และ B ={x | x เป็นจำนวนเตม็ ทีม่ ากกวา่ หรอื เท่ากบั ศนู ย์}

A=B

6) A = x | x = 2n −1; n = 1, 2, ... , B ={x | x เปน็ จำนวนค่บี วก}

A=B

7) A = 0, 3, 6, 9, 12 และ B = x | x = 3n; n = 1, 2, 3, 4, 5

AB

8) A = x | ( x − 3)( x − 6) = 0 และ B = 0,

AB

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 33 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

9) A ={x | x เป็นชอ่ื วันในรอบสปั ดาห์} และ B =−3, − 2, −1, 0, 1, 2, 3

AB

10) A = 3, 3, 3, 2, 2, 1 และ B = 1, 2, 3

A=B

11) A = a, b, c, c และ B = a, b, c

A=B

12) A = 1, 2 และ B ={x | (x −1)(x − 2) = 0}

A=B

4.กำหนดให้ A ={x | x เป็นจำนวนนบั ระหว่าง 1 กบั 7}

B = 1, 2, 3, 4, 5, 6

C = 2, 3, 4, 5, 6, 7

เซตท่ีกำหนดใหต้ อ่ ไปนี้เท่ากับเซต A เซต B หรือเซต C

1) {2, 4, 5, 3, 6} A

2) {5, 6, 7, 2, 3, 4} C

3) {1, 3, 5, 2, 6, 4} B

4) {2, 4, 3, 6, 7, 5} C

5) {6, 5, 4, 3, 2} A

6) {2, 4, 6, 3, 5, 7} C

5.ถา้ A ={x | x2  25 และ x เปน็ จำนวนเตม็ }
และ B = −4, −3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4
แลว้ A เทา่ กับ B หรือไม่

A=B

6. เซตคใู่ ดต่อไปนเ้ี ป็นเซตทเี่ ท่ากัน

A = x | x2 = 25

B = x | x − 5 = 0
C = x | x + 5 = 0
D = −5,5

A=D

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 34 คณติ ศาสตร์ 1
ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4

7. กำหนดให้ A = a, B = a, a, C = a + a และ D = 2a เซตค่ใู ดเป็นเซตที่เทา่ กัน

A=B
C=D

8. กำหนดให้ A = −5, 5, B = 5, C = −5, D = 5, 5 และ E = 5, 5, − 5 เซตคู่ใดเป็นเซตท่ี

เท่ากัน
A=E และ B=D

9. จงพิจาณาข้อความต่อไปนี้วา่ ถกู หรือ ผิด
 1) ถ้า A = a,b,c และ B = c,c,b, a แลว้ จะได้วา่ A = B

 2) ถ้า A = x  R x2 − 36 = 0 และ B = −6,6 แลว้ จะได้วา่ A = B

3) ถ้า A = x  I (5x − 5)( x − 7) = 0 และ

 B = x  I + x ( x + 2)(2x −14)(5x −10) = 0 แล้วจะไดว้ า่ A = B

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 35 คณิตศาสตร์ 1
ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4

1.6 สบั เซต

สบั เซต (subsets)
เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ตอ่ เม่ือ สมาชกิ ทุกตัวของเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B เขยี นแทน

ดว้ ย A  B

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ตอ่ เมื่อ มีสมาชกิ อย่างน้อยหน่ึงตวั ของเซต A ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ
เซต B เขียนแทนดว้ ย A  B

สบั เซตแท้ (properset)
นยิ าม กำหนด A และ B เปน็ เซต

1. A เป็นสบั เซตแท้ของเซต B ก็ตอ่ เมื่อ A  B และ A  B
2. A ไมเ่ ปน็ สบั เซตแท้ของเซต B ก็ตอ่ เมื่อ A  B และ A = B

การหาจำนวนสบั เซต
ถา้ A มจี ำนวนสมาชิก n ตวั แลว้

จำนวนสบั เซตท้งั หมดของ A มี 2n ตวั
จำนวนสับเซตแทท้ ้ังหมดของ A มี 2n −1 ตวั
สับเซตของเซตจำกัดเปน็ เซตจำกัด
สบั เซตของเซตอนนั ต์เปน็ เซตจำกัดหรือเซตอนนั ต์กไ็ ด้

ตัวอยา่ ง

1. A=2,3 B=2,3, 4 ดงั น้ัน A  B

2. A=3, 4,5 B=4,5, 6 ดังนน้ั A  B

3. A=2,3 B=0, 2,3 ดงั นั้น A  B

4. A=3,4 B=3,4 ดงั นน้ั A  B

5. A=1, 2,3 B=3, 2,1 ดงั น้นั A  B

6. A=a,b, c, d B=b, a, d, c ดงั นน้ั A  B

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 36 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

แบบฝกึ หัดชุดที่ 8

1. จงหาจำนวนสับเซตของเซต A และจำนวนสับเซตของเซต A
1) กำหนดให้ A=a

จำนวนสับเซตทง้ั หมดของเซต A คือ 21 = 2

จำนวนสับเซตแท้ท้งั หมดของเซต A คือ 21 −1 = 1

สบั เซตทั้งหมดของ A คือ ,a

สับเซตแทข้ อง A คือ 

2) กำหนดให้ A=0,1 22 = 4
จำนวนสับเซตทง้ั หมดของเซต A คือ 22 −1 = 3

จำนวนสบั เซตแทท้ ั้งหมดของเซต A คือ ,0,1,0,1
,0,1
สับเซตทง้ั หมดของ A คอื

สับเซตแท้ของ A คอื

3) กำหนดให้ A=a,b,c, d 23 = 8

จำนวนสบั เซตทงั้ หมดของเซต A คอื

จำนวนสบั เซตแท้ทั้งหมดของเซต A คือ 23 −1= 7

สับเซตทง้ั หมดของ A คอื ,a,b,c, d,a,b,a,c, d,b,c, d,a,b,c, d

สับเซตแท้ของ A คอื ,a,b,c, d,a,b,a,c, d,b,c, d

สับเซตของ A ทีม่ สี มาชกิ 1 ตวั ได้แก่ a,b,c,d

สบั เซตของ A ที่มีสมาชกิ 2 ตัวได้แก่ a,b,a,c, d,b,c, d

สับเซตของ A ทีม่ ีสมาชกิ 3 ตวั ได้แก่ a,b,c,d

สบั เซตของ A ที่ไม่มสี มาชกิ ได้แก่ 

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์ 1
37 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4
2. จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนีว้ า่ ถกู หรือ ผิด
 2)   0
 1)   4  4) 0  0,1
 6) m, n, p  m, n, p
 3)      8)   m, n, p
 5) 0  0,1
 7) m  m, n, p  10) 4,5  2,4,5, 4
 9) m  m, n, p  12) 4,5  2,4,5, 4

 11) 5  2,4,5, 4

3. จงหาสบั เซตท้งั หมดของเซตท่กี ำหนดใหต้ ่อไปนี้
1) A= สบั เซตทัง้ หมดของเซต A ได้แก่



2) B=a สับเซตทั้งหมดของเซต B ไดแ้ ก่
,a

3) C=a,b สบั เซตทงั้ หมดของเซต C ไดแ้ ก่
,a , b , a, b

4) D=1,3,5 สับเซตท้งั หมดของเซต D ไดแ้ ก่
, 1 , 3 , 5 , 1, 3 , 1, 5 , 3, 5 , 1, 3, 5

5) E=0,1 สบั เซตทั้งหมดของเซต E ได้แก่
,0,1,0,1

6) F=a,a,b สับเซตท้งั หมดของเซต F ได้แก่
, a , a, b , a, a, b

กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 38 คณิตศาสตร์ 1
ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

4. กำหนดให้ A=1,2,1, 2,1, 2,3  2) 1,2  A

จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ีถูกหรอื ผิด  4) 1, 2,3  A
 1)   A

 3)1, 2  A

5. กำหนดให้ A=,, a,b, c,a,b,b, c,a, c,a,b, c

จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ถูกหรอื ผิด

 1)   A  2)   A

 3) a,b,c  A  4) a,b, c  A

 5) a,b  A  6) a,a,b  A

6. กำหนดให้ A=1, 2,3,...,10 จงหา 1024
1) จำนวนสบั เซตทัง้ หมดของ A
2) จำนวนสบั เซตแท้ท้ังหมดของ A 1023
3) จำนวนสบั เซตของ A ทม่ี ีสมาชกิ 1 ตัว
4) จำนวนสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตวั 10

5) จำนวนสับเซตของ A ทม่ี สี มาชิก 9 ตัว 1023 = 10!
6) จำนวนสบั เซตของ A ทม่ี สี มาชิกอยา่ งน้อย 8 ตวั 1!9!
7) จำนวนสบั เซตแทท้ ั้งหมดของ A ท่ีมสี มาชิกอย่างน้อย 1 ตวั
10

1024 =1−10 =1013

1022

7.จงเขียนจำนวนสับเซตของเซตตอ่ ไปนี้ 20 = 1
1)  22 = 4
2) 1, 2 25 = 32

3) a, e, i, o, u 21 = 2

4) x | x3 = −8 23 = 8
24 = 16
5) {x | x เป็นพยัญชนะในคำว่า“กนกกร” } 24 = 16
6) {x|x เปน็ จำนวนเฉพาะ และ 1 x 10} 21 = 2
7) {x|x เปน็ ตัวประกอบของ 10} 23 = 8
8) {x|x เปน็ ห.ร.ม. ของ 3 และ 5}
26 = 64
9) x | x3 − x = 0

10)3, 6,9, ...,18

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 39 คณติ ศาสตร์ 1
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

แบบฝกึ หดั เสริม 8

1. จงเขยี นสับเซตของเซตต่อไปน้ี
1) 



2) 

,
3) a,b

,{a},{b},{a, b}

4) 0,
, , 0 , 0, 

5) a, b, c

,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}

6) a,{a}

,{a},{{a}},{a,{a}}

7) K=x x  I และ ( x − 5)( x + 5) = 0 สับเซตทง้ั หมดของเซต J ไดแ้ ก่

,5,−5,5, −5

8) L=x x  N และ x2 − x − 6 = 0 สบั เซตท้ังหมดของเซต H ได้แก่

,3

9) M=x x  P และ x  7 สับเซตทงั้ หมดของเซต K ไดแ้ ก่

, 2 , 3 , 5 , 2, 3 , 2, 5 , 3, 5 , 2, 3, 5

2. กำหนดให้ A=2, 4,6 23 = 8
จำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต A คอื 23 −1 = 7
จำนวนสับเซตแทท้ ง้ั หมดของเซต A คือ
สบั เซตทัง้ หมดของ A คอื ,2,4,6,2, 4,2,6,4,6,2, 4,6
,2,4,6,2, 4,2, 6,4, 6
สับเซตแท้ของ A คอื

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 40 คณิตศาสตร์ 1
ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4

3. กำาหนดให้ A = {a, {a}, b, {c}, d} ขอ้ ความต่อไปน้ีเป็นจริงหรอื เปน็ เทจ็

T 1) aA T 2) a A

T 3) a  A T 4) a  A

F 5) cA T 6) c A
8) c  A
F 7) c  A T 10) a,b  A

T 9) a,b  A T 12) b,c, d  A
14) a,c  A
F 11) a,b A T

F 13) a,a,c, d  A T

4. กำหนดให้ A = 1, 2, 3 ขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ปน็ จรงิ หรอื เปน็ เทจ็

T 1) 1A T 2) 1  A

F 3) 1, 2,3 A T 4)   A

F 5) 2,3  A T 6) 3A

T 7) 1, 2  A T 8) 2A

T 9) 2  A F 10) 1 A

F 11) 2 A T 12) 3 A

F 13) 2 A F 14)   A

5.กำหนดให้ A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2}, C={3, 4} และ D={3, 4, 5} ข้อตอ่ ไปนเี้ ปน็ จรงิ หรอื เป็นเท็จ

T 1) B  A T 2) C  D
F 3) D   F 4) D  A
F 5)   A T 6) 3  C

T 7) 3  D T 8)   C

6. กำหนดให้ A = a, b, c, d, e , B = a, c, e และ C = b, d, e, f , g ข้อใดต่อไปนี้เปน็ จรงิ

หรือเปน็ เท็จ T 2) a  A
T 1) B  A

F 3) C  B F 4) A  C
T 5) a, d,e  A F 6) B  C

7. กำหนดให้ A={5, 6, 7, 7} B= {5, 6, 7}
C= {5, 5, 6, 6, 7}
T 2) B  C
ข้อใดตอ่ ไปน้เี ป็นจรงิ หรอื เป็นเท็จ T 4) B  A
T 1) A  B

T 3) C  A

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 41 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 4

1.7 เพาเวอรเ์ ซต

เพาเวอร์เซต (power set)
เซตของสบั เซตทง้ั หมดของ A เรียกว่า เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนดว้ ย P(A)

ควรรู้
กำหนดให้ A มจี ำนวนสมาชกิ n ตัว แลว้ จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซต A จะเท่ากบั 2n ตวั

ตัวอยา่ ง จงหาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปน้ี
1. A=2

nP (A) = 21 = 2
สับเซตทัง้ หมดของเซต A คือ 2,

เพาเวอรเ์ ซตของเซต A คอื 2,

2. B=4,5

nP (A) = 22 = 4

สบั เซตท้งั หมดของเซต A คือ 4,5,4,5,

เพาเวอร์เซตของเซต A คอื 4,5,4,5,

3. C=
nP (C) = 20 =1

สับเซตท้งั หมดของเซต C คอื 
เพาเวอร์เซตของเซต C คือ 

แบบฝึกหัดชดุ ที่ 9

1.จงหาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้

1) C=0,1,2 0 ,1 ,2 ,0,1 ,0,2, 1, 2, 0,1, 2, 

สบั เซตทง้ั หมดของเซต C 0 ,1 ,2,0,1 ,0, 2, 1, 2, 0,1, 2, 
เพาเวอร์เซตของเซต C

2) A=x x  N และ x2 − x − 6 = 0  ( x − 3)( x + 2) = 0  x = 3, −2

P (A) = 3,−2,3, −2,

กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 42 คณติ ศาสตร์ 1
ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4

3) A=x x  I + และ −1  x  2 x =1
P (A) = 1,
P (P (A)) = 1,,1,,

2. กำหนดให้ A=1, 2, B=, C=a,a,a,b จงหาจำนวนสมาชกิ ของ

1) P (A) 2) P(P(P(B)))

nP (A) = 22 = 4 ( )( )nP P P (B) = 2220 = 221 = 4

3) P(P(A)) 4) P (C)

nP (P (A)) = 222 = 164 nP (C) = 23 = 8

5) P (B) 6) P(P(C))

nP (B) = 20 = 1 nP (P (C)) = 223 = 256

3. จงหาจำนวนสมาชกิ ขอองเพาเวอรเ์ ซตของเซต A เม่อื กำหนด A ไดด้ ังนี้

1) A=a n (P (A)) = 21 = 2

2) A=0, n (P (A)) = 22 = 4

3) A=0,,0, n (P (A)) = 24 =16

4) A=1, 2,3, 4,5 n (P (A)) = 25 = 32

5) A=0,1, 2,0,1,0,1,0,1, 2 n (P (A)) = 27 =128

4. กำหนดให้ A=0,1,3,5,7,9,11 จงพจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ถูก หรอื ผิด

 1)   P (A)  5) 0,1 P (A)

 2)  P (A)  6) 1,5,7 P (A)

 3)   P (A)  7) A P (A)

 4) 0,1,7  P (A)  8) 0 P (A)

5. จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเปน็ เท็จ

T 1) ถ้า A = a แล้วจะไดว้ า่ P(A)=,a
T 2) ถ้า A = 4,7 แล้วจะไดว้ า่ P(A)=,4,7,4,7
T 3) ถา้ A =  แลว้ จะไดว้ ่า P(A)=,

T 4) ถา้ A =  จะไดว้ ่า P(A) มี  เปน็ สมาชกิ เสมอ
T 5) ทกุ เพาเวอร์เซตจะมี  เปน็ สมาชิกเสมอ
T 6) ถา้ A  B แล้วจะไดว้ า่ P(A)  P(B)

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 43 คณิตศาสตร์ 1
ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

แบบฝกึ หดั เสริม 9

1. จงเขียนจำานวนสมาชกิ ของเพาเวอรเ์ ซตของเซตต่อไปน้ี

1) A = { } n(P(A)) = 20 = 1
23 = 8
2) B = {a, 2, 3, 3} n(P(B)) = 21 = 2
22 = 4
3) C = {a} n(P(C)) = 24 = 16
22 = 4
4) D = {3, 9} n(P(D)) = 25 = 32
27 = 128
5) E = {a, b, c, d} n(P(E)) =

6) F = {-5, -4} n(P(F)) =

7) G เป็นเซตของสระในภาษาองั กฤษ n(P(G)) =

8) H เปน็ เซตของวนั ใน 1 สัปดาห์ n(P(H)) =

2. จงเขยี นเพาเวอรเ์ ซตของเซตต่อไปนี้
1) E = 



2) F = 

,
3) C = ,

,,,,

4) A = a,b

, a , b , a, b

5) B = 1, 2,3

,1,2,3,1, 2,1,3,2,3,12,3
6) E = 2,4

{,{{2}},{{4}},{{2},{4}}}

7) A=1, 2,3

{,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}}

8) A=x x  I และ x2 + 4x − 32 = 0  ( x − 4)( x + 8) = 0  x = 4, −8

P(A) = 4,−8,4, −8,

P(P(A)) = 4,−8,4, −8,,4,−8,4,4, −8,4,,

−8,4, −8,−8,,4, −8,,4,−8,4, −8
4,−8,,4,4, −8,,−8,4, −8,,

4,−8,4, −8,,

กล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 44 คณิตศาสตร์ 1
ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

3. กำหนดให้ A=0,1, 2,1, 2,1, 2,3ขอ้ ต่อไปนีถ้ ูกหรือผดิ

... ✓....1)   P(A) ... ✓....6) A  P(A)

... ✓....2)   P(A) ... ....7) A  P(A)

... ✓....3) 0,1, 2 P (A) ... ....8) 0,1, 2  P(A)

... ✓....4) 1, 2 P(A) ... ....9) 1, 2  P(A)

... ✓....5) 1, 2 P(A) ... ✓....10) 1, 2  P(A)

4.กำหนดให้ A ใดๆ และ P(A)แทนเพาเวอร์เซตของ A ถา้ A=1,1,2,2 แลว้ ขอ้ ตอ่ ไปน้ขี ้อใดไม่

เป็นจริง

ก. 1, 2 P(A) ข. 1,2 P(A) ค. 1, 2 P(A) ง. 1,1 P(A)

5. กำหนดให้ P(A) แทนเพาเวอรเ์ ซตของ A ถา้ A=1,2,3,1, 2,3, แล้ว ขอ้ ต่อไปน้ีข้อใดเป็น

จรงิ

ก. 1, 2,3 P(A) ข. 1, 2,3 P(A) ค.  P(A) ง. 1,1, 2, P(A)

6. กำหนดให้ A=,1,1,1, 2,1, 2,3 จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(1)  P(A) (2)  P(P(A))

(3) 1,1, 2,1 P(A) (4) 1,1, 2,1 P(P(A))

ข้อความ (1) – (4) มขี ้อความที่เป็นจรงิ กี่ข้อ

ก. 1 ข้อ ข. 2 ขอ้ ค. 3 ข้อ ง. 4 ขอ้

7. กำหนดให้ A=,,1,2,1, 2,1, 2,3 ข้อใดต่อไปน้ถี ูกตอ้ ง

ก. ,,1 P(P(A)) ข. ,2,1, 2 P(P(A))

ค. ,,1 P(P(A)) ง. ,1, 2,3 P(P(A))

8. กำหนดให้ A=1,1, 2,2,3,3,1, 2,3 ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถกู ตอ้ ง

ก. 1, 2,3 P (P(A)) ข. , P(P(A))

ค. ,3,3 P (P(A)) ง. ,1,2,3 P (P(A))

9. กำหนดให้ A=,1,1,2,1, 2 และ B=2,1,2 จำนวนสมาชกิ ของ P(A) − B เท่ากับข้อ

ใด
ก. 31 ข. 30 ค. 29 ง. 28

ซำ้ 1 ตวั คอื {1}

กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 45 คณิตศาสตร์ 1
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

1.8 แผนภาพเวนน์

แผนภาพเวนน์ (Venn diagram)
แผนภาพเวนน์ คือ แผนภาพทเ่ี ขียนแทนเซตดว้ ยรูปดิ ใดๆ เชน่ รปู ส่ีเหล่ยี ม รูปวงกลม วงรี หรอื รปู

ปดิ อ่นื ๆ โดยทวั่ ไปจะใชร้ ปู สีเ่ หลยี่ มผนื ผา้ แทนเอกภพสัมพัทธ์

ตวั อยา่ ง 2. เซต A และ B มสี มาชิกรว่ มกนั และ
1. เซต A,B และ C ไมม่ สี มาชิกรว่ มกัน A  B และ B  A

AU A U

B

B C 4. A  B และ B  C
3. A  B และ A = B
U A U
AB
B C

5. A  B และ A  B 6. A  C และ B  C แต่ A และ B
ไม่มสี มาชิกรว่ มกันและมีสมาชกิ บางตวั ของ C
BU ไม่อยูใ่ น A และ B
A
AB C U

แบบฝึกหัดชดุ ที่ 10

1. จงเขยี นแผนภาพแทนเซตตอ่ ไปน้ี A 2 BU
1) กำหนด U =1, 2,3,...,9 3
1 4
A=1, 2,3 5

B=2,3, 4,5

2) กำหนด U =1, 2,3,...,10 A1 5 BU
A=1,3,5, 7,9 8
B=5, 6,8,9 3 79 6
C=2, 6, 7,9
2C

กลุม่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 46 คณติ ศาสตร์ 1
A ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 4

3) กำหนด U =1, 2,3,...,10 7 BU
A=0,1, 2 8 102 3 4 9
B=0,1, 2,3, 4 5 6 C 10
C=0,1, 2,3, 4,5, 6

2. จงเติมสมาชิกของเซตพร้อมท้ังเขียนแผนภาพเวนน์ A U

1) กำหนดให้ A=a, b, c B
B=b, d, e, f 
a b d
จงหา c ef
A B= {a, b, c, d, e, f}
A B= {b}

2) กำหนดให้ A=a,b,c, d A U
ab
B=e, f , g, h B
cd ef
จงหา gh
A B= {a, b, c, d, e, f}
A B= { }

3. จงระบายสตี ามเซตทีก่ ำหนดใตแ้ ผนภาพเวนน์

1) BU 2) A BU
A

C C

A (BC) U (A B)(A C)

3) B 4) U
A
A B

C C

A (BC) (A B)(A C)

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 47 คณติ ศาสตร์ 1
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

แบบฝกึ หัดเสริม 10

จงเขยี นแผนภาพเวนนจ์ ากเซตทก่ี ำหนดให้ AU
1) U = a,b,c, d,e, f , g, h a, b, c
d,e f, g, h
A = a,b, c, d, e

2) U = 0, 1, 2, ..., 9 AU
A = 1,3,5, 7,9 0 3 1 2
B = 1, 2,5, 6,9 4 7 5 9 6

8B

3) U = 0, 1, 2, ..., 9 A BU
A = 2, 4, 6, 8 0 24 2 35
B = 2, 3, 5 1 68
79
4) U = 0, 1, 2, ..., 9
A = 2,3, 7 B A 23 U
B = 2, 3, 4, 5, 7 4 7
1 3
6 8 5

9

5) U = x | x  R A U
12
 A = x  I + x2 − 3x + 2 = 0 3
 B = x  I + x2 − 5x + 6 = 0 B

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 48 คณติ ศาสตร์ 1
A 1 3B U ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4
9) U = x | x  R
A = 1, 2 2 64
B = 3, 4, 6 5C
C = 5,6
A BU
10) U =a,b,c, d,e, f 
A=a,b, c, d a b e f
B=b, c, e d c

11) U =1, 2,3,...,10 A 1 3 7 8 BU
A=1,3,5, 7,9 4 5 9 6
B=6, 7,8,9
C=2,5, 6,9 10 2 C

จงเขยี นเซตจากแผนภาพเวนน์ท่กี ำหนดให้ U
1)
a d h
U = {a,b,c,d,e,f,g,h} b ef
c
A= {a,b,c}
B = {c,d,e,f} g

2) A B U
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 12 3 8
A= {1,2,3,4,5} 4 9 10
B = {3,4,5,7,8,9,10} 5 7
C = {4,5,6,7}
6 C