เซต

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 49 คณิตศาสตร์ 1
2) ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4
จงระบายสตี ามเซตท่ีกำหนดใต้แผนภาพเวนน์
1) AU
B
AU
AB
B
U
AB
(A  B)
3) A U 4)

B

(A  B)

5) A B U 6)

C (A − B)(A − C)

A −(BC)

7) 8)

A −(BC) (A − B)(A − C)

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 50 คณิตศาสตร์ 1
1.9 การดำเนนิ การ ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

ยเู น่ียน (Union)  เอาหมด

บทนยิ าม ยูเนียนของเซต A และ เซต B คือ เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชกิ ซ่งึ เปน็ สมาชกิ ของเซต A หรือ เซต B
หรอื ทัง้ สองเซต หรอื A B = {x | xA หรอื xB หรือ x เปน็ สมาชิกทัง้ สองเซต }

สญั ลกั ษณ์ A B

A  B=x x  A หรือ x  B

สง่ิ ทีค่ วรทราบ 2. A  = A
1. A  A = A 4. A  B = B A
6. A  A B และ B  A B
3. A  U = U

5. (A  B)C = A (BC)

1. จงแรเงา A Bแผนภาพต่อไปนี้ B AB A B

B AA

2. ให้ A ={,{1,2},3} และ B ={1,{2},{2,3}} จงหา A  B

A  B=,1, 2,3,1,2,2,3

3. ให้ A ={1, a,3,c} และ B ={3,c,5} จงหา A  B
A  B=1, a,3, c,5

4 ให้ A = {x  I+ -1  x  3} และ B ={1,{2},{2,3}} จงหา A  B

A ={1,2,3} A  B=1, 2,3,2,2,3

5. ให้สับเซตแท้ท้งั หมดของ X คือ ,{{1}},{2} และ Y = {y  I y [1,4]}
จงหา X  Y

X = 1, 2 Y = {1, 2,3, 4}
X  Y=1, 2,1,3, 4

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 51 คณิตศาสตร์ 1
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

อนิ เตอรเ์ ซกชนั บทนยิ าม อนิ เตอร์เซคชันของเซต A และ เซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชกิ ซ่ึงเปน็
(Intersection) สมาชิกของเซต A และ เซต B
สัญลักษณ์ A B
 เอาซ้ำ
A  B=x x  A และ x  B

สง่ิ ทค่ี วรทราบ 2. (A  B)  C=A  (B  C)
1. A B=BA
4. A  U = A
3. A A= 6. ถา้ A B=A C สรุปไม่ไดว้ ่า B=C
5. A A=A

1. จงแรเงา A B แผนภาพตอ่ ไปน้ี

B AA B AB A B

2. กำหนดให้ A = 2, 3 , B = 1, 2, 3, 4 จงหา A B
A  B=2,3

3. กำหนดให้ A = 1, 2, 3 , B = 1,3,5,7 จงหา A B
A  B=1,3

4. กำหนดให้ A = 1, 2 , B = 2,3 จงหา A B
A  B=2

5. กำหนดให้ A =   , B = 4,5 จงหา A B
A  B= 

กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 52 คณิตศาสตร์ 1
ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4

ผลตา่ ง (Difference)  เอาหนา้ ไมเ่ อาหลงั

บทนิยาม ผลต่างของเซต A และ เซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซงึ่ เป็นสมาชิกของเซต A ซ่ึงไม่เปน็
สมาชิกของเซต B
สญั ลักษณ์ A - B

A - B=x x  A แต่ x  B

1. จงแรเงา A - B แผนภาพต่อไปน้ี

B AA B AB A B

2. ให้ A ={1,2,3,4} และ B ={3,4,5,7,8} จงหา A − B และ B− A
A − B = 1, 2
B − A = 5,7,8

3. กำหนดให้ A ={1,3,5} และ B ={1,2,3}จงหา A − B และ B− A
A − B = 5
B − A = 3

4. กำหนดให้ A ={−3,−1,0,1,2,3,8} และ B = {x x  I + }จงหา A − B และ B− A
A − B = −3, −1,0
B − A = 4,5, 6, 7,9,10,11,...

5. กำหนดให้ A = 1, 2, 3 , B = 1,3,5,7 จงหา A − B และ B− A
A − B=2
B − A=5,7

6. กำหนดให้ A =   , B = 4,5 จงหา A − B และ B− A
A − B= 
B − A=4,5

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 53 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

คอมพลีเมนต์ (Complement) )  ไมเ่ อาตวั เอง

บทนยิ าม คอมพลีเมน้ ต์ ของเซต A คือ เซตทีป่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ซงึ่ เปน็ สมาชิกของ U แต่ไมเ่ ปน็ สมาชกิ
ของเซต A
สญั ลักษณ์ A

A=x x  U แต่ x  A = x x  A

1. U ={1,2,3,4,...,10}

A = {2,4,5,7,8} และ B = {1,2,3,4}
จงหา A B และ (A  B)

A ={1,3,6,9,10}

B ={5,6,7,8,9,10}

A  B ={6,9,10}

(A  B) = {1,2,3,4,5,7,8}
(A  B) = {6,9,10}

2. ให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8} A = {1,2,3,6} B = {1,2,4,8} และ C = {1,3,5,7}
จงหา [(A  B) - C]

(A  B) = {1,2}

(A  B) - C = {2}

[(A  B) - C] = {1,3,4,5,6,7,8}

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 54 คณติ ศาสตร์ 1
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

แบบฝกึ หัดเสรมิ 11

1. กำหนดเซต A และ B ตอ่ ไปน้ีจงหา A B ,A  B ,A − B ,B− A
1) A = a,b , B=b, c, d

A  B=a,b, c, d

A  B=b

A − B=a

B − A=c, d

2) A = a,b,a,b , B=a,b,c,a,b, c
A  B=a,b,c,a,b,c

A  B=a,b

A − B=a,b
B − A=c,a,b,c

2. กำหนดให้ U = {0, 1, 2, ..., 9}
จงหา A= {0, 2, 3, 5}
B= {0, 2, 7, 8}

A B= {0, 2, 3, 5, 7, 8
(A  B) = {1, 4, 6, 9}

A B= {0, 2}
(A  B) = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A= {1, 4, 6, 7, 8, 9}
B= {1, 3, 4, 5, 6, 9}
AB= {1, 4, 6, 9}
AB= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 55 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 4

3. กำหนดให้แผนภาพเป็นดังต่อไปนี้ จงหา A B, (A  B) , A B , (A  B)

1) B U A  B = 2,3, 4,5
2 A3 (A  B) = 1,6
4 5 1 A  B = 3, 4
6

(A  B) = 1, 2,5,6

2) BU A  B = 2,3, 4,5, 7
(A  B) = 1,6
A A  B = 2
(A  B) = 1,3, 4,5,6,7
3 2 4 1
7 5 6

4. ถ้า AB= , n (A) = 2 , n(B) = 7 จงเขียนแผนภาพเวนน์แสดงความสัมพนั ธ์

n(A) = 2 U
n(B) = 7
A
B0

n(A  B) = 0

5. ถา้ n(A  B) =2 , n (A) =11 , n(B) = 9 จงเขียนแผนภาพเวนนแ์ สดงความสัมพันธ์

n(A − B) = 9 U
n(B−A) = 7
A
B

n(A  B) = 2

6. ถ้า n(A  B) =6 , n (A) = 4 , n(B) = 5 จงเขียนแผนภาพเวนน์แสดงความสัมพันธ์

n(A − B) =1 U
n(B−A) = 2
A
B

n(A  B) = 3

7. ถ้า n(A - B) =3 , n (B - A) = 3 , n(A  B) = 10 จงเขียนแผนภาพเวนน์แสดงความสัมพันธ์

n(A − B) = 3 U
n(B−A) = 3
A
B

n(A  B) = 4

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 56 คณติ ศาสตร์ 1
ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

1.10 จำนวนสมาชกิ ของเซตจำกดั

1) จำนวนสมาชิกของยูเนยี นของเซตจำกดั 2 เซต

กรณที ีไ่ ม่มีสว่ นที่ซ้อนทับกัน กรณที ี่มสี ่วนทซี่ ้อนทบั กนั
A BU
A BU
n(B− A)
n(A− B)

n(A  B) = n(A) + n(B) n(A B)

n(A  B) = n(A) + n(B) − n (A  B)

1. จากการสอบถามนักเรียน 100 คนพบว่า นักเรียน 40 คน ชอบวิชาฟิสิกส์, นักเรียน 35 คน ชอบวิชา

คณิตศาสตร์, นักเรียนชอบวิชาฟิสิกส์และวิชาคณิตศาสตร์ 15 คน จงหาจำนวนนักเรียนที่ไม่ชอบเรียนทั้งสอง

วชิ า

วธิ ที ำ U แทนเซตของกล่มุ นักเรยี นทีถ่ กู สอบถาม

ฟิสิกส์ คณิต จากสูตร n (A  B) = n(A) +n (B) − n (A  B)

25 15 20 n (A  B) = 40 + 35 −15 = 60

n (A  B) = 100 − 60 = 40

ดังนั้น จำนวนนักเรียนที่ไม่ชอบเรยี นทั้งสองวชิ ามี 40 คน

2. ในการสอบถามนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จำนวน 350 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเกี่ยวกับการศึกษาตอ่

ปรากฏว่า มีผ้ตู อ้ งการศกึ ษาต่อจำนวน 280 คน ตอ้ งการทำงานจำนวน 40 คน, ต้องการศกึ ษาต่อและต้องการ

ทำงานจำนวน 25 คน จงหาจำนวนนักเรยี นทีไ่ ม่ต้องการทงั้ สองอยา่ ง

วิธีทำ U แทนเซตของช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 ท่ีถูกสอบถาม

ศึกษาต่อ ทำงาน จากสูตร n (A  B) = n(A) +n (B) − n (A  B)
n (A  B) = 280 + 40 − 25 = 295

255 25 15 n (A  B) = 350 − 295 = 55

ดงั นัน้ จำนวนนกั เรยี นท่ีไม่ตอ้ งการท้งั สองอย่างมี 55 คน

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 57 คณติ ศาสตร์ 1
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

3. ระหว่างปิดภาคเรียนคร้งั หนึง่ เดก็ นักเรยี นคนหนึง่ ได้ไปพักผอ่ นท่ีชายทะเลพัทยาตลอดชว่ งเวลาทเี่ ขา

พักผ่อนทพ่ี ัทยา เขาสงั เกตว่า

1. มีฝนตก 5 วัน ในช่วงเชา้ หรือชว่ งเย็น

2. ถา้ มีวันใดฝนตกในชว่ งเช้า แลว้ ฝนจะไม่ตกในชว่ งเยน็

3. มอี ยู่ 4 วันทฝี่ นไม่ตกในชว่ งเช้า

4. มอี ยู่ 3 วันท่ฝี นไมต่ กในชว่ งเยน็

ถามวา่ นกั เรยี นคนนไ้ี ปพกั ผ่อนท่ีชายทะเลพัทยาก่วี นั

วิธีทำ U แทนเซตของวนั ที่ไปพักผอ่ น

ตกเชา้ ตกเยน็ (4− x)+(3− x) = 5

4−x  3−x x 7 −2x = 5
x =1

n (U ) = 5+1= 6

ดงั นั้น นกั เรียนคนนไี้ ปพกั ผ่อนที่ชายทะเลพทั ยา 6 วัน

4. จากการสอบถามนักเรียน 190 คนพบว่า นักเรียน 95 คน ชอบวิชาฟิสิกส์, นักเรียน 105 คน ชอบวิชา

คณติ ศาสตร์, นักเรยี นชอบวชิ าฟิสกิ สแ์ ละวิชาคณติ ศาสตร์ 30 คน จงหา

1. จำนวนนกั เรยี นทช่ี อบวิชาฟิสกิ ส์เพียงวิชาเดียว

2. จำนวนนักเรียนทชี่ อบวชิ าคณิตศาสตรเ์ พยี งวิชาเดียว

3. จำนวนนกั เรยี นท่ีชอบอย่างน้อย 1 วิชา

4. จำนวนนักเรียนที่ชอบอยา่ งมาก 1 วชิ า

วธิ ที ำ U แทนเซตของกลุม่ นกั เรียนทีถ่ ูกสอบถาม

ฟิสิกส์ คณิต 1. จำนวนนักเรยี นท่ีชอบวชิ าฟสิ ิกสเ์ พยี งวิชาเดยี วมี 65 คน

65 30 85 2. จำนวนนักเรียนทชี่ อบวิชาคณติ ศาสตร์เพยี งวชิ าเดยี วมี 85 คน
3. จำนวนนกั เรียนท่ชี อบอย่างนอ้ ย 1 วิชามี 180 คน

4. จำนวนนักเรียนที่ชอบอย่างมาก 1 วชิ ามี 150 คน

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 58 คณิตศาสตร์ 1
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4

5. จากการสำรวจความคิดเห็นของนกั เรยี นกลุ่มหนง่ึ จำนวน 80 คน พบว่า มีนักเรยี นชอบเรียนคณิตศาสตร์ 51
คน มีนักเรียนทชี่ อบเรียนภาษาองั กฤษ 32 คน มนี ักเรยี นทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตร์และภาษาองั กฤษ 15 คน
จงหา

1) จำนวนนักเรยี นท่ีชอบเรียนคณิตศาสตร์ หรือ ภาษาอังกฤษ
2) จำนวนนักเรยี นทไ่ี มช่ อบเรียนคณิตศาสตร์ และไมช่ อบเรียนภาษาองั กฤษ
3) จำนวนนักเรยี นที่ชอบเรยี นคณิตศาสตร์ แตไ่ มช่ อบเรียนภาษาอังกฤษ
4) จำนวนนักเรยี นที่ชอบเรยี นภาษาอังกฤษ แตไ่ ม่ชอบเรียนคณติ ศาสตร์
วิธีทำ

คณติ องั กฤษ 1) จำนวนนกั เรยี นทีช่ อบเรียนคณติ ศาสตร์ หรอื ภาษาองั กฤษ (68)

36 15 17 2) จำนวนนักเรียนท่ไี ม่ชอบเรยี นคณติ ศาสตร์ และไม่ชอบเรยี นภาษาองั กฤษ (12)
12 3) จำนวนนกั เรียนทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตร์ แตไ่ มช่ อบเรียนภาษาองั กฤษ (36)
4) จำนวนนกั เรียนทช่ี อบเรียนภาษาอังกฤษ แต่ไมช่ อบเรียนคณิตศาสตร์ (17)

6. จากการตรวจสุขภาพของคนกลุ่มหนึ่ง พบว่า มีคนที่สายตาสั้นจำนวน 29% ของคนทั้งหมด มีคนที่ฟันผุ

จำนวน 52% ของคนทั้งหมด และมีคนที่สายตาไม่สั้น และฟันไม่ผุ 25% ของคนทั้งหมด จงหาจำนวน

เปอรเ์ ซ็นตข์ อง

1. คนที่สายตาส้นั หรือฟนั ผุ 2. คนทีส่ ายตาสน้ั และฟันผุ

3. คนทส่ี ายตาสน้ั แต่ฟนั ไมผ่ ุ 4. คนที่สายตาไมส่ ้ัน แต่ฟนั ผุ

วิธที ำ

สายตาส้นั ฟนั ผุ

23 6 46
25

1. คนที่สายตาสนั้ หรอื ฟันผุ (75) 2. คนท่ีสายตาสน้ั และฟนั ผุ (6)
3. คนทสี่ ายตาสั้น แตฟ่ ันไม่ผุ (23) 4. คนทีส่ ายตาไม่สัน้ แตฟ่ ันผุ (46)

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 59 คณิตศาสตร์ 1
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

7. จากการสำรวจนักเรียนหอ้ งหนึ่งจำนวน 50 คน ซึ่งแต่ละคนเคยไปเที่ยวสิงคโปรห์ รือฮ่องกงมาแลว้ ปรากฏ

วา่ มีนักเรยี นทไ่ี มเ่ คยไปสิงคโปร์มี 25 คน ไมเ่ คยไปฮ่องกง 18 คน จงหาวา่ นกั เรียนท่ีเคยไปทั้งสองประเทศมีกี่

คน

วธิ ีทำ

สงิ คโปร์ ฮอ่ งกง n (A  B) = n (A) +n (B) − n (A  B)

18 x 25 50 =18+25 + x
x=7

ดังน้ันนักเรียนท่เี คยไปทงั้ สองประเทศมี 7 คน

8. ในหมู่บ้านแห่งหนึ่งมีผู้อาศัยจำนวน 400 ครอบครัว จากการสำรวจ พบว่า มีครอบครัวที่ปลูกทุเรียน 150
ครอบครัว มีครอบครัวที่ไม่ปลูกมังคุด 280 ครอบครัว และมีครอบครัวท่ีทุเรียนแต่ไม่ไม่ปลูกมังคุด 72
ครอบครัว จงหา

1) จำนวนครอบครัวท่ีปลูกทเุ รยี นและปลกู มังคุด
2) จำนวนครอบครัวที่ปลกู ทเุ รยี นหรือปลกู มงั คุด
วิธที ำ

ทเุ รยี น มงั คดุ 1) จำนวนครอบครัวทีป่ ลกู ทุเรียนและปลกู มังคุด (78)
72 78 42 2) จำนวนครอบครวั ทปี่ ลกู ทเุ รียนหรอื ปลกู มังคุด (192)

208

กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 60 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

แบบฝึกหดั เสรมิ 12

1. จากการสอบถามนักเรียน 100 คนพบว่า นักเรียน 50 คน ชอบวิชาฟิสิกส์, นักเรียน 45 คน ชอบวิชา

คณิตศาสตร์, นักเรียนชอบวิชาฟิสิกส์และวิชาคณิตศาสตร์ 20 คน จงหาจำนวนนักเรียนท่ีไม่ชอบเรียนทั้งสอง

วชิ า

วธิ ีทำ U แทนเซตของกลุม่ นักเรียนท่ีถูกสอบถาม

ฟิสกิ ส์ คณิต จากสตู ร n (A  B) = n(A) +n (B) − n (A  B)

30 20 25 n (A  B) = 50 + 45 − 20 = 75

n (A  B) = 100 − 75 = 25

ดังน้ัน จำนวนนักเรียนทไี่ มช่ อบเรยี นทัง้ สองวิชามี 25 คน

2. ในการสอบถามนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จำนวน 200 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเกี่ยวกับการศึกษาต่อ

ปรากฏว่า มผี ตู้ ้องการศึกษาต่อจำนวน 150 คน ต้องการทำงานจำนวน 20 คน, ตอ้ งการศึกษาต่อและต้องการ

ทำงานจำนวน 13 คน จงหาจำนวนนักเรียนทไี่ ม่ตอ้ งการทงั้ สองอย่าง

วิธที ำ U แทนเซตของชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ทีถ่ ูกสอบถาม

ศึกษาต่อ ทำงาน จากสตู ร n (A  B) = n(A) +n (B) − n (A  B)
n (A  B) = 150 + 20 −13 = 157

137 13 7 n (A  B) = 200 −157 = 43

ดงั นน้ั จำนวนนกั เรยี นท่ไี มต่ ้องการท้งั สองอยา่ งมี 43 คน

3. จากการสอบถามนักเรียน 100 คนพบว่า นักเรียน 65 คน ชอบวิชาฟิสิกส์, นักเรียน 40 คน ชอบวิชา

คณิตศาสตร์, นักเรยี นชอบวชิ าฟิสิกสแ์ ละวชิ าคณติ ศาสตร์ 23 คน จงหา

1. จำนวนนกั เรียนทช่ี อบวชิ าฟิสกิ ส์เพยี งวชิ าเดยี ว

2. จำนวนนักเรยี นทช่ี อบวชิ าคณติ ศาสตร์เพยี งวชิ าเดยี ว

3. จำนวนนักเรยี นทช่ี อบอยา่ งนอ้ ย 1 วิชา

4. จำนวนนักเรยี นท่ีชอบอย่างมาก 1 วชิ า

วธิ ีทำ U แทนเซตของกล่มุ นักเรยี นท่ถี กู สอบถาม

ฟิสิกส์ คณิต 1. จำนวนนักเรียนทีช่ อบวชิ าฟิสิกส์เพยี งวิชาเดยี วมี 42 คน

42 23 17 2. จำนวนนกั เรยี นทีช่ อบวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พียงวชิ าเดยี วมี 17 คน
3. จำนวนนักเรยี นทช่ี อบอยา่ งน้อย 1 วิชามี 82คน

4. จำนวนนกั เรียนทช่ี อบอยา่ งมาก 1 วชิ ามี 59 คน

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 61 คณติ ศาสตร์ 1
ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4

4. จากการสำรวจความคิดเห็นของนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 120 คน พบว่า มีนักเรียนชอบเรียนคณิตศาสตร์
58 คน มนี กั เรยี นท่ีชอบเรียนภาษาองั กฤษ 47 คน มีนกั เรียนทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตรแ์ ละภาษาองั กฤษ 26 คน
จงหา

1) จำนวนนกั เรียนท่ีชอบเรียนคณติ ศาสตร์ หรอื ภาษาองั กฤษ
2) จำนวนนกั เรยี นทไ่ี มช่ อบเรยี นคณิตศาสตร์ และไม่ชอบเรยี นภาษาองั กฤษ
3) จำนวนนกั เรยี นทีช่ อบเรียนคณติ ศาสตร์ แตไ่ มช่ อบเรียนภาษาองั กฤษ
4) จำนวนนกั เรียนทชี่ อบเรยี นภาษาองั กฤษ แตไ่ ม่ชอบเรียนคณติ ศาสตร์
วิธที ำ

คณิต องั กฤษ 1) จำนวนนักเรยี นทีช่ อบเรียนคณิตศาสตร์ หรอื ภาษาองั กฤษ (79)

32 26 21 2) จำนวนนกั เรียนท่ไี ม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ และไม่ชอบเรยี นภาษาองั กฤษ (41)
41 3) จำนวนนกั เรียนทีช่ อบเรียนคณิตศาสตร์ แต่ไม่ชอบเรียนภาษาองั กฤษ (32)

4) จำนวนนักเรยี นทีช่ อบเรียนภาษาอังกฤษ แต่ไมช่ อบเรียนคณิตศาสตร์ (21)

5. จากการตรวจสุขภาพของคนกลุ่มหนึ่ง พบว่า มีคนที่สายตาสั้นจำนวน 29% ของคนทั้งหมด มีคนที่ฟันผุ

จำนวน 52% ของคนทั้งหมด และมีคนที่สายตาไม่สั้น และฟันไม่ผุ 25% ของคนทั้งหมด จงหาจำนวน

เปอร์เซน็ ตข์ อง

1. คนท่สี ายตาสัน้ หรอื ฟนั ผุ 2. คนทส่ี ายตาสั้น และฟันผุ

3. คนทสี่ ายตาส้นั แตฟ่ ันไมผ่ ุ 4. คนทส่ี ายตาไมส่ ั้น แต่ฟนั ผุ

วธิ ที ำ

สายตาส้นั ฟันผุ

35 11 31

23

1. คนทส่ี ายตาสัน้ หรอื ฟนั ผุ (77) 2. คนทสี่ ายตาส้นั และฟนั ผุ (11)
3. คนทสี่ ายตาสน้ั แต่ฟนั ไม่ผุ (35) 4. คนท่สี ายตาไม่สัน้ แต่ฟันผุ (31)

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 62 คณติ ศาสตร์ 1
ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4

6. จากการสำรวจนักเรียนหอ้ งหนึ่งจำนวน 130 คน ซง่ึ แต่ละคนเคยไปเทยี่ วสงิ คโปรห์ รือฮ่องกงมาแล้ว ปรากฏ

ว่า มีนักเรียนทไ่ี มเ่ คยไปสิงคโปร์มี 40 คน ไมเ่ คยไปฮ่องกง 32 คน จงหาว่านกั เรยี นท่ีเคยไปท้ังสองประเทศมีก่ี

คน

วิธีทำ

สิงคโปร์ ฮ่องกง n (A  B) = n (A) +n (B) − n (A  B)

32 x 40 130 = 32+40 + x
x = 58

ดงั น้ันนักเรยี นทเ่ี คยไปทัง้ สองประเทศมี 58 คน

7. ในหมู่บ้านแห่งหนึ่งมีผู้อาศัยจำนวน 192 ครอบครัว จากการสำรวจ พบว่า มีครอบครัวที่ปลูกทุเรียน 100
ครอบครัว มีครอบครัวที่ไม่ปลูกมังคุด 155 ครอบครัว และมีครอบครัวที่ทุเรียนแต่ไม่ไม่ปลูกมังคุด 45
ครอบครัว จงหา

1) จำนวนครอบครวั ทป่ี ลูกทุเรียนและปลูกมังคดุ
2) จำนวนครอบครวั ท่ีปลกู ปลูกทุเรยี นหรอื ปลกู มังคดุ
วธิ ีทำ

ทเุ รียน มังคุด 1) จำนวนครอบครัวทป่ี ลูกทุเรยี นและปลูกมงั คดุ (55)
45 55 37 2) จำนวนครอบครวั ท่ปี ลูกทุเรียนหรอื ปลูกมังคดุ (137)

55

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 63 คณิตศาสตร์ 1
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

2) จำนวนสมาชกิ ของยเู นียนของเซตจำกัด 3 เซต

AB

C

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

1. จากการสอบถามนักเรยี น 70 คน ปรากฏวา่

29 คน ชอบเรียนคณติ ศาสตร์ 45 คน ชอบเรียนฟิสิกส์

34 คน ชอบเรียนเคมี 11 คน ชอบเรียนคณติ ศาสตร์และฟิสิกส์

23 คน ชอบเรยี นฟสิ ิกสแ์ ละเคมี 15 คน ชอบเรยี นคณติ และเคมี

ไม่มีชอบเรียนวิชาใดเลยมี 2 คน

จงหา จำนวนนกั เรียนท่ีชอบเรยี นท้ังสามวชิ ามีกค่ี น

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

70 − 2 = 29 + 45 + 34 −11− 23 −15 + n (A  B  C)

68 = 59 + n (A  B  C) คณติ ศาสตร์ 2 20 ฟสิ ิกส์
n(A BC) = 9 12
6 9 14
ดังน้ัน จำนวนนักเรยี นท่ชี อบเรยี นท้ังสามวชิ ามี 14 คน

5 เคมี

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 64 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4

2. จากการสำรวจนักเรียนจำนวน 200 คนถึงความชื่นชอบอาหารโรงเรียน พบว่า ชอบแกงเขียวหวานมี 130
คน แกงสม้ มี 100 คน ก๋วยเตยี๋ วมี 110 คน ชอบแกงเขยี วหวานและแกงสม้ มี 60 คน ชอบแกงสม้ และก๋วยเตีย๋ ว
มี 55 คน ชอบแกงเขียวหวานและก๋วยเต๋ยี วมี 45 คน จำนวนนกั เรยี นทชี่ อบท้งั สามอยา่ งมกี คี่ น
วธิ ีทำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

200 = 130 +100 +110 − 60 − 55 − 45 + n (A  B  C)

n (A  B  C) = 20

ดงั นนั้ จำนวนนกั เรยี นทช่ี อบท้ังสามอย่างมี20 คน

3. จากการสัมภาษณน์ กั เรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 จำนวน 120 คน ของโรงเรียนแหง่ หน่ึง เก่ยี วกบั คณะที่

ตอ้ งการเขา้ ไปศึกษาต่อ ปรากฎผลดงั นี้

นเิ ทศศาสตร์ 25 คน

วศิ วกรรมศาสตร์ 45 คน

สถาปัตย์ 48 คน

เทศศาสตรแ์ ละวศิ วกรรมศาสตร์ 6 คน

นเิ ทศศาสตร์และสถาปัตย์ 10 คน

วิศวกรรมศาสตร์และสถาปัตย์ 8 คน

ไมส่ นใจคณะใดเลยในสามคณะนี้ 21 คน

จงหาจำนวนนกั เรยี นท่ีตอ้ งการเขา้ ศกึ ษาทงั้ สามคณะ

วิธีทำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

110 −11 = 25 + 45 + 48 − 6 −10 − 8 + n (A  B  C)

n(A BC) = 5

ดงั นน้ั จำนวนนักเรยี นท่ตี อ้ งการเข้าศึกษาทง้ั สามคณะมี 5 คน

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 65 คณติ ศาสตร์ 1
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

4. จากการสอบถามผู้ซื้อเครื่องดื่มจากร้านคา้ แห่งหนึ่ง จำนวน 69 คน ซึ่งต้องตอบว่าชอบเครือ่ งดืม่ อย่างน้อย
1 อย่าง พบว่า ผู้ที่ชอบชาเขียว 30 คน ผู้ที่ชอบกาแฟ 27 คน ผู้ที่ชอบชอคโกแลต 41 คน ชาเขียวและกาแฟ
19 คน กาแฟและชอคโกแลต 7 คน ชาเขียวและชอคโกแลต 8 คน จำนวนผู้ที่ชอบเครื่องดื่มทั้งสามอย่างมีก่ี
คน
วธิ ีทำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

69 = 30 + 27 + 41−19 − 7 − 8 + n (A  B  C)

69 = 64 + n (A  B  C)

n(A BC) = 5

ดงั นน้ั จำนวนผ้ทู ี่ชอบเครอื่ งดืม่ ทงั้ สามอยา่ งมี 5 คน

5. จากการสอบถามผู้ท่ีชนื่ ชอบซีรยี่ ์150 คน ผลปรากฏวา่ สามารถแบ่งกลุ่มออกเปน็ 2 กลมุ่ คอื กลุ่มคนที่ชอบ

ดูซีร่ยี แ์ ละกลมุ่ คนท่ีไม่ชอบดซู รี ่ีย์ โดยกลมุ่ คนท่ีชอบดูซีร่ีย์มีรายละเอียดดงั น้ี

ชอบดู start up 59 คน

ชอบดู Kingdom 56 คน

ชอบดู vagabond 70 คน

ชอบดู start up และ ชอบดู Kingdom 25 คน

ชอบดู start up และ ชอบดู vagabond 27 คน

ชอบดู Kingdom และ ชอบดู vagabond 23 คน

ไมช่ อบดซู รี ีย่ ์ 27 คน

มคี นท่ีชอบดูซร่ี ีย่ ท์ ้ังสามเร่ืองกคี่ น
วธิ ที ำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

150 − 27 = 59 + 56 + 70 − 25 − 27 − 23 + n (A  B  C)

123 = 110 + n (A  B  C)

n (A  B  C) = 13

ดังนั้น จำนวนคนที่ชอบดูซรี ย่ี ท์ ้ังสามเร่อื งมี 13 คน

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 66 คณติ ศาสตร์ 1
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

6. ผลการสอบวชิ าภาษาไทย สัมคมและคณิตศาสตร์ ของนักเรยี น 100 คน มดี ังน้ี

ผู้ทส่ี อบผา่ นท้ัง 3 วิชา 10 คน

ผู้ท่สี อบผา่ นภาษาไทย 47 คน

ผ้ทู สี่ อบผา่ นคณิตศาสตร์ 50 คน

ผู้ท่ีสอบผา่ นสงั คม 48 คน

มีผ้สู อบผา่ นคณิตศาสตรแ์ ละสงั คม 19 คน

มผี ูส้ อบผ่านคณิตศาสตร์และภาษาไทย 21 คน

มีผสู้ อบผา่ นสงั คมและภาษาไทย 24 คน

จงหาวา่ ผู้สอบตกทัง้ สามวชิ ามีกี่คน

วิธีทำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

n (A  B  C) = 47 + 50 + 48 −19 − 21− 21+10

n (A  B  C) = 91

ผู้สอบตกทงั้ สามวชิ ามี 100 - 91 = 9คน

7. ในการสำรวจความนิยมการท่องเที่ยวในต่างประเทศจากคนทั้งหมด 600 คน พบว่า ชอบไปเที่ยวประเทศ
ฮ่องกง 250 คน ชอบเที่ยวประเทศญีป่ ุ่น 310 คน ชอบไปเที่ยวประเทศเกาหลี 230 คนชอบไปเที่ยวประเทศ
ฮ่องกงและประเทศเกาหลี 79 คน ชอบไปเที่ยวประเทศญีป่ ุ่นและประเทศเกาหลี 95 คน ชอบไปเที่ยวทัง้ สาม
ประเทศมี 57 คน อยากทราบว่าจำนวนคนทชี่ อบไปเที่ยวเกาหลแี ละญป่ี ุ่นแตไ่ มช่ อบเกาหลีมกี ค่ี น
วธิ ีทำ

600 = 250 + 310 + 230 − 79 − 95 − n (B  C) + 57

600 = 673 − n (B  C)

n (B  C) = 73

จำนวนคนทช่ี อบไปเทีย่ วฮอ่ งกงและญีป่ นุ่ 73 คน
ดงั น้นั จำนวนคนที่ชอบไปเทย่ี วเกาหลแี ละญปี่ ุ่นแตไ่ มช่ อบเกาหลมี ี 73 – 57 = 16 คน

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 67 คณติ ศาสตร์ 1
ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

แบบฝึกหัดเสรมิ 13

1. จากการสอบถามนักเรยี น 130 คน ปรากฏว่า

53 คน ชอบเรียนคณติ ศาสตร์ 64 คน ชอบเรียนฟสิ ิกส์

61 คน ชอบเรยี นเคมี 21 คน ชอบเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

22 คน ชอบเรยี นฟิสิกสแ์ ละเคมี 24 คน ชอบเรียนคณติ และเคมี

ไม่มีชอบเรยี นวชิ าใดเลยมี 2 คน

จงหา จำนวนนกั เรียนที่ชอบเรียนทั้งสามวชิ ามกี ค่ี น

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

130 − 5 = 53 + 64 + 61− 21− 22 − 24 + n (A  B  C)

125 = 111+ n (A  B  C) คณิตศาสตร์ 7 35 ฟิสิกส์
n (A  B  C) = 14 22 10 14 8

ดังนนั้ จำนวนนักเรยี นทช่ี อบเรียนทง้ั สามวิชามี 14 คน

29 เคมี 5

2. จากการสำรวจนักเรียนจำนวน 300 คนถึงความชื่นชอบอาหารโรงเรียน พบว่า ชอบแกงเขียวหวานมี 190
คน แกงส้มมี 160 คน กว๋ ยเตีย๋ วมี 150 คน ชอบแกงเขยี วหวานและแกงสม้ มี 72 คน ชอบแกงส้มและกว๋ ยเต๋ียว
มี 83 คน ชอบแกงเขยี วหวานและกว๋ ยเตย๋ี วมี 69 คน จำนวนนักเรยี นทช่ี อบท้งั สามอยา่ งมีกีค่ น
วิธที ำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

300 = 190 +160 +150 − 72 − 83 − 69 + n (A  B  C)

n (A  B  C) = 24

ดงั นั้น จำนวนนกั เรยี นท่ีชอบทัง้ สามอยา่ งมี 24 คน

กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 68 คณิตศาสตร์ 1
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 4

3. จากการสมั ภาษณ์นักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 จำนวน 180 คน ของโรงเรียนแห่งหน่ึง เกย่ี วกบั คณะท่ี

ต้องการเขา้ ไปศึกษาต่อ ปรากฎผลดังน้ี

นิเทศศาสตร์ 87 คน

วิศวกรรมศาสตร์ 93 คน

สถาปตั ย์ 87 คน

เทศศาสตร์และวศิ วกรรมศาสตร์ 37 คน
นเิ ทศศาสตร์และสถาปตั ย์ 24 คน
วิศวกรรมศาสตร์และสถาปตั ย์ 39 คน

ไมส่ นใจคณะใดเลยในสามคณะนี้ 8 คน

จงหาจำนวนนกั เรียนที่ตอ้ งการเข้าศึกษาทง้ั สามคณะ
วิธีทำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

180 − 8 = 87 + 93 + 87 − 37 − 24 − 39 + n (A  B  C)

n(A BC) = 5

ดงั นน้ั จำนวนนกั เรยี นทีต่ ้องการเขา้ ศึกษาท้ังสามคณะมี 5 คน

4. จากการสอบถามผู้ซ้ือเครื่องดืม่ จากร้านค้าแห่งหนึ่ง จำนวน 69 คน ซึ่งต้องตอบว่าชอบเครื่องดื่มอย่างน้อย
1 อย่าง พบว่า ผู้ที่ชอบชาเขียว 30 คน ผู้ที่ชอบกาแฟ 27 คน ผู้ที่ชอบชอคโกแลต 41 คน ชาเขียวและกาแฟ
19 คน กาแฟและชอคโกแลต 7 คน ชาเขียวและชอคโกแลต 8 คน จำนวนผู้ที่ชอบเครื่องดื่มทั้งสามอย่างมีก่ี
คน
วิธีทำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

69 = 30 + 27 + 41−19 − 7 − 8 + n (A  B  C)

69 = 64 + n (A  B  C)

n(A BC) = 5

ดังนั้น จำนวนผทู้ ีช่ อบเคร่ืองดืม่ ทง้ั สามอยา่ งมี 5 คน

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 69 คณิตศาสตร์ 1
ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4

5. จากการสอบถามผู้ทชี่ น่ื ชอบซีรย่ี ์ 125 คน ผลปรากฏว่าสามารถแบ่งกลุม่ ออกเป็น 2 กลุ่ม คือ กล่มุ คนทชี่ อบ

ดซู รี ีย่ ์และกล่มุ คนท่ีไมช่ อบดูซรี ี่ย์ โดยกลุ่มคนที่ชอบดซู รี ี่ย์มรี ายละเอยี ดดังน้ี

ชอบดู start up 54 คน

ชอบดู Kingdom 53 คน

ชอบดู vagabond 67 คน

ชอบดู start up และ ชอบดู Kingdom 14 คน

ชอบดู start up และ ชอบดู vagabond 22 คน

ชอบดู Kingdom และ ชอบดู vagabond 19 คน

ไม่ชอบดซู รี ีย่ ์ 3 คน

มคี นทีช่ อบดซู ่ีรย่ี ท์ ง้ั สามเรื่องกค่ี น

วธิ ที ำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

125 − 3 = 54 + 53 + 67 −14 − 22 −19 + n (A  B  C)

122 = 119 + n (A  B  C)

n(A BC) = 3

ดังนนั้ จำนวนคนท่ีชอบดซู รี ย่ี ท์ ้ังสามเรื่องมี 3 คน

6. ผลการสอบวิชาภาษาไทย สัมคมและคณติ ศาสตร์ ของนกั เรยี น 200 คน มีดงั นี้

ผ้ทู ี่สอบผา่ นท้งั 3 วชิ า 6 คน

ผทู้ ส่ี อบผา่ นภาษาไทย 77 คน

ผู้ที่สอบผ่านคณิตศาสตร์ 85 คน

ผูท้ ่สี อบผ่านสงั คม 91 คน

มีผสู้ อบผ่านคณิตศาสตร์และสังคม 23 คน

มผี ู้สอบผา่ นคณติ ศาสตร์และภาษาไทย 19 คน

มีผสู้ อบผ่านสงั คมและภาษาไทย 22 คน

จงหาวา่ ผูส้ อบตกทั้งสามวชิ ามกี ่ีคน

วิธีทำ

n(A  B C) = n( A) + n(B) + n(C) − n(A  B) − n(A  C) − n(B C) + n(A  B C)

n (A  B  C) = 77 + 85 + 91− 23 −19 − 22 + 6

n (A  B  C) = 195

ผู้สอบตกท้ังสามวชิ ามี 200 – 195 = 5 คน